Théor. d'existence, unicité (norme stricte), continuité de l'application de meilleure approx.

2. Tchebycheff.

Théor. d'équioscillation, cond. nécessaire et suffisante. Unicité, symétrie (ou parité), inégalité de La Vallée Poussin

min i

|f(xi)-p(xi)| £ E

.

Polynômes de Tchebycheff: déf., premières propriétés, équadiff. (1-x²)y¢²=n²(1-y²), T_n(cosq)=cosnq, zéros et extrema, récurrence, coeff. de xⁿ.

Fonction génératrice. Équadiff. linéaire d'ordre 2, forme de Sturm-Liouville u(x)[v(x)y¢]¢=l_n y. Pol. de 2^ème espèce U_n, solution générale équadiff. Développement de xⁿ dans la base {T₀,¼, T_n}.

Notion de ``bonne base'' dans V_n de base {b₀,¼, b_n}: si f Î V_n,

f=

n å 0

ck(f) bk

,

An £

||f|| n å 0  |ck(f)|

£ Bn

,
B_n/A_n £ une fonction lentement croissante de n.
Orthogonalité, base duale, c_n(f)=(2/p)ò_-1¹ f(x)T_n(x)(1-x²)^-1/2dx = (2/p)ò₀^p f(cosq)cos(nq) dq, sommes de Fourier. Relation entre ``bonne base'' et ``bonne approximation''

||f - n å 0  ck(f) bk|| ||f- ^ p   n  ||

£ 1+

Bn An

(lemme de Lebesgue ||f-Lf|| £ (1+||L||)E si V Ì noyau de I-L). Séries de Tchebycheff-Fourier

\sideset¢

¥ å 0

ck(f)Tk

(énoncé Dirichlet).

Series de T_n, vitesse de décroissance coefficients et reste: uniquement les estimations en F^(m), où F(q)=f(cosq) .

3. Approximation en moyenne quadratique.

Produit scalaire, espace préhilbertien, norme

||f||=

Ö

(f,f)

, projection orthogonale = meilleure approximation, symétrie et positive définition de la matrice de Gram, méthode de Gram-Schmidt, (volumes polytopes), factorisation de Cholesky.

Polynômes orthogonaux, intégrale de Riemann-Stieltjes ò_a^b f(x) dm(x), produit scalaire (f,g)=ò_a^b f(x)g(x) dm(x). Récurrence. Formule de Christoffel-Darboux. Zéros: nombre et simplicité dans (a,b), entrelacement. Zéros et orthogonalité discrète

n å j=1

wj jk(xj)jm(xj)=dk,m,0 £ k,m < n

,

wj=1/

n-1 å k=0

jk2(xj)

, formules d'intégration de Gauss

n å j=1

wj F(xj)=òab F(x) dm(x)

si F Î P_2n-1.

Pol. orthogonaux fonctions propres d'opérateurs différentiels pF¢¢_n+qF¢_n+rF_n=l_nF_n.

Moindres carrés comme meilleure approximation dans un préhilbertien, avec le produit scalaire de \mathbbR^N. Orthogonalité discrète Fourier pour le produit scalaire

N/2-1 å j=-N/2

f(2pj/N)

g(2pj/N)

:

bk(x)=exp(ikx), k=-N/2,¼, N/2-1 Þ

N/2-1 å j=-N/2

bk(2pj/N)

bm(2pj/N)

= Ndk,m

. Analyse d'un signal.

Suites totales & maximales, espaces de Hilbert, {j_k} orthonormale totale dans

X Û

å

|ck(f)|2 = ||f||2

pour "f Î X (Parseval), où c_k(f)=(f,j_k), etc.

Noyaux reproduisants (ou régénérateurs) comme représentants de Fréchet-Riesz de la forme f Î V_n ® f(x):

f(x)=

n å 0

ck(f)jk(x)=òab f(t)[

n å 0

jk(x)

jk(t)

]dm(t)

.

Densité de P dans C_[a,b], -¥ < a < b < ¥ (donc dans L²_(a,b)): théor. de Weierstrass et dém. par polynômes de Bernstein

Énoncé de Stone-Weierstrass.

VOIR SUITE p.2.

4. Interpolation & applications.

Problème d'interpolation en général et théorème d'équivalence p Î V,     l_i(p)=y_i donnés pour i=1,¼, dim

(V) Ûp=

å

yj Lj

, où L_j Î V et l_i(L_j)=d_i,j.

Cas de l'interpolation polynomiale classique V=P_n-1, l_i(f)=f(x_i), x₁,¼, x_n distincts.

Base de Lagrange-Hermite: V=P_2n-1, l_i(f)=f(x_i); l_i+n(f)=f¢(x_i), i=1,¼,n. (pas tous les détails).

Formulation de Newton p_n-1(x)=[x₁]_f+[x₁,x₂]_f(x-x₁)+¼+[x₁,¼, x_n]_f(x-x₁)¼(x-x_n-1), différences divisées, Neville-Aitken

pi,j(x)=

(x-xi)pi+1,j(x)-(x-xj)pi,j-1(x) xj-xi

Þ[xi,¼, xj]f =

[xi+1,¼, xj]f-[xi,¼, xj-1]f xj-xi

.

Hermite-Genocchi.

Reste d'interpolation (et points optimaux) f(x)-p_n-1(x)=k_n(x)(x-x₁)¼(x-x_n), avec k_n(x)=f⁽ⁿ⁾(x)/n! = [x₁,¼, x_n,x]_f.

Regles d'integration òp_n-1. Trapèze (n=2), Simpson (n=3).

Reste d'intégration Gauss ò(f-p_Hermite)dm.

Théorème de Peano f Î Cⁿ_[a,b] et P_n-1 Í Ker(R)ÞR(f)=ò_a^b f⁽ⁿ⁾(t)K(t) dt, avec K(t)=R appliquée à (x-t)₊^n-1/(n-1)!.
Exemple R(f)=ò_a^b f(x)dx - (b-a)(f(a)+f(b))/2 (trapèze).

5. Différences finies.

Opérateurs E,D,Ñ,d,D,J. Interpolation Gregory

f(x0+sh) = (Es f)(x0)=((I+D)s f)(x0) =

¥ å 0

(s(s-1)¼(s-k+1)/k!)(Dk f)(x0)

. Comparer par [x₀,x₀+h,¼, x₀+kh]_f = (D^k f)(x₀)/(h^k k!).

Opérateurs de dérivation D^k = h^-kd^k+¼.

Intégration J=DD^-1 et E=e^hDÞ J=h D/ln(I+D) = -hÑ/((I-Ñ)ln(I-Ñ))=h+hÑ/2+¼ (Adams).

Euler-Maclaurin: principe.