2  Un modèle très simple.

Des acteurs a1, a2,..., aN répartis sur la droite réelle constatent la décroissance avec le temps de la proportion de monnaie indigène (ou autochtone) qu'ils détiennent. On note yi(t) la proportion détenue par ai au temps t. Soit t0 le temps moyen d'échange de toute la monnaie d'un acteur avec ses deux voisins, donc,


yi(t+t0) =   yi-1(t)+yi+1(t)

2
(1)
avec initialement yi(0)=1 sur un intervalle de longueur L et yi(0)=0 ailleurs (il ne sagit que de la proportion de monnaie du pays considéré, la quantité d'argent détenue par les gens ne change pas
1
.
Exercice: qu'obtient-on si y(0)=1 pour une seule valeur de i?
On a aussi
yi(t+t0)-yi(t) =   yi-1(t)-2yi(t)+yi+1(t)

2
ou encore
 yi(t+t0)-yi(t)

t0
=  d02

2t0
  yi-1(t)-2yi(t)+yi+1(t)

d02
si d0 est la distance moyenne entre deux acteurs. Les quotients ainsi mis en évidence sont proches de dérivées:
 y(x,t)

t
=  d02

2t0
  2 y(x,t)

x2
(2)

Suggestion: résoudre (2) par transformée de Fourier ou de Laplace (bilatérale).

Au temps t > 0, la distribution uniforme confinée au pays d'origine s'est affaisée et a quelque peu envahi les pays voisins. La proportion encore disponible dans le pays d'origine (c'est la valeur la plus facile à mesurer) est donnée par la partie hachurée
Y(t) =  1

L

L/2

-L/2 
y(x,t)  dx

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