Énergie solaire photovoltaïque
Semaine 8 : Modélisation directionnelle de l'éclairement

Calcul de la position réelle du Soleil

La position du soleil intervient dans plusieurs formules vues cette semaine. Il est dès lors nécessaire, pour mener à bien une simulation où l'inclinaison et l'orientation des panneaux ne sont pas fixées a priori, de disposer de cette position. Comme elle peut facilement être calculée, il n'est pas nécessaire de l'introduire via un fichier de données !

Coordonnées horaires

Les coordonnées horizontales introduites précédemment sont intéressantes pour définir la position du soleil par rapport à une installation donnée.

Par contre, elles sont peu commodes pour décrire le mouvement apparent du Soleil.

Il est préférable pour cela d'utiliser un autre système de coordonnées, les coordonnées horaires, qui sont définies à la figure ci-dessous

 

Figure S08-05 : coordonnées horaires :

H = angle horaire

d = déclinaison

Le plan (A) , perpendiculaire à l'axe PP' des pôles, n'est autre que le plan équatorial. Pour rappel, Z est le zénith du lieu considéré.

Rotation de la Terre

Mouvement

Le mouvement de la terre autour du soleil s'effectue dans un plan nommé le plan de l'écliptique.

L'axe des pôles, autour duquel s'effectue le mouvement de rotation de Terre, n'est pas perpendiculaire au plan de l'écliptique.

Le plan équatorial, perpendiculaire à l’axe des pôles PP’ et passant par le centre de la Terre O, fait avec le plan de l’écliptique un angle constant, appelé obliquité, et noté d0 .

(S08-20) d0 = 23° 26.5’ = 23.44° (obliquité)

Temps solaires

* Temps solaire vrai

On appelle " Temps Solaire Vrai " (en abrégé TSV) en un lieu et à un instant donné, l’angle horaire du Soleil en ce lieu et à cet instant.

C’est une notion qui traduit à la fois le mouvement de rotation de la Terre sur elle-même et son mouvement autour du Soleil. Son introduction est naturelle, car il est lié à l’alternance des jours et des nuits. C’est le TSV qui est indiqué sur les cadrans solaires.

Remarque importante : La définition de TSV donnée ci-dessus est la définition en Astronomie. En physique, on prend, par commodité, TSV = 12h pour la valeur nulle de l’angle horaire (c’est-à-dire midi).

C’est cette dernière définition que nous utiliserons par la suite.

(S08-21) TSV = 12 + (H/15) en heures, H en degrés

* Temps solaire moyen

La vitesse de la Terre sur son orbite n’est pas constante au cours de l’année. Pour avoir un temps qui " s’écoule " à vitesse constante (celui mesuré par les horloges), on définit donc un temps solaire moyen.

Historiquement, la journée solaire moyenne a été utilisée pour définir les unités de temps. On a encore avec une bonne précision 1 jour = 24h 00m 00s.

L’écart entre TSV et TSM varie selon la date, mais est nul en moyenne, par définition.

L’expression de cet écart porte le nom de " Equation du temps ".

Grandeurs fonctions de la date

Nous allons étudier plus en détail la variation des diverses grandeurs vues ci-dessus, en fonction du jour de l’année, soit N ( N = 1 pour le 1 janvier,...).

Déclinaison du Soleil, d(N).

En coordonnées équatoriales célestes et en coordonnées horaires, on a défini l’angle d comme la déclinaison. Lorsque la direction envisagée est la direction du soleil (coordonnées géocentriques), d est la déclinaison du Soleil.

C’est donc l’angle de la direction du soleil avec le plan équatorial de la Terre.

Si on considère la direction du Soleil en coordonnées équatoriales géocentriques, on voit que la déclinaison d de cette direction varie entre deux extremums respectivement égaux (à peu près ?) à l’obliquité de l’écliptique et à son opposé.

(S08-22) - d0 < d < d0 (déclinaison)

Si on fait l'approximation de considérer que le même cycle recommence au début de chaque année (ce qui est inexact, ne serait-ce que parce que toutes les années ne comptent pas le même nombre de jours), on la déclinaison d(N), en fonction du jour de l’année, est bien représentée par la formule approchée

(S08-23) sin d (N) = 0.398 sin { 2 p [N - 82 + 2 sin (2 p (N - 2 ) / 365 )] / 365}

On trouve encore dans la littérature une formule plus simple, mais de précision moindre, à savoir

(S08-24) d (N) = 23.45° sin ( 2 p (N - 79) / 360 )

L'écart entre cette formule et la précédente atteint 3°.

L’évolution de la déclinaison du Soleil fixe l’alternance des saisons.

 

Equation du temps, Et (N).

Le mouvement apparent du Soleil n'est pas parfaitement régulier pour deux raisons :

La durée des journées varie donc légèrement ( entre 23 h 59 m 39 s et 24h 00m 30s). Cette différence n’a guère d’importance à l'échelle d'une journée mais, si on l’intègre tout au long de l'année, elle entraîne l’existence d’un écart entre le temps solaire vrai et le temps solaire moyen

(S08-25) Et = TSV - TSM

Cet écart Et porte le nom d'équation du temps.

Le lecteur int´ressé trouvera plus de détails sur le site Wikipedia consacré à ce phénomène.

En faisant l'approximation que le même cycle recommence au début de chaque année (voir remarque ci-dessus), Et est donnée avec une bonne précision, en minutes, par la formule suivante

(S08-26) Et (N) = 9.87 sin 2N’ - 7.53 cos N’ - 1.5 sin N’

avec

(S08-27) N’ = 360 (N - 81) / 365 (en degrés)

L’équation du temps du temps peut atteindre 16 minutes (fin octobre, début novembre).

Pour une simulation à l’échelle d’une année, cet écart n’est pas très significatif.

Pour une simulation à l’échelle d’un jour, l’écart Et est pratiquement constant. Il suffit de prendre comme variable le temps solaire vrai au lieu du temps solaire moyen pour pouvoir se dispenser de tenir compte de l’écart puisque la durée de la journée, elle, est pratiquement constante.

Curiosité

Si on représente la déclinaison en fonction de Et , on obtient une courbe appelée " analemme ". (voir Figure ci-dessous)

C’est l’allure qu’aurait, sur un cliché photographique, la courbe dessinée par le Soleil, les photos ayant été faites tous les jours à la même heure (TSM), en un lieu donné et sans bouger la position de l’appareil.

Figure S08-09 : Analemme

(à l'échelle correcte, 5° correspondant à 20 minutes)

Temps légal et Temps Solaire Vrai

On définit le temps universel (TU) comme le temps TSM du méridien de Greenwich. Le temps légal (TL) est ce temps augmenté d’un décalage DE qui dépend du fuseau horaire considéré (la forme des fuseau horaire est un problème politique).

La suite des relations qui relient le temps solaire vrai au temps légal est donc

(S08-28) TSV = 12 + (H/15)

(S08-29) TSM = TSV - (Et / 60 )

(S08-30) TU = TSM - ( l / 15)

(S08-31) TL = TU + DE

Dans certains pays, actuellement, le décalage DE change selon la période de l’année (heure d’été et heure d’hivers).

En simulation, les formules (S08-28) à (S08-31) sont en fait utilisées "à l'envers", pour déterminer H à partir de TL ou TSM.

Mouvement apparent du soleil

Les formules précédentes permettent de calculer la déclinaison du soleil et son angle horaire, c'est-à-dire la position du soleil dans un système de coordonnées équatorial. En fait, c’est la position du soleil du soleil par rapport à l’horizon qui va permettre de vérifier que le soleil est bien au-dessus de l'horizon. Comme l'orientation des panneaux solaires (fixe ou variable) est souvent spécifiée en coordonnées horizontales, il est utile de connaître la position du soleil dans ces coordonnées pour calculer l'angle d'incidence du rayonnement direct. Ces coordonnées sont aussi indispensables si on veut estimer l’influence de l’atmosphère sur le rayonnement reçu au sol. En présence d’obstacles, c’est la position du soleil en coordonnées horizontales qui permet de déterminer les ombres.

Calcul plus précis

Les formules approchées données ci-dessus sont suffisantes pour la plupart des applications solaires. Elles ne sont pas suffisantes pour des applications de navigation, ni pour calculer avec précision les heures de lever et de coucher du Soleil.

Pour un calcul plus précis, on doit faire appel à une description plus sophistiquée du mouvement de la terre autour du soleil.

Les astronomes calculent d en fonction de la date julienne (exprimée en jours par rapport à une date de référence, début de l'histoire humaine ou 1 janvier 2000, mais avec assez de décimales pour tenir compte de l'instant considéré à une fraction de seconde près).

Un mode de calcul suffisamment précis pour la plupart des applications, même de navigation, est décrit sur le site de l'u.s. Naval Observatory. Vous pouvez aussi trouver ici un programme (qbasic, source en texte MS-dos) utilisant cette méthode.

Calcul des angles

La position du lieu étudié doit être spécifiée par la donnée de sa longitude l et de sa latitude j

La longitude est comptée à partir d’un méridien origine (Greenwich).

l < 0 pour les longitudes ouest (W)

l > 0 pour les longitudes Est (E)

j > 0 pour les latitudes Nord (N)

j < 0 pour les latitudes sud (S)

La position du soleil est alors calculable en coordonnées horizontales par les formules

(S08-32) sin a . cos h = sin H . cos d

(S08-33) cos a . cos h = cos H . cos d . sin j - sin d . cos j

(S08-34) sin h = cos H . cos d . cos j + sin d . sin j

Exercice : calculer la durée du jour.

L'angle d'incidence sur un plan quelconque sera de préférence calculé à partir des coordonnées horizontales du soleil (formule S08-06).

On pourrait le calculer directement à partir de ses coordonnées horaires, mais il faudrait alors prendre une précaution spéciale pour éviter d'obtenir un éclairement non nul pendant la nuit. Si l'on passe par les coordonnées horizontales, il est facile de détecter le cas de la nuit (h < 0.0) .

Les formules qui donnent l’angle d’incidence sont susceptibles de simplifications quand la direction du panneau varie dans le temps d’une façon appropriée.

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Dernière mise à jour le 15-04-2004