ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaine 4 : Caractérisation des matériaux
Guidance

Remarque importante : dans cette page et celles qui suivent, nous étudions les matériaux en supposant que l'on est dans leur référentiel propre. Pour alléger les écritures, nous abandonnons ici les notations E', H',... pour désigner les champs dans ce référentiel, au profit des notations habituelles dans ce cadre, soit E, H...

Caractérisation empirique de la relation B « H

En l'absence d'hypothèses sur la forme des relations constitutives, on devrait définir un milieu magnétique par l'ensemble des évolutions possibles de ses champs B et H. Cette description est d'autant plus difficile qu'il s'agit d'une relation entre deux vecteurs.

En l'absence d'hypothèses supplémentaires sur la forme des relations constitutives, la caractérisation complète d'un milieu est pratiquement impossible. En principe, il faudrait fournir toutes les évolutions possibles de la paire de fonctions B(t) H(t). Leur nombre étant infini, on pourrait se limiter à un ensemble dense (toute évolution possible étant assez proche d'évolutions mises en mémoire). Même ainsi, la quantité de mémoire à utiliser serait déjà très grande, sans parler du travail de relevé expérimental de ces caractéristiques et l'important travail nécessaire pour les utiliser, chaque point du dispositif étant en général le siège d'une évolution différente.

En pratique, pour les besoins des échanges entre le fabricant, le fournisseur et l'utilisateur des matériaux, on doit se contenter d'une caractérisation incomplète de ceux-ci. Cette caractérisation consiste au mieux en la donnée d'un ensemble réduit d'évolutions. Un des deux champs (souvent B) est supposé orienté dans une direction fixée (un des axes de symétrie du matériau) et varier de façon sinusoïdale en fonction du temps. L'autre champ (souvent H) est supposé orienté dans la même direction que B. Dans ces conditions, le milieu est décrit par une double série de courbes fermées (données pour plusieurs amplitudes de B et plusieurs fréquences). On notera que l'amplitude de B est habituellement donnée en valeur de crête B_p (indice p comme "peak") et non en valeur efficace.

On notera que, pour un matériau passif, les cycles fermés sont toujours parcourus en sens antihorlogique (l'autre sens correspondrait à une production d'énergie par le milieu).

Un gros problème qui se pose aux utilisateurs est d'extraire de ces données des renseignements relatifs à des évolutions parfois très éloignées de celles relevées par le fournisseur du matériau (cycles dissymétriques, évolution non sinusoïdale du champ B, direction du champ changeant au cours d'un cycle...). Pour cela, l'utilisateur devra utiliser un modèle plus élaboré du matériau, mais la responsabilité du choix de ce modèle échappe au fournisseur.

Une autre caractéristique qui est parfois relevée dans le cas de matériaux isotropes (ou en tout cas présentant une symétrie axiale) concerne le cas d'un champ de norme constante mais en rotation. Pour une rotation à vitesse constante, le phénomène est entièrement caractérisé par la donnée de la norme de B et de l'angle de retard de B par rapport à H, en fonction la norme de H et de la vitesse de rotation. Cette situation ne se rencontre guère dans les machines.

Une caractérisation encore moins complète que celle de la figure S04-5 consiste à donner la relation, pour des cycles de forme imposée (sinusoïdaux en B), la relation entre l'amplitude de H et celle de B. Les courbes obtenues peuvent encore dépendre de la fréquence, comme indiqué à la figure ci-dessous (B_p et H_p désignent les valeurs de crête).

Figure 2.6 : caractérisation empirique rudimentaire d'un matériau magnétique

Un exemple chiffré relatif à une tôle existante a été vu à l'occasion d'un exercice résolu du Cours de circuits et mesures ELEC 2370.

Caractérisation des pertes

Lors de cycles fermés, la surface du cycle (figure S04-5) correspond à la densité d'énergie dissipée. La densité de puissance dissipée moyenne est donc égale à cette surface multipliée par la fréquence f .

Bien que le diagramme de la figure S04-5 contienne déjà cette information, il est utile de la fournir séparément parce qu'il s'agit d'une fonction de deux paramètres (B_p et f ), et que la détermination expérimentale directe est possible : il suffit en effet de déterminer la puissance absorbée par un dispositif (à l'aide d'un wattmètre, de l'observation d'un transitoire...) et de diviser cette puissance (après soustraction des pertes autres que celles du noyau magnétique) par le volume du noyau. Si le champ est approximativement uniforme dans tout le noyau, on obtient ainsi la densité de perte de puissance.

Lorsque la relation B-H est donnée par une relation rudimentaire (figure S04-6), la caractérisation des pertes magnétiques apporte une information nouvelle sur les propriétés du matériau.

La figure ci-dessous donne un exemple de représentation graphique des pertes.

Figure S04-7 : Réf. Catalogue Micrometals Iron Powder Cores

Un exemple chiffré relatif à une tôle existante a aussi été vu à l'occasion d'un exercice résolu du Cours de circuits et mesures ELEC 2370.

On constate à la figure S04-7 que l'utilisation d'échelles logarithmiques a permis de rendre les caractéristiques pratiquement linéaires. Il en aurait été de même si on avait utilisé la fréquence comme abscisse. On en déduit l'expression empirique des pertes

(S04-25) densité de pertes = A f^a B_p^b

où les coefficients A, a et b doivent être déterminés expérimentalement. Cette expression ne repose pas sur une base théorique : il s'agit simplement d'une façon commode d'obtenir une expression analytique, qui n'est jamais valable que sur un domaine limité d'amplitudes et de fréquences.

On peut être amené à diviser le domaine de fréquences et d'amplitudes en plusieurs sous-domaines pour obtenir une meilleure précision. C'est le cas pour le matériau dont les pertes sont données à la figure S04-7 : le fabricant fournit en effet les expressions données à la figure ci-dessous.

Les pertes des tôles magnétiques sont souvent exprimées en W / kg , de façon à obtenir une valeur moins dépendante de l'espacement entre ces tôles. Ces tôles sont classées d'après la valeur de leurs pertes sous un champ sinusoïdal d'amplitude B_p = 1 T et de fréquence industrielle.

L'expression (S04.15) est aussi utilisée pour exprimer les pertes en présence d'un champ d'amplitude constante mais dont la direction tourne à vitesse constante. Dans ce cas, la mesure de la puissance peut être mécanique (produit de la vitesse de rotation par le couple nécessaire pour maintenir l'échantillon à vitesse constante).

Définition générale de la polarisation magnétique et de la magnétisation

Lorsque l'on dispose déjà d'un modèle pour un milieu donné, soit, sous forme schématique

(S04-26) R ( H , B ) = 0

il arrive souvent que l'on souhaite définir un autre milieu par référence au premier.

Dans ces cas, on définit la polarisation magnétique J du second milieu par la relation

(S04-27) R( H, B - J) = 0

où J n'a rien à voir avoir la densité de courant, malgré la notation utilisée.

On définit de façon duale la magnétisation M par

(S04-28) R( H + M , B ) = 0

On notera que, en général, les grandeurs J et M dépendent de la valeur des champs.

Pour caractériser le second milieu, on doit donc indiquer comment J ou M dépendent des champs B, H ou d'une combinaison des deux, que nous désignerons comme H_loc (champ local, c'est-à-dire le champ qui est censé provoquer la polarisation du matériau).

On en arrive donc à caractériser le second matériau non pas par sa relation B-H , mais par une relation J - H_loc ou M - H_loc .

Cette opération s'avère intéressante dans les deux cas suivants :

cas 1 : la relation J - H_loc ou M - H_loc qui caractérise maintenant le second matériau est plus simple que la relation B-H de celui-ci, et pourra donc plus facilement être mise en mémoire et utilisée. En particulier, si le matériau de référence est le vide, on a

(S04-29) J = B - m_o H

et

(S04-30) M = B / m_o - H

donc

(S04-31) J = m_o M

et les grandeurs J ou M présentent l'avantage de tendre vers une valeur finie lorsque les champs deviennent très grands.

cas 2 : le second matériau se trouve dans un environnement où le premier domine, de sorte qu'il est intéressant pour le calcul des champs de considérer que le domaine de calcul est constitué uniquement du premier matériau (souvent le vide), auquel on ajoute à certains endroits une polarisation magnétique ou une magnétisation pour tenir compte de la présence du second matériau.

Du point de vue du comportement extérieur des champs, on peut aussi dans ce cas remplacer cette polarisation magnétique ou cette magnétisation

- soit une densité de charge magnétique div J (représentation gaussienne),

- soit une densité de courant rot M (représentation ampérienne).

Dernière mise à jour le 30-09-2003