% math4comp.tex
%  This is du b\^ete LaTeX , dop\'e aux styles AmSLaTeX
%
% A.Magnus, fevrier-mars 1995,  revu janvier 1996
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%%   Upper-case     A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
%%   Lower-case     a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z
%%   Digits         0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
%%   Exclamation    !     Double quote   "     Hash (number)  #
%%   Dollar         $     Percent        %     Ampersand      &
%%   Acute accent   '     Left paren     (     Right paren    )
%%   Asterisk       *     Plus           +     Comma          ,
%%   Minus          -     Point          .     Solidus,slash  /
%%   Colon          :     Semicolon      ;     Less than      <
%%   Equals         =     Greater than   >     Question mark  ?
%%   Commercial at  @     Left bracket   [     Backslash      \
%%   Right bracket  ]   Circumflex,caret ^     Underscore     _
%%   Grave accent   `     Left brace     {     Vertical bar   |
%%   Right brace    }     Tilde          ~
%%
\documentstyle[amssymb,amsmath,12pt]{article}

\newcommand{\resd}{\text{r\'es}}

\catcode`\~=10
\textwidth 32.25pc~
\textheight 47pc~
\catcode`\~=13

\begin{document}
\begin{center}
{\Large
\textsf{FSA1304 \ \ MATH4 }\\\  \textbf{Fonctions d'une variable
complexe.} \\   Exercices.
}
\end{center}

\vspace*{15pt}

Alphonse Magnus,  b\^at.\ de Hemptinne, b124,129, tel.
 (010)(47) 3157 , \\  \texttt{magnus@anma.ucl.ac.be,\quad
   http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus}

\bigskip

Ces exercices sont d'abord destin\'es  \`a vous (re)familiariser
avec les notions de nombres complexes et de fonctions d'une
variable complexe. Ensuite, on passe au contenu du cours proprement
dit, avec pas mal d'{\it ex-cursus}. Evidemment, vous pr\'ef\'ereriez
sans doute obtenir directement des \'echantillons repr\'esentatifs
de questions d'examen, pr\'ecisant le niveau de virtuosit\'e
requis, et signalant les pi\`eges affreux \`a \'eviter, mais les
jeux video sont d\'eja un peu moins \`a la mode ($\gamma$ n'est pas
ferm\'e, bang, une vie en moins). Il n'est pas question de briller
dans un parcours du combattant, mais de retenir quelques principes et
de les appliquer correctement \`a la solution de probl\`emes
raisonnables.

%D'ailleurs, vous aurez devin\'e que l'examen consistera probablement
%(surprise, surprise) en un petit nombre de discussions th\'eoriques
%sur des sujets qui seront pr\'ecis\'es par les enseignants, et/ou en
%une ou deux applications: int\'egrale(s) d\'efinie(s) particuli\`ere(s)
%ou/et d\'eveloppement(s) \`a \'etablir en expliquant les \'etapes de la
%construction.

{\footnotesize En petits caract\`eres: exercices facultatifs, de
 caract\`ere anecdotique et ornemental.}


\section{Op\'erations}

\begin{enumerate}
\item module et argument d'un nombre complexe:

 \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(15,5)(2,0)
   \put(3,2.5){\vector(1,0){9}} \put(7.5,0){\vector(0,1){5}}
   \put(12,2.6){$x$}  \put(7.6,4.8){$y$}
   \put(11.5,0.5){\dashbox{0.2}(0,4)}
   \put(3.5,0.5){\dashbox{0.2}(0,4)}
   \put(11.7,4.5){$z$}   \put(11.7,0.5){$\overline z$}
   \put(2.75,4.5){$-\overline z$}   \put(2.75,0.5){$- z$}
   \put(8.1,2.6){Arg $\,z$}
  \thicklines
   \put(3.5,0.5){\line(2,1){8}} \put(3.5,4.5){\line(2,-1){8}}
 \end{picture}\end{center}

 $|z|=|\overline z|= |-z|= |-\overline z|$,

 Arg$\,\overline z = -\,$Arg$\,z$;\\
 Arg$(-z) = $ Arg$\,z -\pi$ si $0<$ Arg$\,z \leqslant \pi$,\quad
 Arg$(-z) = $ Arg$\,z +\pi$ si $-\pi<$ Arg$\,z \leqslant 0$.\\
Arg est une fonction discontinue en tout point r\'eel n\'egatif (non
nul: la fonction Arg n'est pas d\'efinie en 0): en effet, si $z<0$,
on examine Arg$(z\pm h)$, o\`u $h$ est un petit nombre {\em complexe}.\\
Comment construire une d\'etermination de l'argument qui soit
 discontinue sur
une direction donn\'ee? Voir plus bas.
\item Si $x$ et $y$ sont les parties r\'eelle et imaginaire de $z$,
  que sont les
  parties r\'eelle et imaginaire de $z^2$, de $1/z$?
\item Rappel:  $|z_1z_2|= |z_1|\, |z_2|$,
                  $|z_1/z_2|= |z_1|/|z_2|$ (si $z_2\neq 0$).
\item Montrez que $\overline z = 1/z$ si $|z|=1$.
\item Montrez que $\left|\dfrac{z-1}{z+1}\right| = 1$ si $z$ est
 imaginaire pur.
\item Montrez que $\left|\dfrac{z-a}{1-\overline a z}\right| = 1$ si
 $|z|=1$ (si $a\in {\mathbb{C}}, a\neq z$).
\item (Sp\'ecialement recommand\'e par M.~Bo\"el): quel est le lieu
des points repr\'esent\'es par $|z-1|+|z+1|= 2a$, o\`u $a>1$ est
fix\'e?
\item Montrez que l'argument d'un produit est la somme des arguments
 des facteurs (\`a $2\pi$ pr\`es, pour retomber dans $(-\pi,+\pi]$).
 L'argument a donc des propri\'et\'es d'un {\em logarithme}, on y
 reviendra.
\item Soit la fonction cis: cis$(x)= \cos x+i\sin x$.\\
Montrez que
 \[ {\rm cis\,}(\theta_2)-
    {\rm cis\,}(\theta_1) = 2i\sin\frac{\theta_2-\theta_1}{2}
  {\rm cis\,}\left(
          \frac{\theta_1+\theta_2}{2}
              \right) \]
en utilisant la
propri\'et\'e
 cis$\,(\theta_1+\theta_2)={\rm cis\,}(\theta_1) {\rm cis\,}(\theta_2)$:
\[ {\rm cis\,}(\theta_2)-{\rm cis\,}(\theta_1)=
  {\rm cis\,}\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)
  {\rm cis\,}\left(\frac{\theta_2-\theta_1}{2}\right)  -
  {\rm cis\,}\left(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}\right)
  {\rm cis\,}\left(\frac{\theta_1-\theta_2}{2}\right) . \]
Interpr\'etation graphique:
\begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,5)
   \put(3,0){\vector(1,0){6}}  \put(3,0){\vector(0,1){5.5}}
   \put(8,-0.1){\line(0,1){0.2}}  \put(8,0.1){1}
   \put(2.9,5){\line(1,0){0.2}}  \put(2.5,4.6){$i$}
   \put(3,0){\line(5,1){5}} \put(8,1){\circle*{0.1}} \put(8.2,0.9){cis\,$\theta_1$}
   \put(3,0){\line(1,1){3.5}} \put(6.5,3.5){\circle*{0.1}} \put(6.55,3.4){cis\,$\theta_2$}
   \put(9,1.5){\vector(-2,3){1.5}}
   \put(8.5,2.5){cis\,$\theta_2-$ cis\,$\theta_1$}
  \thicklines\put(8,1){\line(-3,5){1.5}}
   \put(5,0.1){$\theta_1$}  \put(3.5,0.25){$\theta_2$}
\end{picture}\end{center}
\item Montrez que $\dfrac{d\,{\rm cis\,}x}{dx}= i{\rm\;cis\,}x$.
 Tout se passe donc comme si on avait cis$\,x= e^{ix}$\dots On
 reviendra l\`a-dessus.
\item Montrez que, quel que soit l'angle $\theta$,
 \[ \dfrac{x\cos\theta + y\sin\theta}{|x+iy|} =
          \cos( {\rm Arg}(x+iy) -\theta ) \]
est donc bien entre $-1$ et $+1$ (cours, formule (3.11), p.19).
\item Constatez que, $\theta$ \'etant un angle donn\'e, la fonction
 \[ {\rm arg}_\theta(z) = \theta+ {\rm Arg\,}\left(
     \dfrac{z}{{\rm cis\,}\theta} \right) \]
donne une d\'etermination de l'argument de $z$, qui co\"\i{}ncide
avec Arg\,$z$ \`a un multiple entier de $2\pi$ pr\`es, et qui est
discontinue dans la direction oppos\'ee \`a $\theta$, voir figure:
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(15,2)
  \put(5,1){\line(1,0){6}}   \put(9,0){\line(0,1){2}}
  \put(9,1){\line(2,1){0.75}}  \put(9.75,1.1){$\theta$}
  \thicklines \put(9,1){\line(-2,-1){2}}
  \put(2,0.3){ligne de discontinuit\'e\quad $\longrightarrow$}
\end{picture}
\item Quelle figure dans le plan forment les points repr\'esentant
  les racines $n^{\text{\`emes}}$ d'un nombre complexe non nul?
\item {\footnotesize
 {\bf{Th\'eor\`eme de Cotes:}}
  \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(8,2)
   \put(1.2,1){\line(1,0){6.8}}
   \put(0.9,1.05){O} \put(8.02,0.9){P} \put(2.01,1.04){$r$}
   \put(4.5,-0.2){\vector(-1,0){3.3}} \put(4.5,-0.2){\vector(1,0){3.5}}
   \put(4.5,-0.15){$R$}
   \thicklines
   \put(2,1){\line(-3,4){0.6}} \put(2,1){\line(-3,-4){0.6}}
   \put(1.4,1.8){\line(-3,-1){0.95}} \put(1.4,0.2){\line(-3,1){0.95}}
   \put(0.45,0.52){\line(0,1){0.96}}
 \end{picture}\end{center}
 Si P est sur le prolongement d'un segment de droite joignant le centre
 d'un polygone r\'egulier \`a un de ses sommets, le produit des distances
 de P aux sommets du polygone vaut $R^n-r^n$, $R$ \'etant la distance
 de P au centre, et $r$ \'etant le rayon du cercle circonscrit au
 polygone.  (Montrez que les sommets du
 polygone repr\'esentent les racines
  $n^{\text{\`emes}}$ de $r^n$.)
 [Application: $\sin(\pi/9)\sin(2\pi/9)\sin(4\pi/9)=\sqrt{3}/8$].
  }
\item {\footnotesize
 Si $z$ n'est pas un r\'eel dans $[-1,1]$, exactement une des deux
 racines carr\'ees de $z^2-1$ est telle que $|z+ (z^2-1)^{1/2}|>1$.
 Soit $a>1$. D\'eterminez le lieu des points repr\'esent\'es par
 $|z +(z^2-1)^{1/2}| = a+\sqrt{a^2-1}$. (\c Ca ressemble \`a un
 probl\`eme pr\'ec\'edent).  }
\item Repr\'esentation graphique d'une fonction d'une variable complexe:
  \begin{itemize}
  \item $f(z)=az+b$, $a$ et $b\in{\mathbb{C}}$: montrez que les horizontales
   Im~$z=$~constante et les verticales
   Re~$z=$~constante sont transform\'ees en droite inclin\'ees de
  Arg($a$) et Arg($a$)$+\pi/2$.
  \item $f(z)=z^2$ : montrez que les horizontales
   Im~$z=$~constante et les verticales
   Re~$z=$~constante sont transform\'ees en des paraboles
   \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,4)
    \put(3,2){\vector(1,0){5}} \put(5,0){\vector(0,1){4}}
    \bezier{99}(3,3)(7.2,2)(3,1)      \bezier{199}(6,3)(3.6,2)(6,1)
    \put(5.5,3){Image d'une droite Im$\,z=$ constante}
    \put(-2.5,2.5){Image d'une droite Re$\,z=$ constante}
   \end{picture}\end{center}
 \item $f(z)=(az+b)/(cz+d)$ transforme des droites et des cercles
  en des droites ou des cercles.
  {\footnotesize En effet, soit $Z=f(z)= (az+b)/(cz+d)$.
  On montre qu'il existe un nombre complexe $\delta$
  tel que $|Z -\delta|^2 = (Z-\delta)(\overline Z - \overline\delta)=$
 constante
 quand $|z-\gamma|= r$. Pour montrer cela, inversons la relation
 entre $z$ et $Z$: $z= (b-dZ)/(cZ-a)$, et d\'eveloppons
 $ |z-\gamma|^2 = (z-\gamma)(\overline z - \overline\gamma) = r^2$.
 \begin{multline*}
      \text{ Il vient } \quad
 |d+c\gamma|^2 Z\overline Z
  -(b+a\gamma)(\overline{d+c\gamma})\overline Z -
   (\overline{b+a\gamma})(d+c\gamma) Z +|b+a\gamma|^2   \\
          =r^2|c|^2 Z\overline Z
  -r^2 a\overline c \overline Z
  -r^2 \overline a c Z +|a|^2r^2, \cr
  \end{multline*}
d'o\`u on tire $Z\overline Z$ en fonction lin\'eaire de $Z$ et
$\overline Z$ (si $|d+c\gamma|^2-r^2|c|^2\neq 0$).
Il suffit alors de prendre $\delta=$ coefficient de
$\overline Z$ pour constater
   $|Z -\delta|^2 = (Z-\delta)(\overline Z - \overline\delta)=$
 constante. Si $|d+c\gamma|^2-r^2|c|^2=0$, $Z$ parcourt une droite.
}\\
En pratique, on cherche o\`u le d\'enominateur $|cz+d|$ est minimum et
maximum: on obtient ainsi deux points diam\'etralement oppos\'es du
cercle image (de la droite si $cz+d$ s'annule).

 Examinez en particulier ceci:
\begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(15,5)(2,0)
  \put(3,2.5){\vector(1,0){4}}  \put(5,1){\vector(0,1){3}}
  \put(5,2.5){\circle{0.5}}
  \put(2,4.1){\footnotesize(Le cercle central }
  \put(2,3.7){\footnotesize est de rayon 1).}
  \put(5,2.5){\circle{1}}
  \put(5,2.5){\circle{1.5}}
  \put(7,3.5){$\xrightarrow{\displaystyle{Z=\frac{z+1}{z-1}}}$}
  \put(7,1.5){$\xleftarrow[\displaystyle{z=\dfrac{Z+1}{Z-1}}]{}$}
  \put(9,2.5){\vector(1,0){6}}  \put(12,1){\vector(0,1){3}}
  \put(10.33,2.5){\circle{1.33}} \put(13.66,2.5){\circle{1.33}}
  \thicklines\put(12,1){\line(0,1){2.9}}  \put(5,2.5){\circle{1.02}}
\end{picture}\end{center}
 \end{itemize}
\end{enumerate}

\section{D\'erivabilit\'e}
\begin{enumerate}
\item D\'efinition d'un ouvert (non vide) de ${\mathbb{C}}$.
\item D\'emontrez soigneusement $f,g\in$ Hol($A) \Rightarrow
 (fg)'=f'g+fg'$ dans $A$.
\item Constatez que $f,g\in$ Hol$(A) \Rightarrow
 f/g\in $ Hol$(A\backslash Z_g)$, o\`u $Z_g$ est l'ensemble
 des points o\`u $g$ {\em s'annule dans} $A$ (on supposera que $g$ ne
 s'annule qu'en un nombre fini de points de $A$).
\item Montrez que la fonction $f$ d\'efinie dans ${\mathbb{C}}$ par
$f(z)= \overline z$ {\em n'est holomorphe nulle part} dans ${\mathbb{C}}$
 (cours, ex. 1.2(b) p.3), que $\overline z^2$ n'est d\'erivable qu'\`a
l'origine.
\item Examinez la d\'erivabilit\'e de $f(z)= x^2y + ixy^2$
 (cours, ex. 1.2(c) p.3), en examinant la limite (si elle existe,
 tout est l\`a) de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h\to 0$: 1) lorsque
$h$ est r\'eel, 2) lorsque $h$ est imaginaire pur ($a=c+id$, remarquez
que l'on peut mettre $c$ ou $d$ en \'evidence selon les cas).

\item D\'eriv\'ees de $z$, $z^2$, et quelques autres polyn\^omes en $z$.
\item Montrez que $|z|^2=x^2+y^2$ n'est {\em pas} un polyn\^ome en $z$
 dans ${\mathbb{C}}$, c'est-\`a-dire n'est pas une combinaison lin\'eaire
de 1, $z$, $z^2$.
\item Cauchy-Riemann=
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x}=  \dfrac{1}{i}
   \dfrac{\partial f}{\partial y} \qquad (=f'(z)) \]
\item Avec $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$, $f\in$ Hol($A$), constater que les
 composantes du {\em gradient} de $u$ sont les parties r\'eelle et
 imaginaire de $\overline{f'(z)}$,
                                                          et que les
 composantes du gradient  de $v$ sont les parties r\'eelle et
 imaginaire de $i\,\overline{f'(z)}$.
%\item $f=u+iv\in$ Hol($A) \Rightarrow udx-vdy$ et $vdx+udy$ sont
% {\em exactes} dans $A$.
\item $f=u+iv\in$ Hol($A) \Rightarrow u$ et $v$ sont {\em harmoniques}
  dans $A$: $\partial^2 u/\partial x^2 +
             \partial^2 u/\partial y^2 =0$ et
            $\partial^2 v/\partial x^2 +
             \partial^2 v/\partial y^2 =0$.
\item Si $f\in$ Hol($A)$, et si $a$ est un point de $A$ o\`u
 $f'(a)=0$, $|f|$ est-il maximum, minimum, ou autre chose en $a$?
 Examiner $|1+z^2|$ pr\`es de $z=0$.
%\item D\'eriv\'ee de $z^{1/2}$, o\`u $z^{1/2}$ est une des deux
%racines carr\'ees de $z$. Peut-on prendre n'importe quel ouvert $A$?
\item Notion d'ouvert connexe dans ${\mathbb{C}}$: exemples,
 contre-exemples. La r\'eunion de deux disques ouverts {\em tangents}
est-elle connexe?
\end{enumerate}

%\newpage
\section{S\'eries potentielles.}

{\bf S\'eries num\'eriques.} Soit
$\{t_n\}_{n\geqslant 0}$ une suite complexe d\'efinie sur les entiers $\geqslant 0$
(la suite des {\em termes}).
 On appelle
{\em s\'erie} $\sum_{n\geqslant 0} t_n$ la {\em suite des sommes partielles}
\[ \left\{s_k = t_0+t_1+\cdots +t_k =  \sum_{n=0}^{n=k} t_n \right\}.\]
La s\'erie $\sum_{n\geqslant 0} t_n$ est dite convergente si la suite
des sommes partielles $\{s_k\}_{k\geqslant 0}$ poss\`ede une limite, qu'on
appelle alors la valeur de la s\'erie. Le symbole de la s\'erie
peut alors figurer dans des identit\'es num\'eriques, \'etant bien
entendu qu'il repr\'esente la valeur de la s\'erie. Par exemple,
si $\lim_{k\to\infty} s_k=\ell$, $(\sum_{n\geqslant 0}t_n)^2+5$ repr\'esente
$\ell^2+5$.

{\bf S\'eries de fonctions.} Les $t_n$ sont maintenant des fonctions,
il en est donc de m\^eme des sommes partielles $s_k$.

{\bf S\'eries potentielles.} Cas particulier du pr\'ec\'edent avec
$t_n(z)= a_n (z-c)^n$, $n=0,1,\ldots$ $a_0$ est donc le coefficient
constant, $a_1$ est le coefficient de $z-c$,
          $a_2$ est le coefficient de $(z-c)^2$, etc. (\c ca ne sera
pas toujours aussi \'evident dans les exemples).
\begin{enumerate}

\item Par d\'efinition du rayon de convergence $R$ de
${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} a_n z^n}$, on a
 \begin{itemize}
  \item  $R= +\infty \Longleftrightarrow \forall t\geqslant 0$,
                     $a_n t^n \to 0$ quand $n\to\infty$,
  \item  $R< +\infty \Longleftrightarrow \forall \epsilon >0$,
                     $\sup_{n\geqslant 0} |a_n| (R+\epsilon)^n =
                      +\infty $,
  \item  $R> 0 \Longleftrightarrow \forall \epsilon >0, \epsilon<R$,
                 $a_n (R-\epsilon)^n \to 0$ quand $n\to\infty$,
  \item  $R= 0 \Longleftrightarrow \forall t>  0$,
                     $\sup_{n\geqslant 0} |a_n| t^n = +\infty $.
  \end{itemize}
Faut-il en d\'eduire que
 ${\displaystyle 0< \sup_{n\geqslant 0} |a_n| R^n < +\infty}$
dans les cas o\`u $0<R<\infty$?

\item Examen d\'etaill\'e de la convergence de
${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0}z^n}$, $z\in{\mathbb{C}}$:
 \[{\rm sommes\ partielles\ } s_k(z) =\sum_{n=0}^k z^n =
   \left\{ \begin{array}{cc}
                             k+1 &{ \rm\  si \ }z=1,\\
                 \dfrac{1-z^{k+1}}{1-z} & {\rm \ si \ }z\neq 1,
          \end{array} \right. \]
(progression g\'eom\'etrique).
On en d\'eduit que les sommes partielles $s_k(z)$ tendent vers
$1/(1-z)$ quand $n\rightarrow\infty$ si $|z|<1$; que la suite de
ces sommes partielles diverge si $|z|\geqslant 1$.\\
Voir aussi cours d\'emonstration Prop.~2.1 p.8 et
derni\`ere formule p.~22.

\item Rayon de convergence de $\displaystyle{\sum_{n\geqslant 0} \frac{z^n}{r^n}}$.
Quelle est la valeur de la s\'erie quand $|z|<R$?

\item Cas des s\'eries potentielles ne contenant que des puissances paires
ou impaires: le rayon de convergence commun \`a $\sum_{n\geqslant 0}b_n (z-c)^{2n}$
                   et \`a $\sum_{n\geqslant 0}b_n (z-c)^{2n+1}$ est
la \emph{racine carr\'ee} du rayon de convergence de $\sum_{n\geqslant 0} b_n Z^n$.

\item Rappel de quelques d\'eveloppements de Taylor (connus jusqu'ici
dans un contexte de variables r\'eelles uniquement):\\
montrez que les s\'eries suivantes convergent effectivement dans un
disque $|z-c|<R$, en utilisant les propositions 2.2 et 2.3, pp.~9 et
10.
\[ e^z = 1+z+\dfrac{z}{2!}+\cdots = \sum_{n\ge 0}\dfrac{z^n}{n!}\]
\[\ln(1+z) = z-\dfrac{z^2}{2}+\dfrac{z^3}{3}-\cdots
 = -\sum_{n\ge 1}\dfrac{(-z)^n}{n}\]
la m\^eme avec $c=1$:
\[\ln z = z-1-\dfrac{(z-1)^2}{2}+\dfrac{(z-1)^3}{3}-\cdots
 = -\sum_{n\ge 1}\dfrac{(1-z)^n}{n}\]
\[ \sin z = z-\dfrac{z^3}{3!}+\dfrac{z^5}{5!}-\cdots
 = \sum_{n\ge 0}\dfrac{(-1)^n z^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
ne pas se laisser rouler par la notation: un coefficient sur deux
est nul: $a_0=0$, $a_1=1$, $a_2=0$, $a_3=-1/3!$, etc.
\[ \cos z = 1-\dfrac{z^2}{2!}+\dfrac{z^4}{4!}-\cdots
 = \sum_{n\ge 0}\dfrac{(-1)^n z^{2n}}{(2n)!}\]
ici, $a_0=1$, $a_1=0$, $a_2=-1/2!$, $a_3=0$, etc.
\[   {\rm arctg}\, z
         = z-\dfrac{z^3}{3}+\dfrac{z^5}{5}-\cdots
 = \sum_{n\ge 0}\dfrac{(-1)^n(z)^{2n+1}}{2n+1}\]
\[(1+z)^\alpha
  = 1+\alpha z+\dfrac{\alpha(\alpha-1)z^2}{2!}+\cdots
 = \sum_{n\ge 0}\dfrac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1) z^n}{n!}   \]
dans ce dernier exemple, s\'eparer les cas $\alpha$ entier positif
(th\'eor\`eme du bin\^ome \'el\'ementaire) et les autres possibilit\'es
$\alpha\in{\mathbb{C}}$ (th\'eor\`eme du bin\^ome g\'en\'eralis\'e).

\item Une s\'erie num\'erique complexe
${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} t_n}$ ne peut {\em pas} converger si
$t_n\not\rightarrow 0$, $n\rightarrow\infty$.
Mais $t_n\to 0$ n'implique pas la convergence: cf. la s\'erie
harmonique $\sum_{n\geqslant 1}\dfrac{1}{n}\;$.

\item Si ${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} |v_n|}$ converge
({\footnotesize il suffit que les sommes partielles aient une borne
sup\'erieure finie}), et si $|u_n|\leqslant |v_n|$ pour tout
$n\geqslant 0$, alors ${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} u_n}$
converge \'egalement.

\item S\'eries d\'eriv\'ees de la s\'erie g\'eom\'etrique:
\[ \sum_{n\ge 0} (n+1)z^n = (1-z)^{-2}\;,\qquad |z|<1.\]
Si $P$ est un polyn\^ome de degr\'e $\le d$,
\[ \sum_{n\ge 0} P(n) z^n = \frac{Q(z)}{(1-z)^{d+1}}\;,\qquad |z|<1,\]
o\`u $Q$ est un polyn\^ome de degr\'e $\le d$.

\item examiner ces questions de convergence sur les exercices propos\'es au cours
Ex.~2.1, p.11:\\
${\displaystyle
   \sum_{n\geqslant 0} z^n,
   \sum_{n\geqslant 0} \dfrac{z^n}{n!},
   \sum_{n\geqslant 1} \dfrac{z^n}{n^2},
   \sum_{n\geqslant 0} \dfrac{z^n}{n+1},
   \sum_{n\geqslant 0} \dfrac{z^{2n}}{c^n}, {\rm \ avec\  } c\in{\mathbb{C}} ,
                                                  c\neq 0  ,
   \sum_{n\geqslant 0} 2^{2n}z^{2n}}$,    \\
 ${\displaystyle
   \sum_{n\geqslant 0} a^{n^2}z^{n}, {\rm   \ avec\ } a\in{\mathbb{C}},
   \sum_{n\geqslant 1} \dfrac{(-1)^n}{n} z^{n(n+1)},
 }$\\
dans quels cas a-t-on $a_n\neq 0$ \`a partir d'une valeur assez grande
de $n$ et l'existence de la limite de ${\displaystyle
 \left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|}$?
Dans quels cas la limite de $|a_n|^{1/n}$ quand $n\to\infty$
existe-t-elle?

\item On a donc \'etendu la fonction exponentielle \`a ${\mathbb{C}}$ par
${\displaystyle \exp(z) = \sum_{n\geqslant 0} \dfrac{z^n}{n!}}$ et
d\'emontr\'e ${\displaystyle e^{x+iy} = e^x (\cos y +i \sin y)}$.
L'identit\'e $e^{i\pi}= -1$ a fascin\'e beaucoup de gens depuis Euler.
Repr\'esenter graphiquement une demi-douzaine de sommes partielles
de ${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} \dfrac{(i\pi)^n}{n!}}$, ou
essayer plut\^ot avec
   ${\displaystyle \sum_{n\geqslant 0} \dfrac{(i\pi/2)^n}{n!}}$.

\item Exp\'erience {\tt matlab}: \verb? exp(4*sqrt(-1)*atan(1))?.
\item Constater que les s\'eries potentielles de
\[ \cos z = \dfrac{e^{iz} +e^{-iz}}{2}  {\rm   \   et\   }
   \sin z = \dfrac{e^{iz} -e^{-iz}}{2i}   \]
redonnent bien les s\'eries de Taylor famili\`eres du cosinus et du
sinus. ({\footnotesize Mais $z$ peut maintenant \^etre complexe
quelconque!})
\item Trouvez un sinus plus grand que  1000. ({\footnotesize Autre
 exp\'erience \verb? matlab: asin(1000)?)}.

\item Relations entre fonctions trigonom\'etriques et fonctions
 hyperboliques
\[ \cosh z = \dfrac{e^{z} +e^{-z}}{2}  {\rm   \   et\   }
   \sinh z = \dfrac{e^{z} -e^{-z}}{2}   \]
\item Soit la forme polaire $z=\rho(\cos\theta+i \sin\theta)
  = \rho\exp(i\theta)$. Montrez
  que Cauchy-Riemann devient
   $f\in$ Hol$(A) \Rightarrow $
 \[ \dfrac{\partial f}{\partial\rho} =  \dfrac{1}{\rho i}
    \dfrac{\partial f}{\partial\theta}   \qquad
     (= \exp(i\theta)f'(z))     . \]

\item D\'emontrez $\dfrac{1}{2}+ \sum_{n=1}^k \cos(nz) =
 \dfrac{\sin((n+1/2)z)}{2\sin(z/2)}$ (cours) en utilisant
 une progression g\'eom\'etrique de raison
 $\tau=\exp(iz)$.
\item Logarithme complexe: on le d\'efinit par
  \[  {\rm Log}\, z = \ln |z| +i {\rm Arg}(z).\]
Montrez que l'on a bien ${\rm Log}(\exp z)=
                         \exp({\rm Log}\, z)= z$,
que Log est holomorphe dans $A={\mathbb{C}}\backslash  (-\infty,0]$. Que vaut
${\rm Log}\,' z$ dans $A$?

\item {\footnotesize Exemple de rayon de convergence nul: on \'etudie
$f(x)= \int_0^{1/x} \exp(-t^2/2) dt$ quand $x\to 0$, $x>0$ (c'est
utilis\'e en probabilit\'es), sachant que
$ \int_0^\infty\exp(-t^2/2) dt= \sqrt{\pi/2}$, et on trouve
$f(x)= \sqrt{\pi/2} -\exp(-1/(2x^2))[x -x^3 +3 x^5
 -3\times 5 x^7 +3\times 5 \times 7 x^9 -\cdots] $ (par int\'egrations
par parties successives utilisant $-t\exp(-t^2/2) = (\exp(-t^2/2))'$).\\
Constater qu'il y a anguille sous roche en remarquant que
$\exp(1/(2x^2))[f(x)-\sqrt{\pi/2}]$ n'est pas continue en $x=0$ (voir
ce qui se passe en $x<0$), donc ne peut \^etre holomorphe dans un
voisinage de $0$.}

\item Exemple d'investigation de fonction non \'el\'ementaire \`a
partir d'une s\'erie potentielle: on d\'efinit les {\em fonctions
d'Airy} (tr\`es utilis\'ees en th\'eorie de la diffraction)
comme solutions de $f''(z)= zf(z)$, avec
$f_1(0)=1, f'_1(0)=0$,
$f_2(0)=0, f'_2(0)=1$. D\'eterminez les d\'eveloppements en s\'eries
potentielles $\sum_{n\ge 0}a_n z^n$ de $f_1$ et $f_2$, et leurs rayons
de convergence. (Poser $f(z)=\sum_{n\ge 0}a_n z^n$ dans $f''(z)=zf(z)$,
et identifier les coefficients en tenant compte des conditions initiales.
Constater que les s\'eries convergent effectivement dans tout ${\mathbb{C}}$,
et qu'elles v\'erifient bien l'\'equation diff\'erentielle).

\end{enumerate}

\section{Int\'egrales de ligne.}
\begin{enumerate}

\item Evaluer ${\displaystyle \int_\gamma f(z)dz =
 \sum_k \int_{\gamma_k} f(z)dz =
 \sum_k \int_{a_k}^{a_{k+1}} f(\gamma(t)) \gamma'(t)\,dt }$ sur le cercle
 $\gamma(t)= \rho+\rho(\cos t + i\sin t) = \rho (1+e^{it})$,
 $0\leqslant t\leqslant 2\pi$, et \\
 a) $f(z)=z$,  \qquad b) $f(z)=\overline z$, \qquad
 c) $f(z)=z^2$,  \qquad d) $f(z)=\overline z^2$.

\item Idem avec le demi-cercle
 $\gamma(t)= \rho+ \rho(\cos t + i\sin t) = \rho (1+e^{it})$,
 $0\leqslant t\leqslant \pi$.

\item Idem avec la fronti\`ere du demi-disque
  \begin{minipage}{8cm}
   \[  \left\{\begin{array}{ccc}
             k=1:&  \gamma(t) = 2(t+1)\rho,  &  -1\leqslant t\leqslant 0,\\
             k=2:&   \gamma(t) = \rho (1+e^{it}), &   0\leqslant t\leqslant\pi.
     \end{array} \right. \]
   \end{minipage}   \begin{minipage}{8cm}
   \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(7,1.5)
     \put(3.25,0.3){\vector(1,0){1}}  \put(3.3,0.65){$\gamma_1$}
     \put(4.52,0.7){$\gamma_2$} \put(4.0,1.6){\vector(-1,0){0.5}}
     \thicklines \put(3,0.5){\line(1,0){1.5}}
                 \put(3.75,0.5){\oval(1.5,1.5)[t]}
   \end{picture}\end{center}\end{minipage}

\item Comparer avec la formule
  ${\displaystyle \int_\gamma F'(z)dz = F(\gamma(b))- F(\gamma(a))}$
lorsque cette formule s'applique.

\item En particulier, si $\gamma$ est un arc de courbe {\em ferm\'e}
contenu dans l'ouvert $A$, et si la formule pr\'ec\'edente s'applique,
on a donc $\int_\gamma F'(z)dz=0$. V\'erifiez avec\\
{\em Attention, la ligne qui suit est fausse}
\[ F(z)=\overline z^2 {\rm\ dans\ }{\mathbb{C}}: F'(z)=2\overline z \Rightarrow
\int_\gamma \overline z\,dz =0 \]
{\em Attention, la ligne qui pr\'ec\`ede est fausse} \\
sur tout arc $\gamma$ ferm\'e. Le moindre exemple montre alors que
$\pi=0$, etc. (Oui, \c ca, c'est faux aussi). Explication:
$\overline z^2$ n'est holomorphe dans aucun domaine de ${\mathbb{C}}$, voir
plus haut.

\item V\'erifiez
  \[ \int_{\partial B(c,\rho)} (z-a)^{-1}\,dz =   \left\{
  \begin{array}{cc}
                 2\pi i\qquad &{\rm \ si\ } a\in B(c,\rho), \\
                  0    \qquad &{\rm \ si\ } a\not\in B[c,\rho]
  \end{array} \right. \]
par calcul direct:
{\footnotesize
\[  \begin{array}{rl}
    f(\gamma(t))\gamma'(t) &= f(c+\rho e^{it}) i\rho e^{it} \\
          &= \dfrac{ i\rho e^{it} }{c-a+\rho e^{it} } \\
          &= \dfrac {i}{ \dfrac{c-a}{\rho} e^{-it} +1 } \\
          &= \dfrac {i}{1+\kappa e^{-i(t-\varphi)} }\qquad
             {\hbox{\  si\ on\ d\'efinit\ }} \dfrac{c-a}{\rho} = \kappa
                e^{i\varphi}  \\
          &= \dfrac{i}{1+\kappa\cos(t-\varphi) -i\sin(t-\varphi)} \\
         &= \dfrac{i(1+\kappa\cos(t-\varphi)) -\kappa\sin(t-\varphi)}
                  {1+\kappa^2 +2\kappa\cos(t-\varphi)} \\
        &= \dfrac{d}{dt} \left[
             i \Theta(t) +\dfrac{1}{2}\ln[1+\kappa^2+2\kappa\cos(t-\varphi)]
                 \right]
                  \end{array}
\]
avec ${\displaystyle \Theta(t)= {\rm arctg}
      \dfrac{\sin(t-\varphi)}{\kappa+\cos(t-\varphi)}}=$ angle sous lequel
    on voit du point $a$ l'arc d\'ecrit par le point variable sur
  $\gamma$ ({\it principe de l'argument}).

   \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(7,3.5)
    \put(1,0.5){\circle{1.5}} \put(1,0.5){\circle*{0.1}} \put(1.02,0.48){$c$}
                  \put(0.65,0.15){\circle*{0.1}} \put(0.68,0.13){$a$}
        \put(1,0.5){\line(0,1){0.75}}     \put(0.65,0.15){\line(1,3){0.35}}
        \put(1,1.25){\circle*{0.1}} \put(0.95,1.4){$\gamma(t)$}
    \put(0.7,3){$\kappa<1$}
    \put(6,0.5){\circle{1.5}} \put(6,0.5){\circle*{0.1}} \put(6.02,0.48){$c$}
                  \put(5.30,-0.15){\circle*{0.1}} \put(5.33,-0.15){$a$}
        \put(6,0.5){\line(0,1){0.75}}     \put(5.30,-0.15){\line(1,2){0.70}}
        \put(6,1.25){\circle*{0.1}} \put(5.95,1.4){$\gamma(t)$}
    \put(5.7,3){$\kappa>1$}
   \end{picture}\end{center}

Si $\kappa <1$,  il faut faire attention aux deux valeurs de $t$ o\`u
$\kappa+\cos(t-\varphi)= 0$. En fait, quand $\kappa>1$, c'est-\`a-dire
quand $a$ est \`a l'ext\'erieur de $B[c,\rho]$, on est parfaitement
en droit d'utiliser $F(z)= {\rm Log}(\exp(-i\varphi)(z-a))$ comme
primitive de $(z-a)^{-1}$.

Le but n'est pas ici d'accumuler les traits de virtuosit\'e, mais de
montrer que cette formule importante d\'ecoule de la d\'efinition
d'int\'egrale de ligne. C'est d'ailleurs comme cela que Cauchy a fait,
(et il s'est d'abord tromp\'e).
}

\item {\bf Lemme de Schwarz.} Montrez que, si $f$ est holomorphe dans
$A \supseteq B[c,\rho]$, {\em et si $f(c)=0$}, on a
$|f(z)|\le M|z-c|/\rho$ dans $B[c,\rho]$, $M$ \'etant le supremum de
$|f|$ sur $\partial B(c,\rho)$.

{\footnotesize Montrez d'abord (Cor.~3.15, p.~32)
 que $f(z)/(z-c)$ est encore holomorphe
dans $B(c,\rho)$ en constatant que, si $\sum_{n\ge 1} a_n (z-c)^n$
est la s\'erie potentielle de $f$ (notez que $a_0=0$),
                                 $\sum_{n\ge 1} a_n (z-c)^{n-1}=$
                                 $\sum_{n\ge 0} a_{n+1} (z-c)^n$
est la s\'erie potentielle de $f(z)/(z-c)$. Appliquer alors la
Prop.~3.10, p.~28 ({\em principe du maximum}) \`a $f(z)/(z-c)$.
}
\item Evaluer les int\'egrales suivantes (cours, Ex.~3.2, p.38)
en appliquant le th\'eor\`eme de repr\'esentation 3.12, p.31:
 \[ \int_{\partial B(c,r)} \frac{f(\xi)}{(\xi-c)^{n+1}}\,d\xi =
  2\pi i\frac{f^{(n)}(c)}{n!},\]
$f$ \'etant holomorphe dans un domaine $A$ contenant enti\`erement
la boule ferm\'ee $B[c,r]$, et le th\'eor\`eme d'invariance homotopique
Prop.~3.21 p.36. On se contentera d'abord de l'\'enonc\'e suivant:
l'int\'egrale sur $\gamma$ est \'egale \`a l'int\'egrale sur
$\partial B(c,r)$ tant que $\gamma$ reste un arc de courbe ferm\'e
simple (= sans recoupement)
enti\`erement situ\'e dans $A$, orient\'e dans le sens direct,
{\em gardant $c$ dans son int\'erieur}, et {\em n'ayant que des points
de $A$ dans son int\'erieur}
 (en supposant donc que l'on sait
intuitivement ce que c'est que l'int\'erieur d'une courbe ferm\'ee).\\
Bien choisir $A$, $c$ (il n'y a que deux cas o\`u on pourrait se
tromper), et $f$.
\begin{enumerate}
\item $\int_{\partial B(0,1)}  \dfrac{1}{(z-a)^m (z-b)^n}\,dz $
$a,b\in{\mathbb{C}}, |a|<1<|b|, m {\rm\ et\ } n {\rm\ entiers\ }\ge 0,$.
\item $\int_{\partial B(0,2)}  \dfrac{e^z}{(z+1) (z-3)^2}\,dz, $
\item $\int_{\partial B(0,2)}  \dfrac{\sin z}{z+i}\,dz, $
\item $\int_{\partial B(0,1)}  \dfrac{\sin z}{z^3}\,dz, $
\item $\int_{\partial B(2i,2)}  \dfrac{1}{1+z^2}\,dz, $
\item $\int_{\partial B(0,1)}  \dfrac{e^z}{(z-2)^3}\,dz,$
\item $\int_{\partial B(0,1)}  \dfrac{e^{iz}}{z^2}\,dz,$
\item $\int_{\partial B(0,1)}  \dfrac{e^z-e^{-z}}{z^n}\,dz,$
$n$ entier $\ge 1$.\\
\end{enumerate}
R\'eflexion faite, il y a {\em trois}, non, {\em quatre}
 cas o\`u on pourrait se tromper
dans le choix de $c$, quels sont ils?

Si $\gamma$ n'est plus simple (se recoupe), ou n'est plus orient\'e dans
le sens direct, il faut alors utiliser la formule plus g\'en\'erale
Prop.~3.22, p.~37
 \[ \int_\gamma  \frac{f(\xi)}{(\xi-c)^{n+1}}\,d\xi =
  2\pi i \,{\rm ind}_\gamma(c) \frac{f^{(n)}(c)}{n!},\]
o\`u ${\rm ind}_\gamma(c)$ est l'indice de $c$ par rapport \`a
$\gamma$:
\item V\'erifiez cette interpr\'etation g\'eom\'etrique de
l'indice d'un point par rapport \`a une courbe ferm\'ee:
${\rm ind}_\gamma (z)=$ nombre de tours vus de $z$ lorsque $\xi$
parcourt $\gamma$.

   \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(7,1.5)
   \put(1,0.75){\circle*{0.1}} \put(1.02,0.9){$z$}
   \put(6,1.75){\circle*{0.1}} \put(5.8,1.97){$\xi$}
   \put(1,0.75){\line(5,1){5}}
   \bezier{199}(6,1.75)(5,1.75)(6,0)
   \bezier{199}(6,1.75)(7,1.75)(4,0)
   \put(4,0){\line(1,0){2}}
   \end{picture}\end{center}

{\footnotesize Interpr\'etation m\'edico-biologique: ampleur du torticolis
subi par un observateur situ\'e en $z$
suivant du regard le point $\xi$ d\'ecrivant la courbe [orient\'ee]
$\gamma$.}

Que vaut ${\rm ind}_\gamma(z)$ lorsque $z$ se trouve dans les r\'egions
$A,B,C,\ldots$ suivantes?

  \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(15,3)
   \put(0,0){\line(2,1){5}}   \put(5,2.5){\line(-1,0){5}}
   \put(0,2.5){\line(2,-1){5}} \put(5,0){\line(-5,6){2.5}}
   \put(2.5,3){\line(-5,-6){2.5}}

   \put(14,3){\line(-1,0){5}}  \put(9,3){\line(0,-1){3}}
   \put(9,0){\line(1,0){6}}    \put(15,0){\line(0,1){2.5}}
   \put(15,2.5){\line(-1,-1){2}} \put(13,0.5){\line(0,1){2}}
   \put(13,2.5){\line(1,-2){1}}    \put(14,0.5){\line(0,1){2.5}}
  \end{picture}\end{center}



\item Certains logiciels graphiques utilisent l'indice d'un point par
rapport \`a une courbe ferm\'ee $\gamma$ pour d\'eterminer la r\'egion \`a
hachurer ou \`a remplir. Une autre r\`egle consiste \`a tracer une
demi-droite partant de $z$ et \`a compter les points d'intersection
avec $\gamma$, on consid\`ere $z$ comme point int\'erieur si ce
nombre est {\em impair}. Examiner cette deuxi\`eme r\`egle pour les
figures pr\'ec\'edentes. Ceci montre que ces notions d'int\'erieur et
d'ext\'erieur ne sont pas \'evidentes du tout.

\end{enumerate}

\section{D\'eveloppement de Laurent.}

\begin{enumerate}
\item Singularit\'es apparente(s) de $\dfrac{\sinh z}{z} =
\dfrac{e^z-e^{-z}}{z}$ (avec $D={\mathbb{C}}\backslash\{0\}$); de
$\dfrac{z}{\sinh z}$ (avec $D= {\mathbb{C}}\backslash \pi i {\mathbb{Z}}$);
$\dfrac{1-\cos z}{z^2}$
 (avec $D={\mathbb{C}}\backslash\{0\}$).
\item P\^oles de $\dfrac{z}{\sinh z}$,
                 $\dfrac{z}{\sin z}$,
                 $\dfrac{z}{{\rm tg\,} z}$,
 ${\rm cotg\,} z$,
 ${\rm cotg}(2z)$,
 ${\rm tg\,} z$   (N.B.:
 ${\rm cotg\,} z -2{\rm cotg}(2z) = {\rm tg\,} z$.
\item Singularit\'es isol\'ees de ${\mathbb{C}}\backslash{\mathbb{N}}$,\quad
${\mathbb{C}}\backslash\left(\{0\}\bigcup \{1/n\}_{n=1}^\infty\right)$.

\item Montrez que 0 n'est ni une singularit\'e apparente
ni  un p\^ole de la fonction suivante:
${\mathbb{C}}\backslash \{0\} \to {\mathbb{C}}: f(z)=\exp(1/z)$, parce que $|f|$
n'a pas de limite (ni finie, ni infinie) quand $z\to 0$. (Notion de
{\emph singularit\'e essentielle}). Donnez {\em toutes} les solutions
de $\exp(1/z)=1$, $z\neq 0$;
de $\exp(1/z)=2$, $z\neq 0$.

\item S\'eries de Fourier en tant que d\'eveloppements de Laurent:
soit $z=\exp(i\theta)$. Alors,
\[ a_0 +\sum_{n\ge 1} (a_n\cos n\theta + b_n\sin n\theta) =
 a_0 +\sum_{n\ge 1}[(a_n-ib_n)z^n +(a_n+ib_n)z^{-n}]/2.\]
Reprenez quelques s\'eries de Fourier usuelles. Dans la plupart des
cas, le d\'eveloppement (formel) de Laurent ne vaudra pas dans un
v\'eritable anneau, on aura seulement $\rho= \sigma= 1$, mais les fonctions
$F$ et $G$ du th\'eor.~4.6 (p.~47) ont encore un sens.

\item {\bf D\'eveloppement de Laurent d'une fonction rationnelle}:
{\footnotesize pourquoi tout ce bruit tout-\`a-coup?}
d'abord d\'ecomposer en fractions simples. Le probl\`eme est donc
ramen\'e \`a traiter des fonctions du type $(z-p)^{-m}$  (avec $p$
comme {\em p\^ole}) dans un anneau
de centre $a$ et de rayons $r_1$ et $r_2$, avec $0\leqslant r_1<r_2\leqslant +\infty$.\\
Prenons d'abord le cas $m=1$:
 \begin{enumerate}
 \item  \begin{minipage}{5cm}
 Si $p$ est dans le disque int\'erieur (ferm\'e) $|p-a|\leqslant r_1$,
   \end{minipage}  \begin{minipage}{10cm}
   \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,1.5)(3,0)
     \put(5,1){\circle*{0.1}} \put(5.05,0.95){$a$}
     \put(5.3,1.25){\circle*{0.1}} \put(5.1,1.27){$p$}
     \put(5,1){\circle{1}}  \put(5,1){\circle{1.5}}
   \end{picture}\end{center}
  \end{minipage}
   \begin{multline*}
        (z-p)^{-1}=[z-a +(a-p)]^{-1} = (z-a)^{-1}
       \left[ 1 +\dfrac{a-p}{z-a}\right]^{-1} =  \\
      = \sum_{n\ge 0} (p-a)^n \;  (z-a)^{-1-n},
   \end{multline*}
    s\'erie (g\'eom\'etrique) potentielle convergente car
     $|z-a|>r_1\geqslant |a-p|$.
 \item  \begin{minipage}{5cm}
       Si $p$ est hors du grand disque (ouvert)  $|p-a|\geqslant r_2$,
   \end{minipage}  \begin{minipage}{10cm}
   \begin{center}\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,1.5)(3,0.5)
     \put(5,1){\circle*{0.1}} \put(5.05,0.95){$a$}
     \put(6.3,0.75){\circle*{0.1}} \put(6.32,0.74){$p$}
     \put(5,1){\circle{1}}  \put(5,1){\circle{1.5}}
   \end{picture}\end{center}
  \end{minipage}
   \begin{multline*}
       (z-p)^{-1}=[z-p +(a-p)]^{-1} = (a-p)^{-1}
       \left[ 1 +\dfrac{z-p}{a-p}\right]^{-1} =  \\
             =  -\sum_{n\ge 0} (p-a)^{-1-n} \;  (z-a)^n,
   \end{multline*}
    s\'erie (g\'eom\'etrique) potentielle convergente car
     $|z-a|<r_2\leqslant |p-a|$.
  \item Il n'y a pas d'autres cas, la fonction ne serait pas holomorphe
  dans l'anneau si $r_1<|p-a|< r_2$.
 \end{enumerate}
 Cas $m$ quelconque:
 \begin{enumerate}
 \item Si $p$ est dans le disque int\'erieur (ferm\'e) $|p-a|\leqslant r_1$,
   \begin{multline*}
     (z-p)^{-m}=[z-a +(a-p)]^{-m} = (z-a)^{-m}
       \left[ 1 +\dfrac{a-p}{z-a}\right]^{-m} =  \\
            = \sum_{n\ge 0} \dfrac{(p-a)^n (m+n-1)!}{(m-1)! n!} (z-a)^{-m-n},
   \end{multline*}
    s\'erie potentielle convergente car $|z-a|>r_1\geqslant |a-p|$.
 \item Si $p$ est hors du grand disque (ouvert) $|p-a|\geqslant r_2$,
   \begin{multline*}
     (z-p)^{-m}=[z-a +(a-p)]^{-m} = (a-p)^{-m}
       \left[ 1 +\dfrac{z-a}{a-p}\right]^{-m} = \\
       =(-1)^m   \sum_{n\ge 0} \dfrac{(m+n-1)!}{(p-a)^{m+n}(m-1)! n!} (z-a)^n,
   \end{multline*}
    s\'erie potentielle convergente car $|z-a|<r_2\leqslant|a-p|$.
 \end{enumerate}
Ne pas oublier de faire figurer la partie polynomiale \'eventuelle de
la d\'ecomposition en fractions simples dans $F$. \\
Exemple: $f(z)=\dfrac{z^3}{z^2+1} = z -\dfrac{1}{2(z+i)} -\dfrac{1}{2(z-i)}$
dans $A_{0,2}(i)$: $z= i +(z-i)$,
$-\dfrac{1}{2(z-i)}$ reste comme il  est,
$ -\dfrac{1}{2(z+i)} = -\dfrac{1}{4i+2(z-i)} = \dfrac{i}{4}
 \sum_{n\ge 0} (i/2)^n (z-i)^n$, donc
$\ldots = a_{-2} = 0$, $a_{-1}=-1/2$, $a_0= 5i/4$,
$a_1= 7/8$, $a_n= \dfrac{i}{4} (i/2)^n$ \`a
partir de $n=2$.
\item (Cours p.~54)
 D\'eveloppement de Laurent de $(z+2)^{-2}(z^2-9)^{-1}$
dans:

a) $A_{2,3}(0)$,
b) $A_{3,\infty}(0)$,
c) $A_{0,1}(-3)$,
d) $A_{0,1}(-2)$,
e) $A_{0,5}(3)$.

\item Donnez quelques coefficients du
      d\'eveloppement de Laurent de $1/\sin z$ dans un voisinage de 0 (0
non compris) en identifiant les coefficients des puissances de $z$ dans
\[ \left(\dfrac{a_{-1}}{z} + a_1 z+a_3 z^3+\cdots\right)
       (z -\dfrac{z^3}{6} +\dfrac{z^5}{120}-\cdots ) =1.\]
\end{enumerate}


\section{R\'esidus.}
\begin{flushright} {\sl
               C'\'etait le r\'esidu!!!\\
               Comte de Champignac \\
           {\it in} \sl ``La peur au bout du fil''.}
\end{flushright}

{\bf Rappel.} (Cours, pp.~55 \&\  56). Soit $D$ un ouvert de ${\mathbb{C}}$,
$f\in$ Hol$(D)$, $a\in {\mathbb{C}}\backslash D$ une singularit\'e isol\'ee
pour $D$. On appelle alors {\em r\'esidu} de $f$ en $a$
\[ \resd\,(f;a) = a_{-1} =\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,\tau)}
  f(z)\,dz ,\]
o\`u $a_{-1}$ est le coefficient de $(z-a)^{-1}$ du d\'eveloppement de
Laurent de $f$ dans un anneau $A_{0,\sigma}(a)$, avec $\sigma$ assez
petit pour avoir $B(a,\sigma)\subset D\cup \{a\}$, et $0<\tau<\sigma$.
\begin{enumerate}
\item Cas des p\^oles simples: si $\lim_{z\to a}|f(z)|= \infty$ et
si $|(z-a)f(z)|$ reste born\'e dans un voisinage de $a$ ($a$ non
compris), alors
\[ \resd\,(f;a) = \lim_{z\to a} (z-a)f(z).\]
Examiner $1/z$, $1/\sin z$, $\sin z/z^2$, $1/(e^z-1)$, cotg\,$z$,
en $a=0$; $1/\sin z$, cotg\,$z$ en $a=k\pi$, $k\in{\mathbb{Z}}$; tg\,$z$ en
$a=(k+1/2)\pi$, $k\in{\mathbb{Z}}$, $1/(1+z^2)$ en $z=\pm i$.
\item P\^oles d'ordre $\leqslant m$: si $|(z-a)^m f(z)|$ reste born\'e dans
un voisinage de $a$ ($a$ non compris), on peut d\'efinir
 $g(z)=(z-a)^m f(z)$ holomorphe
dans un voisinage de $a$ (y compris $a$), alors
\[ \resd\,(f;a) = \frac{g^{(m-1)}(a)}{(m-1)!}  .\]
Examiner $1/z$ avec $m=1$ et $m=2$ en $a=0$; $1/z^2$ en $a=0$ (avec
$m\geqslant 2$); $e^z/z^m$ en $a=0$; $1/\sin^2 z$, $1/\sin^3 z$ en $a=0$.
\item Que vaut le r\'esidu de $f'/f$ en $a$ si $f$ est holomorphe dans
un voisinage de $a$ et a un z\'ero d'ordre
$\mu$ en $a$, c'est-\`a-dire $f(a)= f'(a)=\ldots = f^{(\mu-1)}(a)=0$,
$f^{(\mu)}(a)\neq 0$?

\item {\em Principe de l'argument}: si $\gamma$ est un arc ferm\'e
simple parcouru dans le sens direct et
ne contenant que des points de $A$ dans son int\'erieur, et
$f\in $ Hol$(A)$, alors le nombre de z\'eros de $f$ compt\'es avec leurs
multiplicit\'es dans l'int\'erieur de $\gamma$ est
 \[ N_\gamma(f) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)}\,dz =
  {\rm\ ind\,}_{f(\gamma)}(0),\]
c'est-\`a-dire le nombre de tours effectu\'es par $f(z)$ autour de 0
quand $z$ parcourt $\gamma$.

\medskip\noindent
{\bf Applications au calcul d'int\'egrales d\'efinies de types 1,2.}
\medskip
\item Si $F$ est une fonction rationnelle de deux variables, born\'ee
sur $[-1,1]\times [-1,1]$ on peut
 \'evaluer $I=\int_0^{2\pi} F(\cos\theta, \sin\theta)d\theta$
en passant \`a $z=\exp(i\theta)$:
$I=-i\int_\gamma G(z)$, o\`u $\gamma$ est le cercle unit\'e parcouru
dans le sens direct, et
$G(z)=z^{-1}F((z+z^{-1})/2,(z-z^{-1})/(2i))$.
\item Par exemple, $\int_0^{2\pi} \sin^{2n}\theta d\theta=
-i(-4)^{-n}\int_\gamma z^{-1}(z-z^{-1})^{2n} = 2\pi/(-4)^n$ fois le
coefficient de $z^{2n}$ dans le d\'eveloppement de
$(z^2-1)^{2n}$, ce qui donne $2\pi\dfrac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$.

\item (Cours, p.~59-60).
\[ \int_0^{2\pi} \frac{dt}{p+\cos t} = \frac{2\pi}{\sqrt{p^2-1}},\qquad
        p>1.\]
\[ \int_0^{2\pi} \frac{dt}{(p+\cos t)^2} = \frac{2\pi p}{\sqrt{(p^2-1)^3}},
        \qquad  p>1.\]
\[ \int_0^{2\pi} \frac{dt}{p+\sin^2 t} = \frac{2\pi}{\sqrt{p^2+p}},\qquad
        p>0,\]
et si, dans ce dernier exemple, l'int\'egrale \'etait limit\'ee de 0 \`a
$\pi$?

\item Retrouver ${\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{1+x^2}}}=\pi$
en consid\'erant la limite quand $R\to\infty$ de l'int\'egrale de
$(1+z^2)^{-1}$ sur $\gamma: \gamma(t)=t, -R<t<R;
 \gamma(t)=R\exp(i(t-R)), R<t<R+\pi$.

\item Quelques int\'egrales propos\'ees dans M.~Evgrafov {\it et al.},
 {\sl Recueil de probl\`emes sur la th\'eorie des fonctions analytiques},
 Mir, Moscou, 1974, pp.~211 et 250:
\begin{enumerate}
\item $\int_{\partial B(1,1)} \dfrac{dz}{1+z^4}\,,$
\item $\int_{\partial B(1+i,2)} \dfrac{dz}{(z-1)^2(z^2+1)}\,,$
\item $\int_{x^{2/3} +y^{2/3}=2^{2/3}} \dfrac{\sin z}{(z+1)^3}\,dz,$
\item $\int_{\partial A_{2,4}(0)} \dfrac{dz}{(z^2-1)^2(z-3)^2}\,,$
\item $\int_{\partial B(0,4)} \dfrac{z}{z+3}\,e^{z/3}\,dz,$
\item $\int_{\partial B(0,2)} z\cos\dfrac{z}{z+1}\,dz,$
%\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2 dx}{(x^2+1)(x^2+9)}\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2-x+2 }{x^4+10x^2+9}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{x^2-2ix-2}\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2+1 }{x^4+1}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^4+1 }{x^6+1}\,dx\,,$
%\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2 dx}{x^4+6x^2 +25}\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{(x^2+1)^3}\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2 dx}{(x^2+4ix-5)^2}\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^2 dx}{(x^2+a^2)^3}\,, a>0\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^6 dx}{(x^4+a^4)^2}\,, a>0\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{x^4 dx}{(a+bx^2)^4}\,, a>0,b>0\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{(x^2-2i\alpha x-\alpha^2-\beta^2)^n}\,,
 \alpha>0, \beta>0, n=1,2,\ldots\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{(x-1)e^{ix}}{x^2-2x+2}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{e^{ix}}{x^2-2ix+2}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{e^{ix}}{(x^2+4ix-5)^3}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{(x-3)e^{ix}}{x^2-6x+109}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{(x+1)e^{-3ix}}{x^2-2x+5}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{\sin x}{x}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{e^{-ix}}{x^4+8x^2+16}\,dx\,,$
\item $\int_{-\infty}^\infty \dfrac{\cos x}{(x^2+2ix-2)^2}\,dx\,,$
\item $\int_{2i-\infty}^{2i+\infty} \dfrac{z \sin zt}{z^2+1}\,dz\,,
     t>0\,,$
\item $\int_{2i-\infty}^{2i+\infty} \dfrac{z \cos zt}{(z^2+1)^2}\,dz\,,
     t>0\,.$

\end{enumerate}
Il n'est \'evidemment pas question de se taper des marathons, mais
de r\'eagir aux (petites) difficult\'es nouvelles: comment int\'egrer
sur le bord d'un anneau quand on n'a vu que le cas d'un seul arc ferm\'e,
comment traiter une int\'egrale en $e^{-ix}$ quand la th\'eorie demande
$e^{ipx}$ avec $p>0$, etc.

\item {\footnotesize Le type auquel vous avez \'echapp\'e: soit
 \[ I= \lim_{\varepsilon\to 0, R\to\infty} \int_\varepsilon^R
    \frac{x^\alpha}{1+x}\,dx\,, \qquad -1<\Re\alpha <0. \]
Soit $z=|z|\exp(i\theta)$, avec $0\leqslant\theta<2\pi$. Alors,
$|z|^\alpha \exp(i\alpha\theta)$ est une d\'etermination de $z^\alpha$
holomorphe dans $(|z|,\theta)\in
  (\varepsilon, R)\times(\varepsilon, 2\pi-
 \varepsilon)$. Alors, on obtient
\[ \lim_{\varepsilon\to 0} \left[ \exp(i\varepsilon\alpha) I -
                             \exp(i(2\pi-\varepsilon)\alpha) I \right] =
   (1-\exp(2\pi i\alpha))I = 2\pi i \exp(\pi i \alpha),\]
soit $I=-\pi/\sin(\pi\alpha)$.
 }

\end{enumerate}


\section{Applications de cette th\'eorie.}

Les nombres complexes ont d'abord \'et\'e invent\'es au $16^{\text{\`eme}}$
si\`ecle pour \'elucider les formules de racines d'\'equations de
degr\'e $\ge 2$. L'ensemble des nombres complexes, assimil\'e au
plan ${\mathbb{R}}^2$, est ainsi progressivement devenu le lieu naturel
d'\'evolution des calculs. On y a donc d\'evelopp\'e des op\'erations,
des fonctions, le calcul diff\'erentiel et le calcul int\'egral, ainsi
que vous venez de le voir.

Vous avez vu que {\tt matlab} et les calculatrices scientifiques de
qualit\'e permettent tous les calculs complexes. Les
utilisations des fonctions d'une variable complexe sont multiples:

\begin{itemize}

\item Tous les ph\'enom\`enes ondulatoires (optique, \'electrotechnique,
vibrations m\'ecaniques) sont d\'ecrits par l'interm\'ediaire de
variables complexes (vecteurs tournants, etc.),

\item Tout champ bidimensionnel d\'erivant d'un potentiel v\'erifiant
l'\'equation de Laplace
            $\partial^2 V/\partial x^2 +
             \partial^2 V/\partial y^2 =0$
se d\'ecrit avantageusement \`a partir de fonctions holomorphes de
la variable complexe $z=x+iy$. Nombreuses applications en
m\'ecanique c\'eleste, \'electro et magn\'etostatique,
a\'ero et hydrodynamique,\dots

\item Une s\'erie de Fourier $\sum_{n\ge 0}(a_n\cos n\theta+
 b_n\sin n\theta)$ n'est autre qu'une s\'erie de Laurent
$\sum c_n z^n$ en $z=\exp(i\theta)$. En traitement du signal
(son, image), on parle souvent de ``transform\'ee en $z$'' \`a
propos de telles s\'eries.

\item On utilise aussi souvent une transform\'ee dite de Laplace
pour \'etudier des solutions [r\'eelles pourtant] d'\'equations
fonctionnelles (diff\'erentielles, int\'egrales, \`a retard, ou
tout \`a la fois). On d\'eduit des propri\'et\'es [r\'eelles toujours]
de ces solutions \`a partir de leurs transform\'ees de Laplace par
investigation de caract\'eristiques \emph{complexes} (p\^oles,
r\'esidus) de ces derni\`eres.
\item L'indice d'un point par rapport \`a une courbe est utilis\'e
dans des crit\`eres de stabilit\'e (diagrammes de Nyquist).
\item La th\'eorie quantique (m\'ecanique, physique, chimie) est
essentiellement une th\'eorie de nombres complexes et de fonctions de
variables complexes.

\item {\footnotesize Des cosmologistes \'etudient les d\'ebuts de
l'univers en recourant \`a une variable temporelle complexe.
Vertige garanti.}

\end{itemize}

Encore quelques opinions:

\

{\renewcommand{\baselinestretch}{0.8}\footnotesize
 \setlength{\parindent}{0pt} \tt

sci.math \#123425 (8 + 1069 more)  \\
From: tim@franck (Tim Hollebeek)  \\
Newsgroups: sci.math              \\
 Re: Complex numbers purpose   \\
Date: 12 Jan 1996 01:20:03 GMT    \\
Organization: Princeton University  \\
NNTP-Posting-Host: franck.princeton.edu  \\
X-Newsreader: TIN [version 1.2 PL2]       \\

Art'n Magic (deen@algonet.se) wrote:

: Does anyone know what purpose the complex numbers serve in real life?  \\
: Is there any business where this mathematic method is used?

Well, for the most part, that's like asking what addition is useful
for.  Complex numbers show up or are useful in many many different
types of problems.

By 'in real life', I assume you suspect that complex numbers are some
sort of mathematical application with no practical purpose.  On the
contrary, the theory of complex numbers is probably the most useful
field of mathematics to engineers, second only to calculus; almost
all electrical engineering problems involve them in one way or
another.  The same goes for almost any process involving waves,
whether they are light waves or other kinds of waves, since complex
numbers allow you to express and manipulate wave equations very
succintly.  Many integrals, which show up in any field which uses
calculus, are more easily handled in terms of complex numbers; the
same is true of most series expansions.

--
Tim\ Hollebeek\ \ \ |\ Everything\ above\ is\ a\ true\ statement,\ for\ sufficiently\\
PChem\ Grad\ Student\ |\ false\ values\ of\ true.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
Princeton\ Univ.\ \ \ \ |\ tim@wfn-shop.princeton.edu\ \ \ \ \                         \\
-------------------| http://wfn-shop.princeton.edu/\~{}tim                    \\
End of article 123425 (of 123610) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#123449 (7 + 1069 more)  \\
From: davis\_d@spcunb.spc.edu (David K. Davis) \\
 Re: Complex numbers purpose                \\

Art'n Magic (deen@algonet.se) wrote:                        \\
: Does anyone know what purpose the complex numbers serve in real life?

If by purpose you mean application, yes. Complex numbers are used
extensively in parts of electronics and circuit design. They are in
fact used in many areas of engineering. They are also used in physics,
quantum mechanics in particular.

: Is there any business where this mathematic method is used?

If you mean, is there an ordinary business mathematics application?,
maybe, but I don't know of any. Certainly your average accountant or
even financial analyst doesn't use them as far as I know.

The reason is that the real numbers are adequate for most ordinary
applications. Complex numbers have an extra dimension beyond that of
real numbers and come into their own when various forms of periodicity
come into play.

Finally, mathematics is real life (along with art, music, the flu, etc.)
The complex numbers are important there because they are the end of the
line for numbers that obey the ordinary rules of arithmetic. Any richer
set of numbers is going to start breaking some of those rules, e.g.
x times y does not equal y times x.

-Dave D.

End of article 123449 (of 123610) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#123597 (6 + 1069 more)   \\
From: Laura Helen <laura@ewald.mbi.ucla.edu> \\
 Re: Complex numbers purpose                \\

On Fri, 12 Jan 1996, David K. Davis wrote:    \\
" Finally, mathematics is real life (along with art, music, the flu, etc.)
  The complex numbers are important there because they are the end of the
  line for numbers that obey the ordinary rules of arithmetic. Any richer
  set of numbers is going to start breaking some of those rules, e.g.
  x times y does not equal y times x.   "

Hm.  You could adjoin a set of transcendentals of any size to the
real numbers, even ordering the whole field.  -- there turns out to
be a sort of bottomless pit at the positive and negative end of
the rationals, into which any size set of transcendentals can be
tossed.                                  \\
End of article 123597 (of 123610) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#123517 (5 + 1069 more)          \\
From: geh@world.std.com (Greg E Hersh)     \\
 Re: Complex numbers purpose            \\

Art'n Magic (deen@algonet.se) wrote:         \\
: Does anyone know what purpose the complex numbers serve in real life? \\
: Is there any business where this mathematic method is used?

Complex numbers are absolutely essential in Circuit Design, and
Signals and Systems Analysis (which is a foundation for topics like
Circuit Design, Communication Theory, and host of other things).
Electrical Engineers live by them.

In fact this is what has happened with me: I went through a circuit design
(where it was the first time I've encountered a concept of a 'complex
frequency'), and then in 'Signals and Systems' we immeidately started
using a complex exponent to describe a periodic signal - and the major
reason is that it is much easier to manipulate with a complex exponent than
with trig functions. In fact, I've got so carried away, that I've decided to
take a separate course on the Analysis of Complex Variables.

--MORE--(?\%)--MORE--(98\%)

\ \\

sci.math \#123586 (4 + 1069 more)  \\
From: psmc@ix.netcom.com(Paul Curran )  \\
 Re: Complex numbers purpose

In <Pine.SOL.3.90.960112000639.13330A-100000@sophocles.algonet.se>
Art'n Magic <deen@algonet.se> writes:     \\
"Does anyone know what purpose the complex numbers serve in real life?
 Is there any business where this mathematic method is used?
"

  Whatever happen to concept of knowledge for knowledge's sake?  Does
everything we do have to have a purpose in "real life".  As though
mathematics, astrophysics, philosophy, etc.  are not real life.

Paul Curran

End of article 123586 (of 123610) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#124175 (0 + 1032 more)  \\
From: jc@cage.rug.ac.be (Jan Cnops)  \\
Re: Complex numbers purpose

Art'n Magic (deen@algonet.se) wrote:

: Does anyone know what purpose the complex numbers serve in real life? \\
: Is there any business where this mathematic method is used?

Which of course raises the following question:

Does anyone know what purpose business serves in real life?
Is there any mathematics field where these methods are used, or where
business raised interesting problems?

Jan Cnops

End of article 124175 (of 124475) -- what next? [npq]

}     % end small

\medskip

Et encore ceci:

\medskip

{\renewcommand{\baselinestretch}{0.8}\footnotesize
 \setlength{\parindent}{0pt} \tt

sci.math \#109292 (18 + 953 more)   \\
From: cjkushin@eos.ncsu.edu (Carl Joseph Kushinsky)  \\
 Imaginary Numbers and Television

I'm not sure if this is the right newgroup but....

In real life positive numbers are used to represent ownership.   \\
(+2 televisions means I own two TV's)

Negetive numbers are used to represent debt.    \\
(-2 TV's means I owe someone two TV's)

What economic condition could imaginary numbers represent?  \\
(2i TV's means what?)

The closest I could get was sort of a 1984 ecomony with here-not here TV's.
(2i TV's means I own two television that don't exist while
  -2i TV's means I owe someone two television that I will never build but
  they still possess.)

This only works for addition and subtraction though. Can anyone describe a
better model?

===================================================================== \\
Carl Kushinsky (cjkushin@eos.ncsu.edu)


"Communism was just a Red herring."    "We love you Spider!"

"If trees could scream, would we be so cavalier about cutting them
 down? We might, if they screamed all the time, for no good reason."

===================================================================== \\
End of article 109292 (of 109652) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#109299 (17 + 953 more)                        \\
From: davis\_d@spcunb.spc.edu (David K. Davis)            \\
 Re: Imaginary Numbers and Television

Carl Joseph Kushinsky (cjkushin@eos.ncsu.edu) wrote:
...

To picture imaginary numbers you need two dimensions, not just one as
with real (i.e. ordinary) numbers. And actually we speak of complex
numbers, with an imaginary part and a real part. So  3 + 2i is just a
point or location 3 units to the east and 2 units to the north (from here,
or the starting point). You don't really use complex numbers unless you
need two dimensions, so they don't show up in household arithmetic.
But they are very important in physics, electronics - and - what's most
important, they are the basis for some very beautiful mathematics. Some day
study complex function theory, it's just beautiful. When you're ready read
Knopp's books from Dover - they're old and cheap, but good. Some of the new
stuff is more up-to-date, but not as much fun.

-Dave D.                                          \\
End of article 109299 (of 109652) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#109440 (16 + 953 more)                   \\
From: cjkushin@eos.ncsu.edu (Carl Joseph Kushinsky)   \\
 Re: Imaginary Numbers and Television

In article <DF5xqI.9tD@spcuna.spc.edu>, davis\_d@spcunb.spc.edu (David K. Davis)
...
" or the starting point). You don't really use complex numbers unless you
  need two dimensions, so they don't show up in household arithmetic.
"

So what sort of economic condition would cause the need for imaginary TV's?
People didn't think negetive numbers were "household" until the idea of
debt was introduced. Is there any sort of concept that would make imaginary
TV's necessary?
\\
=====================================================================

Carl Kushinsky (cjkushin@eos.ncsu.edu)

End of article 109440 (of 109652) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#109449 (15 + 953 more)   \\
From: davis\_d@spcunb.spc.edu (David K. Davis)  \\
 Re: Imaginary Numbers and Television

Carl Joseph Kushinsky (cjkushin@eos.ncsu.edu) wrote: \\
...  \\
" So what sort of economic condition would cause the need for imaginary TV's?
  People didn't think negetive numbers were "household" until the idea of
  debt was introduced. Is there any sort of concept that would make imaginary
  TV's necessary?  "

Imaginary numbers (which are not imaginary or any less real than other
numbers) were discovered prior to any economic necessity - rather they
were a mathematical necessity: you couldn't solve the equation x\^{}2 + 1 = 0
without them. But, the circuits used in TVs were designed using complex
numbers. When I was a teenager (long ago) I was into electronics and
ham radio. I needed to learn a little math to do my circuit designs.
That's when I learned about complex numbers. I fell in love with math and
out of love with ham radio and electronics.

-Dave D.                                           \\
End of article 109449 (of 109652) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#109301 (14 + 953 more)                    \\
From: roy@dsbc.icl.co.uk (Roy Lakin)                 \\
 Re: Imaginary Numbers and Television             \\

In article <43mql1\$8n@taco.cc.ncsu.edu> cjkushin@eos.ncsu.edu (Carl Joseph Kushi
" ...
This only works for addition and subtraction though. Can anyone describe a
better model? "


Virtual Reality, of course !-)

roy            \\
End of article 109301 (of 109652) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#109322 (13 + 953 more)   \\
 Re: Imaginary Numbers and Television  \\
From: RVANRAAM@bcsc02.gov.bc.ca

In article <43mql1\$8n@taco.cc.ncsu.edu>
cjkushin@eos.ncsu.edu (Carl Joseph Kushinsky) writes:
\\ "
 In real life positive numbers are used to represent ownership.
 (+2 televisions means I own two TV's)
 Negetive numbers are used to represent debt.
 (-2 TV's means I owe someone two TV's)
 What economic condition could imaginary numbers represent?
 (2i TV's means what?)
 better model?  "


3     : 3 television sets   \\
3i    : 3 television sets pushed into another space dimension   \\
3ixi  : 3 television sets pushed back into the original space

  * * *
  Regards,                     \\
  Ray Van Raamsdonk  (389-3725)
  BC Systems                     \\
End of article 109322 (of 109652) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#109351 (12 + 953 more)  \\
From: gorik@cs.kuleuven.ac.be (Gorik De Samblanx) \\
 Re: Imaginary Numbers and Television

In article <1741EE469S86.RVANRAAM@bcsc02.gov.bc.ca>, RVANRAAM@bcsc02.gov.bc.ca w
...

Try lawyers :

 3    = i have/someone owes me 3 TV's               \\
 2*3  = 2 people owe me 3 TV's = 6 TV's               \\
 3i   = i have 3 TV's in trial (someone owes me but doesn't want to give)\\
 2*3i = 2 people owe me 3 court-TV's                                  \\
 i*3  = 1 lawyer ows me  3 TV's (and sure, I'll never get them)         \\
 i*3i = 1 lawyer will get me my 3 TV's = -3 (I'll owe him about 3 TV's)

 In the real world, there is no difference made between "having a TV" and
 "there is someone that ows me a TV".
 Maybe 'i' can model this difference somehow (or the situation in-between) ?

Gorik

***************************************************************************  \\
*\ Gorik\ De\ Samblanx,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ *\ Department\ of\ Computing\ Science\ \ \ \ \ \ \ \ *\\
*\ e-mail:gorik@cs.kuleuven.ac.be\ *\ Katholieke\ Universiteit\ Leuven,\ Belgium*\\
*\ -----------------------------------------------------------------------\ *\\
*\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ *\ "Et\ pour\ quelle\ raison\ etrange,\ \ \ \ \ \ \ \ *\\
*\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ *\ \ Les\ gens\ qui\ ne\ sont\ pas\ comme\ nous,\ \ *\\
*\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ *\ \ Ca\ nous\ derange4."\ (F.Gall)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ *\\
***************************************************************************  \\
End of article 109351 (of 109652) -- what next? [npq]

\  \\

sci.math \#109388 (11 + 953 more)             \\
From: "Ian M. Bland" <sssblani>                 \\
 Re: Imaginary Numbers and Television

This is a multi-part message in MIME format.

---------------------------------656749887200     \\
Content-Transfer-Encoding: 7bit                   \\
Content-Type: text/plain; charset=us-ascii

RVANRAAM@bcsc02.gov.bc.ca wrote:
...

surely 3ixi televisions equates to NOT having 3 television sets pushed back
into the origin space since ixi=-1.

Ian Bland, niv. of Reading.

---------------------------------656749887200       \\
Content-Transfer-Encoding: 7bit                     \\
Content-Type: text/plain

End of article 109388 (of 109652) -- what next? [npq]

\ \\

sci.math \#109537 (10 + 953 more)  \\
 Re: Imaginary Numbers and Television  \\
From: RVANRAAM@bcsc02.gov.bc.ca

In article <43pjtq\$s57@susscsc1.rdg.ac.uk> \\
"Ian M. Bland" <sssblani> writes:
...
"surely 3ixi televisions equates to NOT having 3 television sets pushed back
 into the origin space since ixi=-1. "

A minor snag I was trying to resolve.  How about

(2+3i) : 2 television sets + 3 imagined television sets  \\
(3+5i) : 3 television sets + 5 imagined television sets

Multiply

(2+3i)(3+5i) = 6 + 19i + 15ixi

6 televison sets + 19 imagined television sets and
if you really apply your imagination intensely to the 15
imagined television sets (15i) which is expressed as 15ixi then
these television sets turn into real sets although negative
real sets. Which means you owe somebody for them
and the only way to pay for them is by getting rid of some
of your real TV sets to come up with the capital. Hence you end
up with 6-15 = -9 + 19i television sets. Or 9 sets that you owe
for and 19 imagined sets. So watch what you wish for or else it
may get you into a lot of trouble.

>Date: Tue, 19 Sep 95 16:14:30 PDT \\
End of article 109537 (of 109652) -- what next? [npq]

 \   \\

sci.math \#109349 (9 + 953 more)     \\
From: mareg@csv.warwick.ac.uk (Dr D F Holt)  \\
 Re: Imaginary Numbers and Television

In article <43mql1\$8n@taco.cc.ncsu.edu>,
        cjkushin@eos.ncsu.edu (Carl Joseph Kushinsky) writes:
"
 I'm not sure if this is the right newgroup but....
...  "

I think you are being misled by the word "imaginary", which was always an
unfortunate choice.

The defining property of  i  is that  i\^{}2 = -1.
So before we can hope to interpret the concept of  i  televisions, we have to
understand what we mean by the square of a television.
Any ideas?

Derek Holt.
End of article 109349 (of 109652) -- what next? [npq]

\  \\

sci.math \#109441 (8 + 953 more)  \\
From: cjkushin@eos.ncsu.edu (Carl Joseph Kushinsky)  \\
 Re: Imaginary Numbers and Television


In article <43oitt\$bd1@crocus.csv.warwick.ac.uk>, mareg@csv.warwick.ac.uk (Dr D
F Holt) writes:                                \\
" In article <43mql1\$8n@taco.cc.ncsu.edu>,
        cjkushin@eos.ncsu.edu (Carl Joseph Kushinsky) writes:
" ...
The defining property of  i  is that  i\^{}2 = -1.
So before we can hope to interpret the concept of  i  televisions, we have to
understand what we mean by the square of a television.
Any ideas?

Derek Holt.  " "

That was going to be my next question!

=====================================================================

Carl Kushinsky (cjkushin@eos.ncsu.edu)

End of article 109441 (of 109652) -- what next? [npq]
} %end small

\bigskip\bigskip

\begin{center} {\Large\bf Indications de solutions.} \end{center}
\bigskip

{\Large\bf 1}

\begin{enumerate}    {\footnotesize
\item
\item $z^2=x^2-y^2+2ixy$    ;  $1/z= x/(x^2+y^2) -i y/(x^2+y^2)$.
\item
\item $|z|=1\Rightarrow |z|^2 = z\overline{z}=1 \Rightarrow \overline{z}=
  1/z$.
\item $z=iy$, $y$ r\'eel $\Rightarrow (z-1)/(z+1) = - (1-iy)/(1+iy)$,
  oppos\'e du quotient de deux nombres complexes conjugu\'es, donc
  de m\^eme module.
\item $$\dfrac{z-a}{1-\overline{a}z} = \dfrac{1}{z}  \;
   \dfrac{z-a}{1/z -\overline{a}},$$ et nous savons que $1/z=
  \overline{z}$ si $|z|=1$.
\item On peut effectuer deux \'el\'evations au carr\'e pour obtenir
  l'\'equation de la courbe, mais voici une autre fa\c con:\\
  posons $z=(u^2+1/u^2)/2$. Alors, $z\pm 1 = (u\pm 1/u)^2/2$,
  $|z\pm 1|=\dfrac{1}{2}$ somme des carr\'es des parties r\'eelle et
  imaginaire de $u\pm 1/u = [(\text{Re} u \pm\text{Re} (1/u))^2 +
                             (\text{Im} u \pm\text{Im} (1/u))^2 ]/2 $,
 $|z-1|+|z+1|= (\text{Re} u)^2 +(\text{Re} (1/u) )^2 +
               (\text{Im} u)^2 +(\text{Im} (1/u) )^2 =
    |u|^2 +|1/u|^2$.

Donc, $|z-1|+|z+1|=$ constante $=2a \Rightarrow |u|=$ constante $=
  \sqrt{ a+\sqrt{a^2-1}}$. Enfin, avec $u=|u|(\cos \theta/2
  +i \sin\theta/2)$, $z= x+iy = \dfrac{|u|^2+1/|u|^2}{2}\cos\theta
  +i \dfrac{|u|^2-1/|u|^2}{2}\sin\theta$: \\
  $x= a\cos\theta\;, y=b\sin\theta\;, \qquad (b=\sqrt{a^2-1}).$

La courbe est une {\it ellipse} de foyers $-1$ et 1.

\item $z_1 z_2 = |z_1|(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)
         |z_2|(\cos\theta_2+i\sin\theta_2) =
  |z_1| \, |z_2| [\cos\theta_1 \cos\theta_2 -\sin\theta_1 \sin\theta_2
     +i(\cos\theta_1 \sin\theta_2 + \sin\theta_1\cos\theta_2)] =
   |z-1|\, |z_2| (\cos(\theta_1+\theta_2) +i\sin(\theta_1+\theta_2))$.
\item Partir de $\theta_2=\dfrac{\theta_2+\theta_1}{2}+
                    \dfrac{\theta_2-\theta_1}{2},
                 \theta_1=\dfrac{\theta_2+\theta_1}{2}-
                    \dfrac{\theta_2-\theta_1}{2}$.

Graphique: cis\,$\theta_1$ et cis\,$\theta_2$ sont aux extr\'emit\'es de
la base d'un triangle isoc\`ele d'angle au sommet $\theta_2-\theta_1$.
\item $\dfrac{d \text{cis} x}{dx} = \dfrac{d\cos x}{dx} +i \dfrac{d\sin x}{dx}
  $.
\item Remplacer $x$ par $|x+iy|\cos \text{Arg}(x+iy)$ et
                $y$ par $|x+iy|\sin \text{Arg}(x+iy)$.
\item
\item Racines $n^{\text{\`emes}}$ de $z = |z|(\cos \text{Arg} z +
  i\sin \text{Arg} z) = |z|^{1/n} [\cos (\text{Arg} z+2k\pi)/n +
                                  i\sin (\text{Arg} z+2k\pi)/n ]$,
    \quad $k=0,1,\ldots, n-1$. Forment les sommets d'un polygone r\'egulier
    de $n$ c\^ot\'es, inscrit dans un cercle de rayon $|z|^{1/n}$.
\item Produit des distances d'un point correspondant au nombre complexe $z$
  aux $n$ racines $n^{\text{\`emes}}$ de $r^n$ =
  $\prod_{k=0}^{k=n-1} |z-r\,{\text{cis}}(2k\pi/n)|= |F(z)|$, o\`u $F$ est
  le polyn\^ome qui s'annule aux racines $n^{\text{\`emes}}$ de $r^n$:
  $F(z)=z^n-r^n$. Quand $z=R>r$, produit $= R^n-r^n$.

 Quand $z\to r$, produit des distances aux \emph{autres} racines
 $= \lim_{R\to r} \dfrac{R^n-r^n}{R-r} = nr^{n-1}$. Donc,\\
 $n=\prod_{k=1}^{k=n-1}|1-{\text{cis}}\,(2k\pi/n)| =
  \prod_{k=1}^{k=n-1}|\text{cis}\,0-{\text{cis}}\,(2k\pi/n)| =
  2^{n-1}\prod_{k=1}^{k=n-1} \sin(k\pi/n)$.

\item En effet, $v_1=z+(z^2-1)^{1/2}$ et $v_2=z-(z^2-1)^{1/2}$ sont les deux racines
 de $v^2-2zv+1=0$, donc $v_1v_2=1$, $|v_1|\; |v_2|=1$: l'une des deux racines
 a un module $>1$ et l'autre a un module $<1$, sauf si les deux racines ont
 le m\^eme module unit\'e: $v_1=\text{cis}\, \theta$ et
                           $v_2=\text{cis}(- \theta)$, ce qui n'arrive que
 si $2z = v_1+v_2 = 2\cos\theta$, donc si $z$ est r\'eel $\in [-1,1]$.

Si $v_1=\rho \text{cis}\,\theta$, avec $\rho=$ constante $=a+\sqrt{a^2-1}$,
$v_2=1/v_1 = \rho^{-1} \text{cis}(-\theta)$, \\
$z = (v_1+v_2)/2 = \rho(\cos\theta+i\sin\theta)/2 +\rho^{-1}(\cos\theta-i\sin\theta)/2=
 = \dfrac{\rho+\rho^{-1}}{2}\cos\theta + i\dfrac{\rho-\rho^{-1}}{2}\sin\theta$,
 on retrouve l'ellipse d'un probl\`eme pr\'ec\'edent.

\item
  \begin{itemize}
  \item
  \item Horizontale $z=x+ic \Rightarrow z^2 = x^2-c^2 +2icx$: parabole d'axe
        horizontal, de sommet $-c^2$. Le foyer est \`a l'origine (l'abscisse de
          la directrice est $-2c^2$).\\
        verticale $z=c+iy \Rightarrow z^2 = c^2-y^2 +2icy$: parabole d'axe
        horizontal, de sommet $c^2$.
  \item
  \end{itemize}

}  %end small

\end{enumerate}


{\Large\bf 2}

\begin{enumerate}    {\footnotesize

\item
\item
\item
\item
\item
  Si $h$ est r\'eel, $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =
         \dfrac{(c+h)^2d+i(c+h)d^2-c^2d-icd^2}{h}=
         d(2c+h+id)\to_{h\to 0} d(2c+id)$;\\
  Si $h$ est imaginaire pur $h=ik$, $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} =
          \dfrac{f(a+ik)-f(a)}{ik} =
         \dfrac{c^2(d+ik)+ic(d+ik)^2-c^2d-icd^2}{ik}=
         c(c+2id-k)\to_{k\to 0} c(c+2id)$.
\item  Les formules ``normales'' s'appliquent: $dz^n/dz = nz^{n-1}$.

\item  Une combinaison de 1, $z$ et $z^2$ ne contient $x^2$ et $y^2$ que
    associ\'es dans la diff\'erence $x^2-y^2$, il n'est pas possible de
    faire appar\^\i tre la somme $x^2+y^2$.

\item

\item

}  %end small

\end{enumerate}

{\Large\bf 3}

\begin{enumerate}    {\footnotesize

\item
\item
\item
\item
\item
\item

\item

\item

\item

}  %end small

\end{enumerate}


{\Large\bf 4}

\begin{enumerate}    {\footnotesize

\item
\item
\item
\item
\item
\item

\item

\item

\item

}  %end small

\end{enumerate}


{\Large\bf 5}

\begin{enumerate}    {\footnotesize

\item
\item
\item
\item
\item
\item

\item

\item

\item

}  %end small

\end{enumerate}


{\Large\bf 6}

\begin{enumerate}    {\footnotesize

\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item
\item

\item {\ }\\
   Dans la plupart des cas, je me contente de recopier les r\'eponses du
   bouquin. Une prime (notre consid\'eration) \`a qui trouve des erreurs.
  \begin{enumerate}
   \item $-\pi i/\sqrt{2}$
   \item $-\pi i/2$
   \item $\pi i \sin 1$
   \item $-3\pi i/64$
   \item $16\pi i/3$
   \item $\pi i (\cos 1 +2\sin 1)$
   \item $5\pi/12$
   \item $0$
   \item $\pi\sqrt{2}$
   \item $4\pi/3$
   \item $3\pi/8$
   \item $0$
   \item $\pi/(16a^3)$
   \item $3\pi\sqrt{2}/(16a)$
   \item $\pi a^{-3/2} b^{-5/2}/32$
   \item $0$
   \item $\pi i e^{-1+i}$
   \item $-(2\pi\sin 1)/e$
   \item $0$
   \item $\pi i e^{3i-10}$
   \item $\pi(1-i)e^{-3i-6}$
   \item $\pi$
   \item $3\pi e^{-2}/32$
   \item $\pi(\sin 1 -\cos 1)/(2e)$
   \item $\pi\cosh t$
   \item $\pi (t-i)e^{it}$
  \end{enumerate}


}  %end small

\end{enumerate}


\end{document}
