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%                                   1995

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%Also turn off section marks.
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\newtheorem{thm}{Th\'eor\`eme}


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\renewcommand{\contentsname}{Table  des mati\`eres.\ }
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% tables des matieres avec ... : extrait de amsbook.cls avec dotfill au
%   de hfil
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    \endgroup
  \fi}

% police de chapitre
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    \ifnum\c@secnumdepth>\m@ne
      \leavevmode \hskip-\leftskip
      \rlap{\vbox to\z@{\vss
%         \centerline{\normalsize\bfseries
          \centerline{\Large    \bfseries
                        \@xp{\chaptername}\enspace\thechapter}
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     #1\par \endgroup
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\def\mylmark{\ mylmark initial}
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\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{}

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\makeindex


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\begin{document}

%\pagenumbering{roman}
\thispagestyle{empty}

%\epsfxsize=477bp \epsfbox[-80 615 397 725]{sedes94.ps}
\vspace*{-3cm}\hspace*{5.8cm}\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{sedes94.ps}



\newrgbcolor{lgr}{0.459 0.667 0.859 }   % pantone 285
\newrgbcolor{bgr}{0.000 0.157 0.408 }   % pantone 282

\vspace*{-4cm}
\begin{center}
{\Large\bgr\frutibla Universit\'e catholique de Louvain} \\

\vspace*{3cm}

{\Huge{\Huge \textbf{Anal$\boldsymbol{y}$se num\'erique:}}} \\
   \  \\   \vspace{20pt}
   {\Large Approximation, interpolation, int\'egration. }  \\
   \  \\   \vspace{10pt}
 \textsf{ INMA2171}  \\
 \textsf{2010-2011}   \\

\vspace{0.2cm}
  Alphonse Magnus,    \\
  Institut de  Math\'ematique Pure et Appliqu\'ee,  \\
 Universit\'e Catholique de Louvain, \\
 Chemin du Cyclotron,2, \\
  B-1348 Louvain-la-Neuve \\
      (Belgium)\\% Research address for author one
       (0)(10)473157 ,
       \href{mailto:alphonse.magnus@uclouvain.be}
        {\tt alphonse.magnus@uclouvain.be} ,

  %\href{http://www.math.ucl.ac.be/\~magnus/}
  %     {\tt http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/ }
 \href{http://perso.uclouvain.be/alphonse.magnus/}
       {\tt http://perso.uclouvain.be/alphonse.magnus/}

\end{center}
\enlargethispage{5cm}
\vspace{4.5cm}

\begin{flushright}

\vspace*{1cm}\hspace*{7.8cm}\includegraphics[angle=270, scale=0.3]{Marxretir.ps}\\
Groucho Marx dans {\sl Animal Crackers}

\newpage

Pourquoi les chiffres fascinent-ils tant de simples d'esprit \\
et les impatients toujours friands de r\'ef\'erences et de \\
certitudes? \textit{Un chiffre ne se discute pas}, en quelque sorte par\\
d\'efinition; il y  a bien une virilit\'e imb\'ecile du chiffre \\
ent\^et\'e et toujours pr\^et \`a s'abriter derri\`ere une esp\`ece\\
d'immunit\'e scientifique.\\
 Gilles Ch\^atelet, \textsl{Vivre et penser comme des
porcs}, Exils 1998 = Folio Actuel \textbf{73}, 1999.

\end{flushright}
\smallskip

\begin{minipage}[t]{51mm}
\  \par


\textsl{Je suis fatigu\'e des chiffres\\ mais amoureux de leur\\ monde truqu\'e‚}\\
John Maeda

\includegraphics[angle=0, scale=0.4]{Glashan.ps}

John Glashan, {\sl The jokes of John Glashan}, Private Eye, London, 1975.

\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{1mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{36mm}
\  \par

\setlength{\fboxrule}{3pt} \setlength{\fboxsep}{1pt}
\fbox{\parbox{87pt}
{\Large\textbf{\textsf{  L'abus de  \\  \ \ \ nombres
                         nuit \`a  \\  la sant\'e   }}}
     }
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{1mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{82mm}
\  \par

\includegraphics[angle=0, scale=0.4]{dmart12.ps}

 Don Martin, {\sl MAD Magazine} 111, June 1967.\\
                   Voir suite p.~\pageref{DMartinfin} 

\includegraphics[angle=0, scale=0.2]{0129.ps}


\includegraphics[angle=270, scale=0.2]{apprf2.ps}

\end{minipage}

  \   \   %
\\   \  \ %

  P\'enombre\  \  %
        \href{http://www.penombre.org/}{\tt http://www.penombre.org/}




%\newpage

%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{6cm}
%\begin{center}
%   \textsl{ A J.~Meinguet, \\
%          Professeur \`a l'Universit\'e, \\
%            qui cr\'ea ce cours,\\
%           et dont l'inspiration est toujours pr\'ecieuse.}

%\end{center}

\newpage


\renewcommand{\mylmark}{Table}
\thispagestyle{fancy}
\tableofcontents
\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{fancy}}

%\newpage

\chapter*{Pr\'eface.}

\renewcommand{\mylmark}{Pr\'eface}
\thispagestyle{fancy}
%\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{fancy}}


  L'analyse num\'erique a longtemps
\'et\'e incorpor\'ee au cours d'analyse g\'en\'erale, dont elle
re\-pr\'e\-sen\-tait le versant appliqu\'e et constructif.

Le fort d\'eveloppement des moyens de calcul automatique a rendu
n\'ecessaire l'apparition d'un enseignement sp\'ecifique. La discipline
put se d\'evelopper sous
l'impulsion de math\'ematiciens avis\'es, tels
P.~Henrici \cite{Hen} et E.~Stiefel \cite{Sti}.

Le pr\'esent cours fut cr\'ee par \emph{\textbf{Jean Meinguet}},
 Professeur \`a l'Universit\'e. On trouvera ici l'essentiel de la
partie ``approximation, interpolation, int\'egration'' de son
enseignement. D'autres cours reprennent les th\`emes de r\'esolution
num\'eriques des \'equations (y compris diff\'erentielles et
fonctionnelles), d'alg\`ebre lin\'eaire num\'erique (th\'eorie des
matrices) et d'algorithmique num\'erique.

\smallskip

%\hspace*{-80pt} \begin{tabular}{llll}
%             &                          &              & cr\'ed.      \\
%   INMA 2171 & Analyse num\'erique:  &  [30-22.5] Q2 &  5
%                             A. Magnus   \\
% &   approximation, interpolation, int\'egration  &    &   \\
%   INMA 1170 &  Analyse num\'erique:  & [22,5-30] Q1 &   5
%             P.A. Absil,   \\
% &  r\'esolution num\'erique des \'equations       &  & P. Van Dooren  \\
%   MAT2410   & Equations aux d\'eriv\'ees & [30,0] Q2 & 5  N. \\
%             & partielles 2 :  Equation de&            &      \\
%             & la chaleur, mouvement brownien&         &      \\
%             & et aspects num\'eriques                   &      \\ 
%  INMA 2380 &  Th\'eorie des matrices  &[30-22,5] Q2&     5
%                  P. Van Dooren  \\
%     ?  & S\'eminaire d'analyse num\'erique &  [30] Q1 &    2
%       A. Magnus, P. Van Dooren  \\
%   INMA 2111 & Algorithmes et complexit\'e & [30-15]  Q2 & 4
%     V. Blondel, L.Wolsey     \\
%             &                             & (Bisannuel)   &   \\
%   INMA 2710 & Algorithmique num\'erique & [30-15] Q1 &    4
%                    P. Van Dooren
%
%\end{tabular}

\smallskip

Le Professeur Meinguet est \'egalement \`a l'origine de l'enseignement
\index{Meinguet, J.}
de la programmation et de l'informatique dans notre universit\'e, mais
cela est une autre histoire\dots

\bigskip

Les grands principes de la th\'eorie de l'approximation sont d'abord d\'eduits de
concepts d'analyse fonctionnelle (chap.~1).
 Ces r\'esultats sont alors appliqu\'es
\`a des situations plus concr\`etes: on examine en d\'etail l'approximation
par des polyn\^omes et par des polyn\^omes trigonom\'etriques, selon
la norme du maximum (chap.~2) et en moyenne quadratique (chap.~3). Avec
 l'interpolation
(chap.~4) et le calcul aux diff\'erences finies (chap.~5), on dispose
des outils permettant
de traiter tous les probl\`emes de l'analyse num\'erique classique,
en particulier l'int\'egration num\'erique.

%\chapter*{Bibliographie.}
\renewcommand{\mylmark}{Bib}
\thispagestyle{fancy}
%\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{fancy}}


{\Small

%\newcommand{\bibetiq}[1]{\hspace\labelsep [#1]}
\newcommand{\bibetiq}{}
\begin{thebibliography}{99}
\renewcommand{\mylmark}{Bib}
\thispagestyle{fancy}
%\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliographie?}

\vspace*{-88pt}

 \bibitem[ ]{ } Quelques ouvrages fr\'equemment cit\'es ici (par une mention du
type [xxx]), normalement disponibles en biblioth\`eques de MATH,
PHYS et BSE:

% \bibitem[ ]{  }    \

 \bibitem[Abr]{Abr} M.~Abramowitz, I.A.~Stegun, ed., \textsl{Handbook of
   Mathematical Functions}, Nat.\ Bureau of Standards, Washington, 1964 =
   Dover, New York, 1965 etc.
\href{http://members.fortunecity.com/aands/}
{\tt http://members.fortunecity.com/aands/},
\href{http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP}
{\tt http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP}\\
\href{http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/}{{\tt http://www.math.sfu.ca/\~{}cbm/aands/} Abramowitz
 and Stegun: Handbook of Mathematical Functions}
An electronic copy of the tenth printing of this famous reference.
Voir aussi David Alan Grier:
  ``Irene Stegun, the Handbook of Mathematical Functions, and the Lingering Influence of the New Deal,''
\textsl{The American Mathematical Monthly}, Vol. \textbf{113}, No. 7, August-September 2006, pp. 585-597.



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  Notes et programmes dans
 \href{http://www.math.uiowa.edu/~atkinson/}
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 \bibitem[Ham]{Ham} R.W.~Hamming, \textsl{Numerical Methods for Scientists and
     Engineers}, $2^{\text{nd}}$ ed., McGraw-Hill, New York, 1973 = Dover

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\enlargethispage{1.5cm}

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       Wiley, New York, 1982.

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 \bibitem[Kun]{Kun} J.~Kuntzmann, \textsl{M\'ethodes num\'eriques}, Hermann,
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   Moscou-Leningrad 1949 = Translation Series, U.S. Atomic Energy Commission
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     Numerical Analysis}, $2^{\text{nd}}$ ed., McGraw-Hill, 1978.

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           Introduction \`a l'analyse num\'erique},
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  \href{http://dmawww.epfl.ch/rappaz.mosaic}
  {\texttt{http://dmawww.epfl.ch/rappaz.mosaic}}

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\href{http://www.archive.org/details/LeconsSurApproximadesFunctions}{\texttt{http://www.archive.org/details/LeconsSurApproximadesFunctions}}

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  rassembl\'ees dans la biblioth\`eque MATH. 3 volumes parus, Acad\'emie
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% \item[Wat] G.A.~Watson, \textsl{Approximation Theory and Numerical Methods},
%Wiley, 1980.

\end{thebibliography}

 \medskip  \begin{center}  P\'eriodiques.  \end{center}
\smallskip


\href{http://www.ams.org/mathweb/mi-journals.html}
{\texttt{http://www.ams.org/mathweb/mi-journals.html}}

\noindent ACM\footnote{ACM= Association for Computing Machinery.} Transactions
  on Mathematical Software,
    \href{http://math.nist.gov/toms/}{\texttt{http://math.nist.gov/toms/}},
 Advances in Computational Mathematics,
 Annals of Numerical Mathematics,
 Applied Numerical Mathematics,
 Approximation Theory and its Applications,
 Calcolo,
 Constructive Approximation,
 Electronic Transactions on Numerical Analysis
  \href{http://etna.mcs.kent.edu/html/}
       {\texttt{http://etna.mcs.kent.edu/html/}},
 Journal of Approximation Theory,
 Journal of Computational and Applied Mathematics
   \href{http://www.elsevier.nl/locate/cam}
    {\texttt{http://www.elsevier.nl/locate/cam}},
 Mathematics of Computation,
 Numerical Algorithms,
 Numerische Mathematik,
 SIAM\footnote{SIAM = Society for Industrial and Applied Mathematics.} Journal
  of Numerical Analysis.   \index{ACM} \index{SIAM}

 \medskip  \begin{center}  Ressources r\'eseau.  \end{center}

\begin{list}{}{%
   \setlength{\labelwidth}{44pt}
    \setlength{\parsep}{6pt} \let\makelabel\bibetiq
              }

  \item[e-livres] Livres de math\'ematiques num\'eris\'es
  \href{http://edmond.orignac.pagesperso-orange.fr/math-refs.html}{\tt http://edmond.orignac.pagesperso-orange.fr/math-refs.html}
          

   \item[Usenet]
   \href{news:sci.math.num-analysis}{\texttt{news:sci.math.num-analysis}}

  \item[FAQ]  FAQ: Numerical Analysis and Associated Fields Resource
   Guide,  by Steve Sullivan (Mathcom, Inc.), voir ``Tech Info'' dans
      \href{http://www.mathcom.com/}
           {\texttt{http://www.mathcom.com/}}

  \item[Lille] \'Ecole d'ing\'enieurs de Lille
    \href{http://www.eudil.fr/}{\texttt{http://www.eudil.fr/}}

  \item[Conc] Numerical Analysis at Concordia.
   \href{http://indy.cs.concordia.ca/na/}
        {\texttt{http://indy.cs.concordia.ca/na/}}

  \item[ATNet] Approximation Theory net. Contient des notes de
    cours (voir \`a ``Classroom notes'')\\
      \href{http://www.mi.uni-erlangen.de/at-net}
      {\texttt{http://www.mi.uni-erlangen.de/at-net}}

  \item[Matlab, Java]
  \href{http://www.mathworks.com}{\texttt{http://www.mathworks.com}},
   \href{http://www.mathtools.net}{\texttt{http://www.mathtools.net}}

  \item[Matlab, Atkinson]
   \href{ftp://ftp.math.uiowa.edu/pub//atkinson/ENA_Materials/GUI/}
   {\texttt{ftp://ftp.math.uiowa.edu/pub//atkinson/ENA\_Materials/GUI/}}\  ,%
   \href{http://www.math.uiowa.edu/~atkinson/m72_master.html}
   {\texttt{http://www.math.uiowa.edu/\~{}atkinson/m72\_master.html}}

\enlargethispage{1.0cm}

  \item[netlib] Netlib: tr\`es nombreux programmes,
     \href{http://www.netlib.org/}
          {\texttt{http://www.netlib.org/}}

   \item[fftw] FFTW: tranform\'ee de Fourier rapide,
       \href{http://www.fftw.org/}{\texttt{http://www.fftw.org/}}

   \item[NFFT] From: Daniel Potts $<$potts@mathematik.tu-chemnitz.de$>$\\
Date: Tue, 21 Nov 2006 13:18:49 +0100\\
Subject: Software: NFFT, Nonequispaced Fast Fourier Transform

We are pleased to announce version 3.0 of our C library for computing the
nonequispaced discrete Fourier transform in one or more dimensions.
Our library is free software, and based on FFTW3.
Visit the NFFT web-site at

\href{http://www.uni-chemnitz.de/~potts/nfft}
{\texttt{http://www.uni-chemnitz.de/\~{}potts/nfft}}


for the software, documentation, and related links.

  \item[Laval] Analyse num\'erique \`a l'univ. Laval\footnote{Merci
    \`a C.~Debi\`eve pour cette information.}
    \href{http://www.mat.ulaval.ca/anum/}
    {\texttt{http://www.mat.ulaval.ca/anum/}}


  \item[NumRec] W.H.~Press, S.A.~Teukolsky, W.A.~Vetterling,
    B.P.~Flannery, \textsl{Numerical Recipes}: programmes dans
    \href{http://nr.harvard.edu/numerical-recipes/}
    {\texttt{http://nr.harvard.edu/numerical-recipes/}}, texte dans\\
      \href{http://cfatab.harvard.edu/nr/nronline.html}
      {\texttt{http://cfatab.harvard.edu/nr/nronline.html}},
   voir aussi\\
  \href{http://math.jpl.nasa.gov/nr/}
   {\texttt{http://math.jpl.nasa.gov/nr/}} pour une critique s\'ev\`ere et
d'autres informations\dots

\item[GSL]  New Release of GNU Scientific Library.
Version 1.6 of the GNU Scientific Library (GSL) is
now available for download at:

 \href{http://www.gnu.org/software/gsl/}{\texttt{http://www.gnu.org/software/gsl/}}

GSL is a free numerical library written in C using
modern coding conventions.  It is distributed under
the GNU General Public License.



\item[CodeCogs] Date: Tue, 15 Mar 2005
Subject: CodeCogs, Open Source C/C++ Library

This is to inform you about the website called "Code Cogs", which is "A New
Open Source Scientific Library / Database in C++". The web site is free to
use with all software being open source.

The main homepage is at: \href{http://www.codecogs.com}{\texttt{http://www.codecogs.com}}

CodeCogs is a new online scientific numerical repository of C/C++ code that
has been created for scientists, engineers, mathematicians and financial
workers.

\end{list}


} % end Small

%\newpage


\vspace*{-5pt}

\chapter*{Analyse num\'erique et th\'eorie de l'approximation.}
\renewcommand{\mylmark}{Intro}
\thispagestyle{fancy}%\pagenumbering{arabic}

\vspace*{-15pt}
\section{Qu'est ce que l'analyse num\'erique?}

\begin{flushright}
                       \textsl{Vaste programme. \\
               G\raisebox{.7ex}{\Small al} de Gaulle\ \ }
\end{flushright}
\vspace*{-15pt}


{\Small
\subsection{Analyse num\'erique et analyse}   \   \\
Les math\'ematiciens du pass\'e m\^elaient all\`egrement
les constructions calculatoires aux vastes g\'en\'eralisations.
On pouvait passer du dessin de la coque d'un navire ou du volume des
tonneaux de bi\`ere aux consid\'erations les plus philosophiques.
On est aujourd'hui plus disciplinaire, si pas plus disciplin\'e, et on
enferme la pens\'ee dans toutes sortes de sous-r\'egions.

L'\emph{analyse} \'etudie les nombres r\'eels et les fonctions de variables
r\'eelles. On consid\`ere, d'ailleurs \`a juste titre, que le progr\`es en
analyse consiste \`a \'etablir la v\'erit\'e d'une proposition en utilisant un minimum
de moyens. Ceci conduit \`a \'eliminer autant que possible toute construction
d\'etaill\'ee, donc \`a \'eviter toute repr\'esentation explicite inutile. Ainsi,
on pr\'ef\`ere parler en analyse de formes ou d'op\'erateurs, voire
d'endomorphismes, plut\^ot que de matrices qui renvoient \`a des repr\'esentations
dans des bases impos\'ees. A un niveau plus fondamental, utiliser la repr\'esentation
d\'ecimale d'un nombre r\'eel serait une lourde faute de go\^ut.

L'\emph{analyse num\'erique} est pr\'ecis\'ement li\'ee \`a cette ancienne partie de
l'analyse qui d\'ecrit ces constructions qui ne sont plus essentielles \`a
la compr\'ehension de la th\'eorie. On ne se contente pas d'exhumer d'anciens
secrets et de les rassembler dans de gros formulaires, ces constructions sont
pr\'esent\'ees de fa\c con aussi ordonn\'ee et syst\'ematique que possible:
Henrici~\cite{Hen}
 d\'efinit l'analyse num\'erique comme la \emph{th\'eorie des
m\'ethodes constructives de l'analyse}, Natanson intitule son ouvrage \cite{Nat}
\emph{Th\'eorie constructive des fonctions},
Trefethen\footnote{ L.N.~Trefethen, The Definition of Numerical Analysis,
\textsl{SIAM News}, November 1992 = \textsl{Bulletin of the Institute of
Mathematics and Applications}, March/April 1993 =
 \href{http://www.comlab.ox.ac.uk/oucl/users/nick.trefethen/defn.ps}
{\texttt{http://www.comlab.ox.ac.uk/oucl/users/nick.trefethen/defn.ps}},
 copie dans
  \href{trefethennuman.ps}
  {\texttt{trefethennuman.ps}}}
dit que l'analyse num\'erique est \emph{l'\'etude des algorithmes de r\'esolution
des probl\`emes des math\'ematiques continues}.

L'analyse num\'erique commente, illustre, concr\'etise\footnote{L'analyse
num\'erique ne remplace pas l'analyse par un projet o\`u ne figureraient
que des objets d\^ument construits (math\'ematique intuitionniste), toutes
les m\'ethodes de l'analyse sont parfaitement valides en ana\-ly\-se num\'erique,
o\`u on peut donc tr\`es bien trouver des d\'emonstrations non constructives!} et
applique l'analyse.

\subsection{Analyse num\'erique et calcul} {\ }

% \enlargethispage{25pt}

Tout projet scientifique ou technique comporte une importante phase de calculs.
Parlett\footnote{B.~Parlett, Progress in numerical analysis, \textsl{SIAM
 Review} \textbf{20} (1978) 443-456.} d\'ecrit la tour

\begin{minipage}[t]{61mm}
\  \par

   \smallskip
  {\begin{tabular}{|c|c}
     \cline{1-1}
     Programmes d'applications  &  5  \\  \cline{1-1}
     Grands logiciels orient\'es&      \\
      vers les applications    &  \raisebox{1.5ex}[0pt]{4}    \\  \cline{1-1}
     Biblioth\`eques de programmes &    \\
     pour matrices, approximation,   & 3 \\
     \'equadiff, optimisation, etc.  &   \\  \cline{1-1}
     Fonctions \'el\'ementaires: $\log(x)$, etc. & 2  \\ \cline{1-1}
     Langages de programmation    &  1  \\  \cline{1-1}
     Unit\'e arithm\'etique $+$ $-$ $\times$ $/$ &    \\
      Assembleur                & \raisebox{1.5ex}[0pt]{0} \\ \cline{1-1}
   \end{tabular}

  }
\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{1mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{92mm}
\  \par

\vspace*{-10pt}
\noindent
du calcul  scientifique
(cf. figure de gauche) mise \`a la disposition de l'utilisateur.
Chaque niveau utilise des niveaux inf\'erieurs.
L'analyse num\'erique intervient surtout aux niveaux 2 (``bo\^\i tes noires'':
probl\`emes banalis\'es) et 3, o\`u les probl\`emes sont d'ailleurs
explicitement formul\'es en termes math\'ematiques. On ne s'occupera donc pas
beaucoup ici des repr\'esentations en machine des r\'eels, ni de questions
d'erreurs d'arrondi, qui ressortissent plut\^ot de l'algorithmique
num\'erique. Quant aux niveaux sup\'erieurs, ils int\'eressent sp\'ecifiquement
des utilisateurs d'un domaine des sciences et techniques (niveau 4), et la
mise au point d'une application particuli\`ere.
\end{minipage}

\bigskip

G.~Strang distingue\footnote{
\href{http://www.ipam.ucla.edu/publications/inauguration/strang.html}
{\texttt{http://www.ipam.ucla.edu/publications/inauguration/strang.html}}
} distingue six \'etapes dans le traitement d'un probl\`eme difficile:

\begin{enumerate}
  \item \textbf{Mod\'elisation.} Arriver au probl\`eme math\'ematique
     traduisant le mieux le ph\'enom\`ene consid\'er\'e,
  \item \textbf{Repr\'esentation.} Choisir une famille de fonctions
    susceptibles de bien approcher la solution de 1., et la
    \textbf{base} qui servira \`a cette repr\'esentation,
  \item \textbf{Param\`etres.} Bien choisir  les degr\'es,
  points de grille
     ou d'interpolation, qui assureront une erreur suffisamment
     faible,
  \item \textbf{Algorithme.} D\'ecrire les \'etapes de calcul
        aboutissant \`a la solution num\'erique,
  \item \textbf{Programmation.} Tenir compte des moyens de calcul
        disponibles,
  \item \textbf{Visualisation.} La r\'eponse peut se
        limiter \`a quelques nombres, mais peut n\'ecessiter une
     pr\'esentation sous forme de tables, graphes, etc.
\end{enumerate}

L'analyse num\'erique est concern\'ee par les points (2), (3), et (4) pour
  une certaine part (l'algorithmique num\'erique pour une autre part).

} % end Small

\section{Th\'eorie de l'approximation.}

\begin{flushright}
        \textsl{Errare humanum est}
\end{flushright}

\subsection{Les trois niveaux d'une th\'eorie de l'approximation.}{\ }
{\Small
\vspace{6pt}
La th\'eorie de l'approximation est la plus aimable des sciences exactes.
Le droit \`a l'erreur y est autoris\'e, et m\^eme encourag\'e. Un objet $f$
(nombre r\'eel, fonction, op\'erateur, etc.) math\'ematiquement d\'efini
mais inaccessible \`a des repr\'esentations \'el\'ementaires, est approch\'e
par un objet plus simple $p$. Au premier niveau, il s'agit de construire
une approximation acceptable $p$, par exemple $p=0.3333$ si $f=1/3$.

 Jusque dans les ann\'ees 1950, on voyait dans les formulaires la
 ``s\'erie de Renard'', dite encore des ``nombres normaux'', qui consiste
 en la suite des 10 puissances successives de 1.25 et qui donne tr\`es
 approximativement des constantes math\'ematiques, physiques et
 technologiques remarquables:

 \begin{center}
 \begin{tabular}{cccccccccc}
   $2^{1/3}$ &   $\pi/2$ &  &  cm/in & $\pi$ & in/dm &  & $2\pi$ & & $g$ \\
  $10^{1/10}$ &          &  &        &       &       &  &        & &$\pi^2$ \\
     1.25    &   1.6    &  2&  2.5   & 3.15  &   4   & 5&  6.3   &8& 10
 \end{tabular}
 \end{center}

\smallskip

Au deuxi\`eme niveau, on examine si une loi permet d'expliquer la forme
de diverses approximations successives $0.33$, $0.333$, etc. A ce niveau, on ne s'occupe
plus des approximations proprement dites.
Au troisi\`eme niveau, on caract\'erise des classes d'objets $f$ \`a partir
de dispositifs initialement destin\'es \`a fournir des approximations.
}
\vspace{6pt}

{\Small Autre exemple moins trivial: soit $f=\sqrt{2}$, $p$ est un
nombre rationnel $a/b$ avec $0<b\leqslant n$, et la distance
$|\sqrt{2} -a/b|$ la plus petite possible. On a donc d\'efini une
\emph{meilleure approximation} dans un ensemble, pour une
\emph{distance} donn\'ee. On fait varier $n$ et on note les
\emph{nouvelles} fractions qui apparaissent. En fait, il suffit de
prendre $m=$ entier le plus proche de $n\sqrt{2}$  et de
conserver les fractions donnant une erreur plus petite que la plus
petite erreur pr\'ec\'edente\footnote{On dispose donc d\'ej\`a
d'une approximation  $1.4142135623730950488016887\dots$ de $\sqrt{2}$.}:

\enlargethispage{28pt}
\begin{flushright}
        \textsl{C'est plein, plein de force, \ \ \  \\   \vspace*{1mm}
       et plein, plein de nombre l\`a-dedans. }\\
            Alfred Jarry\footnote{dans \textsl{Le surm\^ale}, \`a propos
            d'un automate-boxeur de foire.} \  \   \ %
\end{flushright}
\vspace{-11pt} \begin{center}
\begin{tabular}{rcr@{.}l}
 $\sqrt{2} - 1/1 $&=&$  0$&$4142135623730950488016887 $     \\
 $\sqrt{2}- 3/2 $&=&$ -0$&$0857864376269049511983113  $     \\
 $\sqrt{2}- 4/3 $&=&$  0$&$0808802290397617154683554   $     \\
 $\sqrt{2}- 7/5 $&=&$  0$&$0142135623730950488016887    $     \\
 $\sqrt{2}- 17/12 $&=&$ -0$&$0024531042935716178649779   $     \\
 $\sqrt{2}- 24/17 $&=&$  0$&$0024488564907421076252181    $     \\
 $\sqrt{2}- 41/29 $&=&$  0$&$0004204589248191867327232     $     \\
 $\sqrt{2}- 99/70 $&=&$ -0$&$0000721519126192369125970      $     \\
 $\sqrt{2}- 140/99 $&=&$  0$&$0000721482316809073875473      $
\end{tabular}   \end{center}

Au premier niveau, on recueille donc ces approximations. Au deuxi\`eme
niveau, on examine comment d\'ecrire les approximations retenues\footnote{Le
 \label{redrac2}
 secret consiste \`a ne retenir d'abord que le \emph{dernier} \'el\'ement
 des groupes de $p$ cons\'ecutifs avec $f-p$ de m\^eme signe. Ce sous-ensemble
 d'approximations (\emph{r\'eduites}) $\{1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, \dots\}$
 pr\'esente une structure tout \`a fait int\'eressante (fraction continue: cf.
 C.~Brezinski, \textsl{History of Continued Fractions and Pad\'e Approximants},
 Springer, 1991), I.~Niven, \textsl{Irrational Numbers}, AMS \& Wiley}.
Au troisi\`eme niveau, on apprend quelque chose sur
$f=\sqrt{2}$, par exemple que 2 ne peut \^etre le carr\'e d'un nombre
rationnel (voir p.~\pageref{irrat}),
 m\^eme si on conna\^\i t des d\'emonstrations non constructives
beaucoup plus courtes\footnote{Les premi\`eres preuves de transcendance de $e$
et $\pi$ \'etaient aussi bas\'ees sur des constructions d'approximations.
Voir aussi p.~\pageref{irrat}.}.

\smallskip  %\enlargethispage{28pt}
\begin{flushright}
        \textsl{Perseverare diabolicum}
\end{flushright}


\begin{minipage}[t]{10cm}
\  \par

\index{Poncelet}
Autre exemple: Poncelet\footnote{Voir V.L.~Goncharov, The theory of
best approximations of functions, \textsl{J. Approx. Theory}
\textbf{106} (2000) 2-57.} cherche \`a approcher $\sqrt{a^2+b^2}$
par une expression plus simple $\alpha a+\beta b$. Il trouve
$\alpha=0.961$ et $\beta=0.398$ assurant une erreur relative
$\leqslant$ 4\% si on a choisi $a\geqslant b$: premier niveau. Mais comment
a-t-il obtenu ces valeurs? Pour tout couple $(\alpha,\beta)$, on consid\`ere
l'erreur relative $\displaystyle{  \dfrac{\alpha a+ \beta b}
 {\sqrt{a^2+b^2}}-1 = \dfrac{\alpha+\beta x}{\sqrt{1+x^2}}-1 }$, et
on d\'etermine pour quelles valeurs de $x=b/a \in [0,1]$ l'erreur
relative a la plus grande valeur absolue. On constate qu'il faut examiner
trois valeurs de $x$, et que la plus grande erreur relative est
minimis\'ee quand les erreurs en ces trois valeurs de $x$ ont une
m\^eme valeur absolue et des signes altern\'es, principe qui
sera consid\'erablement d\'evelopp\'e par Tchebycheff (tout le chap.~2):
deuxi\`eme niveau.
\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{6cm}
\  \par

\vspace*{-1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(5,3)
\psline{->}(-0.5,0)(4.5,0) \uput[90](4.5,0){$x$}
\psline{->}(0,-2.1)(0,2.5)  \uput[0](0,2.5){$y$}
\psplot[linewidth=0.075,plotstyle=curve]{0}{4}{x 4 div dup 0.398 mul 0.961 add exch dup mul 1 add sqrt div 1 sub 50 mul}
\psline(4,-0.2)(4,0.2)  \uput[90](4,0.2){1}
\psline(-0.2,2)(0.2,2)  \uput[45](0.2,2){0.04}
\psline(-0.2,-2)(0.2,-2)  \uput[315](0.2,-2){$-0.04$}
%\psdots[dotsize=0.25](2,1.732)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](1,2)(4,2)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](1,-2)(4,-2)
\uput[0](-3,-3.1){La meilleure fonction d'erreur relative
      $\displaystyle{\dfrac{\alpha+\beta x}{\sqrt{1+x^2}}\;-1}$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\smallskip

Dernier exemple, relatif \`a l'analyse proprement dite cette fois, qui sera
\'etudi\'e dans ce cours (p.~\pageref{errbonneapprox} et fin du chap.~3):
 des fonctions tr\`es lisses, disons $\mathscr{C}^m$
sur un intervalle compact, sont susceptibles d'\^etre approch\'ees par des
polyn\^omes de degr\'e $\leqslant n$ avec une erreur se comportant comme une
puissance n\'egative de $n$. Quelles sont les fonctions pour lesquelles l'erreur se comporte comme
une puissance \emph{faiblement} n\'egative de $n$? On obtient des fonctions
continues partout et d\'erivables nulle part\dots , question d'analyse pure
(troisi\`eme niveau) fort bien \'eclair\'ee par ce recours \`a l'approximation.

} %end Small

\bigskip

\begin{flushright}
%From: Erwan David <edavid@lami.univ-evry.fr>    |-(1)+-(3)+-(1)
 \textsl{"Je vis dans l'approximatif et je m'en  \\
  rapproche de plus en plus" }   \ \ \  \\
                  \   \\
   Julos Beaucarne  \ \ \ \ \ \ \ \ \
\end{flushright}

\noindent
\section{Quelques approximations de fonctions utilis\'ees dans les calculatrices
  et les ordinateurs}

{\Small

\subsection{Calculatrices scientifiques: le syst\`eme CORDIC} \  \\
\index{CORDIC}
Beaucoup de calculatrices scientifiques et les premiers coprocesseurs
math\'ematiques ont comme op\'erations de base l'addition, la soustraction
et le d\'ecalage (= multiplication ou division par 10). On accumule de telles
op\'erations pour multiplier et diviser (comme ``\`a la main''). On peut
\'egalement incorporer la racine carr\'ee \`a ce niveau.

Pour l'exponentielle et le logarithme, on dispose en m\'emoire les
logarithmes $\lambda_k =\ln(1+10^{-k})$ pour suffisamment de valeurs de
$k$. Calcul de $y=\ln x$: on se ram\`ene \`a $1<x<10$, on part de $y=1$,
ensuite:
\begin{verbatim}
 pour k=0,1,2,... { x'=x*(1+10^(-k)) ;
                    tant que x'<10 {y=y-lambda_k;x=x';x'=x'*(1+10^(-k));
                                   }
                  }
\end{verbatim}
Calcul de $y=e^x$: soit $x>0$, on part de $y=1$, et
\begin{verbatim}
 pour k=0,1,2,... { x'=x-lambda_k;
                    tant que x'>0 {y=y*(1+10^(-k)); x=x'; x'=x'-lambda_k;
                                  }
                  }
\end{verbatim}
Pour les fonctions trigonom\'etriques, hyperboliques et leurs inverses, on
utilise intelligemment les formules d'addition de ces fonctions. Il suffit de
se munir d'une table suppl\'ementaire constitu\'ee des
$\alpha_k =\text{arctg }(10^{-k})$. C'est le syst\`eme CORDIC (\textsl{
COordinate Rotation DIgital Computer}) r\'ealis\'e par Volder en 1959, mais
on fait remonter l'id\'ee \`a Henry Briggs (1561-1631), l'un des
inventeurs des logarithmes!

\smallskip

\noindent
Cf: J.~Laporte, Le secret des algorithmes, \textsl{L'Ordinateur Individuel}
 n${}^\circ$24, 1981, 89-92, \\
C.W.~Schelin, Calculator function approximation, \textsl{Amer.\ Math.\ Monthly}
  \textbf{90} (1983) 317-325, \\
  \href{cordic.txt}
  {\texttt{cordic.txt}}, \\
  \href{http://devil.ece.utexas.edu/cordic.html}
 {\texttt{http://devil.ece.utexas.edu/cordic.html}},\\
Calcul informatique des fonctions trigonom\'etriques, Julien \'ELIE,
\href{http://www.trigofacile.com/maths/trigo/calcul/cordic/cordic.htm}{\texttt{http://www.trigofacile.com/maths/trigo/calcul/cordic/cordic.htm}}





\medskip

\subsection{Approximations polynomiales et rationnelles}\  \\

Les ordinateurs utilisent le plus souvent l'addition, la soustraction, la
multiplication, la division, et souvent aussi la racine carr\'ee de
nombres ``flottants'' (mantisse fois $\text{base}^{\text{exposant}}$, presque
toujours en binaire) comme op\'erations \'el\'ementaires. Le but est alors
d'obtenir la pr\'ecision demand\'ee avec un minimum d'op\'erations, c'est
\`a dire d'approcher la fonction par un polyn\^ome ou une fonction
rationnelle. Cet exercice n'est pas \'etranger \`a ce qu'il y a de plus
classique dans l'analyse, un d\'eveloppement tronqu\'e de Taylor servant
souvent de point de d\'epart.

\smallskip
Ainsi, Hastings \cite[pp.132--137 et 84]{Has} propose quelques approximations de
arctg\ $x$, $-1\leqslant x\leqslant 1$: (cf. aussi \cite[p.81]{Abr})

\smallskip

\noindent
$0.995354\ \  x -0.288679\ \  x^3 +0.079331\ \  x^5$
    \hfill avec erreur $\leqslant 6.08\ 10^{-4}$, \\
$0.9992150\ x -0.3211819\  x^3 +0.1462766\  x^5 -0.0389929\  x^7$
    \hfill   ($8.14\ 10^{-5})$, \\
$0.9998660\ x -0.3302995\  x^3 +0.1801410\  x^5 -0.0851330\  x^7 +0.0208351\  x^9$
  \hfill ($1.14\ 10^{-5}$) \\
$0.99997726 x -0.33262347 x^3 +0.19354346 x^5 -0.11643287 x^7
 +0.05265332 x^9 -0.01172120 x^{11}$ \hfill ($1.66\ 10^{-6}$) \\
qui ressemblent \`a des d\'eveloppements tronqu\'es de la s\'erie de
Taylor-Maclaurin $\displaystyle{ \text{arctg }x= x-\dfrac{x^3}{3}
 +\dfrac{x^5}{5} -\dfrac{x^7}{7} +\dotsb }$. On verra comment construire de
 telles approximations. On devine qu'il faudra une dizaine de termes
 pour arriver \`a une erreur $\leqslant 10^{-8}$ (pour cette fonction,
chaque fois que l'on ajoute un terme, l'erreur est \`a peu pr\`es divis\'ee
par $(\sqrt{2}+1)^2$, on verra cela aussi).

D'autres formules plus
\'economiques ont \'et\'e imagin\'ees, par exemple, d'apr\`es
\textsl{VS FORTRAN Application Programming: Library Reference}, IBM
Program Product SC26-3989, 1981\footnote{Grand merci \`a M. J.L.~Marrion
qui a fourni cette documentation.}, on se ram\`ene d'abord \`a
$0\leqslant x\leqslant 1$, puis \`a
 $-\text{tg}(\pi/12)\leqslant x \leqslant \text{tg}(\pi/12)
= 2-\sqrt{3}$ par $\displaystyle{ \text{arctg }x = \dfrac{\pi}{6} +
  \text{arctg }\left( \dfrac{\sqrt{3}\;x -1}{x+\sqrt{3}}\right) }$ si
 $1\geqslant x>\text{tg}(\pi/12)$, enfin, l'approximation donnant arctg $x$ dans
$-\text{tg}(\pi/12)\leqslant x\leqslant \text{tg}(\pi/12)$ est
$$ x\left[ 0.60310579 -0.05160454 x^2 +\dfrac{0.55913709}
                                        {x^2+1.4087812}  \right]
$$
avec une erreur $< 10^{-8}$.

Pour l'exponentielle, le m\^eme document propose
$$ 2^{-x} \approx 1-\dfrac{ 2x }
                  {0.034657359 x^2 +x +9.9545948 -\dfrac{617.97227}
                                                   {x^2+87.417497}
                  }
$$
avec une erreur $< 10^{-8}$ quand on s'est ramen\'e \`a $0\leqslant x\leqslant 1$.

\smallskip
Des formules de m\^eme type sont utilis\'ees pour $\sin$, $\ln$, etc.

Cf. aussi J.F.~Hart \& \emph{al}., \textsl{Computer Approximations},
  Wiley, 1968.

\medskip

\subsection{AGM, etc} \  \\                        \index{AGM}

Plus r\'ecemment, on a imagin\'e de nouvelles cat\'egories d'algorithmes
pour calculer des nombres remarquables en tr\`es haute pr\'ecision
(jusqu'\`a des \emph{milliards} de d\'ecimales pour $\pi$).

L'algorithme \textbf{AGM} (Arithmetic-geometric mean) consiste, \`a partir
de $a_0$ et $b_0$, \`a calculer la suite de moyennes arithm\'etiques et
g\'eom\'etriques successives $a_{n+1}=(a_n+b_n)/2$ et
$b_{n+1}=\sqrt{a_n b_n}$. On calcule \'egalement les $c_{n+1}=(a_n-b_n)/2$
sous la forme $c_0=\sqrt{a_0^2-b_0^2}$, $c_{n+1}=c_n^2/(4a_{n+1})$. Gauss
avait d\'ej\`a montr\'e que les suites $\{a_n\}$ et $\{b_n\}$ tendent tr\`es
rapidement (quadratiquement) vers une limite commune AGM$(a_0, b_0)$ li\'ee
\`a une int\'egrale elliptique:
$\displaystyle{  \dfrac{\pi}{2 \text{ AGM}(a_0,b_0)} =
   \int_0^{\pi/2} \dfrac{d\theta}{\sqrt{a_0^2 -c_0^2 \sin^2\theta} }    }$.
L'usage de
cet algorithme curieux est longtemps rest\'e confin\'e au calcul
d'int\'egrales de ce type. Puis, R.P~Brent (Fast multiple-precision
evaluation of elementary functions, \textsl{J.\ ACM} \textbf{23} (1976),
 242-251) et E.~Salamin (Computation of $\pi$ using
 arithmetic-geometric mean, \textsl{Math. Comp.} \textbf{30} (1976),
 565-570) trouv\`erent d'autres applications, \`a commencer par une
 formule rapide pour $\pi$:
  $$ \pi = \dfrac{ 2(\text{ AGM}(1,1/\sqrt{2}))^2}
                 {\displaystyle{1-\sum_{i=0}^\infty 2^i c_i^2 }}. $$
De plus, $[c_n/(4a_n)]^{1/2^{n-1}}$ tend rapidement vers l'exponentielle
de $-\pi \text{ AGM}(a_0,b_0)/\text{AGM}(a_0,c_0)$, ce qui donne un
moyen de calcul rapide des exponentielles et logarithmes, etc.

\smallskip

\noindent Cf.
 D.H.~Bailey, Algorithm 719: Multiprecision translation and execution of
 \texttt{FORTRAN} programs, \textsl{ACM Trans.\ Math.\ Soft.}
 \textbf{19} (1993) 288-319; A \texttt{FORTRAN 90}- based multiprecision
 system, \emph{ibid.} \textbf{21} (1995) 379-387. \\
 J.M.~Borwein, P.B.~Borwein, The arithmetic-geometric mean and fast
 computation of elementary functions, \textsl{SIAM Rev.} \textbf{26} (1984)
    351-366, \\
 J.M.~Borwein, P.B.~Borwein, \textsl{Pi and the AGM}, Wiley, 1986, \\
 Center for Experimental and Constructive Mathematics, Simon Fraser
Univ., \href{http://www.cecm.sfu.ca/}{\texttt{http://www.cecm.sfu.ca/}}   \\
 R.~Preston, The mountains of pi, \textsl{The New Yorker}, 2 mars 1992.

\subsection{Approximations et nombres irrationnels}   \    \\

\label{irrat}
Les fractions $1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29,\dotsc$
apparaissant dans la note~\ref{redrac2} de p.~\pageref{redrac2} sont
$y_n/x_n$ avec $y_n^2-2x_n^2 = (-1)^n$. On peut trouver une infinit\'e de
nombres entiers de plus en plus grands v\'erifiant cette \'egalit\'e: en
effet, si $x_n, y_n$ conviennent, on constate  que
$x_{n+1}=x_n+y_n$ et $y_{n+1}=2x_n+y_n$ donnent bien
$y_{n+1}^2-2x_{n+1}^2 = -(y_n^2-2x_n^2)$. On voit\footnote{Remarque
aimablement communiqu\'ee par Michel Coyette.} aussi que cela
revient \`a appliquer la m\'ethode de la puissance
$\displaystyle{  \left[ \begin{smallmatrix}  x_{n+1} \\ y_{n+1}
                        \end{smallmatrix}  \right]  = A
                 \left[ \begin{smallmatrix}  x_n \\ yn
                        \end{smallmatrix}  \right]    }$
\`a la matrice
$\displaystyle{  A=\left[ \begin{smallmatrix}  1&1 \\ 2&1
                        \end{smallmatrix}  \right]  }$
et \`a obtenir des vecteurs de mieux en mieux align\'es
sur le vecteur propre $[1, \sqrt{2}]^T$:
$y_{n+1}\pm\sqrt{2}\;x_{n+1} =
(1\pm\sqrt{2})(y_n\pm\sqrt{2}\;x_n)$. Donc, $x_n$ et $y_n\to\infty$,
$y_n-\sqrt{2}\;x_n\neq 0$ et
$|y_n-\sqrt{2}\;x_n|\to 0$.

On en d\'eduit l'irrationnalit\'e de $\sqrt{2}$ selon la proposition:

\smallskip

\noindent
\textsl{Si on trouve une infinit\'e d'entiers $x_n$ et $y_n$, avec
$x_n\to\infty$, tels que $\alpha\neq y_n/x_n$ et $|\alpha x_n-y_n| \to 0$
quand $n\to\infty$, alors $\alpha$ est irrationnel. }

\smallskip
(En effet, si $\alpha=A/B$ avec $A$ et $B$ entiers, on aurait
$\alpha x_n-y_n = (A x_n - B y_n)/B =$ entier$/B$, donc exactement z\'ero
ou de valeur absolue born\'ee inf\'erieurement par $1/|B|$. \qed)

Ici, $|x_n\sqrt{2} -y_n| = |2x_n^2-y_n^2|/(x_n \sqrt{2}+y_n) =
 1/(x_n\sqrt{2}+y_n) \to 0$.

Des possibilit\'es de montrer l'irrationnalit\'e de nombres remarquables
sont donc li\'ees \`a leurs facult\'es d'approximation.



Par exemple,
$\displaystyle{
 0< \left| e -\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{2!} -\dotsb -\dfrac{1}{n!} \right|
   < \dfrac{1}{(n+1)!}\, \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{n+2}}   \Rightarrow}$
$e$ est irrationnel.           \index{irrationnalit\'e}

\smallskip
On appelle \emph{constante de Markov} (ou de \emph{Lagrange})
d'un r\'eel $\alpha$ l'expression   \index{Ben-Naoum, K.}  \index{Mawhin, J.}
$\displaystyle{M(\alpha)= 1/\left[\liminf_{\substack{x,y\in\mathbb{Z}\\x\to\infty}}
 x^2|\alpha -y/x|\right]}$, applications en equadiff et m\'ecanique
 c\'eleste\footnote{K.~Ben-Naoum \& J.~Mawhin, The periodic Dirichlet
 problem for some semilinear wave equations, \textsl{J.\ Diff.\ Eq.}
 \textbf{96} (1992) 340--354; A.K.~Ben-Naoum, On the Dirichlet problem for
 the nonlinear wave equation in bounded domains with corner points,
 \textsl{Bull.\ Belg.\ Math.\ Soc.\ Simon Stevin} \textbf{3} (1996)
 345--361; A.K.~Ben-Naoum, Some results on the Markov number from the theory
 of Diophantine approximations, \textsl{Rapports S\'eminaire Math.\ UCL}
 $\text{n}^\circ$254 (1996).
voir aussi
\textsl{ Orthogonal Polynomials and Continued Fractions: From Euler’s Point of View}, par
Sergey Khrushchev,
Cambridge University Press
}.

\smallskip
\noindent Les r\'eduites successives
   $\displaystyle{\dfrac{Y_1}{X_1} = \dfrac{a_1}{b_1} }$,
   $\displaystyle{\dfrac{Y_2}{X_2} = \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2}} }$,
 $\displaystyle{\dfrac{Y_3}{X_3} = \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2
                                                 +\cfrac{a_3}{b_3}}} }$
etc. de la \emph{fraction continue}
   $\displaystyle{\alpha =  \cfrac{a_1}{b_1 + \cfrac{a_2}{b_2+\cdots}} }$
v\'erifient $X_{n+1}= b_{n+1} X_n + a_{n+1} X_{n-1}$,
 $Y_{n+1}= b_{n+1} Y_n + a_{n+1} Y_{n-1}$, et  \\
 $\displaystyle{  \dfrac{Y_{n+1}}{X_{n+1}} - \dfrac{Y_n}{X_n} =
   \dfrac{ (-1)^n a_1 a_2 \dotsc a_{n+1}}{X_n X_{n+1}}  }$. Si on trouve
 $Z_n$ tel que $X_n Z_n$  et $Y_n Z_n$
sont entiers, et si la fraction continue    \index{fraction continue}
 converge, on peut parfois tirer une condition d'irrationnalit\'e de
$$ | \alpha Z_n X_n -Z_n Y_n | \leqslant Z_n X_n\left|
             \sum_{k=n}^\infty \dfrac{(-1)^k a_1 a_2 \dotsc a_{k+1} }
                                     { X_k X_{k+1} }  \right|
$$
Quelques fractions continues remarquables
 de \emph{fonctions}:

\hspace*{-12pt}
$$ \text{tg }x = \cfrac{x}{1 -
                             \cfrac{x^2}{3 -
                                        \cfrac{x^2}{5 -
                                                      \cfrac{x^2}{7 - \dotsb}}}}
, \qquad\qquad  %
   e^x = 1+\cfrac{x}{1- \cfrac{x}{2+ \cfrac{x}{3- \cfrac{x}{2 +
           \cfrac{x}{5- \cfrac{x}{2+ \cfrac{x}{7- \cfrac{x}{2 + \dotsb}}}}}}}}
$$
permettent d'\'etablir que tg~$x$ et $e^x$ sont irrationnels quand $x$ est
rationnel $\neq 0$. On en d\'eduit que $\pi$ est irrationnel: sinon,
tg~$\pi$ serait irrationnel\dots

\smallskip

Mais comment obtient-on de telles formules?  Lagrange, Euler\footnote{A.N.
 Khovanskii, \textsl{The Application of Continued Fractions and their
   Generalization to
   Problems in Approximation Theory}, P. Noordhoff, Groningen, 1963.,
  D.E. Knuth, \textsl{The Art of Computer Programming, vol. {\bf 2}, Seminumerical
Algorithms}, $3^{\text{rd}}$ ed., Addison Wesley  1998, exercice 16, p. 375 (360 dans l'\'ed. de 1981), et  pp. 650-651 [602-603]}:
 si $y=f(x)$
v\'erifie l'\'equation de \emph{Riccati}  \index{Riccati}
$xa(x)y'= b(x)y^2 +c(x)y+d(x)$, o\`u $a$, $b$, $c\in\mathscr{P}_m$, et
$d\in\mathscr{P}_{m-1}$, alors, si $\displaystyle{ f(x)=
 \dfrac{f(0)}{1-x f_1(x)} }$, $f_1$ v\'erifie une \'equation de
 m\^eme type, avec les m\^emes degr\'es. En effet, on a
 $ xa(x)[x f'_1+f_1]= b(x) f(0) +c(x)[1-x f_1(x)]+d(x)[1-x f_1(x)]^2/f(0)$,
 d'o\`u une \'equation de Riccati pour $f_1$ avec le m\^eme $a(x)$,
 $b_1(x)= xd(x)/f(0)$, $c_1(x)=-c(x)-2d(x)/f(0)-a(x)$, et
 $d_1(x)=[b(x) f(0)+c(x) +d(x)/f(0)]/x$ (qui est bien
 un polyn\^ome si $f$ est d\'eveloppable en Taylor-Maclaurin). On it\`ere ensuite
 $\displaystyle{f_n(x) = \dfrac{f_n(0)}{1-xf_{n+1}(x)}}$, $n=0,1,\dotsc$:
 $b_{n+1}(x)=xd_n(x)/f_n(0), c_{n+1}(x)=-c_n(x)-2d_n(x)/f_n(0)-a(x),
 d_{n+1}(x)=[b_n(x)f_n(0)+c_n(x)+d_n(x)/f_n(0)]/x,
 f_{n+1}(0)=-d_{n+1}(0)/c_{n+1}(0)$.
 Evidemment, \c ca marche si $f_n(0)\neq 0$, $n=0,1,\dotsc$  \\
  Pour la tangente, partir de $\displaystyle{f_0(x)= \dfrac{\text{tg}\,
   \sqrt{x}}{\sqrt{x}} }$, alors, $a(x)=2$,  $b_0(x)=x, c_0=-1, d_0=1$.
 On trouve pour $n>0$, $b_n(x)=(2n-1)x, c_n=-(2n+1), d_n=1/(2n-1),
 f_n(0)=1/(4n^2-1)$. \\Enfin,
 $\displaystyle{  (2n-1)f_n(x) = \dfrac{1}{2n+1 -x (2n+1)f_{n+1}(x) }  }$. \\
 Pour l'exponentielle, on transforme \`a partir de
 $\displaystyle{  \dfrac{e^x-1}{e^x+1} =\tanh(x/2) }$.



\smallskip

L'\'etablissement de crit\`eres d'irrationnalit\'e et de transcendance \`a
partir d'approximations de fonctions est une manifestation remarquable du
troisi\`eme niveau de la th\'eorie de l'approximation.

\smallskip
Dernier r\'esultats sensationnels trouv\'es \`a ce jour: en 1979, R.~Ap\'ery  \index{Ap\'ery}
montrait que $\zeta(3) = \sum_1^\infty n^{-3}$ est irrationnel au moyen de
$n^3 X_n -(34n^3-51n^2+27n-5)X_{n-1}+(n-1)^3 X_{n-2}=0$ et
$n^3 Y_n -(34n^3-51n^2+27n-5)Y_{n-1}+(n-1)^3 Y_{n-2}=0$,   \index{zeta, fonction- de Riemann}
$X_0=1, X_1=5, Y_0=0, Y_1=6$. Une d\'emonstration fait appel aux polyn\^omes
de Legendre, cf. M.~Prevost, A new proof of the irrationality of
$\zeta(2)$ and $\zeta(3)$ using Pad\'e approximants, \textsl{J.\ Comp.\ Appl.
Math.} \textbf{67} (1996) 219-235.

\index{Rivoal} 
T. Rivoal, La fonction z\^eta de Riemann prend une infinit\'e de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. {\sl C. R. Acad. Sci. Paris} {\bf 331} (2000), 267-270.   T. Rivoal, Au moins un des neuf nombres $\zeta(5), \zeta(7),...,\zeta(21)$ est irrationnel. {\sl Acta Arith.} {\bf 103} (2002), 157-167.
\href{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~rivoal/}{\texttt{
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/{}\~{}rivoal/}}


 Voir aussi de nombreuses publications
dans \href{http://www.cecm.sfu.ca/}{\texttt{http://www.cecm.sfu.ca/}}

\enlargethispage{28pt}
\subsection{Approximations les plus simples: bien commencer} Martin
Rebas, auteur du
document ``Approximations of Natural Numbers'',  \\
      %\href{http://www.dtek.chalmers.se/~d3rebas/humor/irrational.html}
 %{\texttt{http://www.dtek.chalmers.se/\~{}d3rebas/humor/irrational.html}},
\href{http://www.rebas.se/humor/natural.shtml}{\texttt{http://www.rebas.se/humor/natural.shtml}},
       (copi\'e
 dans \\ \href{approxnat.html}
 {\texttt{approxnat.html}}),
qui est aussi le pr\'esident du club des gens-qui-ne-connaissent-que-deux-d\'ecimales-de-pi,
a jug\'e bon d'aider le d\'ebutant en fournissant des approximations des
objets math\'ematiques les plus simples qui soient, les nombres entiers:\\

$2   \approx  \pi - \sqrt{ e - \sqrt{2} } ,
 3   \approx\sqrt{ e+\pi+\pi }  ,
 4  \approx \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} +\pi ,
 5  \approx \sqrt{2} \sqrt{ \pi-\sqrt{2} } +\pi ,
 6  \approx \frac{1}{\sqrt{\pi}} +e+e $, \\
$7 \approx \sqrt{ \sqrt{1+e} -\sqrt{2} } +\pi+\pi ,
 8  \approx e \sqrt{2} \sqrt{  \sqrt[4]{2} +\pi }  ,
 9  \approx e+\pi+\pi ,
 10  \approx \sqrt{2} \left( \frac{\pi -1}{e} +\pi+\pi \right) $.
%\begin{equation*}\begin{split}
%2  &\approx  \pi - \sqrt{ e - \sqrt{2} } \\
%3  &\approx\sqrt{ e+\pi+\pi } \\
%4 &\approx \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} +\pi \\
%5 &\approx \sqrt{2} \sqrt{ \pi-\sqrt{2} } +\pi \\
%6 &\approx \frac{1}{\sqrt{\pi}} +e+e \\
%7 &\approx \sqrt{ \sqrt{1+e} -\sqrt{2} } +\pi+\pi \\
%8 &\approx e \sqrt{2} \sqrt{  \sqrt[4]{2} +\pi }   \\
%9 &\approx e+\pi+\pi \\
%10 &\approx \sqrt{2} \left( \frac{\pi -1}{e} +\pi+\pi \right)
%\end{split}\end{equation*}
%

} % end Small





\chapter{Th\'eor\`emes g\'en\'eraux d'existence et d'unicit\'e de meilleure approximation.}
\renewcommand{\mylmark}{Th\'eor. g\'en\'eraux}
\thispagestyle{fancy}


Pour un \'el\'ement $f$ d'un ensemble $X$, il est question d'examiner si on
peut trouver $p\in V\subset X$ le plus proche de $f$.

\section{Distances et normes.}

\subsection{}\index{distance}
Rappelons qu'une \emph{distance} sur un ensemble $X$ est une fonction $d$
d\'efinie pour tout couple d'\'el\'ements de $X$, avec
\begin{enumerate}
%                \setcounter{enumi}{0}
     \item $\forall (f,g)\in X\times X,  \; d(f,g)\geqslant 0$ , \setcounter{enumi}{1}
     \item $(f=g) \Longleftrightarrow  ( d(f,g)=0 ) $ , \setcounter{enumi}{2}
     \item $\forall (f,g)\in X\times X, d(f,g)=d(g,f) $   \qquad (sym\'etrie),
%   \setcounter{enumi}{3}
 \item $\forall (f,g,h)\in X\times X\times X, d(f,g)\leqslant d(f,h)+d(h,g) $
              \qquad (in\'egalit\'e triangulaire).
\end{enumerate}
On appelle \emph{espace m\'etrique} tout ensemble $X$ muni d'une distance.

{\Small \subsection{Exercices et exemples} Exemples triviaux, grands cercles
 sur la sph\`ere, distance cordale sur la sph\`ere, sur $\overline{\mathbb{C}}$
 identifi\'e \`a la sph\`ere de Riemann, g\'eod\'esiques sur une vari\'et\'e,
 demi-plan de Poincar\'e, lire les pages 65-68 de H.~Poincar\'e: \textsl{La
 science et l'hypoth\`ese}\footnote{Voir
    \href{http://cedric.cnam.fr/ABU/BIB/auteurs/poincareh.html}
         {\texttt{http://cedric.cnam.fr/ABU/BIB/auteurs/poincareh.html}} },
 Flammarion, 1902 = ``Champs Flammarion'', 1968.
 Distance $p-$adique sur $\mathbb{Q}$. \\
 Distance de Hausdorff $\displaystyle{D(A,B) = \max\left\{
       \sup_{a\in A}\, \inf_{b\in B} d(a,b)\ ,\ %
       \sup_{b\in B}\, \inf_{a\in A}\; d(a,b)\right\} }$. \\
 Distance de Mahalanabis dans $\mathbb{R}^n$:
 $\displaystyle{ d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) =
   \left[(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})^T
    \boldsymbol{V}^{-1}
   (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}) \right]^{1/2}  }$, o\`u $\boldsymbol{V}$
   est une matrice de variance-covariance.
}

{\Small \subsection{Remarques}   Choquet (\textsl{Cours d'analyse II,
 topologie}, Masson, 1969) d\'efinit \'egalement (pp.60-62) les \textbf{\'ecarts}
 et les \textbf{jauges}.

 \smallskip

 On est tr\`es habitu\'e maintenant \`a voir ces notions topologiques
 exprim\'ees en termes d'in\'egalit\'es non strictes $\leqslant$ et
 $\geqslant$. Il n'en a pas toujours \'et\'e ainsi: Laurent Schwartz
 est conscient d'innover en \'ecrivant\footnote{Remarque
   \index{Meinguet, J.}
 aimablement communiqu\'ee par J.~Meinguet.} dans son \textsl{Cours
 d'analyse} (Hermann, 1967) \`a la page~17: \\
 ``\emph{Notons que nous rompons ici avec l'usage ant\'erieurement
 acquis} en appelant inf\'erieur ce qu'on appelait inf\'erieur ou \'egal,
 et strictement inf\'erieur ce qu'on appelait inf\'erieur\footnote{En
 anglais, $\leqslant$ et $\geqslant$ sont toujours ``less or equal'' et
 ``greater or equal'' (note de l'A.)}.
  La raison d'\^etre de ces changements,
 pleinement justifi\'es par la suite, est que la notion la plus
 g\'en\'eralement utilis\'ee est $\leqslant$\ , et qu'il est bon qu'elle
 ait l'appellation la plus courte. On devra toujours utiliser $\leqslant$
 plut\^ot que $<$\ , toutes les fois que cela sera possible; quand on
 \'ecrira une in\'egalit\'e stricte avec $<$\ , ce sera pour avertir le
 lecteur qu'il y a un point d\'elicat, et que l'in\'egalit\'e large
 $\leqslant$ ne conviendrait pas. Par exemple, la continuit\'e d'une
 fonction r\'eelle d'une variable r\'eelle en un point $a$ s'\'ecrira
 ainsi: \\  \indent\indent
 $\text{quel que soit } \varepsilon >0, \text{ il existe } \eta>0
 \text{ tel que } |x-a|\leqslant \eta \text{ entra\^\i ne }
 |f(x)-f(a)|\leqslant \varepsilon$

    Nous avons mis le symbole d'in\'egalit\'e large toutes les fois que
 c'\'etait possible, et nous n'avons employ\'e l'in\'egalit\'e stricte
 $> 0$ que l\`a o\`u c'\'etait absolument n\'ecessaire \`a l'\'enonc\'e.''\\

 }

\begin{flushright}
        \textsl{Sans transition, la suite \\  PPDA\qquad\qquad}
\end{flushright}

\subsection{Normes} Une \emph{norme} sur un espace \emph{vectoriel} $X$
 (sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) doit v\'erifier \index{norme}
 \begin{enumerate}
    \item $\forall f\in X, \|f\|\geqslant 0$,
    \item $f=0 \Longleftrightarrow \|f\|=0 $,
    \item $ \|\alpha f\| = |\alpha|\; \|f\| $,
    \item $\forall f,g\in X, \|f+g\| \leqslant \|f\|+\|g\| $.
  \end{enumerate}
Alors, $\|f-g\|$ est une distance valide.

{\Small \subsection{Exemples, exercices} {\ }

 Montrez que $\|f\pm g\| \geqslant \|f\|-\|g\|$ (dans tout triangle, tout
  c\^ot\'e est sup\'erieur \`a la \emph{diff\'erence} des deux autres).

 Normes de H\"older sur $\mathbb{R}^m$ ou $\mathbb{C}^m$: \\
 $\qquad \|x\|_p = (\sum_1^m |x_k|^p )^{1/p} \;, 1\leqslant p\leqslant\infty\;
 \qquad\qquad(\|x\|_\infty = \max_k |x_k|)$. \quad Cf. [Dav] pp.~130--133.

 Normes de H\"older sur $L^p(A)$:   \\  \index{H\"older, normes de}
 $\qquad \|f\|_p = (\int_A |f(t)|^p )^{1/p} \;, 1\leqslant p\leqslant\infty\;
 \qquad\qquad(\|f\|_\infty = \sup_{t\in A} |f(t)|$.
% \footnote{En fait, le \emph{supremum
%    essentiel} de $f$.})$.

 Normes pond\'er\'ees: si $w_k>0$, $k=1,\ldots, m$, $\|\boldsymbol{x}\|_w =
  \|\boldsymbol{y}\|$, avec $y_k=w_k x_k$ est encore une norme; si $w(t)>0$
  presque partout sur $A$, $\|w(t)f(t)\|$ est encore une norme de $f$.
}


La norme est une fonction continue sur $X$: si $\lim_{n\to\infty}f_n = f$,
c'est-\`a-dire si $\|f-f_n\|\to 0$ quand $n\to\infty$, on a
$\|f_n\|\to\|f\|$, puisque $|\; \|f\|-\|f_n\|\;| = |\; \|f_n+(f-f_n)\|-\|f_n\|\;|
\leqslant \|f-f_n\|$. La norme est m\^eme une fonction lipschitzienne:
$\left|\dfrac{\|f\|-\|g\|}{\|f-g\|}\right| \leqslant L=1$.

Sur un espace de \emph{dimension finie} $V$, la norme est une fonction
continue des coordonn\'ees dans une base quelconque: soient $\{a_1,\ldots,a_n\}$
et $\{b_1,\ldots, b_m\}$ les composantes de $f$ et $g$ dans $V$ de base
$\varphi_1,\ldots, \varphi_m\}$. Alors, \\
$\|f-g\| = \|\sum_1^k (a_k-b_k)\varphi_k\| \leqslant \sum_1^k |a_k-b_k|\;
    \|\varphi_k\| \leqslant C \max_k |a_k-b_k|$, \\
avec $C=\sum_1^k \|\varphi_k\|$.

\smallskip

{\Small
\emph{Inversement}, les composantes sont continues selon toute norme donn\'ee
sur $V$ de dimension finie: si $f=\sum_1^m a_j\varphi_j$ et
                               $g=\sum_1^m b_j\varphi_j$,   montrons que
$|a_k-b_k|\leqslant C' \|f-g\|$, o\`u $C'$ ne d\'epend que de la base
$\{\varphi_1,\ldots, \varphi_m\}$ de $V$. Sinon, on pourrait trouver une
infinit\'e d'\'el\'ements $f_n\neq 0$ de $V$ avec $f_n =\sum_1^m a_j^{(n)}
\varphi_j$, et $|a_k^{(n)}|/\|f_n\|\to\infty$.
Divisons les composantes de chaque $f_n$ par la plus grande d'entre elles: on
a maintenant une suite  $\{g_n\}$ de composantes born\'ees (par l'unit\'e),
 avec $\|g_n\|\to 0$.
Extrayons des suites convergentes de composantes, on obtient une
suite $\{g_{n_i}\}_i$ convergente, et on peut s'arranger pour que
l'une des composantes de la limite soit \'egale \`a 1. Comme
$\|g_n\|\to 0$, on a une
repr\'esentation de $\lim_{n\to\infty} g_{n_i}=$ le vecteur nul avec des
composantes non nulles, ce qui est impossible si $\{\varphi_k\}$ est
une base de $V$.
}  %end Small

Tout ceci confirme la proposition bien connue \emph{d'\'equivalence des
normes sur un espace vectoriel de dimension finie}: si $\|\ \|_\alpha$
et $\|\ \|_\beta$ sont deux normes valides sur $V$ de dimension finie,
$$ \forall f\in V, D\|f\|_\beta \leqslant \|f\|_\alpha \leqslant
      C \|f\|_\beta,$$
avec $0< D\leqslant C<\infty$.

Si $\|\ \|_\alpha$ est une norme donn\'ee, et si $\|\ \|_\beta$ est une
norme, utile aux calculs, construite \`a partir d'une repr\'esentation
dans une base, la base est d'autant plus int\'eressante que le rapport
$C/D$ est petit (proche de l'unit\'e). En effet, pour estimer la proximit\'e
de deux \'el\'ements de $X$ en erreur relative $\|f-g\|_\alpha/\|f\|_\alpha$
en ne connaissant que la valeur des normes $\|\ \|_\beta$, on a
\begin{equation}
   \frac{1}{K} = \frac{D}{C} \leqslant
          \frac{  \|f-g\|_\alpha /\|f\|_\alpha }
               {  \|f-g\|_\beta  /\|f\|_\beta  }
     \leqslant \frac{C}{D} =K \qquad \text{(nombre de condition, ou
                       conditionnement)}
\end{equation}
 Savoir que $C/D<\infty$, c'est
de l'analyse; savoir estimer $C/D$, c'est de l'analyse num\'erique.

\smallskip
\noindent
\textbf{Notation.} On d\'esigne par $\mathscr{P}_n$ l'ensemble
des polyn\^omes de degr\'e $\leqslant n$. C'est une espace vectoriel
de dimension $n+1$.

\smallskip
 N.B.: L'ensemble des polyn\^omes de degr\'e \emph{exact} $n$ n'est pas un
 espace vectoriel!

\smallskip

{\Small \noindent
\subsection{Exercices, exemples} On prend $\|\ \|_\alpha =$
norme du maximum pour des fonctions continues sur $[0,1]$, $V=\mathscr{P}_1,
\mathscr{P}_2$,\dots , $\|\ \|_\beta = $ maximum des $|$coefficients$|$
dans la base des mon\^omes $1, x, x^2$,\dots  Ce n'est justement pas
une tr\`es bonne base quand le degr\'e augmente: \\
$ \displaystyle{\dfrac{1}{2}\max(|a|,|b|)\leqslant \max_{0\leqslant x\leqslant 1}
   |ax+b| \leqslant 2\max(|a|,|b|)\;, }$\\
$ \displaystyle{\dfrac{1}{8}\max(|a|,|b|,|c|)\leqslant \max_{0\leqslant x\leqslant 1}
   |ax^2+bx+c| \leqslant 3\max(|a|,|b|,|c|)\;, }$\\
comment les choses \'evoluent-elles avec le degr\'e? (voir plus
loin (point \ref{extrcoeff}, p.~\pageref{extrcoeff}).
}

\smallskip

\smallskip
On notera $B_r$ la boule $\{f\in X: \|f\|\leqslant r \}$ (ferm\'ee) de centre 0
et de rayon $r$, $B_r(c)$ la boule $\{f\in X: \|f-c\|\leqslant r\}$
de centre $c\in X$ et de rayon $r$.

Formes de la boule unit\'e $B_1$ de $\mathbb{R}^2$:

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(15,6)
 \put(0,2){\vector(1,0){4.5}}   \put(2,0){\vector(0,1){4.5}}  \put(2,5){$\|\ \|_1$}
 \put(5,2){\vector(1,0){4.5}}   \put(7,0){\vector(0,1){4.5}}  \put(7,5){$\|\ \|_2$}
 \put(10,2){\vector(1,0){4.5}}   \put(12,0){\vector(0,1){4.5}}\put(12,5){$\|\ \|_\infty$}
 \thicklines
  \put(0.5,2){\line(1,1){1.5}} \put(2,3.5){\line(1,-1){1.5}}
  \put(3.5,2){\line(-1,-1){1.5}} \put(2,0.5){\line(-1,1){1.5}}
  \put(7,2){\circle{3}}
   \put(10.5,0.5){\framebox(3,3)}
\end{picture}\end{center}

\subsection{Formes et applications lin\'eaires continues sur des espaces
vectoriels norm\'es de fonctions\label{forml}}  \   \\

\subsubsection{}.L'expression g\'en\'erique d'une forme continue sur l'espace
$\mathscr{C}[a,b]$ des fonctions continues sur $[a,b]$, norm\'e
par $\|\  \|_\infty$, est
$$  \varphi: \  \   \varphi(f)=\int_a^b f(x)\, \psi(x)\;dx, $$
o\`u $\psi$ est une fonction int\'egrable sur $[a,b]$. On \'etablit
d'ailleurs que la norme de cette forme $\varphi$ vaut
 $$ \|\varphi\| = \sup_{\|f\|_\infty \leqslant 1}
   \left| \int_a^b f(x)\,\psi(x)\;dx\right|
  = \int_a^b |\psi(x)|\;dx = \|\psi\|_1\;. $$
Ce ne sont pas les seules expressions possibles: toute combinaison
de valeurs ponctuelles
\begin{equation} \label{formsom}
  \varphi: \  \  \varphi(f)=\sum_{k=1}^M \alpha_k\, f(x_k),
\end{equation}
o\`u les $\alpha_k$ et les $x_k$ sont fix\'es, convient
\'egalement. On trouve alors (c'est encore plus facile),
\begin{equation*}
  \|\varphi\| = \sum_{k=1}^M |\alpha_k|\;.
\end{equation*}
Voir aussi les int\'egrales de Riemann-Stieltjes
$\displaystyle{\int_a^b f(x)\;d\mu(x) }$ au chap.~3,
\eqref{prodscalfmu}, p.~\pageref{prodscalfmu}.

\subsubsection{}. Une forme contenant des d\'eriv\'ees, comme
$$ \varphi(f)=\int_a^b f'(x)\,\psi(x)\;dx\;, \qquad \text{ou\ }
        \varphi(f)=\sum_{k=1}^M \alpha_k\, f'(x_k), $$
n'est normalement pas born\'ee dans un espace de fonctions norm\'e
par $\|\  \|_\infty$. On doit prendre une autre norme, par exemple
$\|f\|= \|f\|_\infty +\|f'\|_\infty$.

\subsubsection{}. Dans un espace $X$ de dimension \emph{finie} de
fonctions continues, toute forme d\'efinie partout est continue
et peut d'ailleurs s'exprimer comme \eqref{formsom}: \\
 si $\{b_0,\dotsc, b_N\}$ est une base de $X$, on peut \'ecrire,
$\forall f\in X$, $f=\sum_0^N c_i b_i$. Alors, on voit que $\varphi$
ne d\'epend que des $\varphi(b_i)$: $\varphi(f)=\sum_0^N c_i \varphi(b_i)$.
\\
Eliminons les $c_i$ \`a partir de $N+1$ valeurs de $f$ en des points
$x_0,\dotsc, x_N$:
 $f(x_i) =\sum_0^N c_j b_j(x_i)$, d'o\`u
$$ [\alpha_0,\dotsc, \alpha_N] = [\varphi(b_0),\dotsc, \varphi(b_N)]
   [b_j(x_i)]^{-1}, $$
valable si la matrices des $b_j(x_i)$ est non singuli\`ere
(\emph{\textbf{unisolvance}}, voir plus loin, probl\`eme
d'interpolation en g\'en\'eral, \S~\ref{interpgen},
p.~\pageref{interpgen}).

\subsubsection{}. Dans $L^p$, utiliser H\"older:
$$ \varphi(f)=\int_a^b f(x)\,\psi(x)\;dx \Rightarrow
  \|\varphi\| = \|\psi\|_q,$$
si $\psi\in L^q$, $p^{-1}+q^{-1}=1$.


\section{Existence d'une meilleure approximation.}

\smallskip
\begin{flushright} {\sl
  Pouvez-vous dire mieux? \\
  Coluche\ \ \ \       }
\end{flushright}

\smallskip

\subsection{Th\'eor\`eme d'existence de meilleure approximation dans un
sous-espace de dimension finie} \label{thex}\emph{Soit $X$ un espace vectoriel norm\'e
sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $V$ un sous-espace vectoriel de \emph{
dimension finie} de $X$. Alors, $\forall f\in X$, il existe au moins un
$p\in V$ tel que $\|f-p\| = \inf_{q\in V} \|f-q\|$. }

\begin{minipage}[t]{175pt}
\  \par

   \smallskip
\setlength{\unitlength}{0.75cm}
\begin{picture}(12,6)(1,0)
%\begin{picture}(140,45)(-60,0)
 \thicklines\put(2,2){\circle*{0.1}}
\put(1.5,1.75){\line(2,1){7.5}}\put(8,5.1){$V$}
 \put(1.5,2.2){$\mathbf{0}$}
    \put(4,4){\ellipse{2.5}{1.5}}
 \thinlines\put(4,4){\circle*{0.1}}\put(4.1,4){$f$}
    \put(2,2){\vector(1,1){2}}
    %    \put(4,4){\oval(8,4)}   \put(2,2){\oval(16,8)}
  % \put(1.5,2){\framebox(5,4)}
     \put(4,5.5){$B_{\|f\|}(f)$}
   %\put(3.23,3.38){\dashbox{0.15}(1.54,1.23)}
    \put(4,4){\ellipse{7.81}{4.69}}
    \put(4.5,3){$p$}
\end{picture}
\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{1mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{3.5in}
\  \par

\emph{D\'emonstration}: en effet, soit $E=\inf_{q\in V}\|f-q\|$.
Comme $q=0$ est dans $V$, on a $E\leqslant \|f\|$.
 Il suffit
donc d'examiner $\|f-q\|$ sur la partie \emph{ferm\'ee born\'ee}
$K=B_{\|f\|}(f)\bigcap V$ de $V$ de dimension finie. La fonction
continue $\|f-q\|$ atteint son infimum $E$ en au moins un point
$q=p$ du compact $K$.    \qed

\end{minipage}

\smallskip
{\Small Sur la figure, on a not\'e $B_{\|f\|}(f)$ qui contient 0
sur sa fronti\`ere, et
aussi $B_E(f)$ (en trait plus gras) qui touche $V$ en $p$.

La d\'emonstration peut se faire en termes des composantes de
$q$ dans une base de $V$. La norme $\|f-q\|$ appara\^\i t alors comme
une fonction continue de ces composantes r\'eelles ou complexes, que
l'on minimise donc sur une partie compacte $\widetilde K$ de
$\mathbb{R}^m$ ou $\mathbb{C}^m$, avec
$\widetilde K=\{a_1,\ldots, a_m: \sum_1^m a_k \varphi_k \in K\}$.

Remarquons que $K$ est enti\`erement contenu dans la boule $B_{2\|f\|}$:
si $\|f-q\|=\|q-f\|\leqslant \|f\|$, $\|q\|=\|f+ (q-f)\| \leqslant \|f\|+
 \|q-f\|\leqslant 2\|f\|$. Le vecteur des composantes de $q$ v\'erifie donc
 $\|\boldsymbol{a}\|\leqslant 2\|f\|/D$.

\subsection{Contre-exemple} Voici un exemple de non-existence quand on
approche sur une partie de $X$ qui \emph{n'est pas un sous-espace vectoriel}:
on prend $X=\mathscr{C}[-1,1]$, la norme du maximum, $f(t)=t$,
$V=\{a e^{bt}+c e^{dt}\}_{a,b,c,d\in\mathbb{R}}$. On trouve $E=0$:
prendre $q(t)=N(e^{t/N}-e^{-t/N})/2= N\sinh(t/N)= t + t^3/(6N^2)+\cdots$, on a
donc $\|t-q(t)\|_\infty$ aussi petit que l'on veut, mais il n'existe pas
de $q\in V$ tel que $\|q-f\|=E=0$, $f(t)=t$ \emph{n'est pas} une combinaison
d'exponentielles.
\\ Cf. aussi \cite[p.153]{Dav}.

Autre exemple de supremum inaccessible: soit $F$ une fonction positive
strictement d\'ecroissante sur $[0,\infty)$. Probl\`eme 1: maximiser la moyenne de
$F$, $\int_0^\infty F(x)\,d\mu(x)$ sur les mesures de probabilit\'e
$\mu$. Le r\'esultat ne peut d\'epasser $F(0)$ et est \'evidemment
r\'ealis\'e avec la mesure ponctuelle $\delta_0$ en 0. Probl\`eme 2: on
se limite maintenant aux mesures de moyenne $m>0$. On peut encore
s'approcher autant que l'on veut de $F(0)$: prendre les mesures
$(1-\varepsilon)\delta_0 +\varepsilon \delta_{m/\varepsilon}$ qui ont
bien une moyenne $\int x\,d\mu(x)$ \'egale \`a $m$, et qui donnent
$\int F\,d\mu = (1-\varepsilon)F(0)+\varepsilon F(m/\varepsilon)$. Le
supremum est donc encore $F(0)$. Mais il n'est atteint que par $\delta_0$
qui a une moyenne $0\neq m$\dots
}

\subsection{Remarque} \label{rembete} \emph{Si $p$ est une meilleure
 approximation de $f$ dans $V$ et si $q\in V$, $p+q$ est une meilleure
 approximation de $f+q$ dans $V$. }   Ou encore: $f-p$ est
l'\'el\'ement de \emph{\textbf{norme minimale}} de
 \emph{\textbf{l'espace affine}} $f+V$.      \index{affine, espace}

 En effet, soit $E=\|f-p\|$. On a $\|f+q- (p+q)\|= \|f-p\|=E$.
 S'il y avait un \'el\'ement $r$ de $V$ v\'erifiant $\|f+q-r\|<E$,
 $r-q$ serait une meilleure approximation de $f$ que $p$.




\section{Unicit\'e de la meilleure approximation.}     \index{unicit\'e}

\subsection{D\'efinition. Convexit\'e} Une partie $P$ d'un espace vectoriel $X$
 est \emph{convexe} si $f$ et $g \in P \Longrightarrow \lambda f+(1-\lambda)g \in P$
 pour $\forall \lambda \in [0,1]$ (\emph{combinaison convexe} de $f$ et $g$).
\index{convexe}
Toute boule  $B_r(f) = \{g\in X: \|g-f\|\leqslant r\}$ d'un espace m\'etrique $X$
est convexe. Toute vari\'et\'e lin\'eaire de $X$ est convexe.

\subsection{Proposition} \emph{Dans les conditions du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent,
 l'ensemble des meilleures approximations de $f$ dans $V$ est une partie
 convexe de $V$.}

En effet, cet ensemble est $B_E(f)\bigcap V$, l'intersection de deux convexes
est convexe.
\label{optconvex}
{\Small Par exemple, prendre la norme du maximum sur $[-1,1]$,
 $f(t)=t$, $V=\{at^2+b\}_{a,b\in\mathbb{R}}$.
}

\subsection{D\'efinition} Une norme est \emph{stricte} si la boule unit\'e \index{norme}
est strictement convexe, c'est-\`a-dire si $\|f\|\leqslant 1,
                                            \|g\|\leqslant 1,
 \|f+g\|=2 \Rightarrow f=g$.
                                 \index{norme stricte}
{\Small Les normes $\|\ \|_1$ et $\|\ \|_\infty$ ne \emph{sont pas} strictes.
La norme $\|\ \|_p$ est stricte si $1<p<\infty$ (\cite[p.141]{Dav}).

On verra plus tard (chap.~3) qu'une norme d\'erivant d'un produit scalaire est
toujours stricte: $\|f+g\|^2 = \|f\|^2 +2(f,g) +\|g\|^2$ ne vaut 4 que si
$\|f\|= \|g\| = (f,g)= 1 \Rightarrow \|f-g\|^2 = \|f\|^2 -2(f,g)+ \|g\|^2 =0$.
}

\subsection{Une condition suffisante d'unicit\'e. Th\'eor\`eme}
\emph{Le probl\`eme pos\'e au th\'eor\`eme \ref{thex} a une solution unique
si la norme de $X$ est stricte.}

En effet, toujours avec $E:= \min_{q\in V}\|f-q\|$, soit $E>0$ (si $E=0$,
la seule meilleure approximation est $f$ lui-m\^eme). Supposons que $p_1$ et
$p_2$ sont deux meilleures approximations distinctes de $f$. On a
$\left\|\dfrac{f-p_1}{E}\right\|=1$,
$\left\|\dfrac{f-p_2}{E}\right\|=1$, donc
 $\left\|\dfrac{2f-p_1-p_2}{E}\right\|<2$, ou encore {\ }
$\|f-(p_1+p_2)/2\|<E$: $(p_1+p_2)/2$ serait un \'el\'ement de $V$ meilleur que
$p_1$ ou $p_2$. \qed

\smallskip

Dans le cas des normes non strictes, des th\'eor\`emes d'unicit\'e pourront
encore \^etre \'etablis, on verra un cas au chapitre suivant.

\subsection{Exercice} En plus de l'exemple dans \ref{optconvex}, voir ces
deux exemples de non unicit\'e (\cite[pp.~18-19]{Pow}): $X= \mathscr{C}[-1,1]$
avec $\|\ \|_1$, $f=$ la constante 1, $V=\{\lambda x\}_{\lambda\in\mathbb{R}}$;
le m\^eme $X$, mais avec $\|\ \|_\infty$, le m\^eme $f$,
$V=\{\lambda(1+x)\}_{\lambda\in\mathbb{R}}$.       \index{unicit\'e}


\section{Continuit\'e du projecteur de meilleure approximation.}

Que la norme soit stricte ou non, si $X$ et V sont tels que $\forall f\in X$
poss\`ede exactement une meilleure approximation dans $V$, on peut d\'efinir
le projecteur $P$:
$$ Pf = \text{\ meilleure approximation de\ } f \text{\ dans\ } V.$$
Ce projecteur ($P^2=P$) est normalement une application \emph{non lin\'eaire}
$X\rightarrow V$.

\smallskip
{\Small Par exemple, prendre $X=\mathscr{C}[-1,1]$, la norme du maximum,
$V=$ constantes, $f(t)=t$, $g(t)=t^2$, on a $Pf=0$, $Pg=1/2$,
 $P(f+g)=7/8\neq Pf+Pg$. (Sur les constantes, $Pf= (\max_{t\in A} f(t)+
                                                    \min_{t\in A} f(t))/2$.)
}

On a quand m\^eme $P(\alpha f) = \alpha Pf$ pour tout scalaire $\alpha$.

\subsection{Th\'eor\`eme de continuit\'e} \emph{Dans les conditions du th\'eor\`eme
\ref{thex}, si tout $f$ de $X$ admet exactement une meilleure approximation
$Pf$ dans $V$, l'application $P$ est continue sur $X$.}

En effet (\cite{Che} pp.~23--24), soit $f\in X$. Il faut montrer que,
$\forall\epsilon >0$, il existe un voisinage non vide
$\{g: \|g-f\|\leqslant  \delta\}$ enti\`erement envoy\'e par $P$ dans
 la boule de centre $Pf$ et de rayon $\epsilon$. \\
Supposons qu'il n'en est rien: il existe donc un $\epsilon >0$ tel
que tous les voisinages de $f$ ont des images par $P$ contenant
au moins un \'el\'ement situ\'e \`a distance $> \epsilon$ de $Pf$\dots\\
Il y a donc une suite $\{f_n\}$ convergeant vers $f$:
$f_n\to_{n\to\infty} f$ dans $X$, et dont les images ne tendent pas
vers $Pf$: $\|Pf_n-Pf\| >\epsilon$ fix\'e $>0$. \\
Comme $\|f_n\|\to\|f\|$ (continuit\'e de la norme), toutes les normes
$\|f_n\|$ sont born\'ees par un m\^eme nombre $M$; on a vu que $Pf_n$ se
trouve n\'ecessairement dans la boule de centre $f_n$ et de rayon $\|f_n\|$,
donc dans $B_{2\|f_n\|} \subseteq B_{2M}$. Tous les $Pf_n$ et $Pf$ sont
donc dans le \emph{compact} $B_{2M}\bigcap V$ de $V$ (compact
parce que $V$ est de
dimension finie). Nous pouvons donc consid\'erer une suite extraite
\textbf{convergente}
$\{Pf_{n_i}\}$ des $Pf_n$, de limite
$h\in V$, n\'ecessairement distinct de $Pf$, mais alors
\begin{equation*}\begin{split}
    \|h-f\| &= \lim_{j\to\infty} \|Pf_{n_j}-f_{n_j}\|   \\
            &\leqslant \lim_{j\to\infty} \|Pf -f_{n_j}\|\quad\text{ puisque
                       $Pf_{n_j}$ est meilleure que $Pf$} \\
            &\leqslant \|Pf -f\|
\end{split}\end{equation*}
impossible si $h\neq Pf$, puisque $Pf$ est la \emph{seule} meilleure approximation
de $f$ dans $V$.  \qed

\medskip

{\Small

\subsection{Forte unicit\'e} On peut parfois quantifier la distance entre $f$
\label{foruni}      \index{unicit\'e, forte}
et un \'el\'ement quelconque $q$ de $V$ par une in\'egalit\'e de la forme
$$ \|f-q\| \geqslant \|f-Pf\| +\gamma \|Pf-q\|, $$
avec $\gamma>0$ d\'ependant de $f$ et $V$, mais pas de $q$. Cela revient \`a
une condition de Lipschitz pour le projecteur $P$:
$$ \frac{\|Pf-Pg\|}{\|f-g\|} \leqslant \lambda, $$
avec $\lambda=2/\gamma$ ([Che] pp.~80--82).

{\sl Surveys in Approximation Theory (SAT)}, Volume {\bf 5} (2010)\\
 * 12. Andr\'as Kroó and Allan Pinkus, Strong Uniqueness , 1-91. 
\href{http://www.emis.de/journals/SAT/papers/12}{\tt http://www.emis.de/journals/SAT/papers/12}





\section{Dualit\'e.}    \label{duali}

Si $\lambda$ est une forme lin\'eaire $\neq 0$ continue sur $X$, de \emph{noyau
contenant $V$}, on a $\lambda(f) = \lambda(f-q)$ pour $\forall q\in V$, en
particulier avec la meilleure approximation $p$ de $f$:
\\
$|\lambda(f)| = |\lambda(f-p)| \leqslant \|\lambda\| E(f)$, \\
o\`u $E(f):=\|f-p\|$. On a donc la \emph{borne inf\'erieure}
$E(f)\geqslant |\lambda(f)|/\|\lambda\|$ si $\lambda(q)=0, \forall q\in V$.

On aura l'occasion de concr\'etiser cette propri\'et\'e au chapitre suivant
(\S\S~\ref{valp} et \ref{sigalt}).

\textbf{Th\'eor\`eme}. \emph{Si $X$ est un espace de Banach, $V$ un sous-espace
de dimension finie de $X$,}
$$ E(f) = \max_{\substack{\lambda\in V^\perp \\ \|\lambda\|=1}} \lambda(f). $$
On applique le th\'eor\`eme de Hahn-Banach ([DeVLor] p.61, [Mei] \S~1.3).

\medskip
Extension \`a la meilleure approximation sur une partie convexe de $X$:\\
\textbf{Th\'eor\`eme de Fenchel.} \emph{Si $W$ est une partie convexe de
l'espace norm\'e $X$, on a}
$$ E(f):=\inf_{q\in W}\|f-q\| = \sup_{\substack{\lambda\in X^* \\ \|\lambda\|\leqslant 1}}
          \left[ \lambda(f) -\sup_{q\in W} \lambda(q) \right] .$$
Cf. [DeVLor] p.61--62.

}  % end Small



\section{Exemples et exercices.}

\subsection{} \   \\

\begin{enumerate}

\item  Prendre $X=\mathscr{C}[a,b]$, $V=$ les constantes, et
  \begin{enumerate}
    \setcounter{enumi}{0}\item $\|\ \|_\infty$: on obtient $p=(\max f +\min f)/2$. Remarquer
     que $\|f-q\|_\infty$ a un \emph{point critique non d\'erivable} en
     $q=p$.
    \setcounter{enumi}{1}\item $\|\ \|_2$: $\|f-q\|_2^2$ est simplement un trin\^ome du
     second degr\'e en $q$. On obtient $p=(b-a)^{-1}\int_a^b f(x)dx$.
    \setcounter{enumi}{2}\item $\|\ \|_1$: supposer d'abord $f$ monotone $\Rightarrow
     p=f((a+b)/2)$.
  \end{enumerate}

\item Prendre $X=\{f\in \mathscr{C}[0,1]: f(0)=0\}$ et
 $V=\{q(x)=ax\}_{a\in\mathbb{R}}$. Comparer avec Taylor $xf'(0)$ pour
quelques fonctions simples de $V$, par exemple $\sin x$, etc.

\item  \textbf{Syst\`emes surd\'etermin\'es d'\'equations lin\'eaires.} On
ne peut (normalement) pas r\'esoudre exactement $N$ \'equations lin\'eaires
\`a $n$ inconnues si $N>n$. On choisit $\boldsymbol{x}\in \mathbb{R}^n$ tel que
$\|\boldsymbol{b} -\boldsymbol{Ax}\|$ soit minimum selon une norme de
$\mathbb{R}^N$. Cela correspond \`a $X=\mathbb{R}^N$ et $V=$ espace sous-tendu
par les colonnes de $\boldsymbol{A}$.

$\|\ \|_2$: \emph{moindres carr\'es}

Cf. G.A.~Watson, \textsl{Approximation Theory and Numerical Methods}, Wiley, 1980,
                         pour $\|\ \|_\infty$ et programmation lin\'eaire: \cite{Sti} \S~2.7.

\end{enumerate}


\subsection{Moyenne et m\'ediane}  \  \\



Reprendre les constantes, mais pour approcher une fonction
discr\`ete, par exemple des cotes d'\'etudiants (exemple purement
imaginaire\footnote{d'apr\`es un exemple donn\'e par J.~Buijs, KULeuven.}):

\begin{center} \begin{tabular}{c|ccccc}
           $x$ &      1  &   2  &   3   &   4   &   5   \\
\hline     $f(x)$   & 18  & 17   &  16  &   14   &  2
\end{tabular}  \end{center}
Le bon sens sugg\`ere que l'examen a \'et\'e bien r\'eussi, qu'il n'y
a qu'un cas malheureux \`a d\'eplorer.

Pourtant, la meilleure constante selon la norme du maximum $\|\ \|_\infty$
est $(\min_i f(x_i) +\max_i f(x_i))/2 = 10$ sugg\`ere une assez m\'ediocre
performance d'ensemble: cette norme est trop sensible aux cas extr\^emes
pour \^etre utile ici.

Selon $\|\ \|_2$, on obtient la \emph{moyenne} $67/5 = 13.4$,
encore curieusement basse: tous les \'etudiants sauf un seraient
au-dessus de la moyenne\dots      \index{moyenne}

La vraie performance moyenne (au demeurant excellente)    \index{mediane}
est \'evidemment celle de l'\'etudiant class\'e en $(n/2)^{\text{\`eme}}$
position (\emph{m\'ediane}). Elle est obtenue en minimisant  \\
$\displaystyle{ \|f-c\|_1 = \sum_{i=1}^n |f(x_i) -c| }$ selon $c$, ce
qui donne bien $c=f(x_{n/2})$. (Plus pr\'ecis\'ement: $f(x_{(n+1)/2})$
si $n$ est impair; $f(x_{n/2})$ ou $f(x_{1+n/2})$ si $n$ est pair:
exemple de non unicit\'e).   \index{unicit\'e}

\subsection{Principaux sous-espaces de fonctions utilis\'es en
approximation} \  \\

   \begin{enumerate}

     \setcounter{enumi}{0}\item $\mathscr{P}_n$, polyn\^omes de degr\'e $\leqslant n$.
  Base usuelle: $\{1, x, x^2,\dotsc, x^n\}$. Dimension $n+1$.
  On se pr\'eoccupera beaucoup de d\'eterminer des bases plus
  efficaces\dots

    \setcounter{enumi}{1}\item $\mathcal{T}_n$, polyn\^omes trigonom\'etriques de degr\'e
    $\leqslant n$. Bases les plus utilis\'ees: \\
      $\{\{1, \cos x, \cos 2x,\dotsc, \cos nx\},
         \{ \sin x, \sin 2x,\dotsc, \sin nx\}\}$; \\
    $\{e^{-inx}, e^{-i(n-1)x},\dotsc, e^{-ix}, 1 ,e^{ix}, \dotsc, e^{inx}
       \}$. Dimension $2n+1$.

    \setcounter{enumi}{2} \item $\mathcal{S}_n^k(\Delta)$, fonctions spline d\'efinies sur
  $[a,b]$ \`a partir d'un d\'ecoupage $\Delta = \{a=x_1 < x_2 < \dotsb
   < x_{N-1} < x_N=b\}$. $f\in \mathcal{S}_n^k(\Delta)$ si
        \begin{enumerate}        \index{spline}
           \setcounter{enumii}{0} \item $f$ est de classe $\mathscr{C}^k$ dans $[a,b]$, et
            \setcounter{enumii}{1}\item la restriction de $f$ \`a un sous-intervalle
              $[x_i, x_{i+1}]$ est un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant n$.
        \end{enumerate}
     Une base: $\{ 1, x,\dotsc, x^n, (x-x_2)_+^{k+1},\dotsc, (x-x_2)_+^n,
                                     (x-x_3)_+^{k+1},\dotsc, (x-x_3)_+^n,
                             \dotsc,\dotsc,
                        (x-x_{N-1})_+^{k+1},\dotsc, (x-x_{N-1})_+^n\}$,
     o\`u $F_+$ d\'esigne la fonction qui vaut z\'ero quand $F(x)\leqslant 0$,
      et qui vaut $F(x)$ quand $F(x)\geqslant 0$.
      Dimension: $n+1 +(n-k)(N-2)$.

      Base la plus \'el\'egante: B-splines, nulles sur le plus grand nombre possible
      de sous-intervalles.
     \setcounter{enumi}{3}\item $\mathcal{E}_n^k$, combinaisons de polyn\^omes et d'exponentielles
     donn\'ees:  $\displaystyle{  \sum_{j=1}^k p_j(x) e^{\alpha_j x},
      p_j\in\mathscr{P}_n }$.
   \end{enumerate}

\newpage

\subsection{Centre et rayon de Tchebycheff d'une partie $P$ de $X$}{\ }\\


\index{Tchebycheff, centre et rayon}
\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3.5,5.5)
%\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,1.5)  \psline{->}(1.5,1.5)(1.5,3.5)
%\psline{->}(1.5,1.5)(0.5,0.5)
% \pscurve[linewidth=0.07](0,7.0)(0.5,8.8)(2.8,7.5)(5.5,6.8)(8.2,7.5)(12,8)(15,7)
  \psline[linewidth=0.07](0.0,0.0)(3.0,1.0)(2,2)(0,0)
  \psline(0,0)(2,0)(3,1)(3,3)(1,3)(0,2)(2,2)(2,0)(2,2)(3,3)
  \psline(0,0)(0,2)
\psline[linewidth=0.07](0.0,4.5)(2.0,4.5)
\psline(1,3.5)(1,5.5)
\uput[270](0,0){$A$}  \uput[0](3,1){$C$} \uput[135](2,2){$B$}
\end{pspicture}
}
$c\in X$ est un centre de Tchebycheff de $P$ si $\sup_{x\in P}\|c-x\|$ est la
plus petite possible, cette norme minimale est appel\'ee rayon de Tchebycheff
de $P$. C'est donc le rayon de la plus petite boule contenant $P$.
 {\Small Par exemple\footnote{Exemples et r\'ef\'erences fournis
par Michel Coyette.}, tous les points du segment vertical
$(0,-1)-(0,1)$ sont des centres du segment horizontal
$(-1,0)-(1,0)$ de $\mathbb{R}^2$ muni de $\|\ \|_\infty$.

Plus \'etonnant: o\`u est (sont) le(s) centre(s) du triangle
de sommets $A=(1,-1,-1)$, $B=(1,1,1)$ et $C=(-1,1,-1)$
de $\mathbb{R}^3$ muni de $\|\ \|_\infty$? Le triangle est
enti\`erement contenu dans la boule de rayon 1 centr\'ee \`a
l'origine (le cube de la figure ci-contre). Tout autre centre
pr\'esum\'e $(c_1,c_2,c_3)$ ne convient pas car au moins une
des diff\'erences $c_i-$ la $i^{\text{\`eme}}$ coordonn\'ee
d'un des points $A$, $B$, ou $C$ a une valeur absolue $>1$ (il y a
toujours une de ces coordonn\'ees qui vaut 1 et une qui vaut
$-1$). La curiosit\'e est donc que le centre n'est pas dans $P$.
On montre que toute partie de $X$ admet un centre dans son
enveloppe convexe si et seulement si $X$ est pr\'ehilbertien
(voir ce mot en p.~\pageref{prehil}).
\index{prehilbertien}   Cf.
   Klee, Victor,
   Circumspheres and inner products.
   {\sl Math. Scand.} {\bf 8} 1960 363--370.
   Garkavi, A. L.
   On the \v Ceby\v sev center and convex hull of a set. (Russian)
   {\sl Uspehi Mat. Nauk} {\bf 19} 1964 no. 6 (120), 139--145.
   Holmes, Richard B.
   {\sl A course on optimization and best approximation.
   Lecture Notes in Mathematics}, Vol. {\bf 257}.
   Springer-Verlag, Berlin-New York, 1972. viii+233 pp.


\subsection{Largeurs de Kolmogorov} A un degr\'e plus \'elev\'e de maturit\'e,
la th\'eorie de l'approximation se pose le probl\`eme suivant: pour une norme
donn\'ee, et une partie $P$ donn\'ee de $X$, on consid\`ere \emph{tous les
sous-espaces $V$ de dimension $m$ de $X$}, et on \'evalue pour chaque $V$
l'erreur du ``plus mauvais'' $f$ de $P$: $M(V)=\sup_{f\in P} \min_{q\in V}\|f-q\|$.
On minimise alors $M(V)$ selon $V$\dots On ne sait donc pas \`a l'avance quelle
sera la nature des approximations.   \index{Kolmogorov}

Exemple (A.~Pinkus, \textsl{$n$-Widths in Approximation Theory}, Springer, 1985):
$X=\{f: f\in\mathscr{C}^r[0,2\pi]$ avec $f(0)=f(2\pi)$, $f'(0)=f'(2\pi)$,\dots
$f^{(r-1)}(0)=f^{(r-1)}(2\pi)\}$ muni de la norme de $L^2$, $P=\{f: f\in X,
\|f^{(r)}\|\leqslant 1\}$. On trouve $V=\mathcal{T}^{n-1}$, espace des polyn\^omes
trigonom\'etriques de degr\'e $\leqslant n-1 =$ plus grand entier
$<m/2$; $M(V)$ minimum $= 1/n^r$ . C'est une fa\c con de justifier
l'int\'er\^et num\'erique des \emph{s\'eries de Fourier}.

Cf. aussi
   C.A.~Micchelli, T.J.~Rivlin, Editors: {\sl Optimal Estimation in
   Approximation Theory\/}, Plenum Press, New York, 1977.

\subsection{Coapproximation}  \  \\


  ``Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e, $G$ un sous-espace de $E$
   et $x\in E$. Tout \'el\'ement $g_0\in G$ v\'erifiant
  $\forall g\in G: \|g_0 -g\|\leqslant \|x-g\|$ est appel\'e \'el\'ement
  de meilleure coapproximation de $x$ par des \'el\'ements de $G$.''

Dans un pr\'ehilbertien, approximation et coapproximation
sont \'equivalentes.

Cf.
   Papini, Pier Luigi; Singer, Ivan:
   Best coapproximation in normed linear spaces.
   \textsl{Monatsh. Math.} \textbf{88}, 27-44 (1979).
   Rao, Geetha S.; Swaminathan, M.:
   Best coapproximation and Schauder bases in Banach spaces.
  \textsl{Acta Sci. Math.} \textbf{54}, No.3/4, 339-354 (1990).
   Rao, Geeta S.; Muthukumar, S.:
   Semi-continuity properties of the coapproximation operator.
   \textsl{Math. Today} \textbf{5}, 37-48 (1987).
   Rao, Geetha S.; Chandrasekaran, K.R.:
   Characterizations of elements of best coapproximation in normed linear
   spaces.
  \textsl{Pure Appl. Math. Sci.} \textbf{26}, 139-147 (1987).
   Rao, Geetha S.; Swaminathan, M.:
   On normal bases.
  \textsl{Bull. Calcutta Math. Soc.} \textbf{88}, No.2, 107-112 (1996).

}  %end Small



\chapter{Approximation au sens de Tchebycheff.}
\renewcommand{\mylmark}{Tchebycheff}
\thispagestyle{fancy}

\section{Th\'eor\`eme d'\'equioscillation  de Tchebycheff.}


``Approximation au sens de Tchebycheff'' signifie simplement meilleure approximation
utilisant la norme du maximum $\|\ \|_\infty$, ce qui n'a rien que de tr\`es
banal, semble-t-il\footnote{On dit aussi ``approximation minimax''.}.
La contribution cruciale de P.L. Tchebycheff (1821-1894)
consista \`a d\'ecrire de fa\c con saisissante cette meilleure approximation.
Voyons imm\'ediatement le th\'eor\`eme essentiel de Tchebycheff:
\index{Tchebycheff, th\'eor\`eme de}
\subsection{Th\'eor\`eme d'\'equioscillation de Tchebycheff (1853)}\footnote{
Tr\`es exactement, dans ``Th\'eorie des m\'ecanismes connus sous le nom de
parall\'elogrammes'', M\'emoires pr\'esent\'es \`a l'Acad\'emie Imp\'eriale
des sciences de St.-P\'etersbourg par divers savants, VII, 1854, pp.~539--568,
\emph{Lu le 28 janvier 1853}, o\`u le th\'eor\`eme d'\'equioscillation
est esquiss\'e. Tchebycheff reprend la question de mani\`ere beaucoup
plus d\'etaill\'ee dans un article de 1859 (lu le 9 octobre 1857) ``Sur
les questions de minima qui se rattachent \`a la repr\'esentation
approximative des fonctions'' \cite{Tche}. Il a fallu attendre le
$20^{\text{\`eme}}$ si\`ecle et le d\'eveloppement de la notion de
compacit\'e (Borel) pour arriver \`a la d\'emonstration compl\`ete
\cite{Che}.
}  {\ }\\
 \emph{Soit $X=\mathscr{C}[a,b]$
l'espace des fonctions continues r\'eelles sur l'intervalle compact $[a,b]$,
$V$ l'espace $\mathscr{P}_n$ des polyn\^omes r\'eels de degr\'e $\leqslant n$.
Alors $\hat p$ est la meilleure approximation de $f$ dans $\mathscr{P}_n$ au
sens de la norme du maximum \emph{si et seulement si} on peut trouver $n+2$
points distincts dans $[a,b]$
  $$  a\leqslant x_{n+1} < x_n < x_{n-1} < \ldots < x_1 < x_0 \leqslant b $$
o\`u $f-\hat p$ prend des valeurs de m\^eme valeur absolue $E=\|f-\hat p\|_\infty$
\emph{et de signes altern\'es}:
  \begin{equation} \label{altern}
        f(x_i)-\hat p(x_i) = \sigma E (-1)^i\;,  \qquad i=0,1,\ldots, n+1,
  \end{equation}
o\`u $\sigma$ est le signe de $f(x_0)-\hat p(x_0)$.
Un tel ensemble de points est appel\'e \emph{alternant} }.

\smallskip\index{equioscillation}
\begin{flushright}\begin{minipage}{9cm}   {\Small
 \textsl{Il est en effet indispensable qu'il ne soit, en aucun endroit,
 susceptible de plus ou de moins. \dots Le point \`a partir duquel il est
 \'egal en tout sens tend \'egalement vers ses limites.  }

   \smallskip\begin{center} {\sl Parm\'enide} \end{center}
}\end{minipage}\end{flushright}

\smallskip

On peut donc avoir plusieurs points, ou m\^eme tout un intervalle, o\`u
$f-\hat p$ atteint un extr\'emum, ces points ne comptent que pour un point
tant que $f-\hat p$ n'atteint pas l'extr\'emum oppos\'e (voir figure qui
repr\'esente un exemple de graphe de $f-\hat p$).

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(15,5)(0.5,-1)
  \put(0,0){\special{"
    gsave  2.5 setlinewidth  1.0 0.0 0.0 setrgbcolor
    newpath 134   65 moveto 10  20  25  20 46 -20 rcurveto
                            21 -40  42 -10 68 0 rcurveto
                            26 10   95 40  200 60 rcurveto
    stroke grestore
        }   }
  \put(0,0){\framebox(15,3)}
  \put(0,1.5){\line(1,0){15}}  \put(15,1.5){\vector(1,0){0.5}}
  \put(0.05,1.55){$a$} \put(14.8,1.55){$b$} \put(15.1,3){$E$} \put(15.1,0){$-E$}
  \put(14.1,1.58){$x_0$}  \put(8.6,1.58){$z_1$}
  \put(7.6,1.58){$x_1$}   \put(6.1,1.22){$z_2$}
  \put(7.75,0){\dashbox{0.2}(0,1.5)}
   \put(14.5,0){\line(0,1){3}}  \put(14.8,-0.18){$u_1$}
   \put(14.0,0){\line(0,1){3}}  \put(14.3,-0.18){$u_2$}
   \put(13.5,0){\line(0,1){3}}  \put(13.8,-0.18){$u_3$}
   \put(13.0,0){\line(0,1){3}}  \put(13.3,-0.18){$u_4$}
   \put(12.5,0){\line(0,1){3}}  \put(12.8,-0.18){$u_5$}
   \put(12.0,0){\line(0,1){3}}  \put(12.3,-0.18){$\dots$}
   \put(11.5,0){\line(0,1){3}}
   \put(11.0,0){\line(0,1){3}}
   \put(10.5,0){\line(0,1){3}}
   \put(10.0,0){\line(0,1){3}}
   \put(9.5,0){\line(0,1){3}}
   \put(9.0,0){\line(0,1){3}}
   \put(8.5,0){\line(0,1){3}}
   \put(8.0,0){\line(0,1){3}}
   \put(7.5,0){\line(0,1){3}}
   \put(7.0,0){\line(0,1){3}}
   \put(6.5,0){\line(0,1){3}}
   \put(6.0,0){\line(0,1){3}}
   \put(5.5,0){\line(0,1){3}}
   \put(14.1,3.07){$d_1$}
   \put(13.6,3.07){$d_2$}
   \put(10.1,3.07){$d_3$}
   \put(9.6,3.07){$d_4$}
   \put(7.6,3.07){$d_5$}
   \put(5.6,3.07){$d_6$}
  \thicklines
    \put(15,2){\line(-1,1){1}}
    \bezier{55}(14,3)(13,2.5)(12.25,1)
    \put(12.25,1){\line(-1,1){2}} \put(10.25,3){\line(-1,0){0.5}}
    \bezier{199}(9.75,3)(7.75,-3)(5.75,3)
    \put(5.75,3){\line(-1,-1){1}}
   \put(3.5,2){$\cdots$}
   \put(14.7,2.4){$f(x)-\hat p(x)$}
   \put(14.8,3.65){$\sigma\rho(x)$}

\end{picture}
\end{center}

\smallskip
Les points on \'et\'e num\'erot\'es \`a partir de la droite, on verra plus
loin que c'est plus commode.

\subsection{Preuve de la condition n\'ecessaire: $\hat p$ optimal dans
$\mathscr{P}_n  \Rightarrow \eqref{altern}$} {\ } \\

\subsubsection{Deux premiers points.}
On a donc $E=\|f-\hat p\|= \max_{a\leqslant x\leqslant b} |f(x)-\hat p(x)|$.
La fonction continue $|f-\hat p|$ atteint en au moins un point de $[a,b]$ son
maximum $E$. En fait, $f-\hat p$ atteint sa valeur maximale $E_{\text{max}}$ en
au moins un point, et sa valeur minimale $E_{\text{min}}$ en au moins un
autre point. Par d\'efinition de $E$, $E=\max(E_{\text{max}}, -E_{\text{min}})$.

En fait, $E=E_{\text{max}}= -E_{\text{min}}$: s'il en \'etait autrement,
par exemple si $\min_x (f(x)-\hat{p}(x)) = \mu > -E$, soit
$\gamma:= (E+\mu)/2$. Remarquons que $\gamma\neq 0$.Alors, $\hat{p}+\gamma$
serait meilleur que $\hat{p}$:
$$  -(E-\gamma) = \mu-\gamma = \min_x (f(x) -\hat{p}(x)-\gamma)
     \leqslant  \max_x (f(x) -\hat{p}(x)-\gamma) = E-\gamma, $$
on aurait donc $\|f-\hat{p}-\gamma\|_\infty = E-\gamma <E$.

M\^eme raisonnement si on avait
 $\max_x (f(x)-\hat{p}(x)) < E$.

On a donc d\'ej\`a un alternant d'au moins deux points. Prenons $n>0$ puisqu'il
n'y a plus rien \`a d\'emontrer si $n=0$.

\subsubsection{D\'ecoupage.}
Comme $f-\hat p$ est continue sur le compact $[a,b]$, elle y est uniform\'ement
continue: $\forall \varepsilon >0$, $\exists \delta>0$ tel que dans \emph{tout}
intervalle de longueur $\delta$ dans $[a,b]$, l'oscillation de $f-\hat p$ est
inf\'erieure \`a $\varepsilon$. Prenons le $\delta$ correspondant \`a
$\varepsilon=E/2$ et divisons $[a,b]$ en $s-1$ intervalles\footnote{Ici, on suit
[\`a peu pr\`es] les notations de Natanson [Nat] pp.~26 et suivantes;
voir aussi \cite[chap.~1, \S~1.2]{Riv1}. }
$[u_s, u_{s-1}]$, $[u_{s-1},u_{s-2}]$,\dots, $[u_2,u_1]$ de longueurs
$\leqslant\delta$, avec $a=u_s< u_{s-1}< \dots u_2< u_1=b$. Sur les
intervalles $[u_{k+1},u_k]$ o\`u $|f-\hat p|$ atteint son maximum $E$,
$|f-\hat p|$ ne peut prendre des valeurs inf\'erieures \`a $E/2$, de sorte que
$f-\hat p$ garde un signe constant sur ces intervalles-l\`a (il y en a au moins
deux). Notons, \`a partir de la droite, $d_1$, $d_2$,\dots, $d_N$ ces
intervalles. Sur les \emph{autres} intervalles (ferm\'es) $[u_{i+1}, u_i]$,
la fonction continue $|f-\hat p|$ n'atteint jamais la valeur $E$, elle
atteint donc une valeur maximale que nous notons $E^*$. On a $E^* < E$.
 Soit $\sigma=+1$ ou $-1$ le signe de $f-\hat p$ sur $d_1$. Regroupons
ces intervalles tant que $f-\hat p$ y garde le m\^eme signe:
\begin{equation*}\left.\begin{matrix}
  d_1, d_2,\dots, d_{k_1}    & \text{signe } =\sigma \\
  d_{k_1+1}, d_{k_1+2},\dots d_{k_2}  & \text{signe } =-\sigma \\
  \hdotsfor{2} \\
  d_{k_{m-1}+1}, d_{k_{m-1}+2},\dots d_{k_m}  & \text{signe } =(-1)^{m-1}\sigma\\ \\
\end{matrix}\right\} \end{equation*}
Dans le cas de la figure, on a $\sigma=1$, $k_1=4$, $k_2=5$,
$k_3\geqslant 6$\dots \\
Montrons que $m\geqslant n+2$. \\
Supposons que $m<n+2$. Comme la fonction continue $f-\hat p$ a le signe $\sigma$
sur tout l'intervalle $d_{k_1}$ et le signe oppos\'e $-\sigma$ sur tout
l'intervalle $d_{k_1+1}$, il y a au moins un intervalle $[u_{r+1},u_r]$
entre $d_{k_1+1}$ et $d_{k_1}$. Soit $z_1 \in (u_{r+1},u_r)$ (l'intervalle
ouvert!). On peut
d'ailleurs prendre un point entre $d_{k_1+1}$ et $d_{k_1}$ o\`u
$f-\hat p$ s'annule. De m\^eme, on choisit $z_2$ entre $d_{k_2+1}$ et
$d_{k_2}$, \dots, $z_{m-1}$ entre $d_{k_{m-1}+1}$ et $d_{k_{m-1}}$.

\subsubsection{Construction d'un polyn\^ome meilleur que $\hat{p}$
 si $m<n+2$}.
On construit alors $$\rho(x)=(x-z_1)(x-z_2)\dots (x-z_{m-1}).$$ C'est un
polyn\^ome de degr\'e $m-1 < n+1$, donc un \'el\'ement de $V=\mathscr{P}_n$.
Le polyn\^ome $\rho$ ne s'annule qu'aux $z_i$, donc garde un signe constant
sur chaque intervalle $d_i$. Le polyn\^ome $\sigma\rho$ a pr\'ecis\'ement
le \emph{m\^eme} signe que $f-\hat p$ sur chaque $d_i$: sur $d_1$,\dots,
$d_{k_1}$, $\sigma\rho(x)$ et $f(x)-\hat p(x)$ ont tous deux le signe
$\sigma$ puisque $x>z_1> z_2>\dots : \rho(x)>0$;
                                      sur $d_{k_1+1}$,\dots,
$d_{k_2}$, $\sigma\rho(x)$ et $f(x)-\hat p(x)$ ont tous deux le signe
$-\sigma$ puisque $z_1> x> z_2> \dots : \rho(x)<0$, etc. Montrons que l'on peut
trouver $\lambda >0$ assez petit tel que $\hat p+\lambda\sigma\rho$ soit
meilleur que $\hat p$: sur les $d_i$, $f(x)-\hat p(x)-\lambda\sigma\rho(x)$
garde le signe de $f(x)-\hat p(x)$ pourvu que $\lambda|\rho(x)|$ soit toujours
plus petit que $|f(x)-\hat p(x)|\geqslant E/2$, il suffit donc de prendre
$0<\lambda<E/(2\|\rho\|_\infty)$ .Le maximum de $|f-\hat p -\lambda\sigma\rho|$
sur les $d_i$
sera donc r\'eduit \`a un nombre inf\'erieur \`a
$E-\lambda\min_{x\in \cup d_i}|\rho(x)| < E$.  \\
 Enfin, sur les intervalles $[u_{i+1},u_i]$
qui ne sont pas des $d_i$, on sait que $|f(x)-\hat p(x)|$ ne d\'epasse pas
$E^* <E$, donc, avec $\lambda < (E-E^*)/\|\rho\|$, le maximum de
$|f-\hat p -\lambda\sigma\rho|$ reste encore inf\'erieur \`a
$\max_{x\not\in \cup d_i}|f-\hat p|+\lambda \|\rho\| <E$.

Si $m< n+2$, on peut donc construire une approximation meilleure que $\hat p$
dans $\mathscr{P}_n$, ce qui est impossible: $m\geqslant n+2$. \qed

\subsection{Preuve de la condition suffisante $\eqref{altern} \Rightarrow
  \hat p$ optimal dans $\mathscr{P}_n$} {\ } \\

Montrons que, si on a pu construire  $\hat p\in\mathscr{P}_n$ tel que
$f-\hat p$ poss\`ede un alternant de $n+2$ points, $\hat p$ ne peut \^etre
am\'elior\'e: si $q \in \mathscr{P}_n$ \'etait meilleure approximation
que $\hat p$, on aurait $\|f-q\|_\infty < E=\|f-\hat p\|_\infty$ (on ne
consid\`ere que le cas $f\not\in \mathscr{P}_n: E>0$). Examinons
ce qui se passe en $x_0$, $x_1$,\dots, $x_{n+1}$: $f(x_0)-\hat p(x_0)=
\sigma E$ et $|f(x_0)-q(x_0)|<E$, donc, $q(x_0)-\hat p(x_0) =
f(x_0)-\hat p(x_0) -(f(x_0)-q(x_0))$ est non nul avec le signe $\sigma$.
En $x_1$, $q-\hat p$ a le signe $-\sigma$, etc. Le polyn\^ome $q-\hat p$
devrait donc s'annuler en $n+1$ points distincts s\'eparant les $n+2$
points $x_i$, ce qui n'est pas possible avec un polyn\^ome non nul de degr\'e
$\leqslant n$.    \qed

\medskip
\subsection{Exemple} \emph{La fonction $f(x)=\sin 6\pi x$ ne peut \^etre
approch\'ee sur $[0,1]$ par un polyn\^ome meilleur que le polyn\^ome nul
tant que le degr\'e reste $\leqslant 4$.} \\
En effet, avec $p(x)\equiv 0$, $f-p$ pr\'esente un alternant de 6 points
en $1/12, 3/12, \dots, 11/12$, de sorte que 0 est optimal dans $\mathscr{P}_0$,\dots,
$\mathscr{P}_4$.

%  \epsfxsize=477bp \epsfbox[75 0 552 175]{sin6pix.ps}
%\begin{center}
%Graphe de $\sin 6\pi x$ sur $[0,1]$ et erreur de meilleure approximation
%     de degr\'e 5.\label{figsin} \end{center}
%
%{\Small On n'a pas beaucoup gagn\'e en amplitude en passant au degr\'e 5:
% $E$ est \`a peine inf\'erieur \`a 0.96!
%}

\subsection{Th\'eor\`eme d'unicit\'e de la meilleure approximation polynomiale
au sens de Tchebycheff} \emph{La meilleure approximation polynomiale de
degr\'e $\leqslant n$ au sens de Tchebycheff
d'une fonction r\'eelle continue sur un compact
$[a,b]$ est unique.}     \index{unicit\'e}


Comme la norme de Tchebycheff n'est pas stricte, on ne peut appliquer un
th\'eor\`eme g\'en\'eral, mais le raisonnement particulier suivant \'etablit
la proposition:

Si $p$ et $q$ sont deux polyn\^omes de meilleure approximation, il en est de
m\^eme de $(p+q)/2$ (combinaison convexe). Donc, par le th\'eor\`eme
d'\'equioscillation, $f-(p+q)/2$ poss\`ede un alternant de $n+2$ points
$\{x_0, x_1,\dots, x_{n+1}\}$ (condition n\'ecessaire).
 En un de ces points, soit $x_k$, on a
$f(x_k)-(p(x_k)+q(x_k))/2 = \sigma_k E$, o\`u $\sigma_k = (-1)^k\sigma$
est le signe appropri\'e, donc $f(x_k)-p(x_k) + f(x_k)-q(x_k) = 2\sigma_k E$.
Comme $|f(x_k)-p(x_k)|$ et $|f(x_k)-q(x_k)|$ sont tous deux $\leqslant E$,
cela n'est possible que si $f(x_k)-p(x_k)=\sigma_k E$ et
                           $f(x_k)-q(x_k)=\sigma_k E$, donc
$q(x_k)=p(x_k)$ en $n+2$ points distincts, le polyn\^ome $q-p$ devrait
s'annuler en ces $n+2$ points, impossible avec un polyn\^ome non nul
de degr\'e $\leqslant n$. \qed

\section{Propri\'et\'es de la meilleure approximation.}

\subsection{Sym\'etrie. Th\'eor\`eme} \emph{Si $f$ est une fonction paire
sur un intervalle de la forme $[-a,a]$, c'est-\`a-dire si $\forall x\in[-a,a],
f(-x)=f(x)$, alors sa meilleure approximation $\hat p$ de degr\'e $\leqslant n$
au sens de Tchebycheff est \'egalement une fonction paire. De m\^eme, si
$f$ est une fonction impaire ($f(-x)=-f(x)$), $\hat p$ est une fonction
impaire}\footnote{Cas particulier d'un th\'eor\`eme d'invariance, [Mei]
   pp.~25-26.}.     \label{symetr}

En effet, soit $f(-x)=sf(x)$ avec $s=1$ (fonction paire) ou $s=-1$ (fonction
impaire). On a
$$ E =\|f(x)-\hat p(x)\|_\infty = \|f(-x)-\hat p(-x)\|_\infty =
 \|sf(-x)-s\hat p(-x)\|_\infty = \|f(x)-s\hat p(-x)\|_\infty,$$
d'o\`u on conclut que $s\hat p(-x)$ est \'egalement une meilleure approximation
de $f$ sur le \emph{m\^eme} intervalle $[-a,a]$, d'o\`u, par unicit\'e,
$s\hat p(-x) = \hat p(x)$. \qed

Si $f$ est paire sur $[-a,a]$, la meilleure approximation de degr\'e
$\leqslant 2n$ pr\'esente donc n\'ecessairement un alternant d'au moins
$2n+3$ points (puisque le m\^eme $\hat p$ est \'egalement optimal dans
$\mathscr{P}_{2n+1})$!

%{\Small Pr\'ecis\'ement, la deuxi\`eme partie de la figure \ref{figsin}
% montre une erreur de meilleure approximation de degr\'e 5 avec un alternant
% de 8 points, semble-t-il. Constatez que, avec $f(x)=\sin 6\pi x$ sur
% $x\in[0,1]$, on a, avec $y=2x-1$, $f(x)=-\sin 3\pi y$, impaire sur
% $y\in [-1,1]$. Et on obtient effectivement, apr\`es plusieurs it\'erations
% de l'algorithme d'\'echange (voir plus loin, \S~\ref{echange}),
% $\hat p(x)= -3.1624 (2x-1)^5 + 2.5517 (2x-1)^3 - 0.3418 (2x-1)$.
%}
Par exemple, $x^2+1/8$ est la meilleure approximation de degr\'e
$\leqslant 3$ de $|x|$ sur $[-1,1]$. Les points extr\'emaux de
la fonction d'erreur sont bien a nombre de 5: 0, $\pm 1/2$ et
$\pm 1$.

\subsection{Th\'eor\`eme (de La Vall\'ee Poussin)}     \emph{
Soit $f$ continue sur le compact $[a,b]$ et $\hat p$ sa meilleure approximation
de degr\'e $\leqslant n$ au sens de Tchebycheff. \index{de La Vall\'ee Poussin}
Soit $E=\|f-\hat p\|_\infty$.  \\
Alors, si on conna\^\i t $p\in\mathscr{P}_n$ et des points
 $$ a\leqslant x'_{n+1} < x'_n < \ldots < x'_1 < x'_0 \leqslant b $$
o\`u $f-p$ prend des valeurs de signes altern\'es, on a}
\begin{equation*}
           \min_{0\leqslant i\leqslant n+1} |f(x'_i) -p(x'_i)| \leqslant E.
\end{equation*}

\label{valp}

En effet, si tous les $|f(x'_i) -p(x'_i)|$ \'etaient $> E$, chaque
$\hat p(x'_i) -p(x'_i)$ serait du m\^eme signe que $f(x'_i) -p(x'_i)$, puisque
$\hat p(x'_i)-p(x'_i) = f(x'_i)-p(x'_i) -(f(x'_i)-\hat p(x'_i))$ et que
$f(x'_i)-\hat p(x'_i)$ n'est pas assez grand (sa valeur absolue est $\leqslant E$)
pour renverser le signe de $f(x'_i)-p(x'_i)$. \\
Le polyn\^ome $\hat p-p\in\mathscr{P}_n$ devrait donc prendre des signes
altern\'es en $n+2$ points, donc changer de signe en $n+1$ points
interm\'ediaires, ce qui est impossible\footnote{{\bf Exercice.}
  Montrez cette variante: soit un polyn\^ome $p\in\mathscr{P}_n$
  tel que $f-p$ a des signes altern\'es en $n+2$ points
  $a\leqslant x'_{n+1} < x'_n < \dotsc < x'_0 \leqslant b$, alors,
  pour \emph{\textbf{tout}} polyn\^ome $q\in\mathscr{P}_n$,
  on a, en au moins un des points $x'_i$,
  $|f(x'_i)-p(x'_i)|\leqslant |f(x'_i)-q(x'_i)|$. On en d\'eduit
  \'evidemment $\min_i |f(x'_i)-p(x'_i)| \leqslant \|f-q\|_\infty$.
  (J. Hendrickx, \textsf{MAP 22}, 2002-2003.)
  (En effet, s'il n'en \'etait pas ainsi, $q-p= f-p-(f-q)$
   pr\'esenterait des signes altern\'es en les $n+2$ points $x'_j$).
   }.\qed

\medskip

Ce dernier th\'eor\`eme permet d'appr\'ecier dans quelle mesure un polyn\^ome
$p\in\mathscr{P}_n$ est proche de $\hat p$: si $p$ est tel que les signes
des $f(x'_i)-p(x'_i)$ soient altern\'es, on a l'encadrement pour $E$
 $$ \min_i |f(x'_i)-p(x'_i)| \leqslant E \leqslant \max_{a\leqslant x\leqslant b}
    |f(x)-p(x)|,$$
puisque $p$ n'est (normalement) pas optimal et que le dernier terme n'est autre
que $\|f-p\|_\infty$.

{\Small
 Si les deux normes $E=\|f-\hat p\|$ et $\|f-p\|$ sont
proches, $p$ et $\hat p$ sont \'egalement proches, par forte unicit\'e
(Chap.~1, \S~\ref{foruni}, p.~\pageref{foruni}, qu'on d\'emontrera dans un instant):
$\|p-\hat p\|\leqslant (\|f-p\|-E)/\gamma$.

\smallskip      \index{unicit\'e, forte}
\subsection{Unicit\'e forte} \cite{Che} essayons d'appr\'ecier dans quelle mesure
$\|f-p\|$ est plus grand que $\|f-\hat p\|$ quand $p\neq \hat p$.
 En chacun des $n+2$ points de l'alternant de $f-\hat p$, on a
$$ f(x_i)-p(x_i) = f(x_i)-\hat p(x_i) +\hat p(x_i)-p(x_i) =
  (-1)^i\sigma \left(E +\|\hat p-p\| \frac{Q(x_i)}{(-1)^i\sigma}\right), $$
o\`u $Q$ est le polyn\^ome de norme unit\'e
 $(\hat p-p)/\|\hat p-p\| \in \mathscr{P}_n$. Les $n+2$ valeurs
$Q(x_i)/((-1)^i\sigma)$ ne peuvent \^etre toutes $\leqslant 0$, sinon
$Q$ aurait au moins $n+1$ z\'eros. On montre que $\max_i (-1)^i\sigma Q(x_i)$
est une fonction strictement positive, continue en les coefficients de
$Q$ sur le compact $B_1\bigcap \mathscr{P}_n$, elle admet donc un
minimum \'egalement strictement positif que l'on note $\gamma$.\\
En un $x_i$ o\`u $(-1)^i\sigma Q(x_i) \geqslant \gamma$, on a donc
$|f(x_i)-p(x_i)|\geqslant E+\|\hat p-p\|\gamma$, d'o\`u
$\|f-p\|\geqslant E+\gamma\|\hat p-p\|$. \qed

} % end Small

\medskip

\subsection{Signes altern\'es}       \label{sigalt}
A partir d'une approximation quelconque $p$, il n'est pas toujours possible
de trouver $n+2$ points $x'_i$ o\`u $f-p$ prend des valeurs de signes
altern\'es, mais on peut se donner $n+2$ points $x'_i$ arbitraires (toujours
avec $a\leqslant x'_{n+1} < \ldots < x'_0\leqslant b$, bien s\^ur), et
construire $p\in\mathscr{P}_n$ tel que les valeurs $f(x'_i)-p(x'_i)$ soient
de signes altern\'es.

\smallskip

{\Small

\noindent\textbf{Propri\'et\'e de Haar, espaces de Haar.}\   \\
Les fonctions continues $\Phi_1$, $\Phi_2$,\dots, $\Phi_m$ de $A$ vers
$\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ont la \textbf{propri\'et\'e de Haar} si \index{Haar}
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{0}\item  $A$ contient au moins $m$ points,
  \setcounter{enumi}{1}\item toute combinaison lin\'eaire   $\sum_1^m a_i \Phi_i$
   est, soit la fonction nulle sur $A$, soit a au plus $m-1$
   z\'eros distincts dans $A$.
\end{enumerate}
L'espace $\mathcal{H}_m$ sous-tendu par
 $\Phi_1$, $\Phi_2$,\dots, $\Phi_m$ est alors appel\'e \textbf{espace de Haar}
 ([DeVLor] pp.67--73, [Mei] \S~4.1).

\smallskip

\noindent\emph{\textbf{Exemples.}}
\begin{enumerate}
 \item $\mathscr{P}_n$, avec $m=n+1$;
 \item l'espace des polyn\^omes pond\'er\'es $p(x)= w(x)q(x)$, $q\in\mathscr{P}_n$
sur un ensemble $A$ o\`u $w$ ne s'annule pas;
 ceci permet de traiter des probl\`emes de meilleure erreur
  \textbf{\emph{relative}} avec $w=1/f$ si $f$ ne s'annule pas
   sur $A$;  \index{relative, erreur}
 \item l'espace $\mathcal{T}_n$ des polyn\^omes trigonom\'etriques
$p(\theta)= a_0 + \sum_1^n (a_k \cos(k\theta) + b_k \sin(k\theta))$
sur $A=[-\pi,\pi)$: $p(\theta) = e^{-in\theta} q(e^{i\theta})$ avec
$q\in \mathscr{P}_{2n}$, on a donc $m=2n+1$;    \label{Haartrig}
 \setcounter{enumi}{3}\item les combinaisons lin\'eaires r\'eelles d'exponentielles r\'eelles
$f(x)=\sum_1^m a_k e^{\alpha_k x}$, sur un intervalle r\'eel $A$, avec
$\alpha_1$,\dots, $\alpha_m$ distincts: la propri\'et\'e est vraie pour
$m=1$, si elle est vraie pour $m-1$, $f$ ne peut avoir $m$ z\'eros
r\'eels distincts, car il en serait de m\^eme pour $g$:
$g(x)=e^{-\alpha_m x} f(x)$, donc $g'$ aurait encore $m-1$ z\'eros r\'eels
distincts dans $A$ (th.\ de Rolle), mais $g'$ est une combinaison de
$m-1$ exponentielles.
\end{enumerate}

\medskip

Soit
 $\Phi_1$, $\Phi_2$,\dots, $\Phi_m$ une suite libre, donc une base
 de $\mathcal{H}_m$. Si $\mathcal{H}_m$ est un espace de Haar, et si
 $x_1$, $x_2$,\dots, $x_m$ sont des points distincts de $A$, le
 d\'eterminant
\begin{equation} \label{detHaar}
  D(x_1, x_2,\dotsc, x_m) =
  \begin{vmatrix} \Phi_1(x_1) & \cdots & \Phi_m(x_1)  \\
                  \vdots      &        & \vdots     \\
                  \Phi_1(x_m) & \cdots & \Phi_m(x_m)
  \end{vmatrix}
\end{equation}
est non nul: si on veut exprimer qu'une combinaison lin\'eaire
$\sum_1^m a_j \Phi_j$ s'annule en $x=x_1, x_2,\dotsc, x_m$, on aboutit
au syst\`eme d'\'equations lin\'eaires homog\`enes
$\sum_1^m \Phi_j(x_i)\, a_j =0$, $i=1,\dotsc,m$, qui ne peut admettre que
la solution triviale $a_1=\dotsc = a_m=0$, donc le d\'eterminant, qui
n'est autre que \eqref{detHaar}, doit \^etre non nul.

\smallskip

Passons maintenant au cas de fonctions r\'eelles sur un intervalle
r\'eel $A$. Soit $x_1 > x_2 > \dotsc > x_m$. $D(x_1, x_2,\dotsc, x_m)$
est alors de signe constant, soit $\sigma$: en effet,
$D(x_1, x_2,\dotsc, x_m)$ est une fonction r\'eelle continue de chaque $x_i$
 qui ne peut
s'annuler tant que $x_1$, $x_2,\dotsc, x_m$ sont distincts\footnote{Par
homotopie: soit $\{x_1^{(0)},\dotsc, x_m^{(0)}\}$, avec $x_1^{(0)} >
x_2^{(0)}> \dotsc > x_m^{(0)}$
 une configuration de d\'epart, et soit $\sigma$ le signe de
         $D(x_1^{(0)},\dotsc, x_m^{(0)})$, alors
 $D((1-t)x_1^{(0)}+tx_1,\dotsc, (1-t)x_m^{(0)}+tx_m )$ est une fonction
 r\'eelle continue de $t$ qui ne peut pas s'annuler sur $t\in[0,1]$, doit
 donc garder le signe $\sigma$.}.  Ensuite:
\\    sign\  $D(x,x_1,x_2,\dotsc, x_{m-1})= \sigma (-1)^k$
   si  $x_{k+1} < x < x_k$, en effet, on permute la premi\`ere et la
$k^{\text{\`eme}}$ ligne pour retrouver un d\'eterminant de signe $\sigma$.

On voit maintenant comment construire $p$ dans un espace de Haar r\'eel
$\mathcal{H}_m$ de base $\Phi_1,\dotsc, \Phi_m$ sur $A\subset\mathbb{R}$,
tel que $f-p$ prenne des valeurs de m\^eme valeur absolue et de signes
altern\'es en $m+1$ points donn\'es $x_1 > x_2 > \dotsc > x_{m+1}$ de
$A$: les $m+1$ \'equations sont
$$ f(x_i) -p(x_i) = f(x_i) -\sum_{j=1}^m \Phi_j(x_i)\, a_j = e (-1)^{i-1},\quad
  i=1,2,\dotsc, m+1,$$
o\`u les $m+1$ inconnues sont $a_1,\dotsc, a_m$ \emph{\textbf{et}} $e$. Le
syst\`eme est donc
$$ \begin{bmatrix} \Phi_1(x_1) & \cdots & \Phi_m(x_1) & 1 \\
                   \Phi_1(x_2) & \cdots & \Phi_m(x_2) & -1 \\
                   \Phi_1(x_3) & \cdots & \Phi_m(x_3) & 1 \\
                   \vdots      &        & \vdots  & \vdots \\
            \Phi_1(x_{m+1}) & \cdots & \Phi_m(x_{m+1}) & (-1)^m
   \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\  \vdots \\ a_m \\ e \end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix} f(x_1)\\f(x_2)\\f(x_3)\\ \vdots \\f(x_{m+1})\end{bmatrix}
$$
de d\'eterminant
$$ \sum_{i=1}^{m+1} (-1)^m D(x_1,\dotsc, x_{i-1},x_{i+1},\dotsc,
   x_{m+1}), $$
somme de termes non nuls tous de m\^eme signe $\sigma (-1)^m$, donc non
nul.


} %end Small

\subsection{Algorithme d'\'echange} (Remez\footnote{Yevgeny Yakovlevich
Remez, 17 f\'evrier 1896-- 31 ao\^ut 1975, cf. \textsl{J.\ Approx.\ Theory} \index{Remez}
\textbf{84} (1996) pp.~119--120.})   \label{echange} {\ }\\ \index{echange, algorithme d'}

A partir d'un alternant d'essai $a\leqslant x'_{n+1} < x'_n < \ldots
  x'_0 \leqslant b$, on d\'etermine $p\in\mathscr{P}_n$ tel que les
$n+2$ valeurs $f(x'_i)-p(x'_i)$, $i=0,\ldots, n+1$ soient de m\^eme valeur
absolue et de signes altern\'es, par la m\'ethode vue plus haut:
    $$ f(x'_i)-p(x'_i) = (-1)^i e',\qquad i=0,\ldots, n+1. $$
On
examine alors $f(x)-p(x)$ sur tout $[a,b]$ (ou sur une grille fine o\`u
les valeurs de $f$ sont donn\'ees). Soit $x''$ un point de $[a,b]$ o\`u
$|f-p|$ atteint son maximum $E'$. Par le th\'eor\`eme de La Vall\'ee Poussin
et la d\'efinition de $E$, norme de l'erreur de meilleure approximation, on a
 $$ |e'| \leqslant E \leqslant E'.$$
On va maintenant construire un nouvel alternant d'essai contenant $x''$ et
$n+1$ des points de l'ancien alternant d'essai, en veillant \`a ce que les
signes de $f-p$ soient encore altern\'es sur le nouvel alternant. Ainsi,


 \begin{itemize}
  \item Si $x''$ est situ\'e entre deux points $x'_{j+1}$ et $x'_j$, on rejette
    celui de ces deux points o\`u $f-p$ a le m\^eme signe que
    $f(x'')-p(x'')$,
  \item Si $a\leqslant x'' < x'_{n+1}$, on rejette $x'_{n+1}$ si $f-p$ y a
    le m\^eme signe qu'en $x''$; sinon, le nouvel alternant se compose de
    $x'', x'_{n+1}, x'_n, \ldots , x'_1$ (donc, on rejette $x'_0$).
  \item Si $x'_0 < x'' \leqslant b$, on rejette $x'_0$ si $f-p$ y a
    le m\^eme signe qu'en $x''$; sinon, le nouvel alternant se compose de
    $x'_n, \ldots , x'_1, x'_0, x''$ (donc, on rejette $x'_{n+1}$).
 \end{itemize}

%\epsfxsize=477bp \epsfbox[75 15 552 635]{echange.ps}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,9)
  \psline(0,7.5)(15,7.5)
% \pscurve[linewidth=0.07](0,7.0)(0.5,8.8)(2.8,7.5)(5.5,6.8)(8.2,7.5)(12,8)(15,7)
  \psplot[linewidth=0.07,plotstyle=curve]{0.001}{15}%
  {x 15 div dup sqrt exch dup dup 1.87705708 mul 3.64401075 sub mul 2.7669527 add mul 0.0248649 add sub 20 mul 7.5 add}
  \uput[0](3,8.5){\textsf{sqrt \ degree 3, step 1\ \   0.07017}}
  \uput[0](7,8.1){\textsf{\ \ -0.024864}}
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,8.0)(0,0.59)
  \psline[linecolor=red,linewidth=0.10](0.61,8.95)(0.61,7.5)
  \psline(2.2,7.5)(2.2,8)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,7)(15,7)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,8)(7.2,8)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](9.4,8)(15,8)
  \psdots[dotsize=0.2](0,7)(2.2,8)(7.5,7)(12.8,8)(15,7)
  \psdots[dotsize=0.25,dotstyle=o](0.61,8.95)
%
  \psline(0,4.5)(15,4.5)
  \psplot[linewidth=0.07,plotstyle=curve]{0.001}{15}%
  {x 15 div dup sqrt exch dup dup 2.6072362  mul 4.7392794  sub mul 3.13204222 add mul 0.041     add sub 20 mul 4.5 add}
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0.61,7.5)(0.61,1.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](15,8.0)(15,0.59)
  \uput[0](3,5.5){\textsf{sqrt \ degree 3, step 2\ \   0.07774}}
  \uput[0](7,5.1){\textsf{\ \ -0.040999}}
  \psline(0.61,4.5)(0.61,5.3)     \psline(0.61,1.5)(0.61,2.4)
  \psline[linecolor=red,linewidth=0.10](4.88,4.5)(4.88,3.0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](7.5,7.5)(7.5,6.0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](7.5,5)(7.5,4.0)
  \psline(7.5,4)(7.5,4.5)     \psline(7.5,7.5)(7.5,7.0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,3.68)(15,3.68)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,5.32)(15,5.32)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](4.88,2.3)(4.88,0.59)
  \psline(4.88,1.5)(4.88,0.59)
  \psdots[dotsize=0.2](0,3.68)(0.61,5.32)(7.5,3.68)(12.8,5.32)(15,3.68)
  \psdots[dotsize=0.25,dotstyle=o](4.88,2.95)
%
  \psline(0,1.5)(15,1.5)
  \psplot[linewidth=0.07,plotstyle=curve]{0.001}{15}%
  {x 15 div dup sqrt exch dup dup 2.42015264 mul 4.323888   sub mul 2.9037342  add mul 0.0452886 add sub 20 mul 1.5 add}
  \uput[0](3,2.5){\textsf{sqrt \ degree 3, step 3\ \   0.05515}}
  \uput[0](7,2.1){\textsf{\ \ -0.045288}}
  \psline[linecolor=red,linewidth=0.10](11.66,2.6)(11.66,1.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](12.8,7.9)(12.8,1.5)
  \psline(12.8,7.5)(12.8,8) \psline(12.8,4.5)(12.8,5.3)
  \psline(0,3.7)(0,4.5) \psline(0,0.59)(0,1.5) \psline(12.8,1.5)(12.8,2.41)
  \psline(15,7)(15,7.5) \psline(15,3.7)(15,4.5) \psline(15,0.59)(15,1.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,2.41)(3,2.41)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](9,2.41)(15,2.41)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,0.59)(15,0.59)
  \psdots[dotsize=0.2](0,0.59)(0.61,2.41)(4.9,0.59)(12.8,2.41)(15,0.59)
  \psdots[dotsize=0.25,dotstyle=o](11.66,2.60)
\end{pspicture}


 Etapes de l'algorithme d'\'echange. \label{figechange} \end{center}

On calcule maintenant $q\in\mathscr{P}_n$ tel que les valeurs de $f-q$ soient
de m\^eme valeur absolue $|e''|$ et de signes altern\'es sur le nouvel
alternant. Ce polyn\^ome $q$ est la meilleure approximation possible de $f$
sur le nouvel alternant (\'equioscillation), donc, en appliquant le
th\'eor\`eme de La Vall\'ee Poussin sur le nouvel alternant:
 $$ |e'| = \min_{x\in\text{ nouvel alternant}} |f(x)-p(x)| \leqslant |e''|
   \leqslant E.$$
On obtient ainsi une suite \emph{croissante} $|e'| \leqslant |e''| \leqslant
\ldots$ born\'ee sup\'erieurement par $E$, donc convergente (vers $E$).

La figure
ci-dessus
% de la page~\pageref{figechange}
montre un exemple
 d'application ($\sqrt{x}\ \text{sur}\  [0,1], n=3$). Chaque configuration
est pr\'ec\'ed\'ee des valeurs de $E'$ et $e'$ correspondantes.
On est parti d'un alternant d'essai donnant \ldots $|e'|=0.025$,
nettement plus petite que $E'=\|f-p_{\text{essai}}\|_\infty = 0.070$.
 Puis, les \'echanges successifs rapprochent ces deux bornes, jusqu'\`a
arriver \`a $E=0.045929$.

\noindent Exercice: essayer $|x|$ sur $[-1,1]$, degr\'e 6\dots
\   \href{remezp.htm}
       {\tt remezp.htm})

\medskip

Variantes (\'echanges multiples), vitesse de convergence: cf.
\cite[chap. 8 \& 9]{Pow}.

\bigskip
{\Small Programmes {\tt matlab} :
   \href{remezp.m}
   {\tt remezp.m}; \  java: \href{remezp.htm}{\tt remezp.htm}; \ javascript:
   \href{remezjs.htm}{\tt remezjs.htm}

} % end Small

\medskip

\subsection{Meilleure approximation au sens $\|\ \|_\infty$
sur un compact quelconque} \  \\
Soit $f$ une fonction continue \`a valeurs r\'eelles ou complexes d\'efinie
sur le compact quelconque $A$, et $V$ un espace vectoriel de dimension
finie de fonctions continues sur $A$. $p\in V$ est alors une meilleure
approximation de $f$ dans $V$ si et seulement si on a, pour
$\forall q\in V$,
$$ \max_{x\in A_0} Re\left\{[f(x) -p(x)]\overline{q(x)} \right\} \geqslant 0,$$
o\`u $A_0$ est l'ensemble des points de $A$ o\`u $|f(x)-p(x)|= \|f-p\|_\infty$.
(Th\'eor\`eme de Kolmogorov, [DeVLor] pp.63--67, [Mei] \S~3.1).
\index{Kolmogorov}
%\newpage

Algorithmes dans le plan complexe:

\href{http://www.math.mu-luebeck.de/workers/modersitzki/COCA/coca5.html}
{\tt http://www.math.mu-luebeck.de/workers/modersitzki/COCA/coca5.html}



\section{Polyn\^omes de Tchebycheff.}

\subsection{Meilleure approximation d'un polyn\^ome de degr\'e $n$
  dans $\mathscr{P}_{n-1}$}   {\ }\\    \label{nn1sub}
%    \hypertarget{nn1sub}{*}

La fonction continue la plus simple qui ne soit \emph{pas} dans
$V=\mathscr{P}_{n-1}$ est un polyn\^ome $f(x)=\alpha x^n +\dotsb$ de
degr\'e $n$. La fonction d'erreur $\hat e := f-\hat p$ est encore un
polyn\^ome de degr\'e $n$ ayant en commun avec $f$ son coefficient de
$x^n$. Les deux probl\`emes suivants sont \'equivalents:
\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{0}
 \item Construire la meilleure approximation $\hat p$ de $f(x)=\alpha x^n +
  \alpha' x^{n-1} + \dotsb$ dans $\mathscr{P}_{n-1}$ sur $[a,b]$, \label{nn1}
                  \setcounter{enumi}{1}
 \item Construire $\beta', \beta'',\dotsc$ tels que  \  \  %
    $ \hat e(x) = \alpha x^n + \beta' x^{n-1} + \beta'' x^{n-2} +\dotsb $
  soit de norme $\|\ \|_\infty$ minimale sur $[a,b]$.
\end{enumerate}
En effet, si on r\'esout 1), il suffit de prendre $\hat e=f-\hat p$; si on
r\'esout 2), $\hat p=f-\hat e$. La formulation 2) montre qu'il suffit de
s'occuper de $\alpha, a$ et $b$. De plus, si on r\'esout 1) ou 2) avec
$\alpha=1$, il suffira de multiplier la r\'eponse $\hat p$ ou $\hat e$ par
$\alpha$. On peut donc se limiter au probl\`eme:
\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2}
 \item Construire la meilleure approximation de $x^n$ dans $\mathscr{P}_{n-1}$
  sur $[a,b]$.
\end{enumerate}
Enfin, on se ram\`ene \`a l'intervalle canonique $[-1,1]$ par le changement
de variable:
\begin{equation} \label{interv}
   t \text{ parcourt } [-1,1] \iff x = \frac{a+b}{2} +
  \frac{b-a}{2}\, t \text{ parcourt } [a,b].
\end{equation}
On peut donc se limiter \`a:
\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3}
 \item Construire la meilleure approximation de $x^n$ dans $\mathscr{P}_{n-1}$
  sur $[-1,1]$.
\end{enumerate}
\index{Tchebycheff, polyn\^omes de}
\subsection{D\'efinition} \emph{Pour $n\geqslant 1$, le \textbf{polyn\^ome de
 Tchebycheff} de degr\'e $n$ est
 \begin{equation} \label{ptcheb}
  T_n(x) = \frac{\hat e_n(x)}{E_n} = \frac{x^n -\hat p_{n-1}(x)}{E_n},
 \end{equation}
 o\`u $\hat p_{n-1}$ est la meilleure approximation au sens de Tchebycheff
 de $x^n$ sur $[-1,1]$, et $E_n= \|\hat e_n\|_\infty$ est la norme de
 l'erreur de meilleure approximation;
  pour $n=0$, on d\'efinit $T_0(x)\equiv 1$.}

\subsection{Premi\`eres propri\'et\'es}
Comme $\hat e_n$ est une fonction d'erreur de meilleure approximation dans
$\mathscr{P}_{n-1}$, elle atteint les valeurs $E_n$ et $-E_n$ en au moins
$n-1+2 = n+1$ points distincts de $[-1,1]$, par le th\'eor\`eme
d'\'equioscillation:
$$ -1  \leqslant x_n < x_{n-1} < \dotsc < x_1 < x_0 \leqslant 1$$
en prenant des signes altern\'es: $\hat e_n(x_k) = \sigma (-1)^k E_n$,
$k=0,\dotsc, n$, ou encore
 $T_n(x_k) = \sigma (-1)^k$,
$k=0,\dotsc, n$.
 Le polyn\^ome $T_n$ de degr\'e $n$  doit donc s'annuler
en un point de chaque intervalle (ouvert) $(x_{k+1}, x_k)$, $k=0,\dotsc, n-1$,
ce qui fait d\'ej\`a $n$ z\'eros, il ne peut  y en avoir plus:

\begin{enumerate}
 \item \emph{ Si $n\geqslant 1$, les  z\'eros de $T_n$ sont tous r\'eels et
  distincts dans $(-1,1)$. }  \\
 Soient $z_0, z_1,\dotsc, z_{n-1}$ ces $n$ z\'eros.
\end{enumerate}

Entre deux z\'eros de $T_n$, on est assur\'e de trouver au moins un z\'ero
de la d\'eriv\'ee $T'_n$ (th\'eor\`eme de Rolle), mais  $T'_n$ est de
degr\'e $n-1$ et a donc $n-1$ z\'eros au plus:

\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1}
 \item \emph{Si $n\geqslant 2$, les z\'eros de la d\'eriv\'ee $T'_n$ sont
  tous r\'eels et distincts dans $(-1,1)$. }
\end{enumerate}

Ces $n-1$ points de $(-1,1)$ sont des extrema possibles de  $T_n$. Mais comme
il faut $n+1$ extrema dans $[-1,1]$, on doit bien prendre ces $n-1$ points
int\'erieurs et leur adjoindre les deux extr\'emit\'es $-1$ et $1$:
\begin{equation} \label{Tnxk}
   T_n(1)=\sigma \;; T_n(-1)=\sigma (-1)^n \;;
  T_n(x_k) = \sigma (-1)^k  \text{ et }  T'_n(x_k) = 0, k=1,\dotsc, n-1.
\end{equation}
Remarquons que $\sigma=1$: le polyn\^ome de degr\'e $n$
 $x^n-\hat{p}_{n-1}(x)$ a un coefficient unit\'e de $x^n$ et $n$
 z\'eros $z_0,\dotsc, z_{n-1}$, donc
 $x^n-\hat{p}_{n-1}(x) = \displaystyle{\prod_{k=0}^{n-1} (x-z_k) }$,
 qui est strictement positif en $x=1$
puisque tous les $z_k<1$. Et comme $T_n$ a le m\^eme signe que
  $x^n-\hat{p}_{n-1}(x)$ ($E_n$ \'etant $>0$ dans \eqref{ptcheb}),
$T_n(1)>0$.

Exploitons maintenant \eqref{Tnxk}: $1-T_n^2$ est un polyn\^ome $\geqslant 0$
(puisque $\|T_n\|_\infty =1 \Rightarrow -1\leqslant T_n(x)\leqslant 1$)
dans $[-1,1]$, qui s'annule en $-1$, $1$, et en $x_1,\dotsc, x_{n-1}$. En ces
$n-1$ derniers points int\'erieurs, $1-T_n^2$ a des z\'eros de multiplicit\'e
paire, car $1-T_n^2$ ne devient $<0$ nulle part dans $[-1,1]$. Comme le
degr\'e de $1-T_n^2$ vaut $2n$, on ne peut avoir que des z\'eros int\'erieurs \emph{doubles}:
\begin{equation} \label{utn2}
     1-T_n(x)^2  = \frac{1}{E_n^2} (1-x^2) \prod_{k=1}^{n-1} (x-x_k)^2,
\end{equation}
o\`u  la constante $1/E_n^2$ assure l'\'egalit\'e des coefficients
de $x^{2n}$ dans les deux membres de \eqref{utn2}
 (d'apr\`es \eqref{ptcheb}, le coefficient
de $x^n$ de $T_n(x)$ est $1/E_n$).

Exprimons maintenant que les $x_k$ int\'erieurs ($k=1,\dotsc, n-1$) sont les z\'eros de
la d\'eriv\'ee $T'_n$ (de coefficient de $x^{n-1}$ \'egal \`a $n/E_n$):
\begin{equation*}\begin{split}
  T'_n(x) &= \frac{n}{E_n} \prod_{k=1}^{n-1} (x-x_k) \\
  (T'_n(x))^2 &= \frac{n^2}{E_n^2} \prod_{k=1}^{n-1} (x-x_k)^2 ,
\end{split}\end{equation*}
et comparons avec  \eqref{utn2}!
\begin{equation}  \label{diftn1}
  (1-x^2)\;(T'_n(x))^2  = n^2\; (1-T_n(x)^2).
\end{equation}
Cette relation \eqref{diftn1} est une \emph{\'equation diff\'erentielle} dont
$T_n$ est une solution. On va en tirer une premi\`ere \emph{formule explicite}
de $T_n$:
\begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2}
 \item \textbf{Proposition.} \emph{Pour toute d\'etermination de la fonction
  $\arccos$, on a
  \begin{equation} \label{arccos}
        \fbox{$ T_n(x) = \cos( n \arccos x ) $}\;  \qquad
           -1\leqslant x \leqslant 1\;, \; n=0,1,\dots
   \end{equation}
   ce qui s'exprime aussi par la repr\'esentation param\'etrique
   \begin{equation} \label{cosntheta}
   \fbox{$ x=\cos\theta\; , T_n(x)=\cos(n\theta) $} \qquad
        \theta \text{ r\'eel }\;, n=0,1,\dots
   \end{equation}
                    }

  En effet, soit $y=T_n$. L'\'equation \eqref{diftn1}
  $(1-x^2)y'{}^2 = n^2 (1-y^2)$ est singuli\`ere en $x=\pm 1$ et ne permet pas
  \`a elle seule de d\'eterminer $y=T_n$. Mais nous savons que $y(1)=1$, que
  $y$ est un polyn\^ome croissant entre $x_1$ (encore inconnu) et $x_0=1$,
  donc,
  \begin{enumerate}
   \item si $x_1 < x < x_0=1$, $y'(x)>0$, $-1 < y(x) <1$, d'o\`u
    $$ \frac{y'}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{n}{\sqrt{1-x^2}}, $$
    toutes les quantit\'es pr\'esentes sont positives. On int\`egre ais\'ement:
    $$ -\arccos y = C - n\arccos x, $$
    soit $y=\cos( n\arccos x \, -C)$. En $x=1$, toute d\'etermination de
    $\arccos$ est un multiple entier de $2\pi$, et on doit avoir $y=1$, donc
    $C$ est un multiple entier arbitraire de $2\pi$ et la solution est bien
    \eqref{arccos}. Remarquons que l'on peut donner une formulation correcte,
    mais moins \'el\'egante, en termes de la fonction $\arcsin$.\\
    Enfin, $x_1$ est la premi\`ere abscisse $<1$ (en parcourant $(-1,1)$ de
    droite \`a gauche) o\`u $y=-1$. On trouve $x_1 = \cos(\pi/n)$.
                    \setcounter{enumii}{1}
    \item Si $x_2 < x <x_1 = \cos(\pi/n)$, $y'(x)<0$, $-1<y(x)<1$, d'o\`u
    $$ \frac{y'}{\sqrt{1-y^2}} = -\, \frac{n}{\sqrt{1-x^2}},$$
    qui s'int\`egre maintenant en
    $ -\arccos y = C' + n\arccos x, $
    ou encore $y=\cos( n\arccos x \; -C')$ (parit\'e du cosinus!). C'est
    encore la forme \eqref{arccos}, et la condition limite $y(x_1)=-1$
    donne encore $C'=0$ (\`a un multiple entier de $2\pi$ pr\`es, mais
    \c ca ne change rien \`a $y$).
                    \setcounter{enumii}{2}
    \item Les autres intervalles $[x_{k+1}, x_k]$ reproduisent la situation
    des deux premiers.  \qed
  \end{enumerate}
  Nous pouvons maintenant pr\'eciser la position des extrema et des z\'eros:

                  \setcounter{enumi}{3}
\item \emph{Les $n+1$ extrema de $T_n$ sur $[-1,1]$ sont}
        $$ x_k = \cos (k \pi/n )\;,\; k=0,1,\dotsc, n. $$
                  \setcounter{enumi}{4}
\item \emph{Les $n$ z\'eros de $T_n$ sont}
       $$ z_k = \cos( (k+1/2) \pi/n )\;,\; k=0,1,\dotsc, n-1. $$
\end{enumerate}

{\Small \noindent En principe, nous pouvons maintenant \'evaluer
$E_n= \|\hat e_n\|_\infty$ par $E_n=|$ valeur de $\hat e_n|$ en
n'importe quel extremum $x_m$:
$$ E_n =\left| \prod_{k=0}^{n-1} (x_m -z_k)\right| =
               \prod_{k=0}^{n-1} |\cos(m\pi/n)-\cos((k+1/2)\pi/n)| $$
$$= 2^n \prod_{p=1}^{2n} |\sin((p-1/2)\pi/(2n))|
  = 2^n \prod_{p=1}^{2n} \left|\dfrac{1-e^{i(p-1/2)\pi/n}}{2}\right|
 =2^{1-n},
 $$
les $e^{i(p-1/2)\pi/n}$ \'etant les racines $2n^{\text{\`emes}}$ de $-1$.
(cf. un th\'eor\`eme de Cotes-Wessel).
}

\smallskip
{\Small \emph{\textbf{Exercice.}}
Examiner $\theta$ complexe: $\theta = \theta_r +i \theta_i$,
  alors, $x=\cos\theta = (e^{i\theta} +e^{-i\theta})/2 =
  (e^{-\theta_i} e^{i\theta_r} + e^{\theta_i} e^{-i\theta_r})/2 =
  \cosh\theta_i \cos\theta_r -i \sinh\theta_i\sin\theta_r$;
 $T_n(x)=
  \cosh n\theta_i \cos n\theta_r -i \sinh n\theta_i\sin n\theta_r$.
}

\subsection{Premiers \'echantillons}
Un peu de virtuosit\'e en formules
trigonom\'etriques permet d'obtenir quelques premiers polyn\^omes de
Tchebycheff.       \enlargethispage{23pt}


$ T_0(x) =1.$  Par convention (compatible avec la formule \eqref{arccos}).

$ T_1(x) = x.$

$\cos 2\theta = \cos^2\theta -\sin^2\theta = 2\cos^2\theta -1:
 T_2(x)=2x^2-1.$

$\cos 3\theta = \cos 2\theta \cos\theta -\sin 2\theta \sin\theta =
 (2\cos^2\theta-1)\cos\theta -2(1-\cos^2\theta)\cos\theta:
        T_3(x) = 4x^3 -3x.$

$\cos 4\theta = \cos(2(2\theta)) = 2\cos^2(2\theta)-1 = 2(2\cos^2\theta-1)^2-1:
        T_4(x) = 8x^4-8x^2+1.$

% \epsfxsize=477bp \epsfbox[ 50 600 527 850]{tchebgr0.ps}
\begin{pspicture}(15,9.7)
 \psline{->}(0.25,7.5)(4.75,7.5)  \psline{->}(2.5,5.25)(2.5,9.75)
 \psline{->}(5.25,7.5)(9.75,7.5)  \psline{->}(7.5,5.25)(7.5,9.75)
 \psline{->}(10.25,7.5)(14.75,7.5)  \psline{->}(12.5,5.25)(12.5,9.75)
 \psline{->}(0.25,2.5)(4.75,2.5)  \psline{->}(2.5,0.25)(2.5,4.75)
 \psline{->}(5.25,2.5)(9.75,2.5)  \psline{->}(7.5,0.25)(7.5,4.75)
 \psline{->}(10.25,2.5)(14.75,2.5)  \psline{->}(12.5,0.25)(12.5,4.75)
 \psline(0.5,5.5)(4.5,5.5)(4.5,9.5)(0.5,9.5)(0.5,5.5)
 \psline(5.5,5.5)(9.5,5.5)(9.5,9.5)(5.5,9.5)(5.5,5.5)
 \psline(10.5,5.5)(14.5,5.5)(14.5,9.5)(10.5,9.5)(10.5,5.5)
 \psline(0.5,0.5)(4.5,0.5)(4.5,4.5)(0.5,4.5)(0.5,0.5)
 \psline(5.5,0.5)(9.5,0.5)(9.5,4.5)(5.5,4.5)(5.5,0.5)
 \psline(10.5,0.5)(14.5,0.5)(14.5,4.5)(10.5,4.5)(10.5,0.5)
 \uput[45](4.5,7.5){1}     \uput[45](2.5,9.5){1}
 \uput[45](9.5,7.5){1}     \uput[45](7.5,9.5){1}
 \uput[45](14.5,7.5){1}     \uput[45](12.5,9.5){1}
 \uput[45](4.5,2.5){1}     \uput[45](2.5,4.5){1}
 \uput[45](9.5,2.5){1}     \uput[45](7.5,4.5){1}
 \uput[45](14.5,2.5){1}     \uput[45](12.5,4.5){1}
\psline[linewidth=0.06,linecolor=darkgray](0,5)(5,10)
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=darkgray,plotstyle=curve]{5.4}{9.6}{x 7.5 sub 2 div dup mul 2 mul 1 sub 2 mul 7.5 add}
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=darkgray,plotstyle=curve]{10.45}{14.55}{x 12.5 sub 2 div dup dup mul 4 mul 3 sub mul 2 mul 7.5 add}
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=darkgray,plotstyle=curve]{0.5}{4.5}{x 2.5 sub 2 div dup mul dup 8 mul 8 sub  mul 1 add  2 mul 2.5 add}
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=darkgray,plotstyle=curve]{5.5}{9.5}{x 7.5 sub 2 div dup dup mul dup 16 mul 20 sub  mul 5 add  mul 2 mul 2.5 add}
\psplot[linewidth=0.06,linecolor=darkgray,plotstyle=curve]{10.5}{14.5}{x 12.5 sub 2 div dup dup mul 4 mul 3 sub mul dup mul 2 mul 1 sub 2 mul 2.5 add}
\uput[0](5,0.0){Graphes de $T_1$ \`a $T_6$.}
\end{pspicture}

%\bigskip

\enlargethispage{23pt}

%\newpage
{\Small
\vspace*{16pt}
  La figure suivante repr\'esente une superposition
  de quelques dizaines de polyn\^omes de Tchebycheff.

\vspace*{-116pt}
%\epsfxsize=477bp \epsfbox[   0 440 477 690]{tchebgrg.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{tchebgrg.ps}

\vspace*{86pt}
\enlargethispage{22pt}
   Elle fut con\c cue et r\'ealis\'ee, dans
  l'enthousiasme que l'on devine, par Y.~Brandsteert et
  A.~Ninane, alors (1980) \'etudiants en physique.
  Leur ouvrage ne manqua la possibilit\'e d'une publication
 que de peu, suite \`a la parution d'un article\footnote{E.L.~Ortiz,
 T.J.~Rivlin, Another look at the Chebyshev polynomials,
 \textsl{The American Math.\ Monthly} \textbf{90} (1983) 3-10.} sur
  ce ph\'enom\`ene int\'eressant.



\subsection{Exercice} Montrez que $T_n(0)$ ne peut prendre que les
 valeurs $-1, 0$ et 1; que $T_n(-1/2)$ ne peut prendre que les deux
 valeurs $-1/2$ et 1.\\
 Utilisez \eqref{cosntheta}.

 Quelles sont les solutions de $T_m(x) = T_n(x)$? ($m\neq n$).\\
 On peut maintenant expliquer quelques propri\'et\'es de la figure ci-dessus\ldots

 $T_m(x)=T_n(x) \Rightarrow \cos m\theta = \cos n\theta \Rightarrow
 (m\pm n)\theta = 2k\pi$. Les abscisses des points d'intersection sont
 donc des cosinus de multiples rationnels de $\pi$, et il en est de
 m\^eme des ordonn\'ees $\cos m\theta$.

%\begin{minipage}[t]{170pt}
%\  \par

%\setlength{\unitlength}{1cm}
%\begin{picture}(6,6)
% \put(0,1){\vector(1,0){4.5}}   \put(4,0.6){$x=\cos\theta$}
% \put(2,0.8){\line(0,1){4.2}}   \put(1.5,0.4){$\cos(2r\pi/s)$}
%%\thicklines
%  \put(2,2){\line(1,1){1.5}} \put(2,2){\line(-1,-1){1.5}}
%  \put(2,3){\line(1,1){1.5}} \put(2,3){\line(-1,-1){1.5}}
%  \put(2,2){\line(1,-1){1.5}} \put(2,2){\line(-1,1){1.5}}
%  \put(2,3){\line(1,-1){1.5}} \put(2,3){\line(-1,1){1.5}}
%  \put(2.5,2.5){\circle*{0.1}}
%  \put(1.5,2.5){\circle*{0.1}}
%  \put(2,2){\circle*{0.1}}
%  \put(2,3){\circle*{0.1}}
%  \put(2.1,1.8){$\cos(2t\pi/s)$}      \put(1.1,1.3){$T_m$}
%  \put(2.1,2.8){$\cos(2(t-1)\pi/s)$}  \put(1.1,3.3){$T_n$}
%\end{picture}
%
%\end{minipage}
% \begin{minipage}[t]{1mm}
%
% \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
% \end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{3.9in}
%\  \par
%
%\vspace*{-10pt}
% Inversement, \`a une abscisse $x=\cos(2r\pi/s)$, avec $-s< 2r<s$ et
% pgcd$(r,s)=1$, voyons quels sont les $T_m$ qui prennent une valeur
% $\cos(2t\pi/s)$ avec $t$ entier donn\'e
%en ce $x$. On doit donc avoir $m$ tel que
% $\cos(2mr\pi/s)= \cos(2t\pi/s)$, ou $(2rm\pi/s)=\pm(2t\pi/s)+2k\pi$, donc
%    \hspace*{50pt}  $  rm-ks = \pm t, $  \\
%  on peut effectivement trouver $m$ et $k$ (th\'eor\`eme de Bezout).
%
%Si nous cherchons les $T_m$ croissants au passage de $(\cos(2r\pi/s),
%\cos(2t\pi/s))$, il faut $T'_m(x) = (\sin x)^{-1} \sin(mx) >0$, donc
%$\sin(2rm\pi/s) >0 \Rightarrow$ on prend $+t$.
%
%Pour les $T_n$ d\'ecroissants au passage de
% $(\cos(2r\pi/s),
%\cos(2(t-1)\pi/s))$, on a donc $rn-k's = 1-t$, d'o\`u
%$r(m+n)-(k+k')s = 1$. Le point d'intersection de $T_m$ et $T_n$ le plus
%proche \`a droite de $\cos(2r\pi/s)$ est   \\
% $(\cos(2(k+k')\pi/(m+n)), \; \cos(2m(k+k')\pi/(m+n))) =  $ \\
% $(\cos(2r\pi/s-2\pi/(s(m+n))), \; \cos(2mr\pi/s-2m\pi/(s(m+n)))) = $ \\
% $(\cos(2r\pi/s-2\pi/(s(m+n))), \; \cos(2t\pi/s-2m\pi/(s(m+n)))) \approx  $ \\
% $(\cos(2r\pi/s), \; \cos((2t-1)\pi/s))$   \\
%quand $m\approx n$ sont grands. On trouve ainsi des alignements
%$\{x=\cos\tau, y=\cos\mu\tau\}$, soit $y=T_\mu(x)$, avec
%$\mu=(2t-1)/(2r)$.
%\end{minipage}


Voir aussi dans
\href{http://icm.mcs.kent.edu/reports/1999/chebpol.pdf}
{\texttt{http://icm.mcs.kent.edu/reports/1999/chebpol.pdf}},
\\  \href{http://icm.mcs.kent.edu/reports/1998/cheby1.pdf}
{\texttt{http://icm.mcs.kent.edu/reports/1998/cheby1.pdf}}
des relations, par M.O.~Rayes,  entre polyn\^omes de Tchebycheff et nombres premiers,
discussion dans
\href{CHEBPRIM.HTM}
{\texttt{CHEBPRIM.HTM}}

\noindent\textbf{Figures de Lissajous}\footnote{Remarque faite
par L.~Demanet, printemps 2000.}. La courbe \eqref{cosntheta}
$(x,y=T_n(x)): (\cos\theta, \cos(n\theta))$ est un cas particulier
de figure de Lissajous. Ces figures permettent d'\'etudier des
ph\'enom\`enes ondulatoires. Voir un programme java dans  \\\href{http://robmorton.20m.com/chaos/lissajou/lissajou.htm}{\texttt{http://robmorton.20m.com/chaos/lissajou/lissajou.htm}}
\index{Lissajous, figure de}

} % end Small

\subsection{Relation de r\'ecurrence} La relation suivante est des plus
importantes: on a \index{recurrence}
 \begin{equation} \label{recurrtn}
  \fbox{$ T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) -T_{n-1}(x)$}\,,\qquad  n=1,2,\dotsc
 \end{equation}
En effet,
 \begin{equation*} \begin{split}
 T_{n+1}(x) &= \cos(n+1)\theta = \cos\theta \cos n\theta - \sin\theta\sin n\theta\\
 T_{n-1}(x) &= \cos(n-1)\theta = \cos\theta \cos n\theta + \sin\theta\sin n\theta\\
 T_{n+1}(x)+T_{n-1}(x) &= 2\cos\theta \cos n\theta = 2xT_n(x)
 \end{split}\end{equation*}
o\`u on a bien s\^ur utilis\'e la repr\'esentation \eqref{cosntheta}.\qed

La r\'ecurrence \eqref{recurrtn} livre aussi la fa\c con la plus simple de
se persuader que $T_n$ est bien un polyn\^ome de degr\'e $n$: \`a partir des
conditions initiales (en $n$) $T_0(x)=1$ et $T_1(x)=x$, on voit bien que
$T_{n+1}$ est un polyn\^ome dont le degr\'e vaut une unit\'e de plus que le
degr\'e de $T_n$. De plus,

\noindent\textbf{Proposition.} \emph{Si $n\geqslant 1$, le coefficient de $x^n$ de
$T_n(x)$ vaut $2^{n-1}$.}     \\
En effet, d'apr\`es \eqref{recurrtn}, le coefficient de $x^{n+1}$ de
$T_{n+1}(x)$ est le \emph{double} du coefficient de $x^n$ de $T_n(x)$,
puisque $T_{n-1}$ n'est que de degr\'e $n-1$ et n'a pas de coefficient de
$x^{n+1}$. Le coefficient de $x^n$ de $T_n(x)$ est donc constante fois $2^n$,
d\'etermin\'e par le cas $n=1, T_1(x)=x$: la constante vaut $1/2$. \qed

\smallskip
On peut enfin pr\'eciser maintenant la norme d'erreur de la meilleure
approximation de $x^n$ dans $\mathscr{P}_{n-1}$:\\
\textbf{Proposition.} \emph{Si $n\geqslant 1$, la norme $E_n$ d'erreur de
la meilleure approximation de $x^n$ par un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant n-1$
vaut\ }$\displaystyle{\ E_n = \|\hat e_n\|_\infty =\|x^n -\hat p_{n-1}(x)\|_\infty
  = \frac{1}{2^{n-1}}. }$  \\
En effet, par la d\'efinition \eqref{ptcheb} de $T_n$ quand $n\geqslant 1$,
$T_n(x)= (x^n-\hat p_{n-1}(x))/E_n$, donc le coefficient de $x^n$ de $T_n$,
que nous savons valoir $2^{n-1}$, est l'inverse de $E_n$.\qed

\smallskip
On peut maintenant donner compl\`etement la solution du probl\`eme donn\'e
en \ref{nn1sub}
%\hyperlink{nn1sub}{*}
,\ref{nn1} :\\
\textbf{Remarque.} \emph{La meilleure approximation d'un polyn\^ome de
degr\'e $n$ $f(x)=\alpha x^n +\alpha' x^{n-1} +\dotsb $ dans $\mathscr{P}_{n-1}$
sur $[a,b]$
est $\hat p_{n-1}$ tel que
\begin{equation} \label{tchebab}
    f(x)-\hat p_{n-1}(x) = 2\alpha \left(\frac{b-a}{4}\right)^n
         T_n\left(\frac{2x-a-b}{b-a}\right).
\end{equation}
La norme d'erreur vaut donc} $2|\alpha|[(b-a)/4]^n$.

En effet, on se ram\`ene d'abord \`a un probl\`eme sur $[-1,1]$ par
\eqref{interv}: $f(x) = \alpha x^n +\dotsb = \alpha [(a+b)/2 +t(b-a)/2]^n +
\dotsb$, o\`u les termes n\'eglig\'es ne contiennent que des puissances
$\leqslant n-1$ de t. $f$ est donc un polyn\^ome de degr\'e $n$ en $t$,
de coefficient de $t^n$ \'egal \`a $\beta:=\alpha [(b-a)/2]^n$.\\
La meilleure approximation sur $t\in[-1,1]$ donnera la fonction d'erreur
$(\beta/2^{n-1}) T_n(t)$, et on revient \`a la variable $x$ par
$t=[x-(a+b)/2]/[(b-a)/2]$. \qed

\smallskip

\subsection{Polyn\^ome de moindre norme sur un intervalle, sous contrainte
$p(0)=1$} {\ }\\        \label{contrain1}
Le probl\`eme se rencontre dans l'\'etude de m\'ethodes it\'eratives (Flanders-Shortley):
trouver $p\in\mathscr{P}_n$ de norme minimale sur $[a,b]$, avec $p(0)=1$ (on
suppose $0<a<b$). Solution:
$$ p(x)=\frac{T_n\left(\dfrac{2x-a-b}{b-a}\right)}{T_n((-a-b)/(b-a))}. $$
D\'emonstration directe: si $q\in\mathscr{P}_n$ \'etait meilleur que $p$,
$p(x)-q(x)$ prendrait des valeurs de signes altern\'es aux $n+1$ points de
l'alternant de $p$ sur $[a,b] \Rightarrow p-q$ devrait s'annuler en au moins
$n$ points de $(a,b)$ ET en 0\ldots \qed


{\Small \subsection{Meilleure approximation d'un polyn\^ome de degr\'e $n$
dans $\mathscr{P}_{n-2}$} Ne s'obtient (g\'en\'eralement) pas en passant
de $n$ \`a $n-1$, puis \`a $n-2$! Le polyn\^ome de la forme
$x^n + \beta x^{n-1} +\dotsb $, avec $\beta$ impos\'e, de moindre
norme est de la forme constante $T_n(\gamma x+\delta)$ si
$|\beta|\leqslant n \text{ tg}^2 \dfrac{\pi}{2n}$, sinon, c'est
beaucoup plus compliqu\'e (premier \index{Zolotarev}
probl\`eme de Zolotarev, [Ach] appendice E, J.~Todd, Applications of
transformation theory: a legacy from Zolotarev (1847--1878), pp.~207--245
\emph{in} \textsl{Approximation Theory and Spline Functions}, S.P.~Singh \&
\emph{al.}, eds., Reidel, 1984, \textsl{Math.\ Intelligencer} \textbf{10}
(1988) 50--53.).

 \subsection{Meilleure approximation de fonction rationnelle}
cf. \cite{Ach} avec $f(x)=1/(x-a), a>1$, on trouve
$$ f(x) -\hat p_n(x) = \frac{4\alpha^{n+2}}{(1-\alpha^2)^2}
  \left( e^{in\theta} \frac{ \alpha - e^{i\theta} }{1-\alpha e^{i\theta} } +
    e^{-in\theta} \frac{ 1-\alpha e^{i\theta} }{\alpha- e^{i\theta} } \right),
$$
o\`u $\alpha=a-\sqrt{a^2-1} <1$.

\textbf{\emph{Exercice}.} La meilleure approximation de degr\'e
  $\leqslant n$ de $f(x)=(1+a^2x^2)^{-1}$ en erreur \textbf{\emph{relative}}
  est l'interpolant de $f$ aux z\'eros de $T_{2m}$,
  o\`u $m=\lfloor n/2 \rfloor +1$. \\        \label{BerLub}
  Cf. R.~Freund: On some approximation problems for
   complex polynomials, \textsl{Constr. Approx.} \textbf{4} (1988) 111-121,
   D.S.Lubinsky: Best approximation and interpolation of
  $(1+(ax)^2)^{-1}$ and its transforms,   \index{relative, erreur}
    \textsl{J. Approx. Th.} \textbf{125} (2003) 106-115.
  En effet, $\displaystyle{p(x)=\dfrac{1-C_m T_{2m}(x)}{1-a^2x^2} }$,
  o\`u $C_m$ est tel que le num\'erateur soit divisible par le
  d\'enominateur, a bien un degr\'e $= 2m-2 \leqslant n$,
  v\'erifie $\displaystyle{ \dfrac{f(x)-p(x)}{f(x)} = C_m T_{2m}(x) }$
  qui pr\'esente un alternant de $2m+1 \geqslant n+2$ points
 dans $[-1,1]$.


 \subsection{Fonctions rationnelles de moindre et plus grande d\'eviation}
 Trouver $r$ rationnelle, aussi petite que possible sur $[-\alpha,\alpha]$
 par rapport \`a ses valeurs sur $(-\infty,-\beta]\bigcup [\beta,\infty)$,
 c'est-\`a-dire qui minimise le rapport $\dfrac{\max_{|x|\leqslant \alpha}
  |r(x)|}{\min_{|x|\geqslant\beta}|r(x)|}$ ($\alpha$ et $\beta$, $0<\alpha<\beta$
 donn\'es). Troisi\`eme probl\`eme de Zolotarev (\cite{Ach}, Todd, \emph{op.\ cit.}).
 \index{rationnelle, approximation}
 On trouve une \'equation diff\'erentielle de la forme
 $$ \frac{r'{}^2}{(E^2-r^2)(r^2-F^2)} = \frac{c}{(x^2-\alpha^2)(\beta^2-x^2)}.$$
 Par un changement de variable, on obtient une repr\'esentation param\'etrique
   $ r(x)=\Phi(u)$, $x=\Psi(u)$, o\`u $\Phi$ et $\Psi$ sont des solutions
 d'\'equations diff\'erentielles de la forme $Y' = \sqrt{P(Y)}$, avec $P$
 polyn\^ome de degr\'e 3 ou 4 (\emph{fonctions elliptiques}).

Applications: filtres, m\'ethodes it\'eratives (directions altern\'ees).


}


\subsection{Propri\'et\'es extr\'emales des polyn\^omes de Tchebycheff
}   {\ } \\   \index{Tchebycheff, polyn\^omes de}
On va examiner ici des \'enonc\'es assurant que le polyn\^ome de
Tchebycheff $T_n$ maximise telle ou telle propri\'et\'e parmi tous les
polyn\^omes de $\mathscr{P}_n$ de \emph{norme unit\'e}. La propri\'et\'e
en question sera d'abord la valeur absolue d'une \emph{forme} sur
$\mathscr{P}_n$, et il s'agira d'\'evaluer la \emph{norme d'une forme},
aussi para\^\i t-il utile de rappeler l'\'equivalence suivante:

\textbf{Proposition.} \textsl{Soit $\lambda$ une forme (c'est-\`a-dire une
application lin\'eaire vers $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) sur un espace
vectoriel norm\'e $V$ de dimension finie. Alors, si $\lambda$ n'est pas
la forme nulle sur $V$,  }
\begin{equation} \label{pextrem}
\|\lambda\| = \max_{\substack{f\in V\\f\neq 0}} \frac{|\lambda(f)|}{\|f\|}
       =\frac{1}{\displaystyle{\min_{\substack{g\in V\\ \lambda(g)=1}}} \|g\|}
      = \frac{1}{\displaystyle{\min_{\substack{g_0\in V \\ \lambda(g_0)=0}}}    \|g_1-g_0\|},
\end{equation}
o\`u $g_1$ est un \'el\'ement particulier de $V$ v\'erifiant
$\lambda(g_1)=1$. \\
{\Small (Si $V$ est de dimension infinie, il faut remplacer les 'max' et
 'min' par des 'sup' et 'inf').}

En effet, $|\lambda(f)|/\|f\| = |\lambda(Cf)|/\|Cf\|$ pour tout
scalaire $C\neq 0$. On passe d'une \'egalit\'e \`a l'autre en prenant
$g=Cf$ avec $C=1/\lambda(f)$. Tous les $g$ possibles parcourent un
espace affine, et on peut les repr\'esenter par $g=g_1-g_0$, avec
$g_0\in V_0=V\bigcap$ Ker$(\lambda)$. \qed

La forme en $1/\min\|g_1-g_0\|$ est \'evidemment un probl\`eme
de meilleure approximation dans l'espace vectoriel V$_0$.
 On doit donc
estimer $\min\|g_1-g_0\|$ sur tous les $g_0\in V_0$, erreur de meilleure
approximation de $g_1$ dans $V_0$.

Voici quelques-uns de ces \'enonc\'es:

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
\item \textsl{Parmi tous les polyn\^omes r\'eels de $\mathscr{P}_n$ de norme
 $\|\ \|_\infty$ unit\'e sur $[-1,1]$, le polyn\^ome de Tchebycheff
 $T_n$ a le plus grand coefficient de $x^n$.} \\
 En effet, soit $f(x)=\sum_0^n a_k(f) x^k$, ici, $\lambda(f)=a_n(f)$.
 On a $g(x)=f(x)/a_n(f) = x^n+\dotsb$,
         $g_1(x)=x^n$ (par exemple), $V_0=\mathscr{P}_{n-1}$.
Donc, par la d\'efinition \eqref{ptcheb} (p.~\pageref{ptcheb}) des polyn\^omes
de Tchebycheff, $g=g_1-g_0$ de norme minimale $=E_n T_n$, $|a_n(f)|/\|f\|_\infty=
1/E_n = a_n(T_n)$ qui vaut, rappelons-le, $2^{n-1}$ (si $n\geqslant 1$).\qed


\setcounter{enumi}{1}
\item \textsl{Parmi tous les polyn\^omes r\'eels de $\mathscr{P}_n$ de norme
 $\|\ \|_\infty$ unit\'e sur $[-1,1]$, le polyn\^ome de Tchebycheff
 $T_n$ a le plus grand coefficient de $x^k$ si $k$ et $n$ ont la m\^eme
 parit\'e;
 $T_{n-1}$ a le plus grand coefficient de $x^k$ si $k$ et $n$ sont de
 parit\'es diff\'erentes.} \\
{\Small Bien s\^ur, on a d\'ej\`a trait\'e $k=n$ au point pr\'ec\'edent;
 $k=0$ est assez trivial;
on ne d\'emontrera ici que le cas $k=n-1$: \\
il faut montrer que $\hat g(x)=T_{n-1}(x)/a_{n-1}(T_{n-1}) = x^{n-1}+
\dotsb$ est le polyn\^ome de $\mathscr{P}_n$ de moindre norme $\|\ \|_\infty$
sur $[-1,1]$ parmi les polyn\^omes ayant un coefficient de $x^{n-1}$ \'egal
\`a l'unit\'e. Supposons que $\eta$ soit un tel polyn\^ome, c'est-\`a-dire
$\eta(x)= a_n(\eta) x^n + x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2}+\dotsb$ de norme
strictement inf\'erieure \`a celle de $\hat g$, et examinons
$\hat g-\eta$ aux $n$ extrema $x_k = \cos(k\pi/(n-1)),\, k=0,\dotsc, n-1$
de $\hat g$. En $x_k$, $\hat g-\eta$ a le m\^eme signe $(-1)^k$ que
$\hat g$ (comme chaque fois que l'on a compar\'e un polyn\^ome \`a un
polyn\^ome de Tchebycheff), donc $\hat g-\eta$ a au moins $n-1$ z\'eros
$z_1,\dotsc, z_{n-1}$
dans $(-1,1)$,   avec $x_k < z_k < x_{k-1},\, k=1,\dotsc, n-1$.
$\hat g-\eta$ est un polyn\^ome de $\mathscr{P}_n$ sans
coefficient de $x^{n-1}$. Si le coefficient de $x^n$ \'etait lui-m\^eme
nul, $\hat g-\eta$ ne serait que de degr\'e $\leqslant n-2$ et ne
pourrait admettre $n-1$ z\'eros, donc $\hat g-\eta$ est de degr\'e
exact $n$, admet d\'ej\`a $n-1$ z\'eros r\'eels, donc un $n^{\text{\`eme}}$
z\'ero r\'eel $z_n$. O\`u se trouve $z_n$? La somme des z\'eros d'un
polyn\^ome de degr\'e $n$ vaut l'oppos\'e du rapport du coefficient de
$x^{n-1}$ et de celui, non nul, de $x^n$, ici, 0:
$$ -1 =x_n = -x_0-\dotsb -x_{n-1}< z_n = -z_1 -\dotsb - z_{n-1} <
        -x_1- \dotsb - x_n = x_0 =1.$$
Tous les $n$ z\'eros de $\hat g-\eta$ sont donc dans $(-1,1)$, mais alors
le signe de $\hat g(-1)-\eta(-1)$ vaut $(-1)^{n+1}$ et non $(-1)^n$,
contradiction, ouf! \qed                \\
Bel exemple de d\'emonstration \emph{ad hoc}.
}

% !"#$%&'()*+,-./    58: :;<=>?  90: Z[\]^_`


Le cas des coefficients de Taylor en $x=1$ est plus facile \`a \'etablir:

\item \textsl{Parmi tous les polyn\^omes r\'eels de $\mathscr{P}_n$ de norme
  \label{extrcoeff}
 $\|\ \|_\infty$ unit\'e sur $[-1,1]$, le polyn\^ome de Tchebycheff
 $T_n$ a les plus grands coefficients de Taylor en $x=1$.} \\
 En effet, soit $f(x)=\sum_{j=0}^n b_j(f) (x-1)^j$ le d\'eveloppement de
 Taylor autour de 1 d'un \'el\'ement $f\in\mathscr{P}_n$. Il faut
 montrer que $\hat g = T_n/b_k(T_n)$ est le polyn\^ome de $\mathscr{P}_n$,
 ayant son coefficient de Taylor  $b_k$ fix\'e \`a 1, de moindre norme.
 Supposons que $\eta\in\mathscr{P}_n$, avec $b_k(\eta)=1$ ait une norme
 strictement plus petite que celle de $\hat g$. On examine alors
 ({\Small air connu}) la diff\'erence $\hat g-\eta$ aux $n+1$ extrema
 $x_\ell = \cos(\ell\pi/n),\, \ell=0,\dotsc, n$ de $\hat g$, et on trouve,
 bien entendu, que $\hat g(x_\ell)-\eta(x_\ell)$ a le m\^eme signe
 $(-1)^\ell$ que $\hat g(x_\ell)$. $\hat g-\eta$ a donc tous ses $n$
 z\'eros dans $(-1,1)$. Appliquons $k$ fois le th\'eor\`eme de Rolle: la
 d\'eriv\'ee $k^{\text{\`eme}}$ $\hat g^{(k)}-\eta^{(k)}$ a tous ses $n-k$
 z\'eros dans $(-1,1)$, mais alors
 $$ 0=b_k(\hat g-\eta) = \frac{\hat g^{(k)}(1)-\eta^{(k)}(1)}{k!} $$
 ne peut pas \^etre nul: contradiction. \qed

Au fait, les valeurs extremales de ces coefficients sont
$$ b_0(T_n)=1, b_1(T_n)=n^2,  b_k(T_n)=2^k \frac{n^2 (n^2-1) (n^2-4) \dotsb
    (n^2-(k-1)^2)}{(2k)!} $$
(d\'eriver $k-1$ fois \eqref{diftn2} et porter $x=1$). \\
Ces coefficients sont tr\`es \'elev\'es quand $n$ est grand. Comme tous les
$b_k(T_n)$ sont positifs, on obtient leur somme en \'evaluant
$T_n(x) = \sum_{k=0}^n b_k(T_n) (x-1)^n$ en $x=2$, et $T_n(2)> (2+\sqrt{3})^n/2$,
le plus grand des $b_k(T_n)$ est donc sup\'erieur \`a $(2+\sqrt{3})^n/(2(n+1))$.

\smallskip
Valeur en un point fix\'e $\not\in (-1,1)$:

\setcounter{enumi}{3}
\item \textsl{Parmi tous les polyn\^omes r\'eels de $\mathscr{P}_n$ de norme
 $\|\ \|_\infty$ unit\'e sur $[-1,1]$, le polyn\^ome de Tchebycheff
 $T_n$ prend la plus grande valeur absolue en tout point r\'eel fix\'e
 $\xi\not\in (-1,1)$.} \\
 Montrons que $\hat g(x)=T_n(x)/T_n(\xi)$ a la plus petite norme possible
 parmi tous les polyn\^omes qui prennent la valeur 1 en $\xi$: sinon, si
 $\eta$ \'etait un tel polyn\^ome de $\mathscr{P}_n$ de norme strictement
 inf\'erieure \`a celle de $\hat g$, $\hat g(x_k)-\eta(x_k)$ prendrait le m\^eme
 signe que $\hat g(x_k) =$ constante $\times T_n(x_k)$ aux $n+1$ extrema
 $x_k=\cos(k\pi/n),\; k=0,\dotsc,n$ de $T_n$, donc $\hat g-\eta$ aurait $n$
 z\'eros dans $(-1,1)$, mais ce polyn\^ome de $\mathscr{P}_n$ doit d\'ej\`a
 s'annuler en $\xi\not\in (-1,1)$\ldots \qed  \\
 Ce raisonnement a d\'ej\`a \'et\'e utilis\'e dans le \S~\ref{contrain1},
 p.~\pageref{contrain1}.

Le polyn\^ome de Tchebycheff est encore extr\'emal avec une valeur ponctuelle d'une d\'eriv\'ee
d'ordre quelconque:
$$ \ f \text{ r\'eel }\in\mathscr{P}_n, \xi \text{ r\'eel } \not\in (-1,1) \;
 \Rightarrow  |f^{(k)}(\xi)| \leqslant |T_n^{(k)}(\xi)|\; \|f\|_\infty\,, \qquad
   k=0,1,\dotsc,n.$$
cf. \cite[\S~2.7]{Riv2}.


Bien s\^ur, il n'y a pas lieu de discuter des valeurs dans $(-1,1)$, fatalement
born\'ees par $\|\ \|_\infty$, mais on peut examiner les plus grandes valeurs prises
par des \emph{d\'eriv\'ees} d'un polyn\^ome dans $[-1,1]$. Remarquons que l'on a d\'ej\`a
rencontr\'e des d\'eriv\'ees en 0 et en 1  avec les coefficients $a_k$ et
$b_k$. Mais il s'agit maintenant de normes d'\emph{op\'erateurs}.
\index{Markoff} \index{Bernstein}
\setcounter{enumi}{4}
\item \textbf{In\'egalit\'es de Bernstein et des Markoff} \\
   \begin{enumerate}

    \item Si $g$ est un polyn\^ome trigonom\'etrique de degr\'e $\leqslant n$
    (c'est-\`a-dire une combinaison lin\'eaire de 1, $\sin\theta, \cos\theta,
    \sin 2\theta, \cos 2\theta,\dotsc, \sin n\theta, \cos n\theta$: $g\in\mathcal{T}_n$),
    $$\left\|\frac{dg}{d\theta}\right\|_\infty \leqslant n\|g\|_\infty$$
    (\emph{in\'egalit\'e de Bernstein}).\\    \label{Bernsteinin}

   \item $f\in\mathscr{P}_n  \Longrightarrow \|f'\|_\infty \leqslant T'_n(1)\,
     \|f\|_\infty = n^2\|f\|_\infty$ (A.A. Markoff, 1890).
   \item $f\in\mathscr{P}_n  \Longrightarrow \|f^{(k)}\|_\infty \leqslant T^{(k)}_n(1)\,
     \|f\|_\infty$ \\ \hspace*{55pt} $ = \dfrac{n^2(n^2-1)(n^2-4)\dotsm (n^2-(k-1)^2)}
              {1\cdot 3\cdot 5\dotsm (2k-1)}\,\|f\|_\infty,
         \; k=1,2,\dotsc,n$ (W.A. Markoff).
   \item Les in\'egalit\'es pr\'ec\'edentes restent valables si on remplace
     $\|f\|_\infty$ par \\ $\max_{0\leqslant j\leqslant n} |f(\cos(j\pi/n))|$
     (Duffin \& Schaeffer, 1941).

    {\Small

     \begin{enumerate}
       \setcounter{enumiii}{0}
       \item Preuve de Bernstein \cite[III.3 B]{Mha}: \\
        \begin{enumerate}
        \item in\'egalit\'e de Stechkin: $g\in\mathcal{T}_n \rightarrow
          \|dg/d\theta\|_\infty \leqslant (n/2)\omega_g(\pi/n)$. \\
        \item Lemme de M. Riesz (1915): si $h\in\mathcal{T}_n$ est extr\'emal
         en $\theta_0$, $|h(\theta)|\geqslant \|h\|_\infty
         \cos(n[\theta-\theta_0])$ dans $|\theta-\theta_0|<\pi/(2n)$. \\
         Preuve du lemme: sinon, la fonction sign$\;h(\theta_0) h(\theta)
         -\cos(n[\theta-\theta_0])\|h\|$, qui a d\'ej\`a un z\'ero double
         en $\theta_0$, aurait au moins un z\'ero de plus dans l'intervalle
         de longueur $\pi/n$ centr\'e en $\theta_0$, et doit encore
         s'annuler dans les $2n-1$ autres intervalles de longueur $\pi/n$
         constituant une p\'eriode compl\`ete ($h$ est partout inf\'erieur
         \`a sa norme). Cela fait $2n+1$ z\'eros sur une p\'eriode,
         impossible (propri\'et\'e de Haar p.~\pageref{Haartrig}). \\
        \item Preuve de Stechkin: soit $h=g'$. Donc, $g'$ ne change pas de
        signe dans $(\theta_0-\pi/(2n), \theta_0+\pi/(2n)$, et l'int\'egrale
        de $g'$ sur cet intervalle, qui est une diff\'erence de deux
        valeurs de $g$, donc $\leqslant \omega_g(\pi/n)$, a une valeur
        absolue sup\'erieure \`a l'int\'egrale de $\|g'\|$ fois
        $\cos(n[\theta-\theta_0])$, ce qui est bien $(2/n)\|g'\|$.   \\
        \item Enfin, $\forall u$, $\omega_g(u)\leqslant 2\|g\|$.  \qed
       \end{enumerate}
     \item Preuve de Markoff. \\
     Pour une d\'emonstration moderne compl\`ete de l'in\'egalit\'e
     de W.A.\ Markoff, voir [Riv2] \S~2.7. Voici une fa\c con d'arriver \`a
     prouver l'in\'egalit\'e de A.A.\ Markoff et d'autres relations int\'eressantes
     (J.~Todd, \textsl{Introduction to the Constructive Theory of Functions},
     Birkh\"auser (ISNM \textbf{1}), 1963, chap.~4):   \\
  % voir deVore et Lor.:
    \begin{enumerate}
     \item  $f\in\mathscr{P}_{n-1} \Rightarrow \|f\|_\infty \leqslant
         n\, \max_{-1\leqslant x\leqslant 1} (1-x^2)^{1/2}|f(x)|. $ \\
         D\'emonstration par interpolation aux z\'eros de $T_n$.  \\
     \item $f\in\mathscr{P}_n \Longrightarrow |f'(x)|\leqslant n\|f\|_\infty
        /(1-x^2)^{1/2},\qquad -1<x<1.$ \\
      Cons\'equence de l'in\'egalit\'e de Bernstein avec $g(\theta)=
       f(\cos\theta)$.
     \item On  \'etablit enfin l'in\'egalit\'e de A.A.\ Markoff en
     appliquant le point ci-dessus \`a $f'$:
     $\|f'\|_\infty \leqslant n \max (1-x^2)^{1/2} |f'(x)| \leqslant
     n\times n\|f\|_\infty$.    \qed

     \end{enumerate}

     \noindent Cf. aussi [DeVLor] pp.~97-104

   \end{enumerate}   % fin enumii
  } % fin Small
\medskip
\item \textsl{In\'egalit\'e de Remez:} {\Small\textsl{ $\forall f\in\mathscr{P}_n$, si $\mu(f)$
 est la somme des longueurs des intervalles o\`u $|f(x)|\leqslant \delta$ dans
 $[-1,1]$, alors  }
  $\displaystyle{
   \|f\|_\infty \leqslant \delta\,T_n\left( \frac{4}{\mu(f)} -1\right)}$.
  ([Fr], pp.~119-121).      \index{Remez}
 } %end Small
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{Autres propri\'et\'es des $T_n$} {\ }\\    \label{autresprop}
 \begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}\item \emph{$T_n$ est une fonction paire ou impaire selon la parit\'e
  de $n$}.          \label{autrespropparite}

  En effet, $f(x)=x^n$ est une fonction paire ou impaire sur $[-1,1]$ selon la
  parit\'e de $n$. D'apr\`es \ref{symetr} p.~\pageref{symetr}, il en est donc
  de m\^eme pour $\hat p_{n-1}$, $\hat e_n = f-\hat p_{n-1}$, donc pour
  $T_n=\hat e_n/E_n$ d'apr\`es la d\'efinition \eqref{ptcheb}.\\
  V\'erification directe d'apr\`es \eqref{arccos}:
  $$ T_n(-x) = \cos[n \arccos(-x)] = \cos[n (\pi + \arccos x )] =
    (-1)^n\cos[n \arccos x] = (-1)^n T_n(x). \qed $$

  \setcounter{enumi}{1}\item \   $ T_m(\,T_n(x)\,) = T_{mn}(x). $   \\
  En effet, les deux membres valent $\cos mn\theta$, d'apr\`es \eqref{cosntheta}.
  \qed

 {\Small \noindent\emph{\textbf{Probl\`eme.}} Montrez que $f_n$ de degr\'e exact
  $n$, $n=0,1,\dotsc$, $f_n\circ f_m = f_m\circ f_n$, $m,n=0,1,\dotsc
  \Rightarrow f_n(x)= c+a^{n-1}(x-c)^n$ ou
             $f_n(x)= c+aT_n((x-c)/a)$, $n=0,1,\dotsc$

 \noindent En effet, soit $f_0=\alpha \Rightarrow$ tous les
 $f_n(\alpha)=\alpha$. Si $\beta$ est la deuxi\`eme racine de
 $f_2(x)=\alpha$, on a $f_2(x)=\alpha + \xi (x-\alpha)(x-\beta) =
  \alpha-\xi(\alpha-\beta)^2/4 +\xi(x-c)^2$, o\`u
 $c=(\alpha+\beta)/2$. $f_n\circ f_2 = f_2\circ f_n $ et $f_n$ de degr\'e
  exact $n \Rightarrow$ $f_n-c$ est de parit\'e $n$ en $x-c$.
 $f_3(x) = x+\xi^2 (x-\alpha)(x-c)(x-\beta)$ et on trouve
 $\xi(\alpha-\beta)=2$ ou 4. Il reste alors $\lfloor n/2\rfloor$
 inconnues dans $\displaystyle{ f_n(x) = c +\sum_0^{\lfloor n/2\rfloor}
  \gamma_k (x-c)^{n-2k} }$, avec $\gamma_0 = \xi^{n-1}$. On trouve
  alors de proche en proche $\gamma_1$, $\gamma_2,\dotsc$ en
  \'egalant   les coefficients de $(x-c)^{2n-2}, (x-c)^{2n-4},\dotsc$
  dans $f_n(f_2(x))\equiv f_2(f_n(x))$. Il n'y a donc que deux
  familles possibles, que l'on identifie alors ais\'ement (!).
 }

% Remarques int\'eressantes dans \cite{Riv2}

  En particulier, les \emph{polyn\^omes de Tchebycheff sur} $[0,1]$ sont
  $$ T^*_n(x) := T_n(2x-1) = T_{2n}(\sqrt{x}). $$



  \setcounter{enumi}{2}\item On a l'expression alg\'ebrique explicite
  \begin{equation}      \label{Tnalg}
      T_n(x) = \frac{(x+\sqrt{x^2-1})^n + (x-\sqrt{x^2-1})^n }{2}.
  \end{equation}

\smallskip

 On \'etablit cette formule au moyen de la notion de \emph{\textbf{
  solution de r\'ecurrence}}: \\
          \textbf{D\'efinition.} Une suite $\boldsymbol{u}= \{u_n\}_{n=0}^\infty$
v\'erifie une \textbf{relation de r\'ecurrence} (ou simplement
\textbf{r\'ecurrence}, ou encore \textbf{\'equation aux diff\'erences})
d'ordre $p$ si ses \'el\'ements v\'erifient des \'equations de la
forme suivante:     \index{recurrence}
$$ F_n(u_n,u_{n+1},\ldots, u_{n+p}) = 0\,,\qquad n=0,1,\ldots $$

\smallskip\noindent
L'expression ``\'equation aux diff\'erences'' se justifie par la
possibilit\'e que l'on a toujours de r\'e\'ecrire une r\'ecurrence
comme une relation entre $u_n$, $\Delta u_n$,\dots ,$\Delta^p u_n$,
o\`u $\Delta u_n := u_{n+1}-u_n$,
     $\Delta^2 u_n := \Delta u_{n+1}-\Delta u_n$,\dots,
     $\Delta^p u_n := \Delta^{p-1} u_{n+1}-\Delta^{p-1} u_n$.
Comme pour les \'equations diff\'erentielles, la solution d'une
r\'ecurrence d'ordre $p$ est normalement d\'etermin\'ee par $p$
conditions, par exemple par la d\'etermination des $p$ conditions
initiales $u_0,u_1,\ldots, u_{p-1}$.

\noindent\textbf{Proposition.} L'ensemble des solutions de la r\'ecurrence
 \emph{\textbf{lin\'eaire homog\`ene}} d'ordre $p$
 \begin{equation}  \label{recurrlinh}
   u_{n+p}= a_n u_{n+p-1} +b_n u_{n+p-2} +\dotsb + z_n u_n,\qquad
           n=0,1,\dotsc
 \end{equation}
 est un espace vectoriel de dimension $p$.

 En effet, on voit que toute combinaison lin\'eaire $\{\alpha u_n
  +\beta v_n\}_0^\infty$ de deux solutions de \eqref{recurrlinh}
 est encore une solution, et que les solutions $\boldsymbol{u}^{(k)}$,
 $k=1,\dotsc,p$  d\'etermin\'ees par:
 $[u_0^{(k)}, u_1^{(k)},\dotsc, u_{p-1}^{(k)}]=$ $k^{\text{\`eme}}$
 ligne de la matrice unit\'e d'ordre $p$  constituent
 une base de l'ensemble des solutions. Toute solution est
  $\boldsymbol{u}$ donn\'ee par $\boldsymbol{u} = u_0 \boldsymbol{u}^{(1)}+
    u_1 \boldsymbol{u}^{(2)}+ \dotsb +
    u_{p-1} \boldsymbol{u}^{(p)} $

 Changement de base: les $p$ solutions $\boldsymbol{v}^{(1)},\dotsc,
  \boldsymbol{v}^{(p)}$ forment encore une base si
 le d\'eterminant des $v_i^{(j)}$, $i=0,1,\dotsc, p-1$, $j=1,\dotsc, p$
 est non nul.

 \smallskip

 Une base remarquable: soit $\rho_1$ et $\rho_2$ les deux racines
 de $\rho^2-a\rho-b=0$.
 La r\'ecurrence d'ordre 2 \`a coefficients
  constants $u_{n+2} = a u_{n+1} +b u_n$ admet la base
  $\{\{\rho_1^n\}, \{\rho_2^n\}\}$ si $\rho_1\neq \rho_2$;
 $\{\{\rho_1^n\}, \{n\rho_1^n\}\}$ si $\rho_1=\rho_2$.


Int\'eressantes consid\'erations sur la suite de \emph{Fibonacci} dans
le cours de X.~Hubaut
\href{http://bib3.ulb.ac.be/coursmath/fibo.html}
{\texttt{http://bib3.ulb.ac.be/coursmath/fibo.html}}

\smallskip

 D\'emontrons maintenant \eqref{Tnalg}: \label{recrho}
  on a $a=2x$ et $b=-1$.
            La r\'ecurrence \eqref{recurrtn} admet comme solutions des combinaisons
  des puissances $n^{\text{\`emes}}$ de $\rho_1$ et $\rho_2$, o\`u $\rho_1$ et
  $\rho_2$ sont les deux racines (normalement distinctes) de \index{recurrence}
  $\rho^2 -2x\rho +1=0$. On trouve bien $\rho = x\pm\sqrt{x^2-1}$. On fixe la
  combinaison lin\'eaire appropri\'ee de $\rho_1^n$ et $\rho_2^n$ \`a partir
  des conditions initiales $T_0(x)=1$ et $T_1(x)=x$. \qed

 Voir aussi
   {\sl Hey, here's a nicer write up of the non-recurrence relation:}\\
   \href{http://www2.edc.org/makingmath/mathprojects/patternsPoly/links/Warshauer.pdf}
  {\texttt{http://www2.edc.org/makingmath/mathprojects/patternsPoly/links/Warshauer.pdf}}\\
   \href{http://www.maths.lancs.ac.uk/gilbert/m245/node7.html}
   {\texttt{http://www.maths.lancs.ac.uk/gilbert/m245/node7.html}}

  \smallskip

  {\Small  \emph{\textbf{Obtention directe de }} \eqref{Tnalg},
           \emph{\textbf{extensions de Galois.}}

     On peut reprendre \eqref{diftn1} sous la forme: \emph{trouver
     $y_n$ de degr\'e $n$ et $x_n\in\mathscr{P}_{n-1}$ tels que
     \begin{equation} \label{Tnalg2}
         y_n^2 -p\, x_n^2 = \textrm{ constante},
     \end{equation}
     o\`u $p$ est le polyn\^ome $p(x)=x^2-1$. }

     \eqref{diftn1} implique bien $y_n=T_n$ et $x_n=T'_n/n$ dans
     \eqref{Tnalg2}, mais on peut retrouver toutes les propri\'et\'es de
     $T_n$ sans utiliser le fait que $x_n$ est li\'e \`a la d\'eriv\'ee
     de $y_n$. Comme Tchebycheff lui-m\^eme\footnote{Grand merci \`a
      \index{Meinguet, J.}
     M. J.~Meinguet d'avoir fourni cette information.} \cite{Tche}, on
     consid\`ere (ce que l'on appelle maintenant) l'extension de
     Galois $\mathcal{G} = \{ r+s\sqrt{p},\; r,s\in\mathbb{C}\{x\}\}$
     du corps des fonctions rationnelles. $\mathcal{G}$ est bien un
     champ ($=$ corps commutatif)
     : l'addition est triviale; multiplication: si $r_1$, $r_2$,
     $s_1$ et $s_2$ sont des fonctions rationnelles,
     $(r_1+s_1\sqrt{p})
      (r_2+s_2\sqrt{p}) = r_1r_2+s_1s_2p +(r_1s_2+r_2s_1)\sqrt{p}$;
    inversion: $\displaystyle{ \dfrac{1}{r+s\sqrt{p}} =
                               \dfrac{r-s\sqrt{p}}{r^2-s^2p}   }$.
    Un \emph{\textbf{entier}} de $\mathcal{G}$ est $r+s\sqrt{p}$ o\`u
     $r$ et $s$ sont des polyn\^omes. Une unit\'e de $\mathcal{G}$ est
    un entier dont l'inverse est encore un entier, donc, tel que
    $r^2-s^2p=$ constante, nous y voila.

   Avec $p(x)=x^2-1$, $x+\sqrt{x^2-1}$ et
                      $x-\sqrt{x^2-1}$ sont des unit\'es, puisqu'ils
   sont inverses l'un de l'autre. $(x\pm\sqrt{x^2-1})^n$ sont aussi des
   unit\'es, donc de la forme $Y_n(x) \pm Z_n(x)\sqrt{x^2-1}$ o\`u $Y_n$
   et $Z_n$ sont des polyn\^omes. A une constante multiplicative
   pr\`es, il n'y a pas d'autre unit\'e $y_n(x)+x_n(x)\sqrt{x^2-1}$ avec
   $y_n$ de degr\'e $n$: de $y_n^2-px_n^2=$ constante, on tire qu'une
   d\'etermination de la racine carr\'ee de $p(x)=x^2-1$   assure
   $y_n(x)-x_n(x) \sqrt{x^2-1} \sim$ const.$/x^n$ quand
   $x\to\infty$. Soit $z=x+\sqrt{x^2-1}$ avec $z\to\infty$ quand
   $x\to\infty$. De $x=(z+z^{-1})/2$, $y_n(x)-x_n(x)\sqrt{x^2-1}=$
   $\displaystyle{ y_n\left( \dfrac{z+z^{-1}}{2} \right)
                  -\dfrac{z-z^{-1}}{2}
                   x_n\left( \dfrac{z+z^{-1}}{2} \right)  }$
   se pr\'esente comme une combinaison de puissances $z^{-n}$,
   $z^{-n+1}$,\dots, $z^{n-1}$, $z^n$. Mais le comportement quand
   $x\to\infty$, donc quand $z\to\infty$ impose que seul le mon\^ome
   en $z^{-n}$ est pr\'esent.

  On d\'eduit alors \eqref{Tnalg}  de
  $ y_n(x)\pm x_n(x)\sqrt{x^2-1} = T_n(x)\pm U_{n-1}(x)\sqrt{x^2-1} =
      \left( x\pm\sqrt{x^2-1}\right)^n. $

  \smallskip
  Quand $p$ est de degr\'e $>2$, on ne trouve plus d'unit\'e
  $y_n\pm x_n\sqrt{p}$ non triviale, mais on a encore des polyn\^omes
  tels que $y_n^2-px_n^2$ soit de degr\'e $\leqslant g$, o\`u $g$
  (\emph{genre}) est le plus petit entier tel que $2g+2 \geqslant $ degr\'e
  de $p$  (th\'eorie de Abel et Jacobi).
\index{rationnelle, approximation}
  Les fonctions rationnelles $y_n/x_n$ sont alors de tr\`es int\'eressantes
  \emph{\textbf{approximations rationnelles}} de $\sqrt{p}$.

} %end Small

\smallskip   \normalsize

  \item \textbf{Fonction g\'en\'eratrice.}
          \index{generatrice, fonction}
  \begin{equation} \label{tchebgen}
     \sum_{n=0}^\infty t^n\, T_n(x) = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}\;, \qquad |t|<1,
        -1\leqslant x\leqslant 1.
  \end{equation}
  Comme $-1\leqslant x\leqslant 1$, $|T_n(x)|\leqslant 1$, la s\'erie du membre
  de gauche est absolument convergente. Multiplions-l\`a par $1-2tx+t^2$
  et r\'earrangeons:
  \begin{equation*}\begin{split}
  (1-2tx+t^2)\sum_{n=0}^\infty t^n T_n(x) &=
    \sum_{n=0}^\infty t^n T_n(x)
    -2tx\sum_{n=0}^\infty t^n T_n(x)
    +t^2\sum_{n=0}^\infty t^n T_n(x)   \\
  &=\sum_{n=0}^\infty t^n T_n(x)
    -2x\sum_{n=0}^\infty t^{n+1} T_n(x)
    +\sum_{n=0}^\infty t^{n+2} T_n(x)   \\
  &= 1 -tx +\sum_{n=2}^\infty t^n\left[ T_n(x) -2x T_{n-1}(x) + T_{n-2}(x)\right]\\
  &= 1-tx.      \qed
  \end{split}\end{equation*}

  {\Small Voir aussi division de polyn\^omes selon les puissances croissantes:\\
     dividende $=$ diviseur $\times$ quotient $+$ reste, pourvu que
   \emph{\textbf{l'ordre}} (plus \emph{\textbf{petite}} puissance
   figurant dans le polyn\^ome) du reste soit \emph{\textbf{strictement
   sup\'erieur \`a l'ordre}} du diviseur.

   Ici, on a, selon les puissances croissantes de $t$:

   \begin{center} \begin{tabular}{cccccc}
   $1-xt$   &$=$& $(1-2xt+t^2)$ & $1$  &$+$& $xt-t^2$ \\
   $xt-t^2$ &$=$& $(1-2xt+t^2)$ & $xt$ &$+$& $(2x^2-1)t^2-xt^3$ \\
   $(2x^2-1)t^2-xt^3$ &$=$& $(1-2xt+t^2)$ & $(2x^2-1)t^2$ &$+$&
    $(4x^3-3x)t^3-(2x^2-1)t^4$
   \end{tabular} \end{center}

   etc.: $1-xt = (1-2xt+t^2)[1+tT_1(x)+\dotsb +t^n T_n(x)]
    +t^{n+1} T_{n+1}(x) -t^{n+2} T_n(x)$.

  \medskip

    Pour $t$ fix\'e, la s\'erie \eqref{tchebgen} converge dans \emph{l'ellipse} $|x+\sqrt{x^2-1}|<1/|t|$:
   prendre $\theta$ complexe, la s\'erie est une combinaison des deux s\'eries
   \emph{g\'eom\'etriques} $\sum_{k\geqslant 0} t^n \exp(in\theta)$ et
            $\sum_{k\geqslant 0} t^n \exp(-in\theta)$, qui convergent donc
   tant que $|e^{i\theta}|$ et $|e^{-i\theta}| <1/|t|$, donc tant que
   $|\text{Im\;}\theta|<\ln(1/|t|)$.
 }

\textbf{Cas particulier.}\footnote{Trouv\'e par S. Ambroise, DEA FSA,
 printemps 1999.}$\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty x^n\, T_n(x) \equiv 1,
 \  \   -1<x<1}$.

 Que se passe-t-il si on ne garde qu'un nombre fini de termes (plus
 de probl\`eme de convergence!)? On a
 $$
 (1-2tx+t^2)\sum_{n=0}^N t^n T_n(x) = 1-tx -t^{N+1}T_{N+1}(x)+t^{N+2}T_N(x).
 $$
 Donc valable m\^eme si $|t|=1$. Prenons $t=\exp(i\varphi)$, divisons par
 $t^{N+2}$, et soustrayons de la m\^eme expression en $1/t$:
 $$
 (t^{-1}-2x+t)\sum_{n=0}^N (t^{N+1-n}-t^{n-N-1})T_n(x)=
     t^{N+2}-t^{-2-N} -x(t^{N+1}-t^{-1-N}) +(t-t^{-1})T_{N+1}(x),
 $$
 enfin, avec $y=\cos\varphi$,
 \begin{equation} \label{CDarbouxT2}
   U_N(y)+2\sum_{n=1}^N U_{N-n}(y)T_n(x)=
       \dfrac{T_{N+1}(x)-T_{N+1}(y)}{x-y}.
 \end{equation}

 \item \emph{\textbf{Formule de Christoffel-Darboux}}.
   \index{Christoffel-Darboux}  \index{Darboux-Christoffel}
   \begin{equation} \label{CDarbouxT}
   \dfrac{T_{n+1}(x)T_n(y)-T_n(x)T_{n+1}(y)}{x-y} =
      2\sideset{}{'}\sum_{k=0}^n T_k(x)T_k(y).
   \end{equation}
  En effet, 1. Vrai si $n=0$; 2. $n-1\to n$: on applique la relation de
  r\'ecurrence \eqref{recurrtn} pour se ramener \`a l'ancien
  num\'erateur
  \begin{multline*}   T_{n+1}(x)T_n(y)-T_n(x)T_{n+1}(y)=
  [2xT_n(x)-T_{n-1}(x)]T_n(y)-T_n(x)[2yT_n(y)-T_{n-1}(y)]\\ =
  2(x-y)T_n(x)T_n(y)+T_n(x)T_{n-1}(y)-T_{n-1}(x)T_n(y)
  \end{multline*}
  et on divise par $x-y$. \qed
 \item {\Small  \emph{\textbf{Solutions d'\'equations du
    $3^{\text{\`eme}}$ degr\'e  par
    polyn\^omes de Tchebycheff.}}  On porte       \\
    $\displaystyle{ x=-\dfrac{b}{3a} +t\dfrac{2\sqrt{b^2-3ac}}{3a}}$ dans
   $ax^3+bx^2+cx+d=0$ pour obtenir $4t^3-3t = T_3(t) =A$, o\`u
   $A=  [-2b^3+9abc-27a^2d]/[2(b^2-3ac)^{3/2}] $. Les racines sont donc
   $t=\cos([\arccos A +2k\pi]/3), k=0,1,2$. Formule alg\'ebrique: $t=$
   les 3 d\'eterminations de $T_{1/3}(A)$, donc, d'apr\`es \eqref{Tnalg},
   $t=(u+1/u)/2$, o\`u $u$ est une des trois racines cubiques complexes
   de $A+\sqrt{A^2-1}$.

  Voir ``Chebyshev radicals'' dans
 \href{http://www.answers.com/topic/cubic-equation}{\tt http://www.answers.com/topic/cubic-equation},\\
    \href{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic_etc_equations.html}{\tt http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Quadratic\_etc\_equations.html}
   }    \index{Equations du 3\`eme degr\'e}

\end{enumerate}

\subsection{Equation diff\'erentielle lin\'eaire} {\ }\\
\textbf{Th\'eor\`eme.} \emph{$y=T_n(x)$ est une solution de}
 \begin{equation} \label{diftn2}
  (1-x^2)y'' -x y' +n^2 y=0.
 \end{equation}

 En effet, on peut d\'eriver \eqref{diftn1}:
 $$ -2x y'{}^2 +2(1-x^2)y' y'' = -2n^2 y y' $$
 et diviser par $y'$ (aux z\'eros de $y'$, \eqref{diftn2} est \'etablie par
 continuit\'e de $y$, $y'$ et $y''$).

 \begin{equation}  \label{diftheta2}
 \text{On peut aussi partir de}
  \eqref{cosntheta}: y=\cos n\theta \Rightarrow
    \frac{d^2 y}{d\theta^2} = -n^2 y ,
 \end{equation}
  et utiliser $x=\cos\theta$: $d/d\theta = d/d\arccos x = -\sqrt{1-x^2}\; d/dx$,
  $$ \frac{d^2y}{d\theta^2} = \frac{d}{d\theta}\left( \frac{d}{d\theta} y\right) =
  \sqrt{1-x^2} \left(\sqrt{1-x^2}\; y'\right)',$$
  d'o\`u une forme int\'eressante (\emph{formellement autoadjointe})
  \begin{equation}      \label{tchebautoad}
    \sqrt{1-x^2} \big(\sqrt{1-x^2}\; y' \big)' = -n^2 y.
   \end{equation}
 \'equivalente \`a \eqref{diftn2}. \qed

\subsection{Proposition} \emph{La solution g\'en\'erale de la r\'ecurrence
\eqref{recurrtn} aussi bien que de l'\'equation diff\'erentielle
\eqref{diftn2} est
 \begin{equation}  \label{solgen}
            A\, T_n(x) + B\, \sqrt{1-x^2}\, U_{n-1}(x)= A\cos n\theta+B\sin n\theta,
 \end{equation}
 o\`u $U_{n-1}$ est le polyn\^ome de Tchebycheff de \emph{deuxi\`eme esp\`ece}
 de degr\'e $n-1$, d\'efini par
 \begin{equation} \label{tcheb2}
     U_{n-1}(x) = \frac{\sin n\theta}{\sin \theta} \;, \quad (x=\cos\theta).
 \end{equation}
Lorsque \eqref{solgen} d\'esigne la solution g\'en\'erale de la r\'ecurrence
\eqref{recurrtn}, $A$ et $B$ peuvent d\'ependre de $x$, mais pas de $n$;
si  \eqref{solgen} d\'esigne la solution g\'en\'erale de l'\'equation diff\'erentielle
\eqref{diftn2}, $A$ et $B$ peuvent d\'ependre de $n$, mais pas de $x$.}

\begin{enumerate}

\item R\'ecurrence:

En effet, on peut reprendre la d\'emonstration de \eqref{recurrtn} et
constater que toute expression $C\cos(n\theta+\varphi)$ convient,
o\`u $C$ et $\varphi$ peuvent d\'ependre de $\theta$, donc de
$x=\cos\theta$, mais pas de $n$. On retrouve ainsi $\cos n\theta$ avec
$\varphi=0$, mais aussi $\sin n\theta$ avec $\varphi=-\pi/2$, ou encore
$\sin(n-1)\theta$ avec $\varphi=-(\theta+\pi/2)$. On obtient donc bien
la d\'ependance annonc\'ee en $n$.

On peut aussi reprendre la formule en puissance $n^{\text{\`emes}}$ de $\rho_1$
et $\rho_2 = x\pm \sqrt{x^2-1} = \exp(\pm i\theta)$ (cf. p.~\pageref{recrho})
pour retrouver une combinaison de $\cos n\theta=T_n(x)$ et $\sin n\theta=
\sqrt{1-x^2}U_{n-1}(x)$ avec des coefficients pouvant d\'ependre de $x$ mais pas
de $n$.  

\item Equation diff\'erentielle:

On voit bien que deux solutions ind\'ependantes de \eqref{diftn2}
mise sous la forme \eqref{diftheta2} sont $\cos n\theta=T_n(x)$ et
$\sin n\theta= \sqrt{1-x^2}U_{n-1}(x)$.  \qed

\end{enumerate}

\index{Sturm-Liouville}
\subsection{Polyn\^omes de Tchebycheff et probl\`emes de Sturm-Liouville}
L'\'equation \eqref{tchebautoad} est bien de la forme de \emph{Sturm-Liouville}
\begin{equation} \label{sturml}
     (p(x) y'(x) )' + q(x) y(x) = \lambda w(x) y(x)\;, \qquad a<x<b,
\end{equation}
avec $p(x)>0$ et $w(x)>0$ sur $(a,b)$. Un \emph{probl\`eme de Sturm-Liouville
r\'egulier} consiste \`a trouver des solutions non nulles (\emph{fonctions
propres}) de \eqref{sturml} v\'erifiant des conditions aux limites homog\`enes,
si $p(a)$ et $p(b)\neq 0$. Ici, $p(x) = \sqrt{1-x^2}$,
on a un probl\`eme \emph{singulier}: $p(a)= p(b)=0$. Les fonctions propres
sont alors simplement d\'efinies par des conditions de r\'egularit\'e aux
limites: valeurs et d\'eriv\'ees finies quand $x\to a$ et $b$.

Ici, avec $p(x)=\sqrt{1-x^2}$, $q(x)=0$ et $w(x)=1/\sqrt{1-x^2}$, la solution
g\'en\'erale de \eqref{sturml} est une combinaison de $\cos\mu\theta$ et
$\sin\mu\theta$, o\`u $\lambda=-\mu^2$ (comme d'habitude, faire $x=\cos\theta$
pour obtenir $d^2 y/d\theta^2 = -\mu^2 y$). Les d\'eriv\'ees en $x$ sont les
d\'eriv\'ees en $\theta$ divis\'ees par $-\sin\theta = -\sqrt{1-x^2}$, et
restent donc finies en $\pm 1$ si les d\'eriv\'ees en $\theta$ sont nulles en
$\theta= 0$ et $\pi$. Ceci impose $\sin\mu\pi=0 \Rightarrow \mu\in\mathbb{Z}$,
donc, $\lambda=-n^2, n=0,1,\dotsc$ et la fonction propre correspondante $=
\cos n\theta = T_n(x)$.

{\Small Pour traiter convenablement les probl\`emes de Sturm-Liouville, il faut
les d\'efinir sur des \emph{espaces de Hilbert} (\emph{espaces de Sobolev}).
}

\medskip

D\'eriv\'ees d'ordre quelconque: en d\'erivant \eqref{diftn2} $p$ fois,
on obtient
\begin{equation} \label{diftnp}
  (1-x^2)\dfrac{d^{p+2} T_n(x) }{dx^{p+2}}
  -(2p+1)x \dfrac{d^{p+1} T_n(x) }{dx^{p+1}}
  +(n^2-p^2)\dfrac{d^p T_n(x) }{dx^p}  =0,
\end{equation}
(par r\'ecurrence [sur $p$], ou en utilisant une formule de Leibniz
de la d\'eriv\'ee $p^{\text{\`eme}}$ d'un produit), ou encore
\begin{equation} \label{diftnpp}
\dfrac{d}{dx}\left( (1-x^2)^{p+1/2} \dfrac{d^{p+1} T_n(x)}{dx^{p+1}}
   \right) +(n^2-p^2) (1-x^2)^{p-1/2} \dfrac{d^p T_n(x)}{dx^p} =0.
\end{equation}

\medskip


\subsection{Coefficients, d\'eriv\'ees et primitives}
\begin{enumerate}
   \item    \  $\displaystyle{
  T_n(x) = \sum_{\substack{j\geqslant 0 \\ 2j\leqslant n}}
           \frac{(-1)^j n (n-j-1)! 2^{n-1-2j} }{j! (n-2j)! } \; x^{n-2j}.
                        }    $
En effet, nous savons d\'ej\`a que le coefficient de $x^n$ est $2^{n-1}$,
et que les coefficients non nuls sont ceux de m\^eme parit\'e que $n$.
Ensuite, par \eqref{diftnp} avec $p=n-2j$, le coefficient de $x^{n-2j}$ est
$1/(n-2j)!$ fois
\begin{equation*}\begin{split}
  \dfrac{d^{n-2j} T_n(0)}{dx^{n-2j}} &=
    \dfrac{-1}{n^2-(n-2j)^2}
 \dfrac{d^{n-2j+2} T_n(0)}{dx^{n-2j+2}} \\
&=   \dfrac{-1}{4j(n-j)}
 \dfrac{d^{n-2j+2} T_n(0)}{dx^{n-2j+2}} \\
&= \dfrac{(-1)^j }{4^j j(j-1)\dotsb 1\; (n-j)(n-j+1)\dotsb (n-1)} 2^{n-1}
  n!  \qed
\end{split}\end{equation*}

 \noindent Le rapport des valeurs absolues des coefficients de $x^{n-2j}$ et de
 $x^{n-2j+2}$ est \\$\displaystyle{  \dfrac{(n-2j+2)(n-2j+1)}{4j(n-j)}
 \approx \dfrac{1}{4\alpha(\alpha+1)} }$ o\`u $\alpha=j/(n-2j)$. Ce rapport
 est donc $>1$ tant que $\alpha<(\sqrt{2}-1)/2$. A ce moment, c'est-\`a-dire
 quand $j\sim n(2-\sqrt{2})/4$, on est en pr\'esence du plus grand
 coefficient, qui est de l'ordre de $(\sqrt{2}+1)^n$ (par Stirling, voir
 p.~\pageref{Stirling})

\smallskip
     \item Plus int\'eressante est l'expression des puissances de $x$ \emph{dans la base
des polyn\^omes de Tchebycheff}, base que l'on va s'habituer \`a utiliser dans
la suite:
\begin{equation*}
         x^n = \frac{1}{2^{n-1}} \left( \sum_{k=0}^{k=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}
                  \binom{n}{k} \frac{T_{n-2k}(x)}{1+\delta_{n-2k,0}}\right),
\end{equation*}
($\lfloor\ \rfloor =$ partie enti\`ere par d\'efaut), \\
o\`u ${\displaystyle{\binom{n}{k}}}= \dfrac{n!}{k! (n-k)!}$ est le nombre de combinaisons de $n$
objects pris $k$ \`a $k$ (coefficient binomial).

En effet, $x=\cos\theta = (e^{i\theta}+e^{-i\theta})/2$,
$x^n = 2^{-n} \sum_{k=0}^{k=n} \binom{n}{k} e^{i(n-2k)\theta}$,

   \item \begin{equation} \label{dertcheb}
  T'_n = n U_{n-1} = 2n\left( T_{n-1} + T_{n-3} + \dotsb + T_1 \text{ ou }
    \frac{T_0}{2}\right).
    \end{equation}
\begin{equation*} \begin{split}
   T'_n(x) &= \frac{dT_n(x)}{dx} = \frac{d\cos n\theta}{d\cos\theta} = \\
         &=n \frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n U_{n-1}(x)  \\
         &= n \frac{ e^{in\theta} -e^{-in\theta}}{e^{i\theta}-e^{-i\theta}} \\
         &= n( e^{i(n-1)\theta} + e^{i(n-3)\theta} +\dotsb
            e^{-i(n-3)\theta} + e^{-i(n-1)\theta} )  \\
         &= 2n( T_{n-1}(x) + T_{n-3}(x) +\dotsb )
\end{split}\end{equation*}
o\`u on termine sur $e^{i\theta}+e^{-i\theta} = 2T_1(x)$ si $n$ est pair, et
sur $e^{i 0\theta} =1 =T_0$ si $n$ est impair. \qed    \\
Remarquons que l'on a aussi montr\'e $U_n(x) -U_{n-2}(x) = 2T_n(x)$.

\setcounter{enumi}{3}
\item \begin{equation} \label{inttcheb}
  \int T_n(x)dx = \frac{T_{n+1}(x)}{2(n+1)} -
            \underbrace{\frac{T_{n-1}(x)}{2(n-1)}}_{\text{ si } n>1}
             +C.
      \end{equation}
\begin{equation*}\begin{split}
 \int T_n(x) dx &= -\int \cos n\theta \sin\theta\; d\theta \\
           &= -\frac{1}{2} \int [\sin(n+1)\theta -\sin (n-1)\theta]d\theta \\
           &= \frac{\cos(n+1)\theta}{2(n+1)} -
              \frac{\cos(n-1)\theta}{2(n-1)} \; (\text{ si } n\neq 1) +C
\end{split}\end{equation*}

\setcounter{enumi}{4}\item \begin{equation} \label{inttcheb2}
  \int \frac{T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx =
  \frac{ T_{n+1}(x) - T_{n-1}(x) }{2n\sqrt{1-x^2}} +C
   \end{equation}
\begin{equation*}\begin{split}
  \int \frac{T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,dx &= -\int \cos n\theta \;d\theta =
        -\frac{\sin n\theta}{n} +C \\
        &= -\frac{\sin n\theta \sin\theta}{n\sin\theta} +C
        = \frac{\cos (n+1)\theta - \cos(n-1)\theta} {2n\sin\theta} +C
              \qquad (n>0)
\end{split}\end{equation*}

{\Small \item \emph{\textbf{Exercice: primitive de}} $T_n(x)\log(x-c)$. \\
  La primitive est de la forme $A_n(x)\log(x-c)-B_n(x)$, o\`u $A_n$ est
  une primitive de $T_n$ et $B_n$ est un polyn\^ome. Choisissons pour
  $A_n$ la primitive de $T_n$ qui s'annule en $x=c$, soit, par
  \eqref{inttcheb},
  $\displaystyle{A_n(x)= \dfrac{T_{n+1}(x)-T_{n+1}(c)}{2(n+1)} -
              \dfrac{T_{n-1}(x)-T_{n-1}(c)}{2(n-1)}   }$. $B_n(x)$
   est alors une primitive de $A_n(x)/(x-c)$.

  D'apr\`es \eqref{CDarbouxT2},
  $\displaystyle{\dfrac{A_n(x)}{x-c}=
     \dfrac{U_n(c)}{2(n+1)} +\sum_{k=1}^n \dfrac{U_{n-k}(c)}{n+1} T_k(x)
  - \dfrac{U_{n-2}(c)}{2(n-1)} -\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{U_{n-2-k}(c)}{n-1} T_k(x)
  }$.

  Donc,
  $\displaystyle{   B_n(x)=
    x \dfrac{U_n(c)}{2(n+1)} +\sum_{k=1}^n \dfrac{U_{n-k}(c)}{n+1} A_k(x)
  - x\dfrac{U_{n-2}(c)}{2(n-1)} -\sum_{k=1}^{n-2} \dfrac{U_{n-2-k}(c)}{n-1} A_k(x)
  }$.


}



\end{enumerate}

{\Small
\subsection{Primitives it\'er\'ees de $\displaystyle{\dfrac{T_n(x)}
   {\sqrt{1-x^2}} }$ et formule de Rodrigues} \  \\

Reprenons \eqref{inttcheb2} et appelons
$\displaystyle{
   V_{n,1}(x) :=  \int_{-1}^x V_{n,0}(t)\,dt :=
   \int_{-1}^x \dfrac{T_n(t)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt
     \qquad (n>
     0).
}$
On a donc vu que $V_{n,1}$ est une combinaison des $V_{.,0}$:
$\displaystyle{     V_{n,1} = \dfrac{V_{n+1,0}}{2n} -
                 \dfrac{V_{n-1,0}}{2n},
}$
et que $V_{n,1}(x) = -\sin(n\theta)/n$. $V_{n,1}$ est une fonction
continue, born\'ee par $1/n$ sur $[-1,1]$, nulle en $\pm 1$.

Les int\'egrales successives
\begin{equation} \label{defVnp}
   V_{n,p}(x) := \int_{-1}^x V_{n,p-1}(t)\,dt,
            \qquad\qquad p=1,2,\dotsc  n\geqslant p
\end{equation}
sont donc encore des combinaisons des $V_{\;.\;,0}$, tr\`es exactement de
$V_{n-p,0},\dotsc, V_{n+p,0}$, ou encore, si $p\geqslant 1$, de
$V_{n-p+1,1},\dotsc, V_{n+p-1,1}$, soit
$\displaystyle{
   V_{n,p}(x) = \sum_{k=n-p+1}^{n+p-1} \alpha_{k,n}^{(p)} \sin(k\theta),
}$
%avec
%\begin{equation*} \begin{split}
%  \sum_{k=n-p+1}^{n+p-1} \alpha_{k,n}^{(p)} \sin(k\theta) &=
%  \int_\theta^\pi \sum_{k=n-p+2}^{n+p-2} \alpha_{k,n}^{(p-1)}
%           \sin(k\varphi) \sin\varphi\, d\varphi  \\
% &= \sum_{k=n-p+2}^{n+p-2} \alpha_{k,n}^{(p-1)}
%   \left[ \dfrac{\sin((k-1)\theta)}{2(k-1)}
%         -\dfrac{\sin((k+1)\theta)}{2(k+1)}  \right],
%\end{split}\end{equation*}
%d'o\`u
%$\displaystyle{  \alpha_{k,n}^{(p)} = \dfrac{\alpha_{k+1,n}^{(p-1)} -
%                                \alpha_{k-1,n}^{(p-1)} }{2k},\quad
%       k=n-p+1,\dotsc, n+p-1.
%}$
%Quelques \'echantillons:
%
%  \hspace*{-42pt} { \begin{tabular}{c|ccccc|c}
%     $p$  & $\alpha_{n-2,n}^{(p)}$&
%            $\alpha_{n-1,n}^{(p)}$&
%            $\alpha_{n,n}^{(p)}$&
%            $\alpha_{n+1,n}^{(p)}$&
%            $\alpha_{n+2,n}^{(p)}$&
%                   $\displaystyle{\sum_k |\alpha_{k,n}^{(p)}|}$ \\
%\hline  1  &   &&     $-\dfrac{1}{n}$   &&   &  $\dfrac{1}{n}$ \\
%        2  &    &    $-\dfrac{1}{2(n-1)n}$ & 0   &  $\dfrac{1}{2n(n+1)}$
%                                            &    &$\dfrac{1}{(n-1)(n+1)}$ \\
%        3 & $-\dfrac{1}{4(n-2)(n-1)n}$ & 0 & $\dfrac{1}{4(n-1)n^2}
%    +\dfrac{1}{4n^2(n+1)}$  & 0 &$-\dfrac{1}{4n(n+1)(n+2)}$
%                                       &$\dfrac{1}{(n-2)n(n+2)}$
%\\  \hline
% \end{tabular}   }
%
 On s'int\'eresse particuli\`erement aux sommes $\displaystyle{
S_n^{(p)} = \sum_{k=n-p+1}^{n+p-1} |\alpha_{k,n}^{(p)}|}$, bornes
sup\'erieures de $\|V_{n,p}\|_\infty$. On trouve
%\begin{equation*} \begin{split}
%S_n^{(p)} &= \dfrac{1}{2^{p-1}} \sum_{\substack{i_0=0, \\
%       |i_{r+1}-i_r|=1 }} \dfrac{1}{n(n+i_1)\dotsb (n+i_{p-1})} \\
%  &= \dfrac{1}{2n}\left[ \dfrac{1}{2^{p-2}} \sum_{\substack{i_1=1, \\
%       |i_{r+1}-i_r|=1 }} \dfrac{1}{(n+1)(n+i_2)\dotsb (n+i_{p-1})}
%                       + \dfrac{1}{2^{p-2}} \sum_{\substack{i_1=-1, \\
%       |i_{r+1}-i_r|=1 }} \dfrac{1}{(n-1)(n+i_2)\dotsb (n+i_{p-1})}\right]
%  \\
%  &= \dfrac{S_{n+1}^{(p-1)} +S_{n-1}^{(p-1)} }{2n},
%\end{split}\end{equation*}
%d'o\`u on tire un premier r\'esultat important \\
\textbf{Proposition.} \textsl{Les int\'egrales successives \eqref{defVnp}
admettent les bornes}
\begin{equation} \label{normVnp}
  |V_{n,p}(x)| \leqslant \dfrac{1}{(n-p+1)(n-p+3)\dotsb (n+p-3)(n+p-1)},
\qquad -1\leqslant x\leqslant 1,\ p=1,2,\dotsc  \; n\geqslant p.
\end{equation}
%On v\'erifie bien par r\'ecurrence
%$\displaystyle{ S_n^{(p)} =
%                       \dfrac{1}{(n-p+1)(n-p+3)\dotsb (n+p-3)(n+p-1)} }$.
%\qed

On a aussi la forme int\'eressante  \\
\textbf{Proposition.} \textsl{Les int\'egrales successives \eqref{defVnp}
sont donn\'ees par}
\begin{equation} \label{Vnpdif}
  V_{n,p}(x) = \dfrac{(-1)^p}{n^2 (n^2-1) \dotsb (n^2 -(p-1)^2)}
    (1-x^2)^{p-1/2} \dfrac{d^p  T_n(x) }{dx^p},\qquad p=0,1,\dotsc,n.
\end{equation}
En effet, on passe de $p$ \`a $p+1$ par \eqref{diftnpp}.
%C'est en effet vrai pour $p=0$, $p=1$ (puisque
%$V_{n,1}(x) = -n^{-1}\sin(n\theta) = -n^{-1} (1-x^2)^{1/2}U_{n-1}(x)
% = -n^{-2} (1-x^2)^{1/2} T'_n(x)$). Ensuite, si \eqref{Vnpdif} est vrai
%pour $p$,
%\begin{equation*} \begin{split}
% V_{n,p+1}(x) &= \int_{-1}^x
%               \dfrac{(-1)^p}{n^2 (n^2-1) \dotsb (n^2 -(p-1)^2)}
%    (1-t^2)^{p-1/2} \dfrac{d^p  T_n(t) }{dt^p}\,dt \\
%  &=  \int_{-1}^x
%           \dfrac{(-1)^p}{n^2 (n^2-1) \dotsb (n^2 -(p-1)^2)}
%    \;\dfrac{-1}{n^2-p^2}
%             \left( (1-t^2)^{p+1/2} \dfrac{d^{p+1} T_n(t)}{dt^{p+1}}
%   \right)'\,dt  \qquad \text{par \eqref{diftnpp}}, \\
%   &= \dfrac{(-1)^{p+1}}{n^2 (n^2-1) \dotsb (n^2 -p^2)}
%    (1-x^2)^{p+1/2} \dfrac{d^{p+1}  T_n(x) }{dx^{p+1}}.
%\end{split}\end{equation*}
%
%Enfin, appliquons la d\'efinition \eqref{defVnp} et d\'erivons
%$p$ fois \eqref{Vnpdif}:\\
%$\displaystyle{
%  (1-x^2)^{-1/2} T_n(x)
%  = \dfrac{(-1)^p}{n^2 (n^2-1) \dotsb (n^2 -(p-1)^2)}
%     \dfrac{d^p}{dx^p} \left(
%    (1-x^2)^{p-1/2} \dfrac{d^p  T_n(x) }{dx^p} \right),
%}$
En $p=n$,
\begin{equation} \label{rodTn}
  (1-x^2)^{-1/2} T_n(x)
  = \dfrac{(-1)^n 2^n n!}{(2n)!}
     \dfrac{d^n}{dx^n} \left(  (1-x^2)^{n-1/2}  \right),
\end{equation}
une formule de Rodrigues\footnote{La premi\`ere parution de
 \eqref{rodTn}est au bas de la p.~4 de
 C.G.J.~Jacobi, Formula transformationis
  integralium definitorum, \textsl{J. reine angew. Math.}
  \textbf{15} (1836) 1--38 (remarque aimablement communiqu\'ee
  par A.~Ronveaux, nov.~2003).} (cf. p.~\pageref{Rodrig}, p.~\pageref{Rodrig2}).
 \index{Rodrigues}



} %end Small
%\newpage

\subsection{Orthogonalit\'e et base duale de $\mathscr{P}_N^*$} \   \\
\subsubsection{Orthogonalit\'e des polyn\^omes de Tchebycheff.}
    \index{orthogonalit\'e: pol. de Tchebycheff}
\begin{equation} \label{orthtn}
\int_{-1}^1 T_n(x)\, T_m(x)\, \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} =
  \begin{cases}
       \pi & \text{si $m=n=0$}, \\
       \   \\
       \dfrac{\pi}{2} & \text{si } m=n\neq 0 \\
       \   \\
       0 & \text{si } m\neq n
  \end{cases}
\end{equation}
La v\'erification est imm\'ediate, en passant comme d'habitude par les
fonctions trigonom\'etriques: nous devons \'evaluer
$\displaystyle{\ \int_0^\pi \cos(m\theta)\,\cos(n\theta)\,d\theta =
\frac{1}{2}\int_0^\pi [\cos((m+n)\theta)\,+\cos((m-n)\theta)]\,d\theta}$,
 et on utilise $\displaystyle{ \int_0^\pi \cos(p\theta)\,d\theta =
\pi }$ si $p=0$; $=\displaystyle{ \frac{\sin(p\pi)-\sin 0}{p} =0}$
si $p$ est un entier non nul. \qed

\medskip

On peut aussi utiliser l'
\subsubsection{
orthogonalit\'e de deux fonctions propres
relatives \`a deux valeurs propres distinctes du probl\`eme
de Sturm-Liouville}  \eqref{sturml}: si $y_n$ est une solution de
\index{Sturm-Liouville}    \index{orthogonalit\'e: Sturm-Liouville}
$$   (p(x) y_n'(x) )' + q(x) y_n(x) = \lambda_n w(x) y_n(x)\;, \qquad a<x<b,
$$
avec $p(x)y_n(x)=0$ en $x=a$ et $x=b$, multiplions par $y_m(x)$
et int\'egrons par parties:
$$ \left[p(x)y'_n(x)y_m(x)\right]_a^b
  -\int_a^b p(x)y'_n(x)y'_m(x)\;dx
  +\int_a^b q(x)y_n(x)y_m(x)\;dx  =
  \lambda_n \int_a^b w(x)y_n(x)y_m(x)\;dx, $$
en remarquant que la contribution des termes aux limites est nulle.
Reprenons en intervertissant $m$ et $n$, et soustrayons. Il vient
\  $\displaystyle{  \int_a^b  w(x) y_n(x)y_m(x)\;dx = 0
            \qquad \text{\ si\ } m\neq n}$.

\subsubsection{Base duale de $\mathscr{P}_N^*$.}
   \index{duale, base}  \index{base duale}

Toute forme $\lambda$ sur un espace vectoriel $V$ de dimension finie est
enti\`erement d\'ecrite par son action sur tous les \'el\'ements
d'une base $\{b_0, b_1,\dotsc, b_N\}$ de $V$. En effet, $\lambda(f)$
pour $f\in V$ s'obtient \`a partir de la repr\'esentation de $f$
dans la base choisie:
$$ f=\sum_0^N c_k b_k \Rightarrow
       \lambda(f)=\sum_0^N c_k \lambda(b_k). $$
Des formes $\lambda_0, \lambda_1,\dotsc$ sont donc enti\`erement
d\'ecrites par les vecteurs $[\lambda_0(b_0),\dotsc,\lambda_0(b_N)]$,
    \\       $[\lambda_1(b_0),\dotsc,\lambda_1(b_N)]$,\dots
de $\mathbb{R}^{N+1}$ ou $\mathbb{C}^{N+1}$. Le dual $V^*$ de $V$
est donc \'egalement un espace vectoriel de m\^eme dimension que
celle de $V$.

\smallskip
\noindent
Les coefficients $c_k$ sont eux-m\^emes les r\'esultats de l'action
de formes de $V^*$ sur $f$! Ces formes $c_0,\dotsc, c_N$ constituent
ce que l'on appelle la \emph{\textbf{base duale}} de $V^*$ relativement
\`a la base $\{b_0,\dotsc, b_N\}$ de $V$. On a $c_m(b_n)=\delta_{m,n}$,
on dit que $\{c_m\}_0^N$ est la base de $V^*$
\emph{\textbf{biorthogonale}} \`a la base $\{b_n\}_0^N$ de $V$.
\index{biorthogonalit\'e}

\medskip

La propri\'et\'e d'orthogonalit\'e \eqref{orthtn} des polyn\^omes
de Tchebycheff permet d'expliciter la base  de $\mathscr{P}_N^*$
duale relativement \`a la base des polyn\^omes de Tchebycheff de
$\mathscr{P}_N$: \\
\textbf{Proposition.} \textsl{La base  de $\mathscr{P}_N^*$  duale
relativement \`a la base $\displaystyle{
   \left\{\frac{T_0}{2}, T_1,\dotsc, T_N\right\} }$ de
$\mathscr{P}_N$ est}
\begin{equation} \label{ckf}
  c_k: \qquad  c_k(f) = \frac{2}{\pi}
         \int_{-1}^1 f(x)\, T_k(x)\, \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}
  = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(\cos\theta)\, \cos(k\theta)\;d\theta\;,
\end{equation}
pour $k=0,\dotsc, N$.

En effet, v\'erifions que $c_m(b_n)=\delta_{m,n}$:
1.) avec $b_0=T_0/2$, on a $c_m(b_0)= \displaystyle{
 \frac{2}{\pi}\int_{-1}^1 \frac{T_0}{2}\, T_m(x)\,
  \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}}$
   $= \delta_{m,0} $, par
 \eqref{orthtn} avec $n=0$; 2). avec $b_n=T_n$, $n>0$,
                                     $c_m(b_n)= \displaystyle{
 \frac{2}{\pi}\int_{-1}^1  T_n(x)\,  T_m(x)\,
  \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \delta_{m,n} }$, par
 \eqref{orthtn} avec $n>0$. \qed

L'avantage d'avoir pris $T_0/2$ au lieu de $T_0$ dans la base de
$\mathscr{P}_N$ est d'avoir une formule uniforme dans \eqref{ckf}.
On a donc
\begin{equation} \label{somckf}
\forall f\in \mathscr{P}_N,\qquad
  f=\frac{c_0(f)}{2}T_0 +c_1(f) T_1 +\dotsb + c_N(f) T_N
  := \sideset{}{'}\sum_{k=0}^N c_k(f) T_k,
\end{equation}
avec $c_k(f)$ donn\'e par \eqref{ckf};
la notation $\displaystyle{ \sideset{}{'}\sum }$ signifiant que
la somme s'effectue en prenant la moiti\'e du premier terme indiqu\'e,
les autres \'etant inchang\'es.

On a d'ailleurs encore un autre \'eclairage tr\`es int\'eressant
de \eqref{somckf} comme \emph{\textbf{somme de Fourier}}:
$\forall f\in \mathscr{P}_N$,
\begin{equation} \label{somckfF}
  f(\cos\theta)=\frac{c_0(f)}{2} +c_1(f) \cos\theta +\dotsb +
         c_N(f) \cos(N\theta)
  = \sideset{}{'}\sum_{j=0}^N c_j(f) \cos(j\theta)
 = \dfrac{1}{2}\,\sum_{j=-N}^N c_{|j|} e^{ij\theta}
\end{equation}


\subsubsection{Orthogonalit\'e discr\`ete des $T_n$}.
Comme on a vu en p.~\pageref{forml} que toute forme sur un espace
de dimension finie peut s'exprimer comme $\varphi(f)=\sum_0^N
\alpha_m f(x_m)$, il doit en \^etre de m\^eme pour \eqref{ckf}.
On dispose de deux formules particuli\`erement utiles:
\\ \textbf{Proposition.} \textsl{Si $N>0$, on a les deux formules
 discr\`etes valables pour} $\forall f\in\mathscr{P}_N$
\begin{equation} \label{ckftrap}
\text{{\bf (Trap\`ezes:)\ \ }}  c_k(f)= \frac{2}{N}
  \sideset{}{''}\sum_{m=0}^N f\left(\cos\frac{m\pi}{N}\right)\, %
                        \cos\left(\frac{km\pi}{N}\right)\, .
\end{equation}
$\sideset{}{''}\sum$ d\'esignant une somme o\`u le premier et le dernier
terme sont divis\'es par 2;
\begin{equation} \label{ckfrect}
\text{{\bf (Rectangles:)\ \ }}  c_k(f)= \frac{2}{N+1}
  \sum_{m=0}^N f\left(\cos\frac{(m+1/2)\pi}{N+1}\right)\, %
                        \cos\left(\frac{k(m+1/2)\pi}{N+1}\right)\, .
\end{equation}
Les d\'enominations 'trap\`ezes' et 'rectangles' viennent de
l'interpr\'etation de \eqref{ckftrap} et \eqref{ckfrect} comme
somme d'aires de trap\`ezes ou de rectangles \'equivalentes \`a
l'int\'egrale \eqref{ckf} donnant l'aire sous le graphe de la
fonction $2f(\cos\theta)\cos(k\theta)/\pi$:

\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(16,5)
\uput[270](1,1){0}    \uput[270](6,1){$\pi$}  \uput[90](6.5,1){$\theta$}
\psline{->}(1,1)(7,1)   \psline{->}(1,1)(1,4.5)
\pscurve(1,2)(2,3.5)(3,4)(4,2.25)(5,1.5)(6,2)
\uput[45](2.5,4){$(2/\pi)f(\cos\theta)\cos(k\theta)$}
\psline[linewidth=0.06](1,2)(2,3.5)(3,4)(4,2.25)(5,1.5)(6,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](2,1)(2,3.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](3,0.3)(3,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](4,0.3)(4,2.25)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](5,1)(5,1.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](6,1)(6,2.0)
\psdots[dotsize=0.2](1,2)(2,3.5)(3,4)(4,2.25)(5,1.5)(6,2)
\psline{<->}(3,0.6)(4,0.6)   \uput[270](3.5,0.6){$\displaystyle{\dfrac{\pi}{N}}$}
%
\uput[270](9,1){0}    \uput[270](15,1){$\pi$}  \uput[90](15.5,1){$\theta$}
\psline{->}(9,1)(15.8,1)   \psline{->}(9,1)(9,4.5)
\pscurve(9,1.6)(9.5,2)(10.5,3.5)(11.5,4)(12.5,2.25)(13.5,1.5)(14.5,2)(15,2.3)
\uput[45](10.5,4){$(2/\pi)f(\cos\theta)\cos(k\theta)$}
\psline[linewidth=0.06](9,2)(10,2)
\psline[linewidth=0.06](10,3.5)(11,3.5)
\psline[linewidth=0.06](11,4.0)(12,4.0)
\psline[linewidth=0.06](12,2.25)(13,2.25)
\psline[linewidth=0.06](13,1.5)(14,1.5)
\psline[linewidth=0.06](14,2)(15,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](9,1)(9,2)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](10,1)(10,3.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](11,0.3)(11,4)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](12,0.3)(12,4.00)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](13,1)(13,2.25)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](14,1)(14,2.0)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](15,1)(15,2.0)
\psdots[dotsize=0.2](9.5,2)(10.5,3.5)(11.5,4)(12.5,2.25)(13.5,1.5)(14.5,2)
\psline{<->}(11,0.6)(12,0.6)
 \uput[270](11.5,0.6){$\displaystyle{\dfrac{\pi}{N+1}}$}
\end{pspicture}

\medskip    \medskip

Ces formules d'int\'egration, apparemment tr\`es rudimentaires,
sont donc \emph{\textbf{exactes}} pour $f\in\mathscr{P}_N$!

\noindent\textbf{D\'emonstration} de \eqref{ckftrap} et \eqref{ckfrect}.
Entrons \eqref{somckfF} dans \eqref{ckftrap} et \eqref{ckfrect}:
nous devons v\'erifier
$$ c_k(f) =  \sum_{m=m_1}^{m_2} \mu_m
  \left[ \dfrac{1}{2}\,\sum_{j=-N}^N c_{|j|} e^{ij\theta_m} \right]
  \cos(k\theta_m),
$$
o\`u les $\mu_m$ et les $\theta_m$ d\'ependent de la formule discr\`ete,
il nous suffit de savoir que les $\theta_m$ sont en progression
arithm\'etique. Par parit\'e du cosinus, on peut d'ailleurs
consid\'erer que l'on a $\mu_m=1/N, m_1=-N, m_2=N-1$ dans
\eqref{ckftrap}; $\mu_m=1/(N+1), m_1=-N-1, m_2=N$ dans \eqref{ckfrect}.
La double somme se r\'earrange en
$$   \dfrac{1}{2}\,\sum_{j=-N}^N c_{|j|} \left[
     \sum_{m=m_1}^{m_2} \mu_m   e^{ij\theta_m} \cos(k\theta_m) \right]
=  \dfrac{1}{4}\,\sum_{j=-N}^N c_{|j|} \left[
     \sum_{m=m_1}^{m_2} \mu_m (  e^{i(j+k)\theta_m}
                               +e^{i(j-k)\theta_m)} ) \right]
$$
La somme int\'erieure est une progression g\'eom\'etrique de
raison $\exp(i(j\pm k)\Delta)$, o\`u $\Delta$ est la raison de
la progression arithm\'etique des $\theta_m$ ($\pi/N$ ou $\pi/(N+1)$).
Cette raison vaut l'unit\'e quand $j=\mp k$, la somme int\'erieure
vaut alors $\mu_m$ fois le nombre de termes $=2$; si $j\neq \mp k$,
la progression g\'eom\'etrique vaut une expression de
num\'erateur $\text{raison}^{1+\text{nombre\ de\ termes}} -1$,
ce qui vaut 0 car la raison \'elev\'ee \`a une puissance \'egale au
nombre de termes $+1$ donne $\exp(2\pi i) =1$. \qed

Si on prend $f=T_n$, on a d'ailleurs des formules d'orthogonalit\'e
discr\`ete dont voici le d\'etail:
{\Small
\begin{equation} \label{orthdisctn}
  \sideset{}{''}\sum_{m=0}^N T_p\left(\cos\frac{m\pi}{N}\right)\, %
                        T_q\left(\cos\frac{m\pi}{N}\right)\, =
  \begin{cases}
       N & \text{si $p+q$ et $p-q$ sont} \\ &\text{des multiples de $2N$}, \\
           \\
       \dfrac{N}{2} & \text{si un seul des deux nombres $p+q$ ou $p-q$}
          \\  &\text{est multiples de $2N$}  \\
       0 & \text{dans les autres cas }
  \end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}  \label{orthdisctnr}
  \sum_{m=0}^{N-1} T_p\left(\cos\frac{(m+1/2)\pi}{N}\right)\, %
                      T_q\left(\frac{(m+1/2)\pi}{N}\right)\, =
  \begin{cases}
       N & \text{si $p+q$ et $p-q$ sont des}
             \\  & \text{multiples de $4N$}, \\
      -N & \text{si $p+q$ et $p-q$ sont des}
           \\  &\text{multiples impairs de $2N$}, \\
       \   \\
     (-1)^{(p\pm q)/(2N)}\;  \dfrac{N}{2} & \text{si un seul des deux nombres $p+q$}
         \\ & \text{ou $p-q$ est multiple de $2N$}  \\
       0 & \text{dans les autres cas }
  \end{cases}
\end{equation}
}

\section{Bonne approximation; s\'eries de polyn\^omes de Tchebycheff,
   relation avec s\'eries de Fourier.}

On a vu appara\^\i tre les polyn\^omes de Tchebycheff en r\'esolvant le
probl\`eme tr\`es particulier de la meilleure approximation d'un polyn\^ome
par un polyn\^ome de degr\'e imm\'ediatement inf\'erieur.

On va d\'ecrire maintenant une mani\`ere d'utiliser cette technique
particuli\`ere pour construire une approximation polynomiale raisonnable
(\emph{bonne approximation}) d'une fonction continue arbitraire.



\subsection{Bonne base et bonne approximation}  {\  }   \\

Soit $\{b_1,\dotsb, b_N\}$ une base d'un espace $V_N$ de dimension
$N<\infty$, de sorte que $\forall f\in V_N$, $f=\displaystyle
\sum_{k=1}^N c_k(f) b_k$.

La base est bonne relativement \`a une norme $\|\ \|$ si
$$  C_N\leqslant \dfrac{\sum_1^N |c_k(f)| }{\|f\|} \leqslant D_N, $$
avec $D_N/C_N$ pas trop grand, par exemple, une puissance faiblement
croissante de $N$.

Remarquons que $f=b_n \Rightarrow 1/D_n \leqslant \|b_n\|\leqslant 1/C_n$.

La base $\displaystyle{
   \left\{\frac{T_0}{2}, T_1,\dotsc, T_N\right\} }$ est une bonne
base de $\mathscr{P}_N$ relativement \`a $\|\ \|_\infty$ puisque,
d'apr\`es \eqref{ckf},
$\displaystyle |c_k(f)|\leqslant \dfrac{2}{\pi} \int_0^\pi |f(\cos\theta)|\;|\cos k\theta|d\theta
\leqslant 2\|f\|_\infty$, donc
$$ |c_k(f)| \leqslant 2 \|f\|_\infty,$$
$$  1\leqslant \dfrac{\sum_1^N |c_k(f)| }{\|f\|_\infty} \leqslant 2N+1. $$

\smallskip

{\Small La base des puissances de $x$ n'est \emph{\textbf{pas du tout}} une bonne base
 relativement \`a la norme $\|\ \|_\infty$ sur $[-1,1]$! On a bien $C=1$, mais
$D$ vaut au moins $2^{N-1}$ (prendre $f=T_N$).

Par contre, la base des puissances de $x$ est une excellente base sur le
\emph{\textbf{disque unit\'e}} du plan complexe.
}
 


\medskip

Soit $V_n$ le sous-espace de $V_N$ sous-tendu par $b_1,\dotsc, b_n$.

Si $b_1,\dotsc, b_N$ est une bonne base de $V_N$,
 $p_n=\sum_1^n c_k(f) b_k$ est une bonne approximation de $f$ dans $V_n$:

$$\|f-p_n\| = \|\sum_{n+1}^N c_k(f) b_k\| =
            \|\sum_{n+1}^N c_k(f-\hat{p}_n) b_k\|
\leqslant C_N^{-1}\sum_{n+1}^N|c_k(f-\hat{p}_n)|\leqslant
\dfrac{D_N}{C_N} \|f-\hat{p}_n\|.
$$

(Cf. lemme de Lebesgue, p.~\pageref{constLebesg}).




\subsection{Cascade de meilleures approximations et d\'eveloppements dans
  la base des polyn\^omes de Tchebycheff} {\ } \\   \label{cascade}
Voici une autre fa\c con de sugg\'erer que la somme partielle de degr\'e $n$
du d\'eveloppement d'une fonction en polyn\^omes de Tchebycheff est proche 
de la meilleure approximation de degr\'e $\leqslant n$:

 Partons d'un polyn\^ome $p$ de degr\'e $N$.
 Nous savons construire la meilleure approximation de degr\'e $\leqslant N-1$
 de  $p\in \mathscr{P}_N$: on l'obtient en soustrayant de
 $p$ un multiple scalaire appropri\'e de $T_N$ de fa\c con \`a aboutir \`a
 un degr\'e $< N$. Appelons $\mathcal{M}_N$ l'op\'erateur $\mathscr{P}_N
 \longrightarrow \mathscr{P}_{N-1}$ qui r\'ealise cette extraction de
 meilleure approximation:
 $\displaystyle{\  \forall p\in\mathscr{P}_N,\; \mathcal{M}_N(p) = p - \frac{a_N(p)}
   {a_N(T_N)} T_N}$,
 o\`u $a_k(p)$ est, rappelons-le, le coefficient de $x^k$ de $p$.
 Le multiplicateur de $T_N$ utilis\'e dans la construction de
 $\mathcal{M}_N(p)$ est \'evidemment $c_N(p)$, le coefficient de $T_N$
 dans le d\'eveloppement de $p$ dans la base des polyn\^omes de
 Tchebycheff \eqref{somckf}.
   Appliquons maintenant $\mathcal{M}_{N-1}$ \`a
 $\mathcal{M}_N(p)\in\mathscr{P}_{N-1}$:
 $\displaystyle{ \mathcal{M}_{N-1} \mathcal{M}_N (p) =
  \mathcal{M}_{N-1}(p-c_N(p) T_N) }$
   $=p-c_N(p) T_N -c_{N-1}(p) T_{N-1}  $.

 $\mathcal{M}_{N-1} \mathcal{M}_N (p)$ n'est normalement \emph{pas} la
 meilleure approximation de $p$ dans $\mathscr{P}_{N-2}$, mais comme
 $\mathcal{M}_{N-1} \mathcal{M}_N (p)$ diff\`ere de $p$ d'une combinaison
 de deux polyn\^omes de Tchebycheff de degr\'es \'elev\'es, on peut penser
 que la fonction d'erreur n'est pas trop \'eloign\'ee d'une fonction
 \'equioscillante.

 En consid\'erant des d\'eflations successives $\mathcal{M}_k \mathcal{M}_{k+1}
 \dotsm \mathcal{M}_N (p)$, on voit appara\^\i tre le d\'eveloppement de $p$
 dans la base des polyn\^omes de Tchebycheff:
 \begin{equation*}  \hspace*{-12pt}
   \mathcal{M}_{n+1} \mathcal{M}_{n+2} \dotsm \mathcal{M}_N (p) =
     p-\sum_{k=n+1}^N c_k(p) T_k =
    \sideset{}{'}\sum_{k=0}^n c_k(p) T_k \ %
   \text{ si } p=  \sideset{}{'}\sum_{k=0}^N c_k(p) T_k .
 \end{equation*}

\smallskip   \noindent
Donc: \emph{la succession $ \mathcal{S}_n (p) :=
\mathcal{M}_{n+1} \mathcal{M}_{n+2}\dotsm \mathcal{M}_N (p)$
de meilleures approximations $((\dotsm (\mathscr{P}_N \to \mathscr{P}_{N-1} )
\dotsm )\to \mathscr{P}_{n+1})\to \mathscr{P}_n$ est ce qu'on appelle ici
la \textbf{bonne approximation} $\mathcal{S}_n(p)$ de degr\'e $\leqslant n$ de $p\in
\mathscr{P}_N$. Elle consiste exactement en la somme des termes en $T_0,
T_1,\dotsc, T_n$ du d\'eveloppement de $p$ dans la base $\{T_0, T_1,\dotsc,
T_N\}$ de $\mathscr{P}_N$. }

\smallskip

Il faudra encore d\'efinir ce que c'est une bonne approximation d'une
fonction continue $f$, donc ce que devrait \^etre $c_k(f)$.

\medskip

Constatons en tout cas que \eqref{somckfF} est une \emph{\textbf{somme
partielle de Fourier}} de la fonction p\'eriodique
$F:$ $F(\theta):= f(\cos\theta)$:
$$ F(\theta)=
   \sideset{}{'}\sum_{j=0}^N c_j(f) \cos(j\theta)
 = \dfrac{1}{2}\,\sum_{j=-N}^N c_{|j|}(f) e^{ij\theta}
$$

\subsection{S\'erie de Fourier  d'une fonction continue p\'eriodique}  {\ } \\
\index{Fourier, s\'eries de}

Il existe une th\'eorie tr\`es riche\footnote{M.\ Willem,
 \textsl{Analyse harmonique r\'eelle},  Hermann, Paris, 1995.} du
d\'eveloppement en s\'erie de Fourier d'une fonction p\'eriodique
sur $\mathbb{R}$. Soit $F$ p\'eriodique de p\'eriode $2\pi$:
$F(x+2\pi)=F(x)$, $\forall x\in\mathbb{R}$. Il est question
d'\'etablir quand la suite des
 \emph{\textbf{sommes partielles de Fourier}}
$$ \mathscr{S}_n(F)(\theta) := \dfrac{A_0(F)}{2} +\sum_{k=1}^n [A_k(F)\cos(k\theta)
   +B_k(F)\sin(k\theta)] = \dfrac{1}{2}\sum_{-n}^n C_k(F) e^{ik\theta} $$
converge vers $F$, o\`u $C_k(F):= \displaystyle{\pi^{-1}
 \int_{-\pi}^\pi F(\varphi)e^{-ik\varphi}\,d\varphi}$, $k\in\mathbb{Z}$.

Avec cette d\'efinition,  $C_k(F)$ co\"\i ncide avec le coefficient
de Tchebycheff $c_k(f)$ de \eqref{ckf} si $F(\theta)=f(\cos\theta)$:
$$ c_k(f) = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(\cos\theta)\,\cos(k\theta)\;d\theta
        = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi F(\theta)\,\cos(k\theta)\;d\theta
      = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi F(\theta)\,e^{ik\theta}\;d\theta
  =C_{\pm k}(F)
$$
car, $F$ \'etant ici une fonction paire (en $\theta$),
$\displaystyle{\int_{-\pi}^\pi F(\theta)\,\sin(k\theta)\;d\theta =0}$.

Nos sommes de Tchebycheff \eqref{somckf} et \eqref{somckfF} sont
donc bien des sommes de Fourier de $F$. Par l'argumentation
d\'evelopp\'ee dans le \S~\ref{cascade}, nous pouvons
soup\c c{}onner que cette somme $\mathcal{S}_n(f)$
n'est pas \'eloign\'ee de la meilleure approximation de $f$ dans
$\mathscr{P}_n$, ou encore que $\mathscr{S}_n(F)$ approche bien la
fonction p\'eriodique $F$.

Pour plus de rigueur, et aussi afin de pouvoir quantifier l'erreur
$f-\mathcal{S}_n(f) = F-\mathscr{S}_n(F)$, nous devons d'abord
\'etablir des \emph{\textbf{conditions de convergence de la s\'erie
de Fourier}} de $F$.

Le th\'eor\`eme le plus utile en cette mati\`ere est
\\
\index{Fourier} \index{Dirichlet}
\textbf{Th\'eor\`eme de Dirichlet.} \emph{Les sommes partielles de
Fourier d'une fonction continue p\'eriodique
\`a variation born\'ee sur une p\'eriode convergent
uniform\'ement vers la fonction.}

Voir R.~Godement, \textsl{Analyse math\'ematique II}, Springer, 1998,
\\ \href{http://www.pourlascience.com/numeros/pls-254/livres.htm}
  {\texttt{http://www.pourlascience.com/numeros/pls-254/livres.htm}}

Une fonction $F$ est \`a variation born\'ee sur l'intervalle $I$ si
$\displaystyle{V=\sup_{x_j\in I} \sum_j |F(x_{j+1})- F(x_j)| <\infty}$.
La fonction $F(\theta)=\theta \sin(1/\theta)$ est continue, mais de
variation non born\'ee sur un intervalle contenant 0. Une fonction croissante
born\'ee est \`a variation born\'ee; toute fonction r\'eelle \`a variation
born\'ee sur un intervalle est la diff\'erence de deux fonctions croissantes.
\index{variation born\'ee}

{\Small
 Le caract\`ere \`a variation born\'ee est m\^eme ici plus important
 que le caract\`ere continu, puisqu'une fonction p\'eriodique \`a
variation born\'ee, \'eventuellement discontinue, est encore la limite
ponctuelle de ses somme de Fourier (th\`eor\`eme de \textbf{Jordan}).
\index{Jordan, th\'eor\`eme de}
}
\smallskip

N.B. Une fonction $\mathscr{C}^1$, ou m\^eme seulement Lipschitzienne,
sur $I$ est forc\'ement \`a variation born\'ee:
$\displaystyle{V=\sup_{x_j\in I} \sum_j |F(x_{j+1})- F(x_j)|
 \leqslant \  \text{const.  \  $\times$ \  longueur\ de\  } I }$.


Sans d\'emontrer compl\`etement ici le th\'eor\`eme de Dirichlet, voyons
avec R.~Godement (pp.~282--293) quelques \'enonc\'es voisins:

\smallskip

\noindent\textbf{Lemme de Riemann-Lebesgue.} \index{Riemann-Lebesgue}
 \textsl{Les coefficients de Fourier d'une fonction p\'eriodique
 int\'egrable tendent vers 0}.

 Sans d\'emontrer ce lemme dans toute sa g\'en\'eralit\'e, nous
 voyons d\'ej\`a qu'il vaut pour la classe plus restreinte des fonctions
 de carr\'e int\'egrable. Par l'in\'egalit\'e de Bessel
 (chap.~3, \S~\ref{Besselineg}, p.~\pageref{Besselineg}),
 $\displaystyle{ \sum_{-\infty}^\infty |C_k(G)|^2 \leqslant
  \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^\pi |G(\theta)|^2\,d\theta  \Rightarrow
  C_k(G)\to 0, k\to\pm\infty }$.

D\'etaillons maintenant la somme de Fourier de $F$:
\begin{equation*}\begin{split}
  \mathscr{S}_n(F)(\theta) &= \frac{1}{2}\sum_{-n}^n C_k(F) e^{ik\theta} \\
    &= \frac{1}{2\pi}\sum_{-n}^n \int_{-\pi}^\pi F(\varphi)
              e^{-ik\varphi}\;d\varphi\  e^{ik\theta} \\
    &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F(\varphi)
       \left[\sum_{-n}^n  e^{ik(\theta-\varphi)}\right]\;d\varphi\  \\
    &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F(\varphi)
       \dfrac{ e^{i(n+1)(\theta-\varphi)} - e^{-in(\theta-\varphi)}}
             { e^{i(\theta-\varphi)} - 1}  \;d\varphi  \\
  \mathscr{S}_n(F)(\theta) -F(\theta)
    &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \dfrac{F(\theta+\varphi)-F(\theta)}
                                        { e^{-i\varphi} - 1}
         \;[ e^{-i(n+1)\varphi} - e^{in\varphi}]\;d\varphi  ,
\end{split}\end{equation*}
o\`u on a utilis\'e la p\'eriodicit\'e de $F$  et l'identit\'e
$\mathscr{S}_n$ appliqu\'e \`a une constante $=$ cette m\^eme
constante (ici, $\theta$ est fix\'e, donc $F(\theta)$ est constante).

On  a donc
$ \mathscr{S}_n(F)(\theta) -F(\theta) = C_{n+1}(G)-C_{-n}(G)$, o\`u
$G$ est la fonction qui vaut   $G(\varphi)=$
$\displaystyle{\frac{1}{2} \dfrac{F(\theta+\varphi)-F(\theta)}
                                        { e^{-i\varphi} - 1}  }$
en $\varphi$ (rappelons que $\theta$ est fixe). Le r\'esultat
tendra effectivement vers 0 quand $n\to\infty$ si $F$ est
Lipschitzienne.

\smallskip

{\Small  \noindent\textbf{Une s\'erie de Fourier divergente}\footnote{
 D.C~Champeney, \textsl{A Handbook of Fourier Theorems}, Cambridge U.P., 1987,
 \S~5.5 et 15.2; R.E.~Edwards, \textsl{Fourier Series, A Modern Introduction},
 Holt Rinehart Winston 1967 ($2^{\text{\`eme}}$ \'ed.: Springer, 1979),
 \S~10.3.1.} (du Bois-Reymond, Fej\'er): la fonction
$\displaystyle{  F(\theta)= \sum_{m=1}^\infty \dfrac{\sin(2^{1+m^3}\theta)}
  {m^2} \sum_{p=1}^{2^{m^3}} \dfrac{\sin(p\theta)}{p} }$ est
p\'eriodique et continue (les sommes partielles de Fourier
 $\displaystyle{ \sum_{p=1}^N \dfrac{\sin(p\theta)}{p} }$
 de la fonction sign~$\theta(\pi-|\theta|)/2$
  \'etant toutes born\'ees par une m\^eme  constante [le fameux
  ph\'enom\`ene de Gibbs]), mais son d\'eveloppement en s\'erie
de  Fourier est divergent en $\theta=0$. En effet, les coefficients
  sont $\displaystyle{ C_{\pm k}(F)= \dfrac{1}{2m^2(2^{1+m^3}-k)} }$
  si $2^{m^3}\leqslant k < 2^{1+m^3}$,
       $\displaystyle{  -\dfrac{1}{2m^2(k-2^{1+m^3})} }$
  si $2^{1+m^3}< k \leqslant 3.2^{m^3}$,  nuls pour les autres
  valeurs de $k$. La s\'erie des $C_k$ diverge, puisque les
  sommes de $C_k$ pour $k=2^{m^3}$ \`a $k=2^{1+m^3}-1$ sont
  sup\'erieures \`a $m/2$ (la somme $1+1/2+\dotsb +1/(2^N)$ est
  sup\'erieure \`a $N/2$).
  Les sommes de $C_k$ pour $k=2^{1+m^3}+1$ \`a $k=3.2^{m^3}-1$ sont
  d'ailleurs tout aussi violemment n\'egatives. Inutile d'ajouter
  que $F$ est furieusement non d\'erivable en $\theta=0$\dots
 }

\subsection{S\'eries de polyn\^omes de Tchebycheff} {\ }\\
\index{Tchebycheff, s\'eries de}
Soit $f$ continue sur $[-1,1]$.
On adoptera naturellement \eqref{somckf} avec $c_k(f)$ calcul\'es
par \eqref{ckf}:
\begin{equation} \label{bonneapproxf}
  \mathcal{S}_n (f) = \sideset{}{'}\sum_{k=0}^n c_k(f) T_k
\end{equation}
comme d\'efinition  de l'op\'erateur de bonne approximation appliqu\'e
\`a une fonction continue arbitraire $f$.

\smallskip

Ceci sugg\`ere que l'op\'erateur de bonne approximation d\'ecoule d'un
d\'eveloppement infini (s\'erie) applicable \`a   toute fonction continue
sur $[-1,1]$. La d\'efinition suivante comporte pourtant une restriction:\\
\textbf{D\'efinition.} \emph{Le d\'eveloppement en s\'erie de polyn\^omes
de Tchebycheff d'une fonction continue sur $[-1,1]$ est
\begin{equation} \label{sertcheb}
  f = \sideset{}{'}\sum_{k=0}^\infty c_k(f) T_k,
\end{equation}
avec les coefficients $c_k(f)$ de \eqref{ckf}, \textbf{pourvu que la
s\'erie \eqref{sertcheb} converge vers $f$ en tout point de $[-1,1]$ }.}

On a vu plus haut des conditions suffisantes de convergence \`a
partir de la th\'eorie des s\'eries de Fourier.

%\smallskip

La raison de la restriction est que la s\'erie \eqref{sertcheb} peut en
effet \^etre divergente pour certaines fonctions continues. La raison profonde
est que les op\'erateurs $\mathcal{S}_n$ de \eqref{bonneapproxf} ne sont pas
uniform\'ement born\'es (en $n$) dans $\mathscr{C}_{[-1,1]}$ muni de la
norme du maximum\footnote{Par contre, les projecteurs $\mathcal{S}_n$
sont uniform\'ement born\'es dans le m\^eme espace muni d'une norme quadratique
appropri\'ee, voir chapitre~3.}, d'o\`u la possibilit\'e de suites $\{\mathcal{S}_n(f)\}_n$
divergentes (conditions n\'ecessaires du th\'eor\`eme de Banach-Steinhaus
[et l'exemple ci-dessus]).

\enlargethispage{22pt}

La d\'et\'erioration de tout sch\'ema de bonne approximation (choix de
projecteurs lin\'eaires) vis-\`a-vis des meilleurs approximations est
quantifi\'ee par l'\'enonc\'e suivant:

\textbf{Lemme de Lebesgue.} \emph{Soit une famille $\{V_m\}_m$ de sous espaces
vectoriels de l'espace vectoriel norm\'e $X$, et $\forall m, \mathcal{P}_m$
un projecteur lin\'eaire sur $V_m$. Alors, $\forall f\in X$, si $E_m(f)=
\inf_{p\in V_m} \|f-p\|$, on a    }
\begin{equation} \label{constLebesg}  \index{Lebesgue, lemme de}
  \| f-\mathcal{P}_m f \| \leqslant (1+\|\mathcal{P}_m\|)\, E_m(f).
\end{equation}

\begin{flushright}
{\sl \c Ca ne sert \`a rien d'\^etre le meilleur,\\ ce qui est important c'est d'\^etre bon\\ (Christophe MALAVOY)}
\end{flushright}

\noindent\emph{
On appelle $\|\mathcal{P}_m\|$ la $m^{\text{\`eme}}$ \textbf{constante de
Lebesgue} du sch\'ema de bonne approximation $\{\mathcal{P}_m\}_m$. }
                           \index{Lebesgue, constante de}
En effet, $\forall\varepsilon>0$, prenons $p_\varepsilon\in V_m$ avec
$\|f-p_\varepsilon\|\leqslant E_m(f)+\varepsilon$\ [bien entendu, si $V_m$ est
de dimension finie, on prend plut\^ot une meilleure approximation $\hat p$
de $f$]. Comme $\mathcal{P}_m$ est un projecteur sur $V_m$, $\mathcal{P}_m
p_\varepsilon = p_\varepsilon$ et, comme $\mathcal{P}_m$ est lin\'eaire,
$$ \|f-\mathcal{P}_m f\| = \|f-\mathcal{P}_m f -(p_\varepsilon -\mathcal{P}_m
 p_\varepsilon)\| = \|f-p_\varepsilon -\mathcal{P}_m (f-p_\varepsilon)\|
 \leqslant (1+\|\mathcal{P}_m\|)(E_m(f)+\varepsilon),$$
d'o\`u \eqref{constLebesg} . \qed



{\Small Ici, on trouve $\displaystyle{\|\mathcal{S}_n\|_\infty =
    \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \left| \frac{\sin(n+1/2)\varphi}{\sin\varphi/2}
     \right|d\varphi \to\infty}$ quand $n\to\infty$, mais est born\'ee
 par $4+(4/\pi^2) \ln n$ (si $n>0$), ce qui est une croissance tr\`es lente:

 \begin{tabular}{cccccccccccc}
  0 &     1 &    2 &    3   &   4   &   5   &   6   &   7  &   8   &   9    &   10  &  20 \\
  1 & 1.436 & 1.642 & 1.778 & 1.880 & 1.961 & 2.029 & 2.087 & 2.138 & 2.183 & 2.223 & 2.494
  \end{tabular}

Cf [Chen] pp.~127 \& 149 (prob.~13), [Pas] p.~28, [Pow] pp.~143--149,
  [Riv1] p.61.


Remarque: si on conna\^\i t $\|f-\mathcal{S}_n f\|_\infty$, on a donc
l'encadrement (assez m\'ediocre) de $E_n(f)$:
$$ \frac{\|f-\mathcal{S}_n f\|_\infty}{5+(4/\pi^2)\ln n} \leqslant  E_n(f)
  \leqslant \|f-\mathcal{S}_n f\|_\infty $$

}




\newpage

   \begin{center}          \setlength{\extrarowheight}{10pt}
                     \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
% \vspace*{-61pt}
 \begin{tabular}{|>{\Small }c|>{\Small }c|}
 \hline
  $f$  &  $c_k(f)$  \\ \hline \hline
  $\dfrac{1-t^2}{2(1+t^2-2tx)} $  &  $t^k \qquad (|t|<1) $ \\
                                  & (=fonction g\'en\'eratrice)  \\ \hline
  $\dfrac{1}{(1+t)^2-4tx^2} $  & 0 si $k$ impair;
              $\dfrac{2t^{k/2}}{1-t^2}$ si $k$ pair \qquad $(|t|<1) $ \\ \hline
  $\dfrac{1}{x-c}   $  &  $-\dfrac{4p^{k+1}}{1-p^2}$ avec $p=c\pm\sqrt{c^2-1}$ \\
                    &    \qquad\qquad\qquad tel que $|p|<1 (c\notin[-1,1])$
                                   \\ \hline
  $|x|$         &     0 si $k$ impair; $-\dfrac{4(-1)^{k/2}}{\pi(k^2-1)}$
                          si $k$ pair.     \\ \hline
  $\sqrt{1\pm x}$  &  $-\dfrac{4\sqrt{2}(\mp 1)^k}{\pi(4k^2-1)}$ \\ \hline
  $\sqrt{1-x^2}$   &  0 si $k$ impair; $-\dfrac{4}{\pi(k^2-1)}$ si $k$
                         pair \\ \hline
   $\arcsin x$    &  0 si $k$ pair; $\dfrac{4}{\pi k^2}$ si $k$ impair. \\ \hline
   $\cos( q \arccos x)$ & $-\dfrac{2q \sin(q\pi) (-1)^k}{\pi(k^2-q^2)},\quad
                                             q\notin\mathbb{Z}$\\ \hline
   $\ln(1-qx)$ & $2\ln\left(\dfrac{q}{2p}\right)$ si $k=0$;
                 $-\dfrac{2p^k}{k}$ si $k>0$, \\
               &  \qquad $\left( p=\dfrac{1-\sqrt{1-q^2}}{q}\right)$ \\ \hline
   arctg$\,qx$ & 0 si $k$ pair; $2 (-1)^{(k-1)/2} \dfrac{p^k}{k}$ si $k$ impair \\
               &  \qquad $\left( p=\dfrac{\sqrt{1+q^2}-1}{q}\right)$ \\ \hline
    $e^{qx}$  &  $2I_k(q)$ \\
        & (fonction de Bessel $I_k(q) = i^{-k} J_k(iq) =
                 {\displaystyle{\sum_{\ell=0}^\infty \frac{q^{k+2\ell}}{
                    2^{k+2\ell} \ell! (k+\ell)!} }}$ \ ) \\ \hline
   $J_\ell(qx)$ & 0 si $k-\ell$ impair;
    $2J_{(\ell-k)/2}(q/2) J_{(\ell+k)/2}(q/2)$
                           si $k-\ell$ pair \\   \hline
 \end{tabular}


  Quelques d\'eveloppements en s\'erie de Tchebycheff,
 S. Paszkowski \cite{Pas}.  \label{tablepas} \end{center}


\newpage

On ``retrouve'' alors les formules \eqref{ckf} des coefficients par une
exploitation (un peu cavali\`ere) de la s\'erie \eqref{sertcheb}: on
multiplie les deux membres de \eqref{sertcheb} par $(1-x^2)^{-1/2} T_m(x)$
et on int\`egre sur $[-1,1]$:
$$ \int_{-1}^1 f(x)\frac{T_m(x)dx}{\sqrt{1-x^2}} =
  \sideset{}{'}\sum_{k=0}^\infty c_k(f) \int_{-1}^1 \frac{T_k(x)T_m(x)dx}{
    \sqrt{1-x^2}} = \frac{\pi}{2}\sum_{k=0}^\infty c_k(f) \delta_{k,m} =
    \frac{\pi}{2} c_m(f).
$$

\smallskip



La cons\'equence beaucoup plus int\'eressante et profonde des relations
d'orthogonalit\'e \eqref{orthtn} est que la somme partielle de degr\'e $n$
de la s\'erie \eqref{sertcheb} est la meilleure approximation de $f$ dans
$\mathscr{P}_n$ au sens d'une norme quadratique: \\
\textbf{Proposition.} \textsl{La somme partielle
 $\displaystyle{ S_n := \mathcal{S}_n f = \sideset{}{'}\sum_{k=0}^n
             c_k(f) T_k }$
minimise $\displaystyle{ \int_{-1}^1 (f(x)-p(x))^2\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} }$
sur tous les $p\in\mathscr{P}_n$.} \\
En effet, soit $p=S_n+q$, avec $q\in\mathscr{P}_n$. On a
$$\int_{-1}^1 \frac{(f(x)-p(x))^2 dx}{\sqrt{1-x^2}} =
  \int_{-1}^1 \frac{(f(x)-S_n(x))^2 dx}{\sqrt{1-x^2}}
-2\underbrace{\int_{-1}^1 \frac{(f(x)-S_n(x))q(x) dx}{\sqrt{1-x^2}} }_{\bf 0}
 +\int_{-1}^1 \frac{(q(x))^2 dx}{\sqrt{1-x^2}}
$$
\hspace*{199pt} puisque l'int\'egrale de $f$ fois $(1-x^2)^{-1/2}T_m(x)dx$ se
confond avec celle de
                       $S_n$ fois $(1-x^2)^{-1/2}T_m(x)dx$
(on d\'eveloppe $q$ dans la base des $T_m$). \qed

Les meilleures approximations polynomiales de fonctions construites sur des
principes d'orthogonalit\'e sont si importantes que tout le chapitre~3 leur
sera consacr\'e.

\medskip
\textbf{Sommes de Fej\'er et de La Vall\'ee Poussin.} \\
Soit $S_n = \mathcal{S}_n f = \sideset{}{'}\sum_0^n c_k(f) T_k$ qui peuvent
donc ne pas converger vers $f$. La moyenne de Fej\'er
$$ F_n := \frac{S_0 +S_1 +\dotsb +S_n}{n+1} $$
converge uniform\'ement vers $f$, mais la convergence est toujours m\'ediocre.

Les sommes de la Vall\'ee Poussin   \index{de La Vall\'ee Poussin}
$$ V_n := \frac{S_n + S_{n+1} +\dotsb + S_{2n-1}}{n} = 2F_{2n-1} -F_{n-1} $$
sont dans $\mathscr{P}_{2n-1}$ au lieu de $\mathscr{P}_n$, mais ont des
erreurs d'approximation qui se comparent aux erreurs de meilleure
approximation: $\|f-V_n\|_\infty \leqslant 4 E_n(f)$ ([DeVLor] pp.~273-274).


\subsection{Vitesse de d\'ecroissance des coefficients et bornes de norme
de fonction d'erreur} {\ } \\
Voici comment quantifier les erreurs de bonne approximation:

\smallskip

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.} \textsl{Si} $f\in\mathscr{C}^m_{[-1,1]}$,
$$|c_k(f)|\leqslant \frac{2\|F^{(m)}\|_\infty}{k^m}  \qquad (k>0), $$
\begin{equation} \label{errbonneapprox}
  \|f-\mathcal{S}_n f\|_\infty \leqslant \frac{2\|F^{(m)}\|_\infty}{(m-1)n^{m-1}}
  \quad (n>0, m>1),
\end{equation}
\textsl{o\`u $F(\theta) = f(\cos\theta)$.} On a aussi
$$
|c_k(f)|\leqslant \frac{4\|f^{(m)}\|_\infty}{\pi (k-m+1) (k-m+3)\ldots
          (k+m-1)},   \quad (k\geqslant m\geqslant 0),
$$
$$
  \|f-\mathcal{S}_n f\|_\infty \leqslant \frac{4\|f^{(m)}\|_\infty}
        {\pi(m-1)\; (n-m+2)(n-m+4)\ldots (n+m-2)},
              \quad   (n\geqslant m, m>1).
$$

En effet, on int\`egre \eqref{ckf} par parties (l'int\'egrale en $\theta$)
$$ c_k(f) = \frac{2}{\pi}\left[ F(\theta)\frac{\sin k\theta}{k}\right]_0^\pi -
  \frac{2}{\pi}\int_0^\pi F'(\theta)\frac{\sin k\theta}{k}\,d\theta, $$
les termes aux limites s'annulent, gr\^ace au sinus. Si $f\in\mathscr{C}^2$,
une nouvelle int\'egration par parties fournit des termes aux limites
$F'(\theta) \cos k\theta$ en 0 et $\pi$ qui s'annulent cette fois parce
que $F: F(\theta)=f(\cos\theta)$ est une fonction p\'eriodique paire:
$F(\theta)=F(-\theta)\Rightarrow F'(0)=0$,
$F(\pi+u)= F(-\pi+u)= F(\pi-u)\Rightarrow F'(\pi)=0$. En poursuivant
les int\'egrations par parties, on a des termes aux limites contenant
soit des sinus, soit des d\'eriv\'ees d'ordre impair de $F$ en 0 et
$\pi$, ces d\'eriv\'ees sont nulles (consid\'erer les d\'eveloppements
de Taylor de $F$ autour de 0 et $\pi$). Il reste $2/\pi$ fois une
int\'egrale de $F^{(m)}(\theta)$ fois un sinus ou un cosinus divis\'e
par $k^m$, d'o\`u la premi\`ere borne de $c_k(f)$ dans \eqref{errbonneapprox}.

Pour la borne de $\|f-\mathcal{S}_n f\|$, on part de
$$ \|f-\mathcal{S}_n f\|_\infty = \left\|\sideset{}{'}\sum_{k=0}^\infty
  c_k(f) T_k - \sideset{}{'}\sum_{k=0}^n c_k(f) T_k\right\|_\infty  =
         \left\|\sum_{k=n+1}^\infty
  c_k(f) T_k \right\|_\infty  \leqslant \sum_{k=n+1}^\infty |c_k(f)|, $$

\begin{minipage}[t]{170pt}
\  \par

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(7,3.5)
 \put(0,0.5){\vector(1,0){4.5}}   \put(0.5,0){\vector(0,1){4}}
 \put(2,0.5){\line(0,1){2.5}}
 \put(2,2.1){\line(1,0){0.5}}
 \put(2.5,0.5){\line(0,1){1.6}}
 \put(2.5,1.43){\line(1,0){0.5}}
 \put(3,0.5){\line(0,1){0.93}}
 \thicklines
 \qbezier(2,3)(3,1)(4,0.75)
 \put(4.4,0.6){$k$} \put(2,3.2){$\Phi(k)$}
 \put(1.9,0.25){$n$}
\end{picture}
\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{1mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{3.9in}
\  \par

\vspace*{-10pt}
et on utilise un principe tr\`es simplement illustr\'e par la
figure ci-contre: si $\Phi$ est positive d\'ecroissante, \\
$\displaystyle{  \sum_{k=n+1}^\infty \Phi(k) \leqslant
      \int_n^\infty \Phi(k)dk }$ \\
appliqu\'e ici \`a $\Phi(k)=$ constante$/k^m$. Bien entendu, l'int\'egrale
ne converge que si $m>1$.
\end{minipage}


\smallskip

{\Small
Pour \'etablir les autres in\'egalit\'es, on
part de l'int\'egrale en $x$ de \eqref{ckf}, que l'on int\`egre
par parties, en d\'erivant $m$ fois $f$ et en int\'egrant $m$ fois
$V_{n,0}(x) = (1-x^2)^{-1/2} T_n(x)$, donc,  \\
$\displaystyle{ c_k(f) = (2/\pi) (-1)^m \int_{-1}^1 f^{(m)}(x)
V_{n,m}(x)\,dx}$, d'apr\`es la d\'efinition \eqref{defVnp},
et on applique \eqref{normVnp}.
}     \qed

\smallskip

\textbf{Exemple.} Avec $f(x)=e^{qx}$, on obtient $\|f-\mathcal{S}_n f\|_\infty
\leqslant 4q^n/(\pi 2^{n-1}(n-1)(n-1)!)$, (faire $m=n$ dans \eqref{errbonneapprox}),
ce qui est int\'eressant: c'est presque $2^n$ fois plus petit que ce qu'on
obtient avec la s\'erie de Taylor-Maclaurin\footnote{De plus,
 \eqref{errbonneapprox} rend
encore des services quand on ne dispose pas de coefficients de Taylor
d'ordre \'elev\'e! (garder $m$ faible dans \eqref{errbonneapprox}). }!

\smallskip

\textbf{Autre exemple.} Avec $f(x)=|x|$, on a \emph{exactement}
$\|f -\mathcal{S}_n f\|_\infty = 2/(\pi(n'-1))$, o\`u $n'$ est le plus petit
nombre pair strictement plus grand que $n$: utiliser la table
de la p.~\pageref{tablepas}
et $\sum_{k>n} |c_k| = (4/\pi)[(n'{}^2-1)^{-1} + ((n'+2)^2-1)^{-1} +\dotsb ] =
(2/\pi)[ 1/(n'-1) -1/(n'+1) +1/(n'+1) -1/(n'+3) +\dotsb]$, atteint en
$x=0$. remarquons que ce $f$ n'est m\^eme pas dans $\mathscr{C}^1$.

\smallskip

\noindent\textbf{Approximation polynomiale de} $\boldsymbol{
   \sqrt{x} }$ \textbf{sur [0,1]}.  \\
\textbf{Proposition.} $\displaystyle{ \exists p\in\mathscr{P}_n :
    |\sqrt{x} -p(x)|\leqslant \dfrac{1}{\pi(n+1/2)} }$, \label{approxsqrt}
 $0\leqslant x\leqslant 1$.

En effet, il suffit de prendre une somme partielle de la s\'erie de
Tchebycheff de la fonction valeur absolue, en $\sqrt{x}$:
$$ \left|\sqrt{x} +
   \dfrac{4}{\pi}\sideset{}{'}\sum_0^n \dfrac{(-1)^k
         T_{2k}(\sqrt{x})}{4k^2-1} \right| \leqslant
   \dfrac{4}{\pi}\sum_{n+1}^\infty \dfrac{1}
         {4k^2-1} =
   \dfrac{2}{\pi}\sum_{n+1}^\infty \left(\dfrac{1}
         {2k-1} -\dfrac{1}{2k+1}\right)=  \dfrac{2}{\pi(2n+1)}.
$$

\medskip

Nous sommes maintenant en mesure d'aborder une premi\`ere
d\'emonstration d'un th\'eor\`eme fondamental\footnote{Il s'agit de la
preuve de Lebesgue, voir
A.~Pinkus, Weierstrass and approximation theory, \textsl{J. Approx.
Theory} \textbf{107} (2000) 1-66.}

\subsection{Th\'eor\`eme de Weierstrass} \textsl{Toute fonction $f$
 continue sur un intervalle compact $[a,b]$ peut \^etre
 arbitrairement bien approch\'ee en norme du maximum par des polyn\^omes:
  }      \index{Weierstrass, th\'eor\`eme d'approximation de}
  $$ \forall \varepsilon>0, \exists n \text{ et } p\in \mathscr{P}_n:
    \| f-p\|_\infty \leqslant \varepsilon. $$
\smallskip
\noindent {\bf D\'efinition.}\  On appelle {\bf module de continuit\'e\/}
\label{modcont}    \index{module de continuit\'e}
d'une fonction $f$ d\'efinie sur $[a,b]$ la {\bf fonction}
$$ \omega_f (h) := \max_{\substack{x,y\in [a,b]\\  |x-y|\le h}}
   |f(x)-f(y)|, \qquad 0\le h\le b-a $$
Cette fonction est croissante, et $\omega_f(h)\to 0$ quand $h\to 0$
si $f$ est continue sur $[a,b]$ born\'e (continuit\'e uniforme de $f$).
Et on montre aussi que $\omega_f$ est continue si $f$
l'est, et $x,y \geqslant 0
\Rightarrow\omega_f(x+y)\leqslant \omega_f(x)+ \omega_f(y)$.
Donc aussi $\omega_f(kx)\leqslant k\omega_f(x)$ si $k$ entier
 $\geqslant 0$; enfin,
 \begin{equation} \label{modcontk}
  \omega_f(ax)\leqslant (a+1)\omega_f(x),
 \end{equation}
si $a$ est r\'eel $\geqslant 0$ (prendre $k=$ partie enti\`ere par
 exc\`es de $a$).

\smallskip

Soit $h=(b-a)/N$ tel que $\omega_f(h) \leqslant \varepsilon/2$,
$g$ l'interpolant lin\'eaire par morceaux de $f$ aux points
$x_i= a+ih$, $i=0,1,\dotsc,N$.

Entre $x_i$ et $x_{i+1}$, $\displaystyle{ f(x)-g(x) =
  f(x)- \dfrac{(x_{i+1}-x)f(x_i)+ (x-x_i)f(x_{i+1})}{h} = }$ \\
  \hspace*{36pt} $\displaystyle{
   \dfrac{(x_{i+1}-x)(f(x)-f(x_i))+ (x-x_i)(f(x)-f(x_{i+1}))}{h} }$,
donc $\|f-g\|_\infty \leqslant \omega_f(h) \leqslant
  \varepsilon/2 $.

Abordons maintenant $g(x)-(\mathcal{S}_n g)(x) =
  \sum_{n+1}^\infty c_k T_k(y)$, o\`u $x=(a+b)/2 +y(b-a)/2 \iff
 y=(2x-a-b)/(b-a)$.
\begin{equation*}\begin{split}
 c_k &= \dfrac{2}{\pi} \int_{-1}^1 g((a+b)/2+y(b-a)/2)
         \dfrac{T_k(y)}{\sqrt{1-y^2}}\;dy \\
    &= -\dfrac{b-a}{\pi} \int_{-1}^1 g'((a+b)/2+y(b-a)/2)
            V_{k,1}(y)\;dy \\
    &= -\dfrac{b-a}{\pi} \sum_{i=0}^{N-1} g'(x_i)\left[
         V_{k,2}(y_{i+1}) -V_{k,2}(y_i)  \right],
\end{split}\end{equation*}
et, comme $\|V_{k,2}\|_\infty \leqslant (k^2-1)^{-1}$ (par \eqref{normVnp}),
et que
$|g'(x_i)| = |f(x_{i+1})- f(x_i)|/h \leqslant \omega_f(h)/h$,
$\displaystyle{ |c_k| \leqslant  \dfrac{b-a}{\pi} N
   \dfrac{\omega_f(h)}{h} \dfrac{2}{k^2-1} =
                                 \dfrac{(b-a)^2}{\pi}
   \dfrac{\omega_f(h)}{h^2} \left(\dfrac{1}{k-1} -\dfrac{1}{k+1}
     \right)  }$,
$\displaystyle{ \sum_{k=n+1}^\infty |c_k| \leqslant
          \dfrac{(b-a)^2 \omega_f(h)}{\pi h^2 n}  }$,
et
$$ \|f-\mathcal{S}_n g\|_\infty \leqslant \|f-g\|_\infty +
  \|g-\mathcal{S}_n g\|_\infty \leqslant \omega_f(h)
 \left( 1+\dfrac{(b-a)^2 }{\pi h^2 n} \right), $$
et il suffit de prendre $n\geqslant (b-a)^2/(\pi h^2)$. \qed

\subsection{Calcul des coefficients de Tchebycheff et autres algorithmes}
{\ } \\

\begin{enumerate}
\item  On peut \'evidemment avoir la chance d'avoir une int\'egrale
  explicite, cf. table p.~\pageref{tablepas}.

\smallskip

\item Si on dispose de nombreuses valeurs num\'eriques de $f$, on peut
 estimer $c_k(f)$, $k=0,1,\dotsc, N$ par les coefficients  discrets
 $c_k^{(N)}$ de \eqref{ckftrap} (p.~\pageref{ckftrap};
 le r\'esultat du calcul \eqref{ckftrap}
 ne co\"\i ncide plus avec \eqref{ckf} si $f$ n'est pas un polyn\^ome,
 aussi note-t-on ici $c_k^{(N)}(f)$ la valeur de \eqref{ckftrap}). \\
{\Small Ces coefficients peuvent \^etre tr\`es efficacement calcul\'es par
  un \emph{algorithme de tranform\'ee discr\`ete rapide} (\textbf{FFT})

(cf. \href{tchebfft.m}
  {\texttt{tchebfft.m}} )
\begin{verbatim}
% tchebfft.m
%
%   coefficients de Tchebycheff d'une fonction de x, -1<= x <= 1
%
nomf=input('donnez la fonction, par exemple: 3.*x+4, etc.
                             N.B. x doit pouvoir etre un vecteur ','s');
n=1;while n>0,
 n=input('nombre de subdivisions?  (stop si <=0  ');
 if n<=0,
   break;
 end;
 % valeurs de f:
 clear x;x=cos( pi*(0:n)/n );
 clear f;f=eval(nomf);
 % passage a 2*n
 clear g;g=[f(n+1:-1:1) f(2:n)];
 coef=cos(pi*(0:2*n-1)) .* fft(g) /n;
 coef(1:n+1),
end

\end{verbatim}  }% end Small

{\Small
Ainsi, avec $\exp(x)$, on obtient, selon $N$:  \\
\begin{center}\begin{tabular}{|r|c|c|c|c|c|c|c|c|}  \hline
 $N$    &  $c_0^{(N)}$  &  $c_1^{(N)}$ & $c_2^{(N)}$ & $c_3^{(N)}$
        &  $c_4^{(N)}$  &  $c_5^{(N)}$ & $c_6^{(N)}$ & $c_7^{(N)}$   \\
\hline
1   &  3.0862 &  2.3504  &       &      &         &       &       &  \\
2   & 2.5431 &  1.1752  &  0.5431  &    &         &      &       &      \\
3& 2.5322 &   1.1309 & 0.2770 & 0.0887  &        &        &      &     \\
4&  2.5321&   1.1303&   0.2715 &  0.0449&   0.0109&       &      &     \\
5& 2.5321 &   1.1303 &  0.2715 &  0.0443 & 0.0055 & 0.0011 &        &   \\
6& 2.5321 &   1.1303 &  0.2715 &  0.0443 & 0.0055 & 0.0005 & 0.0001 &   \\
7& 2.5321 &  1.1303 & 0.2715 & 0.0443 & 0.0055 & 0.0005 & 0.0000  & 0.0000  \\
\hline
\end{tabular} \end{center}
On converge donc rapidement vers les $c_k$ de l'exponentielle  \\
\begin{center}\begin{tabular}{|r|c|} \hline
 $k$ &  $c_k$ \\   \hline
0& 2.53213175550402 \\
1& 1.13031820798497 \\
2& 0.27149533953408 \\
3& 0.04433684984866 \\
4& 0.00547424044209 \\
5& 0.00054292631191 \\
6& 0.00004497732295 \\
7& 0.00000319843646 \\
8& 0.00000019921248 \\
9& 0.00000001103677 \\
10&0.00000000055059 \\
11&0.00000000002498 \\
12&0.00000000000104 \\
13&0.00000000000004 \\
\hline
\end{tabular} \end{center}
(cf. [Clen]).
}

La discordance entre $c_k(f)$ et $c_k^{(N)}(f)$ est remarquablement bien
sugg\'er\'ee par la formule suivante (``\emph{Aliasing}'', ``\emph{pliage
fr\'equentiel}''):          \index{aliasing}
\begin{equation} \label{alias}
 c_k^{(N)}(f) = c_k(f) + c_{2N-k}(f) + c_{2N+k}(f) + c_{4N-k}(f) + c_{4N+k}(f)+\dotsb
\end{equation}
En effet, on entre la ``vraie'' s\'erie \eqref{sertcheb} dans \eqref{ckftrap}:
\begin{equation*} \begin{split}
 c_k^{(N)}(f) &= \frac{2}{N}\sideset{}{''}\sum_{\ell=0}^N \left[
   \sideset{}{'}\sum_{k'=0}^\infty c_{k'}(f) T_{k'}(\cos(\ell\pi/N))\right]
   T_k(\cos(\ell\pi/N) \\
         &= \frac{2}{N} \sideset{}{'}\sum_{k'=0}^\infty c_{k'}(f)
                P_{k,k'}^{(N)} \qquad\qquad\qquad \text{le } P_{k,k'}^{(N)} \text{ de }
                \eqref{orthdisctn} !  \\
         &= \sum_{p=0}^\infty c_{k+2pN}(f) + \sum_{p=1}^\infty c_{2pN-k}(f).
\end{split} \end{equation*}
Cette formule \eqref{alias} repr\'esente exactement la superposition des
fr\'equences observ\'ee quand on \'echantillonne un signal: \`a force de
chercher des termes \'equioscillants, le langage et les m\'ethodes de la
th\'eorie de l'approximation se rapproche de ce qui se fait en th\'eorie du
signal (th\`ese de Hamming).

\smallskip

\item \emph{Traitement de la r\'ecurrence.} \\        \label{traitrecur}
On manipule des s\'eries de Tchebycheff comme on manipule des s\'eries de
Taylor. Ainsi, multiplier une s\'erie de Tchebycheff par un polyn\^ome
revient \`a effectuer plusieurs fois une multiplication par $x$:
\begin{equation*} \begin{split}
  x\sideset{}{'}\sum_{k=0}^\infty c_k(f) T_k(x) &=
   \sideset{}{'}\sum_{k=0}^\infty c_k(f) xT_k(x)  \\
 &=  \sideset{}{'}\sum_{k=0}^\infty c_k(f) \frac{T_{k+1}(x)+T_{k-1}(x)}{2} =
   \frac{c_1(f)}{2} T_0 +\sum_{k=1}^\infty \frac{c_{k-1}(f)+c_{k+1}(f)}{2}
     T_k(x)
\end{split}\end{equation*}
par \eqref{recurrtn}. D'o\`u $c_k(xf) =(c_{k+1}(f)+ c_{k-1}(f))/2$, $k=0,1,\ldots$
(si on pose $c_{-1}=c_1$). On peut aussi consid\'erer des multiplications et
des divisions de s\'eries.

\smallskip

\item \emph{Economisation--r\'earrangement de polyn\^omes}.     \\
 \begin{itemize}
 \item
 Economisation: on applique \`a la lettre le m\'ecanisme de cascade
 d\'ecrit en section~\ref{cascade} \`a partir d'une approximation polynomiale
 connue.\\
 Exemple: $p(x)=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{x^4}{24}$ est une approximation
 de $e^x$ d'erreur $\leqslant 0.01$ sur $[-1,1]$ (le premier terme n\'eglig\'e
 est $x^5/120$). On ne peut supprimer $x^4/24$ sous peine d'avoir une erreur
 tr\`es sup\'erieure \`a 0.01. Cependant, en soustrayant le multiple
 appropri\'e de $T_4$, on garde une approximation de degr\'e 3 d'erreur
 encore acceptable:
 $$p(x)-\frac{1}{192}T_4(x) = p(x)-\frac{1-8x^2+8x^4}{192} =
   \frac{191}{192} +x +\frac{13 x^2}{24} +\frac{x^3}{6} $$
ne fait qu'ajouter une erreur $\leqslant 1/192$ \`a l'erreur initiale.

 \item R\'earrangement: on construit le d\'eveloppement d'un polyn\^ome $p(x)=
  \sum_0^N a_k x^k$ dans la base $\{T_0,\ldots, T_N\}$.

  Algorithme (Hamming): on r\'earrange successivement les polyn\^omes
  partiels du sch\'ema de Horner $a_N$, $a_N x+a_{N-1}$,
  $(a_N x+ a_{N-1})x+ a_{N-2}$, etc. en traitant chaque multiplication par
  $x$ selon le point \ref{traitrecur} ci-dessus. Ainsi:   \\
  \begin{tabular}{ccccccc}
      $k$ &  $a_k$ &  $c_0$ &  $c_1$   &  $c_2$  &  $c_3$  &  $c_4$  \\ \hline
      4   & 1/24   &   1/12 &          &         &         &         \\
      3   & 1/6    &  1/3   &  1/24    &         &         &         \\
      2   & 1/2    & 25/24  &  1/6     &  1/48   &         &         \\
      1   &  1     & 13/6   & 51/96    &  1/12   & 1/96    &         \\
      0   &  1    & 243/96  & 27/24  &  13/48   &  1/24    & 1/192
  \end{tabular}
  \end{itemize}

\smallskip

\item \emph{Relations et \'equations diff\'erentielles}. \\
   \begin{itemize}
   \item M\'ethode des $\tau$ (Lanczos). \\   \index{tau, m\'ethode des}
   L'introduction d'un polyn\^ome $p$ dans un op\'erateur diff\'erentiel
   $\mathscr{L} y$ (par exemple, $\mathscr{L} y=y'-y$), ne va normalement
   pas annuler l'op\'erateur ($p'-p$ est \'evidemment toujours du degr\'e
   de $p$). On modifie le second membre par un polyn\^ome de norme minimale
   ($\Rightarrow$ pol. de Tchebycheff), de fa\c con \`a rendre le probl\`eme
   soluble dans $\mathscr{P}_N$. Un ou plusieurs coefficients d'abord
   ind\'etermin\'es (les fameux $\tau$) sont pr\'ecis\'es \emph{in fine} par
   la comparaison avec des valeurs initiales ou aux limites.

   Exemple: r\'esoudre $y'-y=0$, avec $y(0)=1$, dans $\mathscr{P}_4$: comme
   il faut un second membre $\in\mathscr{P}_4$ \'egalement, on r\'esout
   plut\^ot
   $$p'-p = \left(\sum_0^4 a_k x^k\right)' -\sum_0^4 a_k x^k = \tau T_4(x),$$
   soit $a_1-a_0 + (2a_2-a_1)x + (3a_3-a_2)x^2 +(4a_4 -a_3)x^3 -a_4 x^4 =
   \tau -8\tau x^2 +8\tau x^4$, d'o\`u $a_4=-8\tau$, $a_3=-32\tau$,
   $a_2=-88\tau$, $a_1=-176\tau$, $a_0=-175\tau$. Condition initiale
   $a_0=1 \Rightarrow \tau= -1/175$, etc.

   \item Relations de r\'ecurrence entre coefficients (Clenshaw). \\
   On r\'esout un probl\`eme diff\'erentiel en substituant une s\'erie de
   Tchebycheff \`a la fonction inconnue. En plus des op\'erations
   mentionn\'ees au \ref{traitrecur} ci-dessus, il faut traiter les relations
   diff\'erentielles. Gr\^ace \`a \eqref{inttcheb} (p.~\pageref{inttcheb}),
   on a une relation simple entre une s\'erie de Tchebycheff et sa \emph{primitive}:
 $$f'=\sideset{}{'}\sum_{k=0}^\infty c_k(f') T_k \Rightarrow
  f=\text{ constante } + \frac{c_0(f')}{2} T_1 +\frac{c_1(f')}{2} T_2 +\sum_{k=2}^\infty
    c_k(f') \left[\frac{T_{k+1}}{2(k+1)} -\frac{T_{k-1}}{2(k-1)}\right],$$
donc, $c_k(f) = [c_{k-1}(f') -c_{k+1}(f')]/(2k)$, $k=1,2,\ldots$ On obtient
ainsi des relations de r\'ecurrence qu'il faut exploiter convenablement
(cf. \cite{FoxP}).

 Par exemple, $f'=f$ avec $f(0)=1$: $c_k = (c_{k-1}-c_{k+1})/(2k)$, $k=1,2,\ldots$
 N\'egligeons $c_5$, $c_4=c_3/8 \Rightarrow c_3=8c_4$, $c_3=(c_2-c_4)/6\Rightarrow
 c_2=49 c_4$, $c_2=(c_1-c_3)/4 \Rightarrow c_1=204 c_4$, $c_1=(c_0-c_2)/2
 \Rightarrow c_0=457 c_4$. Condition initiale $c_0/2 +c_1T_1(0) +c_2 T_2(0) +
 c_3 T_3(0)+c_4 T_4(0) =1 \Rightarrow c_0/2-c_2+c_4=1: c_4=2/361$, etc.

   \end{itemize}

Nombreuses applications dans D. Gottlieb, S.A. Orszag: \textsl{Numerical
Analysis of Spectral Methods: Theory and Applications.} SIAM (CBMS) 1977,
C.~Canuto, M.Y.~Hussaini, A.~Quarteroni, T.~Zang: \textsl{Spectral
Methods in Fluid Dynamics}, Springer, 1988,
B.~Fornberg: \textsl{A Practical Guide to Pseudospectral Methods},
Cambridge U.P., 1996,
\textsl{Chebyshev Polynomials},
J. C. Mason and D. C. Handscomb, Chapman and Hall/CRC Press, 2003.
 Aussi le logiciel \texttt{pseudopack},
  \href{http://www.cfm.brown.edu/people/wsdon/home.html}
   {\texttt{http://www.cfm.brown.edu/people/wsdon/home.html}}


\end{enumerate}

%\medskip

\noindent\subsection{Algorithmes en repr\'esentation de Tchebycheff} \   \\

\subsubsection{}
Algorithme de calcul de $S_n(x)=\displaystyle{\sideset{}{'}\sum_{k=0}^n
  c_k T_k(x)}$: \'ecrivons la r\'ecurrence pour $T_1(x),\dotsc, T_n(x)$ et
faisons suivre de l'expression de $S_n(x)$:
\begin{equation*}\begin{split}
  \begin{bmatrix} x   &  -1   &       &       &       &      \\
                  -1   & 2x    &  -1   &       &       &      \\
                       & \dots & \dots & \dots &        &     \\
                       &       & \dots & \dots & \dots  &     \\
                       &       &       & -1    &  2x    & -1  \\
                  c_0/2  &  c_1 &  \dots & \dots & c_{n-1}& c_n
    \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} T_0 \\ T_1(x) \\ T_2(x) \\ \vdots \\ T_{n-1}(x) \\ T_n(x)
    \end{bmatrix}&=
    \begin{bmatrix}   0   \\  0     \\  0    \\  \vdots \\   0    \\  S_n(x)
    \end{bmatrix}  \\
    \text{ soit }  \boldsymbol{Rt} &= \boldsymbol{\sigma} ,
\end{split}\end{equation*}
et multiplions par un vecteur ligne $\boldsymbol{\alpha} =
[\alpha_0, \alpha_1,\dotsc, \alpha_n]$ tel que $\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\alpha R}$
n'ait que sa seule premi\`ere composante $\beta_0$ non nulle. On a alors
$\beta_0 = \alpha_n S_n(x)$, donc $S_n(x)=\beta_0$ si on impose en plus
$\alpha_n=1$.\\
Calcul des $\alpha_k$: $\alpha_{n+1}=0; \alpha_n=1;
  \alpha_{k-1} = 2x\alpha_k -\alpha_{k+1} +c_k, k=n,n-1,\dotsc, 1$. \\
Alors, $S_n(x) = \beta_0 = x\alpha_0 -\alpha_1 +c_0/2$.

\subsubsection{Z\'eros d'un polyn\^ome.} $x$ doit \^etre tel
que $S_n(x)=0$, donc, le d\'eterminant de la matrice ci-dessus
doit \^etre nul. R\'eduction \`a un probl\`eme de valeurs
propres: on ajoute \`a l'avant-derni\`ere ligne la derni\`ere
multipli\'ee par $1/c_n$. On a

\begin{equation*}
  \begin{vmatrix} 2x   &  -2   &       &       &             \\
                  -1   & 2x    &  -1   &       &             \\
                       & \dots & \dots & \dots &             \\
                       &       & \dots & \dots & \dots       \\
            c_0/(2c_n) & c_1/c_n & \dots   & -1+c_{n-2}/c_n    &  2x+c_{n-1}/c_n
    \end{vmatrix} =0.
\end{equation*}
Les racines de $S_n(x)=0$ sont donc les valeurs propres de
\begin{equation*}
  \begin{bmatrix} 0   &  1   &       &       &             \\
                  1/2   & 0    &  1/2   &       &             \\
                       & \dots & \dots & \dots &             \\
                       &       & \dots & \dots & \dots       \\
            -c_0/(4c_n) & -c_1/(2c_n) & \dots   & 1/2-c_{n-2}/(2c_n)    &  -c_{n-1}/(2c_n)
    \end{bmatrix}.
\end{equation*}      \index{Frobenius}
(M\'ethode de Tchebycheff-Frobenius, voir
   Boyd, John P.,
   Computing zeros on a real interval through Chebyshev expansion and
   polynomial rootfinding,
  \textsl{SIAM J. Numer. Anal.} \textbf{40} (2002), no. 5, 1666--1682;
   Stetter, Hans J.,
   \textsl{Numerical polynomial algebra},
   Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia,
   PA, 2004. xvi+472 pp;
Day, David, Romero, Louis:
Roots of polynomials expressed in terms of orthogonal polynomials.  
\textsl{SIAM J. Numer. Anal.} \textbf{43} (2005), no. 5, 1969--1987. 
 


   

\bigskip

{\Small

\section{Approximation par fonction rationnelle.}

\index{Approximation rationnelle} \index{rationnelle, approximation}
Soit $\mathscr{R}_{m,n}$ l'ensemble des fonctions $r$ pouvant se
repr\'esenter comme $r=p/q$, avec $p\in\mathscr{P}_m$ et
                                  $q\in\mathscr{P}_n$.
Si les degr\'es du num\'erateur et du d\'enominateur sont $m'$ et
$n'$ lorsque $r$ est r\'eduite \`a sa plus simple expression, on
dit que le \emph{d\'efaut} de $r$ dans $\mathscr{R}_{m,n}$ est
$\min(m-m',n-n')$.

On a alors le th\'eor\`eme d'\'equioscillation

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.} \textsl{ Toute fonction r\'eelle $f$
continue dans $[a,b]$ admet une seule meilleure approximation
$\hat{r} \in \mathscr{R}_{m,n}$. La fonction d'erreur
$f-\hat{r}$ admet un alternant d'au moins $m+n+2-\partial$ points, o\`u
$\partial$ est le d\'efaut de $\hat{r}$  }. \cite{Ach}

La r\'eciproque est facile \`a montrer: si $s$ \'etait meilleure
que $\hat{r}$, $s-\hat{r} = f-\hat{r}\;-(f-s)$ devrait changer
au moins $m+n+1-\partial$ fois de signe dans $(a,b)$, mais
$\displaystyle{  s-\hat{r} =
         \frac{ p\hat{q} -\hat{p}q }{q\hat{q} }  }$ a un
num\'erateur de degr\'e au plus $m+n-\partial$\dots

Des algorithmes d'\'echange existent (\cite{Ach,Pow,Riv1}), mais on a
\'egalement d\'evelopp\'e des outils de nature plus analytique:

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item L'approximation de Pad\'e\footnote{cf. Henri Eug\`ene Pad\'e,
        1863-1953, cf.
              G.A.~Baker, Jr., {\sl Essentials of Pad\'e Approximants},
  Ac. Press, new York, 1975; G.A.~Baker, Jr., P.~Graves-Morris,
  \textsl{Pad\'e Approximants}, 2 vol., Addison-Wesley, 1981.
    } $r^{(P)}_{m,n}$ reproduit un maximum de coefficients de Taylor,
   par exemple \`a l'origine. Normalement,  \index{Pad\'e}
    $f(x)-r^{(P)}_{m,n}(x)= O(x^{m+n+1})$. Si $f(x)=\displaystyle{
     \sum_{k=0}^\infty c_k x^k,
       r^{(P)}_{m,n}(x) = \frac{p(x)=\sum_0^m p_kx^k}
                               {q(x)=\sum_0^n q_kx^k}}$,  o\`u 
   $[q_0,\dotsc, q_n] $ est une solution des $n$ \'equations
  homog\`enes  $\displaystyle{  \sum_{j=0}^n c_{m+k-j} q_j =0,
   k=1,\dotsc, n }$, et $p=$ d\'eveloppement de Taylor de $fq$
   limit\'e au degr\'e $m$.

  \hspace*{-15pt}Ainsi, si $f(x)=e^x, \displaystyle{
    r^{(P)}_{0,0}(x)=1,
    r^{(P)}_{1,0}(x)=1+x,
    r^{(P)}_{0,1}(x)=\frac{1}{1-x},
    r^{(P)}_{1,1}(x)=\frac{1+x/2}{1-x/2},
    r^{(P)}_{2,2}(x)=\frac{1+x/2+x^2/12}{1-x/2+x^2/12}. }$

 \setcounter{enumi}{1}
 \item L'approximation de Pad\'e-Tchebycheff\footnote{Baker \&
    Graves-Morris, {\it op. cit.} vol.~2, pp.~56-63.}
     $r^{(T)}_{m,n}$ \'etend l'id\'ee
   pr\'ec\'edente aux s\'eries de polyn\^omes de Tchebycheff:
$$
 f(x) = \sideset{}{'}\sum_0^\infty c_k T_k(x) = \frac{c_0}{2}
   +\frac{1}{2} \underbrace{\sum_1^\infty c_k e^{ik\theta} }_{f_+(e^{i\theta})}
   +\frac{1}{2} \underbrace{\sum_1^\infty c_k e^{-ik\theta} }_{f_+(e^{-i\theta})}
$$
et on prend
$\displaystyle{ r^{(T)}_{m,n}(x)=
                                                \frac{c_0}{2}
 +\frac{ r^{(P)}_{m,n}(e^{i\theta}) }{2}
 +\frac{ r^{(P)}_{m,n}(e^{-i\theta}) }{2}  }$.

Le d\'eveloppement en s\'erie de Tchebycheff de $r^{(T)}_{m,n}$
co\"\i ncide normalement avec celui de $f$ jusqu'au terme en
$T_{m+n}$ inclus. La fonction d'erreur est cependant souvent loin
d'\^etre proche de l'\'equioscillation.

 \setcounter{enumi}{2}
 \item L'approximation CF.
   On utilise une construction de Carath\'eodory et
Fej\'er\footnote{L.N.~Trefethen, M.~Gutknecht, The Carath\'eodory-Fej\'er
    method for real rational approximation, {\sl SIAM J.\ Numer.\
    Anal.\ } {\bf 20\/} (1983) 420-436.} produisant une fonction
   d'erreur parfaitement \'equioscillante\dots mais qui n'est pas
   une fonction rationnelle! On projette ensuite dans $\mathscr{R}_{m,n}$.
  \index{Carath\'eodory-Fej\'er}

  La fonction $\tilde{r}^{(CF)}_{m,n}$ est une fonction m\'eromorphe
 avec exactement $n$ p\^oles dans $|z|>1$, approchant
 $ f_+^{(m,n)}(z) := \sum_{m-n+1}^\infty c_k z^k $ telle que
$\displaystyle{
  f_+^{(m,n)}(z)      -\tilde{r}^{(CF)}_{m,n}(z)=
   \sigma z^{m-n+1}
 \frac{ \displaystyle{ \sum_{j=0}^\infty \overline{u_j} z^j }}
      { \displaystyle{ \sum_{j=0}^\infty u_j z^{-j} }}
}$
sur le cercle unit\'e $|z|=1$. $\sigma$ est la $n^{\text{\`eme}}$
valeur singuli\`ere, et $[u_0, u_1,\dotsc]^T$ est le
 $n^{\text{\`eme}}$ vecteur singulier de la matrice de Hankel
$[c_{i+j}]$, $i=m-n+1, m-n+2,\dotsc,$, $j=0,1,\dotsc$ (matrice
infinie ou tronqu\'ee \`a un ordre nettement sup\'erieur \`a $n$).

Enfin, on projette
$\displaystyle{
   \sideset{}{'}\sum_0^{m-n} c_k T_k(x)
  +\frac{\tilde{r}^{(CF)}_{m,n}(e^{i\theta})
        +\tilde{r}^{(CF)}_{m,n}(e^{-i\theta}) }{2}  }$
    dans $\mathscr{R}_{m,n}$ (souvent par Pad\'e-Tchebycheff).


Pour un programme \texttt{matlab} d'une simplicit\'e et d'une
efficacit\'e confondantes, voir
               L.N.~Trefethen,  MATLAB programs for CF approximation,
      pp.599-602      \index{Trefethen, L.N.}
      {\it in}  {\sl Approximation Theory V\ },
      ( C.K.Chui, L.L.Schumaker, J.D.Ward, eds.),
       Academic Press, Orlando 1986,
  \href{cftref.m}
       {\tt cftref.m }
\end{enumerate}

}

\section{Lecture. Tchebycheff et de La Vall\'ee Poussin} {\ } \\

{\Small

\index{Tchebycheff}
\parpic{
\vspace*{55pt}
%  \epsfxsize=160bp \epsfbox[0 0 160 150]{tcheb.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{tcheb.ps}
}
  P.L.~Tchebycheff  \\
 \href{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/BigPictures/Chebyshev.jpeg}
{\texttt{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/BigPictures/Chebyshev.jpeg}} \\  \  \\
Pafnuty Lvovitch Tchebycheff ({\russ P.L.~Qebyxev}) (16 mai 1821--8 d\'ec. 1894) fut un des
esprits les plus remarquables du $\text{XIX}^{\text{\`eme}}$ si\`ecle. On
conna\^\i t surtout son \emph{in\'egalit\'e de Tchebycheff} en
probabilit\'es: si $X$ est une variable al\'eatoire r\'eelle de moyenne $m$
et de variance $\sigma^2$, $$\text{Prob\,} (|X-m|\geqslant k\sigma)
\leqslant\frac{1}{k^2}.$$
Cette in\'egalit\'e se d\'eduit simplement de ce que la fonction caract\'eristique
de $\mathbb{R}\setminus [m-k\sigma, m+k\sigma]$ est born\'ee sur tout
$\mathbb{R}$ par $(x-m)^2/(k\sigma)^2$, on aura l'occasion de revoir
cette construction\ldots



Il a \'egalement donn\'e ce curieux et int\'eressant th\'eor\`eme
d'analyse: la primitive de $x^m(a+bx^n)^p$ (\emph{probl\`eme des diff\'erentielles
bin\^omes}) s'exprime au moyen de fonctions \'el\'ementaires si et seulement
si l'un des trois nombres $\dfrac{m+1}{n}$, $p$, ou $\dfrac{m+1}{n} + p$
est entier\ldots \\
Il s'est \'egalement int\'eress\'e \`a des points fins de th\'eorie des
nombres: soit $\pi(x):=$ nombre de nombres premiers $\leqslant x$. Comment
se comporte $\pi(x)$ quand $x\to\infty$? Gauss avait conjectur\'e que
${\displaystyle{\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln x} =1}}$,
Tchebycheff montra\footnote{W.~Schwarz, Some remarks on the history of the prime
number theorem from 1896 to 1960, pp.565--616 \emph{in} J.P.~Pier (ed.),
\textsl{Development of Mathematics 1900--1950}, Birkh\"auser, 1994.} que les
limites inf\'erieure et sup\'erieure de
${\displaystyle{\frac{\pi(x)}{x/\ln x} }}$ sont comprises entre 0.92129 et
1.1056. On reviendra sur ce r\'esultat. Il donna aussi la premi\`ere
preuve de la conjecture de Bertrand: il y a toujours au moins un
nombre premier entre $n$ et $2n$ si $n>3$.


L'origine du probl\`eme de meilleure approximation r\'esolu par Tchebycheff
se situe dans la conception de m\'ecanismes articul\'es associ\'es \`a une
machine \`a vapeur:

\smallskip

\enlargethispage{22pt}

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(15,7)(-1,0)
 \put(3,5){\circle{0.1}} \put(3,5){\circle{0.2}}
 \put(5.23,2){\circle{0.1}}\put(5.23,2){\circle{0.2}}
 \put(3,5.25){$O$}\put(0.5,6){$M$}\put(0.4,4.3){$P$}
 \thicklines
 \put(1,6){\line(2,-1){1.90}} \put(5,4){\line(-2,1){1.90}}
 \put(1,6){\line(-1,-6){0.25}} \put(0.75,4.5){\line(0,-1){1}}
 \put(0.5,3.5){\line(1,0){0.5}}
 \put(5,4){\line(-1,-4){0.5}} \put(4.5,2){\line(1,0){0.6}}% \put(4.1,2){$N$}
 \put(4.23,2){\special{"
  gsave newpath 0.1 setlinewidth 0 0 moveto 28.35 0 28.35 180 270 arc stroke grestore
             }}
 \thinlines
 \put(5.23,1){\vector(1,0){0.1}}
 \put(0.3,4.5){\line(1,0){0.1}}\put(0.4,4.5){\line(0,-1){2}}\put(0.4,2.5){\line(-1,0){0.1}}
 \put(1.2,4.5){\line(-1,0){0.1}}\put(1.1,4.5){\line(0,-1){2}}\put(1.1,2.5){\line(1,0){0.1}}
 \put(0.2,3.5){\vector(0,1){0.5}} \put(0.2,3.5){\vector(0,-1){0.5}}
  \put(1,6){\special{"
    gsave  0.7 setlinewidth  [4] 0 setdash
            0 0 moveto 56.7 -28.35 63.4 153 190 arc
              stroke
            0 0 moveto 5 10 lineto stroke
               grestore
        }   }
 \put(10,5){\circle{0.1}} \put(10,5){\circle{0.2}}
 \put(12.23,2){\circle{0.1}}\put(12.23,2){\circle{0.2}}
 \put(5.5,5.225){\circle{0.1}}\put(5.5,5.225){\circle{0.2}}
 \put(10,5.25){$O$}\put(7.3,5){$M$}\put(7.4,4.3){$P$}
 \thicklines
 \put(8.5,5.75){\line(2,-1){1.40}} \put(12,4){\line(-2,1){1.90}}
 \put(8.5,5.75){\line(-1,-1){0.75}} \put(7.75,5){\line(2,-1){0.75}}
 \put(8.5,4.625){\line(1,1){0.75}}
 \put(7.75,5){\line(0,-1){0.50}} \put(7.75,4.5){\line(0,-1){1}}
 \put(7.5,3.5){\line(1,0){0.5}}
 \put(5.6,5.225){\line(5,-1){2.9}}
 \put(12,4){\line(-1,-4){0.5}} \put(11.5,2){\line(1,0){0.6}} % \put(11.1,2){$N$}
 \put(11.23,2){\special{"
  gsave newpath 0.1 setlinewidth 0 0 moveto 28.35 0 28.35 180 270 arc stroke grestore
             }}
 \thinlines
 \put(12.23,1){\vector(1,0){0.1}}
 \put(7.3,4.5){\line(1,0){0.1}}\put(7.4,4.5){\line(0,-1){2}}\put(7.4,2.5){\line(-1,0){0.1}}
 \put(8.2,4.5){\line(-1,0){0.1}}\put(8.1,4.5){\line(0,-1){2}}\put(8.1,2.5){\line(1,0){0.1}}
 \put(7.2,3.5){\vector(0,1){0.5}} \put(7.2,3.5){\vector(0,-1){0.5}}
  \put(7.75,5){\special{"
    gsave  0.7 setlinewidth  [4] 0 setdash
    newpath 5 -25 moveto -5 -15  5 15 -5 25 curveto
              stroke  grestore
        }   }
\end{picture}

\vspace*{-22pt}
\begin{center}
    M\'ecanismes de transmission du mouvement.  \label{figwatt}
\end{center}

\parpic{
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(4,2.5)
 \put(2,2.5){\vector(0,-1){2.5}} \put(1.5,1.25){\vector(1,0){1}}
 \put(3.5,2.5){\vector(0,-1){2.5}} \put(3.0,1.25){\vector(1,0){1}}
 \put(1.6,0.0){$x$}  \put(2.4,1.1){$y$}
 \thicklines
 \bezier{99}(2,1.25)(2.0,1.75)(1.5,2.25)
 \bezier{99}(2,1.25)(2.0,0.75)(2.5,0.25)
 \bezier{99}(3.5,1.25)(4.0,1.75)(3.25,2.25)
 \bezier{99}(3.5,1.25)(3.0,0.75)(3.75,0.25)
 \put(1.9,2.3){$(a)$} \put(3.4,2.3){$(b)$}
\end{picture}
}
Le m\'ecanisme le plus simple (\`a gauche, dans la figure ci-dessus)
 force le point $M$ \`a parcourir
un arc de cercle, ce qui impose des
 efforts lat\'eraux excessifs au piston
$P$. Le m\'ecanisme de droite, imagin\'e par James Watt, fait tracer au point $M$
un arc de courbe poss\'edant un point d'inflexion,
se rapprochant ainsi nettement mieux de la verticale. Watt et ses successeurs
se sont ing\'eni\'e \`a trouver des m\'ecanismes engendrant des points
d'inflexion d'ordre de plus en plus \'elev\'e, avec une tangente verticale
au point d'inflexion (figure $(a)$).  Dans un voisinage $[-\delta,\delta]$
du point d'inflexion,
l'\'equation de l'arc de courbe est proche de $y=Kx^n$  (l'axe
des $x$ est l'axe vertical). Tchebycheff montra que l'important n'est pas
d'avoir un tr\`es bon contact avec la direction verticale en un point, mais
bien de minimiser \emph{le plus grand \'ecart} par rapport \`a la ligne
verticale id\'eale, ce qui l'amena au principe d'\'equioscillation
(figure $(b)$).

\parpic{
 \setlength{\unitlength}{1cm}
 \begin{picture}(4,4)(0,-3)
 \thicklines
 \put(0,-0.5){\line(2,1){3}}   \put(0,-0.5){\line(2,-1){3}} \put(0,-0.4){$O$}
 \put(2.25,-0.5){\line(1,2){0.75}}
 \put(2.25,-0.5){\line(1,-2){0.75}}
 \put(3.75,-0.5){\line(-1,2){0.75}}
 \put(3.75,-0.5){\line(-1,-2){0.75}}
 \put(2.0,-0.5){$P$} \put(3.77,-0.5){$P'$}
\end{picture}
}
Ironie de l'histoire, un m\'ecanisme transmettant de fa\c con \emph{exacte}
un mouvement
 circulaire en un mouvement rectiligne (inverseur)
fut imagin\'e par le g\'en\'eral fran\c cais Peaucellier en 1864\ldots
$P$ et $P'$ d\'ecrivent des figures inverses l'une de l'autre: $OP. OP' =$
constante. Si $P$ d\'ecrit un arc de cercle passant par $O$, $P'$ d\'ecrit
exactement un segment de droite. (Cf. \S~16 de H.~Rademacher, O.~Toeplitz, \textsl{Von
Zahlen und Figuren}, Springer, 1930, 1968 = \textsl{Enjoying Mathematics} )

\parpic{
\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(1,-0.5)(4,3)
\pscurve(2.5,2.364318)(3.004178,2.352829)(3.219760,2.339219)(3.387591,2.324259)(3.528424,2.309187)(3.648042,2.296084)(3.745793,2.288668)(3.814131,2.294136)(3.830356,2.328122)(3.715730,2.431460)
\pscurve(2.5,2.364318)(1.995822,2.352829)(1.780240,2.339219)(1.612409,2.324259)(1.471576,2.309187)(1.351958,2.296084)(1.254207,2.288668)(1.185869,2.294136)(1.169644,2.328122)(1.284270,2.431460)
\psline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3,linewidth=0.01](1,2.326493)(4,2.326493)
\psline[linewidth=0.02](1.500000,0)(3.587591,1.866002)(3.187591,2.782517)(3.500000,0)(1.500000,0)
\psdots[dotsize=0.1](1.500000,0)(3.587591,1.866002)(3.388,2.324)(3.187591,2.782517)(3.500000,0)
\uput[0](3.49,2.1){$c$}         \uput[0](3.29,2.55){$c$}
\uput[-90](1.5,0){$(-a,0)$}     \uput[-90](3.5,0){$(a,0)$}
\psline{->}(2.5,0)(3,0)   \psline{->}(2.5,0)(2.5,0.5)
\uput[90](3,0){$x$}    \uput[0](2.5,0.5){$y$}
\uput[180](2.59,1){$2b$}    \uput[0](3.35,1.39){$2b$}
\end{pspicture}
}
Le m\'ecanisme de Tchebycheff le plus connu (voir   \\  \hspace*{-13pt}
\href{http://ch.engr.ucdavis.edu/design/fourbar/fourbarChebyshev.html}
{\texttt{http://ch.engr.ucdavis.edu/design/fourbar/fourbarChebyshev.html}};\\
M.~Nicaise, \textsl{Les mouvements m\'ecaniques, \'etude descriptive et
raisonn\'ee des m\'ecanismes}, Librairie polytechnique Ch.~B\'eranger,
Paris et Li\'ege, 1931; D.C.~Tao, \textsl{Applied Linkage Synthesis},
Addison-Wesley, Reading, 1964)
est un quatre-barres sym\'etrique de longueurs $2a$ pour la base, $2b$
pour les deux manivelles, et $2c$ pour la bielle. On s'int\'eresse \`a
la trajectoire du point milieu $(x,y)$ de la bielle.
 Soit $c'$ la projection horizontale de la demi bielle: les
coordonn\'ees des extr\'emit\'es de la bielle sont
$ (x\mp c' , y\pm c'')$, avec   $c'{}^2+c''{}^2 = c^2$,
et exprimons que ces points sont \`a distance $2b$ de $(-a,0)$ et
$(a,0)$:
$4b^2 = (x-c'+a)^2 + (y+c'')^2  = (x+c'-a)^2 + (y-c'')^2$

\hspace*{-55pt}avec  $r^2=x^2+y^2$, on a
$\displaystyle{
  x^2 = \dfrac{ r^2 c''{}^2 }{4b^2-r^2} =
         \dfrac{ r^2 (r^2-4b^2 +(a+c)^2) (4b^2 -(a-c)^2 -r^2}{4b^2-r^2}}$,
$\displaystyle{
  y^2 = \dfrac{ r^2 (c'-a)^2 }{4b^2-r^2}  }$
$\displaystyle{
         \dfrac{ r^2 (r^2-4b^2 -a^2 +c^2)^2 }{4b^2-r^2}.
}$.
On voit que la courbe (r\'eelle) est d\'ecrite quand
$ 4b^2-(a+c)^2 \leqslant r^2 \leqslant 4b^2 -(a-c)^2$. Un examen de
la d\'eriv\'ee de $y$ montre l'existence de minima de $y$ en $x\neq 0$
si $(a+c)^3 < 4b^2c$.
Cf. \href{cheblink.m}
  {\texttt{cheblink.m}}

%\begin{verbatim}
%% cheblink.m :  4 barres de Tchebycheff
%a=1;b=1.4;c=0.5;
%miny2=4*b^2 -(a+c)^2 ;  maxy2=4*b^2 -(a-c)^2 ;
%miny=sqrt(miny2);maxy=sqrt(maxy2);[miny,maxy]
%pas=(maxy2-miny2)/10;
%r2=[miny2+pas:pas:maxy2-pas];aux=4*b^2 -r2; cp=(a^2+c^2-aux)/(2*a);
%x2=r2.*(c^2 -cp.*cp)./aux;
%y2=r2.*(cp-a).*(cp-a)./aux;
%x=sqrt(x2);y=sqrt(y2);
%[s1,s2]=size(x);
%fid=fopen('cheblfig.t','w');
%fprintf(fid,'%cpsset{unit=1cm}%cbegin{pspicture}(5,3)\n',92,92);
%fprintf(fid,'%cpscurve(2.5,%f)',92,miny);
%for i=1:9;fprintf(fid,'(%f,%f)',2.5+x(i),y(i));end;
%fprintf(fid,'\n%cpscurve(2.5,%f)',92,miny);
%for i=1:9;fprintf(fid,'(%f,%f)',2.5-x(i),y(i));end;
%% minimum y
%yminm=min(y)
%fprintf(fid,'\n%cpsline[linestyle=dashed,dash=0.3 0.3](0,%f)(5,%f)',92,(yminm+miny)/2,(yminm+miny)/2);
%% une configuration
%ic=3
%cs=x(ic)*(cp(ic)-a)/y(ic)
%xa=x(ic)-cp(ic);ya=y(ic)+cs;xb=x(ic)+cp(ic);yb=y(ic)-cs;
%fprintf(fid,'\n%cpsline(%f,0)(%f,%f)(%f,%f)(%f,0)(%f,0)', ...
%                      92,2.5-a,2.5+xa,ya,2.5+xb,yb,2.5+a,2.5-a);
%fprintf(fid,'\n%cend{pspicture}',92);
%fclose(fid);
%\end{verbatim}

\smallskip    \enlargethispage{25pt}
\parpic{
%  \epsfxsize=160bp \epsfbox[0 0 160 150]{darnoldc.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=0.9]{darnoldc.ps}
}
P.L.~Tchebycheff (un peu plus \^ag\'e)     \\
\href{http://www.math.psu.edu/dna/interpolation/interpolation.html}
{\texttt{http://www.math.psu.edu/dna/interpolation/interpolation.html}}  \\
\\
Clenshaw (\cite[p.~17]{Clen}) fait une revue de quelques orthographes
occidentales (alphabet latin) du nom de notre h\'eros, les principales
sont:   \\
\begin{tabular}{rccccccc}
                  & {\russ Q} & {\russ E} & {\russ B} & {\russ Y} & {\russ X}
                                                  & {\russ E} & {\russ V} \\
  International & \v C & E & B & Y & \v S & E & V \\
  Fran\c cais  & TCH   & E & B & Y & CH   & E & FF \\
   Anglais     &  CH   & E & B & Y & SH   & E & V \\
 Allemand      & TSCH  & E & B & Y & SCH  & E & FF
\end{tabular}      \\
On lira aussi P.~Butzer, F.~Jongmans: P.L.~Chebyshev (1821--1894), a
guide to his life and work,  \textsl{J.\ Approx.
Theory}, \textbf{96} (1999) 111-138; N.I.~Akhiezer: Function theory according to Chebyshev,
pp.~1-81 {\it in} A.N.~Kolmogorov, A.P.~Yushkevich (ed.): \textsl{
 Mathematics of the 19${}^{\text{th}}$ Century}, vol.~3, Birkh\"auser,
1998,
V.L.~Goncharov, The theory of best approximations of functions,
 \textsl{J. Approx. Theory}  \textbf{106} (2000) 2-57; comments
 by V.M.~Tikhomirov, \textit{ibid.} 58-65.

\medskip

\href{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Chebyshev.html}
{\texttt{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Chebyshev.html}}
\\
History of Approximation Theory:
%\href{http://www.math.technion.ac.il/hat/}{\texttt{http://www.math.technion.ac.il/hat/}}
\href{https://history-of-approximation-theory.com/}{\texttt{https://history-of-approximation-theory.com/}}

\smallskip


 \begin{center}\rule{222pt}{0.2mm}\end{center}

\smallskip

\parpic{
%  \epsfxsize=160bp \epsfbox[0 0 160 150]{dlvp1.ps}   \label{photodlvp}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{dlvp1.ps}  \label{photodlvp}
}
  C.J. de La Vall\'ee Poussin,
 photo extraite de Butzer \& Korevaar, (voir plus loin),
      aimablement num\'eris\'ee par MM. Guy Buchet et
      Pierre Bulens. \\
 \rule{50pt}{0.2mm}  \\
 \  \\
\index{de La Vall\'ee Poussin}
Charles-Jean Etienne Gustave Nicolas, baron
 de La Vall\'ee-Poussin (Louvain, 14 ao\^ut 1866-- Boitsfort, 2 mars 1962),
 professeur
\`a l'universit\'e de Louvain, devint brusquement c\'el\`ebre en 1896 par une
preuve de la conjecture de Gauss relative au nombre $\pi(x)$ de nombres premiers
$\leqslant x$:       \index{premiers, nombres}
 $\displaystyle{\lim_{x\to\infty} \frac{\pi(x)}{x/\ln x} =1}$
\footnote{Une
autre d\'emonstration fut donn\'ee ind\'ependamment la m\^eme ann\'ee par
Hadamard (1865-- 1963 : les nombres premiers conservent).}.
De plus, de La
Vall\'ee-Poussin confirma une autre intuition de Gauss, l'importance de la
primitive de l'inverse du logarithme en cette mati\`ere:    \\
$\displaystyle{\left|\pi(x) -\int_2^x \frac{dt}{\ln t}\right| \leqslant
 \text{constante } \cdot x \cdot \exp(-\text{constante }\sqrt{\ln x})}$.
Riemann
 avait d\'ej\`a pouss\'e fort loin l'\'etude de la
r\'epartition des nombres premiers en exploitant l'identit\'e sur
la fonction zeta       \index{zeta, fonction- de Riemann}
$$\log \zeta(s) = \log \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s}
               = -\sum_{p \ \text{premier}} \log\left(1-\frac{1}{p^s}
                     \right)
               = \sum_{p \ \text{premier}} \left(\frac{1}{p^s}
                                                 +\frac{1}{2p^{2s}}
                                                 +\frac{1}{3p^{3s}}
                                                +\dotsb
                                             \right)
$$
(voir p.~\pageref{zetapro} pour le prolongement analytique de
$\zeta(s)$ \`a Re$\,s \leqslant 1$).   D\`es lors,
$\displaystyle{\frac{ \log \zeta(s)}{s} = \mathscr{M}\pi(-s)
                             +\mathscr{M}\pi(-2s) }$ \\
$\displaystyle{              +\mathscr{M}\pi(-3s)
                             +\mathscr{M}\pi(-4s)
                              +\dotsb
}$,
o\`u $\mathscr{M}$ est la transform\'ee de Mellin
 $\mathscr{M}f(t) := \displaystyle{\int_0^\infty f(x) x^{t-1}\,dx }$,
(remarquons que $\mathscr{M}f(kt)$ est la transform\'ee de Mellin
de $k^{-1}f(x^{1/k})$\dots),
ou encore
$\displaystyle{
 \mathscr{M}\pi(-s) =  \frac{\log\zeta(s)}{s}
                      -\frac{\log\zeta(2s)}{2s}
                      -\frac{\log\zeta(3s)}{3s}  }$ \\
 $\displaystyle{      -\frac{\log\zeta(5s)}{5s}
                      +\frac{\log\zeta(6s)}{6s}
                      +\dotsb
}$
En manipulant des formules d'inversion de la transform\'ee de Mellin,
Riemann arriva \`a
$\displaystyle{\pi(x) \sim R(x) -\frac{R(x^{1/2})}{2}
                                -\frac{R(x^{1/3})}{3}
                                -\frac{R(x^{1/5})}{5}
                                +\frac{R(x^{1/6})}{6} +\dotsb }$,
avec
$\displaystyle{
 R(x)= \int_2^x \frac{dt}{\ln t}
      -\sum_{k=1}^\infty \int_2^{x^{\rho_k}} \frac{dt}{\ln t},
}$
o\`u les $\rho_k$ sont les z\'eros non r\'eels de la fonction
 $\zeta$\footnote{D.~Zagier, The first 50 million prime numbers,
  \textsl{The Math. Intelligencer} \textbf{0} (1977) 7-19;
W.~Schwarz, {\it op. cit.}}.de La Vall\'ee Poussin et Hadamard
 furent les premiers (c'est le mot)
\`a montrer rigoureusement que la contribution de ces z\'eros est
n\'egligeable dans le comportement asymptotique de $R(x)$ quand $x\to\infty$.
Riemann se proposait de montrer que tous ces z\'eros ont une partie
r\'eelle \'egale \`a 1/2, mais la preuve n'est toujours pas connue
(on cherche\dots)
Cf.
 The encoding of the prime distribution by the zeta zeros
          (elegant approach)
 \href{http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/encoding2.htm}
 {\texttt{http://www.maths.ex.ac.uk/\~{}mwatkins/zeta/encoding2.htm}}

\medskip

de La Vall\'ee Poussin r\'edigea de nombreux m\'emoires [dLVP2] et livres
sur les relations entre sommes partielles de Fourier (ou de Tchebycheff) et
meilleures approximations\footnote{J.~Favard, Hommage \`a Charles de La
Vall\'ee Poussin (1866--1962), pp.~1--3 \emph{in} P.L.~Butzer \&
J.~Korevaar (\'editeurs): \textsl{On Approximation Theory-- \"Uber
Approximationstheorie}, Birkh\"auser (ISNM \textbf{5}), 1964,1972.
Voir aussi:
    J.C.~Burkhill, Vall\'ee Poussin, \textsl{J. London Math. Soc.}
     \textbf{39} (1964),   165-175.
     P.L.~Butzer and R.J.~Nessel, Aspects of de La Vall\'ee Poussin's Work
       in Approximation and its Influence, \textsl{Archive for History of Exact
       Science} \textbf{46} (1993-94), 67-95;
  \href{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Vallee_Poussin.html}
  {\texttt{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Vallee\_Poussin.html}};
    J.~Mawhin, Charles-Jean de La Vall\'ee Poussin, \textsl{
     Disquisitiones Mathematic\ae} \textbf{1}, n${}^\circ$~1 (1998),  2-4, \\
   \href{http://gauss.math.ucl.ac.be/PagesMath/Bienvenue/de_la_vallee_Bio.html}
   {\texttt{http://gauss.math.ucl.ac.be/PagesMath/Bienvenue/de\_la\_vallee\_Bio.html}}
}, ainsi que sur des questions fondamentales de
th\'eorie des fonctions, de la mesure et du potentiel. Nul doute que ces
derniers travaux furent inspir\'es par les premiers.

\smallskip

\parpic{
\renewcommand{\arraystretch}{0.8}
\begin{tabular}{c|c}
  $n$  &   $n\|\ |x|-\hat{p}_n(x)\|_\infty$    \\   \hline
  2  &  0.25000 00000 00000 00000 \\
  4  &  0.27048 35971 11137 10107 \\
  6  &  0.27557 43724 01175 38604 \\
  8  &  0.27751 78246 75052 69646 \\
 10  &  0.27845 11855 35508 60152 \\
 20  &  0.27973 24337 71973 82968 \\
 30  &  0.27997 46066 86407 49231  \\
  40 &  0.28005 97447 60423 15265 \\
  50 &  0.28009 92184 52382 83558 \\
 100 &  0.28015 19162 35465 27355
\end{tabular}
}
Dans un article d\'elicieusement intitul\'e ``Sur les polyn\^omes
 d'ap\-pro\-xi\-ma\-tion
et la repr\'esentation approch\'ee d'un angle'' (\textsl{Bull.\ Acad.\ Roy.\ Belg.}
\textbf{12} (1910) 808--844 = [dLVP2] VI 155--191), notre auteur explore la
meilleure approximation polynomiale de degr\'e $n$ de $|x|$ sur $[-1,1]$. Il
obtient l'encadrement $ \dfrac{A}{n} \leqslant E_n(|x|) \leqslant \dfrac{B}{n}$,
la borne inf\'erieure \'etant la plus difficile \`a \'etablir (c'est l\`a que
de La Vall\'ee Poussin introduit son th\'eor\`eme (\S~\ref{valp}, p.~\pageref{valp})).
Plus tard, S.~Bernstein (``Sur la meilleure approximation de $|x|$ par des
polyn\^omes de degr\'es donn\'es'', \textsl{Acta Math.} \textbf{37} (1914)
1--57) put \'etablir l'existence de la limite $\displaystyle{C= \lim_{n\to\infty}
n E_n(|x|)}$, limite dont la valeur est encore aujourd'hui une \'enigme
(cf. chap.~1 de R.S.~Varga, \textsl{Scientific Computation on Mathematical
Problems and Conjectures}, SIAM (CBMS-NSF \textbf{60}), 1990; M.I.
Ganzburg, The Bernstein constant and polynomial interpolation at
the Chebyshev nodes, \textsl{J. Approx. Th.} \textbf{119} (2002) 193-213;
 aussi l'article de Lubinsky cit\'e en p.~\pageref{BerLub}), et
On the Bernstein Constants of
Polynomial Approximation, par le m\^eme, dans 
\textsl{Constr. Approx}. (2007) {\bf 25}: 303--366
\ldots



     (cf. \href{constants.txt}
     {\texttt{constants.txt}})

        URL: \href{http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/I_d.html}
           {\texttt{http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/I\_d.html}}

\begin{verbatim}

                            BASE TABLE OF CONSTANTS

   By Simon Plouffe ,  CECM, Centre for Experimental \& Constructive Mathematics    \\
   Simon Fraser University ,    Last update : Feb 6, 1996.
...
      Constants associated with the Approximation of Functions
     * Wilbraham-Gibbs constant        * Lebesgue constants
     * Favard constants                * Bernstein's constant
     * The "one-ninth" constant

     The Berstein Constant.

     0.28016949902386913303643649123067200004248213981236
\end{verbatim}

URL=\href{http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/dataB/isc/C/bernstein.txt}
   {\texttt{http://www.cecm.sfu.ca/projects/ISC/dataB/isc/C/bernstein.txt}}



%\begin{verbatim}
%  tchebgr.m
%np=300;n=20;
%np2=floor(np/2);np=2*np2+1;b=4/(np-1)^3;a=3/(np-1);
%for i=1:np;j=i-1-np2;x(i)= j*(a-b*j^2);end;
%t(1,:)=ones(1,np);t(2,:)=x;
%for i=2:n; t(i+1,:)= 2*x .* t(i,:) -t(i-1,:);end;
%axis([-1,1,-1,1]);plot(x,t);
%meta tchebgrg;
% faire gpp tchebgrg.met -dps     pour generer le postscript
%\end{verbatim}


\smallskip

Professeur pendant de nombreuses d\'ecennies \`a l'universit\'e, il y
exposa son cours d'analyse, un classique,
\href{http://www.archive.org/details/danalyseinfinitesi01pousrich}{\texttt{http://www.archive.org/details/danalyseinfinitesi01pousrich}}
 \`a en juger par les nombreuses
biblioth\`eques d'unit\'e qui le conservent pr\'ecieusement:

\smallskip
\parpic{
{\tt \begin{tabular}{l}
\noindent Getting \href{http://www.bib.ucl.ac.be}
            {\texttt{http://www.bib.ucl.ac.be}}  \\
\ \\ \  Libellule.  \\
\ \\  Catalogue  \\
\ \\      \qquad contenu
\  \\      \qquad  Acc\`es au catalogue
\end{tabular}
} % end tt
}
\renewcommand{\arraystretch}{0.8}
\hspace*{-5pt}
\begin{tabular}{>{\noindent\Small\tt }l>{\Small\tt }l}
      Resultats du balayage &  Nombre de Resultats  \\
      De La Vallee Poussin & 1                       \\
      De La Vallee Poussin, C &  3                   \\
      De La Vallee Poussin, Catherine & 2            \\
      De La Vallee Poussin, Ch.I & 2                 \\
De La Vallee Poussin, Ch.-J  & 9                     \\
De La Vallee Poussin, Ch.J & 25                      \\
De La Vallee Poussin, Charles & 2                    \\
De La Vallee Poussin, Charles J&  2                  \\
de la Vallee Poussin, Charles Jean & 10              \\
De La Vallee Poussin, Dominique &  1                 \\
De La Vallee Poussin,Et & 1                          \\
...  &
\end{tabular}


 ...


 \picskip{1}  %arret de parpic


                     \renewcommand{\arraystretch}{0.8}
\hspace*{-25pt}
\begin{tabular}{>{\noindent\Small\tt }l>{\Small\tt }l>{\noindent\Small\tt }l}
          & DE LA VALLEE POUSSIN, CH.J.  &     \\
B010075U  & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE  1 & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1903.--   386       \\
B010076N  & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE  2 & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1906.--   456       \\
B010073H  & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 1. 2e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1909.--   423             \\
...       &                        &     \\
%B301427R  & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 1. 2e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1909.--   424        \\
%B010074B  & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 2. 2e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1912.--   473  \\
%B300172B  & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 1. 3e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST-DIEUDONNE, 1914.--   454  \\
%A306071R  & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE-  & LOUVAIN: A.UYSTPRUYST-DIEUDONNE, 1921.--   434  \\
%          & MANIFESTATION EN L'HONNEUR DE   & \\
%          &  CH.J. DE LA VALLEE POUSSIN  . 4e \'ed.                  & \\
%A306072K01& COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 4e \'ed. & LOUVAIN: A.UYSTPRUYST-DIEUDONNE, 1922.--   490    \\
%          &                   vol.:TOME 2  &    \\
%U1PCES0885& COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 4e \'ed.  & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1922.--   494  \\
U3LABL1270& COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE  & PARIS: GAUTHIER-VILLARS, 1926.--   436      \\
%B010079T &  COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 2. 6e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1928.--   535   \\
%BC 0410 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 7e ED.& LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1937.--  X, 524 P. \\
%        &    \qquad\qquad\qquad vol.:2 &    \\
%B010077G & DE LA VALLEE POUSSIN, CH.J.; &   \\
          & SIMONART, FERNAND, collab.   &   \\
%  &   COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 1. 8e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1938.--   469   \\
%U3LABL1269 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE  &  LOUVAIN: LIBRAIRIE UNIVERSITAIRE, 1938.--   524  \\
%U3LABL1271 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE  & PARIS: GAUTHIER-VILLARS, 1937.--   524  \\
%B310050C & Cours d'analyse infinit\'esimale / 9e \'ed. &  Louvain: Librairie universitaire , 1943.--  VII, 472 p.  \\
%         &  \qquad    vol.:T. 1   &   \\
U1PCES0883 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 10e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1947.--   481  \\
%A306005R  &  COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 1. 10e \'ed. & LOUVAIN: LIBRAIRIE UNIVERSITAIRE, 1947.--   488  \\
U3ELHY0291 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 10e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1947.--   489  \\
%A306006K & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 2. 8e \'ed.  & LOUVAIN: LIBRAIRIE UNIVERSITAIRE, 1949.--   556 \\
U3ELHY0292 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 8e \'ed.  & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1949.--   556 \\
U3FORT0551 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 8e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1949.--   556 \\
U3FORT0550 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 11e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1954.--   492 \\
%B010080R  & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 2. 9e \'ed.& LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1957.--   560 \\
U1PCES0864 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 9e \'ed. & LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1957.--   560  \\
U3PHYS0346 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 9e \'ed.& LOUVAIN: LIBR.UNIVERSITAIRE, 1957.--   560 \\
%B010078A & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE 1. 12e \'ed. & LOUVAIN: LIBRAIRIE UNIVERSITAIRE, 1959.--   492 \\
U1PCES0884 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 12e \'ed. & LOUVAIN: LIBRAIRIE UNIVERSITAIRE, 1959.--   492 \\
U3PHYS0345 & COURS D'ANALYSE INFINITESIMALE. 12e \'ed. & LOUVAIN: LIBR.UNIVERSITAIRE, 1959.--   490

\end{tabular}

\begin{center}
 Le cours d'analyse de La Vall\'ee Poussin \`a l'UCL \label{tableval}
\end{center}


                     \renewcommand{\arraystretch}{0.8}
\hspace*{-25pt}
\begin{tabular}{>{\noindent\Small\tt }l>{\Small\tt }l>{\noindent\Small\tt }l}
B301430B &
  ETUDE DES INTEGRALES A LIMITES INFINIES POUR   &   \\
  & LESQUELLES LA FONCTION SOUS LE SIGNE EST CONTINUE
&BRUXELLES: F.HAYEZ, 1892.--    33  \\
B301187Q  &
   RECHERCHES ANALYTIQUES SUR LA THEORIE DES NOMBRES  & \\
 &   PREMIERS    &BRUXELLES: HAYEZ, 1896  \\
B301431U  &
      SUR L'APPROXIMATION DES FONCTIONS D'UNE VARIABLE& \\
  &    REELLE ET DE LEURS DERIVEES PAR DES POLYNOMES  & \\
 &  ET DES SUITES LIMITEES DE FOURIER
&BRUXELLES: HAYEZ, 1908.--    64  \\
B304173A &
      INTEGRALES DE LEBESGUE/FONCTIONS D'ENSEMBLE  & \\
  &      /CLASSES DE BAIRE   &PARIS: GAUTHIER-VILLARS, 1916.--   162  \\
... &   &  \\
%A306624X &
%  LECONS SUR L'APPROXIMATION DES FONCTIONS D'UNE & \\
% &  VARIABLE REELLE
%& PARIS: GAUTHIER-VILLARS, 1919.--   154  \\
B010788X &
 LECONS DE MECANIQUE ANALYTIQUE.vol.:VECTEURS/ & \\
      & CINEMATIQUE/DYNAMIQUE DU POINT/STATIQUE   &
LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1924.--   288   \\
%U1PCES0865 &
%   LECONS DE MECANIQUE ANALYTIQUE.vol.:T.01
%& LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1924.--   281  \\
%U1PCES0867  &
%      COURS DE MECANIQUE ANALYTIQUE
%&S.l.: s.n., 1924.--    81    \\
B010789R  &
  LECONS DE MECANIQUE ANALYTIQUE.vol.: DYNAMIQUE &  \\
  &   DES SYSTEMES/DYNAMIQUE DU CORPS SOLIDE/EQUATIONS &  \\
  &  DE LA MECANIQUE/MECANIQUE DES FLUIDES &LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1925.--   326   \\
%B012230K  &
%  LECONS DE MECANIQUE ANALYTIQUE: TOME 1 \& 2
%& LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1925.--   614  \\
%B012237P &
%      LECONS DE MECANIQUE ANALYTIQUE
%&LOUVAIN: LIBRAIRIE UNIVERSITAIRE, 1925.--   326
%\\
U1PCES0866  &
      LECONS DE MECANIQUE ANALYTIQUE.vol.:T.02
& LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1925.--   315  \\
% A330118M  &
%   LECONS DE MECANIQUE ANALYTIQUE. 2e d..vol.:  &  \\
%&   VECTEURS/CINEMATIQUE/DYNAMIQUE DU POINT/STATIQUE
%& LOUVAIN: UYSTPRUYST, 1932.--   302   \\
%A306625R  &  INTEGRALES DE LEBESGUE. FONCTIONS  & \\
%B800719X&   D'ENSEMBLE/CLASSE DE BAIRE. 2e d.
%& PARIS: GAUTHIER-VILLARS, 1934.--   205   \\
%A306072K02&
% LES NOUVELLES METHODES DE LA THEORIE DU POTENTIEL  &  \\
%  &   ET LE PROBLEME GENERALISE DE DIRICHLET &
%PARIS: HERMANN, 1937.--   47 \\
A306927P &
  LES NOUVELLES METHODES DE LA THEORIE DU POTENTIEL &
PARIS: HERMANN, 1937.--    46  \\
A306721E &
  LE POTENTIEL LOGARITHMIQUE. BALAYAGE  &  \\
  &   ET REPRESENTATION CONFORME
&LOUVAIN: UYSTRUYST, 1949.--   464


\end{tabular}

\vspace*{-5pt} \enlargethispage{44pt}

\begin{center}
 Autres ouvrages de La Vall\'ee Poussin \`a l'UCL \label{tableval2}
\end{center}

\vspace*{99pt}
% \epsfxsize=160bp \epsfbox[0 0 160 150]{valp2.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{valp2.ps}

   C.J. de La Vall\'ee Poussin  \\

\   \




(un peu plus jeune)


{\Small
\noindent
\href{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Vallee_Poussin.html}
{\texttt{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Vallee\_Poussin.html}}
}

}   % end Small depuis approx rationnelle

\newpage

\input{m2171l2}
