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%\def\text #1{{\rm{#1}}}          % decommenter pour tth
%\def\mathscr #1{{#1}}          % decommenter pour tth

\begin{document}
\vspace*{-1cm}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \textbf{\Large MATH 2171  \ \ Analyse num\'erique Ia} \\
         \textsf{2005-2006} f\'evrier-mai 2006\\
\bigskip
  Alphonse Magnus, CYCLO, b124 ,  \\ magnus@inma.ucl.ac.be ,
     http://www.math.ucl.ac.be/membres/magnus/ \\
    tel. (010) (47) 31 57 \\
 \bigskip
       \textbf{  Mati\`ere vue. }


\end{center}
\bigskip

\noindent\textbf{1.  Th\'eor\`emes g\'en\'eraux.}


Th\'eor. d'existence, unicit\'e (norme stricte)
continuit\'e \S-2.1,2.3, \S~3 et 4.1 p.~21-- d\'ebut 24.

\medskip

\noindent\textbf{2.  Tchebycheff.}

Th\'eor. d'\'equioscillation, cond. n\'ecessaire et suffisante,
Unicit\'e,
%deux premi\`eres lignes de p.~24;
sym\'etrie, de La Vall\'ee Poussin 27--30 (\S~2.2).

%Algorithme d'\'echange \S~2.5 (p.~26--27).

Polyn\^omes de Tchebycheff: d\'ef., premi\`eres propri\'et\'es, \'equadiff.,
 $\cos n\theta$, z\'eros et extrema, r\'ecurrence, coeff. de $x^n$
 \S~3.1--3.3 et 3.6--3.7: 34--36, 38.

Propri\'et\'es extr\'emales: \'equivalences (14) p.~40--41; (1) coeff. de
$x^n$,
(3) $f^{(p)}(1)$,
 (4) max $|p(\xi)|$.
%5. \'enonc\'es de Markoff--Bernstein (a) et (d) p.~39-40.

Solutions r\'ecurrence
% et fonction g\'en\'eratrice
  (3) p. 43-- 1${}^{\text{\`ere}}$
moiti\'e 44
%et (4)  p.45.
\'Equadiff. lin\'eaire d'ordre 2,
  pol. de $2^{\text{\`eme}}$ esp\`ece $U_n$, solution g\'en\'erale
 \'equadiff et r\'ecurrence.
D\'eveloppement de $x^n$,
% d\'eriv\'ee et primitive de $T_n$,
\S 3.13 -- 3.15  p.46--47,  $x^n$: (2) p.48.

Orthogonalit\'e,
  base duale,  sommes de
Fourier: \S 3.18.1--3.18.3   p.~50-51.
S\'eries de Tchebycheff-Fourier: \S~4, p.53--
%d\'ebut
 54 (Dirichlet),
\S 4.3 p.53.
Series de $T_n$ et lemme de Lebesgue p. 56.
 Vitesse de d\'ecroissance coefficients et reste: uniquement
les estimations en $F^{(m)}$  \S 4.4  fin p.~58--p. 59.

%Aliasing (46) p.~53 (sans d\'emonstration).

Module de continuit\'e p.60.



\medskip

\noindent\textbf{3.
 Approximation en moyenne. }

Produit scalaire, Riemann-Stieltjes,
espace pr\'ehilbertien,
projection orthogonale $=$ meilleure approximation, matrice de Gram,
m\'ethode de Gram-Schmidt,
%volumes polytopes,
 factorisation de Cholesky
% $2^{\text{\`eme}}$ moiti\'e 63--$1^{\text{\`ere}}$ moiti\'e 64.
 71--77, 78 (\S 2.3)--d\'ebut 79, et \S 2.5 (p.80). 
 Polyn\^omes
orthogonaux, r\'ecurrence:
81--d\'ebut 82, 84-- 1${}^{\text{\`ere}}$ moiti\'e 85.
%\S~3.2 pp.~74--75.
    Z\'eros \S~3.4, 89--90,
 z\'eros et orthogonalit\'e discr\`ete, formules d'int\'egration
de Gauss  91--93 (jusque `Inversement').

Christoffel-Darboux \S~3.8 p.96. Pol. orthogonaux fonctions propres
d'op\'erateurs diff\'erentiels 97-- 1${}^{\text{\`ere}}$ moiti\'e 99.

Polyn\^omes noyaux, formule $K_n$ et th\'eor\`eme \S 3.16 p. 109--111.
Moindres carr\'es \S~4, 111--113.

Orthogonalit\'e discr\`ete Fourier: \S~6.2, p. 120--121.

Suites totales \& maximales, espaces de Hilbert \S 7.1--7.3, 127--129

Densit\'e de ${\mathscr C}$ dans $L^2$,
th\'eor. de Weierstrass et d\'em. par polyn\^omes de Bernstein
 \S~7.4  fin 129--milieu 131.
 \'Enonc\'e de Stone-Weierstrass \S 7.5 p.133.

\bigskip

%\begin{center}
%   \textbf{\`A suivre ...}
%\end{center}
%
%\end{document}
%
%\bigskip

\noindent\textbf{4.
Interpolation \& applications.}


Formulation de
Lagrange  (points distincts) 139--141.  \\
Probl\`eme d'interpolation en g\'en\'eral \S~1.2 p.~141--144
(les exemples (1) et (2)).

Base de Lagrange-Hermite:  144--145
 (pas tous    les d\'etails).

Formulation de Newton, diff\'erences divis\'ees \S~1.3 145--146.

Hermite-Genocchi \S 1.6, 149--150.

Reste d'interpolation et points optimaux  \S~1.7
 151--153.

Regles d'integration, principe \S 2, p. 154.

Reste d'int\'egration Gauss \S~2.1 1${}^{\text{\`ere}}$ moiti\'e155
 et d\'ebut 156.

Th\'eor\`eme de Peano \S 3, 157--159.

\medskip
\enlargethispage{2cm}
\noindent\textbf{5.
 Diff\'erences finies.}

Op\'erateurs \S~1 ,
 interpolation Gregory \S~2 161--164.

%D\'erivation, int\'egration:
% premi\`eres formules des \S\S~3 et 4 p.~156--157.

R\`egles des trap\`ezes et de Simpson: les formules, p.~167
 (vues par
la m\'ethode de la p.~154).

Exemple Peano trap\`eze 167.\ Euler-Maclaurin:
 principe, p.~170.

\end{document}

\medskip

\`a suivre...

\end{document}

