INMA 2171 INMA 2171   Analyse numérique: approximation, interpolation, intégration.
2008-2009 septembre-décembre 2008



Alphonse Magnus, CYCLO, b124 ,
alphonse.magnus@uclouvain.be , http://www.math.ucl.ac.be/membres/magnus/
tel. (010) (47) 31 57



Matière vue.



1. Théorèmes généraux.

Théor. d'existence, unicité (norme stricte), continuité de l'application de meilleure approx.


2. Tchebycheff.

Théor. d'équioscillation, cond. nécessaire et suffisante. Unicité, symétrie (ou parité), inégalité de La Vallée Poussin

min
i 
|f(xi)-p(xi)| E

.

Polynômes de Tchebycheff: déf., premières propriétés, équadiff. (1-x2)y2=n2(1-y2), Tn(cosq)=cosnq, zéros et extrema, récurrence, coeff. de xn.

Fonction génératrice. Équadiff. linéaire d'ordre 2, forme de Sturm-Liouville u(x)[v(x)y]=ln y. Pol. de 2ème espèce Un, solution générale équadiff. Développement de xn dans la base {T0,, Tn}.

Notion de ``bonne base'' dans Vn de base {b0,, bn}: si f Vn,
f= n

0 
ck(f) bk

,
An  ||f||

n

0 
|ck(f)|
Bn

,
Bn/An une fonction lentement croissante de n.
Orthogonalité, base duale, cn(f)=(2/p)-11 f(x)Tn(x)(1-x2)-1/2dx = (2/p)0p f(cosq)cos(nqdq, sommes de Fourier. Relation entre ``bonne base'' et ``bonne approximation''
||f - n

0 
ck(f) bk||

||f-
^
p
 

n 
||
1+  Bn

An

(lemme de Lebesgue ||f-Lf|| (1+||L||)E si V noyau de I-L). Séries de Tchebycheff-Fourier
\sideset

0 
ck(f)Tk

(énoncé Dirichlet).

Series de Tn, vitesse de décroissance coefficients et reste: uniquement les estimations en F(m), où F(q)=f(cosq) .


3. Approximation en moyenne quadratique.

Produit scalaire, espace préhilbertien, norme
||f||=

 

(f,f)
 

, projection orthogonale = meilleure approximation, symétrie et positive définition de la matrice de Gram, méthode de Gram-Schmidt, (volumes polytopes), factorisation de Cholesky.

Polynômes orthogonaux, intégrale de Riemann-Stieltjes ab f(xdm(x), produit scalaire (f,g)=ab f(x)g(xdm(x). Récurrence. Formule de Christoffel-Darboux. Zéros: nombre et simplicité dans (a,b), entrelacement. Zéros et orthogonalité discrète
n

j=1 
wj jk(xj)jm(xj)=dk,m,0 k,m < n

,
wj=1/ n-1

k=0 
jk2(xj)

, formules d'intégration de Gauss
n

j=1 
wj F(xj)=ab F(xdm(x)

si F P2n-1.

Pol. orthogonaux fonctions propres d'opérateurs différentiels pFn+qFn+rFn=lnFn.

Moindres carrés comme meilleure approximation dans un préhilbertien, avec le produit scalaire de \mathbbRN. Orthogonalité discrète Fourier pour le produit scalaire
N/2-1

j=-N/2 
f(2pj/N)

g(2pj/N)
 

:
bk(x)=exp(ikx), k=-N/2,, N/2-1 N/2-1

j=-N/2 
bk(2pj/N)

bm(2pj/N)
 
= Ndk,m

. Analyse d'un signal.

Suites totales & maximales, espaces de Hilbert, {jk} orthonormale totale dans
X
|ck(f)|2 = ||f||2

pour "f X (Parseval), où ck(f)=(f,jk), etc.

Noyaux reproduisants (ou régénérateurs) comme représentants de Fréchet-Riesz de la forme f Vn f(x):
f(x)= n

0 
ck(f)jk(x)=ab f(t)[ n

0 
jk(x)

jk(t)
 
]dm(t)

.

Densité de P dans C[a,b], - < a < b < (donc dans L2(a,b)): théor. de Weierstrass et dém. par polynômes de Bernstein

Énoncé de Stone-Weierstrass.



VOIR SUITE p.2.

4. Interpolation & applications.

Problème d'interpolation en général et théorème d'équivalence p V,     li(p)=yi donnés pour i=1,, dim
(V) p=
yj Lj

, où Lj V et li(Lj)=di,j.

Cas de l'interpolation polynomiale classique V=Pn-1, li(f)=f(xi), x1,, xn distincts.

Base de Lagrange-Hermite: V=P2n-1li(f)=f(xi); li+n(f)=f(xi), i=1,,n. (pas tous les détails).

Formulation de Newton pn-1(x)=[x1]f+[x1,x2]f(x-x1)++[x1,, xn]f(x-x1)(x-xn-1), différences divisées, Neville-Aitken
pi,j(x)=  (x-xi)pi+1,j(x)-(x-xj)pi,j-1(x)

xj-xi
[xi,, xj]f =   [xi+1,, xj]f-[xi,, xj-1]f

xj-xi

.

Hermite-Genocchi.

Reste d'interpolation (et points optimaux) f(x)-pn-1(x)=kn(x)(x-x1)(x-xn), avec kn(x)=f(n)(x)/n! = [x1,, xn,x]f.

Regles d'integration pn-1. Trapèze (n=2), Simpson (n=3).

Reste d'intégration Gauss (f-pHermite)dm.

Théorème de Peano f Cn[a,b] et Pn-1 Ker(R)R(f)=ab f(n)(t)K(tdt, avec K(t)=R appliquée à (x-t)+n-1/(n-1)!.
Exemple R(f)=ab f(x)dx - (b-a)(f(a)+f(b))/2 (trapèze).


5. Différences finies.

Opérateurs E,D,,d,D,J. Interpolation Gregory
f(x0+sh) = (Es f)(x0)=((I+D)s f)(x0) =

0 
(s(s-1)(s-k+1)/k!)(Dk f)(x0)

. Comparer par [x0,x0+h,, x0+kh]f = (Dk f)(x0)/(hk k!).

Opérateurs de dérivation Dk = h-kdk+.

Intégration J=DD-1 et E=ehD J=h D/ln(I+D) = -h/((I-)ln(I-))=h+h/2+ (Adams).

Euler-Maclaurin: principe.




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