Germain, Marc, Dr. 
CORE, Université de Louvain; 34, voie du roman pays, 1348 Louvain-la-Neuve, BELGIQUE; tel.: ++3210474321, 
et Magnus, Alphonse, Dr. 
Institut de Mathématique, Université de Louvain; 2, chemin du cyclotron, 1348 Louvain-la-Neuve, BELGIQUE; tel.: ++3210473157, fax: ++3210472530. 
e-mail: magnus@anma.ucl.ac.be
www: http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/

 De l'impact du progrès technique sur la croissance dans un modèle à générations de capital. 

Résumé.

 Le but de ce papier est d'étudier l'impact du progrès technique sur la croissance au moyen d'un modèle à générations de capital. Une telle structure du capital permet d'intégrer l'idée schumpéterienne de création destructrice, au sens où l'obsolescence du capital existant résulte de l'incorporation du progrès technique à travers l'investissement en nouveaux équipements. Le taux de croissance est endogène à la manière d'Harrod-Domar et dépend d'un taux de progrès technique qui demeure exogène, contrairement à ce qui se produit dans le cadre de la théorie de la croissance endogène. Le modèle se ramène à un système d'équations différentielles aux différences linéaires. En dessous d'un certain seuil de progrès technique, l'économie tend asymptotiquement vers un sentier de croissance à taux constant. Au delà, le modèle se comporte de façon oscillatoire autour d'un état stationnaire. Même si son impact est positif dans un contexte d'équilibre partiel, une hausse du taux de progrès technique a un impact négatif sur la croissance dans un contexte d'équilibre général. 

Summary.

This paper focuses on the impact of technical progress on growth in the framework of a vintage capital model. This structure of capital allows for creative destruction, in the sense that the obsolescence of capital results from embodied technical progress in new equipments. The rate of growth is endogenous in Harrod-Domar's way and depends on a rate of technical progress which remains exogenous, contrary to what happens in endogenous growth theory. The model reduces to a system of linear differential-difference equations. Under a certain level of technical progress, the rate of growth is asymptotically constant. Above it, the model oscillates around a stationary state. Even if its impact is positive in a partial equilibrium context, an increase in the rate of technical progress has a negative impact on growth in a general equilibrium framework. 

 Introduction.

Après être rentrée quelque peu en léthargie au début des années 70, la théorie de la croissance connaît depuis quelques années un regain d'intérêt, qui a conduit à de multiples développements en des sens divers (cfr. Lordon (1991) pour une revue de cette littérature). Parmi ces derniers, la théorie de la croissance endogènecherche à dépasser certaines limites des modèles néoclassiques construits dans la tradition de Solow (1956) et en particulier, le fait que dans ce type de modèles, la croissance est déterminée par des facteurs exogènes (croissance démographique et progrès technique "tombant du ciel"). La théorie de la croissance endogène parvient à dépasser cette limite en endogénéisant le progrès technique lui-même, par l'introduction des rendements croissants. 
D'une façon différente, la présente contribution cherche également à dépasser le déterminisme simple qui lie les taux de croissance nécessaire et naturel1 dans les modèles à la Solow. Pour ce faire, nous postulons d'abord une structure de capital à générations avec facteurs de production complémentaires ( clay-clay). Une telle structure du capital permet en effet d'intégrer l'idée schumpéterienne de création destructrice, au sens où l'obsolescence du capital existant résulte de l'incorporation du progrès technique à travers l'investissement en nouveaux équipements plus performants. Ensuite, nous évacuons tout mécanisme d'ajustement du taux de croissance nécessaire à un taux de croissance naturel exogène via, comme le supposent les modèles néo-classiques, une flexibilité salariale assurant le plein-emploi. Nous obtenons en conséquence un modèle où le taux de croissance est endogène à la manière de Harrod-Domar et dépend de façon non triviale du taux de progrès technique2. 
En outre, afin d'être réalisable à long terme, ce taux de croissance doit être inférieur ou égal au taux de croissance naturel. En ce sens et selon la typologie de Hahn-Matthews (1972), notre modèle peut être qualifié de modèle d'équilibre de sous-emploi, dans la mesure où ``Il repose sur l'hypothèse que le sous-emploi, et même un sous-emploi croissant, n'est pas incompatible avec l'équilibre¼Ces modèles [de sous-emploi] ont été présentés comme des approximations de la réalité par des auteurs qui ne croient pas que le système capitaliste puisse permettre le plein-emploi (ou même un niveau constant de chômage) ou qui pensent que la croissance de la population et/ou le progrès technique réagissent sensiblement aux forces économiques, si bien que l'ajustement se produit du côté du taux naturel'' (Hahn-Matthews, 1972, p. 9 et 10). 
Comme le soulignent d'Autume et Michel (1993), les modèles à générations de capital sont complexes, ce qui explique que malgré leur intérêt, on ne les rencontre pas très souvent dans la littérature. Pour les résoudre, l'usage est d'essayer une solution particulière sous la forme d'une exponentielle à taux constant. Mais on ne peut pas toujours garantir que c'est bien vers celle-ci que le modèle va tendre. Nous nous démarquons de cette approche en recourant à la théorie des équations différentielles aux différences, ce qui nous permet de dériver la solution générale du modèle et de mettre en lumière l'existence de comportements oscillatoires. 
La structure de l'article est la suivante. La première section présente un modèle d'équilibre général dynamique avec générations de capital. Afin de réduire les complications et les problèmes de robustesse liées à la structure hétérogène du capital3, on suppose que les agents ont des attentes myopes, ce qui revient à supposer que leur horizon temporel est limité à une période. Le modèle permet d'abord de vérifier le phénomène de croissance destructrice dans un contexte d'équilibre partiel : une hausse du taux de progrès technique a un impact positif sur l'accumulation du capital au niveau de la firme, et ce bien que l'âge du plus vieil équipement en activité diminue. On se démarque des modèles néo-classiques en supposant que le salaire évolue selon le progrès technique affectant le travail et non qu'il y a plein-emploi4. Le salaire étant déterminé, le taux d'intérêt s'ajuste de façon à assurer l'équilibre sur le marché des biens (ou de façon équivalente l'égalité entre épargne des ménages et besoin de financement des entreprises). Dans la section 2, le comportement du modèle est analysé sous l'hypothèse que le taux de progrès technique est constant. Il en découle que l'âge de la plus vieille génération en activité est aussi constant. Le modèle se réduit alors à un système d'équations différentielles aux différences linéaires dont on peut cerner la dynamique. La solution générale s'écrit comme une somme infinie d'exponentielles d'exposants réels ou complexes. En dessous d'un certain seuil de progrès technique, l'économie tend asymptotiquement vers un sentier de croissance à taux constant. Au delà, le modèle se comporte de façon oscillatoire (amortie ou explosive) autour d'un état stationnaire. L'analyse montre que dans un contexte d'équilibre général, une hausse du taux de progrès technique a un impact négatif sur le taux de croissance de la production et de l'emploi ( et ce, malgré l'effet positif observé plus haut dans un contexte d'équilibre partiel). La hausse du taux de progrès technique se traduit en effet par un excédent de demande sur le marché des biens, qui ne peut être corrigé que par une croissance désirée moins forte impliquant une baisse de l'accumulation. On termine par une rapide étude de la sensibilité du taux de croissance à l'égard des autres paramètres. Il en ressort notamment qu'une augmentation du taux de marge induit, ceteris paribus, une croissance plus élevée suite à l'amélioration de la profitabilité des entreprises. 

 1. Le modèle.

L'économie est fermée et comprend des ménages et des entreprises. Les ménages perçoivent des revenus salariaux et financiers, qui s'ajoutent à leur patrimoine. Une partie de celui-ci est consacrée à l'achat de biens de consommation, le reste étant épargné. Les entreprises produisent des biens d'investissement et de consommation, au moyen de travail et de capital. Leurs ventes permettent de payer salaires et charges financières et de dégager un profit qui sert à financer l'investissement. Si les entreprises dégagent un besoin net de financement, elles recourent à l'emprunt auprès des ménages. 

 1.1. Le comportement des entreprises.

Le stock de capital est formé des générations d'équipement correspondant aux investissements successifs réalisés dans le passé. Au niveau de chaque génération, les facteurs de production (équipement et travail) sont complémentaires  ex ante et  ex post, c'est-à-dire avant et après son installation. Le progrès technique est incorporé dans les machines et neutre au sens de Harrod. Le stock de capital est donc formé d'un continuum de machines caractérisées par une productivité du travail décroissante avec l'âge. Dans un contexte de concurrence monopolistique, la firme jchoisit pour la période en cours, le montant de son investissement ij et l'âge de la plus vieille génération en activité Tj (aussi appelé marge extensive) de façon à maximiser son profit (en termes réels)51 : 

	
max
ij,t ³ 0 , Tj,t ³ Dt 
	pj,t = pj,t yj,t - wt lj,t -rt Wj,tf	
(1)

 	
où           yj,t = 	ij,t

b
	Dt + 	ó
õ 	t-Dt

t-Tj,t 
		ij,n

b
	 dn	
(2)

 	
lj,t = qt	ij,t

b
	Dt + 	ó
õ 	t-Dt

t-Tj,t 
	qn	ij,n

b
	 dn	
(3)

 	
pj,t = 	é
ê
ë 		dj,t

yj,t
		ù
ú
û 	1/e	
(4)

 	
Wj,tf = Wj,t-Dtf + [ ij,t-pj,t]Dt.	
(5)

Le premier terme de l'objectif est le chiffre d'affaire pj yj, où pj est le prix relatif et yj la production. Le deuxième terme représente la masse salariale w lj, où w est le salaire et lj l'emploi. Le dernier terme représente les charges financières, où r est le taux d'intérêt réel et Wj,tf l'endettement de la firme j au temps t. Dt est la durée de la période: on considère la variation des grandeurs économiques de l'instant t-Dt à l'instant t. Les relations (2) et (3) définissent la production et l'emploi. Leur premier terme se rapporte au nouvel équipement tandis que le second correspond au capital existant. On fait l'hypothèse que la firme ne rencontre aucune contrainte de travail ou de capital. q et b sont les coefficients techniques du travail et du capital communs à toutes les entreprises. b est constant tandis que q est une fonction continue et strictement décroissante du temps. (4) est la fonction de demande adressée à l'entreprise j, où e (supposé constant et ³ 1) est l'élasticité et dj la demande moyenne adressée à la firme j. (5) montre que l'endettement évolue en fonction du besoin de financement de la firme, égal par définition à la différence entre investissement et profit. 
Les variables déterminées par la firme j sont yj, lj, pj, ij et Tj. Les variables exogènes au niveau de la firme sont y, w, et r. En substituant (5) dans (1), l'objectif peut se réécrire 

	
max
ij,t ³ 0 , Tj,t ³ 0 
	 pj,t yj,t - wt lj,t -rt ij,tDt,	
(6)

forme qui permet d'aborder le problème de maximisation de l'objectif66. 
Les conditions du premier ordre par rapport à Tj,t et ij,ts'écrivent respectivement778: 

	é
ê
ë 	pj,t + yj,t	dpj,t

dyj,t
		ù
ú
û 		¶yj,t

¶Tj,t
	- wt	¶lj,t

¶Tj,t
	= 0 Þ 	é
ê
ë 	1-	1

e
		ù
ú
û 	pj,t = wt qt-Tj,t,	
(7)

 	
	é
ê
ë 	pj,t + yj,t	dpj,t

dyj,t
		ù
ú
û 		¶yj,t

¶ij,t
	- wt	¶lj,t

¶ij,t
	- rtDt = 0 Þ wt[qt-Tj,t-qt] = b rt,	
(8)

en vertu de (7). L'équation (7) exprime la condition habituelle entre prix et coût marginal en concurrence monopolistique. L'équation (8) montre que l'entreprise va investir jusqu'au point où l'économie de coût de travail obtenu par le renouvellement du capital est exactement compensée par le coût d'usage d'une unité de nouvel équipement supplémentaire. De (8), il ressort que plus la nouvelle génération est performante (plus qt est faible), plus la marge extensive Tj,t est faible. Ceteris paribus, dans un contexte d'équilibre partiel, une accélération du progrès technique accroît l'investissement et se traduit par une plus grande obsolescence économique88742. C'est l'idée schumpéterienne de création destructrice. Par un raisonnement analogue, on montre aisément que si b ou rt augmente, alors l'investissement décroît. Malgré sa simplicité, l'objectif (1) permet donc d'obtenir des conditions intuitives et semblables à certains résultats de la littérature à générations de capital (Malcomson, 1975). Par ailleurs, (2), (3), (4) et (6) montrent que l'objectif peut se réécrire comme constante ×yj,t1-1/e + terme linéaire en ij,t et Tj,t, où yj,test lui-même linéaire en ij,t et Tj,t. Le fait que e > 1 est par conséquent suffisant pour que l'objectif soit concave et admette bien un seul maximum. 

 1.2. Le comportement des ménages.

Le ménage j vend sa force de travail à la firme en échange d'un salaire. Son patrimoine est constitué de créances accumulées sur les entreprises, qui lui rapportent des revenus financiers fonction du taux d'intérêt de la période précédente. Ce patrimoine évolue selon l'équation 

Wj,tc - Wcj,t-Dt = [rt-DtWcj,t-Dt + wt lj,t - cj,t] Dt	
(9)

où Wcj,t est le patrimoine à la fin de la période, cj,t la consommation, rt-DtWj,t-Dtc les revenus financiers et wt lj,t ceux du travail. Les termes entre crochets sont des flux par unité de temps, d'où le fait qu'ils sont multipliés par la durée de la période Dt. Le ménage est supposé consacrer une certaine fraction de sa richesse courante à la consommation : 

cj,t = aWj,t.	
(10)

où a est la propension à consommer (supposé constante et comprise entre 0 et 1)910. (9) et (10) forment un système de deux équations à deux inconnues cj et Wj, où les exogènes sont le patrimoine hérité du passé et les composantes du revenu. 

 1.3. Le bouclage du modèle. 

Les comportements de l'entreprise et du ménage décrits plus haut sont supposés être des comportements ``moyens'', représentatifs de l'ensemble de l'économie. Par la suite, nous omettrons l'indice ``j'' des différentes variables et réinterprèterons ces dernières comme des variables macroéconomiques. Dans ce contexte, les créances des ménages se confondent avec les dettes des entreprises : 

Wt = Wtc = Wtf	
(11)

Le taux d'intérêt s'ajuste de façon à assurer l'égalité entre épargne des ménages et besoin de financement des entreprises, ou de façon équivalente l'équilibre sur le marché du bien final: 

yt = ct + it.	
(12)

Pour achever l'identification du modèle, nous supposerons que le salaire augmente selon le progrès technique affectant le travail: 

		
	.
w
 
	t	

wt
= - 	.
q
 
	t	

qt
,(13)

où pour mémoire, qt est le coefficient technique du travail. Cette équation appelle quelques commentaires. Tout d'abord, elle nous permet de nous démarquer des modèles néo-classiques, dans la mesure où ceux-ci postulent généralement le plein-emploi, auquel cas l'emploi s'ajuste à une offre de travail exogène10. 
De ce fait, dans ces modèles, le salaire n'obéit à l'équation (13) qu' asymptotiquement, alors qu'ici, (13) s'applique à tout instant. Cependant, même si le salaire évolue en termes  relatifs à long terme de la même façon dans les 2 contextes, il n'atteindra pas le même niveau en termes  absolus. Cette différence s'explique évidemment par l'absence de flexibilité salariale sur le marché du travail qui caractérise le présent modèle. Il existe une vaste littérature relative à la rigidité des salaires. Une manière de fonder cette rigidité repose sur l'hypothèse que seuls les travailleurs ayant un emploi (les ``insiders''11) pèsent dans les négociations salariales. Dans ce cas, le fait que les ``insiders'' exigent que le salaire suive strictement le taux de progrès technique se justifie d'autant plus facilement que cette exigence ne se traduit pas pour certains d'entre eux par une exclusion du marché du travail. Or, comme on le verra à la section suivante, la plupart des sentiers de croissance équilibrée que notre économie est susceptible de suivre se caractérisent par une création nette d'emplois à chaque période (même si en même temps, le taux de chômage croî t lui-aussi). 
Le modèle peut être simplifié en étant réécrit en temps continu, et sa dimension peut être réduite. En faisant tendre Dt vers 0, (2) et (3) se réécrivent 

yt = 	ó
õ 	t

t-Tt 
		in

b
	 dn,	
(14)

 	
lt = 	ó
õ 	t

t-Tt 
	qn	in

b
	 dn.	
(15)

(9), (10) et (11) permettent après passage à la limite d'écrire: 

	.
W
 
	t = [rt - a]Wt +wt lt.	
(16)

(10) et (12) impliquent que 

yt = aWt + it.	
(17)

Enfin, grâce au fait que le prix relatif pj,t = pt = 1, (7) et (8) peuvent se réécrire 

mwt qt-Tt = 1,	
(18)

 	
m[wt qt + brt] = 1,	
(19)

où m = e/(e-1)  >  1. Le modèle est maintenant décrit par les équations (13) à (19), soit 7 équations à 7 inconnues y, l, i, T, w, r et W. Il comporte une variable exogène qet 3 paramètres m, b et a. Au niveau des conditions initiales, on peut par exemple se donner insur ]¬,0] et w01219181415171318141617. 

 2. Résolution sous l'hypothèse d'un taux de progrès technique constant.

De l'équation (13), il apparaît que le coût du travail par unité produite sur la dernière génération installée wt qt est constant. Si on postule un taux de progrès technique constant, c.-à-d. si 

qt = q0 exp(-ct)	
(20)

où c est le taux de progrès technique ( ³ 0), alors il découle de (13), (18) et (19) que (i)wt s'accroît au taux constant c tout au long de la trajectoire, (ii) rt = r est une constante (que l'on peut déterminer grâce aux conditions initiales) et (iii) T est constant et égal à 

T = 	1

c
	ln	1

1-mb r
	.	
(21)

Cette relation introduit la contrainte 1  >  mb r. La durée de vie d'une génération donnée est une fonction inverse du taux de progrès technique c et une fonction positive du taux de marge m, du coefficient de capital b et du taux d' intérêt r. 

 2.1. Analyse de la dynamique. 

Grâce à cette propriété de durée de vie constante, le système (13) à (19) peut se ramener à une série d'équations différentielles aux différences linéaires. On peut cerner la dynamique des solutions de ces équations en adoptant la représentation en somme (série) de fonctions exponentielles du temps (cfr. p. ex. Bellman-Cooke, 1963): 

it = 	
å
k 
	Ck egk t,    yt = 	
å
k 
	Dk egk t,    etc.	
(22)

Les coefficients Ck, Dk,¼ dépendent du comportement de it, yt,¼ sur une période, par exemple -T £ t £ 0. Le comportement lors des périodes ultérieures est alors impérativement dicté par les exponentielles egk tfigurant dans (22). Les exposants gk, qui décrivent donc véritablement la dynamique que nous cherchons à préciser, sont les racines de l'équation caractéristique du système, et ne dépendent que des paramètres figurant dans les équations (13) à (20), comme on va le voir: 

-  Portons d'abord la forme (22) de it dans (14), on obtient 
yt = åk Ck [( 1 -e-gk T )/(b gk)]  egk t , 
qui confirme d'ailleurs, avec Dk = Ck [( 1 -e-gk T )/(b gk)] , la représentation de yt postulée dans (22) (n'oublions pas que Tt = T, la constante déterminée par (21)). 

-  Ensuite, utilisant (20), (15) donne 

lt = åk Ck q0 [( 1 -e-(gk-c) T )/(b (gk-c))]  e(gk-c) t . 

-  L'équation (17) livre maintenant 

Wt = [(yt -it)/(a)] = åk Ck a-1 [[( 1 -e-gk T )/(b gk)] -1]   egk t . 

-  Enfin, on a vu comment, de (13), (18), (19) et (20), on pouvait établir wt = [(ec(t-T))/(mq0)] , avec T donné par (21). Nous avons maintenant tous les éléments pour apprécier chaque terme de (16) et en tirer l'équation pour les gk: 

 	
	
å
k 
	Ck gk a-1 	é
ê
ë 		1 -e-gk T 

b gk
	-1	ù
ú
û 	  egk t 	

 	
= 	
å
k 
	Ck [r-a] a-1 	é
ê
ë 		1 -e-gk T 

b gk
	-1	ù
ú
û 	  egk t +	1

mq0
		
å
k 
	Ck q0 	e-cT -e-gk T 

b (gk-c)
	  egk t .	

On voit que chaque gk doit être solution d'une même équation, l' équation caractéristique

g a-1 	é
ê
ë 		1 -e-g T 

b g
	-1	ù
ú
û 	= [r-a] a-1 	é
ê
ë 		1 -e-gk T 

b gk
	-1	ù
ú
û 	+	1

mq0
	q0 	e-cT -e-gk T 

b (gk-c)
	,	

que l'on peut encore écrire 

1 = 	b g

1-e-g T
	+ 	a

[g+a-r]m
		e-cT-e-g T

g-c
		g

1-e-g T
		
(23)

 	
= A + 	a

[g+a-r]m
	B	

A = [(bg)/(1-e-g T)] = [(i)/(y)]  correspond au taux d'accumulation brut.

B = [(e-cT-e-g T)/(g-c)][(g)/(1-e-g T)] = [(wl)/(y)]  correspond à la part des salaires dans la valeur ajoutée. Comme l'équation caractéristique (23) admet une infinité de racines qui peuvent être réelles, imaginaires purs ou complexes, la solution générale du modèle s'écrit comme la somme d'une infinité d'exponentielles, dont les exposants g1, g2, g3,¼ sont les racines de (23). La figure 1 ci-dessous reprend les plus grandes parties réelles de ces exposants en fonction de c. Pour c £ cm, g1 et g2 sont réels, tous les autres exposants étant complexes de partie réelle négative13. Sauf conditions initiales très particulières, le taux de croissance n'est donc pas constant sur toute la trajectoire. Cependant, le modèle tend asymptotiquement vers l'exponentielle dont la partie réelle de l'exposant est dominante, c'est-à-dire vers exp(g1 t). Pour 0 £ c £ cm tel que g1 > 0, l'économie tend donc vers un sentier de croissance à taux constant. Le modèle change radicalement de comportement pour les taux de progrès technique supérieurs à cm. En effet, pour c ³ cm, g1 et g2 deviennent complexes conjugués. Comme leurs parties réelles sont négatives, le modèle tend de façon oscillatoire vers un état stationnaire nul. 

Figure 1 

 Evolution des parties réelles des principales racines de l'équation caractéristique en fonction du taux de progrès technique. Exemple avec b = 5, m = 1.25, r = 0.05, a = 0.5. 

Avant d'approfondir la question de l'impact négatif d'une hausse du taux de progrès technique sur le taux de croissance, il convient d'évoquer brièvement le rôle de l'offre de travail. Le taux de croissance de l'emploi est donné (asymptotiquement) par l = g1(c)-c. Un sentier de croissance à taux constant ne sera durable que si l £ n, où n est le taux de croissance de la population active. En supposant que celui-ci est une constante exogène, la figure 1 montre que les sentiers de croissance à taux constant peuvent être classés du point de vue emploi en 3 catégories. La partie de g1(c) au dessus de n+c caractérise des sentiers non durables dans le mesure où ils se heurtent tôt au tard à une contrainte d'offre de travail. La partie de g1(c) comprise entre c et n+c rassemble les sentiers caractérisés par un chômage et un volume d' emploi croissants. Pour g1(c) < c enfin, le chômage est croissant, mais en plus, il y a destruction de postes de travail. Ces déséquilibres persistants sur le marché du travail sont bien entendu susceptibles d'engendrer des mécanismes correcteurs permettant de reconcilier les taux de croissance garanti g1 et naturel n+c. Une hypothèse particulièrement intéressante parce qu'elle préserve les résultats présentés dans les paragraphes précédents, est de supposer que l'ajustement se réalise au niveau du taux de croissance démographique n. Cette hypothèse appartient à une tradition déjà ancienne (cfr. Hahn-Matthews (1972) pour une revue de cette littérature). Elle dépasse cependant le cadre de ce papier, aussi ne l'approfondirons-nous pas ici. 

Figure 2 

 Evolution du rapport entre offre et demande en fonction de g(cf. équation 23()). Exemple avec les paramètres de la figure 1 et c = 0.015. 

  ----- 

 2.2. Impact du progrès technique sur la croissance. 

Comme le montre la figure 1, g1'(c)  <  0; il est par conséquent clair que dans le cadre du présent modèle, l'impact à long terme d'une hausse permanente du taux de progrès technique a un impact négatif sur la croissance14. Il convient de s'interroger sur le pourquoi de g1'(c) < 0. Les deux termes de (23), ainsi que leur somme, sont représentés à la figure 2 ci-dessus (on a fait l'hypothèse que r- a <  0). g1 et g2 sont les deux taux de croissance d'équilibre. g1 correspond à une trajectoire où A prédomine par rapport à aB/[g+a-r]m, autrement dit où l'investissement domine la consommation. Le contraire se produit pour g2. Quand le taux de progrès technique augmente (Dc > 0), A(g) se déplace uniformément vers le haut. En effet,  Dc > 0 ÞDT  < 0 via (21). A g donné, la capacité installée baisse et donc le taux d'accumulation brut s'accroit. L'effet sur B est plus ambigu. D'une part, le salaire augmente via (18), mais d'autre part, la productivité moyenne du travail s'accroit aussi (D(l/y) < 0). Cependant, on peut montrer rigoureusement que pour g1, l'effet salaire l'emporte et donc que  Dc > 0 ÞDB(g1)  > 0 (cfr. annexe). Partant de g1, une hausse du taux de progrès technique se traduit par une augmentation de la demande de biens d'investissement et de biens de consommation qui rompt l'équilibre entre offre et demande (géométriquement, les courbes représentées sur la figure 2 se déplacent vers le haut). A cause de ses effets multiplicateurs sur les composantes de la demande, un accroissement de l'offre ne permet pas de restaurer l'équilibre. C'est au contraire une baisse de l'offre, traduisant une diminution du taux de croissance désiré, qui permettra à travers ses effets plus que proportionnels sur la demande, un retour à l'équilibre. Cependant, si le choc de progrès technique est tel que c > cm, aucune baisse de l'offre n'est susceptible d'entraî ner un retour à l'équilibre (géométriquement, la courbe supérieure de la figure 2, donnée par la troisième équation de (23), passe entièrement au dessus de l'horizontale d'ordonnée 1 et il n'y a plus d'intersection). 

 2.3. Sensibilité en fonction des autres paramètres. 

Il peut être intéressant d'étudier la sensibilité de la relation liant les parties réelle des racines g1 et g2 (Re gi) à c en fonction des autres paramètres (cfr. figure 3). On constate d'abord que l'on retrouve chaque fois des figures semblables à la figure 1. Dans le cadre du présent modèle, les phénomènes observés précédemment (g'1(c) < 0 et bifurcation en cm) paraissent donc bien robustes. (a) Si on augmente m, on observe une dilatation de la boucle formée par g1(c) et g2(c) pour c <  cm. Elle se traduit non seulement par un taux de croissance asymptotique plus élevé (g1(c) se déplace vers le haut), mais le seuil cl en dessous duquel g1(c) est positif augmente. Ceci s'explique par le fait qu'une hausse de m améliore la profitabilité de l'entreprise, ce qui, ceteris paribus, réduit le prix relatif de l'investissement et donc incite à investir d'avantage. (b) Si la propension à consommer a augmente, alors on observe que la boucle se déplace vers le bas, tout en se dilatant vers la droite. Moins de ressources sont consacrées à l'investissement, d'où une baisse du taux de croissance aymptotique, mais l'intervalle de variation du progrès technique autorisant une croissance à taux constant [0,cl] s'élargit. (c) Si le coefficient de capital b décroit, alors la boucle remonte tout en se contractant vers la gauche. Moins de ressources sont à consacrer par unité d'investissement, d'où une hausse du taux de croissance asymptotique15. Si b diminue suffisamment, un phénomène nouveau apparaît : la boucle se referme pour une valeur positive de g. Il en découle que sur un certain intervalle de progrès technique, g1et g2 sont complexes conjugués de partie réelle positive. Le modèle tend à osciller de façon explosive. (d) Enfin, une variation des conditions initiales (par exemple  w0) impliquant une augmentation de 
rse traduit par une dilatation de la boucle vers le haut et vers la droite. Bien que le coût de l'investissement augmente, la hausse de la consommation induite par celle des revenus financiers est suffisante pour entraîner une hausse du taux de croissance asymptotique et un 

Figure 3 

 Autres cas: (a): m = 1.5; (b): a = 0.75; (c): b = 3; (d): r = 0.075. 

élargissement de l'intervalle de variation du progrès technique autorisant une croissance à taux constant [0,cl]. 

 Conclusion.

Les résultats présentés ci-dessus se veulent exploratoires. Le modèle pourrait en effet faire l'objet de plusieurs développements, que ce soit au niveau de l'horizon temporel des entreprises ou de la détermination du salaire. Il importe cependant de souligner que ces développements devraient se traduire par une complication sensible de l'analyse mathématique du modèle, dans la mesure où il ne serait plus linéaire (le délai apparaissant dans les équations différentielles aux différences ne serait plus constant). Une autre question à approfondir concerne le rôle de l'offre de travail, ou plus généralement l'adéquation des taux de croissance naturel et garanti. Sur ce point, il pourrait être intéressant de réinvestiguer la tradition des modèles avec changement induit du taux de progrès technique ou du taux de croissance démographique (Hahn-Matthews, 1972). 

 Bibliographie.

 Bellman R. et Cooke K. (1963) : "Differential-Difference Equations", Academic Press, New York/Londres. 
Boucekkine R., Licandro O. et Paul C. (1997) : ``Differential-difference equations in economics: on the numerical solution of vintage capital growth models'', Journal of Economic Dynamics and Control, 21. 
Carruth A., Oswald A. (1987): ``On union preferences and labour market models: insiders and outsiders'', Economic Journal, 97 (386). 
d'Autume A. et Michel P. (1993) : Ëndogenous growth in Arrow's Learning by Doing model", European Economic Review, 37. 
Hahn F. et Matthews R. (1972) : Théorie de la croissance économique, Economica. 
Lordon F. (1991) : "Théorie de la croissance : quelques développements récents", Revue de l'OFCE, n  36 et 37. 
Malcomson J. (1975) : "Replacement and the Rental Value of Capital Equipment Subject to Obsolescence", Journal of Economic Theory, 10. 
Robinson J. (1962) : Essays in the Theory of Economic Growth, MacMillan. 
Solow R. (1956) : Ä Contribution to the Theory of Economic Growth", Quartely Journal of Economics, vol.70, février. 
Solow R., et al. (1966) : "Neoclassical Growth with Fixed Factor Proportions", Review of Economic Studies, avril. 

 Annexe.

 Preuve de ¶B/¶c > 0, où B est défini par (23).

En vertu de (21), posons 

c = cT = -ln(1-mb r) 	

Etant donné la définition de B (cfr. (23)), on a alors 

B = e-c 	1-e-c(x-1)

x-1
		x

1-e-cx
	= e-c 	F(x-1)

F(x)

où on a posé x = g/c et F(x) = (1-e-cx)/x. 
Il en découle que 

	dB

dc
	= -	g

c2
		dB

dx
	= 	gB

c2
		é
ê
ë 		F'(x)

F(x)
	-	F'(x-1)

F(x-1)
		ù
ú
û 		

dB/dc sera positif si g > 0 et si F'/F est croissante. Montrons qu'il en est bien ainsi : 

	F'

F
	= 	c e-cx

1-e-cx
	-	1

x

 	
Þ   	æ
ç
è 		F'

F
		ö
÷
ø 	' = 	1

x2
	-	c2 e-cx

(1-e-cx)2
	= c2	é
ê
ë 		1

c2 x2
	-	1

4sinh2[(c x)/2]
		ù
ú
û 	 >  0 	

car sinh y = (ey-e-y)/2  >  y si y > 0. Notons pour terminer que l'on peut aussi montrer que dB/dc <  0 si g < 0. 

Footnotes:
1 Le taux de croissance naturel se définit comme la somme du taux de croissance de la population active et du taux de progrès technique. Le taux de croissance nécessaire se définit comme le rapport entre l'investissement net désiré et le stock de capital. 
2 Ce dernier demeurant exogène, contrairement à ce qui se produit dans le cadre de la théorie de la croissance endogène. 
3 Ainsi, l'introduction d'une telle structure dans un problème d'optimisation intertemporelle se traduit (sauf cas particuliers) par une modélisation mathématique difficile à exploiter, même numériquement (cfr. Boucekkine et al., 1997). 
4 Ou taux de chômage constant. L'article pionnier en matière de technologie clay-clay de Solow et al. (1966) n'envisage pour l'essentiel que des sentiers où le taux de croissance est égal à la somme des taux de progrès technique et de croissance de la population, tous deux exogènes. 
5 L'objectif () peut aussi être fondé sur le postulat que la firme maximise le flux de ses profits futurs actualisés dans un contexte d'anticipations myopes. 
6 r doit être compris comme le taux d'intérêt par unité de temps, d'où le fait qu'il apparaît multiplié par la durée de la période Dt dans (). Plus tard (section 1.4), on passera à une représentation en temps continu en faisant tendre Dt vers zéro. Il peut alors sembler inutile d'étudier des variations d'objectif par rapport à des variables multipliées par Dt. Cependant, pour toute valeur non nulle de Dt, la maximisation de l'objectif continue à pouvoir se réaliser, sur des variations d'amplitude elles-mêmes de l'ordre de grandeur de Dt. Techniquement, on verra apparaî tre à la section 1.3 des dérivées temporelles à la limite Dt® 0. On effectue ainsi correctement la transition de la représentation en temps discret vers la représentation en temps continu. 
7  () et () sont des conditions pour un maximum intérieur. Bien que leur existence soit possible, nous ne nous étendrons pas sur les maxima contraints, dans la mesure où, par la suite, nous nous concentrerons sur l'analyse de trajectoires du modèle où aucune des deux contraintes n'est liante. 
8 En effet, si qt baisse, qt-Tj,tbaisse par (). Alors pj,t diminue aussi par (), ce qui implique que yj,t augmente via (). A cause de (), le fait que yj,t augmente en même temps que Tj,t baisse n'est possible que si ij,t s'accroît. 
9 Nous avons essayé d'autres spécifications de la consommation semblables à () (fraction du revenu courant, fraction des revenus futurs actualisés). Elles conduisent cependant aux mêmes conclusions que celles présentées ci-dessous. 
10 Dans ce contexte, le taux de croissance de l'économie s'identifie à la somme de celui de la population et du taux de progrès technique, et l'impact d'une hausse de ce dernier sur la croissance est trivial. 
11 Pour reprendre la terminologie du modèle ``insider-outsider'' de la théorie de la négociation salariale qui repose sur cette hypothèse (cfr. e.a. Carruth A. et Oswald A. (1987)). 
12 En effet, si on connaît in jusque n = t et wt, on trouve rt par (), Tt par (), yt par (), lt par () et Wt par (); on a [(w)]t par (), [(T)]t par la dérivée de (), [(y)]t par la dérivée de (), et enfin la dérivée de it par () et la dérivée de (). 
13 La présence des deux sentiers particuliers à taux de croissance constants g1 et g2 n'est pas sans évoquer la coexistence, mentionnée depuis longtemps par Joan Robinson (1962), de deux équilibres, l'un caractérisé par un fort taux d'accumulation, l'autre par un taux faible. 
14 Ceci n'exclut pas que, transitoirement, une hausse du progrès technique puisse avoir un effet positif, car comme le montre la figure, il existe une portion de l'intervalle [0,cm] sur lequel g2'(c)  >  0. 
15 Sur ce point comme sur le précédent, le modèle se comporte à la manière d'Harrod-Domar. 

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