Best10

	Joyeux Noël,			Merry Christmas,
	et			and

30 p

où p est la plus courte période du développement en fraction where p is the shortest period of the continued fraction

continue expansion

sqrt( D) = D₀ +

D₁+

D₂+...

où chaque D_i est la partie entière par défaut de where each D_i is the largest integer less than (floor)

x_i > 1: x_i = D_i +1/x_i+1. On montre que chaque x_i est x_i > 1: x_i = D_i +1/x_i+1. Each x_i is shown to be

un nombre algébrique quadratique ( sqrt( D) +a_i)/b_i a quadratic algebraic number ( sqrt( D) +a_i)/b_i

avec a_i, b_i, entiers bornés par D (car D-a_i²=b_i-1b_i with integers a_i and b_i bounded by D (because D-a_i²=b_i-1b_i

et b_i > 0). Il faut donc qu'un x_j soit identique à un x_i and b_i > 0). Therefore some x_j must be the same as a preceding

précédent. Voir x_i. See

O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, http://www.archive.org/details/dielehrevondenk00perrgoog

(1913 edition)

L'édition de 1953 contient une preuve de R.F. Ballieu, The edition of 1953 contains a proof by R.F.Ballieu,

professeur à Louvain professor at Louvain

Ballieu, R. Sur le développement des irrationnelles quadratiques en fractions continues régulières. Mathesis, Bruxelles, 54, 304-314 (1942). (Zentralblatt Zbl 0027.20202 )

Mais que vaut D? C'est la valeur retenue comme But what is D? The value is taken as example by

exemplaire par C. Radoux dans C. Radoux in

http://www.umh.ac.be/~nombres/ http://users.skynet.be/radoux/

It has also been said that D is the date of the most On a aussi dit que D est la date de l'évènement le

important event of the history of England in the XVIII^th century, see plus important de l'histoire d'Angleterre au XVIII^eme siècle, voir

André Maurois, Histoire d'Angleterre, end of Chap. VI of Book six:
http://www.archive.org/details/historyofengland025497mbp

Alphonse Magnus,
Institut de Mathématique Pure et Appliquée,
Université catholique de Louvain,
Chemin du Cyclotron,2,
B-1348 Louvain-la-Neuve (Belgium)
(++32)(0)(10)473157 , alphonse.magnus@uclouvain.be ,

http://perso.uclouvain.be/alphonse.magnus

The answer will be put here in a week or two...
MauroisA.pdf

File translated from T_EX by T_TH, version 3.11.
On 21 Nov 2009, 08:29.

	où p est la plus courte période du développement en fraction			where p is the shortest period of the continued fraction
	continue			expansion

	où chaque D_i est la partie entière par défaut de			where each D_i is the largest integer less than (floor)
	x_i > 1: x_i = D_i +1/x_i+1. On montre que chaque x_i est			x_i > 1: x_i = D_i +1/x_i+1. Each x_i is shown to be
	un nombre algébrique quadratique ( sqrt( D) +a_i)/b_i			a quadratic algebraic number ( sqrt( D) +a_i)/b_i
	avec a_i, b_i, entiers bornés par D (car D-a_i²=b_i-1b_i			with integers a_i and b_i bounded by D (because D-a_i²=b_i-1b_i
	et b_i > 0). Il faut donc qu'un x_j soit identique à un x_i			and b_i > 0). Therefore some x_j must be the same as a preceding
	précédent. Voir			x_i. See

	L'édition de 1953 contient une preuve de R.F. Ballieu,			The edition of 1953 contains a proof by R.F.Ballieu,
	professeur à Louvain			professor at Louvain

	Mais que vaut D? C'est la valeur retenue comme			But what is D? The value is taken as example by
	exemplaire par C. Radoux dans			C. Radoux in

	It has also been said that D is the date of the most			On a aussi dit que D est la date de l'évènement le
	important event of the history of England in the XVIII^th century, see			plus important de l'histoire d'Angleterre au XVIII^eme siècle, voir