ELEC 2311 : Physique interne des convertisseurs électromécaniques
Semaine 4 : Caractérisation des matériaux
Guidance

Lorsque l'on homogénéise le matériau contenu dans un domaine, il faudrait en principe tenir compte de phénomènes de surface qui apparaissent aux frontières de ce domaine.

Si la structure détaillée que l'on homogénéise a des dimensions caractéristiques très petites par rapport aux dimensions de ce domaine, les phénomènes de surface sont souvent négligeables.

Une situation classique où l'on introduit une correction pour tenir d'un phénomènes de surface est celle où l'on calcule le champ d'entrefer d'une machine en faisant abstraction des encoches dont les surfaces de cet entrefer sont pourvues. On peut tenir compte (de façon approchée) de la présence de ces encoches en introduisant une correction sur les données du calcul de champ.

Le problème préliminaire permettant de déterminer cette correction peut être posé sous la forme idéalisée représentée à la figure ci-dessous.

On suppose dans ce modèle que les encorches sont droites et infiniment profondes, que la structure est plane, infiniment longue dans la direction perpendiculaire au dessin (problème 2D).

On suppose aussi que les matériaux magnétiques ont une perméabilité infinie ( H = 0) et qu'il n'y a pas de courant dans les encoches. Cela revient à dire que la force magnétomotrice (fmm), c'est-à-dire l'intégrale de ligne du champ magnétique H , est la même sur toutes les traversées de l'entrefer, quel que soit le chemin suivi.

Enfin, l'entrefer est supposé rempli d'un milieu linéaire et uniforme, le plus souvent le vide donc de perméabilité m_o

Une solution exacte du problème ainsi simplifié a été donnée par Gibbs. On peut présenter cette solution en disant que "tout se passe comme si" la surface de l'entrefer présentait une réluctance de surface Re . Une façon plus parlante consiste à dire que "tout se passe comme si" une couche de vide avait été ajoutée à l'entrefer (voir figure ci-dessous). Cela revient à dire que l'épaisseur effective G de l'entrefer est supérieure à l'épaisseur réelle g d'une valeur G - g .

Le lien entre ces deux façons de présenter la solution de ce problème d'homogénéisation tient dans la formule

(S04-60a) Re = (G - g) / m_o

ou

(S04-60b) G = g + m_o Re

Bien que la valeur de Re ou de G soit calculée en faisant de fortes hypothèses simplificatrices, une fois cette valeur déterminée, on s'en sert pour calculer le champ d'entrefer sans faire ces hypothèses. En particulier, les encoches sont rarement droite, mais on prend comme valeur de s la largeur de l'ouverture des encoches (largeur de l'isthme).

On peut réduire à deux le nombre de paramètres du problème préliminaire en exprimant (G-g)/g ou G/g en fonction des rapports s/g et l/g . La solution est donc une simple fonction de deux variables.

Malheureusement, la solution fournie par Gibbs est une solution implicite : elle nécessite un calcul itératif difficilement automatisable. C'est pourquoi on utise souvent une expression explicite correspondant à l'un des deux cas limites où

• soit g << l (entrefer mince) : formule de Carter, très connue,
• soit g >> l (entrefer très grand) : formule de Matagne.

Dans ces deux cas limites, la solution est une fonction explicite d'une seule variable. La figure ci-dessous indique pour les cas intermédiaires laquelle des deux expressions est pr´férable. L'erreur relative commise sur la réluctance de surface est indiquée dans le cas où les deux méthodes conduisent à la même erreur. On voit que, en choisissant judicieusement l'expression simplifiée, l'erreur commise n'excèdera jamais 4.2 % .

Premier cas limite (Carter)

Le premier cas limite (entrefer mince) est celui des deux dont la solution est la plus proche de la solution exacte lorsque g/l < 0.125 , ainsi que lorsque 0.125 < g/l < 0.5 et que s/l est petit.

Ce cas limite a été étudié par Carter

L'entrefer étant petit, on peut supposer que le champ au voisinage d'une encoche n'est pas perturbé par la présence d'une autre encoche. Le problème préliminaire ne comporte plus qu'une seule encoche, et le champ à grande distance de cette encoche est constant. Ce champ vaut

(S04-61) B = m_o fmm / g

Carter a calculé de façon exacte le champ au niveau de la surface non encochée de l'entrefer. Ce champ est perpendiculaire à l'entrefer. Il vaut (S04-61) loin de l'encoche, mais prend à proximité de celle-ci une valeur plus faible (voir figure ci-dessous).

La présence de l'encoche cause donc un déficit de flux traversant l'entrefer. Carter a présenté ce déficit en notant que tout se passe comme si le champ (S04-61) était réalisé partout dans l'entrefer, sauf sur une largeur s s correspondant à une fraction l de l'ouverture d'encoche s .

La formule analytique donnant la valeur de s est

(S04-62a)

où l'arc tan est pris en radians et où ln est le logarithme népérien.

Si l'arc tan est donné en degrés, la formule devient

(S04-62b)

La formule (S04-62) ne fait pas intervenir le pas de denture. Il est commode de le réintroduire en disant que le flux qui traverse l'entrefer est affaibli d'un facteur

(l - ss) /l

ou, ce qui revient au même, que l'entrefer est multiplié par un facteur k_c :

(S04-63a) G = k_c g

avec

(S04-63b) k_c = l /(l - s s)

connu comme Le coefficient de Carter.

Second cas limite (Matagne)

La formule de Carter devient imprécise lorsque l'on ne peut pas supposer l'entrefer mince par rapport au pas de denture l. C'est déjà le cas pour les grandes machines synchrones car l'entrefer y est augmenté pour pouvoir utiliser de plus grandes valeurs de la fmm sans saturer la machine de façon excessive. C'est encore plus le cas avec les machines à aimant permanent montés en surface car les aimants de la meilleure qualité (terre-rares) ont une perméabilité proche de celle du vide, de sorte que l'épaisseur des aimants doit être ajoutée à celle de l'entrefer proprement dit pour trouver la valeur de g à introduire dans le calcul.

En faisant d'approximation d'une épaisseur d'entrefer infinie, on obtient une réluctance de surface de

(S04-64)

Cette expression fournit un résultat plus proche de la solution exacte que l'expression de Carter lorsque g/l > 0.5 , ainsi que lorsque 0.125 < g/l < 0.5 et que s/l est proche de l'unité.

Dernière mise à jour le 09-12-2009