% m2171l2.tex





\def\rondsur{\mathaccent"7017 }
%\def\Phi{{}^1\kern-.15em\Phi}

\chapter{Approximation en moyenne quadratique.}
\renewcommand{\mylmark}{Approximation en moyenne quadratique}
\thispagestyle{fancy}

%\bigskip

%\textbf{\Large Polyn\^omes orthogonaux, moindres carr\'es, s\'eries de Fourier.}

\bigskip

\section{Produit scalaire, orthogonalit\'e, espace pr\'ehilbertien.}



\bigskip


On a vu que les polyn\^omes de Tchebycheff permettent d'exprimer une
bonne approximation de $f$ dans $\mathscr{P}_n$ par une formule explicite
$$ f(x) \approx S_n(x) := \sideset{}{'}\sum_{k=0}^{k=n} c_k(f) T_k(x)\;,
\quad
 \text{ avec } c_k(f)=\dfrac2\pi\int_{-1}^1 f(x)\;T_k(x)\dfrac{dx}{\sqrt{
                                                      1-x^2}}\;\ ,
                                                      k=0,1,\ldots
$$
cette \'ecriture du coefficient $c_k$ d\'ecoulant de \emph{la
propri\'et\'e d'\textbf{orthogonalit\'e\/}}
 $$  \int_{-1}^1 T_i(x)\;T_j(x)\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}\;=0,\ \
    i\ne j.$$


\subsection{Produits scalaires sur $\mathscr{P}_n$}  {\ } \\
On se propose maintenant d'examiner d'autres possibilit\'es d'orthogonalit\'e,
c'est-\`a-dire diff\'erentes formules de \emph{produit scalaires sur des
espaces de fonctions.} Soit $w$ une fonction positive ($\geqslant 0$)
et int\'egrable sur un
intervalle $(a,b)$ de $\overline{\mathbb{R}}$ ($-\infty\leqslant a<b\leqslant +\infty$) avec
$\int_a^b w(x)dx >0$ (fonction  \textbf{densit\'e} ou \textbf{poids}).
De plus, si $a$ et$/$ou $b$ est infini, on demandera
$\int_a^b x^{2n}\,w(x)\,du <\infty$.    \index{produit scalaire}
Montrons alors que
\begin{equation} \label{prodscalfw}
    (f,g) := \int_a^b f(x) g(x)\, w(x)\, dx
\end{equation}
est un produit scalaire sur $\mathscr{P}_n$:

\medskip

\noindent\textbf{Rappel. Produit scalaire}
%\footnote{M.\ Willem, \textsl{Analyse harmonique r\'eelle},
%    Hermann, Paris, 1995,  p.~ 67.}. \\

  \begin{itemize}   \item
  Un produit scalaire sur un espace vectoriel $X$ d\'efini sur $\mathbb{R}$ est une
  forme bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie positive:
  \begin{equation*}\begin{split}    \index{definie positive}
     \forall f,g,h\in X, \forall \alpha,\beta \in \mathbb{R},\quad  &
       (\alpha f+\beta g,h)=\alpha(f,h)+\beta(g,h),\\
     \forall f,g \in X, & \quad (g,f)=(f,g), \\
      \forall f\in X, & f\ne 0 \Rightarrow (f,f)>0.
  \end{split}\end{equation*}   \item
  Un produit scalaire sur un espace vectoriel $X$ d\'efini sur $\mathbb{C}$ est une
  forme sesquilin\'eaire hermitienne d\'efinie positive:
  \begin{equation*}\begin{split}
     \forall f,g,h\in X, \forall \alpha,\beta \in \mathbb{C},\quad  &
       (\alpha f+\beta g,h)=\alpha(f,h)+\beta(g,h),\\
     \forall f,g \in X, & \quad (g,f)=\overline{(f,g)}, \\
      \forall f\in X, & f\neq 0 \Rightarrow (f,f)>0.
  \end{split}\end{equation*}  \item
   In\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz:
   $$ |(f,g)| \leqslant [(f,f)(g,g)]^{1/2},$$
   l'\'egalit\'e n'ayant lieu que si $f$ et $g$ sont d\'ependants
   ($f=0$ ou $g=Cf$, $C$ scalaire).  \item
   $\|f\|=(f,f)^{1/2}$ est une norme sur $X$.
  \end{itemize}

\smallskip

Bien entendu, deux \'el\'ements de $X$ sont \emph{\textbf{orthogonaux}}
entre eux si $(f,g)=0$.     \index{orthogonal, orthogonaux}

\smallskip

\noindent
On v\'erifie que \eqref{prodscalfw} convient effectivement \`a $\mathscr{P}_n$:\\
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Existence de l'int\'egrale. \label{existint} $w$ \'etant int\'egrable et $f$
continue, le probl\`eme ne se pose que si $a$ et$/$ou $b$ est infini.
$f$ et $g$ \'etant des polyn\^omes de degr\'es $\leqslant n$, \eqref{prodscalfw} se
distribue en int\'egrales de mon\^omes $\int_a^b x^m w(x)dx$,
(\emph{moments} de $w$), $0\le m\leqslant 2n$. Soit $a_0<-1$ (\`a
consid\'erer si $a=-\infty$) et
                                               $b_0>1$ (\`a
consid\'erer si $b=+\infty$). On a $\int_a^b=\int_a^{a_0}+
\int_{a_0}^{b_0}+\int_{b_0}^b$. Les int\'egrales sur $(a,a_0)$ et
$(b_0,b)$ de $|x^m|w(x)$ sont major\'ees par les int\'egrales
de $x^{2n}w(x)$, qui existent par hypoth\`ese.
 \setcounter{enumi}{1}
\item  Caract\`ere d\'efini positif.
 Si $f$ est un polyn\^ome
non nul, il ne s'annule qu'en un nombre fini de points, on peut retirer
du support $\mathcal{S}$
de $w$ (points $x$ tels que $\int_{x-\varepsilon}^{x+\varepsilon}
w(t)dt>0, \forall \varepsilon>0$) un ensemble $\mathcal{S}_\eta$ de mesure
suffisamment petite pour que $\int_{\mathcal{S}\setminus \mathcal{S}_\eta}
w(t)dt$ soit encore strictement positive, et tel que $f^2$ soit
$\ge\delta>0$ sur
$\mathcal{S}\setminus \mathcal{S}_\eta$:\\
$\int_a^b f^2(t)w(t)dt = \int_{\mathcal{S}} f^2(t)w(t)dt \geqslant
 \int_{\mathcal{S}\setminus \mathcal{S}_\eta} f^2(t)w(t)dt \geqslant
 \delta^2 \int_{\mathcal{S}\setminus \mathcal{S}_\eta} w(t)dt >0$. \qed
\end{enumerate}

\medskip

Si $f$ et $g$ sont susceptibles de prendre des valeurs \emph{complexes},
il faut \'etendre \eqref{prodscalfw} \`a
\begin{equation}
 (f,g)  = \int_a^b f(x) {\overline{ g(x)}}\, w(x)\, dx\;. \tag{\ref{prodscalfw}$'$}
\end{equation}
On peut aussi \'etudier une formule de produit scalaire directement
inspir\'ee du produit scalaire usuel sur $\mathbb{R}^N$: soit
$x_1<x_2< \dotsb <x_N$ des points fix\'es de $[a,b]$, alors
\begin{equation} \label{prodscalfd}
    (f,g) = \sum_{m=1}^{m=N} f(x_m) g(x_m)
\end{equation}
est un produit scalaire (\emph{produit scalaire discret}) parfaitement
admissible, que l'on a donc simplement construit avec les vecteurs
$(f(x_1),\ldots,f(x_N))$ et
$(g(x_1),\ldots,g(x_N))$ de $\mathbb{R}^N$! Notons quand m\^eme que
\eqref{prodscalfd} n'est
d\'efini positif que sur un espace vectoriel suffisamment petit pour
ne pas contenir de fonction $\not\equiv 0$ s'annulant en chaque
$x_m$: \eqref{prodscalfd} est d\'efini positif sur $\mathscr{P}_{N-1}$ mais pas sur
$\mathscr{P}_N$, o\`u on a $(f,f)=0$ avec
$f(x)=(x-x_1)\ldots (x-x_N) \not\equiv 0$. Des produits scalaires discrets
de type \eqref{prodscalfd} interviendront dans des
\emph{probl\`emes de moindres carr\'es}.
Si on se donne $w_1, w_2,\ldots, w_N >0$, on peut d\'efinir la somme
pond\'er\'ee
\begin{equation} \label{prodscalfdw}
    (f,g) = \sum_{m=1}^{m=N} w_m\,f(x_m) g(x_m)
\end{equation}
qui est encore un produit scalaire tr\`es utile.

La forme \eqref{prodscalfdw} commence \`a ressembler \`a
\eqref{prodscalfw}! L'int\'egrale \eqref{prodscalfw} prise
au sens de Riemann est effectivement une limite de sommes de type \eqref{prodscalfdw}
lorsque les $x_k$ se rapprochent ind\'efiniment.

\smallskip

La d\'efinition d'int\'egrale suivante permettra d'incorporer \`a la
fois des int\'egrales et des sommes dans un produit scalaire:

\smallskip

\textbf{D\'efinition.} \emph{Soit $\mu$ une fonction r\'eelle born\'ee
sur $[a,b]$ et $f$ une fonction d\'efinie sur $[a,b]$. On appelle
\textbf{int\'egrale de Riemann-Stieltjes}
$$ \int_a^b f(x)d\mu(x) := \lim_{\max|x_m-x_{m-1}|\to 0}
          \sum_{m=1}^{m=M} f(x_m')[\mu(x_m)-\mu(x_{m-1})] $$
si cette limite, prise sur les d\'ecoupages
$a=x_0<x_1<\cdots <x_M=b$, $x_{m-1}\le x_m'\le x_m$, existe.}

\smallskip

\noindent
On d\'emontre%
\footnote{P.\ Henrici, \textsl{Applied and Computational
  Complex Analysis\/}, II, Wiley, 1977, p.570. Il suffit de
 consid\'erer
  $\sup \sum_m f_m [\mu(x_m) -\mu(x_{m-1})]$ et
  $\inf \sum_m F_m [\mu(x_m) -\mu(x_{m-1})]$, o\`u $f_m$ et $F_m$
  sont les valeurs minimales et maximales de $f$ sur $[x_{m-1}, x_m]$.}
que $\int_a^b f\;d\mu$ existe si $a$ at $b$ sont finis, $f$ continue,
et $\mu$
 \textbf{croissante}%
\footnote{Interpr\'etation probabiliste: si $\mu(a)=0$ et
$\mu(b)=1$, on peut
  consid\'erer $\mu$ comme une \emph{fonction de r\'epartition}.}
(pas n\'ecessairement strictement croissante).
Si $a$ et$/$ou $b$ est infini, on \'etudie la$/$les limites
quand $a\to -\infty$ et$/$ou $b\to +\infty$. On voit donc que
\begin{equation} \label{prodscalfmu}
    (f,g) = \int_a^b f(x)g(x)\,d\mu(x)
\end{equation}
est un produit scalaire g\'en\'eralisant \eqref{prodscalfw} et
\eqref{prodscalfdw} sur $\mathscr{P}_n$,
pourvu que $\int_a^b x^{2n}d\mu(x)<\infty$, et que la fonction croissante
$\mu$ poss\`ede au moins $n+1$ points de croissance (points $x$ tels que
$\mu(x+\varepsilon)-\mu(x-\varepsilon)>0, \forall\varepsilon>0$).

Cette derni\`ere pr\'ecaution doit en effet \^etre prise au cas o\`u
$\mu$ est une fonction en escalier, \eqref{prodscalfmu} donnant alors
\eqref{prodscalfdw}, les ``marches''
de hauteurs $w_m$ de la fonction \'etant situ\'ees aux points $x_m$.
Au contraire,
si $\mu$ est (croissante) et \emph{d\'erivable} sur $(a,b)$, \eqref{prodscalfmu} donne
\eqref{prodscalfw} avec $w=\mu'$.

\smallskip

{\Small
En fait, on retrouve \eqref{prodscalfw}
 d\`es que $\mu$ est \emph{absolument continue}.  \index{absolument continue, fonction}
Une fonction $\mu$ est absolument continue sur $(a,b)$ si, $\forall\epsilon>0$,
$\exists \delta>0$: pour toute r\'eunion  $R=\bigcup[x_m,y_m] \subseteq (a,b)$
de longueur $\sum(y_m-x_m)\leqslant\delta$, on a
$\sum|\mu(y_m)- \mu(x_m)|\leqslant \epsilon$. Pour une fonction $\mu$
croissante, notons
$\mu(R)=\sum(\mu(y_m)- \mu(x_m))$. On a alors longueur de $R\to 0
\Rightarrow \mu(R)\to 0$ si $\mu$ est absolument continue. Une fonction
absolument continue sur $(a,b)$ est toujours une primitive d'une
fonction int\'egrable sur $(a,b)$: $\exists \nu\in L^1(a,b):
 \mu(x)=\mu(a)+\int_a^x \nu(t)\,dt$.\\
On d\'emontre que toute fonction croissante est la somme d'une fonction
croissante absolument continue, d'une fonction en escalier (avec des
``marches'' \'eventuellement infiniment rapproch\'ees), et d'une fonction
croissante singuli\`erement continue\dots cf.\ par ex.\ Riesz \& Sz.Nagy,
\textsl{Le\c cons d'analyse fonctionnelle\/}, Gauthier-Villars,
$5^{\text{\`eme}}$ \'ed., 1968, \S~25. Dans le m\^eme ouvrage, d\'efinition de
l'int\'egrale de Lebesgue-Stieltjes aux \S\S~56--58.
}

\smallskip

Soit $w$ positive et int\'egrable sur un \textbf{domaine $D$ du plan
complexe}, un produit scalaire valable est alors
 $$ (f,g) = \int_D f(z) {\overline{g(z)}} w(z) dxdy\;,\qquad z=x+iy. $$

On peut aussi consid\'erer
 $$ (f,g) = \int_C f(z) {\overline{g(z)}} w(z) ds\;,\qquad ds=|dz| $$
sur une r\'eunion d'arcs et de contours (rectifiables) du plan
complexe.

\medskip
{\Small
 Le produit scalaire \textbf{le plus g\'en\'eral} sur $\mathbb{R}^N$ a la
 forme $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{My}$,
 o\`u $\boldsymbol{M}$ est une matrice carr\'ee d'ordre $N$, sym\'etrique
 d\'efinie positive (matrice de Gram, voir plus loin). La forme fonctionnelle
 correspondante est (pour des fonctions d\'efinies sur $A$)
 $(f,g)=\int_A\int_A K(x,y) f(x)g(y)\,dx\,dy$, avec
 $\forall f\in X, f\ne 0: \int_A\int_A K(x,y)f(x)f(y)\,dxdy > 0$, plus g\'en\'eralement:
 $(f,g)=\int_A\int_A f(x)g(y)\,d\nu(x,y)$, o\`u $\nu$ est une mesure
 sur $A\times A$ telle que $f\in X, f\ne 0\Rightarrow (f,f)>0$. On voit que \eqref{prodscalfw} et \eqref{prodscalfmu}
 ne sont que des cas tr\`es particuliers o\`u $\nu$ est concentr\'ee sur le
 lieu $x=y$. M\^eme en se limitant \`a $x=y$, on conna\^\i t encore des
 produits scalaires plus g\'en\'eraux que \eqref{prodscalfmu}: ce sont les
 \emph{produits scalaires de Sobolev} $(f,g)=\sum_{m=0}^M \int_A f^{(m)}(x)
 g^{(m)}(x)\,d\mu_m(x)$, tr\`es \'etudi\'es actuellement.

 \smallskip

 La sp\'ecificit\'e des produits scalaires de type \eqref{prodscalfmu} sera
 sp\'ecialement mise \`a contribution \`a partir du \S~\ref{subsecrecur},
 c'est-\`a-dire que la plupart des \'enonc\'es qui seront donn\'es \`a partir
 du \S~\ref{subsecrecur} ne seront valables que pour des produits scalaires
 de type $\int_A f(x)g(x)\,d\mu(x)$ et non pas pour des produits scalaires
 plus g\'en\'eraux $\int_A\int_A f(x)g(y)\,d\nu(x,y)$, ni m\^eme pour des
 produits scalaires de type Sobolev.
 }

\bigskip

\subsection{Espace pr\'ehilbertien\label{prehil}} \  \\    \index{prehilbertien, espace}

 \noindent \textbf{D\'efinition.}
        Un espace \emph{pr\'ehilbertien} est un espace vectoriel muni
   d'un produit scalaire $(.,.)$ et norm\'e\footnote{N.B. Certains auteurs,
   dont L.~Schwartz, Bourbaki, ou encore L.~Chambadal et J.L.~Ovaert dans leur
  article ``Hilbert (espace de)'' de l'\textsl{Encyclopedia
   Universalis} [1980], appellent pr\'ehilbertien un espace vectoriel
   muni d'une forme bilin\'eaire sym\'etrique \emph{\textbf{semi-}}d\'efinie
   positive, et donc susceptible de n'\^etre que semi-norm\'e. Il faut alors
   pr\'eciser ``pr\'ehilbertien s\'epar\'e'', ou ``euclidien'' (ou
   ``hermitien'' pour les espaces sur $\mathbb{C}$),
    pour retrouver la d\'efinition
    utilis\'ee ici. (Remarque communiqu\'ee par J.~Meinguet).} par
        $\|f\|=(f,f)^{1/2}$.\\
   In\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz: $(f,g)\leqslant \|f\|\,\|g\|$. \\
  Identit\'e du parall\'elogramme: $\|f+g\|^2 + \|f-g\|^2 =
    2(\|f\|^2 + \|g\|^2)$.




\section{Meilleure approximation dans un espace pr\'ehilbertien.}


\bigskip

Dans un espace muni d'un produit scalaire (pr\'ehilbertien), le
probl\`eme th\'eorique de la d\'etermination de meilleure approximation
est infiniment plus simple que dans un espace norm\'e g\'en\'eral:
on dispose maintenant d'une \'equerre en plus d'une r\`egle gradu\'ee!
\\
L'essentiel \`a retenir est que la d\'etermination de la meilleure
approximation dans un sous-espace vectoriel de dimension finie se
r\'eduit maintenant \`a la r\'esolution d'un syst\`eme d'\'equations
\emph{lin\'eaires}, et que ce syst\`eme est sp\'ecialement simple si
on dispose d'une base \emph{orthogonale} du sous-espace\dots

\subsection{Base d'un espace de dimension finie, matrice de Gram} \  \\


\smallskip

Consid\'erons donc un sous-espace $V$ de dimension finie d'un
espace pr\'ehilbertien $X$. Soit $\{\boldsymbol{b}_0,\dotsc,
\boldsymbol{b}_n\}$ une base de $V$ (donc choisi de dimension $n+1$).
Tout \'el\'ement de $V$ s'exprime donc comme une combinaison lin\'eaire
unique des \'el\'ements de la base choisie:
$$
  f = \sum_{k=0}^n c_k \boldsymbol{b}_k.
$$
La \textbf{matrice de Gram} de la base choisie  \index{Gram, matrice de} relie
les produits scalaires $(f,\boldsymbol{b}_j)$ aux coefficients $c_k$:
$$
  \begin{bmatrix}
         (f,\boldsymbol{b}_0) &   \cdots &
         (f,\boldsymbol{b}_n) \end{bmatrix} =
      \begin{bmatrix}   c_0 &  \cdots & c_n  \end{bmatrix}
            \boldsymbol{G}_{n+1} ,
$$
o\`u la matrice de Gram $\boldsymbol{G}_{n+1}$ est
 la matrice des produits scalaires $(\boldsymbol{b}_i,\boldsymbol{b}_j)$:
\begin{equation} \label{Grammat}
 %\hspace*{-15pt}
\boldsymbol{G}_{n+1} =
 \begin{bmatrix} (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_0) & \cdots &
                 (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_n) \\
           \cdots    & \cdots &  \cdots   \\
                 (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_0) & \cdots &
                 (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_n)
  \end{bmatrix} .
\end{equation}
Cette matrice est sym\'etrique (dans le cas d'un espace sur $\mathbb{R}$),
                  hermitienne (dans le cas d'un espace sur $\mathbb{C}$),
et \emph{\textbf{d\'efinie positive}}: \index{definie positive}

\noindent\textbf{Rappel. Matrice d\'efinie positive.}   \\
\begin{itemize}
 \item Une matrice carr\'ee $\boldsymbol{A}$ r\'eelle sym\'etrique ($a_{i,j}=
  a_{j,i}$) est \textbf{d\'efinie positive} si
  $$\forall\  \text{ vecteur\ r\'eel\ } \boldsymbol{v}\ne 0,\qquad
       \boldsymbol{v}^T\boldsymbol{Av} >0. $$
  \item Une matrice carr\'ee $\boldsymbol{A}$ complexe hermitienne  ($a_{i,j}=
  \overline{a_{j,i}}$) est \textbf{d\'efinie positive} si
  $$\forall\  \text{ vecteur\ complexe\ } \boldsymbol{v}\ne 0,\qquad
       \boldsymbol{v}^H\boldsymbol{Av} >0, $$
  ($\boldsymbol{v}^H$ d\'esigne le transpos\'e conjugu\'e de $\boldsymbol{v}$:
   $\boldsymbol{v}^H=\overline{\boldsymbol{v}^T}$).
  \item $\boldsymbol{A}$ est alors n\'ecessairement r\'eguli\`ere (inversible):
  si le d\'eterminant de $\boldsymbol{A}$ \'etait nul, il existerait un vecteur
  $\boldsymbol{v} \ne 0$ tel que $\boldsymbol{Av}=0$, donc
     $ \boldsymbol{v}^H\boldsymbol{Av} =0 $ impossible!
 \item On montre d'ailleurs que toutes les valeurs propres d'une telle matrice
  sont strictement positives, donc le d\'eterminant $=$ produit des
  valeurs propres $>0$.
 \item On dit encore que $\boldsymbol{A}$ est \emph{\textbf{d\'efinie}}
   si
     $ \boldsymbol{v}^H\boldsymbol{Av}  $ a toujours le m\^eme signe
   d\`es que $\boldsymbol{v}\neq 0$, \emph{\textbf{non d\'efinie}} si
     $ \boldsymbol{v}^H\boldsymbol{Av}  $ s'annule pour au moins un
   vecteur $\boldsymbol{v}\neq 0$, \emph{\textbf{semi-d\'efinie positive}} si
     $ \boldsymbol{v}^H\boldsymbol{Av}  \geqslant 0$ pour tout $\boldsymbol{v}$,
                    \emph{\textbf{ind\'efinie }} si
     $ \boldsymbol{v}^H\boldsymbol{Av} $ prend des valeurs $>0$ et $<0$.
\end{itemize}

Montrons que $\boldsymbol{G}_{n+1}$ est bien hermitienne d\'efinie
positive si
         $\{\boldsymbol{b}_0,\dotsc, \boldsymbol{b}_n\}$
est bien une  une base de $V$:
on a bien $(\boldsymbol{G}_{n+1})_{j,i} =
  (\boldsymbol{b}_j, \boldsymbol{b}_i) =
\overline{
  (\boldsymbol{b}_i, \boldsymbol{b}_j) } =
\overline{
           (\boldsymbol{G}_{n+1})_{i,j} }$
par sym\'etrie hermitienne du produit scalaire; ensuite,
$$ \begin{bmatrix} c_0  & \cdots & c_n \end{bmatrix}
            \boldsymbol{G}_{n+1}
   \begin{bmatrix} \overline{c_0} \\ \vdots \\ \overline{c_n} \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
         (f,\boldsymbol{b}_0) &   \cdots &
         (f,\boldsymbol{b}_n) \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix} \overline{c_0} \\ \vdots \\ \overline{c_n} \end{bmatrix}
= (f,f) >0
$$
o\`u $f=\sum_0^n c_k \boldsymbol{b}_k$,
d\`es que $[c_0,\dotsc, c_n] \neq [0,\dotsc, 0]$, car $f$ ne peut alors
\^etre nul.



\subsection{Meilleure approximation = projection orthogonale} {\ } \\

\bigskip
Comme \textbf{exercice}, examinons d'abord le cas o\`u
 $V$ est de dimension\ldots 1!\\


\parpic{
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(0,0.3)(3,1)
 \put(0,0){\vector(1,0){2.5}}  \put(2.4,-0.4){$\alpha \boldsymbol{b}_0$}
 \put(2.5,0){\line(1,0){0.5}}
 \put(2.5,0){\line(0,1){1.25}}
 \thicklines
 \put(0,0){\vector(1,0){1}} \put(0.8,-0.4){$\boldsymbol{b}_0$}
 \put(0,0){\vector(2,1){2.5}}  \put(1.25,0.65){$f$}
 \put(2.7,0.2){\line(0,1){0.3}} \put(2.7,0.2){\line(1,0){0.3}}
\end{picture}
   }
Soit $\boldsymbol{b}_0\in V$, tous les \'el\'ements de V sont de la forme
$\alpha \boldsymbol{b}_0$, il faut minimiser
 $\|f-\alpha \boldsymbol{b}_0\|$ sur $\alpha$:
$$\|f-\alpha \boldsymbol{b}_0\|^2=
   (f-\alpha \boldsymbol{b}_0, f-\alpha \boldsymbol{b}_0)=
(f,f)-\alpha(\boldsymbol{b}_0,f)-{\overline{\alpha(\boldsymbol{b}_0,f)}}
+|\alpha|^2\|\boldsymbol{b}_0\|^2.$$
Si le champ des scalaires est $\mathbb{R}$, $\alpha$ est r\'eel, on doit
simplement minimiser un trin\^ome du second degr\'e en $\alpha$, et on trouve
imm\'ediatement $\alpha=(\boldsymbol{b}_0,f)/\|\boldsymbol{b}_0\|^2$.


Sur $\mathbb{C}$, voyons d'abord comment doit se comporter la phase (argument)
de $\alpha$ si  $|\alpha|$ est fix\'e:,
$\alpha(\boldsymbol{b}_0,f)+{\overline{\alpha(\boldsymbol{b}_0,f)}}$ est maximal quand
$\alpha(\boldsymbol{b}_0,f)$ est r\'eel positif:
$\alpha(\boldsymbol{b}_0,f)=|\alpha| |(\boldsymbol{b}_0,f)|$, il faut donc minimiser
$\|f\|^2-2|\alpha| |(\boldsymbol{b}_0,f)|+|\alpha|^2\|\boldsymbol{b}_0\|^2,$ soit
$|\alpha|=|(\boldsymbol{b}_0,f)|/\|\boldsymbol{b}_0\|^2$,
$\alpha={\overline{(\boldsymbol{b}_0,f)}}/\|\boldsymbol{b}_0\|^2=$
$                  (f,\boldsymbol{b}_0)/\|\boldsymbol{b}_0\|^2$:

\emph{la meilleure approximation de la forme $\alpha \boldsymbol{b}_0$ de $f$ est}
\begin{equation}   \label{projorthdim1}
   \dfrac{(f,\boldsymbol{b}_0)}{\|\boldsymbol{b}_0\|^2}\, \boldsymbol{b}_0 ,
\end{equation}
\emph{projection orthogonale} de $f$ dans $V$ (voir dessin).

\medskip
Passons maintenant \`a $V$ de dimension finie quelconque:
\smallskip

\begin{figure}[ht]

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(10,10)
 \put(1,1){\line(1,0){12}}
 \put(10,2){$V$}
 \put(1,1){\line(1,2){3}}
 \put(3,5){\line(1,0){6}}  \put(2.5,4.8){$\alpha_1 \boldsymbol{b}_1$}
 \put(7,1){\line(1,2){2}}  \put(6.1,0.6){$\alpha_0 \boldsymbol{b}_0$}
 \put(3,5){\line(3,2){6}}   \put(7,1){\line(1,4){2}}
 \put(9,5){\line(0,1){4}}   \put(9.1,4.8){$\alpha_0 \boldsymbol{b}_0+\alpha_1 \boldsymbol{b}_1$}
 \thicklines
 \put(1,1){\vector(1,0){1}}    \put(1.8,0.6){$\boldsymbol{b}_0$}
 \put(1,1){\vector(1,2){0.5}}  \put(1.1,1.9){$\boldsymbol{b}_1$}
 \put(1,1){\vector(1,1){8}}    \put(8.9,9.2){$f$}
 \put(3.1,5.1){\line(1,2){0.2}}
 \put(3.1,5.1){\line(3,2){0.2}}
 \put(6.9,1.1){\line(-1,0){0.2}}
 \put(6.9,1.1){\line(1,4){0.2}}
\end{picture}
\caption{Projection orthogonale de $f$ sur $V$ muni d'une base orthogonale.}
\end{figure}


\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.} \emph{Soit $X$ un espace pr\'ehilbertien
sur $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$,
de produit scalaire $(\ .\ ,\ .\ )$, donc de norme
$\|\ .\ \|=(\ .\ ,\ .\ )^{1/2}$, et $V$ un sous-espace vectoriel de
dimension finie de $X$.   \\
Alors, $\forall f\in X$ a exactement une meilleure approximation
$\hat p=Pf$ dans $V$; cette meilleure approximation est l'application
d'un \emph{projecteur lin\'eaire} sur $X$, le \emph{projecteur
orthogonal} $X\to V$: $f-\hat p$ est orthogonal \`a tout \'el\'ement
de $V$.   \\
Si $\{\boldsymbol{b}_0,\ldots,\boldsymbol{b}_n\}$ est une base de $V$, on obtient les coefficients
du d\'eveloppement de $\hat p=Pf =\sum_{j=0}^{j=n}\alpha_j \boldsymbol{b}_j$
 dans cette base en r\'esolvant le
syst\`eme lin\'eaire suivant
$($\textbf{\'equations normales}$)$   \index{equations normales}
\begin{equation} \label{eqnorm}
    \boldsymbol{G}_{n+1}^T
   \begin{bmatrix} \alpha_0\\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}
 =
  \begin{bmatrix} (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_0) & \cdots &
                  (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_0) \\
           \cdots    & \cdots &  \cdots   \\
           (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_n) & \cdots &
           (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_n)
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix} \alpha_0\\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix}
=
   \begin{bmatrix} (f,\boldsymbol{b}_0)\\ \vdots \\ (f,\boldsymbol{b}_n)\end{bmatrix}
\end{equation}
o\`u on reconna\^\i t la transpos\'ee de la matrice de Gram de la base
de $V$.}

\smallskip

En effet,
 construisons d'abord $\tilde p\in V$ tel que
$f-\tilde p$ soit orthogonal \`a tout \'el\'ement de $V$ (en principe,
on ne sait pas encore si ce $\tilde p$ sera la meilleure approximation de
$f$ dans $V$): $f-\tilde p=f-\sum_{j=0}^{j=n}\tilde\alpha_j \boldsymbol{b}_j$
orthogonal \`a $\boldsymbol{b}_i, i=0,1,\ldots,n$:
$$ (f-\tilde p,\boldsymbol{b}_i)=(f,\boldsymbol{b}_i)-
\sum_{j=0}^{j=n}\tilde\alpha_j (\boldsymbol{b}_j,\boldsymbol{b}_i)=0\,,
  i=0,\ldots,n$$
ce qui est bien       \eqref{eqnorm} . \\
Comme nous savons que $\boldsymbol{G}_{n+1}$ est d\'efinie positive,
ce syst\`eme a une solution unique, $\forall f\in X$.
\\
Montrons maintenant que $\tilde p=\hat p$, c'est-\`a-dire que
l'ortho\-go\-nalit\'e du vecteur d'erreur au sous-espace d'approximation
implique l'optimalit\'e:
$$\forall p\in V,\qquad
  \|f-p\|^2 =(f-\tilde p-(p-\tilde p),
              f-\tilde p-(p-\tilde p))=
   \|f-\tilde p\|^2 +\|p-\tilde p\|^2, $$
(\textbf{relation de Pythagore}), en effet,
$(f-\tilde p,p-\tilde p)=
 (p-\tilde p,f-\tilde p)=0$ par ortho\-go\-nalit\'e de $f-\tilde p$ et de
tout \'el\'ement de $V$. Donc, $\|f-p\|>\|f-\tilde p\|$ d\`es que
$p\ne\tilde p$. \qed

\smallskip


On peut expliciter le projecteur orthogonal sur $V$ par
\begin{equation}\label{PGram} Pf=
 \begin{bmatrix}\alpha_0 & \ldots & \alpha_n \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}\boldsymbol{b}_0 \\  \vdots \\  \boldsymbol{b}_n \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix}(f,\boldsymbol{b}_0)& \ldots & (f,\boldsymbol{b}_n)   \end{bmatrix}
 (\boldsymbol{G}_{n+1})^{-1}
 \begin{bmatrix}\boldsymbol{b}_0 \\  \vdots \\  \boldsymbol{b}_n \end{bmatrix},\end{equation}
ce qui est un peu lourd. Les choses se simplifient remarquablement si
on dispose d'une base \emph{orthogonale} de $V$:

\smallskip

\noindent \emph{Si $\{\boldsymbol{b}_0,\ldots,\boldsymbol{b}_n\}$
 est une \textbf{base orthogonale}
       \index{orthogonal, orthogonaux}
de $V$, la meilleure approximation de $f$ dans $V$ est donn\'ee par}
\begin{equation} \label{projorth}
  \fbox{ $\displaystyle
 Pf=\sum_{j=0}^{j=n} \dfrac{(f,\boldsymbol{b}_j)}{\|\boldsymbol{b}_j\|^2}\, \boldsymbol{b}_j 
      $ }
\  , \qquad
 \text{  si\  } (\boldsymbol{b}_i,\boldsymbol{b}_j)=0,i\ne j.
  \end{equation}
En effet, la matrice de Gram $\boldsymbol{G}_{n+1}$ est alors diagonale,
d'\'el\'ements diagonaux $(\boldsymbol{b}_i,\boldsymbol{b}_i)=\|\boldsymbol{b}_i\|^2,\, i=0,\ldots,n$ dans ce
cas.

Cette formule \eqref{projorth} est donc \`a peine plus compliqu\'ee que
\eqref{projorthdim1} \\
\emph{La projection orthogonale sur un espace de dimension finie $V$ n'est
autre que la somme $($\emph{vectorielle}$)$ des projections orthogonales
sur les espaces de dimension \emph{un} sous tendus par les \'el\'ements
d'une base \textbf{orthogonale} de $V$.}


\medskip

{\Small

\ \noindent\textbf{Exemple.} Projection orthogonale d'une partie
de $\mathbb{Z}^5$ dans un plan (r\'eseau quasi-p\'eriodique de de Bruijn-
Penrose\footnote{Voir
    American Mathematical Society :: Feature Column
   \href{URL: http://www.ams.org/featurecolumn/archive/penrose.html}
   {\texttt{URL: http://www.ams.org/featurecolumn/archive/penrose.html}}
 Mathematics behind QuasiTiler by M. Senechal
     \href{http://www.geom.uiuc.edu/apps/quasitiler/MS_about.html}
     {\texttt{http://www.geom.uiuc.edu/apps/quasitiler/MS\_about.html}}
 the Geometry Center
    \href{http://www.geom.uiuc.edu/}
    {\texttt{http://www.geom.uiuc.edu/}}   }).
     \index{quasi-p\'eriodique} \index{Penrose}

Soit $V$ le sous-espace de dimension 2 de $\mathbb{R}^5$ sous-tendu par les
deux vecteurs (orthogonaux) $\boldsymbol{u}$ et $\boldsymbol{v}$ de composantes
$\cos(k\pi/5)$ et $\sin(k\pi/5)$, $k=1,\dotsc,5$. A chaque point $\boldsymbol{p}=
\alpha\boldsymbol{u}+\beta\boldsymbol{v}$ de $V$, on associe le point
$\boldsymbol{q}(\boldsymbol{p})$ de $\mathbb{Z}^5$ le plus proche de $\boldsymbol{p}$ (chaque
composante de $\boldsymbol{q}(\boldsymbol{p})$ est l'entier le plus proche de la
composante correspondante de $\boldsymbol{p}$). Enfin, on projette ce $\boldsymbol{q}(
\boldsymbol{p})$ orthogonalement sur $V$ tout simplement par \eqref{projorth}: \\
$\displaystyle{  \dfrac{\boldsymbol{u}'\boldsymbol{q}}{\|\boldsymbol{u}\|^2} \boldsymbol{u}
                + \dfrac{\boldsymbol{v}'\boldsymbol{q}}{\|\boldsymbol{v}\|^2} \boldsymbol{v}
              }$.

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(3,5)
\psline(-2.995,-2.920)(-3.507,-2.548)\psline(-2.995,-2.920)(-3.191,-3.521)\psline(-2.995, 2.920)(-3.507, 2.548)\psline(-2.995, 2.920)(-3.191, 3.521)\psline(-3.191,-0.372)(-3.702, 0.000)
\psline(-3.191,-0.372)(-2.995,-0.973)\psline(-3.191, 0.372)(-3.702, 0.000)\psline(-3.191, 0.372)(-2.995, 0.973)\psline(-2.484,-2.548)(-2.995,-2.176)\psline(-2.484,-2.548)(-2.995,-2.920)
\psline(-2.679, 0.000)(-3.191,-0.372)\psline(-2.679, 0.000)(-3.191, 0.372)\psline(-2.484, 2.548)(-2.995, 2.176)\psline(-2.484, 2.548)(-2.995, 2.920)\psline(-2.484,-0.602)(-2.995,-0.973)
\psline(-2.484,-0.602)(-2.679, 0.000)\psline(-2.484, 0.602)(-2.995, 0.973)\psline(-2.484, 0.602)(-2.679, 0.000)\psline(-2.679,-5.096)(-3.191,-4.724)\psline(-2.679, 5.096)(-3.191, 4.724)
\psline(-2.484,-4.494)(-2.995,-4.123)\psline(-2.484,-4.494)(-2.679,-5.096)\psline(-2.484, 4.494)(-2.995, 4.123)\psline(-2.484, 4.494)(-2.679, 5.096)\psline(-2.484,-5.697)(-2.679,-5.096)
\psline(-2.484, 5.697)(-2.679, 5.096)\psline(-2.288,-5.096)(-2.484,-4.494)\psline(-2.288,-5.096)(-2.484,-5.697)\psline(-2.800,-3.521)(-2.995,-4.123)\psline(-2.800,-3.521)(-2.995,-2.920)
\psline(-2.800,-1.575)(-2.995,-0.973)\psline(-2.800,-1.575)(-2.995,-2.176)\psline(-2.288, 0.000)(-2.484,-0.602)\psline(-2.288, 0.000)(-2.484, 0.602)\psline(-2.800, 1.575)(-2.995, 0.973)
\psline(-2.800, 1.575)(-2.995, 2.176)\psline(-2.800, 3.521)(-2.995, 4.123)\psline(-2.800, 3.521)(-2.995, 2.920)\psline(-2.288, 5.096)(-2.484, 4.494)\psline(-2.288, 5.096)(-2.484, 5.697)
\psline(-2.288,-3.149)(-2.484,-2.548)\psline(-2.288,-3.149)(-2.800,-3.521)\psline(-2.288, 3.149)(-2.484, 2.548)\psline(-2.288, 3.149)(-2.800, 3.521)\psline(-2.484, 3.751)(-2.995, 4.123)
\psline(-2.484, 3.751)(-2.288, 3.149)\psline(-2.484,-3.751)(-2.995,-4.123)\psline(-2.484,-3.751)(-2.288,-3.149)\psline(-1.656,-5.096)(-2.288,-5.096)\psline(-1.851,-4.494)(-2.484,-4.494)
\psline(-1.851,-4.494)(-1.656,-5.096)\psline(-2.363,-4.123)(-2.995,-4.123)\psline(-2.363,-4.123)(-1.851,-4.494)\psline(-1.851,-3.751)(-2.484,-3.751)\psline(-1.851,-3.751)(-2.363,-4.123)
\psline(-1.656,-3.149)(-2.288,-3.149)\psline(-1.656,-3.149)(-1.851,-3.751)\psline(-1.851,-2.548)(-2.484,-2.548)\psline(-1.851,-2.548)(-1.656,-3.149)\psline(-2.363,-2.176)(-2.995,-2.176)
\psline(-2.363,-2.176)(-1.851,-2.548)\psline(-2.167,-1.575)(-2.800,-1.575)\psline(-2.167,-1.575)(-2.363,-2.176)\psline(-2.363,-0.973)(-2.995,-0.973)\psline(-2.363,-0.973)(-2.167,-1.575)
\psline(-1.851,-0.602)(-2.484,-0.602)\psline(-1.851,-0.602)(-2.363,-0.973)\psline(-1.656, 0.000)(-2.288, 0.000)\psline(-1.656, 0.000)(-1.851,-0.602)\psline(-1.851, 0.602)(-2.484, 0.602)
\psline(-1.851, 0.602)(-1.656, 0.000)\psline(-2.363, 0.973)(-2.995, 0.973)\psline(-2.363, 0.973)(-1.851, 0.602)\psline(-2.167, 1.575)(-2.800, 1.575)\psline(-2.167, 1.575)(-2.363, 0.973)
\psline(-2.363, 2.176)(-2.995, 2.176)\psline(-2.363, 2.176)(-2.167, 1.575)\psline(-1.851, 2.548)(-2.484, 2.548)\psline(-1.851, 2.548)(-2.363, 2.176)\psline(-1.656, 3.149)(-2.288, 3.149)
\psline(-1.656, 3.149)(-1.851, 2.548)\psline(-1.851, 3.751)(-2.484, 3.751)\psline(-1.851, 3.751)(-1.656, 3.149)\psline(-2.363, 4.123)(-2.995, 4.123)\psline(-2.363, 4.123)(-1.851, 3.751)
\psline(-1.851, 4.494)(-2.484, 4.494)\psline(-1.851, 4.494)(-2.363, 4.123)\psline(-1.656, 5.096)(-2.288, 5.096)\psline(-1.656, 5.096)(-1.851, 4.494)\psline(-1.656,-1.946)(-1.851,-2.548)
\psline(-1.656,-1.946)(-2.167,-1.575)\psline(-1.656, 1.946)(-2.167, 1.575)\psline(-1.656, 1.946)(-1.851, 2.548)\psline(-1.851,-1.345)(-2.363,-0.973)\psline(-1.851,-1.345)(-1.656,-1.946)
\psline(-1.851, 1.345)(-2.363, 0.973)\psline(-1.851, 1.345)(-1.656, 1.946)\psline(-1.340,-4.123)(-1.851,-4.494)\psline(-1.340,-4.123)(-1.851,-3.751)\psline(-1.340,-0.973)(-1.851,-0.602)
\psline(-1.340,-0.973)(-1.851,-1.345)\psline(-1.340, 0.973)(-1.851, 0.602)\psline(-1.340, 0.973)(-1.851, 1.345)\psline(-1.340, 4.123)(-1.851, 3.751)\psline(-1.340, 4.123)(-1.851, 4.494)
\psline(-1.144,-1.575)(-1.656,-1.946)\psline(-1.144,-1.575)(-1.340,-0.973)\psline(-1.144, 1.575)(-1.656, 1.946)\psline(-1.144, 1.575)(-1.340, 0.973)\psline(-1.144,-3.521)(-1.656,-3.149)
\psline(-1.144,-3.521)(-1.340,-4.123)\psline(-1.144, 3.521)(-1.656, 3.149)\psline(-1.144, 3.521)(-1.340, 4.123)\psline(-1.144, 4.724)(-1.656, 5.096)\psline(-1.144, 4.724)(-1.340, 4.123)
\psline(-1.144,-4.724)(-1.656,-5.096)\psline(-1.144,-4.724)(-1.340,-4.123)\psline(-1.340,-2.176)(-1.851,-2.548)\psline(-1.340,-2.176)(-1.144,-1.575)\psline(-1.340, 2.176)(-1.851, 2.548)
\psline(-1.340, 2.176)(-1.144, 1.575)\psline(-1.144,-0.372)(-1.656, 0.000)\psline(-1.144,-0.372)(-1.340,-0.973)\psline(-1.144, 0.372)(-1.656, 0.000)\psline(-1.144, 0.372)(-1.340, 0.973)
\psline(-1.340,-2.920)(-1.851,-2.548)\psline(-1.340,-2.920)(-1.144,-3.521)\psline(-1.340, 2.920)(-1.851, 2.548)\psline(-1.340, 2.920)(-1.144, 3.521)\psline(-0.828,-2.548)(-1.340,-2.176)
\psline(-0.828,-2.548)(-1.340,-2.920)\psline(-0.632, 0.000)(-1.144,-0.372)\psline(-0.632, 0.000)(-1.144, 0.372)\psline(-0.828, 2.548)(-1.340, 2.176)\psline(-0.828, 2.548)(-1.340, 2.920)
\psline(-0.632,-3.149)(-1.144,-3.521)\psline(-0.632,-3.149)(-0.828,-2.548)\psline(-0.632, 3.149)(-1.144, 3.521)\psline(-0.632, 3.149)(-0.828, 2.548)\psline(-0.512,-4.724)(-1.144,-4.724)
\psline(-0.707,-4.123)(-1.340,-4.123)\psline(-0.707,-4.123)(-0.512,-4.724)\psline(-0.512,-3.521)(-1.144,-3.521)\psline(-0.512,-3.521)(-0.707,-4.123)\psline( 0.000,-3.149)(-0.632,-3.149)
\psline( 0.000,-3.149)(-0.512,-3.521)\psline(-0.195,-2.548)(-0.828,-2.548)\psline(-0.195,-2.548)( 0.000,-3.149)\psline(-0.707,-2.176)(-1.340,-2.176)\psline(-0.707,-2.176)(-0.195,-2.548)
\psline(-0.512,-1.575)(-1.144,-1.575)\psline(-0.512,-1.575)(-0.707,-2.176)\psline(-0.707,-0.973)(-1.340,-0.973)\psline(-0.707,-0.973)(-0.512,-1.575)\psline(-0.512,-0.372)(-1.144,-0.372)
\psline(-0.512,-0.372)(-0.707,-0.973)\psline( 0.000, 0.000)(-0.632, 0.000)\psline( 0.000, 0.000)(-0.512,-0.372)\psline(-0.512, 0.372)(-1.144, 0.372)\psline(-0.512, 0.372)( 0.000, 0.000)
\psline(-0.707, 0.973)(-1.340, 0.973)\psline(-0.707, 0.973)(-0.512, 0.372)\psline(-0.512, 1.575)(-1.144, 1.575)\psline(-0.512, 1.575)(-0.707, 0.973)\psline(-0.707, 2.176)(-1.340, 2.176)
\psline(-0.707, 2.176)(-0.512, 1.575)\psline(-0.195, 2.548)(-0.828, 2.548)\psline(-0.195, 2.548)(-0.707, 2.176)\psline( 0.000, 3.149)(-0.632, 3.149)\psline( 0.000, 3.149)(-0.195, 2.548)
\psline(-0.512, 3.521)(-1.144, 3.521)\psline(-0.512, 3.521)( 0.000, 3.149)\psline(-0.707, 4.123)(-1.340, 4.123)\psline(-0.707, 4.123)(-0.512, 3.521)\psline(-0.512, 4.724)(-1.144, 4.724)
\psline(-0.512, 4.724)(-0.707, 4.123)\psline( 0.000,-5.096)(-0.512,-4.724)\psline( 0.000, 5.096)(-0.512, 4.724)\psline( 0.000,-1.946)(-0.195,-2.548)\psline( 0.000,-1.946)(-0.512,-1.575)
\psline( 0.000, 1.946)(-0.512, 1.575)\psline( 0.000, 1.946)(-0.195, 2.548)\psline(-0.195,-0.602)(-0.707,-0.973)\psline(-0.195,-0.602)( 0.000, 0.000)\psline(-0.195, 0.602)( 0.000, 0.000)
\psline(-0.195, 0.602)(-0.707, 0.973)\psline( 0.000,-1.203)(-0.512,-1.575)\psline( 0.000,-1.203)(-0.195,-0.602)\psline( 0.000, 1.203)(-0.512, 1.575)\psline( 0.000, 1.203)(-0.195, 0.602)
\psline(-0.195,-4.494)(-0.707,-4.123)\psline(-0.195,-4.494)( 0.000,-5.096)\psline(-0.195, 4.494)(-0.707, 4.123)\psline(-0.195, 4.494)( 0.000, 5.096)\psline( 0.000,-3.893)(-0.512,-3.521)
\psline( 0.000,-3.893)(-0.195,-4.494)\psline( 0.000, 3.893)(-0.512, 3.521)\psline( 0.000, 3.893)(-0.195, 4.494)\psline( 0.512,-3.521)( 0.000,-3.149)\psline( 0.512,-3.521)( 0.000,-3.893)
\psline( 0.512,-1.575)( 0.000,-1.946)\psline( 0.512,-1.575)( 0.000,-1.203)\psline( 0.512, 1.575)( 0.000, 1.946)\psline( 0.512, 1.575)( 0.000, 1.203)\psline( 0.512, 3.521)( 0.000, 3.149)
\psline( 0.512, 3.521)( 0.000, 3.893)\psline( 0.195,-4.494)( 0.000,-5.096)\psline( 0.195,-4.494)( 0.000,-3.893)\psline( 0.195,-2.548)( 0.000,-3.149)\psline( 0.195,-2.548)( 0.000,-1.946)
\psline( 0.195,-0.602)( 0.000, 0.000)\psline( 0.195,-0.602)( 0.000,-1.203)\psline( 0.195, 0.602)( 0.000, 0.000)\psline( 0.195, 0.602)( 0.000, 1.203)\psline( 0.195, 2.548)( 0.000, 3.149)
\psline( 0.195, 2.548)( 0.000, 1.946)\psline( 0.195, 4.494)( 0.000, 5.096)\psline( 0.195, 4.494)( 0.000, 3.893)\psline( 0.707,-4.123)( 0.512,-3.521)\psline( 0.707,-4.123)( 0.195,-4.494)
\psline( 0.707, 4.123)( 0.512, 3.521)\psline( 0.707, 4.123)( 0.195, 4.494)\psline( 0.512, 4.724)( 0.000, 5.096)\psline( 0.512, 4.724)( 0.707, 4.123)\psline( 0.512,-4.724)( 0.000,-5.096)
\psline( 0.512,-4.724)( 0.707,-4.123)\psline( 0.707,-0.973)( 0.512,-1.575)\psline( 0.707,-0.973)( 0.195,-0.602)\psline( 0.707, 0.973)( 0.512, 1.575)\psline( 0.707, 0.973)( 0.195, 0.602)
\psline( 0.512,-0.372)( 0.000, 0.000)\psline( 0.512,-0.372)( 0.707,-0.973)\psline( 0.512, 0.372)( 0.000, 0.000)\psline( 0.512, 0.372)( 0.707, 0.973)\psline( 0.707,-2.176)( 0.512,-1.575)
\psline( 0.707,-2.176)( 0.195,-2.548)\psline( 0.707, 2.176)( 0.512, 1.575)\psline( 0.707, 2.176)( 0.195, 2.548)\psline( 1.144,-4.724)( 0.512,-4.724)\psline( 1.340,-4.123)( 0.707,-4.123)
\psline( 1.340,-4.123)( 1.144,-4.724)\psline( 1.144,-3.521)( 0.512,-3.521)\psline( 1.144,-3.521)( 1.340,-4.123)\psline( 0.632,-3.149)( 0.000,-3.149)\psline( 0.632,-3.149)( 1.144,-3.521)
\psline( 0.828,-2.548)( 0.195,-2.548)\psline( 0.828,-2.548)( 0.632,-3.149)\psline( 1.340,-2.176)( 0.707,-2.176)\psline( 1.340,-2.176)( 0.828,-2.548)\psline( 1.144,-1.575)( 0.512,-1.575)
\psline( 1.144,-1.575)( 1.340,-2.176)\psline( 1.340,-0.973)( 0.707,-0.973)\psline( 1.340,-0.973)( 1.144,-1.575)\psline( 1.144,-0.372)( 0.512,-0.372)\psline( 1.144,-0.372)( 1.340,-0.973)
\psline( 0.632, 0.000)( 0.000, 0.000)\psline( 0.632, 0.000)( 1.144,-0.372)\psline( 1.144, 0.372)( 0.512, 0.372)\psline( 1.144, 0.372)( 0.632, 0.000)\psline( 1.340, 0.973)( 0.707, 0.973)
\psline( 1.340, 0.973)( 1.144, 0.372)\psline( 1.144, 1.575)( 0.512, 1.575)\psline( 1.144, 1.575)( 1.340, 0.973)\psline( 1.340, 2.176)( 0.707, 2.176)\psline( 1.340, 2.176)( 1.144, 1.575)
\psline( 0.828, 2.548)( 0.195, 2.548)\psline( 0.828, 2.548)( 1.340, 2.176)\psline( 0.632, 3.149)( 0.000, 3.149)\psline( 0.632, 3.149)( 0.828, 2.548)\psline( 1.144, 3.521)( 0.512, 3.521)
\psline( 1.144, 3.521)( 0.632, 3.149)\psline( 1.340, 4.123)( 0.707, 4.123)\psline( 1.340, 4.123)( 1.144, 3.521)\psline( 1.144, 4.724)( 0.512, 4.724)\psline( 1.144, 4.724)( 1.340, 4.123)
\psline( 1.340,-2.920)( 1.144,-3.521)\psline( 1.340,-2.920)( 0.828,-2.548)\psline( 1.340, 2.920)( 0.828, 2.548)\psline( 1.340, 2.920)( 1.144, 3.521)\psline( 1.851,-2.548)( 1.340,-2.176)
\psline( 1.851,-2.548)( 1.340,-2.920)\psline( 1.656, 0.000)( 1.144,-0.372)\psline( 1.656, 0.000)( 1.144, 0.372)\psline( 1.851, 2.548)( 1.340, 2.176)\psline( 1.851, 2.548)( 1.340, 2.920)
\psline( 1.656,-3.149)( 1.144,-3.521)\psline( 1.656,-3.149)( 1.851,-2.548)\psline( 1.656, 3.149)( 1.144, 3.521)\psline( 1.656, 3.149)( 1.851, 2.548)\psline( 1.656,-5.096)( 1.144,-4.724)
\psline( 1.656, 5.096)( 1.144, 4.724)\psline( 1.851,-0.602)( 1.340,-0.973)\psline( 1.851,-0.602)( 1.656, 0.000)\psline( 1.851, 0.602)( 1.340, 0.973)\psline( 1.851, 0.602)( 1.656, 0.000)
\psline( 1.656,-1.946)( 1.144,-1.575)\psline( 1.656,-1.946)( 1.851,-2.548)\psline( 1.656, 1.946)( 1.144, 1.575)\psline( 1.656, 1.946)( 1.851, 2.548)\psline( 1.851,-4.494)( 1.340,-4.123)
\psline( 1.851,-4.494)( 1.656,-5.096)\psline( 1.851, 4.494)( 1.340, 4.123)\psline( 1.851, 4.494)( 1.656, 5.096)\psline( 1.851,-3.751)( 1.340,-4.123)\psline( 1.851,-3.751)( 1.656,-3.149)
\psline( 1.851, 3.751)( 1.340, 4.123)\psline( 1.851, 3.751)( 1.656, 3.149)\psline( 1.851,-1.345)( 1.340,-0.973)\psline( 1.851,-1.345)( 1.656,-1.946)\psline( 1.851, 1.345)( 1.340, 0.973)
\psline( 1.851, 1.345)( 1.656, 1.946)\psline( 2.363,-4.123)( 1.851,-4.494)\psline( 2.363,-4.123)( 1.851,-3.751)\psline( 2.363,-0.973)( 1.851,-0.602)\psline( 2.363,-0.973)( 1.851,-1.345)
\psline( 2.363, 0.973)( 1.851, 0.602)\psline( 2.363, 0.973)( 1.851, 1.345)\psline( 2.363, 4.123)( 1.851, 4.494)\psline( 2.363, 4.123)( 1.851, 3.751)\psline( 2.167,-1.575)( 1.656,-1.946)
\psline( 2.167,-1.575)( 2.363,-0.973)\psline( 2.167, 1.575)( 1.656, 1.946)\psline( 2.167, 1.575)( 2.363, 0.973)\psline( 2.363,-2.176)( 1.851,-2.548)\psline( 2.363,-2.176)( 2.167,-1.575)
\psline( 2.363, 2.176)( 1.851, 2.548)\psline( 2.363, 2.176)( 2.167, 1.575)\psline( 2.288,-5.096)( 1.656,-5.096)\psline( 2.484,-4.494)( 1.851,-4.494)\psline( 2.484,-4.494)( 2.288,-5.096)
\psline( 2.995,-4.123)( 2.363,-4.123)\psline( 2.995,-4.123)( 2.484,-4.494)\psline( 2.484,-3.751)( 1.851,-3.751)\psline( 2.484,-3.751)( 2.995,-4.123)\psline( 2.288,-3.149)( 1.656,-3.149)
\psline( 2.288,-3.149)( 2.484,-3.751)\psline( 2.484,-2.548)( 1.851,-2.548)\psline( 2.484,-2.548)( 2.288,-3.149)\psline( 2.995,-2.176)( 2.363,-2.176)\psline( 2.995,-2.176)( 2.484,-2.548)
\psline( 2.800,-1.575)( 2.167,-1.575)\psline( 2.800,-1.575)( 2.995,-2.176)\psline( 2.995,-0.973)( 2.363,-0.973)\psline( 2.995,-0.973)( 2.800,-1.575)\psline( 2.484,-0.602)( 1.851,-0.602)
\end{pspicture}
}
\texttt{
\noindent\%  de Bruijn-Penrose                          \\
\%    projection de Z5 sur le plan  (u,v)      \\
\%                                              \\
c25=sqrt(2.5);                                  \\
u=cos((1:5)*pi/5)/c25;v=sin((1:5)*pi/5)/c25;  \\
\% check orthonormality in R5                   \\
$[$u*v',u*u',v*v'$]$,                             \\
\%                                            \\
c=5;plot(-c:c,c*ones(size(-c:c)),'b.',-c:c,-c*ones(size(-c:c)),'b.');hold; \\
ipv=$[]$;ipvn=0;                                  \\
h=0.02,ih=round(c/h);                           \\
for iu=-ih:ih, p2=-c;                         \\
 while p2<c,                                  \\
  p=h*iu*u+p2*v;ip=round(p);iv=1;              \\
  ipvf=1;if ipvn==0, ipv=ip;ipvn=1;end;        \\
  ipd=ipv-ones(size(ipv,1),1)*ip;             \\
  ipd=abs(ipd)*$[$1 1 1 1 1$]$';                  \\
   if min(ipd)==0,ipvf=0;end;                 \\
   if ipvf>0, ipvn=ipvn+1;                    \\
    ipv(ipvn,:)=ip;projip=[ip*u', ip*v'];     \\
     for j=1:ipvn-1;                          \\
      projip1=[ipv(j,:)*u', ipv(j,:)*v'];    \\
      dt=norm(projip-projip1);                 \\
      if abs(dt-0.400*c25)<0.01,               \\
       plot([projip(1),projip1(1)],[projip(2),projip1(2)]); \\
      end;                                   \\
     end;                                    \\
   end;                                       \\
 end;                                         \\
ipp2=ip-h*iu*u+0.51;p2=min(   ipp2(1:4)./v(1:4) ); \\
end; \%iv                \\
end; \%u
}




}  % end Small



\subsection{M\'ethode d'orthogonalisation de Gram-Schmidt} \index{Gram-Schmidt} \  \\

Le proc\'ed\'e de Gram-Schmidt consiste \`a construire progressivement
une base orthogonale (dont on voit bien maintenant l'int\'er\^et) \`a
partir d'une base quelconque en retirant de chaque \'el\'ement de la
base de d\'epart une combinaison des \'el\'ements pr\'ec\'edents de fa\c con
\`a \^etre orthogonal \`a ces derniers: c'est une projection orthogonale,
donc, d'apr\`es \eqref{projorth},
\begin{equation*} \begin{split}
  \boldsymbol{b}_0^\perp &= \boldsymbol{b}_0 , \\
  \boldsymbol{b}_1^\perp &= \boldsymbol{b}_1
      -\frac{(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_0^\perp)}
            {\|\boldsymbol{b_0}^\perp\|^2}\,\boldsymbol{b}_0^\perp  , \\
  \boldsymbol{b}_2^\perp &= \boldsymbol{b}_2
      -\frac{(\boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_0^\perp)}
            {\|\boldsymbol{b_0}^\perp\|^2}\,\boldsymbol{b}_0^\perp
      -\frac{(\boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_1^\perp)}
            {\|\boldsymbol{b_1}^\perp\|^2}\, \boldsymbol{b}_1^\perp  , \\
            &\text{etc.}
\end{split}\end{equation*}

\emph{Chaque nouvel \'el\'ement d'une base orthogonale construite par le
proc\'ed\'e de Gram-Schmidt est l'erreur de meilleure approximation de
l'\'el\'ement correspondant de la base initiale dans le sous-espace
sous-tendu par les \'el\'ements pr\'ec\'edents}:

\begin{equation}   \label{Grambb}
  \boldsymbol{b}_m^\perp = \boldsymbol{b}_m
 -\sum_{k=0}^{m-1} \alpha_k^{(m)} \boldsymbol{b}_k^\perp,
 \text{\ avec\ }
   \alpha_k^{(m)}=
      \dfrac{(\boldsymbol{b}_m, \boldsymbol{b}_k^\perp)}
            {\|\boldsymbol{b_k}^\perp\|^2}
\end{equation}

\smallskip

\subsection{Hauteurs, volumes et d\'eterminants de Gram} {\ } \\

Si on d\'eveloppe l'inverse de la matrice de Gram dans \eqref{PGram}, on
obtient le d\'eveloppement de $\hat p=Pf$ dans la base des $b_i$, les coefficients
\'etant des cofacteurs appropri\'es de $\boldsymbol{G}_{n+1}$ divis\'es par le
d\'eterminant. Le r\'esultat est
$$
 Pf=-\dfrac{1}{\det \boldsymbol{G}_{n+1}}
     \begin{vmatrix}
    (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_0) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_0) & (f,\boldsymbol{b}_0)\\
           \cdots    & \cdots &  \cdots   & \cdots \\
           (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_n) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_n) & (f,\boldsymbol{b}_n) \\
           \boldsymbol{b}_0  & \cdots & \boldsymbol{b}_n   & 0
    \end{vmatrix}
$$
o\`u le d\'eterminant est interpr\'et\'e comme une combinaison lin\'eaire des
\'el\'ements (vectoriels) de la derni\`ere ligne multipli\'es par les
cofacteurs (purement scalaires, cette fois) appropri\'es; le produit scalaire d'une
telle expression avec tout $g\in X$ est cette fois le ``vrai'' d\'eterminant
$$
 -\dfrac{1}{\det \boldsymbol{G}_{n+1}}
     \begin{vmatrix}
    (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_0) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_0) & (f,\boldsymbol{b}_0)\\
           \cdots    & \cdots &  \cdots   & \cdots \\
           (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_n) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_n) & (f,\boldsymbol{b}_n) \\
           (\boldsymbol{b}_0,g)  & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,g)   & 0
    \end{vmatrix}.
$$
V\'erifions la formule pour $Pf$: le produit scalaire de $Pf$ et n'importe quel $b_i$
vaut $(f,b_i)$ (par orthogonalit\'e de $f-Pf$ et $V$). Or, avec $g=b_i$, et en
soustrayant la $i^{\text{\`eme}}$ ligne de la derni\`ere, il reste
$$
 -\dfrac{1}{\det \boldsymbol{G}_{n+1}}
     \begin{vmatrix}
    (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_0) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_0) & (f,\boldsymbol{b}_0)\\
           \cdots    & \cdots &  \cdots   & \cdots \\
           (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_n) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_n) & (f,\boldsymbol{b}_n) \\
           0  & \cdots & 0   & -(f,b_i)
    \end{vmatrix},
$$
ce qui vaut bien $(f,b_i)$.

Pour $f-Pf$, on a
$$
 f-Pf=\dfrac{1}{\det \boldsymbol{G}_{n+1}}
     \begin{vmatrix}
    (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_0) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_0) & (f,\boldsymbol{b}_0)\\
           \cdots    & \cdots &  \cdots   & \cdots \\
           (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_n) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_n) & (f,\boldsymbol{b}_n) \\
           \boldsymbol{b}_0  & \cdots & \boldsymbol{b}_n   & f
    \end{vmatrix}.
$$


Revenons \`a \eqref{eqnorm} et cherchons \`a d\'eterminer la norme de l'erreur
de meilleure approximation de $f$ dans $V$. On a
$\|f-\hat p\|^2=(f-\hat p,f-\hat p)=(f-\hat p,f)$, toujours par
orthogonalit\'e de $f-\hat p$ et de tout \'el\'ement de $V$, donc
$$
 \|f-Pf\|^2=(f-Pf,f)=\dfrac{1}{\det \boldsymbol{G}_{n+1}}
     \begin{vmatrix}
    (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_0) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_0) & (f,\boldsymbol{b}_0)\\
           \cdots    & \cdots &  \cdots   & \cdots \\
           (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_n) & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_n) & (f,\boldsymbol{b}_n) \\
           (\boldsymbol{b}_0,f)  & \cdots & (\boldsymbol{b}_n,f)   & (f,f)
    \end{vmatrix}.
$$

Cette formule donne le carr\'e de la hauteur abaiss\'ee de
l'extr\'emit\'e de $f$ sur $V$.

\smallskip

Soit $\{b_0,\ldots,b_n\}$ une base quelconque de $V$ et consid\'erons
le parall\'elotope $\boldsymbol{P}_n=$ $\{x=\theta_0 b_0+\cdots +\theta_n b_n\}$,
$0\leqslant \theta_0,\ldots \theta_n\leqslant 1$. Le $(n+1)-$volume de $\boldsymbol{P}_n$
est le $n-$volume de $\boldsymbol{P}_{n-1}$ multipli\'e par la hauteur
abaiss\'ee de l'extr\'emit\'e de $b_n$ sur le sous-espace sous-tendu par
$\{b_0,\ldots, b_{n-1}\}$. On adapte la formule pr\'ec\'edente:
$$ \left(\dfrac{ \text{ vol. }\boldsymbol{P}_n }
         { \text{ vol. }\boldsymbol{P}_{n-1} } \right)^2
 = \dfrac{\det\boldsymbol{G}_{n+1}}
         {\det\boldsymbol{G}_n},$$
d'o\`u $(n+1)-$vol. $\boldsymbol{P}_n = \sqrt{\det\boldsymbol{G}_{n+1}}$,
puisqu'on a bien longueur de $b_0=[(b_0,b_0)]^{1/2}$ en $n=0$.

\smallskip


{\Small

\noindent\textbf{Exemple.} Mon\^omes dans $L^2$, probl\`eme de M\"untz.
\label{refMuntz}    \index{M\"untz}
Soit $\boldsymbol{b}_k =x^{\beta_k}$ et le produit scalaire $(f,g)=
\displaystyle{\int_0^1 f(x)g(x)\,dx}$. Alors, $(\boldsymbol{b}_k,
\boldsymbol{b}_m)=1/(\beta_k+\beta_m+1)$, et le rapport
det$\,\boldsymbol{G}_{n+1}/\,$det$\,\boldsymbol{G}_n$ est une fonction
rationnelle de degr\'e $2n+1$ en $\beta_n$, de r\'esidu unit\'e en $\beta_n=-1/2$, positive,
et nulle si $\beta_n$ vaut un des $\beta_k$ pr\'ec\'edents. Cela donne
$$
  \dfrac{(\beta_n-\beta_0)^2 \dotsb (\beta_n-\beta_{n-1})^2 }
        {(\beta_n+1/2)(\beta_n+\beta_0+1)^2 \dotsb (\beta_n+\beta_{n-1}+1)^2 }. $$
Pour l'erreur de  meilleure  approximation de $f(x)=x^\alpha$ par une combinaison
de $x^{\beta_0},\dotsc, x^{\beta_n}$, on a
 $$ \|f-\hat p\|^2 =
  \dfrac{(\alpha-\beta_0)^2 \dotsb (\alpha-\beta_n)^2 }
        {(\alpha+1/2)(\alpha+\beta_0+1)^2 \dotsb (\alpha+\beta_n+1)^2 }. $$
Cette norme tend vers 0 quand $n\to\infty$ si la s\'erie des $1/\beta_n$ est
divergente (M\"untz).

}

\subsection{Factorisation de Cholesky}{}\footnote{15 oct.\ 1875-- 31 ao\^ut
1918, commandant, directeur technique du service g\'eographique de l'arm\'ee
fran\c caise. ``Officier travailleur, ing\'enieux, r\'efl\'echi,\ldots,
\emph{devra toutefois se m\'efier comme chef de service de quelque tendance \`a
l'originalit\'e et au paradoxe\ldots}'' ($\text{L}^{\text{t}}$ Col. Hergault,
chef d'E.M. de la $7^{\text{\`eme}}$ Arm\'ee, 24 oct. 1916). Cf.\ C.~Brezinski:
\textsl{Andr\'e Louis Cholesky}, rapport \textsf{ANO} 347, U.S.T.Lille I, 1995.
Aussi dans \textsl{Bull. Belg. Math. Soc.- Simon Stevin}, suppl. au n${}^\circ$
de d\'ec. 1996, pp.~45-50.} \   \\

On peut montrer de fa\c con
encore plus nette le contenu matriciel de ces manipulations.
Constatons que \eqref{Grambb} repr\'esente en fait l'expression des \'el\'ements
de l'ancienne base dans la nouvelle base (ce qui est tr\`es bien, c'est
cette base qui sera utile dans les applications!):
$$ \begin{bmatrix}
% \strut\\
  \boldsymbol{b}_0 &   \boldsymbol{b}_1 &  \cdots
%     \strut\\
   &  \boldsymbol{b}_n \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
 \boldsymbol{b}_0^\perp &  \boldsymbol{b}_1^\perp &   \cdots  &
   \boldsymbol{b}_n^\perp \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix} 1 & \alpha_0^{(1)}   & \alpha_0^{(2)}  & \cdots  & \alpha_0^{(n)}\\
                    &   1              & \alpha_1^{(2)}  & \cdots  & \alpha_1^{(n)} \\
                    &                  & \ddots          &         & \\
                    &                  &                 &   1     & \alpha_{n-1}^{(n)}\\
                    &                  &                 &         &   1
    \end{bmatrix}
$$
$$ \boldsymbol{b} \; = \;   \boldsymbol{b}^\perp\;  \boldsymbol{M}. $$

Consid\'erons la matrice des produits scalaires $(b_i,b_j)$
(\textbf{matrice de Gram}):
$$ \hspace*{-15pt}\textbf{G}_{n+1} =
 \begin{bmatrix} (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_0) & \cdots &
                 (\boldsymbol{b}_0,\boldsymbol{b}_n) \\
           \cdots    & \cdots &  \cdots   \\
                 (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_0) & \cdots &
                 (\boldsymbol{b}_n,\boldsymbol{b}_n)
  \end{bmatrix} =
  \left(\begin{bmatrix}\boldsymbol{b}_0\\ \vdots \\ \boldsymbol{b}_n\end{bmatrix},
    \begin{bmatrix}\boldsymbol{b}_0 & \cdots & \boldsymbol{b}_n \end{bmatrix} \right) =
     \boldsymbol{M}^T
  \left(\begin{bmatrix}\boldsymbol{b}_0^\perp\\ \vdots \\
   \boldsymbol{b}_n^\perp\end{bmatrix},
     \begin{bmatrix}\boldsymbol{b}_0^\perp & \cdots & \boldsymbol{b}_n^\perp\end{bmatrix} \right)
     \overline{\boldsymbol{M}},$$
donc,
 $$
   \boldsymbol{G}_{n+1} = \boldsymbol{M}^T
      \boldsymbol{B}\overline{\boldsymbol{M}}\;,$$
o\`u $\boldsymbol{B}$ est la matrice diagonale des $\|\boldsymbol{b}_i^\perp\|^2$.

\smallskip
Soit $\boldsymbol{A}$ une matrice hermitienne d\'efinie positive.  On
appelle \textbf{factorisation de Cholesky} la formation des facteurs du
produit
 $$ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{LL}^H $$
o\`u $\boldsymbol{L}$ est triangulaire inf\'erieure, et
 o\`u $\boldsymbol{L}^H$ est la transpos\'ee conjugu\'ee de
$\boldsymbol{L}$. Cette factorisation est
unique si on pr\'ecise les signes des \'el\'ements diagonaux de
$\boldsymbol{L}$. Cette factorisation peut \^etre r\'ealis\'ee par des
algorithmes tr\`es efficaces (de la m\^eme famille que les algorithmes
de factorisation $LDU$ li\'es \`a l'\'elimination de Gauss).
\\
Ici, on a donc $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{G}_{n+1}$ et
$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{M}^T\,\boldsymbol{B}^{1/2}$. Si on choisit d'utiliser une base
orthonormale, $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{I}$ et on a donc $\boldsymbol{M} =
\boldsymbol{L}^T$ fournie par la factorisation; si on choisit de prendre
les \'el\'ements diagonaux de $\boldsymbol{M}$ tous \'egaux \`a 1,
 $\boldsymbol{M} = \boldsymbol{L}^T\boldsymbol{B}^{-1/2}$, o\`u $\boldsymbol{B}$ est
la matrice des \'el\'ements diagonaux de $\boldsymbol{L}$.

\noindent Si l'on veut absolument r\'ecup\'erer l'expression de la
nouvelle base dans l'ancienne, il faut r\'esoudre
 $\boldsymbol{b}^\perp\boldsymbol{M}=
\boldsymbol{b}$, mais les applications vraiment utiles demandent bien
$\boldsymbol{M}$ plut\^ot que $\boldsymbol{M}^{-1}$: ainsi, s'il faut exprimer
un vecteur $v=\sum_0^n c_i \boldsymbol{b}_i$ dans la nouvelle base,
$$ v= {\bf b\/} [c_0,\ldots,c_n]^T  =
   \boldsymbol{b}^\perp \boldsymbol{M}[c_0,\ldots,c_n]^T,$$
le nouveau vecteur de coefficients est bien
$ \boldsymbol{M} [c_0,\ldots,c_n]^T$.


\medskip

Volume: puisque hauteur $=\|b_n^\perp\|$,
$$ \text{Vol}_n = \|b_1^\perp\|\; \dotsb \|b_n^\perp\| =\text{ \
produit\ des\ \'el\'ements\ diagonaux\ de\ } L =
[\det G_n]^{1/2}.
$$

Hadamard: le d\'eterminant de toute matrice $[a_{i,j}]$
est born\'e par le produit des normes des lignes:

$$ |\det A| \leqslant \prod_{i=1}^n  \sqrt{\sum_j |a_{i,j}|^2 }. $$

En effet, soit $b_i$ le vecteur de $\mathbb{C}^n$ de composantes
$a_{i,1},\dotsc, a_{i,n}$ dans la base canonique $e_1,\dotsb, e_n$.

Par Gram-Schmidt, on construit la base orthogonale
$b_1^\perp,\dotsc, b_n^\perp$, donc
$$
A= \left( \begin{bmatrix} b_1 \\  \vdots \\ b_n \end{bmatrix}
          , \begin{bmatrix} e_1 & \cdots & e_n\end{bmatrix} \right) =
  \boldsymbol{M}^T
     \left( \begin{bmatrix} b_1^\perp \\  \vdots \\ b_n^\perp \end{bmatrix}
          , \begin{bmatrix} e_1 & \cdots & e_n\end{bmatrix} \right) =
 \boldsymbol{M}^T
  \begin{bmatrix} \|b_1^\perp\| &  &  \\ & \ddots & \\  &  & \|b_n^\perp\|\end{bmatrix}
\,\boldsymbol{U},
$$
o\`u $\boldsymbol{U}$ est une matrice unitaire (rotation de base orthonormale),
donc de d\'eterminant unit\'e, et $\det A=$ le produit des longueurs des $b_i^\perp
\leqslant$ le produit des longueurs des $b_i$.

Le d\'eterminant d'une matrice hermitienne d\'efinie positive est inf\'erieur
au produit des \'el\'ements diagonaux.

\section{Polyn\^omes orthogonaux.}

On applique maintenant ce qui pr\'ec\`ede au cas o\`u $X$ est
un espace pr\'ehilbertien de fonctions, muni d'un produit scalaire
du type \eqref{prodscalfw} ou, plus g\'en\'eralement
\eqref{prodscalfmu} : $\displaystyle{
    (f,g) = \int_a^b f(x)g(x)\,d\mu(x)  }$, et o\`u
$V=\mathscr{P}_n$.

\subsection{Construction d'une base orthogonale de $\mathscr{P}_n$} {\ } \\

L'espace vectoriel de dimension finie $\mathscr{P}_n$ (de dimension
$n+1$) contient une infinit\'e de bases orthogonales. Ici, on se donne
la contrainte suppl\'ementaire: degr\'e $\Phi_i=i,\ i=0,1,\ldots,n$,
donc, en partant de $x^0, x, \dotsc, x^n$:
\begin{equation*}
  \begin{matrix}
     \Phi_0(x)= &  1   &  &            &   &          & &          &   \\
     \Phi_1(x)= &   x  &+ & \Phi_1(0)  &   &          & &          &   \\
   \vphantom{x} &        &  &            &   &          & &          &     & \\
     \Phi_2(x)= &  x^2 &+ & A'_2x      &+  & \Phi_2(0)& &          &    \\
      \cdots    & \cdots &  &  \cdots    &   & \cdots   & &          &     & \\
     \Phi_n(x)= &    x^n &+ & A'_nx^{n-1}& + & \cdots   &+&\Phi_n(0) &
  \end{matrix}
\end{equation*}

\subsubsection{Moments, matrice de Hankel.}

Exprimons que $$\Phi_i(x)=\Phi_i(0)+\cdots+A'_i x^{i-1}+ x^i$$
 est orthogonal \`a $1, x, x^2,\ldots, x^{i-1}$. On retrouve une
matrice de Gram:
\begin{equation*} \begin{matrix}
\Phi_i(0)\,(x^0,x^0)    &+& \cdots &+& A'_i\,(x^{i-1},x^0)    &+& (x^i,x^0)   &=& 0\\
\Phi_i(0)\,(x^0,x^1)    &+& \cdots &+& A'_i\,(x^{i-1},x^1)    &+& (x^i,x^1)   &=& 0\\
    \cdots              & & \cdots & & \cdots                 &+& \cdots           & &  \\
\Phi_i(0)\,(x^0,x^{i-1})&+& \cdots &+& A'_i\,(x^{i-1},x^{i-1})&+& (x^i,x^{i-1})&=& 0
\end{matrix}\end{equation*}
Soit $(x^i,x^j)=\int_a^b x^{i+j}d\mu(x) =: \mu_{i+j}$,
\textbf{moment}\footnote{La notion de moment se retrouve
\'egalement en \emph{m\'ecanique} et en \emph{probabilit\'es}.
Le moment d'ordre $k$ autour de $x_0$ de $d\mu$ est
$\int_a^b (x-x_0)^k\,d\mu(x)$.}
d'ordre $i+j$ (autour de 0) de $d\mu$. Ces moments existent tant que
$i+j\le 2n$, par hypoth\`ese et la discussion
``Existence de l'int\'egrale'' faite au point \ref{existint},
p.~\pageref{existint}. On a donc
\begin{equation} \label{matmoments} \begin{bmatrix}
     \mu_0 & \mu_1 & \cdots & \mu_{i-1} & \mu_i \\
     \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_i & \mu_{i+1} \\
   \cdots  &\cdots & \cdots & \cdots& \cdots \\
     \mu_{i-1} & \mu_i & \cdots & \mu_{2i-2} & \mu_{2i-1}
  \end{bmatrix}         \begin{bmatrix}
      \Phi_i(0)\\ \Phi'_i(0)\\ \vdots\\  A'_i\\  1 \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix} 0\\  0\\ \vdots\\  0   \end{bmatrix} ,
\end{equation}
syst\`eme  de $i$ \'equations \`a $i$ inconnues
$\Phi_i(0), \Phi'_i(0),\dotsc, A'_i$. La matrice
 carr\'ee  $\boldsymbol{H}$
\begin{equation}  \label{matmomentsi}
  \boldsymbol{H}_i = \begin{bmatrix}
     \mu_0 & \mu_1 & \cdots & \mu_{i-1}  \\
     \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_i  \\
   \cdots  &\cdots & \cdots & \cdots \\
     \mu_{i-1} & \mu_i & \cdots & \mu_{2i-2}  \end{bmatrix}
\end{equation}
est \emph{d\'efinie positive}:
\smallskip\noindent
 soit
$\boldsymbol{v} =[v_0,v_1,\ldots, v_{i-1}]^T$, avec au moins un des $v_j\ne 0$,
alors,
$$\boldsymbol{v}^T\boldsymbol{Hv} = \sum_{p=0}^{i-1} v_p \sum_{q=0}^{i-1}
  \mu_{p+q} v_q =
   \sum_{p=0}^{i-1} v_p \int_a^b \left(\sum_{q=0}^{i-1} v_q x^{p+q}\right)d\mu(x)
 = \int_a^b \left( \sum_{p=0}^{i-1} v_p x^p\right)^2 d\mu(x) >0$$
car le produit scalaire est d\'efini positif. On aura d'ailleurs
reconnu la \textbf{matrice de Gram} de la base
$\{\boldsymbol{b}_j = x^j\}_0^{i-1}$ de $\mathscr{P}_{i-1}$ (cf. \eqref{Grammat}
p.~\pageref{Grammat}).

\smallskip



\noindent L'ensemble des polyn\^omes de degr\'e $i$ orthogonaux
\`a $\mathscr{P}_{i-1}$ est  donn\'e par
$$ \{ A_i\;\Phi_i\},\qquad  A_i\ne 0, (\Phi_i(x)=x^i+\dotsb).$$

\smallskip

\noindent Les polyn\^omes \emph{orthonormaux} $\|\varphi_i\|=1$ sont
donn\'es par $A_i\Phi_i$ tels que $\|A_i\Phi_i\|=|A_i|\;\|\Phi_i\|=1$:
$$ \varphi_i = A_i\;\Phi_i = \pm\dfrac{\Phi_i}
                                           {\|\Phi_i\|}.$$


\smallskip

\noindent \textbf{Exemples.} Des calculs simples, mais devenant vite un
peu fastidieux, aboutissent \`a l'explicitation des $\Phi_i$ pour de
petites valeurs de $i$:



\medskip
\begin{table}[ht]  \smallskip    \setlength{\extrarowheight}{5pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|}  \hline
      degr\'e   & $\Phi_i(x)$  &  $\varphi_i(x)$ \\ \hline
    0  &   1   &    $\pm\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0}}$   \\ \hline
    1  &   $x-\dfrac{\mu_1}{\mu_0}$ &
 $\pm \dfrac{x-\dfrac{\mu_1}{\mu_0}}
             {\sqrt{\mu_2-\dfrac{\mu_1^2}{\mu_0}}}$
   \\ \hline
   2 & $x^2 - \dfrac{\mu_0\mu_3-\mu_1\mu_2}{\mu_0\mu_2-\mu_1^2} x +
             \dfrac{\mu_1\mu_3-\mu_2^2}{\mu_0\mu_2-\mu_1^2}$ &
$\pm\dfrac{x^2 - \dfrac{\mu_0\mu_3-\mu_1\mu_2}{\mu_0\mu_2-\mu_1^2} x +
             \dfrac{\mu_1\mu_3-\mu_2^2}{\mu_0\mu_2-\mu_1^2} }
 {\sqrt{\dfrac{\mu_0\mu_2\mu_4-\mu_1^2\mu_4-\mu_0\mu_3^2
               +2\mu_1\mu_2\mu_3-\mu_2^3}{\mu_0\mu_2-\mu_1^2}}} $
\\  \hline
\end{tabular}

\caption{Polyn\^omes orthogonaux de petits degr\'es.}

\end{table}


\smallskip

On voit appara\^\i tre d'int\'eressants d\'eterminants\dots

\smallskip

\subsubsection{ D\'eterminants.}

Ajoutons
 $$  \begin{bmatrix} 1 & x & \ldots & x^{i-1} & x^i \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}\Phi_i(0)\\ \Phi'_i(0)\\ \vdots\\  A'_i\\ 1\end{bmatrix}
     = \Phi_i(x) $$
\`a \eqref{matmoments} pour obtenir un syst\`eme de $i+1$
 \'equations \`a $i+1$ inconnues,
et extrayons ``l'inconnue'' $1$ par formule de Cramer:   \label{techCramer}
$$ 1=  \dfrac{
  \begin{vmatrix} \mu_0 & \mu_1 & \ldots & \mu_{i-1} & 0 \\
                 \mu_1 & \mu_2 & \ldots & \mu_i & 0 \\
                \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
               \mu_{i-1} & \mu_i & \ldots & \mu_{2i-2} & 0 \\
                 1       &  x    & \ldots & x^{i-1} & \Phi_i(x)
   \end{vmatrix}  }
{ \begin{vmatrix} \mu_0 & \mu_1 & \ldots & \mu_{i-1} & \mu_i \\
                 \mu_1 & \mu_2 & \ldots & \mu_i & \mu_{i+1} \\
                \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
               \mu_{i-1} & \mu_i & \ldots & \mu_{2i-2} & \mu_{2i-1} \\
                 1       &  x    & \ldots & x^{i-1} & x^i
   \end{vmatrix}
               }
$$
soit:
$$ \Phi_i(x) =  \;\dfrac
{ \begin{vmatrix} \mu_0 & \mu_1 & \ldots & \mu_{i-1} & \mu_i \\
                 \mu_1 & \mu_2 & \ldots & \mu_i & \mu_{i+1} \\
                \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
               \mu_{i-1} & \mu_i & \ldots & \mu_{2i-2} & \mu_{2i-1} \\
                 1       &  x    & \ldots & x^{i-1} & x^i
   \end{vmatrix}
               }
  {\det \boldsymbol{H}_i } . $$
Le num\'erateur est lin\'eaire en les \'el\'ements de la derni\`ere
ligne, donc, $\forall\, f$,
$$ (\Phi_i,f) =  \;\dfrac
{ \begin{vmatrix} \mu_0 & \mu_1 & \ldots & \mu_{i-1} & \mu_i \\
                 \mu_1 & \mu_2 & \ldots & \mu_i & \mu_{i+1} \\
                \cdots &\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
               \mu_{i-1} & \mu_i & \ldots & \mu_{2i-2} & \mu_{2i-1} \\
  (1,f)       &  (x,f)    & \ldots & (x^{i-1},f) & (x^i,f)
    \end{vmatrix}
               }
  {\det \boldsymbol{H}_i }. $$
En particulier, $(\Phi_i,\Phi_i)=(\Phi_i, x^i+g)$, avec
$g\in\mathscr{P}_{i-1}$, donc, $(\Phi_i,\Phi_i)=(\Phi_i,x^i)$:
$$ (\Phi_i,\Phi_i) = \|\Phi_i\|^2 = \,\dfrac{\det\boldsymbol{H}_{i+1}}
                                          {\det\boldsymbol{H}_i} \,,
$$
ce qui confirme d'ailleurs que $\det \boldsymbol{H}_i >0$ (la formule est
valable \`a partir de $i=0$ si on pose $\det \boldsymbol{H}_0 =1$).

\medskip

\noindent\textbf{Remarque.} Si $\mu$ n'a que $n$ points de croissance
$x_1,x_2,\ldots,x_n$ sur $[a,b]$, on peut encore d\'eterminer $\Phi_n$
mais $\|\Phi_n\|=0$ (c'est-\`a-dire $\Phi_n(x)=(x-x_1)\ldots(x-x_n)$),
car $\boldsymbol{H}_{n+1}$ n'est que semi-d\'efinie positive: il existe
$\boldsymbol{v}=[v_0,\ldots,v_n]^T\ne 0$ tel que $\boldsymbol{H}_{n+1}\boldsymbol{v}=0$,
les $v_j$ ne sont autres que les coefficients de $(x-x_1)\ldots(x-x_n)=
\Phi_n(x)$.

\smallskip

\subsubsection{Relation avec la m\'ethode de Gram-Schmidt.}

On a appliqu\'e \eqref{Grambb} (p.~\pageref{Grambb}) \`a $V=\mathscr{P}_n$
de base initiale $\boldsymbol{b}_i = x^i$, $i=0,1,\dotsc, n$.
On cherche \`a construire une base orthogonale $\boldsymbol{b}_i^\perp
=\Phi_i$ qui soit un \emph{r\'earrangement triangulaire} de la
base donn\'ee. On utilise les $\Phi_i$ \`a mesure qu'on les construit: \\
1) $\Phi_0 =1$;\\
                      \index{Gram-Schmidt}
2) pour $i>0$, supposons disposer de $\Phi_0,\ldots,\Phi_{i-1}$,
alors $\Phi_i$ doit \^etre une combinaison lin\'eaire
\begin{equation} \label{betaalpha}
 \Phi_i = \alpha_i^{(i)}\Phi_0 +\cdots +\alpha'_i \Phi_{i-1}
  + x^i
\end{equation}
orthogonale \`a $\Phi_0$, \dots, $\Phi_{i-1}$:
$$ 0=(\Phi_i,\Phi_j)=(
             \alpha_i^{(i)}\Phi_0 +\cdots +\alpha'_i \Phi_{i-1}
  +  x^i,\Phi_j) =
    \alpha_i^{(i-j)}\|\Phi_j\|^2 +(x^i,\Phi_j)\;,$$
donc, le coefficient de $\Phi_j$ est
$$ \alpha_i^{(i-j)} = - \dfrac{(x^i,\Phi_j)}{\|\Phi_j\|^2}\,,\qquad
   j=0,\ldots,i-1. $$

On acc\`ede donc progressivement \`a tous les \'el\'ements de la
nouvelle base.
\medskip

On verra des algorithmes plus efficaces, bas\'es sur la \emph{relation
de r\'ecurrence}.

\medskip

\noindent \textbf{Conclusion} de cette partie. La d\'etermination
d'une base orthogonale de $\mathscr{P}_n$ n'est qu'un exemple de construction
de base orthogonale d'un espace de dimension finie. Cette construction
passe par l'orthogonalisation d'une base donn\'ee (m\'ethode de
Gram-Schmidt) et revient \`a consid\'erer la factorisation de Cholesky
de la matrice de Gram de la base initiale. Dans le cas des polyn\^omes,
et avec un produit scalaire de la forme $(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)d\mu(x)$,
si la base initiale est celle des mon\^omes de $\mathscr{P}_n$, la matrice
de Gram est constitu\'ee des moments $\mu_{i+j}$ (\textbf{matrice de
Hankel}).  \index{Hankel, matrice de}



\bigskip

\subsection{Relation de r\'ecurrence}  {\ } \\    \label{subsecrecur}


Le r\'esultat suivant est de la plus haute importance pour tout ce qui
concerne l'utilisation des polyn\^omes orthogonaux:

\smallskip\noindent
\textbf{Th\'eor\`eme.} \emph{Toute suite de polyn\^omes orthogonaux
 $\{\Phi_0,\Phi_1,\ldots\}$, $\Phi_i(x)=x^i+\dotsb$,
  relatifs \`a un produit scalaire de la
forme $(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)\,d\mu(x)$ v\'erifie une relation de
r\'ecurrence d'ordre deux:
\begin{equation} \label{recurphin}
  \Phi_{n+1}(x) = \,(x-\alpha_n)\Phi_n(x)
   -\,\beta_n^2\,\Phi_{n-1}(x)\,,
  \qquad n=1,2,\ldots
\end{equation}
avec $\Phi_0=1$ et $\Phi_1(x)=x-\alpha_0$,
\begin{equation} \label{alphabetan}  \begin{split}
      \alpha_n &= \dfrac{(x\;\Phi_n,\Phi_n)}{\|\Phi_n\|^2} =
   \dfrac{\int_a^b x\;\Phi_n^2(x)(x)\,d\mu(x)}
         {\int_a^b  \Phi_n^2(x)(x)\,d\mu(x)}\;,\qquad
              n=0,1,\ldots    \\
      \beta_n^2 &= \dfrac{\|\Phi_n\|^2}{\|\Phi_{n-1}\|^2} =
   \dfrac{\int_a^b  \Phi_n^2(x)(x)\,d\mu(x)}
         {\int_a^b  \Phi_{n-1}^2(x)(x)\,d\mu(x)}\;,\qquad
              n=1,2,\ldots
\end{split} \end{equation}     \index{recurrence}
Si $\mu$ n'a que
$N<\infty$ points de croissance sur $[a,b]$, les relations de
r\'ecurrence sont limit\'ees \`a $1\leq n\leq N-1$.
}

\smallskip

En effet,
effectuons la division du polyn\^ome $\Phi_{n+1}$ de degr\'e $n+1$
par $\Phi_n$ de degr\'e $n$, soit $x-\alpha_n$ le quotient, et $R_n$
le reste qui doit \^etre de degr\'e $<n$: soit
$R_n=\gamma_n \Phi_{n-1}+\gamma'_n\Phi_{n-2}+\cdots$,
$$ \Phi_{n+1}(x) = (x-\alpha_n)\Phi_n(x) +
     \gamma_n \Phi_{n-1}(x)+\gamma'_n\Phi_{n-2}(x)+\cdots, $$
et formons un produit scalaire en multipliant \`a gauche par
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
\item $\Phi_n$: $0=(\Phi_n(x),x\Phi_n(x))-\alpha_n(\Phi_n(x),\Phi_n(x))$,
ce qui donne $\alpha_n$.
 \setcounter{enumi}{1}
\item $\Phi_{n-1}$: $0=(\Phi_{n-1}(x),x\Phi_n(x))+
                 \gamma_n(\Phi_{n-1}(x),\Phi_{n-1}(x))$,
que l'on transforme encore en utilisant
                    $(\Phi_{n-1}(x),x\Phi_n(x)) =
                     (x\Phi_{n-1}(x),\Phi_n(x))$, et
 $x\Phi_{n-1}(x)=\Phi_n(x)
+\psi(x)$ avec $\psi\in\mathscr{P}_{n-1}$, donc orthogonal \`a $\Phi_n$:
\\
\begin{center}$\gamma_n = - \|\Phi_n\|^2 /\|\Phi_{n-1}\|^2 $\end{center}
not\'e $-\beta_n^2$ dans \eqref{recurphin}.
\\
 \setcounter{enumi}{2}
\item $\Phi_{n-j}$ avec $j>1$: $0=(\Phi_{n-j}(x),x\Phi_n(x))+
                 \gamma^{(j)}_n(\Phi_{n-j}(x),\Phi_{n-j}(x))$,
or
                             $  (\Phi_{n-j}(x),x\Phi_n(x))
                              = (x\Phi_{n-j}(x),\Phi_n(x)) $
et $x\Phi_{n-j}(x)$ n'est que de degr\'e $n-j+1<n$, donc orthogonal
\`a $\Phi_n$, $R_n$ n'a donc pas d'autre composante non nulle que celle
de $\Phi_{n-1}$.    \qed
\end{enumerate}


\medskip

\noindent\textbf{Remarque.} On a utilis\'e plusieurs fois dans la preuve
la propri\'et\'e $(f(x), xg(x))=(xf(x),g(x))=\int_a^b xf(x)g(x)d\mu(x)$.
On a ainsi mis en \'evidence le caract\`ere \emph{formellement autoadjoint}
de l'op\'erateur de multiplication par $x$ pour ce type de produit
scalaire. On reviendra sur cette notion.

\medskip

Si on choisit la suite tout aussi orthogonale $\{ A_n \Phi_n\}$,
avec des constantes $A_n\neq 0$, la r\'ecurrence devient
$$
  A_{n+1}\Phi_{n+1}(x) = \dfrac{A_{n+1}}{A_n}\,(x-\alpha_n)A_n\Phi_n(x)
   -\dfrac{A_{n+1}}{A_{n-1}}\,\beta_n^2\,A_{n-1}\Phi_{n-1}(x)\,,
$$


Pour les \emph{polyn\^omes orthonormaux}, $A_n=1/\|\Phi_n\|$,
de sorte que $A_n/A_{n+1}= \|\Phi_{n+1}\|/\|\Phi_n\| = \beta_{n+1}$,
par \eqref{alphabetan}, et si on choisit de prendre $\beta_n>0$,
\begin{equation} \label{recurphistarn}
 \beta_{n+1}\varphi_{n+1}(x) = (x-\alpha_n)\varphi_n(x)
     -\beta_n\varphi_{n-1}(x).
\end{equation}

\smallskip

\subsection{Quelques algorithmes utilisant la r\'ecurrence} {\ } \\
Voici, dans une syntaxe vaguement inspir\'ee de {\tt matlab}, quelques
\'echantillons de la souplesse et de la puissance des relations de
r\'ecurrence. On suppose disposer des valeurs num\'eriques de $\alpha_i$,
$\beta_i$ pour $i=0,1,\ldots,n$:

\smallskip
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
\item  Acc\'eder \`a la valeur num\'erique de $\Phi_n(x)$:

  \noindent $p=1;q=x-\alpha_0$;  \\
  for $i=1:1:n-1$;      \\
  \  $r=(x-\alpha_i)q - \beta_i^2 p$; \%ici, $p=\Phi_{i-1}(x), q=\Phi_i(x), r=\Phi_{i+1}(x)$  \\
  \  $p=q;q=r;$   \\
  end;

\noindent La r\'eponse est $ r$.

 \setcounter{enumi}{1}
\item  Effectuer la somme $s=\sum_{i=0}^n c_i \Phi_i(x)$:  \\  \label{itemsomme1}
 \begin{enumerate}
  \setcounter{enumii}{0}
 \item Forme progressive: on ajoute l'accumulation des sommes partielles
\`a l'algorithme pr\'ec\'edent:

  \noindent $p=1;q=x-\alpha_0;s=c_0+c_1  q$;  \\
  for $i=1:1:n-1$;  \\
  \  $r=(x-\alpha_i) q - \beta_i^2 p$; \%ici, $p=\Phi_{i-1}(x), q=\Phi_i(x), r=\Phi_{i+1}(x)$  \\
  \  $s=s+c_{i+1}  r$; \\
  \  $p=q;q=r$;  \\
  end;
  \setcounter{enumii}{1}
\item Forme r\'egressive: on \'ecrit \eqref{recurphin} jusque $\Phi_n$,
   suivi de l'expression de $s$:   \label{itemsomme2}
   $$ \boldsymbol{R\varphi}= s\boldsymbol{e}:
      \begin{bmatrix} x-\alpha_0 & -1         &              &            &   \\
                      -\beta_1^2 & x-\alpha_1 & -1           &            &   \\
                                 &  \dots     &\dots         &\dots       &   \\
                                 &            &-\beta_{n-1}^2&x-\alpha_{n-1}&-1\\
                         c_0     &    c_1     &     \dots    &  c_{n-1}   &  c_n
       \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\Phi_0 \\ \Phi_1(x) \\ \vdots \\
                        \Phi_{n-1}(x) \\ \Phi_n(x) \end{bmatrix} =
         \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ s \end{bmatrix}
    $$
  et on multiplie par le vecteur ligne $\boldsymbol{\sigma}=[s_0, s_1,\dotsc, s_n]$ avec
  $s_n=1$, et toutes les composantes de $\boldsymbol{\sigma R}$ \'egales
 \`a 0, sauf la premi\`ere, alors, $s=(x-\alpha_0)s_0 -\beta_1^2 s_1+ c_0$:\\
  $q=0;r=0;$  \\
  for $i=n:-1:0$; \\
    \   $p=(x-\alpha_i) q -\beta_{i+1}^2 r +  c_i$; \% ici,
                   $p=s_{i-1}, q=s_i, r=s_{i+1}$ \\
    \   $r=q; q=p;$ \\
   end; \\
   $s=p;$
  \end{enumerate}
 \setcounter{enumi}{2}
\item  Acc\'eder \`a la valeur num\'erique de la d\'eriv\'ee $\Phi'_n(x)$:
il suffit de d\'eriver \eqref{recurphin} pour construire la r\'ecurrence (non homog\`ene)
des d\'eriv\'ees
 $ \Phi'_{n+1}(x) = (x-\alpha_n)\Phi'_n(x)
   \beta_n^2\Phi'_{n-1}(x) +\Phi_n(x)$

  $p=1;q=x-\alpha_0$; \\
  $p1=0;q1=1; $\\
  for $i=1:1:n-1$; \\
  \  $r=(x-\alpha_i) q - \beta_i^2 p$; \%ici, $p=\Phi_{i-1}(x), q=\Phi_i(x), r=\Phi_{i+1}(x)$ \\
  \  $r1=(x-\alpha_i) q1 - \beta_i^2 p1 + q$ ; \%ici, $p1=\Phi'_{i-1}(x), q1=\Phi'_i(x), r1=\Phi'_{i+1}(x)$  \\
  \  $p=q;q=r;$\\
  \  $p1=q1;q1=r1;$\\
  end;\\
\noindent La r\'eponse est $ r1$.

 \setcounter{enumi}{3}
\item R\'earranger $\sum_{i=0}^n c_i\Phi_i(x) =
                           \sum_{i=0}^n a_i x^i$.
\begin{enumerate}
  \setcounter{enumii}{0}
 \item
Passer des $a_i$ aux $c_i$: on constitue progressivement la somme par
les diff\'erentes \'etapes du sch\'ema de Horner
$ s = x s +a_i$, $i=n,n-1,\ldots$ (Hamming) en utilisant la
r\'ecurrence \eqref{recurphin} sous la forme
$x\;\Phi_i(x)=\Phi_{i+1}(x) +\alpha_i\;\Phi_i(x)
+\beta_i^2 \;\Phi_{i-1}(x)$:  \\
  $c_{n+1} = 0; c_{n+2} = 0$; \\
  for $i=n:-1:0$;   \\
 \    \% ici, $c_{i+1}\;\Phi_0+\cdots +c_n\;\Phi_{n-i-1} = a_{i+1}+\cdots + a_n x^{n-i-1}$  \\
 \    $c_i = a_i +  \alpha_0 c_{i+1} + \beta_1^2 c_{i+2}$ ; \\
 \    for $j=1:1:n-i$ ; \\
 \ \     $c_{i+j} = c_{i+j}  + \alpha_j c_{i+j+1} + \beta_{j+1}^2 c_{i+j+2}$ ;  \\
 \    end ; \\
   end;  \\
   for $i=0:1:n; a_i=a_i/A_i$; end ;
  \setcounter{enumii}{1}
\item
Passer des $c_i$ aux $a_i$:
on reprend les $s_i$ du point \ref{itemsomme2} ci-dessus, en constatant que
$s_i$ est un polyn\^ome de degr\'e $n-1-i$, $i=n-1,n-2,\dotsc, -1$: \\

\noindent\% polynome dans la base x\^{}n   x\^{}(n-1)  ...  1   \\
r=zeros(1,n+1);r(n+1)=c(n+1);  \\
if n$>$0  \\
q=zeros(1,n+1);q(n)=r(n+1); \\
q(n+1)=-alpha(n)*r(n+1)+c(n);p=zeros(1,n+1); \\
for i=n-1:-1:1  \\
 p(i:n)=q(i+1:n+1);p(n+1)=0; \ \% coefficients de $xs_{i-1}$ (shift) \\
 p=p-alpha(i)*q-beta2(i+1)*r;p(n+1)=p(n+1)+c(i); \ \% p contient maintenant les
        coefficients de $s_{i-2}$ (alpha(i) vaut $\alpha_{i-1}$ etc.)\\
 r=q;q=p;  \\
end;  \\
r=q; \\
end;  \\
a=r; \\
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

On voit l'importance de la r\'ecurrence dans tout traitement
num\'erique li\'e aux polyn\^omes orthogonaux. Encore faut-il
conna\^\i tre les coefficients de la r\'ecurrence\dots
\\
\`A partir de la fonction de poids (ou densit\'e) $w$, ou de la
fonction croissante $\mu$, on peut construire%
\footnote{W.\ Gautschi, On generating orthogonal polynomials,
 {\sl SIAM J.\ Sci.\ Stat.\ Comput.\ }{\bf 3\/} (1982) 289-317.}
 les coefficients
$\alpha_n$ et $\beta_n$ de \eqref{recurphin} soit par
\begin{itemize} \item
 des m\'ethodes de type ``Stieltjes'', o\`u on \'evalue $\alpha_n$ et
$\beta_n$ par \eqref{alphabetan} \`a partir de  valeurs num\'eriques de $\Phi_n$
(elles-m\^emes obtenues par exploitation de la r\'ecurrence jusqu'au
degr\'e $n$) en
utilisant une formule d'int\'egration num\'erique (ou une \'evaluation
exacte si $\mu$ est une fonction en escalier),
\item
 des m\'ethodes de type ``Tchebycheff'', o\`u on manipule des int\'egrales
d\'efinies (en partant des moments $\mu_k=\int_a^b x^k\,d\mu(x)$, ou,
mieux encore, de moments modifi\'es%
\footnote{Le probl\`eme de la d\'etermination de $\alpha_n$ et
$\beta_n$ (constantes de Lanczos)
en fonction des moments $\mu_k=\int_a^b x^k\,d\mu(x)$ (constantes
de Schwarz) est
mal conditionn\'e si $n$ est grand. Pour une synth\`ese r\'ecente
sur la question, cf. W.\ Gautschi, Algorithm 726.\
ORTHPOL: a package of routines for generating orthogonal polynomials
and Gauss-type quadrature rules, {\sl ACM Trans.\ Math.\ Soft.\ }
{\bf 20\/} (1994) 21-62.}
$\int_a^b p_k(x)\,d\mu(x)$ avec des polyn\^omes $p_k$
``bien choisis''.

Voici l'algorithme le plus primitif de cette famille, on construit les
int\'egrales $\mu_{k,m}:=\int_a^b x^k\;\Phi_m(x)\,d\mu(x)$ en partant
de $\mu_{k,0}=\mu_k, k=0,1,\ldots,2n$,
   $\mu_{k,1}=\int_a^b x^k(x-\alpha_0)\,d\mu(x)=\mu_{k+1}-
   \alpha_0\mu_k, k=0,1,\ldots,2n-1$, o\`u $\alpha_0=\mu_1/\mu_0$.
Ensuite:
\begin{equation*} \begin{split}
 \mu_{k,m+1} &= \int_a^b x^k\;\Phi_{m+1}(x)\,d\mu(x) \\
   &= \int_a^b x^k[(x-\alpha_m)\;\Phi_m(x)-\beta_m^2\;\Phi_{m-1}(x)]
  d\mu(x),\qquad (\text{par\ }\eqref{recurphin}) \\
   &= \mu_{k+1,m} -\alpha_m \mu_{k,m} -\beta_m^2\mu_{k,m-1}
\end{split} \end{equation*}
pour $k=0,1,\ldots, 2n-m-1$, et on s'arr\^ete quand $m=n$.
Il faut conna\^\i tre $\alpha_m$ et $\beta_m$! L'astuce est de remarquer
que $\mu_{k,m}=0$ si $m>k$ par orthogonalit\'e. On commence en fait
en $k=m-1$, o\`u on a:
$\mu_{m,m}-\beta_m^2\mu_{m-1,m-1}$, ce qui donne $\beta_m$.
Ensuite, en $k=m$, $0=\mu_{m+1,m}-\alpha_m\mu_{m,m}-\beta^2_m\mu_{m-1,m-1}$,
d'o\`u $\alpha_m$.
\end{itemize}

Programmes matlab: voir
 MATLAB SUITE FOR GENERATING ORTHOGONAL POLYNOMIALS
  \href{http://www.cs.purdue.edu/archives/2002/wxg/codes/OPQ.html}
  {\texttt{http://www.cs.purdue.edu/archives/2002/wxg/codes/OPQ.html}}


On aurait pu obtenir ces informations par les algorithmes g\'en\'eraux
d'orthogonalisation (Gram-Schmidt, Cholesky), mais la factorisation
de Cholesky d'une matrice d'ordre $n$ co\^ute $\approx n^3/6$
op\'erations, alors que ce que l'on vient de voir ne repr\'esente
que $\approx n^2$ op\'erations. Ces simplifications, dont on ne
comprend pas tr\`es bien l'origine%
\footnote{Pour les polyn\^omes orthogonaux relativement
\` a un produit scalaire de Sobolev $(f,g)=\int_a^b[f(x)g(x)d\mu_1(x)+
                                                  f'(x)g'(x)d\mu_2(x)]$,
 on ne conna\^\i t rien de tel\dots}
 semblent dues
\`a une association favorable du caract\`ere polynomial des fonctions de
base et du type de produit scalaire utilis\'e.


\bigskip
\noindent{\bf Exemple: polyn\^omes de Legendre sur\/} $[a,b]$.
\index{Legendre, polyn\^omes de}
Prenons $w(x)=1$ (donc $\mu(x)=x+$ constante ) sur un intervalle
born\'e $[a,b]$. On a $\mu_{k,0}=\mu_k=\int_a^b x^k\,dx =
(b^{k+1}-a^{k+1})/(k+1)$, $\alpha_0=\mu_1/\mu_0=(a+b)/2$,
$\mu_{k,1}=\mu_{k+1}-\alpha_0\mu_k=
[k(b^{k+2}-a^{k+2})-(k+2)ab(b^k-a^k)]/(2(k+1)(k+2))$. Apr\`es quelques
calculs p\'enibles (on aurait mieux fait de prendre $p_k(x)=(x-a)^k$
ou $p_k(x)=(x-(a+b)/2)^k$), on trouve $\alpha_1=\alpha_2=\cdots =
(a+b)/2$, $\beta_1^2=(b-a)^2/12$,
          $\beta_2^2=(b-a)^2/15$, on verra plus loin la formule
donnant tous les $\beta_n$ dans ce cas\dots

\bigskip

\noindent\textbf{Algorithme quotient-diff\'erence (qd) de Rutishauser-Stiefel.}

\index{qd, algorithme} \index{quotient-diff\'erence, algorithme}
Voici un algorithme  beaucoup plus subtil
 reliant les moments
(constantes de Schwarz) aux coefficients de la r\'ecurrence (constantes
de Lanczos). Pour \'eviter des divisions par z\'ero, partons des
moments par rapport \`a $a$:
 $\displaystyle{\mu_k^{(a)}:=\int_a^b (x-a)^k\,d\mu(x)}$, $k=0,1,\dotsc$
On construit alors les colonnes successives du tableau


\begin{minipage}[t]{7cm}
\  \par

\begin{tabular}{>{$}l<{$}>{$}l<{$}>{$}l<{$}>{$}l<{$}>{$}l<{$}>{$}l<{$}}
            &    q_1^{(0)}      &        &          &           &    \\
 e_0^{(1)}=0&                   & e_1^{(0)}&        &           &    \\
            &    q_1^{(1)}      &        & q_2^{(0)}&           &    \\
 e_0^{(2)}=0&                   & e_1^{(1)}&        & e_2^{(0)} &    \\
            &    q_1^{(2)}      &        & q_2^{(1)}&           & \ddots   \\
 e_0^{(3)}=0&                   & e_1^{(2)}&        & e_2^{(1)} &          \\
            &    q_1^{(3)}      &        & q_2^{(2)}&           & \ddots   \\
 e_0^{(4)}=0&                   & e_1^{(3)}&        & e_2^{(2)} &          \\
            &    \vdots         &          &\vdots  &           & \ddots \\
 \vdots     &                   & \vdots   &        & \vdots    &
\end{tabular}
\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{1mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{8.5cm}
\  \par

\vspace*{-10pt}


par $q_1^{(k)}:= \mu_{k+1}^{(a)}/\mu_k^{(a)}$, $k=0,1,\dotsc$ et les
\emph{\textbf{r\`egles du losange}}
\begin{equation} \label{losan} \begin{split}
       e_m^{(n)} &:= q_m^{(n+1)}-q_m^{(n)}\; +e_{m-1}^{(n+1)}, \\
       q_{m+1}^{(n)} &:= \frac{ e_m^{(n+1)}}{e_m^{(n)}}\, q_m^{(n+1)},
\end{split}\end{equation}
pour $m=1,2,\dotsc$, $n=0,1,\dotsc$
\end{minipage}

Alors, $\alpha_k = a+q_{k+1}^{(0)}+e_k^{(0)},\  k=0,1,\dotsc,\ \ \beta_k^2 =
         e_k^{(0)} q_{k}^{(0)}$, $k=1,2,\dotsc$

{\Small
Explication\footnote{Reprise
de P.~Henrici, \textsl{Applied and Computational Complex Analysis},
vol.~1, Wiley, 1974, \S~7.6, 7.7.}:
 soit $\Phi_{k,n}$ le polyn\^ome orthogonal monique de degr\'e $k$ par
rapport \`a $(x-a)^n\,d\mu(x)$ sur $(a,b)$ (\emph{polyn\^omes de Hadamard}).
$\Phi_k^{(n+1)}-\Phi_k^{(n)}$ est 1) de degr\'e $\leqslant k-1$;
 2) orthogonal \`a $\mathscr{P}_{k-2}$ par rapport \`a
 $(x-a)^{n+1}\,d\mu(x)$, donc
$\Phi_k^{(n+1)}-\Phi_k^{(n)}=$ une constante fois $\Phi_{k-1}^{(n+1)}$,
soit
$\Phi_k^{(n+1)}-\Phi_k^{(n)}= -e_k^{(n)} \Phi_{k-1}^{(n+1)}$.
$\Phi_{k+1}^{(n)}(x)-(x-a)\Phi_k^{(n+1)}$ est 1) de degr\'e $\leqslant k$;
 2) orthogonal \`a $\mathscr{P}_{k-1}$ par rapport \`a
 $(x-a)^n\,d\mu(x)$, donc
$\Phi_{k+1}^{(n)}(x)-(x-a)\Phi_k^{(n+1)}=$ une constante fois $\Phi_{k}^{(n)}$,
soit
$\Phi_{k+1}^{(n)}(x)-(x-a)\Phi_k^{(n+1)}= -q_{k+1}^{(n)} \Phi_{k}^{(n)}$.
Remarquons que $q_k^{(n)}= -\Phi_k^{(n)}(a)/\Phi_{k-1}^{(n)}(a)$.

On retrouve la forme de la r\'ecurrence des $\Phi_k^{(n)}$:    \\
$0=\Phi_{k+1}^{(n)}-(x-a)\Phi_k^{(n+1)}+q_{k+1}^{(n)}\Phi_{k}^{(n)}
 +e_k^{(n)}\left[
   \Phi_{k}^{(n)}-(x-a)\Phi_{k-1}^{(n+1)}+q_{k}^{(n)}\Phi_{k-1}^{(n)}
  \right]$:

$\Phi_{k+1}^{(n)}(x) = \left(x-a-q_{k+1}^{(n)}-e_k^{(n)}\right) \Phi_k^{(n)}(x)
       -e_k^{(n)}q_k^{(n)}\Phi_{k-1}^{(n)}(x)$.

Pour retrouver les formules du losange, formons les produits scalaires
$(\Phi_k^{(n)}, \Phi_{k-1}^{(n+1)})_{n+1} = e_k^{(n)} \|\Phi_{k-1}^{(n+1)}\|_{n+1}^2$,
ou $e_k^{(n)} = \|\Phi_k^{(n)}\|_n^2/\|\Phi_{k-1}^{(n+1)}\|_{n+1}^2$;
$((x-a)\Phi_k^{(n+1)}, \Phi_k^{(n)})_n = q_{k+1}^{(n)} \|\Phi_k^{(n)}\|_n^2$,
ou $q_{k+1}^{(n)} = \|\Phi_k^{(n+1)}\|_{n+1}^2/\|\Phi_k^{(n)}\|_n^2$.
On retrouve d'abord ainsi la deuxi\`eme r\`egle \eqref{losan}.

On retrouve les deux r\`egles \eqref{losan} en formant la r\'ecurrence des
$\Phi_k^{(n+1)}$\\
$0=\Phi_{k+1}^{(n+1)}-\Phi_{k+1}^{(n)}+e_{k+1}^{(n)}\Phi_{k}^{(n+1)}
 +q_{k+1}^{(n)}\left[
   \Phi_{k}^{(n+1)}-\Phi_{k}^{(n)}+e_{k}^{(n)}\Phi_{k-1}^{(n+1)}
  \right]$:

$\Phi_{k+1}^{(n+1)}(x) = (x-a-q_{k+1}^{(n)}-e_{k+1}^{(n)}) \Phi_k^{(n+1)}(x)
       -e_k^{(n)}q_{k+1}^{(n)}\Phi_{k-1}^{(n+1)}(x)$.


} %end Small

\bigskip

\textbf{Exercice.} Montrez que les polyn\^omes
$\{ \Psi_{2k}(y)= \Phi_{k,n}(a+y^2),
   \Psi_{2k+1}(y)= y\Phi_{k,n+1}(a+y^2) \}$ sont orthogonaux sur
$-\sqrt{b-a}, \sqrt{b-a}$ par rapport \`a $y^{2n}d[\text{sign}\,y\,
(\mu(a+y^2)- \mu(a))]$.

Et on a la r\'ecurrence $\Psi_{m+1}(y)= y\Psi_m(y)- \gamma_m^2
 \Psi_{m-1}(y)$, avec $\gamma_{2k}^2= e_k^{(n)}, \gamma_{2k+1}^2=
   q_{k+1}^{(n)}$.   \index{recurrence}

\bigskip

\noindent{\bf Exemples: polyn\^omes de Legendre sur\/} $[a,b]$.

\index{Legendre, polyn\^omes de}
Reprenons l'exemple pr\'ec\'edent:
$\displaystyle{ \mu_k^{(a)}= \int_a^b (x-a)^k\,dx = \frac{(b-a)^{k+1}}{k+1} }$.
$q_1^{(k)} = (b-a)(k+1)/(k+2)$, $e_1^{(k)}= (b-a)/((k+2)(k+3))$,
$q_2^{(k)} = (b-a)(k+2)^2/((k+3)(k+4))$,
 $e_2^{(k)}= 4(b-a)/((k+4)(k+5))$,
$q_3^{(k)} = (b-a)(k+3)^2/((k+5)(k+6))$, etc.: \\
$q_n^{(k)} = (b-a)(k+n)^2/((k+2n-1)(k+2n))$,
 $e_n^{(k)}= n^2(b-a)/((k+2n)(k+2n+1))$,

$\alpha_n= (a+b)/2, \beta_n^2= \displaystyle{ \frac{n^2 (b-a)^2}
                                                  {4(4n^2-1)}   }$.

\medskip

\textbf{Polyn\^omes de Laguerre} $L_n^{(\alpha)}$.
\index{Laguerre, polyn\^omes de}

$a=0, b=\infty, d\mu(x)= x^\alpha e^{-x}$.
$\mu_k= \displaystyle{ \int_0^\infty x^{k+\alpha} e^{-x}\, dx =
\Gamma(k+\alpha+1) }$. \index{Gamma, fonction}
$q_1^{(k)} = \Gamma(k+\alpha+2)/\Gamma(k+\alpha+1) = k+\alpha+1$.
On montre facilement $q_n^{(k)}= k+\alpha+n,
e_n^{(k)}= n, \alpha_n=\alpha+2n+1, \beta_n^2= n(\alpha+n)$.

\medskip

\textbf{Polyn\^omes d'Hermite} $H_n$.
\index{Hermite, polyn\^omes d'}
Densit\'e $e^{-x^2}$ sur $(-\infty, \infty)$.
D'apr\`es l'exercice pr\'ec\'edent,  \\
$\displaystyle{ \mu(x=y^2)= \int_0^y e^{-t^2}\,dt }$, $y\geqslant 0$, donc
$\displaystyle{ d\mu(x)= \frac{1}{2} x^{-1/2}e^{-x} }$,
$H_{2n}(y)= L_n^{(-1/2)}(y^2),
 H_{2n+1}(y)= yL_n^{(1/2)}(y^2)$,  $\alpha_n=0, \beta_n^2=n/2$.

\bigskip

\subsection{Z\'eros des polyn\^omes orthogonaux}  {\ }\\  \label{zerospolorth}
 \index{Z\'eros de polyn\^omes}
Un polyn\^ome de degr\'e $n$ a au plus $n$ z\'eros r\'eels. Les choses
sont beaucoup plus pr\'ecises pour les polyn\^omes orthogonaux:

\smallskip
\noindent{\bf Th\'eor\`eme.\/}{\sl Toute fonction continue de norme $>0$,
orthogonale \`a $\mathscr{P}_{n-1}$ selon un produit scalaire
$(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)d\mu(x)$, o\`u $\mu$ a au moins $n$ points
de croissance sur $[a,b]$,
 doit admettre au moins $n$ changements
de signe sur l'intervalle ouvert $(a,b)$.\\
En particulier, le polyn\^ome orthogonal de degr\'e $n$ a $n$ z\'eros
simples dans $(a,b)$.}

En effet, supposons que $f$ ne change de signe qu'aux points
$a<x_1< \ldots < x_k<b$ avec $k<n$. Pour fixer les id\'ees, soit
$f(x)\geqslant 0 $ pour $x_k<x<b$, $f(x)\leqslant 0$ pour $x_{k-1}<x<x_k$, etc.
Alors, on aurait $f(x)p(x)\geqslant 0$ sur tout $[a,b]$, avec
$p(x)=(x-x_1)\ldots (x-x_k)\in \mathscr{P\/}_{n-1}$, donc
$\int_a^b f(x)p(x)\,d\mu(x)=0$ avec $f(x)p(x)\ge 0$: $fp$ devrait \^etre
nulle en chaque point de croissance de $\mu\Rightarrow f$ devrait \^etre
nulle en chacun de ces points ($f(x)p(x)=0 \Rightarrow f(x)=0$ si
$p(x)\ne 0$ et nous savons que $f(x)=0$ si $p(x)=0$), et on aurait
$\|f\|=0$. \qed

\smallskip

{\Small \noindent\textbf{Exercice.} \textsl{Montrez que, si le support
de $\mu$ est constitu\'e de plusieurs composantes connexes, $\Phi_n$
poss\`ede au plus un z\'ero simple dans tout intervalle s\'eparant deux
de ces composantes connexes}.

En effet, si $\Phi_n$ poss\'edait deux z\'eros (\'eventuellement
confondus) $x_i$ et $x_{i+1}$ dans un tel intervalle, $\Phi_n$ serait
orthogonal au polyn\^ome $\displaystyle{  \dfrac{\Phi_n(x)}{
  (x-x_i)(x-x_{i+1})}}$, donc,
 $$ 0= \int_S \Phi_n(x)  \dfrac{\Phi_n(x)}{(x-x_i)(x-x_{i+1})}\,d\mu(x)
     = \int_S   \dfrac{\Phi_n^2(x)}{(x-x_i)(x-x_{i+1})}\,d\mu(x),
$$
impossible, puisque $(x-x_i)(x-x_{i+1})$ est positif dans $S$ (ce produit
n'est n\'egatif que dans l'intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ situ\'e hors
du support $S$).
} %end Small

\medskip


\noindent{\bf Th\'eor\`eme.\/}{\sl Les z\'eros de $\Phi_{n+1}$ sont
s\'epar\'es par ceux de $\Phi_n$, c'est-\`a-dire que les z\'eros
$x_{1,n}< \ldots < x_{n,n}$ de $\Phi_n$ et les z\'eros $x_{1,n+1}< \ldots  <
x_{n+1,n+1}$ de $\Phi_{n+1}$ v\'erifient}  \vspace*{-5pt}
$$a< x_{1,n+1}<x_{1,n}<x_{2,n+1}< \ldots x_{n,n+1}<x_{n,n}<x_{n+1,n+1}
               < b.$$

En effet%
\footnote{Pour les ``experts'': $\{\Phi_{n+1},\Phi_n,\ldots,\Phi_0\}$
est une suite de Sturm. Voir aussi plus loin, \S~\ref{ztridi},
 p.~\pageref{ztridi}, la m\^eme propri\'et\'e des valeurs propres
 d'une matrice tridiahgonale.},
prenons d'abord $n=1$. Par la r\'ecurrence \eqref{recurphin}, $\Phi_2$ est
n\'egatif au z\'ero $x_{1,1}$ de $\Phi_1$, puisque $\Phi_0=1>0$, et
$\Phi_2$ est positif en $a$ et $b$, puisque $\Phi_2(x)=x^2+\cdots$
est positif quand $\pm x$ est grand et que $\Phi_2$ ne peut plus changer
de signe quand $x>b$ ou $x<a$. Donc, $\Phi_2$ doit avoir un z\'ero entre
$a$ et $x_{1,1}$ et un autre z\'ero entre $x_{1,1}$ et $b$.


\begin{minipage}[t]{7cm}
\  \par


\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,4)
  \psline{->}(0,2)(6.7,2)   \uput[90](6.5,2){$x$} \uput[270](6,2){$b$}
                                 \uput[270](6.2,1.75){\Small $\Phi_{n+1}>0$}
  \psline{->}(0,0)(0,3.5)
  \pscurve[linewidth=0.07](6,3)(5,2)(3,0.5)(2,2)(1,3.5)
  \pscurve[linewidth=0.07,linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](6,4)(5,3)(4,2)(2.5,0.5)(2,0.75)(1,2)(0.5,3.25)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](5,3)(5,1.25)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2,2)(2,0.75)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](6,2)(6,4)
   \uput[270](5,1.25){$x_{n,n}$}  \uput[0](1.5,3.0){$\Phi_n$}
  \uput[270](5,0.95){\Small $\Phi_{n+1}<0$}
   \uput[270](2,0.75){$x_{n,n-1}$}  \uput[180](5.5,3.5){$\Phi_{n-1}$}
  \uput[270](2,0.45){\Small $\Phi_{n+1}>0$}
  \psdots(5,2)(2,2)(1,2)(4,2)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\  \par


Ensuite, avec le choix de l'unit\'e pour le coefficient de $x^n$:
$\Phi_n(x) = x^n +\dotsb = \displaystyle{\prod_{k=1}^n (x-x_{n,k}) }$,
supposons que les z\'eros de $\Phi_n$ s\'eparent ceux de
$\Phi_{n-1}$ et montrons que les z\'eros de $\Phi_{n+1}$ s\'eparent
bien ceux de $\Phi_n$. Partons de $b$:
$\Phi_{n+1}(b)>0$ puisque $\Phi_{n+1}(x)=x^{n+1}+\dotsb$ est le produit
des $x-x_{n+1,k}$ tous positifs d\`es que $x>x_{n+1,n+1}$;
 $\Phi_{n+1}(x_{n,n})<0$ puisque $\Phi_{n-1}$ est
encore positif ($x_{n-1,n-1}<x_{n,n}$) et que $\Phi_{n+1}$ et $\Phi_{n-1}$
ont
\end{minipage}

\noindent
 des signes oppos\'es aux z\'eros de $\Phi_n$ (par la r\'ecurrence \eqref{recurphin},
$\Phi_{n+1}(x)=-\beta_n^2 \Phi_{n-1}(x)$ si $\Phi_n(x)=0$),
donc $\Phi_{n+1}$ a au moins un z\'ero entre $x_{n,n}$ et $b$;
$\Phi_{n+1}(x_{n-1,n})>0$ car $\Phi_{n-1}$ a chang\'e de signe entre
$x_{n-1,n}$ et $x_{n,n}$, donc $\Phi_{n+1}$ a au moins un autre z\'ero
entre $x_{n-1,n}$ et $x_{n,n}$; etc. On trouve ainsi $n+1$ intervalles
$$ (a,x_{1,n}), (x_{1,n},x_{2,n}),\ldots (x_{n-1,n},x_{n,n}),
 (x_{n,n},b)$$
o\`u $\Phi_{n+1}$ de degr\'e $n+1$ doit s'annuler, il y a donc
exactement un z\'ero dans chacun de ces intervalles. \qed

\noindent\textbf{Autre d\'emonstration:}  $\Phi_{n+1}/\Phi_n$ est une
fonction croissante entre deux asymptotes. En effet, vrai si $n=0$;
ensuite, par la r\'ecurrence \eqref{recurphin},
$\displaystyle{  \Phi_{n+1}(x)/\Phi_n(x) = x-\alpha_n
   -\dfrac{\beta_n^2}{\Phi_n(x)/\Phi_{n-1}(x)} }$ a donc un z\'ero
entre deux z\'eros de $\Phi_n$ (p\^oles).


\smallskip

\noindent {\bf Exemple. Z\'eros de quelques polyn\^omes de Legendre sur\/}
$[a,b]$.

Rappelons qu'on a trouv\'e $\Phi_1(x)=x-(a+b)/2$,
$\Phi_2(x)=[x-(a+b)/2]\Phi_1(x)-(b-a)^2/12 =
[x-(a+b)/2]^2-(b-a)^2/12$,
$\Phi_3(x)=[x-(a+b)/2]\Phi_2(x)-\Phi_1(x)\;(b-a)^2/15 =
[x-(a+b)/2]\{[x-(a+b)/2]^2-3(b-a)^2/20\}$:
\begin{equation*}
\begin{matrix}
1 & &  &   \dfrac{a+b}2 & &  \\
2 & &\dfrac{a+b}2 -\dfrac{b-a}{\sqrt{12}} &  &
    \dfrac{a+b}2 +\dfrac{b-a}{\sqrt{12}} &\\
3 & \dfrac{a+b}2 -\dfrac{b-a}{\sqrt{20/3}} &  & \dfrac{a+b}2 & &
    \dfrac{a+b}2 +\dfrac{b-a}{\sqrt{20/3}}
\end{matrix}
\end{equation*}



\medskip


\subsection{Z\'eros de polyn\^omes orthogonaux et valeurs propres de
matrices tri\-dia\-go\-na\-les sym\'etriques\label{ztridi}}  {\ } \\

Prenons maintenant les polyn\^omes orthonormaux, et r\'e\'ecrivons
la r\'ecurrence \eqref{recurphistarn} sous la forme
\begin{equation} \label{tridiag}   \begin{split}
\begin{bmatrix}
        \alpha_0 & \beta_1 &          &         &       \\
        \beta_1  & \alpha_1 & \beta_2 &          &      \\
                 & \ddots  & \ddots   &\ddots     &     \\
              &  &\beta_{n-2}&\alpha_{n-2} &\beta_{n-1}  \\
              &  &         & \beta_{n-1} & \alpha_{n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
 \varphi_0(x) \\ \varphi_1(x) \\ \vdots \\ \varphi_{n-2}(x)\\ \varphi_{n-1}(x)
\end{bmatrix}
 &= x
  \begin{bmatrix}
 \varphi_0(x) \\  \varphi_1(x) \\  \vdots \\  \varphi_{n-2}(x)\\ \varphi_{n-1}(x)
  \end{bmatrix}
  -
  \begin{bmatrix}
   0  \\  0 \\  \vdots \\  0 \\ \beta_n \varphi_n(x)
  \end{bmatrix}   \\
  \boldsymbol{T}_n \boldsymbol{\varphi}_n(x) &= x\boldsymbol{\varphi}_n(x)
 -\beta_n \boldsymbol{\Psi}_n(x).
\end{split}\end{equation}

Les z\'eros $x_{1,n},\dotsc, x_{n,n}$ de $\varphi_n$ sont donc les valeurs propres de la matrice
tridiagonale sym\'etrique r\'eelle $\boldsymbol{T}_n$. Le vecteur propre
correspondant \`a la valeur propre $x_{j,n}$ est
$[\varphi_0(x_{j,n}),\dotsc, \varphi_{n-1}(x_{j,n})]^T$. Ceci est tr\`es utile
pour le calcul (et la th\'eorie) des spectres de matrices sym\'etriques
r\'eelles car on peut toujours ramener une telle matrice par un nombre
fini de similitudes orthogonales simples \`a une matrice tridiagonale.

\medskip
           \index{orthogonale, matrice} \index{unitaire, matrice}
\noindent\textbf{Rappel. Matrices orthogonales et unitaires.}
\begin{itemize} \item
  Une \textbf{matrice orthogonale} est une matrice carr\'ee $\boldsymbol{A}$ qui
  v\'erifie
   $$ \boldsymbol{AA}^T = \boldsymbol{A}^T\boldsymbol{A} = \boldsymbol{I}\;.$$
  Les lignes d'une telle matrice sont donc de norme unit\'e et sont
 orthogonales entre elles.
  Les colonnes d'une telle matrice sont donc de norme unit\'e et sont
 orthogonales entre elles (au sens de l'orthogonalit\'e des vecteurs
 de $\mathbb{R}^N$: $(\boldsymbol{\varphi},\boldsymbol{\psi})=
        \boldsymbol{\varphi}^T\boldsymbol{\psi} =
  \sum_{k=1}^N \varphi_k\psi_k$).

  \item Une \textbf{matrice unitaire} est une matrice carr\'ee $\boldsymbol{A}$ qui
  v\'erifie
   $$ \boldsymbol{AA}^H = \boldsymbol{A}^H\boldsymbol{A} = \boldsymbol{I}\;.$$
  Les lignes d'une telle matrice sont donc de norme unit\'e et sont
 orthogonales entre elles.
  Les colonnes d'une telle matrice sont donc de norme unit\'e et sont
 orthogonales entre elles (au sens de l'orthogonalit\'e des vecteurs
 de $\mathbb{C}^N$: $(\boldsymbol{\varphi},\boldsymbol{\psi})=
        \boldsymbol{\varphi}^H\boldsymbol{\psi} =
  \sum_{k=1}^N \overline{\varphi_k} \psi_k$).

 \item Toute matrice sym\'etrique r\'eelle est diagonalisable par similitude
  orthogonale r\'eelle:
  $$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^T \Rightarrow \boldsymbol{A}=
       \boldsymbol{V\Lambda V\/}^{-1}\;,
               \qquad    \boldsymbol{V}^{-1}=\boldsymbol{V}^T.$$
  Les colonnes de $\boldsymbol{V}$ forment une base orthonormale (au sens de
  $\mathbb{R}^N$) de vecteurs propres de $\boldsymbol{A}$.

  \item Toute matrice hermitienne  est diagonalisable par similitude
  unitaire:
  $$ \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^H \Rightarrow \boldsymbol{A}=
       \boldsymbol{V\Lambda V\/}^{-1}\;,
               \qquad    \boldsymbol{V}^{-1}=\boldsymbol{V}^H.$$
  Les colonnes de $\boldsymbol{V}$ forment une base orthonormale (au sens de
  $\mathbb{C}^N$) de vecteurs propres de $\boldsymbol{A}$.
\end{itemize}

\smallskip


Soit $x_{j,n}$ le  $j^{\text{\`eme}}$  z\'ero de $\varphi_n$.
Par \eqref{tridiag}, la
                   $j^{\text{\`eme}}$  colonne de $\boldsymbol{V}$
a pour composantes $K_j \varphi_0(x_{j,n})$,
                   $K_j \varphi_1(x_{j,n})$, \dots
                   $K_j \varphi_{n-1}(x_{j,n})$, o\`u $K_j$
est tel que la somme des carr\'es de ces composantes soit \'egale
\'a 1: $K_j=[\sum_{k=0}^{n-1}\varphi_k^2(x_{j,n})]^{-1/2}$. L'\'el\'ement
$i,j$ de $\boldsymbol{V}$ est donc
$$ v_{i,j}=\dfrac{\varphi_i(x_{j,n})}{\sqrt{
             \sum_{k=0}^{n-1}\varphi_k^2(x_{j,n})}}\;,\qquad
  i=0,\ldots,n-1,\,, j=1,\ldots,n. $$
Exprimons maintenant que les \emph{lignes} de $\boldsymbol{V}$ sont
orthonormales (au sens de $\mathbb{R}^n$):

\smallskip

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.} \emph{Les polyn\^omes orthonormaux $\varphi_0$,
$\varphi_1$,\dots ,$\varphi_{n-1}$ selon un produit scalaire
$(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)d\mu(x)$, o\`u $\mu$ a au moins $n$ points
de croissance sur $[a,b]$, sont \'egalement orthonormaux selon
le produit scalaire discret
$$ (f,g)_n = \sum_{j=1}^n w_{j,n} f(x_{j,n})g(x_{j,n})\,, $$
o\`u $x_{1,n}$,\dots, $x_{n,n}$ sont les z\'eros de $\Phi_n$, et
les poids $w_{j,n}$ sont}
$$ w_{j,n} =
           \dfrac{1}{
             \sum_{k=0}^{n-1}\varphi_k^2(x_{j,n})}\;,\qquad
                     j=1,\ldots,n. $$

En effet, l'orthonormalit\'e (dans $\mathbb{R}^n$) des lignes de
$\boldsymbol{V}$ donne bien
$$ \sum_{j=0}^n v_{i_1,j}v_{i_2,j} =
\sum_{j=1}^n \dfrac{\varphi_{i_1}(x_{j,n})\varphi_{i_2}(x_{j,n})}{
             \sum_{k=0}^{n-1}\varphi_k^2(x_{j,n})}\;= \delta_{i_1,i_2},$$
pour $0\leqslant i_1,i_2\leqslant n-1$. \qed

\smallskip

Voici une tr\`es importante application de cette th\'eorie:

\smallskip

\subsection{Formules d'int\'egration de Gauss. Premi\`ere approche} {\ } \\

\label{formgauss1}
               \index{int\'egration, formule de Gauss d'}
D'apr\`es le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent, le produit scalaire initial
ne se distingue pas du produit scalaire discret \`a $n$ points
tant qu'on se contente d'effectuer des produits scalaires
d'\'el\'ements de $\mathscr{P}_{n-1}$ entre eux. Comme le produit
scalaire utilise le produit des deux fonctions consid\'er\'ees, le
produit scalaire discret permet le calcul exact d'int\'egrales
$\int_a^b f(x)\;d\mu(x)=(f,1)$ pour $\forall f\in\mathscr{P}_{2n-2}$, en fait
$\mathscr{P}_{2n-1}$: soit $f$ un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant 2n-1$, divisons
le par $\varphi_n$, et d\'eveloppons le quotient et le reste (tous deux
dans $\mathscr{P}_{n-1}$) dans la base $\{\varphi_0,\ldots, \varphi_{n-1}\}$:
$$ f = \left[\xi_0 \varphi_0 +\dotsb + \xi_{n-1}\varphi_{n-1}\right]
        \varphi_n +
             \eta_0 \varphi_0 +\dotsb + \eta_{n-1}\varphi_{n-1} ,$$
$$(f,1) =\xi_0 (\varphi_0,\varphi_n) +\dotsb +
                   \xi_{n-1}(\varphi_{n-1},\varphi_n)+ \dfrac{
  \eta_0(\varphi_0,\varphi_0) +\dotsb +
   \eta_{n-1}(\varphi_{n-1},\varphi_0)}{\varphi_0} =
  \dfrac{\eta_0}{\varphi_0},$$
$$\hspace*{-8pt} (f,1)_n =\xi_0 (\varphi_0,\varphi_n)_n +\dotsb +
                   \xi_{n-1}(\varphi_{n-1},\varphi_n)_n+ \dfrac{
        \eta_0(\varphi_0,\varphi_0)_n +\dotsb +
   \eta_{n-1}(\varphi_{n-1},\varphi_0)_n}{\varphi_0} =
  \dfrac{\eta_0}{\varphi_0},$$
les deux int\'egrales co\"\i ncident donc, les produits scalaires
\'etant \'egaux dans les deux cas (les produits scalaires originaux de
$\varphi_n$ et d'un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant n-1$ sont nuls par
orthogonalit\'e,
                                   les produits scalaires discrets  de
$\varphi_n$ et de n'importe quelle fonction  sont nuls parce que tous
les $\varphi_n(x_{j,n})=0$). On a donc
$$ \forall f\in \mathscr{P}_{2n-1}\,,\qquad
       \int_a^b f(x)d\mu(x) =   \sum_{j=1}^n w_{j,n} f(x_{j,n}). $$

Inversement, si
on se propose d'approcher $\int_a^b f(x)d\mu(x)$ par une somme pond\'er\'ee
$\sum_{j=1}^n H_j f(x_j)$, la formule devant \^etre exacte pour des
polyn\^omes de degr\'e aussi \'elev\'e que possible (\emph{degr\'e de
pr\'ecision de la formule}), on retrouve la m\^eme formule.
 Comme il y a $2n$ param\`etres $H_1$,\dots,
$H_n$ \emph{et} $x_1$, \dots, $x_n$ \`a d\'eterminer, on peut esp\'erer
r\'ealiser un degr\'e de pr\'ecision de $2n-1$, puisqu'il y a $2n$
coefficients dans un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant 2n$:
$$ \forall f\in \mathscr{P}_{2n-1}\,,\qquad
       \int_a^b f(x)d\mu(x) =   \sum_{j=1}^n H_j f(x_j). $$
Exprimons cela pour $f(x)=1,x,\ldots, x^{2n-1}$:
\begin{equation*} \begin{matrix}
  \mu_0 &=& H_1 &+& H_2 &+& \cdots &+& H_n \\
  \mu_1 &=& H_1x_1 &+& H_2 x_2 &+& \cdots &+& H_n x_n \\
  \mu_2 &=& H_1x_1^2 &+& H_2 x_2^2 &+& \cdots &+& H_n x_n^2 \\
   \cdots & & \cdots & & \cdots    & & \cdots & & \cdots   \\
  \mu_{2n-1} &=& H_1x_1^{2n-1} &+& H_2 x_2^{2n-1} &+& \cdots &+& H_n x_n^{2n-1}
\end{matrix} \end{equation*}
Redoutable (apparemment) syst\`eme de $2n$ \'equations non lin\'eaires
pour les $2n$ inconnues
 $H_1$,\dots,$H_n$,  $x_1$, \dots, $x_n$.

Soit $A_n x^n +A'_n x^{n-1}+\cdots +A_n^{(n-1)}x+A_n^{(n)}$ un polyn\^ome dont les
z\'eros sont les inconnues $x_1$,\dots, $x_n$, et multiplions une des
\'equations pa $A_n^{(n)}$, la suivante par $A_n^{(n-1)}$, etc. (m\'ethode
de \textbf{Prony}\footnote{Gaspard Clair Francois Marie Riche, baron de Prony,
1755-1839.}) et sommons:
$$ A_n^{(n)}\mu_\ell +A_n^{(n-1)}\mu_{\ell+1}+\cdots +A_n\mu_{\ell+n} =
   \sum_{j=1}^n H_j x_j^\ell [A_n^{(n)}+A_n^{(n-1)}x_j +\cdots +
   A_n x_j^n] =0 ,
$$
op\'eration que l'on peut effectuer pour $\ell=0,1,\ldots, n-1$: nous
obtenons exactement le syst\`eme lin\'eaire homog\`ene \eqref{matmoments} avec
$i=n$: les $x_j$ sont donc les z\'eros $x_{j,n}$ de $\Phi_n$!

Pour les $H_j$, on applique la formule d'int\'egration
\`a $\varphi_i$:
$$ \sum_{j=1}^n H_j \varphi_i(x_{j,n}) = \int_a^b \varphi_i(x)\,d\mu(x) =
    \sqrt{\mu_0}\delta_{i,0},\quad i=0,\ldots,n-1$$
Mettons en \'evidence les \'el\'ements $v_{i,j}$ de $\boldsymbol{V}$:
$$ \sum_{j=1}^n H_j \sqrt{
             \sum_{k=0}^{n-1}\varphi_k^2(x_{j,n})}\;v_{i,j} =
    \sqrt{\mu_0}\delta_{i,0},\quad i=0,\ldots,n-1$$
donc, les
$ H_j \sqrt{\sum_{k=0}^{n-1}\varphi_k^2(x_{j,n})}$ sont les \'el\'ements
de $\sqrt{\mu_0}$ fois la premi\`ere colonne de $\boldsymbol{V}^{-1}$, qui
est aussi la premi\`ere ligne de $\boldsymbol{V}, \boldsymbol{V}$ \'etant orthogonale.
Finalement:
$$H_j =\mu_0 v_{0,j}^2 =\dfrac{1}{
      \sum_{k=0}^{n-1}\varphi_k^2(x_{j,n})}\;,\qquad j=1,2,\ldots,n$$


Les $x_j$ et $H_j$ s'obtiennent donc \`a partir des valeurs et vecteurs
propres de la matrice tridiagonale $\boldsymbol{T}_n$ (algorithme de Golub
\& Welsch%
\footnote{G.H.\ Golub, J.H.\ Welsch, Calculation of Gauss quadrature
rules, \textsl{Math.\ Comp.} \textbf{23} (1969) 221--230.}.)

\smallskip

\noindent{\bf Exemple: quelques formules de Gauss-Legendre.}
               \index{int\'egration,  Gauss-Legendre }

On calcule ais\'ement les formules pour $n=1,2$ et 3:
$$ (b-a)f\left(\dfrac{a+b}2\right),$$
$$\dfrac{b-a}2 \left[
        f\left(\dfrac{a+b}2-\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}\right) +
        f\left(\dfrac{a+b}2+\dfrac{b-a}{\sqrt{12}}\right) \right],$$
$$\dfrac{5(b-a)}{18} \left[
        f\left(\dfrac{a+b}2-\dfrac{b-a}{\sqrt{20/3}}\right) +
        f\left(\dfrac{a+b}2+\dfrac{b-a}{\sqrt{20/3}}\right) \right] +
   \dfrac{4(b-a)}9 f\left(\dfrac{a+b}2\right).$$

Cette formule est \'evidemment surtout utilis\'ee comme formule
d'int\'egration approch\'ee pour estimer des int\'egrales d\'efinies
de fonctions non polynomiales, ce qui sera discut\'e plus loin. Mais
voici un \'echantillon, l'\'evaluation de $\int_1^2 x^{-1}dx$ avec des
formules \`a 1,2,\dots 30 points:

\smallskip

\begin{verbatim}

 1     0.6666666666666666666666666666666666666666666...
 2     0.6923076923076923076923076923076923076923076...
 3     0.6931216931216931216931216931216931216931216...
 4     0.6931464174454828660436137071651090342679127...
 5     0.6931471578530402059813824519706872648049118...
 6     0.6931471798865279786405606852820113472021359...
 7     0.6931471805400134518743042766974180037770983...
 8     0.6931471805593561216771329329612392432031989...
 9     0.6931471805599279082472626955838961065402593...
10     0.6931471805599447958100734473749544043869926...
...
15     0.6931471805599453094172206753728118939529066...
20     0.6931471805599453094172321214579224966600492...
25     0.6931471805599453094172321214581765680698696...
30     0.6931471805599453094172321214581765680755001...
31     0.6931471805599453094172321214581765680755001...

\end{verbatim}

\noindent \texttt{\'etonnant, non?}

\begin{verbatim}
From: Bill McLean <w.mclean@unsw.edu.au>
Date: Mon, 14 May 2007 03:56:38 -0400
Subject: subject: f95 version of gaussq.f

The fortran 95 module gaussquad.f95 can compute the integration
points and weights for any of the classical Gauss quadrature rules,
including the Radau and Lobatto variants.  Included is a low-level
routine that can handle any Gauss rule given the coefficients in the 3-term
recurrence relation for the associated orthogonal polynomials.
You can download the source distribution from
\end{verbatim}
\href{http://www.maths.unsw.edu.au/~mclean/gaussquad-2.4.tgz}{\texttt{http://www.maths.unsw.edu.au/\~{}mclean/gaussquad-2.4.tgz}}
\begin{verbatim}
My f95 code is a goto-less version of the f77 routines in netlib's
gaussq.f, and should produce nearly identical results.  The new package
adds an optional C language interface that relies on a couple of
the interoperability features of the f2003 standard, plus a few test 
programs and examples in fortran, C and python.
\end{verbatim}




%\def\uphi{{}^1\kern-.15em\Phi}
\def\rondsur{\mathaccent"7017 }
\newfont{\metaf}{logo10}

{\Small

\subsection{Formule d'int\'egration de Gauss et fractions continues\label{Gaussfrac}}
\  \\       \index{fraction continue}

Soit $S$ une partie de $\mathbb{R}$,
 $z\notin S$, $F_n(z) := \displaystyle{ \sum_1^n \dfrac{H_i}{z-x_{i,n}} }$
est donc une approximation de $\displaystyle{ F(z) :=
   \int_S \dfrac{d\mu(x)}{z-x}  }$, \emph{\textbf{transform\'ee de
   Stieltjes}} de $d\mu$. Pas mal de fonctions tr\`es importantes
  sont des transform\'ees de Stieltjes, ainsi, si $d\mu(x) =dx$
  sur $S= [a,b]$,
  $F(z)= \log((z-a)/(z-b))$.

$F_n(z)$ est une fonction rationnelle de $z$ de d\'enominateur
 $\prod_1^n (z-x_{i,n}) = \Phi_n(z)$, on a donc
 $\displaystyle{ F_n(z) = \dfrac{\Psi_n(z)}{\Phi_n(z)}}$, o\`u
 $\Psi_n\in\mathscr{P}_{n-1}$.



On a (cf. \eqref{recurphin}, p.~\pageref{recurphin})
la r\'ecurrence
$ \Phi_{n+1}(x)=(x-\alpha_n)\ \Phi_n(x)-\beta_n^2\ \Phi_{n-1}(x)
$. Qu'en est-il de $\Psi_n$?

Amor\c cons le d\'eveloppement en s\'erie de puissances de $1/z$ de
$F(z)$ par
\begin{equation*} \begin{split}
  F(z) &= \int_S \dfrac{1-x^{p+1}/z^{p+1}}{z(1-x/z)}\,d\mu(x) +
         \int_S \dfrac{x^{p+1}/z^{p+1}}{z-x}\,d\mu(x) \\
       &= \int_S \left(\dfrac{1}{z}+ \dfrac{x}{z^2}
       +\dfrac{x^2}{z^3}+ \dotsb +\dfrac{x^p}{z^{p+1}}\right)\,d\mu(x) +
         \int_S \dfrac{x^{p+1}}{z^{p+1}(z-x)}\,d\mu(x) \\
       &= \dfrac{\mu_0}{z}+ \dfrac{\mu_1}{z^2}
       +\dfrac{\mu_2}{z^3}+ \dotsb +\dfrac{\mu_p}{z^{p+1}} +
       O(z^{-p-2})
\end{split}\end{equation*}

Prenons $p=2n-1$. Comme la formule de Gauss \`a $n$ points appliqu\'ee
\`a $1, x,\dotsc, x^{2n-1}$ co\"\i ncide avec le moment $\mu_0,
 \mu_1,\dotsc, \mu_{2n-1}$, on a aussi
$\displaystyle{F_n(z)= \dfrac{\mu_0}{z}+ \dfrac{\mu_1}{z^2}
       +\dfrac{\mu_2}{z^3}+ \dotsb +\dfrac{\mu_{2n-1}}{z^{2n}} +
       O(z^{-2n-1})  }$, on a
 $$ F(z)-F_n(z) =O(z^{-2n-1}), $$
ou $ \Phi_n(z)( F(z)-F_n(z)) = \Phi_n(z) F(z) - \Psi_n(z) =
  O(z^{-n-1})$. Remarquons que $\Psi_0=0$.

Examinons maintenant
\begin{equation*} \begin{split}
 \qquad & \Phi_{n+1}(z) F(z)-\Psi_{n+1}(z) -(z-\alpha_n)
 [ \Phi_n(z)F(z)-\Psi_n(z)] +\beta_n^2[ \Phi_{n-1}(z) F(z)-
   \Psi_{n-1}(z)]  \\
    &=
      -[\Psi_{n+1}(z) -(z-\alpha_n)\Psi_n(z) +\beta_n^2
            \Psi_{n-1}(z)]
\end{split}\end{equation*}
quand $n\geqslant 1$.  Cette expression tend vers z\'ero (au moins
 aussi  vite que $z^{-n}$) quand $z\to\infty$; mais comme elle est
aussi un polyn\^ome, elle doit \^etre nulle: les $\Psi_n$
v\'erifient la m\^eme r\'ecurrence que les $\Phi_n$!

\smallskip

\noindent\emph{\textbf{Exercice.}} Montrez que, si $\Phi_n=T_n$,
 et $S=[-1,1]$,
  les $H_i$ sont tous \'egaux \`a $\pi/n$ (formule de
 \emph{\textbf{Gauss-Tchebycheff}}),
  que $F(z)=\pi(z^2-1)^{-1/2}$,
 $\Psi_n = U_{n-1}$.
               \index{int\'egration,  Gauss-Tchebycheff}

\smallskip

On a donc
$  \lambda\Phi_{m+1}(z) -\Psi_{m+1}(z) -(z-\alpha_m)
 [ \lambda\Phi_m(z)-\Psi_m(z)] +\beta_m^2[ \lambda\Phi_{m-1}(z) -
   \Psi_{m-1}(z)] =0$, $m\geqslant 1$, quel que soit $\lambda$.\\
En $m=0$, on a
$  \lambda\Phi_1(z) -\Psi_1(z) -(z-\alpha_0)
 [ \lambda\Phi_0(z)-\Psi_0(z)] = -\Psi_1 = -\mu_0$.

Choisissons $\lambda = F_n(z) = \Psi_n(z)/\Phi_n(z)$ pour $z$ fix\'e
hors de $[a,b]$. Soit $\chi_m = F_n(z)\Phi_m(z) -\Psi_m(z)$
et $\rho_m = \chi_m/\chi_{m-1}$.
On a donc $\chi_{m+1} - (z-\alpha_m)\chi_m +\beta_m^2
\chi_{m-1}=0, m=1,\dotsc, n-1.$

En $m=n-1$, on a $\chi_n=0$, donc
$\displaystyle{\rho_{n-1} = \dfrac{\beta_{n-1}^2}{z-\alpha_{n-1}}}$,
puis
\begin{equation*} \begin{split}
   \rho_m = \dfrac{\chi_m}{\chi_{m-1}} =
 \dfrac{\beta_m^2\chi_m}{\beta_m^2\chi_{m-1}} &=
 \dfrac{\beta_m^2\chi_m}{(z-\alpha_m)\chi_m
     -\chi_{m+1}  }
  =\dfrac{\beta_m^2}{z-\alpha_m -
    \dfrac{\beta_{m+1}^2}{z-\alpha_{m+1} -
     \dfrac{\beta_{m+2}^2}{ \ddots -
       \dfrac{\beta_{n-1}^2}{z-\alpha_{n-1} }
           }
          }
         }        \\
      &= \dfrac{\beta_m^2}{ z-\alpha_m -\rho_{m+1} }
\end{split}\end{equation*}
Enfin, en $m=0$, $\chi_1 -(z-\alpha_0)\chi_0 = -\mu_0$, donc
$\rho_1 -(z-\alpha_0) = -\mu_0/\chi_0 =-\mu_0/F_n(z)$, d'o\`u
$$ F_n(z) = \dfrac{\mu_0}{z-\alpha_0-\rho_1} =
  \dfrac{\mu_0}{z-\alpha_0 -
   \dfrac{\beta_1^2}{z-\alpha_1 -
    \dfrac{\beta_2^2}{z-\alpha_2 -
     \dfrac{\beta_3^2}{ \ddots -
       \dfrac{\beta_{n-1}^2}{z-\alpha_{n-1} }
           }
          }
         }
        }
$$
que l'on peut aussi voir \`a partir de
la r\'esolution par triangularisation de  \\
$\displaystyle{   \begin{bmatrix}
                 z-\alpha_0    &  -1   &     &  & \\
                -\beta_1^2   &z-\alpha_1 & -1  & & \\
                             &\ddots & \ddots& \ddots & \\
                              & & &      -\beta_{n-1}^2&z-\alpha_{n-1}
                 \end{bmatrix}
          \begin{bmatrix} \chi_0 \\ \chi_1 \\
                        \vdots \\ \chi_{n-1}   \end{bmatrix} =
          \begin{bmatrix} \mu_0 \\ 0 \\
                        \vdots \\ 0  \end{bmatrix} .
  }$
en proc\'edant aux \'eliminations \`a partir de la \emph{derni\`ere}
\'equation. On a aboutit \`a une matrice bidiagonale triangulaire
inf\'erieure dont les \'el\'ements diagonaux sont $\beta_m^2/\rho_m$,
$m=0,\dotsc, n-1$.

Peut-on donner un sens \`a
$\displaystyle{
  \dfrac{\mu_0}{z-\alpha_0 -
   \dfrac{\beta_1^2}{z-\alpha_1 -
    \dfrac{\beta_2^2}{ \ddots
          }
         }
        }  }$
comme limite de $F_n(z)$ quand $n\to\infty$?

\smallskip

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme de Markoff.} \textsl{Si $S\subset [a,b]$,
avec $-\infty<a<b< \infty$, $F_n(z)$ tend vers $F(z)$ quand $n\to\infty$,
uniform\'ement en $z$ dans tout compact de $\mathbb{C}\setminus [a,b]$.}

En effet, comme la formule d'int\'egration de Gauss \`a $n$ points
 est exacte pour tout polyn\^ome de degr\'e $\leqslant 2n-1$, soit
$p(x;z)$ une approximation dans $\mathscr{P}_{2n-1}$ de $1/(z-x)$.

On a $\int_S p(x;z)\, d\mu(x) = \sum_1^n H_i p(x_{i,n};z)$, \\
$\displaystyle{ F(z)-F_n(z) = \int_S \left(\dfrac{1}{z-x} -p(x;z)\right)
   d\mu(x) - \sum_1^n H_i\left(\dfrac{1}{z-x_{i,n}} -p(x_{i,n};z)\right)
   }$.

Soit $\varepsilon_{2n-1}(z) = \| (z-x)^{-1} -p(x;z)\|_\infty$ sur
$x\in [a,b]$ (nous savons que les $x_{i,n}\in [a,b]$). Alors,
$|F(z)- F_n(z)|\leqslant \varepsilon_{2n-1}(z) [ \int_S d\mu(x)
  +\sum_1^n H_i ] = 2\mu_0 \varepsilon_{2n-1}(z)$.

On estime $\varepsilon_{2n-1}(z)$ avec pr\'ecision par
$2(b-a)^{-1}|(\zeta -\xi)^{-1} -\sum_0^{2n-1} c_k T_k(\xi)|
 \leqslant 2(b-a)^{-1} \sum_{2n}^\infty |c_k| =
    8 (b-a)^{-1} |(1-p)^{-1}(1-p^2)^{-1} p^{2n+1}| $, o\`u
$x=(a+b)/2 +(b-a)\xi/2$,
$z=(a+b)/2 +(b-a)\zeta/2$, et
$p=\zeta \pm (\zeta^2-1)^{1/2} =
  (2z-a-b \pm 2[(z-a)(z-b)]^{1/2})/(b-a)$ tel que
 $|p|<1$ (cf. table p.~\pageref{tablepas}: $c_k = 4p^{k+1}/(1-p^2)$,
   o\`u $\zeta$ joue ici le r\^ole de $c$).

\smallskip

\noindent\emph{\textbf{Exercice.}} Montrez que
$\displaystyle{ F(z)=
  \dfrac{\beta}{z-\alpha -
   \dfrac{\beta^2}{z-\alpha -
    \dfrac{\beta^2}{ \ddots
          }
         }
        }
  = p(z) =
  (2z-a-b \pm 2[(z-a)(z-b)]^{1/2})/(b-a)
         }$,
avec $a=\alpha-2\beta$, $b=\alpha+2\beta$, $|p(z)|<1$ quand
$z\in \mathbb{C}\setminus [a,b]$. On a $\displaystyle{\Phi_n(z)=
 \beta^n U_n\left( \dfrac{z-\alpha}{2\beta}\right) }$,
 $\Psi_n(z) = \beta \Phi_{n-1}(z)$,
  $d\mu(x) = [(b-x)(x-a)]^{1/2}/(2\beta\pi)$ sur
   $S=[a,b]$.    Bien s\^ur, on s'aper\c coit bien formellement
que $\displaystyle{ F(z) = \dfrac{\beta}{z-\alpha -\beta F(z)} }$,
donc que $F(z)$ est une racine de $\beta\chi^2 -(z-\alpha)
\chi +\beta=0$, mais il n'est pas si simple de savoir laquelle
choisir, ni quand la fraction continue converge.

} % end Small

\bigskip

\subsection{Formule de Christoffel-Darboux} {\ } \\  \label{CDarboux}
   \index{Christoffel-Darboux}  \index{Darboux-Christoffel}
Multiplions \eqref{tridiag} \`a gauche par le vecteur ligne
 $\boldsymbol{\varphi}_n(y)^T$=
$[\varphi_0(y),\ldots, \varphi_{n-1}(y)]$:
$$ \boldsymbol{\varphi}_n(y)^T \boldsymbol{T}_n
   \boldsymbol{\varphi}_n(x)  = x
   \boldsymbol{\varphi}_n(y)^T \boldsymbol{\varphi}_n(x)  -\beta_n \varphi_{n-1}(y)
      \varphi_n(x),$$
permutons $x$ et $y$, et soustrayons:
$$ \boldsymbol{\varphi}_n(y)^T \boldsymbol{\varphi}_n(x) = \sum_{i=0}^{n-1}
     \varphi_i(x)\varphi_i(y) = \beta_n\dfrac{\varphi_n(x)\varphi_{n-1}(y) -
                                     \varphi_n(y)\varphi_{n-1}(x)}{x-y}$$
On verra l'importance de cette formule \`a propos des {\it polyn\^omes
noyaux\/}.\\
Si on fait tendre $y$ vers $x$:
$$  \sum_{i=0}^{n-1}
     \varphi_i(x)^2  = \beta_n \left[\varphi_n{}'(x)\varphi_{n-1}(x) -
                       \varphi_n(x)\varphi_{n-1}{}'(x)\right]$$


\bigskip

{\Small \noindent\emph{\textbf{Exercice.}} Montrez que
   $\displaystyle{ S = \sum_{k=0}^n  U_k(x) U_{n-k}(y) =
      \dfrac{ U_{n+1}(y) -U_{n+1}(x) }{2(y-x)}  }$.

On multiplie $ \displaystyle{ 2x
                        \begin{bmatrix} U_0(x) \\ \vdots \\ U_n(x) \end{bmatrix}
                  = \boldsymbol{T}_{n+1}
                        \begin{bmatrix} U_0(x) \\ \vdots \\ U_n(x) \end{bmatrix}
             +  \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ U_{n+1}(x) \end{bmatrix}
       }$
   \`a gauche par le vecteur ligne $[ U_n(y) , \dotsb , U_0(y)]$
  pour obtenir $2xS = \mathcal{T}(x,y) +U_{n+1}(x)$ et on s'aper\c coit que
  $\mathcal{T}(x,y) = \displaystyle{
         [ U_n(y) , \dotsb , U_0(y)]
       \begin{bmatrix} 0 & 1 &  & \\
                       1 & 0 & 1 & \\
                         &\ddots&\ddots&\ddots \\
                         &  &  1 & 0
        \end{bmatrix}
                        \begin{bmatrix} U_0(x) \\ \vdots \\ U_n(x) \end{bmatrix}
   }$  est sym\'etrique en $x$ et en $y$.
}

%\newpage
\subsection{Orthogonalit\'e et op\'erateurs (formellement)
hermitiens}   {\ } \\

\smallskip

Les fonctions propres d'op\'erateurs formellement hermitiens
fournissent d'int\'eressantes classes de fonctions orthogonales.
D'abord, quelques d\'efinitions:

\index{autoadjoint (form.)}
\index{hermitien (form.)}
\noindent\textbf{D\'efinition.} \emph{Un op\'erateur $\mathcal{A}$
dans un espace pr\'ehilbertien
$X$ (c'est-\`a-dire une application lin\'eaire d\'efinie sur un sous-espace
$D$ de $X$ et \`a valeurs dans $X$) est \textbf{formellement hermitien}
\footnote{Pour avoir le droit d'\^etre appel\'e \emph{hermitien}, un op\'erateur
doit avoir un domaine de d\'efinition $D$ dense dans un espace de Hilbert
s\'eparable [on verra cela plus loin] et v\'erifier \eqref{formherm}.
La th\'eorie spectrale des op\'erateurs
hermitiens pr\'epare celle des \emph{\textbf{op\'erateurs autoadjoints}} (Cf.
J.~Dieudonn\'e, \textsl{\'El\'ements d'analyse}, II, Gauthier-Villars, 1969,
\S~15.13).\\
La relation entre \emph{formellement hermitien} et
\emph{autoadjoint} est un peu la relation qu'il y a entre
\emph{pr\'ehilbertien} et \emph{hilbertien}\dots On y reviendra
plus tard.}
si }
\begin{equation}      \label{formherm}
   \forall\ f,g\in D,\quad (\mathcal{A}f,g)=(f,\mathcal{A}g).
\end{equation}

L'exemple le plus simple est fourni par les matrices carr\'ees
sym\'etriques sur $\mathbb{R}^N$, ou hermitiennes sur $\mathbb{C}^N$, munis du
produit scalaire usuel.

Et voici o\`u appara\^\i t l'orthogonalit\'e:

\noindent\textbf{Propositions.} \emph{Les valeurs propres d'un op\'erateur
formellement hermitien sont r\'eelles. Deux vecteurs propres d'un
op\'erateur formellement hermitien correspondant \`a deux valeurs
propres diff\'erentes sont orthogonaux.}

\smallskip

Ce ne sont l\`a que deux tout petits fragments de la th\'eorie
spectrale des op\'erateurs: si $\mathcal{A}f=\lambda f$,
$(\mathcal{A}f,f)=\lambda \|f\|^2 = (f,\mathcal{A}f) =\overline{\lambda}
\|f\|^2$;  \\
si $f$ et $g$ sont deux vecteurs propres de $\mathcal{A}$ correspondant
aux deux valeurs propres $\lambda$ et $\mu$, \\
$(\mathcal{A}f,g) = \lambda (f,g) = (f,\mathcal{A}g) = \mu (f,g)$, d'o\`u
$(f,g)=0$ si $\lambda\neq\mu$.   \qed

\bigskip

\noindent \textbf{Proposition.}  \textsl{
Soit $w$ une densit\'e sur $(a,b)$, et le produit scalaire
$\displaystyle{ (f,g)_w = \int_a^b f(x)g(x)\;w(x)\;dx }$.
\textbf{L'op\'erateur diff\'erentiel du second ordre}
\begin{equation} \label{opL}
           L= p(x)\dfrac{d^2}{dx^2} +q(x)\dfrac{d}{dx}+r(x)
\end{equation}
est formellement hermitien sur tout sous-espace de $\mathscr{C}^2(a,b)$
de fonctions v\'erifiant
$(f,f)_w <\infty$ et $\displaystyle{ \lim_{\substack{x\to a,b \\ x\in(a,b)}}
  p(x)w(x)f(x) =0 }$ si                  }
\begin{equation} \label{wprimew}
       \dfrac{d( p(x)w(x)\;)}{dx} = q(x)\,w(x)\;, \text{\ ou\ }
 \dfrac{w'(x)}{w(x)} = \dfrac{q(x)-p'(x)}{p(x)}\;
        \qquad\qquad a<x<b.
\end{equation}

En effet,
\begin{equation*}\begin{split}
(Lf,g)_w &= \int_a^b [pf''+qf'+rf]gw\,dx =
  \left[pgwf'\right]_a^b +\int_a^b \{[-(pw)'+qw]gf'-pwg'f'+rfg\}dx \\
(f,Lg)_w &= \int_a^b f[pg''+qg'+rg]w\,dx =
  \left[fpwg'\right]_a^b +\int_a^b \{[-(pw)'+qw]fg'-pwf'g'+rfg\}dx
\end{split}\end{equation*}
sont \'egaux si \eqref{wprimew} est vrai, et si $f(x)p(x)w(x)$ et
$g(x)p(x)w(x)$ tendent vers 0 quand $x\to a$ ou $b$. \qed

\medskip
    \index{Sturm-Liouville}
Remarques: si $w=1$, $Lf$ s'\'ecrit commod\'ement
\begin{equation}\label{sturmliou}
 (pf')'+rf
\end{equation}
(\emph{op\'erateur de \textbf{Sturm-Liouville}})
\footnote{Attention, on appelle parfois \emph{formellement autoadjoints}
des op\'erateurs diff\'erentiels simplement donn\'es par une formule de
type \eqref{sturmliou} sans autre pr\'ecision quant au domaine de d\'efinition.}
. En g\'en\'eral,
on a ici $wLf= (wpf')'+wrf$.

\smallskip


Un op\'erateur de Sturm-Liouville est dit \emph{\textbf{singulier}} si
$w(a)p(a)=w(b)p(b)=0$.
Les conditions d'annulation aux limites
 sont alors automatiquement v\'erifi\'ees si le
domaine de d\'efinition de l'op\'erateur est restreint aux fonctions
contin\^ument d\'erivables sur $[a,b]$.

Tout op\'erateur de Sturm-Liouville fournit donc automatiquement des
fonctions propres orthogonales tr\`es utiles (nombreux exemples
en physique et en m\'ecanique). Les cas o\`u on retrouve des
\emph{polyn\^omes} sont parfaitement circonscrits:

\bigskip


\subsection{Polyn\^omes orthogonaux classiques} {\ } \\

\medskip

\noindent \textbf{Th\'eor\`eme de Bochner}%
\footnote{S.\ Bochner, \"Uber Sturm-Liouvillesche Polynomsysteme,
 \textsl{Math.\ Zeit.} \textbf{29} (1929) 730-736, cit\'e, ainsi que
 E.J.\ Routh, On some properties of certain solutions of a differential
 equation of the second order, \textsl{Proc.\ London Math.\ Soc.}
 \textbf{16} (1885) 245-261,
  par
 W.A.\ Al-Salam, Characterization theorems for orthogonal polynomials,
 pp.\ 1-24 \emph{in} \textsl{Orthogonal Polynomials: Theory and Practice},
 (P.\ Nevai, ed.), NATO ASI Series C: Math.\ and Phys.\ Sci.\ \textbf{294},
 Kluwer, 1990.}.
\emph{Une famille de polyn\^omes orthogonaux $\{\Phi_n\}_0^\infty$
est l'ensemble des  fonctions propres
d'un op\'erateur de la forme \eqref{opL}
 seulement dans les trois cas suivants
(\textbf{polyn\^omes orthogonaux classiques}): }

\index{classiques, polyn\^omes orthogonaux}
\index{Jacobi, polyn\^omes de}
\index{Laguerre, polyn\^omes de}
\index{Hermite, polyn\^omes d'}
    \begin{center}          \setlength{\extrarowheight}{5pt}
                     \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
 \vspace*{11pt}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
       $p(x)$           &   $w(x)$    &   nom         \\
   \hline \hline
   $(x-a)(b-x)$ &  $C(b-x)^\alpha(x-a)^\beta,\quad a<x<b;\qquad \alpha,\beta>-1$
       &     Jacobi   \\
   \hline
 $x-a$ &  $C(x-a)^\alpha e^{-Ax},\quad a<x<\infty;\qquad \alpha>-1,$ si $A>0$
       &     Laguerre  \\
  &  \hphantom{$C(x-a)^\alpha e^{-Ax}$},\quad $-\infty<x<a;\qquad \alpha>-1,$ si $A<0$
      &    \\   \hline
   1 &   $C e^{-Ax^2-Bx}\,, \quad -\infty<x<\infty;\qquad A>0  $
       &     Hermite    \\
   \hline
  \end{tabular}   \end{center}

\noindent\emph{Les polyn\^omes $\Phi_n$ sont alors des solutions particuli\`eres des
\'equations diff\'erentielles lin\'eaires du second ordre
\begin{equation} \label{equadiffclass}
  p(x) \Phi''_n(x) +q(x) \Phi_n'(x) +r \Phi_n(x)= \lambda_n\Phi_n(x)
\end{equation}
o\`u $p\in\mathscr{P}_2$, $q\in\mathscr{P}_1$\footnote{\textbf{Exercice:}
en fait, $q$ est de degr\'e exact 1! (A. Ronveaux)}, $r=$ constante.
}
%et sont orthogonaux
%par rapport \`a la densit\'e $w$ v\'erifiant \eqref{wprimew} sur $(a,b)$. }

\smallskip

\noindent\textbf{D\'emonstration.} Nous savons d\'ej\`a que les fonctions
propres de \eqref{opL} sont orthogonales selon $(\ ,\ )_w$ si $w$
v\'erifie \eqref{wprimew}.

Que peut-on dire de $p$, $q$ et $r$? Ne consid\'erons que $\Phi_0$,
$\Phi_1$ et $\Phi_2$:  \\
$\Phi_0\in \mathscr{P}_0 \Rightarrow r\Phi_0=\lambda_0\Phi_0
     \Rightarrow r\in\mathscr{P}_0$, \\
$\Phi_1\in \mathscr{P}_1 \Rightarrow q\Phi'_1+r\Phi_1=\lambda_1\Phi_1
     \Rightarrow q\in\mathscr{P}_1$, \\
$\Phi_2\in \mathscr{P}_2 \Rightarrow p\Phi''_2+q\Phi'_2+r\Phi_2=\lambda_2\Phi_2
     \Rightarrow p\in\mathscr{P}_2$. \\
(N.B. $\Phi_n$ doit \^etre de degr\'e \emph{exact} $n$).

Discutons \eqref{wprimew}:
\begin{enumerate}
% \setcounter{enumi}{0}
\item $p$ a deux z\'eros distincts $\tilde{a}$ et $\tilde{b}$. Le d\'eveloppement du
membre de droite de \eqref{wprimew} en fractions simples donne
$\alpha/(x-\tilde{b})+\beta/(x-\tilde{a})$, d'o\`u $w(x)=$
 constante $(x-\tilde{b})^\alpha
(x-\tilde{a})^\beta$.  La densit\'e $w$ doit \^etre de signe constant
dans $(a,b)$, et il faut $p(x)w(x)\to 0$ quand $x\to a$ ou $b$,
d'o\`u $\tilde{a}=a$ et $\tilde{b}=b$, et aussi
 $\alpha$ et $\beta>-1$.
Ces deux derni\`eres in\'egalit\'es assurent d'ailleurs
l'existence de moments finis.

% \setcounter{enumi}{1}
\item $p$ a un z\'ero double: on ne trouve pas d'intervalle d'orthogonalit\'e
dans ce cas%
\footnote{Mais les $\Phi_n$ ont \'et\'e \'etudi\'es (polyn\^omes
de Bessel), ils interviennent dans des approximations rationnelles de
l'exponentielle.}.

% \setcounter{enumi}{2}
\item  $p$ est du premier degr\'e. On a alors $(q-p')/p=-A+\alpha/(x-\tilde{a})$, donc
$w(x)=$ constante $(x-\tilde{a})^\alpha\exp(-Ax)$.
Signe constant de $w$ et $\lim pw=0$ en $a$ et $b \Rightarrow
a=\tilde{a}$ et $b=+\infty)$ si $A>0$,
l'intervalle d'orthogonalit\'e est $(-\infty,a)$ si $A<0$.

% \setcounter{enumi}{3}
\item $p$ est constant. Alors, soit $(q-p')/p=-2Ax-B$: $w(x)=$ constante
$\exp(-Ax^2-Bx)$ sur $(-\infty,\infty)$. $A$ doit \^etre strictement
positif.

\end{enumerate}

\smallskip

En examinant la contribution de $x^n$ \`a \eqref{equadiffclass}, on
obtient
\begin{equation} \label{lambdan}
    \lambda_n = p''\, \frac{n(n-1)}{2} +q'\, n +r.
\end{equation}

\smallskip


\noindent\textbf{Suite de la d\'emonstration.} Jusqu'ici, on n'a encore
trouv\'e que trois fonctions propres $\Phi_0, \Phi_1$ et $\Phi_2$.

\textbf{1. Par identification de coefficients.}

Prenons $n$ entier positif quelconque et
appliquons \eqref{opL} \`a une fonction propre candidate de degr\'e $n$
$$ \Phi_n(x) = \sum_{k=0}^n  c_k x^k,$$
avec $c_n=1$.

Alors, comme $p$, $q$ et $r$ sont de degr\'es $\leqslant 2, 1$ et 0,

\begin{equation*}\begin{split}
p(x)\Phi_n''(x) &= (p_0+p_1 x+p_2 x^2)\left(\sum_{k=2}^n c_k k(k-1) x^{k-2}\right), \\
q(x)\Phi_n'(x) &= (q_0+q_1 x)\left(\sum_{k=1}^n c_k k x^{k-1}\right), \\
r\Phi_n(x) &= r\left(\sum_{k=0}^n c_k  x^{k}\right).
\end{split}\end{equation*}

Le coefficient de $x^k$ de la somme est $p_0 (k+2)(k+1) c_{k+2} +(k+1)(p_1 k+q_0)
 c_{k+1} + (p_2 k(k-1) +q_1 k +r)c_k$, $k=0,1,\dotsc, n$, o\`u on a pos\'e
$c_{n+1}=c_{n+2}=0$, et qu'il faut \'egaler au coefficient de $x^k$ dans
$\lambda_n \Phi_n(x)$:

 $$p_0 (k+2)(k+1) c_{k+2} +(k+1)(p_1 k+q_0)
 c_{k+1} + (p_2 k(k-1) +q_1 k +r-\lambda_n)c_k= 0, k=0,1,\dotsc, n.$$

En $k=n$, il ne reste que le terme en $c_n\neq 0$, il faut donc
$$ \lambda_n = p_2 n(n-1) +q_1 n +r. $$
Puis, en $k=n-1, n-2,\dotsc, 0$ on a une r\'ecurrence qui donne $c_{n-1}$, 
$c_{n-2},\dotsc,c_0$ pourvu que le coefficient de $c_k$ soit non nul, c'est-\`a-dire
$$ p_2 k(k-1) +q_1 k +r-\lambda_n= (k-n)(p_2 (k+n-1) +q_1) \neq 0.$$
{\Small Le probl\`eme ne se pose que si $p$ est effectivement de degr\'e 2 (cas Jacobi),
$w(x)=C (b-x)^\alpha (x-a)^\beta$, $w'(x)/w(x) = (\alpha+\beta)/x+\dotsb = (q(x)-p'(x))/p(x)$ (par \eqref{wprimew}) $=(q_1/p_2 -2)/x+\dotsb$, donc $q_1/p_2 = \alpha+\beta+2$ et
le probl\`eme ne surgit que si $\alpha+\beta= -k-n-1$, or $\alpha$ et $\beta$ doivent
\^etre strictement sup\'erieurs \`a $-1$ (integrabilit\'e de $w$), donc le probl\`eme
ne se pose pas d\'es que $n>0$.
}

Si on d\'eveloppe $\Phi_n$ en puissances de $x-a$ ou de $x-b$, on a des relations de
r\'ecurrence plus simples (d\'eveloppements \emph{\textbf{hyperg\'eom\'etriques}}, voir
r\'ef\'erences p.~\pageref{reforthpol}). 

\textbf{2. Par formule de Rodrigues.}

Multiplions \eqref{equadiffclass} (nous ne savons pas encore
si des solutions polynomiales existent pour tous les degr\'es)
par $w(x)$ et utilisons \eqref{wprimew}:
$$
(pw\Phi_n')' = (\lambda_n-r)w\Phi_n.
$$
Une structure similaire appara\^it si on d\'erive
\eqref{equadiffclass} $k$ fois:
$$ p\Phi_n^{(k+2)} +(kp'+q)\Phi_n^{(k+1)}
   +(k(k-1) p''/2 +kq'+r)\Phi_n^{(k)} = \lambda_n \Phi_n^{(k)},$$
$p''$ et $q'$ \'etant des constantes. Donc, toujours par \eqref{wprimew}
$$ (p^k w \Phi_n^{(k+1)})' = (\lambda_n -k(k-1)p''/2 -kq'-r)p^{k-1}w\Phi_n^{(k)}.$$
Donc, $p^{k-1}w\Phi_n^{(k)}$ est une constante fois la d\'eriv\'ee premi\`ere
d'une fonction de m\^eme type $p^k w \Phi_n^{(k+1)}$, donc d\'eriv\'ee
seconde de $p^{k+1} w \Phi_n^{(k+2)}$, etc. On arrive, avec $k=0$, \`a
\begin{equation} \label{Rodrig}  \index{Rodrigues}
 \Phi_n(x) = \;\text{const.}\;\dfrac{1}{w(x)} \dfrac{d^n\; w(x)p^n(x)}{dx^n},
\end{equation}
une formule trouv\'ee par Benjamin Olinde  Rodrigues (1794-1851)
 pour les polyn\^omes de Legendre ($w(x)\equiv 1$)\footnote{O.\ Rodrigues, M\'emoire sur l'attraction des
 sph\'ero\"\i des, {\sl Correspondance sur l'\'Ecole Polytechnique\/}
  {\bf 3\/} (1816) 361-385.
 Voir aussi
   Area, I.; Godoy, E.; Ronveaux,
   A.; Zarzo, A.:
   Hypergeometric-type differential equations: second kind solutions and
   related integrals,
   \textsl{J. Comput. Appl. Math.} \textbf{157} (2003), no. 1, 93--106;
 \href{rodrigues.txt}
{\texttt{rodrigues.txt}};
Andr\'e
 Ronveaux, Jean Mawhin:   \index{Ronveaux, A.}  \index{Mawhin, J.}
Rediscovering the contributions of Rodrigues on the representation
 of special functions,
\textsl{Expositiones Mathematic\ae}
\textbf{23}, Issue 4
 , 1 December 2005, Pages 361-369.}, et par Jacobi (voir p.~\pageref{rodTn}) pour les polyn\^omes de
Tchebycheff.

Il reste \`a v\'erifier que \eqref{Rodrig} donne bien un polyn\^ome
de degr\'e exact $n$. En effet, gr\^ace \`a \eqref{wprimew}, les d\'eriv\'ees
successives de $w p^n$ sont $w p^{n-1}$ fois le polyn\^ome du premier degr\'e
$q+(n-1)p'$, $w p^{n-2}$ fois un polyn\^ome de degr\'e 2, etc.  \qed




{\Small \textbf{3. Par factorisation d'op\'erateurs (Darboux).}\\
Si on dispose de $\Phi_n$ de degr\'e $n$ tel que $\Phi_n$ soit fonction
propre de \eqref{equadiffclass},
montrons comment
construire une nouvelle fonction propre $\Phi_{n+1}$
par
\begin{equation} \label{tdarboux}
 \Phi_{n+1} = p\Phi_n' +s_n \Phi_n,
\end{equation}
o\`u $s_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant 1$, en adaptant
une technique de Darboux\footnote{\textsl{Th\'eorie des surfaces}, II, Gauthier-Villars,
1915, articles 408--409  (= pages 210-216); on lira aussi, de F.~Alberto
Gr\"unbaum et L.~Haine: Orthogonal polynomials satisfying differential
equations: the role of the Darboux transformation, \textsl{Centre de
Recherches Math\'ematiques (CRM) Proceedings \& Lecture Notes} \textbf{9}
(1996) 143-154.}, que l'on pr\'esente actuellement comme suit: si on arrive
\`a factoriser un op\'erateur diff\'erentiel $R$ comme produit de deux
op\'erateurs diff\'erentiels $R=MN$, alors, si $y$ est une fonction propre
de $R$: $Ry=\lambda y$, $Ny$ est une fonction propre de $NM$, de m\^eme
valeur propre $\lambda$. En effet (et cela para\^\i t presque trop simple),
$MNy=\lambda y\Rightarrow NMNy =NM(Ny)=\lambda Ny$!

La premi\`ere id\'ee serait de factoriser $L$, puisque $\Phi_n$ est une fonction
propre de $L$ (de valeur propre $\lambda_n$), mais cela n'aboutit pas.

Ce qui marche, c'est de  (presque) factoriser $p(L -\lambda_n)$:
\begin{equation} \label{lfact}
    M_n N_n y = \left( p \dfrac{d}{dx} +\alpha_n \right)
                \left( p \dfrac{d}{dx} +\beta_n \right)\, y
          =p^2y'' +p(p'+\alpha_n +\beta_n)y'+(p\beta'_n+\alpha_n\beta_n)y =
          p(L-\lambda_n)y -\gamma_n y,
\end{equation}
si $\alpha_n+\beta_n=q-p'$ et $p\beta'_n+\alpha_n\beta_n=p(r-\lambda_n)
-\gamma_n$,
o\`u $\gamma_n$ est une constante encore inconnue, tout comme les
coefficients de $\alpha_n$ et $\beta_n\in\mathscr{P}_1$
 sont encore inconnus. On a une \'equation de Riccati \index{Riccati}
pour $\beta_n$ \`a r\'esoudre dans $\mathscr{P}_1$:
$p\beta_n' +(q-p')\beta_n -\beta_n^2 = p(r-\lambda_n)-\gamma_n$.
Coefficients de $x^2$: \'equation du second degr\'e pour $\beta'_n$:
$p''\beta_n'/2 +(q'-p'')\beta'_n -(\beta'_n)^2 = p''(-q'n-n(n-1)p''/2)$
(on a utilis\'e \eqref{lambdan}), de racines
$\beta_n'{}^{(+)}= p''(n-1)/2+q'$ et
$\beta_n'{}^{(-)}= -p''n/2$. Avec $s_n=\beta_n^{(+)}$, \eqref{tdarboux}
donne bien un polyn\^ome de degr\'e $n+1$ qui v\'erifie
$N_n M_n y=-\gamma_n y$. En reprenant \eqref{lfact} en intervertissant $\alpha_n$
et $\beta_n$, on trouve $N_n M_n y=
  p^2y'' +p(p'+\alpha_n +\beta_n)y'+(p\alpha'_n+\alpha_n\beta_n)y =
          p(L-\lambda_n+\alpha'_n-\beta'_n)y -\gamma_n y$, ce qui
correspond \`a une nouvelle valeur propre
$\lambda_n-\alpha'_n+\beta'_n = \lambda_n -q'+p'' +2\beta'_n =
\lambda_{n+1}$ quand on prend $\beta_n'{}^{(+)}$.
On trouve ainsi des polyn\^omes de tous les degr\'es. \qed

\smallskip\enlargethispage{1cm}

Pour plus de d\'etails, en particulier pour la \textbf{r\'ecurrence},
on examine la \emph{deuxi\`eme} solution  $\beta_n^{(-)}$. On obtient
cette fois $\lambda_{n-1}$, d'o\`u $\Phi_{n-1} =$ constante
$(p\Phi_n' +\beta_n^{(-)}\Phi_n)$, d'o\`u la r\'ecurrence en \'eliminant
$p\Phi'_n$ avec $\eqref{tdarboux}$.
%\begin{equation}
% K_n\Phi_{n-1} = p\Phi_n' +t_n \Phi_n, \tag{\ref{tdarboux}$'$}
%\end{equation}
%avec $t_n = \sigma_n^{(-)} +r/2$,
%soit
%$$ t_n=
%  -\dfrac{n}2 p'  -\dfrac{n}2\, \dfrac{r' p'-r p''}
%                                     {np''+r'} = r-s_{n-1}.$$
%Remarquons que $t_n=0$ si $p$ est une constante: les polyn\^omes d'Hermite
%forment une \emph{suite d'Appell}, chaque polyn\^ome \'etant (une constante fois)
%la d\'eriv\'ee du suivant. \\
%La r\'ecurrence appara\^\i t apr\`es \'elimination de $p\Phi_n'$ de
%\eqref{tdarboux} et $(\ref{tdarboux}')$:
% $\Phi_{n+1}=(s_n-t_n)\Phi_n +K_n\Phi_{n-1}$.
%
%Pr\'ecisons $K_n$: on porte \eqref{tdarboux} (avec $n-1$ au lieu de $n$) dans
%$(\ref{tdarboux}')$ en utilisant $p\Phi''_{n-1}=\lambda_{n-1}
%          \Phi_{n-1}-\rho\Phi'_{n-1}$:\\
%$K_n\Phi_{n-1}=p[p\Phi_{n-1}'+s_{n-1}\Phi_{n-1}]' +
%            t_n [p\Phi_{n-1}'+s_{n-1}\Phi_{n-1}] =
% p[-\rho\Phi_{n-1}'+(\lambda_{n-1}-\lambda_0)\Phi_{n-1}] +p
%                             [s_{n-1}\Phi_{n-1}]'+
%            t_n [p\Phi_{n-1}'+s_{n-1}\Phi_{n-1}]$ qui se simplifie en
%\\
%$K_n = p(\lambda_{n-1}-\lambda_0)+ps_{n-1}'+t_ns_{n-1}$ qui doit \^etre
%une constante: si $p$ est au moins de degr\'e 1,
%$K_n=t_n(a)s_{n-1}(a)$; si $p$ est constant, $K_n=np\rho'$.
%
%\noindent
%Enfin, en \'ecrivant \eqref{tdarboux}, on a implicitement choisi $A_{n+1}=
%((n+1)p''/2+s_n')A_n=((n-1/2)p''+\rho')A_n$, d'o\`u
%\begin{equation*} \begin{split}
%  \alpha_n &= x-\dfrac{A_n}{A_{n+1}}(s_n-t_n) \qquad\qquad\qquad (\forall x)\\
%      &= -\dfrac{(n-1/2)p'(0)+\rho(0)+\dfrac{\rho'p'-\rho p''}{2}\left[
%          \dfrac{n+1}{np''+\rho'} +
%          \dfrac{n}{(n-1)p''+\rho'} \right]}{(n-1/2)p''+\rho'}   \; ,\\
%  \beta_n^2 &= -\dfrac{K_n A_{n-1}}{A_{n+1}} \\
%   &= \dfrac{ n\left[p'(a)+\dfrac{\rho'p'-\rho p''}{(n-1)p''+\rho'}\right]
%  \left[(n-1)p'(a)+2\rho(a)+(n+1)\dfrac{\rho'p'-\rho p''}{np''+\rho'}\right]
%        }{[(2n-3)p''+2\rho'][(2n-1)p''+2\rho']}
%         \text{\qquad si degr\'e } p\geqslant 1, \quad(p(a)=0),\\
%    &= -\dfrac{np}{\rho'} \qquad \text{ si degr\'e } p=0
%\end{split} \end{equation*}

\medskip

\noindent\emph{\textbf{Un probl\`eme \'electrostatique (Stieltjes).}}
\index{electrostatique} Soit $n+2$ points $x_0=1 > x_1 >\dotsb > x_n >
 x_{n+1}=-1$ identiquement charg\'es, et soumis \`a une force r\'epulsive
 inversement proportionnelle \`a la distance. Que valent $x_1,\dotsc, x_n$
 \`a l'\'equilibre? Chaque $x_i$ est soumis \`a une force
 $\displaystyle{ \sum_{\substack{j=0\\j\neq i}}^{n+1} \dfrac{1}{x_i-x_j}=0}$,
 $i=1,\dotsc, n$. Soit $\Phi(x)=(x-x_1)\dotsb (x-x_n)$ et
 $\Psi(x)=(x^2-1)\Phi(x)$. Comme $\displaystyle{ \dfrac{\Psi'(x)}{\Psi(x)}=
 \sum_{j=0}^{n+1}\dfrac{1}{x-x_j} }$, on a
 $\displaystyle{ \lim_{x\to x_i} \dfrac{\Psi'(x)}{\Psi(x)}
  -\dfrac{1}{x-x_i} = \dfrac{\Psi''(x_i)}{2\Psi'(x_i)} =0 }$, pour
  $i=1,\dotsc, n$. Le polyn\^ome $\Psi''$ de degr\'e $n$ est
  nul en $x_1,\dotsc, x_n$, donc $\Psi''(x)=$ const.$\,\Phi(x)$, ou
  $(x^2-1)\Phi''(x) +4x\Phi'(x) =$ const.$\,\Phi(x)$, ce qui
  correspond au polyn\^ome de Jacobi $\displaystyle{P_n^{(1,1)} }$
  (points de \emph{\textbf{Lobatto}}).  \index{Lobatto}


}  % end Small

 \medskip


On a imagin\'e plusieurs crit\`eres souvent tr\`es \'el\'egants%
\footnote{cf. Al-Salam, {\it op.\ cit.\/}}
de caract\'erisation des
polyn\^omes orthogonaux classiques:

\begin{enumerate}

 \setcounter{enumi}{0}
\item Comme on vient de le voir, ce sont les seuls figurant
  enti\`erement dans des fonctions propres d'op\'erateurs de
  Sturm-Liouville.

 \setcounter{enumi}{1}
\item Les d\'eriv\'ees de ces polyn\^omes forment encore un syst\`eme
  de polyn\^omes orthogonaux (Sonin, Hahn).

 \setcounter{enumi}{2}
\item Rodrigues (Hildebrandt)

 \setcounter{enumi}{3}
\item Ils sont les seuls \`a v\'erifier une relation diff\'erentielle
  de type \eqref{tdarboux}. %(ou $(\ref{tdarboux}')$).

\end{enumerate}


\bigskip  \index{Rodrigues}

On peut \'etendre la formule de Rodrigues \`a tous les cas: \label{Rodrig2}
\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.} \emph{La d\'eriv\'ee
$n^{\text{\`eme }}$ d'une fonction $n$ fois
contin\^ument d\'erivable $R_n$ v\'erifiant
$$ R_n(a)=R_n'(a)=\cdots = R_n^{(n-1)}(a)=
   R_n(b)=R_n'(b)=\cdots = R_n^{(n-1)}(b)= 0 $$
est orthogonale \`a $\mathscr{P}_{n-1}$ selon le produit scalaire
$(f,g)_1=\int_a^b f(x)g(x)dx$. Il s'ensuit que si $R_n^{(n)}$ est
le produit d'une fonction de poids $w$ et d'un polyn\^ome de degr\'e
$n$, ce dernier polyn\^ome est le polyn\^ome $\Phi_n$ orthogonal de
degr\'e $n$ selon le produit scalaire $(f,g)=\int_a^b f(x)g(x)\,w(x)dx$.}

En effet, soit $p\in \mathscr{P}_{n-1}$. Par int\'egrations par parties,
$$ \int_a^b R_n^{(n)}(x)p(x)dx =
  -\int_a^b R_n^{(n-1)}(x)p'(x)dx = \cdots =
  (-1)^n\int_a^b R_n(x)p^{(n)}(x)dx =0,$$
les termes aux limites \'etant nuls.

Si, de plus, $R_n^{(n)}$ s'av\`ere \^etre de la forme $w\Phi_n$, o\`u
$\Phi_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$, on a bien
$$ \int_a^b \Phi_n(x)p(x)\;w(x)\;dx = 0,\qquad \forall p\in\mathscr{P}_{n-1},$$
et $\Phi_n$ est bien le polyn\^ome orthogonal de degr\'e $n$ par rapport
\`a $w$. \qed

\enlargethispage{1cm}

La difficult\'e est \'evidemment de trouver une telle fonction $R_n$
pour une densit\'e $w$ donn\'ee\dots En principe, il ``suffit'' de
r\'esoudre l'\'equation diff\'erentielle lin\'eaire d'ordre $2n$:\ %
$(R_n^{(n)}/w)^{(n)}=$ constante sous les $2n$ conditions aux limites
$R_n^{(k)}(a)=R_n^{(k)}(b)=0, k=0,\ldots, n-1$. Le recours \`a la
fonction de Rodrigues $R_n$ ne s'est r\'ev\'el\'e utile que dans le cas
des polyn\^omes orthogonaux classiques, o\`u on peut montrer que l'on a
$R_n(x)=$ constante $w(x)(p(x))^n$, $p$ \'etant le polyn\^ome de
degr\'e $\leqslant 2$ intervenant dans la d\'efinition de ces polyn\^omes.

Legendre: $R_n(x)=(1-x^2)^n$, Tchebycheff 1${}^{\text{\`ere}}$ et
2${}^{\text{\`eme}}$ esp\`ece $R_n(x)= (1-x^2)^{n\mp 1/2}$,
 Laguerre: $R_n(x)= x^{n+\alpha}\exp(-x)$, Hermite: $R_n(x)=
  \exp(-x^2)$.
\bigskip

\subsection{Usages et vari\'et\'es de polyn\^omes orthogonaux} {\ } \\

\medskip
\enlargethispage{1cm}
Le recours de plus en plus fr\'equent
 au traitement num\'erique des probl\`emes les plus
divers se traduit par une extension de l'usage des polyn\^omes
orthogonaux. On les rencontre en probabilit\'es, en m\'ecanique
c\'eleste, en physique de l'\'etat solide, en m\'ecanique des fluides
(de l'ionosph\`ere aux mati\`eres plastiques), en traitement du signal
(compression d'images, reconnaissance de la parole, tomographie, radar),
dans les th\'eories les plus pointues de la gravit\'e quantique,
en math\'ematiques discr\`etes (codage, cryptographie), et m\^eme
en th\'eorie des nombres (fractions continues, nombres irrationnels et
transcendants).

Les polyn\^omes orthogonaux tiennent une place essentielle dans
la bo\^\i te \`a outils de l'analyse num\'erique, pouvant servir \`a
l'interpolation, au lissage, aux quadratures, comme on le verra encore
plus loin.

Historiquement, on \'etudia d'abord les polyn\^omes orthogonaux en
relation  avec des formules de quadrature (Gauss, Jacobi, Christoffel),
des d\'eveloppements de potentiels en coordonn\'ees sph\'eriques
(Legendre), des formules d'acc\'el\'eration de convergence (Laguerre,
Stieltjes), et autres probl\`emes d'approximation (Tchebycheff,
Hermite)%
\footnote{cf. C.\ Brezinski, {\sl History of Continued Fractions
and Pad\'e Approximants\/}, Springer-Verlag, 1991; J.A.\ Shohat, E.\ Hille,
J.L.\ Walsh, A bibliography on orthogonal polynomials, {\sl Bull.\ National
Research Council\/}, n$\rondsur{\ }$ 103, (August 1940), Nat.\ Acad.\
Sciences, Washington.}.
On retrouve les polyn\^omes de Laguerre en m\'ecanique quantique
(potentiels coulombiens), ainsi que les polyn\^omes d'Hermite
(oscillateur harmonique).

Les polyn\^omes orthogonaux sur un domaine du plan complexe
\\
$\int_D \Phi_n(z) \overline{\Phi_m(z)}\;w(z)\,dxdy =0, n\ne m$
portent le nom de polyn\^omes de Carleman-Bergman. Ils sont
utilis\'es en constructions de repr\'esentations conformes de
domaines. Ils ne v\'erifient pas de relation de r\'ecurrence
simple.

\smallskip

On a cependant le\\
\textbf{Th\'eor\`eme (Fej\'er).} \textsl{Soit $\mu$ une mesure positive
sur $\mathbb{C}$ de support $S=\{z: \mu(v)>0$ pour tout voisinage $v$
de $z\}$. Alors, les z\'eros du polyn\^ome $\Phi_n$ orthogonal \`a
$\mathscr{P}_{n-1}$ par rapport \`a $\mu$ sont tous situ\'es dans
la fermeture convexe de $S$}.

D\'emonstration intuitive: soit $z_i$ un z\'ero de $\Phi_n$. $\Phi_n$
est orthogonal \`a $\displaystyle{ \dfrac{\Phi_n(z)}{z-z_i} \in
\mathscr{P}_{n-1} }$:
$$ 0= \int_S \Phi_n(z)\overline{ \left(
       \dfrac{\Phi_n(z)}{z-z_i}  \right) }\,d\mu(z) =
 \int_S (z-z_i) \left|\dfrac{\Phi_n(z)}{z-z_i}\right|^2\,d\mu(z),$$
ou
$$ z_i = \dfrac{  \int_S z\, d\nu(z) }{\int_S d\nu(z)},$$
o\`u $\nu$ est la mesure positive
$\displaystyle{d\nu(z) =  \left|\dfrac{\Phi_n(z)}{z-z_i}\right|^2\,d\mu(z)}$.
Le z\'ero $z_i$ est donc le centre de gravit\'e de $S$ muni de
la densit\'e $d\nu$\dots

\smallskip
\enlargethispage{1cm}

Les polyn\^omes orthogonaux sur un arc ou un contour du plan complexe
\hfill\break
$\int_C \Phi_n(z) \overline{\Phi_m(z)}\;w(z)\,ds =0, n\ne m$
sont appel\'es polyn\^omes orthogonaux de Szeg\H o. La th\'eorie des
polyn\^omes orthogonaux sur un {\it cercle\/} est tr\`es riche, ces
polyn\^omes sont tr\`es utilis\'es en th\'eorie du signal%
\footnote{ W.B.~Jones, O.~Nj\aa stad, W.J.~Thron, Moment theory,
 orthogonal polynomials, quadrature, a,d continued fractions associated
 with the unit circle, \textsl{Bull.\ London Math.\ Soc.} \textbf{21} (1989)
 113--152;
      P.\ Delsarte, Y.\ Genin, On the role of orthogonal
polynomials on the unit circle in digital signal processing
applications,     \index{Delsarte, P.} \index{Genin, Y.}
 pp.\ 115-133 {\it in\/} {\sl Orthogonal Polynomials: Theory and Practice\/},
 (P.\ Nevai, ed.), NATO ASI Series C: Math.\ and Phys.\ Sci.\ {\bf 294\/},
 Kluwer, 1990;
B.\ Simon: \textsl{Orthogonal Polynomials on the Unit Circle: Part 1: Classical Theory;
 Part 2: Spectral Theory},
  American Mathematical Society  Colloquium Publications,
  Vol.\textbf{54} (2 vol.),  2005;
M. E. H. Ismail: \textsl{Classical and Quantum Orthogonal Polynomials
    in One Variable},
 Cambridge University Press ,
 Encyc. of Mathematics and its Applications (No. 98), 2005.}.       \index{Nevai, P.}
  \index{Simon, B.}  \index{Ismail, M.E.H.}
La \emph{r\'ecurrence} des polyn\^omes orthogonaux sur le cercle unit\'e
a cette forme remarquable:
 $$ \Phi_{n+1}(z) = z\Phi_n(z) + \Phi_{n+1}(0)\, z^n \,
     \overline{\Phi_n}(z^{-1}). $$
Comme exemple de syst\`eme connu, on a, pour les polyn\^omes orthogonaux
de Jacobi sur le cercle unit\'e, $z=e^{i\theta}$, $w(z)=(1-\cos\theta)^\alpha
(1+\cos\theta)^\beta$, $\Phi_{n+1}(0) = -[\alpha+(-1)^{n+1}\beta]/(n+\alpha+\beta+1)$
(V.M.~Badkov, Systems of orthogonal polynomials explicitly represented by
the Jacobi polynomials, \textsl{Mat.\ Zametki} \textbf{42} (1987) 650--660 =
\textsl{Math.\ Notes of the Academy of Sciences of the USSR, a translation of
Mat.\ Zametki} \textbf{42} (1988) 858--863).

\medskip

Revenons sur un intervalle, les polyn\^omes orthogonaux relativement
\` a un produit scalaire de Sobolev $(f,g)=\int_a^b[f(x)g(x)d\mu_1(x)+
                                                  f'(x)g'(x)d\mu_2(x)]$
sont parfois utilis\'es dans le traitement num\'erique d'\'equations
diff\'erentielles et aux d\'eriv\'ees partielles. Ils ne semblent en
g\'en\'eral pas v\'erifier de r\'ecurrence simple.

On rassemble ici quelque donn\'ees sur les polyn\^omes orthogonaux
les plus courants,\dots et quelques autres:



{\Small
\index{classiques, polyn\^omes orthogonaux}
\index{Jacobi, polyn\^omes de}
\index{Laguerre, polyn\^omes de}
\index{Legendre, polyn\^omes de}
\index{Gegenbauer, polyn\^omes de}
\index{Tchebycheff, polyn\^omes de}
\index{Hermite, polyn\^omes d'}
    \begin{center}          \setlength{\extrarowheight}{5pt}
                     \renewcommand{\arraystretch}{1.25}
 \vspace*{-11pt}   \hspace*{-13pt}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
 $\alpha_n$&$\beta_n^2$& Symbole & $w$  ou $\mu$ &
     Nom &  Usage \\
   \hline \hline
   0 & $\beta_1^2=1/2$ & $T_n$ & $w(x)=(1-x^2)^{-1/2}$,  &
     Tchebycheff  &  analyse  \\
     & $1/4,\,n>1$ &     &  $-1< x < 1$ &
     $1^{\text{\`ere }}$      esp\`ece &  num\'erique \\
   \hline
   0 & 1/4 & $U_n$ & $w(x)=(1-x^2)^{1/2}$,  &
     Tchebycheff  &  analyse  \\
     &     &     &  $-1< x< 1$ &
     $2^{\text{\`eme }}$  esp\`ece &  num\'erique \\
   \hline
   0 & $\dfrac{n^2}{4n^2-1}$ & $P_n$ & $w(x)= 1$           ,  &
     Legendre  &  analyse  \\
     &     &     &  $-1< x< 1$ & &  sur la sph\`ere \\
  & & & & & et quadratures \\
  & & & & &  de Gauss      \\
   \hline
   0 & $\dfrac{n(n+2\lambda-1)}{4(n+\lambda)(n+\lambda-1)}$ &
    $C_n^{\lambda}=$& $w(x)= (1-x^2)^{\lambda-1/2}$     ,  &
     Gegenbauer,\ ou\    &  analyse  \\
 &     &$P_n^{(\lambda-1/2,\lambda-1/2)}$ & $ -1< x< 1$ &  ultrasph\'eriques
                             &  sur la sph\`ere \\
 & $\beta_1^2=\dfrac1{2(\lambda+1)}$ &
      &$\lambda>-1/2$ & &  si\ $ \lambda-1/2$  entier\\
   \hline
 $ {}^*$ & ${}^*$ &
    $P_n^{(\alpha,\beta)}$& $w(x)= (1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ ,  &
     Jacobi      &  g\'en\'eralisation \\
 &     & &  $-1< x< 1$ & &  des\ pr\'ec\'edents \\
  & & &$\alpha>-1$, $\beta>-1$ & & \\
   \hline
 $2n+\alpha+1$  & $n(n+\alpha)$  &
    $L_n^{\alpha}$& $w(x)= x^\alpha\exp(-x)$  ,  &
     Laguerre    & potentiels  \\
 &     & &  $ x>  0\;,\;\alpha>-1$  & &  coulombiens,\ etc. \\
   \hline
    0    & $n/2$   &
    $H_n$ & $w(x)= \exp(-x^2)$  ,  &
     Hermite     & oscillateur \\
 &     & &  $ x> 0$  & &  harmonique,\ etc. \\
   \hline
   $(a+b)/2$   & $\dfrac{n^2(N^2-n^2)h^2}{4(4n^2-1)}$   &
    $t_n$ & $\mu$  constant par  &
     Gram-       &  moindres  \\
 &     & &  morceaux,\ avec  &  Tchebycheff&
    carr\'es  \\
 &     & &  m\^eme\ accroissement  &  & \\
 &  $h=\dfrac{b-a}{N-1}$   & & aux points\ $a+kh$,  &  & \\
 &     & & $k=0,1,\ldots, N-1$ . &  & \\
   \hline

\end{tabular}\end{center}

 ${}^*\ $\ Pour Jacobi, $\alpha_n=
  \dfrac{\beta^2-\alpha^2}{(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+2)}\;,
  \beta_n^2=
      \dfrac{4n(n+\alpha)(n+\beta)(n+\alpha+\beta)}
   {(2n+\alpha+\beta-1)(2n+\alpha+\beta)^2 (2n+\alpha+\beta+1)}$

On appelle aussi polyn\^omes de Tchebycheff de troisi\`eme et quatri\`eme
esp\`eces les polyno\^omes orthogonaux relatifs aux densit\'es
$(1-x)^{1/2}(1+x)^{-1/2}$ et $(1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2}$ sur $(-1,1)$.

Voir aussi \label{reforthpol}
  A.\ Erd\'elyi, W.\ Magnus, F.\ Oberhettinger, F.G.\ Tricomi,
   {\sl Higher Transcendental Functions\/} (Bateman Manuscript
  Project), vol.~2, McGraw-Hill, 1953;
  M.\ Abramowitz, I.A.\ Stegun, {\sl Handbook of Mathematical
  Functions\/}, National Bureau of Standards, Washington, 1964, =
  Dover, New York, 1965,etc.;
 T.S.\ Chihara, {\sl An Introduction to Orthogonal Polynomials\/},
     Gordon \& Breach, 1978; A.\ Nikiforov, V.\ Ouvarov, {\sl Fonctions
     sp\'eciales de la physique math\'ematique\/}, Mir, 1983,
   R.~Koekoek, R.F.~Swarttouw, The Askey-scheme of hypergeometric
   orthogonal polynomials and its $q-$analogue,
 Delft University of Technology,
Faculty of Information Technology and Systems,
Department of Technical Mathematics and Informatics,
Report no. 98-17,
1998.     See also the online version in \href{http://aw.twi.tudelft.nl/~koekoek/askey.html}{\texttt{http://aw.twi.tudelft.nl/\~{}koekoek/askey.html}}


\hfill\break
o\`u on pourra tout d\'ecouvrir sur les polyn\^omes de Charlier,
Meixner, Hahn, Krawtchouk, Lommel, Pollaczek, Stieltjes-Wigert,
Tricomi-Carlitz, Heine, etc. etc.

Aspects stochastiques: W.~Schoutens, \textsl{Stochastic Processes
 and Orthogonal Polynomials}, Springer Lect. Notes Stat. \textbf{146},
Springer-Verlag, New York, 2000.

\subsection{Harmoniques sph\'eriques et fonctions de Legendre} {\ } \\

Cf. H.~Hochstadt, \textsl{Les fonctions de la physique math\'ematique}
 (trad. fran\c caise S. Colombo), Masson, 1973, chap. 5 \& 6;
 I.A. Stegun, chap.~9 de [Abr], chap.~8 de P.~Frank \& R.~v.~Mises,
 \textsl{Die Differential- und Integralgleichungen der Mechanik und
 Physik}, vol.~1, Vieweg, =Dover, 1961, etc.

Cours de Christophe Vigny, Laboratoire de g\'eologie de
l'\'Ecole normale sup\'erieure:

\href{http://www.geologie.ens.fr/~vigny/cours/chp-gphy-2.html}
{\texttt{http://www.geologie.ens.fr/\~{}vigny/cours/chp-gphy-2.html}}

L'op\'erateur de Laplace $\Delta := \partial^2/\partial x^2+
                          \partial^2/\partial y^2+
   \partial^2/\partial z^2 = $ div grad est formellement hermitien
sur tout ensemble de fonctions suffisamment r\'eguli\`eres s'annulant sur le
bord d'un domaine $D$: par la formule de la divergence,
$$ \int_D f \text{div grad } g \,dxdydz =
     -\int_D \text{grad } f \centerdot \text{ grad } g \,dxdydz $$
est bien sym\'etrique en $f$ et $g$ (le terme aux limites
    $\displaystyle{ \int_{\partial D} f \frac{\partial g}{\partial n}\,dS  }$
\'etant nul).  \\
Les fonctions propres seront donc orthogonales entre elles, selon le produit
scalaire usuel des fonctions sur $\mathbb{R}^3$.

\smallskip

En coordonn\'ees
sph\'eriques $x=r\sin\theta \cos\varphi,
              y=r\sin\theta \sin\varphi,  z=r\cos\theta$,
 le laplacien devient
$$ \frac{\partial^2 }{\partial r^2} +\frac{2}{r}\frac{\partial }{\partial r}
 +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\,\partial /\partial\theta)}
                    {\partial\theta}
 +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 }{\partial\varphi^2}  =
  \dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \dfrac{\partial}
      {\partial r}\right) +\dfrac{1}{r^2} \Delta_B,
$$
o\`u   $\displaystyle{
   \Delta_B = \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta}
     \left( \sin\theta \dfrac{\partial}{\partial\theta} \right)
     +\dfrac{1}{\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
}$
est l'op\'erateur de \emph{Laplace-Beltrami} sur la sph\`ere unit\'e $\mathcal{S}$.
     \index{Beltrami}  \index{Laplace-Beltrami}
On v\'erifie directement que $\Delta_B$ est formellement hermitien
sur $\mathscr{C}^1(\mathcal{S})$:
\begin{equation*} \begin{split}
\int_{\mathcal{S}} f\, \Delta_B g \; dS &=
   \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\varphi\;
      f\left( \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{\partial}{\partial\theta}
     \left( \sin\theta \dfrac{\partial g}{\partial\theta} \right)
     +\dfrac{1}{\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2 g}{\partial\varphi^2}
    \right) \\
  = \int_0^{2\pi} d\varphi &\left\{
             \left[ f \sin\theta \dfrac{\partial g}{\partial\theta}
             \right]_{\theta=0}^{\theta=\pi}
           -\int_0^\pi \sin\theta\, \dfrac{\partial f}{\partial\theta}
                                    \dfrac{\partial g}{\partial\theta}
            d\theta \right\}
      +\int_0^\pi d\theta \left\{
        \left[ \dfrac{f}{\sin\theta} \dfrac{\partial g}{\partial\varphi}
        \right]_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi}
         -\dfrac{1}{\sin\theta}\int_0^{2\pi} \dfrac{\partial f}{\partial\varphi}
                                             \dfrac{\partial f}{\partial\varphi}
          d\varphi \right\} \\
   &= -\int_{\mathcal{S}} \left(
     \dfrac{\partial f}{\partial\theta}\dfrac{\partial g}{\partial\theta}
               +\dfrac{1}{\sin^2\theta}
     \dfrac{\partial f}{\partial\varphi}\dfrac{\partial g}{\partial\varphi}
         \right)\, dS
\end{split}\end{equation*}
est bien sym\'etrique en $f$ et en $g$.
                  \index{harmoniques sph\'eriques}
On peut aussi construire des fonctions de 3 variables s'annulant
au bord d'une boule $B$ de $\mathbb{R}^3$: $F(r,\theta,\varphi)=
\rho(r) f(\theta,\varphi)$, avec $\rho(R)=0$, et constater que
le laplacien tridimensionnel de $F$ est
$\Delta F = r^{-2}(r^2 \rho')'f +r^{-2}\rho \Delta_B f$, donc
$\displaystyle{ 0=\int_B (F\Delta G -G\Delta F) r^2 dr\, dS =
 \int_0^R \rho^2\,dr \int_S (f\Delta_B g -g\Delta_B f)\,dS }$.

Une suite orthogonale de fonctions sur $\mathcal{S}$ pourra donc \^etre
construite avec des fonctions propres de $\Delta_B$.

On obtient de telles fonctions propres \`a partir de fonctions harmoniques
(solutions de l'\'equation de Laplace $\Delta F=0$) dans l'espace, de
la forme $F(x,y,z) = r^n f(\theta, \varphi)$. En effet,
$$ \Delta F = \Delta(r^n f)=0 \Rightarrow \dfrac{\partial}{\partial r}
 \left( r^2 \dfrac{\partial r^n f}{\partial r} \right) +\Delta_B (r^n f) =0
 \Rightarrow \Delta_B f = -n(n+1)f.
$$

La fonction harmonique fondamentale dans $\mathbb{R}^3$ est l'inverse de
la distance \`a un point fixe $P_0$, on la rencontre comme potentiel
classique (gravitationnel ou \'electrostatique ou magn\'etostatique)
d\^u \`a une masse ou charge plac\'ee en $P_0$. Soit $\rho(P_0,P)$ la distance
entre $P_0$ et le point courant $P$. En coordonn\'ees sph\'eriques
$r_0, \theta_0, \varphi_0$, $r,\theta, \varphi$,
$$ \dfrac{1}{\rho(P_0,P)} = \dfrac{1}{\sqrt{ r_0^2 - 2r_0 r \cos\gamma +r^2}},$$
o\`u $\gamma$ est l'angle entre $OP_0$ et $OP$. On a
$\cos\gamma = \cos\theta\cos\theta_0 +\sin\theta\sin\theta_0
  \cos(\varphi-\varphi_0)$.

Soit $r_0>r$ et d\'eveloppons $1/\rho$ en s\'erie de Taylor de $r$:
$\rho^{-1} = r_0^{-1} (1-2(r/r_0)\cos\gamma +(r/r_0)^2)^{-1/2} =
  r_0^{-1} +r_0^{-2}\cos\gamma\, r + r_0^{-3} (3\cos^2\gamma-1)
  r^2+\dotsb $

On \'ecrit   \qquad %
$\displaystyle{ \rho^{-1} =  (r_0^2-2r_0 r \cos\gamma +r^2)^{-1/2} =
       \sum_{m=0}^\infty P_m(\cos\gamma) \dfrac{r^m}{r_0^{m+1}}
   ,  \qquad  r<r_0   }$,
(si $r> r_0$, on permute $r$ et $r_0$\footnote{On a donc alors une s\'erie
de puissances \emph{n\'egatives} de $r$, convergente dans l'ext\'erieur
de la boule de rayon $r_0$.}), o\`u $P_m$ est le \emph{\textbf{polyn\^ome
de Legendre}} de degr\'e $m$.
\index{Legendre, polyn\^omes de}

Pour se convaincre que $P_n$ est bien un polyn\^ome de degr\'e $n$,
on retrouve la \emph{r\'ecurrence}:
$$ \partial \rho^{-1}/\partial r =
  (r_0\cos\gamma -r)
(r_0^2-2r_0 r \cos\gamma +r^2)^{-3/2} =
   \sum_{m=0}^\infty (m+1)P_{m+1}(\cos\gamma) \dfrac{r^m}{r_0^{m+2}},
$$
multiplions par $r_0^2 -2r_0 r\cos\gamma +r^2$:
$$ \hspace*{-22pt}  \sum_{m=0}^\infty (m+1)P_{m+1}(\cos\gamma)
     (r_0^2 -2r_0 r\cos\gamma +r^2)\dfrac{r^m}{r_0^{m+2}} =
 \sum_{n=0}^\infty \left[ (n+1)P_{n+1}(\cos\gamma)
         -2n\cos\gamma\, P_n(\cos\gamma)
         +(n-1)P_{n-1}(\cos\gamma)\right] \dfrac{r_0^n}{r^n},$$
qui vaut \'egalement
$  (r_0\cos\gamma -r)
(r_0^2-2r_0 r \cos\gamma +r^2)^{-1/2} =
  (r_0\cos\gamma -r)
   \sum_{m=0}^\infty P_m(\cos\gamma) \dfrac{r^m}{r_0^{m+1}}
,$
d'o\`u, en identifiant en $(r/r_0)^n$: \  %
$ (n+1)P_{n+1}(\cos\gamma)
         -2n\cos\gamma\, P_n(\cos\gamma)
         +(n-1)P_{n-1}(\cos\gamma)
     =\cos\gamma P_n(\cos\gamma) -P_{n-1}(\cos\gamma):$
\begin{equation} \label{reclegen}
 (n+1)P_{n+1}(x)  =
      (2n+1)x\, P_n(x)
         -nP_{n-1}(x).
\end{equation}

Remarquons que $P_n(1)=1$, et que $\displaystyle{
    P_n(x) = \dfrac{(2n-1)!!}{n!} x^n +\dotsb  }$.

Voyons maintenant que chaque $P_n(\cos\gamma)$ est une fonction propre de
$\Delta_B$:
$$ 0 =\Delta \rho^{-1} =\sum_0^\infty r_0^{-n-1}\Delta(r^n P_n(\cos\gamma)) =
 \sum_0^\infty r_0^{-n-1} r^{n-2}( n(n+1)P_n +\Delta_B P_n) $$
est le d\'eveloppement de Taylor de la fonction nulle, donc
$$   \Delta_B P_n(\cos\gamma) = -n(n+1) P_n(\cos\gamma),\qquad
 \cos\gamma = \cos\theta\cos\theta_0 +\sin\theta\sin\theta_0
  \cos(\varphi-\varphi_0).
$$
Equation diff\'erentielle des polyn\^omes de Legendre: $\theta_0=0 \Rightarrow$
$$ \dfrac{1}{\sin\theta} \dfrac{d}{d\theta}\left( \sin\theta
      \dfrac{dP_n(\cos\theta)}{d\theta} \right)
      +n(n+1) P_n(\cos\theta) =0,$$
ou
\begin{equation} \label{difflegen}
 \dfrac{d}{dx}\left( (1-x^2) \dfrac{dP_n(x)}{dx} \right) +n(n+1) P_n(x) =
   (1-x^2) \dfrac{d^2 P_n(x)}{dx^2} -2x \dfrac{dP_n(x)}{dx}
    +n(n+1) P_n(x) =0
\end{equation}

S\'eparons $(\theta, \varphi)$ de $(\theta_0, \varphi_0)$:
$P_n(\cos\gamma) =
         P_n( \cos\theta\cos\theta_0 +\sin\theta\sin\theta_0
  \cos(\varphi-\varphi_0)$ est  une combinaison de produits de
  puissances  $\cos^p\theta \cos^p\theta_0 \sin^q\theta \sin^q\theta_0
    \cos^q(\varphi-\varphi_0)$, avec $p+q\leqslant n$. Regroupons les
contributions de $\varphi$ en \emph{s\'erie de Fourier}
 $\displaystyle{ \qquad\qquad
   P_n(\cos\gamma) = 2\sideset{}{'}\sum_{m=0}^n C_{n,m}(\theta, \theta_0)
   \cos(m(\varphi-\varphi_0))  }$.  \\
On a $C_{0,0}=1$; $C_{1,0}(\theta,\theta_0)= \cos\theta \cos\theta_0$,
                  $C_{1,1}(\theta,\theta_0)= \sin\theta \sin\theta_0/2$,
 etc. Les $C_{n,m}(\theta, \theta_0)$ sont sym\'etriques en $\theta$
 et en $\theta_0$.


De la r\'ecurrence \eqref{reclegen} des polyn\^omes de Legendre, avec
$x = \cos\gamma =
         P_n( \cos\theta\cos\theta_0 +\sin\theta\sin\theta_0
  \cos(\varphi-\varphi_0)$, on tire les relations pour les $C_{n,m}$
$$ C_{n+1,m} =\dfrac{2n+1}{n+1}\left[ \cos\theta \cos\theta_0 C_{n,m}
     +\sin\theta \sin\theta_0 \dfrac{ C_{n,m-1} +C_{n,m+1} }{2}
  \right] -\dfrac{n}{n+1} C_{n-1,m}, $$
d'o\`u on peut montrer que $C_{n,m}(\theta, \theta_0) =
 \sin^m\theta \sin^m\theta_0 D_{n,m}(\theta, \theta_0)$, o\`u $D_{n,m}
 (\theta, \theta_0)$ est un polyn\^ome de degr\'e $n-m$ en $\cos(\theta$
 et $\cos\theta_0$. En particulier, $\theta_0=0 \Rightarrow
   P_n(\cos\theta) = D_{n,0}(\theta,0) $.
 Enfin, on porte
 $$  P_n(\cos\gamma) = \sideset{}{'}\sum_{m=0}^n \sin^m\theta \sin^m\theta_0
 D_{n,m}(\theta, \theta_0) \cos(m(\varphi-\varphi_0))$$
dans $\Delta_B P_n(\cos\gamma) = -n(n+1) P_n(\cos\gamma)$:
$$ \sideset{}{'}\sum_{m=0}^n  \sin^m\theta_0 \left\{
      \dfrac{1}{\sin\theta}\, \dfrac{d}{d\theta}\left[
   \sin\theta \dfrac{d}{d\theta} ( \sin^m\theta D_{n,m} ) \right]
     +\left( n(n+1) -\dfrac{m^2}{\sin^2\theta} \right) \sin^m\theta D_{n,m}  \right\}
     \cos(m(\varphi-\varphi_0)) =0,$$
ce qui donne  $\displaystyle{
   \dfrac{d^2}{d\theta^2} D_{n,m} +(2m+1)\text{ cotg}\,\theta
   \dfrac{d}{d\theta} D_{n,m} +(n(n+1)-m(m+1)) D_{n,m} =0,}$  \\
ou, en $x=\cos\theta$, $\displaystyle{
 (1-x^2)\dfrac{d^2}{dx^2} D_{n,m} -2(m+1) \dfrac{d}{dx}
       D_{n,m} +(n(n+1)-m(m+1)) D_{n,m} =0. }$
On reconna\^\i t l'\'equation diff\'erentielle des d\'eriv\'ees
$m^{\text{\`emes}}$ de \eqref{difflegen}, et les seules solutions
polynomiales sont $D_{n,m}(\theta,\theta_0) = P_n^{(m)}(\cos\theta)$
fois une fonction de $\theta_0$, soit $K_{n,m} P_n^{(m)}(\cos\theta)
 P_n^{(m)}(\cos\theta_0)$ pour respecter la sym\'etrie en $\theta$ et
$\theta_0$.

La r\'ecurrence des $C_{n,m}$, donc des $D_{n,m}$, avec
$\theta_0=0$, devient
$$ K_{n+1,m} P_{n+1}^{(m)}(x) P_{n+1}^{(m)}(1) =
\dfrac{2n+1}{n+1} K_{n,m} x P_n^{(m)}(x) P_n^{(m)}(1) +
    \   \text{ degr\'e } \leqslant n, $$
ce qui aboutit \`a $\displaystyle{ K_{n,m}=\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!} }$.


On note $P_n^m(x) = (1-x^2)^{m/2} \dfrac{d^m}{dx^m} P_n(x) $, on a donc
$$P_n(\cos\gamma) =
         P_n( \cos\theta\cos\theta_0 +\sin\theta\sin\theta_0
  \cos(\varphi-\varphi_0)
= 2\sideset{}{'}\sum_{m=0}^n \dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}
      P_n^m(\cos\theta) P_n^m(\cos\theta_0) \cos(m(\varphi-\varphi_0)).$$

Les fonctions $\displaystyle{ \qquad\qquad Y_{n,m} (\theta,\varphi) =
   \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} (\cos m\varphi  \text{ et } \sin m\varphi)
       \sqrt{ \dfrac{ 2n+1}{2}\, \dfrac{(n-m)!}{(n+m)!} } P_{n,m}(\cos\theta)
 }$
 sont appel\'ees \emph{\textbf{harmoniques sph\'eriques}}, elles
 sont orthonormales sur la sph\`ere.

On a bien $\displaystyle{ \int_{-1}^1 P_{n_1}^m(x)\,P_{n_2}^m(x)\,dx =0}$
si $n_1\neq n_2$, et comme $P_n^m(x) = \sin^m\theta$ fois un polyn\^ome de
degr\'e $n-m$ en $x=\cos\theta$, ces polyn\^omes, pour $m$ fix\'e, sont
orthogonaux par rapport \`a la fonction de poids
$\sin^{2m}\theta = (1-x^2)^m$.

\medskip

Pour un essai int\'eressant de O.~de Viron sur le caract\`ere total
de la suite des harmoniques sph\'eriques, s'adresser \`a l'auteur:

\begin{verbatim}
********************************************************************
*  Olivier de Viron                                                *
*  Royal Observatory of Belgium            Tel: 32-2-3730312       *
*  Observatoire Royal de Belgique          Fax: 32-2-3749822       *
*  3, avenue Circulaire                    e-mail: deviron@oma.be  *
*  B-1180 Bruxelles, Belgium                                       *
********************************************************************

\end{verbatim}

cf. aussi

\begin{verbatim}
sci.math.num-analysis #42078 (3 + 345 more)                                [1]
From: fractalier@aol.com (Fractalier)
[1] Spherical Harmonics Visualization Study
Date: Wed May 06 16:37:32 EDT 1998

Dear Mathematicians:

I have recently uploaded over 400 three-dimensional visualizations of various
spherical harmonics with data for your research and enjoyment.  They can be
found at:
\end{verbatim}
 \href{http://www.lifesmith.com/spharmin.html}
 {\texttt{http://www.lifesmith.com/spharmin.html}}

\begin{verbatim}
Thank you for your support.

Jeff Berkowitz, M.S.
Lifesmith Classic Fractals
End of article 42078 (of 42246) -- what next? [npq]
\end{verbatim}

\subsection{Polyn\^omes d'Hermite et m\'ecanique quantique} \   \\
\index{Hermite, polyn\^omes d'}
Les polyn\^omes d'Hermite
 $$ H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \dfrac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}
   = 2^n x^n -2^{n-1}1!! \binom{n}{2} x^{n-2} +2^{n-2} 3!! \binom{n}{4}
   x^{n-4} -\dotsb
 $$
   sont orthogonaux sur $\mathbb{R}$ par
 rapport \`a la fonction de poids $e^{-x^2}$:
$$ \int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_m(x) e^{-x^2}\, dx =
   \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d^n}{dx^n}(H_m(x))  e^{-x^2}\, dx =
      n! 2^n \sqrt{\pi} \delta_{n,m}
$$
(prendre $m\leqslant n$, sinon permuter $n$ et $m$).

On a $H_{n+1}(x) = 2xH_n(x) -2n H_{n-1}(x)$ et $H_n'(x) = 2n H_{n-1}(x)$.

\medskip
Les \emph{fonctions du cylindre parabolique} ou \emph{fonctions de
Weber-Hermite}
$$ D_n(x) = 2^{-n/2} e^{-x^2/4} H_n\left( \dfrac{x}{\sqrt{2}}\right) $$
sont donc orthogonales dans $L^2(\mathbb{R})$. Les fonctions orthonormales
sont $D_n(x)/\sqrt{n!\sqrt{2\pi}}$.

\medskip
De la r\'ecurrence  $D_{n+1}(x) = xD_n(x) -nD_{n-1}(x)$, donc,
 $$x \dfrac{D_n(x)}{\sqrt{n!\sqrt{2\pi}} } =
   \sqrt{n+1}\,  \dfrac{D_{n+1}(x)}{\sqrt{(n+1)!\sqrt{2\pi}} }
 + \sqrt{n}\,  \dfrac{D_{n-1}(x)}{\sqrt{(n-1)!\sqrt{2\pi}} }  ,$$
on voit que l'op\'erateur $\boldsymbol{q}$ de multiplication par $x$
agit sur les combinaisons des
     $D_n(x)/\sqrt{n!\sqrt{2\pi}}$ au moyen de la matrice
    $\displaystyle{ \qquad\qquad    \boldsymbol{q} =  \begin{bmatrix}
                            0  &  1   &    &    &   \\
                            1 & 0 & \sqrt{2}&   &  \\
                             &\sqrt{2}&0&\sqrt{3}  & \\
                             &  & \ddots & \ddots & \ddots
                           \end{bmatrix}
  }$. \qquad\qquad On a aussi
  $2D_n'(x) = -D_{n+1}(x) +(2n-1)D_{n-1}(x)$, d'o\`u la repr\'esentation
 de l'op\'erateur de d\'erivation  $\displaystyle{
  \dfrac{d}{dx}  =  \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}
                            0  &  -1   &    &    &   \\
                            1 & 0 & -\sqrt{2}&   &  \\
                             &\sqrt{2}&0&-\sqrt{3}  & \\
                             &  & \ddots & \ddots & \ddots
                           \end{bmatrix}  .
      }$
 On pr\'ef\`ere garder un op\'erateur hermitien en prenant plut\^ot
    $$    \boldsymbol{p} = \dfrac{d}{idx} = \dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}
                            0  &  i   &    &    &   \\
                            -i & 0 & i\sqrt{2}&   &  \\
                             &-i\sqrt{2}&0&i\sqrt{3}  & \\
                             &  & \ddots & \ddots & \ddots
                           \end{bmatrix}  .
  $$
Et on constate $\boldsymbol{pq} - \boldsymbol{qp} = i$ fois la
matrice unit\'e! Relation de base de la m\'ecanique quantique. Toute
fonction d'onde peut en effet s'exprimer comme une combinaison des
fonctions $D_n$.

Les $D_n$ sont d'ailleurs les fonctions d'onde d'un syst\`eme particulier,
l'oscillateur lin\'eaire. La matrice $\boldsymbol{p}^2 +\boldsymbol{q}^2/4$
est diagonale d'\'el\'ements diagonaux $n+1/2$, $n=0,1,\dotsc$

En variables physiques\footnote{Landau \& Lifchitz, \textsl{M\'ecanique
quantique}, \S~23.}: $\displaystyle{ \psi_n(x) = \left(\dfrac{m\omega}
  {\pi\hbar}\right)^{1/4} \dfrac{1}{\sqrt{2^n n!}} e^{-\dfrac{m\omega}{2\hbar}
    x^2} H_n\left( x\sqrt{\dfrac{m\omega}{\hbar} }\right)  }$. Niveaux
    d'\'energie: $E=(n+1/2)\hbar\omega$, $n=0,1,\dotsc$
L'\'energie varie donc par pas de $h=2\pi\hbar$ fois la fr\'equence $\nu = \omega/(2\pi)$.

$h= 6.626196\ 10^{-34}$ Joule seconde.


\medskip

Pour une controverse int\'eressante, voir B.L. van der Waerden:
From matrix mechanics and wave mechanics to unified quantum mechanics,
\textsl{Notices of the AMS} \textbf{44} (1997) 323-328.

\subsection{Orthogonalit\'e et \'equioscillation} {\ } \\

On a d'abord rencontr\'e les polyn\^omes de Tchebycheff   \`a partir de
conditions d\'equioscillation. Puis on a constat\'e que ces polyn\^omes sont
orthogonaux par rapport \`a la fonction de poids $(1-x^2)^{-1/2}$ sur $(-1,1)$.

Si $\{\Phi_n\}$ est une suite de polyn\^omes orthogonaux par rapport \`a une
fonction de poids $w$ sur $(-1,1)$, \\ $\{ (1-x^2)^{1/4} w(x)^{1/2} \Phi_n(x)\}$
sont des fonctions orthogonales par rapport \`a $(1-x^2)^{-1/2}$, on
constate un comportement raisonnablement \'equioscillant:

\psset{xunit=8cm,yunit=1.5cm}\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1.25)
 \uput[0](-1,1){Jacobi  degr\'e 10  $\alpha= -0.25$,\   $\beta= 1$}
 \pscurve%
(-0.999, 0.389)(-0.989, 0.943)(-0.979, 0.912)(-0.969, 0.726)(-0.959, 0.486)%
(-0.949, 0.240)(-0.939, 0.013)(-0.929,-0.182)(-0.919,-0.339)(-0.909,-0.455)%
(-0.899,-0.533)(-0.889,-0.573)(-0.879,-0.581)(-0.869,-0.560)(-0.859,-0.516)%
(-0.849,-0.453)(-0.839,-0.375)(-0.830,-0.288)(-0.820,-0.195)(-0.810,-0.100)%
(-0.800,-0.005)(-0.790, 0.085)(-0.780, 0.169)(-0.770, 0.245)(-0.760, 0.311)%
(-0.750, 0.367)(-0.740, 0.411)(-0.730, 0.444)(-0.720, 0.465)(-0.710, 0.474)%
(-0.700, 0.472)(-0.690, 0.460)(-0.680, 0.438)(-0.670, 0.407)(-0.660, 0.369)%
(-0.650, 0.324)(-0.640, 0.273)(-0.630, 0.219)(-0.620, 0.161)(-0.610, 0.101)%
(-0.600, 0.041)(-0.590,-0.019)(-0.580,-0.077)(-0.570,-0.133)(-0.560,-0.186)%
(-0.550,-0.235)(-0.540,-0.280)(-0.530,-0.319)(-0.520,-0.352)(-0.510,-0.379)%
(-0.500,-0.401)(-0.491,-0.415)(-0.481,-0.423)(-0.471,-0.425)(-0.461,-0.420)%
(-0.451,-0.410)(-0.441,-0.393)(-0.431,-0.371)(-0.421,-0.344)(-0.411,-0.312)%
(-0.401,-0.276)(-0.391,-0.237)(-0.381,-0.195)(-0.371,-0.151)(-0.361,-0.105)%
(-0.351,-0.058)(-0.341,-0.011)(-0.331, 0.037)(-0.321, 0.083)(-0.311, 0.128)%
(-0.301, 0.171)(-0.291, 0.211)(-0.281, 0.249)(-0.271, 0.283)(-0.261, 0.314)%
(-0.251, 0.340)(-0.241, 0.362)(-0.231, 0.379)(-0.221, 0.392)(-0.211, 0.400)%
(-0.201, 0.403)(-0.191, 0.401)(-0.181, 0.394)(-0.171, 0.383)(-0.162, 0.367)%
(-0.152, 0.346)(-0.142, 0.322)(-0.132, 0.294)(-0.122, 0.262)(-0.112, 0.228)%
(-0.102, 0.190)(-0.092, 0.151)(-0.082, 0.110)(-0.072, 0.068)(-0.062, 0.024)%
(-0.052,-0.019)(-0.042,-0.062)(-0.032,-0.104)(-0.022,-0.145)(-0.012,-0.184)%
(-0.002,-0.222)( 0.008,-0.256)( 0.018,-0.288)( 0.028,-0.316)( 0.038,-0.340)%
( 0.048,-0.361)( 0.058,-0.377)( 0.068,-0.389)( 0.078,-0.397)( 0.088,-0.400)%
( 0.098,-0.398)( 0.108,-0.391)( 0.118,-0.380)( 0.128,-0.364)( 0.138,-0.344)%
( 0.148,-0.320)( 0.158,-0.291)( 0.167,-0.260)( 0.177,-0.225)( 0.187,-0.187)%
( 0.197,-0.147)( 0.207,-0.104)( 0.217,-0.061)( 0.227,-0.016)( 0.237, 0.029)%
( 0.247, 0.074)( 0.257, 0.118)( 0.267, 0.161)( 0.277, 0.202)( 0.287, 0.241)%
( 0.297, 0.277)( 0.307, 0.310)( 0.317, 0.339)( 0.327, 0.363)( 0.337, 0.384)%
( 0.347, 0.399)( 0.357, 0.409)( 0.367, 0.413)( 0.377, 0.412)( 0.387, 0.406)%
( 0.397, 0.393)( 0.407, 0.376)( 0.417, 0.352)( 0.427, 0.324)( 0.437, 0.290)%
( 0.447, 0.252)( 0.457, 0.210)( 0.467, 0.164)( 0.477, 0.115)( 0.487, 0.064)%
( 0.497, 0.011)( 0.506,-0.042)( 0.516,-0.096)( 0.526,-0.149)( 0.536,-0.200)%
( 0.546,-0.249)( 0.556,-0.294)( 0.566,-0.336)( 0.576,-0.372)( 0.586,-0.402)%
( 0.596,-0.425)( 0.606,-0.441)( 0.616,-0.449)( 0.626,-0.449)( 0.636,-0.440)%
( 0.646,-0.422)( 0.656,-0.395)( 0.666,-0.359)( 0.676,-0.315)( 0.686,-0.263)%
( 0.696,-0.204)( 0.706,-0.138)( 0.716,-0.067)( 0.726, 0.007)( 0.736, 0.084)%
( 0.746, 0.161)( 0.756, 0.236)( 0.766, 0.307)( 0.776, 0.372)( 0.786, 0.429)%
( 0.796, 0.475)( 0.806, 0.507)( 0.816, 0.524)( 0.826, 0.522)( 0.835, 0.501)%
( 0.845, 0.459)( 0.855, 0.395)( 0.865, 0.309)( 0.875, 0.203)( 0.885, 0.077)%
( 0.895,-0.063)( 0.905,-0.213)( 0.915,-0.364)( 0.925,-0.505)( 0.935,-0.621)%
( 0.945,-0.694)( 0.955,-0.699)( 0.965,-0.600)( 0.975,-0.352)( 0.985, 0.119)%
( 0.995, 1.000)
\psline(-1,-0.1)(-1,0.1)(-1,0)(1,0)(1,0.1)(1,-0.1)
\uput[270](-1,0){$-1$}  \uput[270](1,0){1}
\end{pspicture}

\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm}\begin{pspicture}(0,-1)(11,1.25)
 \uput[0](0,1){ Laguerre  degr\'e 10 ,  $\alpha= 1.23$}
 \pscurve%
( 0.001, 0.101)( 0.056, 0.902)( 0.111, 1.000)( 0.166, 0.893)( 0.220, 0.694)%
( 0.275, 0.460)( 0.330, 0.225)( 0.385, 0.006)( 0.440,-0.184)( 0.495,-0.340)%
( 0.549,-0.460)( 0.604,-0.544)( 0.659,-0.594)( 0.714,-0.613)( 0.769,-0.605)%
( 0.824,-0.573)( 0.878,-0.523)( 0.933,-0.457)( 0.988,-0.381)( 1.043,-0.296)%
( 1.098,-0.207)( 1.153,-0.117)( 1.207,-0.028)( 1.262, 0.058)( 1.317, 0.139)%
( 1.372, 0.214)( 1.427, 0.280)( 1.482, 0.338)( 1.536, 0.387)( 1.591, 0.427)%
( 1.646, 0.457)( 1.701, 0.477)( 1.756, 0.488)( 1.811, 0.490)( 1.865, 0.483)%
( 1.920, 0.469)( 1.975, 0.448)( 2.030, 0.420)( 2.085, 0.386)( 2.140, 0.348)%
( 2.194, 0.306)( 2.249, 0.260)( 2.304, 0.212)( 2.359, 0.162)( 2.414, 0.111)%
( 2.469, 0.060)( 2.523, 0.010)( 2.578,-0.040)( 2.633,-0.088)( 2.688,-0.134)%
( 2.743,-0.178)( 2.798,-0.219)( 2.852,-0.257)( 2.907,-0.291)( 2.962,-0.321)%
( 3.017,-0.348)( 3.072,-0.371)( 3.127,-0.389)( 3.181,-0.404)( 3.236,-0.414)%
( 3.291,-0.420)( 3.346,-0.423)( 3.401,-0.421)( 3.456,-0.416)( 3.510,-0.407)%
( 3.565,-0.395)( 3.620,-0.380)( 3.675,-0.361)( 3.730,-0.340)( 3.785,-0.317)%
( 3.839,-0.291)( 3.894,-0.264)( 3.949,-0.235)( 4.004,-0.204)( 4.059,-0.173)%
( 4.114,-0.140)( 4.168,-0.107)( 4.223,-0.074)( 4.278,-0.040)( 4.333,-0.007)%
( 4.388, 0.026)( 4.443, 0.059)( 4.497, 0.090)( 4.552, 0.121)( 4.607, 0.150)%
( 4.662, 0.178)( 4.717, 0.205)( 4.772, 0.230)( 4.826, 0.254)( 4.881, 0.275)%
( 4.936, 0.295)( 4.991, 0.313)( 5.046, 0.328)( 5.101, 0.342)( 5.155, 0.354)%
( 5.210, 0.363)( 5.265, 0.370)( 5.320, 0.375)( 5.375, 0.378)( 5.430, 0.379)%
( 5.485, 0.378)( 5.539, 0.375)( 5.594, 0.370)( 5.649, 0.364)( 5.704, 0.355)%
( 5.759, 0.345)( 5.814, 0.333)( 5.868, 0.319)( 5.923, 0.304)( 5.978, 0.288)%
( 6.033, 0.271)( 6.088, 0.252)( 6.143, 0.232)( 6.197, 0.212)( 6.252, 0.191)%
( 6.307, 0.169)( 6.362, 0.146)( 6.417, 0.123)( 6.472, 0.100)( 6.526, 0.076)%
( 6.581, 0.052)( 6.636, 0.029)( 6.691, 0.005)( 6.746,-0.019)( 6.801,-0.042)%
( 6.855,-0.065)( 6.910,-0.087)( 6.965,-0.109)( 7.020,-0.130)( 7.075,-0.151)%
( 7.130,-0.171)( 7.184,-0.190)( 7.239,-0.208)( 7.294,-0.225)( 7.349,-0.241)%
( 7.404,-0.257)( 7.459,-0.271)( 7.513,-0.284)( 7.568,-0.296)( 7.623,-0.307)%
( 7.678,-0.316)( 7.733,-0.325)( 7.788,-0.332)( 7.842,-0.338)( 7.897,-0.342)%
( 7.952,-0.346)( 8.007,-0.348)( 8.062,-0.349)( 8.117,-0.349)( 8.171,-0.348)%
( 8.226,-0.346)( 8.281,-0.342)( 8.336,-0.338)( 8.391,-0.332)( 8.446,-0.325)%
( 8.500,-0.318)( 8.555,-0.309)( 8.610,-0.300)( 8.665,-0.289)( 8.720,-0.278)%
( 8.775,-0.266)( 8.829,-0.253)( 8.884,-0.240)( 8.939,-0.226)( 8.994,-0.211)%
( 9.049,-0.196)( 9.104,-0.180)( 9.158,-0.164)( 9.213,-0.148)( 9.268,-0.131)%
( 9.323,-0.114)( 9.378,-0.097)( 9.433,-0.079)( 9.487,-0.062)( 9.542,-0.044)%
( 9.597,-0.027)( 9.652,-0.009)( 9.707, 0.009)( 9.762, 0.026)( 9.816, 0.043)%
( 9.871, 0.060)( 9.926, 0.077)( 9.981, 0.094)(10.036, 0.110)(10.091, 0.126)%
(10.145, 0.141)(10.200, 0.156)(10.255, 0.170)(10.310, 0.184)(10.365, 0.198)%
(10.420, 0.211)(10.474, 0.223)(10.529, 0.235)(10.584, 0.246)(10.639, 0.256)%
(10.694, 0.266)(10.749, 0.275)(10.803, 0.283)(10.858, 0.291)(10.913, 0.298)%
(10.968, 0.304)
\psline(0,0.1)(0,-0.1)(0,0)(10,0)(10,0.1)(10,-0.1)(10,0)(12,0)
\uput[270](0,0){0} \uput[270](10,0){10}
\end{pspicture}

\psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}\begin{pspicture}(-3.5,-1)(3.5,1.25)
 \uput[0](-2,1){Hermite  degr\'e 10}
 \pscurve%
(-3.235,-0.617)(-3.203,-0.698)(-3.171,-0.772)(-3.138,-0.836)(-3.106,-0.891)%
(-3.074,-0.936)(-3.041,-0.969)(-3.009,-0.991)(-2.977,-1.000)(-2.945,-0.997)%
(-2.912,-0.980)(-2.880,-0.951)(-2.848,-0.910)(-2.816,-0.856)(-2.783,-0.791)%
(-2.751,-0.714)(-2.719,-0.628)(-2.687,-0.533)(-2.654,-0.430)(-2.622,-0.321)%
(-2.590,-0.208)(-2.558,-0.091)(-2.525, 0.027)(-2.493, 0.145)(-2.461, 0.261)%
(-2.428, 0.372)(-2.396, 0.478)(-2.364, 0.576)(-2.332, 0.664)(-2.299, 0.743)%
(-2.267, 0.808)(-2.235, 0.861)(-2.203, 0.899)(-2.170, 0.922)(-2.138, 0.930)%
(-2.106, 0.922)(-2.074, 0.897)(-2.041, 0.858)(-2.009, 0.803)(-1.977, 0.734)%
(-1.945, 0.652)(-1.912, 0.558)(-1.880, 0.455)(-1.848, 0.343)(-1.815, 0.224)%
(-1.783, 0.102)(-1.751,-0.022)(-1.719,-0.146)(-1.686,-0.267)(-1.654,-0.383)%
(-1.622,-0.492)(-1.590,-0.591)(-1.557,-0.679)(-1.525,-0.754)(-1.493,-0.814)%
(-1.461,-0.859)(-1.428,-0.886)(-1.396,-0.896)(-1.364,-0.889)(-1.332,-0.863)%
(-1.299,-0.821)(-1.267,-0.762)(-1.235,-0.687)(-1.202,-0.599)(-1.170,-0.499)%
(-1.138,-0.388)(-1.106,-0.269)(-1.073,-0.145)(-1.041,-0.018)(-1.009, 0.110)%
(-0.977, 0.235)(-0.944, 0.355)(-0.912, 0.468)(-0.880, 0.571)(-0.848, 0.662)%
(-0.815, 0.739)(-0.783, 0.801)(-0.751, 0.845)(-0.719, 0.872)(-0.686, 0.880)%
(-0.654, 0.869)(-0.622, 0.840)(-0.589, 0.793)(-0.557, 0.728)(-0.525, 0.648)%
(-0.493, 0.554)(-0.460, 0.449)(-0.428, 0.333)(-0.396, 0.210)(-0.364, 0.083)%
(-0.331,-0.046)(-0.299,-0.174)(-0.267,-0.299)(-0.235,-0.417)(-0.202,-0.525)%
(-0.170,-0.623)(-0.138,-0.707)(-0.105,-0.775)(-0.073,-0.826)(-0.041,-0.860)%
(-0.009,-0.874)( 0.024,-0.870)( 0.056,-0.847)( 0.088,-0.805)( 0.120,-0.745)%
( 0.153,-0.670)( 0.185,-0.580)( 0.217,-0.477)( 0.249,-0.363)( 0.282,-0.242)%
( 0.314,-0.116)( 0.346, 0.013)( 0.378, 0.142)( 0.411, 0.267)( 0.443, 0.387)%
( 0.475, 0.499)( 0.508, 0.599)( 0.540, 0.687)( 0.572, 0.760)( 0.604, 0.817)%
( 0.637, 0.856)( 0.669, 0.877)( 0.701, 0.879)( 0.733, 0.862)( 0.766, 0.827)%
( 0.798, 0.775)( 0.830, 0.706)( 0.862, 0.622)( 0.895, 0.525)( 0.927, 0.417)%
( 0.959, 0.301)( 0.991, 0.178)( 1.024, 0.051)( 1.056,-0.077)( 1.088,-0.203)%
( 1.121,-0.325)( 1.153,-0.440)( 1.185,-0.546)( 1.217,-0.641)( 1.250,-0.723)%
( 1.282,-0.791)( 1.314,-0.843)( 1.346,-0.877)( 1.379,-0.895)( 1.411,-0.894)%
( 1.443,-0.876)( 1.475,-0.840)( 1.508,-0.789)( 1.540,-0.721)( 1.572,-0.640)%
( 1.604,-0.547)( 1.637,-0.443)( 1.669,-0.330)( 1.701,-0.212)( 1.734,-0.089)%
( 1.766, 0.035)( 1.798, 0.159)( 1.830, 0.279)( 1.863, 0.395)( 1.895, 0.503)%
( 1.927, 0.603)( 1.959, 0.691)( 1.992, 0.767)( 2.024, 0.830)( 2.056, 0.878)%
( 2.088, 0.911)( 2.121, 0.928)( 2.153, 0.929)( 2.185, 0.914)( 2.217, 0.884)%
( 2.250, 0.839)( 2.282, 0.780)( 2.314, 0.708)( 2.347, 0.625)( 2.379, 0.532)%
( 2.411, 0.430)( 2.443, 0.321)( 2.476, 0.208)( 2.508, 0.091)( 2.540,-0.027)%
( 2.572,-0.145)( 2.605,-0.260)( 2.637,-0.372)( 2.669,-0.478)( 2.701,-0.578)%
( 2.734,-0.669)( 2.766,-0.751)( 2.798,-0.822)( 2.830,-0.882)( 2.863,-0.930)%
( 2.895,-0.966)( 2.927,-0.989)( 2.960,-1.000)( 2.992,-0.997)( 3.024,-0.982)%
( 3.056,-0.955)( 3.089,-0.917)( 3.121,-0.867)( 3.153,-0.808)( 3.185,-0.739)%
( 3.218,-0.661)
\psline(-3.3,0)(-3,0)(-3,0.1)(-3,-0.1)(-3,0)(3,0)(3,0.1)(3,-0.1)(3,0)(3.3,0)
\uput[270](-3,0){$-3$}  \uput[270](3,0){3}
\end{pspicture}



% \epsfxsize=477bp \epsfbox[ 50 350 527 800]{orthclas.ps}
%\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{orthclas.ps}

  \begin{center}Polyn\^omes de Jacobi, Laguerre et Hermite.\end{center}

La figure ci-dessus montre  les graphes de polyn\^omes de
Jacobi, Laguerre et Hermite, multipli\'es par \\
 $(1-x)^{\alpha/2+1/4}(1+x)^{\beta/2+1/4}$ dans le cas Jacobi, par $x^{\alpha/2+1/4}\exp(-x/2)$ dans le cas Laguerre
 par $\exp(-x^2/2)$ pour Hermite.

cf. \href{orthclas.m}{\texttt{orthclas.m}}

\bigskip

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme de Sonine-P\'olya}\footnote{M.~Redheffer,
Monotonocity of the maxima, \textsl{American Math. Monthly} \textbf{105}
(1998) 945-948.}. \textsl{Si $\Phi_n$
est un polyn\^ome orthogonal classique sur $[a,b]$, et si
$w(x)\sqrt{p(x)}$ est croissante (resp. d\'ecroissante) sur $[c,d]
\subseteq [a,b]$,
les ordonn\'ees des maxima locaux de $|\Phi_n|$ sur $[c,d]$ forment une
suite d\'ecroissante (resp. croissante)}.

\smallskip

En effet, les carr\'es de ces ordonn\'ees sont les valeurs de
$\displaystyle{ F_n(x):= \Phi_n^2(x) -\dfrac{p(x)}{\lambda_n}
   \Phi'_n{}^2(x) }$ aux z\'eros de $p\Phi'_n$. D\'erivons $F_n$:
\begin{equation*} \begin{split}
 F'_n &= 2\Phi_n \Phi'_n -\dfrac{p'}{\lambda_n}\Phi'_n{}^2
       -2\dfrac{p}{\lambda_n} \Phi'_n \Phi''_n \\
    &= \Phi'_n\left[ 2\Phi_n -\dfrac{p'}{\lambda_n} \Phi'_n
         -2\dfrac{p\Phi''_n}{\lambda_n}  \right]  \\
    &= \Phi'_n\left[ 2\Phi_n -\dfrac{p'}{\lambda_n} \Phi'_n
         -2\dfrac{\lambda_n\Phi_n -\rho \Phi'_n}{\lambda_n}  \right]  \\
    &= \dfrac{2\rho-p'}{\lambda_n}\Phi'_n{}^2
\end{split}\end{equation*}
o\`u on a utilis\'e \eqref{equadiffclass}. D'o\`u la th\`ese, puisque,
sur un intervalle o\`u $w\sqrt{p}$ est monotone,
$(w\sqrt{p})'/(w\sqrt{p}) = w'/w +p'/(2p) = r/p +p'/(2p) = (2\rho-p')/(2p)$.
(et $\lambda_n<0$). \qed

\medskip

\textbf{Un th\'eor\`eme de Szeg\H o} ([Sze] \S~7.2).
Si la densit\'e $w$ est croissante sur $(c,b)$ avec $a\leqslant c <b$,
 $\sqrt{w}|\Phi_n|$ atteint son maximum sur $[c,b]$ en $b$.

En effet: soit $c\leqslant x\leqslant b, \displaystyle{ w(b)\Phi_n^2(b)
   -w(x)\Phi_n^2(x)  = 2\int_x^b \Phi_n(t)  \Phi_n'(t)w(t)dt
    +\int_x^b \Phi_n^2(t)\,dw(t) }$. 1.) Si $x$ est entre le plus grand
  z\'ero de $\Phi_n$ et $b$, $\Phi_n(t)$ et $\Phi_n'(t)$ sont positifs,
 donc le r\'esultat est positif. 2.)  Si $x$ est entre $a$ et le plus
 petit z\'ero de $\Phi_n$,
  $ \displaystyle{ \int_x^b \Phi_n(t)  \Phi_n'(t)w(t)dt  =
    \underbrace{\int_a^b}_{=0}-\int_a^x \Phi_n(t)  \Phi_n'(t)w(t)dt }$
 encore positif puisque $\Phi_n$ et $\Phi'_n$ ont les signes
 $(-1)^n$ et $(-1)^{n-1}$ \`a gauche du plus petit z\'ero;
 3.) Enfin, si $x$ est entre deux z\'eros
 de $\Phi_n$, on consid\`ere le polyn\^ome $\Phi_n(t)$ divis\'e par
 le produit des $t-z_i$, o\`u les $z_i$ sont les z\'eros plus petits
 que $x$. Ce polyn\^ome est orthogonal par rapport \`a la densit\'e
 $\displaystyle{ w(t)\prod_{z_i<x} (t-z_i)^2}$. On se ram\`ene ainsi
 au cas 2.). \qed

} % fin eightpoint





\medskip


\section{Moindres carr\'es, r\'egression.}

\index{moindres carr\'es}
\bigskip

La construction d'approximations au sens des moindres carr\'es
est une des applications num\'eriques les plus utiles qui soient.
A partir de principes \'etablis d\`es le d\'ebut du
$\text{XIX}^{\text{\`eme}}$ si\`ecle par Legendre et Gauss,
on a trait\'e des probl\`emes de plus en plus consid\'erables.
L'\'elaboration de bons algorithmes se base sur les id\'ees force
de meilleure approximation en moyenne quadratique et d'utilisation de bases
orthogonales.

\noindent
Fixons le cadre:\\
On dispose d'observations $y_0$, $y_1$,\dots $y_N$ d'un ph\'enom\`ene
$f(t)$ ($t$ peut repr\'esenter ici une ou plusieurs variables
ind\'ependantes) que l'on soup\c conne pouvoir \^etre repr\'esent\'e
par une forme
$$ f(t) = \sum_{j=0}^n \alpha_j  f_j(t),$$
o\`u les fonctions $ f_j$ sont connues, mais o\`u les
coefficients $\alpha_j$ sont \`a d\'eterminer
\footnote{Nombreux exemples en physique, \'economie, etc. etc.
A noter que l'on se limite ici \`a des probl\`emes o\`u les
inconnues $\alpha_j$ interviennent lin\'eairement, ce qui est une
grosse simplification vis \`a vis des questions qui se posent le plus
fr\'equemment.}.
Si cette hypoth\`ese
\'etait vraie, et si chaque mesure $y_i$ donnait exactement $f(t_i)$,
on trouverait les $\alpha_j$ en extrayant $n$ \'equations de
$$ \boldsymbol{y} =  \boldsymbol{f}= \boldsymbol{\Phi \alpha},$$
o\`u $\boldsymbol{y}$ est le vecteur des $y_i$, $\boldsymbol{\Phi}$ est la matrice
des $ f_j(t_i)$, $j=0,\ldots,n$, $i=0,\ldots N\geqslant n, \boldsymbol{\alpha}$ est
le vecteur des $\alpha_j$. En fait, les mesures n'\'etant pas exactes,
on a plut\^ot
$$ \boldsymbol{y} =  \boldsymbol{f}+\boldsymbol{e}= \boldsymbol{\Phi \alpha} + \boldsymbol{e},$$
on renonce \`a calculer exactement $\boldsymbol{\alpha}$, mais on va estimer ce
vecteur par $\boldsymbol{a}$ qui minimise \textbf{la somme des carr\'es des
r\'esidus}
$$ \|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\Phi b}\|^2 =
 \sum_{i=0}^{i=N} \left( y_i -\sum_{j=0}^{j=n}  f_j(t_i) b_j \right)^2$$
sur $\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^{n+1}$.

C'est bien un probl\`eme de meilleure approximation de $\boldsymbol{y}
\in\mathbb{R}^{N+1}$ par un \'el\'ement de $V$, espace vectoriel de dimension
$n+1$ sous-tendu par les colonnes de $\boldsymbol{\Phi}$, au sens de la norme
Euclidienne de $\mathbb{R}^{N+1}$ (on a donc suppos\'e que les $n+1$ colonnes
de $\boldsymbol{\Phi}$ sont des vecteurs ind\'ependants de $\mathbb{R}^{N+1}$).

La solution $\boldsymbol{\Phi b}$ est donc la projection orthogonale de
$\boldsymbol{y}$ sur $V$. La mani\`ere traditionnelle de trouver $\boldsymbol{a}$
consiste \`a \'ecrire que le r\'esidu $\boldsymbol{r} = \boldsymbol{y}
-\boldsymbol{\Phi a}$ est orthogonal aux colonnes de $\boldsymbol{\Phi}$,
c'est-\`a-dire, \`a former les \textbf{\'equations normales}:
                                      \index{equations normales}
$$ \boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{\Phi a} = \boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{y}.$$
A noter que l'on retrouve bien la \textbf{matrice de Gram} de la base
de $V$.

L'usage des \'equations normales n'est recommand\'e que pour de
petites valeurs de $n$, le syst\`eme \'etant mal conditionn\'e si
$n$ est grand.

On sait maintenant l'int\'er\^et de disposer de bases orthogonales.
Si on a orthonormalis\'e les colonnes $\boldsymbol{f}_0$,\dots $\boldsymbol{f}_n$ de
$\boldsymbol{\Phi}$ en $\boldsymbol{f}_0^\perp$,\dots $\boldsymbol{f}_n^\perp$, il reste, par
\eqref{projorth} (p.~\pageref{projorth}):
$$ P\boldsymbol{y} = \boldsymbol{\Phi a} =
                   \boldsymbol{\Phi}^\perp \boldsymbol{a}^\perp =
   \sum_{j=0}^{j=n} (\boldsymbol{f}_j^\perp{}^T \boldsymbol{y})
                                               \; \boldsymbol{f}_j^\perp,$$
donc,
 $ a_j^\perp = \boldsymbol{f}_j^\perp{}^T \boldsymbol{y}$, ou encore
$\boldsymbol{a}^\perp = \boldsymbol{\Phi}^\perp{}^T \boldsymbol{y}$.

Si on a utilis\'e la m\'ethode de Gram-Schmidt pour orthonormaliser les
colonnes de $\boldsymbol{\Phi}$, le passage de $\boldsymbol{\Phi}$ \`a
$\boldsymbol{\Phi}^\perp$ est
 $\boldsymbol{\Phi} =\boldsymbol{\Phi}^\perp \boldsymbol{R}$, o\`u $\boldsymbol{R}$ est une
matrice triangulaire sup\'erieure, $\boldsymbol{R a}=\boldsymbol{a}^\perp$.
\\
Comme $\boldsymbol{\Phi}^\perp{}^T \boldsymbol{\Phi}^\perp = \boldsymbol{I}$,
$\boldsymbol{R}^T\boldsymbol{R}=\boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{\Phi}$, factorisation de
Cholesky de la matrice de Gram.

On obtient \'egalement $\boldsymbol{R}$ en multipliant $\boldsymbol{\Phi}$ \`a
gauche par des matrices orthogonales appropri\'ees (rotations de
Givens ou r\'eflexions de Householder) de fa\c con \`a avoir
$\boldsymbol{\Phi}=\boldsymbol{Q}\widetilde{\boldsymbol{R}}$, o\`u $\widetilde{\boldsymbol{R}}$ est
une matrice rectangulaire de $N+1$ lignes et $n+1$ colonnes, la
$j^{\text{\`eme}}$ colonne n'ayant que ses $j$ premiers
\'el\'ements non nuls (factorisation $QR$). Alors, $\boldsymbol{a}^\perp$
est le vecteur form\'e des $n+1$ premiers \'el\'ements
de $\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{y}$.

\medskip

En \texttt{matlab}:

{\Small

help polyfit


 POLYFIT Polynomial curve fitting.

  \texttt{POLYFIT(x,y,n)} finds the coefficients of a polynomial
   $p(x)$ of
  degree $n$ that fits the data, $p(x(i)) \sim= y(i)$,
   in a least-squares sense.


  \texttt{[p,S] = POLYFIT(x,y,n)} returns the polynomial
   coefficients $p$ and a
  matrix $S$ for use with \texttt{POLYVAL}
   to produce error estimates on predictions.

  If the errors in the data, $y$, are independent normal with constant
  variance, \texttt{POLYVAL}
   will produce error bounds which contain at least 50\%
  of the predictions.



  See also \texttt{POLY, POLYVAL, ROOTS}.



help slash

...

      If $A$ is an $M$-by-$N$ matrix with $M <$ or $> N$ and $B$
       is a column
      vector with $M$ components, or a matrix with several such columns,
      then \texttt{X = A$\backslash$B}
       is the solution in the least squares sense to the
      under- or overdetermined system of equations $A*X = B$. The
      effective rank, $K$, of $A$ is determined from the QR decomposition
      with pivoting. A solution $X$ is computed which has at most $K$
      nonzero components per column. If $K < N$ this will usually not
      be the same solution as \texttt{PINV(A)*B}.
       \texttt{A$\backslash$EYE(SIZE(A))} produces a
      generalized inverse of $A$.

Voir aussi \texttt{LSCOV}.

}

\medskip

\noindent\textbf{Remarque.} \label{mcarrinterp}
Si chaque ligne de $\boldsymbol{\Phi}$ est form\'ee de valeurs
de fonctions en un m\^eme point:
$[\varphi_0(t_i),\dotsc, \varphi_n(t_i)]$, et s'il y a exactement
autant d'\'equations que d'inconnues, alors la solution
$$   \sum_{j=0}^n a_j^\perp \varphi_j,$$
o\`u
 $ a_j^\perp = \boldsymbol{\varphi}_j^\perp{}^T \boldsymbol{y}$, ou encore
$\boldsymbol{a}^\perp = \boldsymbol{\Phi}^\perp{}^T \boldsymbol{y}$, \\
\emph{\textbf{interpole}} les donn\'ees $y_0,\dotsc, y_n$ aux points
$t_0,\dotsc, t_n$, c'est-\`a-dire que l'on a
\begin{equation} \label{mcarrinterp2}
   \sum_{j=0}^n a_j^\perp \varphi_j^\perp(t_i) = y_i,\qquad i=0,1,\dotsc, n
\end{equation}
En effet $
\boldsymbol{\Phi}^\perp\boldsymbol{a}^\perp =
\boldsymbol{\Phi}^\perp\boldsymbol{\Phi}^\perp{}^T =\boldsymbol{y}$,
$\boldsymbol{\Phi}^\perp$ \'etant une matrice carr\'ee orthogonale.

\medskip

Si les fonctions $ f_j$ sont des polyn\^omes  d'une variable
r\'eelle, on dispose de techniques particuli\`eres bas\'ees sur
la relation de r\'ecurrence
\footnote{G.E.\ Forsythe, Generation and use of orthogonal
 polynomials for data-fitting with a digital computer, \textsl{
 J.\ Soc.\ Indust.\ Appl.\ Math.\/} \textbf{5} (1957) 74-88.}.

\medskip

Voici une justification statistique de ces techniques:

\smallskip

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme de Gauss-Markoff
\footnote{B.L.\ van der Waerden, \textsl{Mathematische Statistik},
  Springer, 1957 = \textsl{Statistique math\'ematique}, Dunod, 1967, \S~30--32.}
.\/} \emph{Si les erreurs
$e_i=y_i-f(t_i)$ sont des variables al\'eatoires ind\'ependantes de
moyenne nulle $($\emph{estimation sans biais}$)$ et de m\^eme
variance $\sigma^2$, $a_j$ obtenu par moindres carr\'es
 est l'estimateur lin\'eaire sans biais de
$\alpha_j$ de variance minimale. Le carr\'e de la norme du r\'esidu
$\|\boldsymbol{r}\|^2= \|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\Phi a}\|^2$ est alors une
variable al\'eatoire de moyenne $(N-n)\sigma^2$.}

\smallskip

En effet, \'etudions un estimateur $b_j$ de $\alpha_j$ ou, plus
g\'en\'eralement, un estimateur $b$ d'une combinaison lin\'eaire
$\beta=\sum_{j=0}^n \lambda_j \alpha_j$, lin\'eaire en les $y_i$:
$b=\sum_{i=0}^N \ell_i y_i = \boldsymbol{\ell}^T \boldsymbol{y}$.
Exprimons d'abord que $b$ est sans biais, c'est-\`a-dire que l'on a
$\mathcal{E}(b)=\beta=\boldsymbol{\lambda}^T\boldsymbol{\alpha}$, $\forall\boldsymbol{\alpha}$:
$\mathcal{E}(b)= \mathcal{E}(\boldsymbol{\ell}^T \boldsymbol{y})=
\boldsymbol{\ell}^T\mathcal{E}(\boldsymbol{f}+\boldsymbol{e})= \boldsymbol{\ell}^T \boldsymbol{f}=
\boldsymbol{\ell}^T \boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\alpha}$, donc $\boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{\ell}= \boldsymbol{\lambda}$,
r\'esolu par $\boldsymbol{\ell}= \boldsymbol{\Phi x} + \boldsymbol{z}$, avec
$\boldsymbol{x}= (\boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1}\boldsymbol{\lambda}$ et $\boldsymbol{z}\perp V$.


\noindent
Passons maintenant \`a la variance de $b$: $\mathcal{E}((b-\boldsymbol{\lambda}^T
\boldsymbol{\alpha})^2)= \mathcal{E}((\boldsymbol{\ell}^T\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\ell}^T\boldsymbol{\Phi \alpha})
(\boldsymbol{y}^T\boldsymbol{\ell}- \boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\Phi}^T \boldsymbol{\ell}))=
\boldsymbol{\ell}^T \mathcal{E}((\boldsymbol{y}-\boldsymbol{f})(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{f})^T)\boldsymbol{\ell}=
\sigma^2 \boldsymbol{\ell}^T \boldsymbol{\ell}= \sigma^2 (\|\boldsymbol{\Phi x}\|^2+
\|\boldsymbol{z}\|^2)$ est donc minimal quand $\boldsymbol{z}=0$, donc quand
$b= \boldsymbol{\ell}^T\boldsymbol{y}= \boldsymbol{\lambda}^T (\boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1}
\boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{y}= \boldsymbol{\lambda}^T \boldsymbol{a}$, ce qui est bien
l'estimateur par moindres carr\'es.
\\
Enfin, $\mathcal{E}(\|\boldsymbol{r}\|^2)=
        \mathcal{E}((\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\Phi a})^T (\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\Phi a}))=
\mathcal{E}((\boldsymbol{y}- \boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\Phi\/}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1}
            \boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{y})^T
           (\boldsymbol{y}- \boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\Phi\/}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1}
            \boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{y}))=
\mathcal{E}((\boldsymbol{e}- \boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\Phi\/}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1}
            \boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{e})^T
           (\boldsymbol{e}- \boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\Phi\/}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1}
            \boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{e}))=
\mathcal{E}(\boldsymbol{e}^T(\boldsymbol{I}- \boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\Phi\/}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1}
            \boldsymbol{\Phi}^T)^2\boldsymbol{e})=  $ \\
$\mathcal{E}(\boldsymbol{e}^T(\boldsymbol{I}- \boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\Phi\/}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1}
            \boldsymbol{\Phi}^T)\boldsymbol{e})=
(N+1)\sigma^2- \sigma^2 \text{\ trace\ }
   (\boldsymbol{\Phi}(\boldsymbol{\Phi}^T\boldsymbol{\Phi})^{-1} \boldsymbol{\Phi}^T)=
(N-n)\sigma^2,
$
o\`u on a utilis\'e $\boldsymbol{y}= \boldsymbol{\Phi \alpha}+ \boldsymbol{e}$,
$\mathcal{E}(e_i e_j)=\sigma^2 \delta_{i,j}$,
$\mathcal{E}(\boldsymbol{e}^T \boldsymbol{X e})=
 \mathcal{E}(\sum_i \sum_j e_i X_{i,j} e_j)=
\sum_i X_{i,i}\mathcal{E}(e_i^2)= \sigma^2$\ trace $\boldsymbol{X}$,
et trace($\boldsymbol{AB}$)= trace($\boldsymbol{BA}$). \qed


\bigskip

Que se passe-t-il quand on ne sait pas exactement o\`u il faut
estimer $f$? R\'eponse: on essaye des sous-espaces $V$ de plus en
plus grands (mais pas trop grands\dots), et on s'arr\^ete quand
$\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\Phi a}$ manifeste un comportement
raisonnablement al\'eatoire.

Comme exp\'erience (pp.~266-267 de S.D.~Conte et C.~de Boor,
 \textsl{Elementary Numerical Analysis, An Algorithmic Approach},
 $3^{\text{rd}}$ ed., McGraw-Hill, 1981),  on consid\`ere les 21
donn\'ees\footnote{construites tr\`es artificiellement: chaque valeur de $y$
est $e^x$ arrondie \`a deux chiffres significatifs apr\`es le point
d\'ecimal\dots }

{\Small
\  \\
$x=$ \,-1.0 \,-0.9 \,-0.8 \,-0.7 \,-0.6 \,-0.5 \,-0.4 \,-0.3 \,-0.2 \,-0.1 0.00
 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 \\
$y=$
    0.37   0.41   0.45   0.50   0.55   0.61   0.67
    0.74   0.82   0.90   1.00   1.11   1.22   1.35
    1.49   1.65   1.82   2.01   2.23   2.46   2.72
}

On examine $y(x)-p_n(x)$, o\`u $p_n$ est la meilleure approximation
de degr\'e $\leqslant n$ au sens des moindres carr\'es:
\medskip

\setlength{\unitlength}{2cm}\begin{picture}(8,4)
\put(0.250000,3.000000){\vector(1,0){2}}\put(1.250000,2.200000){\vector(0,1){1.6}}
%\put(0.250000,3.750000){$n=0,1.500$}
\put(0,3.750000){$n=0$ \qquad\qquad   $1.5$}
\thicklines
\drawline(0.25,2.56)(0.35,2.58)(0.45,2.60)(0.55,2.63)(0.65,2.66)(0.75,2.69)(0.85,2.72)(0.95,2.76)(1.05,2.80)(1.15,2.84)(1.25,2.90)(1.35,2.96)(1.45,3.01)(1.55,3.08)(1.65,3.16)(1.75,3.24)(1.85,3.33)(1.95,3.44)(2.05,3.55)(2.15,3.68)(2.25,3.81)
\thinlines
\put(2.750000,3.000000){\vector(1,0){2}}\put(3.750000,2.200000){\vector(0,1){1.6}}
\put(2.50000,3.750000){$n=1\qquad\qquad 0.3$}
\thicklines
\drawline(2.75,3.77)(2.85,3.58)(2.95,3.39)(3.05,3.23)(3.15,3.06)(3.25,2.93)(3.35,2.79)(3.45,2.68)(3.55,2.60)(3.65,2.51)(3.75,2.48)(3.85,2.48)(3.95,2.47)(4.05,2.52)(4.15,2.60)(4.25,2.73)(4.35,2.89)(4.45,3.10)(4.55,3.39)(4.65,3.70)(4.75,4.10)
\thinlines
\put(5.250000,3.000000){\vector(1,0){2}}\put(6.250000,2.200000){\vector(0,1){1.6}}
\put(5.0000,3.750000){$n=2\qquad\qquad 0.05$}
\thicklines
\drawline(5.25,2.12)(5.35,2.63)(5.45,2.96)(5.55,3.29)(5.65,3.43)(5.75,3.57)(5.85,3.53)(5.95,3.48)(6.05,3.41)(6.15,3.17)(6.25,3.08)(6.35,2.97)(6.45,2.69)(6.55,2.55)(6.65,2.40)(6.75,2.40)(6.85,2.38)(6.95,2.52)(7.05,2.95)(7.15,3.37)(7.25,4.10)
\thinlines
\put(0.200000,1.000000){\vector(1,0){2}}\put(1.200000,0.200000){\vector(0,1){1.6}}
\put(-0.0500000,1.750000){$n=3 \qquad\qquad 0.01$}
\thicklines
\drawline(0.20,1.49)(0.30,1.10)(0.40,0.62)(0.50,0.75)(0.60,0.61)(0.70,0.92)(0.80,0.80)(0.90,0.94)(1.00,1.28)(1.10,0.92)(1.20,1.38)(1.30,1.76)(1.40,1.20)(1.50,1.19)(1.60,0.86)(1.70,0.92)(1.80,0.48)(1.90,0.26)(2.00,0.97)(2.10,0.92)(2.20,1.63)
\thinlines
\put(2.700000,1.000000){\vector(1,0){2}}\put(3.700000,0.200000){\vector(0,1){1.6}}
\put(2.4500000,1.750000){$n=4 \qquad\qquad 0.005$}
\thicklines
\drawline(2.70,0.82)(2.80,1.20)(2.90,0.84)(3.00,1.31)(3.10,0.97)(3.20,1.34)(3.30,0.75)(3.40,0.71)(3.50,1.10)(3.60,0.19)(3.70,1.04)(3.80,1.88)(3.90,0.94)(4.00,1.21)(4.10,0.88)(4.20,1.33)(4.30,0.70)(4.40,0.33)(4.50,1.54)(4.60,0.84)(4.70,1.10)
\thinlines
\put(5.200000,1.000000){\vector(1,0){2}}\put(6.200000,0.200000){\vector(0,1){1.6}}
\put(5.00000,1.750000){$n=5 \qquad \qquad 0.005$}
\thicklines
\drawline(5.20,1.00)(5.30,1.11)(5.40,0.68)(5.50,1.19)(5.60,0.93)(5.70,1.39)(5.80,0.86)(5.90,0.84)(6.00,1.21)(6.10,0.26)(6.20,1.04)(6.30,1.81)(6.40,0.82)(6.50,1.07)(6.60,0.77)(6.70,1.28)(6.80,0.74)(6.90,0.46)(7.00,1.71)(7.10,0.93)(7.20,0.91)
\thinlines

\end{picture}

Tant que $n\leqslant 3$, l'erreur (qui a d'ailleurs un petit air
de polyn\^ome de Tchebycheff\dots) est syst\'ematique. A partir de
$n=4$, on a raisonnablement captur\'e le signal et on voit du bruit
al\'eatoire. \emph{Il ne sert \`a rien de d\'epasser $n=4$}\dots

\smallskip

Voyons maintenant les sommes de carr\'es
 $\displaystyle{  \sum_{i=1}^N [y_i -p_n(x_i)]^2 }$ (le
``$\chi^2$'') en fonction de $n$, forc\'ement une fonction
d\'ecroissante de $n$:

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(8,4)
\put(0,0){\vector(1,0){8.5}}\put(8,-0.2){\line(0,1){0.4}}
\put(7.4,-0.5){$n=20$}\put(-0.5,3.7){0.0005}
\put(0,0){\vector(0,1){4}}
\thicklines
\drawline(1.20,3.50)(1.60,0.92)(2.00,0.83)(2.40,0.83)(2.80,0.75)(3.20,0.74)(3.60,0.69)(4.00,0.69)(4.40,0.66)(4.80,0.60)(5.20,0.36)(5.60,0.35)(6.00,0.34)(6.40,0.30)(6.80,0.18)(7.20,0.16)(7.60,0.00)(8.00,0.00)
\thinlines\end{picture}

\medskip

On voit bien le comportement en constante $\times (N-n)$ \`a partir
de $n=4$.

Cf.  \href{cboor.m}
    {\texttt{cboor.m}}

\section{Approximation en norme $\|\ \|_1$. \label{norme1}}

\index{norme 1}

On approche $f$ par une combinaison lin\'eaire $p$ des fonctions
$\Phi_0$,\dots, $\Phi_n$ donn\'ees sur $[a,b]$, et on cherche
\`a minimiser
$$
 \|f-p\|_1 = \int_a^b |f(x)-p(x)|\, w(x)\,dx
           = \int_a^b S_p(x)\; (f(x)-p(x))\, w(x)\,dx,
$$
o\`u $w$ est une fonction poids donn\'ee. La fonction $S_p$ d\'esigne
le signe de $f-p$. Comparons deux approximations:
$$
 \|f-q\|_1-\|f-p\|_1 = \int_a^b (S_q(x)-S_p(x))\,(f(x)-q(x))\, w(x)\,dx
           + \int_a^b S_p(x)\; (p(x)-q(x))\, w(x)\,dx.
$$
Si $p$ et $q$ sont proches, et si toutes les fonctions sont
continues, la premi\`ere int\'egrale est de l'ordre du carr\'e de la
deuxi\`eme. La condition de minimalit\'e de $\|f-p\|_1$ est donc
qu'il existe une fonction $S$, qui vaut partout 1 ou $-1$, et qui soit
orthogonale \`a $\Phi_0$,\dots $\Phi_n$. Cette fonction $S$ ne
d\'epend que de $w$ et $n$. Pour $f$ donn\'ee, $p= \hat{p}$ est alors
la combinaison de $\Phi_0$,\dots, $\Phi_n$ \emph{interpolant} $f$
aux points de discontinuit\'e de $S$ (\emph{points canoniques}),
si $f-p$ ne change de signe en aucun autre point de $[a,b]$.

\medskip

Si $w=$ constante sur $[-1,1]$ et $\overline{\{\Phi_0,\dotsc, \Phi_n\}}
= \mathscr{P}_n$, alors les points canoniques sont les
z\'eros du polyn\^ome de Tchebycheff de deuxi\`eme esp\`ece $U_{n+1}$.

Cf. \cite[chap.~3, \S~10]{DeVLor}.

\newpage

\section{S\'eries de Fourier en analyse num\'erique.} {\ }\\


\bigskip     \index{Fourier}


{\Small
\vbox{
\leftskip=60pt \rightskip=3pt
\noindent{\sl L'analyse harmonique consiste \`a extraire d'une fonction
les harmoniques qu'elle contient en donnant \`a chacune le poids qui
lui convient. La synth\`ese consiste \`a reproduire la fonction \`a
partir de ses harmoniques.}

J.P.\ Kahane, cit\'e dans
M.\ Willem, \textsl{Analyse harmonique r\'eelle},
    Hermann, Paris, 1995,  p.~93.

\smallskip
\noindent{\sl Ce qu'on appelle maintenant les s\'eries et int\'egrales
de Fourier a une importance et une g\'en\'eralit\'e qui d\'epassent
de beaucoup leur but initial. Il y a d'innombrables domaines de la
physique et de la technique qui font un usage des m\'ethodes
d\'evelopp\'ees par Fourier. Tous les probl\`emes d'analyse d'images
y font appel, par exemple ceux qui sont rencontr\'es dans les scanners
\`a rayons X ou les \'echographes \`a ultrasons.
\\
La recherche de la structure des grandes mol\'ecules au moyen de
techniques cristallographiques, qui est \`a la base de la biologie
mol\'eculaire, fait abondamment usage des transform\'ees de Fourier,
et certains progr\`es r\'ecents dans ce domaine sont dus au fait que
les calculatrices arrivent \`a effectuer de plus en plus rapidement ces
transformations.

}
%\smallskip
G. Charpak (Nobel physique 1992), cit\'e dans J.\ Lacouture, {\sl Champollion, une vie de
lumi\`eres\/}, Grasset, 1988= Le Livre de Poche 6995, 1991.
     }
          }

L'analyse de Fourier a d'abord servi \`a quantifier le contenu
fr\'equentiel de ph\'enom\`enes ondulatoires. On a ensuite utilis\'e
des s\'eries de Fourier pour d\'ecrire des structures p\'eriodiques
(cristaux). On traite maintenant de fa\c con purement num\'erique des
signaux (son, image) par techniques de Fourier. Ces m\'ethodes se
retrouvent dans des applications les plus diverses qui vont de la
m\'edecine \`a l'astrophysique.

On utilise en math\'ematiques les m\'ethodes de Fourier dans l'\'etude
d'op\'erateurs diff\'erentiels (initialement, Fourier s'est occup\'e
de l'\'equation de la chaleur $\partial T/\partial t= K
\partial^2 T/\partial x^2$\ %
\footnote{J.\ Fourier, \textsl{Th\'eorie analytique de la chaleur\/},
Didot, 1822, = {\sl Analytical Theory of Heat\/}, (transl.\ A.\ Freeman),
Dover, 1955.}), la th\'eorie des fonctions et de la mesure (des points
fins de la th\'eorie des ensembles et de la th\'eorie de l'int\'egration
sont apparus \`a partir de s\'eries de Fourier), et on va jusqu'\`a
trouver des s\'eries de Fourier dans des m\'ethodes de multiplication
de grands nombres\dots (voir plus loin).

Une fonction d\'ependant d'une variable physique $t$ est
examin\'ee sur un intervalle de longueur $T$, soit parce que l'on
sait que cette fonction est p\'eriodique de p\'eriode $T$ et est
donc enti\`erement sp\'ecifi\'ee par ses valeurs sur un tel
intervalle, soit parce que l'on soup\c conne qu'elle est de
p\'eriode $T$, soit enfin parce que l'on juge bon d'\'etudier {\it
l'extension p\'eriodique\/} de la fonction \`a partir de ses
valeurs sur cet intervalle. On consid\`ere donc que $G(t+T)= G(t)$
et le d\'eveloppement
 $$ G(t) \approx  A_0/2 +\sum_{k=1}^\infty
\left( A_k \cos(k\omega t)+
                                    B_k \sin(k\omega t)\right),$$
o\`u $\omega= 2\pi/T$ est la {\bf pulsation\/} du signal, $1/T$ est
sa {\bf fr\'equence\/}. Ces donn\'ees s'appliquent \`a la
{\bf fondamentale\/}
$A_1 \cos(\omega t)+ B_1 \sin(\omega t)$; chaque {\bf harmonique\/}
$A_k \cos(k\omega t)+ B_k \sin(k\omega t)$, $k>1$, \'etant de
pulsation $k\omega$ et de fr\'equence $k/T$.

La justification de ce d\'eveloppement en s\'erie sera rappel\'ee plus
loin.

Passons \`a la variable sans dimension $x=2\pi t/T$ et consid\'erons
$F(x)=G(t)$:
$$ F(x) \approx  A_0/2 +\sum_{k=1}^\infty \left( A_k \cos(k x)+
                                    B_k \sin(k x)\right),$$
passons aux exponentielles complexes $\exp(ikx)=\cos(kx)+ i\sin(kx)$:
$$ F(x) \approx \sum_{k=-\infty}^{+\infty} C_k \exp(ikx),$$
avec $A_k=C_k+ C_{-k}$, $B_k=i(C_k- C_{-k})$, $k=0,1,\ldots$

{\Small

La figure suivante montre un extrait du fichier ``boing.wav'', 100
valeurs cons\'ecutives prises toutes les $1/11025^{\text{\`emes}}$ de
seconde d'un signal sonore.

\begin{verbatim}
%wavfft.m
diary wavfft.dry
nomf = input('nom du fichier wav ','s')
[y,fs,fm]=wavread(nomf);
fs,fm
[s1,s2]=size(y)
plot(1:s1,y);pause
y2=y(1001:1100)-128;
clear y
plot(1:100,y2);pause;print -dps 'wavfft1';newplot;

\end{verbatim}

%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{wavfft1.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{wavfft1.ps}

Consid\'erons la fonction constitu\'ee de la r\'ep\'etition
ind\'efinie de ces valeurs, c'est donc une fonction p\'eriodique de
p\'eriode $T=$ 100 pas de temps. On voit aussi que le graphe manifeste
une r\'ep\'etition de 6 motifs proches.

C'est bien ce que montre l'analyse de Fourier de cette fonction:

\begin{verbatim}
cc=0.01*fft(y2);
cc(1:10)
plot(0:20,abs(cc(1:21)));pause;print -dps 'wavfft2';newplot;
\end{verbatim}


\vspace{8pt} \begin{center}
%\begin{tabular}{cr@{.}r@{.}}
\begin{tabular}{crr}
$c_0=$ &  -2.1600  &   \\
$c_1=\overline{c_{-1}}=$ & -0.2343 &-0.1470i  \\
$c_2=\overline{c_{-2}}=$ &  -0.3038& -0.1246i \\
$c_3=\overline{c_{-3}} =$ &  -0.5831 &+ 0.0526i \\
$c_4=\overline{c_{-4}} =$ &  -0.0007 &-0.2692i  \\
$c_5=\overline{c_{-5}} =$ &  -1.3874 &+2.2894i  \\
$c_6=\overline{c_{-6}} =$ & -15.5415 &+4.4482i  \\
$c_7=\overline{c_{-7}} =$ &  -1.2355 &-0.8023i  \\
$c_8=\overline{c_{-8}} =$ &   2.2775 &-1.5847i  \\
$c_9=\overline{c_{-9}} =$ &   0.9349 &+1.3177i

\end{tabular}\end{center}

%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{wavfft2.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{wavfft2.ps}

On voit que $c_6$ est nettement plus grand que les autres coefficients.
La contribution $c_6 e^{6ix} + c_{-6} e^{-6ix}$ restitue d\'ej\`a
presque la fonction:

%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{wavfft3.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{wavfft3.ps}

\begin{verbatim}
cc(1)=cc(1)/2;cc=2*cc;
dd=0*cc;dd(7)=cc(7);
plot(1:100,100*ifft(dd(1:10),100));print -dps 'wavfft3';newplot
\end{verbatim}

La d\'ecroissance rapide des coefficients permet de reconstituer
la fonction par quelques termes de la s\'erie de Fourier:

\begin{verbatim}
plot(1:100,100*ifft(cc(1:10),100));print -dps 'wavfft4'
\end{verbatim}

%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{wavfft4.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{wavfft4.ps}


} % end Small

\subsection{Comportement des coefficients} \label{deccoeffFourier}
\  \\

\begin{enumerate}
\item Si $F$ est int\'egrable sur $(-\pi,\pi)$: $F\in L^1(-\pi,\pi)$,
on a $C_k\to 0$ quand $k\to\infty$ ({\bf lemme de Riemann-Lebesgue\/}).
   \index{Riemann-Lebesgue}
 \item Si $F$ est de carr\'e int\'egrable sur $(-\pi,\pi)$:
$F\in L^2(-\pi,\pi)$, les coefficients sont de
carr\'e sommable: $\sum_{k=0}^\infty |C_k|^2 =(2\pi)^{-1}\|F\|^2< \infty$
(identit\'e de Parseval). \index{Parseval}

\item Si $F$ est {\bf \`a variation born\'ee\/} sur $[-\pi,\pi]$,
c'est-\`a-dire si $V= \sup_{\theta_j} \sum_j |F(\theta_{j+1})- F(\theta_j)|<
\infty$, $|C_k|$ d\'ecro\^\i t au moins aussi vite que $1/k$:
$|C_k|\le V/(|k|\pi)$, $|k|> 0$. Par ailleurs, on sait aussi que les
sommes de Fourier convergent alors ponctuellement (vers la moyenne des
limites \`a gauche et \`a droite si on est en un point de discontinuit\'e,
th\'eor\`emes de {\bf Dirichlet\/} et {\bf Jordan\/}).
                           \index{variation born\'ee}

 Examinons maintenant des sous-classes de fonctions continues
p\'eriodiques:
\begin{multline*}
   |k|>0: 2\pi C_k = \int_{-\pi}^\pi F(\theta) \exp(-ik\theta) d\theta=
   \int_{-\pi-\pi/k}^{\pi-\pi/k} F(\theta) \exp(-ik\theta) d\theta =
\\
= -\int_{-\pi}^\pi F(\theta-\pi/k)\exp(-ik\theta) d\theta =
\int_{-\pi}^\pi \dfrac{ F(\theta)-F(\theta-\pi/k)}2
                          \exp(-ik\theta) d\theta \end{multline*}
d'o\`u
$$ |k|>0: |C_k|\le \omega_F (\pi/|k|)/2.$$

 \item On note Lip$_\alpha$ la classe des fonctions  \label{Lipalpha}
continues telles que $\omega_F(h)\leqslant Ch^\alpha$, $0<\alpha\leqslant 1$
($\alpha=1$: classe Lip des fonctions Lipschitziennes)
\footnote{Un exemple int\'eressant est donn\'e par les
s\'eries de Fourier violemment lacunaires $\sum_{m=0}^\infty
u^m \cos(v^m \theta)$, avec $u>0$, $v$ entier $>1$, $u<1$, et surtout
$uv> 1$. De telles fonctions sont continues partout et d\'erivables
nulle part (Weierstrass). On calcule qu'elles sont dans Lip$_\alpha$
avec $\alpha= \log(1/u)/\log v$. Si $v$ est impair, les sommes de Fourier
sont {\bf aussi\/} optimales au sens de Tchebycheff (th\'eor\`eme
d'\'equioscillation!).},
on a donc $|C_k|\leqslant C'/|k|^\alpha$, ce qui n'est pas tr\`es brillant
(on ne peut avoir $\alpha> 1$ si $F$ n'est pas constante!), mais

\item Si $F$, $F'$,\dots $F^{(m)}$ continues p\'eriodiques
(c'est-\`a-dire continues sur $[-\pi,\pi]$ et
$F(-\pi)= F(\pi),\dotsc , F^{(m)}(-\pi)= F^{(m)}(\pi)$), et si
$F^{(m+1)}\in \text{Lip}_\alpha$, $0<\alpha\leqslant 1$ (ou $F^{(m+1)}$ \`a
variation born\'ee). Alors,
\begin{multline*}
|k|>0: C_k =\dfrac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi F(\theta) e^{-ik\theta}d\theta=
\cdots = \dfrac1{2\pi (ik)^{m+1}}
        \int_{-\pi}^\pi F^{(m+1)}(\theta) e^{-ik\theta}d\theta=    \\
  \dfrac1{(ik)^{m+1}} C_k^{(m+1)},\end{multline*}
$C_k^{(m+1)}$ \'etant le coefficient de Fourier de $F^{(m+1)}$,
par r\'eduction des termes aux limites apparaissant dans les int\'egrations
par parties. Et comme, par le point pr\'ec\'edent,
        $|C_k^{(m+1)}|\le C'/|k|^\alpha$,
$$ |k|>0: |C_k|\le \dfrac{C'}{|k|^{m+1+\alpha}},$$
et, selon un raisonnement d\'ej\`a tenu \`a propos de s\'eries de
polyn\^omes de Tchebycheff:
$$\|F-S_n\|_\infty \le \sum_{k=n+1}^\infty (|C_k|+|C_{-k}|) \le
\dfrac{2C'}{(m+\alpha)n^{m+\alpha}}.$$

\end{enumerate}

\smallskip

\noindent{\bf Application.}\ Soit $G$ une fonction de classe
$\mathscr{C}^2$ sur $[a,b]$. On veut approcher  $G$ par des combinaisons
de fonctions se transformant de fa\c con commode sous l'action
d'op\'erateurs diff\'erentiels (m\'ethodes spectrales). C'est le cas
des s\'eries de Fourier.\\
 $G( (a+b)/2 +(b-a)\theta/(2\pi))$ a cependant
un tr\`es mauvais d\'eveloppement de Fourier si $G(a)\ne G(b)$. On
am\'eliore fortement les choses en proc\'edant comme suit:
$t=a+(b-a)\theta/\pi$, $0\le \theta\le\pi$; $G(t)= \xi\theta+\eta+
F(\theta)$, o\`u $\xi\theta+ \eta$ est l'interpolant lin\'eaire
de $G$ en $a$ et $b$, assurant donc $F(0)= F(\pi)= 0$. On d\'efinit alors
$F(\theta)= -F(-\theta)$ sur $\theta\in [-\pi,0]$. Les coefficients
de Fourier de $F$ d\'ecroissent maintenant comme $k^{-3}$:
$F(\pi)= F(-\pi)= 0$, $F(0_+)= F(0_-)= 0$,
$$ F'(0_-)= \lim_{\substack{\theta\to 0\\ \theta<0}} \left(
   \dfrac{F(\theta)}{\theta} =
   \dfrac{-F(-\theta)}{\theta} =
   \dfrac{F(-\theta)}{-\theta} \right) = F'(0_+),$$
$$ F'(\pi_-)= \lim_{\substack{\theta\to 0\\  \theta>0}} \left(
   \dfrac{F(\pi-\theta)}{-\theta} =
   \dfrac{-F(-\pi+\theta)}{-\theta} =
   \dfrac{F(-\pi+\theta)}{\theta} \right) = F'((-\pi)_+),$$
donc $F$ et $F'$ sont continues p\'eriodiques dans $\mathbb{R}$:
$m= \alpha= 1$.


\bigskip

\subsection{Transform\'ee de Fourier discr\`ete}\ Cf. [GasW]. Soit
$N$ pair et consid\'erons le produit scalaire discret
$$ (f,g)_N := \sum_{m=0}^{N-1} f(2\pi m/N)\overline{g(2\pi m/N)}.$$
On a alors:

\noindent {\bf Proposition.\/}\ {\sl Si $N$ est pair, les $N$ fonctions
$\exp(ikx)$, $k=-N/2, -N/2+1, \ldots , N/2-2, N/2-1$ sont orthogonales
relativement au produit scalaire $(\ ,\ )_N$, de m\^eme norme
$\sqrt{N}$.}

En effet, $(\exp(ik_1 x), \exp(ik_2 x))_N= \sum_{m=0}^{N-1}
\exp(i(k_1-k_2) 2\pi m/N)$, ce qui est une progression g\'eom\'etrique
de raison $r=\exp(i(k_1-k_2)2\pi/N)=1$ seulement si $k_1=k_2$, puisque
$|k_1-k_2|$ ne peut valoir d'autre multiple entier de $N$ que 0, et la
somme de la progression vaut alors $N$; si $k_1\ne k_2$, la somme vaut
$(1-r^N)/(1-r)=0$. \qed

La meilleure approximation de $f$ dans l'espace $V_N$ sous-tendu par
$\exp(ikx)$, $k=-N/2, -N/2+1, \ldots , N/2-2, N/2-1$  est donc
$$ f_N(x) = \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} c_k^{(N)} \exp(ikx),$$
avec
\begin{multline*}
   c_k^{(N)} = (f,\exp(ikx))_N/\|\exp(ikx)\|_N^2 =
   N^{-1}\sum_{m=0}^{N-1} f(2\pi m/N)\exp(-ik 2\pi m/N)\,, \\
              k=-N/2, -N/2+1, \ldots , N/2-2, N/2-1. \end{multline*}

La norme de $f-f_N$ est donc la plus petite norme de $f-p$ que l'on
puisse trouver avec $p\in V_N$. Comme cette norme ne fait appel qu'\`a
$N$ valeurs ponctuelles $x=2\pi m/N$, $m=0,\ldots, N-1$,
et que $V_N$ est de dimension $N$, on s'attend
\`a ce qu'il soit possible de trouver une combinaison $p$ des $N$ fonctions
de base de $V_N$ interpolant $f$ aux points $2\pi m/N$, et on aurait donc
$\|f-f_N\|\le \|f-p\|=0$, ce qui se v\'erifie:

\noindent {\bf Proposition.\/}\ {\sl $f_N$ interpole $f$ aux points
 $x=2\pi m/N$, $m=0,\ldots, N-1$.}

En effet, on v\'erifie directement que $f_N(2\pi m/N)=
 \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} c_k^{(N)} \exp(ik 2\pi m/N)$
\\
$= N^{-1}\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}
   \sum_{n=0}^{N-1} f(2\pi n/N)\exp(-ik 2\pi n/N)
  \exp(ik 2\pi m/N)$ \\
  $=N^{-1} \sum_{n=0}^{N-1} f(2\pi n/N)
       \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \exp(ik 2\pi (m-n)/N)$        \\
 $= N^{-1} \sum_{n=0}^{N-1} f(2\pi n/N) N \delta_{m,n}=
           f(2\pi m/N)$, ou on applique la remarque
de la page~\pageref{mcarrinterp} et l'identit\'e
\eqref{mcarrinterp2}. \qed

Cette propri\'et\'e d'interpolation n'emp\^eche pas les harmoniques
de $f_N$ de risquer d'\^etre quelque peu bouscul\'es:
\begin{equation*}\begin{split}
 c_k^{(N)} &=
   N^{-1}\sum_{m=0}^{N-1} f(2\pi m/N)\exp(-ik 2\pi m/N)    \\
   &=N^{-1}\sum_{m=0}^{N-1} \left[
     \sum_{\ell=-\infty}^\infty c_l \exp(i\ell 2\pi m/N)\right]
                \exp(-ik 2\pi m/N)    \\
   &=N^{-1}  \sum_{\ell=-\infty}^\infty c_l \sum_{m=0}^{N-1}
    \exp(i(\ell-k) 2\pi m/N)  \\
   &= \cdots + c_{k-2N}+ c_{k-N}+ c_k +c_{k+N} + c_{k+2N}+ \cdots
\end{split}\end{equation*}
Ph\'enom\`ene de pliage fr\'equentiel, ou ``aliasing'', qu'on a d\'ej\`a
rencontr\'e avec les d\'eveloppements en s\'eries de polyn\^omes de
Tchebycheff. A noter que les harmoniques discr\`etes sont exactes si
le signal initial n'a pas d'harmonique avec $|k|> N/2$\ %
\footnote{Ce qu'on peut voir comme une version simplifi\'ee
du th\'eor\`eme de Shannon: un signal ne contenant que des
fr\'equences $\leqslant F$ peut \^etre reconstruit enti\`erement \`a partir
d'un \'echantillonnage de pas $\leqslant 1/(2F)$.}: il faut filtrer un
signal avant d'effectuer la discr\'etisation.

\medskip
\noindent {\bf L'analyse\/} d'un signal num\'eris\'e consiste donc
\`a calculer les sommes de produits
$$ c_k^{(N)} =
   N^{-1}\sum_{m=0}^{N-1} f(2\pi m/N)\exp(-ik 2\pi m/N) $$
pour $N$ valeurs cons\'ecutives de $k$; \hfill\break
{\bf La synth\`ese\/} num\'erique du signal consiste \`a le reconstituer
aux $N$ points $x=2\pi m/N$, $m=0,\ldots, N-1$ par calcul de
$$ f_N(2\pi m/N)= f(2\pi m/N) =
 \sum_{k=-N/2}^{N/2-1} c_k^{(N)} \exp(ik 2\pi m/N). $$

{\Small

\subsection{Tranform\'ee de Fourier rapide (Fast Fourier Transform
 FFT)} \  \\

\noindent {\bf Dans les deux cas\/}, il s'agit d'\'evaluer $N$
expressions
\begin{equation} \label{fftY} Y_p = \sum_{q=0}^{q=N-1} X_q \zeta^{pq}, \end{equation}
o\`u $\zeta$ est tant\^ot $\exp(-2\pi i/N)$ (analyse),
                 tant\^ot $\exp(2\pi i/N)$ (synth\`ese). Il nous importe
seulement que $\zeta^N=1$. M\^eme si  les $\zeta^{pq}$ sont
pr\'ecalcul\'es, il semble in\'evitable de devoir effectuer $N$ additions
et $N$ multiplications par $Y_p$, soit $2N^2$ op\'erations en tout.

Le caract\`ere relatif de cette obligation apparente appara\^\i t mieux
quand on examine des probl\`emes multidimensionnels: ainsi, un
probl\`eme \`a deux dimensions demande de calculer
$$ Y_{p_1,p_2} = \sum_{q_1=0}^{q_1=N_1-1}\sum_{q_2=0}^{q_2=N_2-1}
 X_{q_1,q_2} \zeta_1^{p_1 q_1} \zeta_2^{p_2 q_2}, $$
pour $N_1 N_2$ couples $(p_1,p_2)$, d'o\`u apparemment
$2(N_1N_2)^2$ op\'erations. Mais on voit que si on \'ecrit
$$ Y_{p_1,p_2} = \sum_{q_1=0}^{q_1=N_1-1} \zeta_1^{p_1 q_1}
  \left( \sum_{q_2=0}^{q_2=N_2-1}
 X_{q_1,q_2} \zeta_2^{p_2 q_2} \right), $$
on \'evalue d'abord les $N_1 N_2$ expressions interm\'ediaires
$ Z_{p_2,q_1}=  \sum_{q_2=0}^{q_2=N_2-1}  X_{q_1,q_2} \zeta_2^{p_2 q_2}$
en $2(N_1 N_2) N_2$ op\'erations, et on obtient le r\'esultat final
$ Y_{p_1,p_2} = \sum_{q_1=0}^{q_1=N_1-1} \zeta_1^{p_1 q_1} Z_{p_2,q_1}$
en $2(N_1 N_2) N_1$ op\'erations suppl\'ementaires, soit
$2(N_1 N_2) (N_1+N_2)$ op\'erations en tout!
\hfill\break Avec un probl\`eme tridimensionnel, on aurait
$2(N_1 N_2 N_3)(N_1+N_2+N_3)$ op\'erations.


L'algorithme de transform\'ee discr\`ete de Fourier rapide (fast Fourier
transform {\bf FFT\/}) de Cooley et Tukey     \index{FFT}
\footnote{J.W.\ Cooley, J.W.\ Tukey, An algorithm for the machine
calculation of complex Fourier series, {\sl Math.\ Comput.\/} {\bf 19\/}
(1965) 297-301. Cet article, arriv\'e \`a point nomm\'e, est cr\'edit\'e
de 2155 citations fin 1993, un record. Apr\`es coup, on a retrouv\'e
des pr\'ecurseurs significatifs dans des ouvrages de Lanczos, Runge,
et m\^eme Gauss (cf. pp.\ 8 et 9 de {\sl Current Contents PC\&ES\/}
{\bf 33\/} (20-27 Dec.\ 1993) \#51-52).} introduit syst\'ematiquement
ce m\'ecanisme:
\\
si $N$ n'est pas un nombre premier, soit $N= N_1 N_2$, effectuons la
division de $p\in \{0,1,\ldots, N-1\}$ par $N_2$, soit $p_2$ le reste
$\in \{0,1,\ldots, N_2-1\}$ et $p_1$ le quotient
$\in \{0,1,\ldots, N_1-1\}$ puisque $p<N$. De m\^eme, on effectue la
division de $q$ par $N_1$: $q=q_2 N_1+ q_1$, $0\le q_1< N_1$,
$0\le q_2< N_2$, et \eqref{fftY} devient
\begin{equation*}\begin{split}
 Y_p = Y_{p_1N_2+p_2} &= \sum_{\substack{0\leqslant q_1<N_1\\ 0\leqslant q_2<N_2}}
           X_{q_2 N_1+q_1} \zeta^{(p_1N_2+p_2)(q_2 N_1+q_1)} \\
                      &= \sum_{\substack{0\leqslant q_1<N_1\\ 0\leqslant q_2<N_2}}
    X_{q_2 N_1+q_1} \zeta^{p_1q_2N_2N_1+p_1q_1N_2+p_2q_2 N_1+p_2q_1} \\
                      &= \sum_{\substack{0\leqslant q_1<N_1\\ 0\leqslant q_2<N_2}}
    X_{q_2 N_1+q_1} \zeta^{p_1q_1N_2+p_2q_2 N_1+p_2q_1}
    \qquad \text{\ puisque\ } \zeta^{N_1N_2}=\zeta^N=1, \\
  &= \sum_{q_1=0}^{N_1-1} \left[ \sum_{q_2=0}^{N_2-1}
              X_{q_2N_2+q_1}
       \left(\zeta^{N_1}\right)^{p_2 q_2} \right] \zeta^{p_2 q_1}
       \left(\zeta^{N_2}\right)^{p_1 q_1}.
\end{split}\end{equation*}
On retrouve la forme bidimensionnelle. Ce n'est pas tout! Les expressions
int\'erieures $Z_{p_2,q_1}$ (entres crochets) sont encore de la forme \eqref{fftY}, avec
$\zeta^{N_1}$ au lieu de $\zeta$, on doit donc pouvoir les \'evaluer \`a
leur tour par FFT si $N_2$ n'est pas premier ($N$ est remplac\'e par
$N_2$: on a bien $(\zeta^{N_1})^{N_2}=1$), etc.  Et le r\'esultat final
est lui-m\^eme une FFT de taille $N_1$ r\'ealis\'ee avec $\zeta^{N_2}$.
\\
On a donc la description r\'ecursive suivante:

\noindent Algorithme FFT:

 \begin{itemize}

 \item Si $N$ est premier, effectuer \eqref{fftY} en $2N^2$ op\'erations.

 \item Si $N=N_1 N_2$, \\
  Pour $q_1=0,\ldots, N_1-1$:

  \begin{itemize}

    \item Effectuer l'algorithme FFT avec les $N_2$ donn\'ees
    $X_{q_2 N_1+q_1}$, $q_2=0,\ldots, N_2-1$. On recueille ainsi un
    vecteur d'\'el\'ements $Z_{p_2,q_1}$, $p_2=0,\ldots , N_2-1$.
\\
    Fin de la boucle $q_1$.
  \end{itemize}
 \item On multiplie chaque $Z_{p_2,q_1}$ par le ``twiddle factor''
    $\zeta^{p_2 q_1}$.

 \item Pour $p_2=0,\ldots, N_2-1$:
 \begin{itemize}
    \item Effectuer l'algorithme FFT avec les $N_1$  donn\'ees
      $Z_{p_2,q_1}\zeta^{p_2 q_1}$, $q_1=0,\ldots ,N_1-1$. On recueille ainsi
      $Y_{p_1N_2+p_2}$, $p_1=0,\ldots, N_1-1$.
     \\
      Fin de la boucle $p_2$.
  \end{itemize}\end{itemize}
\medskip

Appr\'ecions maintenant le nombre $\mathcal{N}_N$ d'op\'erations r\'eellement
effectu\'ees: si $N$ n'est pas premier,
$\mathcal{N\/}_N=
 N_1\mathcal{N}_{N_2}+ N+
 N_2\mathcal{N}_{N_1}$, ou encore:
$$\dfrac{\mathcal{N}_N}N =
 \dfrac{\mathcal{N}_{N_1}}{N_1} +
 \dfrac{\mathcal{N}_{N_2}}{N_2} + 1. $$
Si $\rho_1$,\dots, $\rho_\nu$ sont les facteurs premiers (pas n\'ecessairement
distincts) de $N$, on a donc
$$ \mathcal{N}_N = N\left( \nu + \sum_{\mu=1}^\nu \dfrac{\mathcal{N\/}_{\rho_\mu}}{\rho_{\mu}}\right) =
     N\left( \nu + 2\sum_{\mu=1}^\nu \rho_\mu\right).$$


\smallskip

En particulier, si $N$ {\bf est une puissance de 2\/}, $N=2^\nu$,
$$ \mathcal{N}_N = 5N\nu = 5 N \log_2 N,$$
en fait, encore moins, puisque certains ``twiddle factors'' valent~1.

\noindent {\bf Exercice.\/} Reprendre le raisonnement avec $N$ pair,
$N_1=2$, $N_2=N/2$:

\setcounter{MaxMatrixCols}{20}
$$\hspace*{-13pt}  \begin{matrix}
 Y_0&=&X_0&+&X_2&+&\ldots& +&X_{N-2} &+&&  X_1&+&X_3&+&\ldots& +&X_{N-1} \\
 Y_1&=&X_0&+&X_2\zeta^2&+&\ldots& +&X_{N-2}\zeta^{N-2} &+&  %
  \zeta(&  X_1&+&X_3\zeta^2&+&\ldots& +&X_{N-1}\zeta^{N-2}) \\
 Y_2&=&X_0&+&X_2\zeta^4&+&\ldots& +&X_{N-2}\zeta^{2N-4} &+&  %
  \zeta^2(&  X_1&+&X_3\zeta^4&+&\ldots& +&X_{N-1}\zeta^{2N-4}) \\
 \cdots&& \cdots && \cdots && \cdots && \cdots &&             %
        & \cdots && \cdots && \cdots && \cdots \\
 Y_{N/2}&=&X_0&+&X_2&+&\ldots& +&X_{N-2} &-&                   %
   (  &  X_1&+&X_3&+&\ldots& +&X_{N-1}) \\
 Y_{N/2+1}&=&X_0&+&X_2\zeta^2&+&\ldots& +&X_{N-2}\zeta^{N-2} &-&
  \zeta(&  X_1&+&X_3\zeta^2&+&\ldots& +&X_{N-1}\zeta^{N-2}) \\
 Y_{N/2+2}&=&X_0&+&X_2\zeta^4&+&\ldots& +&X_{N-2}\zeta^{2N-4} &-&
  \zeta^2(&  X_1&+&X_3\zeta^4&+&\ldots& +&X_{N-1}\zeta^{2N-4}) \\
 \cdots&& \cdots && \cdots && \cdots && \cdots &&
        & \cdots && \cdots && \cdots && \cdots
\end{matrix}$$
o\`u on utilise $\zeta^{N/2}= -1$.
\setcounter{MaxMatrixCols}{10}

\smallskip
\noindent {\bf Convolutions et produits de grands nombres.}\hfill\break
La {\bf convolution\/} de deux suites
$\{x_0,x_1,\ldots,x_{N-1}\}$ et
$\{y_0,y_1,\ldots,y_{N-1}\}$ est la suite
$\{z_k= \sum_{0\leqslant \ell<N, 0\leqslant m<N, \ell+m=k} x_\ell y_m \}$,
$k=0,1,\ldots,2N-2$. Le calcul de $z_0, z_1,\ldots, z_{2N-2}$ prend
apparemment $2N^2$ op\'erations. {\it Aha\/}!

Les $z_k$ sont effectivement les coefficients de
$$ f(u)g(u)= \left(\sum_{\ell=0}^{N-1} x_\ell u^\ell \right)
             \left(\sum_{m=0}^{N-1} y_m u^m \right) =
          \sum_{k=0}^{2N-2} z_k u^k.$$
Il suffit donc d'\'evaluer $f$ et $g$ en $u=1, \zeta, \zeta^2, \ldots,
\zeta^{2N-1}$ ({\bf synth\`ese\/}), avec $\zeta=\exp(\pi i/N)$ (on
travaille avec $2N$ au lieu de $N$), et de r\'ecup\'erer les $z_k$
\` a partir de ces $2N$ valeurs ({\bf analyse\/}), donc, tout cela
avec trois FFT!
\footnote{Cf. P.\ Henrici, {\sl Applied \& Computational Complex
 Analysis III\/}, Wiley, 1986, et Fast Fourier methods in computational
 complex analysis, {\sl SIAM Rev.} {\bf 21\/} (1979) 481-527.}

Produit de grands nombres: si $F$ et $G$ sont donn\'es par leurs
d\'eveloppements en base $b$
$ F= \sum_{\ell=0}^{N-1} x_\ell b^\ell$,
  $ G=       \sum_{m=0}^{N-1} y_m b^m $, on obtient facilement le
d\'eveloppement en base $b$ de $FG$
\footnote{Technique effectivement utilis\'ee dans
D.H.\ Bailey, Algorithm 719. Multiprecision translation and execution
of FORTRAN programs, {\sl ACM Trans.\ Math.\ Soft.} {\bf 19\/} (1993)
288-319.}

Karatsuba: $ab=[(a+b)^2-(a-b)^2]/4$, il suffit de savoir \'evaluer
des carr\'es.  \index{Karatsuba}
Soit $X$ un nombre de $p$ chiffres en base $b$, on \'ecrit
$X=Y b^{p/2}+Z$, et $X^2$ fait appel \`a $Y^2$, $Z^2$, $YZ$
\'evalu\'e par $(Y\pm Z)^2$. MAIS $(Y-Z)^2 = 2Y^2+2Z^2 -(Y+Z)^2$!
Trois carr\'es de nombres de $p/2$ chiffres suffisent. Co\^ut
$C(p)=3C(p/2)+$ const.$\,p$. Cela donne $p(3/2)^{\log_2 p} =
p^{1+\log_2(3/2)} =p^{1.585}$.

Voir aussi

NFFT, Nonequispaced Discrete Fourier Transform

For those who would prefer to experiment with such tools in Matlab,
we have independently developed a NUFFT toolbox that uses interpolators
that have been min-max optimized to minimize the worst-case interpolation
error.  The toolbox is one part of a large collection of m-files developed
for image reconstruction problems, and is located here:

  \href{http://www.eecs.umich.edu/~fessler/code/index.html}
  {\texttt{http://www.eecs.umich.edu/\~{}fessler/code/index.html}}

Sincerely,
Jeff Fessler

...

The NFFT has a lot of applications, see e.g.

  \href{http://www.math.uni-luebeck.de/potts/nfft/links.sql}
  {\texttt{http://www.math.uni-luebeck.de/potts/nfft/links.sql}}

such as:
- summation at nonequispaced knots, evaluation of radial functions
- spherical Fourier algorithms
- Fourier reconstruction algorithms for (medical) imaging CT/MRI
- a new method for particle simulations



From: Steven G. Johnson $<$stevenj@fftw.org$>$
Date: Fri, 14 May 2004 21:10:36 -0400 (EDT)
Subject: Harminv 1.0, Extracting Frequencies Better Than the FFT

ANNOUNCE: Harminv 1.0 -- extracting frequencies better than the FFT

I'm pleased to announce the availability of Harminv 1.0, a free program
and C library for harmonic inversion: decomposing a time-series into a sum
of sinusoids, including exponentially decaying sinusoids.

 \href{http://ab-initio.mit.edu/harminv/}
 {\texttt{http://ab-initio.mit.edu/harminv/}}

Harminv is an implementation of the "filter diagonalization method" (FDM)
of Mandelshtam \& Taylor (see URL for references), which maps the harmonic
inversion problem onto a small eigen-problem (size proportional to the
number of sinusoids).

This method has been widely employed in physics since its inception in
1997, and is often able to obtain much more robust and accurate solutions
for the frequencies, etcetera, than e.g. direct least-squared fitting of
the data or its FFT spectrum (which are typically very ill-conditioned
approaches).

I've been happily using this code for a few years now in my own research,
and I finally got around to releasing it.  I hope that others find it
useful.

Cordially,
Steven G. Johnson

} %end Small


\subsection{Analyse en ondelettes} \   \\        \index{ondelettes}


{\Small
Soit $\psi$ une fonction de support compact. On d\'ecide de repr\'esenter
des fonctions d\'efinies sur $\mathbb{R}$ en une combinaison de fonctions
$\displaystyle{ \psi_{a,b}(x)=  |a|^{-1/2} \psi\left(\dfrac{x}{a}-b\right) }$
(\emph{\textbf{ondelettes}}) pour un
ensemble d\'enombrable de param\`etres $a$ et $b$.
$\psi$ est une fonction qui oscille plusieurs fois sur un support
born\'e:

%  \epsfxsize=477bp \epsfbox[ 50  50 527 230]{wavel0.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{wavel0.ps}

Exemples d'ondelettes (fonctions $\psi$), extrait de M.~Ueda,
S.~Lodha, Wavelets: An Elementary Introduction and Examples,
\href{ftp://ftp.cse.ucsc.edu/pub/tr/ucsc-crl-94-47.ps.Z}
{\texttt{ftp://ftp.cse.ucsc.edu/pub/tr/ucsc-crl-94-47.ps.Z}}

\smallskip

Le coefficient de $\psi_{a,b}$ d'une fonction nous
renseigne sur l'amplitude de cette fonction dans un voisinage de $ab$,
information qu'on ne retrouve pas avec des s\'eries ou transform\'ees de
Fourier; cependant, pour $a$ petit, le coefficient de $\psi_{a,b}$ fournit
une information fr\'equentielle, l'ondelette se comportant alors comme un
train d'ondes de haute fr\'equence. On esp\`ere ainsi disposer d'un
outil tr\`es souple d'analyse de signal.

\smallskip

Pour $a$ donn\'e, on note $V_a$ l'espace vectoriel sous-tendu par des
fonctions
$\varphi_{a,kb_0}$, $k\in\mathbb{Z}$. $V_a$ sera par exemple l'ensemble
des fonctions continues lin\'eaires par morceaux dans les intervalles $[kab_0,
(k+1)ab_0]$, et $\varphi_{a,kb_0}$ sera alors $1-|x-kab_0|/(ab_0)$
dans $[(k-1)ab_0, (k+1)ab_0]$, 0 ailleurs (ce ne sont pas encore les
fonctions $\psi$). On consid\`ere  une suite $\{V_{a_j}\}$ de tels
espaces permettant donc de repr\'esenter de plus en plus finement une
fonction \`a mesure que $a_j$ est petit (\emph{analyse
multi-r\'esolution}). Les approximations successives $f_j$ et
$f_{j+1}$ sont les projections orthogonales de $f$ dans $V_{a_j}$ et
$V_{a_{j+1}}$. Les \emph{\textbf{espaces d'ondelettes}} $W_j$ contiennent
les diff\'erences (\emph{\textbf{d\'etails}}) $f_{j+1} -f_j$:
$$   V_{a_{j+1}} = V_{a_j} \oplus W_j. $$
\begin{equation*}\begin{split}
   f_j(x) &= \sum_{k=-\infty}^\infty \lambda_{j,k} \varphi_{a_j,kb_0}(x),\\
  f_{j+1}(x) &= \sum_{k=-\infty}^\infty \lambda_{j+1,k} \varphi_{a_{j+1},kb_0}(x),\\
  &= f_j(x)+\sum_{k=-\infty}^\infty \gamma_{j,k} \psi_{a_j,kb_0}(x).
\end{split}\end{equation*}
Et donc, formellement,
$$
   f(x)= \sum_{j=-\infty}^\infty \left[\sum_{k=-\infty}^\infty \gamma_{j,k} \psi_{a_j,kb_0}(x)
                                \right].
$$
On s'arrange g\'en\'eralement pour que
les $W_j$ soient orthogonaux entre eux:
 $\psi_{a_p,b} \perp \psi_{a_q,c}$ si $p\neq q$, parfois pour que
toutes les $\psi_{a,b}$ soient orthogonales entre elles (plus rare).

\smallskip

Exemple de d\'etermination de $\psi$ \`a partir de $\varphi$: soit
$a_j = a_0/2^j$, $V_{a_0}=$ l'espace des fonctions lin\'eaires par
morceaux sur les intervalles $[ka_0b_0, (k+1)a_0b_0]$,
$\varphi(x)= 1-|x|/b_0$ sur $[-b_0, b_0]$, $\varphi(x)=0$
quand $|x|> b_0$. $\psi(x/a_0)$ est une fonction de $V_{a_1} =
V_{a_0/2}$ orthogonale \`a toutes les fonctions
$\varphi_{a_0,kb_0}(x) = \varphi(x/a_0 -kb_0)$. On trouve
$$
\psi((k-1)b_0) +6\psi((k-1/2)b_0) +10\psi(kb_0) +6\psi((k+1/2)b_0)
 +\psi((k+1)b_0) =0,\qquad k\in\mathbb{Z}.
$$
Il y a plusieurs solutions de support born\'e, par exemple (figure),\\
$\psi(b_0/2)=1, \psi(b_0)=-6, \psi(3b_0/2)=10, \psi(2b_0)= -6,
\psi(5b_0/2)=1$, $\psi(x)=0$ si $x\leqslant 0$ ou $x\geqslant 3b_0$.

Nombreuses applications en traitement d'informations visuelles et sonores,
\href{http://www.larecherche.fr/arch/02/01}
{\texttt{http://www.larecherche.fr/arch/02/01}},
etc.

\smallskip

Ref: [GasW], nombreux livres et articles de I.~Daubechies, Y.~Meyer, etc.,
nombreuses contributions sur le web, par exemple
\href{http://www.cs.kuleuven.ac.be/~wavelets/}
{\texttt{http://www.cs.kuleuven.ac.be/\~{}wavelets/}}

P.~Bechler, Lebesgue constant for the Str\"omberg wavelet,
\textsl{J. Approx. Theory} \textbf{122} (2003) 13-23.


From: Brigitte Forster $<$brigitte.forster@epfl.ch$>$
Date: Mon, 27 Jan 2003 09:04:40 +0100
Subject: Revamped Wavelet Digest

Dear collegues,

We are very happy to announce you that the revamped wavelet digest took off.

   \href{http://www.wavelet.org/}{\texttt{http://www.wavelet.org/}}

The Wavelet Digest was founded by Wim Sweldens. Its first issue was
released on July 24, 1992. Since then, the impact of the digest on
the community kept increasing and the number of subscribers grew up
to almost 20000 by the end of 2001. During all those years, Wim has
edited and assembled the digest. Now, the Wavelet Digest takes off
again, restyled and hosted by the Swiss Federal Institute of
Technology Lausanne (EPFL).

So if you have any information you want to send out to the
wavelet community, please submit it to the digest.
The digest will be send out depending on the number of submissions.
We do hope to have an issue about every two weeks.

To subscribe the wavelet digest please follow the link
\href{http://www.wavelet.org/index.php?subscribe=1}
{\texttt{http://www.wavelet.org/index.php?subscribe=1}}

With best regards,
The Wavelet Digest Team

\smallskip


From: Laurent Demanet $<$demanet@acm.caltech.edu$>$
Date: Thu, 14 Jul 2005
Subject: The Curvelab Toolbox at Curvelet.org

Curvelab is a new toolbox implementing the Curvelet transform, both in
Matlab and C++, and can be downloaded from
\href{http://www.curvelet.org}{\texttt{http://www.curvelet.org}}

Curvelets are multiscale oriented basis elements that were introduced by
Candes and Donoho to address the problem of representation of edges in
geometrical images. Since then, they have found applications at least in
seismic imaging, astronomy, and the numerical analysis of wave equations.

The software Curvelab contains two distinct implementations of the 2D
Curvelet transform, namely via Wrapping and via USFFT. Both architectures
are introduced and explained in the report 'Fast Discrete Curvelet
Transforms', available online. The 3D transform is also present in
Curvelab, in three different versions: in-core, out-of-core and fully
MPI-based parallel. The 3D code is covered in a separate online report.
Several demo files illustrate the transforms at work on image processing
tasks such as denoising and partial reconstructions. Additional routines
are provided to help the user understand the geometry of the transform
(location, orientation and scale for each coefficient.) A user's guide
explains how to set up the toolbox step-by-step on your computer.

The webpage \href{http://www.curvelet.org}{\texttt{http://www.curvelet.org}}
 is also meant to serve as a repository
of papers related to curvelets as implemented in Curvelab. It contains a
list of links to applications of curvelets, and researchers in the field.
There is also a mailing list: sign up to stay up-to-date on future
software releases and other curvelet-related information.

The Curvelab team: E. Candes, L. Demanet, D. Donoho and L. Ying.


}  %end Small


\newpage



\section{Convergence, espace de Hilbert} {\ } \\



\subsection{Suites totales et maximales} \  \\

Soit $\{\varphi_0, \varphi_1,\ldots\}$ une suite orthonormale
de l'espace pr\'ehilbertien $X$ sur $\mathbb{C}$, et $V_n$ le sous-espace de base
$\{\varphi_0,\ldots, \varphi_n\}$, $n=0,1,\ldots$

Comme $V_n\subset V_{n+1}$, la norme d'erreur de meilleure approximation
de $f\in X$ dans $V_n$ d\'ecro\^\i t quand $n$ augmente:
$$ \hat{p}_n=\sum_{k=0}^n c_k\varphi_k\,,\qquad
 \|f-\hat p_n\|^2=\|f\|^2-\sum_{k=0}^n |c_k|^2,$$
o\`u $c_k=(f,\varphi_k)$, $k=0,1,\ldots$

La suite des coefficients $c_k$ de tout $f\in X$ est donc toujours de
carr\'e sommable, et
$$ \forall f\in X,\qquad \sum_{k=0}^\infty |c_k|^2 \le \|f\|^2,$$
(\emph{\textbf{ in\'egalit\'e de Bessel}}).
 \index{Bessel, in\'egalit\'e de}  \label{Besselineg}

\smallskip

\noindent{\bf D\'efinition.}\ Une suite $\{\varphi_0, \varphi_1,\ldots\}$
d'un espace norm\'e $X$ est {\bf totale\/} dans $X$ si les combinaisons
lin\'eaires finies des \'el\'ements de la suite forment un ensemble dense
dans $X$, c'est-\`a-dire si, $\forall\varepsilon>0$, $\exists p=
c_0\varphi_0+\cdots +c_n\varphi_n$: $\|f-p\|\le\varepsilon$.
 \index{totale, suite}
\smallskip

On va donc devoir se poser la question de savoir si
     $\{\varphi_0, \varphi_1,\ldots\}$ est totale dans notre espace
$X$ donn\'e.

Existe-t-il $f\in X$ qu'on ne pourrait {\bf pas\/} approcher d'aussi
pr\`es que l'on veut par des
combinaisons des $\varphi_k$? Les meilleures combinaisons possibles
sont les $\hat p_n= \sum_{k=0}^n c_k \varphi_k$. Quand $n$ augmente,
les $f-\hat p_n$, qui gardent des normes ne tendant pas vers zero, sont
orthogonaux \`a de plus en plus de $\varphi_k$, $k=0,1,\ldots$
A la limite (tout est dans ce mot), $f-$``$\hat p_\infty$'' serait
orthogonal \`a {\bf tous\/} les $\varphi_k$.

Pour exploiter cette id\'ee de possibilit\'e, ou d'impossibilit\'e,
d'existence d'un \'el\'ement non nul de $X$ orthogonal \`a tous les
$\varphi_k$, il faut donner un sens \`a
                   $\sum_{k=0}^\infty c_k \varphi_k$.

\smallskip

\noindent\textbf{Exemple.}\ Prenons $X=$ espace des fonctions mesurables
born\'ees sur $[-\pi,\pi]$ (c'est-\`a-dire $\forall f\in X, \exists M<\infty:
|f(x)|\le M, -\pi\le x\le\pi$), muni du produit scalaire habituel\footnote{Une
fonction mesurable de valeur absolue born\'ee est int\'egrable; le
produit de deux fonctions de ce type poss\`ede encore les m\^emes
propri\'et\'es, et est donc int\'egrable}$(f,g)=
\int_{-\pi}^\pi f(x)\overline{g(x)}dx$. La suite
$\varphi_k(x)= (2\pi)^{-1/2}\exp(ikx)$, $k=0,1,\ldots$ est une suite
orthonormale de $X$. Avec $f(x)=$ sign $x$, on trouve
$c_k=0$ si $k$ est pair, $c_k= -4i(2\pi)^{-1/2}/k$ si $k$ est impair,
mais $\sum_{k=1}^n c_k \varphi^*_k(x)\to $ sign $x -2i\pi^{-1}
\ln|\cot(x/2)|$ quand $n\to\infty$, ce qui n'est pas born\'e, donc pas
dans $X$.
\\
On montrera plus loin que, si la suite
$\varphi_k(x)= (2\pi)^{-1/2}\exp(ikx)$, $k=0,1,\ldots$ n'est effectivement
pas totale, la suite
$\varphi_{2k}(x)= (2\pi)^{-1/2}\exp(ikx)$, $k=0,1,\ldots,
 \varphi_{2k+1}(x)= (2\pi)^{-1/2}\exp(-ikx)$, $k=0,1,\ldots,$ l'est.

\smallskip

\noindent \textbf{Proposition.}\  \emph{Pour toute suite $\{c_k\}_0^\infty$ de
carr\'e sommable $\sum_0^\infty |c_k|^2<\infty$, la suite
$\{ \hat{p}_n=\sum_{k=0}^n c_k\varphi_k\}_0^\infty$ est une suite de
Cauchy dans $X$.}

\smallskip

En effet, v\'erifions que, $\forall\varepsilon>0$, on peut trouver
$n$ tel que $\|\hat p_{n_2}- \hat p_{n_1}\|\le\varepsilon$ d\`es que
$n_2\ge n_1\ge n$: il suffit de remarquer que
 $\|\hat p_{n_2}- \hat p_{n_1}\|^2=
 (\hat p_{n_2}- \hat p_{n_1},\hat p_{n_2}- \hat p_{n_1})=
(\sum_{n_1+1}^{n_2} c_n\varphi_n, \sum_{n_1+1}^{n_2} c_n\varphi_n)=
  |c_{n_1+1}|^2+ \cdots+ |c_{n_2}|^2$.
\qed

\smallskip

\noindent \textbf{D\'efinition.}\  Un {\bf espace de Hilbert}\ est un
espace pr\'ehilbertien\footnote{Rappelons qu'un espace pr\'ehilbertien
est consid\'er\'e ici comme norm\'e, donc s\'epar\'e, cf.~\S~\ref{prehil},
 p.~\pageref{prehil}.}{\bf complet\/} (toute suite de Cauchy dans $X$
a donc une limite dans $X$).  \index{Hilbert, espace de}
Un espace de Hilbert
{\bf s\'eparable\/} est un espace de Hilbert admettant une suite
totale (suite= famille d\'enombrable).

\smallskip


\noindent \textbf{D\'efinition.}\ Une suite orthonormale d'un espace
pr\'ehilbertien $X$ est \textbf{maximale\/} %    \index{maximale, suite}
\footnote{Cf. [Dav]  pp.191--194, aussi p.257.
Attention! Davis appelle ``closed'' ce qui est ici ``totale'', et
``complete'' ce qui est ici ``maximale''. Pour ne rien arranger,
R.\ Courant, D.\ Hilbert, {\sl Methods of Mathematical Physics I\/},
Interscience 1953, adopte la terminologie inverse.
\\
Pour la nomenclature en fran\c cais, cf. par exemple, J.-P.\
Bertrandias, {\sl Math\'ematique pour l'informatique. 1-Analyse
fonctionnelle\/}, A.\ Colin, 1970, chap.~3, G.\ Choquet, {\sl Cours d'analyse II,
topologie\/}, Masson, 1969, chap.~VII-IV, J.\ Dieudonn\'e, {\sl Fondements de
l'analyse moderne\/}, Gauthier-Villars, 1965, chap.~6.}
 si on ne peut trouver de suite
orthonormale plus grande dans $X$.

\smallskip

Nous avons maintenant tous les \'el\'ements pour appr\'ecier le

\subsection{Th\'eor\`eme.}   \   \\
\ \textsl{
Soit $\{\varphi_0, \varphi_1,\ldots\}$ une suite orthonormale
de l'espace pr\'ehilbertien $X$. Consid\'erons les 7 propositions:  }

\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
\item  \textsl{La suite
     $\{\varphi_0, \varphi_1,\ldots\}$ est
  totale dans $X$.}

 \setcounter{enumi}{1}
\item  \textsl{Le d\'eveloppement en s\'erie des $\varphi_k$ de tout
  $f\in X$ converge en norme vers $f$:}
$$ \lim_{n\to\infty} \|f-\hat p_n\|=
 \| f -\sum_{k=0}^n (f,\varphi_k)\varphi_k \|  = 0,$$

 \setcounter{enumi}{2}
\item  \textsl{Pour tout $f \in X$, on a
 $$ \|f\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |c_k|^2 =
     \sum_{k=0}^\infty |(f,\varphi_k)|^2,$$
(\textbf{relation de Parseval\/}),   }        \index{Parseval}

 \setcounter{enumi}{3}
\item  \textsl{Pour tout $f,g \in X$, on a
 $$ (f,g) = \sum_{k=0}^\infty c_k \overline{d_k} =
     \sum_{k=0}^\infty (f,\varphi_k) (\varphi_k,g),$$
(\textbf{relation de Parseval \'etendue\/}, ou Riesz-Fischer),   }

 \setcounter{enumi}{4}
\item  \textsl{La suite
     $\{\varphi_0, \varphi_1,\ldots\}$ est
  maximale dans $X$.  }

 \setcounter{enumi}{5}
\item  \emph{$f\in X$, $(f,\varphi_k)=0$, $k=0,1,\ldots \Rightarrow
     f=0$,  }

 \setcounter{enumi}{6}
\item  \textsl{Tout \'el\'ement $f$ de $X$ est enti\`erement d\'etermin\'e
 par ses coefficients $c_k= (f,\varphi_k)$, $k=0,1,\ldots$:
 $(f,\varphi_k)=  (g,\varphi_k)$, $k=0,1,\ldots \Rightarrow f=g$.  }
\end{enumerate}

\emph{Alors,
$$ (1) \Leftrightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Leftrightarrow (4)
  \ \  \Rightarrow  \ \ (5) \Leftrightarrow (6) \Leftrightarrow (7).$$
De plus, \textbf{si $X$ est un espace de Hilbert}, les propositions
(1) \`a (7) sont \'equivalentes.}

\smallskip

En effet, on a d\'ej\`a \'etabli l'\'equivalence entre (1), (2) et (3),
puisque les $\hat p_n$ sont les meilleures combinaisons possibles, et
$\|f-\hat p_n\|^2= \|f\|^2- \sum_{k=0}^n |c_k|^2$.\\
Montrons que $(2)\Rightarrow (4)$: comme $f-\hat p_n$ et $g-\hat q_n$
sont orthogonaux \`a $V_n$,
\begin{multline*}
   (f-\hat p_n, g-\hat q_n) = (f-\hat p_n, g) = (f,g)- (\hat p_n, g) =
 (f,g)- (\hat p_n, g-\hat q_n + \hat q_n) =  \\
 (f,g)- (\hat p_n,  \hat q_n) = (f,g) - \sum_{k=0}^n c_k \overline{d_k},
\end{multline*}
Appliquons l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz:
$$|(f,g) - \sum_{k=0}^n c_k \overline{d_k}|=
   |(f-\hat p_n, g-\hat q_n)| \leqslant
  \|f-\hat p_n\|\cdot\| g-\hat q_n)\|$$
qui tend bien vers 0 quand $n\to\infty$, par (2). $(4)\Rightarrow (3)$:
il suffit de prendre $g=f$.
\\
$(1)\Rightarrow (5)$: supposons que l'on puisse construire $\psi\in X$,
$\|\psi\|=1$, tel que la suite
     $\{\psi, \varphi_0, \varphi_1,\ldots\}$ soit encore
orthonormale dans $X$. Mais
     $\{\varphi_0, \varphi_1,\ldots\}$ \'etant totale, appliquons
Parseval avec $f=\psi$:
 $ \|\psi\|^2 = \sum_{k=0}^\infty |c_k|^2 =
     \sum_{k=0}^\infty |(\psi,\varphi_k)|^2=0$, contradiction.
\hfill\break $(5)\Leftrightarrow (6)$ est imm\'ediat. \\
$(6)\Rightarrow (7)$: on utilise (6) avec $f-g$ au lieu de $f$;
$(7)\Rightarrow (6)$: on prend $g=0$.

\smallskip
Soit $X$ Hilbert, montrons que l'une des propositions $(5)-(7)$
implique l'une des propositions $(1)-(4)$, choisissons $(7)\Rightarrow
(2)$: les approximations $\hat p_n$ de $f$ forment une suite de Cauchy
et tendent donc vers un certain $p\in X$. Il faut montrer que $p=f$.
Or, pour tout $k$ fix\'e, $(p, \varphi_k)=
              \lim_{n\to\infty}(\hat p_n, \varphi_k)=
                           (f, \varphi_k)$ \`a partir de $n=k$, donc
$p$ et $f$ ont tous leurs coefficients identiques, donc $p=f$.
\qed

\medskip

{\Small
\textbf{Contre-exemple.} La fonction
 $f(x)=\sin(x^\alpha\text{\;tg\;}(\alpha\pi))$ est orthogonale \`a
tous les polyn\^omes selon le produit scalaire
$\displaystyle{(f,g)=\int_0^\infty f(x)g(x)\exp(-x^\alpha)\,dx }$
si $0<\alpha<1/2$ (Stieltjes, Hamburger, cit\'e dans O.~Perron,
\textsl{Die Lehre von den Kettenbr\"uchen}, 1929, \S~67). On applique
une identit\'e de la fonction Gamma (d\'eformation du parcours
d'int\'egration)
$\displaystyle{\int_0^\infty t^{\nu-1}\exp(-t e^{i\beta})\,dt =
 \exp(i\nu\beta)\Gamma(\nu)}$ si $\nu>0$ et $-\pi/2<\beta<\pi/2$.
La partie imaginaire est nulle si $\nu\beta$ est un multiple entier $>0$
de $\pi$: soit $\beta=\alpha\pi$ et $\nu=n/\alpha$, $n=1,2,\dotsc$,
et on pose $t=x^\alpha/\cos(\alpha\pi)$. On obtient bien
$\displaystyle{\int_0^\infty f(x)x^{n-1}\exp(-x^\alpha)\,dx=0 }$
pour $n-1=0,1,\dotsc$ La suite des piolyn\^omes est donc non
maximale, donc non totale, dans tout pr\'ehilbertien pour le
produit scalaire indiqu\'e, et contenant $f$.
}

\subsection{Exemples de suites totales dans $\mathscr{C}[a,b]$ et
$L^2([a,b],\mu)$.}   \   \\

\smallskip

$L^2([a,b],\mu)$ est l'espace des fonctions de carr\'e $\mu-$int\'egrables
sur $[a,b]$, muni du produit scalaire $(f,g)= \int_a^b f(x)\overline{g(x)}\,
d\mu(x)$, $f$ et $g$ \'etant consid\'er\'ees comme \'equivalentes si
$\|f-g\|=0$. Cet espace de fonctions (en fait, de classes d'\'equivalence
de fonctions) est un espace de Hilbert.
Lorsque $[a,b]$ est born\'e, l'espace des fonctions continues
$\mathscr{C}[a,b]$ est dense dans $L^2([a,b],\mu)$ (au sens de la norme de
$L^2$), ce qui permet d'\'etablir le caract\`ere total de suites de
$L^2$ en passant par $\mathscr{C}$, ce qui est d'ailleurs tr\`es
int\'eressant en soi.

\smallskip
\subsection{
Th\'eor\`eme d'approximation de Weierstrass.}\ \\ \textsl{Si
$[a,b]$ est born\'e, les polyn\^omes forment un ensemble dense dans
$\mathscr{C}[a,b]$, muni de la norme du maximum.}
   \index{Weierstrass, th\'eor\`eme d'approximation de}
\medskip

La d\'emonstration utilisera une construction tr\`es utile
et tr\`es ing\'enieuse \` a de nombreux \'egards:

\noindent\textbf{Polyn\^omes de Bernstein.}\\
Soit $f$ une fonction d\'efinie sur $[0,1]$. On consid\`ere
l'op\'erateur $\mathcal{B}_n$:   \index{Bernstein, polyn\^omes de}
$$ (\mathcal{B}_n f)(t) := \sum_{k=0}^n f\left(\dfrac{k}n\right)
  \binom{n}{k} t^k (1-t)^{n-k}, $$
o\`u $\displaystyle{\binom{n}{k}}= \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ est un coefficient
binomial:
  $(x+y)^n= \displaystyle{\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^k y^{n-k}}$.
  $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ est le
nombre de combinaisons sans r\'ep\'etition de $n$ objets pris $k$ \`a $k$:
$\displaystyle{\binom{n}{0}}= 1$,
$\displaystyle{\binom{n}{1}}= n$,
$\displaystyle{\binom{n}{2}}= n(n-1)/2$, \dots
$\displaystyle{\binom{n}{n}}= 1$,
$\displaystyle{\binom{n}{k}}=
 \displaystyle{\binom{n}{n-k}}$.


On constate rapidement $(\mathcal{B}_n f)(0)=f(0)$,
                       $(\mathcal{B}_n f)(1)=f(1)$,
$f(t)\equiv 1 \Rightarrow (\mathcal{B}_n f)(t)\equiv 1$,
$\mathcal{B}_n$ est un op\'erateur \textbf{lin\'eaire positif}, on entend
par ce dernier terme que $f(t)\geqslant 0$ sur $[0,1] \Rightarrow
                       (\mathcal{B}_n f)(t)\geqslant 0$ sur $[0,1]$.

Remarquons que la lin\'earit\'e et la positivit\'e impliquent
$|f(t)|\leqslant g(t)$ sur $[0,1] \Rightarrow
  |(\mathcal{B}_n f)(t)|\leqslant  (\mathcal{B}_n g)(t)$ sur $[0,1]$.


\parpic{
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(3,2)
 \put(0,0){\vector(1,0){2.5}}  \put(2.6,-0.1){$t$}
 \put(-0.1,-0.3){0}  \put(2.4,-0.3){1}
 \put(0,0){\line(0,1){1}}
 \put(0.5,0){\line(0,1){1.7}}
 \put(1.0,0){\line(0,1){1.9}}
 \put(1.5,0){\line(0,1){2}  }
 \put(2.0,0){\line(0,1){1.2}}
 \put(2.5,0){\line(0,1){0.8}}
 \drawline[1](0,1)(0.5,1.7)(1,1.9)(1.5,2)(2,1.2)(2.5,0.8)
\thicklines
 \spline(0,1)(0.5,1.7)(1,1.9)(1.5,2)(2,1.2)(2.5,0.8)
\end{picture}
}
Pour aller plus loin, constatons que
$ w_k(t):=\binom{n}{k} t^k (1-t)^{n-k} $  est la probabilit\'e d'obtenir
$k$ fois un \'ev\`enement de probabilit\'e $t$ sur $n$ tirages
ind\'ependants: \emph{\textbf{loi binomiale}}. \index{binomiale, loi}

Des propri\'et\'es bien connues de cette loi sont:
\begin{enumerate}
  \item Prob. totale $\displaystyle{
     \sum_{k=0}^n w_k(t)=1} $,
  \item Moyenne  $\displaystyle{
     \sum_{k=0}^n k \;w_k(t)=nt} $,
  \item Variance  $\displaystyle{
     \sum_{k=0}^n (k-nt)^2 \;w_k(t)=nt(1-t)}. $
\end{enumerate}

\noindent On en tire des informations sur l'application de l'op\'erateur
$\mathcal{B}_n$ \`a des polyn\^omes de degr\'e 0, 1 et 2:
\begin{enumerate}
  \item $f(x)=1$:\ \   $(\mathcal{B}_n f)(t) =1$,
  \item $f(x)=x$:\ \   $(\mathcal{B}_n f)(t) =t$,
  \item $f(x)=x^2$:\ \   $(\mathcal{B}_n f)(t) =t^2+t(1-t)/n$,
\end{enumerate}
Pour le dernier cas, on d\'eveloppe le carr\'e de $k-nt$ dans
l'identit\'e de la variance, et on divise par $n^2$.

Les polyn\^omes de degr\'e $\leqslant 1$ sont donc reproduits
exactement par $\mathcal{B}_n$, et on a pour le degr\'e 2:
$$ (\mathcal{B}_n (Ax^2+Bx+C))(t)= At^2+Bt+C +At(1-t)/n.$$

Ceci suffit \`a assurer la

\noindent{\bf D\'emonstration du th\'eor\`eme de Weierstrass par
polyn\^omes de Bernstein.}\   Soit $f$ continue sur $[0,1]$, et
$\epsilon >0$. Montrons qu'il existe $n$ tel que
$\|\mathcal{B}_nf -f\|_\infty \leqslant\epsilon$.


%Soit   $x$ un
%point de $[0,1]$, et l'intervalle $I_x = [x-h/2, x+h/2]\cap [0,1]$,
%o\`u $h$ est encore \`a d\'eterminer.
%Soit $g(t)= f(t)- f(x)$; $g_1(t)= g(t)$ dans $I_x$, $g_1(t)= 0$ ailleurs
%dans $[0,1]$; $g_2(t)= 0$ dans $I_x$, $g_2(t)= g(t)$ ailleurs dans
%$[0,1]$.
%
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(15,4)
%  \psline{->}(0,1)(6.5,1)   \uput[90](6.5,1){$t$} \uput[270](6,1){1}
%  \psline{->}(0,0)(0,3)   \uput[135](3,1){$x$} \uput[0](0,3){$g_1(t)$}
%  \psline{->}(8,1)(14.5,1)  \uput[90](14.5,1){$t$} \uput[270](14,1){1}
%  \psline{->}(8,0)(8,3)   \uput[270](11,1){$x$}  \uput[0](8,3){$g_2(t)$}
%  \pscurve[linewidth=0.07](2.5,0.7)(3,1)(3.5,1.6)
%  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2.5,0.2)(2.5,1)
%  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](3.5,1.6)(3.5,0.2)
%  \psline{<->}(2.5,0.4)(3.5,0.4) \uput[270](3,0.4){$h$}
%  \psline[linewidth=0.07](0,1)(2.5,1)
%  \psline[linewidth=0.07](3.5,1)(6,1)
%  \pscurve[linewidth=0.07](8,0.2)(9,0.3)(10.5,0.7)
%  \psline[linewidth=0.07](10.5,1)(11.5,1)
%  \pscurve[linewidth=0.07](11.5,1.6)(13,2)(14,1.5)
%  \psdots(11,1)(3,1)
%  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](10.5,0.2)(10.5,1)
%  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](11.5,1.6)(11.5,0.2)
%  \psline{<->}(10.5,0.4)(11.5,0.4) \uput[270](11,0.4){$h$}
%  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm,linewidth=0.04](0,1.8)(6,1.8)
%  \uput[90](3,1.9){$\omega_f(h)$}
%  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm,linewidth=0.04]%
%       (8,2.25)(10.5,2.25)(10.5,1)(11.5,1)(11.5,2.25)(14,2.25)(14,1)
%  \uput[90](13,2.4){$2\|f\|_\infty$}
%  \parabola[linewidth=0.05,linestyle=dashed,dash=4mm 4mm](10.25,3.81)(11,1)
%  \uput[0](11.8,3.7){$8\|f\|_\infty (t-x)^2/h^2$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\smallskip
%\noindent On a donc $|g_1(t)|\le \omega_f(h)$ dans $[0,1]$; $g_2(t)=
%0$ dans $t\in [x-h/2, x+h/2]$, $|g_2(t)|\le 2\|f\|_\infty$ si
%$|t-x|> h/2$: $|g_2(t)|\le 8\|f\|_\infty (t-x)^2/h^2$, $\forall t$,
%$$\displaylines{
%   |(\mathcal{B}_n f)(t) -f(x)| = |(\mathcal{B}_n g)(t)|=  \hfill\cr \hfill
%   |(\mathcal{B}_n g_1)(t) + (\mathcal{B}_n g_2)(t)|\le
% \omega_f(h)+ 8\|f\|_\infty h^{-2} ((t-x)^2 +1/(4n)), \cr}$$
%en $t=x$:
%$$ |(\mathcal{B}_n f)(x) -f(x)|\le
% \omega_f(h)+ 2\|f\|_\infty /(nh^2). $$
%(Pour le module de continuit\'e $\omega_f(h)$, se reporter en
%page~\pageref{modcont}).
%Il suffit de choisir $h$ tel que $h\to 0$ et $nh^2\to\infty$ quand
%$n\to\infty$, par exemple $h=n^{-1/3}$. \qed

Soit   $x$ un
point de $[0,1]$. Comme $\mathcal{B}_n$ reproduit la constante
 $f(x)$,\\
 $\displaystyle{  (\mathcal{B}_n f)(x)-f(x)=
      \sum_0^n w_k(x) [f(k/n)-f(x)]. }$

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
  \psline{->}(0,0)(4.75,0)   \uput[90](4.7,0){$k/n$}
  \psline{->}(0,0)(0,3)
  \psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](0,1)(3,1) \uput[180](0,1){1}
  \psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](3,0)(3,1) \uput[270](3,0){$x$}
  \psline[linewidth=0.02](3,1)(0.5,3.5)
  \psline[linewidth=0.02](3,1)(4.5,2.5)
  \parabola[linewidth=0.06](1.5,3.35)(3,1.35)
%  \uput[0](11.8,3.7){$8\|f\|_\infty (t-x)^2/h^2$}
\end{pspicture}
}
Introduisons le module de continuit\'e de $f$:
$$    \qquad\qquad  \qquad  \qquad
|f(k/n)-f(x)|\leqslant \omega_f(|k/n-x|)\leqslant
   \left(1+\dfrac{|k/n-x|}{h}\right) \omega_f(h), $$
par \eqref{modcontk} (p.~\pageref{modcontk}), o\`u $h$ est un
r\'eel $>0$ non encore d\'etermin\'e.\\
Soit $\xi=(k/n-x)/h$. Par $1-2|\xi|+\xi^2\geqslant 0$,\\
$\displaystyle{
   1+\dfrac{|k/n-x|}{h} \leqslant \dfrac{3}{2}+\dfrac{(k/n-x)^2}{2h^2} }$,
o\`u nous retrouvons la variance de la loi binomiale! Donc,\\
 $\displaystyle{  |(\mathcal{B}_n f)(x)-f(x)|\leqslant
   \omega_f(h)\left(
         \dfrac{3}{2}+\dfrac{x(1-x)}{2nh^2}\right) }$,
et enfin

 $\|\mathcal{B}_n f-f\|_\infty \leqslant$ const.
  $\omega_f(n^{-1/2})$, en prenant $h=n^{-1/2}$. \qed

\smallskip

On peut reprendre la preuve avec tout op\'erateur
 $\mathcal{K}_n$ ayant les 3 propri\'et\'es: lin\'earit\'e, positivit\'e, et
$f(t)= At^2+ Bt+ C \Rightarrow \|\mathcal{K}_n f- f\|_\infty \le
|A|\varepsilon_n$, avec $\varepsilon_n \to 0$ quand $n\to\infty$
(Korovkin). Ici, $\varepsilon_n= 1/(4n)$.


{\Small
\noindent\textbf{Autres propri\'et\'es des polyn\^omes de Bernstein.}

 Quelques ref.:
 Z.~Ditzian, V.~Totik, \textsl{Moduli of Smoothness}, Springer, 1987.
 Zhongkai Li, Bernstein polynomials and modulus of continuity,
 \textsl{J. Approx. Theory} \textbf{102} (2000) 171-174.
 G.G. Lorentz, \textsl{Bernstein polynomials},
Univ. Toronto Press, 1953, $2^{\text{\`eme}}$ \'ed.: Chelsea, 1986;\ %
C.A. Micchelli, \textsl{Mathematical Aspects of Geometric Modeling},
SIAM (CBMS-NFS \textbf{65}) 1995); G.~Farin, \textsl{Curves and
Surfaces for Computer Aided Geometric Designn. A Practical Guide,}
 Academic Press, $2^{\text{nd}}$ ed., 1990.

\medskip

\textsl{La d\'eriv\'ee de $\mathcal{B}_n f$ est obtenue en
appliquant l'op\'erateur $\mathcal{B}_{n-1}$ aux diff\'erences
divis\'ees } $n[f((k+1)/n)-f(k/n)]$, $k=0,1,\dotsc, n-1$.

En effet, $\displaystyle{
  \dfrac{\mathcal{B}_n f(x)}{dx}=
  \sum_0^n \dfrac{n!}{k!(n-k)!}f\left(\dfrac{k}{n}\right)
                \dfrac{d x^k(1-x)^{n-k}}{dx} =  }$ \\
   $\displaystyle{
 n \sum_1^n \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}f\left(\dfrac{k}{n}\right)
                     x^{k-1}(1-x)^{n-k}
 -n \sum_0^{n-1} \dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}f\left(\dfrac{k}{n}\right)
                     x^k(1-x)^{n-1-k}  }$ \\
   $\displaystyle{
= \sum_0^{n-1} \dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}
  \dfrac{f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)-f\left(\dfrac{k}{n}\right)}{1/n}
                     x^k(1-x)^{n-1-k}
   }$

\textsl{La valeur  de $\mathcal{B}_n f$ en $x$ est identique \`a la
 valeur de  $\mathcal{B}_{n-1}$ aux combinaisons
} $xf((k+1)/n)+(1-x)f(k/n)$, $k=0,1,\dotsc, n-1$.

\noindent En effet, $\displaystyle{
  \mathcal{B}_n f(x)=
  \sum_0^n \dfrac{n!}{k!(n-k)!}f\left(\dfrac{k}{n}\right)x^k(1-x)^{n-k}=
  \sum_0^n \left(\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}
                +\dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}\right)
       f\left(\dfrac{k}{n}\right)
                x^k(1-x)^{n-k} =   }$ \\
     $\displaystyle{
  \sum_0^{n-1} \dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}
               \left[x f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)
               +(1-x) f\left(\dfrac{k}{n}\right)\right]
               x^k(1-x)^{n-1-k} }$.

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(15,6)
  \put(0,0){\special{"
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       37.5 117.75 moveto 37.5 0 lineto stroke
       newpath 0 64 moveto 50 160 100 160 150 32  curveto
       closepath stroke  grestore
    grestore
        }   }
\end{picture}\end{center}

Construction d'une valeur d'un polyn\^ome de Bernstein par la
m\'ethode de Casteljau
Ici, $x=1/4$.


Les approximations par
polyn\^omes de Bernstein ont d'importantes qualit\'es d'ordre
esth\'etique. On trouve des polyn\^omes de Bernstein en carrosseries
et coques (courbes et surfaces de B\'ezier), et en typographie
informatique (voir \S~\ref{bernsttyp}).

\medskip

\noindent\textbf{Th\'eor\`emes de Jackson et Bernstein.}

Pour mieux capturer l'erreur $E_n$ de meilleure approximation
sur $[a,b]$ par des polyn\^omes de degr\'e $\leqslant n$, on
\'etudie des expressions de la forme
 $\displaystyle{ \int_a^b K_n(x,y)\;f(y)\;dy }$, o\`u $K_n$
est un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant n$ en $x$. Par exemple: \\
\textbf{Th\'eor\`eme de Jackson.} \textsl{Si $f\in\mathscr{C}[-1,1]$,
  $E_n \leqslant \text{const.}\;\omega_f(n^{-1})$. } \index{Jackson, th. de}

En effet \cite{Mha}, on construit
$$ p_n(x) = \dfrac{1}{\lambda_m} \int_{-\pi}^\pi
     \left[  \dfrac{\sin((m+1/2)(\varphi-\theta))}
                   {\sin((\varphi-\theta)/2)}
      \right]^4  F(\varphi)\;d\varphi,$$
o\`u $F(\varphi)=f(\cos\varphi)$,  $m$ est la partie enti\`ere
par d\'efaut de $n/4$, et $\lambda_n$ est tel que $p_n(x)\equiv 1$
si $f(x)\equiv 1$. On a bien $p_n \in \mathscr{P}_n$ puisque
 $\sin((m+1/2)(\varphi-\theta))/\sin((\varphi-\theta)/2) =
    \displaystyle{ \dfrac{e^{i(m+1/2)(\varphi-\theta)}-
                          e^{i(m+1/2)(-\varphi+\theta)}}
                          {e^{i(\varphi-\theta)/2}-
                          e^{i(-\varphi+\theta)/2} } =
     2 \sideset{}{'}\sum_0^m \cos(k(\varphi-\theta)) }$
 est un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant m$ en $x=\cos\theta$
(augment\'e d'une fonction impaire en $\varphi$ qui dispara\^i{}t dans
 l'int\'egrale). Ensuite, $\lambda_m$ est l'int\'egrale de la
 quatri\`eme puissance de la fonction ci-dessus, c'est-\`a-dire
 de $\displaystyle{ \sum_{-m}^m e^{ik(\varphi-\theta)} }$, donc du
 carr\'e de
  $\displaystyle{ \sum_{-2m}^{2m} (2m+1-|k|) e^{ik(\varphi-\theta)} }$,
 ce qui fait $2\pi$ fois la somme des carr\'es des coefficients,
 soit $\lambda_m= 2\pi[2(1+4+\dotsb + 4m^2)+(2m+1)^2]=
    2\pi(2m+1)(8m^2+8m+3)/3 \sim \pi n^3/6$. Nous avons
maintenant, pour $\theta$ fix\'e,
$$p_n(\cos\theta)-F(\theta) =\dfrac{1}{\lambda_m}
             \int_{-\pi}^\pi
     \left[  \dfrac{\sin((m+1/2)\psi)}
                   {\sin(\psi/2)}
      \right]^4  [F(\theta+\psi)-F(\theta)]\;d\psi,$$
o\`u on a pris $\psi=\varphi-\theta$.
On borne $|F(\theta+\psi)-F(\theta)|$ par
$\omega_F(|\psi|) \leqslant (1+n|\psi|)
  \omega_F(n^{-1})$ par la propri\'et\'e \eqref{modcontk} de $\omega$ vue
 en p.~\pageref{modcontk}. Finalement, on pose
  $\xi=(m+1/2)\psi$; le sinus du d\'enominateur
  est partout sup\'erieur \`a  $(2/pi)|\psi|/2 = |\xi|/((m+1/2)\pi)$,
 et il reste une borne $(m+1/2)^2\pi^4 (n+1)/\lambda_m $ fois
 $\omega_F(n^{-1})$ (qui est inf\'erieur \`a $\omega_f(n^{-1})$)
 fois $\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty |\xi|^{-3} \sin^4\xi\;d\xi}$,
 cette derni\`ere int\'egrale \'etant convergente (c'est pour cela
  qu'on a d\^u prendre une quatri\`eme puissance). \qed

 Si $f\mathscr{C}^r$, on montre $E_n \leqslant c(r)
    n^{-r} \omega_{f^{(r)}}(n^{-1})$.

\smallskip

Si $f\in Lip_\alpha$\footnote{Voir p.~\pageref{Lipalpha}.},
 on a donc $E_n\leqslant $ const. $n^{-\alpha}$.
R\'eciproque (uniquement pour des polyn\^omes trigonom\'etriques): \\
\textbf{Th\'eor\`eme de Bernstein.} \index{Bernstein} \textsl{Si
 $E_n(F)\leqslant$ const. $n^{-\alpha}$, $0<\alpha<1$,\ alors
 $\omega_F(h)\leqslant$ const. $ h^\alpha$.}

En effet, soit $P_n$ la meilleure approximation trigonom\'etrique
de degr\'e $\leqslant n$ de $F$. Pour $h>0$ fix\'e, et pour tout $n$
entier, On a
$$ \omega_F(h)\leqslant \omega_{F-P_n}(h)
                       +\omega_{P_n}(h)
              \leqslant 2E_n +h\|P'_n\|_\infty
       \leqslant 2E_n +h[\|P'_n-P'_{n/2}\|+\|P'_{n/2}-P'_{n/4}\|+
                \dotsb ]. $$
Chaque $P_m-P_{m/2}$ est un polyn\^ome trigonom\'etrique de
degr\'e $\leqslant m$, donc, par une in\'egalit\'e de
Bernstein (cf. p.~\pageref{Bernsteinin}), la norme de la
d\'eriv\'ee est born\'ee par le degr\'e fois la norme
de la fonction:
$$ \|P'_m-P'_{m/2}\| \leqslant m\|P_m-P_{m/2}\| =
    m\|F-P_{m/2}-(F-P_m)\| \leqslant 2mE_{m/2}. $$
Et il reste
$$ \omega_F(h)\leqslant 2E_n+h[2nE_{n/2} + nE_{n/4} +(n/2)
     E_{n/8} +\dotsb ]$$
born\'e par const. fois $n^{-\alpha} +h n^{1-\alpha}
  [2^\alpha +2^{-1+2\alpha} +2^{-2+3\alpha}+\dotsb]$. La s\'erie
 converge. Il reste \`a choisir $n$! On minimise en $n$
  $n^{-\alpha}+Chn^{1-\alpha}$, ce qui donne $n$ de l'ordre
  de $h^{-1}$.  \qed

}   % end Small

\subsection{Th\'eor\`eme de Stone-Weierstrass} \   \\
\medskip                          \index{Stone-Weierstrass}
De nombreuses g\'en\'eralisations du th\'eor\`eme de Weierstrass ont
abouti \`a cet \'enonc\'e remarquable:

\noindent{\bf Th\'eor\`eme de Stone-Weierstrass.}\ \emph{Soit $I$ un
espace compact, $\mathscr{C}(I)$ l'alg\`ebre des applications continues
de $I$ dans $\mathbb{C}$, munie de la topologie de la convergence uniforme.
Soit $\mathcal{A}$ une sous-alg\`ebre de $\mathscr{C}(I)$ telle que: }

\begin{enumerate}

\item $\mathcal{A}$ \emph{s\'epare les points de $I$, c'est-\`a-dire }
 $\forall x,y\in I$, $x\neq y$: $\exists f\in \mathcal{A}: f(x)\neq f(y)$,

\item $\forall x\in I$, $\exists f\in \mathcal{A}:$ $f(x)\neq 0$,

\item $f\in \mathcal{A} \Rightarrow \text{ la fonction complexe
conjugu\'ee } {\overline{f}}\in \mathcal{A}$.
\end{enumerate}

\noindent \emph{Alors, $\mathcal{A}$ est dense dans $\mathscr{C}(I)$.}
\footnote{Cf., par exemple, G.\ Choquet, {\it op.cit.\/},
 chap.~VI;
A.~Pinkus, Weierstrass and approximation theory, \textsl{J. Approx.
Theory} \textbf{107} (2000) 1-66.}

Remarquons que, par 3., on peut se limiter au cas r\'eel: si $p\pm iq$ et
$r\pm is \in \mathcal{A}$, $p,q, pr$ et $qs$ sont aussi dans $\mathcal{A}$:
$p=[ p+iq +(p-iq)]/2$, $pr = [(p+iq)(r+is) +(p-iq)(r-is) +(p-iq)(r+is)
 +(p+iq)(r-is)]/4$, etc. \\ Par 1. et 2., on peut toujours trouver un
 \'el\'ement de $\mathcal{A}$ prenant deux valeurs d\'etermin\'ees, soit
 $A$ et $B$, en deux points distincts donn\'es de $I$: par 1., soit
 $f_1$ prenant deux valeurs distinctes en $x'$ et $x''$, l'une de ces deux
 valeurs, soit $f_1(x')$ \'etant donc non nulle,
et, par 2. $f_2$ avec $f_2(x'')\neq 0$. On construit $f_3 =
 f_1^2 -f_1(x'') f_1$ qui est donc nulle en $x''$ et toujours non
 nulle en $x'$ (o\`u $f_3$ vaut $f_1(x')(f_1(x')-f_1(x''))\neq 0$),
 et $f_4 = f_2 -cf_3$ avec $c$ tel que $f_4(x')=0$.
 Alors $\displaystyle{
             A\dfrac{f_3}{f_3(x')} +B\dfrac{f_4}{f_4(x'')} }$
  convient.

{\Small
             \index{Mawhin, J.}
Une partie de la d\'emonstration donn\'ee dans le Cours
d'analyse de J.~Mawhin\footnote{\textsl{Analyse, Fondements,
techniques, \'evolution}, De Boeck Universit\'e, 1992} pp.708-711:

Si $g\in\overline{\mathcal{A}}$ avec $0\leqslant g(x)\leqslant 1$ pour
tout $x\in I$, alors $\sqrt{g}\in \overline{\mathcal{A}}$. En effet,
$\sqrt{g}$ peut \^etre approch\'e aussi bien que l'on veut par un
polyn\^ome en $g$ (cf. approximation polynomiale de $\sqrt{\ }$,
 p.~\pageref{approxsqrt}), ce polyn\^ome en $g$ pouvant lui-m\^eme
 \^etre approch\'e par un \'el\'ement de $\mathcal{A}$.\\
$f\in \overline{\mathcal{A}} \Rightarrow
 |f|\in \overline{\mathcal{A}} $. En effet, on prend
  $\displaystyle{\|f\|_\infty \sqrt{\dfrac{f^2}{\|f\|_\infty^2}}}$.\\
Si $f$ et $g\in\overline{\mathcal{A}}$,
 $\max(f,g)$ et $\min(f,g)\in\overline{\mathcal{A}}$. En effet,
 $\min$ et $\max(f,g) = (f+g \pm|f-g|)/2$.

Ensuite, pour $f$ continue r\'eelle sur $I$,
on consid\`ere $P_{u,y}\in\mathcal{A}$ interpolant $f$ en $u$ et $y\in I$.
Pour $u$ fix\'e et $x$ suffisamment pr\`es de $y$, $P_{u,y}(x) \geqslant
f(x)-\varepsilon/2$. On recouvre le compact $I$ par un nombre fini $m$
 de tels voisinages de fa\c con
\`a avoir $g_u := \max(P_{u,y_1},\dotsc, P_{u,y_m}) \geqslant
  f-\varepsilon/2$ partout dans $I$.  Dans un voisinage de $u$, on a aussi
  $g_u \leqslant f+\varepsilon/2$, et on recouvre maintenant $I$ par des
  voisinages de $u_1,\dotsc, u_r$ de sorte que
  $g := \min(g_{u_1},\dotsc, g_{u_r}) \leqslant f+\varepsilon/2$ partout
  dans $I$. On a donc $g\in\overline{\mathcal{A}}$ v\'erifiant
  $\|g-f\|_\infty \leqslant \varepsilon/2$, et comme $g$ est elle-m\^eme
  \`a moins d'$\varepsilon/2$ d'un \'el\'ement $p$ de $\mathcal{A}$,
  $\|f-p\|_\infty \leqslant \varepsilon$ \qed

}

\medskip

En pratique, on part d'une suite $\{\psi_k\}$ (\'eventuellement finie) de
$\mathscr{C}(I)$, avec ${\overline{\psi_k}}$ dans la suite si
$\psi_k$ est dans la suite,
 et l'\'enonc\'e devient: si les $\psi_k$ s\'eparent
les points de $I$ (ils suffit que l'application identit\'e soit dans
$\mathcal{A}$), et si les $\psi_k$ ne s'annulent pas tous en
un m\^eme point de $I$ (il suffit que $\mathcal{A}$ contienne
 la fonction constante 1), toute fonction continue sur le compact
$I$ peut \^etre approch\'ee d'aussi pr\`es que l'on veut en $\|\ \|_\infty$
par des polyn\^omes en les $\psi_k$.

\noindent {\bf Exemple.}\ $I$ est le cercle unit\'e $\{z: |z|=1\}$,
$\{\psi_0, \psi_1\}= \{z, z^{-1}={\overline{z}}\}$. Comme $z$ et
$1= \psi_0\psi_1\in \mathcal{A}$, les polyn\^omes
$z^k$, $k=\cdots, -2,-1,0,1,2, \cdots$ forment une suite totale dans
$\mathscr{C}(I)$, donc les {\bf polyn\^omes trigonom\'etriques\/}
$e^{ik\theta}$, $k=\cdots, -2,-1,0,1,2, \cdots$ forment une suite totale
dans l'espace des fonctions continues p\'eriodiques (c'est-\`a-dire
$f(-\pi)= f(\pi)$) sur $[-\pi,\pi]$.    \\
En r\'eel: $\{\psi_0,\psi_1\} = \{\cos\theta, \sin\theta\}$ engendre les
polyn\^omes trigonom\'etriques, et $1=\cos^2\theta+\sin^2\theta$ est bien dans
$\mathcal{A}$.

\smallskip
\noindent {\bf Cas des s\'eries de Fourier de fonctions continues.}
\hfill\break
Ce qui pr\'ec\`ede ne veut pas dire que les s\'eries de Fourier de fonctions
continues p\'eriodiques convergent toujours uniform\'ement!
Soit $\mathcal{T}_n$ l'espace engendr\'e par $\exp(ik\theta)$, $k=-n,
\cdots,n$.
Les sommes partielles de Fourier $S_n(\theta)= \sum_{-n}^n c_k \exp(ik\theta)$
 sont les meilleures approximations
possibles de $f$ dans $\mathcal{T}_n$ au sens de $L^2$; on a montr\'e que,
$\forall n$, il existe des coefficients $d_k^{(n)}$,
$k=-n, \cdots,n$,
tels que $\|f- \sum_{-n}^n d_k^{(n)}\exp(ik\theta)\|_\infty \to 0$
quand $n\to\infty$, d'o\`u on tire d'ailleurs \'egalement
$\|f- \sum_{-n}^n d_k^{(n)}\exp(ik\theta)\|_2 \to 0$
et le caract\`ere total de la suite $\{\exp(ik\theta)\}_{-\infty}^\infty$ dans
$L^2(-\pi,\pi)$
\footnote{On peut montrer s\'epar\'ement que la suite
 $\{\exp(ik\theta)\}_{-\infty}^\infty$ est {\bf maximale\/} dans
$L^2(-\pi,\pi)$, cf. [Dav], pp.266-267.},
mais les $c_k$ ne sont pas optimaux dans $\mathscr{C}$.

Voir aussi Robert Feinerman,  D. J. Newman:
Completeness of $\{A$ ${\rm sin}\ nx+$ $B$ ${\rm cos}\ nx\}$ on $[0,\,\pi ]$,
\textsl{ Michigan Math. J.} \textbf{15}, nr . 3 (1968), 305-–312.



On peut cependant construire des sommes de Fourier modifi\'ees
$\sigma_n := (S_0+ S_1+\cdots +S_{n-1})/n$ ({\bf sommes de Fej\'er\/}),
montrer que $\sigma_n$ est l'application d'un op\'erateur lin\'eaire
{\bf positif\/} \`a $f$ et d\'emontrer, un peu comme pour les
polyn\^omes de Bernstein, que $\|f-\sigma_n\|_\infty \to 0$ quand
$n\to\infty$ si $f\in \mathscr{C}[-\pi,\pi]$ et $f(-\pi)=f(\pi)$.
                                               \index{Fejer}
La vitesse de convergence des sommes de Fej\'er est cependant tr\`es
m\'ediocre (les normes d'erreur d\'ecroissent au mieux comme $1/n$),
aussi essaye-t-on de tirer parti du comportement des coefficients et
des sommes de Fourier (p.~\pageref{deccoeffFourier}).
\medskip
Voici encore un autre r\'esultat classique de la litt\'erature:
\hfill\break                                           \index{M\"untz}
{\bf Th\'eor\`eme de M\"untz.}\ {\sl Si $0=\lambda_0< \lambda_1< \ldots$,
$\lambda_n\to\infty$ quand $n\to\infty$, les puissances
$x^{\lambda_0}=1, x^{\lambda_1},\ldots$ forment une suite totale dans
$\mathscr{C}[0,1]$ si $\sum_{k=1}^\infty 1/\lambda_k= \infty$.}
Voir p.\pageref{refMuntz}

\medskip

Pour des suites de \emph{\textbf{fonctions rationnelles}}, cf.


  Van Deun, J.; Bultheel, A.:
   Orthogonal rational functions and quadrature on an interval,
   \textsl{J. Comput. Appl. Math.} \textbf{153}, No.1-2, 487-495 (2003),
 o\`u on trouve cet \'enonc\'e: \textsl{ la suite
  $\displaystyle{ \left\{ \dfrac{x^n}{\prod_{k=1}^n (1-x/a_k}\right\}_0^\infty}$,
  avec $a_k$ r\'eels et $1<|a_k|\leqslant\infty$, est totale
  dans $\mathscr{C}[-1,1]$ si et seulement si
 $\displaystyle{  \sum_{k=1}^\infty (1-|c_k|)=\infty}$, o\`u
  $c_k$ est d\'etermin\'e par $2a_k = c_k+1/c_k$ et $|c_k|<1$.}


 D. Figueiras, On the construction of a basis of $L^2_\omega({\mathbb R})$
 formed by pole-free rational functions,
  \href{L2omega.ps}
    {\texttt{L2omega.ps}}
 \'etudie de fa\c con tr\`es d\'etaill\'ee (nombreux exemples) des
  d\'eveloppements en fonctions orthogonales de la forme
   $p_n(x)/(1+x^2)^{\lfloor n/2 \rfloor}$ sur $\mathbb{R}$
  ($p_n\in\mathscr{P}_n$).

\bigskip


\subsection{Noyaux reproduisants, polyn\^omes noyaux, repr\'esentants de Riesz}  {\ } \\

\smallskip
\index{noyaux} \index{repr\'esentant de Riesz}
Soit $\{b_0,\ldots,b_n\}$ une base \textbf{orthonormale} de $V$,
\eqref{projorth} se simplifie encore:
$$\hat p = Pf = \sum_{j=0}^{j=n} (f,b_j)\;b_j.$$
Dans la notation des physiciens (Dirac):
$$ P = \sum_{j=0}^{j=n} |j> <j|\;.$$

Si $X$ est un espace de \textbf{fonctions}, muni du produit scalaire
$(f,g)=\int_S f(x)\overline{g(x)}\,d\mu(x)$, on a aussi
\begin{equation*}\begin{split}
   (Pf)(y) &= \sum_{j=0}^{j=n} \left[\int_S f(x) \overline{b_j(x)}
  \;d\mu(x)\right]\; b_j(y) \\
     &= \int_S f(x) \sum_{j=0}^{j=n}  \overline{b_j(x)} \,b_j(y)
  \;d\mu(x)  \\
    &= (f,K_n(.,y)),
\end{split}\end{equation*}
o\`u $K_n(x,y):= \sum_{j=0}^n b_j(x)\overline{b_j(y)}$ est le
\textbf{noyau reproduisant}\footnote{On dit aussi r\'eg\'en\'erateur (S.Colombo)} de
$V$, en effet, $\forall f\in V$,
$f(y)= (f,K_n(.,y))$. Donc, $K_n(.,y)$ est le \emph{\textbf{repr\'esentant de
Riesz}} de la forme $f\mapsto f(y)$.

\smallskip

\noindent
Cette propri\'et\'e reproduisante (sur $V$) est une voie d'acc\`es
\`a une approche de la convergence. Le comportement de $K_n(x,y)$ quand
$n$ est grand n'est cependant pas toujours de tout repos. Ainsi, avec
le produit scalaire $\int_{-1}^1 f(x)g(x)(1-x^2)^{-1/2}dx$ pour lequel
on conna\^\i t $b_0=\pi^{-1/2}$, $b_j(x)=(2/\pi)^{1/2}T_j(x)$
pour $j\ge 1$, on calcule
$$K_n(x,y)=\dfrac2{\pi}\sum_{j=0}^n{}' T_j(x)T_j(y) =
  \dfrac1{2\pi}\left( \dfrac{\sin((n+1/2)(\theta_2-\theta_1))}
                            {\sin((\theta_2-\theta_1)/2)} +
                      \dfrac{\sin((n+1/2)(\theta_2+\theta_1))}
                            {\sin((\theta_2+\theta_1)/2)} \right),$$
o\`u $x=\cos\theta_1$, $y=\cos\theta_2$. Cette expression peut
devenir tr\`es grande. D'ailleurs, avec des produits scalaires de
forme $\int_a^b f(x)g(x)d\mu(x)$, il n'existe pas de fonction
continue de deux variables $K$ qui v\'erifierait
$f(y)=(f,K(.,y))$ pour toute fonction $f$ continue sur $[a,b]$: on
aurait $|f(y)|\le \|f\| \|K(.,y)\|$ (Cauchy-Schwarz), mais il existe des
fonctions continues $f$ de norme quadratique $\|f\|$ arbitrairement plus
petite qu'une valeur ponctuelle $|f(y)|$: il faudrait $\|K(.,y)\|=\infty$.
L'``objet'' qui peut alors pr\'etendre servir de limite de $K_n(x,y)$
quand $n\to\infty$ ne peut \^etre d\'efini qu'au sens des
\textbf{distributions} (distribution de Dirac $\delta(x-y)$).

\noindent
Si $V$ contient les constantes, on a aussi $C=(C,K_n(.,y))$, donc,
pour $y$ fix\'e, $f(y)=(f(y),K_n(.,y))$,
$$ f(y)-(Pf)(y)= (f(y)-f(.), K_n(.,y)) =
   \int_S (f(y)-f(x)) \overline{K_n(x,y)}\,d\mu(x),$$
identit\'e tr\`es utilis\'ee en th\'eorie de la convergence.

\noindent
Il existe cependant des espaces \`a noyau reproduisant o\`u la limite
de $K_n(x,y)$ existe au sens classique: c'est le cas de l'espace des
fonctions analytiques de carr\'e de valeur absolue int\'egrable
sur un domaine born\'e du plan complexe (espace de Bergman
\footnote{Cf. [Dav] pp. 319--322. }).

\noindent
Remarquons aussi que le noyau reproduisant se\dots reproduit
lui-m\^eme: $K_n(y,z)= (K_n(.,z),K_n(.,y))$. En particulier,
$K_n(y,y)= (K_n(.,y),K_n(.,y))= \|K_n(.,y)\|^2$.

\smallskip

\noindent
Les noyaux reproduisants servent aussi \`a comparer l'approximation
en moyenne quadratique et d'autres approximations. Ainsi, soit $p$ une
approximation de $f$ dans $V$ (meilleure approximation au sens d'une
autre norme, interpolant,etc.), et $q$ la meilleure approximation en
moyenne quadratique, projection orthogonale de $f$ dans $V$. On a
\begin{equation*}\begin{split}
 f-q = f-p+p-q &= f-p +(p-q,K_n) \qquad {\rm car\ } p-q\in V \\
     &= f-p -(f-p,K_n) +(f-q,K_n) \\
   &= f-p-(f-p,K_n) \qquad \qquad {\rm car\ } f-q \perp V.
\end{split}\end{equation*}
C'est ainsi que l'on a pu comparer les sommes partielles de
d\'eveloppements en s\'eries de polyn\^omes de Tchebycheff et les
meilleures approximations au sens de la norme du maximum
(\emph{constantes de Lebesgue}).

\medskip
Dans le cas des {\bf polyn\^omes orthogonaux sur un intervalle r\'eel\/},
on tire profit de la formule de Christoffel-Darboux (p.~\pageref{CDarboux}):
le {\bf polyn\^ome noyau}
$$ K_n(x,y)  = \sum_{i=0}^n \varphi_i(x)\varphi_i(y) =
 \beta_{n+1}\dfrac{\varphi_{n+1}(x)\varphi_n(y) -
                   \varphi_{n+1}(y)\varphi_n(x)}{x-y}$$
Ceci montre que, $\forall y$, $K_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $\le n$
orthogonal \`a $\mathscr{P}_{n-1}$ par rapport au produit scalaire associ\'e
\`a la mesure $(x-y)d\mu(x)$:
\begin{multline*}
  \forall p\in \mathscr{P}_{n-1},\ \int_a^b p(x)K_n(x,y)(x-y)d\mu(x)=
\\
    \int_a^b p(x)
 \beta_{n+1}\dfrac{\varphi_{n+1}(x)\varphi_n(y) -
       \varphi_{n+1}(y)\varphi_n(x)}{x-y}\,(x-y)d\mu(x)=0.   \end{multline*}
Ce produit scalaire est {\bf ind\'efini\/} si $y\in (a,b)$.

\medskip

\noindent
Une propri\'et\'e extr\'emale importante:\\
\textbf{Th\'eor\`eme.}\emph{Soit $y\notin (a,b)$ fix\'e. Parmi tous les
polyn\^omes $p\in \mathscr{P}_n$ v\'erifiant $p(y)=1$, le polyn\^ome
de norme $\displaystyle{\left[\int_a^b p(x)^2 d\mu(x)\right]^{1/2}}$ minimale est
$p(x)=K_n(x,y)/K_n(y,y)$.}

\noindent
En effet, exprimons que $p$, avec $p(y)=1$ est de norme minimale: tout
autre polyn\^ome valant \'egalement 1 en $y$ est de la forme
$p(x)+(x-y)q(x)$, avec $q\in\mathscr{P}_{n-1}$, donc,
$$\hspace*{-11pt} \int_a^b\left(p(x)+(x-y)q(x)\right)^2 d\mu(x) =
  \int_a^b p(x)^2  d\mu(x) +
 2\int_a^b p(x) q(x) (x-y) d\mu(x) +
  \int_a^b q(x)^2  (x-y)^2 d\mu(x) $$
sera bien strictement sup\'erieur au carr\'e de la norme de $p$ pour
tout autre polyn\^ome si $p$ est orthogonal \`a $\mathscr{P}_{n-1}$ par
rapport \`a la mesure $(x-y)d\mu(x)$, donc si $p(x)=$ constante $K_n(x,y)$,
ce qui donne bien $p(x)=K_n(x,y)/K_n(y,y)$. \qed

\medskip
\noindent
On appelle {\bf fonction de Christoffel\/} associ\'ee \`a la mesure
$d\mu$ la fonction $\lambda_n(x)=1/K_{n-1}(x,x)$. Les constantes de
Christoffel apparaissant dans la formule de quadrature de Gauss sont
les valeurs de $\lambda_n$ aux z\'eros de $\Phi_n$.


\bigskip

{\Small

\noindent\textbf{Exercice.} \textsl{Soit $w$ une fonction positive et
continue
sur $(a,b)$, et $\{\Phi_n(.,\beta)\}$ les polyn\^omes orthogonaux par
rapport \`a la restriction de $w$ sur $(a,\beta)$, avec $a<\beta\leqslant b$.
Alors, chaque z\'ero $x_i(\beta)$ de $\Phi_n(.,\beta)$ est une fonction croissante
de $\beta$}.

En effet\footnote{Lemme~2 de D.K.~Dimitrov: On a conjecture concerning
monotonicity of zeros of ultraspherical polynomials, \textsl{J.~Approx.
Theory}, \textbf{85} (1996) 88-97.},on a
$\displaystyle{ \int_a^\beta \dfrac{\Phi_n^2(x,\beta)}{x-x_i(\beta)}\,
      w(x)\,dx =0, }$. D\'erivons en $\beta$: \\
$\displaystyle{ \int_a^\beta \dfrac{2\Phi_n(x,\beta)
          \dfrac{\partial\Phi_n(x,\beta)}{\partial\beta}}{x-x_i(\beta)}\,
      w(x)\,dx
    +\dfrac{dx_i(\beta)}{d\beta}
     \int_a^\beta \dfrac{\Phi_n^2(x,\beta)}{(x-x_i(\beta))^2}\,
      w(x)\,dx
    + \dfrac{\Phi_n^2(\beta,\beta)}{\beta-x_i(\beta)}\,w(\beta) =0 }$. \\
Comme $\displaystyle{\Phi_n(x)= \prod_1^n (x-x_k)  }$,
 $\displaystyle{\dfrac{\partial\Phi_n(x)}{\partial\beta}=
  -\Phi_n(x)\sum_1^n x'_k(x-x_k)^{-1}  }$, la premi\`ere
int\'egrale se limite \`a  \\
 $\displaystyle{   -2\dfrac{dx_i(\beta)}{d\beta}
     \int_a^\beta \dfrac{\Phi_n^2(x,\beta)}{(x-x_i(\beta))^2}\,
      w(x)\,dx  }$, et il reste
$\displaystyle{   \dfrac{dx_i(\beta)}{d\beta}  =
  \dfrac{  \dfrac{\Phi_n^2(\beta,\beta)}{\beta-x_i(\beta)}\, w(\beta)}
         {\displaystyle{\int_a^\beta
    \dfrac{\Phi_n^2(x,\beta)}{(x-x_i(\beta))^2}\, w(x)\,dx
        } } }$.

} %end Small



\subsection{Intervalles non born\'es, probl\`eme des moments.} \   \\


{\Small
 Cf. N.I.~Akhiezer, \textsl{The Classical Moment Problem
and some related Questions in Analysis}, Hafner, N.Y. 1965;
P.~Deift, \textsl{Orthogonal Polynomials: a Riemann-Hilbert
Approach}, Courant Institute \& Amer. Math. Soc., 1999,2000,
\S~2.4:
           \index{moments, probl\`eme des}
on dit que $d\mu$ correspond \`a un probl\`eme
des moments d\'etermin\'e si la suite num\'erique $\{\mu_k\}_{k=0}^\infty$
des moments suffit \`a d\'eterminer $\mu$, c'est-\`a-dire que les seules
fonctions croissantes born\'ees $\nu$ v\'erifiant
 $$ \int_{\mathbb{R}} x^k \,d\nu(x) = \mu_k,\qquad k=0,1,\ldots $$
sont $\nu(x)=\mu(x)+$ constante, \`a une infinit\'e d\'enombrable de points
de discontinuit\'e pr\`es.

La famille de mesures $\{\mu\}$ admettant une suite donn\'ee de
moments admet aussi la m\^eme suite de polyn\^omes orthogonaux $\{\Phi_n\}$, et
donc aussi les m\^emes coefficients de r\'ecurrence $\{\alpha_n,
\beta_n\}$, et encore les m\^emes noeuds $x_k$ et poids $H_k$ des
formules d'int\'egration de Gauss pour tous les degr\'es.

Relations entre convergence, totalit\'e de la suite $\{\Phi_n\}$ et
probl\`eme des moments:

\begin{enumerate}
 \item L'erreur de formule de Gauss peut s\'ecrire \\
  $\displaystyle{ \int_{\mathbb{R}} f(t)\;d\mu(t)-
     \sum_1^n H_k f(x_k) =
                  \int_{\mathbb{R}} [f(t)-p_{\text{interp}}(t)]\;d\mu(t)}$,\\
   o\`u $p_{\text{interp}}$ interpole $f$ aux points $x_k$. On s'attend
   \`a ce que le membre de droite soit petit si les polyn\^omes forment
  une partie dense de $L^2_{d\mu}$; d'autre part, $\sum H_k f(x_k)$
  ``ne sait pas'' vers quoi elle doit converger si plusieurs mesures
   $\mu$ peuvent figurer dans le membre de gauche. Tout ceci donne
  des id\'ees, mais encore rien de rigoureux.
 \item D'ailleurs, on peut utiliser la formule de Gauss pour estimer
  $\mu$, en int\'egrant une fonction \'echelon: \\
  $\displaystyle{  \sum_{x_k < x^*} H_k \approx_{?} \int_{-\infty}^{x^*}
     d\mu(t) = \mu(x^*)-\mu(-\infty) }$. \\
  Une approximation plus lisse s'obtient en prenant la partie imaginaire
  d'un logarithme\footnote{L'\'egalit\'e de  la limite
   $y^* \to 0$ est la formule de Stieltjes-Perron.}: \\
  $\displaystyle{
      \mu(x^*)-\mu(-\infty) = \lim_{ \substack{ y^*\to 0\\ y^*>0}}
       \dfrac{-1}{\pi} \text{Im}\,\int_{\mathbb{R}}
         \text{Log}\,(t-z)\,d\mu(t) \approx_{?}
        \dfrac{-1}{\pi} \text{Im}\,\sum  H_k\text{Log}\,(x_k-z) }$, \\
  o\`u $z=x^* +iy^*$, et o\`u Log est la d\'etermination principale du logarithme
  (Im(Log$\,x)=0$ si $x>0$).
 \item Ceci nous am\`ene (d\'erivation en $x^*$) \`a regarder de
  plus pr\`es la formule de Gauss appliqu\'ee \`a l'int\'egration
  de $(z-t)^{-1}$, pour $z$ non r\'eel donn\'e:    \\
  $\displaystyle{  F_n(z) := \sum_1^n \dfrac{H_k}{z-x_k}
    = \dfrac{\psi_n(z)}{\varphi_n(z)} \approx_{?}
  F(z) := \int_{\mathbb{R}} \dfrac{d\mu(t)}{z-t}  }$, \\
  d'apr\`es des formules vues \`a la section \S~\ref{Gaussfrac},
 p.~\pageref{Gaussfrac}.
\end{enumerate}

\noindent
Les coefficients $c_k(z)$ du d\'eveloppement de $(z-t)^{-1}$ v\'erifient
au moins l'in\'egalit\'e de Bessel $\sum_0^\infty |c_k(z)|^2 \leqslant
 \int_{\mathbb{R}} |z-t|^{-2}\,d\mu(t) $, et on peut distinguer ce
qui d\'epend de $F(z)$, qui est inconnu,  et ce qui ne d\'epend que de
 la suite connue des
moments, donc des suites $\{\varphi_n\}$ et $\{\psi_n\}$:
$\displaystyle{ c_k(z) = \int_{\mathbb{R}}
 \dfrac{\varphi_k(t)}{z-t}\;d\mu(t) }$
v\'erifie la m\^eme r\'ecurrence
$\beta_{k+1}c_{k+1}(z) =(z-\alpha_k)c_k(z)-\beta_k c_{k-1}(z)$
que $\varphi_k$ \`a partir de $k=1$. En tenant compte de
$\beta_1 c_1(z)=(z-\alpha_0)c_0(z)-\sqrt{\mu_0}$, on trouve
$c_k(z)=F(z)\varphi_k(z)-\psi_k(z)$, et reprenons Bessel:
\begin{equation} \label{besseldisk}
 \sum_{k=0}^\infty
       |F(z)\varphi_k(z)-\psi_k(z)|^2 \leqslant \int_{\mathbb{R}}
  \dfrac{d\mu(t)}{(z-t)(\overline{z}-t)} = \dfrac{F(z)-\overline{F(z)}}
                 {z-\overline{z}} ,
\end{equation}
ce qui est une relation de la forme $(F(z)-C(z))(\overline{F(z)}-\overline{C(z)})
\leqslant R^2(z)$ pour le nombre complexe $F(z)$ qui doit donc
\^etre contenu dans un \emph{\textbf{disque}} $D(z)$ parfaitement
calculable (bien qu'un peu compliqu\'e\dots) \`a partir de la suite
des moments et de ce qui en d\'epend.


\smallskip
Voici une premi\`ere proposition rigoureuse: \textsl{Si les polyn\^omes
forment une partie dense de $L^2_{d\mu}$, $F(z)$ est situ\'e sur
la \textbf{fronti\`ere} du disque $D(z)$, pour tout $z$ non r\'eel}.
En effet, l'in\'egalit\'e de Bessel devient l'\'egalit\'e de
Parseval.\qed

On d\'emontre aussi la \emph{\textbf{r\'eciproque}}: \textsl{si
$F(z)$ se trouve sur la fronti\`ere de $D(z)$ pour un $z$ non
r\'eel, il en est ainsi pour tous les $z$ non r\'eels, et les
polyn\^omes forment une partie dense de $L^2_{d\mu}$}. La
d\'emonstration \'etablit le caract\`ere essentiellement
autoadjoint de l'op\'erateur $\boldsymbol{T}$ limite des op\'erateurs
$\boldsymbol{T}_n$ vus en \eqref{tridiag}, et on examine
la repr\'esentation spectrale de l'op\'erateur r\'esolvant
$(z\boldsymbol{I}-\boldsymbol{T})^{-1}$.

\smallskip

Tout se simplifie si le disque $D(z)$ est r\'eduit \`a un point
(cas \emph{\textbf{d\'etermin\'e}} du probl\`eme des moments).
C'est certainement le cas si $\sum_0^\infty
|\varphi_k(z)|^2=\infty$: en effet, si on remplace $F$ par $G\neq
F$ dans \eqref{besseldisk}, le membre de gauche est le carr\'e de
$\|G\boldsymbol{\Phi}-\boldsymbol{\Psi}\| \geqslant |G-F|\;
\|\boldsymbol{\Phi}\| -\|F\boldsymbol{\Phi}-\boldsymbol{\Psi}\|
=\infty$ ne peut plus \^etre dans n'importe quel disque born\'e.

Des conditions suffisantes assurant que $d\mu$ correspond \`a un probl\`eme
des moments d\'etermin\'e sont:
$$ \exists \beta>0: \int_{-\infty}^\infty e^{\beta|x|} d\mu(x) <\infty;\qquad
 \sum_{n=1}^\infty (\mu_{2n})^{-1/(2n)} =\infty \text{\ (Carleman).} $$

La suite de polyn\^omes de Laguerre
$\{L_n^\alpha\}$ est donc totale dans $L^2_{d\mu}$ pour $\mu:
 \mu(x)=0 \text{ si } x\leqslant 0; \mu(x)=\int_0^x t^\alpha e^{-t} dt
 \text{ si } x\geqslant 0$.   ($\alpha > -1$).     \\
La suite de polyn\^omes d'Hermite
$\{H_n\}$ est donc totale dans $L^2_{d\mu}$ pour $\mu:
  \mu(x)=\int_{-\infty}^x  e^{-t^2} dt $.


} %end Small

\subsection{\label{bernsttyp}Arcs de B\'ezier en typographie informatique}  {\  }  \\

{\Small
 Un \emph{\textbf{arc de B\'ezier}}\footnote{Pierre
B\'ezier,
 (1910-1999), a d\'evelopp\'e la g\'en\'eration
num\'erique de courbes et de surfaces chez le constructeur
automobile R\dots Paul de Casteljau, lui, travaillait chez
Citro\"en (Un inconnu c\'el\`ebre, Pierre B\'ezier,
\textsl{Science \& Vie Micro} $\text{n}^\circ~69$, f\'ev.~1990
[documentation aimablement communiqu\'ee par D.~Grolaux]).   } est
d\'ecrit par deux polyn\^omes de Bernstein     \index{Bezier}
\begin{equation*} \begin{split}
    x &= x(t) = \sum_{k=0}^n \xi_k \binom{n}{k} t^k (1-t)^{n-k}, \\
    y &= y(t) = \sum_{k=0}^n \eta_k \binom{n}{k} t^k (1-t)^{n-k}.
\end{split}\end{equation*}
Les $n+1$ points $(\xi_k, \eta_k)$ sont appel\'es \emph{points de
contr\^ole} de l'arc.

\enlargethispage{44pt}

Le programme {\metaf METAFONT} de D.E.~Knuth (cf.
\href{http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/}
{\texttt{http://www-cs-faculty.stanford.edu/\~{}knuth/}} \  voir aussi
\href{http://www.loria.fr/tex/fontes.html}
{\texttt{http://www.loria.fr/tex/fontes.html}}).
d\'ecrit un caract\`ere comme une armature form\'ee d'arcs de
B\'ezier de degr\'e 3 (splines sous tension) parcourue par
un pinceau, plume, feutre ou autre calame

%  \epsfxsize=477bp \epsfbox[ 1 -40 478 245]{kinchf.ps}

%\vspace*{-45pt}

%  \epsfxsize=477bp \epsfbox[ 1 40 478 245]{kinchf.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=0.8]{kinchf.ps}

\bigskip \bigskip


\medskip

\parpic{
%  \epsfxsize=50bp \epsfbox[ 0 460 150 710]{trtypar.ps}
\    \\    \   \\   \   \\   \   \\
\includegraphics[angle=0, scale=0.15]{trtypar.ps}
}
Ci-dessus, figures extraites de R.J.~Kinch, MetaFog: converting {\metaf METAFONT}
shapes to contours, \textsl{TUGboat} \textbf{16} (1995) 233-243\footnote{Un
grand merci \`a M. Pierre Bulens qui a communiqu\'e cette documentation.},
voir aussi
\href{http://idt.net/~kinch/}{\texttt{http://idt.net/\~{}kinch/}}
  (\`a droite: le R de \texttt{cmr10}).  \\   \    \\
  Les polices \texttt{truetype} sont form\'ees de contours
contenant des segments rectilignes et des arcs de B\'ezier
de degr\'e 2 (arcs paraboliques). A gauche: une lettre b monotype
arial.  ( \href{http://www.truetype.demon.co.uk/ttoutln.htm}
 {\texttt{http://www.truetype.demon.co.uk/ttoutln.htm}}) \\
Dans les polices \texttt{postscript}, les arcs de B\'ezier sont de
degr\'e 3. Ainsi, la lettre U de Courier (\`a gauche) contient 8 arcs de
B\'ezier\\

\parpic{
\psset{unit=0.25bp}
\begin{pspicture}(572,580)
  \psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](0,0)(572,0)(572,580)(0,580)(0,0)
  \psline[linewidth=5.77](143,251)(143,533)(245,533)(245,580)(0,580)(0,533)(72,533)(72,251)
  \psline[linewidth=5.77](450,241)(450,533)(348,533)(348,580)(572,580)(572,533)(500,533)(500,251)
  \psbezier[linewidth=5.77](72,251)(72,209)(72,127)(116,78)
  \psline(72,251)(72,209)(72,127)(116,78)
  \psbezier[linewidth=5.77](116,78)(161,14)(248,0)(295,0)
  \psline(116,78)(161,14)(248,0)(295,0)
  \psbezier[linewidth=5.77](295,0)(384,0)(442,42)(464,73)
  \psline(295,0)(384,0)(442,42)(464,73)
  \psbezier[linewidth=5.77](464,73)(485,102)(500,141)(500,241)
  \psline(464,73)(485,102)(500,141)(500,241)
  \psbezier[linewidth=5.77](450,241)(450,196)(450,149)(430,113)
  \psline(450,241)(450,196)(450,149)(430,113)
  \psbezier[linewidth=5.77](430,113)(411,76)(372,50)(296,50)
  \psline(430,113)(411,76)(372,50)(296,50)
  \psbezier[linewidth=5.77](296,50)(219,50)(181,81)(162,121)
  \psline(296,50)(219,50)(181,81)(162,121)
  \psbezier[linewidth=5.77](162,121)(143,160)(143,210)(143,251)
  \psline(162,121)(143,160)(143,210)(143,251)
  \end{pspicture}
}
\texttt{
%\begin{verbatim}
     newpath 0 580  moveto 0 533 lineto  72 533 lineto    \\
     72 251 lineto                                        \\
     72 209  72 127  116  78  curveto                     \\
    161  14 248   0  295   0  curveto                     \\
    384   0 442  42  464  73  curveto                     \\
    485 102 500 141  500 241 curveto                      \\
    500 533 lineto 572 533 lineto 572 580 lineto          \\
    348 580 lineto 348 533 lineto 450 533 lineto          \\
    450 241 lineto                                        \\
    450 196 450 149  430 113  curveto                     \\
    411  76 372  50  296  50  curveto                     \\
    219  50 181  81  162 121  curveto                     \\
    143 160 143 210  143 251  curveto                     \\
    143 533 lineto  245 533 lineto  245 580 lineto        \\
    closepath
    }
%\end{verbatim}

%\vspace{200bp} % bp= point postscript
%\hspace{200bp}
% \special{"
%    gsave  0.1 setlinewidth   50 0 translate 0.33333 0.333333 scale
%    gsave [10] 0 setdash
%    newpath 100 0 moveto 672 0 lineto 672 580 lineto 100 580 lineto
%     closepath   stroke  grestore
%     172 251 moveto 172 209 lineto  172 127 lineto 216 78 lineto stroke
%     216 78 moveto 261 14 lineto 348 0   lineto 395 0  lineto stroke
%     395 0  moveto 484  0 lineto 542 42  lineto 564 73 lineto stroke
%     564 73 moveto 585 102 lineto 600 141 lineto 600 241 lineto stroke
%      grestore
%    gsave 1.5 setlinewidth
%     0.33333 0.33333 scale  250 0 translate
%     newpath 0 580  moveto 0 533 lineto  72 533 lineto
%     72 251 lineto
%     72 209  72 127  116  78  curveto
%    161  14 248   0  295   0  curveto
%    384   0 442  42  464  73  curveto
%    485 102 500 141  500 241 curveto
%    500 533 lineto 572 533 lineto 572 580 lineto
%    348 580 lineto 348 533 lineto 450 533 lineto
%    450 241 lineto
%    450 196 450 149  430 113  curveto
%    411  76 372  50  296  50  curveto
%    219  50 181  81  162 121  curveto
%    143 160 143 210  143 251  curveto
%    143 533 lineto  245 533 lineto  245 580 lineto
%    closepath
%     stroke grestore
%          }


%\vspace*{-12pt}

Ce caract\`ere est inscrit dans un rectangle de 572$\times$580
unit\'es. '$x y$ \texttt{moveto}' signifie: placer le point courant
en $(x,y)$, '$x y$ \texttt{lineto}': tracer le segment rectiligne
  jusque $(x,y)$,
  '$x_2 y_2 x_3 y_3 x_4 y_4$ \texttt{curveto}': tracer l'arc de
 B\'ezier de degr\'e 3 partant du point courant \`a $(x_4,y_4)$, avec
 $(x_2,y_2)$ et $(x_3,y_3)$ comme points de contr\^ole interm\'ediaires.

\newrgbcolor{lgr}{0.459 0.667 0.859 }   % pantone 285
\newrgbcolor{bgr}{0.000 0.157 0.408 }   % pantone 282
\newrgbcolor{blgr}{0.000 0.157 0.408 }   % pantone 282
\index{Frutiger}
L'{\blgr\frutibla UCL} a adopt\'e pour ses communications officielles\footnote{
\href{http://eibr.adfi.ucl.ac.be/adobe/fi.frutiger.html}
{\texttt{http://eibr.adfi.ucl.ac.be/adobe/fi.frutiger.html}}}
la police {\blgr\frutibla Frutiger} dont voici un \'echantillon


 {\bgr\frutibl Frutiger-Black:}\hspace*{232pt}     \index{Frutiger}
\bigskip
%\enlargethispage{33pt}

\psset{unit=0.2bp}
 \begin{pspicture}(-55,0)(722,777)
   \psline(0,0)(722,0)(722,777)(0,777)(0,0)
   \uput[0](-80,350){\frutibll\lgr UCL}
   \psline[linewidth=1]{*-*}(612,265)(612,698)(426,698)(426,296)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(426,296)(426,204)(401,126)(306,126)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(306,126)(211,126)(186,204)(186,296)
   \psline[linewidth=1]{*-*}(186,296)(186,698)(0,698)(0,265)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(0,265)(0,74)(124,-12)(306,-12)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(306,-12)(488,-12)(612,74)(612,265)
%  \uput[0](-45,350){$*$}
  % \pscurve[linewidth=0.06]%
  \psdots[dotsize=9.15,dotstyle=o](426,204)(401,126)(211,126)(186,204)%
    (0,74)(124,-12)(306,-12)(488,-12)(612,74)
 \end{pspicture}
 \begin{pspicture}(40,0)(667,777)
   \psline(0,0)(667,0)(667,777)(0,777)(0,0)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(599,162)(548,142)(486,126)(425,126)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(425,126)(289,126)(192,209)(192,346)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(192,346)(192,476)(278,572)(410,572)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(410,572)(474,572)(532,556)(592,523)
   \psline[linewidth=1]{-}(592,523)(607,674)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(607,674)(540,694)(471,710)(400,710)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(400,710)(170,710)(0,589)(0,346)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(0,346)(0,82)(215,-12)(401,-12)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(401,-12)(496,-12)(555,3)(608,16)
   \psline[linewidth=1]{-}(608,16)(599,162)
%  \uput[0](-45,350){$*$}
  % \pscurve[linewidth=0.06]%
  \psdots[dotsize=9.15,dotstyle=o](548,142)(486,126)(289,126)(192,209)%
    (192,476)(278,572)(474,572)(532,556)(540,694)(471,710)(170,710)(0,589)%
    (0,82)(215,-12)(496,-12)(555,3)
 \end{pspicture}
 \begin{pspicture}(-12,0)(556,777)
   \psline(0,0)(556,0)(556,777)(0,777)(0,0)
   \psline[linewidth=3]{*-*}(0,0)(474,0)(474,138)(186,138)(186,698)%
                            (0,698)(0,0)
 \end{pspicture}

 Les contours sont:     \enlargethispage{22pt}

\begin{verbatim}
U:                                     C:
   612 698  moveto                        599 162  moveto
   426 698  lineto                        548 142  486 126  425 126 curveto
   426 296  lineto                        289 126  192 209  192 346 curveto
   426 204  401 126  306 126 curveto      192 476  278 572  410 572 curveto
   211 126  186 204  186 296 curveto      474 572  532 556  592 523 curveto
   186 698  lineto                        607 674  lineto
     0 698  lineto                        540 694  471 710  400 710 curveto
     0 265  lineto                        170 710    0 589    0 346 curveto
     0  74  124 -12  306 -12 curveto        0  82  215 -12  401 -12 curveto
   488 -12  612  74  612 265 curveto      496 -12  555   3  608  16 curveto
   closepath                              closepath

L:       0   0  moveto           474 138  lineto
       474   0  lineto           186 138  lineto
   186 698  lineto                 0 698  lineto      closepath
\end{verbatim}

\enlargethispage{44pt}

%\smallskip

Sur les B-splines et les NURBS (Non Uniform Rational B-Splines),
voir             \index{B-splines}  \index{NURBS}
   \textsl{An Interactive Introduction to Splines}
  \href{http://www.ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm}
   {\texttt{http://www.ibiblio.org/e-notes/Splines/Intro.htm}}

Voir aussi la belle page de Luc Devroye
\href{http://cgm.cs.mcgill.ca/~luc/bezier.html}
{\texttt{http://cgm.cs.mcgill.ca/\~{}luc/bezier.html}}

}  %end Small


\input m2171l3
