Résumé.

Le but de ce papier est d'étudier l'impact du progrès technique sur la croissance au moyen d'un modèle à générations de capital. Une telle structure du capital permet d'intégrer l'idée schumpéterienne de création destructrice, au sens où l'obsolescence du capital existant résulte de l'incorporation du progrès technique à travers l'investissement en nouveaux équipements. Le taux de croissance est endogène à la manière d'Harrod-Domar et dépend d'un taux de progrès technique qui demeure exogène, contrairement à ce qui se produit dans le cadre de la théorie de la croissance endogène. Le modèle se ramène à un système d'équations différentielles aux différences linéaires. En dessous d'un certain seuil de progrès technique, l'économie tend asymptotiquement vers un sentier de croissance à taux constant. Au delà, le modèle se comporte de façon oscillatoire autour d'un état stationnaire. Même si son impact est positif dans un contexte d'équilibre partiel, une hausse du taux de progrès technique a un impact négatif sur la croissance dans un contexte d'équilibre général.

Summary.

This paper focuses on the impact of technical progress on growth in the framework of a vintage capital model. This structure of capital allows for creative destruction, in the sense that the obsolescence of capital results from embodied technical progress in new equipments. The rate of growth is endogenous in Harrod-Domar's way and depends on a rate of technical progress which remains exogenous, contrary to what happens in endogenous growth theory. The model reduces to a system of linear differential-difference equations. Under a certain level of technical progress, the rate of growth is asymptotically constant. Above it, the model oscillates around a stationary state. Even if its impact is positive in a partial equilibrium context, an increase in the rate of technical progress has a negative impact on growth in a general equilibrium framework.

Après être rentrée quelque peu en léthargie au début des années 70, la théorie de la croissance connaît depuis quelques années un regain d'intérêt, qui a conduit à de multiples développements en des sens divers (cfr. Lordon (1991) pour une revue de cette littérature). Parmi ces derniers, la théorie de la croissance endogène cherche à dépasser certaines limites des modèles néoclassiques construits dans la tradition de Solow (1956) et en particulier, le fait que dans ce type de modèles, la croissance est déterminée par des facteurs exogènes (croissance démographique et progrès technique "tombant du ciel"). La théorie de la croissance endogène parvient à dépasser cette limite en endogénéisant le progrès technique lui-même, par l'introduction des rendements croissants.

D'une façon différente, la présente contribution cherche également à dépasser le déterminisme simple qui lie les taux de croissance nécessaire et naturel¹ dans les modèles à la Solow. Pour ce faire, nous postulons d'abord une structure de capital à générations avec facteurs de production complémentaires ( clay-clay). Une telle structure du capital permet en effet d'intégrer l'idée schumpéterienne de création destructrice, au sens où l'obsolescence du capital existant résulte de l'incorporation du progrès technique à travers l'investissement en nouveaux équipements plus performants. Ensuite, nous évacuons tout mécanisme d'ajustement du taux de croissance nécessaire à un taux de croissance naturel exogène via, comme le supposent les modèles néo-classiques, une flexibilité salariale assurant le plein-emploi. Nous obtenons en conséquence un modèle où le taux de croissance est endogène à la manière de Harrod-Domar et dépend de façon non triviale du taux de progrès technique².

En outre, afin d'être réalisable à long terme, ce taux de croissance doit être inférieur ou égal au taux de croissance naturel. En ce sens et selon la typologie de Hahn-Matthews (1972), notre modèle peut être qualifié de modèle d'équilibre de sous-emploi, dans la mesure où ``Il repose sur l'hypothèse que le sous-emploi, et même un sous-emploi croissant, n'est pas incompatible avec l'équilibre¼ Ces modèles [de sous-emploi] ont été présentés comme des approximations de la réalité par des auteurs qui ne croient pas que le système capitaliste puisse permettre le plein-emploi (ou même un niveau constant de chômage) ou qui pensent que la croissance de la population et/ou le progrès technique réagissent sensiblement aux forces économiques, si bien que l'ajustement se produit du côté du taux naturel'' (Hahn-Matthews, 1972, p. 9 et 10).

Comme le soulignent d'Autume et Michel (1993), les modèles à générations de capital sont complexes, ce qui explique que malgré leur intérêt, on ne les rencontre pas très souvent dans la littérature. Pour les résoudre, l'usage est d'essayer une solution particulière sous la forme d'une exponentielle à taux constant. Mais on ne peut pas toujours garantir que c'est bien vers celle-ci que le modèle va tendre. Nous nous démarquons de cette approche en recourant à la théorie des équations différentielles aux différences, ce qui nous permet de dériver la solution générale du modèle et de mettre en lumière l'existence de comportements oscillatoires.

La structure de l'article est la suivante. La première section présente un modèle d'équilibre général dynamique avec générations de capital. Afin de réduire les complications et les problèmes de robustesse liées à la structure hétérogène du capital³, on suppose que les agents ont des attentes myopes, ce qui revient à supposer que leur horizon temporel est limité à une période. Le modèle permet d'abord de vérifier le phénomène de croissance destructrice dans un contexte d'équilibre partiel : une hausse du taux de progrès technique a un impact positif sur l'accumulation du capital au niveau de la firme, et ce bien que l'âge du plus vieil équipement en activité diminue. On se démarque des modèles néo-classiques en supposant que le salaire évolue selon le progrès technique affectant le travail et non qu'il y a plein-emploi⁴. Le salaire étant déterminé, le taux d'intérêt s'ajuste de façon à assurer l'équilibre sur le marché des biens (ou de façon équivalente l'égalité entre épargne des ménages et besoin de financement des entreprises). Dans la section 2, le comportement du modèle est analysé sous l'hypothèse que le taux de progrès technique est constant. Il en découle que l'âge de la plus vieille génération en activité est aussi constant. Le modèle se réduit alors à un système d'équations différentielles aux différences linéaires dont on peut cerner la dynamique. La solution générale s'écrit comme une somme infinie d'exponentielles d'exposants réels ou complexes. En dessous d'un certain seuil de progrès technique, l'économie tend asymptotiquement vers un sentier de croissance à taux constant. Au delà, le modèle se comporte de façon oscillatoire (amortie ou explosive) autour d'un état stationnaire. L'analyse montre que dans un contexte d'équilibre général, une hausse du taux de progrès technique a un impact négatif sur le taux de croissance de la production et de l'emploi ( et ce, malgré l'effet positif observé plus haut dans un contexte d'équilibre partiel). La hausse du taux de progrès technique se traduit en effet par un excédent de demande sur le marché des biens, qui ne peut être corrigé que par une croissance désirée moins forte impliquant une baisse de l'accumulation. On termine par une rapide étude de la sensibilité du taux de croissance à l'égard des autres paramètres. Il en ressort notamment qu'une augmentation du taux de marge induit, ceteris paribus, une croissance plus élevée suite à l'amélioration de la profitabilité des entreprises.

L'économie est fermée et comprend des ménages et des entreprises. Les ménages perçoivent des revenus salariaux et financiers, qui s'ajoutent à leur patrimoine. Une partie de celui-ci est consacrée à l'achat de biens de consommation, le reste étant épargné. Les entreprises produisent des biens d'investissement et de consommation, au moyen de travail et de capital. Leurs ventes permettent de payer salaires et charges financières et de dégager un profit qui sert à financer l'investissement. Si les entreprises dégagent un besoin net de financement, elles recourent à l'emprunt auprès des ménages.

Le stock de capital est formé des générations d'équipement correspondant aux investissements successifs réalisés dans le passé. Au niveau de chaque génération, les facteurs de production (équipement et travail) sont complémentaires ex ante et ex post, c'est-à-dire avant et après son installation. Le progrès technique est incorporé dans les machines et neutre au sens de Harrod. Le stock de capital est donc formé d'un continuum de machines caractérisées par une productivité du travail décroissante avec l'âge. Dans un contexte de concurrence monopolistique, la firme j choisit pour la période en cours, le montant de son investissement i_j et l'âge de la plus vieille génération en activité T_j (aussi appelé marge extensive) de façon à maximiser son profit (en termes réels)⁵1 :

Le premier terme de l'objectif est le chiffre d'affaire p_j y_j, où p_j est le prix relatif et y_j la production. Le deuxième terme représente la masse salariale w l_j, où w est le salaire et l_j l'emploi. Le dernier terme représente les charges financières, où r est le taux d'intérêt réel et W_j,t^f l'endettement de la firme j au temps t. Dt est la durée de la période: on considère la variation des grandeurs économiques de l'instant t-Dt à l'instant t. Les relations (2) et (3) définissent la production et l'emploi. Leur premier terme se rapporte au nouvel équipement tandis que le second correspond au capital existant. On fait l'hypothèse que la firme ne rencontre aucune contrainte de travail ou de capital. q et b sont les coefficients techniques du travail et du capital communs à toutes les entreprises. b est constant tandis que q est une fonction continue et strictement décroissante du temps. (4) est la fonction de demande adressée à l'entreprise j, où e (supposé constant et ³ 1) est l'élasticité et d_j la demande moyenne adressée à la firme j. (5) montre que l'endettement évolue en fonction du besoin de financement de la firme, égal par définition à la différence entre investissement et profit.

Les variables déterminées par la firme j sont y_j, l_j, p_j, i_j et T_j. Les variables exogènes au niveau de la firme sont y, w, et r. En substituant (5) dans (1), l'objectif peut se réécrire

forme qui permet d'aborder le problème de maximisation de l'objectif⁶6.

Les conditions du premier ordre par rapport à T_j,t et i_j,t s'écrivent respectivement⁷78:

en vertu de (7). L'équation (7) exprime la condition habituelle entre prix et coût marginal en concurrence monopolistique. L'équation (8) montre que l'entreprise va investir jusqu'au point où l'économie de coût de travail obtenu par le renouvellement du capital est exactement compensée par le coût d'usage d'une unité de nouvel équipement supplémentaire. De (8), il ressort que plus la nouvelle génération est performante (plus q_t est faible), plus la marge extensive T_j,t est faible. Ceteris paribus, dans un contexte d'équilibre partiel, une accélération du progrès technique accroît l'investissement et se traduit par une plus grande obsolescence économique⁸8742. C'est l'idée schumpéterienne de création destructrice. Par un raisonnement analogue, on montre aisément que si b ou r_t augmente, alors l'investissement décroît. Malgré sa simplicité, l'objectif (1) permet donc d'obtenir des conditions intuitives et semblables à certains résultats de la littérature à générations de capital (Malcomson, 1975). Par ailleurs, (2), (3), (4) et (6) montrent que l'objectif peut se réécrire comme \textconstante ×y_j,t^1-1/e + terme linéaire en i_j,t et T_j,t, où y_j,t est lui-même linéaire en i_j,t et T_j,t. Le fait que e > 1 est par conséquent suffisant pour que l'objectif soit concave et admette bien un seul maximum.

Le ménage j vend sa force de travail à la firme en échange d'un salaire. Son patrimoine est constitué de créances accumulées sur les entreprises, qui lui rapportent des revenus financiers fonction du taux d'intérêt de la période précédente. Ce patrimoine évolue selon l'équation

où W^c_j,t est le patrimoine à la fin de la période, c_j,t la consommation, r_t-DtW_j,t-Dt^c les revenus financiers et w_t l_j,t ceux du travail. Les termes entre crochets sont des flux par unité de temps, d'où le fait qu'ils sont multipliés par la durée de la période Dt. Le ménage est supposé consacrer une certaine fraction de sa richesse courante à la consommation :

où a est la propension à consommer (supposé constante et comprise entre 0 et 1)⁹10. (9) et (10) forment un système de deux équations à deux inconnues c_j et W_j, où les exogènes sont le patrimoine hérité du passé et les composantes du revenu.

Les comportements de l'entreprise et du ménage décrits plus haut sont supposés être des comportements ``moyens'', représentatifs de l'ensemble de l'économie. Par la suite, nous omettrons l'indice ``j'' des différentes variables et réinterprèterons ces dernières comme des variables macroéconomiques. Dans ce contexte, les créances des ménages se confondent avec les dettes des entreprises :

Le taux d'intérêt s'ajuste de façon à assurer l'égalité entre épargne des ménages et besoin de financement des entreprises, ou de façon équivalente l'équilibre sur le marché du bien final:

Pour achever l'identification du modèle, nous supposerons que le salaire augmente selon le progrès technique affectant le travail:

où pour mémoire, q_t est le coefficient technique du travail. Cette équation appelle quelques commentaires. Tout d'abord, elle nous permet de nous démarquer des modèles néo-classiques, dans la mesure où ceux-ci postulent généralement le plein-emploi, auquel cas l'emploi s'ajuste à une offre de travail exogène¹⁰.

De ce fait, dans ces modèles, le salaire n'obéit à l'équation (13) qu' asymptotiquement, alors qu'ici, (13) s'applique à tout instant. Cependant, même si le salaire évolue en termes relatifs à long terme de la même façon dans les 2 contextes, il n'atteindra pas le même niveau en termes absolus. Cette différence s'explique évidemment par l'absence de flexibilité salariale sur le marché du travail qui caractérise le présent modèle. Il existe une vaste littérature relative à la rigidité des salaires. Une manière de fonder cette rigidité repose sur l'hypothèse que seuls les travailleurs ayant un emploi (les ``insiders''<sup>11</sup>) pèsent dans les négociations salariales. Dans ce cas, le fait que les ``insiders'' exigent que le salaire suive strictement le taux de progrès technique se justifie d'autant plus facilement que cette exigence ne se traduit pas pour certains d'entre eux par une exclusion du marché du travail. Or, comme on le verra à la section suivante, la plupart des sentiers de croissance équilibrée que notre économie est susceptible de suivre se caractérisent par une création nette d'emplois à chaque période (même si en même temps, le taux de chômage croî t lui-aussi).

Le modèle peut être simplifié en étant réécrit en temps continu, et sa dimension peut être réduite. En faisant tendre Dt vers 0, (2) et (3) se réécrivent

(9), (10) et (11) permettent après passage à la limite d'écrire:

(10) et (12) impliquent que

Enfin, grâce au fait que le prix relatif p_j,t = p_t = 1, (7) et (8) peuvent se réécrire

où m = e/(e-1) > 1. Le modèle est maintenant décrit par les équations (13) à (19), soit 7 équations à 7 inconnues y, l, i, T, w, r et W. Il comporte une variable exogène q et 3 paramètres m, b et a. Au niveau des conditions initiales, on peut par exemple se donner i_n sur ]¬,0] et w₀ ¹²19181415171318141617.

De l'équation (13), il apparaît que le coût du travail par unité produite sur la dernière génération installée w_t q_t est constant. Si on postule un taux de progrès technique constant, c.-à-d. si

où c est le taux de progrès technique ( ³ 0), alors il découle de (13), (18) et (19) que (i) w_t s'accroît au taux constant c tout au long de la trajectoire, (ii) r_t = r est une constante (que l'on peut déterminer grâce aux conditions initiales) et (iii) T est constant et égal à

Cette relation introduit la contrainte 1 > mb r. La durée de vie d'une génération donnée est une fonction inverse du taux de progrès technique c et une fonction positive du taux de marge m, du coefficient de capital b et du taux d' intérêt r.

Grâce à cette propriété de durée de vie constante, le système (13) à (19) peut se ramener à une série d'équations différentielles aux différences linéaires. On peut cerner la dynamique des solutions de ces équations en adoptant la représentation en somme (série) de fonctions exponentielles du temps (cfr. p. ex. Bellman-Cooke, 1963):

Les coefficients C_k, D_k,¼ dépendent du comportement de i_t, y_t,¼ sur une période, par exemple -T £ t £ 0. Le comportement lors des périodes ultérieures est alors impérativement dicté par les exponentielles e^{g_k t} figurant dans (22). Les exposants g_k, qui décrivent donc véritablement la dynamique que nous cherchons à préciser, sont les racines de l'équation caractéristique du système, et ne dépendent que des paramètres figurant dans les équations (13) à (20), comme on va le voir:

1. Portons d'abord la forme (22) de i_t dans (14), on obtient
   y_t = å_k C_k [( 1 -e^{-g_k T} )/(b g_k)]  e^{g_k t} ,
   qui confirme d'ailleurs, avec D_k = C_k [( 1 -e^{-g_k T} )/(b g_k)] , la représentation de y_t postulée dans (22) (n'oublions pas que T_t = T, la constante déterminée par (21)).

2. Ensuite, utilisant (20), (15) donne
   

   l_t = å_k C_k q₀ [( 1 -e^{-(g_k-c) T} )/(b (g_k-c))]  e^{(g_k-c) t} .
   

3. L'équation (17) livre maintenant
   

   W_t = [(y_t -i_t)/(a)] = å_k C_k a^-1 [[( 1 -e^{-g_k T} )/(b g_k)] -1]   e^{g_k t} .
   

4. Enfin, on a vu comment, de (13), (18), (19) et (20), on pouvait établir w_t = [(e^c(t-T))/(mq₀)] , avec T donné par (21). Nous avons maintenant tous les éléments pour apprécier chaque terme de (16) et en tirer l'équation pour les g_k:

On voit que chaque g_k doit être solution d'une même équation, l' équation caractéristique

A = [(bg)/(1-e^{-g T})] = [(i)/(y)] correspond au taux d'accumulation brut.

B = [(e^-cT-e^{-g T})/(g-c)][(g)/(1-e^{-g T})] = [(wl)/(y)] correspond à la part des salaires dans la valeur ajoutée. Comme l'équation caractéristique (23) admet une infinité de racines qui peuvent être réelles, imaginaires purs ou complexes, la solution générale du modèle s'écrit comme la somme d'une infinité d'exponentielles, dont les exposants g₁, g₂, g₃,¼ sont les racines de (23). La figure 1 ci-dessous reprend les plus grandes parties réelles de ces exposants en fonction de c. Pour c £ c_m, g₁ et g₂ sont réels, tous les autres exposants étant complexes de partie réelle négative¹³. Sauf conditions initiales très particulières, le taux de croissance n'est donc pas constant sur toute la trajectoire. Cependant, le modèle tend asymptotiquement vers l'exponentielle dont la partie réelle de l'exposant est dominante, c'est-à-dire vers exp(g₁ t). Pour 0 £ c £ c_m tel que g₁ > 0, l'économie tend donc vers un sentier de croissance à taux constant. Le modèle change radicalement de comportement pour les taux de progrès technique supérieurs à c_m. En effet, pour c ³ c_m, g₁ et g₂ deviennent complexes conjugués. Comme leurs parties réelles sont négatives, le modèle tend de façon oscillatoire vers un état stationnaire nul.

Figure 1

Evolution des parties réelles des principales racines de l'équation caractéristique en fonction du taux de progrès technique. Exemple avec b = 5, m = 1.25, r = 0.05, a = 0.5.

Avant d'approfondir la question de l'impact négatif d'une hausse du taux de progrès technique sur le taux de croissance, il convient d'évoquer brièvement le rôle de l'offre de travail. Le taux de croissance de l'emploi est donné (asymptotiquement) par l = g₁(c)-c. Un sentier de croissance à taux constant ne sera durable que si l £ n, où n est le taux de croissance de la population active. En supposant que celui-ci est une constante exogène, la figure 1 montre que les sentiers de croissance à taux constant peuvent être classés du point de vue emploi en 3 catégories. La partie de g₁(c) au dessus de n+c caractérise des sentiers non durables dans le mesure où ils se heurtent tôt au tard à une contrainte d'offre de travail. La partie de g₁(c) comprise entre c et n+c rassemble les sentiers caractérisés par un chômage et un volume d' emploi croissants. Pour g₁(c) < c enfin, le chômage est croissant, mais en plus, il y a destruction de postes de travail. Ces déséquilibres persistants sur le marché du travail sont bien entendu susceptibles d'engendrer des mécanismes correcteurs permettant de reconcilier les taux de croissance garanti g₁ et naturel n+c. Une hypothèse particulièrement intéressante parce qu'elle préserve les résultats présentés dans les paragraphes précédents, est de supposer que l'ajustement se réalise au niveau du taux de croissance démographique n. Cette hypothèse appartient à une tradition déjà ancienne (cfr. Hahn-Matthews (1972) pour une revue de cette littérature). Elle dépasse cependant le cadre de ce papier, aussi ne l'approfondirons-nous pas ici.

Figure 2

Evolution du rapport entre offre et demande en fonction de g (cf. équation 23()). Exemple avec les paramètres de la figure 1 et c = 0.015.

Comme le montre la figure 1, g₁'(c) < 0; il est par conséquent clair que dans le cadre du présent modèle, l'impact à long terme d'une hausse permanente du taux de progrès technique a un impact négatif sur la croissance¹⁴. Il convient de s'interroger sur le pourquoi de g₁'(c) < 0. Les deux termes de (23), ainsi que leur somme, sont représentés à la figure 2 ci-dessus (on a fait l'hypothèse que r- a < 0). g₁ et g₂ sont les deux taux de croissance d'équilibre. g₁ correspond à une trajectoire où A prédomine par rapport à aB/[g+a-r]m, autrement dit où l'investissement domine la consommation. Le contraire se produit pour g₂. Quand le taux de progrès technique augmente (Dc > 0), A(g) se déplace uniformément vers le haut. En effet, Dc > 0 ÞDT < 0 via (21). A g donné, la capacité installée baisse et donc le taux d'accumulation brut s'accroit. L'effet sur B est plus ambigu. D'une part, le salaire augmente via (18), mais d'autre part, la productivité moyenne du travail s'accroit aussi (D(l/y) < 0). Cependant, on peut montrer rigoureusement que pour g₁, l'effet salaire l'emporte et donc que Dc > 0 ÞDB(g₁) > 0 (cfr. annexe). Partant de g₁, une hausse du taux de progrès technique se traduit par une augmentation de la demande de biens d'investissement et de biens de consommation qui rompt l'équilibre entre offre et demande (géométriquement, les courbes représentées sur la figure 2 se déplacent vers le haut). A cause de ses effets multiplicateurs sur les composantes de la demande, un accroissement de l'offre ne permet pas de restaurer l'équilibre. C'est au contraire une baisse de l'offre, traduisant une diminution du taux de croissance désiré, qui permettra à travers ses effets plus que proportionnels sur la demande, un retour à l'équilibre. Cependant, si le choc de progrès technique est tel que c > c_m, aucune baisse de l'offre n'est susceptible d'entraî ner un retour à l'équilibre (géométriquement, la courbe supérieure de la figure 2, donnée par la troisième équation de (23), passe entièrement au dessus de l'horizontale d'ordonnée 1 et il n'y a plus d'intersection).

Il peut être intéressant d'étudier la sensibilité de la relation liant les parties réelle des racines g₁ et g₂ (Re g_i) à c en fonction des autres paramètres (cfr. figure 3). On constate d'abord que l'on retrouve chaque fois des figures semblables à la figure 1. Dans le cadre du présent modèle, les phénomènes observés précédemment (g'₁(c) < 0 et bifurcation en c_m) paraissent donc bien robustes. (a) Si on augmente m, on observe une dilatation de la boucle formée par g₁(c) et g₂(c) pour c < c_m. Elle se traduit non seulement par un taux de croissance asymptotique plus élevé (g₁(c) se déplace vers le haut), mais le seuil c_l en dessous duquel g₁(c) est positif augmente. Ceci s'explique par le fait qu'une hausse de m améliore la profitabilité de l'entreprise, ce qui, ceteris paribus, réduit le prix relatif de l'investissement et donc incite à investir d'avantage. (b) Si la propension à consommer a augmente, alors on observe que la boucle se déplace vers le bas, tout en se dilatant vers la droite. Moins de ressources sont consacrées à l'investissement, d'où une baisse du taux de croissance aymptotique, mais l'intervalle de variation du progrès technique autorisant une croissance à taux constant [0,c_l] s'élargit. (c) Si le coefficient de capital b décroit, alors la boucle remonte tout en se contractant vers la gauche. Moins de ressources sont à consacrer par unité d'investissement, d'où une hausse du taux de croissance asymptotique¹⁵. Si b diminue suffisamment, un phénomène nouveau apparaît : la boucle se referme pour une valeur positive de g. Il en découle que sur un certain intervalle de progrès technique, g₁ et g₂ sont complexes conjugués de partie réelle positive. Le modèle tend à osciller de façon explosive. (d) Enfin, une variation des conditions initiales (par exemple w₀) impliquant une augmentation de

r se traduit par une dilatation de la boucle vers le haut et vers la droite. Bien que le coût de l'investissement augmente, la hausse de la consommation induite par celle des revenus financiers est suffisante pour entraîner une hausse du taux de croissance asymptotique et un

Figure 3

Autres cas: (a): m = 1.5; (b): a = 0.75; (c): b = 3; (d): r = 0.075.

élargissement de l'intervalle de variation du progrès technique autorisant une croissance à taux constant [0,c_l].

Les résultats présentés ci-dessus se veulent exploratoires. Le modèle pourrait en effet faire l'objet de plusieurs développements, que ce soit au niveau de l'horizon temporel des entreprises ou de la détermination du salaire. Il importe cependant de souligner que ces développements devraient se traduire par une complication sensible de l'analyse mathématique du modèle, dans la mesure où il ne serait plus linéaire (le délai apparaissant dans les équations différentielles aux différences ne serait plus constant). Une autre question à approfondir concerne le rôle de l'offre de travail, ou plus généralement l'adéquation des taux de croissance naturel et garanti. Sur ce point, il pourrait être intéressant de réinvestiguer la tradition des modèles avec changement induit du taux de progrès technique ou du taux de croissance démographique (Hahn-Matthews, 1972).

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En vertu de (21), posons

Etant donné la définition de B (cfr. (23)), on a alors

où on a posé x = g/c et F(x) = (1-e^-cx)/x.

Il en découle que

dB/dc sera positif si g > 0 et si F'/F est croissante. Montrons qu'il en est bien ainsi :

car sinh y = (e^y-e^-y)/2 > y si y > 0. Notons pour terminer que l'on peut aussi montrer que dB/dc < 0 si g < 0.