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%                                   1995

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\lhead{\rmfamily \textsf{MAT2410 EDP2\ 2008-2009\ }--\ \textbf{\thechapter}\ --\ \mylmark\  --} \chead{} \rhead{\rmfamily\thepage}
\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{}



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    \endgroup
  \fi}

% police de chapitre
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  \fontsize{\@xivpt}{18}\bfseries\centering
    \ifnum\c@secnumdepth>\m@ne
      \leavevmode \hskip-\leftskip
      \rlap{\vbox to\z@{\vss
%         \centerline{\normalsize\bfseries
          \centerline{\Large    \bfseries
                        \@xp{\chaptername}\enspace\thechapter}
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     #1\par \endgroup
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\makeindex

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\begin{document}

%\pagenumbering{roman}
\renewcommand{\mylmark}{Intro.}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

\   \vspace*{-2cm}

%\epsfxsize=477bp \epsfbox[-90 615 387 725]{sedes94.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1.0]{sedes94.ps}

\vspace*{-3cm}
{\Large Universit\'e catholique de Louvain} \\

\vspace*{4cm}

{\Huge{\Huge \textbf{EQUATIONS AUX D\'ERIV\'EES PARTIELLES 2 }}} \\
   \  \\   \vspace{20pt}
 \textsf{ MAT2410}  \\
 \textsf{2008-2009}   \\


\bigskip
  Alphonse Magnus,    \\
  Institut de  Math\'ematique Pure et Appliqu\'ee,  \\
 Universit\'e Catholique de Louvain, \\
 Chemin du Cyclotron,2, \\
  B-1348 Louvain-la-Neuve \\
      (Belgium)\\% Research address for author one
       (++32)(0)(10)473157 ,
         \href{mailto:alphonse.magnus@uclouvain.be}{\texttt{alphonse.magnus@uclouvain.be}},
  \href{http://www.math.ucl.ac.be/membres/magnus/}{\texttt{http://www.math.ucl.ac.be/membres/magnus/}}
   %{\texttt{http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/}}
%Paul Van Dooren, EULER, a119,  478040 , vandooren@anma.ucl.ac.be
\end{center}


\vfill

{\Small

\begin{flushright}

\vspace*{-27cm} \hspace*{9cm}
   \includegraphics[angle=0, scale=1.0]{chgtype.ps}

\href{http://www.mema.ucl.ac.be/~vl/projects/hp-methods.html}{\texttt{http://www.mema.ucl.ac.be/\~{}vl/projects/hp-methods.html}}


\enlargethispage{44pt}

%}%end Small

\end{flushright}
}%end Small


\bigskip

\tableofcontents

\bigskip



%\begin{minipage}[t]{3.8cm}
\parpic{
%\epsfxsize=80truebp \epsfbox[40  30 120 450]{memaxtr.ps}   \\  \   \\
%\epsfxsize=40truebp \epsfbox[70  30 110 450]{memaxtr.ps}   \\  \   \\
\     \     $   \   $
\vspace*{8cm}\includegraphics[angle=0, scale=0.7]{memaxtr.ps}
}%\end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{11.7cm}
%\ \\
%\vspace*{-450bp}

Le cours passe en revue les principales m\'ethodes de r\'esolution
num\'erique des \'equations aux d\'eriv\'ees partielles. Il se
situe entre des cours consacr\'es \`a la th\'eorie de ces
\'equations et de leurs solutions

cf. \href{http://www.uclouvain.be/12259.html}{$>$ UCL $>$ Enseignement et formation $>$ Programme d'\'etudes 2006-2007   http://www.uclouvain.be/12259.html}

\medskip

{\Small \noindent\textsf{
  \noindent INMA 2345 Equations diff\'erentielles ordinaires: probl\`emes aux limites
   [30], Q2,  3 cr\'ed., ?\\
   MAT 1321 Analyse fonctionnelle et \'equations aux d\'eriv\'ees partielles,
             [45-45],    Q1 ,    8  cr\'ed.,  M. Willem, \\
       MATH 2421 Analyse convexe et m\'ethodes variationnelles  [30-0],  Q1,
   3  cr\'ed.,    M. Willem,\\
   MATH 2490 Probl\`emes aux limites pour les EDO et EDP   [45-0],  Q1,
      4,5 cr\'ed., ?, \\
   MAPA 3037 M\'ethodes topologiques et variationnelles
   en analyse      [30],    Q1 + Q2,    2  cr\'ed.,
    ?, M. Willem.
     }}
\ \ \\
et des cours orient\'es vers des applications sp\'ecifiques
\\   \    \\
{\Small \noindent\textsf{
 \noindent INMA2715 Calcul scientifique sur ordinateurs parall\`eles
  [30-30],  Q2, 5 cr\'ed.  , R.~Keunings, \\
  \qquad\qquad (pas en 2006-2007)\\
  \hspace*{55pt}MECA 2120 Introduction aux m\'ethodes
 d'\'el\'ements finis${}^\dagger$
    [30-30],
   Q1,       5  cr\'ed.,  V. Legat, }\\
        \picskip{9} \vspace*{-10pt} \textsf{
   \hspace*{-24pt} MECA 2170 Conception assist\'ee par ordinateur en g\'enie
      m\'ecanique [30-30] , Q1, 5 cr\'ed., V.~Legat,\\
   \picskip{7}\vspace*{-11pt}\hspace*{-15pt}
   MECA 2620 Simulation des ph\'enom\`enes de transfert dans
    les proc\'ed\'es industriels [30-10], Q1 , 4 cr\'ed. ,  F.~Dupret,\\
   \hspace*{55pt}MECA 2660 M\'ethodes num\'eriques en m\'ecanique des fluides
      [30-22,5],    Q2 , 5 cr\'ed.,   G. Winckelmans,   \\
   %PHYS2223 Dynamique des fluides g\'eophysiques et environnementaux
   %   [22,5-7,5], Q1, 4 cr\'ed. \ \  ,     \\
   %   \hspace*{90pt}E.~Deleersnijder, J.~Lemaire.
 \noindent PHY2371 Simulation num\'erique en physique
[22.5h+30h exercices] ,Q2, 5 crédits,
  Eric Deleersnijder, Bernard Piraux
}}

\medskip
\picskip{1}
Cela ne veut pas dire qu'il faut avoir suivi un ou des cours
th\'eoriques (cependant vivement recommand\'es, bien entendu),
 on \'etablira (ou rappellera, plus ou moins bien)
l'essentiel des bases th\'eoriques n\'ecessaires.\\
{\Small \hspace*{66pt} Au fait, le pr\'esent cours  vaut  4,5 cr\'ed.}\\
\rule{3cm}{0.2mm}\\
${}^\dagger$ {\Small Voir, \`a ce sujet, \\ \hspace*{-1cm} \vspace*{-5mm}
\begin{flushright}
% \href{http://www.meca.ucl.ac.be/~vl/teaching/meca2120/index.html}
% {\texttt{http://www.meca.ucl.ac.be/\~{}vl/teaching/meca2120/index.html}}
\href{http://www.mema.ucl.ac.be/teaching/meca2120/index.html}{\texttt{http://www.mema.ucl.ac.be/teaching/meca2120/index.html}}
 \end{flushright}}
%\end{minipage}


  {\Small extrait de \\ \texttt{http://www.meca.ucl.ac.be/memawww/members/vl/figure.gif}}

\bigskip\bigskip

Ce cours a \'et\'e cr\'e\'e par le Professeur
\emph{\textbf{Jean Meinguet}} qui assura son enseignement
jusqu'en 1995. Au fil des ann\'ees, l'accent fut mis sur
les recherches contemporaines en m\'ethodes de r\'esolution de
divers probl\`emes d'analyse fonctionnelle appliqu\'ee.

\smallskip

En 1973, le Professeur \emph{\textbf{Jean
Descloux}}, de l'\'Ecole Polytechnique F\'ed\'erale de Lausanne,
vint donner \`a Louvain-la-Neuve un cours sur l'analyse
math\'ematique de la m\'ethode des \emph{\textbf{\'el\'ements
finis}}, m\'ethode qui commen\c cait alors \`a \^etre
convenablement formalis\'ee${}^{\dagger\dagger}$. Les notes du
Professeur Descloux forment encore l'essentiel de la premi\`ere
partie du pr\'esent cours.
\\
\rule{3cm}{0.2mm}\\
${}^{\dagger\dagger}$ {\Small Parmi les pionniers de la m\'ethode,
citons \emph{\textbf{Fraeijs de Veubeke}}, professeur \`a Li\`ege
et Louvain. Par ailleurs, notre Universit\'e re\c cut \'egalement
les visites de \emph{\textbf{P.~Ciarlet}}
            et \emph{\textbf{P.~Raviart}} (Paris).   }






\chapter*{Quelques r\'ef\'erences.}
\renewcommand{\mylmark}{Bib}
\thispagestyle{fancy}
\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{fancy}}

\subsection{Livres et articles}  \   \\

{\small

R.A. Adams, \textsl{Sobolev Spaces}, Acad. Press, 1975.

K.~Atkinson, W.~Han, \textsl{Theoretical Numerical Analysis,
A Functional Analysis Framework},  Springer-Verlag, 2001.
   Lectures in Mathematics - ETH Z\"urich

W.~Bangerth,  R.~Rannacher, \textsl{
   Adaptive Finite Element Methods for Differential Equations},
   Birkh\"auser Verlag AG, 2003.

John P. Boyd,
  \textsl{Chebyshev and Fourier Spectral Methods},
   First edition (out of print), Springer-Verlag (1989), 792 pp.
   Second edition, Dover, New York (2001), 688 pp.
   The online version is split into two files, {\it in}
\href{http://www-personal.engin.umich.edu/~jpboyd/BOOK_Spectral2000.html}
{\texttt{http://www-personal.engin.umich.edu/\~{}jpboyd/BOOK\_Spectral2000.html}}


D.~Braess,
\textsl{Finite Elements. Theory, Fast Solvers
     and Applications in Solid Mechanics} , $2^{\text{nd}}$ edition,
         Cambridge University Press 2001.

C.~Canuto, M.Y.~Hussaini, A.~Quarteroni, T.A.~Zang, \textsl{Spectral
Methods in Fluid Dynamics}, Springer, 1988.

P.G. Ciarlet, \textsl{The Finite Element Method for Elliptic Problems},
 North-Holland, 1978.

L.~Collatz, \textsl{The Numerical Treatment of Differential
 Equations}, $3^{\text{\`eme}}$ \'ed., Springer, 1966.

R.~Courant, D.~Hilbert, \textsl{Methods of Mathematical Physics, II, Partial
  Differential Equations}, Interscience, 1962.

C.~Cuvelier, J.~Descloux, J.~Rappaz, C.~Stuart, B.~Zwahlen,
 assist\'es par G.~Caloz: \textsl{\'El\'ements d'\'equations aux
  d\'eriv\'ees partielles pour ing\'enieurs}, 2~vol., Presses
  polytechniques romandes, Lausanne, 1988.

R.~Dautray, J.L.~Lions, \textsl{Analyse math\'ematique et calcul num\'erique},
  vol.~2: \textsl{Op\'erateur de Laplace}, vol.~3: \textsl{Transformations,
  Sobolev, op\'erateurs}, vol.~4: \textsl{M\'ethodes variationnelles},
 vol.~6: \textsl{M\'ethodes int\'egrales et num\'eriques} (chap.~XII,
     M\'ethodes  num\'eriques pour les probl\`emes stationnaires,
   chap.~XIII, Approximation des \'equations int\'egrales par \'el\'ements
    finis),
 vol.~9:
 \textsl{\'Evolution: num\'erique, transport} (chap.~XX, M\'ethodes
  num\'eriques pour les probl\`emes d'\'evolution),
  Masson, 1987, 1988.

C. de Boor, \textsl{Numerical Functional Analysis}, cours CS717,
  University of Wisconsin-Madison,\\
 \href{http://www.cs.wisc.edu/~deboor/cs717.html}
 {\texttt{http://www.cs.wisc.edu/\~{}deboor/cs717.html}}

Brenner, Susanne C.,  Scott, L. Ridgeway,
\textsl{The  Mathematical Theory of Finite Element Methods}
(Texts in Applied  Mathematics Vol 15), 2nd Ed
385 pages, Springer-Verlag  New York Inc., Jul. 2002 \footnote{R\'ef.
 communiqu\'ee par C.~Delfosse (MAP23, 2001-2002).}.

   Kenneth Eriksson, Donald Estep, Peter Hansbo, and   Claes Johnson,
   \textsl{Computational Differential Equations},
  Cambridge U.P., 1996.


S.K.~Godunov, V.S.~Ryabenki, \textsl{Theory of Difference Schemes},
North-Holland, 1964.

D.~Gottlieb, S.A.~Orszag, \textsl{Numerical Analysis of Spectral Methods:
Theory and Applications}, SIAM Reg.\ Conf.\ Appl.\ Math., 1977.

B.~Gustafsson, H.-O.~Kreiss, J.~Oliger, \textsl{Time Dependent
  Problems and Difference Methods}, Wiley, 1995.

E.~Hairer, Polycopi\'es du cours ``Analyse II, Partie B'',
 fichiers postscript dans \\
  \href{http://www.unige.ch/math/folks/hairer/polycop.html}
      {\texttt{http://www.unige.ch/math/folks/hairer/polycop.html}}

 en particulier le chap.~2: Maxima et minima relatifs et calcul de
   variations.

A.~Iserles,
  {\sl A First Course in the Numerical Analysis of
      Differential Equations},    Cambridge University Press, 1996.

 C.~Johnson,  \textsl{
   Numerical solution of partial differential equations by the finite
   element method},
                  Cambridge University Press,
 1987\footnote{Merci \`a S.~Legrand (PHYS22, 1998-1999) pour cette
r\'ef\'erence.}.

%J.L.~Lions, E.~Magenes, \textsl{Probl\`emes aux limites non homog\`enes
%  et applications}, vol.~1, Dunod, 1968.

J.M.-S.~Lubuma, M.K.~Luhandjula, D.B.~Reddy, \'editeurs:
\textsl{Probl\`emes variationnels en math\'e\-ma\-ti\-ques appliqu\'ees,
 Annales de la Facult\'e des Sciences de l'Universit\'e de
  Kinshasa}, Num\'ero Sp\'ecial~3, 1997.

A.~MacKinnon,
  Imperial College, Computational Physics -- 3rd/4th Year Option,  \\
 \href{http://www.sst.ph.ic.ac.uk/angus/Lectures/compphys/}
{\texttt{http://www.sst.ph.ic.ac.uk/angus/Lectures/compphys/}}

Serge Nicaise,  \textsl{
  Analyse num\'erique et \'equations aux d\'eriv\'ees
    partielles.      Cours et probl\`emes r\'esolus},
   Dunod,  Paris, 2000.

%A.~Quarteroni, A.~Valli, \textsl{Numerical Approximation of Partial
%  Differential Equations}, Springer, 1994.

P.~Rabier, J.M.~Thomas, \textsl{Exercices d'analyse num\'erique des
 \'equations aux d\'eriv\'ees partielles}, Masson, Paris, 1985.

J.~Rappaz,  M.~Picasso, \textsl{
           Introduction \`a l'analyse num\'erique},
PPUR (Presses Polytechniques et Universitaires Romandes),
 Lausanne,  1998.

P.A.~Raviart, J.M.~Thomas, \textsl{Introduction \`a l'analyse num\'erique
des \'equations aux d\'eriv\'ees partielles}, Masson, Paris, 1988.

B.D.~Reddy, \textsl{Introductory Functional Analysis, With Applications
  to Boundary Value Problems and Finite Elements}, Springer, 1998.

 R.D.~Richtmyer, \textsl{Difference Methods for Initial-Value
Problems}, Interscience, New York, 1957 ($2^{\text{\`eme}}$ \'edition:
 1967: Richtmyer \& Morton, Wiley; r\'eimpression par Krieger en 1994).

%G.D.~Smith, \textsl{Numerical Solution of Partial Differential
% Equations}, Clarendon Press, Oxford, 3 \'editions:
%1965, 1978, 1985.


G. Strang, G.J. Fix, \textsl{An Analysis of the Finite Element Method},
Prentice-Hall, 1973. R\'eimpression r\'ecente chez
 Wellesley-Cambridge Press.

%M.E.~Taylor, \textsl{Partial Differential Equations,} vol.~1, \textsl{
%  Basic Theory}, Springer, 1996, chap.~3.

R.Temam, \textsl{Analyse num\'erique, r\'esolution approch\'ee d'\'equations aux
  d\'eriv\'ees partielles}, PUF, Paris, 1970.

V.~Thom\'ee, From finite differences to finite elements. A short
   history of numerical analysis of partial differential equations,
  \textsl{J. Comp. Appl. Math.} \textbf{128} (2001) 1-54.


Lloyd N.
  Trefethen, \textsl{Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and
   Partial Differential Equations}, unpublished text, 1996,
    available at
 \href{http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/pdetext.html}
 {\tt\bf http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/pdetext.html}


Lloyd N. Trefethen, \textsl{Spectral Methods in MATLAB}, SIAM, 2000.


%R.~Vichnevetsky, J.B.~Bowles, \textsl{Fourier Analysis of Numerical
%  Approximations of Hyperbolic Equations}, SIAM, 1982, chap.~1 et 2.

O.C.~Zienkiewicz, \textsl{The Finite Element Method in Engineering
   Science}, McGraw-Hill, 1971.

 }  %end small


\subsection{Ressources r\'eseau}  \  \\

\subsubsection{Usenet, FAQ, KuLeuven, Matlab, Netlib.}

{\Small

\newcommand{\bibetiq}[1]{\hspace\labelsep [#1]}
\begin{list}{}{%
   \setlength{\labelwidth}{44pt}
    \setlength{\parsep}{7pt} \let\makelabel\bibetiq
            }
   \item [Usenet] \href{news:sci.math.num-analysis}
                  {\texttt{news:sci.math.num-analysis}}
  \item [FAQ]   Numerical Analysis and Associated Fields Resource
   Guide,  by Steve Sullivan (Mathcom, Inc.),
\href{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/index.html}
{\texttt{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/index.html}}

 o\`u on regardera: \\   \   \\
\href{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q260.html}
  {Partial Differential Equations (PDEs) and Finite Element Modeling (FEM)} \\
\href{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q260.html#q260.1}
         {PDE and FEM Web Sites}  \\
\href{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q260.html#q260.2}
       {Newsgroups for PDE and FEM}  \\
\href{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q260.html#q260.3}
       {Books and References for PDE and FEM}  \\
\href{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q260.html#q260.4}
        {Comparison of Meshing Software Packages} \\
\href{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q260.html#q260.6}
      {PDE and FEM Software on the net} \\
\href{http://www.mathcom.com/corpdir/techinfo.mdir/scifaq/q260.html#q260.7}
         {Commercial Packages for FEM}\\   \   \\
Steve Sullivan   Copyright 1995-2002 Mathcom  info@mathcom.com
   Updated: July 12, 2002          \index{FAQ}

                                            \index{programmes}
 \item[KULeuven] Fast and Robust Solvers for partial Differential
   Equations, \\
  \href{http://www.cs.kuleuven.ac.be/cwis/research/twr/research/topics/}
 {\texttt{http://www.cs.kuleuven.ac.be/cwis/research/twr/research/topics/}}


  \item[Matlab]
  \href{http://www.mathworks.com}{\texttt{http://www.mathworks.com}},
   \href{ftp://ftp.mathworks.com}{\texttt{ftp://ftp.mathworks.com}},
   \href{http://www.mathtools.net}{\texttt{http://www.mathtools.net}}
\\   \  \\
% J.M.~Cooper, \textsl{Introduction to Partial Differential Equations
%   with MATLAB}, Birkhauser, 1998,
% \href{http://reference.elpress.com/readdittoc.jsp?Book=0817639675}
% {\texttt{http://reference.elpress.com/readdittoc.jsp?Book=0817639675}}


   \item[Netlib]: tr\`es nombreux programmes,
     \href{http://www.netlib.org/}
          {\texttt{http://www.netlib.org/}}

\end{list}

}  %end Small

\subsubsection{Packages.}

{\Small

\newcommand{\bibetiq}[1]{\hspace\labelsep [#1]}
\begin{list}{}{%
   \setlength{\labelwidth}{44pt}
    \setlength{\parsep}{7pt} \let\makelabel\bibetiq
            }

\item[Java]

 \href{http://www.steven.pop.net.tw/javamesh/}
 {\texttt{http://www.steven.pop.net.tw/javamesh/}}

From: William Schiesser $<$wes1@lehigh.edu$>$  \\
Date: Sun, 08 Feb 2004 10:16:10 -0500          \\
Subject: Java ODE/PDE Routines

The Java ODE/PDE routines in the book "Ordinary and Partial
Differential Equation Routines in C, C++, Fortran, Java, Maple
and Matlab", CRC Press, 2004, have been slightly revised and
reorganized so that the applications are now in single,
self-contained subdirectories.

Information for acquiring these routines and all of the others
in the book (gratis) is available from:

\href{http://www.lehigh.edu/~wes1/wes1.html}
{\texttt{http://www.lehigh.edu/\~{}wes1/wes1.html}}



\item[AFEPack]
   From: W. B. Liu $<$W.B.Liu@ukc.ac.uk$>$     \\
   Date: Mon, 12 May 2003 07:46:55 +0100 (BST)   \\
   Subject: Availability of Adaptive Finite Element Library   \\
   We are delighted to announce the availability of the finite element
   library AFEPack 1.6 to the numerical analysis community.
   AFEPack is a generic C++ adaptive finite element library. Comparing
   with the existing finite element libraries, its contribution is
   twofold:  \\
   First, it introduces a framework of multi-meshes. That means you
   can approximate multi-variables using very different adaptive
   meshes, and this could save significant computational work. This
   feature
   is particularly important when these variables have very different
   computational difficulties.  \\
   Second, you can easily build very flexible finite element spaces with
   AFEPack. \\
   The package has been tested on elliptic problems, parabolic problems,
   flow problems, and several optimal control problems. Detailed
   documents
   are included with the package.
   AFEPack 1.6 now can be downloaded from   \\
   \href{http://www.kent.ac.uk/cbs/staff/homepage/wbl/data/soft.htm}
   {\texttt{http://www.kent.ac.uk/cbs/staff/homepage/wbl/data/soft.htm}}
   or obtained by sending an e-mail to w.b.liu@ukc.ac.uk.
   The document now can browsing at
   \href{http://162.105.68.168/AFEPack}{\texttt{http://162.105.68.168/AFEPack}}

   Dr. R Li
   School of Mathematics
   Peking University, China
   rli@math.pku.edu.cn

   Prof. WB Liu
   CBS \& IMS
   University of Kent
   Canterbury, CT2 7PE UK
   w.b.liu@ukc.ac.uk

\item[AMGToolbox]

From: Jane Cullum $<$cullumj@lanl.gov$>$  \\
Date: Fri, 11 Jul 2003 17:56:45 -0600 (MDT)   \\
Subject: Algebraic Multigrid MATLAB Code

The following Software is available for informal distribution.
The code assumes some familiarity with basic algebraic
multigrid algorithms. It is being made available as is.

Name of Software: AMGToolbox

Description of Software:

AMGToolbox is a research tool for experimenting with various ideas
for algebraic multigrid algorithms. It provides the infrastructure
for testing various ideas for the different components of a typical
algebraic multigrid (AMG) algorithm:

1. the Coarse/Fine split of variables   \\
2. the construction of Prolongation and Restriction Operators    \\
3. the construction of the Coarse Problems at each level of
   the AMG hierarchy.  \\
4. the use of different Smoothers    \\

It provides simple software tools for automatically collecting
the results of sets of experiments over user-specified
choices of parameters, and for generating corresponding tables
of results as Tex files for use in talks and papers.

AMGToolbox is written in the prototyping language, MATLAB.

Authors:   Menno Verbeek
           Jane Cullum
           Wayne Joubert

\item[AWFD]
Date: Wed, 6 Aug 2003 19:06:18 +0200    \\

Summary: A new C++ class library for wavelet based solvers for PDEs and
integral equations.

We are announcing the availibility of our AWFD (Adaptivity, Wavelets \&
Finite Differences) software package.  It is a C++ class library for
wavelet/interpolet-based solvers for PDEs and integral equations.

The main features of AWFD are:  \\  \index{Galerkin} \index{Petrov}
    * Petrov-Galerkin discretizations of linear and non-linear elliptic and
      parabolic PDE (scalar as well as systems) \\
    * Adaptive sparse grid strategy for a higher order interpolet multiscale
      basis         \\
    * Adaptivity control via thresholding of wavelet coefficients   \\
    * Multilevel lifting-preconditioner for linear systems   \\
    * Dirichlet and Neumann boundary conditions.   \\

It consists of:  \\
    1. MATLAB functions for the generation of wavelet filter masks   \\
    2. Data structures for uniform, level-adaptive and fully adaptive trial
       spaces (i.e. grids)   \\
    3. Algorithms for the initialization and refinement of adaptive grids
         \\
    4. Algorithms for (adaptive) wavelet transforms, finite difference-
       /collocation-/Galerkin-discretizations  \\     \index{Galerkin}
    5. Linear algebra  \\
    6. Solvers / preconditioners   \\
    7. IO functions with interfaces to e.g. MATLAB or VTK   \\

The software can be downloaded from:  \\
 \href{http://wissrech.iam.uni-bonn.de/research/projects/AWFD/index.html}
 {\texttt{http://wissrech.iam.uni-bonn.de/research/projects/AWFD/index.html}}

Department of Scientific Computing and Numerical Simulation
University of Bonn
Germany

\item[Chalmers] \href{http://www.md.chalmers.se/Centres/Phi/research/}
{\texttt{http://www.md.chalmers.se/Centres/Phi/research/}}
    Chalmers finite element centre

\item[CONCEPTS]
   Date: Fri, 27 Aug 2004 22:44:18 +0200
   Subject: Concepts 2.0.0 Released
   We proudly announce the initial public release of CONCEPTS [1]
   under the Open Source license GPL. CONCEPTS is a C++
   class library for solving elliptic partial differential
   equations (PDEs) numerically.
 \href{http://www.concepts.math.ethz.ch/}
 {\texttt{http://www.concepts.math.ethz.ch/}}


\item[Deal]
From: Guido Kanschat $<$guido.kanschat@iwr.uni-heidelberg.de$>$
Date: Fri, 07 Jan 2005 18:37:40 +0100
Subject: Deal, Finite Element Library

Version 5.1 of the deal.II object-oriented finite element library has been
released. It is available from the deal.II home-page at

    \href{http://www.dealii.org}
    {\texttt{\bf http://www.dealii.org}}


All main features of the previous versions have been continued and improved:
- Support for dimension-independent programming
- Extensive documentation and working example programs
- Locally refined grids
- A zoo of different finite elements
- Fast linear algebra
- Built-in support for symmetric multi-processing (SMP)
- Output for a variety of visualization platforms.

deal.II can be downloaded for free and is distributed under an Open
Source license.



\item[FEMLAB] \href{http://www.femlab.com}{\texttt{http://www.femlab.com}} \ \ \ , \  %
    \href{http://www.comsol.se}{\texttt{http://www.comsol.se}} FEMLAB


Date: Thu, 17 Jul 2003 09:47:32 +0200

notre nouveau "Tour CD 2003" est disponible, qui compile les derniers
mod\'eles disponibles avec FEMLAB dans les domaines suivants :

- Acoustique,
- CFD,
- Mat\'eriaux,
- Diffusion-r\'eaction,
- Electromagn\'etisme,
- Electrostatique,
- Couplage multiphysique,
- G\'enie \'electrochimique,
- Transport r\'eactifs,
- Dynamique des fluides coupl\'ee (\'electrostatique, transferts de chaleur...),
- Propagation d'ondes \'electromagné\'eiques,
- Quasi-statique en \'electromagn\'etisme,
- Poutres et plaques,
- Couplages multiphysiques en mécanique (PAC, piezo).

Si vous souhaitez recevoir ce CD (gratuitement), merci de laisser vos
coordonnées pr\'ecises sur :
\href{http://www.comsol.fr/tourcd/}{\texttt{http://www.comsol.fr/tourcd/}}

FEMLAB est un environnement de mod\'elisation multiphysique de
 probl\`emes
1D, 2D et 3D, compl\`etement int\'egr\'e \`a MATLAB,
 utilis\'e en recherche,
ing\'enierie et enseignement. Des d\'emonstrations anim\'ees sont accessibles
sur \href{http://www.comsol.fr/showroom/tutorials/femlab.php}
  {\texttt{http://www.comsol.fr/showroom/tutorials/femlab.php}}

besoin d'une solution rapidement?
\href{http://www.femlab.com/support/knowledgebase/}
{\texttt{http://www.femlab.com/support/knowledgebase/}}


Date: Mon, 22 Dec 2003 16:27:54 +0100
Subject: New Version of FEMLAB


Today we announce the release of FEMLAB 3 -- the next generation
of the popular multiphysics modeling software.  Visit our web pages for more
about FEMLAB 3.  Take this opportunity to order a free copy of the new product
catalog and a free copy of the Spring Tour CD:

\href{http://www.comsol.com/contact/request_form.php}
{\texttt{http://www.comsol.com/contact/request\_form.php}}

FEMLAB is used in research, product development and teaching,
in such fields as:
  - Acoustics
  - Antennas
  - Bioscience
  - Bioengineering
  - Chemical reactions
  - Diffusion
  - Ecology
  - Electromagnetics
  - Environmental science
  - Fluid dynamics
  - Fuel cells
  - Geophysics
  - Heat transfer
  - Math/Applied PDEs
  - MEMS
  - Microwave engineering
  - Nanotechnology
  - Optics and photonics
  - Physics
  - Porous media flow
  - Quantum mechanics
  - Radio frequency components
  - Semiconductor devices
  - Structural mechanics
  - Transport phenomena
  - Wave propagation
  - Any combination of the above

Best regards,

Seema Khan
COMSOL, Inc.
781-273-3322
www.comsol.com


\item[FIDISOL/CADSOL]
\href{ http://www.uni-karlsruhe.de/~numerik/}
{\texttt{ http://www.uni-karlsruhe.de/\~{}numerik/}},

FIDISOL/CADSOL is a program package for the solution of partial differential
equations. 2- and 3-dimensional systems of elliptic (stationary) and parabolic
(time-dependent) equations can be solved. The boundary conditions may be
arbitrary. The solution method is the finite difference method.

More information is available on the web site:
   \href{http://www.rz.uni-karlsruhe.de/~fidisol/}
   {\texttt{http://www.rz.uni-karlsruhe.de/\~{}fidisol/}}

\item[GeoFEM]


From: Kengo Nakajima \href{mailto:nakajima@tokyo.rist.or.jp}
                  {\texttt{\bf nakajima@tokyo.rist.or.jp}} \\
Date: Thu, 12 Jun 2003 09:58:21 +0900
Subject: GeoFEM Parallel FEM Platform

Dear Colleagues,

RIST (Research Organization for Information Science \& Technology,
Japan) has released the GeoFEM ver.6.0, a parallel finite element platform.

GeoFEM has been developed as the part of the Japanese national project,
"Parallel Platform for Large Scale Solid Earth Simulation" funded by
"Special Promoting Funds of Science \& Technology" of the Ministry of Education,
Science and Technology (MEXT), Japan which has been conducted since 1998.

The project just completed in the end of March, 2003.
Ver.6.0 is the final version of GeoFEM platform.

GeoFEM includes parallel finite element codes for linear/nonlinear solid
mechanics and thermal fluid simulations, parallel iterative linear solver
library, partitioning subsystem, parallel visualization subsystem and
utilities for parallel I/O and coupling of multiple codes. GeoFEM is
originally developed for solid earth simulation but applicable for various
types of engineering and science applications. Users also plug-in their own
FEM codes to GeoFEM platform and can develop parallel FEM code easily.

GeoFEM is written in Fortran 90 and MPI (part of visualization/utility
subsystems in C and C++) and can work on various types of platforms from
LINUX clusters with Intel Fortran to massively parallel computers.

Researchers and engineers interested in GeoFEM can get information at
the following website :

 \href{http://geofem.tokyo.rist.or.jp/}
      {\texttt{\bf http://geofem.tokyo.rist.or.jp/}}

Source files of the entire codes, example input/output files and
documents can be downloaded from:

 \href{http://geofem.tokyo.rist.or.jp/download_en/}
       {\texttt{\bf http://geofem.tokyo.rist.or.jp/download\_en/}}

GeoFEM will be inherited by a new project,
"HPC Middleware (HPC-MW, http://hpcmw.tokyo.rist.or.jp/)"
under a national project, "Frontier Simulation Software for Industrial Science
(http://www.fsis.iis.u-tokyo.ac.jp/en/)" by MEXT, Japan.
Various kinds of technologies developed in GeoFEM project will be
available in HPC-MW.


\item[GETFEM]

From: Yves Renard $<$Yves.Renard@insa-toulouse.fr$>$\\
Date: Mon, 27 Mar 2006 16:57:38 +0100

Getfem++ 2.0 is released.

The Getfem++ project focuses on the development of a generic and efficient C++
library for finite element methods elementary computations. The goal is to
provide a library allowing the computation of any elementary matrix (even for
mixed finite element methods) on the largest class of methods and elements,
and for arbitrary dimension (i.e. not only 2D and 3D problems).

A generic framework is proposed for assembly procedures making very easy to
write finite element discretization for arbitrary terms even for non-linear
partial differential equations.

A Matlab and Python interface is also provided.

This is a major update to getfem++, which make some backward-incompatible
changes. Major changes are :
- Full support of vectorial and hermite elements (RT0, nedelec elements,
Argyris triangle, HCT triangle and hermite elements in dimension 1, 2 and 3
are now available). A bilaplacian problem is provided as a test program.
- New tools to deal with Xfem or fictitious domain methods: Level-set,
integration methods adapted to discontinuity and singularities, discontinuous
fields across a level-set.
- A mature model-brick system: a fast way to build PDE problems approximation.
- Partial parallelization (work still in progress).
- Mesh refinement.

The package is freely available at the Web address :
\href{http://www-gmm.insa-toulouse.fr/getfem}{\texttt{http://www-gmm.insa-toulouse.fr/getfem}}



\item[GMM]
Date: Mon, 15 Sep 2003 18:18:10 +0200
Subject: GMM++, A Generic C++ Matrix Library

GMM++ 1.5 Available for Download

This generic matrix library is built as an interface for already existing
class of vectors and matrices. It provides also predefined type of dense,
skyline and sparse matrices. It is largely inspired from MTL/ITL but we hope
a little bit simpler to use. matrix x matrix multiplication works for any
type of matrices (even with mixed types).

An important extension is the possibility to access to sub-matrices for read
or write operations with any kind of interfaced matrix.

Linear solvers has been imported from ITL (CG, BICGSTAB, GMRES, QMR, dense
LU, ...) with classical preconditionners (Incomplete cholesky, ILU, ILUT ...)

The performance is comparable with the one of MTL, slightly better on some
solvers we optimized.

Inpout / output with standard formats is also provided.

This library is available under LGPL licenseand may be downloaded at:

\href{http://www-gmm.insa-toulouse.fr/getfem/gmm_intro}
{\texttt{http://www-gmm.insa-toulouse.fr/getfem/gmm\_intro} }

A short documentation exists.

  Yves Renard (renard@insa-toulouse.fr)
  Dept de Mathematiques, INSA de Toulouse
  Complexe Scientifique de Rangueil
  31077 Toulouse Cedex, FRANCE
  \href{http://www-gmm.insa-toulse.fr/~renard}
  {\texttt{http://www-gmm.insa-toulouse.fr/\~{}renard}}

\item[GrAL]

From: Guntram Berti \href{mailto:berti@ccrl-nece.de}
                   {\texttt{\textbf{berti@ccrl-nece.de}}} \\
Date: Wed, 27 Feb 2002 14:46:19 +0100 \\
Subject: Grid Algorithms Library

            GrAL -- Grid Algorithms Library
                    version 0.2
                 now available at

    \href{http://www.math.tu-cottbus.de/~berti/gral}
        {\texttt{\textbf{ http://www.math.tu-cottbus.de/\~{}berti/gral}}}

GrAL is a generic library for grid (mesh) data structures and
algorithms operating on them. Its contribution is twofold:
First, it introduces a framework for decoupling algorithms from
grid data structures, much like the C++ STL does for linear sequences.
Second, it offers implementations of generic grid-related algorithms
and data structures.


GrAL is open source. It is written in standard  C++, and has been
tested with g++ 2.95, 2.96 and 3.0.x on Linux platforms.


Enjoy!

-- Guntram Berti


\item[IFISS]

\noindent From: Alison Ramage $<$alison@maths.strath.ac.uk$>$ \\
Date: Wed, 4 May 2005 17:13:47 +0100 (BST)\\
Subject: IFISS, Incompressible Flow and Iterative Solver Software

We are pleased to announce the availability of

Incompressible Flow \& Iterative Solver Software (IFISS) Version 2.0.

This is an open-source Matlab software package that is associated with the
forthcoming book
\textsl{Finite Elements and Fast Iterative Solvers with applications in
incompressible fluid dynamics}
by Howard C. Elman, David J. Silvester, and Andrew J. Wathen
(see \href{http://www.oup.co.uk/isbn/0-19-852868-X}{\texttt{http://www.oup.co.uk/isbn/0-19-852868-X}}
 for further details).

The IFISS software can be used to generate typical linear systems arising
from finite element discretisations of four important PDE applications:
diffusion, convection-diffusion, Stokes flow and Navier-Stokes flow
problems. It has built-in multigrid and Krylov subspace solvers and
includes a variety of appropriate preconditioning strategies for each
problem. We have used early versions of the software to suport technical
workshops we have given in the last decade on fast solvers for
incompressible flow problems.

Key features include

- implementation of a variety of mixed finite element approximation
  methods
- automatic calculation of stabilization parameters where appropriate
- a posteriori error estimation
- a range of preconditioned Krylov subspace solvers (including MINRES
  and BICGSTAB(ell))
- a built-in geometric multigrid solver/preconditioner
- an interface to the algebraic multigrid solver of FEMLAB (see
  \href{http://www.comsol.com/}{\texttt{http://www.comsol.com/}})
- useful visualisation tools.

IFISS has been tested under Matlab Versions 5.3 to 7.0 and can be run
under Windows, Unix and Mac architectures. The library is free software
which can be redistributed and/or modified under the terms of the GNU
Lesser General Public License as published by the Free Software
Foundation. It can be downloaded from
\href{http://www.cs.umd.edu/~elman/ifiss.html}{\texttt{http://www.cs.umd.edu/\~{}elman/ifiss.html}},\  %
\href{http://www.manchester.ac.uk/ifiss}{\texttt{http://www.manchester.ac.uk/ifiss}}


David Silvester, Howard Elman and Alison Ramage.


\item[NetSolve]

NA Digest   Sunday, August 5, 2001   Volume 01 : Issue 29

From: Jack Dongarra \href{mailto:dongarra@cs.utk.edu}
{\texttt{dongarra@cs.utk.edu}}
Date: Fri, 03 Aug 2001 13:52:33 -0400
Subject: NetSolve Version 1.4 Available

NetSolve grid based software system, version 1.4 is now available.
The software can be downloaded from: \href{http://icl.cs.utk.edu/netsolve}
{\texttt{http://icl.cs.utk.edu/netsolve}}

The NetSolve project is being developed at the University of Tennessee's
Innovative Computing Laboratory. The system provides NetSolve-enabled programs
with transparent network access to computational resources via its many
client application programming interfaces or APIs. In this version, client
programs implemented in C, Fortran, Matlab and Mathematica can access the
NetSolve system and the hardware and software services it provides. These
services include sophisticated numerical solvers from libraries like LAPACK,
ScaLAPACK, PETSc, Aztec, SuperLU, etc. Facilities are available for creating
new NetSolve services. All components have been tested on a variety of
UNIX operating systems, including Linux, AIX, Irix, OSF, and Solaris. A
client interface is available for the Microsoft Windows 2000 platform.
There is a test grid deployed worldwide for experimentation that is accessible
by anyone who has installed the new client interface.
See
 \href{http://icl.cs.utk.edu/netsolve}{\texttt{http://icl.cs.utk.edu/netsolve}}
for further details and documentation.

From: Jack Dongarra $<$dongarra@cs.utk.edu$>$   \\
Date: Tue, 14 Oct 2003 10:08:38 -0400    \\
Subject: New Version of NetSolve

New Release of NetSolve/GridSolve Version 2.0

A new and more powerful version of the well-known grid middleware
NetSolve/GridSolve has just been released.  NetSolve 2.0, like its
predecessors, is a client-server-agent system that enables users to solve
complex scientific problems remotely using distributed resources on a
computational grid. The system provides users access to both hardware and
software computational resources distributed across a network. When a user
submits a problem to the NetSolve agent, the agent searches the network of
computational resources that has registered with it, chooses the best one
(or set) available, solves the problem, and then returns the solution to the
user. Load balancing for good performance and retry for fault-tolerance are
handled automatically by the system. Version 2.0, which builds on NetSolve's
traditional strengths, adds capabilities and robustness both to NetSolve's
native environment and to its integration with other grid middleware, such
as Condor-G.
NetSolve's traditional strengths are its ease-of-use and its broad support
for critical numerical software packages. For ease-of-use, NetSolve bindings
exist for the most common scientific programming environments; Fortran, C,
Matlab, Mathematica. Moreover, many of the most important numerical and
scientific libraries (e.g. Linear Algebra, Optimization, Fast Fourier
Transforms) are easily integrated into the NetSolve server software, and
users can also add their own special libraries. Finally, NetSolve has been
designed to avoid restrictions on the type of software components that can
be integrated into the system, and users with various types of applications
have been able to incorporate their own packages into NetSolve with relative
ease.
Version 2.0 enhances these basic capabilities in two directions. There are
enhancements to NetSolve's native environment to make it even easier to use,
more capable, and more secure. And there are additions to NetSolve that
enable it to more easily interoperate with, and leverage the power of, other
leading grid environments. The most notable feature of the latter is the
incorporation of GridRPC into NetSolve; this expanded version of the
NetSolve environment is called GridSolve. Grid RPC is an evolving standard
from the Global Grid Forum (GGF).   \\
NetSolve 2.0 is an open source package and can be freely downloaded from the
ICL Web site \href{http://icl.cs.utk.edu/netsolve/}
            {\texttt{http://icl.cs.utk.edu/netsolve/}}
Funding for the NetSolve effort is provided by grants from the National
Science Foundation (NSF) through the NPACI and the NMI programs and the
Department of Energy (DOE) through the MICS effort.


\item[OFELI]

From: Rachid Touzani \href{mailto:Rachid.Touzani@math.univ-bpclermont.fr}
{\texttt{Rachid.Touzani@math.univ-bpclermont.fr}}
Date: Mon, 14 May 2001 08:59:37 +0200
Subject: Object Finite Element LIbrary

A stabilized version of the OFELI library is now available.

OFELI (Object Finite Element LIbrary) is a library (or a toolkit) of C++
classes to build up finite element codes. The package contains numerous simple
and less simple examples of finite element codes using OFELI.  A significant
documentation (html and pdf formats) is provided.

OFELI is free but Copyrighted software. It is distributed under the terms of
the GNU General Public License (GPL).

The home page for the library is
%\href{http://wwwlma.univ-bpclermont.fr/~touzani/ofeli.html}
%{\texttt{http://wwwlma.univ-bpclermont.fr/\~{}touzani/ofeli.html}}
\href{http://ofeli.sourceforge.net}
{\texttt{http://ofeli.sourceforge.net}}
A UNIX or Windows version can be downloaded from there.

To obtain further information contact :
\href{mailto:Rachid.Touzani@math.univ-bpclermont.fr}
{\texttt{Rachid.Touzani@math.univ-bpclermont.fr}}



\item[OpenFEM]




From: Dominique Chapelle <Dominique.Chapelle@inria.fr>
Date: Wed, 05 Nov 2003 10:03:28 +0100
Subject: New Version of OpenFEM

This is to announce the new version (1.1) of OpenFEM, an opensource
finite element toolbox for Matlab and Scilab. This is the first release
of the toolbox in which a Scilab version is included.  More detailed
information (and downloads) at
\href{http://www.openfem.net}
{\texttt{http://www.openfem.net}}

D. Chapelle (INRIA-Rocquencourt)



\item[PDE Portal]

From: Are Magnus Bruaset \href{mailto:amb@nobjects.com}
{\texttt{mailto:amb@nobjects.com}}
Date: Mon, 20 Aug 2001 11:43:12 +0200
Subject: Web Portal for PDE-related Sites

Numerical Objects is pleased to announce the first release of its PDE
Portal at

\href{http://www.pdeportal.com}
{\texttt{http://www.pdeportal.com}}

This is a searchable and categorized index to several hundreds of high
quality web sites focusing on technologies for partial differential equations.
We hope that this complimentary service will become a valuable tool for the
PDE community, and we invite you to check it out.

In order to continuously improve the contents of the PDE Portal, we
encourage your submissions for non-listed PDE sites that might of
general interest to the public. Procedures for submission is available
at www.pdeportal.com.

Best regards

Are Magnus Bruaset
Numerical Objects AS


\item[PETSc]

From: Barry Smith \href{mailto:bsmith@mcs.anl.gov}
{\texttt{bsmith@mcs.anl.gov}}
Date: Fri, 13 Apr 2001 15:36:34 -0500 (CDT)
Subject: Release of PETSc 2.1.0

Portable, Extensible Toolkit for Scientific Computation (PETSc)
   \href{http://www.mcs.anl.gov/petsc}
   {\texttt{http://www.mcs.anl.gov/petsc}}

We are pleased  to announce the  release of  the PETSc 2.1.0  parallel
software   libraries  for the  implicit  solution  of PDEs and related
problems.

As always, please  send bug reports,  questions, and requests  for new
features to
\href{mailto:petsc-maint@mcs.anl.gov}{\texttt{petsc-maint@mcs.anl.gov}}.

Thanks for your continued support.

The PETSc developers,
Satish, Kris, Bill, Dinesh, Lois, and Barry

From: Barry Smith $<$bsmith@mcs.anl.gov$>$
Date: Sun, 28 Dec 2008 18:04:18 -0500
Subject: PETSc 3.0 release


We are pleased to announce the release of PETSc 3.0; parallel software
libraries for the implicit solution of PDEs and related problems
involving sparse matrices.


Major improvements include

*  PETSc modules and interface definitions for use from Fortran 90
* A much improved interface for using external direct solver packages
including: MUMPS, SuperLU\_DIST, PLAPACK and Spooles
* A brand new Python interface (developed by Lisandro Dalcin)
* An implementation of the Yand and Brent variant of Bi-CG-stab that
requires a single parallel synchronization step per iteration
* Preliminary support for unstructured meshes. The Sieve interfaces
allows creation, manipulation, and output of unstructured meshes in
any dimension (developed by Matt Knepley and Dmitry Karpeev)


The software is available at  http://www.mcs.anl.gov/petsc.
Changes and additions are listed at
http://www.mcs.anl.gov/petsc/petsc-as/documentation/changes/300.html.
As always, please send bug reports, questions, and requests for new
features to petsc-maint@mcs.anl.gov


Thanks for your continued support. The PETSc developers,
Satish, Lisandro, Matt, Dmitry, Victor, Barry, Bill and Hong




\item[PLTMG]

From: Randy Bank <reb@sdna1.ucsd.edu>
Date: Wed, 31 Mar 2004 10:31:53 -0800
Subject: PLTMG 9.0 Available

PLTMG 9.0 is a package for solving elliptic partial differential
equations in general regions of the plane.  It is based on continuous
piecewise linear triangular finite elements.  PLTMG features several
adaptive meshing options and an algebraic multilevel solver for the
resulting systems of linear equations.  PLTMG provides a suite of
continuation options to handle PDEs with parameter dependencies.
It also provides options for solving several classes of optimal
control and obstacle problems.  The package includes an initial
mesh generator and several graphics packages.  Support for the
Bank-Holst parallel adaptive meshing paradigm is also provided.

PLTMG is provided as Fortran (and a little C) source code, in both
single and double precision versions.  The code has interfaces to
X-Windows, MPI, and Michael Holst's OpenGL display tool SG. The
X-Windows, MPI, and SG interfaces require libraries that are NOT
provided as part of the PLTMG package. PLTMG is available from
uetlib, Mgnet, and my homepage:
\href{http://scicomp.ucsd.edu/~reb/}
{\texttt{http://scicomp.ucsd.edu/\~{}reb/} }

Randy Bank
University of California, San Diego


\end{list}

} % end Small


\chapter*{Introduction.}
\renewcommand{\mylmark}{Intro.}
\thispagestyle{fancy}
\addtocontents{toc}{\protect\thispagestyle{fancy}}


%\pagenumbering{arabic}

\section{Solutions d'EDP, caract\'eristiques.
  \textrm{[Courant \& Hilbert]} }

\subsection{Premiers exemples}
Si l'\'evolution d'une masse ponctuelle est susceptible d'\^etre
d\'ecrite par des \'equations diff\'erentielles ordinaires, un milieu
\'etendu demande des \'equations aux d\'eriv\'ees partielles.

Comme exemple de passage d'un type de description \`a l'autre, consid\'erons
une \'etendue fluide soumise \`a des forces diverses. Tout d'abord, on
voit le fluide comme une collection de particules dont on \'etudie
le mouvement (Lagrange): la $k^{\text{\`eme}}$ particule a une
vitesse $v_k$ qui  v\'erifie
$$  \rho_k \frac{d v_k}{dt} = f_k,$$
$f_k$ \'etant la force par unit\'e d'\'etendue qui s'exerce sur la
particule (gravit\'e, pression, autres particules,\ldots). On a donc
un grand syst\`eme d'\'equations diff\'erentielles ordinaires.

Mais si on d\'esire examiner ce qui se passe en un point $(x,t)$,

\begin{minipage}[t]{4cm}
\ \\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
 \psline{->}(0,0)(4,0)  \uput[270](2,0){$x$}
 \psline{->}(0,0)(0,4) \uput[180](0,1){$t$}
 \psline(2,1)(3,3) \uput[90](2,3){traj. de la $k^{\text{\`eme}}$ part.}
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2,1)(2,0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2,1)(0,1)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](3,3)(3,0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](3,3)(0,3)
  \uput[270](3,0){$x+v\delta$}
  \uput[180](0,3){$t+\delta$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{11cm}
\ \\
La valeur de $v$ en un point $(x+h, t+\delta)$ proche de $(x,t)$
est $v+\displaystyle{ h \frac{\partial v}{\partial x} +
                     \delta \frac{\partial v}{\partial t}  }$.
Nous ne pouvons appr\'ecier que l'acc\'el\'eration de particules sur
leurs propres trajectoires, donc prendre $h=v\delta$, et nous savons
que $v$ augmente alors de $\delta\displaystyle{\frac{dv}{dt}}$, avec
l'expression de
$\displaystyle{ \frac{dv}{dt}}$ vue plus haut, d'o\`u
\end{minipage}

$$
\rho \left(
                      v \frac{\partial v}{\partial x} +
                            \frac{\partial v}{\partial t}  \right) =f
$$
(Euler). A plus d'une variable spatiale, on a
$$
\rho \left(
            \sum_j  v_j \frac{\partial v_i}{\partial x_j} +
                            \frac{\partial v_i}{\partial t}  \right) =f_i
$$
pour chaque composante $v_i$ de la vitesse.

\bigskip

{\Small
Autre exemple
%[Cooper, p.~32]
(J.M.~Cooper, \textsl{Introduction to Partial Differential Equations
   with MATLAB}, Birkhauser, 1998):
  le $k^{\text{\`eme}}$ automobiliste
adapte sa vitesse $\dot{x}_k$ selon une fonction d\'ecroissante
de la densit\'e (nombre d'autos par km) d'autos sur la route:
$\dot{x}_k = f(\rho_k)$. Comment la densit\'e $\rho$ va-t-elle
\'evoluer dans le temps \`a partir d'une configuration initiale
donn\'ee $\rho(x,0)$ sur un segment de route?
\\
La variation de $\rho$ est $\displaystyle{ d\rho=
 \frac{\partial\rho}{\partial t}\,dt +
 \frac{\partial\rho}{\partial x}\,dx   =
 \left[\frac{\partial\rho}{\partial t} +
   f(\rho)\frac{\partial\rho}{\partial x} \right]dt }$
en suivant la $k^{\text{\`eme}}$ voiture; d'autre part,
$\displaystyle{ \rho_k = \frac{1}{x_{k+1}-x_k} }$ est devenu
$\displaystyle{  \frac{1}{x_{k+1}+f(\rho_{k+1})dt-x_k-f(\rho_k)dt} }$
apr\`es un temps $dt$, ou encore    \\
$\displaystyle{ \dfrac{1}{ \dfrac{1}{\rho_k} +dt\, f'(\rho_k)\,
 \Delta\rho_k  } \sim \rho_k - dt\, \rho_k^2\, f'(\rho_k) \Delta\rho_k }$, o\`u
$\Delta\rho_k = \rho_{k+1}-\rho_k \sim \rho_k^{-1} \partial\rho/\partial x$
(d\'eriv\'ee spatiale de $\rho$ multipli\'ee par la distance entre
deux voitures). Il reste
\begin{equation}  \label{autoroute}
 \frac{\partial\rho}{\partial t} +
   F'(\rho)\frac{\partial\rho}{\partial x} =0,
\end{equation}     o\`u
 $F(\rho)= \rho f(\rho)$ est le
 d\'ebit (nombre de voitures par heure)  en un point $(x,t)$.
}

\bigskip


\noindent\textbf{Diffusion des euros.  }     \index{euros}


(Voir \href{http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/eurodiff.htm}
 {\texttt{\textbf{http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/eurodiff.htm}}})


Un mod\`ele tr\`es simple.\label{secmod}

Des acteurs $a_1$, $a_2$,..., $a_N$ r\'epartis sur la droite r\'eelle
constatent la d\'ecroissance avec le temps de
la proportion  de monnaie indig\`ene (ou autochtone)
qu'ils d\'etiennent. On note $y_i(t)$ la proportion d\'etenue par $a_i$
au temps $t$. Soit $t_0$ le temps moyen d'\'echange de toute
la monnaie d'un acteur avec ses deux voisins, donc,

\parpic{
 \psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture}(5,3)
\psline{->}(  0.00,  0.50)(  5.00, 0.500)
\psline{->}(  2.50,  0.45)(  2.50, 2.500)
\uput[90](4.85,0.5){$ x$}
\uput[270](1.0,0.5){ailleurs}
\uput[270](4.0,0.5){ailleurs}
\uput[270](2.50,0.5){ici}
\uput[135](2.00,0.5){$-L/2$}
\uput[45](3.00,0.5){$L/2$}
\psline[linewidth=0.04](0,0.5)(2,0.5)(2,2)(3,2)(3,0.5)(4.5,0.5)
\uput[45](2.5,2){$1$}
 \end{pspicture}
}
\begin{equation}  \label{euroeq1}
  y_i(t+t_0)= \frac{ y_{i-1}(t)+y_{i+1}(t)}{2}
\end{equation}
avec initialement $y_i(0)=1$ sur un intervalle de longueur $L$ et
$y_i(0)=0$ ailleurs (il ne sagit que de la proportion de monnaie du
pays consid\'er\'e, la quantit\'e d'argent d\'etenue par les gens
ne change pas\footnote{Mais alors, \`a quoi sert l'argent???}).
\\
 On a aussi
$$  y_i(t+t_0)-y_i(t)= \frac{ y_{i-1}(t)-2y_i(t)+y_{i+1}(t)}{2}$$
ou encore
$$  \frac{y_i(t+t_0)-y_i(t)}{t_0}= \frac{d_0^2}{2t_0}
 \frac{ y_{i-1}(t)-2y_i(t)+y_{i+1}(t)}{d_0^2}$$
si $d_0$ est la distance moyenne entre deux acteurs. Les quotients
ainsi mis en \'evidence sont proches de d\'eriv\'ees:

\parpic{
 \psset{unit=1cm}
 \begin{pspicture}(5,2.5)
\psset{linewidth=0.02}
\psline{->}(  0.00,  0.50)(  5.00, 0.500)
\psline{->}(  2.50,  0.45)(  2.50, 2.500)
\uput[90](4.85,0.5){$ x$}
\uput[270](1.0,0.5){ailleurs}
\uput[270](4.0,0.5){ailleurs}
\uput[270](2.50,0.5){ici}
%\uput[135](2.00,0.5){$-L/2$}
%\uput[45](3.00,0.5){$L/2$}
\pspolygon[fillstyle=hlines,hatchangle=45,hatchwidth=0.4pt]%
(2,1.25)(2.28,1.6)(2.5,1.7)(2.72,1.6)(3,1.25)(3,0.5)(2,0.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm,linewidth=0.02](2,0.5)(2,2)(3,2)(3,0.5)
\pscurve[linewidth=0.04](0.5,0.60)(1,0.65)(1.68,0.8)(2,1.25)(2.28,1.6)(2.5,1.7)(2.72,1.6)(3,1.25)(3.32,0.8)(4,0.65)(4.5,0.60)
\uput[45](2.5,2){$1$}
 \end{pspicture}
}
\begin{equation}  \label{eurochal}
  \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}= \sigma
 \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}\;, \qquad\qquad %
  \sigma= \frac{d_0^2}{2t_0}\\
\end{equation}
Au temps $t>0$, la distribution uniforme confin\'ee au pays
d'origine s'est affais\'ee et a quelque peu envahi les pays voisins.
La proportion encore disponible dans le pays d'origine (c'est la
valeur la plus facile \`a mesurer) est donn\'ee par la partie
hachur\'ee
$$ Y(t)= \frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2} y(x,t)\;dx  $$
\parpic{
 \psset{unit=1cm}
\psset{linewidth=0.02}
 \begin{pspicture}(5.75,3.7)
\psline{->}(  0.00,  0.00)(  5.80, 0.000)
\psline{->}(  0.00,  0.00)(  0.00, 4.500)
\uput[90](5.95,0.0){$ \sigma t/L^2$}
\psline(0.5,-0.1)(0.5,0.1)    \psline(1.0,-0.1)(1.0,0.1)
\psline(1.5,-0.1)(1.5,0.1)    \psline(2.0,-0.1)(2.0,0.1)
\psline(2.5,-0.1)(2.5,0.1)    \psline(3.0,-0.1)(3.0,0.1)
\psline(3.5,-0.1)(3.5,0.1)    \psline(4.0,-0.1)(4.0,0.1)
\psline(4.5,-0.1)(4.5,0.1)    \psline(5.0,-0.1)(5.0,0.1)
\psline(-0.1,4)(0.1,4)\psline(-0.1,3.6)(0.1,3.6)
\psline(-0.1,3.2)(0.1,3.2)\psline(-0.1,2.8)(0.1,2.8)
\psline(-0.1,2.4)(0.1,2.4)\psline(-0.1,2.0)(0.1,2.0)
\psline(-0.1,1.6)(0.1,1.6)\psline(-0.1,1.2)(0.1,1.2)
\psline(-0.1,0.8)(0.1,0.8)\psline(-0.1,0.4)(0.1,0.4)
\uput[0](0,4){$1$}
\uput[0](0,2){$0.5$}
\uput[90](2.50,0.0){$0.125$}
\uput[90](5.00,0.0){$0.25$}
\uput[90](4.05,2.25){$ F(\sigma t/L^2)$}
\uput[90](4.05,1.25){$ F^2(\sigma t/L^2)$}
\pscurve[linewidth=0.04](0,4)(0.05,3.77)(0.1,3.68)(0.5,3.3)(1,3)(1.5,2.77)%
   (2,2.59)(2.5,2.44)(3,2.31)(3.5,2.2)(4,2.1)(4.5,2)(5,1.94)
\pscurve[linewidth=0.04](0,4)(0.05,3.55)(0.1,3.39)(0.5,2.72)(1,2.25)(1.5,1.92)%
   (2,1.68)(2.5,1.49)(3,1.33)(3.5,1.21)(4,1.1)(4.5,1)(5,0.94)
 \end{pspicture}
}
Cette moyenne nationale d\'ecro\^\i t avec $t$ selon une fonction
universelle $F$ de $(\sigma/L^2) t$ que nous verrons plus loin, au chapitre
\ref{chevol}, page~\pageref{eurodeux}.
\picskip{-10}

\vspace*{76pt}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline  $(\sigma/L^2) t$  & 0 &  0.01  & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 &
                       0.1 & 0.15 & 0.2 & 0.25   \\
 \hline
  $F((\sigma/L^2) t)$ & 1.000 & 0.887 & 0.840 &  0.805 & 0.774 & 0.748 &
                 0.647 & 0.578 &   0.526 &   0.486
\\
\hline
  $F^2((\sigma/L^2) t)$ & 1.000 & 0.787 & 0.706 &  0.647 & 0.600 & 0.559 &
                 0.419 & 0.334 &   0.277 &   0.236
\\
\hline
\end{tabular}

{\small
(Au fait, en appliquant directement  \eqref{euroeq1}, on
obtient $Y= 1-\frac{3}{2}\, \frac{5}{4} \dotsb \frac{2k-1}{2k-2}
     \;\frac{d_0}{L} $ apr\`es $2k$ pas de temps, si $d_0<<L$ Cela donne
$\approx 1-\sqrt{\frac{4k}{\pi}}\,\frac{d_0}{L} =
   1-\sqrt{\frac{2t}{t_0\pi}}\,\frac{d_0}{L} =
   1-\sqrt{\frac{4\sigma\,t}{L^2\pi}}$ pour $(\sigma/L^2) t$ petit).
}

Pour un {\bf rectangle}, on obtient $Y_1(t)Y_2(t) = F((\sigma/L_1^2) t)
F((\sigma/L_2^2) t)$, avec les longueurs
$L_1$ et $L_2$ des deux c\^ot\'es. Avec un rectangle, on peut
d\'ej\`a respecter le rapport superficie$/$longueur de fronti\`ere
d'un pays (N.B.: fronti\`ere commune avec l'Euroland!).
 Et tenir compte du nombre moyen de connexions
(mon\'etaires) entre les agents et leurs voisins.
\\
Avec $d_0\approx 1$~km (distance moyenne au supermarch\'e ou \`a
la pompe la plus proche,
$L\approx$ une centaine de km, et $t_0\approx$ 1 mois, on s'attend
 \`a quelques milli\`emes pour $\sigma/L^2$.


%\smallskip

\parpic{    {\Small
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline  date   &  BEL.  &  NED. & LUX    \\
 \hline  1 f\'ev. 2002 & 0.881 & 0.905 & 0.750\\
 \hline  1 mar. 2002 & 0.812 & 0.874   & 0.810 \\
 \hline  1 avr. 2002 & 0.816 & 0.830   & 0.660 \\
 \hline  1 mai  2002 & 0.797 & 0.835   & 0.660 \\
 \hline  1 juin 2002 & 0.763 & 0.782    & 0.510 \\
 \hline  1 juil. 2002 & 0.793 & 0.787   & 0.570 \\
 \hline  1 ao\^u. 2002 & 0.719 & 0.765  & 0.590 \\
 \hline  1 sep. 2002 & 0.686 & 0.757    & 0.510 \\
 \hline  1 oct. 2002 & 0.749 & 0.764    &       \\
 \hline  1 nov. 2002 & 0.746 & 0.763    &       \\
 \hline  1 dec. 2003 & 0.736 & 0.778    &       \\
 \hline  1 jan. 2003 & 0.727 & 0.771    &       \\
 \hline  1 feb. 2003 & 0.719 & 0.761    &       \\
 \hline  1 mar. 2003 & 0.707 & 0.750    &       \\
 \hline  1 avr. 2003 & 0.684 & 0.764    &       \\
 \hline  1 mai  2003 & 0.713 & 0.701    &       \\
 \hline  1 juin 2003 & 0.675 & 0.703    &       \\
 \hline  1 juil. 2003 & 0.704 & 0.707    &       \\
 \hline  1 ao\^ut 2003 & 0.622 & 0.641    &       \\
\hline
\end{tabular}      } %end Small
}
Une \'enorme documentation portant sur des mesures effectu\'ees
par des centaines de gens aux Pays-Bas et en Belgique (du nord...)
est rassembl\'ee \`a    \\
\href{http://www.eurodiffusie.nl}
{\tt\bf http://www.eurodiffusie.nl})  \\
On y voit, parmi d'autres informations disponibles,
la r\'epartition des monnaies en Belgique, aux Pays-Bas
et au Luxembourg\footnote{Chiffres communiqu\'es
       par la famille de T.~Hitzky (MATH22, 2002).}
 en fonction du temps.    \\           \picskip{19}
On en estime tr\`es approximativement le $\sigma/L^2$ de la Belgique
et des Pays-Bas \`a $\approx 0.0022$ et   $0.0018 \text{\ mois}^{-1}$, et
 \`a $\approx 0.01 \text{\ mois}^{-1}$ pour le Luxembourg.
\\  Suite p.~\pageref{eurodeux}

\vspace*{66pt}

 \psset{xunit=4cm,yunit=6cm}
\psset{linewidth=0.005}
 \begin{pspicture}(0,0.6)(4,1.2)
\psline{->}(  0.00,  0.60)(  1.70, 0.600)
\psline{->}(  2.00,  0.60)(  3.90, 0.600)
\uput[90](1.65,0.6){$t$}   \uput[90](3.85,0.6){$t$}
\psline(0,0.6)(0,1)      \psline(2,0.6)(2,1)
\psline(-0.05,1)(0,1) \uput[180](-0.05,1){1}
\psline(1.95,1)(2,1) \uput[180](1.95,1){1}
\psline(-0.05,0.9)(0,0.9)
\psline(1.95,0.9)(2,0.9)
\psline(-0.05,0.8)(0,0.8) \uput[180](-0.05,0.8){0.8}
\psline(1.95,0.8)(2,0.8) \uput[180](1.95,0.8){0.8}
\psline(-0.05,0.7)(0,0.7)
\psline(1.95,0.7)(2,0.7)
\psline(-0.05,0.6)(0,0.6) \uput[180](-0.05,0.6){0.6}
\psline(1.95,0.6)(2,0.6) \uput[180](1.95,0.6){0.6}
\psline(0,0.6)(0,0.58) \uput[270](0,0.6){1 Jan.} \uput[270](0,0.55){2002}
\psline(2,0.6)(2,0.58) \uput[270](2,0.6){1 Jan.} \uput[270](2,0.55){2002}
\psline(0.6,0.6)(0.6,0.58) \uput[270](0.6,0.6){1 Jul.} \uput[270](0.6,0.55){2002}
\psline(2.6,0.6)(2.6,0.58) \uput[270](2.6,0.6){1 Jul.} \uput[270](2.6,0.55){2002}
\psline(1.2,0.6)(1.2,0.58) \uput[270](1.2,0.6){1 Jan.} \uput[270](1.2,0.55){2003}
\psline(3.2,0.6)(3.2,0.58) \uput[270](3.2,0.6){1 Jan.} \uput[270](3.2,0.55){2003}
\psline(1.8,0.6)(1.8,0.58) \uput[270](1.8,0.6){1 Jul.} \uput[270](1.8,0.55){2003}
\psline(3.8,0.6)(3.8,0.58) \uput[270](3.8,0.6){1 Jul.} \uput[270](3.8,0.55){2003}
\uput[270](1,0.9){\textsf{BE}} \uput[270](3,0.9){\textsf{NL}}
\psline(0,1)(0.1,0.881)(0.2,0.812)(0.3,0.816)(0.4,0.797)(0.5,0.763)%
    (0.6,0.793)(0.7,0.719)(0.8,0.686)(0.9,0.749)(1.0,0.746)(1.1,0.736)%
    (1.2,0.727)(1.3,0.719)(1.4,0.707)(1.5,0.684)(1.6,0.713)(1.7,0.675)%
    (1.8,0.704)(1.9,0.622)
\psline(2,1)(2.1,0.905)(2.2,0.874)(2.3,0.830)(2.4,0.835)(2.5,0.782)%
   (2.6,0.787)(2.7,0.765)(2.8,0.757)(2.9,0.764)(3.0,0.763)(3.1,0.778)%
   (3.2,0.771)(3.3,0.761)(3.4,0.750)(3.5,0.764)(3.6,0.701)(3.7,0.703)%
   (3.8,0.707)(3.9,0.641)
\psplot[linewidth=0.015,plotstyle=curve,%
                linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{0}{1.9}%
              {1 x 0.10 mul sqrt sub}
\psplot[linewidth=0.015,plotstyle=curve,%
                linestyle=dashed,dash=4pt 4pt]{2}{3.9}%
              {1 x 2 sub 0.08 mul sqrt sub}
 \end{pspicture}



\bigskip

\subsection{Probl\`eme de Cauchy}  \  \\

 Une \'equation aux d\'eriv\'ees partielles (EDP), ou un      \index{EDP}
 syst\`eme de telles \'equations, \'etant une ou plusieurs relations entre
 une ou des fonctions  de plusieurs variables et certaines de ses (ou leurs)
 d\'eriv\'ees partielles, on peut chercher \`a se ramener \`a un
probl\`eme d'\'equation diff\'erentielle ordinaire.

Pour fixer les id\'ees, soit une \'equation du premier ordre pour
une fonction de deux variables:
\begin{equation} \label{ord1}
  F(u,p,q,x,y)=0,\qquad   p=\dfrac{\partial u}{\partial x},\;
                          q=\dfrac{\partial u}{\partial y}.
\end{equation}
Peut-on d\'eterminer $u(x_1,y_1)$ \`a partir d'une valeur de
d\'epart $u(x_0,y_0)$?

Normalement non: soit $L=\{x=\lambda(s), y=\mu(s), s_0\leqslant s
\leqslant s_1\}$ un arc d'extr\'emit\'es $(x_0,y_0)$ et
$(x_1,y_1)$. Sur $L$, la d\'eriv\'ee
$\dfrac{du}{ds}=p\lambda'+q\mu'$ n'est pas d\'etermin\'ee puisque
\eqref{ord1} ne donne qu'une relation entre $p$ et $q$ au lieu de
donner $p$ et $q$ en fonction de $x$, $y$ et $u$.

\emph{Cependant}, si \eqref{ord1} est lin\'eaire en $p$ et $q$
(\'equation \emph{quasi-lin\'eaire})
\begin{equation} \label{ord1lin}
     \alpha(x,y,u) p +\beta(x,y,u) q +\gamma(x,y,u)=0,
\end{equation}
on voit que l'on a une \'equation diff\'erentielle ordinaire
$$ \dfrac{du}{ds} = -\kappa(s)\, \gamma(\lambda(s),\mu(s),u) $$
sur toute courbe $C=\{x=\lambda(s), y=\mu(s)\}$, de tangente
align\'ee sur $(\alpha, \beta)$:
$\lambda'(s)=\kappa(s)\,\alpha(x(s),y(s),u)$,\,
 $\mu'(s)=\kappa(s)\, \beta(x(s),y(s),u)$ sur $C$
  (\emph{courbe caract\'eristique}), o\`u $\kappa$ est une fonction
arbitraire.

On peut donc d\'eterminer $u(x,y)$ \`a partir de la valeur de $u$ en un
point de la courbe caract\'eristique passant par $(x,y)$. Pour
d\'eterminer $u$ dans une r\'egion, il faut partir des valeurs de $u$ en
diff\'erents points situ\'es sur des courbes caract\'eristiques
diff\'erentes $\Rightarrow$ donner $u$ sur une courbe $C_0$ n'ayant
nulle part de tangente commune avec une courbe caract\'eristique
(\textbf{probl\`eme de Cauchy}).   \index{probl\`eme de Cauchy}
                                  \index{caract\'eristique}

\smallskip

Une courbe caract\'eristique est donc une courbe ne pouvant servir en
aucun point de courbe de d\'epart pour le probl\`eme de Cauchy.

\smallskip

On dit aussi que les courbes caract\'eristiques sont les lieux de
propagation des discontinuit\'es (physiques, num\'eriques) des solutions.

\smallskip

{\Small

\textbf{Exercices.} R\'esoudre $2\partial u/\partial x +3\partial u/\partial y
=0$ sachant que $u(x,0)=0$ sur $x<0$ et $u(x,0)=1$ sur $x>0$
(fonction \'echelon).

La solution \emph{g\'en\'erale} de
 $\alpha\partial u/\partial x +\beta\partial u/\partial y=0$ est
$u(x,y)=\varphi(\beta x-\alpha y)$, o\`u $\varphi$ est une fonction
\emph{arbitraire} d'une variable.

R\'esoudre l'\'equation de Burgers sans viscosit\'e        \index{Burgers}
 $\partial u/\partial t + u\,\partial u/\partial x=0$
avec $u(x,0) =0$ sur $x\leqslant 0$, $u(x,0)=x/\varepsilon$ sur
$[0,\varepsilon]$ et $u(x,0)=1$ sur $x\geqslant \varepsilon$.
Remarquez que, comme $\gamma=0$, $u$ est constante sur chaque
caract\'eristique. Que se passe-t-il quand $\varepsilon\to 0$?

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(16,2.5)
 \thinlines
 \put(0,0){\vector(1,0){4}} \put(3.9,0.1){$x$}
 \put(2,0){\vector(0,1){2}}
 \Thicklines
 \drawline(0,0)(2,0)(2,1.5)(3.5,1.5)
  \put(2.5,1.8){$u(x,0)$}
\thinlines
 \put(5,0){\vector(1,0){4}} \put(8.9,0.1){$x$}
 \put(7,0){\vector(0,1){2}}
 \dashline{0.25}(7.75,1.5)(7.75,0)    \put(7.6,-0.3){$0.5$}
 \Thicklines
 \drawline(5,0)(7,0)(7.75,1.5)(8.5,1.5)
  \put(7.5,1.8){$u(x,0.5)$}
  \thinlines
 \put(10,0){\vector(1,0){5}} \put(14.9,0.1){$x$}
 \put(12,0){\vector(0,1){2}}
 \dashline{0.25}(13.5,1.5)(13.5,0)    \put(13.3,-0.3){$1$}
 \Thicklines
 \drawline(10,0)(12,0)(13.5,1.5)(15,1.5)
  \put(13,1.8){$u(x,1)$}
\end{picture}
\end{center}

\smallskip
On voit donc appara\^\i tre tr\`es naturellement des fonctions
non d\'erivables (\emph{\textbf{solutions g\'en\'eralis\'ees}}), on
reviendra sur la n\'ecessaire extension du cadre fonctionnel
au del\`a de $\mathscr{C}^1$\dots

\smallskip

Pour l'\'equation \eqref{autoroute}, on a    $\rho=$ constante
sur les droites caract\'eristiques  $x=t\, F'(\rho)+$ constante\ldots
tant que ces caract\'eristiques ne se rencontrent pas!

Par exemple, vitesse de propagation du front d'un bouchon: si $\rho=
\rho_{\text{max}}$ en $x=x_0$ lorsque $t=0$, o\`u $f(\rho_{\text{max}})=0$,
$\rho=\rho_{\text{max}}$ en $x=x_0+F'(\rho_{\text{max}})\,t$ au temps
$t$.

\begin{center} --------------------------- \end{center}

\medskip

Il existe des m\'ethodes num\'eriques de r\'esolution de \eqref{ord1} ou
\eqref{ord1lin} utilisant les courbes caract\'eristiques, mais on
\'etudiera plut\^ot ici des m\'ethodes de d\'etermination de $u$ sur des
points d'une grille donn\'ee.

\smallskip
Une \'equation du premier ordre
\`a $n$ variables: on a toujours des \emph{courbes}
caract\'eristiques, le probl\`eme de Cauchy consiste \`a donner $u$ sur
une (hyper)\emph{surface} (vari\'et\'e de dimension $n-1$).

Plusieurs \'equations du premier ordre
\`a $n$ variables: si $n>2$, on peut avoir des
surfaces caract\'eristiques, cf. chap.~\ref{chaphyper}.

} % end Small

\bigskip

  \index{probl\`eme de Cauchy}
Pour des EDP d'ordre \textbf{deux}, le probl\`eme de Cauchy consiste \`a
d\'eterminer $u$ \`a partir de ses valeurs et des valeurs de sa d\'eriv\'ee
normale sur une courbe $C_0$ (la d\'eriv\'ee tangentielle sur $C_0$ \'etant
connue si $u$ est connue). Mais les probl\`emes de physique math\'ematique
se ram\`enent-ils toujours \`a un probl\`eme de Cauchy?


\subsection{Un exemple exemplaire: \'equation de la membrane}
Voici un exemple de d\'erivation (pas tr\`es propre) d'une EDP
du second ordre en physique math\'ematique,     \index{membrane}
qui ne se r\'esout pas par propagation le long de caract\'eristiques.

\begin{minipage}[t]{6cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,4)
 \put(0.5,3){\vector(1,0){5}} \put(5.6,2.9){$y$}
 \put(0.5,3){\vector(1,1){1}} \put(1.6,3.9){$x$}
 \put(0.5,3){\vector(0,-1){2}} \put(0.6,1.1){$z$}
 \thicklines
 \spline(1,3.5)(2,4)(3,4)(5,3.5)(4,3.2)(3,3.2)(3.5,3.4)(2,3.4)(1,3.5)
 \dashline{0.25}(1,3.5)(2,2.5)(3,2.5)(4,3)(4.7,3.4)
 \thinlines
 \put(4,3.5){\ellipse{0.5}{0.3}}
 \put(4,4){\vector(0,-1){0.6}} \put(4.1,3.9){$wd\sigma$}
 \put(2,3.5){$\Omega$}
\end{picture}

\ \\

\begin{picture}(6,2)
 \put(0.5,1.8){\vector(1,0){5}}  \put(5.4,1.9){$r$}
       \put(1.8,2.1){$-\rho$}       \put(4,2.1){$\rho$}
 \put(3,1.8){\vector(0,-1){1.6}}
 \put(2,1){\vector(-2,1){1}}    \put(0.5,1){$T\rho d\theta$}
 \put(4,1){\vector(2,1){1}}    \put(4.5,1){$T\rho d\theta$}
 \Thicklines
 \spline(2,1)(3,0.5)(4,1)
 \thinlines
 \dashline{0.1}(2,1)(2,1.8)  \dashline{0.1}(4,1)(4,1.8)
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\ \\
Soit une membrane initialement tendue sur un domaine $\Omega$ de
$\mathbb{R}^2$, maintenue sur le bord $\partial\Omega$, soumise \`a
une tension $T$ par unit\'e de longueur. On impose une charge de densit\'e
$w$ tourn\'ee vers le bas. Sous l'effet de cette charge, la membrane se
d\'eforme en se courbant, ses points se placent sur une surface d'\'equation
$z=u(x,y)$. On suppose $w$ suffisamment petite pour que $u$ et ses
d\'eriv\'ees partielles restent petites (\emph{\'elasticit\'e infinit\'esimale}).

Du fait de la courbure de la membrane, les tensions s'exer\c cant sur un
fragment d'aire $d\sigma$ prennent une composante verticale devant
compenser exactement la charge $w(x,y)d\sigma$. Exprimons ce fait:
\\
la section formant un angle $\theta$ avec l'axe des $x$ d'un petit disque
de rayon $\rho$ a pour \'equation $z=\tilde{u}(r):=
  u(x+r\cos\theta,y+r\sin\theta)$. Les tensions en $r=\pm\rho$ ont des
composantes verticales $T\rho d\theta \tilde{u}'(\pm\rho)$, d'o\`u une
r\'esultante verticale
                       $T\rho d\theta (\tilde{u}'(\rho) -
                                       \tilde{u}'(-\rho) ) \approx
  2T\rho^2 d\theta \tilde{u}''(0)$.
\end{minipage}

Voyons en termes des d\'eriv\'ees partielles de $u$: comparons les
d\'eveloppements de Taylor jusqu'au second ordre
\begin{equation*}\begin{split}
 &\tilde{u}(r) = \tilde{u}(0) +r \tilde{u}'(0) +
         \dfrac{1}{2}r^2 \tilde{u}''(0) =  \\
 & \hspace*{-1.5cm}
 u(x+r\cos\theta,y+r\sin\theta) = u(x,y) +
 \begin{bmatrix} r\cos\theta & r\sin\theta \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}\dfrac{\partial u}{\partial x}  \\
   \dfrac{\partial u}{\partial y}\end{bmatrix}  +\dfrac{1}{2}
 \begin{bmatrix} r\cos\theta & r\sin\theta \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}&
                 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \\
                 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} &
                 \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} r\cos\theta \\ r\sin\theta \end{bmatrix}
\end{split}\end{equation*}
d'o\`u la r\'esultante verticale
$$
  2T\rho^2 d\theta \tilde{u}''(0)=  2T\rho^2 d\theta\left[
        \cos^2\theta  \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
  2\sin\theta\cos\theta   \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} +
    \sin^2\theta     \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}  \right]
$$
et int\'egrons en $\theta$ de 0 \`a $\pi$: on obtient
$T\pi\rho^2 \left[
          \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
          \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}  \right] $ qui doit compenser
$w(x,y)d\sigma = w(x,y)\pi\rho^2$, d'o\`u
\begin{equation}  \label{membrane}
          \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
          \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}  = - w(x,y)/T.
\end{equation}

La physique sugg\`ere que l'on peut d\'eterminer $u$ dans $\Omega$ \`a
partir des valeurs de $u$ sur la courbe $C_0=\partial\Omega$, ce n'est donc
pas un probl\`eme de Cauchy. Que se passe-t-il?


%\newpage

\subsection{EDP d'ordre 2: caract\'eristiques} \ \\
                                  \index{caract\'eristique}

L'EDP g\'en\'erale d'ordre 2 est
\begin{equation*}
  F(u,p,q,r,s,t,x,y)=0,\qquad   r=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2},
             s=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y},
                          t=\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2},
\end{equation*}
mais limitons nous d'embl\'ee \`a l'\'equation quasi-lin\'eaire:
\begin{equation} \label{ord2lin}
     \alpha(x,y,p,q,u) r +\beta(x,y,p,q,u) s +\gamma(x,y,p,q,u) t
        +\delta(x,y,p,q,u) =0.
\end{equation}
Montrons dans quelles conditions on peut trouver les trois d\'eriv\'ees
secondes $r, s$ et $t$ sur $C_0=\{x=\lambda_0(\tau), y=\mu_0(\tau)\}$
  \`a partir de $u$ et de sa d\'eriv\'ee
normale $\partial u/\partial n$:  \\
connaissant $u$ sur $C_0$, on en d\'eduit sa d\'eriv\'ee tangentielle
$\partial u/\partial\tau$, et, comme on donne aussi la d\'eriv\'ee
normale de $u$ le long de $C_0$, nous disposons du gradient de $u
  = [\partial u/\partial x, \partial u/\partial y] = [p,q]$
sur $C_0$:
\begin{equation*}  \begin{split}
\dfrac{\partial u}{\partial\tau} &= \text{d\'eriv\'ee directionnelle
 selon }  [\lambda'_0, \mu'_0] = p\lambda'_0+q\mu'_0 , \\
\dfrac{\partial u}{\partial n} &= \text{d\'eriv\'ee directionnelle
 selon }  [-\mu'_0, \lambda'_0] = -p\mu'_0 +q\lambda'_0 ,
\end{split}\end{equation*}
ce qui donne bien $p=\partial u/\partial x$ et
          $q=\partial u/\partial y$
comme fonctions de $\tau$ sur $C_0$. D\'erivons maintenant
ces fonctions le long de  $C_0$:
\begin{equation*} \left.\begin{split}
\dfrac{\partial p}{\partial\tau} =
 \text{grad}\, p \boldsymbol{\cdot} [\lambda'_0, \mu'_0 ]  =
 \lambda'_0 \partial p/\partial x +\mu'_0 \partial p/\partial y &=
   \lambda'_0 r +\mu'_0 s                \\
\dfrac{\partial q}{\partial\tau} =
 \text{grad}\, q \boldsymbol{\cdot} [\lambda'_0, \mu'_0 ]  =
 \lambda'_0 \partial q/\partial x +\mu'_0 \partial q/\partial y &=
   \qquad \lambda'_0 s +\mu'_0 t             \\
\text{\'equation \eqref{ord2lin} : }  -\delta &= \alpha r +\beta s +\gamma t,
\end{split}\right\}\end{equation*}
Syst\`eme de 3 \'equations lin\'eaires \`a 3 inconnues $r, s$ et $t$
de d\'eterminant
$$ D =  \alpha \mu'_0{}^2 -\beta \lambda'_0
  \mu'_0 +\gamma \mu'_0{}^2. $$

\subsection{Probl\`emes elliptiques, paraboliques, hyperboliques} \   \\  \


Les \emph{directions caract\'eristiques} sont les $(\lambda'_0, \mu'_0)$ qui
annulent $D$. On dit que l'EDP \eqref{ord2lin} est

\smallskip

\begin{itemize}
 \item \textbf{Hyperbolique} s'il y a deux directions caract\'eristiques
   r\'eelles distinctes: $\beta^2 - 4\alpha\gamma >0$,
 \item \textbf{Parabolique} s'il y a deux directions caract\'eristiques
   confondues: $\beta^2 - 4\alpha\gamma =0$,
 \item \textbf{Elliptique} s'il n'y a pas de direction caract\'eristique
   r\'eelle: $\beta^2 - 4\alpha\gamma <0$.
\end{itemize}
\index{elliptique}
\index{parabolique}
\index{hyperbolique}

\bigskip

{\Small

On reviendra sur ces notions et on comparera avec d'autres
d\'efinitions. Le type de l'EDP commande le mode de traitement
num\'erique, mais les choses ne sont pas toujours simples: ainsi, les
\'equations de
 m\'ecanique des fluides visqueux sont paraboliques mais
``presque'' hyperboliques si la viscosit\'e est faible. Autre exemple
int\'eressant, l'\'equation de propagation sur les lignes
\'electriques
$$
 \dfrac{\partial U}{\partial x}= rI +\ell \dfrac{\partial I}{\partial t},
 \dfrac{\partial I}{\partial x}= gU +\gamma \dfrac{\partial U}{\partial t}\quad
\Rightarrow
 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}= rg\, u +
 (\gamma r+\ell g) \dfrac{\partial u}{\partial t}
 +\gamma\ell \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2},
$$
($r, g, \ell, \gamma =$ coefficients de r\'esistance, conductance,
inductance, capacit\'e), $u= U$ ou $I$, devient, \\
si $g$ est n\'egligeable, \emph{l'\'equation des t\'el\'egraphistes}

\begin{equation} \label{telegra}
 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=
 \gamma r  \dfrac{\partial u}{\partial t}
 +\gamma\ell \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2},\quad\text{hyperbolique},
\end{equation}
si, de plus, $\ell$ est n\'egligeable, \emph{l'\'equation de la chaleur}
\begin{equation} \label{exchal}
 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=
 \gamma r  \dfrac{\partial u}{\partial t}
        ,\quad\text{parabolique},
\end{equation}
si $g$ et $r$ sont n\'egligeables, \emph{l'\'equation des ondes} ou
des \emph{cordes vibrantes}
$$
 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=
 \gamma\ell \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2},\quad\text{hyperbolique}.
$$

\textbf{Exercice.} Constater que la solution \emph{g\'en\'erale} de
$\partial^2 u/\partial x^2 = c^{-2} \partial^2 u/\partial t^2$
est
$ u(x,t)= \varphi(x-ct) +\psi(x+ct) $,
o\`u $\varphi$ et $\psi$ sont deux fonctions \emph{arbitraires}.

\medskip

\textbf{Exemples de solutions du probl\`eme de Cauchy.} On consid\`ere
une \'equation du second ordre \`a deux variables $x$ et $t$, et on
cherche \`a d\'eterminer $u(x,t)$ pour $t>0$, connaissant les
fonctions $u(x,0)$ et $(\partial u/\partial t)_{t=0}$.



\begin{enumerate}
  \item \textbf{\'Equation hyperbolique}, \'equation des
    t\'el\'egraphistes \eqref{telegra}, et partons d'une impulsion
   concentr\'ee en $x=0$:      \index{tel\'egraphistes, \'eq. des}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,4)
 \psline{->}(0,0)(7,0)  \uput[90](6.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(3,0)(3,3.5) \uput[0](3.2,3.2){$u$}\uput[0](4.2,2.2){$t=0$}

 \psline{->}(9,0)(16,0)  \uput[90](15.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(12,0)(12,3.5) \uput[0](12.2,3.2){$u$}\uput[0](14.2,2.2){$t>0$}
 \uput[270](10.4,0){$-t(\gamma\ell)^{-1/2}$}
 \uput[270](13.9,0){$t(\gamma\ell)^{-1/2}$}
 \psset{linewidth=0.075}
 \psline[linecolor=darkgray](3,0)(3,3)
 \psline[linecolor=darkgray](9.2,0)(10.5,0)(10.5,2.1)
 \pscurve[linecolor=darkgray](10.5,2.1)(11,2.4)(12,2.6)(13,2.4)(13.5,2.1)
 \psline[linecolor=darkgray](13.5,2.1)(13.5,0)(14.8,0)
\end{pspicture}

\vspace*{8mm}

Au temps $t>0$, le signal s'\'etend sur le support
$[-t(\gamma\ell)^{-1/2}, t(\gamma\ell)^{-1/2}]$: vitesse de propagation
finie $(\gamma\ell)^{-1/2}$. La formule du cas particulier examin\'e
ici est $\displaystyle{u(x,t)=e^{-rt/(2\ell)} I_0\left(
    \frac{r}{2\ell}\sqrt{t^2- \gamma\ell x^2}\right) }$ sur
$x^2< \gamma\ell t^2$, o\`u $I_0$ (fonction de Bessel modifi\'ee)
est solution de $I_0''(X)+X^{-1} I_0'(X)=I_0(X)$
[Courant \& Hilbert, vol.~2].


  \item \textbf{\'Equation parabolique}, \'equation de la chaleur
 \eqref{exchal}:           \label{parab1}      \index{chaleur, \'eq. de la}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,4)
 \psline{->}(0,0)(7,0)  \uput[90](6.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(3,0)(3,3.5) \uput[0](3.2,3.2){$u$}\uput[0](4.2,2.2){$t=0$}

 \psline{->}(9,0)(16,0)  \uput[90](15.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(12,0)(12,3.5) \uput[0](12.2,3.2){$u$}\uput[0](13.2,2.2){$t>0$}
 \psset{linewidth=0.075}
 \psline[linecolor=darkgray](3,0)(3,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray](9,0.1)(10.5,0.22)(11,0.4)(12,2.0)(13,0.4)(13.5,0.22)(16,0.1)
\end{pspicture}

\noindent cette fois, la solution s'\'etend sur toutes les valeurs
 r\'eelles de $x$ d\`es que $t>0$: vitesse de propagation infinie.
De plus, la solution s'amortit et devient de plus en plus lisse
\`a mesure que $t$ augmente.
La formule de cet exemple est
 $\displaystyle{\sqrt{\frac{\gamma r}{4\pi t}}
     e^{-\gamma r x^2/(4t)}  }$.

\enlargethispage{25pt}
  \item \textbf{\'Equation elliptique}, \'equation de Laplace
  $\partial^2 u/\partial x^2 + \partial^2 u/\partial t^2 =0$.
  \\ Ph\'enom\`ene inverse du pr\'ec\'edent: des singularit\'es
  peuvent appara\^\i tre en tout $t>0$!     \index{Laplace, \'eq. de} \label{ellip01}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,4)
 \psline{->}(0,0)(7,0)  \uput[90](6.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(3,0)(3,3.5) \uput[0](3.2,3.2){$u$}\uput[0](4.2,2.2){$t=0$}

 \psline{->}(9,0)(16,0)  \uput[90](15.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(12,0)(12,3.5) \uput[0](12.2,3.2){$u$}\uput[0](13.2,2.2){$t>0$}
 \psset{linewidth=0.075}
 \psline[linecolor=darkgray](12,0)(12,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray](0,0.1)(1.5,0.22)(2,0.4)(3,2.0)(4,0.4)(4.5,0.22)(7,0.1)
\end{pspicture}

Une condition initiale peut \^etre infiniment amplifi\'ee en  n'importe
quelle valeur $>0$ de $t$: \emph{\textbf{Le probl\`eme de Cauchy est mal
pos\'e}}. Exemple: $\displaystyle{ u(x,t) = \text{ partie r\'eelle de }
\frac{1}{(x+it)^2+\varepsilon} }$, $\varepsilon>0$.


\end{enumerate}

\newpage


\subsection{Exemples d'\'equations et applications} \  \\  \

\vspace*{1cm}
       \setlength{\extrarowheight}{7pt}
                     \renewcommand{\arraystretch}{1.11}
%\begin{table}[ht]
\vspace*{-26pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 \hline
 Nom & \'Equation  & Applications & Type \\
 \hline\hline
 Laplace &  $\Delta u=0$    &   milieux   &    \\   \index{Laplace, \'eq. de}
 Poisson & $-\Delta u=4\pi\rho$ & continus & E \\  \index{Poisson, \'eq. de}
 Helmholtz & $(\Delta +k^2)u =0$ & etc. &  \\
 plaque &  $\Delta^2 u = f $ &       & \\
 \hline
 Chaleur, diffusion & $\dfrac{\partial u}{\partial t} = C \Delta u +\Phi$ &
  $u=$ temp\'erature    & P \\
             &                   &  ou concentration &  \\
 \hline
 ondes & $\Delta u -\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} =
     \square u = 0$ & propagation & H \\
  (d'Alembert)     &          &          &    \\
 \hline
               &  $\nabla \boldsymbol{\cdot D} = \rho$ &  & \\
               &  $\nabla \boldsymbol{\cdot B} = 0$ & \'electro- &  \\
  Maxwell     & $\nabla\times\boldsymbol{E} = -\dfrac{\partial\boldsymbol{B}}
                             {\partial t}$ & magn\'etisme & H \\
              & $\nabla\times\boldsymbol{H} =  \boldsymbol{J}
                    +\dfrac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}$ &  & \\
  potentiels:            &           &           &   \\
  $\boldsymbol{E}=-\nabla V-\dfrac{\partial\boldsymbol{A}}{\partial t}$
              & $\square V = -\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$  &    & \\
  $\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}$
     & $\square\boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{J}$  &    & \\
  \hline
 continuit\'e & $\dfrac{\partial\rho}{\partial t} +\nabla\boldsymbol{\cdot}
         (\rho\boldsymbol{v}) = 0$  & milieux  &   \\
 (conservation masse) &           & continus  &   \\
 \hline
 Advection-diffusion & $\dfrac{\partial u}{\partial t} +
           a\dfrac{\partial u}{\partial x} =
         \nu\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$&  & P\\
 Burgers & $\dfrac{\partial u}{\partial t} +
           u\dfrac{\partial u}{\partial x} =
         \nu\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}$& fluides &  \\
 Stokes & $\nabla\boldsymbol{\cdot v} =0,
    \rho\dfrac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} =
         \rho\boldsymbol{g}-\nabla p +\eta\Delta\boldsymbol{v}$ &  visqueux & \\
 Navier-Stokes & $\nabla\boldsymbol{\cdot v} =0,$
  $\rho\dfrac{\partial\boldsymbol{v}}{\partial t} +
         \rho(\boldsymbol{v\cdot}\nabla)\boldsymbol{v} =
         \rho\boldsymbol{g}-\nabla p +\eta\Delta\boldsymbol{v}$ &  & \\
 (incompressible)   &       &      &    \\
  \hline
  Korteweg-De Vries &$\dfrac{\partial u}{\partial t} +
                  au  \dfrac{\partial u}{\partial x} +
                  b  \dfrac{\partial^3 u}{\partial x^3}=0$ & solitons & \\
  Boussinesq &
   $\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} -
                    \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} -
                    \dfrac{\partial^4 u}{\partial x^4} -
                  3  \dfrac{\partial^2 u^2}{\partial x^2}=0$ &  & \\
  \hline
  \end{tabular}
  \newpage
       \setlength{\extrarowheight}{7pt}
                     \renewcommand{\arraystretch}{1.11}
%\begin{table}[ht]
\vspace*{-26pt}
\enlargethispage{5pt}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
 \hline
 Nom & \'Equation  & Applications & Type \\
 \hline\hline
  Schr\"odinger & $i\hbar\dfrac{\partial\psi}{\partial t} =
            -\dfrac{\hbar^2}{2m} \Delta \psi +U\psi$ &    &   P  \\
  Klein-Gordon & $\left(\Delta -\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}
      -\dfrac{m_0^2 c^2}{\hbar^2}\right)\psi =0$ & quantique & H \\
  Dirac & $\left( \gamma_\lambda \dfrac{\partial}{\partial x_\lambda}
              +\dfrac{m_0 c^2}{\hbar} \right) \boldsymbol{\psi} = 0$ & &H \\
sinus-Gordon & $\dfrac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial t}
            -\sin\psi =0$ &  &  \\
 \hline
 Fokker-
 &  $\partial p/\partial t = -\sum \partial (b_i p)/\partial x_i
           +(1/2)\sum_{i,j} \partial^2( a_{i,j} p)/\partial x_i
     \partial x_j$
               & distributions &    \\
 Planck${}^*$ &                           & de particules &  \\
    &    & et & P  \\
 Black- &
   $\partial c/\partial t = (\nu^2/2) S^2 \partial^2 c/\partial S^2
           +rS \partial c/\partial S   -rc$
               & math\'ematiques &    \\
 Scholes&                                 & financi\`eres. &  \\
 \hline
      &                     &    \    &  \\
Hamilton- &  $\dfrac{\partial S}{\partial t} +H(
    \textbf{grad}_{\boldsymbol{q}} S, \boldsymbol{q})=0$ &
   m\'ecanique & \\
Jacobi &            & analytique &  \\
\hline
\end{tabular}
\vspace*{-1pt}\begin{center}   Quelques \'equations   \end{center}


\bigskip\bigskip

${}^*$ G.W. Wei, D.S. Zhang, D.J. Kouri and D.K. Hoffman,
Distributed
   approximating  functional approach to the Fokker-Planck equation: Time
   propagation, \textsl{J. Chem. Phys.} , \textbf{107}, 3239-3246 (1997).
      \href{http://www.math.msu.edu/~wei/PAPER/p20.pdf}
      {\texttt{http://www.math.msu.edu/\~{}wei/PAPER/p20.pdf}}

     G.W.  Wei,  A  unified  approach  for  the  solution  of the
   Fokker-Planck  equation,  \textsl{J.  Phys. A, Mathematical and General},
   \textbf{33},
   4935-4953 (2000).
        \href{http://www.math.msu.edu/~wei/PAPER/p46.pdf}
       {\texttt{http://www.math.msu.edu/\~{}wei/PAPER/p46.pdf}}



} %end Small


\newpage

Extraits de la brochure '{\sl Math\'ematiques dans la vie quotidienne, Ann\'ee mondiale des ma\-th\'e\-ma\-tiques}',
par Jean Brette (Palais de la d\'ecouverte, Paris), Mireille Chaleyat-Maurel (Univ. Ren\'e Descartes, Paris),
Catherine Goldstein (CNRS-Univ. de Paris-Sud), Michel Darche (Centre Sciences, CCSTI de la r\'egion Centre),
Maurice Mashaal (journaliste, Paris), Samuel Roux (graphiste, Orl\'eans).


\begin{multicols}{2}

\includegraphics*[angle=270, scale=0.33]{math014.ps}

\begin{flushright}
{\Large \it La bourse sans risque?}

\bigskip\bigskip

* Pour ceux qui veulent\\ d\'ecrypter la formule:\\
$S$ est le cours aujourd'hui,\\ $K$ le cours envisag\'e pour
vendre,\\ $T$ la dur\'ee fix\'ee et\\ $r$ le taux bancaire.

\end{flushright}

\end{multicols}


\begin{multicols}{2}

Comment faire une op\'eration boursi\`ere sans risque? Il suffit
de prendre une assurance pour un prix et \`a une date fix\'es \`a
l'avance. L'exemple le plus ancien est celui des marchands
g\^enois : lorsqu'ils affr\'etaient un bateau, ils achetaient une
option sur un
  second navire. Si le premier arrivait \`a bon  port, l'option n'\'etait pas exerc\'ee et sa valeur
\'etait perdue; s'il coulait, l'assurance permettait d'acheter la
cargaison du second \`a un prix fix\'e \`a l'avance. Une formule,
trouv\'ee par Black et Scholes (prix Nobel d'\'economie en 1997),
permet aujourd'hui de fixer \`a l'avance le prix de l'option.

L'essor consid\'erable des march\'es financiers conduit
aujourd'hui \`a une offre croissante de produits, dits produits
d\'eriv\'es, qui couvrent des risques de plus en plus complexes.

\  \\  \   \\   \

{\Small

{\it GARDEZ VOS DOLLARS?

-je reviens d'un voyage avec des Dollars!\\ - si je les change en
Euros, mon risque est nul, mais pourquoi ne pas les garder en
esp\'erant que le Dollar va monter?
\\
- Allez,je les garde! mais si \c ca baissait ?!?
\\
Je suis perplexe...
\\
Est-ce que je peux avoirle beurre et... ???
\\
R\'eponse:  oui, c'est possible...
\\
mais ce n'est pas gratuit !!!
\\
 La banque peut vous garantir de vendre vos Dollars au  meilleur du cours
d'aujourd'hui et du cours dans 6 mois. Vous
 \^etes s\^ur de vous en sortir sans grandes pertes !!!
\\
Mais... ce n'est pas gratuit, \c ca se saurait.
\\
Il faut que la banque trouve aussi son int\'er\^et.
 Combien cela vous coûtera-t-il ?
 La r\'eponse est dans la formule de Black \& Scholes !
\\
 Conclusion :faire des maths, \c ca peut aussi garantir.
}}

\end{multicols}

\begin{flushright}
{\bf Pour aller plus loin:}

{\Small N. Bouleau. Martingales et march\'es financiers, Odile
Jacob, 1998.

H. Geman, "De Bachelier \`a Black-Scholes-Merton ",

 Gazette des Math\'ematiciens. n${}^{\text{o}}$ 75. pp. 17-30, janvier 1998.

J. F. Price, " Optional mathematics is not optional ,"

 Notices of the American Mathematical Society. vol. 43. n" 9, pp. 964-971, septembre 1996.

(Articie disponible sur Internet \`a l'adresse
http://www.ams.org/notices/

 J.-P Bouchaud et M. Potters. Th\'eorie des risques financiers, CEA (coll. Al\'ea-Saclay), 1997.
}
\end{flushright}

14


{\Large\bf Les maths, c'est de l'argent!}

Les agents de la finance ach\`etent ou vendent toutes sortes de
produits non mat\'eriels comme les actions ou les options. Po\`ur
fixer leurs prix, il faut tenir compte des risques et des
fluctuations des cours.. ce n'est pas si simple.

\begin{multicols}{2}

{\Small La banque et la finance recrutent. Des banquiers et des
financiers? Non, des math\'ematiciens. Pour faire des additions et
des multiplications? Non, l'ordinateur fait cela beaucoup mieux
qu'eux... Si le monde financier et bancaire fait de plus en plus
appel \`a des math\'ematiciens, c'est notamment pour l'aider \`a
fixer les prix des divers produits propos\'es <Contrats \`a terme,
options, etcJ, \`a \'evaluer les risques financiers, \`a g\'erer
les capitaux avec le minimum de risques de perdre de l'argent. Le
tout dans un march\'e de plus en plus vaste (mondialisation
oblige), complexe et diversifi\'e. Parmi la multitude de produits
financiers d\'esormais accessibles \`a tous ou presque, un exemple
est constitu\'e par les options, dont il existe d'ailleurs de
nombreuses variantes. Qu'est-ce qu'une option d'achat? Imaginons
qu'un fabricant de glace \`a la vanille (la vraie. avec au moins
une gousse par litre de lait !J veuille se garantir contre le
risque d'une forte augmentation du prix de cette orchid\'ee, \`a
la suite par exemple de conditions climatiques d\'efavorables ou
de troubles socio-\'economiques dans les r\'egions productrices.
Les marR ch\'es financiers pourraient offrir la possibilit\'e \`a
notre fabricant de prendre une "option" sur l'achat \'eventuel, au
prix actuel et \`a une certaine \'ech\'eance, d'une certaine
quantit\'e de gousses de vanille. En d'autres termes, notre
glacier se r\'eserve le droit d'acheter dans, mettons, six mois,
une tonne de gousses de vanille au cours d'aujour. d'hui. Les six
mois \'ecoul\'es, il d\'ecide ou non d'exercer ce droit, selon
l'\'etat du march\'e; si les prix ont augment\'e, il a int\'er\^et
\`a r\'ealiser l'achat; s'ils ont baiss\'e, il renonce et ach\`ete
par les canaux habituels. L'option d'achat est donc une sorte de
contrat d'assurance contre l'augmenta. tion des cours. Cependant,
tout se paie, les contrats d'assurance comme les options. C'est
l\`a que \c ca se corse, car comment fixer le prix de l'option?

$$C=S_x N(d_1) -K_x e^{-rt}N(d_2)$$

Dans des domaines comme l'\'economie, la finance ou les
assurances, l'impr\'evu et le hasard jouent un rôle primordial.
L'\'evolution au cours du temps du prix d'une marchandise, de la
cotation d'une action, d\'epend d'un si grand nombre de facteurs
qu'elle est impr\'evisible; en pratique, on constate que le
march\'e fluctue d'une mani\`ere largement al\'eatoire. Il faut
donc prendre en compte cet aspect al\'eatoire, et les risques
financiers qu'il implique, pour d\'eterminer le prix de l'option.
Du point de vue math\'ematique, c'est la th\'eorie des
probabilit\'es - celle des processus stochastiques en particulier
- qui sert \`a mod\'eliser ce type de probl\`emes et obtenir des
r\'eponses pr\'ecises. Il s'agit de math\'ematiques de pointe, qui
vont bien au-del\`a des concepts et techniques relativement
\'el\'ementaires permettant par exemple de calculer la
probabilit\'e d'avoir une combinaison gagnante au Loto (au Loto,
contrairement aux situations financi\`eres, le nombre de
possibilit\'es est fini, et les lois de probabilit\'e
sous-jacentes sont simples et parfaitement connues: la
probabilit\'e, mettons, de tirer la boule portant le num\'ero 13
parmi l'ensemble des boules 1 \`a 49 vaut 1/49). }
\end{multicols}

15

\begin{multicols}{2}
{\Small Les premi\`eres applications de la th\'eorie des
probabilit\'es aux instruments financiers comme les options
remontent \`a 1900, avec les travaux longtemps ignor\'es du
math\'ematicien fran~ \c cais Louis Bachelier. Une \'etape
importante a \'et\'e franchie autour des ann\'ees 1970 gr\^ace
notamment aux Am\'ericains Paul Samuelson, Robert Merton, Fisher
Black et Myron Scholes et a conduit \`a une formule permettant de
fixer le "juste" prix des options. . La "formule de
Black-Scholes", aujourd'hui c\'el\`ebre et tr\`es utilis\'ee par
les \'etablissements financiers, a \'et\'e obtenue \`a l'aide
d'outils math\'ematiques (en particulier le "calcul stochastique"
cr\'e\'e vers 1944-46 par le Japonais Kiyosi It\^o) d\'evelopp\'es
en rapport avec le mouvement brownien. Ce type de mouvement,
\'etudi\'e par Einstein au tout d\'ebut du XXe si\`ecle, et par
d'autres physiciens ou math\'ematiciens jusqu'\`a nos jours, a
\'et\'e d\'ecouvert par le botaniste \'ecossais Robert Brown en
1827: lorsqu'on observe au microscope des grains de pollen
baignant dans un liquide, on voit les grains bouger de mani\`ere
erratique et d\'ecrire des trajectoires extr\^emement
irr\'eguli\`eres (voir l'illustration). Le mouvement brownien des
grains de pollen r\'esulte des minuscules mais innombrables chocs
avec les mol\'ecules du liquide, elles-m\^emes sujettes \`a une
agitation thermique d\'esordonn\'ee. Les grandeurs financi\`eres
comme le prix d'une action cot\'ee en Bourse fluctuent de fa\c con
analogue au mouvement brownien, sous l'effet cumul\'e des achats
et ventes r\'ealis\'es sur le march\'e par des op\'erateurs tr\`es
nombreux. Mais bien qu'il soit repr\'esentatif de nombreux
processus al\'eatoires, le mouvement brownien n'est pas le seul
que "on puisse envisager.

Les math\'ematiciens de la finance recherchent ainsi des mod\`eles
et des formules plus satisfaisantes que ceux du type
Black-Scholes, par exemple en partant d'hypoth\`eses de base plus
fid\`eles aux r\'ealit\'es du march\'e que les lois de
probabilit\'e sous-jacentes au mouvement brownien.

\includegraphics*[angle=0, scale=0.35]{math016.ps}


{\bf Une trajectoire brownienne dans un plan}
\\ Les trajectoires d\'ecrites dans un mouvement brownien ont diverses particularit\'es math\'ematiques. Par exemple,
 une trajectoire rigoureusement brownienne est continue mais est tellement irr\'eguli\`ere qu'elle n'a de tangente en
 aucun de ses points. Les math\'ematiques qui ont \'et\'e d\'evelopp\'ees pour analyser le mouvement brownien - une
  sous-discipline de la th\'eorie des probabilit\'es, qui s'int\'eresse aux processus al\'eatoires \'evoluant
   contin\^ument avec le temps, et non \`a des instants successifs et s\'epar\'es- servent aussi \`a g\'erer des produits financiers comme les options d'achat ou de vente.
}
\end{multicols}


16

{\bf Calcul stochastique et mod\`ele de Black-Scholes}
\enlargethispage{55pt}


Supposons que l'on veuille fixer le prix d'une option concernant
une certaine marchandise ou une certaine action financi\`ere dont
le cours \`a l'instant $t$ vaut $S_t$.
 Le mod\`ele de Black-Scholes pour \'evaluer le
prix de l'option part de l'hypoth\`ese que, entre l'instant $t$ et
l'instant $t + dt$, le cours $S_t$ subit une variation relative
$(S_{t + dt} - S_t)/S_t$ \'egale \`a la somme de deux termes:
l'un, $\mu dt$, est un accroissement non al\'eatoire
repr\'esentant la "tendance" g\'en\'erale du march\'e; l'autre,
$\sigma(B_{t + dt} - B_r)$, correspond \`a une fluctuation
al\'eatoire et impr\'evisible de type brownien ($B_t$ repr\'esente
un processus brownien, c'est-\`a-dire une grandeur analogue \`a
celle de la position, \`a l'instant $t$, d'une particule
effectuant un mouvement brownien le long d'une droite).

Cela s'\'ecrit sous forme condens\'ee: $dS_t/S_t = \mu dt + \sigma
dB_t$ o\`u $\mu$ et $\sigma$ sont des constantes.

En prenant $dt$ infiniment petit, cette expression revient \`a une
\'equation diff\'erentielle dont "l'inconnue" est le cours $S_t$.
En fait, il s'agit d'une "\'equation diff\'erentielle
stochastique" car elle met en jeu un processus al\'eatoire ou
"stochastique", le processus brownien $B_t$. Par cons\'equent,
$S_t$ est \'egalement un processus stochastique. Si l'\'equation
ci-dessus mettait en jeu des fonctions ordinaires $S(t)$ et
$B(t)$, sa r\'esolution ferait intervenir l'int\'egrale
$\displaystyle \int_0^T S(t) dB(t)$ d\'efinie comme la limite de
la somme $$ S(0)[B(t_1) - B(0)] + S(t_1)[B(t_2) - B(t_1)] +
S(t_2)[B(t_3) - B(t_2)] + \dotsb + S(t_{N-1} )[B(T) -
B(t_{N-1})]$$ lorsque la subdivision de l'intervalle $[0, T]$ en
$N$ sous-intervalles (sp\'ecifi\'es par $0 < t_1 < t_2 < t_3 < ...
<t_{N-2} < t_{N-1} < T$) est de plus en plus fine $(N \to\infty)$.

Mais si $B_t$ repr\'esente un processus brownien, on d\'emontre
que la limite de cette somme n'existe pas au sens habituel (car
les variations $B_{t'} - B_t$ peuvent \^etre assez grandes pour
conduire \`a un r\'esultat infini). Une partie de la th\'eorie du
calcul stochastique consiste alors \`a d\'efinir de fa\c con
satisfaisante une expression du type $\displaystyle \int_0^T  S_t
dB_t$ appel\'ee int\'egrale stochastique. Plus g\'en\'eralement,
 le calcul stochastique consiste \`a construire pour les processus stochastiques un \'equivalent du calcul diff\'erentiel
  et int\'egral usuel. Il permet donc de traiter des \'equations comme celle pr\'esent\'ee ci-dessus, dont la r\'esolution
   est l'une des \'etapes du mod\`ele de Black-Scholes.




%\newpage

17


\begin{multicols}{2}




{\Large \it Une m\'et\'eo turbulente!}

{\Small Qu'il s'agisse de la naissance et de la trajectoire d'une
temp\^ete. de la structure g\'eom\'etrique d'un nuage et de son
r\^ole dans l'absorption des rayonnements solaire et tellurique,
de "assimilation optimale de mesures h\'et\'erog\`enes et
dispers\'ees (stations m\'et\'eo, satellites, avions, bateaux...)
dans un mod\`ele num\'erique de pr\'evision du temps. ... : la
mod\'elisation math\'ematique est omnipr\'esente dans la
m\'et\'eorologie moderne; elle sert \`a d\'ecrire et \`a
comprendre les m\'ecanismes. \`a analyser et \`a pr\'evoir le
temps ou le climat. }

\includegraphics*[angle=270, scale=0.25]{math018.ps}

{\Small {\it TURBULENCES ATMOSPH\'ERIQUES

 Les \'ecoulements turbulents, et les mouvements de l'atmosph\`ere sont parliculi\`erement turbulents, peuvent \^etre mod\'elis\'es par les \'equations de Navier-Stokes qu'on ne sait toujours pas r\'esoudre.

Les m\'et\'eorologues font donc appel \`a la simulation
num\'erique, utilisant les ordinateurs les plus puissants et les
sch\'emas num\'eriques les plus sophistiqu\'es. Ils utilisent
aussi la th\'eorie math\'ematique des syst\`emes dynamiques.

C'est un m\'et\'eorologue, E.N. Lorenz, qui a mis en \'evidence en
1963 le caract\`ere chaotique des trajectoires d'un syst\`eme
dynamique simple et sa sensibilit\'e aux conditions initiales,
\'evoquant l'effet dans le futur des battements d'aile d'un
papillon sur l'\'ecoulement atmosph\'erique. }

\begin{flushright}

{\bf Pour aller plus loin:}

M. Rochas et J..P. Javelle, La met\'eorologie-

La prevision  num\'erique du temps et du climat. Syros, 1993.

 M. Lesieur, La turbulence, Presses Universitaires de Grenoble, 1994.

R. Sadourny, Le climat de la Terre. Flammarion (coll. Dominos),
1994.

 R. Kandel, Les eaux du ciel, Hachette Sciences, 1998

 R. Kandel. L'incertitude des climats, Hachette Pluriel, 1998.
\end{flushright}
}
\end{multicols}

18


{\Large\bf Pr\'evoir le temps, un d\'efi
majeur}\enlargethispage{44pt}

Pour obtenir des pr\'evisions m\'et\'eorologiques ou climatiques,
il faut trouver les \'equations qui d\'ecrivent
 l'\'evolution des conditions atmosph\'eriques. Puis les r\'esoudre, ce que l'ordinateur ne peut faire tout seul!

\begin{multicols}{2}

{\Small

La pr\'evision m\'et\'eorologique a fait d'immenses progr\`es au
cours des derni\`eres d\'ecennies. Mais il arrive parfois que les
pr\'evisions n'aient qu'un lointain rapport avec le temps qu'il a
effectivement fait le lendemain, Faut-il dans ces cas incriminer
la personne qui a pr\'esent\'e le bulletin ? Les
m\'et\'eorologues? Leurs commanditaires ? Leurs ordinateurs? Les
caprices de la nature? En fait, la pr\'evision du temps ou du
climat est un grand d\'efi scientifique, Son principe, pos\'e en
1904 par le m\'et\'eorologue norv\'egien Vilhelm Bjerknes,
para\"\i t pourtant simple: connaissant les lois d'\'evolution de
l'\'etat de l'atmosph\`ere, on peut calculer son \'etat futur \`a
l'instant t si l'on connaît son \'etat initial, \`a l'instant O.
Mais \`a y regarder de plus pr\`es, les difficult\'es sont
nombreuses. Tout d'abord, les lois d'\'evolution ont \`a inclure
les lois fondamentales de la m\'ecanique et de la thermodynamique
pour l'eau et l'air de l'atmosph\`ere. On doit aussi int\'egrer
les sp\'ecificit\'es du syst\`eme climatique, comme la
sph\'ericit\'e de la Terre, le rayonnement solaire, le rôle du
relief, celui des oc\'eans, celui de la v\'eg\'etation, etc. Tout
cela fait de la machinerie m\'et\'eorologique un syst\`eme
 extr\^emement complexe. faisant intervenir une multitude de ph\'enom\`enes physiques,
  chimiques ou biologiques. Certains sont bien connus et compris, d'autres beaucoup moins (comme la turbulence ou
   l'influence des nuages), Une premi\`ere
 difficult\'e a donc trait \`a l'analyse et la mod\'elisation:
 il faut identifier, quantifier, retenir les ph\'enom\`enes qui ont de l'importance, n\'egliger les autres, Cette
  t\^ache, m\^eme si elle ne rel\`eve pas du math\'ematicien, n\'ecessite des outils math\'ematiques parfois
   pointus,

Passons l\`a-dessus. Supposons que l'on ait d\'egag\'e un ensemble
de lois pertinentes r\'egissant l'\'evolution des conditions
m\'et\'eorologiques, Comment se traduit un tel "mod\`ele" ? Par
des \'equations mettant en jeu des fonctions incan. nues, qui
caract\'erisent la situation atmosph\'erique, et leurs variations.
Ces fonctions sont. par exemple, la pression
 $P(x , y, z, t)$ ou la vitesse $v(x, y, z, t)$ de l'air au point de coordonn\'ees $(x, y, z)$ et \`a l'instant $t$, ou encore l'humidit\'e $h$, la temp\'erature $T$, etc. Plus pr\'ecis\'ement, le mod\`ele m\'et\'eorologique ou climatique se traduit par un syst\`eme d'\'equations faisant intervenir les fonctions $P, v, h, T$, etc, (qui d\'ependent de plusieurs variables) et leurs d\'eriv\'ees par rapport au temps $t$ ou par rapport \`a $x, y$ ou $z$, C'est un syst\`eme d'"\'equations aux d\'eriv\'ees partielles" (voir l'encadr\'e).

\includegraphics*[angle=270, scale=0.25]{math019.ps}




Ecoulement turbulent Clich\'e B. Legras LMD/ENS/CNRS

.


Le r\'esoudre ne va pas de soi, pour plusieurs raisons. Une
r\'esolution "analytique", exacte, est hors de port\'ee: on ne
sait le faire que pour de rares \'equations simples. En outre,
plus le }

\end{multicols}





19


\begin{multicols}{2}



{\Small


\noindent mod\`ele essaie de "coller" \`a la r\'ealit\'e, plus le
syst\`eme d'\'equations correspondant est gros et
 compliqu\'e. Les proc\'ed\'es num\'eriques, qui visent \`a fournir une bonne approximation des valeurs de la solution,
  constituent le seul recours. Ils sont nombreux et vari\'es, mais l'id\'ee de base est de "discr\'etiser" les \'equations:
   on d\'ecoupe l'espace et le temps en un nombre fini de morceaux, et l'on consid\`ere \`a titre d'approximation que
    chacune des fonctions cherch\'ees, la pression $P(x, y, z, t)$ par exemple, a une valeur uniforme \`a l'int\'erieur
    de chaque morceau.


{\tiny Dans les mod\`eles num\'eriques utilis\'es par les
m\'et\'eorologues ou les climatologues, l'atmosph\`ere est
 d\'ecoup\'ee en morceaux, ou cellules, et l'on consid\`ere que dans chaque cellule les grandeurs m\'et\'eorologiques
 (pression, vitesse du vent, temp\'erature, humidit\'e, etc.) ont des valeurs uniformes. On obtient ainsi des \'equations
  simplifi\'ees o\`u le nombre d'inconnues est fini, que l'on r\'esout ensuite num\'eriquement.

\includegraphics*[angle=270, scale=0.35]{math020.ps}

(Clich\'e L. Fairhead LMD/UPMC/CNRS)

}

De cette mani\`ere, on ram\`ene le nombre d'inconnues du
probl\`eme (les valeurs des fonctions) \`a un nombre fini.
 Les d\'eriv\'ees sont alors approxim\'ees par des diff\'erences; par exemple, si l'on d\'ecoupe l'axe des $x$ en morceaux
  d'\'egale longueur $\Delta x$, la d\'eriv\'ee par rapport \`a $x$ d'une fonction $f$ au point $x_0$ peut \^etre
   approxim\'ee par le rapport
$[f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)]/\Delta x$.
 En proc\'edant ainsi, on transforme le syst\`eme d'\'equations diff\'erentielles initial en un syst\`eme d'\'equations
  alg\'ebriques \`a $N$ inconnues (o\`u $N$ est tr\`es grand).

La r\'esolution de ce nouveau syst\`eme,  bien que plus simple,
demande \'enorm\'ement de calculs num\'eriques. Et plus on
d\'ecoupe finement l'espace et le temps (pour se rapprocher des
\'equations originelles, o\`u les fonctions varient {\it a priori}
contin\^ument lorsque leurs variables changent), plus les calculs
sont volumineux. C'est pourquoi les mod\`eles de pr\'evision
num\'erique du temps n'ont fait leur apparition que dans les
ann\'ees 1940, avec l'invention des ordinateurs.

C'est aussi pourquoi les pr\'evisions m\'et\'eorologiques se sont
am\'elior\'ees parall\`element \`a l'augmentation de
 puissance des ordinateurs.

Mais les ordinateurs ne font pas tout. Par exemple, ils ne
garantissent pas que la solution du syst\`eme discr\'etis\'e
ressemble \`a la vraie solution,
 celle du syst\`eme initial d'\'equations aux d\'eriv\'ees partielles. Il y a plusieurs fa\c cons de discr\'etiser des
  \'equations, et les r\'esultats obtenus n'ont parfois rien \`a voir avec la vraie solution, m\^eme si l'on d\'ecoupe
   l'espace et le temps en morceaux de plus en plus petits. Obtenir des r\'esultats justes n'est pas ais\'e.
    La mod\'elisation num\'erique est tout un art, o\`u joue l'exp\'erience des uns et des autres. Mais elle se
    perfectionne

}

\end{multicols}




 20


\begin{multicols}{2}



{\Small


\noindent avec les ann\'ees: une discipline math\'ematique
enti\`ere, l'analyse num\'erique, consiste \`a trouver des
proc\'ed\'es num\'eriques efficaces, \`a \'evaluer rigoureusement
leur efficacit\'e, \`a rechercher des th\'eor\`emes et des
crit\`eres pr\'ecis permettant de dire si telle ou telle m\'ethode
num\'erique appliqu\'ee \`a tel ou tel syst\`eme d'\'equations
convergera vers une solution, \`a quel rythme, et si cette
solution sera bien celle esp\'er\'ee.

Les "conditions initiales", c'est-\`a-dire le temps qu'il fait \`a
l'instant 0, repr\'esentent une autre difficult\'e.
 Il faut les connaître compl\`etement pour que les \'equations d\'eterminent le temps qu'il fera \`a un instant futur
  $t$.
  Il faudrait pour cela mesurer la pression atmosph\'erique, la temp\'erature, la vitesse du vent, etc. en chaque point
   de la Terre, et ce au m\^eme moment. C'est \'evidemment impossible, et notre connaissance des conditions initiales
   n'est que tr\`es partielle. Comment g\'erer ce d\'eficit d'information, comment les mod\`eles doivent le prendre en
    compte, voil\`a encore une question o\`u interviennent les math\'ematiques.

\'Evoquons pour finir le ph\'enom\`ene de "chaos d\'eterministe",
que les math\'ematiciens des {\it syst\`emes dynamiques}
\'etudient de pr\`es: pour certains syst\`emes, m\^eme simples,
l'\'evolution est extr\^emement sensible \`a l'\'etat
 initial. En d'autres termes, en changeant tr\`es l\'eg\`erement l'\'etat initial, l'\'etat futur peut \^etre
 profond\'ement modifi\'e.
L'\'etat initial n'\'etant jamais connu avec une pr\'ecision
parfaite, la mod\'elisation num\'erique d'un tel syst\`eme
 "chaotique" fournirait \`a terme un r\'esultat d\'epourvu de signification; en changeant l\'eg\`erement les donn\'ees
  du programme de calcul, on obtiendrait un r\'esultat totalement autre. Sachant que certains m\'ecanismes
   m\'et\'eorologiques ou climatiques sont chaotiques, les experts pensent que "on ne pourra jamais pr\'evoir le temps
    avec pr\'ecision plus d'une quinzaine de jours \`a l'avance (contre quatre ou cinq jours actuellement). Audel\`a,
     on peut tout de m\^eme esp\'erer faire des pr\'evisions climatiques, c'est-\`a-dire pr\'evoir par exemple des
      moyennes de temp\'eratures ou de pr\'ecipitations. Dur m\'etier que celui de m\'et\'eorologue ou climatologue!

\noindent\rule{8cm}{0.2mm}

{\Large\bf L'\'equation de Navier-Stokes}

\noindent\rule{8cm}{0.2mm}


L'une des principales \'equations de la m\'ecanique des fluides
est l'\'equation de Navier-Stokes, qui intervient dans l'\'etude
de la turbulence, en m\'et\'eorologie, en a\'erodynamique, etc.
\'etablie au XIXe si\`ecle, elle fait encore
 l'objet de nombreuses \'etudes math\'ematiques, pour d\'eterminer par exemple dans quelles conditions sa solution existe
  et est unique. Cette \'equation traduit localement, en chaque point d'un fluide en mouvement, la loi fondamentale de la
   dynamique (force = masse x acc\'el\'eration), dans l'approximation o\`u le fluide est incompressible. En l'absence de
    forces ext\'erieures, et \`a deux dimensions pour simplifier, l'\'equation de Navier-Stokes constitue un syst\`eme
     de trois \'equations aux d\'eriv\'ees partielles liant la vitesse et la pression. Celles-ci s'\'ecrivent:
  }%end Small
  {\Small
$$ \rho \dfrac{\partial v_x}{\partial t} + \rho\left(v_x
\dfrac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \dfrac{\partial
v_x}{\partial y}\right) =
  - \dfrac{\partial P}{\partial x} + \alpha\left(\dfrac{\partial^2 v_x}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 v_x}{\partial y^2}\right)
$$ $$ \rho \dfrac{\partial v_y}{\partial t} + \rho\left(v_x
\dfrac{\partial v_y}{\partial x} + v_y \dfrac{\partial
v_y}{\partial y}\right) =
  - \dfrac{\partial P}{\partial y} + \alpha\left(\dfrac{\partial^2 v_y}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2 v_y}{\partial y^2}\right)
$$ $$ \dfrac{\partial v_x}{\partial x} + \dfrac{\partial
v_y}{\partial y} = 0 $$ } %end Small?
{\Small
 o\`u $\rho$ est la densit\'e du fluide, $\alpha$ un coefficient de viscosit\'e, $P(x,y,t)$ la pression au point $(x,y)$
  et \`a l'instant $t$, $v_x(x, y,t)$ et $v_y(x,y,t)$ les composantes selon $Ox$ et $Oy$ respectivement du vecteur vitesse
   du fluide au point $(x,y)$ et \`a l'instant $t$ (la "d\'eriv\'ee partielle" d'une fonction
 $f(x, y,t)$ par rapport \`a $x$, not\'ee
$\partial f/\partial x$, est la d\'eriv\'ee de $f$
 par rapport \`a
$x$ en consid\'erant les autres variables comme fixes).
} %end Small?
{\Small
 A l'\'equation de Navier-Stokes, que l'on ne sait r\'esoudre que num\'eriquement, on doit adjoindre des "conditions
  initiales" ou des "conditions aux limites" sur les fonctions inconnues pour que le probl\`eme soit math\'ematiquement
   bien pos\'e.

}

\noindent\rule{8cm}{0.2mm}

\end{multicols}





 21




\begin{multicols}{2}


\includegraphics*[angle=270, scale=0.25]{math022.ps}


{\Small



Dans l'industrie automobile les simulations sur .ordinateur
remplacent de plus en plus souvent les exp\'eriences r\'eelles.
 Pour cela les ing\'enieurs d\'eveloppent des mod\`eles virtuels de voiture d\'ecrits par des \'equations dont la
  r\'esolution n\'ecessite des m\'ethodes math\'ematiques avanc\'ees et des ordinateurs performants. On peut ainsi tester
   le comportement des v\'ehicules au moindre co\^ut.

{\Large\it Z\'ero dommage!}


SIMULATIONS: DU R\'EEL AU VIRTUEL

 Le prototype virtuel d'une voiture demande la conception
 d'un mod\`ele math\'ematique global int\'egrant les caract\'eristiques du v\'ehicule, mais ams; ses interadions avec
  la route, avec l'air, la description d'\'eventuels obstacles, etc. Il en r\'esulte un syst\`eme d'\'equaoons qui, apr\`es
   discr\'etisation, est r\'esolu sur ordinateur avec des m\'ethodes num\'eriques.
La complexit\'e de ces mod\`eles conduit \`a des calculs tr\`es
volumineux qui n\'ecessitent des ordinateurs fortement
 parall\`eles.

\begin{flushright}

{\bf Pour aller plus loin:}

 Site Intemet du National Crash Analysis Center, aux \'etats-Unis:
http://www.ncac.gwu.edu/research/BioMech/index.html
 Site Internet du laboratoire de biom\'ecanique des chocs \`a l'ENSAM de Paris:
http://www.paris.ensam.fr/web/lbm/1215233.html A. Iserles, {\sl A
first course in the numerical analysis of differential equations},
Cambridge University Press. 1996.

\end{flushright}
}
\end{multicols}






 22


{\Large\bf Quand les maths encaissent le choc}

Simuler num\'eriquement le choc d'un accident de voiture et les
dommages corporels qui s'ensuivent: une d\'emarche de plus en plus
utilis\'ee par /'industrie automobile pour am\'eliorer la
s\'ecurit\'e des v\'ehicules.



\begin{multicols}{2}



{\Small

En Europe, les routes tuent plus de 50 000 personnes par an et en
blessent plus de 1,5 million. Ces chiffres sont terribles, et
pourtant le nombre de d\'ec\`es est environ 2,5 fois moins
\'elev\'e qu'il y a vingt ans, alors que le trafic automobile a
dans le m\^eme temps beaucoup augment\'e. L'am\'elioration de la
situation r\'esulte en partie des progr\`es r\'ealis\'es dans la
conception des v\'ehicules. Les fabricants s'efforcent d'optimiser
l'architecture de l'habitacle, les accessoires (ceintures de
s\'ecurit\'e, "airbags"), les mat\'eriaux, etc., de mani\`ere \`a
assurer une meilleure s\'ecurit\'e pour les occupants. C'est ainsi
que, par exemple, la partie avant des v\'ehicules actuels se
d\'eforme relativement facilement lors d'un choc, de sorte qu'une
bonne partie de l'\'energie du choc se dissipe dans les structures
d\'eform\'ees avant d'atteindre les passagers.

L'optimisation de la s\'ecurit\'e dans une voiture suppose au
pr\'ealable une \'etude approfondie de ce qui se passe pendant les
quelques millisecondes que dure un choc: comment r\'eagissent les
structures du v\'ehicule, quels mouvements les passagers
subissent, sur quelles parties du corps
 s'exercent les contraintes m\'ecaniques, quelles
sont les cons\'equences sur les diff\'erents organes et tissus
anatomiques. Une telle \'etude est le plus souvent effectu\'ee au
moyen d'exp\'eriences r\'eelles, o\`u l'on remplace les passagers
en chair et en os par des mannequins appropri\'es et \'equip\'es
de capteurs. Le probl\`eme, c'est que non seulement de tels essais
sont longs et co\^uteux, mais aussi qu'il est extr\^emement
difficile de r\'ealiser des mannequins reproduisant de fa\c con
satisfaisante les caract\'eristiques biom\'ecaniques du corps
humain. Notamment, les mannequins actuels sont acceptables au
niveau de la t\^e te, du cou et du thorax, mais ils laissent \`a
d\'esirer pour ce qui est des membres, des articulations, ou des
r\'eactions musculaires.

Une autre m\'ethode, employ\'ee depuis plusieurs ann\'ees et qui
tend \`a se r\'epandre, consiste \`a simuler num\'eriquement le
choc et ses cons\'e~ quences. Cela signifie calculer instant par
instant ce qui arrive au v\'ehicule et \`a ses occupants, \`a
partir d'un mod\`ele math\'ematique d\'ecrivant le syst\`eme. Dans
la phase de mod\'elisation elle-m\^eme, on \'etablit les lois
physiques auxquelles ob\'eissent toutes les structures en jeu (par
exemple les lois qui
 d\'ecrivent comment se d\'eforme un mat\'eriau donn\'e en fonction des contraintes m\'ecaniques
 auxquelles il est soumis), de m\^eme que l'on sp\'ecifie la g\'eom\'etrie des divers \'el\'ements et leurs
 param\`etres physiques (par exemple la forme et la
 densit\'e des diff\'erents tissus et organes internes,
la rigidit\'e des os, leur seuil de fracture, la plasticit\'e et
l'\'elasticit\'e du rembourrage des fauteuils,
 etc,). Cette phase est complexe et n\'ecessite la
prise en compte de donn\'ees \`a la fois g\'eom\'etriques,
physiques, biologiques et m\'edicales. Dans l'\'etat actuel, on se
limite souvent \`a la mod\'elisation non du syst\`eme entier
v\'ehicule + occupants, mais seulement d'une partie, comme la
 t\^ete du conducteur soumise \`a un choc d'intensit\'e  et de direction bien pr\'ecises.




Math\'ematiques dans la vie quotidienne 23





La mod\'elisation aboutit \`a un certain ensemble d'\'equations
qui d\'ecrivent, au moins approximativement, l'\'evolution du
syst\`eme \'etudi\'e dans le temps et dans l'espace. Pour
connaître celle-ci, il faut r\'esoudre les \'equations. Il s'agit
en g\'en\'eral d'\'equations aux d\'eriv\'ees partielles,
c'est\`a-dire des \'equations diff\'erentielles portant sur des
fonctions d\'ependant de plusieurs variables (un exemple
d'\'equation aux d\'eriv\'ees partielles est $\partial f/\partial
x +f \partial f/\partial y = 0$, o\`u $f$ est une fonction - {\it
a priori}
 inconnue - de $x$ et $y$, ($\partial f/\partial x$ sa d\'eriv\'ee par rapport \`a $x$ et  $\partial f/\partial y$
 sa d\'eriv\'ee par rapport \`a $y$).

On ne sait pas trouver des solutions analytiques - c'est-\`a-dire
des expressions math\'ematiques explicites et compactes - \`a une
\'equation aux d\'eriv\'ees partielles, sauf dans des cas tr\`es
simples. On ne sait que calculer num\'eriquementet par ordinateur
- une solution approximative. Le moyen le plus puissant pour une
telle r\'esolution num\'erique s'appelle la "m\'ethode des
\'el\'ements finis" (voir l'encadr\'e). Elle est assez complexe,
dans ses aspects th\'eoriques comme dans ses aspects pratiques;
les concepts sous-jacents appartiennent \`a l'analyse
fonctionnelle (branche des math\'ematiques
 n\'ee au XIX${}^{\text{e}}$ si\`ecle, qui \'etudie les espaces dont les "points" sont des fonctions), C'est en tout cas gr\^ace \`a elle que les concepteurs des voitures peuvent simuler le comportement des structures d'un v\'ehicule ou les traumatismes de ses passagers en cas d'accident, simulations qui aident aussi \`a tester de nouvelles id\'ees pour prot\'eger la sant\'e des automobilistes.

\includegraphics*[angle=0, scale=0.35]{math024.ps}


Illustrations; National Crash Analysis Center of The George
Washinglon University, E.U., Mercedes-BenzetAutoliv Inc. 2000.

} % end Small

\end{multicols}

J!athimatiquesd4n.sla viequlJtidicmv' 24


\newpage

\noindent\rule{16cm}{0.2mm}

\noindent\begin{center} {\bf\large La m\'ethode des \'el\'ements
finis}\end{center}

\noindent\rule{16cm}{0.2mm}


Supposons que l'on veuille r\'esoudre une certaine \'equation aux
d\'eriv\'ees partielles portant sur une fonction $f(x,y)$ de deux
variables, cette \'equation \'etant valable dans un certain
domaine $D$ du plan. Tr\`es sch\'ematiquement, le principe de la
m\'ethode des \'el\'ements finis se traduit par deux principales
op\'erations:

1) On d\'ecompose le domaine $D$ en un grand nombre $N$ de petits
\'el\'ements de forme g\'eom\'etrique simple, en g\'en\'erai des
triangles (dans cette op\'eration, le bord de $D$ n'est reproduit
que de mani\`ere approximative, sauf si
 $D$ est polygonal). Si $D$ \'etait un volume, on pourrait utiliser comme \'el\'ements des t\'etra\`edres ou des
penta\`edres par exemple.

2) On consid\`ere qu'\`a l'int\'erieur de chacun de ces
\'el\'ements. la fonction recherch\'ee est approxim\'ee par une
expression polynomiale en $x$ et $y$. Par exemple, dans un
\'el\'ement donn\'e, disons l'\'el\'ement n${}^\circ i$, on
consid\`ere que $f$ est approximativement \'egale \`a $P_i(x,y) =
a_i + b_i x + c_i y$, o\`u $a_i$, $b_i$ et $c_i$ sont des
constantes \`a d\'eterminer (qui diff\`erent {\it a priori} d'un
\'el\'ement \`a un autre).

Ainsi, au lieu de chercher les valeurs de $f$ en tout point
$(x,y)$, le probl\`eme devient celui de chercher les valeurs des
coefficients $a_i$, $b_i$ et $c_i$ pour $i = 1, 2, \dotsc, N$. Ces
coefficients ob\'eissent \`a des contraintes:

a) la fonction $f$ doit \^etre suffisamment r\'eguli\`ere, ce qui
impose que sur le segment commun \`a deux \'el\'ements adjacents
$i$ et $j$, les valeurs des fonctions $P_i$ et $P_j$ co\"\i
ncident;

b) la fonction $f$ doit ob\'eir \`a l'\'equation aux d\'eriv\'ees
partielles donn\'ee au d\'epart (plus pr\'ecis\'ement, pour
pouvoir admettre des fonctions $f$ d\'efinies par morceaux, cette
\'equation n'est pas suppos\'ee satisfaite strictement mais
seulement en un certain sens dit "faible", qui permet de la
transformer et d'obtenir une formulation plus commode pour la
r\'esolution) ;

c) la fonction $f$ doit v\'erifier une certaine "condition aux
bords" faisant partie de l'\'enonc\'e du probl\`eme, par exemple
la condition $f(x,y) = 0$ pour tous les points situ\'es sur la
fronti\`ere de $D$.

En \'ecrivant explicitement ces trois contraintes en termes des
polynômes $P_i$, on obtient un syst\`eme d'\'equations
alg\'ebriques dont les inconnues sont les $a_i$, $b_i$ et $c_i$.
Des techniques classiques de l'analyse num\'erique prennent alors
le relais pour r\'esoudre ces \'equations et trouver les valeurs
des $a_i$, $b_i$ et $c_i$.

Par ailleurs, pour am\'eliorer l'approximation de $f$ d\'efinie
par les polynômes $P_i$, on peut r\'ep\'eter la proc\'edure
 en d\'ecomposant le domaine $D$ en \'el\'ements encore plus petits et plus nombreux. ou en utilisant des polyn\^omes $P_i$ de
degr\'e plus \'elev\'e.

\noindent\rule{16cm}{0.2mm}

25








\chapter{\'Equations elliptiques, formulations variationnelles.}
\renewcommand{\mylmark}{Ellipt. -- Variationnel.}
\thispagestyle{fancy}

\section{\'Equations elliptiques et probl\`emes aux limites.}

\subsection{Solution donn\'ee sur une fronti\`ere} \    \\

Nous venons de voir dans un exercice que les solutions de
$c^2 \partial^2 u/\partial x^2 -    \partial^2 u/\partial t^2 =0$
se repr\'esentent comme fonctions de $x-ct$ et $x+ct$.

Plus g\'en\'eralement, l'\'equation \eqref{ord2lin} \`a coefficients
constants, c'est-\`a-dire
\begin{equation} \label{ord2cons}
 \alpha \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}
   +\beta \dfrac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}
   + \gamma \dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\delta =0,
\end{equation}
avec $\alpha$, $\beta$ et
$\gamma$ constants, et $\delta=0$, admet des solutions
$\varphi(\mathsf{A} x + \mathsf{B} y) \Rightarrow
 r=\mathsf{A}^2 \varphi'',
 s=\mathsf{AB} \varphi'',
 t=\mathsf{B}^2 \varphi''$,
si le trin\^ome
$$ \alpha \mathsf{A}^2 + \beta \mathsf{AB} +\gamma \mathsf{B}^2 =0 $$
a des racines r\'eelles, ce qui n'est \emph{pas} le cas pour des
\'equations elliptiques. On ne peut donc alors repr\'esenter des
valeurs de la solution par transport, ou propagation, le long de
caract\'eristiques.

\bigskip

\emph{\textbf{Cependant}, la constance du signe de
$ \alpha \mathsf{A}^2 + \beta \mathsf{AB} +\gamma \mathsf{B}^2  $
dans le cas des \'equations elliptiques permet de justifier un autre
type de conditions aux limites}.

\medskip

En effet, il est alors possible de d\'eterminer la solution $u$ de
\eqref{ord2cons} dans un domaine born\'e $\Omega$ de $\mathbb{R}^2$
\`a partir des valeurs de $u$ sur la courbe ferm\'ee
$\partial\Omega$ qui sert de fronti\`ere \`a $\Omega$.

\smallskip

Sans prouver ce fait (qui est tout un chapitre des math\'ematiques, et
que nous ne ferons qu'effleurer), montrons quand m\^eme l'unicit\'e
de la solution: si $u_1$ et $u_2$ sont solutions de \eqref{ord2cons}
en prenant les m\^emes valeurs sur $\partial\Omega$,
$v:= u_2-u_1$ v\'erifie donc
$$ \alpha \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}
   +\beta \dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}
   + \gamma \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}  =0,$$
($\alpha$, $\beta$, $\gamma$ et $\delta$ \'etant toujours suppos\'es
constants). Multiplions par $v$ et int\'egrons sur $\Omega$:
$$ \int_\Omega v\left[\alpha \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}
   +\beta \dfrac{\partial^2 v}{\partial x \partial y}
   + \gamma \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right] dxdy  =0.$$

Int\'egrons par parties selon $x$ et/ou $y$:

\begin{equation*} \begin{split}
 \alpha \int_{\partial\Omega} \pm v \dfrac{\partial v}{\partial x}\,dy
  &- \alpha \int_\Omega \left( \dfrac{\partial v}{\partial x}\right)^2
     dxdy   \\
 +\dfrac{\beta}{2} \int_{\partial\Omega} \pm v
             \dfrac{\partial v}{\partial y}\,dy
  &- \dfrac{\beta}{2} \int_\Omega  \dfrac{\partial v}{\partial x}
                  \dfrac{\partial v}{\partial y}\,dxdy   \\
 +\dfrac{\beta}{2} \int_{\partial\Omega} \pm v
             \dfrac{\partial v}{\partial x}\,dx
  &- \dfrac{\beta}{2} \int_\Omega  \dfrac{\partial v}{\partial y}
                  \dfrac{\partial v}{\partial x}\,dxdy   \\
 +\gamma \int_{\partial\Omega} \pm v \dfrac{\partial v}{\partial y}\,dx
  &- \gamma \int_\Omega \left( \dfrac{\partial v}{\partial y}\right)^2
     dxdy   =0.
\end{split}\end{equation*}

Comme $v=0$ sur $\partial\Omega$, il reste bien un trin\^ome
$$ -\int_\Omega [\alpha \mathsf{A}^2 +
 \beta \mathsf{AB} +\gamma \mathsf{B}^2]dxdy =0, $$
ce qui n'est possible que si $\mathsf{A}=\partial v/\partial x$ et
                             $\mathsf{B}=\partial v/\partial y$
sont nuls dans tout $\Omega \Rightarrow v=$ constante $\Rightarrow
v=0$ puisque $v=0$ sur la fronti\`ere de $\Omega$.

\medskip

{\Small \emph{\textbf{Un exemple de d\'etermination (Poisson).}} Soit $\Omega =$ le
 disque $x^2+y^2 <1$. On cherche $u$ harmonique (c'est-\`a-dire $\partial^2 u/\partial x^2
  + \partial^2 u/\partial y^2 =0$) \`a partir de ses valeurs
   $\mathfrak{u}(\varphi)$ sur la
  fronti\`ere. Solution: $\displaystyle{  u(r,\theta) = \sum_{k=-\infty}^\infty
   c_k r^{|k|} e^{ik\theta}  }$, o\`u $\displaystyle{
    \mathfrak{u}(\varphi) = \sum_{k=-\infty}^\infty
    c_k e^{ik\varphi} }$ est la s\'erie de \emph{\textbf{Fourier}} de
     $\mathfrak{u}$.

   Comme chaque coefficient de Fourier $c_k$ est une int\'egrale
    $\displaystyle{ c_k = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}
          \mathfrak{u}(\varphi) e^{-ik\varphi}\,d\varphi }$,
  on a la repr\'esentation int\'egrale
  $$  u(r,\theta) = \dfrac{1}{2\pi}\, \int_0^{2\pi} \mathfrak{u}(\varphi)
        \dfrac{1-r^2}{ 1-2r\cos(\theta-\varphi) +r^2}\;d\varphi\;,
          \qquad r<1, $$
   qui montre comment les valeurs int\'erieures de $u$ d\'ependent d'une int\'egrale
   impliquant les valeurs sur la fronti\`ere.
  }

\subsection{Formulations variationnelles: introduction} \   \\

En nous effor\c cant de trouver une solution du probl\`eme
fonctionnel $F(u)=0$,
nous sommes pass\'es d'une formulation \emph{\textbf{ponctuelle}},
o\`u $F$ est une application d\'efinie sur un espace de fonctions
suffisamment contin\^ument d\'erivables,
 dite encore
                           formulation \emph{\textbf{classique}},
\`a une
                           formulation \emph{\textbf{variationnelle}},
o\`u on appr\'ecie des relations entre fonctions \`a travers des
int\'egrales. Ainsi, on cherchera par exemple \`a \'etablir
$\int_\Omega (F(u))^2\, dxdy=0$, d'o\`u on tirera $F(u) =0$ presque
partout. Il faudra donc aussi s'attendre \`a rencontrer des espaces
de fonctions comme $L^1$ et $L^2$ plut\^ot que $\mathscr{C}^1$,
$\mathscr{C}^2$, etc.


\medskip

Supposons disposer d'une approximation (nous sommes en analyse num\'erique, tout de
m\^eme) $\tilde{u}$ de $u$. Cherchons une correction $\tilde{u} +w$.
Prenons le cas o\`u $F$ est lin\'eaire, en fait affine:

 $$  F(u) = F_0 + F_1 u, $$

et \'evaluons l'int\'egrale du carr\'e de $F(\tilde{u}+w)$:

$$ \int_\Omega [F(\tilde{u}+w)]^2 dxdy =
 \int_\Omega [F(\tilde{u})]^2 dxdy
+2 \int_\Omega F(\tilde{u})\,v\, dxdy + \int_\Omega v^2\, dxdy, $$

o\`u $v=F_1 w$. On voit que la meilleure fonction $v$ \emph{\textbf{minimise}}

$$ J(v) = 2 \int_\Omega F(\tilde{u}) v  dxdy + \int_\Omega v^2
dxdy. $$

\bigskip

On appelle \emph{\textbf{calcul des variations}} l'art de minimiser
ou de maximiser une forme, g\'en\'eralement une int\'egrale, sur
un espace de fonctions, avec ou sans contrainte.

\smallskip

Probl\`eme le plus c\'el\`ebre: trouver la courbe ferm\'ee de
longueur fix\'ee contenant le domaine d'aire maximale (probl\`eme de
Didon [fondation de Carthage]).  \index{variations, calcul des}

\parpic{
%\begin{minipage}[t]{4cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(4,3)
 \put(2,0){\vector(0,1){3}} \put(2.1,2.9){$y$}
 \put(0,0.5){\vector(1,0){4}} \put(3.7,0.51){$x$}
 \put(0.5,0.5){\circle*{0.2}}    \put(0.35,0.2){$-a$}
 \put(3.5,0.5){\circle*{0.2}}    \put(3.45,0.2){$a$}
 \put(2.8,2){$u(x)$}
 \thicklines
 \spline(0.5,0.5)(1,2)(2,2.5)(3,1)(3.5,0.5)
\end{picture}
}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{11cm}
%\ \\
Faisons semblant de ne pas conna\^\i tre la solution du probl\`eme
et adoptons la version suivante: parmi les arcs de courbe passant
par deux points fix\'es, d'\'equation $y=u(x)$, avec $u(-a)=
u(a) =0$, de longueur $\displaystyle{ L = \int_{-a}^a
\sqrt{1+u'{}^2(x)}\,dx }$ fix\'ee, trouver l'arc enfermant une aire
$\displaystyle{ s=\int_{-a}^a u(x)\,dx }$ maximale
%\end{minipage}
%\noindent
 $\iff$ minimiser
$L= L(u)$ pour $s$ fix\'e.

Perturbons $u$ par une fonction de faible amplitude que l'on
baptise $\varepsilon v$, et d\'eveloppons $L(u+\varepsilon v)$
jusqu'au premier ordre en Taylor:
$$ L(u+\varepsilon v) =
 \int_{-a}^a
\sqrt{1+(u'+\varepsilon v')^2(x)}\,dx =
 L(u) + \varepsilon \int_{-a}^a \dfrac{u'(x) v'(x)}
            {\sqrt{1+u'{}^2(x)}\,dx } +O(\varepsilon^2).
$$
Le coefficient de $\varepsilon$ (\emph{\textbf{variation
premi\`ere}}) doit \^etre nul (pour toute fonction $v$ v\'erifiant
$v(-a) = v(a)= 0$ et $\int_{-a}^a v(x)\,dx=0$), sinon $L$ ne serait pas
extr\'emal en $u$. Apr\`es int\'egration par parties, on trouve
$\displaystyle{  \int_{-a}^a \left(\dfrac{u'(x) }
            {\sqrt{1+u'{}^2(x)}}\right)' v(x)\,dx =0}$, ce qui sera
r\'ealis\'e si $[u'/\sqrt{1+u'{}^2}]'$ est une constante $\lambda$.

On finit par trouver, bien s\^ur, un arc de cercle
$u(x) =$ const. $\sqrt{1-\lambda^2 x^2} + $ const.

\medskip

On est donc pass\'e ici d'une formulation variationnelle \`a une
formulation classique.

\smallskip

{\Small \emph{\textbf{Exercice.}} Si $J(u)= \displaystyle{
  \int_a^b F(u,u',x)\,dx }$, la variation premi\`ere de $J$ est
$\displaystyle{  \int_a^b \left[ \dfrac{\partial F}{\partial u}
   -\left(\dfrac{\partial F}{\partial u'}\right)' \right] v\, dx
  +\left[ \dfrac{\partial F}{\partial u'}\, v\right]_a^b  }$
(Euler).
}


\medskip

Le passage par une formulation variationnelle, sous forme de
de minimisation ou de maximisation, donne l'impression que le
probl\`eme de l'existence est naturellement et spontan\'ement
r\'esolu (point de vue de Riemann), comme le penseront (presque)
tous les physiciens et ing\'enieurs. Ce n'est pas (toujours) faux,
\`a condition de recourir aux espaces de fonctions convenables
(espaces de Hilbert)\dots

\smallskip

{\Small En th\'eorie des surfaces minimales, surfaces d'aire minimum
s'appuyant sur une (des) courbe(s) gauche(s) donn\'ee(s)
(\emph{\textbf{probl\`eme de Plateau}}), le probl\`eme
d'existence est parfois \emph{\textbf{tr\`es}} difficile\footnote{Cf.
R.~Courant: \textsl{Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and
Minimal Surfaces}, Interscience, New York, 1950,
E. Giusti: \textsl{Minimal Surfaces and Functions of Bounded Variation},
 Birkhauser 1984;  F. Morgan: \textsl{Geometric Measure Theory : A
 beginner's guide}, 2d ed. Academic Press. 1995;
Dierkes, Hildebrandt, Kuster, Wohlrab: \textsl{Minimal Surfaces I and II},
Springer-Verlag. 1992. Remerciements \`a J.~Meinguet et Th. De~Pauw.}.

}

\subsection{M\'ethode num\'erique associ\'ee \`a une formulation
variationnelle} \   \\

En tout cas, si le probl\`eme est de minimiser une forme
$J(u)$, on imagine imm\'ediatement la m\'ethode num\'erique de
r\'esolution approch\'ee consistant \`a minimiser $J(u_h)$ sur
$u_h \in$ un espace de dimension \emph{\textbf{finie}}. On aboutira
alors \`a un nombre \emph{\textbf{fini}} d'\'equations pour les
coefficients d\'ecrivant la solution approch\'ee.

\smallskip

Par exemple, prenons une version simplifi\'ee du probl\`eme abord\'e
plus haut: minimiser \\
$\displaystyle{J(u)= \int_{-a}^a u'{}^2(x)\,dx }$
sous contraintes $u(-a) = u(a)=0$ et
                     $\displaystyle{\int_{-a}^a u(x)\,dx =s}$.

\parpic{
%\begin{minipage}[t]{4.1cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(4,2)
 \put(0,0){\vector(1,0){4}} \put(3.8,0.1){$x$}
 \put(2,0){\vector(0,1){1.75}} \put(2.2,1.7){$u$}
 \dashline{0.25}(1,0)(1,0.5)
 \dashline{0.25}(1.5,0)(1.5,1.5)
 \dashline{0.25}(2,0)(2,0.25)
 \dashline{0.25}(2.5,0)(2.5,0.75)
 \dashline{0.25}(3,0)(3,0.5)
 \thicklines
 \drawline(0.5,0)(1,0.5)(1.5,1.5)(2,0.25)(2.5,0.75)(3,0.5)(3.5,0)
 \thinlines
 \put(0.5,0){\circle*{0.2}}
 \put(3.5,0){\circle*{0.2}}
\end{picture}
}
%\ \\
%\end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{12cm}
%\ \\
\noindent Prenons d'abord des fonctions lin\'eaires par morceaux. Une telle
fonction est enti\`erement d\'etermin\'ee par ses ordonn\'ees
$ u_k = u_h(-a+kh)$, $k=1,\dotsc, N-1$ (o\`u $h=(2a/N)$).

\noindent Nous devons minimiser $\displaystyle{hJ(u_h) = \sum_{k=0}^{N-1}
(u_{k+1}-u_k)^2 }$ (o\`u $u_0 = u_N=$
%\end{minipage}
 $0$) sous la contrainte
$h\sum_1^{N-1} u_k=s$, ce qui donne les \'equations
 $$ 2(u_k-u_{k-1}) -2(u_{k+1}-u_k) = -2u_{k-1} +4u_k -2u_{k+1} =
  \lambda,\qquad  k=1,\dotsc,N-1$$
syst\`eme tridiagonal ais\'ement soluble. C'\'etait notre exemple le
plus simple de r\'esolution approch\'ee par \emph{\textbf{\'el\'ements
finis}}.

\medskip

Un tout autre choix d'approximation est la somme de Fourier
$\displaystyle{ u_h(x) = \sum_{k=1}^N c_k \sin\dfrac{k\pi(x+a)}{2a} }$
(exemple d'approximation \emph{\textbf{pseudo-spectrale}}). On trouve
$J(u_h) = \sum_1^N k^2\pi^2 c_k^2/(4a)$ et la contrainte
$\displaystyle{  \dfrac{4a}{\pi} \sum_{\substack{k=1\\k \text{ impair}}}^N
  \dfrac{c_k}{k} = s }$.
On trouve $c_k =$ const.$/k^3$, $k=1,3,5,\dotsc$

\subsection{Espaces de fonctions contin\^ument d\'erivables par
morceaux} \   \\

Abordons plus rigoureusement la suite de la discussion en pr\'ecisant
de premiers espaces de fonctions.

\smallskip

Soit $\Omega$ un  ouvert (non vide) de $\mathbb{R}^n$,
$\mathscr{C}^m(\Omega)$ est l'espace des fonctions (r\'eelles) poss\'edant
des d\'eriv\'ees continues au moins jusque l'ordre $m$ ($\mathscr{C}^0(\Omega)$
est l'espace des fonctions continues) dans $\Omega$. Pour des fonctions de
plusieurs variables, cela implique\footnote{Th\'eorie de Young
et Schwarz.} que la valeur d'une d\'eriv\'ee partielle ne
d\'epend pas de l'ordre des d\'erivations. Une d\'eriv\'ee
partielle se note
 $$  D^s f(x) = \dfrac{\partial^{|s|}}{\partial x_1^{s_1} \dotsb
 \partial x_n^{s_n}} f(x_1,\dotsc, x_n),
 $$
o\`u $s$ est un $n-$uple d'entiers $\geqslant 0$, de somme
$|s| = s_1+\dotsb +s_n \leqslant m$.

\smallskip

Donc, $D^r( D^s f) = D^{r+s}f$, tant que $|r+s|\leqslant m$.
Une fonction de $n$ variables poss\`ede $n^{|s|}$ d\'eriv\'ees
partielles d'ordre $|s|$, dont seules
$\displaystyle{ \frac{n(n+1)\dotsc (n+|s|-1)}{|s|!} =
   \frac{[n]^{|s|}}{|s|!} =
  \frac{(n+|s|-1)!}{(n-1)! |s|!} }$ sont susceptibles d'\^etre
distinctes ($|s|-$s\'elections d'un $n-$ensemble\footnote{cf.
cours FSA/\textsf{MATH4}}, ou
combinaisons avec r\'ep\'etitions de $n$ objets pris
 $|s|$ \`a $|s|$).

\smallskip

On d\'efinit aussi la $s^{\text{\`eme}}$ puissance d'un vecteur
$h=(h_1,\dotsc, h_n)$ de $\mathbb{R}^n$ comme \'etant
 $$ h^s := h_1^{s_1} h_2^{s_2} \dotsc h_n^{s_n}, $$
et la factorielle de $s$ par $s! := s_1! s_2! \dotsc s_n!$.

  Il y a
$\displaystyle{  \frac{|s|!}{s!}}$ d\'eriv\'ees mixtes de
m\^eme valeur $D^sf$.

Cette notation multi-indicielle\footnote{introduite par H. Whitney
(1934)} permet une grande \'economie d'\'ecriture: ainsi, le
\emph{\textbf{d\'eveloppement de Taylor}} d'une fonction de classe
$\mathscr{C}^{m+1}(\Omega)$ s'\'ecrit simplement
\begin{equation}  \label{multTayl}
  f(a+h) = \sum_{|s|\leqslant m} \frac{D^s f(a)}{s!}\, h^s
          +\sum_{|s|= m+1} \frac{D^s f(a+\theta h)}{s!}\, h^s\, \quad
                 0\leqslant \theta\leqslant 1,
\end{equation}
si la boule de centre $a$ et de rayon $|h|$ est incluse dans $\Omega$.

En effet, pour $a$ et $h$ fix\'es dans $\mathbb{R}^n$, soit $g$
la fonction d'\emph{une} variable $g(t) := f(a+th)$, et consid\'erons le d\'eveloppement
de Taylor de $g$ en $t=1$:
 $$ f(a+h) = g(1) = \sum_{k=0}^m \frac{g^{(k)}(0)}{k!} +
                           \frac{g^{(m+1)}(\theta)}{(m+1)!} . $$
On montre ais\'ement\footnote{En passant de $k-1$ \`a $k$, on
obtient $n$ contributions au terme contenant $D^s f$, \`a partir des
$n$ suites $s -(0,0,\dotsc,0, 1, 0,\dotsc,0)$ de poids $k-1$, donnant
chacune lieu \`a un facteur  $(k-1)!/[ s_1! \dotsc (s_p-1)! \dotsc
 s_n!]$ pour $p=1,2,\dotsc, n$, dont la somme donne bien
$k!/|s|!$} par r\'ecurrence sur $k$ que
$\displaystyle{ g^{(k)}(t) = \sum_{|s|=k} \frac{k!}{s!}D^s f(a+th) h^s }$.
\qed

\bigskip

$\Omega$ \'etant un ouvert,
quel que soit $m$, une fonction de $\mathscr{C}^m(\Omega)$
n'a normalement aucune chance de pouvoir se prolonger \`a la fronti\`ere
de $\Omega$ (par exemple, $1/x$ est $\mathscr{C}^\infty((0,1))$).
Or, nous aurons besoin de valeurs sur la fronti\`ere pour traiter
des conditions aux limites.

Soit $\Omega$ un domaine ($=$ ouvert connexe) born\'e de $\mathbb{R}^n$,
$\overline{\Omega}$ son adh\'erence, et $\Gamma = \partial\Omega$ sa
fronti\`ere.

$\mathscr{C}^m(\overline{\Omega})$ est la partie de $\mathscr{C}^m(\Omega)$
constitu\'ee de fonctions de d\'eriv\'ees d'ordre $\leqslant m$
\emph{\textbf{born\'ees}} et \emph{\textbf{uniform\'ement continues}}
dans $\Omega$. Une telle fonction et ses d\'eriv\'ees jusqu\`a
l'ordre $m$ ont alors un et un seul prolongement continu sur
$\overline{\Omega}$ [Adams, \S~1.25-1.26].

(Par \emph{\textbf{exemple}}, avec $\Omega=(0,1)$,
  $\sqrt{x}$ est dans $\mathscr{C}^0([0,1])$, mais pas dans
                      $\mathscr{C}^1([0,1])$; \\
  $\sqrt{x}\,\sin x$ est dans $\mathscr{C}^1([0,1])$;\\
  $\sin(1/x)$  n'est dans \emph{aucune} classe $\mathscr{C}^m([0,1])$).

\smallskip

Pour pouvoir passer de  formulations classiques \`a des
formulations variationnelles, on demandera que $\Gamma$
permette l'application du  \index{divergence, th\'eor\`eme de la}
                           \index{Gauss-Green}
 th\'eor\`eme de la divergence, ou de Gauss-Green:
\begin{equation}  \label{thdiv}
    \int_\Omega \dfrac{\partial f}{\partial x_i} d\boldsymbol{x} =
   \int_\Gamma f(x)\,(\vec{n}\boldsymbol{\cdot}\vec{e}_i)\,dS\;,
  \qquad
   \int_\Omega \text{div } \boldsymbol{F}\, d\boldsymbol{x} =
   \int_\Gamma \boldsymbol{F\cdot}\vec{n}\,dS,
\end{equation}
pour $\forall f\in \mathscr{C}^1(\overline{\Omega}),
  \boldsymbol{F}\in [\mathscr{C}^1(\overline{\Omega})]^n$,
o\`u $\vec{n}$ d\'esigne le vecteur normal unitaire dirig\'e vers
\emph{l'ext\'erieur} de la fronti\`ere $\Gamma$. Il suffit que
$\Gamma$ soit lisse par morceaux, c'est-\`a-dire constitu\'ee d'un
nombre fini de parties contin\^ument diff\'erentiables
 (cf. par exemple,
T.M.~Apostol, \textsl{Calculus}, vol.II, chap. 11 et 12).

\bigskip

%\parpic{
\begin{minipage}[t]{5.2cm}
  \ \\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
  \psline{->}(0,2.5)(4.75,2.5)
 \pscurve[linewidth=0.08](0,4.3)(0.5,3.7)(1,3)
 \pscurve[linewidth=0.08](1,4)(2,3.7)(3,3)
 \psline[linewidth=0.08](3,2.5)(4.5,3.5)
  \uput[0](3,3.4){$\mathscr{C}_I^0$}
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,4.3)(0,2.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](1,4)(1,2.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](3,3)(3,2.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](4.5,3.5)(4.5,2.5)
  \psline{->}(0,0)(4.75,0)
 \pscurve[linewidth=0.08](0,2)(0.5,1)(1,0.7)
 \pscurve[linewidth=0.08](1,0.7)(2,1.7)(3,1.6)
 \pscurve[linewidth=0.08](3,1.6)(3.8,2)(4.5,2.3)
  \uput[0](3,1){$\mathscr{C}_I^1$}
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,2)(0,0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](1,0.7)(1,0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](3,1.6)(3,0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](4.5,2.3)(4.5,0)
\end{pspicture}
%}
\end{minipage}
     \begin{minipage}[t]{10.8cm}
      \ \\
\noindent \textbf{D\'efinition. Fonctions d\'erivables par morceaux.} \\
$f$ est de classe $\mathscr{C}_I^0(\overline{\Omega})$ si on peut trouver
un nombre fini d'ouverts disjoints, r\'eguliers au sens \eqref{thdiv},
$\Omega_1,\cdots, \Omega_p$ tels que
\picskip{15}
\hspace*{5cm} \begin{itemize}
  \item $\overline{\Omega} = \bigcup_{i=1}^p  \overline{\Omega_i},$
  \item la restriction de $f$ \`a $\Omega_i$ admet une extension
        continue \`a $\mathbb{R}^n$, $i=1,2,\dotsc,p$.
 \end{itemize}

               \index{morceaux, f. d\'erivables par}
\noindent
$f$ est de classe $\mathscr{C}_I^m(\overline{\Omega})$, avec
$m\geqslant 1$ si
\end{minipage}

 \begin{itemize}
  \item $f\in \mathscr{C}^{m-1}(\overline{\Omega})$;
  \item on peut trouver
un nombre fini d'ouverts disjoints, r\'eguliers au sens \eqref{thdiv},
$\Omega_1,\cdots, \Omega_p$ tels que
 \begin{itemize}
  \item $\overline{\Omega} = \bigcup_{i=1}^p  \overline{\Omega_i}$,
  \item la restriction de $f$ \`a $\Omega_i$ est de classe
                  $\mathscr{C}^m(\overline{\Omega_i})$, $i=1,2,\dotsc, p$.
     \end{itemize}
  \end{itemize}

\smallskip

Si $f\in \mathscr{C}_I^m(\overline{\Omega})$, $D^af\in
\mathscr{C}_I^{m-|a|}
(\overline{\Omega})$, si $|a|\leqslant m$.  \\
En effet, 1. dans chaque $\Omega_i$, $D^b(D^a f)=D^{a+b}f$ est continue
si $|a|+|b|\leqslant m$, donc si $|b|\leqslant m-|a|$, et se prolonge
contin\^ument jusqu'\`a la fronti\`ere de $\Omega_i$.
2. Si $m>|a|$, $D^b(D^a f)=D^{a+b}f$ est continue dans tout
$\Omega$ si $|a|+|b|\leqslant m-1 \Rightarrow |b|\leqslant
 m-|a|-1$.

\smallskip

On a $ \dotsc \subset \mathscr{C}^{m+1}(\overline{\Omega}) \subset
 \mathscr{C}_I^{m+1}(\overline{\Omega}) \subset
  \mathscr{C}^m(\overline{\Omega}) \subset
 \mathscr{C}_I^m(\overline{\Omega}) \dotsc $.

\smallskip


Enfin, les \textbf{\emph{int\'egrales sur}} $\Omega$ de fonctions
d\'efinies par morceaux s'entendent comme la somme des
int\'egrales sur les morceaux $\Omega_i$, $i=1,2,\dotsc, p$.


\smallskip

\noindent\textbf{Int\'egration par parties.} \textsl{Si
$ u\in \mathscr{C}^{|\alpha|}_I(\overline{\Omega})$, avec $\alpha_k>0$, et
$ v\in \mathscr{C}^{|\beta|+1}_I(\overline{\Omega})$,
}
\begin{equation}  \label{thdiv2}
    \int_\Omega D^\alpha u(\boldsymbol{x})\;D^\beta v(\boldsymbol{x})
     d\boldsymbol{x} =
   \int_\Gamma
       D^{\alpha-\vec{e}_k} u(\boldsymbol{x})\;D^\beta v(\boldsymbol{x})
   \,(\vec{n}\boldsymbol{\cdot}\vec{e}_k)\,dS\; -
 \int_\Omega D^{\alpha-\vec{e}_k} u(\boldsymbol{x})\;
             D^{\beta+\vec{e}_k} v(\boldsymbol{x})
     d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
On effectue une int\'egration par parties sur la seule variable $x_k$
dans chaque $\Omega_i$, o\`u $D^\alpha u$ et $D^\beta v$ sont continues:
\begin{equation*}\begin{split}
    \int_\Omega D^\alpha u(\boldsymbol{x})\;D^\beta v(\boldsymbol{x})
     d\boldsymbol{x} &=
 \sum_{i=1}^p   \int_{\Omega_i} \dfrac{\partial}{\partial x_k}
    D^{\alpha-\vec{e}_k} u(\boldsymbol{x})\;D^\beta v(\boldsymbol{x})
     dx_1\dotsc dx_{k-1} dx_{k+1}\dotsc dx_n\; dx_k \\
                     =
 \sum_{i=1}^p \left\{
  \int  D^{\alpha-\vec{e}_k} u\;D^\beta v\big|_{\partial\Omega_i} \right.
   & \left. dx_1\dotsc dx_{k-1} dx_{k+1}\dotsc dx_n
  -  \int_{\Omega_i}
    D^{\alpha-\vec{e}_k} u(\boldsymbol{x})\;
      D^{\beta+\vec{e}_k} v(\boldsymbol{x})
     d\boldsymbol{x} \right\},
\end{split}\end{equation*}
\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,4)
  \psline{->}(0,0)(4.5,0)  \uput[90](4,0){$x_k$}
  \psline{->}(0,0)(0,3)  \psline{->}(0,0)(2,2)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](1.5,1.75)(3.25,1.75)
  \psline(3.25,1.75)(4.75,1.75)
  \psline[linewidth=0.06](2.5,2)(3.5,2.5)(4,1.5)(3,1)(2.5,2)
  \uput[90](3,1){$dS$}
  \psline{->}(3.25,1.75)(4.75,2.5)  \uput[180](4.8,2.2){$\vec{n}$}
  \psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](2.5,2)(0.5,2)
  \psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](3.5,2.5)(1,2.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](4,1.5)(1,1.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](3,1)(0.5,1)
  \psline(0.5,2)(1,2.5)(1,1.5)(0.5,1)(0.5,2)
  \uput[90](1,2.5){$dx_1\dotsc dx_{k-1} dx_{k+1}\dotsc dx_n$}
\end{pspicture}
}
o\`u $\displaystyle{
   \big|_{\partial\Omega_i}  }$ d\'esigne  une somme sign\'ee
($-$ pour les points d'entr\'ee; $+$ pour les points de sortie)
de contributions sur la fronti\`ere de $\Omega_i$, pour chaque
$(x_1,\dotsc, x_{k-1}, x_{k+1},\dotsc, x_n)$ fix\'e.
En sommant sur les $\Omega_i$,
 Les contributions des fronti\`eres int\'erieures \`a
$\Omega$ se r\'eduisent par \textbf{\emph{continuit\'e}} de
$ D^{\alpha-\vec{e}_k} u$ et de $D^\beta v$ dans tout le
domaine $\Omega$.

\subsection{Traitement complet d'un probl\`eme \`a une dimension} \   \\

On partira d'un probl\`eme diff\'erentiel aux limites tr\`es
simple, et on en d\'eduira quelques formulations variationnelles.
On verra que ces formulations d\'efinissent la solution, tout aussi
bien que le probl\`eme initial.

\medskip

Le probl\`eme est de d\'eterminer $u$ telle que $-u''=f$ donn\'ee
dans $\mathscr{C}_I^0([a,b])$, avec les conditions aux limites
$u(a) = u(b)=0$. On s'attend bien s\^ur \`a ce que
 $u\in \mathscr{C}_I^2([a,b])$. Appelons $U_0$ l'espace des fonctions
continues v\'erifiant $u(a) = u(b)=0$.


\subsubsection{Formulation classique.} Donc,
\begin{equation} \label{dim1cla}
  ? u\in \mathscr{C}_I^2([a,b])\bigcap U_0 :
    -u''(x)=f(x), x\in\Omega_i, i=1,\dotsc,p
\end{equation}

Solution: $f$ n'a qu'un nombre fini de points de discontinuit\'e,
est donc int\'egrable, et
 $$   u'(x)= u'(a) -\int_a^x f(y)\,dy $$
(notons que $u'(a)$ est encore une inconnue), et
 $$  u(x) = u'(a)\, (x-a) -\int_a^x (x-y) f(y)\,dy.$$
$u'$ est bien continue, avec une d\'eriv\'ee discontinue aux points de
discontinuit\'e de $f$, donc $u'\in \mathscr{C}_I^1((a,b))$, et on a
bien $u\in \mathscr{C}_I^2((0,1))$.

Enfin, $u(b)=0 \Rightarrow
        \displaystyle{0 = u'(a) (b-a) - \int_a^b (b-y) f(y)\, dy }$,
ce qui donne $u'(a)$.

\smallskip

Remarque: on condense le r\'esultat dans une formule tr\`es
\'el\'egante
\begin{equation} \label{Greenusec}      \index{Green, fonction de}
  \hspace*{-15pt}
  u(x) = \int_a^b G(x,y) f(y)\,dy, \text{ avec }
G(x,y) = \dfrac{(x-a)(b-y)}{b-a} \text{ si } x\leqslant y;
G(x,y) = \dfrac{(y-a)(b-x)}{b-a} \text{ si } y\leqslant x.
\end{equation}
(Cas tr\`es particulier d'une \emph{\textbf{formule de Green}}), ou
encore
$$ G(x,y)= \min\left(
              \frac{(x-a)(b-y)}{b-a}\,,\, \frac{(y-a)(b-x)}{b-a}
              \right).
$$
                                  \index{variationnelle, formulation}
\subsubsection{Formulation variationnelle forte.}
\begin{equation} \label{dim1vfor}
  ? u\in \mathscr{C}_I^2([a,b])\bigcap U_0 :
    -\int_a^b u''(x) v(x)\,dx = \int_a^b f(x) v(x)\,dx,\qquad
  \forall v\in \mathscr{C}_I^0([a,b]).
\end{equation}


\subsubsection{Formulation variationnelle semi-faible.}
\begin{equation} \label{dim1vsfai}
  ? u\in \mathscr{C}_I^1([a,b])\bigcap U_0 :
    \int_a^b u'(x) v'(x)\,dx = \int_a^b f(x) v(x)\,dx,\qquad
  \forall v\in \mathscr{C}_I^1([a,b])\bigcap U_0.
\end{equation}

\subsubsection{Formulation variationnelle faible, ou distributionnelle.}
\begin{equation} \label{dim1vfai}
  ? u\in \mathscr{C}_I^0([a,b]):
    -\int_a^b u(x) v''(x)\,dx = \int_a^b f(x) v(x)\,dx,\qquad
  \forall v\in \mathscr{C}_I^2([a,b])\bigcap U_0.
\end{equation}

(Pourquoi ``distributionnelle''? Parce que l'on dit que $f = D^s g$
au sens des distributions dans $\Omega$ si
$\displaystyle{ \int_\Omega f\varphi\, d\boldsymbol{x} =
  (-1)^{|s|} \int_\Omega g D^s\varphi\, d\boldsymbol{x} }$
  pour toute fonction-test $\varphi \in \mathscr{D}'(\Omega)$.)

\bigskip

Ces quatre probl\`emes ont tous une et une seule solution, la
m\^eme dans les quatre cas!

\smallskip

\begin{enumerate}
 \item Constatons que la solution de la formulation classique est bien
 une solution de chaque formulation variationnelle:
   \begin{enumerate}
     \item $\displaystyle{ -u''=f \Rightarrow -\int_a^b u'' v =
           \int_a^b fv }$, bien entendu,
     \item ensuite, $\displaystyle{  -\int_a^b u'' v =
           -[u'v]_a^b + \int_a^b u'v' = \int_a^b u'v' }$,
          si $v\in U_0$,
     \item enfin, $\displaystyle{  \int_a^b u' v' =
           [uv']_a^b - \int_a^b uv'' = \int_a^b uv'' }$,
          car $u$ est la solution de la formulation classique,
            donc $u\in U_0$.
     \end{enumerate}
  \item Chaque formulation variationnelle n'a qu'une solution:
       si $u_1$ et $u_2$ sont solutions, on aurait, pour
       $w=u_1-u_2$,
   \begin{enumerate}
      \item Dans  \eqref{dim1vfor}, $\displaystyle{\int_a^b w'' v =0}$
     pour tout $v\in \mathscr{C}_I^0([a,b])$, on peut donc choisir
    $v=w''$, d'o\`u $w''{}^2$ d'int\'egrale nulle $\Rightarrow w''=0$
    (par morceaux) $\Rightarrow w'=$ constante (la m\^eme constante
    partout, puisque $w'\in \mathscr{C}_I^1([a,b]) \subset
                            \mathscr{C}^0([a,b]) ) \Rightarrow
     w(x)=\alpha x+\beta \Rightarrow w(x)\equiv 0$ puisque
     $w\in U_0$.
      \item Dans  \eqref{dim1vsfai}, $\displaystyle{\int_a^b w' v'=0}$
     pour tout $v\in \mathscr{C}_I^1([a,b])\cap U_0$, on peut donc choisir
    $v=w$, d'o\`u $w'{}^2$ d'int\'egrale nulle $\Rightarrow w'=0$
    (par morceaux) $\Rightarrow w=$ constante (la m\^eme constante
    partout), $ \Rightarrow w(x)\equiv 0$ puisque  $w\in U_0$.
      \item Dans  \eqref{dim1vfai}, $\displaystyle{\int_a^b w v''0}$
     pour tout $v\in \mathscr{C}_I^2([a,b])\cap U_0$. Construisons
      $v\in \mathscr{C}_I^2([a,b])\cap U_0$ tel que $v''=w$ (en
     s'aidant de la formulation classique), on a donc
        $w^2$ d'int\'egrale nulle et $w$ continue $\Rightarrow w=0$.
     \end{enumerate}
 \end{enumerate}

\subsection{EDP elliptiques et formulations variationnelles
en dimension $>1$}.

La simplicit\'e trompeuse de l'exemple pr\'ec\'edent se dissipe quand
on passe \`a un probl\`eme \`a plus d'une variable: il n'y a plus
de solution ``\'evidente'' de la formulation classique!

Prenons un probl\`eme aux limites, par exemple une \'equation de
Poisson $-\Delta u=f$ dans un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$, et
des conditions aux limites, soit $u=0$ sur la fronti\`ere
$\Gamma = \partial\Omega$ de $\Omega$. On demandera
$u\in\mathscr{C}^2(\Omega)$, en fait
$u\in\mathscr{C}^2_I(\overline{\Omega})$, c'est-\`a-dire
$u\in\mathscr{C}^2$ par morceaux et
$u\in\mathscr{C}^1(\overline{\Omega})$, et, bien entendu,
$u|_\Gamma =0$: appelons \c ca $u\in U$.
                                  \index{variationnelle, formulation}
                         \index{divergence, th\'eor\`eme de la}
                           \index{Gauss-Green}

\smallskip

Alors, on passe de $\displaystyle{ -\int_\Omega v \Delta u\, d\boldsymbol{x} =
      -\int_\Omega v \text{ div } \text{ grad }  u\, d\boldsymbol{x} =
       \int_\Omega v f \, d\boldsymbol{x} }$ \`a la \emph{\textbf{forme variationnelle
 semi faible}}
\begin{equation}
    \int_\Omega \text{ grad } u \boldsymbol{\cdot} \text{ grad } v
    \, d\boldsymbol{x} =
       \int_\Omega v f \, d\boldsymbol{x} \;, \qquad \forall v\in X,
\end{equation}
en appliquant deux fois \eqref{thdiv2}, d'abord avec $\alpha=(2,0)$
et $\beta=(0,0)$, puis avec $\alpha=(0,2)$, et en sommant
(th\'eor\`eme de la divergence, ou de Gauss-Green)
\begin{equation}    \label{GdivF}
 \int_\Omega G\,\text{div } \vec{F}\, d\boldsymbol{x} =
   \int_\Omega  \text{div}\;(G\,\vec{F})\,d\boldsymbol{x} -
   \int_\Omega \vec{F}\boldsymbol{\cdot}\text{ grad } G \,d\boldsymbol{x} =
   \int_\Gamma G (\vec{F}\boldsymbol{\cdot}\vec{n})\,dS  \,-
   \int_\Omega \vec{F}\boldsymbol{\cdot}\text{ grad } G \,d\boldsymbol{x}.
\end{equation}
o\`u $\vec{n}$ d\'esigne le vecteur normal unitaire dirig\'e vers
\emph{l'ext\'erieur} de la fronti\`ere $\Gamma$ (voir plus haut,
p.~\pageref{thdiv}).


Enfin, si le vecteur $\vec{F}$ est lui-m\^eme un gradient,
$$ \int_\Omega v \Delta u  \, d\boldsymbol{x} =
   \int_\Gamma v  \dfrac{\partial u}{\partial n}\,dS  \,-
   \int_\Omega \text{ grad } u \boldsymbol{\cdot}\text{ grad } v \,d\boldsymbol{x},
$$
puisque le laplacien $\Delta$ (souvent not\'e aussi $\nabla^2$) est la
divergence du gradient.

\smallskip

Donc,

\begin{enumerate}
\item
$u\in\mathscr{C}^2_I(\overline{\Omega})$, $u|_\Gamma=0:
 -\Delta u=f \in \mathscr{C}^0_I(\overline{\Omega})$
 implique bien
\item
$u\in\mathscr{C}^1_I(\overline{\Omega})$, $u|_\Gamma=0:
  \int_\Omega \text{ grad } u \boldsymbol{\cdot}\text{ grad } v \,d\boldsymbol{x}=
 \int_\Omega f\; v \,d\boldsymbol{x}$ pour tout
$v\in\mathscr{C}^1_I(\overline{\Omega})$, $v|_\Gamma=0$,
\end{enumerate}
mais on ne peut remonter ais\'ement de (2) \`a (1). Remarquons cependant
que (2) a au plus une solution: avec $v=u_2-u_1$, on aurait
$\int_\Omega |\text{grad} (u_2-u_1)|^2\, d\boldsymbol{x} =0$.


\smallskip \   \begin{center} \rule{5cm}{0.2mm} \  \end{center}

\smallskip
Montrer convenablement l'\'equivalence entre une formulation
diff\'erentielle et une formulation variationnelle n'est pas une chose
simple. A plusieurs dimensions, il n'est g\'en\'eralement plus
possible d'\'etablir l'existence d'une solution de la
formulation classique\footnote{sauf pour des g\'eom\'etries simples
et/ou des \'equations particuli\`eres: transformation conforme pour
l'\'equation de Laplace \`a deux dimensions, etc.}.

\medskip

\emph{Cependant}, le traitement des probl\`emes physiques peut aboutir
naturellement \`a une formulation variationnelle \footnote{ Cf.
L. Bouckaert, \textsl{Th\'eorie de l'\'elasticit\'e}, Louvain. Chap.10: les
principes variationnels de l'\'elasticit\'e;
  R.~Glowinski, J.L.~Lions, R.~Tr\'emoli\`eres: \textsl{Analyse
 num\'erique des in\'equations variationnelles}, 2~vol., Dunod, 1976}, qui sera
 d\`es lors \`a consid\'erer comme formulation de d\'epart.

Ainsi, pour d\'ecrire la membrane charg\'ee, appliquons le \emph{principe
des travaux virtuels}: modifions la fonction de d\'eplacement vers le
bas $u$ en $u+\varepsilon v$, o\`u $\varepsilon$ est un (petit) nombre
r\'eel (positif ou n\'egatif), et o\`u $v$ est une fonction $\in\mathscr{C}^1_I(\Omega)$.
nulle sur la fronti\`ere $\Gamma= \partial\Omega$.

Le principe des travaux virtuels dit que l'\'energie $J$ du syst\`eme
est stationnaire en la solution $u$, c'est-\`a-dire que
$J(u+\varepsilon v)-J(u)= o(\varepsilon)$. En fait, on va m\^eme
montrer que $J$ est \emph{mimimum} en $u$: le syst\`eme

\begin{enumerate}
 \item perd l'\'energie potentielle due au travail des forces $w$ se
  d\'epla\c cant vers le bas, soit une contribution
  $\displaystyle{ -\int_\Omega w(x,y) u(x,u)\,dxdy }$,
 \item acquiert l'\'energie de d\'eformation due au travail des forces de
  tension lors de l'\'etirement de la membrane, travail proportionnel \`a
  l'accroissement des \'el\'ements d'aire, l'\'el\'ement d'aire $dS$ devenant
  $dS/\cos Z$, o\`u $\cos Z$ est le troisi\`eme cosinus directeur de la
  normale \`a la surface d'\'equation $-u(x,y)+z=0$, d'o\`u la
  contribution
  \begin{equation*} \begin{split}
    &\quad T\,\int_\Omega \left(\dfrac{1}{\cos Z} -1\right) dS \\
    &=  T\,\int_\Omega \left(\sqrt{1+\|\text{grad }u\|^2} -1\right) dS \\
    & \qquad\qquad \text{les cosinus directeurs de la normale \`a $-u+z=0$
       sont les composantes de  } \\
         &\qquad\qquad\qquad\text{ grad $(-u+z)/\|$grad $-u+z\|$)} \\
    & \approx \dfrac{T}{2}\, \int_\Omega \|\text{grad } u\|^2\, dxdy
      \qquad \text{\'elasticit\'e infinit\'esimale)}.
  \end{split}\end{equation*}
\end{enumerate}
Donc, avec $w=f$ et $T=1$,
 $$ J(u) = \dfrac{1}{2} \int_\Omega \|\text{grad } u\|^2\, dxdy
             -\int_\Omega uf\, dxdy .$$
On voit bien alors que
  \begin{equation*} \begin{split}
 J(u+\varepsilon v) &= \dfrac{1}{2}\int_\Omega \text{grad }(u+\varepsilon v)
        \boldsymbol{\cdot}  \text{grad }(u+\varepsilon v)\, dxdy
                  -\int_\Omega (u+\varepsilon v)f\, dxdy \\
   = \dfrac{1}{2}&\int_\Omega \left[\text{grad } u
                         \boldsymbol{\cdot} \text{grad } u
         +2\varepsilon \text{grad } u\boldsymbol{\cdot} \text{grad } v
         +\varepsilon^2 \text{grad } v\boldsymbol{\cdot} \text{grad } v \right]\,dxdy
                  -\int_\Omega (u+\varepsilon v)f\, dxdy \\
   &= J(u)
         +\varepsilon \int_\Omega\left[\text{grad } u\boldsymbol{\cdot} \text{grad } v
                    -fv \right]\,dxdy
        +\varepsilon^2 \int_\Omega \|\text{grad } v\|^2\, dxdy
 \end{split}\end{equation*}
est minimum en $u$ si et seulement si le coefficient de $\varepsilon$
$$  \int_\Omega\left[\text{grad } u\boldsymbol{\cdot} \text{grad } v
                    -fv \right]\,dxdy   =0, \qquad \forall v\in X.$$

Les principes physiques ont donc abouti spontan\'ement \`a la formulation
math\'ematique variationnelle, sans passer par l'EDP du second ordre.



\subsubsection{O\`u se trouve la solution d'une EDP elliptique?} \ \\


La solution d'un probl\`eme  elliptique ``raisonnable''
sur $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, $n>1$, sera-t-elle encore dans
$\mathscr{C}^2_I$, ou seulement dans $\mathscr{C}^1_I$?

   Consid\'erons  $-\Delta u = f=r^\mu$, $\mu\geqslant 0$ dans le
   secteur $\Omega: 0<r<R, 0<\theta< \alpha\pi$, avec $u=0$ sur
   $\Gamma=\partial\Omega$.

  Sous r\'eserve de justification ult\'erieure, on va essayer un
  d\'eveloppement
   $$ u = \sum_{k=1}^\infty u_k(r) \sin(k\theta/\alpha), $$
  qui sera effectivement nul en $\theta=0$ et en $\theta=\alpha\pi$
  si la s\'erie converge ponctuellement. En $r=R$, on demandera donc
  $u_k(R)=0$, $k=1,2,\dotsc$

 En fait, toute fonction de carr\'e int\'egrable sur $(0,\alpha\pi)$
 admet un d\'eveloppement de Fourier en $\sin(k\theta/\alpha)$, ainsi,
  $$ f = r^\mu = \dfrac{4}{\pi} \sum_{k \text{impair}} \dfrac{r^\mu}{k}
    \sin(k\theta/\alpha). $$

\parpic{
%     \begin{minipage}[t]{6cm}
%      \ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(5,5)
 \put(3.5,3.5){$\Omega$}  \put(1.6,2.8){$\alpha\pi$}
 \put(2.5,2.5){\arc{1}{2.3}{6.0}}
 \put(2.15,2.15){\vector(1,-1){0.1}}
 \thicklines
 \put(2.5,2.5){\arc{5}{2.0944}{6.28318}}
 \drawline(1.25,0.335)(2.5,2.5)(5,2.5)
\end{picture}
}
%\end{minipage}
%     \begin{minipage}[t]{10cm}
%      \ \\
En coordonn\'ees polaires, le laplacien \`a deux dimensions est
 $$ \Delta = \dfrac{\partial^2}{\partial r^2}
       +\dfrac{1}{r}  \dfrac{\partial}{\partial r}
       +\dfrac{1}{r^2}  \dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2}, $$
d'o\`u
$$ -u_k'' -\dfrac{u_k'}{r} +\dfrac{k^2 u_k}{\alpha^2 r^2} =
    \dfrac{4 r^\mu}{k\pi}\,, \qquad k=1,3,5,\dotsc $$
ce qui donne $u_k(r)=\dfrac{4\alpha^2 r^{\mu+2}}
          {k\pi[k^2-(\mu+2)^2\alpha^2]}\, + $
 une combinaison de $r^{k/\alpha}$ et $r^{-k/\alpha}$, et la seule
condition limite $u_k(R)=0$.
%\end{minipage}

\noindent \label{r1alpha} Bien entendu, on rejettera les exposants n\'egatifs,
afin de garder $u$ continue. Alors, si $\alpha>1$ ($\alpha$ est
entre 0 et 2), $u$ contient des puissances $r^{1/\alpha} \notin
\mathscr{C}^1(\overline{\Omega})\dotsc$

\smallskip

Le profil de $u$ le long de la bissectrice de $\Omega$ a cet
aspect:
\smallskip

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(15,5)
 \put(0,5){\vector(1,0){4}}  \put(0,5){\vector(0,-1){3}}
 \thicklines
 \spline(0,5)(1,5)(2,3)(3,5)
 \thinlines
 \put(1.5,2){$0<\alpha<1$}
 \put(5,5){\vector(1,0){4}}  \put(5,5){\vector(0,-1){3}}
 \thicklines
 \spline(5,5)(6,3)(7,3)(8,5)
 \thinlines
 \put(6.5,2){$\alpha=1$}
 \put(10,5){\vector(1,0){4}}  \put(10,5){\vector(0,-1){3}}
 \thicklines
 \spline(10,5)(10.05,3.5)(12,3)(13,5)
 \thinlines
 \put(11.5,2){$1<\alpha<2$}
\end{picture}
\end{center}


\section{Formes coercives, probl\`eme de minimisation, m\'ethode de
  Ritz-Galerkin.}     \index{Galerkin} \index{Ritz}

Les formulations variationnelles les plus \'el\'egantes rencontr\'ees
jusqu'ici, faisant intervenir des int\'egrales comme
 $\displaystyle{  \int_a^b u'(x) v'(x)\,dx }$, ou
 $\displaystyle{  \int_\Omega \textbf{grad } u(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{\cdot}
    \textbf{grad } v(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x} }$,
manifestent des traits communs que nous rassemblons ici.

\subsection{Formulation variationnelle dans un espace
  vectoriel} \   \\

Soit $U$ un espace vectoriel r\'eel, $a$ une forme
 \begin{enumerate}
  \item \emph{\textbf{bilin\'eaire}}:
   $a(\alpha u+\beta v, w) = \alpha a(u,w) +\beta a(v,w)$,
   $a(u,\alpha v+\beta w) = \alpha a(u,v) +\beta a(u,w)$,
   $\forall u,v\in U, \alpha,\beta \in\mathbb{R}$,
  \item \emph{\textbf{sym\'etrique}}:
   $a(u, v) = a(v,u)$,
   $\forall u,v\in U$.
 \end{enumerate}

 \index{bilin\'eaire} \index{d\'efinie positive}

\medskip

\noindent\textbf{D\'efinition.} \textsl{La forme bilin\'eaire sym\'etrique
$a$ est \textbf{d\'efinie positive} sur $U$ si $\forall u\in U,
a(u,u)\geqslant 0$ \textbf{et} $a(u,u)=0\Rightarrow u=0$.}

\medskip

\noindent\textbf{Proposition.} Si $a$ est sym\'etrique d\'efinie positive
sur $U$, le probl\`eme
\begin{equation} \label{fvar}
   ?u:\qquad a(u,v) = \varphi(v),\quad \forall v\in U,
\end{equation}
o\`u $\varphi$ est une forme d\'efinie sur $U$,
est \'equivalent au probl\`eme de minimisation
\begin{equation} \label{fmini}
  \min_{u\in U} J(u) = \dfrac{1}{2}\, a(u,u) - \varphi(u);
\end{equation}
 la solution est unique \emph{si elle existe}.

En effet, $\eqref{fvar} \Rightarrow J(u+\varepsilon v) =
  \displaystyle{  \dfrac{1}{2} a(u+\varepsilon v, u+\varepsilon v)
  -\varphi(u+\varepsilon v) = }$ \\  $\displaystyle{
      \dfrac{1}{2} a(u,u) +\varepsilon a(u,v) +\dfrac{\varepsilon^2}{2}
  a(v,v) -\varphi(u) -\varepsilon \varphi(v) > J(u)}$ d\`es que
$\varepsilon v\neq 0$.

D'autre part, si $\eqref{fmini} \Rightarrow  J(u+\varepsilon v)
\geqslant J(u)$ pour tout $\varepsilon v \in U$, donc,
$\forall v\in U$,
$\varepsilon [a(u,v) -\varphi(v)] +\varepsilon^2 a(v,v)/2 \geqslant 0$
pour tout $\varepsilon$ r\'eel $\Rightarrow$ \eqref{fvar}. \qed

\medskip

Par exemple, $\displaystyle{ a(u,v) = \int_\Omega \textbf{grad } u
 \boldsymbol{\cdot} \textbf{ grad } v\, d\boldsymbol{x}  }$
est bien d\'efinie positive sur $\mathscr{C}_I^1(\overline{\Omega})\cap
U_0$ o\`u $U_0$ est l'espace des fonctions s'annulant en un point $c$
de $\overline{\Omega}$: $a(u,u)=0 \Rightarrow \textbf{ grad } u =0$ dans
chaque $\Omega_i \Rightarrow u= $ constante dans chaque $\Omega_i$, donc la
m\^eme constante dans tout $\overline{\Omega}$ puisque $u$ est continue
dans $\overline{\Omega}$, enfin, $u(c)=0 \Rightarrow u(\boldsymbol{x})
\equiv 0$.

La d\'efinition positive de $a$ ne suffit cependant pas toujours \`a
assurer l'existence de la solution de \eqref{fvar} ou \eqref{fmini}.

{\Small
Ainsi, prenons l'exemple plus haut avec $\Omega$ = le disque unit\'e de
$\mathbb{R}^2$ et $U_0=\{u: u(0)=0\}$. Prenons enfin
$\displaystyle{ \varphi(u) = \int_\Omega u(\boldsymbol{x})\,
d\boldsymbol{x}}$.\\
Alors, avec $u(\boldsymbol{x}) = K_\alpha \|\boldsymbol{x}\|^\alpha
\in \mathscr{C}^1_I\bigcap U_0$ si $\alpha>0$, (on prend la norme euclidienne
usuelle de $\boldsymbol{x}$),
$$
J(u) = \dfrac{1}{2}\int_\Omega \|\textbf{grad }u\|^2 d\boldsymbol{x}
                  -\int_\Omega u(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}
     = \dfrac{K_\alpha^2}{2}\int_0^1\int_0^{2\pi} \alpha^2 r^{2\alpha-2}
                    \, rdrd\theta
             -K_\alpha\int_0^1\int_0^{2\pi}  r^\alpha    \, rdrd\theta
 = \dfrac{\alpha K_\alpha^2 \pi}{2} - \dfrac{2\pi K_\alpha}{\alpha+2}
$$
que l'on peut rendre aussi n\'egatif que l'on veut en prenant $\alpha$
assez petit, et $K_\alpha = 1/\alpha$.

}

\medskip

Par contre, \`a une dimension, le probl\`eme $\min (1/2)\int_{-1}^1
  (u'(x))^2 dx -\int_{-1}^1 u(x)\,dx$ sur $u\in \mathscr{C}^1_I([-1,1])$
avec $u(0)=0$ a une solution parfaitement bien d\'efinie qui est
$u(x) = -x^2/2 +x$ sign $x$. Remarquons que la solution n'est pas de
classe $\mathscr{C}^2$, ni m\^eme $\mathscr{C}^1$! Ceci confirme que
les formulations variationnelles sont plus efficaces que les formulations
classiques (qui serait ici: $u''=-1$ avec $u(0)=0$, $u'(-1)= u'(1)=0$).

\bigskip

Comment s'assurer que $J(u)$ ne puisse pas tendre vers $-\infty$?

Pour toute direction $v$, donc, $\|v\|=1$, pratiquons un
``line search'' \`a partir de l'origine dans cette direction:
$$  J(\lambda v) = \frac{1}{2}a(\lambda v,\lambda v)-\varphi(\lambda v)
 =\frac{\lambda^2}{2}a(v,v)-\lambda\varphi(v) $$
prend une valeur minimale de $\displaystyle{
  -\frac{(\varphi(v))^2}{2a(v,v)} }$ en
 $\displaystyle{  \lambda =  \frac{\varphi(v)}{a(v,v)} }$.   Si $\varphi$
est continue, $\varphi(v)$ reste born\'ee sur la sph\`ere unit\'e
$\|v\|=1$, et il suffit de s'assurer que $a(v,v)$ ne devienne pas
arbitrairement petit sur cette sph\`ere.

\medskip

\noindent\textbf{D\'efinition.} \textsl{La forme bilin\'eaire sym\'etrique
$a$ est \textbf{coercive } sur $U$ si $\forall u\in U,
a(u,u)\geqslant c\|u\|^2$ avec $c>0$.  }     \label{defcoerc}
                                         \index{coercive}
On dit aussi alors que $a$ est \emph{\textbf{$U-$elliptique}} [Ciarlet].
Un probl\`eme sera dit \textbf{elliptique} s'il est associ\'e \`a
une forme coercive dans un espace appropri\'e (espace de Hilbert, voir
plus loin).             \index{elliptique, prob.}

\medskip

La coercivit\'e de $a$ est bien \'equivalente ($a$ \'etant
bilin\'eaire sym\'etrique) \`a l'existence d'un infimum strictement positif de
$a(v,v)$ sur la sph\`ere unit\'e $\|v\|=1$.

\smallskip

\noindent\textbf{Proposition.} \textsl{Si $a$ est coercive sym\'etrique et
$\varphi$ born\'ee sur $U$, il suffit de rechercher le minimum de
$J$ dans $\|u\|\leqslant \|\varphi\|/c$. De plus, $J$ est partout
au moins \'egal \`a $-\|\varphi\|^2/(2c)$. }

En effet, le ``line-search'' ci-dessus donne
 $\displaystyle{ u=\lambda v, \text{\ avec\  }
   \lambda =  \frac{\varphi(v)}{a(v,v)} }$.   Donc, comme $\|v\|=1$
et $a(v,v)\geqslant c>0$, $\|u\|\leqslant \|\varphi\|/c$.

Ensuite,  $\displaystyle{  J(u)=
  -\frac{(\varphi(v))^2}{2a(v,v)} \geqslant -\frac{\|\varphi\|^2}{2c} }$.
\qed

\bigskip

Sur un espace $U$ de dimension finie, le caract\`ere d\'efini positif
de $a$ implique la coercivit\'e puisque, la sph\`ere \'etant
\emph{\textbf{compacte}}, la fonction continue $a(v,v)$ atteint son
minimum en un point $v_0$, et $c:=a(v_0,v_0) = \displaystyle{
 \min_{\|v\|=1}a(v,v) }$ doit \^etre $>0$ si $a$ est d\'efinie
positive. Mais si $U$ est de dimension infinie, la sph\`ere unit\'e
n'est plus un compact, et l'infimum d'une forme d\'efinie positive
peut \'etre nul!

{\Small
  C'est bien ce qui se passe avec l'exemple du disque dans
  $\mathbb{R}^2$ vu plus haut: $U= \mathscr{C}^1_I(\overline{\Omega}),
   u(0)=0$ muni de la norme de $L^2$ ($U$ n'est pas complet, mais \c{c}a
  ne fait rien ici), $v=K r^\alpha, \alpha>0$, $\alpha$ pr\`es de 0. Alors,
  $\displaystyle{ \|v\|_{L^2}^2 = \int_\Omega K^2 r^{2\alpha} dxdy = }$\\
 $\displaystyle{   2\pi K^2 \int_0^1 r^{2\alpha+1}dr = 2\pi K^2/(2\alpha+2) }$ vaut
  1 si $K$ est proche de $1/\sqrt{\pi}$.

  $$ a(v,v) = \int_\Omega |\text{\textbf{grad}}\,v|^2 dxdy =
      2\pi K^2 \int_0^1 \alpha^2 r^{2\alpha-1}dr = \pi K^2 \alpha \to
      0$$
   quand $\alpha\to 0$.
} %end Small

Par contre $\displaystyle{\int_{-1}^1 u'v'\,dx}$ est bien coercive sur
\`a peu pr\`es tout espace de fonctions v\'erifiant $u(0)=0$:
 $\displaystyle{\forall x:u(x)=\int_0^x u'(t)\,dt}$, d'o\`u, par
H\"older ou Cauchy-Schwarz:
$$ (u(x))^2 \leqslant |x| \int_0^x (u'(t))^2 |dt|
            \leqslant  \int_{-1}^1 (u'(t))^2 dt. $$
                                                      \index{coercive}
\smallskip

{\Small
 Plus difficile: soit $\Omega=$ le disque unit\'e de $\mathbb{R}^2$.
 La forme $a(u,v)=\displaystyle{\int_\Omega
  \Delta u \Delta v\;dxdy }$, o\`u $\Delta$ est le laplacien, est
  coercive sur l'ensemble des fonctions radiales d\'erivables s'annulant
  \`a l'origine (probl\`eme de la plaque circulaire maintenue en
  son centre). En effet, le laplacien \`a deux dimensions est
 $\displaystyle{  \frac{d^2}{dr^2} +\frac{d}{rdr} = \frac{1}{r}\,%
   \frac{d}{dr}\left(r \frac{d}{dr}\right) }$, d'o\`u
$$ u(x) = \int_0^{|x|} u'dr =
          \int_0^{|x|} ru'\; r^{-1}\,dr =
          -\int_0^{|x|} (ru')' \log(r/|x|)\; \,dr =
          -\int_0^{|x|} \Delta u \log(r/|x|)\; \,rdr =
  -\frac{1}{2\pi} \int_\Omega \Delta u  \log\frac{r}{|x|}\; dxdy
$$
$u^2(x) \leqslant $ const. $a(u,u)$.
} % end Small
\bigskip

\newpage

Encore deux exemples:

\emph{\textbf{1. Poutre en flexion}}.

\parpic{
%\begin{minipage}[t]{6cm}
%\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,4)
 \put(0.5,3){\vector(1,0){5}} \put(5.6,2.9){$x$}
 \put(0.5,3){\vector(0,-1){2}} \put(0.6,1.1){$y$}
 \put(1,3){\circle*{0.2}}        \put(4.25,3){\circle*{0.2}}
 \thicklines
 \spline(1,3)(2,2)(3,1.5)(3.5,2)
 \dashline{0.20}(3.5,2)(4,2.5)(4.25,3)
 \put(1,3.0){\vector(-1,0){0.8}} \put(0.5,3.2){$T$}
 \put(1,3.1){\vector(0,1){0.5}} \put(1.1,3.4){$F_0$}
 \put(3.5,2){\vector(1,0){0.8}} \put(4.1,1.5){$T$}
 \put(3.5,2){\vector(0,1){0.7}} \put(3.6,2.5){$F$}
 \thinlines
 \put(2.5,2.5){\vector(0,-1){0.6}} \put(2.6,2.2){$w$}
 \drawline(3.5,2)(4.3,2.8)
 \put(3.5,2){\arc{1.6}{5.5}{6.28}}      \put(4.4,2.25){$\theta$}
 \put(3.5,2){\arc{0.8}{5.0}{7.85}}      \put(3.2,1.0){$M$}
 \put(3.5,1.6){\vector(-1,0){0.01}}
\end{picture}
}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{9cm}
%\ \\
Un segment de poutre pos\'ee sur deux appuis est soumis \`a
la r\'eaction $(-T,F_0)$ au point de gauche, \`a une force $(T,F)$ au
point courant $(x(s), y(s)$ [$s$ est la longueur de la portion consid\'er\'ee],
 \`a des forces verticales de densit\'e $w(s)$, et enfin \`a un
moment fl\'e\-chis\-sant $M(s)$.

\'Equilibre des forces:
%\end{minipage}

$$ F+F_0 = \int_0^s w(\ell)\,d\ell,\qquad \text{ ou }
    \dfrac{dF}{ds} = w(s),$$

\'Equilibre des moments:
$$ \int_0^s x(\ell) w(\ell)\,d\ell  -xF -yT +M=0, \qquad \text{ ou }
  M' = x'F+y'T = F\cos\theta +T\sin\theta.$$
Enfin, $M=EI$ fois la courbure sign\'ee $= EI\theta'$ (Euler-Bernoulli),
d'o\`u\footnote{Cf. L.~Landau \& E.~Lifchitz, \textsl{Th\'eorie de
 l'\'elasticit\'e}, Mir, Moscou, 1967, pp.~105-123.
C.~Truesdell, The influence of elasticity on analysis: the classic
heritage, \textsl{Bull. (New Ser.) Amer. Math. Soc.} \textbf{9}
  (1983) 293-310 [r\'ef\'erence communiqu\'ee par J.~Meinguet].}
$$ [EI\theta']' =  F\cos\theta +T\sin\theta,$$
\begin{equation} \label{poutres}
 \left\{ \dfrac{1}{\cos\theta} [EI\theta']'\right\}' =
    w + (\text{tg}\,\theta)' T,
\end{equation}
avec $x$ et $y$ fix\'es aux deux appuis, et $M=0$, donc $\theta'=0$
en ces deux points. Poutre encastr\'ee: $x$, $y$ et $\theta$ fix\'es
\`a une extr\'emit\'e, $M=0$ \`a l'extr\'emit\'e libre.

\smallskip

Pour de petits d\'eplacements (\emph{\textbf{\'elasticit\'e
infinit\'esimale}}, ou \emph{\textbf{lin\'eaire}}, ou
                       \emph{\textbf{lin\'earis\'ee}}), soit
$\|w\|=\varepsilon$, et on s'int\'eresse \`a $u(x) = \lim
 y(s)/\varepsilon$ quand $\varepsilon \to 0$. On a $s\to x$,
$\varepsilon^{-1} \text{ tg}\,\theta = y'/(\varepsilon x') \to u'$,
et \eqref{poutres} devient
\begin{equation} \label{poutresl}
       (EIu'')'' -T u'' = w
\end{equation}
(o\`u $w$ d\'esigne maintenant la limite de $w/\varepsilon$).

\smallskip
                                  \index{variationnelle, formulation}
             \index{essentielle, condition}
             \index{naturelle, condition}
Formulation variationnelle semi-faible de \eqref{poutresl} si $u=0$ en
$x=a$ et $x=b$ (conditions \emph{\textbf{essentielles}}), et
                                                          $u''=0$ en
$x=a$ et $x=b$ (conditions \emph{\textbf{naturelles}}):
\begin{equation} \label{poutresv}
       \int_a^b EIu'' v''\,dx +T \int_a^b u' v'\,dx = \int_a^b w v\,dx,
\end{equation}
pour tout $v\in\mathscr{C}_I^2([a,b])$ et $v(a) = v(b) =0$ (seules les
conditions essentielles sont \`a consid\'erer).

\smallskip

Pas de probl\`eme de coercivit\'e pour la poutre en
\emph{\textbf{traction}} $T\geqslant 0$, puisque \\ $\displaystyle{
 u(x) = -\int_a^b G(x,t) u''(t)\, dt  }$ (vu en \eqref{Greenusec},
p.~\pageref{Greenusec}), donc
$$ (u(x))^2 \leqslant \int_a^b G^2(x,t)dt\;\; \int_a^b (u''(t))^2dt .$$

Et pour une poutre en \emph{\textbf{compression}} $T <0$? Evaluons le
minimum de $a(u,u)= EI\displaystyle{ \int_a^b (u'')^2\,dx  }$ \\
$\displaystyle{+T \int_a^b (u')^2\,dx }$ sous condition
 $\displaystyle{ \|u\|^2=\int_a^b u^2\,dx =1}$, et $u$ et $u''$ nuls en
$a$ et $b$. Lagrange $\Rightarrow
  EI\displaystyle{ \int_a^b u''v''\,dx
+T \int_a^b u'v'\,dx -\lambda \int_a^b uv\,dx =0, \forall v\in U}$,
ou encore
$$  EI u^{\text{iv}} -T u'' = \lambda u,\qquad u\in U.$$
\hspace*{-15pt}Solution: $\displaystyle{ u= \cos \left( \frac{\pi}{2}\,
                \frac{2x-a-b}{b-a}\right) }$, donne $\lambda$ (le
minimum cherch\'e) $=
 \displaystyle{ \left(\frac{\pi}{b-a}\right)^2 \left[
              EI\left(\frac{\pi}{b-a}\right)^2 +T \right] }$.
La forme $a$ cesse d'\^etre coercive, et m\^eme d\'efinie positive,
d\`es que $T\leqslant -EI (\pi/(b-a))^2$, on est alors dans un cas
de \emph{\textbf{flambage}} de la poutre.      \index{flambage}

\medskip

{\Small
M\^eme si la charge $w$ est nulle,
l'\'equation non lin\'eaire \eqref{poutres} a alors au moins une
solution autre que la solution nulle
$$
x=a+\sqrt{ \frac{EI}{-2T} }\; \int_{\theta_0}^\theta
    \frac{\cos\varphi\;d\varphi}{\sqrt{\cos \varphi-\cos\theta_0}}\;;
y=\sqrt{ \frac{EI}{-2T} }\; \int_{\theta_0}^\theta
    \frac{\sin\varphi\;d\varphi}{\sqrt{\cos \varphi-\cos\theta_0}}=
 2\sqrt{ \frac{EI}{-2T} }\;\sqrt{\cos \theta-\cos\theta_0},
$$
o\`u $\theta_0 <0$ est la pente (inconnue) de d\'epart. Comme il faut
une longueur $b-a$
quand $y$ reprend une valeur nulle, donc en $\theta=-\theta_0$,
on a l'\'equation pour $\theta_0$
$b-a=\displaystyle{
    \sqrt{ \frac{EI}{-2T} }\; \mathcal{F}(\theta_0) }$, o\`u
$\displaystyle{ \mathcal{F}(\theta_0):= \int_{\theta_0}^{-\theta_0}
    \frac{d\varphi}{\sqrt{\cos \varphi-\cos\theta_0}}  }$.
Cette \'equation est effectivement soluble si
 $T\leqslant -EI (\pi/(b-a))^2$, car $\mathcal{F}(\theta_0)$ est toujours
sup\'erieure \`a $\sqrt{2}\,\pi$ (\`a v\'erifier!, voir Landau \&
 Lifchitz, \textit{op. cit.}).
} % end Small

\medskip

{\Small
\noindent \emph{\textbf{Exercice. Un exemple de r\'esolution de
probl\`eme d'\'elasticit\'e finie}} (i.e., non infinit\'esimale):
corde ($E=0$) uniform\'ement charg\'ee ($w=$ constante):
\eqref{poutres} $\Rightarrow (\text{ tg}\,\theta)' = -w/T \Rightarrow
    \text{ tg}\,\theta = \text{ tg}\,\theta_0 -sw/T \Rightarrow
x' = \cos\theta =
    [1+(\text{ tg}\,\theta_0 -sw/T)^2]^{-1/2},
y' = \sin\theta =
         (\text{ tg}\,\theta_0 -sw/T)
    [1+(\text{ tg}\,\theta_0 -sw/T)^2]^{-1/2}  \Rightarrow
         -\text{ tg}\,\theta_0 +sw/T = \sinh(w(x-x_0)/T) \text{ et }
y = \text{ constante } - (T/w)\cosh(w(x-x_0)/T)$:
\'equation d'une \emph{\textbf{cha\^\i nette}}.
}

%\newpage

\parpic{
%\begin{minipage}[t]{6cm}
%\ \\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
  \psline{->}(0.00,2.8)(4.00,2.80)  \uput[270](4.10,2.80){$x$}
  \psline{->}(2,2.8)(2,0.10)  \uput[0](2,0.10){$y$}
  \psline{->}(3,2.8)(3,2.5)  \uput[0](2.85,2.55){$u(x)$}
%  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](1.5,1.75)(3.25,1.75)
  \pscurve[linewidth=0.06](0.25,2)(1,2.5)(2,2.8)(3,2.5)(3.75,2)
  \psline{->}(0.25,2)(0.25,1.5)  \uput[180](0.25,1.7){$F$}
  \psline{->}(3.75,2)(3.75,1.5)  \uput[0](3.75,1.7){$F$}
  \psline{->}(2,2.8)(2,3.9)  \uput[0](2,3.7){$2F+2wa$}
  \psline(0.25,2.7)(0.25,2.9) \uput[90](0.25,2.9){$-a$}
  \psline(3.75,2.7)(3.75,2.9) \uput[90](3.75,2.9){$a$}
\end{pspicture}
}
%\end{minipage}
%\begin{minipage}[t]{9cm}
%\ \\
\emph{\textbf{Un exemple plus simple: fl\'eau de balance (en \'elasticit\'e
infinit\'esimale)}} soumise \`a une densit\'e de poids $w$ uniforme
et \`a un poids $F$ \`a chaque extr\'emit\'e. La r\'eaction au
seul point d'appui $u(0)=0$ est donc $2F+2wa$.

$EIu'''(x)=$ r\'esultante des forces entre $-a$ et $x$:  \\
\hspace*{5cm}\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2,2)
  \psline{->}(0.00,1.0)(2.00,1.00)  \uput[90](2.00,1.00){$x$}
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](1.0,1.75)(1.00,0.25)
  \psline[linewidth=0.06](0.00,1.2)(1,1.75)
  \psline[linewidth=0.06](1.00,0.25)(2,0.8)
  \uput[180](0.5,1.5){$F+w(x+a)$}
  \uput[0](1.5,0.5){$-F-wa+wx$}
\end{pspicture}

$wx-(F+wa)\;$sign$\;x$.

\picskip{2}


\   \\

$EIu''(x)=wx^2/2 -(Fw+a)x\;$sign$\;x+Fa+wa^2/2$.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2,1)
  \psline{->}(0.00,0.0)(2.00,0.00)  \uput[270](2.00,0.00){$x$}
  \pscurve[linewidth=0.06](0.00,0.0)(0.5,0.4)(1,1)
  \pscurve[linewidth=0.06](2.00,0.0)(1.5,0.4)(1,1)
\end{pspicture}

$EIu'(x)=wx^3/6 -(Fw+a)x^2\;$sign$\;x/2+(Fa+wa^2/2)x$.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2,1)
  \psline{->}(0.00,0.5)(2.00,0.50)  \uput[270](2.00,0.50){$x$}
  \pscurve[linewidth=0.06](0.00,0.0)(0.5,0.1)(1,0.5)
  \pscurve[linewidth=0.06](2.00,1.0)(1.5,0.9)(1,0.5)
\end{pspicture}

$EIu(x)=wx^4/24 -(Fw+a)x^3\;$sign$\;x/6+(Fa+wa^2/2)x^2/2$.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2,1)
  \psline{->}(0.00,0.0)(2.00,0.00)  \uput[270](2.00,0.00){$x$}
  \pscurve[linewidth=0.06](0.00,1.0)(0.5,0.2)(1,0.0)(1.5,0.2)(2,1)
\end{pspicture}

$J(u)=\displaystyle{ \dfrac{EI}{2} \int_{-a}^a (u''(x))^2 dx
  -w\int_{-a}^a u(x)dx -Fu(-a) -Fu(a)}$ \`a minimiser sur
les fonctions de $\mathscr{C}^2_I(-a,a)$ nulles en $x=0$.

Solution (\`a v\'erifier) $EI\;J(u)=-Fwa^4/4 -w^2a^5/20 -F^2a^3/3$.

\emph{\textbf{2. Plaque mince.}}

Sans autre commentaire, \'equation variationnelle:
$a(u,v) = \varphi(v)$,
\begin{equation} \label{plaque} \begin{split}
 a(u,v) &= \int_\Omega \left\{ \Delta u \Delta v
  +(1-\sigma)\left[ 2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}
                     \dfrac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}
                    -\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}
                     \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}
                    -\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}
                     \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}
                \right]\right\} dxdy \\
        &= \int_\Omega \left\{ \sigma\Delta u \Delta v
  +(1-\sigma)\left[ 2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}
                     \dfrac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}
                    +\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}
                     \dfrac{\partial^2 v}{\partial x^2}
                    +\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}
                     \dfrac{\partial^2 v}{\partial y^2}
                \right]\right\} dxdy \\
 \varphi(v) &= \int_\Omega f v\, dxdy ,
\end{split}\end{equation}
sous conditions $u=v=0$ et $\partial u/\partial n = \partial v/\partial n
=0$ sur $\Gamma = \partial\Omega$ (plaque encastr\'ee).

Correspond \`a $\Delta^2u =\Delta(\Delta u)=f$ [Ciarlet, pp.~29-34].


\medskip

\noindent\emph{\textbf{Exemple de solution}} $\notin
  \mathscr{C}^2_I(\Omega)$.

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(2,1)
  \psline[linewidth=0.04](1.00,0.5)(1.00,1.25)
  \psellipse[linewidth=0.06](1.00,0.5)(2,0.5)
\end{pspicture}
}
Plaque circulaire de densit\'e uniforme suspendue en son centre.
$\Delta\Delta u=$ constante $=f$ dans $x^2+y^2<R^2$, avec
$u(0,0)=0$ et d'autres conditions naturelles (voir plus loin).

On suppose que $u$ ne d\'epend que de $r=\sqrt{x^2+y^2}$:\\
$\displaystyle{
  \left( \dfrac{d^2}{dr^2} +\dfrac{1}{r}\,\dfrac{d}{dr} \right)
  \left( \dfrac{d^2}{dr^2} +\dfrac{1}{r}\,\dfrac{d}{dr} \right)
  u(r)=f }$, ou
$ r^{-1} [ r [ r^{-1} (ru')' ]']'=f$.
$  r [ r^{-1} (ru')' ]'= r^2f/2+A$.
$   r^{-1} (ru')' = r^2f/4+A\ln r+B$.
Donc, le laplacien de $u$ contient un terme logarithmique si
$A\neq 0 : u\notin\mathscr{C}^2_I$.
$   ru' = r^4f/16+A(r^2\ln r/2-r^2/4)+Br^2/2+C$.
$   u = r^4f/64+A(r^2\ln r/4-r^2/4)+Br^2/4+C\ln r+D$.
$u$ continue et $u(0)=0: C=D=0$.

Par formulation variationnelle:\\
$\displaystyle{  \int_0^R r^{-1}(ru')'
                          r^{-1}(rv')'\;rdrd\theta =
             \int_0^R fv\;rdrd\theta }$,
$\forall v$ avec $v(0)=0$.  \\
$\displaystyle{\lim_{\varepsilon\to 0} [r^{-1} (ru')'  rv']_\varepsilon^R
}$   $\displaystyle{
  -\int_0^R (r^{-1}(ru')')' rv'\;dr = }$      $\int_0^R fvr\,dr$.   \\
$\displaystyle{\lim_{\varepsilon\to 0} [r^{-1} (ru')'  rv']_\varepsilon^R
           -[(r^{-1} (ru')')'  rv]_\varepsilon^R
  +\int_0^R (r(r^{-1}(ru')')')' v\;dr =\int_0^R fvr\,dr}$.
D'o\`u les conditions naturelles $(ru')' = (r^{-1} (ru')')'=0$
en $r=R$,
$(ru')'\to 0$ et $r(r^{-1}(ru')')'$ born\'e quand $r\to 0$. On obtient
$A=-R^2f/2$ et $B=-R^2f/4+R^2f\ln R/2$.

\smallskip


\subsection{M\'ethode de Ritz-Galerkin} \   \\       \index{Ritz}
                                                  \index{Galerkin}
On consid\`ere maintenant un \emph{\textbf{sous-espace de dimension
finie}} $U_h\subset U$, et
\begin{equation} \label{pvaritz}
 ?u_h\in U_h , \forall v\in U_h: a(u_h,v)=\varphi(v)
\end{equation}
o\`u $U_h \subset U$ est un espace de dimension finie $N$.

\smallskip

En pratique, on consid\`ere une base $\{e_1, e_2,\dotsc, e_N\}$ de
$U_h$, on doit donc d\'eterminer $N$ scalaires
(r\'eels) $c_1,\dots, c_N$, tels que
$$  u_h = \sum_1^N  c_j\, e_j ,$$
v\'erifie \eqref{pvaritz}, ce qui signifie
\begin{equation} \label{matritz}
   \sum_{j=1}^N  c_j \, a(e_j, e_i) = \varphi(e_i),\qquad i=1,2,\dotsc,N.
\end{equation}
La matrice  $\boldsymbol{A}_h := [a(e_j, e_i)]_{i,j=1}^N$
de \eqref{matritz} est appel\'ee \emph{\textbf{matrice de
rigidit\'e}}.          \index{rigidit\'e, matrice de}

\medskip

On aura besoin de cet important rappel: \\
\textbf{D\'efinition.} \textsl{Une matrice carr\'ee r\'eelle
 $\boldsymbol{A}$ est \emph{\textbf{d\'efinie positive}} si,
 pour tout vecteur non nul $\boldsymbol{x} $, la forme quadratique
 $\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{Ax} >0$. }
  \index{d\'efinie positive}

 Toute matrice sym\'etrique r\'eelle d\'efinie positive admet
 une factorisation triangulaire $\boldsymbol{A}= \boldsymbol{LU}$,
 avec $\boldsymbol{L}$ et $\boldsymbol{U}$ non singuli\`eres et
 $\boldsymbol{U} = $ transpos\'ee $\boldsymbol{L}^T$ de
 $\boldsymbol{L}$ (factorisation de \emph{\textbf{Cholesky}}).

 Les valeurs propres de $\boldsymbol{A}$ sym\'etrique r\'eelle
 sont toutes strictement positives $\iff$ $\boldsymbol{A}$ est
 d\'efinie positive.

On a le

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.} \textsl{Si $a$ est bilin\'eaire
sym\'etrique d\'efinie positive,
 \begin{enumerate}
  \item La matrice de \eqref{matritz} est sym\'etrique d\'efinie
    positive.
  \item Le probl\`eme \eqref{pvaritz} a une et une seule solution
   dans $U_h$.
  \item La solution $u_h$ de \eqref{pvaritz} minimise
   $J(u) = a(u,u)/2 -\varphi(u)$ dans $U_h$.
  \item \emph{Si} \eqref{fvar} a une solution $u$ dans $U$, $u_h$ est
   l'\'el\'ement de $U_h$ le plus proche de $u$, au sens de la distance
   $\sqrt{a(.,.)}$, c'est-\`a-dire,
    $a(u-u_h,u-u_h) \leqslant a(u-v,u-v)$, $\forall v\in U_h$;\\
  on a aussi $a(u_h,u_h)\leqslant a(u,u)$.
 \end{enumerate}
 }


En effet, la sym\'etrie de la matrice se d\'eduit imm\'ediatement de
la sym\'etrie de $a$. Pour la d\'efinition positive, constatons que,
$\forall \boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^N, \boldsymbol{\xi}\neq 0$,
$ \boldsymbol{\xi}^T \boldsymbol{A}_h \boldsymbol{\xi}  =
 \displaystyle{  \sum_{i=1}^N \xi_i \sum_{j=1}^N a(e_j,e_i) \xi_j =}$ \\ $\displaystyle{
       \sum_{i=1}^N \xi_i a\left(\sum_{j=1}^N \xi_j e_j,e_i\right) =}$  $\displaystyle{
      a\left( \sum_{i=1}^N \xi_i e_i , \sum_{j=1}^N \xi_j e_j\right)
 >0 }$.

 Une matrice sym\'etrique d\'efinie positive est n\'ecessairement
non singuli\`ere: $\boldsymbol{A}_h \boldsymbol{\xi}$ ne peut \^etre
le vecteur nul quand $\boldsymbol{\xi}\neq 0$, sinon on aurait
 $\boldsymbol{\xi}^T\boldsymbol{A}_h \boldsymbol{\xi} =0$.

Le probl\`eme \eqref{pvaritz} a donc n\'ecessairement une solution
unique $u_h$ dans $U_h$. Remarquons que (on prend $v=u_h$),
\begin{equation} \label{Juh}
   a(u_h,u_h) = \varphi(u_h) \  \Rightarrow
   J(u_h) = -\dfrac{a(u_h,u_h)}{2}.
\end{equation}

L'\'equivalence entre \eqref{pvaritz} et la minimisation de $J(u_h)$
s'\'etablit comme l'\'equivalence \eqref{fvar}-\eqref{fmini} \'etablie
p.~\pageref{fmini}.

\smallskip

Enfin, si \eqref{fvar} a une solution (forc\'ement unique) dans $U$, on
examine $a(u-v,u-v)$: soit $w= u_h-v \in U_h$,
\begin{multline*}
 a(u-v,u-v) = a(u-u_h +w, u-u_h+w) = a(u-u_h, u-u_h)
  +2a(u-u_h,w) +a(w,w)\\ =
              a(u-u_h, u-u_h)  +a(w,w) > a(u-u_h, u-u_h) \text{ si }
 v\neq u_h.
\end{multline*}
Et, comme $J(u)$ minimise $J$ sur un espace plus grand que $U_h$,
$J(u)\leqslant J(u_h)$, donc,
$a(u_h,u_h) \leqslant a(u,u)$, par \eqref{Juh}. \qed


\begin{minipage}[t]{5.9cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(5.5,4)
 \put(0,2){\vector(1,0){5.5}} \put(5.3,2.1){$x$}
 \put(0,0){\vector(1,0){5.5}} \put(5.3,0.1){$x$}
 \put(0,2){\vector(0,1){1.75}} \put(0.2,3.7){$u$}
 \put(0,0){\vector(0,1){1.75}} \put(0.2,1.7){$v$}
 \dashline{0.25}(1,0)(1,4)
 \dashline{0.25}(2,0)(2,4)
 \dashline{0.25}(3,0)(3,4)
 \dashline{0.25}(4,0)(4,4)
 \dashline{0.25}(5,0)(5,4)
 \thicklines
 \drawline(0,2)(1,3)(2,2.5)(3,3)(4,1.75)(5,3.5)
 \drawline(0,0)(1,1.5)(2,1.5)(3,0)(4,-0.25)(5,1.75)
 \thinlines
 \put(0,2){\circle*{0.2}}
 \put(0,0){\circle*{0.2}}
\end{picture}

\ \\
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{10cm}
\ \\
Par \textbf{exemple}, prenons $a(u,v)=\int_0^1 u'(x)v'(x)\,dx$,
$\varphi(v)=\int_0^1 v(x)\,dx$, $h=1/N$, $U_h=\{$fonctions continues
lin\'eaires par morceaux sur les intervalles $[jh, (j+1)h]$, $j=0,\dotsc, N-1$,
avec $u(0)=0 \;\}$. Donc, \eqref{pvaritz} devient
\begin{equation*} \begin{split}
  a(u,v) &= \sum_{j=0}^{N-1} \int_{jh}^{(j+1)h} u'(x)v'(x)\,dx =   \\
  = h^{-1}\sum_{j=0}^{N-1} &(u_{j+1}-u_j)(v_{j+1}-v_j) = \varphi(v) =
  \dfrac{h}{2}\sum_{j=0}^{N-1} (v_j+v_{j+1}),
\end{split} \end{equation*}
\end{minipage}

pour tout $(v_1, v_2,\dotsc, v_N) \in \mathbb{R}^N$  $(u_0=v_0=0)$.

Avec la base canonique de $\mathbb{R}^N$, on obtient
$ h^{-2}(-u_{i-1} +2u_i -u_{i+1}) = 1, i=0,1,\dotsc, N-1$ (d'apr\`es les
contributions de $v_1,\dotsc, v_{N-1}$), et
$u_N-u_{N-1}= h^2/2$ (d'apr\`es la contribution de $v_N$). On constate
(tous les cas ne sont pas aussi simplement solubles)
 $ u_i = u_h(ih) = ih - (ih)^2/2$, $i=0,1,\dotsc, N$.
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(10,6)
 \put(0,1){\vector(1,0){10.5}} \put(10.3,1.1){$x$}
 \put(0,0){\vector(1,0){10.5}} \put(10.3,0.1){$x$}
 \put(0,-1){\vector(1,0){10.5}} \put(10.3,-0.9){$x$}
 \put(0,1){\vector(0,1){5.3}} \put(0.2,6.3){$u$}
 \put(0,0){\vector(0,1){0.75}} \put(0.2,0.7){$v$}
 \put(0,-1){\vector(0,1){0.75}} \put(0.2,-0.3){$v$}
 \dashline{0.25}(1,1)(1,1.95)
 \dashline{0.25}(2,1)(2,2.8)
 \dashline{0.25}(3,1)(3,3.55)
 \dashline{0.25}(4,1)(4,4.2)
 \dashline{0.25}(5,1)(5,4.75)
 \dashline{0.25}(6,1)(6,5.2)
 \dashline{0.25}(7,1)(7,5.55)
 \dashline{0.25}(8,1)(8,5.8)
 \dashline{0.25}(9,1)(9,5.95)
 \dashline{0.25}(10,1)(10,6)
 \dashline{0.25}(6,0)(6,0.9)
 \dashline{0.25}(10,-1)(10,-0.1)
 \thicklines
 \drawline(0,1)(1,1.95)(2,2.8)(3,3.55)(4,4.2)(5,4.75)(6,5.2)(7,5.55)(8,5.8)(9,5.95)(10,6)
 \drawline(0,0)(5,0)(6,0.9)(7,0)(10,0)
 \drawline(0,-1)(9,-1)(10,-0.1)
\end{picture}
\end{center}

\vspace*{1.5cm}

On voit que la condition \emph{naturelle} $u'(1)=0$ est de plus en plus
pr\`es d'\^etre r\'ealis\'ee quand $h\to 0$.

\smallskip

\begin{equation*}
  h^{-2} \begin{bmatrix}   2  &  -1  &     &     &     &     \\
                          -1  &   2  & -1  &     &     &     \\
                              &  -1  &  2  & -1  &     &     \\
                              &     &\ddots &\ddots&\ddots &  \\
                              &      &     & -1  &  2  &  -1 \\
                              &      &     &     & -1  &  1
          \end{bmatrix}
        \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\u_3\\ \vdots \\ u_{N-1} \\ u_N \end{bmatrix}
   =    \begin{bmatrix} 1\\1\\1\\ \vdots \\ 1 \\ 1/2 \end{bmatrix}
\end{equation*}

%\vspace*{0.5cm}

\newpage

\section{Formes bilin\'eaires et op\'erateurs dans des
 espaces de Hilbert.}  \ \\


On aborde maintenant un cadre assurant la solution de formulations
variationnelles.


\subsection{Espaces de Banach et de Hilbert} \ \\

D'apr\`es J.P.~Bertrandias, \textsl{Analyse fonctionnelle}, Armand Colin,
1970.

\begin{enumerate}
 \item \textbf{Espaces vectoriels norm\'es.} \\
 $E$ et $F$ vectoriels norm\'es, $T$ application lin\'eaire
 $E\to F$. Alors, $T$ est continue $\Leftrightarrow T$ est born\'ee:
 $\|Tx\|\leqslant C\|x\|$. Alors $\|T\| = \sup_{x\neq 0} (\|Tx\|/\|x\|)$. \\
 Une forme $\varphi$ est continue sur $E$ si et seulement si son noyau
 $\{x\in E: \varphi(x)=0\}$ est ferm\'e.  \\
  Une suite $\{x_n\}$ de $E$ converge vers $x\in E$ si $\|x-x_n\| \to 0$
   quand $n\to\infty$\  (convergence forte);\\
  Une suite $\{x_n\}$ de $E$ converge \emph{\textbf{faiblement}}
  vers $x\in E$ si, pour toute forme $\ell$ du dual $E'$ de $E$,
   $\ell(x-x_n) \to 0$ quand $n\to\infty$;\\
  Une suite $\{x_n\}$ de $E$ est une \emph{\textbf{suite de Cauchy}} de $E$
  si $\|x_n-x_m\|$ est aussi petit que l'on veut d\`es que $n$ et $m$
  sont assez grands.\\
    \\
  Une suite $\{T_n\}$ d'applications lin\'eaires de $E$ dans $F$
        converge vers $T$ si $\forall x\in E$, $T_nx$ converge (fortement)
   vers $Tx$
   quand $n\to\infty$\  (convergence forte des op\'erateurs);\\
  Une suite $\{T_n\}$ d'applications lin\'eaires de $E$ dans $F$
        converge \emph{\textbf{faiblement}}
        vers $T$ si $\forall \ell\in F',
        \forall x\in E$, $\ell(T_nx)$ converge
   vers $\ell(Tx)$
   quand $n\to\infty$\  (convergence faible des op\'erateurs).
 \item \textbf{Espaces de Banach.}  \\
  Def.: un Banach est un norm\'e \emph{complet}, c'est-\`a-dire tel que
  toute suite de Cauchy de $E$ a une limite dans $E$.    \\
  Un sous espace vectoriel \emph{ferm\'e} d'un Banach est encore un
  Banach.
  \begin{enumerate}
   \item \emph{Th\'eor\`eme de la borne uniforme}. Si la famille
            \label{bornunif}
    $\{T_\lambda\}_{\lambda\in \Lambda}$ d'applications lin\'eaires
    continues du Banach $E$ dans le norm\'e $F$ v\'erifie
     $$ \forall x\in E:\quad \|T_\lambda x\|_F \leqslant M(x),\quad
          \forall \lambda\in\Lambda, $$
    avec $M(x)$ ind\'ependant de $\lambda$, alors $\exists M:
     \|T_\lambda\|\leqslant M$.
   \item \emph{Th\'eor\`eme de l'inverse continu.} Si $T$ est lin\'eaire
    continue bijective du Banach $E$ sur le Banach $F$, $T^{-1}$ est
    continue $F\to E$.
   \item \emph{Th\'eor\`eme de l'application ouverte.} Si $T$ est
    lin\'eaire continue surjective $E\to F$, ($E$ et $F$ Banach),
    l'image par $T$ de tout ouvert de $E$ est un ouvert de $F$.
   \item \emph{Th\'eor\`eme de Banach-Steinhaus}. Une suite
     $\displaystyle{\{T_n\}_1^\infty }$ d'applications lin\'eaires
      continues d'un Banach $E$ dans un Banach $F$ converge (fortement)
     vers une application lin\'eaire continue $T$ si et seulement si\\
       \begin{enumerate}
        \item $\|T_n\| \leqslant M <\infty\,,\qquad n=1,2,\dotsc$ \\
        \item la suite $\{T_n x\}$ est Cauchy pour tout $x$ dans une partie dense
          de $E$.
       \end{enumerate}
  \end{enumerate}
 \item \textbf{Espaces de Hilbert.}  \\
  Def.: Un espace \emph{pr\'ehilbertien} est un espace vectoriel muni
   d'un produit scalaire $(.,.)$ et norm\'e\footnote{N.B. Certains auteurs,
   dont L.~Schwartz, Bourbaki, ou encore L.~Chambadal et J.L.~Ovaert dans leur
  article ``Hilbert (espace de)'' de l'\textsl{Encyclopedia
   Universalis} [1980], appellent pr\'ehilbertien un espace vectoriel
   muni d'une forme bilin\'eaire sym\'etrique \emph{\textbf{semi-}}d\'efinie
   positive, et donc susceptible de n'\^etre que semi-norm\'e. Il faut alors
   pr\'eciser ``pr\'ehilbertien s\'epar\'e'', ou ``euclidien'' (ou
   ``hermitien'' pour les espaces sur $\mathbb{C}$),
    pour retrouver la d\'efinition
    utilis\'ee ici. (Remarque communiqu\'ee par J.~Meinguet).} par
        $\|x\|=(x,x)^{1/2}$.\\
   In\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz: $(x,y)\leqslant \|x\|\,\|y\|$. \\
  Identit\'e du parall\'elogramme: $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 =
    2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$.

   Un \emph{espace de Hilbert} est un pr\'ehilbertien complet.
  \begin{enumerate}         \index{Hilbert, espace de}
    \item \emph{Th\'eor\`eme de la projection orthogonale.} Soit $M$ un
     sous espace vectoriel \emph{ferm\'e}
     \ \\
     \begin{minipage}[t]{2.9cm}
      \ \\
      \setlength{\unitlength}{1cm}
      \begin{picture}(2.7,2)
      \drawline(2.5,1)(1,0)(0,1.5)
      \put(2.2,1){$M$}   \put(0.1,1.7){$M^\perp$}
      \dashline{0.25}(2,0.666)(1.5,1.4166)(0.5,0.75)
      \put(1.6,1.5){$x$} \put(1.8,0.4){$Px$} \put(0,0.7){$Qx$}
      \end{picture}
     \ \\
     \end{minipage}
     \begin{minipage}[t]{11cm}
     \ \\
      de l'espace de Hilbert $H$.   Alors,
     $\forall x\in H$ se d\'ecompose d'une seule mani\`ere en
     $x= Px+Qx$, avec $Px\in M$ et $Qx\perp M$. $Px$ est l'\'el\'ement de
     $M$ le plus proche de $x$. $P$ est le projecteur orthogonal sur $M$,
     $Q=I-P$ est le projecteur orthogonal sur $M^\perp$, compl\'ement
     orthogonal de $M$. $H$ est donc la somme directe de $M$ et $M^\perp$.
     \end{minipage}

     {\Small L'existence de $Px$ en tant qu'\'el\'ement de $M$ le
   plus proche de $x$ d\'epend essentiellement du caract\`ere
   \emph{\textbf{complet}} de $M$: soit $\{y_i\}, y_i\in M$ une suite
   minimisante de $\|x-y\|$, donc, $\forall\varepsilon>0$, une
   infinit\'e de $y_i\in M$ v\'erifient $\|x-y_i\|\leqslant \mu
   +\varepsilon$, o\`u $\mu = \inf_{y\in M} \|x-y\|$.\\
   Parall\'elogramme: $\|2x-y_i -y_j\|^2 + \|y_i -y_j\|^2 =
    2(\|x-y_i\|^2 + \|x-y_j\|^2)$, donc, \\
   $ \|y_i -y_j\|^2 =   2(\|x-y_i\|^2 + \|x-y_j\|^2)
    - 4\|x -(y_i+y_j)/2\|^2 \leqslant 4 [ (\mu+\varepsilon)^2 -\mu^2] =
     4\varepsilon( 2\mu +\varepsilon)$.
    $\{y_i\}$ est Cauchy, donc, comme $M$ est complet, converge.
    }

    \item Caract\'erisation des formes lin\'eaires continues (\emph{repr\'esentant
     de Riesz}). A toute forme (=application lin\'eaire sur $\mathbb{R}$)
     $\varphi$ continue de l'espace de Hilbert $H$, on peut faire
     correspondre exactement un \'el\'ement de $\xi_\varphi\in H$ tel que
     $\varphi(x) = (x,\xi_\varphi)$, $\forall x\in H$.\\
     On a $\|\varphi\| = \|\xi_\varphi\|$. \\
     On peut donc identifier un espace de Hilbert et son dual. Un Hilbert
     est \'evidemment \emph{r\'eflexif} (identifiable \`a son bidual).
    \item \textbf{Familles orthonormales totales.}   \\
     Tout espace de Hilbert poss\`ede au moins une famille orthonormale
     totale (ou ``base hilbertienne''),
     c'est-\`a-dire une famille $\{e_\lambda\}$, $e_\lambda\in H$,
     $\|e_\lambda\|=1$, $(e_\lambda, e_\mu)=0$ si $\lambda\neq\mu$, avec:
     \begin{enumerate}
      \item $x\in H$ orthogonal \`a tous les $e_\lambda \Rightarrow x=0$
       (maximalit\'e).
      \item L'ensemble des combinaisons lin\'eaires finies des $e_\lambda$
       est dense dans $H$ (totalit\'e\footnote{Il n'est pas question
       ici de base \emph{alg\'ebrique}, dont l'ensemble des combinaisons
       lin\'eaires finies est exactement $H$.}).
      \item $\forall x\in H, \displaystyle{ \sum_\lambda  (x, e_\lambda)^2 } =
        \|x\|^2$  (Parseval).
      \item $\forall x\in H, \displaystyle{\left\|x -\sum_1^n (x, e_\lambda)\,e_\lambda\right\|}
       \to 0$ quand $n\to\infty$ (s\'eries de Fourier).
      \item $\forall x,y\in H, (x,y) = \displaystyle{ \sum_\lambda
         (x,e_\lambda) (y,e_\lambda) }  $  (Riesz-Fischer).
     \end{enumerate}
     Les propri\'et\'es qui pr\'ec\`edent sont toutes \'equivalentes. \\
     Un espace de Hilbert est dit \emph{s\'eparable} s'il admet une base
     hilbertienne d\'enombrable.
    \item \emph{Topologie faible.} \\
    Une suite $\{u_k\}$ de $H$ est faiblement Cauchy si $\{(u_k,v)\}$ est
    Cauchy (dans $\mathbb{R}$, donc convergente) pour tout $v\in H$. \\
    Un espace de Hilbert est toujours faiblement complet: si $\{u_k\}$
    est faiblement Cauchy dans $H$, $\exists u\in H$:
    $\forall v\in H, (u_k,v)\to (u,v)$ quand $k\to\infty$. \\
    Dans un espace de Hilbert s\'eparable, la boule unit\'e ferm\'ee
    est faiblement compacte. Donc, si $\|u_k\|\leqslant C$, on peut
    extraire $\{u_{k_i}\}_i$ qui correspond \`a $u\in H$
    telle que, $\forall v\in H, (u_{k_i},v)\to (u,v)$ quand $i\to\infty$. \\
    Th\'eor\`eme: si $\{u_k\}$ converge faiblement vers $u\in H$ (espace
    de Hilbert), \emph{et si} $\|u_k\|\to \|u\|$ quand $k\to\infty$, alors
    $\{u_k\}$ converge fortement vers $u$, c'est-\`a-dire
    $\|u-u_k\|\to 0$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Remarque.} Concr\'etisation de la notion de repr\'esentant de
Riesz: soit $U$ Hilbert r\'eel s\'eparable de base hilbertienne
$\{e_k\}_0^\infty$. Alors, si $\varphi(e_k)=\varphi_k$, le
repr\'esentant de Riesz de $\varphi$ est
$$ f = \sum_0^\infty \varphi_k e_k, $$
et $\|f\|=\|\varphi\|=(\sum_0^\infty \varphi_k^2)^{1/2} =
                      [\sum_0^\infty (\varphi(e_k))^2]^{1/2}$.

%\newpage


\subsection{Le probl\`eme de l'existence de la solution.
     Th\'eor\`eme de Lax-Milgram.} \ \\

Soit le probl\`eme variationnel
\begin{equation} \label{pvar}
 ?u\in U , \forall v\in U: a(u,v)=\varphi(v)
\end{equation}
o\`u $\varphi$ est une forme lin\'eaire continue sur $U$, et
$a$ bilin\'eaire sym\'etrique continue sur $U$.

\medskip

On a vu (p.~\pageref{fmini}) que, si $a$ est d\'efinie positive,
 r\'esoudre \eqref{pvar} revient
\`a chercher le minimum en $u\in U$ de
  $\displaystyle{ J(u) = \dfrac{1}{2}\, a(u,u) - \varphi(u) }$, et que
ce minimum est unique, \emph{\textbf{s'il existe}} dans $U$.

\smallskip

Cette pr\'esentation tr\`es s\'eduisante cache quelques pi\`eges:

\smallskip

\begin{minipage}[t]{5.0cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](0,3)(2.5,1)(5,0)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

Abscisses et ordonn\'ees\\
non born\'ees
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

Impossible si \\
$a$ coercive
\end{minipage}


\begin{minipage}[t]{5.0cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](0,3)(2.5,2.1)(3.5,1.9)(5,1.8)
 \psline(0,1.70)(5,1.7)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

Abscisses non born\'ees,\\
ordonn\'ee minimale $> -\infty$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

Impossible si \\
$a$ coercive
\end{minipage}


\begin{minipage}[t]{5.0cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](0,3)(2,2)(2.2,0.5)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](5,3)(3,2)(2.8,0.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

Abscisses  born\'ees,\\
ordonn\'ees  $\to\   -\infty$
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

Impossible si \\
$J$ convexe \\
($J$ devrait \^etre $-\infty$ partout)
\end{minipage}


\begin{minipage}[t]{5.0cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](0,3)(0.5,2)(2,0.5)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](5,3)(4.5,2)(3,0.5)
 \psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](2,0.5)(3,0.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

              {\ }          \\
non unicit\'e
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

              {\ }          \\
Impossible si \\
$a$ d\'efinie positive
\end{minipage}


\begin{minipage}[t]{5.0cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](0,3)(0.5,1)(2.4,0.5)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.08](5,3)(4.5,1)(2.6,0.5)
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

                                  {\ }          \\
non existence \\
du minimum
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{5.0cm}
\ \\
\vspace*{-100bp}

                         {\ }          \\
$U$ doit \'etre \emph{\textbf{complet}}
\end{minipage}


\smallskip

\enlargethispage{25pt}

Et voici enfin le \emph{\textbf{th\'eor\`eme d'existence}}:

\textbf{Th\'eor\`eme de Lax-Milgram.}
\label{laxmilgram}    \index{Lax-Milgram, th. de}
  \textsl{Si $a$ est bilin\'eaire  continue
coercive sur l'espace de Hilbert $U$, le probl\`eme \eqref{pvar}
a exactement une solution $u$ pour tout $\varphi\in U^*$; de plus,
$\|u\|\leqslant c^{-1}\|\varphi\|$ } (\emph{\textbf{stabilit\'e}}
de la solution par rapport aux donn\'ees).

\begin{equation} \label{conta}
\text{N.B.: par \emph{continuit\'e} de $a$, on a} \qquad\qquad
    \forall u,v\in U, \quad |a(u,v)|\leqslant d \|u\|\; \|v\|,
\end{equation}
avec $0\leqslant d<\infty$ (en effet, $d$ est $\geqslant$ le sup de $|a|$
sur la sph\`ere unit\'e. Si ce sup \'etait $+\infty$, il y aurait une suite
$\{u_i, v_i\}$ avec $u_i$ et $v_i$ de norme unit\'e, et $|a(u_i,v_i)|\to
\infty$. Consid\'erons alors $r_i=u_i/\sqrt{|a(u_i,v_i)|}$ et
                             $s_i=v_i/\sqrt{|a(u_i,v_i)|}$:
 $|a(r_i,s_i)|=1$, alors que $r_i$ et $s_i\to 0 \Rightarrow
a(r_i,s_i)\to 0$ par continuit\'e de $a$).

\begin{minipage}[t]{7.0cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,5.5)
  \psline{->}(0.0,4)(6,4)
%\uput[90](5,4){$u$}
  \psline{->}(0.0,3)(2,5)
  \psline{->}(1.0,0)(1,5)
 \pscurve[linecolor=green,linewidth=0.08](1,4)(2.5,0.5)(5,4)
  \uput[0](4,1.5){$J$}
 \pscurve[linecolor=red,linewidth=0.05](2,2)(3,1)(4,3)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2,4.5)(2,2)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](4,5)(4,3)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](3,1)(3,4.7)
  \psline(2,4.5)(4,5)
 \uput[70](2,4.5){$u_i$}
 \uput[0](4,5){$u_j$}
 \uput[90](3,4.7){$u_{i,j}$}
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2.5,0.5)(1,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](3.0,1.0)(1,1.0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2.0,2.0)(1,2.0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](4.0,3.0)(1,3.0)
  \uput[180](1,0.5){$\mu$}
  \uput[180](1,1.0){$\mu_{i,j}$}
  \uput[180](1,2){$\mu_i$}
  \uput[180](1,3){$\mu_j$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{8.0cm}
\ \\
\vspace*{-170bp}

              {\ }          \\
D\'emonstration montrant l'existence dans $U$ du minimum de $J$, si
$a$ est sym\'etrique:

Par continuit\'e de $\varphi$ et coercivit\'e de $a$, nous savons
d\'ej\`a que
 $$  \mu := \inf_u J(u) \geqslant -\frac{\|\varphi\|^2}{2c}
    > -\infty.$$
(Cf. Proposition p.~\pageref{defcoerc}).

Consid\'erons une \emph{\textbf{suite minimisante}} $u_i$,
 $i=1,2,\dotsc$ telle que $\mu_i := J(u_i) \to \mu$ quand
$i\to\infty$.
\end{minipage}

Il faut montrer que la suite des $u_i$ converge vers un \'el\'ement
de $U$ o\`u $J$ atteint effectivement son infimum $\mu$. Comme
l'espace $U$ est complet, il suffit d'\'etablir que la suite
des $u_i$ est une suite de Cauchy, donc que $\|u_i-u_j\|$ est aussi
petit que l'on veut d\`es que $i$ et $j$ sont assez grands.

Estimons $\|u_i-u_j\|$ \`a partir de $\mu_i=J(u_i)$ et
$\mu_j=J(u_j)$ proches de (et l\'eg\`erement sup\'erieurs \`a) $\mu$.
Effectuons encore un ``line search'' sur les combinaisons de $u_i$ et
$u_j$, soit $u=u_i +\lambda v$, o\`u $v= \displaystyle{
  \frac{u_j-u_i}{\|u_j-u_i\|} }$:
$$ J(u) = \frac{a(u,u)}{2}-\varphi(u) =
          \frac{a(u_i+\lambda v,u_i+\lambda v)}{2}-\varphi(u_i+\lambda v) =
$$ $$
   \frac{a(u_i,u_i)}{2}-\varphi(u_i) +[a(u_i,v)-\varphi(v)]\lambda
  + \frac{a(v,v)}{2} \lambda^2
$$
prend une valeur minimale $\mu_{i,j} :=
 \displaystyle{ J(u_i) - \frac{ [a(u_i,v)-\varphi(v)]^2}{2a(v,v)} }$
en $u_{i,j}:= u_i +\lambda_{i,j}v$, o\`u $\lambda_{i,j}$ vaut
$\displaystyle{
                        -\frac{ a(u_i,v)-\varphi(v)}{a(v,v)} }$.

Les valeurs de $J$ autour de $u_{i,j}$ dans la direction $v$
prennent une expression simple:
$$
  J(u_{i,j}+\lambda v) =
   \mu_{i,j} +\underbrace{[a(u_{i,j},v)-\varphi(v)]}_{=0}\lambda
  + \frac{a(v,v)}{2} \lambda^2    .$$
Donc, comme $u_i=u_{i,j}-\lambda_{i,j} v$, et
       $u_j=u_{i,j}-\lambda_{i,j} v +u_j-u_i =
       u_{i,j}+(\|u_j-u_i\|-\lambda_{i,j}) v $,
\begin{equation*} \begin{split}
 \mu_i &= \mu_{i,j} +\frac{a(v,v)}{2} \lambda_{i,j}^2 , \\
 \mu_j &= \mu_{i,j} +\frac{a(v,v)}{2} (\|u_j-u_i\|-\lambda_{i,j})^2 ,
\end{split}\end{equation*}
$$ \|u_j-u_i\| = \lambda_{i,j}
  +(\|u_j-u_i\| - \lambda_{i,j} ) =
 \sqrt{\frac{2(\mu_i-\mu_{i,j})}{a(v,v)} }+
 \sqrt{\frac{2(\mu_j-\mu_{i,j})}{a(v,v)} },
$$
qui peut \^etre rendu aussi petit que possible, puisque $\mu_i$,
$\mu_j$ et $\mu_{i,j}$ sont aussi proches que l'on veut (l\'eg\`erement
sup\'erieurs \`a $\mu$), et que $a(v,v)\geqslant c>0$.

\smallskip

Enfin, comme $a$ est continue,
$\displaystyle{ J\left(\lim_{i\to\infty} u_i \right) =
           \lim_{i\to\infty} J(u_i) = \mu = \inf J }$. \qed


\bigskip

Autres d\'emonstrations:

\begin{enumerate}
  \item par compacit\'e faible ($a$ est sym\'etrique):
 Soit $\{u_k: \|u_k\|\leqslant \|\varphi\|/c\}$ une suite minimisante:
$J(u_k)\to \mu$. Comme la boule $\|u\|\leqslant \|\varphi\|/c$ est
 faiblement compacte dans $U$,
une suite extraite $\{u_{k_i}\}$ converge faiblement,
 disons vers $\tilde{u}$.

Montrons que la convergence est forte, et que $J(\tilde{u})=\mu$:
\begin{multline*}
J(u_{k_i}) = \dfrac{1}{2}a(\tilde{u} \ + u_{k_i}-\tilde{u},
                            \tilde{u} \ + u_{k_i}-\tilde{u})
  -\varphi(u_{k_i})  \\
    = \dfrac{1}{2}a(\tilde{u}, \tilde{u})
          + a(\tilde{u} ,  u_{k_i}-\tilde{u})
         +   \dfrac{1}{2}a( u_{k_i}-\tilde{u},   u_{k_i}-\tilde{u})
  -\varphi(u_{k_i}),
\end{multline*}
o\`u $J(u_{k_i}) \to \mu$ par construction des $u_k$,
  $ a(\tilde{u} ,  u_{k_i}-\tilde{u}) =
  (A\tilde{u} ,  u_{k_i}-\tilde{u}) \to 0$ par convergence faible, et
$ \varphi(u_{k_i}) \to    \varphi(\tilde{u})$ pour la m\^eme
raison, donc la suite \emph{positive}
   $a( u_{k_i}-\tilde{u},   u_{k_i}-\tilde{u})$ a une limite qui est
$2(\mu -J(\tilde{u})) \leqslant 0$ puisque $\mu$ est l'infimum de $J$,
la limite est donc nulle, et $J$ atteint son infimum $=$ minimum en
$\tilde{u}$. On montre ensuite ais\'ement l'unicit\'e de la limite. \qed

 \item Par l'op\'erateur lin\'eaire associ\'e \`a $a$. Cette
    d\'emonstration est valable m\^eme si $a$ n'est pas
    sym\'etrique.

Si $U$ est un \emph{espace de Hilbert}, $\varphi$ admet un
\emph{repr\'esentant de Riesz} $f\in U$ tel que
$\varphi(v)= (f,v)$, et $a(u,.)$ le repr\'esentant de Riesz
$\mathscr{A}_u$: $a(u,v)=(\mathscr{A}_u,v)$. Bien entendu, comme
$a(u,v)$ est \emph{aussi} lin\'eaire en $u$,
$\mathscr{A}_u = Au$, o\`u $A$ est lin\'eaire $U\longrightarrow U$.

On retrouve donc la forme $Au=f$!

\smallskip
Remarquons que $A$ est continu (born\'e) de norme $\leqslant d$:
avec $v=Au$ dans \eqref{conta},
$$ \|Au\|^2 = (Au,Au) = a(u,Au) \leqslant d \|u\|\; \|Au\|,$$
d'o\`u $\|Au\|\leqslant d\|u\|$, donc $\|A\|\leqslant d$.

\smallskip


En effet, $a$ et $\varphi$ \'etant continues, on a vu que le probl\`eme
revient \`a r\'esoudre $Au=f$.

$A$ est injectif: si  $Av=Au$, soit $w=u-v$,
$Aw=0 \Rightarrow  c\|w\|^2 \leqslant (Aw,w)= a(w,w) =0 \Rightarrow
w=0$.  \\
De plus $A^{-1}: AU \mapsto U$ est un op\'erateur continu
et $\|A^{-1}\|\leqslant c^{-1}$. En effet,
si $v=Au\in AU$,
$$ \|A^{-1}v\|^2 = (u,u) \leqslant c^{-1} a(u,u) =
                                   c^{-1} (Au,u) =
                                   c^{-1} (v,A^{-1}v)
                         \leqslant c^{-1} \|v\|\; \|A^{-1}v\|. $$

\smallskip

$AU$ est un sous-espace ferm\'e de $U$: si $\{A u_k\}$ converge dans
$U$, $\forall\varepsilon>0, k$ et $m$ assez grands $\Rightarrow
\|Au_k -A u_m\|\leqslant \varepsilon$, alors\\
$\|u_k -u_m\|^2 \leqslant c^{-1} a(u_k-u_m, u_k-u_m) =
                          c^{-1} (A(u_k-u_m), u_k-u_m)
 \leqslant c^{-1} \varepsilon \|u_k-u_m\|$, donc
$\{u_k\}$ converge et $\lim (A u_k) = A \lim u_k \in U$ (par
continuit\'e de $A$ [ ou de $a$]).

Surjectivit\'e, c'est-\`a-dire $AU=U$:
 supposons $f\notin AU$, on peut aussi supposer $f$
orthogonal \`a $AU$ (retirer de $f$ sa projection $\perp$ sur $AU$),
alors, avec $v=f$:
 $$ 0 = (f,Af) = a(f,f) \geqslant c\|f\|^2 \Rightarrow f=0. $$

Borne pour $\|u\|$:
 on a $Au=f$, prenons maintenant  $v=u$,
$$ c\|u\|^2 \leqslant a(u,u) = (Au,u)= (f,u) \leqslant \|f\|\; \|u\|,$$
$\|u\|\leqslant \|f\|/c$, d'o\`u $\|A^{-1}\|\leqslant c^{-1}$.   \qed

(D'ailleurs, la continuit\'e de $A^{-1}$ d\'ecoule du th\'eor\`eme de
l'inverse continu).

\smallskip

\noindent\emph{\textbf{Continuit\'e et stabilit\'e}}. La borne
$\|A^{-1}\| \leqslant c^{-1}$ repr\'esente bien un r\'esultat de stabilit\'e:
\`a deux seconds membres $f_1$ et $f_2$ proches correspondent
des solutions $u_1$ et $u_2$ proches:
$ \|u_2-u_1\|= \|A^{-1}(f_2-f_1)\|\leqslant c^{-1}\|f_2-f_1\|$.

\medskip

Exemple de forme bilin\'eaire non sym\'etrique:
probl\`eme d'advection-diffusion stationnaire \index{advection-diffusion}
       $\displaystyle \boldsymbol{V\cdot\textbf{grad}}  u -
         \nu\Delta u = f \Rightarrow
a(u,v)= \int_\Omega [(\boldsymbol{V\cdot\textbf{grad}} u )v+\nu \boldsymbol{\textbf{grad}} u
\boldsymbol{\cdot\textbf{grad} v] dx}   $. Si $u$ doit \^etre nulle \`a
la fronti\`ere, la v\'erification de coercivit\'e se r\'eduit \`a
celle du laplacien: dans  $a(u,u)$, $\displaystyle
\int_\Omega (\boldsymbol{V\cdot\textbf{grad}} u) u dx=
(1/2)\boldsymbol{V\cdot}\int_\Omega \boldsymbol{\textbf{grad}} u^2 dx =0$.


\item par \'equivalence de produits scalaires

 $a$ bilin\'eaire sym\'etrique d\'efinie positive peut servir de produit scalaire
dans $U$, qui est encore un espace de Hilbert si $a$ est coercive continue:
 si $\{u_n\}$ est une suite
de Cauchy pour $a$: $\forall\varepsilon, m$ et $n$ assez grands $\Rightarrow
a(u_m-u_n, u_m-u_n)\leqslant\varepsilon$, donc
$\|u_m-u_n\|^2\leqslant c^{-1}\varepsilon$, donc   $\{u_n\}$ est encore
Cauchy pour le produit scalaire initial, donc converge vers $u\in U$, et
$a(u-u_n, u-u_n)\leqslant d\|u-u_n\|^2 \to 0$, donc converge aussi selon
$a(.,.)$.

Alors $u$ est tout simplement le repr\'esentant de Riesz de $\varphi$ dans
l'espace de Hilbert $U$ muni du produit scalaire $a(.,.)\;$\ !!

\end{enumerate}

\smallskip \   \begin{center} \rule{5cm}{0.2mm} \  \end{center}

\smallskip
\noindent\emph{Bases hilbertiennes et m\'ethodes spectrales.} Si on disposait
d'une suite orthonormale totale  $\{g_k\}$ de $U$ pour $a(.,.)$, c'est-\`a-dire
$a(g_k,g_\ell)=\delta_{k,\ell}$, une bonne construction de $u$ consiste
\`a prendre les sommes partielles de la s\'erie
$$ a(u,v)=\varphi(v) \Rightarrow u=\sum \varphi(g_k)\, g_k .$$

On disposera plus vraisemblablement d'une suite orthonormale totale de $U$ pour
le produit scalaire initial: $(e_k,e_\ell)=\delta_{k,\ell}$.

Peut-on faire d'une pierre deux coups? Oui: si on veut
$a(e_k,e_\ell)=(Ae_k, e_\ell)=0$ pour tout $e_\ell, \ell\neq k$, sachant que
$(e_k,e_\ell)=0$, il suffit d'avoir $Ae_k = \lambda_k e_k$:
valeurs et vecteurs propres de $A$. \\
On a $g_k = \lambda_k^{-1/2} e_k$.

\smallskip

Par \textbf{exemple}, pour la forme bilin\'eaire
     $\displaystyle{a(u,v)= \int_0^1 u'(x) v'(x)\, dx  }$,
$\{e_k(x)=\sqrt{2}\sin(k\pi x)\}$, $k=1,2,\dotsc$
forme une suite orthonormale totale  de $L^2(0,1)$; \\
 $\{g_k(x)=\sqrt{2}(k\pi)^{-1}\sin(k\pi x)\}$, $k=1,2,\dotsc$
v\'erifie bien $\displaystyle{a(g_k,g_\ell)= \int_0^1 g'_k(x) g'_\ell(x)\, dx
 =\delta_{k,\ell} }$.

Si on choisit de partir de $L^2$, $A$ est un op\'erateur (non
born\'e!) de valeurs propres $\lambda_k = k^2\pi^2$, $k=1,2,\dotsc$
d\'efini sur une partie de $L^2$; sur $\mathscr{C}^2 \bigcap
\{u: u(0)=u(1)=0 \}$, on a bien $Au=-u''$.

Mais  peut-on retrouver $-u''=f$ \`a partir de $(u',v')=(f,v)$
avec le produit scalaire de $L^2$? Formellement, oui, mais
$A: Au=-u''$ n'est pas un op\'erateur born\'e dans $L^2\quad \longrightarrow$
n\'ecessit\'e de consid\'erer d'autres espaces de Hilbert.


\smallskip

Pour cette forme
     $\displaystyle{a(u,v)= \int_0^1 u'(x) v'(x)\, dx  }$,
un espace de Hilbert o\`u le th\'eor\`eme de Lax-Milgram s'applique
est l'espace de Sobolev (voir plus loin) $H^1_0((0,1))$, muni du
produit scalaire
  $$ (u,v)_1 :=  \int_0^1 u(x)v(x)\,dx +  \int_0^1 u'(x) v'(x)\, dx.$$
Concr\'etisons ici l'op\'erateur $A$, au moins dans le sous-espace
  $\mathscr{C}^2 \bigcap \{u: u(0)=u(1)=0 \}$ de $H^1_0$:  \\
la fonction $w=Au$ doit \^etre telle que $(w,v)_1 = a(u,v)$, $\forall v$,
ce qui fait
  $$  \int_0^1 w(x)v(x)\,dx +  \int_0^1 w'(x) v'(x)\, dx
                           = \int_0^1 u'(x) v'(x)\, dx  \quad \forall v,$$
on retourne \`a une formulation classique par int\'egrations par
parties, pour avoir
 $$ ?w:\quad w-w'' = -u''\, \qquad w(0)=w(1)=0,$$
que l'on r\'esout, un peu comme \eqref{Greenusec}, en
\begin{equation}\left.\label{Greenauv}\begin{split}
 w(x) =(Au)(x) &= -\int_0^1 \mathcal{G}(x,y)\, u''(y)\,dy    \\
               &= \int_0^1 \frac{\partial\mathcal{G}(x,y)}{\partial y}\, u'(y)\,dy    \\
             &= u(x) -\int_0^1 \mathcal{G}(x,y)\, u(y)\,dy \;,
\end{split}\right\}\end{equation}
o\`u $\displaystyle{  \mathcal{G}(x,y) = \min\left(
    \frac{\sinh(1-y)\sinh x}{\sinh 1},
    \frac{\sinh(1-x)\sinh y}{\sinh 1}  \right) }$. Dans la troisi\`eme
formule de \eqref{Greenauv}, on a utilis\'e $\partial^2 \mathcal{G}(x,y)/
\partial y^2 = \mathcal{G}(x,y)$ dans l'int\'egration par parties;
 le terme en $u(x)$ provient de la
discontinuit\'e de  $\partial \mathcal{G}(x,y)/\partial y$ en $y=x$.
En tout cas, on voit bien maintenant que $A$ est un op\'erateur
born\'e,
 les fonctions
        $ \mathcal{G}$ et $\partial \mathcal{G}/\partial x$ \'etant born\'ees
 dans $[0,1]\times[0,1]$.

\smallskip

Et son inverse $A^{-1}$? C'est plus simple! Il faut r\'esoudre
 $  w-w'' = -u''$ en $u$, ce qui donne, d'apr\`es \eqref{Greenusec},
$$ u(x) =(A^{-1}w)(x) = w(x) - \int_0^1 G(x,y)\, w(y)\, dy. $$



\smallskip \   \begin{center} \rule{5cm}{0.2mm} \  \end{center}


\bigskip


Encore un exemple, montrant le r\^ole des conditions aux limites essentielles
et naturelles:

     \begin{minipage}[t]{5cm}
      \ \\
      \setlength{\unitlength}{1cm}
      \begin{picture}(4,3)
      \put(0,3){\vector(1,0){4}} \put(3.5,3.1){$x$}
      \put(0,3){\vector(0,-1){3}} \put(0.1,0.2){$u$}
      \drawline(3,3)(3,2.75)(2.75,2.6)(3.25,2.3)(2.75,2)(3,1.85)(3,1.75)
      \put(1.5,2.5){\vector(0,-1){1}}  \put(1.6,2.3){$f$}
      \put(0,3){\circle*{0.2}}  \put(3,1.75){\circle*{0.2}}
      \Thicklines
      \spline(0,3)(1.5,1)(3,1.75)
      \end{picture}
     \ \\
     \end{minipage}
     \begin{minipage}[t]{11cm}
     \ \\
     Une corde tendue est fix\'ee \`a son extr\'emit\'e de gauche \`a
     un point fixe, mais son extr\'emit\'e de droite est attach\'ee \`a
     un ressort vertical de constante de raideur $\alpha\geqslant 0$. L'\'energie se
     constitue de
     \begin{enumerate}
      \item D\'eplacement de la charge $f$:\quad  $\displaystyle{-\int_0^1 fu\, dx}$,
      \item D\'eformation de la corde $\displaystyle{\dfrac{1}{2}
              \int_0^1 u'{}^2\, dx  }$, \qquad ($T=1$),
     \item D\'eformation du ressort $\dfrac{\alpha}{2} (u(1))^2$,
     \end{enumerate}
     \end{minipage}
Ce qui correspond \`a $a(u,v)=\int_0^1 u'v'\,dx +\alpha u(1)v(1)$, \`a
\'evaluer sur les fonctions s'annulant en 0. En int\'egrant par parties
pour ``chasser'' $v'$, on obtient $-u''=f$ sur $(0,1)$, avec
$u(0)=0$ (condition essentielle), et $u'(1)=-\alpha u(1)$ (condition
naturelle [condition de \emph{\textbf{Robin}}]).   \index{Robin} \label{robin2}

\smallskip

Les conditions aux limites \emph{\textbf{essentielles}}
 figurent donc dans les
sp\'ecifications des espaces vectoriels de fonctions \`a consid\'erer;
les conditions aux limites \emph{\textbf{naturelles}}
 n'apparaissent pas dans ces espaces,
mais peuvent appara\^\i tre dans la forme $a$.

\smallskip

Dans un probl\`eme \`a plusieurs dimensions, on aura typiquement
$u$ donn\'ee (\textbf{condition de Dirichlet}) sur une partie de
la fronti\`ere $\Gamma$, et la d\'eriv\'ee normale $\partial u/\partial n$
donn\'ee (\textbf{condition de Neumann}) sur la partie compl\'ementaire
de $\Gamma$. Enfin, si on fixe une combinaison de $u$ et de sa d\'eriv\'ee
normale, on parle de \textbf{condition de Robin}\footnote{Sur la vie
et l'oeuvre de Robin, lire K.~Gustafson, T.~Abe: ``The third
boundary condition- was it Robin's?'', \textsl{Math. Intelligencer}
vol.~\textbf{20} (1998), nr.~1, pp.~63-71; ``(Victor) Gustave Robin: 1855-1897'',
\emph{ibid.}, vol.~\textbf{20}, nr.~2, pp.~47-53.}.

\medskip

\noindent \textbf{Exemple: r\'esistance d'un conducteur\footnote{Merci
\`a J.~Ruppert (MATH22, 1998-1999) pour cet exemple.}.} Un volume
$\Omega$ d'une substance conductrice isotrope, mais non n\'ecessairement
homog\`ene, de conductivit\'e $\sigma(x,y,z)$, est soumis \`a
des potentiels $V_1$ et $V_2$ appliqu\'es en deux \'electrodes formant
une partie $\partial\Omega_D$ ($D$ comme \emph{Dirichlet}) de la
fronti\`ere de $\Omega$\footnote{Le symbole $\Omega$ n'est peut \^etre pas tr\`es
heureux ici; par ailleurs, l'unit\'e de conductance est \'evidemment le mho $\mho$.}.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
  %\uput[270](14.9,0.5){$x_{i+1}$}
  %\psline(7.8,0.5)(15,0.5)
  %\psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](12,2.5)(12,0.5)
  %\uput[0](6,2.5){$L_3$}
 \psellipse(6,1.5)(3.8,1.5)
 \psset{linewidth=0.15,linecolor=darkgray}
 %\psline(0,-3.1)(1,2.3)
  \pscurve[linecolor=darkgray](2.9,0.7)(2.2,1.5)(2.9,2.3)
  \pscurve[linecolor=darkgray](9.1,0.7)(9.8,1.5)(9.1,2.3)
  %\psplot{0.5}{4}{x 0.5 sub  x 0.5 sub mul x 11 sub mul  -30 div 0.5 add}
  %\psplot{4}{7.4}{x 7.4 sub x 7.4 sub mul x 2.3 sub mul 10 div 0.5 add}
  %\psplot{8}{12}{x 8 sub x 8 sub  mul x 12 sub mul 4 div 0.5 add}
  %\psplot{12}{15}{x 15 sub x 15 sub mul x 12 sub mul 4 div 0.5 add}
  %\psdots[dotsize=0.15,dotstyle=o](12,2.5)
\end{pspicture}

On a $\vec{I}(x,y,z) = \sigma(x,y,z) \vec{E}(x,y,z)$,
\textbf{div}$\,\vec{I}=0$ (``le courant est incompressible'')
et $E=-\,$\textbf{grad}$\,V$, d'o\`u

\textbf{div}$\, \sigma(x,y,z)\,$\textbf{grad}$\,V(x,y,z) =0$ dans
$\Omega$, avec $V$ donn\'e sur $\partial\Omega_D$ et la condition
de \emph{Neumann}
 $\partial V/\partial n=0$ sur $\partial\Omega\setminus\partial\Omega_D$
(aucun courant ne passe par la partie de $\partial\Omega$ non couverte
par les \'electrodes).

Constatons que la solution minimise la puissance dissip\'ee
$P= \displaystyle{ \int_\Omega \vec{I}\boldsymbol{\cdot} \vec{E}
dxdydz = }$ \\  ${\displaystyle
       \int_\Omega \sigma(x,y,z) \textbf{grad}\,V \boldsymbol{\cdot}
    \textbf{grad}\,V\;dxdydz }$ sous la seule contrainte
$V=V_1$ ou $V_2$ sur $\partial\Omega_D$. En effet, on arrive \`a la
forme variationnelle

$\displaystyle{ \int_\Omega
        \sigma(x,y,z) \textbf{grad}\,V \boldsymbol{\cdot}
    \textbf{grad}\,W\;dxdydz =0}$, avec $W=0$ sur $\partial\Omega_D$,
ou, en appliquant \eqref{GdivF} p.~\pageref{GdivF} avec
$F= \sigma\; \textbf{grad}\,V$ et $G=W$,
$\displaystyle{ -\int_\Omega  \textbf{div}\;\left[
        \sigma \textbf{grad}\,V \right]
    \,W\;dxdydz +\int_{\partial\Omega} \sigma W \frac{\partial V}{\partial n}
 dS    =0}$, on voit bien que le terme aux fronti\`eres s'annule.

 Enfin, la r\'esistance est $(V_2-V_1)/I_{\text{totale}}$, o\`u
 $I_{\text{totale}}$ est l'int\'egrale de $\vec{I}$ sur toute
 section \'equipotentielle de $\Omega$ (faire $W=1$ plus haut pour
 voir que cette int\'egrale est la m\^eme sur tout section
 \'equipotentielle). Par exemple, pour un cylindre homog\`ene de
 longueur $L$, $V(x,y,z) = V_1 +(V_2-V_1)x/L$, $\vec{I} = \sigma
 (V_2-V_1)[1,0,0]/L$, $I_{\text{totale}} = \sigma(V_2-V_1)|S|/L$, $R=
 L/(\sigma|S|)$.

\medskip

R\'epartition de courant  (Landau \& Lifshitz, \textsl{Electrodynamique
des milieux continus}).


\bigskip     \bigskip

\newpage


\section{Relations entre m\'ethodes de projection: Galerkin, etc.}  \ \\
   \index{Galerkin}

\vspace*{-15pt}Consid\'erons encore le probl\`eme
\begin{equation} \label{pvargen}
 ?u\in U:\qquad a(u,v)=(f,v)\,, \qquad \forall v\in V,
\end{equation}
pos\'e dans les espaces de Hilbert (r\'eels) $U$ et $V$, o\`u $a$ est une forme
bilin\'eaire, non n\'ecessairement sym\'etrique.

Comme vu pr\'ec\'edemment, le probl\`eme revient \`a r\'esoudre
 $$  Au=f,$$
o\`u $Au$ est le repr\'esentant de Riesz dans $V$ de la forme
$v \mapsto a(u,v)$.


\smallskip

Toutes les m\'ethodes de projection de solution approch\'ee
de ce probl\`eme reviennent

\begin{enumerate}
  \item \`a choisir un espace $U_h\subset U$ de dimension finie $N$,

 \item \`a choisir un projecteur $P_h$ sur un sous-espace
  $V_h\subset V$ de m\^eme   dimension,
\end{enumerate}

et \`a r\'esoudre
  $$ ?u_h\in U_h: \qquad P_h (A u_h -f) =0, $$
ce qui donne lieu \`a un syst\`eme de $N$ \'equations lin\'eaires \`a
$N$ inconnues, les coefficients $c_j$ de $u_h$ dans une base
$\{\phi_1,\dotsc, \phi_N\}$ de $U_h$:
\begin{equation} \label{systgen}
     \sum_{j=1}^N  (P_h A\phi_j)_i \; c_j = (P_h f)_i\,,\qquad
             i=1,\dotsc, N,
\end{equation}
o\`u $(.)_i$ d\'esigne le $i^{\text{\`eme}}$ coefficient du
 d\'eveloppement d'un \'el\'ement de $V_h$ dans une base
de $V_h$.


On parle aussi de \emph{m\'ethode de r\'esidu pond\'er\'e}. Le
r\'esidu est $Au_h -f$.

On n'a aucune assurance de non singularit\'e de la matrice $A_h$
de \eqref{systgen}, m\^eme si on sait si $A$ est inversible.

\smallskip

Les choix les plus courants sont:

\subsection{Galerkin}    $U=V$, $U_h=V_h$, $P_h=$ projecteur
orthogonal sur $U_h$.


 $P_h(Au_h-f)=0$  signifie donc
 $Au_h-f$ (le r\'esidu)  est \emph{orthogonal} \`a tout \'el\'ement
$v$ de $U_h$:
 $a(u_h,v)=(Au_h,v)=(f,v)$,  $\forall v\in U_h$,
ce qui donne lieu au syst\`eme d'\'equations lin\'eaires \`a
$N$ inconnues
$$     \sum_{j=1}^N  a(\phi_j, \phi_i)\; c_j = (f,\phi_i)\,,\qquad
             i=1,\dotsc, N.
$$



\subsection{Ritz} Cas particulier du pr\'ec\'edent, avec $a$
sym\'etrique.

C'est bien s\^ur le cas essentiellement trait\'e dans ce cours.

%\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.} \textsl{Si $a$ est bilin\'eaire continue
%sym\'etrique d\'efinie positive sur $U$, $A_h$ est sym\'etrique d\'efini
%positif, donc inversible sur $U_h$. On a $\|A_h\|\leqslant d$. Si $a$
%est \emph{coercive}, on a aussi $\|A_h^{-1}\|\leqslant c^{-1}$.  }
%
%En effet, sym\'etrie de $A_h$: par orthogonalit\'e, $P_h$ est
%sym\'etrique (autoadjoint):
%$$\forall u,v\in U, 0=(u-P_hu, P_h v) \Rightarrow
%  (u,P_hv)= (P_hu,P_hv) \text{ sym\'etrique en\ }  u \text{ et } v \Rightarrow
%   =(v, P_hu) = (P_hu,v), $$
%d\`e lors, $(u, A_hv) = (u,P_hAP_hv) = (P_hu, AP_hv) = (AP_hu, P_h v)$ (car
%$A$ est sym\'etrique) $= (A_h u, v)$. \\
%Caract\`ere d\'efini positif: $(A_hu,u)= (P_h A P_h u,u) = (A P_hu, P_hu) =
% a(P_hu, P_hu) \geqslant 0$, ne vaut z\'ero avec $u\in U_h$ que si $u=0$.
%
%Normes: $\|A_h\|\leqslant d$ car $\|P_h\|=1$; si $a$ coercive, prenons
%$v=u_h$ dans \eqref{pvaritz}: $c\|u_h\|^2 \leqslant a(u_h,u_h) = \varphi(u_h)
%\leqslant \|\varphi\|\; \|u_h\|$, d'o\`u $\|u_h\| = \|A_h^{-1} f\|\leqslant
%c^{-1}\|f\|$.  \qed

\subsection{Galerkin-Petrov} $P_h=$ projecteur orthogonal sur $V_h$.
\index{Galerkin} \index{Petrov}

$V$ \'etant normalement diff\'erent de $U$ (tous deux Hilbert),
on a la g\'en\'eralisation suivante (dite ``condition inf-sup'')
 du th\'eor\`eme de Lax-Milgram:\\     \index{condition inf-sup} \index{inf-sup}
\textbf{Th\'eor\`eme} (Ne\v cas, cit\'e dans [Quarteroni \& Valli],
 \S~5.1): \textsl{si la forme $a$ v\'erifie}
 \index{inf-sup, conditions}
\begin{equation} \label{infsup} \left. \begin{split}
   |a(u,v)| &\leqslant d \|u\|\; \|v\|, \qquad \forall u\in U, v\in V, \\
  \sup_{\substack{v\in V \\ v\neq 0}}
     \frac{a(u,v)}{\|v\|} &\geqslant c\,\|u\|\;, \qquad \forall u\in U, \\
  \sup_{u\in U} a(u,v) &> 0\; \qquad \forall v\in V, v\neq 0,
\end{split} \right\}  \end{equation}
\textsl{
le probl\`eme \eqref{pvargen} a une et une seule solution pour tout
$f\in V$; cette solution est born\'ee par $\|f\|/c$}.

\hspace*{-20pt}\noindent(La deuxi\`eme condition peut s'\'ecrire sous forme ``inf-sup''
proprement dite
$\displaystyle{   \inf_{\substack{u\in U \\  u\neq 0}}
                  \sup_{\substack{v\in V \\  v\neq 0}}
                  \dfrac{a(u,v)}{\|u\|\; \|v\|}
              \geqslant c >0   }$,
mais il faut remarquer que le sup est \'evalu\'e avant l'inf, donc
que $v$ d\'epend de $u$. Dans le cas coercif, on prend $v=u$).


En effet, la premi\`ere condition de \eqref{infsup} assure la
continuit\'e de $a$, donc l'existence du repr\'esentant de Riesz
$a(u,v) = (Au,v)$. Par la deuxi\`eme condition, l'op\'erateur $A$
est injectif, si $Au_1 = A u_2 =f$, $a(u_1-u_2,v)=0$ pour tout
$v\in V$, d'o\`u $\|u_1-u_2\|=0$: unicit\'e de la solution.

On peut donc d\'efinir l'op\'erateur $A^{-1}$ dans la partie $AU$
de $V$, op\'erateur qui fait correspondre \`a tout $f\in AU$ la solution
$u$ de $Au=f$.

Cet op\'erateur $A^{-1}$ est born\'e par $c^{-1} <\infty$
(stabilit\'e): toujours par la deuxi\`eme condition de
\eqref{infsup},
$$ \|f\|\;\|v\| \geqslant |(f,v)| = |a(u,v)| \geqslant c \|u\|\;\|v\| =
 c\|A^{-1}f\|\;\|v\|,
$$
d'o\`u $\|A^{-1}\|\leqslant c^{-1}$.

Enfin, $A$ est surjectif: supposons $AU\subset V$ avec $AU\neq V$.
Il y a donc un $f$ hors de $AU$. L'espace $AU$ est ferm\'e: si la
suite $\{Au_n\}$ converge dans $V$, il en est de m\^eme de la
suite $\{u_n\}$, l'op\'erateur $A^{-1}$ \'etant born\'e, donc la limite
des $Au_n$ vaut $A$ fois la limite des $u_n$, qui est dans $AU$.
L'espace $AU$ \'etant ferm\'e, donc complet, $f$ y admet une
projection orthogonale $p$. Enfin, avec $v=f-p$ dans la troisi\`eme
condition de \eqref{infsup}, on aurait $a(u,v) = (Au,v) =0$ par
orthogonalit\'e de $v$ avec tout l'espace $AU$, ce qui est
impossible, par la troisi\`eme condition de \eqref{infsup},
si $v=f-p\neq 0$. \qed

\smallskip

Les \'equations du probl\`eme approch\'e sont
\begin{equation}  \label{systgenp}
     \sum_{j=1}^N  a(\phi_j, \psi_i)\; c_j = (f,\psi_i)\,,\qquad
             i=1,\dotsc, N.
\end{equation}
o\`u $\{\psi_1,\dotsc, \psi_N\}$ est une base de $V_h$.

La matrice du syst\`eme est $\displaystyle{A_h=[a(\phi_j,\psi_i)]_{i,j=1,\dotsc,N}}$.
Si on multiplie $A_h$ par un vecteur $[c_1,\dotsc, c_N]^T$ de
coefficients d'un \'el\'ement $u=\sum_1^N c_j \phi_j$ de $U_h$,
on obtient le vecteur des $a(u,\psi_i)=(Au,\psi_i)$ qui permet
de reconstituer la projection de $Au$ dans $V_h$: $A_h$ est donc
l'op\'erateur $P_h A$ restreint \`a $U_h$.

Si les conditions inf-sup \eqref{infsup} restent valables quand on restreint
$a$ \`a $U_h\times V_h$, on \'etablit l'existence de la solution
$u_h$, et on a aussi
$$ \|u-u_h\| \leqslant (1+d/c) \inf_{w_h\in U_h} \|u-w_h\|. $$
(Babu\v ska-Strang, cit\'e dans [Quarteroni \& Valli], \S~5.3).
D\'emonstration habituelle: on a, pour tout $w_h\in U_h$ et un
$v$ encore ind\'etermin\'e dans $V$:
$$
d\|u-w_h\|\; \|v\| \geqslant a(u-w_h,v)
                     =       a(u-u_h,v)
                          +  a(u_h-w_h,v)
$$
et prenons $v\in V_h$ r\'ealisant la condition inf-sup
pour $u_h-w_h\in U_h$: on a donc $a(u_h-w_h,v)\geqslant
c\|u_h-w_h\|\;\|v\|$ et $a(u-u_h,v)=0$ (rappelons que $A(u-u_h)$
est orthogonal \`a $V_h$), donc
$d\|u-w_h\|\geqslant c\|u_h-w_h\| \geqslant c[\|u-u_h\|-\|u-w_h\|]$
(tout c\^ot\'e est sup\'erieur \`a la diff\'erence des deux
autres).

\smallskip

{\Small

Autre d\'emonstration\footnote{
   Xu, Jinchao; Zikatanov, Ludmil:
   Some observations on Babu\v ska and Brezzi theories.
 \textsl{Numer. Math.} \textbf{94}, No.1, 195-202 (2003).
Merci \`a B.~Delsaute qui a signal\'e
cette r\'ef\'erence (mai 2005).},
 aboutissant \`a $d/c$ au lieu de
$1+d/c$

En plus de $P_h$, projecteur orthogonal dans $V_h$, on
consid\`ere le projecteur orthogonal $\Pi_h$ dans $U_h$.
$\Pi_h u$ est donc l'\'el\'ement de $U_h$ le plus proche
de $u$, tiens, tiens\ldots

On partitionne $Au=f$ en

$$
\left[   \begin{tabular}{c|c}
             $ P_hA\Pi_h$  &  $P_hA(I-\Pi_h)$  \\
      \hline$ (I-P_h)A\Pi_h$ & $(I-P_h)A(I-\Pi_h)$
          \end{tabular}
 \right]
 \left[   \begin{tabular}{c} $\Pi_h u$ \\  \hline $(I-\Pi_h)u$ \end{tabular}
 \right]  =
 \left[   \begin{tabular}{c} $P_h f$ \\  \hline $(I-P_h)f$  \end{tabular}
 \right]  $$

 Le premier bloc $P_h A\Pi_h$ est identique \`a $A_h$ (voir plus haut),
 on compare donc ais\'ement $u_h$ et $\Pi_h u$ en rempla\c cant
 simplement $P_h f$ par $A_h u_h$. Alors,
  $$  A_h (\Pi_h u -u_h) = -P_h A(I-\Pi_h)u,
  $$
et, comme la condition inf-sup est suppos\'ee \^etre encore valable
pour $A_h$ (en tant qu'op\'erateur $U_h \to V_h$),
 $\|A_h^{-1}\|\leqslant c^{-1}$,
  et comme $\|P_h\|=1$
(projecteur orthogonal), $\|A\|\leqslant d$, on a
  $$   \|\Pi_h u-u_h\| \leqslant (d/c) \|u-\Pi_h u\|. $$
Passage \`a $u-u_h$ (pas \'evident!!):
$u-u_h = \Pi_h u-u_h +u-\Pi_h u =(I-S_h)(u-\Pi_h u)$, o\`u
$S_h$ est l'op\'erateur $A_h^{-1} P_h A$. On vient de voir que
$S_h$ a une norme born\'ee par $d/c$. Montrons que la
m\^eme borne vaut pour $\|I-S_h\|$.

\noindent\textbf{Lemme} (Kato) \textsl{Si $\boldsymbol{P}$ est un projecteur
(c.-\`a-d. $\boldsymbol{P}^2=\boldsymbol{P}$) lin\'eaire dans un espace
pr\'ehilbertien $E$, avec $\boldsymbol{P}\neq 0$ et $\boldsymbol{P}\neq
\boldsymbol{I}$, alors $\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}\|=
\|\boldsymbol{P}\|$}.

D\'emonstrations. \index{Kato}

\begin{enumerate}

 \item Kato\footnote{Lemme 4 de l'appendice de Kato, Tosio:
   Estimation of iterated matrices, with application to the von Neumann
   condition. \textsl{Numer. Math.} \textbf{2} 1960 22--29.}). Montrons
  que $\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}\|\geqslant \|\boldsymbol{P}\|$
  si $\boldsymbol{P}\neq \boldsymbol{I}$ et $\boldsymbol{P}\neq 0$. Ensuite, on permutera \'evidemment
  $\boldsymbol{P}$ et $\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}$.

En effet, $\boldsymbol{P}$ n'\'etant pas l'op\'erateur nul, on a d\'ej\`a
$\|\boldsymbol{P}\|\geqslant 1$ (car $0\neq \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}^2$).
Comme il en est de m\^eme de $\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}$, on a
aussi $\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}\|\geqslant 1$. La relation
cherch\'ee $\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}\|\geqslant \|\boldsymbol{P}\|$
est donc vraie si $\|\boldsymbol{P}\|=1$, supposons $\|\boldsymbol{P}\|>1$.
Alors, pour tout $a\in (1,\|\boldsymbol{P}\|)$,
il existe  $u\in E$ avec $\|\boldsymbol{P}u\|\geqslant a\|u\|>0$.
Soit $v$ la combinaison lin\'eaire de $u$ et $\boldsymbol{P}u$ telle que
$v$ soit orthogonal \`a $\boldsymbol{P}u$: $v=u-\lambda \boldsymbol{P}u$,
avec $\lambda= (u,\boldsymbol{P}u)/\|\boldsymbol{P}u\|^2$.

Montrons que $\displaystyle{  \dfrac{\|v-\boldsymbol{P}v\|}{\|v\|}  \geqslant
                              \dfrac{\|\boldsymbol{P}u\|}{\|u\|} \geqslant a   }$,
pour tout $a<\|\boldsymbol{P}\|$,
ce qui \'etablira $\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}\|\geqslant \|\boldsymbol{P}\|$.

Ecrivons tout en fonction de  $u$ et $\boldsymbol{P}u$:
$\boldsymbol{P}v = (1-\lambda)\boldsymbol{P}u$, donc $v-\boldsymbol{P}v= u-\boldsymbol{P}u$,
$\|v-\boldsymbol{P}v\|^2 = (u-\boldsymbol{P}u, u-\boldsymbol{P}u)=
\|u\|^2 -2(u,\boldsymbol{P}u)+\|\boldsymbol{P}u\|^2$\;;\;%
$\|u\|^2= \|v\|^2 +\lambda^2 \|\boldsymbol{P}u\|^2$ par orthogonalit\'e de $v$
et $\boldsymbol{P}u$, donc, $\|v\|^2=\|u\|^2- (u,\boldsymbol{P}u)^2/\|\boldsymbol{P}u\|^2$. Il reste
$\|u\|^2\{\|u\|^2 -2(u,\boldsymbol{P}u)+\|\boldsymbol{P}u\|^2\} \geqslant
   \{\|u\|^2 -(u,\boldsymbol{P}u)^2/\|\boldsymbol{P}u\|^2\} \|\boldsymbol{P}u\|^2$,
 ou $\|u\|^4 -2(u,\boldsymbol{P}u)\|u\|^2+(u,\boldsymbol{P}u)^2 =
 \{ \|u\|^2-(u,\boldsymbol{P}u)\}^2\geqslant 0$\footnote{Si le champ des
   scalaires est $\mathbb{C}$, on a.
     $\|u\|^4 -2\text{Re}\,(u,\boldsymbol{P}u)\|u\|^2+|(u,\boldsymbol{P}u)|^2 =
 \{ \|u\|^2-\text{Re}\,(u,\boldsymbol{P}u)\}^2  +(\text{Im}\,(u,\boldsymbol{P}u))^2
\geqslant 0.$}.

   \item J. Bo\"el, \'et\'e 2005:
     \parpic{
       \psset{unit=1cm}
       \begin{pspicture}(2.5,2.5)
       \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0.75,0.2)(0,1.5)(0.866,2)
       \psline(0.366,2.866)(2.366,-0.59)
       \psdots[dotsize=0.075](0.75,0.2)(0,1.5)(0.866,2)(1.245,1.35)(1.995,0.05)
       \uput[180](0,1.5){0}   \uput[0](0.866,2){$\boldsymbol{P}x+\lambda b$}
       \uput[0](0.75,0.2){$b$}  \uput[0](1.245,1.35){$\boldsymbol{P}x$}
       \uput[0](1.99,0.05){$x$}
       \end{pspicture}
           }
    Montrons que pour tout $x\in E$ avec $x\neq 0$ et
    $b:= x-\boldsymbol{P}x\neq 0$, il existe $y\neq 0$ tel que
    $\displaystyle{  \dfrac{\|x-\boldsymbol{P}x\|}{\|x\|} =
          \dfrac{\|b\|}{\|x\|} \leqslant \dfrac{\|\boldsymbol{P}y\|}{\|y\|} }$.
    On aura alors effectivement $\|\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}\|\leqslant
    \|\boldsymbol{P}\|$.  Ensuite, on permutera \'evidemment $\boldsymbol{P}$ et $\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}$.
    Comme $b\neq 0$, $\exists! \lambda\in\mathbb{R}:
      (\boldsymbol{P}x+\lambda b,b)=0$, et prenons pour $y$ ce
      $\boldsymbol{P}x+\lambda b$ orthogonal \`a $b$.
      Remarquons que $\boldsymbol{P}b=\boldsymbol{P}x-\boldsymbol{P}^2x=0$,
      donc $\boldsymbol{P}y=\boldsymbol{P}x$. Normes:
      $\|\boldsymbol{P}y\|^2= \|\boldsymbol{P}x\|^2=
        \|y-\lambda b\|^2 = \|y\|^2+\lambda^2 \|b\|^2$,  \\
      $\hspace*{65pt}  \|x\|^2 = \|y+(1-\lambda) b \|^2 =
         \|y\|^2 +(1-\lambda)^2 \|b\|^2$. \\
       Il faut montrer $\|b\|^2\|y\|^2\leqslant \|\boldsymbol{P}y\|^2 \|x\|^2$,
       ou
       $0\leqslant \|y\|^4 +(\lambda^2+(1-\lambda)^2-1)\|y\|^2\|b\|^2
          +\lambda^2(1-\lambda)^2\|b\|^4$,
       ce qui vaut $[\|y\|^2-\lambda(1-\lambda)\|b\|]^2$.

   \item J. Meinguet, \'et\'e 2005:
   \parpic{
   \psset{unit=1cm}
   \begin{pspicture}(3.5,2)
   \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](1,0)(2.125,0.65)\uput[0](2.125,0.65){$x'$}
   \psline(1,0)(1.905,1.045)  \uput[0](1.9,1.04){$x$}
    \psline{->}(1,0)(3.5,0)   \uput[90](3.4,0){$\mathcal{R}(\boldsymbol{P})$}
    \psline(2.5,0)(1.485,2)
    \psline{->}(1,0)(0,2)   \uput[0](0,1.70){$\mathcal{R}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})$}
    \uput[270](2.5,0){$\boldsymbol{P}x$}
    \psdots[dotsize=0.075](1,0)(2.5,0)(2.125,0.65)(1.915,1.055)
    \psarc(2.5,0){0.3}{0}{120}   \psarc(1.905,1.045){0.3}{225}{302}
    \uput[45](2.5,0){$\theta$}  \uput[270](1.9,1){$\gamma$}
   \end{pspicture}
   }
  Soit $\theta$ l'angle entre $\boldsymbol{P}x$ et $x-\boldsymbol{P}x$ (nous
  prenons \'evidemment $\boldsymbol{P}$ et $\boldsymbol{I}-
   \boldsymbol{P}$ non triviaux, et $x$ et $x-\boldsymbol{P}x$ non
  nuls). Loi des sinus dans le triangle $0, x, \boldsymbol{P}x$:
  $\displaystyle{  \dfrac{\|\boldsymbol{P}x\|}{\|x\|} =
                  \dfrac{\sin\gamma}{\sin\theta} \leqslant
                    \dfrac{1}{\sin\theta}  }$.
   On peut d'ailleurs toujours atteindre la borne $1/\sin\theta$, il
   suffit de remplacer $x$ par $x'=$ la projection orthogonale de 0
   sur le c\^ot\'e  $(x,\boldsymbol{P}x)$:
  $\displaystyle{  \dfrac{\|\boldsymbol{P}x=\boldsymbol{P}x'\|}{\|x'\|} =
                  \dfrac{1}{\sin\theta} }$.
    On a donc $\|\boldsymbol{P}\|=1/\sin\theta_{\inf}$, o\`u
    $\theta_{\inf}$   est l'infimum sur tous les $x\in E$ (avec
    $x\neq 0$ et $x-\boldsymbol{P}x\neq 0$)
    de l'angle entre $\boldsymbol{P}x$
    et $x-\boldsymbol{P}x$. Cette quantit\'e est \'evidemment la
    m\^eme pour $\boldsymbol{P}$ et $\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}$\footnote{$\theta_\inf$
 est l'angle entre les espaces d'arriv\'ee $\mathcal{R}(\boldsymbol{P})$,
 $\mathcal{R}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})$ de $\boldsymbol{P}$ et
$\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}$. En effet, l'angle entre deux
espaces $F$ et $G\subset E$  est le plus petit angle entre $u\in
F$ et $v\in G$ (G. Golub, C. Van Loan, \textsl{Matrix
Computations}, North Oxford Academic, 1983 (au moins deux autres
\'editions)). Ici, $u=\boldsymbol{P}y$,
$v=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})z$, avec $y$ et $z$ quelconques
dans $E$, et ind\'ependants semble-t-il. Mais, avec $x=u+v$, on a
bien $\boldsymbol{P}x=\boldsymbol{P}u+\boldsymbol{P}v= u$ et
$(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})x=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})u+
(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P})v=v$.}.
\end{enumerate}
 \qed

Nous avons donc
$$
\|u-u_h\|  = \|(I-S_h)(u-\Pi_h u)\| \leqslant
 \|S_h\|\;\|(u-\Pi_h u)\| \leqslant  (d/c)\|u-\Pi_h u\|.
$$

}  % end Small

\smallskip

\subsection{Moindres carr\'es} On cherche $u_h$ dans $U_h$ qui
minimise $\|A u_h-f\|$ dans $V_h$:\\
$\|A(u_h+\varepsilon w_h)-f\|^2 -\|Au_h-f\|^2 =
 (A(u_h+\varepsilon w_h)-f, A(u_h+\varepsilon w_h)-f) -(Au_h-f, Au_h-f) =
2 (Au_h-f, Aw_h)\varepsilon +(Aw_h, Aw_h)\varepsilon^2 $
positif pour $\forall \varepsilon$ r\'eel seulement si
$(Au_h-f, Aw_h)=0$, $\forall w_h\in U_h$: cela revient \`a prendre
$V_h = AU_h$.

\subsection{Collocation} $P_h=$ interpolant dans $V_h$: l'\'equation
est r\'esolue exactement en un nombre fini de points impos\'es.


%\newpage  %\setcounter{page}{1}

\chapter{M\'ethode des \'el\'ements finis.}
\renewcommand{\mylmark}{\'El\'ements finis.}
\thispagestyle{fancy}

\section{Introduction et d\'efinition.}

Il est question de r\'esoudre le probl\`eme variationnel
maintenant familer
$$
    ?u_h\in U_h: \qquad a(u_h,v) =\varphi(v), \qquad\forall v\in U_h,
$$
(il s'agit donc bien de l'approximation de Ritz)

dans des espaces de dimension finie $U_h$ dont les \'echantillons les
plus simples sont, respectivement pour $\Omega\subset \mathbb{R}$ et
                                       $\Omega\subset \mathbb{R}^2$:

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(15,7)
 \put(0,0){\vector(1,0){7}} \put(6.8,0.1){$x$}
 \put(0,0){\vector(0,1){5.75}} \put(0.2,5.7){$u$}
 \dashline{0.25}(1,0)(1,2.5)
 \dashline{0.25}(2,0)(2,1.5)
 \dashline{0.25}(3,0)(3,4.5)
 \dashline{0.25}(4,0)(4,3)
 \dashline{0.25}(5,0)(5,4)
 \thicklines
 \drawline(1,2.5)(2,1.5)(3,4.5)(4,3)(5,4)
 \put(1.4,0.2){$e_1$} \put(0.9,-0.5){$P_1$}
 \put(2.4,0.2){$e_2$} \put(1.9,-0.5){$P_2$}
 \put(3.4,0.2){$e_3$} \put(2.9,-0.5){$P_3$}
 \put(4.4,0.2){$e_4$} \put(3.9,-0.5){$P_4$}
                      \put(4.9,-0.5){$P_5$}
 \put(2.4,-0.9){$\Omega$}
 \Thicklines
  \drawline(1,0)(5,0)
 \thinlines
% \put(0.5,0){\circle*{0.2}}
% \put(3.5,0){\circle*{0.2}}
 \put(8,0){\vector(1,0){7}} \put(14.8,0.1){$x$}
 \put(8,0){\vector(1,2){2}}  \put(10.1,3.9){$y$}
 \put(8,0){\vector(0,1){5.75}} \put(8.2,5.7){$u$}
 \dashline{0.25}(11,1)(11,5.5)
 \dashline{0.25}(12,3)(12,6)
 \dashline{0.25}(13,0.25)(13,4)
 \dashline{0.25}(14,2)(14,6)
 \dashline{0.25}(15,1)(15,5)
 \dashline{0.25}(12.7,1)(12.7,5.7)
 \drawline(12,3)(12.7,1)(13,0.25)(14,2) \drawline(11,1)(12.7,1)(14,2)
 \drawline(12,6)(12.7,5.7)(13,4)(14,6)  \drawline(11,5.5)(12.7,5.7)(14,6)
 \thicklines
 \drawline(11,5.5)(13,4)(15,5)
 \drawline(11,5.5)(12,6)(14,6)(15,5)
 \Thicklines
 \drawline(11,1)(13,0.25)(15,1)(14,2)(12,3)(11,1)
 \put(10.6,0.7){$P_1$} \put(11.3,2.7){$P_2$} \put(12.1,1.1){$P_3$}
 \put(14.1,2.1){$P_4$} \put(13.2,0.1){$P_5$} \put(15.1,0.8){$P_6$}
 \put(11.6,1.6){$e_1$} \put(12,0.7){$e_2$} \put(13.1,1.7){$e_3$}
 \put(12.8,0.7){$e_4$} \put(14,1){$e_5$}
 \end{picture}

\vspace*{1cm}
On note que
\begin{enumerate}
 \item
 $\Omega$ est divis\'e en sous-ensembles, les \emph{\textbf{\'el\'ements}},
   suffisamment simples et petits. \\Evidemment ($n>1$), on ne peut
  d\'ej\`a plus prendre n'importe quel domaine $\Omega$ si on se limite
 \`a des \'el\'ements polygonaux ou poly\'edriques. On acceptera
 souvent de modifier $\Omega$.
  \item
  La restriction de toute fonction de $U_h$ \`a un $e_i$ est une fonction
  simple, souvent un polyn\^ome de degr\'e faible (ici, degr\'e~1: ligne
  bris\'ee \`a 1 dimension, espace de Courant \`a deux dimensions).
 \item
   La valeur d'une fonction de $U_h$ dans un \'el\'ement $e_k$ est
 enti\`erement d\'etermin\'ee par ses valeurs aux points
 $P_i\in e_k$ (\emph{\textbf{interpolation}}).
\end{enumerate}

\smallskip

La m\'ethode des \'el\'ements finis est ce dialogue (trialogue, en fait)
entre g\'eom\'etrie des \'el\'ements, espace de fonctions associ\'ees \`a
un \'el\'ement et formes d'interpolation.

\smallskip

Plus pr\'ecis\'ement:             \index{El\'ement fini, d\'efinition}

\noindent\textbf{D\'efinition.} \textsl{ Un espace $U_h$ d'\'el\'ements
finis est un espace de fonctions d\'efinies par leurs restrictions
sur des parties $e_k$, $k=1,2,\dotsc,E <\infty$ de $\overline{\Omega}$, et
ayant les propri\'et\'es suivantes:
\begin{enumerate}
 \item
   \begin{enumerate}
     \item Chaque $e_k$ est un ferm\'e r\'egulier pour le th\'eor\`eme
       de la divergence (cf. p.~\pageref{thdiv}),
     \item la mesure de $e_k\cap e_\ell$ est nulle si $ k\neq\ell
      (\iff
        \overset{\circ}{e_k} \cap \overset{\circ}{e_\ell}
         = \varnothing $ si $k\neq \ell$:   int\'erieurs disjoints),
     \item $\displaystyle{\overline{\Omega} = \bigcup_{k=1}^E  e_k }$.
   \end{enumerate}
  \item La restriction d'une fonction de $U_h$ \`a $e_k$ est dans un
    espace donn\'e (de dimension finie) $V_k$.
  \item On se donne des formes $F_i$ associ\'ees \`a des points
    $P_i$ (non n\'ecessairement distincts) $\in \overline{\Omega}$.
    \textbf{La restriction d'une fonction $\boldsymbol{u}$ de
     $\boldsymbol{U_h}$ \`a $\boldsymbol{e_k}$
    doit pouvoir \^etre enti\`erement d\'etermin\'ee par les valeurs
   $\boldsymbol{F_i(u)}$ avec $\boldsymbol{P_i\in e_k}$ } (interpolation).
       \\
      $F_i(v)$ est le plus souvent une combinaison
      lin\'eaire de $v(P_i)$ et de d\'eriv\'ees de $v$ au point $P_i$.
      \\
     On dit que  l'ensemble
     $\{F_i\}_{i\in Q_k}$, o\`u $Q_k$ est l'ensemble des indices des
 noeuds appartenant \`a $e_k$, doit \^etre \emph{ $V_k-$unisolvant.} \\
   En particulier, la dimension de $V_k$ doit \^etre \'egale \`a la
   cardinalit\'e de $Q_k$.
\end{enumerate}
}  %end textsl

\smallskip

  $u_{\mathbf{c}}$ est alors la fonction dont la restriction
 \`a $e_k$ est la solution du probl\`eme
$$ \hspace*{1pt} (P_k) \hspace*{55pt} F_i(v)=c_i \;, i\in Q_k.$$

On obtient ainsi un grand ensemble $\{F_1,\dots, F_N\}$ $U_h-$unisolvant
\`a partir d'ensembles beaucoup plus simples. En particulier, quand
$h$ (diam\`etre moyen des $e_k$) tend vers z\'ero, $N$ tend vers l'infini,
mais on demandera que les dimensions des $V_k$ restent born\'ees.

\bigskip

Des auteurs (Ciarlet [\textsl{The Finite Element Method for Elliptic Problems}, p.~78],
, Raviart) ont donn\'e cette \emph{d\'efinition}
formelle d'un \'el\'ement fini: un \'el\'ement fini est un ensemble de
triples $(e_k, V_k, \{F_i\}_{i\in Q_k})$ associ\'es aux $e_k$, avec
$\{F_i\}_{i\in Q_k}\} V_k-$unisolvant \textbf{et} $F_i(v)$ prenant la
m\^eme valeur sur tous les $e_k$ tels que $i\in Q_k$: cette condition
remplace la mention d'un point $P_i$ et autorise des \'el\'ements finis
(partiellement) non nodaux.\\
Exemple: $e_k=[x_k, x_{k+1}]$, $F_{2k}(v)= v(x_k)$, $F_{2k+1}(v)=
\int_{x_k}^{x_{k+1}} v(t)dt$; $V_k=\mathscr{P}_2$. $Q_k=\{2k, 2k+1, 2k+2\}$.

\bigskip \bigskip

\section{Ensembles unisolvants, interpolation.}

\bigskip

Soient $F_1,\dots, F_m$ des formes d\'efinies sur un espace vectoriel
(r\'eel) $W$ de dimension $m$.             \index{unisolvant, ensemble}

On dit que $\{F_1,\dots, F_m\}$ \textbf{forme un ensemble $W-$unisolvant}
 si le probl\`eme
\begin{equation} \label{unisol1}
            F_i(v)=c_i \;, i=1,\dotsc, m
\end{equation}
a exactement une seule solution $v\in W$ pour tout $\mathbf{c}= [c_1,\dots, c_m]^T\in
 \mathbb{R}^m$.

Les $F_i$ doivent \'evidemment \^etre ind\'ependantes: si une
combinaison $\sum_1^m \lambda_i F_i$ \'etait la forme nulle, avec au
moins un $\lambda_i\ne 0$, on ne pourrait r\'esoudre $(P)$ avec des
$c_i$ v\'erifiant $\sum_1^m \lambda_i c_i\neq 0$\dots

Soit $w_1,\dots, w_m$ une base de $W$. La condition d'unisolvance
est alors:
$$ \det \mathbf{M} = \det \begin{bmatrix} F_1(w_1) & \dots & F_1(w_m) \\
                                    \dots    & \dots & \dots  \\
                                    F_m(w_1) & \dots & F_m(w_m) \end{bmatrix}
  \neq 0 $$
puisque chercher \`a r\'esoudre \eqref{unisol1} par la repr\'esentation
$w=\sum_1^m \mu_k w_k$ revient pr\'ecis\'ement \`a r\'esoudre le syst\`eme
d'\'equations lin\'eaires $\mathbf{M}\boldsymbol{\mu} = \mathbf{c}$.

\smallskip
\textbf{Important:} on \'evite souvent le recours au calcul explicite
d'un d\'eterminant en exploitant un des \'enonc\'es \'equivalents
suivants:\\
\textbf{Th\'eor\`eme.}\textsl{
Soient $F_1,\dots, F_m$ des formes d\'efinies sur un espace vectoriel
(r\'eel) $W$ de dimension $m$. Alors
  \begin{enumerate}
   \item $\{F_1,\dotsc, F_m\}$ est $W-$unisolvant.
   \item  $\det [F_i(w_j)]_1^m \neq 0$ pour toute base $\{w_i\}$ de $W$.
   \item Seul l'\'el\'ement nul de $W$ annule toutes les valeurs
      $F_i(w)$, $i=1,\dotsc, m$.
   \item On peut trouver $m$ \'el\'ements $L_1,\dotsc, L_m$ de $W$
    v\'erifiant $F_i(L_j)=\delta_{i,j}$, $i,j=1,\dotsc, m$.
  \end{enumerate}
sont \'equivalents.}

En effet, on a d\'ej\`a $ 1) \iff 2)$. \\
$2)\iff 3)$: le d\'eterminant d'une matrice carr\'ee est non nul si
et seulement si le syst\`eme d'\'equations lin\'eaires homog\`enes
construit avec cette matrice n'admet que la solution
nulle \footnote{cas \'el\'ementaire de l'alternative de Fredholm\dots}.\\
$1)\Rightarrow 4)$: si $\{F_1,\dotsc, F_m\}$ est unisolvant, on peut
trouver $v\in W$ tel que $F_i(v)= \delta_{i,j}$, $i=1,\dotsc, m$. Appelons
$L_j$ cette solution $v$. \\
$4)\Rightarrow 1)$: constatons que, $\forall \mathbf{c}\in
  \mathbb{R}^m, v=\displaystyle{\sum_{j=1}^m c_j L_j}$ est un \'el\'ement
de $W$ qui v\'erifie $F_i(v) = c_i$, $i=1,\dotsc, m$. On peut donc
r\'esoudre $\mathbf{Mv} = \mathbf{c}$ pour tout $\mathbf{c}\in\mathbb{R}^m$,
 donc, $\det\mathbf{M}\neq 0$. \qed

\smallskip

Un \'etudiant MAP22 a tr\`es justement remarqu\'e (en septembre 2000)
que \\ 3) signifie que la matrice $\mathbf{M}$ repr\'esente une application
\emph{\textbf{injective}} dans $\mathbb{R}^m$, et que \\
    \\ 4) signifie que la matrice $\mathbf{M}$ repr\'esente une application
\emph{\textbf{surjective}}~!

\smallskip

On appelle $\{L_1,\dotsc, L_m\}$ la \emph{\textbf{base de Lagrange}}
de $W$ associ\'ee \`a $\{F_1,\dotsc, F_m\}$.

Changement de base: chaque \'el\'ement $\tilde w_\ell$ d'une nouvelle
base de $W$ s'exprime en fonction des $w_k$:
$$ [\tilde w_1, \dots, \tilde w_m] = [w_1, \dots, w_m] \mathbf{Q} , $$
avec $\det \mathbf{Q}\neq 0$, d'o\`u
$$ \mathbf{M} = \begin{bmatrix} F_1 \\ \dots  \\ F_m \end{bmatrix}
                [w_1, \dots, w_m] =
                \begin{bmatrix} F_1 \\ \dots  \\ F_m \end{bmatrix}
                [\tilde w_1, \dots, \tilde w_m] \mathbf{Q}^{-1}=
                \widetilde{\mathbf{M}} \mathbf{Q}^{-1}.
$$

La base de Lagrange de $W$ associ\'ee \`a
 $\{F_1,\dots, F_m\}$ est la base \textbf{biorthogonale} \`a
 $\{F_1,\dots, F_m\}$,
c'est-\`a-dire
   $\mathbf{M} = \mathbf{I}$:
$$ F_i(L_j) = \delta_{i,j}\;, i,j=1,\dots, m.$$


\smallskip

La solution de \eqref{unisol1} dans la base de Lagrange de $W$ est donc
\begin{equation} \label{unisol2}
           v=\sum_1^m c_i\, L_i \quad = \sum_1^i F_i(v)\, L_i.
\end{equation}

\smallskip

\emph{\textbf{L'interpolation}} d'une fonction $f$ dans $W$ selon
$\{F_1,\dotsc, F_m\}$ consiste \`a trouver $v\in W$ tel que
$F_i(v) = F_i(f)$, $i=1,\dotsc, m$. L'interpolant de $f$ est donc

\begin{equation} \label{unisol3}
           v= \sum_1^i F_i(f)\, L_i.
\end{equation}

\smallskip

Les $L_i$ sont aussi appel\'ees \emph{\textbf{fonctions de forme}}
[Zienkiewicz].           \index{fonction de forme}

\medskip

La base de Lagrange de $U_h$ pour $\{F_1,\dots, F_N\}$ est simplement
$\{u_1,\dots, u_N\}$ avec $u_j= u_{[0,\dots, 0,1,0\dots, 0]}$, c'est-\`a-dire
la fonction dont la restriction \`a $e_k$ est l'\'el\'ement correspondant de la
base de Lagrange de $V_k$. Il s'ensuit que la restriction de $u_j$ \`a
$e_k$ sera la fonction nulle d\`es que $j\notin Q_k$, c'est-\`a-dire d\`es que
$P_j \notin e_k$: \emph{le support de $u_j$ n'est constitu\'e que des
\'el\'ements $e_k$ contenant $P_j$}.

\smallskip

\emph{Les bon choix d'\'el\'ements finis conduisent \`a des bases de
Lagrange de petits supports. La matrice de rigidit\'e $[a(u_i, u_j)]$
aura alors de tr\`es nombreux \'el\'ements nuls (matrice creuse).
}

\smallskip

\textbf{Remarque:} si $k\neq \ell$, les int\'erieurs de $e_k$ et $e_\ell$
sont disjoints mais les (ferm\'es) $e_k$ et $e_\ell$ peuvent avoir une
intersection non vide. Il importe alors que les d\'efinitions de $u\in U_h$
par ses restrictions sur $e_k$ et $e_\ell$ coincident sur
$e_k\cap e_\ell$ (\'el\'ements finis \emph{conformes})!

\bigskip

Dans les exemples qui suivent, on d\'ecrira

 \begin{enumerate}
   \item l'\'el\'ement $e_k$,
   \item l'espace $V_k$,
   \item les formes $F_i$,
 \end{enumerate}

et on \emph{v\'erifiera}

 \begin{enumerate}
   \item l'unisolvance des $F_i$ par rapport \`a $V_k$, par une ou
     plusieurs des trois m\'ethodes vues plus haut: d\'eterminant
     non nul ou/et unicit\'e de la solution pour tous les $F_i=0$
     ou/et construction de base de Lagrange (m\'ethode la plus
     utile),
   \item le degr\'e de \emph{continuit\'e} d'un \'el\'ement
     de $U_h$, c'est-\`a-dire le plus grand $p$ tel que
     $U_h \subseteq \mathscr{C}^p_I$.
 \end{enumerate}

\section{El\'ements unidimensionnels.}      \index{El\'ements unidimensionnels}


\subsection{Interpolation lin\'eaire par morceaux}  \  \\

On prend $x_1 < \dots < x_N$, $e_k= [x_k, x_{k+1}], k=1,\dots, E=N-1$;
$P_i= x_i, F_i(v)=v(x_i), i=1,\dots, N$; $V_k=\mathscr{P}_1$, $k=1,\dots,
N-1$.\\
On trouve $Q_k=\{k, k+1\}, k=1,\dots, N-1$. $\{F_k, F_{k+1}\}$ est
\'evidemment $V_k-$unisolvant. $u_{\mathbf{c}}$ est la fonction lin\'eaire
par morceaux prenant la valeur $c_i$ en $x_i$.\\
Notez que toutes les fonctions de $U_h$ sont continues sur
$\overline{\Omega} = [x_1, x_N]$: $U_h\subseteq \mathscr{C}^1_I$.

\smallskip

Base de Lagrange: $u_{[0,0,\dotsc, 0,1,0,\dotsc, 0]}$ est nulle en
dehors de son \emph{support} $[x_{i-1}, x_{i+1}]$. Elle vaut
$(x-x_{i-1})/(x_i-x_{i-1})$ sur $[x_{i-1},x_i]$;
$(x_{i+1}-x)/(x_{i+1}-x_i)$ sur $[x_i,x_{i+1}]$. On v\'erifie bien
le raccord en $x_{i-1}$, $x_i$ et $x_{i+1}$. N.B. Si $i=1$ ou $i=N$, le
support se r\'eduit \`a un seul intervalle.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,2.5)
% \psline{->}(0,0)(7,0)  \uput[90](6.9,0.2){$x$}
% \psline{->}(3,0)(3,3.5) \uput[0](3.2,3.2){$u$}\uput[0](4.2,2.2){$t=0$}
  \psline(0,0)(5,0)  \uput[0](0.7,2){$u_{[1,0,\dotsc,0]}$}   \uput[270](0.5,0){$x_1$}
  \psline(6,0)(11,0)  \uput[0](9.2,2){$u_{[0,\dotsc,0,1,0\dotsc,0]}$}  \uput[270](9,0){$x_i$}
  \psline(12,0)(17,0)  \uput[0](13.2,2){$u_{[0,\dotsc,0,1]}$}\uput[270](15,0){$x_N$}
  \uput[270](2,0){$x_2$}
  \uput[270](8,0){$x_{i-1}$}
  \uput[270](9.8,0){$x_{i+1}$}
  \uput[270](14,0){$x_{N-1}$}
  \psline[linestyle=dashed,dash=4mm 4mm](0.5,2)(0.5,0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=4mm 4mm](9,2)(9,0)
  \psline[linestyle=dashed,dash=4mm 4mm](15,2)(15,0)
 \psset{linewidth=0.075}
 \psline[linecolor=darkgray](0.5,2)(2,0)(5,0)
 \psline[linecolor=darkgray](6.5,0)(8,0)(9,2)(9.5,0)(10.5,0)
 \psline[linecolor=darkgray](11.5,0)(14,0)(15,2)
 \psdots[dotsize=0.15](0.5,0)(2,0)(3,0)(4.5,0)
  \psdots[dotsize=0.15](6.5,0)(8,0)(9,0)(9.5,0)(10.5,0)
  \psdots[dotsize=0.15](11.5,0)(13,0)(14,0)(15,0)
%\pscurve[linecolor=darkgray](0,0.1)(1.5,0.22)(2,0.4)(3,2.0)(4,0.4)(4.5,0.22)(7,0.1)
\end{pspicture}


\medskip \smallskip

\textbf{Exercice.} Imposer la condition
 essentielle $u_{\mathbf{c}}(0)=0$. Que vaut $N$? Et si on impose les deux
 conditions essentielles $u_{\mathbf{c}}(0)= u_{\mathbf{c}}(1)=0$?

\subsection{Interpolation polynomiale de Lagrange}\   \\

On peut atteindre une approximation plus pr\'ecise ($=$ une
division de $\overline{\Omega}$ en des \'el\'ements plus grands
suffira \`a atteindre une pr\'ecision demand\'ee) en se
donnant $x_1, \dots, x_m$ distincts \emph{dans un m\^eme \'el\'ement} $e$;
 $F_i(v)= v(x_i), i=1,\dots, m$, $V=\mathscr{P}_{m-1}$.\\
 Avec la base $w_j(x)= x^{j-1}, j=1,\dots, m$, $\mathbf{M}=
  [F_i(w_j) = x_i^{j-1}]$, matrice de Vandermonde\dots \\
  Par le syst\`eme homog\`ene: tous les $F_i(v)=0 \Rightarrow$ $v$ doit
 s'annuler en chaque $x_i$ $\Rightarrow$ \\ $v(x)=K (x-x_1)\dots (x-x_m)$
 $\Rightarrow$ $v$ serait dans $\mathscr{P}_m\setminus V$ si $K\neq 0$
 $\Rightarrow v=0$. \\
 Base de Lagrange: $\displaystyle{
 L_j(x)=\prod_{\substack{\ell=1\\ \ell\neq j}}^m \dfrac{x-x_\ell}{x_j-x_\ell} }$
vaut bien 1 en $x_j$, 0 aux autres points.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,3.5)
  \uput[270](1.5,0.5){$x_1$}
  \uput[270](12,0.5){$x_m$}
  \psline(1,0.5)(16,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](10,1.45)(10,0.5)
  \uput[0](6,2.5){$L_5$}
  \uput[180](10,1.7){$1$}
 \psset{linewidth=0.075}
 %\pscurve[linecolor=darkgray](1.5,0.5)(2.5,0.5)(4,2.8)(5,3.3)(6,0.5)(7.5,-0.4)(9,0.5)(11,1)(12,0.5)
  \psplot[linecolor=darkgray]{1.5}{12}{x 1.5 sub x 2.5 sub mul x 6 sub mul x 9 sub mul x 12 sub mul -500 div 0.5 add}
  \psdots[dotsize=0.15](1.5,0.5)(12,0.5)
  \psdots[dotsize=0.15,dotstyle=o](2.5,0.5)(10,0.5)(6,0.5)(9,0.5)(10,1.6)
\end{pspicture}
 $\hspace*{2.3cm}\underbrace{\hspace*{10cm}} $\\ $\hspace*{7.2cm}e$

\smallskip

Raccord avec les \'el\'ements voisins: si $x_1$ et $x_m$ sont les
extr\'emit\'es de $e$, $L_2,\dotsc, L_{m-1}$ ont un support r\'eduit
au seul \'el\'ement $e$: ces fonctions se prolongent par la fonction
nulle en dehors de $e$. Seules $L_1$ et $L_m$ doivent \^etre prolong\'ees
par des fonctions non nulles sur un \'el\'ement voisin de $e$ ($L_1$ est
prolong\'ee \`a gauche par le $L_m$ de l'\'el\'ement pr\'ec\'edant $e$;
                                                               $L_m$ est
prolong\'ee \`a droite par le $L_1$ de l'\'el\'ement suivant $e$).
On ne d\'epasse pas $\mathscr{C}_I^1$.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,3.5)
  \uput[270](0.5,0.5){$x_1$}
  \uput[270](4,0.5){$x_m=x'_1$}
  \uput[270](7.4,0.5){$x'_{m'}$}
  \psline(0.3,0.5)(7.3,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2.5,2.0)(2.5,0.5)
  \uput[270](8,0.5){$x_1$}
  \uput[270](12,0.5){$x_m=x'_1$}
  \uput[270](14.9,0.5){$x'_{m'}$}
  \psline(7.8,0.5)(15,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](12,2.5)(12,0.5)
  %\uput[0](6,2.5){$L_3$}
 \psset{linewidth=0.075}
 %\pscurve[linecolor=darkgray](1.5,0.5)(2.5,0.5)(4,2.8)(5,3.3)(6,0.5)(7.5,-0.4)(9,0.5)(11,1)(12,0.5)
  \psplot{0.5}{4}{x 0.5 sub  x 4 sub mul -2 div 0.5 add}
  \psline(4,0.5)(7.5,0.5)
  \psplot{8}{12}{x 8 sub x 11 sub  mul 2 div 0.5 add}
  \psplot{12}{15}{x 14 sub x 15 sub mul 3 div 0.5 add}
  \psdots[dotsize=0.15](0.5,0.5)(4,0.5)(7.5,0.5)(8,0.5)(12,0.5)(15,0.5)
  \psdots[dotsize=0.15,dotstyle=o](2.5,0.5)(6,0.5)(11,0.5)(14,0.5)(2.5,2)(12,2.5)
\end{pspicture}

 \vspace*{11pt}

 $\hspace*{0.3cm}\underbrace{\hspace*{3.7cm}}
   \underbrace{\hspace*{3.5cm}}
  \hspace*{0.2cm}
                 \underbrace{\hspace*{4.2cm}}
   \underbrace{\hspace*{3cm}}   $\\
  $\hspace*{2.7cm}e$ \hspace*{3cm} $e'$  \hspace*{3.7cm} $e$ \hspace*{3.4cm}$e'$

\subsection{Interpolation polynomiale d'Hermite}\  \\

 On donne $m$ pair, $x_1,\dots, x_{m/2}$ distincts dans l'intervalle $e$,
 $F_{2i-1}(v)=v(x_i), F_{2i}(v)= v'(x_i), i=1,\dots, m/2$,
 $V=\mathscr{P}_{m-1}$. \\
  Par le syst\`eme homog\`ene: tous les $F_i(v)=0 \Rightarrow$ $v$ doit
 avoir un z\'ero \emph{double}
           en chaque $x_i$ $\Rightarrow$ \\ $v(x)=K (x-x_1)^2\dots (x-x_{m/2})^2$
 $\Rightarrow$ $v$ serait dans $\mathscr{P}_m\setminus V$ si $K\neq 0$
 $\Rightarrow v=0$. \\

\medskip

Base de Lagrange\footnote{Cf. le cours d'analyse num\'erique 1a
 \textsf{MATH2171}.}: une moiti\'e des \'el\'ements de la base de
Lagrange s'annule en tous les points sauf un, et a une d\'eriv\'ee
nulle en tous les points; l'autre moiti\'e
         s'annule en tous les points, et a une d\'eriv\'ee
nulle en tous les points sauf un.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,3.5)
  \psline(0,0.5)(7,0.5)  \psline(8,0.5)(15,0.5)
  \uput[270](0.5,0.5){$x_1$}   \uput[270](7,0.5){$x_{m/2}$}
  \uput[270](8.5,0.5){$x_1$}   \uput[270](15,0.5){$x_{m/2}$}
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](5.1,1.4)(5.1,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](4.0,1.4)(6.0,1.4)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](10,0.5)(10.8,1.3)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](10,0.5)(9.2,-0.3)
  \psset{linewidth=0.075,linecolor=darkgray}
  \psplot{0.5}{6.5}{x 0.5 sub x 0.5 sub mul x 3 sub mul x 3 sub mul x 6.5 sub mul x 6.5 sub mul 200 div 0.5 add}
  \psplot{8.5}{14.5}{x 8.5 sub x 8.5 sub mul x 10 sub mul x 14.5 sub mul x 14.5 sub mul 50 div 0.5 add}
  \psdots[dotsize=0.15](0.5,0.5)(6.5,0.5)(8.5,0.5)(14.5,0.5)
  \psdots[dotsize=0.15,dotstyle=o](3,0.5)(5.1,0.5)(5.1,1.4)(10,0.5)
\end{pspicture}

 \vspace*{3pt}

 $\hspace*{0.3cm}\underbrace{\hspace*{6.8cm}}
  \hspace*{1.4cm}
                 \underbrace{\hspace*{6.0cm}}  $\\
  $\hspace*{4.2cm}e$ \hspace*{7.6cm} $e$

En g\'en\'eral, on prend $\{F_i(v)\} = $ r\'eunion de suites
\emph{cons\'ecutives} de d\'eriv\'ees de $v$ en des points de $e$, en
partant de la valeur de $v$. L'espace $V$ est $\mathscr{P}_{m-1}$, $m$
\'etant le nombre total de formes $F_i$ retenues.

\smallskip

Si les d\'eriv\'ees vont jusque l'ordre $p$ aux deux extr\'emit\'es
de l'intervalle $e$, toutes les fonctions de $U_h$ se raccordent
jusqu'\`a l'ordre $p \Rightarrow U_h\subset \mathscr{C}_I^{p+1}$.

\medskip Un exemple plus simple: $m=3$, $F_1(v)=v(a)$, $F_2(v)=v(b)$,
  $F_3(v)=v'(b)$ $(a\neq b)$; $W=\mathscr{P}_2$. V\'erifiez que $\det \mathbf{M}
 \neq 0$ avec la base de votre choix.

\bigskip Un exemple d'ensemble non unisolvant:
 $m=5$,
 $F_1(v)= v(a)$, $F_2(v)=v'(a)$,
 $F_3(v)= v(b)$, $F_4(v)=v'(b)$,
 $F_5(v)= v'((a+b)/2)$, \quad $(a\neq b)$; $W=\mathscr{P}_4$.\\
Montrez que $\det\mathbf{M}=0$ ou qu'il existe des $v\in \mathscr{P}_4$,
 $v\neq 0$, tels que $F_i(v)=0, i=1,\dots, 5$.


\subsection{Interpolation cubique d'Hermite par morceaux} \  \\
\index{Hermite cubique 1-D} \  \\

On prend $N$ pair, des points $x_1 < \dots <x_{N/2+1}$, $e_k=[x_k, x_{k+1}],
k=1,\dots, E=N/2$; $P_1= x_1$, $F_1(v)=v(x_1)$,\\
  $P_{2i}=x_{i+1}$, $F_{2i}(v)=v(x_{i+1}), i=1,\dots, N/2-1$, \\
  $P_{2i+1}=P_{2i}=x_{i+1}$, $F_{2i+1}(v)=v'(x_{i+1}), i=1,\dots, N/2-1$,\\
$P_N= x_{N/2+1}$, $F_N(v)= v(x_{N/2+1})$;\\
$V_1= V_{N/2}=\mathscr{P}_2$, $V_k= \mathscr{P}_3, k=2,\dots, N/2-1$.\\
On a $Q_1=\{1,2,3\}$, $Q_k= \{2k-2, 2k-1, 2k, 2k+1\}, k=2,\dots, N/2-1$,
$Q_{N/2}= \{N-2, N-1, N\}$.\\
$u_{\mathbf{c}}$ est la fonction de degr\'e $\leqslant 2$ sur $[x_1, x_2]$
et $[x_{N/2}, x_{N/2+1}]$, de degr\'e $\leqslant 3$ sur
$[x_k, x_{k+1}], k=2,\dots, N/2-1$, qui prend les valeurs $c_1, c_2, c_4,
\dots, c_{N-2}, c_N$ en $x_1, x_2, x_3, \dots, x_{N/2}, x_{N/2+1}$, et dont
la d\'eriv\'ee prend les valeurs $c_3, c_5, \dots, c_{N-1}$ en
$x_2, x_3, \dots, x_{N/2}$. Cette fonction est contin\^ument d\'erivable
sur $\overline{\Omega}= [x_1, x_{N/2+1}]$.

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,3.5)
  \uput[270](0.5,0.5){$x_{i-1}$}
  \uput[270](4,0.5){$x_i$}
  \uput[270](7.4,0.5){$x_{i+1}$}
  \psline(0.3,0.5)(7.3,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](4,2.5)(4,0.5)
  \uput[270](8,0.5){$x_{i-1}$}
  \uput[270](12,0.5){$x_i$}
  \uput[270](14.9,0.5){$x_{i+1}$}
  \psline(7.8,0.5)(15,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](11,-1.5)(12,0.5)(13,2.5)
  %\uput[0](6,2.5){$L_3$}
 \psset{linewidth=0.075,linecolor=darkgray}
 %\pscurve[linecolor=darkgray](1.5,0.5)(2.5,0.5)(4,2.8)(5,3.3)(6,0.5)(7.5,-0.4)(9,0.5)(11,1)(12,0.5)
  \psplot{0.5}{4}{x 0.5 sub  x 0.5 sub mul x 5.75 sub mul  -10.91 div 0.5 add}
  \psplot{4}{7.4}{x 7.4 sub x 7.4 sub mul x 2.3 sub mul 10 div 0.5 add}
  \psplot{8}{12}{x 8 sub x 8 sub  mul x 12 sub mul 8 div 0.5 add}
  \psplot{12}{15}{x 15 sub x 15 sub mul x 12 sub mul 4.5 div 0.5 add}
  \psdots[dotsize=0.15](0.5,0.5)(4,0.5)(7.4,0.5)(8,0.5)(12,0.5)(15,0.5)
  \psdots[dotsize=0.15,dotstyle=o](4,2.5)
\end{pspicture}

 \vspace*{11pt}

 $\hspace*{0.3cm}\underbrace{\hspace*{3.7cm}}
   \underbrace{\hspace*{3.5cm}}
  \hspace*{0.2cm}
                 \underbrace{\hspace*{4.2cm}}
   \underbrace{\hspace*{3cm}}   $\\
  $\hspace*{2.7cm}e$ \hspace*{3cm} $e'$  \hspace*{3.7cm} $e$ \hspace*{3.4cm}$e'$

\medskip \textbf{Et le spline cubique d'interpolation?}\\
Le spline cubique d'interpolation est encore de degr\'e $\leqslant 3$
par intervalle, prend des valeurs arbitraires aux extr\'emit\'es de ces
intervalles, mais des d\'eriv\'ees telles que cette fonction soit deux
fois contin\^ument d\'erivable. Ce n'est pas un \'el\'ement fini.
D'ailleurs, cette fonction n'est d\'etermin\'ee qu'en consid\'erant
globalement tous les $e_k$.

\medskip

\begin{center} \rule{4cm}{0.2mm}   \end{center}

\medskip

Un exemple (unidimensionnel) de probl\`eme d'ordre 4:

\parpic{
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(5,3)
 \put(0,2.5){\vector(1,0){4.5}}   \put(4,2.3){\line(0,1){0.4}}
     \put(4.5,2.6){$x$}  \put(3.8,2.8){$L$}
 \put(0,2.5){\vector(0,-1){2.5}}
 \put(4,1){\vector(0,-1){1}}  \put(3.6,0.5){$F$}
 \thicklines
  \spline(0,2.5)(1,2.5)(2.5,2)(4,1)
\end{picture}
}
 Poutre encastr\'ee fl\'echie par une force $F$ appliqu\'ee \`a
son extr\'emit\'e:
 $$ \int_0^L u''(x) v''(x)\,dx = \dfrac{F}{EI} v(L)\,, $$
 $  u(0)=u'(0)=v(0)=v'(0)=0, $ \\ $\iff \min J(u) = \dfrac{1}{2}
\displaystyle{ \int_0^L (u''(x))^2\,dx -\dfrac{F}{EI} u(L)}$.

Premier essai: $U_h=\{\alpha x^2,\; 0\leqslant x\leqslant L\}$, donc de
dimension 1. Ritz avec $v(x)=x^2$: $4\alpha L = FL^2/(EI)$, donc
$\alpha = FL/(4EI), \qquad J=-F^2L^3/(8E^2 I^2)$.

\smallskip
\'El\'ements finis avec $e_1=[0,L/2]$, $e_2=[L/2,L]$, $V_1=\{\alpha x^2
+\beta x^3\}$, $V_2=\mathscr{P}_2$ (donc, de dimensions 2 et 3),
$P_1=P_2=L/2, P_3=L$, $F_1(f)=f(L/2), F_2(f)=f'(L/2), F_3(f)=f(L)$.

On v\'erifie que
$\{F_1, F_2\}$ est bien $V_1-$unisolvant, que $\{F_1, F_2, F_3\}$ est
bien $V_2-$unisolvant. D'ailleurs, on arrive bien \`a construire les
bases de Lagrange $\{\ell_1, \ell_2\}$ de $V_1$: \\
$\displaystyle{ \ell_1(x) = \dfrac{-3Lx^2/4 +x^3}{-L^3/16} }$ v\'erifie bien
 $F_1(\ell_1) = \ell_1(L/2) =1$ et $F_2(\ell_1) = \ell'_1(L/2) =0$;\\
$\displaystyle{ \ell_2(x) = \dfrac{-Lx^2/2 +x^3}{L^2/4} }$ v\'erifie bien
 $F_1(\ell_2) = \ell_2(L/2) =0$ et $F_2(\ell_2) = \ell'_2(L/2) =1$,

et $\{m_1, m_2, m_3\}$ de $V_2$: \\
$\displaystyle{ m_1(x) = \dfrac{x(L-x)}{L^2/4} }$ v\'erifie bien
 $F_1(m_1) = m_1(L/2) =1$, $F_2(m_1) = m'_1(L/2) =0$ et $F_3(m_1)=m_1(L)=0$;\\
$\displaystyle{ m_2(x) = \dfrac{(x-L/2)(L-x)}{L/2} }$ v\'erifie bien
 $F_1(m_2) = m_2(L/2) =0$, $F_2(m_2) = m'_2(L/2) =1$ et $F_3(m_2)=m_2(L)=0$;\\
$\displaystyle{ m_2(x) = \dfrac{(x-L/2)^2}{L^2/4} }$ v\'erifie bien
 $F_1(m_3) = m_3(L/2) =0$, $F_2(m_3) = m'_3(L/2) =0$ et $F_3(m_3)=m_3(L)=1$,

d'o\`u on tire la base de Lagrange $\{u_{[1,0,0]}, u_{[0,1,0]},
u_{[0,0,1]}\}$ de $U_h$ (voir figure).

\smallskip

Ritz pour ce $U_h$: on cherche $u_h =
                                     Au_{[1,0,0]}+Bu_{[0,1,0]}
+Cu_{[0,0,1]}$ telle que $a(u_h,v) = \varphi(v)$, pour $v=$ les
3 \'el\'ements de la base de Lagrange de $U_h$, d'o\`u les 3 \'equations
$$
   \begin{bmatrix}
          128/L^3  &   -8/L^2  &  -32/L^3  \\
          -8/L^2   &   16/L    &  -16/L^2  \\
          -32/L^3  &  -16/L^2  &  32/L^3
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
       A  \\   B   \\       C
   \end{bmatrix}
  =
   \begin{bmatrix}
       0  \\   0   \\     F/EI
   \end{bmatrix}   ,
$$
ce qui donne
$$ C= u_h(L)=\,\dfrac{31}{96}\, \dfrac{FL^3}{EI}\;\;,
   J(u_h) = -\varphi(u_h)/2 =
            -\dfrac{31}{192}\, \dfrac{F^2L^3}{E^2I^2}\;.
$$

\parpic{
\setlength{\unitlength}{0.75cm}
\begin{picture}(5,9)
 \put(-1,5){\vector(1,0){6}}   \put(1.5,4.8){\line(0,1){0.4}}
                              \put(4,4.8){\line(0,1){0.4}}
     \put(1.3,4.5){${\Small L/2}$}  \put(3.7,4.5){${\Small L}$}
 \put(-1,5){\vector(0,1){2.5}}
 \dashline{0.25}(1.5,5)(1.5,7.5)
 \thicklines
  \spline(-1,5)(-0.5,5)(1,7.5)(1.5,7.5)    \spline(1.5,7.5)(2,7.5)(4,5)
 \put(-1,8){$\displaystyle{\Small\dfrac{-3Lx^2/4+x^3}{-L^3/16}}$}
 \put(2.6,8){$\displaystyle{\Small\dfrac{x(L-x)}{L^2/4}}$}
 \thinlines
 \put(-1,2){\vector(1,0){6}}   \put(1.5,1.8){\line(0,1){0.4}}
                              \put(4,1.8){\line(0,1){0.4}}
     \put(1.3,1.5){$L/2$}  \put(3.7,1.5){${\Small L}$}
 \put(-1,2){\vector(0,1){1.5}}
%\dashline{0.25}(1.5,1)(1.5,3.5)
 \thicklines
  \spline(-1,2)(-0.5,2)(1,1.5)(1.5,2)    \spline(1.5,2)(2,3.0)(4,2)
 \put(-0.75,3){$\displaystyle{\Small\dfrac{-Lx^2/2+x^3}{-L^2/4}}$}
 \put(2.1,3){$\displaystyle{{\Small \dfrac{(x-L/2)(L-x)}{L/2}}}$}
 \thinlines
 \put(-1,-2){\vector(1,0){6}}   \put(1.5,-2.2){\line(0,1){0.4}}
                              \put(4,-2.2){\line(0,1){0.4}}
     \put(1.3,-2.5){$L/2$}  \put(3.7,-2.5){$L$}
 \put(-1,-2){\vector(0,1){1.5}}
 \dashline{0.25}(4,-2)(4,0.5)
 \thicklines
  \drawline(-1,-2)(1.5,-2)    \spline(1.5,-2)(2.5,-2)(4,0.5)
 \put(0.7,-1.7){$\displaystyle{0}$}
 \put(1.7,-0.5){\Small$\displaystyle{\dfrac{(x-L/2)^2}{L^2/4}}$}
\end{picture}
}
%
{\Small  \tt
diary   \\
\%   \href{testfem2.m}{\framebox{testfem2.m}}  :   test de  int de 0 a L   de u'' v'' = F v(L) \\
\%  \\
clear;n=input('nombre de subdivisions '),  \\
xi=symmul('L',symdiv((1:n),n)); xxi=symsub('x',xi);   \\
\%   \\
\%base de Lagrange:     \\
\%  le (2i-1)eme element est relatif a la VALEUR au ieme point,  \\
\%  le (2i)eme element est relatif a la DERIVEE  au ieme point.  \\
\%                                                               \\
\%   Lg  = restrictions au sous-intervalle de gauche             \\
\%   Ld  = restrictions au sous-intervalle de droite             \\
Lg=zeros(1,2*n-1);Lg=sym(Lg);        Ld=zeros(1,2*n-1);Ld=sym(Ld); \\
\%   Lg(2i-1)=(1+n(x-xi)/L)\^{}2(1-2n(x-xi)/L) ,                     \\
\picskip{7}
\%   Ld(2i-1)=(1-n(x-xi)/L)\^{}2(1+2n(x-xi)/L) ,  \\
\%   Lg(2i)=(1+n(x-xi)/L)\^{}2 (x-xi)  , Ld(2*i)=(1-n(x-xi)/L)\^{}2 (x-xi) . \\
for j=1:n-1,    \\
{}\qquad    aux=sym(xxi,1,j);  \\
{}\qquad    aux1=symop(1,'+',n,'*',aux,'/','L');aux1=sympow(aux1,2); \\
{}\qquad    aux2=symmul(aux1,aux);   Lg=sym(Lg,1,2*j,aux2);          \\
{}\qquad    aux2=symop(1,'-',2,'*',n,'*',aux,'/','L');aux1=symmul(aux1,aux2); \\
\begin{verbatim}
     Lg=sym(Lg,1,2*j-1,aux1);
    aux1=symop(1,'-',n,'*',aux,'/','L');aux1=sympow(aux1,2);
    aux2=symmul(aux1,aux);   Ld=sym(Ld,1,2*j,aux2);
    aux2=symop(1,'+',2,'*',n,'*',aux,'/','L');aux1=symmul(aux1,aux2);
     Ld=sym(Ld,1,2*j-1,aux1);
end;
\end{verbatim}   } % end Small

{\Small  \begin{verbatim}
% cas du dernier point
    aux=sym(xxi,1,n);
    aux1=symop(1,'+',n,'*',aux,'/','L');aux1=sympow(aux1,2);
                             Lg=sym(Lg,1,2*n-1,aux1);
% a droite de l'avant dernier point:
    aux1=sym(xxi,1,n-1);
    aux2=symop(1,'-',n*n,'*',aux1,'*',aux1,'/','L^2');
                             Ld=sym(Ld,1,2*n-3,aux2);
    aux2=symop(0,'-',n,'*',aux,'*',aux1,'/','L');
                             Ld=sym(Ld,1,2*n-2,aux2);
  Lg=simplify(Lg),       Ld=simplify(Ld),
%
%  matrice de rigidite
%
A=zeros(2*n-1,2*n-1);A=sym(A);
%
for k=1:2*n-1,
    ii=floor((k+1)/2);   % point associe a Lk
     xii0=sym(xi,1,ii);
     if ii>1,xim1=sym(xi,1,ii-1);else,xim1=0;end;
     if ii<n,xip1=sym(xi,1,ii+1);else,xip1=sym(xi,1,n);end;
    auxgk=sym(Lg,1,k);   auxdk=sym(Ld,1,k);
    auxgk2=diff(auxgk,'x',2); auxdk2=diff(auxdk,'x',2);
 for p=1:2*n-1;   % recherche des Lp appropries
   %  ne pas faire comme ca si n est grand!!!
 matel=0;
  % A(k,p)=int de xi(ii-1) a xi(ii+1)  de Lk''  Lp''
    pp=floor((p+1)/2);   % point associe a Lp
     xpp0=sym(xi,1,pp);
     if pp>1,xpm1=sym(xi,1,pp-1);else,xpm1=0;end;
     if pp<n,xpp1=sym(xi,1,pp+1);else,xpp1=sym(xi,1,n);end;
    auxgp=sym(Lg,1,p);   auxdp=sym(Ld,1,p);
    auxgp2=diff(auxgp,'x',2); auxdp2=diff(auxdp,'x',2);
     if xpp1==xii0,
      matel=symadd(matel,int( symmul(auxgk2,auxdp2),'x',xim1,xii0) );
     end;
     if xpp0==xii0,
      matel=symadd(matel,int( symmul(auxgk2,auxgp2),'x',xim1,xii0) );
      matel=symadd(matel,int( symmul(auxdk2,auxdp2),'x',xii0,xip1) );
     end;
     if xpm1==xii0,
      matel=symadd(matel,int( symmul(auxdk2,auxgp2),'x',xii0,xip1) );
     end;
   A=sym(A,k,p,matel);
 end;
end;
A,
% second membre
phi=zeros(1,2*n-1);phi=sym(phi);phi=sym(phi,1,2*n-1,'F/(EI)');
% solution
u=symdiv(phi,A),
J=symop('-1/2','*',sym(u,1,2*n-1)),

\end{verbatim}   } % end Small

{\Small  \begin{verbatim}
testfem2

nombre de subdivisions 2
n =     2


Lg = [-4*x^2*(-3*L+4*x)/L^3, 2*x^2*(2*x-L)/L^2, (2*x-L)^2/L^2]

Ld = [-4*x*(x-L)/L^2,        -(x-L)*(2*x-L)/L , 0]


   [128/L^3, -8/L^2,-32/L^3]
A= [ -8/L^2,   16/L,-16/L^2]
   [-32/L^3,-16/L^2, 32/L^3]

u = [5/48*F/EI*L^3, 3/8*F/EI*L^2, 31/96*F/EI*L^3]

J = -31/192*F/EI*L^3

testfem2

nombre de subdivisions 3
n =       3


Lg = [-27*x^2*(2*x-L)/L^3, 3*x^2*(-L+3*x)/L^2, -(-L+3*x)^2*(-5*L+6*x)/L^3,
                           1/3*(-L+3*x)^2*(3*x-2*L)/L^2, (3*x-2*L)^2/L^2]

Ld = [(3*x-2*L)^2*(-L+6*x)/L^3, 1/3*(3*x-2*L)^2*(-L+3*x)/L^2,
                          -3*(L^2+3*x^2-4*x*L)/L^2, -(x-L)*(3*x-2*L)/L, 0]

  [ 648/L^3,      0,-324/L^3, 54/L^2,       0]
  [       0,   24/L, -54/L^2,    6/L,       0]
A=[-324/L^3,-54/L^2, 432/L^3,-18/L^2,-108/L^3]
  [  54/L^2,    6/L, -18/L^2,   24/L, -36/L^2]
  [       0,      0,-108/L^3,-36/L^2, 108/L^3]


u =  [4/81*F/EI*L^3, 5/18*F/EI*L^2, 14/81*F/EI*L^3, 4/9*F/EI*L^2, 107/324*F/EI*L^3]


J =  -107/648*F/EI*L^3

\end{verbatim}   } % end Small

{\SMALL  \begin{verbatim}

testfem2

nombre de subdivisions 5
n =        5
...

  [ 3000/L^3,       0,-1500/L^3, 150/L^2,        0,       0,        0,       0,       0]
  [        0,    40/L, -150/L^2,    10/L,        0,       0,        0,       0,       0]
  [-1500/L^3,-150/L^2, 3000/L^3,       0,-1500/L^3, 150/L^2,        0,       0,       0]
  [  150/L^2,    10/L,        0,    40/L, -150/L^2,    10/L,        0,       0,       0]
A=[        0,       0,-1500/L^3,-150/L^2, 3000/L^3,       0,-1500/L^3, 150/L^2,       0]
  [        0,       0,  150/L^2,    10/L,        0,    40/L, -150/L^2,    10/L,       0]
  [        0,       0,        0,       0,-1500/L^3,-150/L^2, 2000/L^3, -50/L^2,-500/L^3]
  [        0,       0,        0,       0,  150/L^2,    10/L,  -50/L^2,    40/L,-100/L^2]
  [        0,       0,        0,       0,        0,       0, -500/L^3,-100/L^2, 500/L^3]


u =  [7/375*F/EI*L^3, 9/50*F/EI*L^2, ...    , 499/1500*F/EI*L^3]


J =  -499/3000*F/EI*L^3

inverse(A)

ans =

[ 1/375*L^3, 1/50*L^2,  1/150*L^3, 1/50*L^2,  4/375*L^3,  1/50*L^2, 11/750*L^3,  1/50*L^2,    7/375*L^3]
[  1/50*L^2,    1/5*L,   3/50*L^2,    1/5*L,   1/10*L^2,     1/5*L,   7/50*L^2,     1/5*L,     9/50*L^2]
[ 1/150*L^3, 3/50*L^2,  8/375*L^3, 2/25*L^2, 14/375*L^3,  2/25*L^2,   4/75*L^3,  2/25*L^2,   26/375*L^3]
[  1/50*L^2,    1/5*L,   2/25*L^2,    2/5*L,   4/25*L^2,     2/5*L,   6/25*L^2,     2/5*L,     8/25*L^2]
[ 4/375*L^3, 1/10*L^2, 14/375*L^3, 4/25*L^2,  9/125*L^3,  9/50*L^2, 27/250*L^3,  9/50*L^2,   18/125*L^3]
[  1/50*L^2,    1/5*L,   2/25*L^2,    2/5*L,   9/50*L^2,     3/5*L,   3/10*L^2,     3/5*L,    21/50*L^2]
[11/750*L^3, 7/50*L^2,   4/75*L^3, 6/25*L^2, 27/250*L^3,  3/10*L^2, 64/375*L^3,  8/25*L^2,   88/375*L^3]
[  1/50*L^2,    1/5*L,   2/25*L^2,    2/5*L,   9/50*L^2,     3/5*L,   8/25*L^2,     4/5*L,    12/25*L^2]
[ 7/375*L^3, 9/50*L^2, 26/375*L^3, 8/25*L^2, 18/125*L^3, 21/50*L^2, 88/375*L^3, 12/25*L^2, 499/1500*L^3]


testfem2

nombre de subdivisions 8
n =        8

...

A =

[12288/L^3,       0,-6144/L^3, 384/L^2,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0]
[        0,    64/L, -384/L^2,    16/L,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0]
[-6144/L^3,-384/L^2,12288/L^3,       0,-6144/L^3, 384/L^2,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0]
[  384/L^2,    16/L,        0,    64/L, -384/L^2,    16/L,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0]
[        0,       0,-6144/L^3,-384/L^2,12288/L^3,       0,-6144/L^3, 384/L^2,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0]
[        0,       0,  384/L^2,    16/L,        0,    64/L, -384/L^2,    16/L,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0]
[        0,       0,        0,       0,-6144/L^3,-384/L^2,12288/L^3,       0,-6144/L^3, 384/L^2,        0,       0,        0,       0,        0]
[        0,       0,        0,       0,  384/L^2,    16/L,        0,    64/L, -384/L^2,    16/L,        0,       0,        0,       0,        0]
[        0,       0,        0,       0,        0,       0,-6144/L^3,-384/L^2,12288/L^3,       0,-6144/L^3, 384/L^2,        0,       0,        0]
[        0,       0,        0,       0,        0,       0,  384/L^2,    16/L,        0,    64/L, -384/L^2,    16/L,        0,       0,        0]
[        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,-6144/L^3,-384/L^2,12288/L^3,       0,-6144/L^3, 384/L^2,        0]
[        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,  384/L^2,    16/L,        0,    64/L, -384/L^2,    16/L,        0]
[        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,-6144/L^3,-384/L^2, 8192/L^3,-128/L^2,-2048/L^3]
[        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,  384/L^2,    16/L, -128/L^2,    64/L, -256/L^2]
[        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,        0,       0,-2048/L^3,-256/L^2, 2048/L^3]


u = [23/3072*F/EI*L^3, 15/128*F/EI*L^2, ... ,     2047/6144*F/EI*L^3]

J =  -2047/12288*F/EI*L^3

exit

 1149495 flops.

\end{verbatim}   } % end SMALL
\picskip{-7}
Par ailleurs, la vraie solution est $\displaystyle{ u(x) =
   \dfrac{F}{EI}\left( L\dfrac{x^2}{2} -\dfrac{x^3}{6}\right) }$, comme on
le voit en passant \`a
$$ [u'' v']_0^L  -\int_0^L u'''(x) v'(x)\, dx =
  \dfrac{F}{EI} v(L) =
  \dfrac{F}{EI} \int_0^L v'(x)\,dx \Rightarrow -u''' =
  \dfrac{F}{EI},
$$
avec $u''(L)=0$ (condition naturelle). On voit que
$$  u_(L)=\,\dfrac{1}{3}\, \dfrac{FL^3}{EI}\;\;,
   J(u) = -\varphi(u)/2 =
            -\dfrac{1}{6}\, \dfrac{F^2L^3}{E^2I^2}\;.
$$

\smallskip

Un exemple plus \'elabor\'e de traitement d'un probl\`eme de
$4^{\text{\`eme}}$ ordre, d'apr\`es
\href{beam.m}{\tt beam.m} tir\'e de
\href{femlab-1d.tar.Z}{\tt femlab-1d.tar.Z}:

\href{beam1.m}{\framebox{\bf\tt beam1.m}}

{\SMALL
\begin{verbatim}
% beam1.m: probleme  (au'')'' + (bu')' +cu = f      0 <= x  <= 1
% d'apres  beam.m de      femlab-1d.tar.Z         a(x)>0  (ou a=0 et b<0)
%  with boundary conditions
%
%          u = u0,  u' = u1   (clamped)
%                                  seul le cas encastre est au point, hum
%  or
%          u'' = 0,  (au'')' = 0  (free)
%
%  at  x = 0  and  x = 1,  respectively.
%
%  using  C1  piecewice qubic elements and mesh size  h.
%
%
%echo off
clear;
fnom=input('nom du fichier donnees (entre apostrophes)  ');
%  formules de a, b,c et f  dans un fichier
% exemple:   beamd1.d
%1
%2.10/(4*14)
%14*(x^3-x)
%14*(3*x^2-1)
%c
%-1
%0
%c
%1
%0
fid=fopen(fnom);
acopy=fscanf(fid,'%s',1);bcopy=fscanf(fid,'%s',1);
ccopy=fscanf(fid,'%s',1);fcopy=fscanf(fid,'%s',1);
bctype=[1 1];
bounda=fscanf(fid,'%s',1);      % c=clamped , f=free
if bounda=='c'; bctype(1)=0; u0(1)=eval(fscanf(fid,'%s',1));
                             u1(1)=eval(fscanf(fid,'%s',1));
elseif bounda=='f'; bctype(1)=1;
end
bounda=fscanf(fid,'%s',1);
if bounda=='c'; bctype(2)=0; u0(2)=eval(fscanf(fid,'%s',1));
                             u1(2)=eval(fscanf(fid,'%s',1));
elseif bounda=='f'; bctype(2)=1;
end
refine=1;       %Boolean used for refinement loop
first=1;        %Boolean used to indicate if turn in first loop
while refine
 %Clear old data structures (otherwise, selecting next h > previous h
 % will cause an error)
 clear h hh ni nn ndf rhs f fi a b c u ucomp Ducomp DDucomp  xplot;
 disp('Give desired mesh size h')
 h=input('h = ');
 ni=round(1/h);  h = 1/ni; %Modify h according to ni
 disp(['Number of sub-intervals = ',int2str(ni)])
 nn=(ni+1);
 disp(['Number of nodes = ',int2str(nn)])
 ndf=2*nn;
 disp(['Number of degrees of freedom = ',int2str(ndf-2*sum(bctype))])
 %
 %disp('Before you use this progam, enter formulas for the four basis functions and their second derivatives on the unit interval [0,1]');
     b1copy='1-3*x^2+2*x^3';
     b2copy='x-2*x^2+x^3';
     b3copy='1-3*(1-x)^2+2*(1-x)^3';
     b4copy='-(1-x)+2*(1-x)^2-(1-x)^3';
     Db1copy='-6*x+6*x^2';
     Db2copy='1-4*x+3*x^2';
     Db3copy='6*(1-x)-6*(1-x)^2';
     Db4copy='1-4*(1-x)+3*(1-x)^2';
     DDb1copy='-6+12*x';
     DDb2copy='-4+6*x';
     DDb3copy='-6+12*(1-x)';
     DDb4copy='4-6*(1-x)';
 %Set up six-diagonal stiffnes matrix
 %
 gauss=sqrt(3/5);
 g(1)=1/2-gauss/2;
 g(2)=1/2;
 g(3)=1/2+gauss/2;
 w(1)=5/18;
 w(2)=8/18;
 w(3)=5/18;
 %
 %
  diag=zeros(size(1:ndf));
  subdiag=zeros(size(1:ndf-1));
  sub2diag=zeros(size(1:ndf-2));
  sub3diag=zeros(size(1:ndf-3));
  rhs=zeros(size(1:ndf));
  integJ=0;
   %
   %
   %
  for gp=1:3;
  %
  x=g(gp);
  %
  b1=eval(b1copy);
  b2=eval(b2copy);
  b3=eval(b3copy);
  b4=eval(b4copy);
  %
  Db1=eval(Db1copy)/h;
  Db2=eval(Db2copy)/h;
  Db3=eval(Db3copy)/h;
  Db4=eval(Db4copy)/h;
  %
  DDb1=eval(DDb1copy)/h^2;
  DDb2=eval(DDb2copy)/h^2;
  DDb3=eval(DDb3copy)/h^2;
  DDb4=eval(DDb4copy)/h^2;
  %
  for i=1:ni;
   x=(i-1)*h+g(gp)*h;
   a(i)=eval(acopy);
   b(i)=eval(bcopy);
   c(i)=eval(ccopy);
   f(i)=eval(fcopy);
  end;
  %
  hh=h*w(gp);
  %
  diag(3:2:ndf-1)=diag(3:2:ndf-1)+(a.*DDb3.*DDb3-b.*Db3.*Db3+c.*b3.*b3).*hh;
  diag(1:2:ndf-3)=diag(1:2:ndf-3)+(a.*DDb1.*DDb1-b.*Db1.*Db1+c.*b1.*b1).*hh;
  diag(4:2:ndf)=diag(4:2:ndf)+(a.*DDb4.*DDb4-b.*Db4.*Db4+c.*b4.*b4).*hh;
  diag(2:2:ndf-2)=diag(2:2:ndf-2)+(a.*DDb2.*DDb2-b.*Db2.*Db2+c.*b2.*b2).*hh;
  %
  subdiag(3:2:ndf-1)=subdiag(3:2:ndf-1)+(a.*DDb3.*DDb4-b.*Db3.*Db4+c.*b3.*b4).*hh;
  subdiag(1:2:ndf-3)=subdiag(1:2:ndf-3)+(a.*DDb1.*DDb2-b.*Db1.*Db2+c.*b3.*b4).*hh;
  subdiag(2:2:ndf-2)=subdiag(2:2:ndf-2)+(a.*DDb2.*DDb3-b.*Db2.*Db3+c.*b3.*b4).*hh;
  %
  sub2diag(1:2:ndf-3)=sub2diag(1:2:ndf-3)+(a.*DDb1.*DDb3-b.*Db1.*Db3+c.*b1.*b3).*hh;
  sub2diag(2:2:ndf-2)=sub2diag(2:2:ndf-2)+(a.*DDb2.*DDb4-b.*Db2.*Db4+c.*b2.*b4).*hh;
  %
  sub3diag(1:2:ndf-3)=sub3diag(1:2:ndf-3)+(a.*DDb1.*DDb4-b.*Db1.*Db4+c.*b1.*b4).*hh;
  %
   rhs(3:2:ndf-1)=rhs(3:2:ndf-1)+f.*b3.*hh;
   rhs(1:2:ndf-3)=rhs(1:2:ndf-3)+f.*b1.*hh;
   rhs(4:2:ndf)=rhs(4:2:ndf)+f.*b4.*hh;
   rhs(2:2:ndf-2)=rhs(2:2:ndf-2)+f.*b2.*hh;
  %
  end %gp
  %
 disp('Start of stiffness matrix:');
 [ diag(1)    subdiag(1) sub2diag(1) sub3diag(1) 0 ; ...
   subdiag(1)   diag(2)  subdiag(2)  sub2diag(2) sub3diag(2) ; ...
  sub2diag(1) subdiag(2)   diag(3)   subdiag(3)  sub2diag(3) ; ...
  sub3diag(1) sub2diag(2) subdiag(3)  diag(4)     subdiag(4) ; ...
       0      sub3diag(2) sub2diag(3) subdiag(4)   diag(5)
 ],
  %
  ndff=ndf;
  if bctype(2)==0;
% rhs=rhs-stiff(:,ndf-1)*u0(2)-stiff(:,ndf)*u1(2)*h;
   rhs(ndf-2)=rhs(ndf-2)-subdiag(ndf-2)*u0(2)-sub2diag(ndf-2)*u1(2)*h;
   rhs(ndf-3)=rhs(ndf-3)-sub2diag(ndf-3)*u0(2)-sub3diag(ndf-3)*u1(2)*h;
   rhs(ndf-4)=rhs(ndf-4)-sub3diag(ndf-4)*u0(2);
   diag=diag(1:ndf-2);
   subdiag=subdiag(1:ndf-3);sub2diag=sub2diag(1:ndf-4);sub3diag=sub3diag(1:ndf-5);
   ndff=ndf-2;
  end
  if bctype(1)==0;
% rhs=rhs-stiff(:,1)*u0(1)-stiff(:,2)*u1(1)*h;
   rhs(3)=rhs(3)-sub2diag(1)*u0(1)-subdiag(2)*u1(1)*h;
   rhs(4)=rhs(4)-sub3diag(1)*u0(1)-sub2diag(2)*u1(1)*h;
   rhs(5)=rhs(5)-sub3diag(2)*u1(1)*h;
  rhs=rhs(3:ndff);
  diag=diag(3:ndff);
  subdiag=subdiag(3:ndff-1);sub2diag=sub2diag(3:ndff-2);sub3diag=sub3diag(3:ndff-3);
  ndff=ndff-2;
  end
  %
 disp('Stiffness matrix after boundary cond.:');
 [ diag(1)    subdiag(1) sub2diag(1) sub3diag(1) 0 ; ...
   subdiag(1)   diag(2)  subdiag(2)  sub2diag(2) sub3diag(2) ; ...
  sub2diag(1) subdiag(2)   diag(3)   subdiag(3)  sub2diag(3) ; ...
  sub3diag(1) sub2diag(2) subdiag(3)  diag(4)     subdiag(4) ; ...
       0      sub3diag(2) sub2diag(3) subdiag(4)   diag(5)
 ],
  %
  %
  %
% Cholesky
%
%  [ d1  s1  ss1  sss1       ] [c1               ][c1 cs2 css3 csss4     ]
%  [ s1  d2   s2   ss2 sss2  ] [cs2  c2          ][   c2  cs3  css4 csss5]
%  [ss1  s2   d3    s3  ss3  ]=[css3 cs3 c3      ][       c3   cs4  css5 ]
%  ...
  endchol=0;
  rhs=[0 0 0 rhs];
  subdiag=[subdiag 0];sub2diag=[sub2diag 0 0];sub3diag=[sub3diag 0 0 0];
  sub1chol=zeros(size(1:ndff+1));  sub2chol=zeros(size(1:ndff+2));
  sub3chol=zeros(size(1:ndff+3));
  for j=1:ndff,
   chol(j)=diag(j)-sub1chol(j)^2-sub2chol(j)^2-sub3chol(j)^2;
   if chol(j)<0, endchol=1;break; end;
   chol(j)=sqrt(chol(j));
   sub1chol(j+1)=(subdiag(j)-sub1chol(j)*sub2chol(j+1)-sub2chol(j)*sub3chol(j+1) )/chol(j);
   sub2chol(j+2)=(sub2diag(j)-sub1chol(j)*sub3chol(j+2) )/chol(j);
   sub3chol(j+3)= sub3diag(j) /chol(j);
   rhs(j+3)=(rhs(j+3)-sub1chol(j)*rhs(j+2)-sub2chol(j)*rhs(j+1)  ...
                                 -sub3chol(j)*rhs(j) )/chol(j);
  end
  %
 disp('Start of Cholesky upper factor:');
 [ chol(1)    sub1chol(2) sub2chol(3) sub3chol(4) 0 ; ...
     0          chol(2)  sub1chol(3)  sub2chol(4) sub3chol(5) ; ...
     0           0         chol(3)   sub1chol(4)  sub2chol(5) ; ...
     0           0           0        chol(4)     sub1chol(5) ; ...
     0           0           0           0         chol(5)
 ],
  %
% u=stiff\rhs;
  rhs=rhs(4:ndff+3);
  u(ndff)=rhs(ndff)/chol(ndff);
  u(ndff-1)=(rhs(ndff-1)-sub1chol(ndff)*u(ndff))/chol(ndff-1);
  u(ndff-2)=(rhs(ndff-2)-sub1chol(ndff-1)*u(ndff-1)-sub2chol(ndff)*u(ndff))/chol(ndff-2);
  for j=ndff-3:-1:1,
   u(j)=(rhs(j)-sub1chol(j+1)*u(j+1)-sub2chol(j+2)*u(j+2)-sub3chol(j+3)*u(j+3))/chol(j);
  end
if bctype(2)==0;   u=[u u0(2) u1(2)*h];  end;
if bctype(1)==0;   u=[u0(1) u1(1)*h u ];  end;
  %
  %  plot
  %
  % Graphics preparations
  %
  for gp=1:3;
  x=g(gp);
  b1=eval(b1copy);
  b2=eval(b2copy);
  b3=eval(b3copy);
  b4=eval(b4copy);
  Db1=eval(Db1copy)/h;
  Db2=eval(Db2copy)/h;
  Db3=eval(Db3copy)/h;
  Db4=eval(Db4copy)/h;
  DDb1=eval(DDb1copy)/h^2;
  DDb2=eval(DDb2copy)/h^2;
  DDb3=eval(DDb3copy)/h^2;
  DDb4=eval(DDb4copy)/h^2;
  ucomp(gp:3:3*ni-3+gp)=u(1:2:2*ni-1)*b1+u(2:2:2*ni)*b2+u(3:2:2*ni+1)*b3+u(4:2:2*ni+2)*b4;
  Ducomp(gp:3:3*ni-3+gp)=u(1:2:2*ni-1)*Db1+u(2:2:2*ni)*Db2+u(3:2:2*ni+1)*Db3+u(4:2:2*ni+2)*Db4;
  DDucomp(gp:3:3*ni-3+gp)=u(1:2:2*ni-1)*DDb1+u(2:2:2*ni)*DDb2+u(3:2:2*ni+1)*DDb3+u(4:2:2*ni+2)*DDb4;
%
   integJ=integJ+sum(a.*DDucomp(gp:3:3*ni-3+gp).^2 ...
             -b.*Ducomp(gp:3:3*ni-3+gp).^2+c.*ucomp(gp:3:3*ni-3+gp))*hh;
  end
ucomp=[u(1) ucomp u(2*ni+1)];
 disp('Valeurs de u en 0.25, 0.5 et 0.75:');
 for j=1:3,
  xj=0.25*j;ixj=floor(xj/h);x=xj/h-ixj;
  b1=eval(b1copy);b2=eval(b2copy);b3=eval(b3copy);b4=eval(b4copy);
  uc(j)=u(2*ixj+1)*b1+u(2*ixj+2)*b2+u(2*ixj+3)*b3+u(2*ixj+4)*b4;
 end;
 format long;uc, format short;
  rn=1:ni;
  rn=rn*h;
  xplot(3:3:3*ni)=rn-ones(size(rn))*g(1)*h;
  xplot(2:3:3*ni-1)=rn-ones(size(rn))*g(2)*h;
  xplot(1:3:3*ni-2)=rn-ones(size(rn))*g(3)*h;
  xplot=[0 xplot 1];
    %Erase old plots?
  figure(gcf)
    if first
      clgwin=1;     %If first time clear window and plot uexact, uh
      first=~first;
    else
      disp('Do you want to clear the graph window?');
      clgwin = (input('answer y or n ','s')=='y');
    end
    if clgwin
  %   if uexactflag
  %     hold off;  plot(xxplot,uplot,':',xplot,ucomp,'-');  hold on;
  %     title(['u(x) = ' uexact ' dotted;     uh solid']);
  %   else
        hold off;  plot(xplot,ucomp,'-');  hold on;
        title('uh');
  %   end
    else
      plot(xplot,ucomp,'-');
    end
 disp(' Cholesky  min max :');
  format long;  [ min(chol(1:ndff)), max(chol(1:ndff))], format short ;
 disp(' integrale:');
  format long;   integJ, format short ;
 disp('Do you want to refine the mesh?');
 refine=(input('Answer y or n ','s')=='y');
 end; %of refinement while loop
hold  off
disp('If  you want a hardcopy of the plot, enter the command print');
disp('to close all: fclose(''all'')');

-----------------------------------------------------------------------

diary beam1.l

beam1

nom du fichier donnees (entre apostrophes)  'beamd2.d' Give desired mesh size h

u''' + u'' +u = 3 exp(x)

h = 0.1 Number of sub-intervals = 10
Number of nodes = 11
Number of degrees of freedom = 22
Start of stiffness matrix:

  1.0e+004 *
    1.1988    0.5999   -1.1988    0.5999         0
    0.5999    0.3999   -0.5999    0.2000         0
   -1.1988   -0.5999    2.3976    0.0000   -1.1988
    0.5999    0.2000    0.0000    0.7997   -0.5999
         0         0   -1.1988   -0.5999    2.3976

Stiffness matrix after boundary cond.:

  1.0e+004 *
    2.3976    0.0000   -1.1988    0.5999         0
    0.0000    0.7997   -0.5999    0.2000         0
   -1.1988   -0.5999    2.3976    0.0000   -1.1988
    0.5999    0.2000    0.0000    0.7997   -0.5999
         0         0   -1.1988   -0.5999    2.3976

Start of Cholesky upper factor:

  154.8421   -0.0001  -77.4207   38.7427         0
         0   89.4278  -67.0821   22.3682         0
         0         0  116.1124   38.7554 -103.2447
         0         0         0   67.0375  -29.8000
         0         0         0         0  111.4835

Valeurs de u en 0.25, 0.5 et 0.75:

uc =    1.28402086518283   1.64871737300429   2.11700053953865

 Cholesky  min max : 1.0e+002 *  [ 0.38814353891161   1.54842093760062]

 integrale:     integJ =       1.43157790352493

Do you want to refine the mesh?

Answer y or n n If  you want a hardcopy of the plot, enter the command print
to close all: fclose('all')

format long;uc-exp(0.25*(1:3)),format short

ans = 1.0e-005 * [-0.45515049156286  -0.38976958367520   0.05229259727457 ]

beam1

h = 0.01 Number of sub-intervals = 100    Number of nodes = 101      202
Start of stiffness matrix:

  1.0e+007 *
    1.2000    0.6000   -1.2000    0.6000         0
    0.6000    0.4000   -0.6000    0.2000         0
   -1.2000   -0.6000    2.4000    0.0000   -1.2000
    0.6000    0.2000    0.0000    0.8000   -0.6000
         0         0   -1.2000   -0.6000    2.4000
...

Valeurs de u en 0.25, 0.5 et 0.75:
uc =     1.28402537719733   1.64872120069143   2.11699997858784

 Cholesky  min max :  1.0e+003 *  [1.01967588887132   4.89895499136295 ]
 integrale:    integJ =      1.43189805256995

Do you want to refine the mesh?
n
format long;uc-exp(0.25*(1:3)),format short

ans = 1.0e-007 * [ -0.39490408276777  -0.70008693731083  -0.38024830395500]


beam1

nom du fichier donnees (entre apostrophes)  'beamd2.d' Give desired mesh size h
h = 0.005 Number of sub-intervals = 200    Number of nodes = 201       402
Start of stiffness matrix:

  1.0e+008 *
    0.9600    0.4800   -0.9600    0.4800         0
    0.4800    0.3200   -0.4800    0.1600         0
   -0.9600   -0.4800    1.9200    0.0000   -0.9600
    0.4800    0.1600    0.0000    0.6400   -0.4800
         0         0   -0.9600   -0.4800    1.9200
...

Valeurs de u en 0.25, 0.5 et 0.75:
uc =     1.28402539432393   1.64872122936657   2.11699999257843

 Cholesky  min max :   1.0e+004 *  [  0.28560380015633   1.38563891401656]
 integrale:   integJ =      1.43190057189301

Do you want to refine the mesh?
n
format long;uc-exp(0.25*(1:3)),format short

  1.0e-007 *[-0.22363812357540  -0.41333557021517  -0.24034246148830 ]
beam1

nom du fichier donnees (entre apostrophes)  'beamd2.d' Give desired mesh size h
h = 0.001 Number of sub-intervals = 1000    Number of nodes = 1001   2002
Start of stiffness matrix:

  1.0e+010 *
    1.2000    0.6000   -1.2000    0.6000         0
    0.6000    0.4000   -0.6000    0.2000         0
   -1.2000   -0.6000    2.4000    0.0000   -1.2000
    0.6000    0.2000    0.0000    0.8000   -0.6000
         0         0   -1.2000   -0.6000    2.4000
...
Start of Cholesky upper factor:

  1.0e+005 *
    1.5492    0.0000   -0.7746    0.3873         0
         0    0.8944   -0.6708    0.2236         0
         0         0    1.1619    0.3873   -1.0328
         0         0         0    0.6708   -0.2981
         0         0         0         0    1.1155

Valeurs de u en 0.25, 0.5 et 0.75:
uc =    1.28402714845518   1.64872476751512   2.11700228847090

 Cholesky  min max :   1.0e+005 * [ 0.31684135694133   1.54919326102332 ]
 integrale:  integJ =   1.43191380744285

Do you want to refine the mesh?
n
format long;uc-exp(0.25*(1:3)),format short

1.0e-005 *  [ 0.17317674421147   0.34968149900116   0.22718582233239  ]

exit             1320773 flops.

---------------------------------------------------------

u''' + u'' = 2 exp(x)

beam1
format long;uc-exp(0.25*(1:3)),format short;

h=0.1    1.0e-006 *[-0.33410285626978   0.00059470495195  -0.55106918317449]
h=0.01   1.0e-009 *[-0.08527201167396  -0.14673950943234  -0.06117817363815]
h=0.005  1.0e-009 *[-0.28261637474714  -0.28264346418894   0.09384271137947]
h=0.001  1.0e-005 *[-0.10207032616893  -0.24702783443242  -0.18865660327272]

exit   715102 flops.

\end{verbatim}
}  %end SMALL

\section{\'El\'ements bidimensionels.}

Exemple: fonctions lin\'eaires par morceaux triangulaires
(Espace de Courant).      \index{El\'ement triangulaire lin\'eaire}

$\overline{\Omega}$ est un polygone du plan, les $e_k$ forment une
\emph{triangulation} de $\overline{\Omega}$: en plus des conditions
\emph{supra}, si $k\neq\ell$, les triangles $e_k$ et $e_\ell$ ont en commun, soit
le vide, soit un sommet, soit tout un c\^ot\'e. Les $P_i$ sont les
sommets des triangles $e_k$, $F_i(v)= v(P_i)$; $V_k=\mathscr{P}_1=
\{\alpha+ \beta x +\gamma y\}$.\\
$Q_k$ est form\'e des indices des trois sommets de $e_k$. $u_{\mathbf{c}}$
est la fonction lin\'eaire sur chaque $e_k$ prenant la valeur $c_i$ au
sommet $P_i$. Cette fonction est bien d\'efinie sur les c\^ot\'es des
triangles (ce n'est pas difficile \`a montrer, mais ce n'est pas \'evident!)
et continue sur $\overline{\Omega}$.


%\begin{center}
%\setlength{\unitlength}{1cm}
%\begin{picture}(15,10)
% \put(1,1){\vector(1,0){14}}  \put(1,1){\vector(1,1){6}}
% \drawline(7,2)(9,1.5)(10,3)(13,2)(9,1.5)(10,3)(7,2)
% \dashline{0.25}(7,2)(7,5)   \dashline{0.25}(9,1.5)(9,6)
% \dashline{0.25}(10,3)(10,8)  \dashline{0.25}(13,2)(13,5)
% \put(8,2){$e_k$}   \put(10,2){$e_\ell$}
% \thicklines
% \drawline(7,5)(9,6)(10,8)(13,5)(9,6)(10,8)(7,5)
% \Thicklines
%  \drawline(9,6)(10,8)
%\end{picture}
%\end{center}

\enlargethispage{2cm}

\newpage


Exemple de triangulation, cf.
 \href{http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/num2/triangle.html}
 {\texttt{http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/num2/triangle.html}}

Programme r\'ealis\'e par J.R.~Shewchuk, Carnegie Mellon University,\\
\href{http://www.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html}
{\texttt{http://www.cs.cmu.edu/\~{}quake/triangle.html}}



\begin{minipage}[t]{9cm}
\  \par

\hspace*{-5mm}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{4cm}
\begin{picture}(2,2)(-1,-1)

\put(     0.000,     0.000){$\circle{0.001}$}
\put(     0.700,     0.700){$\circle{0.001}$}
\put(     0.000,     1.000){$\circle{0.001}$}
\put(    -0.700,     0.700){$\circle{0.001}$}
\put(    -1.000,     0.000){$\circle{0.001}$}
\put(    -0.700,    -0.700){$\circle{0.001}$}
\put(     0.000,    -1.000){$\circle{0.001}$}
\put(     0.700,    -0.700){$\circle{0.001}$}
 \Thicklines
\drawline(     0.000,     0.000)(     0.700,     0.700)
\drawline(     0.700,     0.700)(     0.000,     1.000)
\drawline(     0.000,     1.000)(    -0.700,     0.700)
\drawline(    -0.700,     0.700)(    -1.000,     0.000)
\drawline(    -1.000,     0.000)(    -0.700,    -0.700)
\drawline(    -0.700,    -0.700)(     0.000,    -1.000)
\drawline(     0.000,    -1.000)(     0.700,    -0.700)
\drawline(     0.700,    -0.700)(     0.000,     0.000)
 \thinlines
\drawline(    -0.500,    -0.200)(    -1.000,     0.000)(    -0.700,    -0.700)(    -0.500,    -0.200)
\drawline(     0.000,     1.000)(    -0.047,     0.556)(     0.700,     0.700)(     0.000,     1.000)
\drawline(    -0.407,     0.293)(    -0.500,    -0.200)(     0.000,     0.000)(    -0.407,     0.293)
\drawline(    -1.000,     0.000)(    -0.500,    -0.200)(    -0.407,     0.293)(    -1.000,     0.000)
\drawline(    -0.107,    -0.453)(     0.000,    -1.000)(     0.346,    -0.346)(    -0.107,    -0.453)
\drawline(    -0.500,    -0.200)(    -0.107,    -0.453)(     0.000,     0.000)(    -0.500,    -0.200)
\drawline(     0.000,    -1.000)(     0.700,    -0.700)(     0.346,    -0.346)(     0.000,    -1.000)
\drawline(    -0.700,    -0.700)(    -0.107,    -0.453)(    -0.500,    -0.200)(    -0.700,    -0.700)
\drawline(     0.346,     0.346)(     0.700,     0.700)(    -0.047,     0.556)(     0.346,     0.346)
\drawline(    -0.047,     0.556)(    -0.700,     0.700)(    -0.407,     0.293)(    -0.047,     0.556)
\drawline(    -1.000,     0.000)(    -0.407,     0.293)(    -0.700,     0.700)(    -1.000,     0.000)
\drawline(    -0.047,     0.556)(     0.000,     0.000)(     0.346,     0.346)(    -0.047,     0.556)
\drawline(    -0.700,    -0.700)(    -0.350,    -0.850)(    -0.107,    -0.453)(    -0.700,    -0.700)
\drawline(     0.000,     0.000)(    -0.107,    -0.453)(     0.346,    -0.346)(     0.000,     0.000)
\drawline(     0.000,    -1.000)(    -0.107,    -0.453)(    -0.350,    -0.850)(     0.000,    -1.000)
\drawline(    -0.700,     0.700)(    -0.047,     0.556)(     0.000,     1.000)(    -0.700,     0.700)
\drawline(     0.000,     0.000)(    -0.047,     0.556)(    -0.407,     0.293)(     0.000,     0.000)
\end{picture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\  \par

\hspace*{-5mm}
/u18/grpanma/magnus @ ux12 [3] \%triangle -pqa0.2 trifig1
\\ Opening trifig1.poly.
Constructing Delaunay triangulation by divide-and-conquer method.
Delaunay milliseconds:  11
Inserting segments into Delaunay triangulation.
Segment milliseconds:  1
Removing unwanted triangles.
Hole milliseconds:  7
Adding Steiner points to enforce quality.
Quality milliseconds:  17

Writing trifig1.1.node.
Writing trifig1.1.ele.
Writing trifig1.1.poly.

Output milliseconds:  91
Total running milliseconds:  144

Statistics:

  Input points: 8
  Input segments: 8
  Input holes: 0

  Mesh points: 15
  Mesh triangles: 17
  Mesh edges: 31
  Mesh boundary edges: 11
  Mesh segments: 11

\end{minipage}


\smallskip


\begin{minipage}[t]{9cm}
\  \par

\hspace*{-5mm}

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{4cm}
\begin{picture}(2,2)(-1,-1)

\put(     0.000,     0.000){$\circle{0.001}$}
\put(     0.700,     0.700){$\circle{0.001}$}
\put(     0.000,     1.000){$\circle{0.001}$}
\put(    -0.700,     0.700){$\circle{0.001}$}
\put(    -1.000,     0.000){$\circle{0.001}$}
\put(    -0.700,    -0.700){$\circle{0.001}$}
\put(     0.000,    -1.000){$\circle{0.001}$}
\put(     0.700,    -0.700){$\circle{0.001}$}
 \Thicklines
\drawline(     0.000,     0.000)(     0.700,     0.700)
\drawline(     0.700,     0.700)(     0.000,     1.000)
\drawline(     0.000,     1.000)(    -0.700,     0.700)
\drawline(    -0.700,     0.700)(    -1.000,     0.000)
\drawline(    -1.000,     0.000)(    -0.700,    -0.700)
\drawline(    -0.700,    -0.700)(     0.000,    -1.000)
\drawline(     0.000,    -1.000)(     0.700,    -0.700)
\drawline(     0.700,    -0.700)(     0.000,     0.000)
 \thinlines
\drawline(    -0.428,    -0.519)(    -0.350,    -0.850)(    -0.108,    -0.455)(    -0.428,    -0.519)
\drawline(    -0.850,     0.350)(    -1.000,     0.000)(    -0.682,     0.071)(    -0.850,     0.350)
\drawline(    -0.500,    -0.200)(    -0.214,    -0.189)(    -0.407,     0.293)(    -0.500,    -0.200)
\drawline(    -0.850,     0.350)(    -0.682,     0.071)(    -0.407,     0.293)(    -0.850,     0.350)
\drawline(    -0.108,    -0.455)(     0.346,    -0.346)(     0.000,     0.000)(    -0.108,    -0.455)
\drawline(    -0.023,     0.569)(     0.000,     1.000)(    -0.350,     0.850)(    -0.023,     0.569)
\drawline(     0.166,    -0.597)(     0.346,    -0.346)(    -0.108,    -0.455)(     0.166,    -0.597)
\drawline(    -0.108,    -0.455)(     0.000,     0.000)(    -0.214,    -0.189)(    -0.108,    -0.455)
\drawline(    -0.500,    -0.200)(    -0.428,    -0.519)(    -0.214,    -0.189)(    -0.500,    -0.200)
\drawline(    -0.682,     0.071)(    -0.850,    -0.350)(    -0.500,    -0.200)(    -0.682,     0.071)
\drawline(    -0.214,    -0.189)(     0.000,     0.000)(    -0.107,     0.281)(    -0.214,    -0.189)
\drawline(    -0.107,     0.281)(     0.346,     0.346)(    -0.023,     0.569)(    -0.107,     0.281)
\drawline(    -0.350,     0.850)(    -0.407,     0.293)(    -0.023,     0.569)(    -0.350,     0.850)
\drawline(    -0.350,    -0.850)(     0.000,    -1.000)(    -0.108,    -0.455)(    -0.350,    -0.850)
\drawline(     0.346,     0.346)(     0.350,     0.850)(    -0.023,     0.569)(     0.346,     0.346)
\drawline(    -0.350,     0.850)(    -0.700,     0.700)(    -0.407,     0.293)(    -0.350,     0.850)
\drawline(    -0.107,     0.281)(    -0.023,     0.569)(    -0.407,     0.293)(    -0.107,     0.281)
\drawline(     0.350,     0.850)(     0.346,     0.346)(     0.700,     0.700)(     0.350,     0.850)
\drawline(     0.350,     0.850)(     0.000,     1.000)(    -0.023,     0.569)(     0.350,     0.850)
\drawline(     0.166,    -0.597)(     0.000,    -1.000)(     0.240,    -0.897)(     0.166,    -0.597)
\drawline(     0.346,    -0.346)(     0.166,    -0.597)(     0.523,    -0.523)(     0.346,    -0.346)
\drawline(    -0.428,    -0.519)(    -0.108,    -0.455)(    -0.214,    -0.189)(    -0.428,    -0.519)
\drawline(    -0.428,    -0.519)(    -0.850,    -0.350)(    -0.700,    -0.700)(    -0.428,    -0.519)
\drawline(    -0.407,     0.293)(    -0.700,     0.700)(    -0.850,     0.350)(    -0.407,     0.293)
\drawline(    -0.850,    -0.350)(    -0.682,     0.071)(    -1.000,     0.000)(    -0.850,    -0.350)
\drawline(    -0.407,     0.293)(    -0.682,     0.071)(    -0.500,    -0.200)(    -0.407,     0.293)
\drawline(    -0.214,    -0.189)(    -0.107,     0.281)(    -0.407,     0.293)(    -0.214,    -0.189)
\drawline(     0.346,     0.346)(    -0.107,     0.281)(     0.000,     0.000)(     0.346,     0.346)
\drawline(     0.470,    -0.798)(     0.523,    -0.523)(     0.166,    -0.597)(     0.470,    -0.798)
\drawline(     0.470,    -0.798)(     0.700,    -0.700)(     0.523,    -0.523)(     0.470,    -0.798)
\drawline(    -0.850,    -0.350)(    -0.428,    -0.519)(    -0.500,    -0.200)(    -0.850,    -0.350)
\drawline(    -0.350,    -0.850)(    -0.428,    -0.519)(    -0.700,    -0.700)(    -0.350,    -0.850)
\drawline(     0.000,    -1.000)(     0.166,    -0.597)(    -0.108,    -0.455)(     0.000,    -1.000)
\drawline(     0.470,    -0.798)(     0.166,    -0.597)(     0.240,    -0.897)(     0.470,    -0.798)
\end{picture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\  \par

\hspace*{-5mm}
/u18/grpanma/magnus @ ux12 [7] \%triangle -pqa0.1 trifig1
\\ Opening trifig1.poly.
Constructing Delaunay triangulation by divide-and-conquer method.
Delaunay milliseconds:  4
Inserting segments into Delaunay triangulation.
Segment milliseconds:  1
Removing unwanted triangles.
Hole milliseconds:  1
Adding Steiner points to enforce quality.
Quality milliseconds:  8

Writing trifig1.1.node.
Writing trifig1.1.ele.
Writing trifig1.1.poly.

Output milliseconds:  61
Total running milliseconds:  87

Statistics:

  Input points: 8
  Input segments: 8
  Input holes: 0

  Mesh points: 27
  Mesh triangles: 34
  Mesh edges: 60
  Mesh boundary edges: 18
  Mesh segments: 18

\end{minipage}

{\Small
From: Jorge More' $<$more@mcs.anl.gov$>$  \\
Date: Sat, 26 Jul 2003 11:13:39 -0500

The 2003 Wilkinson Prize for Numerical Software has been
awarded to Jonathan Shewchuk for Triangle: A Two-dimensional
Mesh Generator and Delaunay Triangulator. The presentation took
place July 10, at the 5th International Congress on Industrial and
Applied Mathematics (ICIAM 2003) in Sydney, Australia.

Triangle generates high-quality unstructured triangular
meshes.  Triangle also generates two-dimensional Delaunay
triangulations, constrained Delaunay triangulations, Voronoi
diagrams, and convex hulls. The speed and accuracy of this
code is a result of novel algorithms for extended precision
floating-point arithmetic and the use of adaptive computation
controlled by forward error analysis.

The algorithms and software in Triangle are unquestionably
innovative, in both scientific and engineering senses.
Triangle includes many significant new algorithmic ideas,
including Shewchuk's robust geometric primitives.  In an
engineering sense, Shewchuk has done a magnificent job of
building a flexible piece of software that combines the best
of the existing algorithms with his own.

Triangle has thousands of users, and is downloaded more
than 30 times per day.  Triangle has been licensed for
inclusion in eleven commercial software packages.

The Wilkinson Prize for Numerical Software is awarded in honor
of the outstanding contributions of James Hardy Wilkinson to
the field of numerical software by Argonne National Laboratory,
the National Physical Laboratory, and the Numerical Algorithms Group.
}

\enlargethispage{0.5cm}

%\newpage

\subsection{\'El\'ements rectangulaires} \   \\

\subsubsection{\'El\'ements produits}

Une premi\`ere famille d'\'el\'ements bidimensionnels se d\'eduit
im\-m\'e\-dia\-te\-ment de familles unidimensionnelles par produit:

\noindent\textbf{Proposition.} \textsl{Si $\{e_k, V_k, F_i\}$ et
$\{f_\ell, W_\ell, G_j\}$ sont deux \'el\'ements finis, le produit
$\{ e_k\times f_\ell, V_k\times W_\ell, F_i G_j\}$ est encore un
\'el\'ement fini. Les $F_i G_j$ sont donc $V_k\times W_\ell -$unisolvants.
D'ailleurs, si $\{\ell_i\}$ et $\{m_j\}$ sont les bases de Lagrange des
deux \'el\'ements donn\'es, $\{p_{i,j}(x,y) = \ell_i(x) m_j(y)\}$ est
une base du produit.}


Par $F_i G_j$, il faut comprendre une forme d\'efinie sur des fonctions
de deux variables par $F_i G_j u(x,y) = F_i$ appliqu\'e en $x$ seul de
$G_j$ appliqu\'e en $y$ seul. Ainsi, si $F_i(v)=v(P_i)$ et $G_j(w)=w(Q_j)$,
$F_i G_j u(x,y) = u(P_i,Q_j)$;
                          si $F_i(v)=v''(P_i)$ et $G_j(w)=w'''(Q_j)$,
$\displaystyle{F_i G_j u(x,y) = \dfrac{\partial^5}{\partial x^2
 \partial y^3} u(P_i,Q_j)}$.

\enlargethispage{12pt}

Preuve de la proposition: $(F_i G_j)(p_{r,s}(x,y)) =
(F_i G_j)(\ell_r(x) m_s(y)) = F_i \{ \ell_r(x) (G_j m_s) \} = $\\$
 (F_i \ell_r) (G_j m_s) =  \delta_{i,r} \delta_{j,s} =
 \delta_{(i,j),(r,s)}.$

\begin{minipage}[t]{8cm}
\  \par

\vspace*{-2mm}

Notez qu'on n'est pas oblig\'e de prendre \emph{tous} les couples
possibles,

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(7,3)

 \drawline(0,2.6)(0,0)(6.5,0)
   \dashline{0.25}(0,0.5)(6,0.5)
   \dashline{0.25}(0,1.5)(6,1.5)
   \dashline{0.25}(0,2)(6,2)

   \dashline{0.25}(0.5,0)(0.5,2)
   \dashline{0.25}(0.75,0)(0.75,2)
   \dashline{0.25}(2.2,0)(2.2,2)
   \dashline{0.25}(5.2,0)(5.2,2)
   \dashline{0.25}(5.6,0)(5.6,2)
  \thicklines
 \drawline(0.50,0.5)(0.75,0.5)(0.75,1.5)(0.5,1.5)(0.5,0.5)
 \drawline(0.75,0.5)(2.2,0.5)(2.2,1.5)(0.75,1.5)(0.75,0.5)
 \drawline(2.2,0.5)(2.2,1.5)(5.2,1.5)(5.2,0.5)(2.2,0.5)
 \drawline(0.50,1.5)(0.75,1.5)(0.75,2.0)(0.5,2.0)(0.5,1.5)
 \drawline(2.2,1.5)(2.2,2.0)(5.2,2.0)(5.2,1.5)(2.2,1.5)
 \drawline(5.2,1.5)(5.2,2.0)(5.6,2.0)(5.6,1.5)(5.2,1.5)
\end{picture}

mais que l'on veille \`a ce que deux \'el\'ements aient en commun
1) le vide, 2) un sommet, ou 3) tout un c\^ot\'e.
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5cm}
\  \par

\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\  \par

 \vspace*{-9mm}

\'El\'ement rectangulaire le plus simple (\emph{\textbf{bilin\'eaire}}):
 $F_{i,j} =$ valeurs aux
4 sommets, $V\times W = \mathscr{P}_1 \times \mathscr{P}_1$, de
base $\{1, x, y, xy\}$.

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{center}\begin{picture}(4,2)
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(4,2)(0,2)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,2){$\circle*{0.2}$}
    \put(0,2){$\circle*{0.2}$}
\end{picture}\end{center}

Important: toute fonction de $U_h$ est continue dans tout
$\overline{\Omega}$, car sa restriction \`a un c\^ot\'e commun
\`a deux \'el\'ements est une \emph{m\^eme} fonction du premier
degr\'e (en $x$ ou en $y$) d\'etermin\'ee par les deux \emph{m\^emes}
valeurs aux extr\'emit\'es du c\^ot\'e.
\end{minipage}

\smallskip

\begin{minipage}[t]{8cm}
\  \par

\hspace*{-5mm}

\'El\'ement rectangulaire produit de deux interpolations de degr\'e~2
en 3 points distincts (\emph{\textbf{biquadratique}}): $F_{i,j} =$
 valeurs aux
sommets, et en chaque fois un point d'abscisse et ordonn\'ee
interm\'ediaire (pas n\'ecessairement les milieux des c\^ot\'es, mais
m\^emes abscisses et m\^emes ordonn\'ees pour ces point intem\'ediaires);
 $V\times W = \mathscr{P}_2 \times \mathscr{P}_2$, de
base $\{1, x, y, x^2, xy, y^2, x^2y, xy^2, x^2y^2\}$.

\smallskip

Le principe s'\'etend ais\'ement (en th\'eorie) aux interpolants de
degr\'e quelconque.
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.5cm}
\  \par

\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{7cm}
\  \par

 \hspace*{-5mm}


\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{center}\begin{picture}(4,2)
 \thinlines
  \dashline{0.25}(1.5,0)(1.5,2)  \dashline{0.25}(0,1.3)(4,1.3)
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(4,2)(0,2)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,2){$\circle*{0.2}$}
    \put(0,2){$\circle*{0.2}$}

    \put(1.5,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(0,1.3){$\circle*{0.2}$}
    \put(1.5,1.3){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,1.3){$\circle*{0.2}$}
    \put(1.5,2){$\circle*{0.2}$}
\end{picture}\end{center}

On garde  $U_h \subset \mathscr{C}_I^1(\overline{\Omega})$ (sans plus),
la restriction d'une fonction de $U_h$ \`a un c\^ot\'e commun
\`a deux \'el\'ements est une \emph{m\^eme} fonction du deuxi\`eme
degr\'e (en $x$ ou en $y$) d\'etermin\'ee par les trois \emph{m\^emes}
valeurs sur ce c\^ot\'e.
\end{minipage}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(15,5)
  \psline(0,0)(4,0) \psline(0.5,0.5)(4.5,0.5) \psline(1.5,1.5)(5.5,1.5)
  \psline(0,0)(2,2) \psline(1,0)(3,2) \psline(3,0)(5,2)\psline(2,2)(6,2)
  \psline(7,0)(11,0) \psline(8,1)(12,1) \psline(9,2)(13,2)
  \psline(7,0)(9,2) \psline(9,0)(11,2) \psline(11,0)(13,2)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2,2)(2,5.2)
  \psplot{1.5}{5.5}{x 3.5 sub x 5.5 sub mul 6.67 div 1.5 add}
  \psplot{0.5}{4.5}{x 2.5 sub x 4.5 sub mul -26.67 div 0.5 add}
  \psplot{1}{3}{x 2 sub 0.6 mul 1 add x 1 sub mul}
  \psplot{3}{5}{x 4 sub -0.2 mul 1 add x 3 sub mul}
  \psline[linestyle=dashed,dash=4mm 4mm](10,1)(10,5.2)
 \psset{linewidth=0.075,linecolor=darkgray}
  \psplot{2}{6}{x 4 sub  x 6 sub mul   2.5 div 2 add}
  \psplot{0}{2}{x 1 sub 1.6 mul 1 add x mul}
  \psline(0,0)(4,0) \psline(4,0)(6,2) \psline(2,0)(4,2)  \psline(1,1)(5,1)
  \psplot{8}{12}{x 10 sub x 10 sub mul -1.05 mul 5.2 add}
  \psplot{9}{11}{x 11 sub -4.2 mul 1 add x 9 sub mul}
  \psline(7,0)(11,0)(13,2)(9,2)(7,0)
\end{pspicture}

Deux \'el\'ements de la base de Lagrange correspondant 1) \`a un
sommet du rectangle, 2) \`a un point int\'erieur.

\smallskip

\begin{center} \rule{4cm}{0.2mm}   \end{center}

\medskip


\subsubsection{L'\'el\'ement ``\textbf{serendipity}''.}
 Et si on supprime le point int\'erieur? Il reste 8 formes, \\

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{center}\begin{picture}(4,2)
 \thinlines
  \dashline{0.25}(1.5,0)(1.5,2)  \dashline{0.25}(0,1.3)(4,1.3)
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(4,2)(0,2)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,2){$\circle*{0.2}$}
    \put(0,2){$\circle*{0.2}$}

    \put(1.5,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(0,1.3){$\circle*{0.2}$}
%    \put(1.5,1.3){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,1.3){$\circle*{0.2}$}
    \put(1.5,2){$\circle*{0.2}$}
\end{picture}\end{center}

 \noindent il faut
 imaginer un espace de dimension~8. On choisit l'espace de base
 $1, x, y, x^2, xy, y^2, x^2y$ et $xy^2$ (\'el\'ement
  \emph{\textbf{serendipity}}\footnote{ \textbf{SERENDIPITY}
   N. a seeming gift for finding good things accidentally.  \\
   Taken by Horace Walpole from \textsl{The Three Princes of Serendip},
   a 1754 Persian tale.    \\
  (The Literary Dictionary (27KB, indexed Oct 19 1997) Thanks to
   Holly Koslow, \\
   \href{http://www.geocities.com/SoHo/Lofts/2297/literary_word.html}
   {\texttt{http://www.geocities.com/SoHo/Lofts/2297/literary\_word.html}})
  \\
 \href{http://www.citadelle.org/fr/forums/lecture.cfm?M_ID=835&Niveau=1}
 {\texttt{http://www.citadelle.org/fr/forums/lecture.cfm?M\_ID=835\&Niveau=1}}
  \\
  \href{http://sos-net.eu.org/red&s/communic/idl/serendip.htm}
    {\texttt{http://sos-net.eu.org/red\&s/communic/idl/serendip.htm}}
  }. Ce n'est \emph{pas} un \'el\'ement produit! Il faut donc v\'erifier
 l'unisolvance des 8 formes d'interpolation selon l'espace propos\'e.

 On peut
 \begin{enumerate}
  \item \'Etablir que seule la fonction nulle de l'espace annule les 8
    formes: si $f(x,y)= \alpha +\beta x +\gamma y +\delta x^2 +\epsilon
  xy +\phi y^2 +\xi x^2y +\eta xy^2$ est nulle en $(x,y) = (a_i, b_j)$
 pour $i=1,2,3$, $j=1,2,3$ SAUF $(i,j)= (2,2)$, on a, \\
  en $y=b_1$: $\alpha +\gamma b_1 +\phi b_1^2
               +(\beta +\epsilon b_1 +\eta b_1^2)x + (\delta +\xi b_1)x^2
           =0$ en 3 valeurs de $x$, d'o\`u\\
              $\alpha +\gamma b_1 +\phi b_1^2 =0,
       \beta +\epsilon b_1 +\eta b_1^2 =0, \delta +\xi b_1 =0 $. \\
    De m\^eme, en $y=b_3$:  \\
              $\alpha +\gamma b_3 +\phi b_3^2 =0,
       \beta +\epsilon b_3 +\eta b_3^2 =0, \delta +\xi b_3 =0 $, \\
  d'o\`u on tire d\'ej\`a $\delta = \xi=0$. On examine maintenant $f$
  comme un polyn\^ome de degr\'e~2 en $y$, en $x$ fix\'e en $a_1$ et
  $a_3$:\\
              $\alpha +\beta a_1 +\delta a_1^2 =0,
       \gamma +\epsilon a_1 +\xi a_1^2 =0, \phi +\eta a_1 =0 $, et \\
              $\alpha +\beta a_3 +\delta a_3^2 =0,
       \gamma +\epsilon a_3 +\xi a_3^2 =0, \phi +\eta a_3 =0 $,  \\
 d'o\`u $\phi = \eta=0$, et, comme nous avons d\'ej\`a $\xi=0$:
  $\gamma= \epsilon =0$, et enfin, comme on sait que $\delta=0$,
 $\alpha= \beta=0$. \qed
 \item Construire la base de Lagrange de l'\'el\'ement investigu\'e
  \`a partir de la base de Lagrange d'un \'el\'ement voisin.  Ici,
 partons de $\{\ell_i(x) m_j(y)\}$, $i$ et $j=1,2,3$, base de Lagrange
 de l'\'el\'ement produit \`a 9 points. Retenons les $\ell_i m_j$ pour
 $i$ et $j=1,2,3$ SAUF $(i,j)=(2,2)$. On a bien
 $\ell_i(a_r) m_j(b_s) = \delta_{(i,j),(r,s)}$. Le probl\`eme est que
 les $\ell_i(x) m_j(y)$ ont normalement un coefficient non nul en
  $x^2y^2$. Prenons $\ell_i(x) m_j(y) - K_{i,j} \ell_2(x) m_2(y)$ avec
 $K_{i,j}$ tel que la diff\'erence n'ait plus de coefficient en $x^2y^2$.
 Il suffit donc de v\'erifier que $\ell_2$ et $m_2$ sont bien de
 degr\'e exact 2. Bien s\^ur: une fonction du premier degr\'e ne saurait
 prendre les valeurs $0,1,0$ en trois points distincts. \qed
\end{enumerate}
On peut construire des \'el\'ements de type serendipity avec plus d'un
point int\'erieur par c\^ot\'e ([Strang \& Fix], p.~90).

\medskip

\subsubsection{Hermite bicubique} (ou \emph{\textbf{rectangle de
 Bogner-Fox-Schmit}}).


Retour \`a un \'el\'ement produit: les formes unidimensionnelles sont
$F_i(f) = f(a)$ et $f'(a)$ en deux points, il y a donc 4 formes par
dimension. Les 16 formes de l'\'el\'ement produit

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{center}\begin{picture}(4,3.4)
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(4,2)(0,2)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,2){$\circle*{0.2}$}
    \put(0,2){$\circle*{0.2}$}
 \thinlines
    \put(0,0){$\circle{0.6}$}
    \put(4,0){$\circle{0.6}$}
    \put(4,2){$\circle{0.6}$}
    \put(0,2){$\circle{0.6}$}

    \drawline(0,0.1)(1,1.1)(0.95,1.15)(1.25,1.25)(1.15,0.95)(1.1,1)(0.1,0)
    \drawline(4,0.1)(5,1.1)(4.95,1.15)(5.25,1.25)(5.15,0.95)(5.1,1)(4.1,0)
    \drawline(0,2.1)(1,3.1)(0.95,3.15)(1.25,3.25)(1.15,2.95)(1.1,3)(0.1,2)
    \drawline(4,2.1)(5,3.1)(4.95,3.15)(5.25,3.25)(5.15,2.95)(5.1,3)(4.1,2)
\end{picture}\end{center}

\noindent sont donc
$$ f(a,b), \dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b),
           \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b), \text{ et }
           \dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(a,b)
$$
aux 4 sommets du rectangle. On aura devin\'e le code graphique\footnote{
introduit par P.~Ciarlet.}: point
pour valeur, cercle pour toutes les d\'eriv\'ees premi\`eres, d'autres
cercles concentriques si on donne toutes les d\'eriv\'ees secondes, etc.
Pour les d\'eriv\'ees isol\'ees: fl\`eche orient\'ee simple, double, etc.

\smallskip

Espace: $\mathscr{P}^3\times \mathscr{P}^3$, soit toutes les combinaisons
de $1, x, y, x^2, xy,\dotsc, x^3y^3$.

\medskip

\emph{\textbf{Int\'er\^et principal:}} $U_h \subset \mathscr{C}_I^2$.
Il faut \'evidemment se concentrer sur ce qui se passe sur les c\^ot\'es
communs \`a deux \'el\'ements. Pour fixer les id\'ees, soit un c\^ot\'e
\emph{horizontal} $a\leqslant x\leqslant b, y=c$ commun
 \`a $e_k$ et $e_\ell$. La restriction de $u_h\in U_h$ \`a $e_k$ est un
certain polyn\^ome de degr\'e 3 en chaque variable, disons $f_k(x,y)$.
Sur le c\^ot\'e, soit $g_k(x) := f_k(x,c)$. $g_k$ est un polyn\^ome (d'une
variable) de degr\'e $\leqslant 3$, enti\`erement d\'etermin\'e par ses
valeurs \emph{et les valeurs de sa d\'eriv\'ee premi\`ere} en $x=a$ et
$b$. En effet, $g'_k = \partial f_k/\partial x$. Comme ces
\emph{m\^emes} valeurs d\'eterminent \'egalement $g_\ell$ et $g'_\ell$,
$g_k(x)\equiv g_\ell(x)$: continuit\'e $\mathscr{C}^0$.

\smallskip

Ensuite, il faut montrer que le gradient de $u_h$ est continu, donc que
$\textbf{grad}\, f_k = \textbf{grad}\, f_\ell$ sur le c\^ot\'e commun.
Pas de probl\`eme pour la d\'eriv\'ee en $x$: elle vaut $g'_k = g'_\ell$
sur ce c\^ot\'e. Pour la d\'eriv\'ee en $y$, soit $h_k(x) :=
\partial f_k(x,y)/\partial y$ en $y=c$. $h_k$ est un nouveau polyn\^ome
de degr\'e 3, fix\'e aux deux extr\'emit\'es (valeurs de
$\partial f_k/\partial y$), et de d\'eriv\'ees premi\`eres fix\'ees en
ces deux extr\'emit\'es (valeurs de $\partial^2 f_k/\partial x\partial y =
h'_k(x)$). Les polyn\^omes $h_k$ et $h_\ell$ sont d\'etermin\'es par les
m\^emes donn\'ees et sont donc identiques:
$\partial f_k/\partial y  = \partial f_\ell/\partial y $ sur
$e_k\cap e_\ell$.

%\newpage

\subsection{\'El\'ements triangulaires} \  \\

\subsubsection{\'El\'ement lin\'eaire (Courant)}
\index{El\'ement triangulaire lin\'eaire}
Nous avons d\'ej\`a rencontr\'e \emph{\textbf{l'\'el\'ement de
Courant}}\footnote{
\textbf{Richard Courant} \   Born: 8 Jan 1888 in Lublinitz, Prussia
 (now Lubliniec, Poland),  Died: 27 Jan 1972 in New Rochelle, New York, USA. \\
  Courant obtained his doctorate from G\"ottingen in 1910 under Hilbert's  supervision.
 He taught mathematics at G\"ottingen, where he was Klein's  successor, until
  the start of World War I. A few years after the war,  Courant returned
   to G\"ottingen, where he founded the university's  Mathematics
 Institute. From 1920 until 1933 he was director of the  Mathematics
  Institute.\\   His most important work was in mathematical physics.
   In 1924 he  published, jointly with Hilbert, an important text
    \textsl{Methoden der  mathematischen Physik}. He left
for England in 1933, going to New York   University the following year.
 He built up an applied mathematics  research centre in New York
  based on the G\"ottingen style, making many   new appointments such
   as Friedrichs.\\
      References (6 books/articles) \\
  1. Biography in \textsl{Encyclopaedia Britannica}.  \\
  2. C Reid, \textsl{Courant in Gottingen and New York : the story
 of an improbable mathematician} ( New York, 1976).
  3. C Reid, \textsl{Hilbert-Courant} ( New York, 1986).  \\
  4. Professor Richard Courant: A biographical note, \textsl{J. Mathematical
   and Physical Sci}. \textbf{7} (1973), i-iv.   \\
  5. Richard Courant (1888-1972) (Bulgarian), \textsl{Fiz.-Mat. Spis. Bulgar.
  Akad. Nauk.} \textbf{15} (48) (1972), 171.   \\
  6. F Williamson Jr., Richard Courant and the finite element method: a
     further look, \textsl{Historia Mathematica} \textbf{7} (4) (1980), 369-378.  \\
 (\href{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Courant.html}
 {\texttt{http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Mathematicians/Courant.html}}),\\
 voir aussi Courant Institute's Picture Gallery (I-III),
 \href{http://www.cims.nyu.edu/gallery/}{\texttt{
   http://www.cims.nyu.edu/gallery/}}
}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{center}\begin{picture}(4,3.4)
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(1,3)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(1,3){$\circle*{0.2}$}
\end{picture}\end{center}
avec $V_k = \mathscr{P}_1 = \{ a+bx+cy\}$ qui ne pr\'esente gu\`ere
difficult\'e quant \`a l'unisolvance. Nous pouvons m\^eme donner une
interpr\'etation du d\'eterminant qui appara\^\i t dans la
v\'erification: $\displaystyle{  \begin{vmatrix}
         1  &  x_1  & y_1 \\
         1  &  x_2  & y_2 \\
         1  &  x_3  & y_3
  \end{vmatrix} }$ n'est autre que deux fois \emph{l'aire} (orient\'ee)
du triangle dont les $(x_i, y_i)$ sont les sommets. Preuve suppl\'ementaire
qu'il faut et il suffit que ces trois sommets soient non colin\'eaires.

Cet \'el\'ement est tellement utilis\'e qu'il n'est pas inutile de
d\'evelopper quelque peu le sujet:

\smallskip

On appelle \emph{coordonn\'ees barycentriques} d'un point relativement
\`a un triangle les distances aux c\^ot\'es divis\'ees par les hauteurs
correspondantes. Les coordonn\'ees barycentriques d'un point int\'erieur
au triangle sont trois nombres positifs de somme unit\'e. Si
$d_i(x,y)=0$ est l'\'equation du c\^ot\'e oppos\'e au sommet
$(x_i,y_i)$, $i=1,2,3$, la coordonn\'ee barycentrique associ\'ee au
c\^ot\'e $d_i$ est
  $$   \ell_i(x,y) = \dfrac{ d_i(x,y) }{d_i(x_i,y_i)}, $$
et $\{\ell_1, \ell_2, \ell_3\}$ n'est autre que la base de Lagrange
de $V$!

\emph{\textbf{Exercice.}} Quel sont les lieux de points ayant deux
coordonn\'ees barycentriques \'egales? Montrez qu'une droite passant
par un sommet est caract\'eris\'ee par un rapport constant de deux
coordonn\'ees barycentriques. Et que peut on dire d'une droite parall\`ele
\`a un des c\^ot\'es?

\medskip

Simplexes dans $\mathbb{R}^n$: cf. [Ciarlet], pp.~45-46.

\medskip


%\subsubsection{}
 Pour des \'el\'ements plus compliqu\'es, les
remarques suivantes seront utiles:
\begin{enumerate}
 \item L'espace $\mathscr{P}_m$ d\'esigne maintenant les polyn\^omes
   de degr\'e \emph{total} $\leqslant m$, c'est-\`a-dire les combinaisons
  de $x^i y^j$ avec $i+j\leqslant m$.Les bases de mon\^omes et les dimensions
  sont donc
   \begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|}
     \hline  $m$ &  base  & dim.  \\
                 &        & $=(m+1)(m+2)/2$ \\
     \hline   0  &   1    &  1    \\
     \hline   1 & 1, $x$, $y$ &   3  \\
     \hline 2 & 1, $x$, $y$, $x^2$, $xy$, $y^2$ &  6 \\
     \hline 3 & 1, $x$, $y$, $x^2$, $xy$, $y^2$,
              $x^3$, $x^2y$, $xy^2$, $y^3$   & 10  \\
     \hline 4 & 1, $x$, $y$, $x^2$, $xy$, $y^2$,
              $x^3$, $x^2y$, $xy^2$, $y^3$,
              $x^4$, $x^3y$, $x^2y^2$, $xy^3$, $y^4$  &   15   \\
     \hline 5 & 1, $x$, $y$, $x^2$, $xy$, $y^2$,
              $x^3$, $x^2y$, $xy^2$, $y^3$,
              $x^4$, $x^3y$, $x^2y^2$, $xy^3$, $y^4$, &   21   \\
      &  $x^5$, $x^4y$, $x^3y^2$, $x^2y^3$, $xy^4$, $y^5$ &   \\
     \hline
  \end{tabular}\end{center}
   \item Factorisation: on cherchera encore \`a \'etablir des
     propri\'et\'es d'unisolvance par $F_i(f)=0, f\in V \Rightarrow
     f=0$. Au passage, il est tr\`es utile de pouvoir factoriser $f$. En
     fonctions de plusieurs variables, $f=0$ en un point n'implique pas de
     factorisation: ce point, comme une infinit\'e d'autres points,
      fait partie de la courbe d'\'equation $f(x,y)=0$, voila tout.\\
      Mais si la courbe $f=0$ contient des lieux remarquables, on
     retrouve des factorisations:
     \begin{enumerate}
      \item \textbf{Proposition.} \textsl{Si $f$ est un polyn\^ome de
        deux variables, et si le lieu $f(x,y)=0$ contient enti\`erement
        une droite d'\'equation $d=0$, on a $f=dg$, avec $g$ polynomial.
        \\ De plus, si on a \'egalement} \textbf{grad}$\,f=0$ \textsl{
       sur la droite $d=0$, on a $f=d^2h$, avec $h$ polynomial.} \\
         \begin{minipage}[t]{3cm}
         \  \par

          \vspace*{-5mm}
           \setlength{\unitlength}{1cm}
           \begin{picture}(3,3)
            \put(0.25,0){\vector(1,0){1}}   \put(1.2,0.1){$x$}
            \put(0.25,0){\vector(0,1){1}}   \put(0.3,0.9){$y$}
            \put(0,0.5){\vector(2,1){1.5}}   \put(1.4,1.3){$d^\perp$}
            \put(0,0.5){\vector(-1,2){0.6}}   \put(-0.5,1.1){$d$}
             \thicklines
         \put(-0.5,0.25){\line( 2,1){2.5}}   \put(0.9,0.8){$d(x,y)=0$}
            \end{picture}
         \end{minipage}
         \begin{minipage}[t]{11cm}
         \  \par

          \vspace*{-5mm}
       En effet, si $d(x,y)= \alpha x+\beta y +\gamma$, soit
       $d^\perp(x,y)= -\beta x +\alpha y$. On peut alors exprimer
       $x$ et $y$ en fonction de $d$ et $d^\perp$ (le d\'eterminant
      est $\alpha^2 + \beta^2\neq 0$; on s'est tout simplement plac\'e
      dans un syst\`eme d'axes ($d, d^\perp$) [ce syst\`eme est d'ailleurs
      orthogonal]). \\
      On \'ecrit donc $f(x,y) = F(d, d^\perp)$, toujours un polyn\^ome.
       \end{minipage}

      \noindent
      S\'eparons les puissances de $d$: $f(x,y) = F(d, d^\perp) =
       F_0(d^\perp) +d F_1(d^\perp) + d^2 F_2(d^\perp) +\dotsb$ \\
      D\`es lors, si $f=F=0$ quand $d=0$, $F_0(d^\perp)\equiv 0$ et $d$
      peut se mettre en \'evidence; si, de plus,  le gradient de $f=F$ s'annule
      quand $d=0$, $\partial F/\partial d =0$, en $d=0 \Rightarrow
       F_1(d^\perp)\equiv 0$ et $d^2$ appara\^\i t. \qed \\
     (On a utilis\'e $\displaystyle{  \partial F/\partial d =
      \lim_{\delta\to 0} \dfrac{ F(d+\delta, d^\perp) -F(d,d^\perp)}{\delta} = }$ \\
      $\displaystyle{
      \lim \dfrac{ f(x+\alpha\delta/(\alpha^2+\beta^2),
                     y+\beta\delta/(\alpha^2+\beta^2)) -f(x,y)}{\delta}
       = (\alpha^2+\beta^2)^{-1} [\alpha, \beta]\boldsymbol{\cdot}
         \textbf{grad}\,f  }$).
      \item \textbf{Proposition.} \textsl{Si $f$ est un polyn\^ome
            de degr\'e $\leqslant m$      de
        deux variables, et si la droite d'\'equation $d(x,y)=0$ contient
      $m+1$ points, compt\'es avec leurs multiplicit\'es, o\`u $f$ et
      d'\'eventuelles d\'eriv\'ees tangentielles de $f$ s'annulent,
      on a $f=dg$, avec  $g\in\mathscr{P}_{m-1}$.\\
      Si, de plus, la d\'eriv\'ee normale de $f$ s'annule en $m$ points
       (compt\'es avec leurs multiplicit\'es) de la m\^eme droite,
       $f=d^2h$, avec $h\in\mathscr{P}_{m-2}$.
      } \\
     En effet, on passe aux variables $d, d^\perp$ comme au point
      pr\'ec\'edent. Sur $d=0$, $f=F(0,d^\perp)$ est un polyn\^ome
       d'une variable ayant au moins $m+1$ z\'eros (compt\'es avec
        leurs multiplicit\'e) $\Rightarrow F(0,d^\perp)\equiv 0$ et
      $f=F=dg$. \\
      On a donc $f=F= dF_1(d^\perp) +d^2 F_2(d^\perp)+\dotsb$ La d\'eriv\'ee
      normale $\partial F/\partial d = F_1 +2d F_2+\dotsb$ est donc
      le polyn\^ome $F_1 \in\mathscr{P}_{m-1}$ sur $d=0$ et est le polyn\^ome
      nul s'il s'annule en au moins $m$ points. \qed
     \end{enumerate}
  \item {\Small \emph{\textbf{Probl\`eme.}} Et si la courbe $f=0$
    contient des points situ\'es sur une m\^eme \emph{\textbf{conique}}?\\
     \textsl{Si la courbe $f(x,y)=0$, $f\in\mathscr{P}_m$, $m\geqslant 2$,
    contient $2m+1$ points distincts appartenant \`a une conique non
    d\'eg\'en\'er\'ee $[=$ non r\'eduite \`a deux droites$]$ d'\'equation
     $C(x,y)=0$, alors $f=Cg$, avec $g\in \mathscr{P}_{m-2}$. } \\
    D\'emonstration (partielle): supposons pouvoir amener $C$ sur le
    cercle unit\'e par transformation affine. Alors, on passe \`a des
   coordonn\'ees $(\rho, t)$ par
     $$  x= \rho \dfrac{t^2-1}{t^2+1}\,,
         y= \rho \dfrac{2t}{t^2+1},   $$
   (remarquez que $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$, il s'agit en fait des
   coordonn\'ees polaires\footnote{Pour une hyperbole, on aurait
   $x=\rho(t^2+1)/(t^2-1)$.}, la conique est le lieu d'\'equation
   $\rho^2-1=0$), que l'on porte dans $f(x,y)$:
    $$ (t^2+1)^m f(x,y) := F(\rho, t) = F_0(t) +(\rho-1) F_1(t) +\dotsb
    $$
  $F_0$ est un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant 2m$, puisque
   $(t^2+1)^m x^i y^j = (t^2+1)^{m-i-j} (t^2-1)^i (2t)^j \in
   \mathscr{P}_{2m}$. Ce polyn\^ome devant s'annuler en $2m+1$ points
  doit donc \^etre le polyn\^ome nul, donc $f$ contient $\rho -1$
    en facteur. On reprend avec les puissances de $\rho+1$ pour obtenir
le facteur $\rho+1$, donc $\rho^2-1= (x^2+y^2)^{1/2}-1= C(x,y)$\footnote{Sur
 ces questions, th\'eor\`eme de N\"other, etc.,
%   M.~Alvarez recommande la consultation de \textsl{A Treatise on Algebraic
%  Plane Curves} par J.L.~Coolidge, Dover, N.Y., 1959.}.
  voir, par exemple, E.L.~Wachpress, \textsl{A Rational Finite Element
  Basis}, Academic Press, New York, 1975, et des ouvrages sur les
  courbes planes alg\'ebriques.}.

  \medskip

         \begin{minipage}[t]{5cm}
         \  \par

          \vspace*{-5mm}
 %          \setlength{\unitlength}{1cm}
 %          \begin{picture}(5,3)
 %  \drawline(0,0)(5,0)(5,1)(0,1)(0,2)(5,2)(5,3)(0,3)
 %  \drawline(0,0)(0,3)(1,3)(1,0)(2,0)(2,3)(3,3)(3,0)(4,0)(4,3)(5,3)(5,0)
 %          \drawline(0.5,2.3)(-1,-1)(3.5,-0.4)   \put(0.4,1.9){$P_1$}
 %          \drawline(0,1.1)(0.25,0)(1.375,-4.95) \put(0,0.9){$P_2$}
 %          \drawline(0.25,0)(1,-0.7)(-3.5,3.5) \put(0.26,-0.1){$P_3$}
 %          \drawline(4,1)(3.4,-0.4)(1.45,-4.95) \put(1,-0.6){$P_4$}
 %          \drawline(0.5,2.3)(4,1)(-3.35,3.73) \put(3.5,-0.5){$P_5$}
 %                                          \put(4,0.8){$P_6$}
 %         \put(-4,4.2){$Q_2$} \put(-1.6,-1.1){$Q_1$} \put(1.6,-4.9){$Q_3$}
 %            \thicklines
 %         \put(2,1){\circle{4}}  \drawline(-4.75,5.3)(1.5,-5.2)
 %           \end{picture}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
  %\uput[270](0.5,0.5){$x_{i-1}$}
  %\uput[270](4,0.5){$x_i$}
  %\uput[270](7.4,0.5){$x_{i+1}$}
  %\psline(0.3,0.5)(7.3,0.5)
  %\psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](2.5,2.0)(2.5,0.5)
  %\uput[270](8,0.5){$x_{i-1}$}
  %\uput[270](12,0.5){$x_i$}
  %\uput[270](14.9,0.5){$x_{i+1}$}
  %\psline(7.8,0.5)(15,0.5)
  %\psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](12,2.5)(12,0.5)
  %\uput[0](6,2.5){$L_3$}
 \psellipse(3,-0.5)(1.8,3.5)
 \uput[180](1.6,1.6){$P_1$}
 \uput[315](2.5,3){$P_2$}
 \uput[0](1.2,0){$P_3$}
 \uput[0](4.0,-3.2){$P_6$}
 \uput[315](2.0,-3.2){$P_5$}
 \uput[45](1.4,-1.8){$P_4$}
 \psline(2.5,2.8)(0.5,0.1) %12
 \psline(1,2.3)(4.2,-3.2)  %16
 \psline(1,2.3)(1.4,-2) %34
 \psline(0.5,0.1)(1.85,-3.2) %45
 \psline(0,-3.1)(4.2,-3.2)  %56
 \psline(2.5,2.8)(0,-3.1)  %23
 \uput[180](1,2.3){$Q_2$}
 \uput[180](0.5,0.1){$Q_1$}
 \uput[180](0,-3.1){$Q_3$}
 \psset{linewidth=0.1,linecolor=red}
 \psline(0,-3.1)(1,2.3)
  %\pscurve[linecolor=darkgray](1.5,0.5)(2.5,0.5)(4,2.8)(5,3.3)(6,0.5)(7.5,-0.4)(9,0.5)(11,1)(12,0.5)
  %\psplot{0.5}{4}{x 0.5 sub  x 0.5 sub mul x 11 sub mul  -30 div 0.5 add}
  %\psplot{4}{7.4}{x 7.4 sub x 7.4 sub mul x 2.3 sub mul 10 div 0.5 add}
  %\psplot{8}{12}{x 8 sub x 8 sub  mul x 12 sub mul 4 div 0.5 add}
  %\psplot{12}{15}{x 15 sub x 15 sub mul x 12 sub mul 4 div 0.5 add}
  \psdots[dotsize=0.25](1,2.3)(0.55,0.1)(0,-3.1)
  %\psdots[dotsize=0.15,dotstyle=o](12,2.5)
\end{pspicture}

         \end{minipage}
         \begin{minipage}[t]{9cm}
         \  \par

          \vspace*{-5mm}
       Application: \emph{\textbf{Th\'eor\`eme de Pascal}}, \textsl{les
      c\^ot\'es oppos\'es d'un hexagone inscrit \`a une conique se
      coupent en trois points colin\'eaires.}\\
      En effet, soient $d_{1,2}=0$, $d_{2,3}=0$,\dots, $d_{5,6}=0$ et $d_{6,1}=0$
      les \'equations des c\^ot\'es de l'hexagone. On consid\`ere le polyn\^ome du
      \emph{\textbf{troisi\`eme}} degr\'e
         $$  f = d_{1,2}d_{3,4}d_{5,6} -\lambda d_{2,3}d_{4,5} d_{6,1}. $$
       Ce polyn\^ome s'annule en $P_1$ (o\`u $d_{1,2}$ et $d_{6,1}=0$), en $P_2$,\dots,
       en $P_6$, ET en $Q_1$ (o\`u $d_{1,2}$ et $d_{4,5}=0$),
                    $Q_2$ (o\`u $d_{3,4}$ et $d_{6,1}=0$), et
                    $Q_3$ (o\`u $d_{5,6}$ et $d_{2,3}=0$).
      Fixons $\lambda$ pour que la courbe $f=0$ contienne un septi\`eme
      point de la conique $C=0 \Rightarrow f=Cd$, o\`u $d$ est du premier
      degr\'e $\Rightarrow Q_1, Q_2$ et $Q_3$ sont sur $d=0$, donc
      colin\'eaires.
              \end{minipage}
    } %end Small
\end{enumerate}

\vspace*{2cm}
\subsubsection{Triangle \`a six points} On interpole aux trois sommets
et en un point int\'erieur de chaque c\^ot\'e (souvent le point milieu).
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{center}\begin{picture}(4,3.4)
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(1,3)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(1,3){$\circle*{0.2}$}
    \put(1,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(0.6666667,2){$\circle*{0.2}$}
    \put(2.5,1.5){$\circle*{0.2}$}
\end{picture}\end{center}
$V=\mathscr{P}_2$ est bien de dimension 6. Unisolvance: si $f\in\mathscr{P}_2$
s'annule aux 6 points, $f$ s'annule aux 3 points du c\^ot\'e $d_1=0
\Rightarrow f=d_1 g$. De m\^eme pour les deux autres c\^ot\'es:
$f=d_1d_2d_3h$, impossible avec $f\in\mathscr{P}_2$, sauf si $h=0$.\\
{\Small Autre argument: les 6 points sont sur la conique $f=0$ et forment
 donc un hexagone inscrit. Th\'eor\`eme de Pascal: $Q_1, Q_2$ et $Q_3$
 sont colin\'eaires, impossible, ce sont les trois sommets!}

\medskip

Base de Lagrange: $\ell_i(x,y)$ vaut 1 au point $P_i$, vaut 0 aux 5
autres points. Parmi ces 5 points, il y a toujours un triplet colin\'eaire
(sur un c\^ot\'e) $\Rightarrow \ell_i = d_i g_i$, o\`u $d_i=0$ est
l'\'equation de ce c\^ot\'e, et $g_i=0$ est l'\'equation de la droite
passant par les deux derniers points.

\medskip

Continuit\'e: \'etant bien entendu que le point int\'erieur est le
\emph{m\^eme} sur le c\^ot\'e commun de deux triangles jointifs, la
restriction d'une fonction de $U_h$ \`a ce c\^ot\'e est un polyn\^ome
du second degr\'e d'une variable (la distance \`a un sommet) et est donc
enti\`erement d\'etermin\'ee par les valeurs aux trois points situ\'es
sur ce c\^ot\'e: $U_h\subset \mathscr{C}^1_I$.

\subsubsection{Autres \'el\'ements triangulaires d'interpolation} On
prend les sommets, $m-1$ points int\'erieurs aux c\^ot\'es, et
$(m-2) +(m-3)+\dotsb = (m-2)(m-1)/2$ points int\'erieurs au triangle,
ce qui fait $(m+1)(m+2)/2$ points. On s'arrange pour pour avoir des
alignements de $m$, $m-1$,etc. points, par exemple sur des parall\`eles
aux c\^ot\'es (voir figure pour $m=3$).
\begin{center}\begin{picture}(4,3.4)
  \thinlines
  \dashline{0.25}(0.3333,1)(3,1)
  \dashline{0.25}(0.6667,2)(2,2)
  \dashline{0.25}(2.6667,0)(0.66667,2)
  \dashline{0.25}(1.3333,0)(0.33333,1)
  \dashline{0.25}(1.3333,0)(2,2)
  \dashline{0.25}(2.6667,0)(3,1)
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(1,3)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(1,3){$\circle*{0.2}$}
    \put(1.3333,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(2.6666,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(0.3333333,1){$\circle*{0.2}$}
    \put(0.6666667,2){$\circle*{0.2}$}
    \put(2,2){$\circle*{0.2}$}
    \put(3,1){$\circle*{0.2}$}
    \put(1.66667,1){$\circle*{0.2}$}
\end{picture}\end{center}
On prend $V=\mathscr{P}_m$.
Unisolvance: directement par base de Lagrange: un \'el\'ement
$\ell_i(x,y)$ de la base de Lagrange doit \^etre un polyn\^ome de
$\mathscr{P}_m$ s'annulant en tous les points sauf un. Comme il y a
au moins un c\^ot\'e contenant $m+1$ points o\`u $\ell_i$ doit s'annuler,
$\ell_i = d_i g_i$, o\`u $d_i=0$ est l'\'equation de ce c\^ot\'e et
$g_i\in \mathscr{P}_{m-1}$. On recommence avec un alignement de $m$
points, etc.

\smallskip

Continuit\'e: $U_h\subset \mathscr{C}^1_I$, puisque $u_h$ sur un c\^ot\'e
est un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant m$ en une variable, enti\`erement
d\'etermin\'e par ses valeurs en $m+1$ points.

\subsubsection{Triangle d'Hermite} On fixe les valeurs et les deux
composantes du gradient aux 3 sommets, et la valeur en un point
int\'erieur.
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{center}\begin{picture}(4,3.4)
    \put(0,0){$\circle{0.6}$}
    \put(4,0){$\circle{0.6}$}
    \put(1,3){$\circle{0.6}$}
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(1,3)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(1,3){$\circle*{0.2}$}

    \put(2,1){$\circle*{0.2}$}
\end{picture}\end{center}
$V=\mathscr{P}_3$ (dimension 10).

\smallskip

Unisolvance: si $f\in\mathscr{P}_3$ annule toutes les formes, $f$ a deux
z\'eros doubles le long de chaque  c\^ot\'e  $\Rightarrow
f=d_1d_2d_3 c$, o\`u $c$ ne peut plus \^etre qu'une constante, et il
est alors impossible d'avoir $f=0$ au point int\'erieur sauf si $c=0$.\qed

Ou par base de Lagrange ([Nicaise], exercice~8.32): soient
$d_1=0, d_2=0, d_3=0$ les \'equations des 3 c\^ot\'es, telles que
$d_i=1$ au sommet oppos\'e au c\^ot\'e d'\'equation $d_i=0$.
(Les $d_i$ forment la base de Lagrange du triangle de Courant).

\begin{enumerate}
 \item Le polyn\^ome de $\mathscr{P}_3$ qui vaut 1 au sommet oppos\'e
   au c\^ot\'e d'\'equation $d_i=0$, nul aux deux autres sommets
   et au point int\'erieur, et de gradient nul aux trois
   sommets est $d_i^2(3-2d_i) -$ const. $d_1d_2d_3$, avec la
   constante telle que le r\'esultat soit nul au point int\'erieur.
 \item Les deux polyn\^omes ind\'ependants de $\mathscr{P}_3$
    nuls aux trois sommets et au point int\'erieur, et de
    gradient nul aux deux sommets situ\'es sur le c\^ot\'e
    d'\'equation $d_i=0$ sont \\
   $ \alpha d_i d_j (Ad_i +d_j-1)  + \beta d_i d_k (Bd_i +d_k-1)$, \\
  o\`u $A$ et $B$ sont tels que $Ad_i+d_j-1 = Bd_i+d_k-1=0$ au point
  int\'erieur. En effet, au sommet $d_i=0, d_j=1$, (et donc,
  $d_k=0: d_id_k$ a d\'ej\`a son gradient nul),
   la d\'eriv\'ee $\partial/\partial d_i$ vaut
  $\alpha d_j(d_j-1) =0$;
   la d\'eriv\'ee $\partial/\partial d_j$ vaut
  $\alpha [d_i(Ad_i+d_j-1)+d_id_j=0$.
 \item Enfin, le polyn\^ome de $\mathscr{P}_3$ nul avec son gradient
   aux trois sommets est const. $d_1d_2d_3$, avec la constante telle
  que le r\'esultat $=1$ au point int\'erieur.
\end{enumerate}

\smallskip

Continuit\'e: examinons $u_h$ le long d'un c\^ot\'e commun \`a deux
\'el\'ements. Effectuons une translation et une rotation pour amener
ce c\^ot\'e sur $a\leqslant x\leqslant b, y=0$. $u_h$ est un polyn\^ome
de degr\'e $\leqslant 3$ en $x$ d\'etermin\'e par ses valeurs et les
valeurs de sa d\'eriv\'ee premi\`ere en $a$ et $b$ (interpolation
d'Hermite), donc, continuit\'e $\mathscr{C}^0: u_h\in \mathscr{C}^1_I$.

Et la d\'eriv\'ee normale? C'est-\`a-dire $\partial u_h/\partial y$, qui est
un polyn\^ome du second degr\'e en $x$ sur $[a,b]$, dont on ne fixe
que les valeurs (deuxi\`eme composante du gradient de $u_h$) en $a$ et
$b$, ce qui est insuffisant pour le d\'eterminer! La d\'eriv\'ee
normale subira donc le plus souvent une discontinuit\'e lors du
passage d'un \'el\'ement \`a un \'el\'ement voisin (aux points
int\'erieurs d'un c\^ot\'e).

\smallskip

Il existe une modification de type serendipity du triangle d'Hermite
ne n\'ecessitant pas de point int\'erieur (triangle de Zienkiewicz).

\subsubsection{Triangle d'Argyris} On atteint la continuit\'e
$\mathscr{C}^1$ en imposant les valeurs, celles des deux d\'eriv\'ees
premi\`eres ET celles des trois d\'eriv\'ees secondes en chaque
 sommet\footnote{Sur la n\'ecessit\'e de ces conditions, cf.
 A.~\v Zen\'\i \v sek, Interpolation polynomials on the triangle,
 \textsl{Numer.\ Math.} \textbf{15} (1970) 283-296; A general theorem
 on triangular finite $\mathscr{C}^{(m)}-$elements, \textsl{R.A.I.R.O.
 Analyse Num\'erique} \textbf{R-2} (1974) 119-127.},
ce qui fait 18 conditions. Il n'y a pas de $\mathscr{P}_m$ de dimension
18! Le triangle d'Argyris utilise $\mathscr{P}_5$ (dim.~21) et impose
3 formes suppl\'ementaires, les d\'eriv\'ees normales en des points
int\'erieurs des c\^ot\'es (presque toujours les points milieux):
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{center}\begin{picture}(4,3.4)
    \put(0,0){$\circle{0.6}$}
    \put(4,0){$\circle{0.6}$}
    \put(1,3){$\circle{0.6}$}

    \put(0,0){$\circle{1}$}
    \put(4,0){$\circle{1}$}
    \put(1,3){$\circle{1}$}

    \drawline(2,-0.25)(2,0.25)
    \drawline(0.333,1.58333)(0.6666,1.41666)
    \drawline(2.325,1.325)(2.675,1.675)
 \thicklines
 \drawline(0,0)(4,0)(1,3)(0,0)
    \put(0,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(4,0){$\circle*{0.2}$}
    \put(1,3){$\circle*{0.2}$}
\end{picture}\end{center}
Unisolvance: si $f\in\mathscr{P}_5$ annule toutes les formes, $f$ sur
un c\^ot\'e est un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant 5$ ayant 2 z\'eros
\emph{triples} aux deux sommets $\Rightarrow f=0$ sur tout le c\^ot\'e;
la d\'eriv\'ee normale de $f$ est un polyn\^ome de degr\'e $\leqslant 4$
le long d'un c\^ot\'e, ayant deux z\'eros doubles aux sommets ET un z\'ero
en un point int\'erieur $\Rightarrow f$ et sa d\'eriv\'ee normale sont
nulles sur tout un c\^ot\'e $\Rightarrow f=d^2g$, o\`u $d=0$ est l'\'equation
de ce c\^ot\'e, et $g\in \mathscr{P}_3$. Pour les trois c\^ot\'es:
$f=d_1^2 d_2^2 d_3^2 h$, impossible sauf si $h=0$.\qed

\smallskip

Continuit\'e: portons encore un c\^ot\'e sur $x\in [a,b]$, $y=0$. Sur
$[a,b]$, $u_h$ est de degr\'e $\leqslant 5$, enti\`erement d\'etermin\'ee
par ses valeurs et celles de ses d\'eriv\'ees premi\`ere et seconde en $a$
et $b$; la d\'eriv\'ee normale ($\partial u_h/\partial y$ en $y=0$) est
de degr\'e $\leqslant 4$ (en $x$), enti\`erement d\'etermin\'ee par ses
valeurs et d\'eriv\'ees premi\`eres $(\partial^2 u_h/\partial x\partial y)$
en $a$ et $b$, ET par une valeur en un point int\'erieur au c\^ot\'e.


Donc, $U_h\subset \mathscr{C}^2_I$. \qed

\medskip

{\Small En s'arrangeant pour que les \'el\'ements de l'espace $V$ aient
  des d\'eriv\'ees normales de degr\'e $\leqslant 3$ le long des c\^ot\'es,
  on arrive \`a un \'el\'ement fini \`a 18 degr\'es de libert\'e (\emph{
  triangle de Bell}).}

\medskip
Il existe bien s\^ur des \'el\'ements tridimensionnels: briques,
t\'etra\`edres, etc.

$V_k$ peut lui-m\^eme \^etre un espace de polyn\^omes par morceaux
(\emph{macro-\'el\'ements}: triangles de Hsieh-Clough-Tocher,
 quadrilat\`ere de Fraeijs de Veubeke-Sander,\dots [Ciarlet], chap.~6).


\medskip

\section{R\'esum\'e de ce chapitre.}

La r\'esolution de $a(u_h,v) = \varphi(v)$ pour tout $v$ dans un espace
$U_h$
d'\'el\'ements finis consiste \`a prendre pour $u_h$ et $v$ des fonctions
\begin{enumerate}
 \item dont la restriction \`a des \'el\'ements $e_k$ appartient \`a un
   espace pr\'ed\'efini $V_k$ de dimension faible (souvent un espace de
    polyn\^omes). Les $e_k$ sont d'int\'erieurs disjoints et leur
    r\'eunion est $\overline{\Omega}$ (\'eventuellement modifi\'e pour
    permettre un choix simple des \'el\'ements $e_k$),
 \item enti\`erement d\'etermin\'ees sur tout $\overline{\Omega}$ par les
  valeurs prises par de nombreuses formes impos\'ees $F_i$, $i=1,\dotsc,N$.
  Une fonction $u_h$ de $U_h$ est donc repr\'esent\'ee par le vecteur  \\
  $[F_1(u_h),\dotsc, F_N(U_h)]$ (et $U_h$ est de dimension $N$).\\
  Cependant, les valeurs d'un petit nombre de formes, g\'en\'eralement
  associ\'ees \`a des points de $e_k$, doivent suffire \`a d\'eterminer
  la restriction de $u_h$ \`a $e_k$ (unisolvance de $\{F_i\}, i\in Q_k$
  par rapport \`a $V_k$),
 \item qui sont toutes dans $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$ si $a(u,v)$
  fait appel \`a des d\'eriv\'ees d'ordre $\leqslant m$ de $u$ et $v$ (\'el\'ements
  finis \emph{\textbf{conformes}}, il existe toute une th\'eorie [en fait, d'abord une
  pratique, puis une th\'eorie] des \'el\'ements finis non conformes).
\end{enumerate}

\smallskip

La \emph{base de Lagrange} de $U_h$ relativement aux formes $F_j$ est form\'ee des $N$
fonctions $\ell_i \in U_h$ telles que $F_j(\ell_i)= \delta_{i,j}$, $i,j=1,\dotsc, N$.
Comme la restriction de $\ell_i$ \`a chaque $e_k$ est enti\`erement d\'etermin\'ee par les
quelques formes associ\'ees \`a des points de $e_k$, cette restriction sera la fonction nulle
pour la plupart des \'el\'ements $e_k$: les fonctions $\ell_i$ ont de petits supports (lieux
o\`u $\ell_i\neq 0$).

\smallskip

Dans le probl\`eme $a(u_h,v) = \varphi(v)$, les inconnues sont les
r\'eels $\alpha_j$ tels que $u_h =\displaystyle{ \sum_{j=1}^N \alpha_j \ell_j}$, et on
applique $v=\ell_i$, $i=1,\dotsc, N$: $\boldsymbol{A}_h \boldsymbol{\alpha} =
\boldsymbol{\varphi}$, avec $\boldsymbol{A}_h = \displaystyle{[a(\ell_i, \ell_j)]_{i,j=1}^N}$
(\emph{matrice de rigidit\'e}),
$\boldsymbol{\alpha} = [\alpha_1,\dotsc, \alpha_N]^T$,
$\boldsymbol{\varphi} = [\varphi(\ell_1),\dotsc, \varphi(\ell_N)]^T$.

La matrice $\boldsymbol{A}_h$ est creuse, ce qui permet de traiter des probl\`emes de tr\`es
grande taille.

\bigskip\bigskip

{\Small Exemple d'\'el\'ement fini tridimensionnel non conforme: \emph{
 brique de Wilson}: $e=$ un pav\'e de $\mathbb{R}^3$, $V$ de base
 $\{1,\ x_1,x_2,x_3,\ x_1^2,x_1x_2,x_2^2,x_1x_3,x_2x_3,x_3^2,\ x_1x_2x_3\}$,
 donc de dimension 11, et
 $\{F_i\}=$ les valeurs aux 8 sommets et les 3 int\'egrales
 $\displaystyle{\int\!\int\!\int_e \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}\,
 dx_1dx_2dx_3 }$ ([Ciarlet], ch.~4, \S~4.2.1).
}

Crimes variationnels: voir chap.~\ref{chsobo}, \S~\ref{crimv}
             \index{crimes variationnels}




\input m21802
