
\chapter{Interpolation et applications.}
\renewcommand{\mylmark}{Interpolation et applications}
\thispagestyle{fancy}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Interpolation, int\'egration.}
\end{center}

\bigskip

\section{Interpolation.}


\bigskip

\begin{flushright} {\Small \emph{
     \textbf{Interpoler: } Introduire dans un ouvrage des
   passages qui ne sont pas dans l'original. \\
      \emph{Math.}  Assigner \`a une quantit\'e une valeur
   interm\'ediaire entre deux valeurs \\
                 directement calcul\'ees ou observ\'ees.\\
               \ Larousse.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}
\end{flushright}

\bigskip

\emph{\textbf{Interpoler}} une fonction $f$ consiste \`a ``faire passer''
le graphe
d'une fonction $p$ appartenant \`a un espace $V$ de dimension finie
par des  points $(x_i, f(x_i))$ donn\'es en nombre \'egal
\`a la dimension de $V$. L'estimation de
la qualit\'e de l'approximation de $f$ par $p$ est enti\`erement
concentr\'ee aux points $x_i$, on n'a besoin de ne rien savoir
d'autre que les valeurs $f(x_i)$ pour d\'eterminer $p$.
\bigskip
Il peut sembler curieux de voir appara\^\i tre si tard le th\`eme de
l'interpolation dans ce cours d'analyse num\'erique, alors que
l'interpolation est le plus vieux proc\'ed\'e num\'erique connu
(nombreux t\'emoignages remontant \`a la plus haute antiquit\'e).
Bien s\^ur, l'interpolation reste l'outil classique par excellence,
mais les progr\`es de l'analyse num\'erique ont subordonn\'e cet outil
\`a d'autres objectifs (approximation, lissage, filtrage, etc.)

A partir du moment o\`u on n'est plus tenu de g\'erer des tables rigides
(cadre de l'\'epure oblig\'e jusqu'au \dots
$20^{\text{\`eme}}$ si\`ecle bien avanc\'e), et faute d'\^etre
submerg\'e par le nombre de degr\'es de libert\'e devenus disponibles:
o\`u interpoler, quels points utiliser, il a fallu domestiquer cette
abondance de moyens en pr\'eparant la voie par d'autres techniques.

Ainsi, on a rencontr\'e des effets d'interpolation non sollicit\'es De par les propri\'et\'es d'oscillation qui la caract\'erise,
la meilleure approximation polynomiale de degr\'e $\leqslant n$ au sens de
Tchebycheff interpole la
fonction \`a approcher en au moins $n+1$ points.

\begin{enumerate}

\setcounter{enumi}{1}
\item Les meilleures approximations au sens de la norme $\|\ \|_1$
se caract\'erisent par des conditions d'interpolation tr\`es explicites,
(voir \S~\ref{norme1}, p.~\pageref{norme1}).

\setcounter{enumi}{2}
\item Par orthogonalit\'e, on a vu que les erreurs de meilleures
approximations dans des espaces pr\'ehilbertiens doivent changer de signe
un nombre convenable de fois: l'approximation a donc des propri\'et\'es
d'interpolation.

\smallskip

{\Small
D\'eveloppons ce dernier cas, et montrons comment on passe de l'approximation
en moyenne \`a l'interpolation proprement dite:

On dispose de fonctions ind\'ependantes $\varphi_0$,\dots, $\varphi_n$,
et voyons si on peut trouver une combinaison $\sum_{k=0}^n a_k\varphi_k$
prenant des valeurs donn\'ees $y_0$,\dots, $y_n$ en des points
$x_0$,\dots, $x_n$ donn\'es. R\'eponse: orthogonaliser les fonctions
$\varphi_0$,\dots, $\varphi_n$ en $\Phi_0$,\dots, $\Phi_n$ selon un
produit scalaire discret $(f,g)= \sum_{j=0}^n w_j f(x_j)
{\overline{g(x_j)}}$ et
construire les approximations successives $S_i=
\sum_{k=0}^i c_k\Phi_k$, avec $c_k= (y,\Phi_k)/\|\Phi_k\|^2$.
Les $S_i$ sont des approximations au sens des moindres carr\'es de
$y$ et on peut se contenter de $i<n$. Cependant, $S_n$ interpole $y$
en les $n+1$ points  $x_0$,\dots, $x_n$: $\|y-S_n\|$ doit \^etre le
plus petit possible et est nul si $S_n$ interpole $y$. Encore faut-il
v\'erifier que l'on peut interpoler n'importe quel ensemble de $n+1$
donn\'ees par une combinaison de $\varphi_0$,\dots, $\varphi_n$.
}

La fonction \texttt{matlab polyfit(x,y,n)} donne l'interpolant polynomial
aux points $(x_i,y_i)$ si $n+1=$ le nombre de ces points.
\end{enumerate}
\bigskip

\medskip

\subsection{Interpolation polynomiale classique} {\ } \\

L'interpolation traditionnelle de $f$ dans $[a,b]$ consiste \`a y approcher
$f$ par la fonction du premier degr\'e $\alpha x+\beta$ prenant les valeurs
$f(a)$ en $a$ et $f(b)$ en $b$. Probl\`eme \'el\'ementaire r\'esolu par
\begin{equation} \label{interpelem}
 p(x) = \frac{[f(b)-f(a)]x +bf(a)-af(b)}{b-a} = f(a)\frac{b-x}{b-a}
   +f(b)\frac{x-a}{b-a} = f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\;(x-a) .
\end{equation}
On rem\'edie \`a la performance souvent m\'ediocre de cet interpolant,
soit en r\'eduisant l'intervalle $[a,b]$ et en reprenant  l'interpolation
soit en augmentant le degr\'e de $p$, soit encore en modifiant les
conditions d'interpolation. Ainsi, dans la figure ci-dessous, on a
d'abord interpol\'e lin\'eairement entre deux points cons\'ecutifs, puis
interpol\'e par du second degr\'e en \emph{trois} valeurs cons\'ecutives,
enfin par des polyn\^omes du troisi\`eme degr\'e entre deux points
cons\'ecutifs, mais en s'arrangeant pour avoir une d\'eriv\'ee
continue (interpolation au sens d'Hermite).

\medskip



\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(1,0)(17,5)
 \psline{->}(0,0)(5,0)  \uput[90](5.0,0.0){$x$}
 \psline{->}(0,0)(0,4.5) \uput[0](0.0,4.5){$y$}
 \psline{->}(6,0)(11,0)  \uput[90](11.0,0.0){$x$}
 \psline{->}(6,0)(6,4.5) \uput[0](6.0,4.5){$y$}
 \psline{->}(12,0)(17,0)  \uput[90](17.0,0.0){$x$}
 \psline{->}(12,0)(12,4.5) \uput[0](12.0,4.5){$y$}

 \psline[linewidth=0.3mm](0.5,1)(2,4)(3,4)(4,5)(5.5,1)
 \psdots[dotstyle=square*](0.5,1)(2,4)(3,4)(4,5)(5.5,1)

 \psdots[dotstyle=square*](6.5,1)(8,4)(9,4)(10,5)(11.5,1)
 \pscurve[linewidth=0.3mm](6.5,1)(8,4)(9,4)
 \pscurve[linewidth=0.3mm](9,4)(10,5)(11.5,1)

 \psdots[dotstyle=square*](12.5,1)(14,4)(15,4)(16,5)(17.5,1)
 \pscurve[linewidth=0.3mm](12.5,1)(14,4)(15,4)(16,5)(17.5,1)
%\put(2.5,0){\line(1,0){0.5}}
%\psline{->}(8,3)(15,3)  \uput[90](14.9,3.2){$x$}
%\psline{->}(11,0)(11,6)  \uput[0](11.2,5.8){$y$}
%\psline(9.5,1.5)(12.5,1.5)(12.5,4.5)(9.5,4.5)(9.5,1.5)
 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](0.5,0)(0.5,1)
 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](2,0)(2,4)
 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](6.5,0)(6.5,1)
 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](9,0)(9,4)
 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](12.5,0)(12.5,1)
 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](14,0)(14,4)
%\psset{linewidth=0.075}
%\psccurve[linecolor=red](6,5.5)(6,5.75)(5.75,6)(5.5,6)(5,6)(2,4)(0,1)(0,0.5)(0,0.25)(0.25,0)(0.5,0)(1,0)(4,2)(6,5)
\end{pspicture}
\vspace*{-28pt}
\noindent$\hspace*{-166mm}\underbrace{\hspace*{1.5cm}}
          \hspace*{44mm}\underbrace{\hspace*{2.5cm}}
          \hspace*{34mm}\underbrace{\underbrace{\hspace*{1.5cm}}}$

\vspace*{1cm}

D\'eterminons
 $p\in\mathscr{P}_n$, en supposant $f$ disponible aux points $x_0$,\ldots, $x_n$
\emph{distincts}:
\begin{equation} \label{probinterpclas}
   p(x_i) = \alpha x_i^n + \alpha' x_i^{n-1} +\dotsb + \alpha^{(n)} = f(x_i),
   \qquad i=0,1,\dotsc,n
\end{equation}
ce qui repr\'esente $n+1$ \'equations lin\'eaires pour les $n+1$ coefficients
$\alpha, \alpha',\dotsc, \alpha^{(n)}$ de $p\in\mathscr{P}_n$. La solubilit\'e
de ce syst\`eme d'\'equations s'\'etablit en principe par l'\'etude de son
d\'eterminant $\displaystyle{\begin{vmatrix} x_0^n & x_0^{n-1} & \dots & x_0 & 1\\
                                             x_1^n & x_1^{n-1} & \dots & x_1 & 1\\
                                             \dots &\dots    & \dots &\dots&\dots\\
                                             x_n^n & x_n^{n-1} & \dots & x_n & 1
                             \end{vmatrix} }$,
ce qui peut d'ailleurs \^etre fait: il s'agit du \emph{\textbf{d\'eterminant de
Vandermonde}} qui vaut $\displaystyle{\prod_{i=0}^{n-1} \prod_{j=i+1}^n (x_i-x_j)}$,
effectivement non nul d\`es que les $x_i$ sont distincts.

Il est beaucoup plus \'el\'egant et rapide de raisonner comme suit: le
d\'eterminant du syst\`eme d'\'equations $\{p(x_i)=f(x_i)\}, i=0,\dotsc,n$ est non nul
si et seulement si le polyn\^ome nul de $\mathscr{P}_n$ est le \emph{seul}
\`a v\'erifier les \'equations homog\`enes: $p(x_0)= p(x_1)= \ldots = p(x_n)=0$
n'est possible que si $p$ a $n+1$ z\'eros distincts $\Rightarrow p$ est de
degr\'e $> n$ ou doit \^etre le polyn\^ome nul. On n'a m\^eme pas d\^u
consid\'erer le d\'etail des \'equations de \eqref{probinterpclas}.

\smallskip

Les formulations usuelles de la solution du probl\`eme d'interpolation
classique \'evitent \'egalement l'\'ecriture trop rigide de \eqref{probinterpclas}.
On adoptera en fait des bases de $\mathscr{P}_n$ automatiquement bien
adapt\'ees au probl\`eme.

\smallskip
\noindent\textbf{Formulation de Lagrange.}
   \index{Lagrange}
R\'esolvons le probl\`eme d'interpolation particulier suivant: soit
$\ell_j$ le polyn\^ome de $\mathscr{P}_n$ qui s'annule en tous les $x_i$ sauf
$x_j$, o\`u il vaut 1: $\ell_j(x_i) =\delta_{i,j}$, $i=0,1,\dotsc,n$. Comme
$\ell_j$ doit s'annuler en $x_0, x_1,\dotsc, x_{j-1}, x_{j+1},\dotsc, x_n$,
il doit admettre la factorisation
$\ell_j(x) = K (x-x_0) (x-x_1) \dots (x-x_{j-1}) (x-x_{j+1})\dots (x-x_n)$,
o\`u $K$ est une constante puisque la factorisation contient d\'ej\`a $n$
facteurs du premier degr\'e. Cette constante est telle que $\ell_j(x_j)=1$,
ce qui d\'etermine enti\`erement le polyn\^ome $\ell_j\in\mathscr{P}_n$:
\begin{equation} \label{ellj}
   \ell_j(x) = \prod_{0\leqslant k\leqslant n, k\neq j}
                       \frac{x-x_k}{x_j-x_k}   \,.
\end{equation}

Graphe de $\ell_2$:

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2,0)(15,5)
 \psline{->}(3,1)(13,1)  \uput[90](13.0,1.0){$x$}
 \psline{->}(3,1)(3,4.5) \uput[0](3.0,4.5){$y$}

 \pscurve[linewidth=0.3mm](4,1)(5,0)(6,1)(8,5)(9,4)(11,1)
 \psdots[dotstyle=square*](4,1)(6,1)(9,4)(11,1)

 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](9,1)(9,4)
 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](3,4)(9,4)

 \uput[180](3,4){1}
 \uput[270](4,1){$x_0$}
 \uput[270](6,1){$x_1$}
 \uput[270](9,1){$x_2$}
 \uput[270](11,1){$x_3$}
%\psset{linewidth=0.075}
%\psccurve[linecolor=red](6,5.5)(6,5.75)(5.75,6)(5.5,6)(5,6)(2,4)(0,1)(0,0.5)(0,0.25)(0.25,0)(0.5,0)(1,0)(4,2)(6,5)
\end{pspicture}

\vspace*{1cm}


La solution du probl\`eme d'interpolation dans $\mathscr{P}_n$ est alors
\begin{equation} \label{interplagrange}
       p = \sum_{i=0}^n f(x_i)\; \ell_i\,.
\end{equation}
En effet, $p\in\mathscr{P}_n$ puisque $p$ est une combinaison lin\'eaire des
$\ell_i$; $p(x_j) = \sum_i f(x_i)\ell_i(x_j) =
                    \sum_i f(x_i)\delta_{i,j} = f(x_j)$.

\smallskip

Le grand avantage de la forme \eqref{interplagrange} est de mettre en
\'evidence le r\^ole des valeurs de $f$. On voit par exemple que l'interpolant
est le r\'esultat d'une projection lin\'eaire sur $\mathscr{P}_n$.

\smallskip
{\Small \emph{\textbf{Exercice}}: v\'erifier $p(x)\equiv
      \displaystyle{\sum_{i=0}^n p(x_i)\ell_i(x)\;,}\forall p\in\mathscr{P}_n$
pour de faibles valeurs de $n$.}

\smallskip

\textbf{Exercice:} Montrez que le coefficient de $x^n$ de l'interpolant
de degr\'e $\leqslant n$ de $f$ en $x_0, x_1,\dotsc, x_n$ distincts est la
valeur de la forme lin\'eaire
\begin{equation} \label{coefflagrangexn}
      a_{n,\text{interp}_n}(f) = \sum_{i=0}^n \frac{f(x_i)}
          {\displaystyle{
     \prod_{\substack{0\leqslant k\leqslant n \\ k\neq i}} (x_i-x_k)} }
\end{equation}
En particulier, \eqref{coefflagrangexn} donne donc le coefficient de $x^n$
d'un \'el\'ement de $\mathscr{P}_n$ \`a partir de $n+1$ valeurs
ponctuelles. C'est utilis\'e dans l'\'etude de propri\'et\'es extr\'emales
de polyn\^omes (chap.~2).

\medskip

\noindent\textbf{Interpolation cubique d'Hermite.}
\index{interpolation d'Hermite}
On cherche le polyn\^ome de $\mathscr{P}_3$ qui prend deux valeurs
impos\'ees $y_0$ et $y_1$ en deux points donn\'es $x_0$ et
$x_1$, et deux valeurs impos\'ees de la \emph{\textbf{d\'eriv\'ee}}
$y_2$ et $y_3$ aux deux $\emph{\textbf{m\^emes}}$ points: \\
$p(x_0)=y_0,\qquad
 p(x_1)=y_1;\qquad\qquad
 p'(x_0)=y_2,\qquad
 p'(x_1)=y_3.$  \\
Comme il y a quatre coefficients \`a d\'eterminer dans
$p(x)=a+bx+cx^2+dx^3$, on e\'crit les \'equations
$a+bx_0+cx_0^2+dx_0^3=y_0,   a+bx_1+cx_1^2+dx_1^3=y_1$,   \\
  $ b   +2cx_0  +3dx_0^2=y_2,   b+2cx_1+3dx_1^2=y_3.$

C'est un peu p\'enible, mais le d\'eterminant se factorise
joliment (tiens, tiens) en $-(x_1-x_0)^4$, et on a
$$ a=\dfrac{x_0^2(3x_0-x_1)y_0- x_1^2(3x_1-x_0)y_1 }{(x_0-x_1)^3}
   -\dfrac{x_0x_1(x_1 y_2+x_0y_3}{(x_0-x_1)^2},$$
$$ b=\dfrac{6x_0x_1(y_0-y_1)}{(x_1-x_0)^3}
  +\dfrac{x_1(2x_0+x_1)y_2+   x_0(2x_1+x_0)y_3}{(x_1-x_0)^2},$$
$$ c=\dfrac{3(x_0+x_1)(y_0-y_1)}{(x_0-x_1)^3}
   -\dfrac{(x_0+2x_1)y_2+(2x_0+x_1)y_3}{(x_0-x_1)^2},$$
$$ d=\dfrac{2(y_0-y_1)}{(x_1-x_0)^3} +\dfrac{y_2+y_3}{(x_0-x_1)^2}.$$
Ouf! On cherchera une fa\c con un peu plus syst\'ematique de
\begin{enumerate}
 \item Poser le probl\`eme: on pr\'ecisera comment rechercher un
   \'el\'ement d'un espace vectoriel \`a partir de valeurs prises
   par des formes donn\'ees.
  \item \'Etudier l'existence et l'unicit\'e de la solution: on
   se ram\`enera \`a un syst\`eme d'\'equations lin\'eaires.
  \item Repr\'esenter la solution \`a partir de la \emph{\textbf{base
  duale}} (ou \emph{\textbf{biorthogonale}}) aux formes donn\'ees.
\end{enumerate}

\subsection{Interpolation: cadre g\'en\'eral\label{interpgen}} {\ } \\
\smallskip

Soit $\varphi_0$, $\varphi_1$,\dots des \'el\'ements ind\'ependants
d'un espace vectoriel $X$, $\lambda_0$, $\lambda_1$,\dots des formes
lin\'eaires ind\'ependantes sur $X$;
 $V_n$ le sous-espace de $X$ engendr\'e par $\varphi_0$,\dots,
$\varphi_n$, $V^*_n$ le sous-espace du dual de $X$ engendr\'e par
$\lambda_0$,\dots, $\lambda_n$.

\smallskip

\textbf{Interpoler} une suite de scalaires $\{y_0, y_1,\ldots, y_n\}$
par un \'el\'ement de $V_n$ sur $\lambda_0$,\dots, $\lambda_n$
consiste \`a trouver $\varphi\in V_n$ (\textbf{l'interpolant}) tel que
$\lambda_i (\varphi)= y_i$, $i=0,1,\ldots, n$ (\textbf{probl\`eme
d'interpolation sur $V_n\times V^*_n$}).

Posons $\varphi= \sum_{j=0}^n x_j\varphi_j$, le probl\`eme revient \`a
trouver $x_0$,\dots, $x_n$ tels que
$$ \sum_{j=0}^n \lambda_i(\varphi_j)\  x_j = y_i\,\qquad i=0,\ldots,n.$$
Syst\`eme d'\'equations lin\'eaires, donc, imm\'ediatement

\smallskip
\noindent\textbf{Proposition.}\emph{\ La solution du probl\`eme d'interpolation
sur $V_n\times V^*_n$ existe et est unique si
 $\det[\lambda_i(\varphi_j)]_{i,j=0}^n \neq 0$.}

\smallskip
On dit alors que $\{\varphi_0,\dotsc, \varphi_n\}$ est \emph{unisolvant}
sur $\{\lambda_0,\dotsc, \lambda_n\}$.

\smallskip

Comme on a
$$ \begin{bmatrix} \lambda_0(\varphi_0) & \cdots & \lambda_0(\varphi_n) &
      y_0 \\
                \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
   \lambda_n(\varphi_0) & \cdots & \lambda_n(\varphi_n) &  y_n \\
             \varphi_0  & \cdots &           \varphi_n  & \varphi
  \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix}x_0 \\  \cdot \\  x_n \\  -1 \end{bmatrix}= 0,$$
$$ \begin{vmatrix} \lambda_0(\varphi_0) & \cdots & \lambda_0(\varphi_n) &
      y_0 \\
                \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
   \lambda_n(\varphi_0) & \cdots & \lambda_n(\varphi_n) &  y_n \\
             \varphi_0  & \cdots &           \varphi_n  & \varphi
  \end{vmatrix} = 0,$$
l'interpolant est
$$ \varphi = - \dfrac{
   \begin{vmatrix} \lambda_0(\varphi_0) & \cdots & \lambda_0(\varphi_n) &
      y_0 \\
                \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
   \lambda_n(\varphi_0) & \cdots & \lambda_n(\varphi_n) &  y_n \\
             \varphi_0  & \cdots &           \varphi_n  &  0
    \end{vmatrix}    }{
   \begin{vmatrix} \lambda_0(\varphi_0) & \cdots & \lambda_0(\varphi_n) \\
                \cdots & \cdots & \cdots          \\
   \lambda_n(\varphi_0) & \cdots & \lambda_n(\varphi_n)
    \end{vmatrix}    }. $$

On \'evite des calculs de d\'eterminants en tirant parti des
\'equivalences suivantes:

\noindent\textbf{Proposition.} \textsl{Les quatre \'enonc\'es
suivants sont \'equivalents:
\begin{enumerate}
\item      $\{\varphi_0,\dotsc, \varphi_n\}$ est \emph{unisolvant}
sur $\{\lambda_0,\dotsc, \lambda_n\}$. Pour tout $[y_0,\dotsc, y_n]
\in \mathbb{R}^{n+1}$ ou $\mathbb{C}^{n+1}$, il existe donc toujours
exactement une combinaison lin\'eaire $\varphi$ de $\varphi_0,\dotsc,
\varphi_n$ v\'erifiant $\lambda_i(\varphi)=y_i$, $i=0,\dotsc, n$.
\item $\det[\lambda_i(\varphi_j)]_{i,j=0}^n \neq 0$.
\item Seul l'\'el\'ement nul
de $V_n$ interpole la suite nulle $\{0,\ldots, 0\}$ sur $\lambda_0$,\dots,
$\lambda_n$.
\item On peut trouver $n+1$ \'el\'ements $\ell_0,\dotsc, \ell_n$ de
 $V_n$ v\'erifiant $\lambda_i(\ell_j)=\delta_{i,j}$, $i,j=0,\dotsc, n$
(\emph{\textbf{base duale}}, ou \emph{\textbf{biorthogonale}}, ou encore
\emph{\textbf{base de Lagrange}} relativement aux formes
$\lambda_0,\dotsc, \lambda_n$).     \index{base de Lagrange}
                                    \index{base duale}
                                   \index{Lagrange, base de}
                                   \index{biorthogonalit\'e}
\end{enumerate}     }

\noindent\textbf{D\'emonstration.}

On a d\'ej\`a vu $(1) \Longleftrightarrow (2)$. $(2)\Longleftrightarrow (3)$:
si le d\'eterminant est non nul, le syst\`eme de $n+1$ \'equations
homog\`enes \`a $n+1$ inconnues n'admet que la solution nulle; et si
les \'equations homog\`enes n'admettent pas de solution non triviale,
le rang de la matrice carr\'ee est maximal $\Rightarrow$
d\'eterminant non nul.

$(1)$ ou $(2) \Rightarrow (4)$: comme les syst\`emes d'\'equations
sont solubles pour tout second membre, on choisit pour
second membre la $i^{\text{\`eme}}$ colonne de la matrice identit\'e,
et la solution fournit les coefficients du d\'eveloppement de
$\ell_i$ dans la base $\{\varphi_0,\dotsc, \varphi_n\}$.

$(4)\Rightarrow (1)$: (c'est assez subtil). Pour un second membre
quelconque $[y_0,\dotsc, y_n]$, formons la combinaison lin\'eaire

\begin{equation} \label{interplaggen}
        \fbox{  $\varphi=\sum_{j=0}^n y_j \,\ell_j$.  }
\end{equation}
Constatons que chaque $\lambda_i(\varphi)$ vaut bien $y_i$: \\
$\displaystyle{  \lambda_i(\varphi)=
     \lambda_i\left(\sum_{j=0}^n y_j\,\ell_j\right)=
         \sum_{j=0}^n y_j \lambda_i(\ell_j) =
         \sum_{j=0}^n y_j \delta_{i,j} = y_i }$,
pour $i=0,\dotsc, n$. \qed

\smallskip

Le point (3) signifie le caract\`ere \emph{\textbf{injectif}} de
l'op\'erateur repr\'esent\'e par la matrice des $\lambda_i(\varphi_j)$;
le point (4) signifie le caract\`ere \emph{\textbf{surjectif}} de
cet op\'erateur (remarque faite par un \'etudiant).

\smallskip

\bigskip
\noindent{\bf Exemples} illustrant le point (3).

\begin{enumerate}

\item \textbf{Interpolation polynomiale classique.}\\
Soit $V_n= \mathscr{P}_n$, $x_0$,\dots, $x_n$ des points {\it distincts\/}
de $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, et les formes $\lambda_i(\varphi):= \varphi(x_i)$,
$i=0,\ldots, n$.\\
Avec $\varphi_j= x^j$, on peut v\'erifier directement que
$\det[x_i^j]_{i,j=0}^n \ne 0$ (d\'eterminant de Vandermonde), ou, plus
rapidement, qu'un polyn\^ome non nul de degr\'e $\le n$ ne peut
s'annuler aux $n+1$ points $x_0$,\dots, $x_n$.
\\ On retrouve \'evidemment le cas \'el\'ementaire.

\item \textbf{Interpolation polynomiale d'Hermite, ou confluente.}\\
Soit $V_n= \mathscr{P}_n$, $x_0$,\dots, $x_\ell$ des points distincts,
$\ell\le n$, auxquels on associe une ou plusieurs formes
$\varphi(x_i)$, $\varphi'(x_i)$,\dots faisant appel \`a des d\'eriv\'ees
successives, de sorte que le nombre total de formes utilis\'ees soit
bien $n+1$: si les formes relatives \`a $x_i$ sont
$\varphi(x_i)$, $\varphi'(x_i)$,\dots $\varphi^{(m_i)}(x_i)$, il faut
$\sum_{i=0}^\ell (m_i+1) = n+1$.\\
Dans ces conditions, un polyn\^ome de degr\'e $\le n$ v\'erifiant
$\varphi(x_i)= 0$, $\varphi'(x_i)= 0$,\dots $\varphi^{(m_i)}(x_i)= 0$
devrait donc avoir un z\'ero d'ordre $m_i+1$ en $x_i$, $i=0$,\dots,
$\ell$, et devrait donc admettre le facteur
$\prod_{i=0}^{\ell} (x-x_i)^{m_i+1}$, impossible si $\varphi(x)\not\equiv 0$.
\\    \smallskip
Cette interpolation est appel\'ee confluente parce qu'elle r\'esulte de
la pr\'ec\'edente quand on fait se rapprocher des points: si
$x_{i+1}\to x_i$, $(\varphi(x_{i+1})- \varphi(x_i))/(x_{i+1}- x_i)$
garde un sens et tend vers $\varphi'(x_i)$. De m\^eme,
si $x_{i+1}$ et $x_{i+2}\to x_i$, on verra que l'on peut combiner les
formes relatives \`a $x_i$, $x_{i+1}$ et $x_{i+2}$ de fa\c con \`a faire
appara\^\i tre $\varphi(x_i)$,
               $\varphi'(x_i)$ et
               $\varphi'{}'(x_i)$. Il est clair qu'on ne fait appel
qu'\`a des d\'eriv\'ees successives, \`a partir de l'ordre z\'ero.

\setcounter{enumi}{2}
\item \textbf{Interpolation d'Hermite-Birkhoff.}\\
Ici, on se donne des d\'eriv\'ees quelconques en diff\'erents points,
par exemple $\varphi$ et $\varphi'{}'$ en $x_0$,
            $\varphi'$ et $\varphi^{iv}$ en $x_1$, etc. C'est beaucoup
plus difficile.                   \\
{\Small
\textbf{Exercice:} montrez que l'on peut d\'eterminer uniquement un \'el\'ement
de $\mathscr{P}_4$ \`a partir de ses d\'eriv\'ees premi\`eres en
 $x_0, x_1$ et $x_2$ distincts, et de ses valeurs en $x_0$ et $x_1$ (ce qui
fait bien 5 conditions) seulement si $x_2\neq (x_0+x_1)/2$.}

\setcounter{enumi}{3}
\item \textbf{Polyn\^omes \`a plusieurs variables, espaces d'\'el\'ements
finis.}\\
On fixe des valeurs d'un polyn\^ome et de certaines d\'eriv\'ees
partielles en des points de $\mathbb{R}^2$ ou $\mathbb{R}^3$. Nombreuses applications
\footnote{Cf., par exemple, J.\ Meinguet, Multivariate
\index{Meinguet, J.}
interpolation at arbitrary points made simple, {\sl Z.\ Angew.\ Math.\ %
Phys.\/} {\bf 30\/} (1979) 292-304.}.
Exemple le plus simple: trouver $x_0 + x_1 x+ x_1y$ prenant des valeurs
donn\'ees en 3 points du plan. Condition: ces points doivent \^etre non
collin\'eaires.

\setcounter{enumi}{4}
\item \textbf{Interpolation par moindres carr\'es: justification.}\\
Revenons \`a nos combinaisons $S_i$ de fonctions $\varphi_0$,\dots,
$\varphi_n$ approchant de mieux en mieux les valeurs d'une suite
$y_0$,\dots, $y_n$ au sens d'un produit scalaire discret utilisant
les points $x_0$,\dots, $x_n$. $S_n$ interpole $y$ si le probl\`eme
d'interpolation est soluble dans $V_n$, donc si
$\det[\varphi_j(x_i)]_{i,j=0}^n \ne 0$. Or,
\\
$[\varphi_i(x_j)]_{i,j=0}^n
 \cdot [w_i \delta_{i,j}]_{i,j=0}^n
 \cdot [{\overline{\varphi_j(x_i)}}]_{i,j=0}^n =
 [(\varphi_i,\varphi_j)]_{i,j=0}^n, $\hfill\break
matrice de Gram de la base $\{\varphi_0,\ldots, \varphi_n\}$ de $V_n$,
que l'on sait \^etre d\'efinie positive si le produit scalaire est
bien d\'efini positif sur $V_n$.  Voir aussi \eqref{mcarrinterp2}

\medskip

\noindent  De nombreuses g\'en\'eralisations et extensions sont parues dans
la litt\'erature, en particulier des constructions non lin\'eaires, comme
l'interpolation par fonctions rationnelles     \index{Meinguet, J.}
\footnote{Cf. J.\ Meinguet, On the solubility of the Cauchy
interpolation problem, pp.~137-163 {\it in\/} A.\ Talbot, ed.:
\textsl{Approximation Theory}, Acad.\ Press, 1970.}.
\index{Interpolation rationnelle} \index{rationnelle, interpolation}
\end{enumerate}


\smallskip

\begin{center} ------------------------------- \end{center}

\medskip

%\newpage

\textbf{Exemples de bases de Lagrange.}

Soit $x_0$,\dots, $x_n$ distincts et $V_n= \mathcal{P}_n$. $\ell_j$ est le
polyn\^ome de degr\'e $\le n$ qui s'annule en $x_0$, $x_1$,\dots,
$x_{j-1}$, $x_{j+1}$,\dots, $x_n$, et qui vaut 1 en $x=x_j$. On
retrouve
$$ \ell_j(x) = \prod_{0\leqslant k\leqslant n,     k\ne j} \dfrac{x-x_k}{x_j-x_k}
                                                       \,.$$

\medskip

Soit $x_0$,\dots, $x_n$ distincts et examinons maintenant l'interpolation
\emph{ d'Hermite}     \label{lagrangehermite}
o\`u on fixe  $\varphi(x_j)$ et  $\varphi'(x_j)$, $j=0,\ldots, n$:
on a donc $V_n= \mathcal{P}_{2n+1}$.
Les \'el\'ements de la base de Lagrange sont:
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
\item $h_j \in \mathcal{P}_{2n+1}$ tel que $h_j(x_k)=0$ et
$h'_j(x_k)=0$, $k=0,\ldots, n$, $k\ne j$; $h_j(x_j)=1$ et
$h'_j(x_j)=0$. Ce polyn\^ome a donc $n$ z\'eros doubles en
$x_k$, $k=0,\ldots, n$, $k\ne j$, $h_j(x_j)=1$, ce qui donne
$$ h_j(x)= (A_j x+B_j) \prod_{0\leqslant k\leqslant n, k\ne j} (x-x_k)^2,$$
avec
$$ 1 =(A_j x_j+B_j) \prod_{0\leqslant k\leqslant n, k\ne j} (x_j-x_k)^2,$$
et
$$ 0= A_j +2 (A_j x_j+B_j)\sum_{0\leqslant k\leqslant n, k\ne j}
 \dfrac1{x_j-x_k},$$
d'o\`u
\begin{equation} \label{lagrherm}
   h_j(x)=\left[ 1-2(x-x_j)
\sum_{0\le k\le n, k\ne j} \dfrac1{x_j-x_k} \right]
         \prod_{0\leqslant k\leqslant n, k\ne j} \left(\dfrac{x-x_k}{x_j-x_k}\right)^2.
\end{equation}

\setcounter{enumi}{1}
\item $\tilde h_j \in \mathcal{P}_{2n+1}$ tel que $\tilde h_j(x_k)=0$ et
$\tilde h'_j(x_k)=0$, $k=0,\ldots, n$, $k\ne j$; $\tilde h_j(x_j)=0$ et
$\tilde h'_j(x_j)=1$. Ce polyn\^ome a donc $n$ z\'eros doubles en
$x_k$, $k=0,\ldots, n$, $k\ne j$, et un z\'ero simple en $x_j$,
avec $\tilde h'_j(x_j)=1$, ce qui donne
\begin{equation}
 \tilde h_j(x)= (x-x_j)
   \prod_{0\leqslant k\leqslant n, k\ne j} \left(\dfrac{x-x_k}{x_j-x_k}\right)^2.
\tag{$\ref{lagrherm}'$} \end{equation}
\end{enumerate}

\medskip

Exemple: graphes de $h_2$ et $\tilde{h}_2$. Bien voir que
$h'_2(x_2)=0$:

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0)(15,4)
 \psline{->}(0,1)(7.5,1)  \uput[90](7.5,1.0){$x$}
 \psline{->}(0,1)(0,3.5) \uput[0](0.0,3.5){$y$}

 \pscurve[linewidth=0.3mm](0,1)(0.25,1)(1,1.6)(1.9,1)(2,1)(2.1,1)(4.0,2.8)(4.5,3)(5.0,2.8)(6,1.6)(6.8,1)(7,1)
 \psdots[dotstyle=square*](0,1)(2,1)(4.5,3)(7,1)

 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](4.5,1)(4.5,3)
 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](4.5,3)(0,3)

 \uput[180](0,3){1}
 \uput[270](0,1){$x_0$}
 \uput[270](2,1){$x_1$}
 \uput[270](4.5,1){$x_2$}
 \uput[270](7,1){$x_3$}
%\psset{linewidth=0.075}
 \psline{->}(8,1)(15.5,1)  \uput[90](15.5,1.0){$x$}
 \psline{->}(8,1)(8,3.5) \uput[0](8.0,3.5){$y$}

 \pscurve[linewidth=0.3mm](8,1)(8.25,1)(9,0.6)(9.9,1)(10,1)(10.1,1)(11.6,0.6)(12.5,1)(13.5,1.3)(14.8,1)(15,1)
 \psdots[dotstyle=square*](8,1)(10,1)(12.5,1)(15,1)

 \psline[linestyle=dashed,dash=0.4 0.4](10.5,-0.25)(14.5,2.25)

 \uput[180](8,4){1}
 \uput[270](8,1){$x_0$}
 \uput[270](10,1){$x_1$}
 \uput[270](12.5,1){$x_2$}
 \uput[270](15,1){$x_3$}
%\psccurve[linecolor=red](6,5.5)(6,5.75)(5.75,6)(5.5,6)(5,6)(2,4)(0,1)(0,0.5)(0,0.25)(0.25,0)(0.5,0)(1,0)(4,2)(6,5)
\end{pspicture}
\medskip {\Small

\noindent\emph{\textbf{Th\'eor\`eme du reste chinois.}} Dans le cas le plus simple,
  $a_0$, $a_1,\dotsc, a_n$ sont premiers deux \`a deux, on
 reconstitue un entier $p$ \`a partir des restes $y_0,\dotsc, y_n$
 des divisions de $p$ par $a_0,\dotsc, a_n$, par une formule
$\displaystyle{ p= \sum_{k=0}^n c_k a_0\dotsb a_{k-1} a_{k+1}\dotsb a_n
 y_k}$. C'est typiquement une formule de type Lagrange!
}



\vspace*{1cm}

\subsection{Interpolation polynomiale classique en formulation de
Newton, diff\'erences divis\'ees.}  \  \\
      \index{differences divis\'ees}

Si  on d\'esire construire des interpolants successifs utilisant de plus en
plus de points d'un ensemble, on pr\'ef\`ere adopter une formulation
progressive:
\smallskip

Soit $p_n$  l'interpolant de degr\'e $\leqslant n$ en $x_0$,\dots
$x_n$. $p_n$ doit  diff\'erer de $p_{n-1}$ d'un multiple de
$(x-x_0)\ldots (x-x_{n-1})$, afin de ne pas d\'etruire le travail
d'interpolation d\'ej\`a r\'ealis\'e par $p_{n-1}$ en $x_0$,\dots
$x_{n-1}$.

On a donc $p_n(x) = p_{n-1}(x) +a_{n,\text{interp}_n}(f) (x-x_0)(x-x_1)
\ldots (x-x_{n-1})$, o\`u
     $a_{n,\text{interp}_n}(f)$ est le coefficient de $x^n$ de $p_n$,
c'est d'ailleurs exactement le coefficient donn\'e par
\eqref{coefflagrangexn}, les formes de Lagrange et de Newton d\'ecrivant
le m\^eme interpolant uniquement d\'etermin\'e par les points
d'interpolation.

On a donc $\displaystyle{ p_n(x) = \sum_{i=0}^n a_{i,\text{interp}_i}(f)
 (x-x_0) (x-x_1)\ldots (x-x_{i-1})}$.

On ne calcule g\'en\'eralement pas les $a_{i,\text{interp}_i}(f)$ par
\eqref{coefflagrangexn}, on appelle ce coefficient
\textbf{diff\'erence divis\'ee} de $f$ en $x_0$,\dots,
$x_i$, et on le note  $[x_0,\ldots, x_i]_f$. L'\'ecriture
\eqref{coefflagrangexn} a cependant le m\'erite de montrer que
$[x_0,\ldots, x_n]_f$ est sym\'etrique en
$x_0$,\dots, $x_n$, mais elle ne sugg\`ere pas que cette diff\'erence
divis\'ee s'annule sur $\mathscr{P}_{n-1}$.

\smallskip

\textbf{Exercice:} montrez que
$$ [x_i]_f = f(x_i)\;; [x_i,x_j]_f = \frac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j}\;;
 [x_i,x_j,x_k]_f = \frac{\dfrac{f(x_i)-f(x_j)}{x_i-x_j} -
                         \dfrac{f(x_j)-f(x_k)}{x_j-x_k} } {x_i-x_k} $$
{\Small \textbf{Exercice:} v\'erifiez $[x_i,x_j,x_k]_{x^2}=1$.}

On calcule les diff\'erences divis\'ees par une succession de diff\'erences
et de divisions (d'o\`u leur nom) qu'on tirera de l'identit\'e suivante:
soit $p_{i,j}$ une nouvelle notation pour le polyn\^ome interpolant $f$
en $x_i$,\dots, $x_j$, $j\geqslant i$: $p_{i,j}(x_i)=f(x_i),\dotsc,$
                                 $p_{i,j}(x_j)=f(x_j)$.
 $p_{i,j}$ est donc de degr\'e
$\leqslant j-i$ (il y a $j-i+1$ points). On a:
\begin{equation} \label{nevaitken}
p_{i,j}(x) = \dfrac{ (x-x_i) p_{i+1,j}(x) - (x-x_j) p_{i,j-1}(x) }
                     {x_j-x_i}\;,\qquad\qquad j>i.\end{equation}
(\textbf{Identit\'e de Neville-Aitken}). \\  \index{Neville-Aitken}
En effet, 1. en $x=x_{i+1},\ldots, x_{j-1}$, $p_{i+1,j}(x)=
p_{i,j-1}(x)= f(x)$, donc $p_{i,j}(x)=f(x)$; \\
2.\ en $x=x_i$, $p_{i,j-1}(x)= f(x) \Rightarrow p_{i,j}(x)= f(x)$; \\
3.\ en $x=x_j$, $p_{i+1,j}(x)= f(x) \Rightarrow p_{i,j}(x)= f(x)$.

Voyons maintenant les coefficients des plus hautes puissances de $x$:

\begin{equation} \label{recdiffdiv}
  [x_i,\ldots, x_j]_f  =
 \dfrac{  [x_{i+1},\ldots, x_j]_f  -
                       [x_i,\ldots, x_{j-1}]_f }
                     {x_j-x_i}\;,\qquad\qquad j>i.
\end{equation}

Ceci permet de construire successivement les colonnes du tableau
suivant, \`a partir de la premi\`ere:
$$ \begin{matrix}
 [x_0]_f &                 &                         &        &  \\
\left. [x_1]_f \right. & [x_0,x_1]_f     &                         &        &  \\
\left. [x_2]_f \right. & [x_1,x_2]_f     & [x_0,x_1,x_2]_f         &        &     \\
 \vdots  &  \vdots         &   \vdots                & \ddots &\\
\left. [x_n]_f \right. & [x_{n-1},x_n]_f & [x_{n-2},x_{n-1},x_n]_f & \cdots &
         [x_0,\ldots, x_n]_f
     \end{matrix} $$
On obtient un vecteur contenant tous les $[x_0,\ldots, x_i]_f$
\`a partir des $[x_i]= f(x_i)$ par les deux boucles suivantes, la boucle
int\'erieure exploitant le vecteur \`a partir de la fin:

\smallskip
\noindent {\Small\texttt{
for i=2:n+1;for j=n+1:-1:i;v(j)=(v(j)-v(j-1))/(x(j)-x(j-i+1));end;end;}}

\smallskip

\noindent\textbf{Exercice.}\ \\ Montrez que, si $f(x)=1/(a-x)$,
$[x_i,\ldots, x_j]_f= 1/((a-x_i)\ldots (a-x_j))$.

\smallskip

{\Small \noindent\textbf{Fonctions analytiques et int\'egrales de
contour} (Hermite). Soit $f$ analytique dans l'int\'erieur d'un contour $C$
entourant $x_i,\dotsc, x_j$. Alors, $[x_i,\dotsc, x_j]_f$ \'etant
une combinaison lin\'eaire des $\displaystyle{ f(x_k)=
 \dfrac{1}{2\pi i}\int_C \dfrac{f(t)}{t-x_k}\,dt }$, pour $k=i,\dotsc, j$,
\begin{equation*}
[x_i,\dotsc, x_j]_f =
 \dfrac{1}{2\pi i}\int_C [x_i,\dotsc, x_j]_{(t-x)^{-1}}f(t)\,dt
= \dfrac{1}{2\pi i}\int_C \dfrac{f(t)}{(t-x_i)\dotsb (t-x_j)}\,dt.
\end{equation*}                  \index{Hermite}

\medskip

\noindent \emph{\textbf{Diff\'erences divis\'ees des puissances de $x$}}
\cite{MilneT}.  $[x_0,\ldots, x_n]_{x^k}$ est \'evidemment nulle pour
$k=0,\dotsc, n-1$, et vaut 1 si $k=n$. Au-del\`a, appliquons la
diff\'erence divis\'ee \`a la fonction g\'en\'eratrice
$\displaystyle \sum_0^\infty t^k x^k = \dfrac{1}{1-tx} = \dfrac{t^{-1}}{t^{-1}-x}$.
D'apr\`es l'exercice plus haut,
$$ [x_0,\dotsc, x_n]_{(1-tx)^{-1}} = \dfrac{t^{-1}}{(t^{-1}-x_0)\dotsb (t^{-1}-x_n)}
 = \dfrac{t^n}{(1-tx_0)\dotsb (1-tx_n)}.$$
La diff\'erence divis\'ee cherch\'ee est donc le coefficient de $t^{k-n}$ du
d\'eveloppement de Taylor-Maclaurin en $t$ de $1/[(1-tx_0)\dotsc (1-tx_n)]$.
Il s'agit de \emph{\textbf{la fonction sym\'etrique totale}} de degr\'e $k-n$
de $\{x_0,\dotsc, x_n\}$, c'est-\`a-dire de la somme de tous les produits (avec
r\'ep\'etitions) de $k-n$ facteurs que l'on peut former avec $x_0,\dotsc, x_n$.
$k=n+1$: $x_0+\dotsb+ x_n$, $k=n+2: \sum_{i<j} x_ix_j +\sum x_i^2$, etc.

}  %end Small


\smallskip

Lorsque les diff\'erences divis\'ees $\mu_i=[x_0,x_1,\dotsc,x_{i-1}]_f$
 sont connues, on calcule   \\
$p_n(x)= \sum_{i=0}^n \mu_i (x-x_0)\ldots (x-x_{i-1})$ par un algorithme
comparable au sch\'ema de Horner:

\noindent \texttt{p=v(n+1);for i=n:-1:1;p=p*(xx-x(i))+v(i);end;}

\smallskip

\noindent\textbf{Exercice. \emph{Formule de Leibniz.}} Montrez que
$$
 [x_0,\dotsc, x_n]_{fg} =\sum_{k=0}^n
 [x_0,\dotsc, x_k]_f
 [x_k,\dotsc, x_n]_g .
$$
En effet, soient $p_n$ et $q_n$ les interpolants de degr\'es
$\leqslant n$ de $f$ et $g$ en $x_0,\dotsc, x_n$. On \'ecrit
$p_n$ et $q_n$ selon la forme de Newton, \emph{mais en
adoptant l'ordre} $x_n,\dotsc, x_0$ pour $q_n$:\\
$\displaystyle{ p_n(x)=\sum_{k=0}^n [x_0,\dotsc, x_k]_f (x-x_0)\dotsb
                 (x-x_{k-1}), }$
$\displaystyle{ q_n(x)=\sum_{j=0}^n [x_j,\dotsc, x_n]_f (x-x_{j+1})\dotsb
                 (x-x_n). }$   \index{Leibniz, formule de}

Dans le produit $p_n q_n$ terme \`a terme, les produits avec $j\leqslant k-1$
contiennent tous les facteurs de $(x-x_0)\dotsc (x-x_n)$. La somme des
produits avec $j\geqslant k$, chacun de ces produits \'etant de
degr\'e $n-j+k \leqslant n$, est donc l'interpolant de degr\'e
$\leqslant n$ de $fg$. Enfin, le coefficient de $x^n$ est obtenu
\`a partir de la somme des produits avec $j=k$. \qed

\smallskip

\subsection{Extrapolation \`a la limite de Richardson} {\ } \\

La formule de Neville-Aitken permet de construire commod\'ement les
valeurs d'interpolants successifs en un point fixe inaccessible $x$ \`a
partir des valeurs de $f$ sur une suite $x_i\to x$ quand $i\to\infty$:
\\ on part des $c_{i,0} = f(x_i)$,
$$c_{i,k} = \dfrac{ (x-x_i) c_{i+1,k-1}(x) - (x-x_{i+k}) c_{i,k-1} }
                     {x_{i+k}-x_i}\;,\qquad\qquad k>0.$$
Les $c_{i,k}$ sont les $p_{i,i+k}(x)$ de \eqref{nevaitken}.

Application: $x=0$, $x_i=1/4^i$, $c_{i,0}=2^i[F(u+2^{-i})-F(u-2^{-i})]$
(formule de d\'erivation de Romberg).  \\
(Justifiez le choix $x_i=4^{-i}$).

\medskip

\medskip

\subsection{Formulation de Newton en g\'en\'eral}  \   \\

\smallskip
La base de Lagrange (duale) relative aux formes $\lambda_0,\dotsc,
\lambda_n$ est constitu\'ee de combinaisons lin\'eaires de \emph{emph}
tous les \'el\'ements de la base $\{\varphi_0,\dotsc, \varphi_n\}$
donn\'ee de $V_n$.

Cette fois, on r\'earrange les fonctions de base de fa\c con
{\bf triangulaire\/}
en \hfill\break
 $\psi_0 = \alpha_{0,0}\varphi_0 \,,$\hfill\break
 $\psi_1 = \alpha_{1,0}\varphi_0+ \alpha_{1,1}\varphi_1\,,$\hfill\break
$\cdots\ \ \ \cdots$ \hfill\break
 $\psi_n = \alpha_{n,0}\varphi_0+ \alpha_{n,1}\varphi_1+ \cdots +
     \alpha_{n,n}\varphi_n\,,$\hfill\break
\smallskip

\noindent ainsi que les formes
 \hfill\break
 $\mu_0 = \beta_{0,0}\lambda_0 \,,$\hfill\break
 $\mu_1 = \beta_{1,0}\lambda_0+ \beta_{1,1}\lambda_1\,,$\hfill\break
$\cdots\ \ \ \cdots$ \hfill\break
 $\mu_n = \beta_{n,0}\lambda_0+ \beta_{n,1}\lambda_1+ \cdots +
     \beta_{n,n}\lambda_n\,,$\hfill\break
\smallskip

\noindent toujours en maintenant la biorthogonalit\'e
$$ \mu_i(\psi_j) = \delta_{i,j}\,,\qquad i,j=0,1,\ldots,n. $$
Avantage: l'interpolant de $f$ dans $V_n$ est
$$ p_n = \sum_{j=0}^n \mu_j(f) \psi_j, $$
puisque $\mu_i(p_n)=
         \sum_{j=0}^n \mu_j(f) \mu_i(\psi_j)= \mu_i(f)$, pour $i=0,1,$\dots
$n$, construction qui reste utilisable quand on passe \`a $V_{n+1}$,
({\bf propri\'et\'e de permanence\/}), puisque les m\^emes $\mu_j$ et
$\psi_j$ se retrouvent
\footnote{En toute rigueur, on aurait donc d\^u noter
$\ell_{j,n}$ les \'el\'ements de la base de Lagrange de $V_n$,
sugg\'erant ainsi que la base de Lagrange de $V_{n+1}$ n'a (normalement)
aucun \'el\'ement commun avec celle de $V_n$.}
 dans la solution du probl\`eme sur
$V_{n+1}\times V^*_{n+1}$, il suffit d'ajouter le terme en
$\mu_{n+1} \psi_{n+1}$:
$$ p_{n+1}= p_n + \mu_{n+1}(f) \psi_{n+1}.$$

{\Small
\medskip
\noindent Ces deux r\'earrangements triangulaires de bases sont
possibles sous les conditions suivantes:
\hfill\break
{\bf Th\'eor\`eme.}\ %
\footnote{[Dav]  \S~2.6;\  C.\ Brezinski,  \index{Brezinski}
{\sl Biorthogonality and its Applications to Numerical Analysis\/},
M.\ Dekker, 1992.}
\emph{Des \'el\'ements ind\'ependants
$\varphi_0$, $\varphi_1$,\dots d'un espace vectoriel $X$ et des formes
ind\'ependantes
$\lambda_0$, $\lambda_1$,\dots de son dual $X^*$ peuvent \^etre
r\'earrang\'es triangulairement
$$\begin{matrix}
  \psi_0 = \alpha_{0,0}\varphi_0 \,,\hfill & \mu_0 = \beta_{0,0}\lambda_0\,,
      \hfill    \\
  \psi_1 = \alpha_{1,0}\varphi_0+ \alpha_{1,1}\varphi_1\,,\hfill &
  \mu_1 = \beta_{1,0}\lambda_0+ \beta_{1,1}\lambda_1\,,\hfill\\
  \psi_2 = \alpha_{2,0}\varphi_0+ \alpha_{2,1}\varphi_1
                 +\alpha_{2,2}\varphi_2  \ \  \,\hfill &
  \mu_2 = \beta_{2,0}\lambda_0+ \beta_{2,1}\lambda_1
                 +\beta_{2,2}\lambda_2  \,,\hfill\\
   \cdots \  \cdots \   \hfill & \ \cdots \  \cdots \  \hfill
  \end{matrix} $$
avec $\alpha_{i,i}\ne 0$, $\beta_{i,i}\ne 0$, $i=0,1,\ldots$,
de fa\c con \`a v\'erifier les conditions de {\bf biorthogonalit\'e\/}
$$  \mu_i (\psi_j) = \delta_{i,j}\,, \qquad\qquad i,j=0,1,\ldots,$$
si les probl\`emes d'interpolation sur $V_n\times V^*_n$ sont tous
solubles, $n=0,1,$\dots, c'est-\`a-dire si les d\'eterminants
$\det[\lambda_i(\varphi_j)]_{i,j=0}^n$ sont tous non nuls. Ce r\'earrangement
est unique si on pose $\alpha_{0,0}= \alpha_{1,1}= \ldots =1$. On a
alors}  % fin de sl
$$ \psi_n = \dfrac{
   \begin{vmatrix} \lambda_0(\varphi_0) & \cdots & \lambda_0(\varphi_n)\\
                  \cdots    & \cdots & \cdots \\
   \lambda_{n-1}(\varphi_0) & \cdots & \lambda_{n-1}(\varphi_n)\\
                 \varphi_0  & \cdots &               \varphi_n
   \end{vmatrix}  }
   {\det[\lambda_i(\varphi_j)]_{i,j=0}^{n-1}}\;, \qquad
 \mu_n = \dfrac{
   \begin{vmatrix} \lambda_0(\varphi_0) & \cdots & \lambda_n(\varphi_0)\\
                  \cdots    & \cdots & \cdots \\
   \lambda_0(\varphi_{n-1}) & \cdots & \lambda_n(\varphi_{n-1})\\
   \lambda_0                & \cdots & \lambda_n
   \end{vmatrix} }
     {\det[\lambda_i(\varphi_j)]_{i,j=0}^n}\;.
 $$

En effet, supposons $\psi_0$,\dots, $\psi_{n-1}$,
                    $\mu_0$,\dots, $\mu_{n-1}$ d\'etermin\'es,
 $\psi_n$ est un \'el\'ement de $V_n$ ($n+1$ degr\'es de
libert\'e) qui doit d'abord v\'erifier les $n$ conditions
$\mu_0(\psi_n)= \ldots =\mu_{n-1}(\psi_n)=0$.
Comme $\mu_i$ est une combinaison lin\'eaire de $\lambda_0$,\dots,
$\lambda_i$, ces conditions sur $\psi_n$ deviennent
\begin{equation} \label{detpsin}
   \psi_n\in V_n:\qquad\qquad
  \lambda_0(\psi_n)= \ldots =\lambda_{n-1}(\psi_n)=0. \end{equation}
Ces conditions sont bien remplies par une expression de la forme
$$ \psi_n= C_n
   \begin{vmatrix} \lambda_0(\varphi_0) & \cdots & \lambda_0(\varphi_n)\\
                  \cdots    & \cdots & \cdots \\
   \lambda_{n-1}(\varphi_0) & \cdots & \lambda_{n-1}(\varphi_n)\\
                 \varphi_0  & \cdots &               \varphi_n
   \end{vmatrix}     $$
avec un scalaire quelconque $C_n$,
puisque $\lambda_i(\psi_n)$, $i<n$,
 est un d\'eterminant contenant deux lignes
identiques. La derni\`ere condition sur $\psi_n$ est $\alpha_{n,n}=1$,
donc $C_n$ fois cofacteur de $\varphi_n = 1 \Rightarrow
C_n= 1/\det[\lambda_i(\varphi_j)]_{i,j=0}^{n-1}$.

\smallskip

Quant \`a $\mu_n$, $\mu_n(f)$ est le coefficient de $\psi_n$ dans
le d\'eveloppement de l'interpolant dans $V_n$ $p_n= \mu_n(f)\psi_n+$
\'el\'ements de $V_{n-1}$. Comme $\psi_n= \varphi_n+$ une combinaison
lin\'eaire d'\'el\'ements de $V_{n-1}$, on a donc aussi $\mu_n(f)= $
coefficient de $\varphi_n$ dans l'interpolant de $f$ dans $V_n$. Cet
interpolant \'etant
$$ p_n = - \dfrac{
   \begin{vmatrix} \lambda_0(\varphi_0) & \cdots & \lambda_0(\varphi_n) &
      \lambda_0(f) \\
                \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \cr
   \lambda_n(\varphi_0) & \cdots & \lambda_n(\varphi_n) &  \lambda_n(f) \\
             \varphi_0  & \cdots &           \varphi_n  &  0
       \end{vmatrix} }{
       \det[\lambda_i(\varphi_j)]_{i,j=0}^n
       }              , $$
on trouve bien l'expression pr\'evue pour $\mu_n$, et on remarque que
\begin{equation} \label{detmun}
  \mu_n(\varphi_0)= \ldots = \mu_n(\varphi_{n-1})=0, \,
                      \mu_n(\varphi_n)=1.
\end{equation}
On a donc \'etabli $\mu_i(\psi_j)=0$ si $i<j$,
                   $\mu_i(\psi_j)=0$ si $i>j$, et $\mu_i(\psi_i)=1$.
\qed

On peut aussi faire la liaison avec la factorisation triangulaire
de la matrice
$          [\lambda_i(\varphi_j)]_{i,j=0}^n$: \\
$\ \ \  [\beta_{i,p}]_{i,p=0}^n \cdot
        [\lambda_p(\varphi_q)]_{p,q=0}^n \cdot
        [\alpha_{j,q}]_{j,q=0}^n =
        [\mu_i(\psi_j)]_{i,j=0}^n =
        [\delta_{i,j}]_{i,j=0}^n. $


\medskip

\noindent{\bf Interpolation polynomiale classique en formulation de
Newton, diff\'erences divis\'ees.}

\smallskip

Nous avons donc $V_n=\mathscr{P}_n$, $\lambda_i(f)=f(x_i)$,
$i=0,\ldots, n$.

D'apr\`es \eqref{detpsin}, $\psi_n(x)= x^n+\cdots$ doit s'annuler en $x_0$,\dots
$x_{n-1}$, donc
$$ \psi_n(x) = (x-x_0) \ldots (x-x_{n-1}).$$
D'ailleurs, l'interpolant $p_n$ de degr\'e $\le n$ en $x_0$,\dots
$x_n$ doit effectivement diff\'erer de $p_{n-1}$ d'un multiple de
$(x-x_0)\ldots (x-x_{n-1})$, afin de ne pas d\'etruire le travail
d'interpolation d\'ej\`a r\'ealis\'e par $p_{n-1}$ en $x_0$,\dots
$x_{n-1}$.

Nous savons d\'ej\`a par \eqref{detmun} que $\mu_n$ est une combinaison lin\'eaire
de $\lambda_0$,\dots, $\lambda_n$ qui doit s'annuler sur $\mathscr{P}_{n-1}$,
et v\'erifier $\mu_n(\psi_n)= \mu_n(x^n)= 1$. Ainsi,\hfill\break
$\mu_0(f)= f(x_0)\;; \mu_1(f)= (f(x_1)- f(x_0))/(x_1-x_0)$.\hfill\break
$\mu_n(f)$ \'etant le coefficient de $x^n$ de l'interpolant $p_n$, on
peut faire appel \`a la formulation de Lagrange
$$ p_n(x) = \sum_{j=0}^n f(x_j) \ell_j(x) = \sum_{j=0}^n
  f(x_j)  \prod_{0\leqslant k\leqslant n,     k\ne j} \dfrac{x-x_k}{x_j-x_k}
$$
pour extraire
$$ \mu_n(f) = [x_0,\ldots, x_n]_f = \sum_{j=0}^n
  \left( f(x_j)  \prod_{0\le k\le n, k\ne j} \dfrac1{x_j-x_k} \right)
$$
qui n'est donc autre que \eqref{coefflagrangexn}, la
         \textbf{diff\'erence divis\'ee} de $f$ en $x_0$,\dots,
$x_n$.

} %end Small

\smallskip


\subsection{Diff\'erences divis\'ees et d\'eriv\'ees}  \  \\
         \index{Hermite-Genocchi}  \index{Genocchi}
\noindent\textbf{Formule d'Hermite-Genocchi.} \textsl{Si $f\in\mathscr{C}^n$, on a
\begin{equation} \label{genoc1}
  [x_0,x_1,\dotsc, x_n]_f = \int_{S_n} f^{(n)}(\lambda_0 x_0 +
      \lambda_1 x_1 +\dotsb \lambda_n x_n)\,d\lambda_1\,\dotsc d\lambda_n,
\end{equation}
o\`u $S_n$ est le simplexe $\lambda_i\geqslant 0, \lambda_0+\dotsb +
   \lambda_n=1$.}

$\lambda_0,\dotsc, \lambda_n$ sont les \emph{\textbf{coordonn\'ees
barycentriques}} de la vari\'et\'e $S_n$ \`a $n$ dimensions
$\subset \mathbb{R}^{n+1}$. Une repr\'esentation param\'etrique
des points de $S_n$ au moyen des $n$ param\`etres $u_1,\dotsc, u_n$
est donn\'ee par

$$\begin{matrix}\lambda_n&=&u_n, \\
  \lambda_{n-1}&=&u_{n-1}-u_n,  \\
  \lambda_{n-2}&=&u_{n-2}-u_{n-1}, \\ &\vdots&   \\
  \lambda_1&=&u_1-u_2,   \\
  \lambda_0&=&1-u_1.
 \end{matrix} $$
La formule prend alors la forme d'une int\'egrale $n-$uple
\begin{equation} \label{genoc2}
  [x_0,x_1,\dotsc, x_n]_f = \int_0^1 du_1\; \int_0^{u_1} du_2\; \dotsb \int_0^{u_{n-1}} du_n\;%
   f^{(n)}( x_0 + u_1(x_1-x_0) +\dotsb +u_n(x_n-x_{n-1})).
\end{equation}

THE HERMITE-GENOCCHI FORMULA 
by R. K. ALEXANDER. Abstract. We present an elementary proof of the Hermite-Genocchi. formula for divided differences. \\\href{http://orion.math.iastate.edu/alex/REU/docs/HermiteGenocchi.ps }{\tt http://orion.math.iastate.edu/alex/REU/docs/HermiteGenocchi.ps }

\noindent \hspace*{-25pt}Preuve: 1.) vrai pour $n=1$ puisque
$\displaystyle{ [x_0,x_1]_f = \dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} =
 \dfrac{\int_{x_0}^{x_1} f'(v)\,dv}{x_1-x_0} =
  \int_0^1 f'(x_0+(x_1-x_0)u)\,du}$.

2.) Si vrai pour $n-1$, par \eqref{recdiffdiv},

\begin{equation*} \begin{split}
  [x_0,x_1,\dotsc, x_n]_f &= \dfrac{[x_1,\dotsc, x_n]_f-
                      [x_0,\dotsc, x_{n-1}]_f}{x_n-x_0} \\
     =\dfrac{1}{x_n-x_0}
      \int_0^1\; \int_0^{u_1} \dotsc & \int_0^{u_{n-2}}
 \{  f^{(n-1)}( x_1 + (x_2-x_1)u_1  +\dotsb +(x_n-x_{n-1})u_{n-1} )   \\
       &\quad -f^{(n-1)}( x_0 + (x_1-x_0)u_1 +\dotsb +(x_{n-1}-x_{n-2})u_{n-1})\}
      du_1\dotsc du_{n-1} \\
     =\dfrac{1}{x_n-x_0}
      \int_0^1\; \int_0^{u_1} \dotsc & \int_0^{u_{n-2}}
 \{  f^{(n-1)}( x_1 + (x_2-x_1)u_1  +\dotsb +(x_n-x_{n-1})u_{n-1} )  \\
 &\quad -f^{(n-1)}( x_1 + (x_2-x_1)u_1 +\dotsb +(x_0-x_{n-1})u_{n-1})\}
      du_1\dotsc du_{n-1} \\
   & (\text{\  \  \  permutation\ } (x_0,\dotsc, x_{n-2},x_{n-1}) \to
                (x_1,\dotsc, x_{n-1},x_0) ) \\
     \hspace*{-20pt}=\dfrac{1}{x_n-x_0}
      \int_0^1\!\int_0^{u_1}\!\dotsc\!\int_0^{u_{n-2}}&\!\int_0^{(x_n-x_0)u_{n-1}}%
   \!\!\!f^{(n)}( x_1 + (x_2-x_1)u_1  +\dotsb +(x_0-x_{n-1})u_{n-1}+v )
      du_1\dotsc du_{n-1}\;dv \\
     \hspace*{-20pt}=
      \int_0^1\!\int_0^{u_1}\!\dotsc\!\int_0^{u_{n-2}}\!\int_0^{u_{n-1}}&\!\!f^{(n)}( x_1 + (x_2-x_1)u_1  +\dotsb +(x_0-x_{n-1})u_{n-1}+(x_n-x_0)u_n )
      du_1\dotsc du_{n-1}du_n
\end{split}\end{equation*}

\noindent {\bf Cas confluent.}\  Si les $x_i$ sont tous distincts,
l'ordre dans lequel on les prend n'a aucune influence sur $p_n$ (si
on fait abstraction des erreurs d'arrondi commises dans les calculs).
On peut construire un interpolant d'Hermite correct \`a condition de
regrouper les points prenant des valeurs identiques.

Ainsi, si $x_i= x_{i+1}$, consid\'erons la limite $x_{i+1}= x_i+ h$,
$h\to 0$: $[x_i]_f= f(x_i)$, $[x_{i+1}]_f= \lim_{h\to 0} f(x_i+ h)=
f(x_i)$, $[x_i, x_{i+1}]_f= \lim_{h\to 0} (f(x_i+ h)- f(x_i))/h\ =
f'(x_i)$, et il n'y a pas d'autre division embarrassante.

Si $x_i= \cdots= x_{i+k}$, $\mu_k= [x_i,\ldots, x_i]_f$ ($k+1$ fois)
doit \^etre une forme lin\'eaire en $f$ ne faisant intervenir que
$f(x_i)$, $f'(x_i)$,\dots, $f^{(k)}(x_i)$ s'annulant sur $\mathscr{P}_{k-1}$
et v\'erifiant $\mu_k(x^k)= 1$: on doit avoir
$$  [\underbrace{x_i,\ldots, x_i}_{k+1\;\text{fois}}]_f   = f^{(k)}(x_i)/k!$$
Ceci montre qu'un interpolant tend vers une somme partielle de la
s\'erie de Taylor
\footnote{C'est d'ailleurs comme cela que Taylor a trouv\'e
sa s\'erie.}
quand les points d'interpolation tendent les uns vers les autres.

Quand la suite $\{x_0,\ldots, x_n\}$ contient plusieurs sous-suites
d'\'el\'ements identiques, le tableau triangulaire des diff\'erences
divis\'ees contient des petits triangles de la forme
$$ \begin{matrix} f(x_i) &     &    &    &  \\
                  f(x_i) & f'(x_i) &   &   & \\
                  f(x_i) & f'(x_i) & f'{}'(x_i)/2 & & \\
                  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\
                  f(x_i) & f'(x_i) & f'{}'(x_i)/2 & \cdots & f^{(k)}(x_i)/k!
   \end{matrix} $$
dont les \'el\'ements ne peuvent \^etre calcul\'es par diff\'erences et
divisions mais doivent \^etre introduits dans le tableau, d'ailleurs ces
\'el\'ements sont des donn\'ees de l'interpolation d'Hermite: quand
$x_i= \ldots= x_{i+k}$, les $k+1$ donn\'ees relatives \`a ces points
confluents sont bien $f(x_i),\ldots, f^{(k)}(x_i)$.

\medskip

\textbf{Splines d'interpolation.} \\      \index{spline}
Soit $a=x_0 < x_1 < \ldots x_{N-1} < x_N=b$. La fonction spline d'interpolation
de degr\'e $m$ est:
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
 \item un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant m$ dans chaque intervalle
   $[x_i, x_{i+1}]$, $i=0,1,\dotsc, N-1$;
\setcounter{enumi}{1}
 \item interpolant en $x_0,\dotsc, x_N$;
\setcounter{enumi}{2}
 \item dans $\mathscr{C}^{m-1}$ dans tout l'intervalle $[a,b]$.
\end{enumerate}

Outre le cas primitif $m=1$ (ligne bris\'ee), le cas le plus recontr\'e
est $m=3$ (\emph{spline cubique}).     Soit $p_i\in\mathscr{P}_3$ la
restriction de la fonction spline dans $[x_i,x_{i+1}]$. \\
On a  $p(x_i)=y_i$ et $p(x_{i+1})=y_{i+1}$ donn\'es;   \\
\hphantom{On a}   $p'(x_i)=z_i$ et $p'(x_{i+1})=z_{i+1}$ inconnus.   \\
Exprimons $p$ \`a partir de ces 4 sp\'ecifications:
\begin{multline*}
   p_i(x)=y_i\left[1+\frac{2(x-x_i)}{h_i}\right]\left(\frac{x-x_{i+1}}{h_i}\right)^2
   + y_{i+1}\left[1-\frac{2(x-x_{i+1})}{h_i}\right]\left(\frac{x-x_i}{h_i}\right)^2
\\+ z_i\frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})^2}{h_i^2}
  + z_{i+1}\frac{(x-x_{i+1})(x-x_i)^2}{h_i^2}  ,\end{multline*}
o\`u $h_i=x_{i+1}-x_i$, d'apr\`es les formules \eqref{lagrherm} et
$(\ref{lagrherm}')$ vues plus haut.\\
Exprimons maintenant la continuit\'e de la d\'eriv\'ee seconde,
$p''_i(x_i)=p''_{i-1}(x_i)$:
$$ -6\frac{y_i}{h_i^2} +6\frac{y_{i+1}}{h_i^2} -4\frac{z_i}{h_i}
       -2\frac{z_{i+1}}{h_i} =
 6\frac{y_{i-1}}{h_{i-1}^2} -6\frac{y_i}{h_{i-1}^2} +2\frac{z_{i-1}}{h_{i-1}}
       +4\frac{z_i}{h_{i-1}} ,
$$
d'o\`u
$$ \frac{z_{i-1}}{h_{i-1}} +2\left[\frac{1}{h_{i-1}}+\frac{1}{h_i}\right]z_i
    +\frac{z_{i+1}}{h_i} = 3\left[\frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}^2} +
                              \frac{y_{i+1}-y_i}{h_i^2} \right],$$
$i=1,2,\dotsc, N-1$: $N-1$ \'equations pour les $N+1$ inconnues
$z_0,\dotsc, z_N$. On fixe par exemple en plus $p''_0(a)=
p''_{N-1}(b)=0$ (fonction spline naturelle).

\bigskip

\subsection{Reste de l'interpolation polynomiale classique}  {\ } \\

\smallskip

Comme $p_n$ interpole $f$ en $x_0$,\dots, $x_n$, on va poser
$$ f(x)-p_n(x)=k_n(x) \;\;(x-x_0)\ldots (x-x_n), $$

\smallskip

\noindent{\bf Proposition\footnote{qui appara\^\i tra come un cas particulier du
th\'eor\`eme de Peano.}.}\ \emph{Si $f\in \mathscr{C}^{n+1} [a,b]$,
 $a$ et $b$ r\'eels,
$$ k_n(x)= \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},$$
o\`u $\xi$ se trouve dans le plus petit intervalle contenant
$x_0$,\dots, $x_n$ et $x$ $($r\'eel$)$.}

En effet, consid\'erons la fonction de $t$\\
\hspace*{55pt}$e(t)= f(t)-p_n(t)- k_n(x) \; (t-x_0)\ldots (t-x_n)$
\\
pour $x$ fix\'e. La fonction $e$ s'annule en $t=x_0$,\dots, $t=x_n$
{\bf et\/} en $t=x$, ce qui fait $n+2$ points. Par le th\'eor\`eme de
Rolle, $e'$ s'annule au moins une fois dans chacun des $n+1$ intervalles
born\'es par ces $n+2$ points (et s'il y avait des points confondus, ce
sont des z\'eros multiples de $e$, donc encore des z\'eros de $e'$).
On poursuit jusqu'\`a la d\'eriv\'ee $(n+1)^{\text{\`eme}}$
de $e$:
$$\hspace*{-10pt}e^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)-p_n^{(n+1)}(t) -k_n(x) \dfrac{d^{n+1}}{dt^{n+1}}
(t-x_0)\ldots (t-x_n) = f^{(n+1)}(t) -k_n(x)\;(n+1)!,$$
qui doit encore s'annuler en au moins un point $t=\xi$, soit:
$k_n(x)= f^{(n+1)}(\xi)/(n+1)!$. \qed

\smallskip

La formulation de Newton donne une expression tr\`es int\'eressante du
reste: soit encore $x$ fix\'e, et consid\'erons le polyn\^ome $q$ qui
interpole $f$ en $x_0$,\dots, $x_n$ {\bf et\/} $x$:
$$ q(t) = p_n(t)+ [x_0,\ldots, x_n,x]_f (t-x_0)\ldots (t-x_n),$$
d'o\`u, en $t=x$,
$$ f(x)-p_n(x) = [x_0,\ldots, x_n,x]_f (x-x_0)\ldots (x-x_n),$$
donc
$$ k_n(x) = [x_0,\ldots, x_n,x]_f .$$

Par \eqref{genoc1}-\eqref{genoc2} et le premier th\'eor\`eme
de la moyenne, on retrouve bien
$$
k_n(x) = f^{(n+1)}(\xi) \int_0^1\,\int_0^{u_1} \dotsb
  \int_0^{u_{n-1}}\,\int_0^{u_n} du_1\,du_2\,\dotsc\,du_n\,du_{n+1}
  = \dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}
$$

\smallskip
Remarquons que ces formules sont parfaitement valables  si $x$ est en
dehors de l'intervalle contenant $x_0$,\dots $x_n$: l'extrapolation
appara\^\i t ici comme un cas particulier de l'interpolation.

Ref.: M.S.~Floater, Error formulas for divided difference expansions
and numerical differentiation,
 \textsl{J. Approx. Theory} \textbf{122} (2003) 1-9;
C.~de Boor, A divided difference expansion of a divided difference,
 \textsl{J. Approx. Theory} \textbf{122} (2003) 10-12.

\smallskip
\noindent {\bf Choix optimal des points d'interpolation.}

On sait que le polyn\^ome $\hat p_n$ de $\mathscr{P}_n$ minimisant
$\|f-p\|_\infty$ sur un intervalle donn\'e $[a,b]$ est tel que
$f-\hat p_n$ prend alternativement les valeurs $+E_n$ et $-E_n$ en
au moins $n+2$ points de $[a,b]$ (th\'eor\`eme d'\'equioscillation),
ce qui d\'efinit implicitement $n+1$ points optimaux d'interpolation.
Ces points d\'ependent de $n$ et $f$. Un choix raisonnable de points
ind\'ependants de $f$
\footnote{Mais, si on sait par le th\'eor\`eme d'approximation
de Weierstrass que $E_n\to 0$ quand $n\to\infty$, il existe toujours des
fonctions continues pour lesquelles les interpolants bas\'es sur des
points donn\'es \`a l'avance ne convergent pas en norme uniforme
(th\'eor\`eme de Bernstein-Faber).}
 est obtenu en minimisant la norme de $\omega_{n+1}(x)= (x-x_0)\ldots (x-x_n)$ sur
$[a,b]$. Ceci impose
$$ \left(\omega_{n+1}(x)\right)_{opt} =
\dfrac1{2^n} \left(\dfrac{b-a}2\right)^{n+1}\; T_{n+1}\left(
\dfrac{x-(a+b)/2}{(b-a)/2}\right),$$
o\`u on a utilis\'e $T_n(t)= 2^{n-1}t^n+\cdots$

\smallskip
\noindent{\bf Exercice.}\ Constater la divergence en norme uniforme de
l'interpolation de $1/(1+a^2x^2)$ sur des points \'equidistants de $[-1,1]$
quand $a$ est assez grand ({\bf ph\'enom\`ene de Runge\/}).
\hfill\break
{\Small                                          \index{Runge}
\noindent On \'ecrit $f(x)= (i/(2a)) ((x+i/a)^{-1}- (x-i/a)^{-1})$, donc
$f(x)- p_n(x)= (i/(2a)) ([x_0,\ldots, x_n,x]_{(x+i/a)^{-1}}-
     [x_0,\ldots, x_n,x]_{(x-i/a)^{-1}}) (x-x_0)\ldots (x-x_n)=
 (i(-1)^{n+1}/(2a)) ( (x_0+i/a)^{-1}\ldots (x_n+i/a)^{-1} (x+i/a)^{-1}-
      (x_0-i/a)^{-1}\ldots (x_n-i/a)^{-1} (x-i/a)^{-1})
       (x-x_0)\ldots (x-x_n), $
d'apr\`es un exercice pr\'ec\'edent. On examine alors l'\'evolution de
$ \omega_{n+1}(x)/\omega_{n+1}(\pm i/a)=
       (x-x_0)\ldots (x-x_n)/((\pm i/a- x_0)\ldots (\pm i/a- x_n))$ en
fonction de $n$. Ce rapport tend rapidement vers l'infini quand $n\to\infty$
si on choisit des points \'equidistants sur $[-1,1]$ et si $x$ est pr\`es
de $\pm~1$. Pour un traitement d\'etaill\'e, voir Hairer [Hai],
chap.~2.
}

\medskip

On \'evite le recours \`a des d\'eriv\'ees $n^{\text{\`emes}}$ dans des
estimations d'erreur en \'evaluant la norme du projecteur d'interpolation
$P_{\text{interp}}$: si $P_{\text{interp}}f$ est l'interpolant de $f$ dans
$\mathscr{P}_n$ en $x_0,\dotsc, x_n$, $f-P_{\text{interp}}f =
                                       f-p-P_{\text{interp}}(f-p)$
pour $\forall p\in\mathscr{P}_n$ puisque $P_{\text{interp}}p=p$ et
                                    $P_{\text{interp}}$ est lin\'eaire, donc
$$|f(x)-(P_{\text{interp}}f)(x)| \leqslant (1+\|P_{\text{interp}}(x)\|)
  \|f-\hat p\|,$$
o\`u $P_{\text{interp}}(x)$ est la forme qui donne la valeur de l'interpolant
en un point $x$ fix\'e. En formulation de Lagrange, et en norme $\|\ \|_\infty$,
$$ \|P_{\text{interp}}(x)\|_\infty = \max_{\|f\|_\infty\leqslant 1}
    \left|\sum_{i=0}^n f(x_i)\ell_i(x)\right| = \sum_{i=0}^n |\ell_i(x)|,$$
(\emph{\textbf{fonction de Lebesgue}}).  On voit donc comment l'erreur
d'interpolation se compare \`a l'erreur de meilleure approximation.

{\Small

\subsection{Interpolation d'Hermite-Fej\'er} \   \\

L'interpolant d'Hermite-Fej\'er
$\mathcal{H}_n f$ de $f\in \mathscr{C}[a,b]$ aux $n+1$
points $x_0,\dotsc, x_n$ est le polyn\^ome de degr\'e $\leqslant 2n+1$
v\'erifiant
 $$  (\mathcal{H}_n f)(x_i) = f(x_i),\qquad
   (\mathcal{H}_n f)'(x_i) = 0,\qquad   i=0,\dotsc, n.
$$
Il n'est donc pas question de faire appel \`a des valeurs de $f'$ qui
pourrait ne pas exister. Il s'en suit \'egalement que, si $f$ est
un polyn\^ome non constant, $\mathcal{H}_nf$ est g\'en\'eralement
diff\'erent de $f$: l'op\'erateur $\mathcal{H}_n$ n'est pas un
projecteur.

Cependant, on peut montrer qu'avec des $x_i$ bien choisis, les
polyn\^omes $h_j$ de \eqref{lagrherm} sont positifs sur $[a,b]$,
de sorte que $\mathcal{H_n}: (\mathcal{H}_nf)(x) =
  \sum_0^n f(x_j) h_j(x)$ est un op\'erateur positif. Comme pour les
polyn\^omes de Bernstein, on peut en tirer une d\'emonstration
du th\'eor\`eme de Weierstrass
 $\overline{\mathscr{P}} = \mathscr{C}$ selon $\|\ \|_\infty$ sur
un compact $[a,b]$.

\emph{\textbf{Exercice.}} Montrez que, si les $x_i$ sont les z\'eros du
polyn\^ome de Tchebycheff $T_{n+1}$, on a
$$ h_j(x) = (1-xx_j)\left( \dfrac{T_{n+1}(x)}{n(x-x_j)}\right)^2.$$


} %end Small

% m2171l4.tex
%\def\Phi{{}^1\kern-.15em\Phi}


\section{Formules d'int\'egration bas\'ees sur l'interpolation.}


\smallskip

Une formule interpolatoire de quadrature consiste \`a approcher
$\int_a^b f(x)d\mu(x)$ par
$\int_a^b p_n(x)d\mu(x)$, o\`u $p_n$ est un interpolant de $f$. La
formulation de Lagrange est la plus commode ici: la formule de quadrature est
$$ \sum_{j=0}^n L_j\; f(x_j)\;, \qquad\qquad L_j=\int_a^b \ell_j(x) d\mu(x).$$

Les exemples les plus classiques (Simpson, etc.) sont associ\'es \`a des
points en progression arithm\'etique et seront vus au chapitre suivant.

\smallskip

Toute formule de ce type est une forme contenant $\mathscr{P}_n$ dans son
noyau, donc
\begin{multline*}
  \left\|\int_a^b f(x)d\mu(x) - \sum_{j=0}^n L_j\;f(x_j)\right\| =
  \left\|\int_a^b (f(x)-\hat p_n(x))d\mu(x) - \sum_{j=0}^n L_j\;(f(x_j)-\hat p_n(x_j))\right\|
\\  \leqslant \left[\int_a^b d\mu(x) +\sum_{j=0}^n |L_j|\right] \|f-\hat p_n\|_\infty,\end{multline*}
estimation sp\'ecialement favorable si les $L_j\geqslant 0$: on a alors
$\sum_0^n |L_j| = \sum_0^n L_j = \int_a^b d\mu(x)$.

\smallskip
\subsection{Reste de la formule de quadrature de Gauss} {\ } \\
La formule de quadrature de Gauss vue au chap.~3 p.~\pageref{formgauss1}
peut aussi s'interpr\'eter
comme une formule interpolatoire, mais \`a partir d'un interpolant
d'Hermite! En effet, soit $p_{2n-1}$ le polyn\^ome de $\mathscr{P}_{2n-1}$
qui v\'erifie $p_{2n-1}(x_j)= f(x_j)$ et
              $p'_{2n-1}(x_j)= f'(x_j)$, $j=1,\ldots, n$.
D'apr\`es la formulation de Lagrange dans le cas confluent, on a
$p_{2n-1}(x)= \sum_{j=1}^n (f(x_j) h_j(x)+ f'(x_j)\tilde h_j(x))$
(les indices vont maintenant de 1 \`a $n$), donc
$\int_a^b p_{2n-1}(x)d\mu(x)= \sum_{j=1}^n( H_j f(x_j)+ \widetilde{H_j}
 f'(x_j))$, avec
$H_j= \int_a^b h_j(x)d\mu(x)$ et
$\widetilde{H_j}= \int_a^b \tilde h_j(x)d\mu(x)$. Cependant, si les $x_j$
sont les z\'eros du polyn\^ome orthogonal $\Phi_n$ de degr\'e $n$ relatif
\`a $d\mu$ (et on sait [p.~\pageref{zerospolorth}]
    que $\Phi_n$ a tous ses z\'eros distincts
dans $(a,b)$), on a
\begin{equation*}\begin{split}
 \widetilde{H_j} &= \int_a^b \tilde h_j(x)\;d\mu(x) \\
      &= {\rm\ constante\ }\int_a^b (x-x_j) \prod_{1\le k\le n, k\ne j}
  (x-x_k)^2\;d\mu(x) \\
    &= {\rm\ constante\ }\int_a^b \Phi_n(x) \prod_{k\ne j} (x-x_k)\;
  d\mu(x) \\
    &= 0
\end{split}\end{equation*}
par orthogonalit\'e de $\Phi_n$ et $\mathscr{P}_{n-1}$!

La formule se r\'eduit donc \`a une combinaison de $f(x_1)$,\dots,
$f(x_n)$ et est exacte sur $\mathscr{P}_{2n-1}$, ce qui suffit \`a
l'identifier \`a la formule de Gauss.

V\'erifions quand m\^eme que $H_j$ est bien le $w_{j,n}$ de la p.~\pageref{formgauss1}:
\begin{equation*}\begin{split}
 H_j &= \int_a^b h_j(x)\;d\mu(x) \\
 &= \int_a^b [1+A_j(x-x_j)] \prod_{1\le k\le n,k\ne j}
    \left(\dfrac{x-x_k}{x_j-x_k}\right)^2\;d\mu(x) \qquad\qquad(\text{d'apr\`es\ } \eqref{lagrherm})\\
 &= \int_a^b [1+A_j(x-x_j)] \left(\dfrac{\varphi_n(x)}{(x-x_j)\varphi'_n
   (x_j)}\right)^2\;d\mu(x) \\
 &= \int_a^b  \left(\dfrac{\varphi_n(x)}{(x-x_j)\varphi'_n
   (x_j)}\right)^2\;d\mu(x)\;>0 \qquad\qquad{\hbox{\rm (orthogonalit\'e)}}\\
 &= \int_a^b  \left(\dfrac{\sum_{k=0}^{n-1}\varphi_k(x) \varphi_k(x_j)}
  {\beta_n\varphi'_n(x_j)\varphi_{n-1}(x_j)}\right)^2\;d\mu(x)
   \qquad\qquad{\hbox{\rm (Christoffel-Darboux)}}\\
 &= \dfrac{\sum_{k=0}^{n-1} \varphi_k^2(x_j)}
  {\beta_n^2\varphi'{}^2_n(x_j)\varphi_{n-1}^2(x_j)}
   \qquad\qquad{\hbox{\rm (orthonormalit\'e)}}\\
 &= \dfrac1{\sum_{k=0}^{n-1} \varphi_k^2(x_j)}
   \qquad\qquad{\hbox{\rm (Christoffel-Darboux avec $x=y=x_j$)}}
\end{split}\end{equation*}

Le reste de la formule est donc
\begin{equation*}\begin{split}
   \int_a^b f(x)\,d\mu(x) - \sum_{j=1}^n H_j f(x_j) &= \int_a^b
      \left(f(x)-p_{2n-1}(x)\right) d\mu(x)  \\
  &= \int_a^b k_{2n-1}(x) (x-x_1)^2\ldots (x-x_n)^2\; d\mu(x) \\
 &= \int_a^b k_{2n-1}(x) \Phi_n^2(x)\; d\mu(x) \\
 &= k_{2n-1}(\xi) \; \|\Phi_n\|^2.\\
 &= \dfrac{f^{(2n)}(\xi')}{(2n)!} \; \|\Phi_n\|^2.
\end{split}\end{equation*}
avec $\xi$ et $\xi'\in [a,b]$, ayant utilis\'e le premier th\'eor\`eme
de la moyenne
\footnote{J.\ Mawhin, {\sl Introduction \`a l'analyse\/},  \label{noteMawhin}
 Cabay, 1979, p.334; \textsl{Analyse. Fondements, techniques, \'evolution},
 De Boeck, % 1992, p.389; \index{Mawhin, J.}
  p.~388 dans la $2^{\text{\`eme}}$ \'edition
 de 1997: si $f$ est r\'eelle continue sur $[a,b]$, $g$
 positive sur $[a,b]$, $g$ et $fg$ int\'egrables sur $]a,b]$, alors
 $\exists c\in [a,b]: \int_a^b fg = f(c)\int_a^b g$},
 %  [le mot \emph{positive}
 %manque dans l'\'edition de 1992] },
sachant que $k_{2n-1}$ est continue si $n\geqslant 1$ (en effet, $k_{2n-1}(x)=
(f(x)-p_{2n-1}(x))/\Phi_n^2(x)$ n'est susceptible d'\^etre discontinue qu'aux
z\'eros de $\Phi_n$. Les limites \`a gauche et \`a droite d'un tel point $x_{j,n}$ sont, comme $p=f$ et $p'=f'$ en ce point, $(f''(x_{j,n})-p_{2n-1}''(x_{j,n}))/(2\Phi_n'^2(x_{j,n}))$.)
.

\subsection{Formules de quadratures de Gauss avec points impos\'es} {\ } \\

Fixons $x^{(1)}_0,\dotsc, x^{(1)}_{n_1}$, laissons $x^{(2)}_1,\dotsc, x^{(2)}_{n_2}$
libres de fa\c con \`a avoir une formule
$\displaystyle{\int_a^b f(x)d\mu(x) }\approx$
$\displaystyle{\sum_0^{n_1} h^{(1)}_i f(x^{(1)}_i) +
                         \sum_1^{n_1} h^{(2)}_j f(x^{(2)}_j) }$  exacte
pour des polyn\^omes de degr\'e aussi \'elev\'e que possible (\emph{degr\'e
de pr\'ecision}). Comme il y a $n_1+2n_2+1$ degr\'es de libert\'e (les
$n_1+1$ $h^{(1)}_i$, les $n_2$ $x^{(2)}_j$ et les $n_2$ $h^{(2)}_j$), on
s'attend \`a un degr\'e de pr\'ecision $n_1+2n_2$. \\
Solution: soit $\omega_1(x)= (x-x^{(1)}_0)\ldots (x-x^{(1)}_{n_1})$.
On prend $x^{(2)}_j$ et $h^{(2)}_j \omega_1(x^{(2)}_j)$ = noeuds et poids de la formule de Gauss
relative \`a la mesure $\omega_1(x)\,d\mu(x)$. Alors, $\forall p\in
\mathscr{P}_{n_1+2n_2}$, $p=q\omega_1+r$, avec $q\in \mathscr{P}_{2n_2-1}$
et $r\in\mathscr{P}_{n_1}$. On a bien
\begin{multline*}
 \int_a^b p(x)\,d\mu(x) =
   \int_a^b q(x)\omega_1(x)\,d\mu(x) +
   \int_a^b r(x)\,d\mu(x) =\underbrace{\sum_1^{n_2} h^{(2)}_j \omega_1(x^{(2)}_j)
       q(x^{(2)}_j)}_{\text{exacte par Gauss}} \\+
     \sum_0^{n_1} h^{(1)}_i r(x^{(1)}_i) +
     \sum_1^{n_2} h^{(2)}_j r(x^{(2)}_j), \end{multline*}
o\`u il suffit donc de fixer les $n_1+1$ $h^{(1)}_i$ pour que la formule soit
exacte pour tout $r\in\mathscr{P}_{n_1}$.

On distingue les r\`egles de
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{0}
 \item Lobatto: $n_1=1$, $x^{(1)}_i = a$ et $b$.     \index{Lobatto}
 \setcounter{enumi}{1}
 \item Radau: $n_1=0$, $x^{(1)}_0 = a$ ou $b$.       \index{Radau}
 \setcounter{enumi}{2}
 \item Kronrod: $n_1=n_2=n$, les $x^{(1)}_i$ proviennent d'une formule de Gauss.
   La th\'eorie est assez d\'elicate, la mesure $\omega_1(x)\,d\mu(x)$
   n'\'etant plus de signe constant (th\'eorie des polyn\^omes de Stieltjes).
\end{enumerate}                                       \index{Kronrod}

Cf. W.~Gautschi,
Orthogonal polynomials and quadrature, \textsl{ETNA} (
  \href{http://etna.mcs.kent.edu/html/}
       {\texttt{http://etna.mcs.kent.edu/html/}})
\textbf{9} (1999) 65-76.

On se sert souvent d'une formule de Kronrod pour estimer l'exactitude
du r\'esultat obtenu avec la r\`egle de Gauss sous-jacente. Si
l'\'ecart est sup\'erieur \`a une tol\'erance demand\'ee, on reprend
avec un intervalle plus petit, voir r\`egles adaptatives plus bas.

\smallskip

\subsection{Points de Tchebycheff: r\`egle de Clenshaw-Curtis} {\ } \\
   \index{Clenshaw-Curtis, r\`egle de}
\index{Int\'egration: r\`egle de Clenshaw-Curtis}
Si on dispose de l'approximation discr\`ete       \index{Int\'egration: Clenshaw-Curtis}
$\displaystyle{\sideset{}{''}\sum_0^N c_k^{(N)}(f)\, T_k}$ de $f$, en fait
interpolation de $f$ aux $N+1$ extrema $\cos(j\pi/N)$, $j=0,\dotsc, N$ de
$T_N$, on estime $\int_{-1}^1 f(x)dx$ par \\
$\displaystyle{\sideset{}{''}\sum_0^N c_k^{(N)}(f)\, \int_{-1}^1 T_k(x)dx}=$
$\displaystyle{\sideset{}{''}\sum_{0\leqslant k \text{ pair }\leqslant N} c_k^{(N)}(f)\, \frac{2}{1-k^2} },$
ce qui donne, compte tenu de    \\
$\displaystyle{c_k^{(N)}(f)=\frac{2}{N}\sideset{}{''}\sum_0^N \cos\frac{jk\pi}{N}f\left(\cos\frac{j\pi}{N}\right) }$,
%d'o\`u
$$ \int_{-1}^1 f(x)\,dx \approx \sideset{}{''}\sum_{j=0}^N \gamma_j^{(N)}
  f\left(\cos\frac{j\pi}{N}\right)\;,\quad
  \gamma_j^{(N)} = \frac{2}{N}\sideset{}{''}\sum_{0\leqslant k\text{ pair }
  \leqslant N} \frac{2\cos(jk\pi/N)}{1-k^2}.$$

cf. Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis? (SIAM Annual Meeting, July 2006)
\href{http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/cctalk.pdf}
{\tt http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/cctalk.pdf},
Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis? (SIAM Review, to appear)
\href{http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/CC_trefethen_revised2.pdf}
{\tt http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/CC\_trefethen\_revised2.pdf}


\subsection{R\`egles adaptatives d'int\'egration}  {\  } \\

On ne subdivise un intervalle que si une estimation de l'erreur
d\'epasse une tol\'erance impos\'ee. On arrive \`a une construction
r\'ecursive du type

\noindent integ(f,a,b,tol)

 f1=formul1(f,a,b)  /*  formule de base sur $(a,b)$ */

 f2=formul2(f,a,b)  /*  formule plus rafin\'ee, par exemple, Kronrod */

 if $|$f2-f1$|<{}=$ tol then return f1

 \qquad\qquad else return integ(f,a,(a+b)/2,tol/2) + integ(f,(a+b)/2,b,tol/2)

\noindent end
\index{Int\'egration: r\`egles adaptatives}
Cf.
 J.R.~Rice, \textsl{Numerical Methods, Software,
    and Analysis}, McGraw-Hill, 1983,
pp.~193-198;
 P.~Favati, G.~Lotti, F.~Romani,
 Algorithm 691; Improving QUADPACK automatic integration routines,
 \textsl{ACM Trans. Math. Soft.} \textbf{17} (1991) 218-232.

Pour des d\'eveloppements r\'ecents, en particulier sur l'int\'egration
num\'erique de fonctions de plusieurs variables, voir le tr\`es
dynamique groupe ``NINES'' de la KULeuven,    \\
\href{http://www.cs.kuleuven.ac.be/cwis/research/nines/}
{\texttt{http://www.cs.kuleuven.ac.be/cwis/research/nines/}}
\index{Int\'egration: plusieurs var. et soft. KULeuven}


\section{Repr\'esentation du reste: th\'eor\`eme de Peano.}

\smallskip

Lorsqu'une formule approch\'ee est exacte pour des polyn\^omes de degr\'e
$n$, on essaye le plus souvent de trouver pour le reste une expression de
la forme $C f^{(n+1)}(\xi)$, le prototype de ce genre de formule \'etant
le reste d'une approximation de Taylor (en un point fix\'e x):
$$ \hspace*{-10pt} R_{\text{Taylor},n} f := f(x) -f(x_0) -(x-x_0)f'(x_0) -\dotsb -
    \dfrac{(x-x_0)^n f^{(n)}(x_0)}{n!} =
    \dfrac{(x-x_0)^{n+1} f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},\
$$
($\xi\in[x_0,x]$),
valable si $f\in\mathscr{C}^{n+1}[x_0,x]$. On a trouv\'e une extension
au reste de l'interpolation polynomiale:
$$ R_{\text{interp},n} f := f(x) - \text{ interpolant de } f \text{ en }
   x_0,\dotsc,x_n =
    \dfrac{(x-x_0)\ldots (x-x_n) f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!},
$$
avec $\xi\in[\min(x_0,\dotsc,x_n,x),
             \max(x_0,\dotsc,x_n,x)]$.

Deux probl\`emes:
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
\item L'incertitude sur $\xi$ peut conduire \`a surestimer des bornes
 d'erreur. Cette situation ne peut que s'aggraver si on utilise de telles
 estimations dans d'autres formules, par exemple dans une r\`egle de
 quadrature interpolatoire.
\setcounter{enumi}{1}
\item On peut vouloir appliquer la formule \`a $f\not\in\mathscr{C}^{n+1}$.
\end{enumerate}

Et deux id\'ees pour s'en sortir:

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
\item Comme on s'int\'eresse \`a des formes lin\'eaires, $R f = R(f-p)$ pour
 tout $p$ de degr\'e $\leqslant n$, par exemple, une meilleure approximation,
 mais aussi toute autre approximation, et pas n\'ecessairement de degr\'e
 $n$, une approximation de Taylor, etc.
\setcounter{enumi}{1}
\item On conna\^\i t aussi une formulation int\'egrale du
   reste de l'approximation de Taylor de n'importe quel degr\'e $m \leqslant n$
$$ R_{\text{Taylor},m} f =\int_{x_0}^x \dfrac{(x-t)^m f^{(m+1)}(t)}{m!}\,dt.$$
\end{enumerate}

\smallskip

Le th\'eor\`eme de Peano incorpore ces deux id\'ees dans l'\'enonc\'e
remarquable suivant:

\smallskip
\index{Peano, th\'eor\`eme de}
\subsection{Th\'eor\`eme (Peano)} \emph{Soit $R$ une forme sur
$\mathscr{C}^r(a,b)$ s'annulant sur $\mathscr{P}_m$. Alors,
si $f\in\mathscr{C}^{m+1}(a,b)$, \ \ \ \ $(m\geqslant r\geqslant 0)$,
   }
 \begin{equation} \label{thPeano}
  R f = \int_a^b K_m(t) f^{(m+1)}(t)\,dt,
 \end{equation}
 \emph{
 avec $\displaystyle{ K_m(t) = R\dfrac{(.-t)^m_+}{m!} }$, c'est-\`a-dire
 pour $t$ fix\'e, $K_m(t)= R$ appliqu\'ee \`a la fonction de $u$ qui vaut
 0 tant que $u<t$, et qui vaut $(u-t)^m/m!$ quand $u\geqslant t$.
     }

 \smallskip

 \emph{
 \noindent De plus, si $K_m$ est de signe constant sur }$(a,b)$,
 $$ R f = C f^{(m+1)}(\xi)\;, \qquad \text{ o\`u }
      C = R \dfrac{u^{m+1}}{(m+1)!}.$$

\smallskip

Graphes de fonctions $\varphi(u)=(u-t)_+^m$:

\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(16,3)

\thinlines
\put(0,0.5){\vector(1,0){4.5}} \put(0,0.5){\vector(0,1){2.6}}
\put(4.4,0.55){$u$}     \put(0.5,2){$m=0$}
\put(2,0.3){\line(0,1){0.4}}   \put(1.9,0.1){$t$}
\Thicklines \drawline(0,0.5)(2,0.5)(2,2.5)(4,2.5)

\thinlines
\put(5,0.5){\vector(1,0){4.5}} \put(5,0.5){\vector(0,1){2.6}}
\put(9.4,0.55){$u$}     \put(6,2){$m=1$}
\put(7,0.3){\line(0,1){0.4}}   \put(6.9,0.1){$t$}
\Thicklines \drawline(5,0.5)(7,0.5)(9,2.5)

\thinlines
\put(10,0.5){\vector(1,0){4.5}} \put(10,0.5){\vector(0,1){2.6}}
\put(14.4,0.55){$u$}     \put(11,2){$m=2$}
\put(12,0.3){\line(0,1){0.4}}   \put(11.9,0.1){$t$}
\Thicklines \drawline(10,0.5)(12,0.5)\spline(12,0.5)(13,0.5)(14,2.5)
\end{picture}

En effet, $R$ s'applique \`a $\mathscr{C}^r \Rightarrow R$ est une combinaison
lin\'eaire de valeurs ponctuelles de $f, f',\dotsc, f^{(r)}$ et
d'int\'egrales de $f, f',\dotsc, f^{(r)}$:
$$ R f = \sum_i\sum_{j\leqslant r} c_{i,j} f^{(j)}(x_{i,j}) +
               \sum_{j\leqslant r} \int_a^b d_j(u) f^{(j)}(u)\,du $$
(notons que les valeurs ponctuelles pourraient \^etre incorpor\'ees dans
des int\'egrales au sens de Riemann-Stieltjes). \\
on a donc $R f = R(f-p)$ avec n'importe quel $p\in\mathscr{P}_m$,
choisissons $p=$ approximation de Taylor de degr\'e $m$
 autour de  $a$, donc
$f(x)-p(x) = \displaystyle{\int_a^x \dfrac{(x-t)^m f^{(m+1)}(t) }{m!}\,dt }$,
ce qui s'\'ecrit encore comme l'int\'egrale sur $(a,b)$:\ %
     $\displaystyle{\int_a^b \dfrac{(x-t)_+^m f^{(m+1)}(t) }{m!}\,dt }$,  \\
remarquons aussi que la $j^{\text{\`eme}}$ d\'eriv\'ee de $f-p$ est
$f^{(j)}(x)-p^{(j)}(x) = \displaystyle{\int_a^b \dfrac{(x-t)_+^{m-j} f^{(m+1)}(t) }{(m-j)!}\,dt }$, \\
donc
\begin{multline*}
   R f = R(f-p) =
  \sum_i\sum_{j\leqslant r} c_{i,j} \int_a^b
                        \dfrac{(x_{i,j}-t)_+^{m-j} f^{(m+1)}(t) }{(m-j)!}\,dt +  \\
         \sum_{j\leqslant r} \int_a^b d_j(u) \int_a^b
                        \dfrac{(u-t)_+^{m-j} f^{(m+1)}(t) }{(m-j)!}\,dt \;du
\end{multline*}
$$
 = \int_a^b \left\{ \sum_i \sum_{j\leqslant r} c_{i,j}
         \dfrac{(x_{i,j}-t)_+^{m-j}  }{(m-j)!} +
         \sum_{j\leqslant r} \int_a^b d_j(u)
         \dfrac{(u-t)_+^{m-j}  }{(m-j)!}\,du \right\} f^{(m+1)}(t)\;dt
$$
(th\'eor\`eme de Fubini-Tonelli pour les fonctions int\'egrables), ce qui est
bien $\displaystyle{\int_a^b K_m(t) f^{(m+1)}(t)\,dt}$ avec
$K_m(t)=\displaystyle{
  \sum_i \sum_{j\leqslant r} c_{i,j}
         \dfrac{(x_{i,j}-t)_+^{m-j}  }{(m-j)!} +
         \sum_{j\leqslant r} \int_a^b d_j(u)
         \dfrac{(u-t)_+^{m-j}  }{(m-j)!}\,du } = R$ appliqu\'e \`a
$\varphi(u)=(u-t)_+^m/(m!)$ pour $t$ fix\'e $\in[a,b]$.

\smallskip

Enfin, si $K_m$ est de signe constant sur $[a,b]$,
$\int_a^b K_m(t) f^{(m+1)}(t)\,dt = C f^{(m+1)}(\xi)$, avec
$C=\int_a^b K_m(t)\,dt$, par le th\'eor\`eme de la moyenne du
calcul int\'egral (voir note p. \pageref{noteMawhin}). Par cons\'equent,
si on applique $R$ \`a un polyn\^ome $f$ tel que $f^{(m+1)}(x)\equiv 1$,
comme $f(x)=x^{m+1}/(m+1)!$, on a bien $R f=C$. \qed

\medskip

\noindent\textbf{Remarques.}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
 \item Pour $t$ fix\'e dans $[a,b]$ et $m\geqslant 1$, $\varphi_m(u) =
  (u-t)_+^m/m!$ est la $m^{\text{\`eme}}$ primitive de la fonction
  \'echelon $\varphi_0(u)=(1+\text{sign}\;(u-t))/2$, avec
  $\varphi_m(a)=0: \varphi_m(u)=\int_a^u \varphi_{m-1}(t)\,dt$.
\setcounter{enumi}{1}
 \item Au sens des distributions, $\varphi_m$ est la
 $(m+1)^{\text{\`eme}}$ primitive de la distribution de Dirac
  $\delta(u-t)$.
\setcounter{enumi}{2}
 \item Si on admet la forme \eqref{thPeano}, on retrouve
  effectivement une valeur de $K_m$, disons $K_m(t_0)$, en appliquant $R$ \`a une
  fonction dont la d\'eriv\'ee $(m+1)^{\text{\`eme}}$ est une
  distribution de Dirac, pr\'ecis\'ement $f(t)=(t-t_0)_+^m/m!$.
\setcounter{enumi}{3}
 \item Si $m>r$, $K_m(a)=K_m(b)=0: \varphi_m\in\mathscr{C}^{m-1}$, donc
  $K_m$ est continue (ne contient que des d\'eriv\'ees au plus
  $r^{\text{\`emes}}$ de $\varphi_m$), $K_m(a)= R$ appliqu\'e au
  polyn\^ome $(u-a)^m/m!\in\mathscr{P}_m$, $K_m(b)= R$ appliqu\'e
  \`a la fonction nulle.
\setcounter{enumi}{4}
 \item Si $m>r$, $K_m(t)=-\int_a^t K_{m-1}(u)\,du$, puisque
  $K_m(a)=K_m(b)=0$ et \\$R f=\int_a^b K_m(t) f^{(m+1)}(t)\,dt \Rightarrow R f =
   [K_m f^{(m)}]_a^b -\int_a^b K'_m(t) f^{(m)}(t)\,dt$.
\setcounter{enumi}{5}
 \item Si $R f=0$ pour $f\in\mathscr{P}_n$, $K_0,\dotsc, K_{n-1}$
  doivent changer de signe sur $[a,b]$ puisque
  $\int_a^b K_m(t)\,dt =0$ tant que $m<n$ (il suffit de prendre
  $f(t)=t^{m+1}$ dans \eqref{thPeano}). Seul $K_n$ a une chance
  de ne pas changer de signe sur $[a,b]$ si $R f$ ne s'annule pas
  sur $\mathscr{P}_{n+1}$.
\end{enumerate}

Exemples:

Diff\'erence divis\'ee: d'apr\`es \eqref{genoc1}, $K_n(t)=$
 la mesure de l'intersection du simplexe $S_n$ et de
l'hyperplan $\lambda_0 x_0 +\dotsb +\lambda_n x_n =t$. $K_n$ est
donc une fonction positive, d'int\'egrale d\'efinie $1/n!$. On a
$$ K_n(t)=B_n(t;x_0,\dotsc, x_n),$$
fonction de classe $\mathscr{C}^{n-2}$, dont la restriction entre deux
$x_i$ est un polyn\^ome de $\mathscr{P}_{n-1}$ (\emph{\textbf{B-spline.}})
En effet, 1.) pour $n=1$, on a $\displaystyle{ [x_0,x_1]_f =
\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{\chi((x_0,x_1))}{x_1-x_0} f'(t)\,dt }$,
 donc $B_1$ est une fonction discontinue, constante par intervalles,
 d'int\'egrale d\'efinie unit\'e;
2.) passage de $n-1$ \`a $n$: $\displaystyle{ [x_0,\dotsc, x_n]_f = }$ \\
$\displaystyle{\dfrac{[x_1,\dotsc, x_n]_f-[x_0,\dotsc, x_{n-1}]_f}{x_n-x_0} =
\int_{-\infty}^\infty \dfrac{ B_{n-1}(t;x_1,\dotsc, x_{n-1})
  -B_{n-1}(t;x_0,\dotsc, x_{n-1})}{x_n-x_0} f^{(n-1)}(t)\,dt = }$ \\
$\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty B_n(t;x_0,\dotsc, x_n) f^{(n)}(t)\,dt }$.
$B_n$ est donc une primitive  d'une combinaison de fonctions $B_{n-1}$, donc d'un ordre de
continuit\'e plus \'elev\'e, de degr\'e plus \'elev\'e que $B_{n-1}$ entre deux $x_i$.


\smallskip

Formules d'int\'egration: voir p.~\pageref{Peanor}

%\newpage



\chapter{Diff\'erences finies.}
\renewcommand{\mylmark}{Diff\'erences finies}
\thispagestyle{fancy}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large Interpolation, d\'erivation, int\'egration,
           formules sommatoires.}
\end{center}

\bigskip

On s'occupe ici de traiter des fonctions \`a partir de valeurs en des points
en progression arithm\'etique $x_0, x_0\pm h, x_0\pm 2h,\dotsc $

Les manipulations de diff\'erences de valeurs de fonctions ont d'abord
servi \`a l'utilisation de tables, un art aujourd'hui presque \'eteint.
\begin{center}
\hspace*{55pt} \begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|}
    \multicolumn{6}{l}{\textbf{29} \textsc{degr\'es}  } \\
  \hline
  ${}'$\ & Sin.\ & D\ & Tang.\ & D.C &Cotg.\    \\    \hline
   $\dotsb$ & $\dotsb$ & $\dotsb$ & $\dotsb$ & $\dotsb$ & $\dotsb$ \\
        &     &  22  &    &  30  &    \\
   \textbf{10}&$\overline{1}$,68$\;$784& & $\overline{1}$,74$\;$673 & & $0,25\;327$  \\
        &     &  23  &    &  29  &   \\
     11 & 807 &      & 702&      & 298  \\
        &     &  22  &    &  30  &  \\
     12 & 829 &      & 732&      & 268  \\
        & etc.&      &    &      &      \\
   \hline
  \end{tabular}  \hspace*{23pt}  {\Small
 \begin{tabular}{|r|r|}
  \hline
    \multicolumn{2}{|c|}{Parties}   \\
   \multicolumn{2}{|c|}{prop.} \\ \hline
                        &    \\
   $\underline{{}''\ }$ & $\underline{\textbf{23}}$ \\
                     10 & 3,8 \\
                     20 & 7,7 \\
                     30 &11,5 \\
                     40 &15,3 \\
                     50 &19,2 \\
                      6 & 2,3 \\
                      7 & 2,7 \\
                      8 & 3,1 \\
                      9 & 3,5  \\
   \hline
  \end{tabular}           }

           Extrait des \textsl{Tables de logarithmes \`a cinq d\'ecimales et
    autres tables}, par N.J. Schons, La Procure-Casterman, $4^{\text{\`eme}}$
    \'ed., 1959. \\
    {\Small
    Des logarithmes d\'ecimaux de sinus et tangentes sont donn\'es de minute
    en minute, les nombres n\'egatifs sont donn\'es
    sous la forme $\overline{x},yyyyy$ signifiant $-x +0.yyyyy$.
    Les diff\'erences premi\`eres (``D.C'' signifie que ces diff\'erences
    valent \'egalement pour les cotangentes) suffisent \`a reconstituer
    une valeur pour un angle jusqu'\`a la pr\'ecision de la seconde d'arc.
    Les colonnes ``parties proportionnelles'' servent \`a faciliter les
    calculs d'interpolation lin\'eaire. }
  \end{center}

Le calcul aux diff\'erences finies s'est
 rapidement d\'evelopp\'e  en m\^eme temps que le calcul infinit\'esimal
(dans la d\'enomination, ``finies'' s'oppose \`a ``infinit\'esimales''),
ce qui est l'occasion de rencontrer des correspondances int\'eressantes
(il y a des formules de sommation par parties, etc.)  On retrouve ce
calcul dans certains domaines de l'alg\`ebre (groupes particuliers), de la
th\'eorie des fonctions (transformations de fonctions) et, bien entendu,
en math\'ematiques discr\`etes.

Nombreuses applications en physique et en th\'eorie du signal.

\medskip

\section{Les op\'erateurs du calcul aux diff\'erences.}

Pour $h$ fix\'e, on envisage d'appliquer les op\'erateurs suivants \`a des
fonctions d\'efinies sur un ensemble contenant au moins des nombres en
progression arithm\'etique de pas $h$:

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
\item \textbf{Op\'erateur de translation.} \\
  $E:  (Ef)(x) = f(x+h)$.
\setcounter{enumi}{1}
\item \textbf{Op\'erateur de diff\'erence progressive.} \\
  $\Delta: (\Delta f)(x) = f(x+h)-f(x)$.
\setcounter{enumi}{2}
\item \textbf{Op\'erateur de diff\'erence r\'egressive.} \\
  $\nabla: (\nabla f)(x) = f(x)-f(x-h)$.
\setcounter{enumi}{3}
\item \textbf{Op\'erateur de diff\'erence centrale.} \\
  $\delta: (\delta f)(x) = f(x+h/2)-f(x-h/2)$.
\setcounter{enumi}{4}
\item \textbf{Op\'erateur de moyenne.} \\
  $\mu: (\mu f)(x) = \dfrac{f(x+h/2)+f(x-h/2)}{2}$.
\setcounter{enumi}{5}
\item \textbf{Op\'erateur de d\'erivation.}
  $D: (Df)(x) = f'(x)$.
\setcounter{enumi}{6}
\item \textbf{Op\'erateur d'int\'egration.}
  $J: (Jf)(x)={\displaystyle{\int_x^{x+h} f(t)dt}}$.
\end{enumerate}

Les deux derniers op\'erateurs sont bien s\^ur des op\'erateurs de l'analyse
infinit\'esimale. On verra comment les approcher au moyen des op\'erateurs
aux diff\'erences proprement dits.

\smallskip

Tous ces op\'erateurs sont bien des applications lin\'eaires d\'efinies
sur un ensemble tr\`es large de fonctions. On peut donc consid\'erer des
sommes et produits de ces op\'erateurs, ainsi:

$(E\Delta f)(x) = f(x+2h)-f(x+h)$, \\
$(\Delta^2 f)(x) = f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)$, \\
$(\delta^2 f)(x) = (\Delta \nabla f)(x) = (\nabla \Delta f)(x) =
    f(x+h)-2f(x)+f(x-h)$.

\smallskip
On v\'erifie que le \emph{produit est commutatif}.

\smallskip

\noindent\textbf{Accessibilit\'e.} Si on ne dispose que des valeurs
$f(x_0), f(x_0\pm h), f(x_0\pm 2h),\dotsc$, toute formule utilisable devra
n\'ecessairement aboutir \`a une combinaison de ces valeurs disponibles.

Ainsi, on peut librement disposer de n'importe quelle puissance (enti\`ere)
et produits
de $E, \Delta$ et $\nabla$ en toute abscisse $x_0+kh$, avec $k$ entier.\\
Par contre, $\delta$ et $\mu$ doivent \^etre appliqu\'es \`a des abscisses
$x_0+(k+1/2)h$, $k$ entier. $\delta^2$ et $\mu^2$ de $f$ en $x$ font appel
\`a $f(x)$ et $f(x\pm h)$ et peuvent donc s'appliquer \`a nouveau \`a des
abscisses $x_0+kh$, $k$ entier. Il en est de m\^eme pour tout produit
$\mu^i \delta^j$ si $i+j$ est pair.

\smallskip
Les m\^emes diff\'erences calculables s'expriment indiff\'eremment en termes
de diff\'erences progressives, centrales ou r\'egressives, soit
$x_k = x_0+kh$:

\begin{equation}
\begin{tabular}{lllll}  \label{tableauacces}
  $f(x_{-3})$&$                                $&$       $&$        $&     \\
            &$                                 $&$       $&$        $&     \\
  $f(x_{-2}) $&$                                 $&$       $&$        $&     \\
            &$ (\Delta f)(x_{-2}) = (\delta f)(x_{-3/2}) $&$=(\nabla f)(x_{-1}) $&$    $&   \\
  $f(x_{-1})  $&$ $&$ (\Delta^2 f)(x_{-2}) $&$= (\delta^2 f)(x_{-1}) =(\nabla^2 f)(x_0) $& \\
            &$ (\Delta f)(x_{-1}) = (\delta f)(x_{-1/2}) $&$=(\nabla f)(x_0)   $&$  (\Delta^3 f)(x_{-2}) = (\delta^3 f)(x_{-1/2}) = (\nabla^3 f)(x_1)$ \\
  $f(x_0)    $&$ $&$ (\Delta^2 f)(x_{-1}) $&$= (\delta^2 f)(x_0) =(\nabla^2 f)(x_1) $& \\
            &$ (\Delta f)(x_0)   = (\delta f)(x_{1/2}) $&$=(\nabla f)(x_1)    $&$   (\Delta^3 f)(x_{-1}) = (\delta^3 f)(x_{1/2}) = (\nabla^3 f)(x_2)$ \\
  $f(x_1)    $&$ $&$ (\Delta^2 f)(x_0) $&$= (\delta^2 f)(x_1) =(\nabla^2 f)(x_2) $& \\
            &$ (\Delta f)(x_1)   = (\delta f)(x_{3/2}) $&$=(\nabla f)(x_2)    $&$   $& \\
  $f(x_2)    $&$                                       $&$  $&$   $&  \\
            &$                                       $&$  $&$   $&   \\
  $f(x_3)    $&$                                       $&$  $&$   $&
  \end{tabular}
\end{equation}

\smallskip
\noindent\textbf{Inversion et autres identit\'es.} \\
$E^k$ signifie clairement $(E^k f)(x) = f(x+kh)$ pour tout $k\in\mathbb{Z}$.
Tout naturellement, on d\'efinira $(E^s f)(x) = f(x+sh)$ pour $s$
quelconque. On peut alors exprimer tous les op\'erateurs aux diff\'erences
en fonction de l'un d'entre eux, soit $E$:
$$ \Delta = E-1,\; \nabla=1-E^{-1},\;
   \delta = E^{1/2}-E^{-1/2},\;
   \mu  = \frac{E^{1/2}+E^{-1/2}}{2},\;
   E^{\pm 1} = (\mu \pm \delta/2)^2,\;
   1=\mu^2 -\delta^2/4.
$$
(pour $D$ et $J$, on verra un peu plus loin).

\smallskip
L'inverse de $\Delta$ n'est d\'efinie qu'\`a une constante pr\`es, comme
l'inverse de $D$: ce doit donc \^etre une sorte de primitive discr\`ete,
on y reviendra.

Remarquons que $\Delta D^{-1}$ est bien d\'efini: ce n'est autre que $J$!

Ce calcul op\'erationnel est partiellement justifi\'e par l'effet de l'application
de ces op\'erateurs aux fonctions exponentielles $e^{\lambda x}$: on constate
que l'on retrouve la m\^eme exponentielle multipli\'ee par une constante, que
les exponentielles sont donc des \emph{fonctions propres} de ces op\'erateurs,
avec les \emph{valeurs propres}
\begin{equation} \label{valpropdif} \begin{matrix}
  E           &    \Delta    &    \nabla    &   \delta   &  \mu    &  D    &   J   \\
  e^{\theta}& e^{\theta}-1&1-e^{-\theta}&e^{\theta/2}-e^{-\theta/2}
     &\dfrac{e^{\theta/2}+e^{-\theta/2}}{2} &  \dfrac{\theta}{h} &
         h\dfrac{e^\theta -1}{\theta} \\
         &   &    &  =2\sinh(\theta/2) & =\cosh(\theta/2) &   &
\end{matrix} \end{equation}
o\`u $\theta = h\lambda$.

\medskip

{\Small \textbf{Autres op\'erateurs.}

   $q-$diff\'erence: $\displaystyle{
         (D_q f)(x) = \frac{ f(qx)-f(x)}{(q-1)x}  }$.

  Op\'erateur d'Askey-Wilson: choix le plus g\'en\'eral de
     fonctions $\varphi_1$ et $\varphi_2$ telles que
      $\displaystyle{
         (\mathscr{D}_{AW} f)(x) = \frac{ f(\varphi_2(x))
                                         -f(\varphi_1(x)) }
                       { \varphi_2(x)-\varphi_1(x) }
                         }$
   envoie $\mathscr{P}_n$ dans $\mathscr{P}_{n-1}$.

Cf. R.~Askey, J.~Wilson: Some basic hypergeometric orthogonal
 polynomials that generalize Jacobi polynomials, \textsl{Memoirs
of the AMS} \textbf{54}, n${}^\circ$~319 (1985).
G.~Gasper, M.~Rahman: \textsl{Basic Hypergeometric Series},
Encyc. of Math. and Applic. \textbf{35}, Cambridge U.P., 1990.
 R. Koekoek \& R.F. Swarttouw : The Askey-scheme of hypergeometric
 orthogonal polynomials and its q-analogue. Report Techn. Univ. Delft
 no. 98-17, 1998, voir p.~\pageref{reforthpol}.
} % end Small

\section{Interpolation.}

\smallskip

Estimer $f(x_0+sh)$ \`a partir des $f(x_0+kh)$, $k\in\mathbb{Z}$ revient
donc \`a exprimer $E^s$ \`a partir de puissances enti\`eres des
op\'erateurs disponibles, en fait \`a partir des expressions du tableau
\eqref{tableauacces}

\noindent\textbf{S\'eries de puissances de $\Delta$}. \\
D\'eveloppons $E^s = (1+\Delta)^s$ selon le bin\^ome de Newton g\'en\'eralis\'e:
$$ E^s = (1+\Delta)^s = \sum_{k=0}^\infty \binom{s}{k} \Delta^k =
 1+s\Delta +\frac{s(s-1)}{2}\Delta^2 +\frac{s(s-1)(s-2)}{6}\Delta^3+\dotsb $$
(\textbf{formule de Newton-Gregory}).

Deux fa\c cons de justifier ce d\'eveloppement:
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{0}
 \item Toute somme partielle repr\'esente un op\'erateur d'interpolation
  polynomiale, selon la forme de Newton, en effet, avec $x=x_0+sh$ et
$x_i=x_0+ih$, $i=0,1,\dotsc$ $s(s-1)\ldots (s-k+1) = (x-x_0)(x-x_1)\ldots
 (x-x_{k-1})/h^k$ et, en comparant la formation des diff\'erences finies
 aux diff\'erences divis\'ees:
 \begin{equation} \label{difffin}
    (\Delta^k f)(x_p) = (\nabla^k f)(x_{p+k}) =(\delta^k f)(x_{p+k/2}) =
       k! h^k [x_p, x_{p+1},\dotsc, x_{p+k}]_f =\sum_{j=0}^k (-1)^j
         \binom{k}{j} f(x_j).
 \end{equation}
 En effet, 1) vrai pour $k=0$; \ \ 2) si vrai en $k-1$,
\begin{equation*}\begin{split}
 (\Delta^k f)(x_p) &= (\Delta^{k-1} f)(x_{p+1}) - (\Delta^{k-1} f)(x_p) \\
                  &= (k-1)! h^{k-1} \underbrace{([x_{p+1}, x_{p+2},\dotsc, x_{p+k}]_f 
                                     -[x_p, x_{p+1},\dotsc, x_{p+k-1}]_f )}_{(x_{p+k}
         -x_p=kh) [x_p, x_{p+1},\dotsc, x_{p+k}]_f  }
\end{split}\end{equation*}

 La formule de Newton-Gregory est donc \emph{exacte} lorsqu'elle s'applique
 \`a un polyn\^ome, cas o\`u la s\'erie se limite \`a un nombre fini de termes
 non nuls.
\setcounter{enumi}{1}
 \item Lorsqu'on applique la formule \`a une exponentielle $e^{\lambda x}$,
 on voit qu'on est en pr\'esence de la s\'erie num\'erique
 $e^{s\theta}= [1+(e^{\theta}-1)]^s = \sum_0^\infty \binom{s}{k} (e^{\theta}-1)^k$,
 avec $\theta=h\lambda$, s\'erie qui converge si $|e^\theta-1|<1$. On peut
 \'etudier toute fonction susceptible d'une repr\'esentation du type
 $f(x)=\int_L e^{\lambda x} \varphi(\lambda)d\lambda$, forme que l'on trouve
 dans des formules d'inversion de transform\'ees de Laplace et de Fourier.
\end{enumerate}

\noindent\emph{\textbf{Exercice}:} constater la divergence de la s\'erie
de Newton-Gregory de $e^s$ \`a partir des diff\'erences de la suite
$\{1, e, e^2, e^3,\dotsc\}$.

\smallskip

Il y a \'egalement une forme r\'egressive d\'eveloppant $E^s = (1-\nabla)^{-s}$.

\medskip

\noindent\textbf{S\'eries de puissances de $\delta$}. \\

Les sommes partielles successives de la s\'erie de Newton-Gregory sont des
valeurs en $x=x_0+sh$ d'interpolants en $x_0$; $x_0$ et $x_1$;
$x_0, x_1$ et $x_2$, etc. Supposons $s$ entre 0 et 1: il faudrait alors
plut\^ot partir d'un certain $x_{-p}$, et commencer \`a rencontrer des valeurs
significatives \`a partir de la $p^{\text{\`eme}}$ somme partielle.

Il vaut mieux prendre les points d'interpolation dans l'ordre
$x_0$, $x_1$, $x_{-1}$, $x_2,\dotsc,$ ce qui donne \\
$[x_0]_f +[x_0,x_1]_f (x-x_0) +[x_0,x_1,x_{-1}]_f (x-x_0)(x-x_1)+
          [x_0,x_1,x_{-1},x_2]_f (x-x_0)(x-x_1)(x-x_{-1})+\dotsb $,\\
donc, par \eqref{difffin},
$$ E^s = 1+s\delta E^{1/2} +\frac{s(s-1)}{2} \delta^2 +
    \frac{s(s-1)(s+1)}{6} \delta^3 E^{1/2}+
    \frac{s(s-1)(s+1)(s-2)}{24} \delta^4 +\dotsb $$
(\textbf{formule de Gauss progressive}).\\ Si on prend plut\^ot l'ordre
$x_0$, $x_{-1}$, $x_1$, $x_{-2},x_2\dotsc,$ on a
$$ E^s = 1+s\delta E^{-1/2} +\frac{s(s+1)}{2} \delta^2 +
    \frac{s(s+1)(s-1)}{6} \delta^3 E^{-1/2}+
    \frac{s(s+1)(s-1)(s+2)}{24} \delta^4 +\dotsb $$
(\textbf{formule de Gauss r\'egressive}).

\noindent\textbf{Formule de Stirling}: moyenne des deux formules pr\'ec\'edentes
$$E^s = 1+s\mu\delta +\frac{s^2}{2}\delta^2 +\frac{s(s^2-1)}{6}\mu\delta^3
   + \frac{s^2(s^2-1)}{24}\delta^4 +\dotsb $$

\noindent\textbf{Formule de Bessel}: moyenne de la formule de Gauss
progressive et de $E$ fois la formule r\'egressive pour $E^{s-1}$:
$$ E^s = \frac{1+E}{2}+(s-1/2)\delta E^{1/2} +\frac{s(s-1)}{2} \delta^2 \frac{1+E}{2}+
    \frac{s(s-1)(s-1/2)}{6} \delta^3 E^{1/2}+
    \frac{s(s-1)(s+1)(s-2)}{24} \delta^4 \frac{1+E}{2}+\dotsb $$

\noindent\textbf{Formule d'Everett}: formule pr\'ec\'edente o\`u on
remplace les $\delta^{2p+1} E^{1/2}$ par $\delta^{2p} (E-1)$:
\begin{equation*} \begin{split}
   E^s &= \frac{1+E}{2}+(2s-1)\frac{E-1}{2} +\frac{s(s-1)}{2} \delta^2 \frac{1+E}{2}+
    \frac{s(s-1)(2s-1)}{6} \delta^2\frac{E-1}{2}+
    \frac{s(s-1)(s+1)(s-2)}{24} \delta^4 \frac{1+E}{2}+\dotsb   \\
  &= 1-s+sE  -\frac{s(s-1)(s-2)}{6} \delta^2 +
    \frac{(s+1)s(s-1)}{6} \delta^2 E+ \dotsb  \\
  &= \sum_{k=0}^\infty \left[ -\binom{s+k-1}{2k+1} \delta^{2k}
                             +\binom{s+k}{2k+1} \delta^{2k} E \right].
\end{split}\end{equation*}

\medskip


\section{D\'erivation.}

\smallskip

Il s'agit d'extraire $D$ en fonction de $E$, ou $\Delta$, etc.

Ecrivons symboliquement la formule de Taylor:
$$ (Ef)(x) = f(x+h) = \sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x)\; h^k}{k!} =
             \sum_{k=0}^\infty \frac{h^k}{k!} (D^k f)(x) =
        (e^{hD} f)(x),$$
soit,
$$  E= e^{hD}\;, \qquad\qquad D=\frac{1}{h} \,\ln E. $$

Formules  progressives et r\'egressives (\textbf{Markoff}):
$$ hD =\ln(1+\Delta) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{\Delta^k}{k}
      =-\ln(1-\nabla) = \sum_{k=1}^\infty  \frac{\nabla^k}{k} . $$

Formules centr\'ees (\textbf{Bickley}): d'apr\`es \eqref{valpropdif},
$hD = 2\arg\sinh(\delta/2) = 2\int_0^{\delta/2} (1+u^2)^{-1/2}du =
2\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1/2)(-3/2)\ldots(1/2-k)}{k!} \frac{(\delta/2)^{2k+1}}
  {2k+1}$,        \index{Bickley}
$$ (hD)^n = \delta^n \left[ 1 -\frac{n}{24} \delta^2 +\frac{5n^2+22n}{5760}
  \delta^4 +\dotsb \right],$$
utilisable en $x_0$ seulement si $n$ est pair. Si $n$ est impair, on
s'arrange pour avoir des termes en $\mu\delta^n$, $\mu\delta^{n+2}$, par
$(1+\delta^2/4)^{1/2}=\mu$:
$$ (hD)^n = \mu\delta^n \left[ 1 -\frac{n+3}{24} \delta^2 +\frac{5n^2+52n+175}{5760}
  \delta^4 +\dotsb \right].$$

\smallskip

Pour \'evaluer $f^{(n)}(x_0+sh)$: multiplier $D^n$ par un d\'eveloppement
de $E^s$ et appliquer en $x_0$.
\medskip


\section{Int\'egration.}

\smallskip

$$J=\Delta D^{-1} = \frac{h\Delta}{\ln E} = \frac{h\Delta}{\ln(1+\Delta)} =
\frac{h}{1 -\Delta/2 +\Delta^2/3 -\Delta^3/4+\dotsb} =
h\left(1+\frac{1}{2}\Delta -\frac{1}{12}\delta^2 +\dotsb \right)$$

\smallskip
$$ J=h\frac{E-1}{\ln E} = h\frac{(1-\nabla)^{-1}-1}{-\ln(1-\nabla)} =
 h\left(1+\frac{1}{2}\nabla +\frac{5}{12}\nabla^2
         +\frac{3}{8}\nabla^3 +\frac{251}{720}\nabla^4 +\dotsb  \right) $$
(\textbf{Adams-Bashforth}). Sert de pr\'edicteur dans des solveurs
d'\'equations diff\'rentielles: $y'=f \Rightarrow y(x_1) = y(x_0)+
     {\displaystyle{\int_{x_0}^{x_1} f(t,y(t))dt }} = y(x_0)+
     (Jf)(x_0)$.
$$ J=h\frac{E-1}{\ln E} = h\frac{E \nabla}{-\ln(1-\nabla)} =
 hE\left(1-\frac{1}{2}\nabla -\frac{1}{12}\nabla^2
         -\frac{1}{24}\nabla^3 -\frac{19}{720}\nabla^4 +\dotsb  \right) $$
(\textbf{Adams-Moulton}). Sert de correcteur.

\subsection{Formules de Newton-Cotes} {\ } \\

Principe: on estime l'int\'egrale d\'efinie $\displaystyle{\int_{x_0}^{x_m}
f(x)\,dx}$ par la valeur de l'int\'egrale de l'interpolant aux points
\'equidistants $x_0,x_1,\dotsc, x_m$ (formules ferm\'ees) ou
$x_1,x_2,\dotsc, x_{m-1}$ (formules ouvertes).

On peut par exemple exprimer $\displaystyle{J(1+E+\dotsb+ E^{m-1}) =
 J\dfrac{E^m-1}{E-1} }$ en s\'erie de puissances de $\Delta$ et s'arr\^eter
au terme en $\Delta^m$. Ainsi, la formule ferm\'ee pour $m=2$ est le
d\'eveloppement arr\^et\'e au terme en $\Delta^2$ de
$\displaystyle{h(1+\Delta/2-\Delta^2/12+\dotsb)\dfrac{(1+\Delta)^2-1}{\Delta} }$,
ce qui donne $h(2+2\Delta+\Delta^2/3) = h(1+4E+E^2)/3$ (\textbf{formule de
Simpson}). Les formules sont g\'en\'eralement donn\'ees en termes des valeurs
successives de $f$, comme on pourrait d'ailleurs les obtenir par int\'egration
de la forme de Lagrange de l'interpolant:


\index{trapezes, r\`egle des}
\index{Simpson, formule d'int\'egration de}
\index{Newton-Cotes, formules de}
\medskip
 \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
 m & \text{Formules ferm\'ees} & \text{Formules ouvertes} \\  \hline
 1 &  $ \dfrac{h(f_0+f_1)}{2}$  &                  \\
   &   trap\`eze       &                  \\  \hline
 2 &$ \dfrac{h(f_0+4f_1+f_2)}{3}$&    $ 2hf_1$         \\
   &   \text{Simpson}         &                   \\ \hline
 3 &$ \dfrac{3h(f_0+3f_1+3f_2+f_3)}{8}$ & $ \dfrac{3h(f_1+f_2)}{2}$ \\
   &  Newton 3/8 , ``pulcherrima'' &            \\  \hline
 4 &$\dfrac{2h(tf_0+32f_1+12f_2+32f_3+7f_4)}{45}$ &$ \dfrac{4h(2f_1-f_2+2f_3)}{3}$\\
  &  Bode, Milne     &      \\ \hline
\end{tabular}

\smallskip

Quand $m$ est pair, les formules ferm\'ees sont en fait exactes pour
des polyn\^omes de degr\'e $m+1$; $m-1$ au lieu de $m-2$ pour les formules
ouvertes: l'interpolant de degr\'e $m+1$ diff\`ere de l'interpolant de
degr\'e $m$ par un terme constante $(x-x_0) (x-x_1)\ldots (x-x_m)$ qui a
une int\'egrale d\'efinie nulle sur $[x_0,x_m]$ si $m$ est pair (fonction
impaire de $[x-(x_0+x_m)/2]$).

\smallskip

A partir des formules \`a 9 points, on commence \`a trouver des coefficients
n\'egatifs dans les formules ferm\'ees.

\smallskip

On utilise g\'en\'eralement des formules de Newton-Cotes dans des
\emph{r\`egles compos\'ees}:
l'intervalle $[a,b]$ est subdivis\'e en $mn$ intervalles de longueur $h$, et
on applique Newton-Cotes \`a $[x_0,\dotsc, x_m]$, $[x_{m+1},\dotsc, x_{2m}]$,
etc. Ainsi,

\textbf{R\`egle compos\'ee des trap\`ezes}:\ \\
  $\displaystyle{ \int_a^b f(x)\,dx \approx h(f_0 +2f_1 +2f_2+\dotsb +
      2f_{n-1}+f_n)/2 }$, $b-a=nh$,
\index{trapezes, r\`egle des}

\textbf{R\`egle compos\'ee de Simpson}:\ \\
  $\displaystyle{ \int_a^b f(x)\,dx \approx h(f_0 +4f_1 +2f_2+ 4f_3 +2f_4+4f_5\dotsb +
  2f_{2n-2}+    4f_{2n-1}+f_{2n})/3 }$, $b-a=2nh$.
\index{Simpson, formule d'int\'egration de}

\medskip

\section{Noyaux de Peano de r\`egles d'int\'egration.}
\label{Peanor}
On applique \eqref{thPeano}, p.~\pageref{thPeano}.

\smallskip

\subsection{Formule du trap\`eze} {\ } \\
$$ R f=\int_{x_0}^{x_1} f(u)\,du -h\frac{f(x_0)+f(x_1)}{2}\;,\ \ \ \
   r=0,m=0 \text{ et } 1\ \ \ (h=b-a).$$

$$ K_0(t)=\int_{x_0}^{x_1} \varphi_0(u)\,du
        -h\frac{\varphi_0(x_0)+\varphi_0(x_1)}{2}=
      x_1-t-\frac{h}{2}=\frac{x_0+x_1}{2}-t\;,\ \ x_0\leqslant t\leqslant x_1,$$
o\`u $\varphi_0(u)=0$ si $u<t$; 1 si $u>t$.

$$ K_1(t) = -\int_{x_0}^t K_0(u)\,du = (t-x_0)(t-x_1)/2.$$

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(5,2)
             \put(0.5,0.7){$K_0$} \put(3.7,1.3){$K_1$}
             \put(0,1){\line(1,0){2}} \put(3,1){\line(1,0){2}}
                         \thicklines
                         \put(0,2){\line(1,-1){2}}
                         \qbezier(3,1)(4,-0.7)(5,1)
                         \end{picture}
\end{center}

\smallskip

Comme $K_1$ est de signe constant (n\'egatif) sur $(x_0,x_1)$,
$R f = C f''(\xi)$ avec $C=\int_{x_0}^{x_1} K_1(u)\,du = -h^3/12$.

\subsection{Formule de Simpson} {\ } \\

$$ K_0(t) = \int_{x_0}^{x_2} \varphi_0(u)\,du -h\dfrac{\varphi_0(x_0)
                                                     +4\varphi_0(x_1)
                                                     +\varphi_0(x_2)}{3} =
     x_2-t - \begin{cases} 5h/3 & \text{\ \ \ si }
                                           x_0<t<x_1, \\
                           h/3  & \text{\ \ \ si }
                                           x_1<t<x_2,
             \end{cases}
$$
soit:

\setlength{\extrarowheight}{7pt}  \renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\hspace*{-20pt} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline
    &  $K_0(t)$   &   $K_1(t)$    &  $K_2(t)$   &    $K_3(t)$   \\  \hline
$x_0<t<x_1$ & $x_0+\dfrac{h}{3}-t$ & $\dfrac{(t-x_0)^2}{2} -\dfrac{h(t-x_0)}{3}$ &
   $\dfrac{-(t-x_0)^3+h(t-x_0)^2}{6}$  & $\dfrac{(t-x_0)^4}{24} -
   \dfrac{h(t-x_0)^3}{18}$   \\  \hline
$x_1<t<x_2$ & $x_2-\dfrac{h}{3}-t$ & $\dfrac{(t-x_2)^2}{2} +\dfrac{h(t-x_2)}{3}$ &
  $\dfrac{-(t-x_2)^3-h(t-x_2)^2}{6}$  & $\dfrac{(t-x_2)^4}{24} +
   \dfrac{h(t-x_2)^3}{18}$   \\  \hline
   &
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(2,2.4)
             \put(0,1){\line(1,0){2}}
                         \thicklines
                         \put(0,1.5){\line(2,-3){1}}
                         \put(1,2.0){\line(2,-3){1}}
                         \end{picture}
   &
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(3,2.4)
             \put(0,1){\line(1,0){3}}
                         \thicklines
                         \qbezier(0,1)(1,0)(1.5,2)
                         \qbezier(1.5,2)(2,0)(3,1)
                         \end{picture}
  &
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(3,2.4)
             \put(0,1){\line(1,0){3}}
                         \thicklines
                         \qbezier(0,1)(0.5,1)(0.75,1.5)
                         \qbezier(0.75,1.5)(1,2)(1.5,1)
                         \qbezier(1.5,1)(2,0)(2.25,0.5)
                         \qbezier(2.25,0.5)(2.5,1)(3,1)
                         \end{picture}
  &
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(3,2.4)
             \put(0,1){\line(1,0){3}}
                         \thicklines
                         \qbezier(0,1)(0.5,1)(0.75,0.5)
                         \qbezier(0.75,0.5)(1,0)(1.5,0)
                         \qbezier(1.5,0)(2,0)(2.25,0.5)
                         \qbezier(2.25,0.5)(2.5,1)(3,1)
                         \end{picture}
  \\  \hline
\end{tabular}

\smallskip

Comme $K_3$ est de signe constant (n\'egatif) sur $(x_0,x_2)$,
$R f = C f^{\text{iv}}(\xi)$ avec $C=\int_{x_0}^{x_2} K_3(u)\,du =
  R \dfrac{u^4}{24} = R \dfrac{u-x_1)^4}{24} =
  \dfrac{h^5}{60} -h\dfrac{2h^4}{72} = -\dfrac{h^5}{90}.$

\smallskip

\subsection{Noyaux de Peano de formules compos\'ees} {\ } \\

\smallskip

Soit une formule compos\'ee sur $[x_0,x_s] \bigcup [x_s,x_{2s}] \bigcup \dotsb
  \bigcup [x_{N-s},x_N]$, o\`u $N=qs$. Prolongeons le noyau de Peano
  $K_{m,i}$ sur $[x_{is},x_{(i+1)s}]$ par $K_{m,i}(t)=0$ si
 $t<x_{is}$ et $x>x_{(i+1)s}$. On a $K_{m,i}(t) = K_{m,0}(t-ish)$.

Le noyau de Peano de la formule compos\'ee est alors
$K_m=\displaystyle{\sum_{i=0}^{i=q-1} K_{m,i} }$, fonction p\'eriodique sur
$[x_0,x_N]$ dont la restriction \`a $[x_{is},x_{(i+1)s}]$ est $K_{m,i}$.

$K_0$ et $K_1$ de la r\`egle des trap\`ezes:

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(10,5)
             \put(0,4){\line(1,0){10}} \put(0,2){\line(1,0){10}}
                         \thicklines
             \put(0,4){\line(1,0){2}} \put(0,2){\line(1,0){2}}
             \put(8,4){\line(1,0){2}} \put(8,2){\line(1,0){2}}
                         \put(2,5){\line(1,-1){2}}
                         \put(4,5){\line(1,-1){2}}
                         \put(6,5){\line(1,-1){2}}
                         \qbezier(2,2)(3,1)(4,2)
                         \qbezier(4,2)(5,1)(6,2)
                         \qbezier(6,2)(7,1)(8,2)
                         \end{picture}
\end{center}

etc.

Autres exemples dans Hairer \cite[chap.~1]{Hai}.

\smallskip

{\Small

\subsection{
La formule de Simpson avant Simpson}\footnote{d'apr\`es des notes extraites
\index{Meinguet, J.}
de \cite{Hammer}, aimablement signal\'ees par J.~Meinguet.}Bien avant le
d\'eveloppement du calcul int\'egral, toutes sortes de formules, vraies et
fausses, ont \'et\'e imagin\'ees pour \'evaluer des aires et des volumes.

Johannes Kepler (1571-1630) chercha \`a \'evaluer la capacit\'e de tonneaux
de vin qu'il envisageait d'acheter \`a Linz en 1612 au moyen de la formule
$$ \pi h \dfrac{ r_1^2 +4r_2^2 +r_3^2}{3} ,$$
o\`u $r_1$ et $r_3$ sont les rayons des bases (souvent \'egaux), $r_2$ est
le rayon \`a mi-hauteur, et $h$ est la demi hauteur. Sans doute s'est-il
bas\'e sur des formules exactes connues: $r_1$, $r_2$ et $r_3$ en progression
arithm\'etique (tronc de c\^one); $r_1=r_3=0$ (sph\`ere). Kepler fit part de
sa formule dans un ouvrage intitul\'e ``Stereometria doliurum'', ce qui
veut dire ``volume des tonneaux''.

Plus tard, la formule n'apparut que comme un cas particulier des formules
de Newton-Cotes (Isaac Newton, 1642-1727, en 1680; Roger Cotes\footnote{1682-1716,
deuxi\`eme fils du R\'ev\'erend Robert Cotes, recteur de Burbage
(Leicestershire). Etudes et carri\`ere \`a Cambridge (Trinity College).
Travaux en astronomie et en physique. Il fut charg\'e de pr\'eparer
la deuxi\`eme \'edition (1713) du chef-d'\oe uvre de Newton,
\textsl{Philosophi\ae\ naturalis principia mathematica}, dont il
r\'edigea une pr\'eface remarqu\'ee. Ses travaux tr\`es ing\'enieux
sur l'int\'egration sont rassembl\'es dans son opus posthume
\textsl{Harmonia mensurarum} (1722). En particuler, il d\'eduit de
formules (apparemment) tr\`es diff\'erentes donnant l'aire d'un ellipso\"\i de
de r\'evolution, aplati ou allong\'e (ou hauss\'e), cette relation pour le logarithme
d'un nombre complexe de module unit\'e: $\ln(\cos\phi+i\sin\phi)=i\phi$.
\index{Van P\'ee, M.}
(Information tr\`es aimablement communiqu\'ee par Mme Monique Van P\'ee).
}\index{Cotes, R.}en 1711),
 et pas la plus int\'eressante: Newton pr\'ef\'erait la r\`egle
des $3/8$ qu'il appelait la ``pulcherrima'' (la plus belle) parce que la
r\`egle compos\'ee qu'on en tire
 $$  \int_{x_0}^{x_{3k}} f(x)\,dx \approx
   \dfrac{3h}{8} ( f_0 +3f_1 +3f_2 +2f_3 + \dotsb + 3f_{3k-1} +f_{3k}) $$
a des coefficients presque \'egaux.
\index{Simpson, formule d'int\'egration de}
C'est bien plus tard que Thomas Simpson\footnote{Thomas Simpson,
  Born: 20 Aug 1710 in Market Bosworth, Leicestershire, England
  Died: 14 May 1761 in Market Bosworth, Leicestershire, England.
   Simpson is best remembered for his work on interpolation and numerical
   methods of integration. His first job was as a weaver. At this time he
   taught mathematics privately and from 1737 he began to write texts on
   mathematics.

   He also worked on probability theory and in 1740 published The Nature
   and Laws of Chance. Much of Simpson's work in this area was based on
   earlier work of De Moivre.

   Simpson was the most distinguished of a group of itinerant lecturers
   who taught in the London coffee-houses. He worked on the Theory of
   Errors and aimed to prove that the arithmetic mean was better than a
   single observation.

   Simpson published the two volume work The Doctrine and Application of
   Fluxions in 1750. It contains work of Cotes. In 1754 he became editor
   of the Ladies Diary .

   The following description of Simpson by Charles Hutton (made 35 years
   after Simpson's death) is interesting
    \emph{
   It has been said that Mr Simpson frequented low company, with whom he
   used to guzzle porter and gin: but it must be observed that the
   misconduct of his family put it out of his power to keep the company
   of gentlemen, as well as to procure better liquor.}

   It would be fair to note that others described Simpson's conduct as
   irreproachable .

   Simpson also worked on the problem of the minimum length of path that
   must be used to join three points.
   Tell me about Simpson's work on minimal paths

   Thomas Simpson was elected to the Royal Society of London in 1745.


cf. \href{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Simpson.html}
 {\texttt{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Simpson.html}}
} (1710-1761) se vit cr\'editer de
``sa'' formule qui remporta un \'enorme succ\`es, sans doute li\'e \`a
l'av\`enement de la r\'evolution industrielle. Mais peut-\^etre faut il
surtout constater une force classique dans l'alignement un peu s\'ev\`ere
et l'\'economie de moyens de
$$ \int_{x_0}^{x_{2k}} f(x)\,dx \approx
  \dfrac{h}{3} ( f_0 +4f_1 +2f_2 + 4f_3 + \dotsb + 2f_{2k-2}
   + 4f_{2k-1} +f_{2k}), $$
et que la \emph{pulcherrima} \'evoque par trop un air de valse\dots
}

\section{Formule d'Euler-Maclaurin. }

\smallskip

\begin{center} \textbf{Polyn\^omes de Bernoulli, formules sommatoires.}
\end{center}

\smallskip

Reprenons la forme de Peano la plus simple ($m=0$) du reste de la formule
compos\'ee des trap\`ezes:

$$ R f=\int_{x_0}^{x_N} f(u)\,du -\dfrac{h}{2}(f_0+2f_1+2f_2 +\dotsb +
   2f_{N-2} +2f_{N-1} +f_N) = \int_{x_0}^{x_N} K_0(t)\,f'(t)\,dt,$$
o\`u $K_0$ est la fonction lin\'eaire par morceaux qui vaut
$x_i+h/2-t$ entre $x_i$ et $x_{i+1}=x_i+h$. Appelons $P_1$ la fonction
p\'eriodique sur tout $\mathbb{R}$, de p\'eriode 1, qui vaut $t-1/2$
sur $(0,1)$. On a donc $K_0(t) = -h P_1((t-x_0)/h)$. Soit $P_2/2$ une
primitive  de $P_1$: $P_2(t)= t^2 -t +$ constante sur $(0,1)$. $P_2$ est
p\'eriodique car $\int_0^1 P_1(t)\,dt =0$. $P_2$ est \'egalement
\emph{continue} sur $\mathbb{R}$.

On a         \begin{multline*}
   R f = -h\int_{x_0}^{x_1} P_1((t-x_0)/h) f'(t)\,dt =
     -h^2 \int_0^N P_1(t) f'(x_0+ht)\,dt =
     -h^2\left[ \dfrac{P_2}{2} f'\right]_0^N \\+\dfrac{h^3}{2}\int_0^N
        P_2(t) f''(x_0+ht)\,dt .
  \end{multline*}
On voit ainsi que des int\'egrations par parties successives livreront
des puissances de plus en plus \'elev\'ees de $h$\dots Pour que
l'int\'egrale finale garde une taille raisonnable, il faut encore que les
primitives successives de $P_2$ restent p\'eriodiques, donc que leur
int\'egrale d\'efinie sur $(0,1)$ soit nulle, ce qui fixe les constantes
d'int\'egration en suspens:

\smallskip

\noindent\textbf{D\'efinitions. Les fonctions p\'eriodiques de Bernoulli}
  \footnote{Il s'agit de Jakob Bernoulli  (1654--1705), fr\`ere de
   Johann (1667--1748) et oncle de Daniel (1700--1782). }
 $P_0, P_1, P_2,\dotsc$ \emph{sont de p\'eriode 1, $P_0=1$, $P_n/n$ est
 la primitive p\'eriodique de $P_{n-1}$, c'est-\`a-dire telle que
 $P'_n = nP_{n-1}$ et $\displaystyle{\int_0^1 P_n(t)\,dt =0}$ quand
 $n\geqslant 1$}; \\
\index{Bernoulli, nombres et polyn\^omes de}
 \textbf{les polyn\^omes de Bernoulli} $B_n$ \emph{co\"\i ncident avec les
  fonctions $P_n$ sur $(0,1)$}; \\
 \textbf{les nombres de Bernoulli} \emph{sont} $B_n = B_n(0)$.

\smallskip

Par primitivations successives, on trouve les premiers \'echantillons
$$ B_0(x)\equiv 1; B_1(x)=x-\dfrac{1}{2} ; B_2(x) =x^2 -x+\dfrac{1}{6};
  B_3(x)=x^3-\dfrac{3x^2}{2}+\dfrac{x}{2};
  B_4(x)=x^4-2x^3+x^2-\dfrac{1}{30};\dotsc $$

\smallskip

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme (formule d'Euler-Maclaurin)}.
\index{Euler-Maclaurin, formule d'}
\emph{Soit $f\in\mathscr{C}^{2m+2}[a,b]$ et $h=(b-a)/N$, alors}
\begin{multline} \label{EMclaurin}
\int_a^b f(t)\,dt = \dfrac{h}{2}(f_0+2f_1+2f_2+ \dotsb + 2f_{N-2}+
     2f_{N-1}+f_N) -  \\ \sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)!} h^{2k}
      \left[f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right] +\varepsilon_{2m+2}
\end{multline}
avec $\varepsilon_{2m+2} =
     -h^{2m+2} (b-a) \dfrac{B_{2m+2}}{(2m+2)!} f^{(2m+2)}(\xi) =
     -h^{2m+2} \dfrac{B_{2m+2}}{(2m+2)!} {\displaystyle{
          \sum_{j=0}^{N-1}f^{(2m+2)}(\xi_j)}}$,
\emph{o\`u} $\xi\in[a,b], x_j\leqslant \xi_j\leqslant x_{j+1}$
\ \ ($f_j=f(x_j)=f(a+jh), j=0,1,\dotsc,N$).

\smallskip

En effet, nous sommes arriv\'es \`a $R f = \int_a^b f(t)\,dt - $ somme des
trap\`ezes $= \displaystyle{ -h^2\left[\dfrac{P_2}{2} f'\right]_0^N +}$
 $\displaystyle{h^3\int_0^N \dfrac{P_2(t)}{2} f''(a+ht)\,dt}$. Effectuons encore $2m$
 int\'egrations par parties: on obtient des termes aux limites
 $\displaystyle{(-1)^{j-1} h^j \left[\dfrac{P_j(t)}{j!} f^{(j-1)}(a+ht)
   \right]_{t=0}^{t=N} }$ pour $j=2,3,\dotsc,2m+2$ et une int\'egrale
   finale $\displaystyle{ h^{2m+3} \int_0^N \dfrac{P_{2m+2}(t)}{(2m+2)!}
    f^{(2m+2)}(t)\,dt }$. Comme $P_j$ est p\'eriodique continue pour
 $j>1$, $P_j(N)=P_j(0)=B_j$, et on verra que $B_j=0$ si $j$ est impair
 $\geqslant 3$: on trouve bien la somme figurant dans \eqref{EMclaurin},
 en fait, on trouve un terme en plus, le dernier terme \'etant
 $-h^{2m+2} (B_{2m+2}/((2m+2)!)) (f^{(2m+1)}(b)-f^{(2m+1)}(a))$.

Quant \`a l'int\'egrale finale, on l'\'ecrit
\begin{multline*}  h^{2m+2}\int_a^b  \left[\dfrac{P_{2m+2}((t-a)/h) -B_{2m+2} }{(2m+2)!}
         +\dfrac{B_{2m+2}}{(2m+2)!} \right] f^{(2m+2)}(t)\,dt     \\
=\varepsilon_{2m+2}+h^{2m+2}\dfrac{B_{2m+2}}{(2m+2)!} \int_a^b f^{(2m+2)}(t)\,dt    \end{multline*}
de fa\c con \`a b\'en\'eficier d'une fonction $P_{2m+2} -B_{2m+2}$ de
signe constant (on verra aussi plus tard que $|P_{2j}(t)|\leqslant
  |P_{2j}(0)=B_{2j}|$), d'o\`u une premi\`ere contribution
$h^{2m+2} f^{(2m+2)}(\xi)$ fois l'int\'egrale sur $(a,b)$ de
$[P_{2m+2}((t-a)/h)-B_{2m+2}]/((2m+2)!)$ qui se r\'eduit \`a l'int\'egrale
de la constante $-B_{2m+2}/((2m+2)!)$ puisque $P_2j$ a une int\'egrale d\'efinie
nulle d\`es que $j\geqslant 1$. Comme $P_{2m+2}((t-a)/h)$ est p\'eriodique
de p\'eriode $h$, on a la deuxi\`eme expression de $\varepsilon_{2m+2}$
en sommant les int\'egrales sur des intervalles de longueur $h$. \\
Enfin, l'int\'egrale de la constante
$B_{2m+2}$ fois $f^{(2m+2)}(t)$ donne \'evidemment $B_{2m+2}$ fois
$f^{(2m+1)}(b)-f^{(2m+1)}(a)$, d'o\`u la somme s'arr\^etant \`a
$k=m$ dans \eqref{EMclaurin}. \qed

\medskip

\begin{center} --------------------------------- \end{center}

\medskip

En termes d'op\'erateurs aux
diff\'erences, il faut exprimer $R f = J(1+E+\dotsb +E^{N-1}) -h(1+2E+
  2E^2+\dotsb +2E^{N-1}+E^N)/2$ appliqu\'e \`a $f$ en $a=x_0$.

On obtient $\displaystyle{ J\dfrac{E^N-1}{E-1} -h\left(
  \dfrac{E^N-1}{E-1} +\dfrac{E^N-1}{2}\right) =
             (E^N-1)\left(\dfrac{J}{E-1} -
  \dfrac{h}{E-1} -\dfrac{h}{2}\right) }$.

En exprimant $E$ dans la derni\`ere parenth\`ese, tant\^ot en fonction de
$\Delta$, tant\^ot en fonction de $\nabla$, on a
$$ \dfrac{J-h}{E-1} -\dfrac{h}{2} = \dfrac{h}{\ln(1+\Delta)} -\dfrac{h}{\Delta}
 -\dfrac{h}{2} = -\dfrac{h\Delta}{12} +\dfrac{h\Delta^2}{24}
                 -\dfrac{19h\Delta^3}{720} +\dfrac{3h\Delta^4}{160} -\dotsb $$
et
$$ \dfrac{J-h}{E-1} -\dfrac{h}{2} = -\dfrac{h}{\ln(1-\nabla)} -\dfrac{h}{\nabla}
 +\dfrac{h}{2} = -\dfrac{h\nabla}{12} -\dfrac{h\nabla^2}{24}
                 -\dfrac{19h\nabla^3}{720} -\dfrac{3h\nabla^4}{160} -\dotsb $$
d'o\`u
\begin{multline*}
   R f = -\dfrac{h}{12}((\nabla f)(x_N) - (\Delta f)(x_0))
         -\dfrac{h}{24}((\nabla^2 f)(x_N) + (\Delta^2 f)(x_0))
         -\dfrac{19h}{720}((\nabla^3 f)(x_N) - (\Delta^3 f)(x_0))
      \\ -\dfrac{3h}{160}((\nabla^4 f)(x_N) + (\Delta^4 f)(x_0))  -\dotsb
\end{multline*}
(\textbf{formule de Gregory}).

\smallskip

\subsection{Identit\'es des nombres et polyn\^omes de Bernoulli} {\ } \\

\smallskip

Si on veut retrouver \eqref{EMclaurin} par les op\'erateurs aux
diff\'erences, il faut exprimer \\$\displaystyle{
             (E^N-1)\left(\dfrac{J}{E-1} -
  \dfrac{h}{E-1} -\dfrac{h}{2}\right) }$
         en fonction de $D$ par $E=e^{hD}$ et $J=\Delta D^{-1} =
 (E-1)D^{-1}$: $R f = (E^N-1)(D^{-1} -h/(e^{hD}-1) -h/2)$ appliqu\'e \`a
 $f$ en $a=x_0$.

Consid\'erons le d\'eveloppement $\displaystyle{\dfrac{x}{e^x -1} =
 \sum_{j=0}^\infty X_j x^j }$, alors
 $$ R f = -[(E^N-1) \sum_{j=2}^\infty X_j h^j D^{j-1} ] f (x_0) =
    -\sum_{j=2}^\infty X_j h^j [f^{(j-1)}(b) - f^{(j-1)}(a)], $$
en ayant rapidement v\'erifi\'e $X_0=1, X_1=-1/2$. On retrouve bien
\eqref{EMclaurin} et on soup\c conne que $X_j = B_j/j!$. En effet:

\smallskip

\noindent\textbf{Fonction g\'en\'eratrice des polyn\^omes de Bernoulli.}
$$ \sum_{j=0}^\infty \dfrac{B_n(x) t^n }{n!} = \dfrac{t e^{xt} }{e^t -1},$$
la s\'erie converge quand $|t|<2\pi$.

En effet, soit $G(x;t):= \displaystyle{
   \sum_{j=0}^\infty \dfrac{B_n(x) t^n }{n!} }$. Comme $B'_n =
  n B_{n-1}$,{\ }\footnote{Les polyn\^omes de Bernoulli forment
  donc une suite d'Appell, comme les polyn\^omes d'Hermite.}   \\
   $\partial G(x;t)/\partial x = \sum_1^\infty
  B_{n-1}(x) t^n/(n-1)! = t G(x;t)$, d'o\`u
 $G(x;t)= K(t) e^{xt}$. Comme $B_n(1)=B_n(0)$ quand $n>1$ (et aussi,
bien s\^ur, quand $n=0$),
\begin{equation*}
  G(1;t)-G(0;t) = \begin{cases}
             [B_1(1)-B_1(0)] t &= t \ \ \ \ \text{on sait que }
                                     B_1(x)=x-1/2 \\
             K(t)\; (e^t-1) &
                   \end{cases}
\end{equation*}
donc, $K(t)=t/(e^t-1)$. Les p\^oles sont en $t=2k\pi i$,
  $k=\pm 1, \pm 2,\dotsc$  \qed

\smallskip

Montrons que $B_j=0$ quand $j$ est impair $>1$:
$$\sum_2^\infty B_j t^j/j! = \dfrac{t}{e^t-1} +\dfrac{t}{2} -1 =
  \dfrac{t}{2} \dfrac{e^t+1}{e^t-1} -1 =
  \dfrac{t}{2}\, \text{cotangh}\; \dfrac{t}{2} -1 $$
est une fonction paire de $t$.

\smallskip

\textbf{Exercice.} Montrez que
$\displaystyle{  \text{tg}\, x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n
    \frac{ 4^{n+1} (4^{n+1}-1) B_{2n+2} }{(2n+2)!}\, x^{2n+1}  }$.

  {\Small (Utilisez tg$\,x =$ cotg$\,x - 2\,$cotg$(2x)$. )}
\medskip

\textbf{Coefficients des polyn\^omes de Bernoulli}: d'apr\`es $B'_n = nB_{n-1}$,
$$ B_n(x) = \sum_{k=0}^n \dfrac{B_n^{(k)}(0)}{k!} x^k =
     \sum_{k=0}^n \dfrac{n(n-1)\ldots(n-k+1)B_{n-k}(0)}{k!} x^k =
     \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}B_{n-k} x^k .
$$

\smallskip

\textbf{Calcul symbolique.} Des identit\'es
 de nombres et polyn\^omes de
Bernoulli s'obtiennent \`a partir d'un symbole $\mathsf{B}$ dont les
puissances $\mathsf{B}^k$ sont remplac\'ees en fin de compte par les
nombres de Bernoulli $B_k$. Ainsi:
$$ B_n(x) = (\mathsf{B} +x)^n.$$

{\Small   On appelle \emph{calcul
umbral} cette fa\c con de faire, cf. S.~Roman, G.-C.~Rota, The umbral
calculus, \textsl{Adv.\ Math.} \textbf{27} (1978) 95--188, G.-C.~Rota,
B.D.~Taylor, The classical umbral calculus, \textsl{SIAM J.\ Math.\
An.} \textbf{25} (1994) 694--711, A.~Di Bucchianico, \textsl{Probabilistic
and analytical aspects of the umbral calculus}, Centrum voor Wiskunde
and Informatica Tract \textbf{119}, Amsterdam, 1997.
 Voir aussi   \\
\begin{verbatim}
sci.math #144246 (0 + 1059 more)
From: wgd@zurich.ai.mit.edu (Bill Dubuque)
Newsgroups: sci.math
[2] Bernoulli numbers everywhere: Umbral Calculus [was: Re: n:th Bernoulli
 number]
Date: 27 Jun 96 18:53:53
Organization: M.I.T. Artificial Intelligence Lab.
Message-ID: <WGD.96Jun27185353@berne.ai.mit.edu>
NNTP-Posting-Host: berne.ai.mit.edu
In-reply-to: bruck@pacificnet.net's message of Tue, 25 Jun 1996 18:51:52 -0700
\end{verbatim}

Digressing somewhat, it is surprising just how often Bernoulli numbers
and polynomials arise in diverse contexts. For example, Lang sketches
how they arise in topology and algebraic geometry around Riemann-Roch
theorems, and in analytic and algebraic number theory around zeta
functions and modular forms (see the thread of exercises beginning
with \#21 p. 217, end of Chap. IV in Lang's Algebra, 3rd Ed.) One way
of understanding this ubiquity comes from the viewpoint of Hopf
algebras and coalgebras, or, equivalently, the Umbral Calculus. The
latter provides a calculus of adjoints that serves to sytematically
derive and classify almost all of the classical combinatorial
identities for polynomial sequences (e.g the sequences of Abel, Appel,
Bell, Bernoulli, Bessel, Boole, Boas-Buck, Euler, Gould, Hermite,
Laguerre, Mahler, Meixner, Mittag-Leffler, Mott, Poisson-Charlier,
Sheffer, Stirling, etc), along with associated identies (generating
functions, expansions, duplication formulas, recurrences. inversions,
Rodrigues formula, etc, e.g. the Euler-Maclaurin expansion, Boole's
Summation formula, Newton interpolation, Gregory integration,
Vandermonde convolution). For example almost all of the identities
in Riordan's classic book "Combinatorial Identities" can be
systematically derived and classified via the Umbral Calculus. This is
a powerful and useful theory that deserves to be better known. Since
there are now good expositions available. there's no longer any good
reason not to have a peek. I recommend starting with the following
online survey [included in ascii below those Web challenged].

\href{http://www.win.tue.nl/win/math/bs/statistics/bucchianico/hypersurvey/hypersurvey.html}
{\texttt{http://www.win.tue.nl/win/math/bs/statistics/bucchianico/hypersurvey/hypersurvey.html}}

See also the RotaFest page at
\href{http://www-math.mit.edu/~loeb/rotafest.html}
{\texttt{http://www-math.mit.edu/\~{}loeb/rotafest.html}}

-Bill

Note: math formulas are missing from this ascii version, see the URL
above for them.

------------------------------------------------------------------------------
}  % end Small

\smallskip

\textbf{R\'ecurrence des nombres de Bernoulli.} D\'eveloppons $B_{n+1}(1)=
B_{n+1}(0)$:
$$ \sum_{k=1}^{n+1} \binom{n+1}{k} B_{n+1-k} = 0.$$
On obtient ainsi quelques nombres de Bernoulli\footnote{Attention,
certains auteurs (Dwight, par exemple) utilisent une autre convention
o\`u $(-1)^{k-1}B_{2k}$ est not\'e $B_k$.}
non nuls:
$$\setcounter{MaxMatrixCols}{12}\begin{matrix}
 B_0 & B_1 & B_2 & B_4 & B_6 & B_8 & B_{10} & B_{12} & B_{14} & B_{16}
   & B_{18} & B_{20} \\
 1 & -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{6} & -\dfrac{1}{30} & \dfrac{1}{42}
 & -\dfrac{1}{30} & \dfrac{5}{66} & -\dfrac{691}{2730} & \dfrac{7}{6}
 & -\dfrac{3617}{510}  & \dfrac{43867}{798} & -\dfrac{174611}{330}
 \end{matrix} $$  \setcounter{MaxMatrixCols}{10}

cf. S. Plouffe (editor): The first 498 Bernoulli Numbers, (2001),
\href{http://ia300234.us.archive.org/3/texts/brnll10/brnll10.txt}
{\tt http://ia300234.us.archive.org/3/texts/brnll10/brnll10.txt}

\smallskip

\textbf{Sommes de puissances cons\'ecutives.} Appliquons la formule
d'Euler-Maclaurin \`a $f(x)=x^r$, $r$ entier $\geqslant 0$,
avec $a=0, b=N+1, h=1$:
$$(N+1)^{r+1}/(r+1) = 1+2^r +\dotsb +N^r +\dfrac{(N+1)^r}{2}
   -\sum_{k=2}^{r+1} \dfrac{B_k}{k!} r(r-1)\ldots (r-k+2) (N+1)^{r-k+1},$$
on arrive \`a
$$
   1+2^r +\dotsb +N^r = [ B_{r+1}(N+1) - B_{r+1}(0)]/(r+1).
$$
Plus g\'en\'eralement, $B_n(x+1)-B_n(x)=n x^{n-1}$: par la fonction
g\'en\'eratrice, $B_n(x+1)-B_n(x)$ est $n!$ fois le coefficient
de $t^n$ de $t(e^{(x+1)t}-e^{xt})/(e^t-1)= t e^{xt}$, ce qui donne
bien $n x^{n-1}$.

\medskip

\textbf{S\'eries de Fourier des extensions p\'eriodiques des polyn\^omes de
Bernoulli.} Partant de
$$ P_1(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}
 \int_0^1 (t-1/2)e^{-2\pi ikt}\,dt  e^{2\pi ikx} =
   \dfrac{-1}{2\pi i}\sum_{\substack{k=-\infty\\ k\ne 0}}^{\infty}
          k^{-1} e^{2\pi ikx},
$$
on int\`egre $n-1$ fois:
$$ P_n(x) =
   \dfrac{-n!}{(2\pi i)^n}\sum_{\substack{k=-\infty\\ k\ne 0}}^{\infty}
          k^{-n} e^{2\pi ikx}.
$$
Quand $n$ est pair,
$$ P_n(x) = \dfrac{-2(-1)^{n/2} n!}{(2\pi)^n}
      \sum_{k=1}^\infty k^{-n} \cos(2\pi kx),
$$
ce qui montre que $|P_n(x)|\leqslant |P_n(0)|$ (tous les coefficients
de la s\'erie de Fourier sont de m\^eme signe).

\smallskip
On a donc $B_{2n} = \displaystyle{ \dfrac{2(-1)^{n+1} (2n)!}{(2\pi)^{2n}}
 \sum_{k=1}^\infty k^{-2n} }$, $n=1,2,\dotsc$, ainsi:
$$ \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}\;, \ \ \
   \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^4} = \dfrac{\pi^4}{90}\;, \ \ \
   \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{k^6} = \dfrac{\pi^6}{945}, \ \ \ \text{etc.}
$$

\smallskip
{\Small \textbf{Obtention directe de} $\displaystyle{ \sum_1^\infty
  \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} }$.

  Le polyn\^ome $\displaystyle{ \frac{(x+i)^{2n+1} -(x-i)^{2n+1}}{2i} =
    c_0 x^{2n} +c_2 x^{2n-2} +\dotsb = (2n+1)x^{2n} -
   (2n+1)(2n)(2n-1)x^{2n-2}/6+\dotsb    }$ a $2n$ z\'eros distincts
  $\displaystyle{ z_k = \text{cotg}\,\frac{k\pi}{2n+1} }$,
 $k=0,1,\dotsc, 2n$ sym\'etriquement dispos\'es autour de 0:
  $z_k = -z_{2n+1-k}$. La somme des carr\'es des z\'eros est
$(c_1/c_0)^2 -2c_2/c_0$, ici $2n(2n-1)/3$, donc
$$ \frac{n(2n-1)}{3} = \sum_1^n \text{cotg}^2 \frac{k\pi}{2n+1}
  < \frac{(2n+1)^2}{\pi^2} \sum_1^n \frac{1}{k^2}
      < \sum_1^n \text{cosec}^2 \frac{k\pi}{2n+1}
    = \frac{n(2n+2)}{3}. $$

Cf. H. Tsumura, $\zeta(2m)$,
  \textsl{Amer. Math. Monthly} \textbf{111} (2004) 430--431.
}

\medskip

{\Small D.H.~Lehmer (A new approach to Bernoulli polynomials,
  \textsl{Amer.\ Math.\ Monthly} \textbf{95} (1988) 905--911)
  distingue 5 fa\c cons d'aborder les nombres et polyn\^omes de
  Bernoulli: \\
  Somme de puissances $\sum_0^{m-1} k^{n-1} =(B_n(m)-B_n(0))/n$
    (Jac. Bernoulli, avant 1705),\\
 Fonction g\'en\'eratrice $\sum_0^\infty B_n(x) t^n/n! = te^{xt}/(e^t-1)$
    (Euler, 1738), \\
 Suites d'Appell  $B_{n-1} = B'_n/n$ (Appell, 1832), \\
 S\'eries de Fourier $B_n(x) = -n!/(2\pi i)^n \sum_{k=-\infty}^\infty
   k^{-n} e^{2\pi ikx}$ (H\"urwitz, 1890), \\
 Calcul umbral $B_n(x) = (\mathsf{B} +x)^n$ (Lucas, 1891),

auxquelles il ajoute une sixi\`eme, bas\'ee sur une formule de multiplication
de Raabe (1851): $B_n(mx) = m^{n-1}\sum_{k=0}^{m-1} B_n(x+k/m)$.

\bigskip

\noindent\textbf{Nombres et polyn\^omes d'Euler.}
\index{Euler, nombres et polyn\^omes d'}
$$ \dfrac{2e^{xt}}{e^t+1} = \sum_0^\infty E_n(x) \dfrac{t^n}{n!},\qquad
  E_n = 2^n E_n(1/2).
$$
%$$\setcounter{MaxMatrixCols}{12}\begin{matrix}
$$                              \begin{matrix}
 E_0 & E_2 & E_4 & E_6 & E_8 & E_{10} & E_{12} & E_{14} \\
 1 & -1 & 5 & -61 & 1385 & -50521 &   2702765 & -199360981
 \end{matrix} $$
% \setcounter{MaxMatrixCols}{10}

On a $\displaystyle{ \frac{1}{\cos x} = \sum_{n=0}^\infty
                         (-1)^n \frac{E_{2n}\; x^{2n}}{(2n)!} }$.

}  %end Small

\smallskip

\subsection{Sch\'ema d'int\'egration de Romberg.} {\ } \\
\index{Romberg, sch\'ema de}
\smallskip
Comme
$\displaystyle{ R_h f:=\int_{x_0}^{x_N} f(u)\,du -\dfrac{h}{2}(f_0+2f_1+2f_2 +\dotsb +
   2f_{N-2} +2f_{N-1} +f_N) }$ a, d'apr\`es \eqref{EMclaurin}, un
 d\'eveloppement en puissances \emph{paires} de $h$, on applique
 l'extrapolation de Richardson partant des
   $c_{i,0} = R_{h_0/2^i}$, puis
$$c_{i,k} = \dfrac{ (x-x_i) c_{i+1,k-1}(x) - (x-x_{i+k}) c_{i,k-1} }
                     {x_{i+k}-x_i}\;,\qquad\qquad k>0.$$
avec $x=0$ et $x_i=h_0/4^i$:
$$c_{i,k} = \dfrac{ 4^k c_{i+1,k-1}(x) -  c_{i,k-1} }
                     {4^k-1}\;,\qquad\qquad k>0.$$

\smallskip

\subsection{Formule d'Euler-Maclaurin en tant que formule sommatoire} {\ } \\

\smallskip      \index{sommatoires, formules}

Reprenons \eqref{EMclaurin} en exprimant la somme:
\begin{multline}  \label{EMclaurin2}
f_0+f_1+f_2+ \dotsb + f_{N-1} =
h^{-1}\int_a^b f(t)\,dt + \dfrac{f_0-f_N}{2}
      +  \\ \sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)!} h^{2k-1}
      \left[f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right] -\varepsilon_{2m+2}/h,
\end{multline}
o\`u  $\displaystyle{\varepsilon_{2m+2}=
     - h^{2m+2}\dfrac{B_{2m+2}}{(2m+2)!} \sum_{j=0}^{N-1}f^{(2m+2)}(\xi_j)}$,
avec $\xi_j\in[x_j,x_{j+1}]$\ \ ($f_j=f(x_j)=f(a+jh), j=0,1,\dotsc,N$).

\smallskip

Par un int\'eressant renversement de valeurs, on peut estimer une somme
d'un grand nombre de valeurs fonctionnelles en partant d'une int\'egrale!

\smallskip
\noindent\textbf{Nombres harmoniques, constante d'Euler.} \\
\index{Euler, constante d'}    \index{harmoniques, nombres}
Le $M^{\text{\`eme}}$ nombre harmonique est le nombre rationnel
$H_M = 1+1/2+\dotsb +1/M$.  Soit $M_0$ grand $< M$, on a
$H_M = H_{M_0} + 1/(M_0+1) +\dotsb +1/M$.
Par la formule pr\'ec\'edente, avec $N=M-M_0$, $f(x)=1/(x+M_0)$ et $h=1$,
$H_M = H_{M_0} -1/M_0+1/M +\ln(M/M_0) +(1/M_0-1/M)/2
 -\displaystyle{ \sum_{k=1}^m \dfrac{B_{2k}}{2k} \left(\dfrac{1}{M_0^{2k}}-
                                                  \dfrac{1}{M^{2k}} \right)
  -\varepsilon_{2m+2} }$

donc,
$$ H_M -\ln M -\dfrac{1}{2M} +\sum_{k=1}^{2m} \dfrac{B_{2k}}{2k M^{2k}} =
   H_{M_0} -\ln M_0 -\dfrac{1}{2M_0} +\sum_{k=1}^{2m} \dfrac{B_{2k}}{2k M_0^{2k}}
   -\varepsilon_{2m+2},$$
avec $|\varepsilon_{2m+2}| = |B_{2m+2}| {\displaystyle{
       \sum_{j=0}^{N-1} (M_0+j+\theta_j)^{-2m-3} <
       \dfrac{|B_{2m+2}|}{(2m+2)(M_0-1)^{2m+2}}  }}$, ce qui montre
  que $\{H_M -\ln M\}$ est une suite de Cauchy de limite appel\'ee
 $\gamma$, \textbf{constante d'Euler}. Avec $M=\infty$:
$$ \gamma =
   H_{M_0} -\ln M_0 -\dfrac{1}{2M_0} +\sum_{k=1}^{2m} \dfrac{B_{2k}}{2k M_0^{2k}}
   -\varepsilon_{2m+2},$$
ce qui permet de calculer $\gamma$ efficacement:
{\Small  \begin{verbatim}

Dear Simon,

I send you Euler's constant to 1000000 digits. The algorithm used is
the one presented in the paper of McMillan and Brent [1] (the second
variant) accelerated by binary splitting [2], [3]. This calculation
verified the previous 500000-digits record to 499927 digits. Using
the 500000-digit value of gamma and a program by H.J.J. te Riele,
CWI Amsterdam [4], I was also able to compute 470006 partial quotients
of the continued fraction of gamma. Computing the 470006-th convergent
results in the following [5]

Theorem: If Euler's constant is a rational number P/Q, for integers P, Q
         then |Q| > 10^242080

* Acknowledgements *
The latest calculation would have been possible without the help and
motivation from H.J.J. te Riele, Richard Brent and my colleague Bruno Haible.

Best
        Thomas Papanikolaou

References:
\end{verbatim}

[1] R. P. Brent and E. M. McMillan, Some new algorithms for
    high-precision computation of Euler's constant,
    \textsl{Math. Comp.} \textbf{34} (1980) 305-312.

[2] Bruno Haible, Thomas Papanikolaou, Fast multiprecision
    evaluation of series of rational numbers, Technical
    Report No. TI-7/97, 18.03.1997. Available via
 \href{http://www.informatik.th-darmstadt.de/TI/Veroeffentlichung/TR/Welcome.html}
 {\texttt{http://www.informatik.th-darmstadt.de/TI/Veroeffentlichung/TR/Welcome.html}}

[3] Jonathan M. Borwein and Peter B. Borwein,
      \textsl{Pi and the AGM}, Wiley, 1987.

[4] Richard P. Brent, Alfred J. van der Poorten and Herman J.J. te Riele,
    A comparative study of algorithms for computing continued fractions
    of algebraic numbers, pp. 37-49 in: H. Cohen (editor), Algorithmic
    Number Theory: Second International Symposium, ANTS-II, Talence,
    France, 18-23.05.1996, Springer, Berlin etc., 1996.

[5] Thomas Papanikolaou, Entwurf und Entwicklung einer objektorientierten
    Bibliothek f\"ur algorithmische Zahlentheorie, PhD Thesis, to appear.

[6] Steve Finch,
 \href{http://www.mathsoft.com/asolve/constant/euler/euler.html}
{\texttt{http://www.mathsoft.com/asolve/constant/euler/euler.html}}

\begin{verbatim}

-------------------------------------------------------------------------------

Euler's constant to 1000000 digits computed on Mars 24, 1997 on a
Sun Sparc Ultra machine with 167 Mhz and 256 MB RAM in 42 hours 27 hsec.

The algorithm was implemented using the LiDIA library for computational
number theory and it will be part of the multiprecision floating-point
arithmetic of the package in release 1.4. LiDIA is available from

\end{verbatim}

 \href{ftp://ftp.informatik.th-darmstadt.de}
  {\texttt{ftp://ftp.informatik.th-darmstadt.de}}:/pub/TI/systems/LiDIA
 , \href{http://www.informatik.th-darmstadt.de/TI/LiDIA}
  {\texttt{http://www.informatik.th-darmstadt.de/TI/LiDIA}}

LiDIA's kernel used Bruno Haible's CLN package, which is available
via anonymous FTP from

    \href{ftp://ma2s2.mathematik.uni-karlsruhe.de}
   {\texttt{ftp://ma2s2.mathematik.uni-karlsruhe.de}}:/pub/gnu/cln.tar.z

This package contains the first implementation of a binary splitting device
for rational series.

\begin{verbatim}
------------------------------------------------------------------------------

Here is the output of the program:

Calculating Euler's constant to 1000000 decimals

Time required: 42 hour 27 hsec

Euler =
0.5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776\
646709369470632917467495146314472498070824809605040144865428362241739976449235\

\end{verbatim}

etc.    \  \  cf. \href{http://www.lacim.uqam.ca/pi}
 {\texttt{http://www.lacim.uqam.ca/pi}}

  }

\medskip


\textbf{Grandes factorielles. Formule de Stirling.}
\index{Stirling, formule de}       \label{Stirling}
On reprend le raisonnement pr\'ec\'edent avec $\ln M$ au lieu de $1/M$:
\begin{multline*}
 \ln M! -M\ln M+M -\dfrac{\ln M}{2} -\sum_{k=1}^{2m} \dfrac{B_{2k}}{2k(2k-1) M^{2k-1}} =
   \ln M_0! -M_0\ln M_0+M_0 -\dfrac{\ln M_0}{2}\\ -\sum_{k=1}^{2m} \dfrac{B_{2k}}{2k(2k-1) M_0^{2k-1}}
   -\varepsilon_{2m+2}, \end{multline*}
avec $|\varepsilon_{2m+2}| = {\displaystyle{  \dfrac{|B_{2m+2}|}{2m+2}
       \sum_{j=0}^{N-1} (M_0+j+\theta_j)^{-2m-2} <
       \dfrac{|B_{2m+2}|}{(2m+2)(2m+1)(M_0-1)^{2m+1}}  }}$, ce qui montre
  que $\{\ln M! -(M+1/2)\ln M+M\}$ est une suite de Cauchy. La limite
  $\ln\sqrt{2\pi}$ s'\'etablit par examen d'in\'egalit\'es portant
 sur $\displaystyle{ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^{2M}\theta\,d\theta =
  \dfrac{\pi}{4^M}\binom{2M}{M} }$. Donc,
$$ M! = \sqrt{2\pi} \;M^{M+1/2} e^{-M} \exp\left\{ \sum_{k=1}^{2m}
     \dfrac{B_{2k}}{2k(2k-1) M^{2k-1}}
   +\varepsilon_{2m+2}   \right\}.$$

\medskip

\textbf{Fonction zeta de Riemann.}
\index{zeta, fonction- de Riemann}
$\displaystyle{ \zeta(s) = \sum_1^\infty \dfrac{1}{n^s} }$ converge
absolument seulement si Re$\,s >1$.

$\displaystyle{ \zeta(s) = \sum_1^{N-1} \dfrac{1}{n^s}
                          +\sum_N^\infty\dfrac{1}{n^s}  }$. On applique
\eqref{EMclaurin2} \`a la deuxi\`eme s\'erie, avec $f(x)=x^{-s}$,
$a=N$, $b=\infty$ et $h=1$. On trouve
\begin{multline*}
\zeta(s) =
       \sum_1^{N-1} \dfrac{1}{n^s}  +\dfrac{1}{2N^s}
  +\dfrac{1}{(s-1)N^{s-1} }
      +  \\ \sum_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{(2k)!}
             \frac{s(s+1)(s+2)\dotsc (s+2k-2)}{N^{s+2k-1}}
                   -\varepsilon_{2m+2},
\end{multline*}
o\`u  $\displaystyle{\varepsilon_{2m+2}=
     - \dfrac{B_{2m+2}}{(2m+2)!} s(s+1)\dotsc (s+2m+1)
      \sum_{j=N}^{\infty}\frac{1}{\xi_j^{s+2m+2} }    }$,
avec $\xi_j\in[j,j+1]$.

Cette derni\`ere s\'erie converge, et est aussi petite que l'on veut
pourvu que $N$ soit assez grand, d\`es que Re$\,s > 1-2m$. On peut
ainsi d\'efinir, et calculer, $\zeta(s)$ dans tout $\mathbb{C}\setminus
\{1\}$.         \label{zetapro}

\medskip

\textbf{Autres formules sommatoires.}        \index{sommatoires, formules}

Plana:    \index{Plana, formule sommatoire de}
$$ \sum_{n=0}^\infty f(n) = \dfrac{1}{2} f(0) +\int_0^\infty f(x)\,dx
  +i\int_0^\infty \dfrac{f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1} dy $$
(P.~Henrici, \textsl{Applied and Computational Complex Analysis} I,
 Wiley, 1974, p.~274).

\medskip

Boole:               \index{Boole, formule sommatoire de}
$$ \sum_{n=0}^{n=N-1} (-1)^n f(a+sh+nh) =
  \sum_{k=0}^{k=m-1} \frac{h^k}{2 k!} E_k(s)
     [f^{(k)}(a) -(-1)^N f^{(k)}(b)]   +\varepsilon_m.$$
(N.E.~N\"orlund, \textsl{Vorlesungen \"uber Differenzenrechnung},
  chap.~2; J.M.~Borwein, P.B.~Borwein, K.~Dilcher: Pi, Euler
  numbers, and asymptotic expansions, \textsl{American Math. Monthly}
   \textbf{96} (1989) 681-687.).

\medskip

\textbf{Poisson}:      \index{Poisson, formule sommatoire de}
$$ \sum_{k=-\infty}^{\infty} F(k\eta) = \dfrac{1}{\eta}
   \sum_{n=-\infty}^{\infty} G(2\pi n/\eta),            $$
o\`u $G$ est la transform\'ee de Fourier de $F: G(\omega) = \int_{-\infty}^\infty
  F(\sigma) e^{-i\omega\sigma} d\sigma$ \\
(P.~Henrici, \textsl{Applied and Computational Complex Analysis} II,
 Wiley, 1977, p.~270).

\medskip


R\`egle de la tangente hyperbolique:
$$ \int_{-1}^1 f(x)\,dx = \int_{-\infty}^\infty f(\text{tgh}\,t\;
 \dfrac{dt}{\text{cosh}^2 t} \approx
   h\sum_{-\infty}^\infty \dfrac{f(\text{tgh}\,nh)}{\text{cosh}^2 nh}.
$$
Nombreuses propri\'et\'es curieuses\footnote{C.~Schwartz, Numerical
integration of analytic functions, \textsl{J.\ Comput.\ Phys.} \textbf{4}
(1969) 19-29. S.~Haber, The tanh rule for numerical integration,
\textsl{SIAM J.\ Numer.\ Anal.} \textbf{14} (1977) 668-685.
M.~Mori, Quadrature formulas obtained by variable transformation and the
DE-rule, \textsl{J.\ Comp.\ Appl.\ Math.} \textbf{12\& 13} (1985) 119-130.}



%\vspace*{4cm}\hspace*{5.8cm}\label{DMartinfin}\includegraphics[angle=0, scale=0.4]{dmart22.ps}



\chapter{R\'ecapitulation.}
\renewcommand{\mylmark}{R\'ecapitul.}
\thispagestyle{fancy}


\begin{center}
\setlength{\extrarowheight}{0pt}  \renewcommand{\arraystretch}{0.75}
\hspace*{-66pt} \begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
  \hline  \   &   \   &   &    &    \\
  D\'efinition de  &   Principe directeur & M\'ethode    &
           Estimation d'erreur,  &  D\'eveloppements   \\
  l'approximation & (Existence, unicit\'e  &   d'obtention
                         & convergence   & applications \\
          &     caract\'erisation)  &    &   & algorithmes   \\
       \    &   \    &    &     &    \\
  \hline
  \hline  \   &   \   &   &    &    \\
   Meilleure    &   Th\'eor\`eme & Algorithme   &  de La Vall\'ee
                                           Poussin  &   Propri\'et\'es
                                            des $T_n$, \\
   approx. en  & d'\'equi-   & d'\'echange,  &     &  $\perp$ discr\`ete,\\
  norme uniforme & oscillation & bonne approx. & Weierstrass & r\'earrangement, \\
 min $\|f-p\|_\infty$ &   &  $\sum' c_k(f)T_k$ &   & r\'ecurrence des $T_n$\\
       \    &   \    &    &     &    \\
  \hline  \   &   \   &   &    &    \\
 Meilleure & $p=$ projection  &  cas polynomial: & suites totales, max.&
                         Propri\'et\'es des \\
 approximation&orthogonale de& polyn\^omes & espace de Hilbert&
                          polyn\^omes \\
  en moyenne  & de $f$  & orthogonaux. & vitesse de &
                          orthogonaux. \\
 quadratique & dans $V$ & Cas trigonom\'etrique:& d\'ecroissance& \\
$\|f-p\|_2$ minimum&   & s\'eries de Fourier & coeff. Fourier& FFT \\
       \    &   \    &    &     &    \\
  \hline  \   &   \   &   &    &    \\
Interpolation & Syst\`eme & Lagrange, Newton,&    &
           $\displaystyle{\int}$ de Gauss \\
$\lambda_i(p)=\lambda_i(f)$& d'\'equations & Neville, Hermite &
                        Peano & Newton-Cotes, Bickley,\\
(par ex., $p(a_i)=f(a_i)$)& lin\'eaires. & Newton-Gregory &
                  &   Euler-Maclaurin\\
       \    &   \    &    &     &    \\
   \hline
  \end{tabular}
 \end{center}



\chapter{Appendices: alphabets grec, cyrillique, petit dico, index.}
\renewcommand{\mylmark}{Alphabets, petit dico, index.}
\thispagestyle{fancy}

\section{Alphabets}

\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{center}
\setlength{\extrarowheight}{-5pt}
\hspace*{05pt} \begin{tabular}{|>{$}c<{$}|>{$}c<{$}|c|}
  \hline
    A  &  \alpha    &   alpha  \\
    B  &  \beta    &   beta   \\
    \Gamma  &  \gamma    &   gamma  \\
    \Delta  &  \delta    &   delta  \\
    E  &  \epsilon    & epsilon  \\
    Z  & \zeta       & zeta \\
    H  & \eta       & eta \\
  \Theta & \theta, \vartheta  & theta \\
   I   &  \iota    &  iota  \\
   K    &  \kappa    & kappa \\
   \Lambda  &  \lambda  & lambda  \\
    M   &  \mu    &  mu  \\
    N   &  \nu    &  nu  \\
  \Xi   &  \xi   &  ksi \\
   O  &  o   &  omicron \\
  \Pi   &  \pi  &  pi  \\
   R   &  \rho  &  rho \\
  \Sigma  &  \sigma, \varsigma  & sigma \\
  T  &  \tau   &  tau \\
  \Upsilon
                    &  \upsilon  &  upsilon \\
   \Phi  &  \phi, \varphi  & phi \\
  \chi   &  \chi   &  khi  \\
  \Psi  &  \psi  &  psi  \\
  \Omega  &  \omega  & omega  \\
  \hline
\end{tabular}\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{8cm}
\begin{center}
\setlength{\extrarowheight}{-5pt}
\hspace*{05pt} \begin{tabular}{|>{\russ}c|>{\russ}c|c|}
  \hline
     A  &   a    &   A  \\
     B  &   b    &   B  \\
     V  &   v    &   V  \\
     G  &   g    &   G  \\
     D  &   d    &   D  \\
     E  &   e    &   E  \\
     \symbol{17} & \symbol{25} & zh \\
     Z  &   z    &   Z  \\
     I  &   i    &   I  \\
     J  &   j    &   J  \\
     K  &   k    &   K  \\
     L  &   l    &   L  \\
     M  &   m    &   M  \\
     N  &   n    &   N  \\
     O  &   o    &   O  \\
     P  &   p    &   P  \\
     R  &   r    &   R  \\
     S  &   s    &   S  \\
     T  &   t    &   T  \\
     U  &   u    &  ou  \\
     F  &   f    &   F  \\
     Q  &   q    &  tch \\
     X  &   x    & ch   \\
     W  &   w    & chtch\\
     Y  &   y    &  Y   \\
    \symbol{3}  & \symbol{11} & \`e  \\
    \symbol{16} & \symbol{24}  & you  \\
    \symbol{23}& \symbol{31} & ya \\
  \hline
\end{tabular}\end{center}
\end{minipage}

\newpage

\section{Petit dico mathematical English $\boldsymbol{\to}$ fran\c cais math\'ematique.}

Y compris des expressions jug\'ees utiles lors du \textsl{Mathematics
Seminar} \textsf{MATH 2900}.

Voir aussi dictionnaires math\'ematiques fran\c cais-anglais et
anglais-fran\c cais dans ``EPS MAG DE MATHS''
\href{http://perso.wanadoo.fr/eps/}
{\texttt{http://perso.wanadoo.fr/eps/}}

 Hauchecorne Bertrand, Shaw Adrian:
\textsl{Lexique bilingue du vocabulaire math\'ematique},
    ELLIPSES - Edition Marketing S.A., Paris

\begin{multicols}{2}

 \noindent
 analysis: analyse \\
 to approximate: approcher \\
 approximation \textbf{of} functions \\
 approximation \textbf{to} a function \\
 on the assumption that: dans l'hypoth\`ese o\`u \\
 ball: boule \\
 beyond: au del\`a \\
 bound: borne \\
 bounded: born\'e(e) \\
 Chebyshev: Tchebycheff    \\
 decreasing: strictement d\'ecroissant(e) \\
 digit: chiffre \\
 eigenvalue, vector: valeur, vecteur propre \\
 even: pair \\
 ever: toujours, ind\'efiniment \\
 field: corps, champ \\
 for all: pour tout(e) \\
 function: fonction \\
 generating function: fonction g\'en\'eratrice \\
 generating sequence: suite g\'en\'eratrice \\
 increasing: strictement croissant(e) \\
 induced map: application induite \\
 kernel: noyau \\
 key idea: id\'ee principale \\
 large: grand \\
 least squares: moindres carr\'es \\
 least squares approximation: \\
 \ \ \ approxim. en moyenne quadratique \\
 less than: strictement inf\'erieur \`a \\
 link: lien \\
 map, mapping: application (math.) \\
 negative: strictement n\'egatif(ve) \\
 non decreasing: croissant(e) \\
 non increasing: d\'ecroissant(e) \\
 non negative: positif(ve) \\
 non positive: n\'egatif(ve) \\
 norm: norme \\
 number: nombre \\
 numeric, numerical: num\'erique(s) \\
 odd: impair \\
 outcome: r\'esultat \\
 polynomial: polyn\^ome, polynomial  \\
 positive: strictement positif(ve)   \\
 principle: principe \\
 provided: pourvu que \\
 Q.E.D.\ : C.Q.F.D. \\
 quotient space (factor space): espace quotient \\
 radius, radii: rayon, rayons \\
 rational: rationnel(le)  \\
 remainder: reste \\
 reproducing: reproduisant, r\'eg\'en\'erateur \\
 root: racine (voir zero)\\
 rule: r\`egle \\
 sample: \'echantillon \\
 scalar: scalaire \\
 sequence: suite                     \\
 series: s\'erie(s) \\
 small: petit \\
 space: espace \\
 spaced out: \'echelonn\'e \\
 spanned by: engendr\'e par \\
 square: carr\'e \\
 stable under: stable par \\
 to state: d\'eclarer \\
 such that: tel(le) que \\
 symmetric: sym\'etrique \\
 tailor: tailleur \\
 Taylor: Taylor  \\
 unbounded: non born\'e(e) \\
 unless: \`a moins que \\
 until: jusqu'\`a ce que \\
 to vanish: s'annuler \\
 vector space: espace vectoriel  \\
 zero: z\'ero (d'une fonction)

\end{multicols}




%faire  mkidx32 m2171l1  :  construit m2171l1.ind a partir de .idx
%  pas de multicols (automatique)
%  cygwin:  makeindex m2171l1

\thispagestyle{fancy}


\begin{theindex}

  
  \item absolument continue, fonction, \hyperpage{74}
  \item ACM, \hyperpage{9}
  \item affine, espace, \hyperpage{22}
  \item AGM, \hyperpage{15}
  \item aliasing, \hyperpage{63}
  \item Approximation rationnelle, \hyperpage{66}
  \item autoadjoint (form.), \hyperpage{99}

  \indexspace

  \item B-splines, \hyperpage{141}
  \item base de Lagrange, \hyperpage{146}
  \item base duale, \hyperpage{50}, \hyperpage{146}
  \item Beltrami, \hyperpage{107}
  \item Bernoulli, nombres et polyn\^omes de, \hyperpage{173}
  \item Bernstein, \hyperpage{41}, \hyperpage{133}
  \item Bernstein, polyn\^omes de, \hyperpage{131}
  \item Bessel, in\'egalit\'e de, \hyperpage{128}
  \item Bezier, \hyperpage{139}
  \item Bickley, \hyperpage{169}
  \item binomiale, loi, \hyperpage{131}
  \item biorthogonalit\'e, \hyperpage{51}, \hyperpage{146}
  \item Boole, formule sommatoire de, \hyperpage{181}
  \item Brezinski, \hyperpage{152}

  \indexspace

  \item Carath\'eodory-Fej\'er, \hyperpage{67}
  \item Christoffel-Darboux, \hyperpage{46}, \hyperpage{98}
  \item classiques, polyn\^omes orthogonaux, \hyperpage{100}, 
		\hyperpage{106}
  \item Clenshaw-Curtis, r\`egle de, \hyperpage{160}
  \item convexe, \hyperpage{22}
  \item CORDIC, \hyperpage{13}
  \item Cotes, R., \hyperpage{172}

  \indexspace

  \item Darboux-Christoffel, \hyperpage{46}, \hyperpage{98}
  \item de La Vall\'ee Poussin, \hyperpage{30}, \hyperpage{59}, 
		\hyperpage{69}
  \item d\'efinie positive, \hyperpage{72}, \hyperpage{76}
  \item Delsarte, P., \hyperpage{105}
  \item diff\'erences divis\'ees, \hyperpage{149}
  \item Dirichlet, \hyperpage{55}
  \item distance, \hyperpage{18}
  \item duale, base, \hyperpage{50}

  \indexspace

  \item \'echange, algorithme d', \hyperpage{32}
  \item \'electrostatique, \hyperpage{103}
  \item Equations du 3\`eme degr\'e, \hyperpage{46}
  \item \'equations normales, \hyperpage{77}, \hyperpage{113}
  \item \'equioscillation, \hyperpage{27}
  \item Euler, constante d', \hyperpage{179}
  \item Euler, nombres et polyn\^omes d', \hyperpage{178}
  \item Euler-Maclaurin, formule d', \hyperpage{174}

  \indexspace

  \item Fej\'er, \hyperpage{135}
  \item FFT, \hyperpage{123}
  \item Fourier, \hyperpage{55}, \hyperpage{117}
  \item Fourier, s\'eries de, \hyperpage{55}
  \item fraction continue, \hyperpage{16}, \hyperpage{97}
  \item Frobenius, \hyperpage{66}
  \item Frutiger, \hyperpage{140}

  \indexspace

  \item Gamma, fonction, \hyperpage{91}
  \item Gegenbauer, polyn\^omes de, \hyperpage{106}
  \item generatrice, fonction, \hyperpage{45}
  \item Genin, Y., \hyperpage{105}
  \item Genocchi, \hyperpage{153}
  \item Gram, matrice de, \hyperpage{75}
  \item Gram-Schmidt, \hyperpage{79}, \hyperpage{85}

  \indexspace

  
  \item Haar, \hyperpage{31}
  \item Hankel, matrice de, \hyperpage{86}
  \item harmoniques sph\'eriques, \hyperpage{107}
  \item harmoniques, nombres, \hyperpage{179}
  \item Hermite, \hyperpage{150}
  \item Hermite, polyn\^omes d', \hyperpage{91}, \hyperpage{100}, 
		\hyperpage{106}, \hyperpage{110}
  \item Hermite-Genocchi, \hyperpage{153}
  \item hermitien (form.), \hyperpage{99}
  \item Hilbert, espace de, \hyperpage{129}
  \item H\"older, normes de, \hyperpage{19}

  \indexspace

  \item int\'egration,  Gauss-Legendre , \hyperpage{95}
  \item int\'egration,  Gauss-Tchebycheff, \hyperpage{97}
  \item int\'egration, formule de Gauss d', \hyperpage{94}
  \item Int\'egration: Clenshaw-Curtis, \hyperpage{160}
  \item Int\'egration: plusieurs var. et soft. KULeuven, 
		\hyperpage{161}
  \item Int\'egration: r\`egle de Clenshaw-Curtis, \hyperpage{160}
  \item Int\'egration: r\`egles adaptatives, \hyperpage{161}
  \item interpolation d'Hermite, \hyperpage{145}
  \item Interpolation rationnelle, \hyperpage{148}
  \item irrationnalit\'e, \hyperpage{15}
  \item Ismail, M.E.H., \hyperpage{105}

  \indexspace

  \item Jackson, th. de, \hyperpage{133}
  \item Jacobi, polyn\^omes de, \hyperpage{100}, \hyperpage{106}
  \item Jordan, th\'eor\`eme de, \hyperpage{55}

  \indexspace

  \item Karatsuba, \hyperpage{124}
  \item Kolmogorov, \hyperpage{26}, \hyperpage{33}
  \item Kronrod, \hyperpage{160}

  \indexspace

  \item Lagrange, \hyperpage{144}
  \item Lagrange, base de, \hyperpage{146}
  \item Laguerre, polyn\^omes de, \hyperpage{91}, \hyperpage{100}, 
		\hyperpage{106}
  \item Laplace-Beltrami, \hyperpage{107}
  \item Lebesgue, constante de, \hyperpage{57}
  \item Lebesgue, lemme de, \hyperpage{57}
  \item Legendre, polyn\^omes de, \hyperpage{89, 90}, \hyperpage{106}, 
		\hyperpage{108}
  \item Leibniz, formule de, \hyperpage{151}
  \item Lissajous, figure de, \hyperpage{38}
  \item Lobatto, \hyperpage{103}, \hyperpage{160}

  \indexspace

  
  \item Markoff, \hyperpage{41}
  \item Mawhin, J., \hyperpage{103}, \hyperpage{134}
  \item mediane, \hyperpage{25}
  \item Meinguet, J., \hyperpage{7}, \hyperpage{18}, \hyperpage{44}, 
		\hyperpage{147, 148}, \hyperpage{172}
  \item module de continuit\'e, \hyperpage{61}
  \item moindres carr\'es, \hyperpage{112}
  \item moments, probl\`eme des, \hyperpage{138}
  \item moyenne, \hyperpage{25}
  \item M\"untz, \hyperpage{81}, \hyperpage{135}

  \indexspace

  \item Nevai, P., \hyperpage{105}
  \item Neville-Aitken, \hyperpage{150}
  \item Newton-Cotes, formules de, \hyperpage{169}
  \item norme, \hyperpage{19}, \hyperpage{23}
  \item norme 1, \hyperpage{116}
  \item norme stricte, \hyperpage{23}
  \item noyaux, \hyperpage{136}
  \item NURBS, \hyperpage{141}

  \indexspace

  \item ondelettes, \hyperpage{125}
  \item orthogonal, orthogonaux, \hyperpage{73}, \hyperpage{78}
  \item orthogonale, matrice, \hyperpage{93}
  \item orthogonalit\'e: pol. de Tchebycheff, \hyperpage{50}
  \item orthogonalit\'e: Sturm-Liouville, \hyperpage{50}

  \indexspace

  \item Pad\'e, \hyperpage{66}
  \item Parseval, \hyperpage{119}, \hyperpage{129}
  \item Peano, th\'eor\`eme de, \hyperpage{162}
  \item Penrose, \hyperpage{78}
  \item Plana, formule sommatoire de, \hyperpage{181}
  \item Poisson, formule sommatoire de, \hyperpage{182}
  \item Poncelet, \hyperpage{13}
  \item prehilbertien, \hyperpage{26}
  \item prehilbertien, espace, \hyperpage{75}
  \item premiers, nombres, \hyperpage{69}
  \item produit scalaire, \hyperpage{72}

  \indexspace

  \item qd, algorithme, \hyperpage{89}
  \item quasi-p\'eriodique, \hyperpage{78}
  \item quotient-diff\'erence, algorithme, \hyperpage{89}

  \indexspace

  \item Radau, \hyperpage{160}
  \item rationnelle, approximation, \hyperpage{39}, \hyperpage{44}, 
		\hyperpage{66}
  \item rationnelle, interpolation, \hyperpage{148}
  \item recurrence, \hyperpage{38}, \hyperpage{43, 44}, \hyperpage{86}, 
		\hyperpage{90}
  \item relative, erreur, \hyperpage{31}, \hyperpage{39}
  \item Remez, \hyperpage{32}, \hyperpage{42}
  \item repr\'esentant de Riesz, \hyperpage{136}
  \item Riccati, \hyperpage{16}, \hyperpage{103}
  \item Riemann-Lebesgue, \hyperpage{55}, \hyperpage{119}
  \item Rodrigues, \hyperpage{50}, \hyperpage{103, 104}
  \item Romberg, sch\'ema de, \hyperpage{178}
  \item Ronveaux, A., \hyperpage{103}
  \item Runge, \hyperpage{157}

  \indexspace

  \item SIAM, \hyperpage{9}
  \item Simon, B., \hyperpage{105}
  \item Simpson, formule d'int\'egration de, \hyperpage{169, 170}, 
		\hyperpage{172}
  \item sommatoires, formules, \hyperpage{179}, \hyperpage{181}
  \item spline, \hyperpage{25}, \hyperpage{155}
  \item Stirling, formule de, \hyperpage{181}
  \item Stone-Weierstrass, \hyperpage{134}
  \item Sturm-Liouville, \hyperpage{47}, \hyperpage{50}, 
		\hyperpage{100}

  \indexspace

  \item tau, m\'ethode des, \hyperpage{64}
  \item Tchebycheff, \hyperpage{67}
  \item Tchebycheff, centre et rayon, \hyperpage{26}
  \item Tchebycheff, polyn\^omes de, \hyperpage{34}, \hyperpage{40}, 
		\hyperpage{106}
  \item Tchebycheff, s\'eries de, \hyperpage{56}
  \item Tchebycheff, th\'eor\`eme de, \hyperpage{27}
  \item totale, suite, \hyperpage{128}
  \item trapezes, r\`egle des, \hyperpage{169, 170}
  \item Trefethen, L.N., \hyperpage{67}

  \indexspace

  \item unicit\'e, \hyperpage{22, 23}, \hyperpage{25}, \hyperpage{29}
  \item unicit\'e, forte, \hyperpage{24}, \hyperpage{30}
  \item unitaire, matrice, \hyperpage{93}

  \indexspace

  \item Van P\'ee, M., \hyperpage{172}
  \item variation born\'ee, \hyperpage{55}, \hyperpage{120}

  \indexspace

  \item Weierstrass, th\'eor\`eme d'approximation de, \hyperpage{61}, 
		\hyperpage{130}

  \indexspace

  \item Z\'eros de polyn\^omes, \hyperpage{91}
  \item zeta, fonction- de Riemann, \hyperpage{69}, \hyperpage{181}
  \item Zolotarev, \hyperpage{39}

\item \hspace{-0.5mm} {\Large{$\mathscr{T}$hat's all, $\mathscr{F}$olks  }}

%\end{theindex}

%\vspace*{-5cm}\hspace*{5.8cm}\label{DMartinfin}\includegraphics[angle=0, scale=0.4]{dmart22.ps}

\end{theindex}


\end{document}
