LMAT 2240 Théorie des nœuds

6.0 Crédits ECTS

Enseignant: Pedro Vaz 

Email: pedro.vaz@uclouvain.be

Le but de ce cours est de présenter la théorie mathématique des nœuds et entrelacs.
Nous développerons des techniques liées à la combinatoire, à la topologie, à la théorie des groupes et à la topologie algébrique.
À la fin du cours, l'étudiant doit être capable de travailler de façon autonome sur un sujet avancé en théorie de nœuds.

Contenu

1. Définitions et concepts de base

Définition de nœud, projections et diagrammes, mouvements de Reidemeister, 3-coloriage, nombre d'enlacement.

2. Le polynôme de Jones

Le crochet de Kauffman, le polynôme de Jones, le lien entre nombre de croisements d'un nœud alterne et polynôme de Jones.

3. Topologie des surfaces appliquée à la théorie des nœuds

Surface de Seifert, classification des surfaces orientées a bord, chirurgie sur les surfaces,
nombre d'enlacement comme nombre d'intersection avec la surface de Seifert.
Genre d'un nœud, additivité du genre et décomposition unique des nœuds en somme de nœuds premiers.

4. Groupe fondamental et topologie des compléments de nœud

Groupe fondamental et présentation de Wirtinger, forme de Seifert.

5. Thèmes spéciaux
    - le polynôme d'Alexander,
    - des polynômes à 2 variables: les polynômes HOMFLY-PT et de Kauffman,
    - l'invariant de Witten lié au polynôme de Jones,
    - nœuds et 3-variétés (chirurgie),
    - tresses, enchevêtrements et l'algèbre de Temperley-Lieb,
    - homologie de Khovanov.

Bibliographie

    - An Introduction to Knot Theory, W.B.R. Lickorish, GTM 175, Springer 1997.
    - Knot knotes, par Justin Roberts.

Pre-requis

Un cours de topologie algébrique.

Évaluation

Évaluation continue: test écrit (dans session, avec un poids relatif de 65%) sur les sujets (1) à (4) et présentation oral (avec un poids relatif de 35%)
sur l'un des sujets spéciaux (5).

Les étudiants gradés moins de 10 dans l’évaluation continue seront admis à l'examen (preuve écrite) sur les sujets (1) à (5).

Feuilles d'exercices

1. Définitions et concepts de base

3. Topologie des surfaces appliquée à la théorie des nœuds

4. Groupe fondamental et topologie des compléments de nœud