Universit’e catholique de Louvain 
Analyse num’erique 2 
MATH2180 
2006-­2007 
Alphonse Magnus, 
Institut de Math’ematique Pure et Appliqu’ee, 
Universit’e Catholique de Louvain, 
Chemin du Cyclotron,2, 
B­1348 Louvain­la­Neuve 
(Belgium) 
(0)(10)473157 , magnus@inma.ucl.ac.be, 
http ://www.math.ucl.ac.be/membres/magnus/ 

voir http ://www.mema.ucl.ac.be/~vl/projects/hp­methods.html 

MATH2180 2006­2007 -- 0 -- Intro. -- 2 
Table des mati‘eres 
Quelques r’ef’erences................................................................. 7 
0.1. Livres et articles........................................................... 7 
0.2. Ressources r’eseau.......................................................... 8 
0.2.1. Usenet, FAQ, KuLeuven, Matlab, Netlib.................................. 8 
0.2.2. Packages................................................................. 9 
Introduction........................................................................ 17 
1. Solutions d'EDP, caract’eristiques. [Courant & Hilbert]...................... 17 
1.1. Premiers exemples......................................................... 17 
1.2. Probl‘eme de Cauchy....................................................... 20 
1.3. Un exemple exemplaire : ’equation de la membrane......................... 21 
1.4. EDP d'ordre 2 : caract’eristiques............................................ 22 
Chapitre 1. ’ 
Equations elliptiques, formulations variationnelles..................... 27 
1. ’ 
Equations elliptiques et probl‘emes aux limites................................ 27 
1.1. Solution donn’ee sur une fronti‘ere........................................... 27 
1.2. Formulations variationnelles : introduction................................. 28 
1.3. M’ethode num’erique associ’ee ‘a une formulation variationnelle............... 30 
1.4. Espaces de fonctions contin“ument d’erivables par morceaux................. 30 
1.5. Traitement complet d'un probl‘eme ‘a une dimension........................ 33 
1.5.1. Formulation classique..................................................... 33 
1.5.2. Formulation variationnelle forte........................................... 33 
1.5.3. Formulation variationnelle semi­faible..................................... 33 
1.5.4. Formulation variationnelle faible, ou distributionnelle..................... 34 
1.6. EDP elliptiques et formulations variationnelles en dimension > 1........... 34 
1.6.1. O‘u se trouve la solution d'une EDP elliptique ?........................... 36 
2. Formes coercives, probl‘eme de minimisation, m’ethode de Ritz­Galerkin....... 37 
2.1. Formulation variationnelle dans un espace vectoriel......................... 37 
2.2. M’ethode de Ritz­Galerkin.................................................. 42 
3. Formes bilin’eaires et op’erateurs dans des espaces de Hilbert.................. 45 
3.1. Espaces de Banach et de Hilbert........................................... 45 
3.2. Le probl‘eme de l'existence de la solution. Th’eor‘eme de Lax­Milgram........ 47 
4. Relations entre m’ethodes de projection : Galerkin, etc........................ 54 
4.1. Galerkin................................................................... 54 
4.2. Ritz....................................................................... 54 
4.3. Galerkin­Petrov............................................................ 55 
4.4. Moindres carr’es............................................................ 57 
4.5. Collocation................................................................ 57 

MATH2180 2006­2007 -- 0 -- Intro. -- 3 
Chapitre 2. M’ethode des ’el’ements finis............................................ 58 
1. Introduction et d’efinition..................................................... 58 
2. Ensembles unisolvants, interpolation.......................................... 59 
3. El’ements unidimensionnels................................................... 61 
3.1. Interpolation lin’eaire par morceaux........................................ 61 
3.2. Interpolation polynomiale de Lagrange..................................... 62 
3.3. Interpolation polynomiale d'Hermite....................................... 63 
3.4. Interpolation cubique d'Hermite par morceaux............................. 63 
4. ’El’ements bidimensionels...................................................... 76 
4.1. ’El’ements rectangulaires.................................................... 78 
4.1.1. ’El’ements produits........................................................ 78 
4.1.2. L'’el’ement ``serendipity''................................................. 79 
4.1.3. Hermite bicubique........................................................ 80 
4.2. ’El’ements triangulaires..................................................... 81 
4.2.1. ’El’ement lin’eaire (Courant)............................................... 81 
4.2.2. Triangle ‘a six points...................................................... 84 
4.2.3. Autres ’el’ements triangulaires d'interpolation............................. 84 
4.2.4. Triangle d'Hermite....................................................... 85 
4.2.5. Triangle d'Argyris........................................................ 86 
5. R’esum’e de ce chapitre....................................................... 87 
Chapitre 3. Espaces de Sobolev, convergence...................................... 88 
1. Introduction et d’efinitions.................................................... 88 
1.1. Produit scalaire de Sobolev................................................ 88 
1.2. Espaces de Sobolev........................................................ 89 
1.2.1. D’efinition............................................................... 89 
1.2.2. Identification ‘a un espace de fonctions.................................... 89 
2. Propri’et’es des espaces de Sobolev............................................ 90 
2.1. Formes d’efinies sur H m (##................................................. 90 
2.2. Formes bilin’eaires et op’erateurs ; d’eriv’ees faibles........................... 94 
2.3. Traces..................................................................... 96 
3. Coercivit’e de int  grad u · grad v dx dans H 1 0 ........................... 99 
4. Erreur d'approximation de la m’ethode de Ritz............................... 101 
5. M’ethodes d'’el’ements finis non conformes, ``crimes variationnels''.............. 103 
6. Estimation a posteriori ; m’ethodes adaptatives............................... 108 
Chapitre 4. M’ethodes num’eriques d'obtention de l'approximation de Ritz......... 110 
1. ’Elaboration et r’esolution des ’equations. Conditionnement.................... 110 
2. Un exemple de traitement en matlab.......................................... 113 
Chapitre 5. Sch’emas de di#’erences finies : probl‘emes elliptiques................... 122 
1. Op’erateurs de prolongement et de restriction................................. 122 
1.1. Normes.................................................................... 122 
2. Approximation d'op’erateurs. Consistance..................................... 122 
2.1. D’efinition.................................................................. 123 
2.2. Discr’etisations du laplacien................................................ 124 
3. Solubilit’e des ’equations discr‘etes. Stabilit’e num’erique........................ 125 
3.1. Spectres de laplaciens discr’etis’es........................................... 126 
3.2. D’eterminant, constante de Catalan......................................... 127 
3.3. Consistance et stabilit’e num’erique # convergence......................... 127 
4. M’ethodes it’eratives de r’esolution num’erique. M’ethodes multigrilles........... 128 
4.1. M’ethode de Jacobi......................................................... 128 
4.2. M’ethodes multigrilles...................................................... 129 
5. Matrices d'inverses positives. Convergence.................................... 138 
5.1. Matrices positives, ............................................ 139 
5.3. Processus stochastique..................................................... 140 
6. Autres m’ethodes de traitement du laplacien.................................. 142 
6.1. Transformation conforme (2D)............................................. 142 
6.2. Equations int’egrales sur la fronti‘ere, fonction de Green..................... 143 
6.3. D’eveloppements multipolaires.............................................. 144 
7. D’ecomposition de domaine, compl’ement de Schur, substructuring............. 146 
8. Conditionnement et m’ethodes it’eratives, pr’econditionnement................ 147 
Chapitre 6. Sch’emas de diff’erences finies : probl‘emes d'’evolution.................. 151 
1. Equation de la chaleur ; de la diffusion........................................ 151 
1.1. Equation de la chaleur..................................................... 151 
1.2. Solution par noyau de Poisson.............................................. 152 
1.3. Equation de la diffusion ; diffusion des euros................................ 152 
1.3.1. Effect of adding fresh coins............................................... 153 
1.4. Modes et s’eries de Fourier.................................................. 155 
1.5. Exemples de stabilit’e et instabilit’e num’erique.............................. 155 
2. Consistance et stabilit’e pour probl‘emes d'’evolution #u/#t +Mu = f......... 157 
2.1. Probl‘emes bien pos’es. Op’erateur solution................................... 157 
2.2. Consistance et stabilit’e de discr’etisations de probl‘emes d'’evolution......... 159 
3. Th’eor‘eme d'’equivalence de Lax............................................... 159 
4. Classe des ’equations paraboliques............................................ 160 
4.1. Examen de quelques sch’emas............................................... 161 
4.2. Sch’emas ‘a deux niveaux de temps.......................................... 161 
4.3. Sch’emas ‘a plus de deux niveaux de temps.................................. 164 
5. Equations hyperboliques..................................................... 168 
5.1. Caract’eristiques, domaine d'influence....................................... 168 
5.2. Th’eor‘eme.................................................................. 172 
5.3. Stabilit’e num’erique........................................................ 174 
5.4. Quelques comptes rendus de recherches r’ecentes............................ 176 
5.4.1. M’ethodes adaptatives..................................................... 177 
5.4.2. Galerkin discontinu....................................................... 178 
5.4.3. Hyperbolicit’e............................................................. 180 
5.4.4. Condition n’ecessaire...................................................... 181 
5.4.5. Obtention de la solution par superposition................................ 182 
5.4.6. Transport, advection, di#usion............................................ 183 
5.4.7. Probl‘eme 1D............................................................. 183 
5.4.8. Cas g’en’eral.............................................................. 184 
5.4.9. References................................................................ 185 
Chapitre 7. Probl‘emes d'’evolution : conditions de stabilit’e num’erique.............. 187 
1. Norme matricielle............................................................ 188 
2. Quelques conditions su#santes............................................... 189 
2.1. Norme # 1 + const.#t..................................................... 189 
2.2. Matrices sym’etriques, normales............................................ 189 
2.3. Formes de Jordan et de Schur.............................................. 189 
3. Condition n’ecessaire de von Neumann........................................ 190 
4. Th’eor‘eme de Kreiss.......................................................... 190 
4.1. Pr’eparation................................................................ 190 
4.2. Le th’eor‘eme de Kreiss...................................................... 191 
4.3. Preuve..................................................................... 191 
Chapitre 8. M’ethodes (pseudo) spectrales......................................... 195 
1. Fonctions propres d'op’erateurs autoadjoints.................................. 195 
2. Calcul en repr’esentation spectrale............................................ 196 
2.1. Ritz­Galerkin.............................................................. 196 
2.2. Un probl‘eme de Trefethen.................................................. 198 
2.3. M’ethode des tau........................................................... 201 
3. Calcul en repr’esentation ponctuelle........................................... 201 
3.1. M’ethode de collocation..................................................... 202 
3.2. Repr’esentation matricielle des op’erateurs di#’erentiels....................... 202 
4. Exemples de conditions de stabilit’e num’erique :.............................. 204 
Index.............................................................................. 205 

MATH2180 2006­2007 -- 0 -- Intro. -- 6 
Le cours passe en revue les principales m’ethodes de r’esolution num’erique 
des ’equations aux d’eriv’ees partielles. Il se situe entre des cours consacr’es ‘a la 
th’eorie de ces ’equations et de leurs solutions 
cf. > UCL > Enseignement et formation > Programme d'’etudes 2006­2007 http ://www.uclouvain.be/12259.html 
INMA 2345 Equations di#’erentielles ordinaires : probl‘emes aux limites [30], Q2, 3 cr’ed., D. Bon­ 
heure, 
MAT 1321 Analyse fonctionnelle et ’equations aux d’eriv’ees partielles, [45­45], Q1 , 8 cr’ed., M. 
Willem, 
MATH 2421 Analyse convexe et m’ethodes variationnelles [30­0], Q1, 3 cr’ed., M. Willem, 
MATH 2490 Probl‘emes aux limites pour les EDO et EDP [45­0], Q1, 4,5 cr’ed., J. Mawhin, 
MAPA 3037 M’ethodes topologiques et variationnelles en analyse [30], Q1 + Q2, 2 cr’ed., P. Ha­ 
bets, M. Willem. 
et des cours orient’es vers des applications sp’ecifiques 
INMA2715 Calcul scientifique sur ordinateurs parall‘eles [30­30], Q2, 5 cr’ed. , R. Keunings, 
(pas en 2006­2007) 
MECA 2120 Introduction aux m’ethodes d'’el’ements finis + [30­30], Q1, 5 cr’ed., V. 
Legat, 
MECA 2170 Conception assist’ee par ordinateur en g’enie m’ecanique [30­30] , Q1, 5 cr’ed., V. Le­ 
gat, 
MECA 2620 Simulation des ph’enom‘enes de transfert dans les proc’ed’es industriels [30­10], Q1 , 
4 cr’ed. , F. Dupret, 
MECA 2660 M’ethodes num’eriques en m’ecanique des fluides [30­22,5], Q2 , 5 cr’ed., 
G. Winckelmans, 
PHY2371 Simulation num’erique en physique [22.5h+30h exercices] ,Q2, 5 crdits, Eric Deleersni­ 
jder, Bernard Piraux 
Cela ne veut pas dire qu'il faut avoir suivi un ou des cours th’eoriques (ce­ 
pendant vivement recommand’es, bien entendu), on ’etablira (ou rappellera, plus ou moins 
bien) l'essentiel des bases th’eoriques n’ecessaires. 
Au fait, le pr’esent cours vaut 4,5 cr’ed. 
+ Voir, ‘a ce sujet, 
http ://www.mema.ucl.ac.be/teaching/meca2120/index.html 
extrait de 
http ://www.meca.ucl.ac.be/memawww/members/vl/figure.gif 
Ce cours a ’et’e cr’e’e par le Professeur Jean Meinguet qui assura son enseignement 
jusqu'en 1995. Au fil des ann’ees, l'accent fut mis sur les recherches contemporaines en 
m’ethodes de r’esolution de divers probl‘emes d'analyse fonctionnelle appliqu’ee. 
En 1973, le Professeur Jean Descloux, de l' ’ 
Ecole Polytechnique F’ed’erale de Lausanne, 
vint donner ‘a Louvain­la­Neuve un cours sur l'analyse math’ematique de la m’ethode des 
’el’ements finis, m’ethode qui commen›cait alors ‘a “etre convenablement formalis’ee ++. Les 
notes du Professeur Descloux forment encore l'essentiel de la premi‘ere partie du pr’esent 
cours. 
++ Parmi les pionniers de la m’ethode, citons Fraeijs de Veubeke, professeur ‘a Li‘ege et Louvain. Par 
ailleurs, notre Universit’e re›cut ’egalement les visites de P. Ciarlet et P. Raviart (Paris).