Alphonse Magnus, CYCLO, b124 ,
alphonse.magnus@uclouvain.be ,
http://www.math.ucl.ac.be/membres/magnus/
tel. (010) (47) 31 57
Matière vue.
Théor. d'existence, unicité (norme stricte), continuité de l'application de meilleure approx.
2. Tchebycheff.
Théor. d'équioscillation, cond. nécessaire et suffisante.
Unicité,
symétrie (ou parité), inégalité de La Vallée Poussin
min i | |f(xi)-p(xi)| £ E |
Polynômes de Tchebycheff: déf., premières propriétés, équadiff. (1-x2)y¢2=n2(1-y2), Tn(cosq)=cosnq, zéros et extrema, récurrence, coeff. de xn.
Fonction génératrice. Équadiff. linéaire d'ordre 2, forme de Sturm-Liouville u(x)[v(x)y¢]¢=ln y. Pol. de 2ème espèce Un, solution générale équadiff. Développement de xn dans la base {T0,¼, Tn}.
Notion de ``bonne base'' dans Vn de base {b0,¼, bn}:
si f Î Vn,
f= |
n å 0 | ck(f) bk |
An £ |
||f||
| £ Bn |
| £ 1+ |
Bn
|
\sideset¢ |
¥ å 0 | ck(f)Tk |
Series de Tn, vitesse de décroissance coefficients et reste: uniquement les estimations en F(m), où F(q)=f(cosq) .
3.
Approximation en moyenne quadratique.
Produit scalaire,
espace préhilbertien, norme
||f||= | Ö |
(f,f)
|
Polynômes
orthogonaux, intégrale de Riemann-Stieltjes òab f(x) dm(x), produit scalaire
(f,g)=òab f(x)g(x) dm(x).
Récurrence. Formule de Christoffel-Darboux.
Zéros: nombre et simplicité dans (a,b), entrelacement.
Zéros et orthogonalité discrète
n å j=1 | wj jk(xj)jm(xj)=dk,m,0 £ k,m < n |
wj=1/ |
n-1 å k=0 | jk2(xj) |
n å j=1 | wj F(xj)=òab F(x) dm(x) |
Pol. orthogonaux fonctions propres d'opérateurs différentiels pF¢¢n+qF¢n+rFn=lnFn.
Moindres carrés comme meilleure approximation dans un
préhilbertien, avec le produit scalaire de \mathbbRN.
Orthogonalité discrète Fourier pour le
produit scalaire
N/2-1 å j=-N/2 | f(2pj/N) |
g(2pj/N)
|
bk(x)=exp(ikx), k=-N/2,¼, N/2-1 Þ |
N/2-1 å j=-N/2 | bk(2pj/N) |
bm(2pj/N)
| = Ndk,m |
Suites totales & maximales, espaces de Hilbert, {jk} orthonormale totale
dans
X Û |
å | |ck(f)|2 = ||f||2 |
Noyaux reproduisants (ou régénérateurs) comme représentants de Fréchet-Riesz
de la forme f Î Vn ® f(x):
f(x)= |
n å 0 | ck(f)jk(x)=òab f(t)[ |
n å 0 | jk(x) |
jk(t)
| ]dm(t) |
Densité de P dans C[a,b], -¥ < a < b < ¥ (donc dans L2(a,b)): théor. de Weierstrass et dém. par polynômes de Bernstein
Énoncé de Stone-Weierstrass.
VOIR SUITE p.2.
4. Interpolation & applications.
Problème d'interpolation en général et théorème d'équivalence
p Î V, li(p)=yi donnés pour i=1,¼, dim
(V) Ûp= |
å | yj Lj |
Cas de l'interpolation polynomiale classique V=Pn-1, li(f)=f(xi), x1,¼, xn distincts.
Base de Lagrange-Hermite: V=P2n-1, li(f)=f(xi); li+n(f)=f¢(xi), i=1,¼,n. (pas tous les détails).
Formulation de Newton pn-1(x)=[x1]f+[x1,x2]f(x-x1)+¼+[x1,¼, xn]f(x-x1)¼(x-xn-1), différences divisées, Neville-Aitken
pi,j(x)= |
(x-xi)pi+1,j(x)-(x-xj)pi,j-1(x)
| Þ[xi,¼, xj]f = |
[xi+1,¼, xj]f-[xi,¼, xj-1]f
|
Hermite-Genocchi.
Reste d'interpolation (et points optimaux) f(x)-pn-1(x)=kn(x)(x-x1)¼(x-xn), avec kn(x)=f(n)(x)/n! = [x1,¼, xn,x]f.
Regles d'integration òpn-1. Trapèze (n=2), Simpson (n=3).
Reste d'intégration Gauss ò(f-pHermite)dm.
Théorème de Peano f Î Cn[a,b] et
Pn-1 Í Ker(R)ÞR(f)=òab f(n)(t)K(t) dt, avec
K(t)=R appliquée à (x-t)+n-1/(n-1)!.
Exemple R(f)=òab f(x)dx - (b-a)(f(a)+f(b))/2 (trapèze).
5.
Différences finies.
Opérateurs E,D,Ñ,d,D,J.
Interpolation Gregory
f(x0+sh) = (Es f)(x0)=((I+D)s f)(x0) = |
¥ å 0 | (s(s-1)¼(s-k+1)/k!)(Dk f)(x0) |
Opérateurs de dérivation Dk = h-kdk+¼.
Intégration J=DD-1 et E=ehDÞ J=h D/ln(I+D) = -hÑ/((I-Ñ)ln(I-Ñ))=h+hÑ/2+¼ (Adams).
Euler-Maclaurin: principe.