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 \documentclass[12pt,reqno,twoside,final]{amsart}

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% police de chapitre
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    \ifnum\c@secnumdepth>\m@ne
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\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\vspace*{-1cm}
\begin{center} {\Large \bf

    \textsf{S\'eminaire GSNA}
      \\  {\Small mars 2006} 

\medskip

  Transports hyperboliques.}



\bigskip
  Alphonse Magnus,    \\
  Institut de  Math\'ematique Pure et Appliqu\'ee,  \\
 Universit\'e Catholique de Louvain, \\
 Chemin du Cyclotron,2, \\
  B-1348 Louvain-la-Neuve \\
      (Belgium)\\% Research address for author one
       (0)(10)473157 ,
   \href{mailto:magnus@inma.ucl.ac.be}
                  {\tt magnus@inma.ucl.ac.be} ,
  \href{http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/ }
                 {\tt http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/ }
\end{center}
\bigskip


This version: \today \qquad  %(incomplete and unfinished)

The present file is http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/num2/hyperbo.pdf

\medskip

{\Small

\begin{flushright}
%\textit{
     L'hyperbole est une figure de rh\'etorique consistant \`a augmenter l'effet de la repr\'sentation des choses
 d\'ecrites sous le signe de l'exag\'eration. L'\'energie, l'intensit\'e d'une expression hyperbolique proviennent souvent de l'emploi de la m\'etaphore ou de la m\'etonymie : ``avoir mang\'e du lion'' ou ``\^etre vaccin\'e avec une aiguille de phono''
 rendent les traits d'un homme courageux ou d'un bavard, \`a travers le transfert. La comparaison, dont l'un des termes 
repr\'esente l'incommensurable par rapport \`a l'autre, proc\`ede par hyperbole : ``Cette femme \'etait belle comme une 
d\'eesse''  (F\'enelon, {\sl T\'el\'emaque}). La comparaison fil\'ee magnifie davantage son objet dans ces vers de 
Cl\'ement Marot (CLXIXe \'epigramme) :\\
      {\sl Incontinent que je te vis venue, \\
     Tu me semblas le cler soleil des cieulx \\
      Qui sa lumiere a long temps retenue, \\
     Puis la faict veoir luysant et gracieux ; \\
     Mais ton depart me semble une grand nue, \\
     Qui se vient mettre au devant de mes yeulx. }

		 	
	V\'eronique KLAUBER\ \copyright Encyclop\ae dia Universalis 2005, tous droits r\'eserv\'es

Hyperbolique: Adjectif singulier invariant en genre \\
1 - pouss\'e � l'extr\^eme, tr\`es exag\'er\'e \\
2 - en g\'eom\'etrie, relatif \`a l'hyperbole, courbe \`a deux\\ branches,
 r\'esultant d'une section de c\^one\\
\copyright Encyclop\ae dia Universalis 2005, tous droits r\'eserv\'es

%}
\end{flushright}

}  % end Small

Abstract:

%\medskip
%\enlargethispage{33pt}

\tableofcontents

\bigskip


\section{Hyperbolicit\'e.}
\renewcommand{\mylmark}{Hyperbolicit\'e}
\pagestyle{fancy}

Bizarrement, ``hyperbolique'' veut souvent dire en math\'ematiques
``normal'', ``courant'', ``g\'en\'erique''. Une conique a deux
asymptotes, l'hyperbole est donc ``hyperbolique'', m\^eme s'il y
a autant d'ellipses (asymptotes imaginaires) que d'hyperboles
(asymptotes r\'eelles). Un polyn\^ome de degr\'e $n$ poss\`ede
$n$ z\'eros, et est appel\'e hyperbolique si tous ses z\'eros
sont r\'eels (\c ca a quelque chose \`a voir avec les
\'equations, ou plut\^ot les probl\`emes hyperboliques, voir plus
loin).

\subsection{D\'efinition} \   \\

Une EDP (scalaire ou syst\`eme) portant sur des fonctions de
$n$ variables est hyperbolique relativement \`a une vari\'et\'e $V$
de dimension $n-1$ $\subset \mathbb{R}^n$ si le probl\`eme
de Cauchy sur cette vari\'et\'e est bien pos\'e. C'est-\`a-dire
que l'on peut d\'eterminer $u$ partout \`a partir de $u, \partial u/\partial n,\dotsc,
 \partial^{m-1} u/\partial n^{m-1}$ sur $V$ si $m$ est l'ordre
maximal des d\'eriv\'ees dans l'\'equation.

Une EDP est hyperbolique s'il est possible de trouver
partout une vari\'et\'e qui convient.

Vaste programme!

\begin{enumerate}

\item

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(2,2)(3,2.5) \uput[0](1.5,2.5){$(\alpha,\beta)$}
\psline(1,1)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.06](1,1)(3,0)(1,1)(0,1.5) \uput[0](0.25,1.55){$V$}
\end{pspicture}
}
$\displaystyle{ \alpha\dfrac{\partial u}{\partial x_1}
               +\beta\dfrac{\partial u}{\partial x_2} =f}$
est hyperbolique: il suffit de prendre $V=$ une droite
non parall\`ele \`a la direction $(\alpha,\beta)$, on a alors la
d\'eriv\'ee tangentielle $du/ds = f\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ sur toute
droite de direction $(\alpha,\beta)$, \`a partir de son point d'intersection
avec $V$. \\

\item

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(-1,0)(2,0) \uput[90](2,0){$x_1$}
\psline{->}(-1,0)(-1,2) \uput[0](-1,2){$x_2$}
\uput[180](1.95,2.45){$x_2-cx_1=\text{c}^{\text{te}}$}
\uput[0](1.75,1.5){$x_2+cx_1=\text{c}^{\text{te}}$}
\psline(1,1)(2,3) \psline(3.5,0)(2,3)
\psline[linewidth=0.06](1,1)(3.5,0)(3.75,-0.1)(1,1)(0,1.4) \uput[0](0.25,1.55){$V$}
\end{pspicture}
}
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}
               -c^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} =0}$
est hyperbolique: il suffit de prendre $V=$ une droite
non parall\`ele aux directions $(c,\pm 1)$, et particulariser la
solution g\'en\'erale $u=\varphi(x_2-cx_1)+\psi(x_2+cx_1)$ \`a
partir de $u=\varphi+\psi$ et $\nabla u=[c(\psi'-\varphi'),\psi'+\varphi']$
sur $V$, ce qui donne des valeurs de $\varphi$ et $\psi$ \`a condition
que ni $x_2-cx_1$ ni $x_2+cx_1$ ne soient constantes sur $V$.




\item

\parpic{
  \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture}(5,0)(17,5)  \psline{->}(0,0)(7,0)  \uput[90](6.9,0.2){$x_1$}  \psline{->}(3,0)(3,3.5) \uput[0](3.2,3.2){$u$}\uput[0](4.2,2.2){$x_2=0$}   \psline{->}(9,0)(16,0)  \uput[90](15.9,0.2){$x_1$}  \psline{->}(12,0)(12,3.5) \uput[0](12.2,3.2){$u$}\uput[0](13.2,2.2){$x_2>0$}  \psset{linewidth=0.075}  \psline[linecolor=darkgray](12,0)(12,3)  \pscurve[linecolor=darkgray](0,0.1)(1.5,0.22)(2,0.4)(3,2.0)(4,0.4)(4.5,0.22)(7,0.1) \end{pspicture} 
}
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}
               +\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} =0}$
n'est pas hyperbolique: des singularit\'es   peuvent appara\^\i tre en tout $x_2>0$! 
 Une condition initiale peut \^etre infiniment amplifi\'ee en  n'importe quelle valeur $>0$ de $x_2$: \emph{\textbf{Le probl\`eme de Cauchy est mal pos\'e}}. \\ \hspace*{-93pt} Exemple: $\displaystyle{ u(x_1,x_2) = \text{ partie r\'eelle de } \frac{1}{(x_1+ix_2)^2+\varepsilon} }$, $\varepsilon>0$. 
  
\item

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(0,0)(3.5,0) \psline{->}(1,-0.25)(1,3)
\psline(2,0)(2,2.5) \psline(3,0)(3,2.5)
\uput[0](1,3){$x_2$} \uput[90](3.5,0){$x_1$} 
\end{pspicture}
}
$\displaystyle{ \dfrac{\partial u}{\partial x_1}
               -\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} =0}$
n'est pas hyperbolique relativement \`a $x_1=0$: on peut d\'eterminer partout
$u$ \`a partir de $u(0,x_2)$ mais ici $m=2$! Un probl\`eme
parabolique est pos\'e d'embl\'ee sur une vari\'et\'e
caract\'eristique \cite{Cagnac}. Mais tout va (presque) bien
 \cite[p.355]{leray} si on donne
$u$ et $\partial u/\partial x_2$ sur $x_2=0$: les d\'eriv\'ees suivantes en
$x_2$ sont toutes d\'etermin\'ees, $\partial^2 u/\partial x_2^2 = \partial u/\partial x_1$, \\
$\partial^3 u/\partial x_2^3 = (\partial/\partial x_1)(\partial u/\partial x_2)$,\dots
$\partial^{2k}u/\partial x_2^{2k}=\partial^k u/\partial x_1^k$,
$\partial^{2k+1}u/\partial x_2^{2k+1} = (\partial^k/\partial x_1^k)(\partial u/\partial x_2$, \\
$\displaystyle{  u(x_1,x_2)= \sum_{k=0}^\infty \left[  \left.\dfrac{\partial^k u}{\partial x_1^k}\right|_{x_2=0}
  \dfrac{x_2^{2k}}{(2k)!}+
\left(\left.\dfrac{\partial^k }{\partial x_1^k}\right)\dfrac{\partial u}{\partial x_2}\right|_{x_2=0}
  \dfrac{x_2^{2k+1}}{(2k+1)!}\right] }$



\end{enumerate}

\subsection{Condition n\'ecessaire} \  \\


\begin{tabular}{!{\rule[-15pt]{0.1mm}{36pt}}c|c|c|}\hline
 \'equation  &   $F$    &   statut \\   
(partie principale) &     &      \\   \hline
$\displaystyle{\alpha \dfrac{\partial u}{\partial x_1}+\beta \dfrac{\partial u}{\partial x_2} }$ &
$\alpha \xi_1+\beta\xi_2$ &  OUI \\  \hline
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}-c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} }$ &
$ \xi_1^2-c^2\xi_2^2$ &  OUI \\  \hline
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} }$ &
$ \xi_1^2+\xi_2^2$ &  NON (ell.) \\  \hline
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} }$ &
$ \xi_2^2$ &  OUI (limite) \\  \hline
$\displaystyle{\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
   -c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} }$ &
$ \xi_1^2+\xi_2^2-c^2\xi_3^2$ &  OUI pour $d=[0,0,1]$ \\  
   &     &   NON pour $d=[0,1,0]$ \\  \hline
$\displaystyle{ \dfrac{\partial u}{\partial x_1}-\sum_2^n c_k \dfrac{\partial u}{\partial x_k} }$ &
  $\det(\xi_1 I -\sum_2^n \xi_k c_k)$  &  OUI, pour  \\
matrices sym\'etriques $c_k$ &     &  $d=[1,0,\dotsc, 0]$ \\
\hline
\end{tabular}

Pour le dernier cas, cf. \cite{laxtrue}


\subsubsection{Plans caract\'eristiques.} \  \\

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,5)
%\psline{->}(0,0)(1.5,0) \psline{->}(0,0)(0,1.5) \psline{->}(0,0)(0.9,0.9)
\psline(-0.5,1.5)(3,0)(4,2)(0.5,3.5)(-0.5,1.5)
%\uput[0](0,1.5){$x_2$} \uput[90](1.5,0){$x_1$} \uput[0](0.9,0.9){$x_3$} 
\psline(4,5.28)(1,3.28)(1,0.86)(4,2.86)(4,5.28)
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](1.75,1.75)(2.5,3.5)
\psline{->}(2.5,3.5)(3.25,5.25) 
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](1.75,1.75)(0.5,1.6)\psline{->}(0.5,1.6)(0,1.56)
\psline(1.1,1.4)(1.1,1.56)(1.25,1.57)
\psline{->}(2.5,3.5)(1.25,5)
\uput[180](0,2.5){$V$} \uput[180](3.25,5.25){$d$} \uput[90](0.2,1.6){$\xi_0$} \uput[0](1.25,5){$\xi$}
\end{pspicture}
}
Soit $d$ la direction normale \`a l'hyperplan $V\subset\mathbb{R}^n$,
et ne retenons que les d\'eriv\'ees partielles d'ordre maximal $m$.
Nous cherchons \`a refaire le ``coup'' de l'\'equation des ondes \`a
deux variables en consid\'erant des solutions de la forme
$\varphi(\xi\cdot x)$ de $0=P(D)u =\displaystyle{\sum_\alpha c_\alpha
 D^\alpha u = \sum_\alpha c_\alpha \dfrac{\partial^m u}{\partial x_1^{\alpha_1}\dotsb
\partial x_n^{\alpha_n}} }$, la somme
portant sur des vec\-teurs d'entiers positifs avec $\alpha_1+\dotsb +\alpha_n=m$. En portant
$\varphi(\xi\cdot x)$ ou, si on a un syst\`eme, $\varphi(\xi\cdot x)v$ ($\varphi$ reste
une fonction scalaire, $v$ est un vecteur [et les $c_\alpha$ sont des matrices
carr\'ees]), on obtient $\varphi^{(m)} P(\xi)v=0$, d'o\`u la contrainte
$\det P(\xi)=0$ sur $\xi$.

A chaque $\xi\in\mathbb{R}^n$ v\'erifiant cette \'equation correspond
des \emph{plans caract\'eristiques} $\xi\cdot x=$ constante. Il y en a beaucoup\dots
On ordonne cette masse en exprimant $\xi$ dans une base constitu\'ee de
$n-1$ vecteurs de $V$ et de $d$: $\xi=\xi_0 +\tau d$, $\xi_0\in V$. L'\'equation pour
$\xi$ est alors une \'equation alg\'ebrique scalaire pour le seul
r\'eel $\tau$: $\det P(\xi_0+\tau d)=0$. On \'ecrit
souvent $\xi-\tau d$, avec $\xi$ quelconque, cela revient
\'evidemment au m\^eme.

\subsubsection{Polyn\^ome hyperbolique.} Un polyn\^ome $F$
homog\`ene en $n$ variables est dit \emph{\textbf{hyperbolique}}
par rapport \`a une direction $d\in\mathbb{R}^n$ si $F(d)\neq 0$ et si l'\'equation
$F(\xi-\tau d)=0$ a toutes ses racines \emph{\textbf{r\'eelles}}
pour tout $\xi\in\mathbb{R}^n$ \cite{hypconv,laxtrue}.


\subsubsection{Obtention de la solution par superposition.} On a
donc des  solutions particuli\`eres de $P(D)u=0$ de la
forme $\varphi(\xi\cdot x)=\varphi(\xi_0 \cdot x + \tau d\cdot x)$
pour toute direction $\xi_0$ de $V$. On se propose de repr\'esenter
$u$ comme une superposition
\begin{equation} \label{superp}
 u(x) = \int_{\substack{\xi_0\in V \\ \|\xi_0\|=1}}\ \  \sum_{\substack{\text{racines\ } \tau_k\ \text{de}\\
        F(\xi_0+\tau_k d)=0}}  \varphi_k(\xi_0\cdot x +\tau_k d\cdot x) v_k(\xi_0)d\mu(\xi_0)
\end{equation}
o\`u $d\mu$ est une mesure naturelle sur la sph\`ere. Pour $x\in V$, $u$ et
ses d\'eriv\'ees sont
 \begin{equation} \label{superpV}
 \left.D^\alpha u(x)\right|_{x\in V} = \int_{\substack{\xi_0\in V \\ \|\xi_0\|=1}}\ \  \sum_{\substack{\text{racines\ } \tau_k\ \text{de}\\
        F(\xi_0+\tau_k d)=0}}  (\xi_0+\tau_k d)^\alpha \varphi_k^{(|\alpha|)}(\xi_0\cdot x ) v_k(\xi_0)d\mu(\xi_0)
\end{equation}
que l'on doit adapter \`a $u$ et \`a ses $m-1$ premi\`eres
d\'eriv\'ees normales sur $V$. Constatons qu'il y a donc
$m$ fonctions donn\'ees sur $V$ et $m$ fonctions inconnues $\varphi_1,\dotsc, \varphi_m$.
Pour un syst\`eme, le nombre de fonctions scalaires est \`a multiplier par
le nombre de composantes de $u$.

\subsubsection{Domaine d'influence, CFL.}\  \\

On montre que $u(x)$ et ses d\'eriv\'ees ne d\'ependent que
des valeurs prises dans la base dans $V$ du plus grand c\^one
de sommet $x$ et tangent aux plans caract\'eristiques
passant par $x$. Si on trouve un facteur integrand $\Phi$
tel que $\Phi P$ soit une divergence div$\Psi$, on discute
$0=\displaystyle{\int_{\text{c\^one}} \Phi P = \int_{\partial\text{c\^one}}
  \Psi\cdot n  }$.

Exemple: si $P(u)=\partial u/\partial x_1 -\sum_2^n c_k \partial u/\partial x_k$,
$u^T P(u)= (1/2)$ div $[u^T u, -u^T c_2 u,\dotsc, -u^T c_n u]$, et on int\`egre
sur la surface du c\^one $u^T( n_1 -n_2 c_2 -\dotsb - n_n c_n)u >0$ si
$n_1$ est $>$ la plus grande valeur propre de $n_2 c_2+\dotsb +n_n c_n$: $u$ est
nulle dans tout le c\^one si $u=0$ sur la base. 


\begin{flushright}  \textsl{Jadis on nommait ``influence'' un liquide qui} \\ \textsl{s'\'ecoulait des astres sur la t\^ete des hommes} \\ \textsl{et les ondoyait dans la naissance.} \\  P.~Quignard, \textsl{Petits trait\'es}, LVI$^{\text{e}}$ trait\'e \qquad\qquad  \end{flushright}  \medskip  \noindent\textbf{D\'efinition.} \textsl{ Soit un probl\`eme  d'\'evolution bien pos\'e dans $\mathbb{R}^{n-1}\times [0,T]$. Soit $t_2>t_1$. Le \textbf{domaine d'influence} de $(x,t_2)$ en $t=t_1$ est l'ensemble des $(\chi,t_1)$ o\`u la donn\'ee de $u$ et des d\'eriv\'ees temporelles de $u$ suffit \`a d\'eterminer $u(x,t)$.}   {\Small  \medskip Pour \begin{equation} \label{teleg2}    \dfrac{\partial u}{\partial t} -K \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}                      +\dfrac{K}{c^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} =0, \end{equation} (\'equation des t\'el\'egraphistes, $K=1/(\gamma r)$,   $K/c^2 = \ell/r \Rightarrow c=1/\sqrt{\gamma\ell}$), on pourrait encore donner une expression (compliqu\'ee, avec des fonctions de Bessel) montrant comment $u(x,t)$ d\'epend des donn\'ees initiales, mais voici une autre fa\c con de faire (Courant \& Hilbert, vol.~2):  \emph{Si $u$ est une solution $\mathscr{C}^2$ de \eqref{teleg2}, et si $u$ et $\partial u/\partial t$ sont nulles dans $[x-ct,x+ct]$ au temps $t=0$, alors $u(x,t)=0$.}  En effet, multiplions \eqref{teleg2} par $2\partial u/\partial t$ et int\'egrons sur le triangle $T$ de sommets $(x-ct,0)$, $(x+ct,0)$ et $(x,t)$ dans le plan $(\chi,\tau)$: \begin{equation*}\begin{split}  0 &= 2\dfrac{\partial u}{\partial \tau} \left[    \dfrac{\partial u}{\partial \tau} -K \dfrac{\partial^2 u}{\partial \chi^2}                      +\dfrac{K}{c^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial \tau^2}              \right] \\      &= 2\left( \dfrac{\partial u}{\partial\tau}\right)^2       -2K\dfrac{\partial}{\partial \chi} \left(            \dfrac{\partial u}{\partial\tau}\;\dfrac{\partial u}{\partial\chi}         \right)       +K\dfrac{\partial}{\partial \tau} \left( \left(            \dfrac{\partial u}{\partial\chi}\right)^2         \right)       +\dfrac{K}{c^2}\dfrac{\partial}{\partial \tau} \left( \left(            \dfrac{\partial u}{\partial\tau}\right)^2         \right) \end{split}\end{equation*} et on int\`egre sur tout le triangle $T$. Les int\'egrales des trois derniers termes se r\'esolvent imm\'ediatement en int\'egrales sur la fronti\`ere de $T$: $$ 0 = 2\int_T \left(\dfrac{\partial u}{\partial\tau}\right)^2d\chi d\tau    -2K \int_0^t \left[ \dfrac{\partial u}{\partial \tau}                        \dfrac{\partial u}{\partial \chi}                \right]_{\chi_-}^{\chi_+} d\tau  +K \int_{x-ct}^{x+ct} \left[                   \left(\dfrac{\partial u}{\partial \chi}\right)^2    +\dfrac{1}{c^2}\left(  \dfrac{\partial u}{\partial \tau} \right)^2                \right]_0^{\tau_+} d\chi, $$ o\`u $\chi_\pm = x\pm c(t-\tau)$ sont les abscisses de $\partial T$ en $t=\tau$, et $\tau_+=t-|x-\chi|/c$ l'ordonn\'ee correspondant \`a $\chi$. Soit $s$ l'abscisse curviligne le long de $\partial T$, on a $ d\chi = c|d\tau| = ds/\sqrt{1+c^{-2}}$ (on ne s'occupe pas de la partie $\tau=0$, puisque $u$ et ses 
d\'eriv\'ees y sont nulles), on a enfin $$ 0 =  2\int_T \left(\dfrac{\partial u}{\partial\tau}\right)^2d\chi d\tau  +\dfrac{K}{\sqrt{1+c^{-2}}} \int_{\partial T} \left[                   \dfrac{\partial u}{\partial \chi} \pm    \dfrac{1}{c}  \dfrac{\partial u}{\partial \tau}                \right]^2 ds. $$ $u$ est donc nulle dans tout $T$, donc en $(x,t)$: les valeurs initiales hors de $[x-ct,x+ct]$ n'ont aucune influence sur $u(x,t)$. \qed  \smallskip  Remarque: si $c\to\infty$, \eqref{teleg2} tend vers l'\'equation de la chaleur, \'equation \emph{\textbf{parabolique}}: les caract\'eristiques ne rencontrent plus l'axe des $x$ (qui est en fait une courbe caract\'eristique!), la vitesse de propagation devient infinie (n'importe quel $u(\chi,0)$ a une influence sur $u(x,t)$, $\forall t>0$).
} % end Small  
\medskip

Consid\'erations int\'eressantes dans \cite{huyg}

\medskip

Equation discr\'etis\'ee: $P(\Delta)u_h=0$, o\`u $\Delta$
est un op\'erateur aux diff\'erences raisonnable (consistance).
Soit $V=\{x_1=0\}$, $\Delta_1 u(x_1,x_2,\dotsc, x_n)= $ \\
{\Small $\displaystyle{
 \hspace*{-55pt}\dfrac{ u(x_1+h_1, x_2,\dotsc, x_n) -
   \dfrac{ u(x_1, x_2+h_2,\dotsc, x_n)+u(x_1, x_2-h_2,\dotsc, x_n) + \dotsb +
     u(x_1, \dotsc, x_n+h_n)+u(x_1,\dotsc, x_n-h_n) }{2(n-1)}  }{h_1}  }$}, 
 $\displaystyle{\Delta_k u(x_1,x_2,\dotsc, x_n)=
   \dfrac{u(x_1,x_2,\dotsc, x_k+h_k,\dotsc, x_n)-u(x_1,x_2,\dotsc, x_k-h_k,\dotsc, x_n)}{2h_k} }$
(Friedrichs), donne une r\'ecurrence pour $u_h$ en $x_1$, $x_1+h_1,\dotsc, x_1+mh_1)$.
Solution (r\'ecurrence \`a coefficients constants) en puissances de
$\rho$, en supposant des modes de Fourier $\exp(i \xi_2 x_2+\dotsb + i\xi_n x_n)$ 
 dans les variables spatiales:
\begin{equation*}
P\left(i\dfrac{ \rho -\dfrac{\cos \xi_2 h_2 +\dotsb + \cos \xi_n h_n}{n-1} }{h_1},
    \dfrac{\sin \xi_2 h_2}{h_2},\dotsc, \dfrac{\sin \xi_n h_n}{h_n}\right)=0
\end{equation*}

Solution: $\rho= (\cos \xi_2 h_2 +\dotsb +\cos\xi_n h_n)/(n-1) -i h_1 \tau
\displaystyle{\sqrt{\dfrac{\sin^2 \xi_2 h_2}{h_2^2} +\dotsb \dfrac{\sin^2 \xi_n h_n}{h_n^2}}}$,
o\`u $\tau$ est une des racines r\'eelles de $P=0$ associ\'ees \`a la
direction des $n-1$ derniers arguments de $P$. On aura donc
$|\rho|\leqslant 1$ si

\begin{equation*}
h_1 \leqslant \dfrac{1}{|\tau|_{\max}} \min \sqrt{\dfrac
  {1-\left(\dfrac{\cos \xi_2 h_2 +\dotsb + \cos \xi_n h_n}{n-1} \right)^2  }
    {\dfrac{\sin^2 \xi_2 h_2}{h_2^2}+\dotsb+ \dfrac{\sin^2 \xi_n h_n}{h_n^2} } }
\text{\ OK\ si \ } h_1 
\leqslant \dfrac{h_{\min} }{|\tau|_{\max} \sqrt{n-1} }.
\end{equation*}
{\Small (Utiliser $(\sum_2^n \cos \xi_k h_k)^2 \leqslant
 (n-1)(\sum_2^n \cos^2 \xi_k h_k) = (n-1)^2 -(n-1)\sum_2^n \sin^2
 \xi_k h_k$, donc le num\'erateur est toujours sup\'erieur \`a
$(n-1)^{-1}\sum_2^n \sin^2 \xi_k h_k$ et la condition est
 v\'erifi\'ee si $h_1$ est $\leqslant$ \`a l'expression avec le nouveau num\'erateur.)}  

\subsection{Un th\'eor\`eme} difficile de G\aa rding \cite{gardingbio}.
La solution d'un probl\`eme hyperbolique est nulle dans un born\'e
donn\'e de $\mathbb{R}^n$ si elle est nulle, avec ses d\'eriv\'ees
d'ordre $<m$, dans un born\'e assez grand de $V$. On dit qu'un
probl\`eme est intrins\`equement hyperbolique si sa solution
tend vers z\'ero dans un born\'e de $\mathbb{R}^n$ lorsqu'elle
tend vers z\'ero, avec ses d\'eriv\'ees d'ordre $<m$, dans des
born\'es de $V$.

Th\'eor\`eme: avec $V=\{x_1=0\}$, le probl\`eme $P(u)=0$
est intrins\`equement hyperbolique si et seulement si
les racines en $\tau$ de $F(\tau, \xi_2,\dotsc, \xi_n)=0$ ont des
parties imaginaires born\'ees pour tout $[\xi_2,\dotsc, \xi_n]\in
\mathbb{R}^{n-1}$. Ici, $F$ est $P$ o\`u on remplace chaque
$\partial /\partial x_k$ par $i\xi_k$.

Exemple: $\displaystyle{\dfrac{\partial u}{\partial x_1} 
            -\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}=0}$,
$F=i\tau +\xi_2^2$, non.
 $\displaystyle{\dfrac{\partial u}{\partial x_2} 
            -\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}=0}$,
$F=\tau^2 +i\xi_2$, non plus, tiens.
T\'el\'egraphistes: $F=\tau^2 -ic^2 \tau/K 
  -c^2\xi^2$ OK: $\tau$ a toujours une partie imaginaire
$\leqslant c^2/K$.

\section{Transport, advection, diffusion.}
\renewcommand{\mylmark}{Transport, advection, diffusion.}
\pagestyle{fancy}

\subsection{Advection} \   \\

Equations de type $\partial u/\partial t +\text{div} (au) =f$
o\`u $u$ est par exemple une concentration, et $a$ un vecteur
donn\'e. Evidemment hyperbolique: l'\'equation est
une d\'eriv\'ee directionnelle dans la direction
$[1,a]$.

\subsection{Advection-diffusion} \   \\

Mais le cas int\'eressant est la pr\'esence discr\`ete
d'un op\'erateur elliptique (diffusion):

\begin{equation} \label{AD}
  L_\varepsilon  u = (\varepsilon E +A)u =f
\end{equation}

\subsubsection{Probl\`eme 1D} Sangalli \cite{sangalli} traite d'abord
le probl\`eme 
\begin{equation} \label{AD1D}
  L_\varepsilon  u = -\varepsilon u'' +u'
\end{equation}
sur $(0,2\pi)$ avec $u(0)=u(2\pi)=0$. On cherche une norme telle que
$L_\varepsilon$ soit bien conditionn\'e pour
tout $\varepsilon$, c'est-\`a-dire

\begin{equation} \label{cond}
 0< \gamma \leqslant \sup_{v\in V}
    \dfrac{a_\varepsilon(u,v)}{\|u\|_U \|v\|_V}
 \leqslant \delta < \infty.
\end{equation}
Ici, $a_\varepsilon(u,v) = \displaystyle{
\int_0^{2\pi} [\varepsilon u' v' +u' v]dx }$.

\c Ca ne marche \'evidemment pas avec la norme habituelle
de $H^1_0$, $\|u\|^2_{H^1_0}= \int u'{}^2$ puisque la
constante de coercivit\'e
$\displaystyle{ \dfrac{a(u,u)}{\|u\|^2} = \varepsilon}$.

Examinons le probl\`eme \`a partir des s\'eries de
Fourier de $u$ et $v$:
$\displaystyle{
u(x)=\dfrac{a_0}{2} +\sum_1^\infty a_k \cos kx + b_k \sin kx}$,\\
$\displaystyle{v(x)=\dfrac{c_0}{2} +\sum_1^\infty c_k \cos kx + d_k \sin kx}$,
et essayons des normes
$\displaystyle{
\|u\|^2 =\sum_1^\infty f_k^2 (a_k^2+b_k^2)}$,\\
$\displaystyle{\|v\|^2 =\sum_1^\infty g_k^2 (c_k^2+d_k^2)
}$.
Inutile de consid\'erer $a_0$ et $c_0$ puisque les
constantes non nulles ne sont pas dans $H_0^1$.
La norme habituelle de $H^1$ correspond \`a 
$f_k=g_k=k$. Pour $H^m$, $f_k=g_k=k^m$, valable m\^eme
si $m$ n'est pas entier.
 
On trouve alors rapidement \cite{sangalli}
$
a_\varepsilon(u,v)= \pi \sum_1^\infty [ \varepsilon k^2 (a_k c_k +b_k d_k)
 +k(-a_k d_k +b_k c_k)]
$.

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,1)(4,4)
\psline{->}(0,2)(4.25,2) \psline{->}(2,0)(2,4.35)
\pscircle(2,2){1.25}
\psline(1.8,4.35)(3,2.75)(4.2,1.15)
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](2,2)(4,3.5)
\end{pspicture}
}
Pour $u$ donn\'e, cherchons $v$ qui maximise
$a_\varepsilon(u,v)/\|v\|$, ou encore une
forme lin\'eaire en les $g_k c_k$ et $g_k d_k$,
de coefficients $(\varepsilon k^2 a_k +k b_k)/g_k$
et $(\varepsilon k^2 b_k -k a_k)/g_k$, sur un cercle.
L'optimum est \'evidemment r\'ealis\'e lorsque le
gradient est align\'e sur le rayon vecteur, donc, \\
$(\varepsilon k^2 a_k +k b_k)/g_k = \lambda g_k c_k$,
$(\varepsilon k^2 b_k -k a_k)/g_k =\lambda g_k d_k$,
o\`u $\lambda^2$ vaut $\|v\|^{-2}
\sum_1^\infty g_k^{-2}[ (\varepsilon k^2 a_k +k b_k)^2
+(\varepsilon k^2 b_k -k a_k)^2]$ (effectuer la sommes des
carr\'es). On trouve finalement
$$
\left( \dfrac{a_\varepsilon(u,v)}{\|u\|\;\;\|v\|}\right)^2=
\pi^2 \dfrac{ \sum_1^\infty g_k^{-2}[ (\varepsilon k^2 a_k +k b_k)^2
+(\varepsilon k^2 b_k -k a_k)^2] }{\sum_1^\infty f_k^2(a_k^2+b_k^2)}.
$$

\picskip{1}   % arret de parpic

Analyse mode par mode: on minimise et on maximise sur $a^2+b^2=1$

$$
\dfrac{\pi^2}{f_k^2 g_k^2}
  \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}
    \underbrace{
        \begin{bmatrix} \varepsilon k^2 & -k \\  k & \varepsilon k^2         \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} \varepsilon k^2 & k \\  -k & \varepsilon k^2         \end{bmatrix} }_{\begin{bmatrix}\varepsilon^2 k^4 +k^2 & 0 \\ 0 & \varepsilon^2 k^4+k^2\end{bmatrix} }
\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix},
$$ 
donc $\pi^2 f_k^{-2} g_k^{-2}$ fois $\sigma_{\min}^2$ et
$\sigma_{\max}^2$ de $\displaystyle{\begin{bmatrix} \varepsilon k^2 & k \\  -k & \varepsilon k^2         \end{bmatrix} }$,
bref, il suffit de prendre par exemple $f_k^2=g_k^2 =
\sqrt{\varepsilon^2 k^4 +k^2}$. Si on avait pris la norme
usuelle de $H^1$, $f_k^2=g_k^2=k^2$, on aurait le rapport mode par
mode  $\varepsilon^2 +k^{-2}$, proche de 1 aux basses
fr\'equences (tr\`es bien), mais tendant vers 
$\varepsilon^2$ aux hautes fr\'equences (ouch).

L'auteur de \cite{sangalli} prend, entre autres exemples,
le choix \'equivalent $f_k^2=g_k^2=
\varepsilon k^2 + k$, montrant ainsi qu'il s'agit
d'un m\'elange subtil des normes de $H^1$ et $H^{1/2}$.

\subsubsection{Cas g\'en\'eral} On a maintenant \cite{sangalli2}

\begin{equation} \label{AD2}
\mathcal{L}_\varepsilon u := -\varepsilon \Delta u +
  \boldsymbol{c\cdot} \nabla u =f 
\end{equation}
dans un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$, avec
$u=0$ sur la fronti\`ere de $\omega$.

Essayons la m\^eme chose sur un rectangle $L_1\times L_2$:

$\displaystyle{u(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}^2} a_k e^{i k\omega \cdot x} = \sum_{k_1=-\infty}^\infty \sum_{k_2=-\infty}^\infty 
a_{k_1, k_2} e^{i(k_1 \omega_1 x_1 + k_2 \omega_2 x_2)},\quad%
v(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}^2} b_k e^{i k\omega \cdot x}  }$,\\
avec $\omega_1=2\pi/L_1, \omega_2=2\pi/L_2$,
$a_{-k}=\overline{a_k}, b_{-k}=\overline{b_k}$,
$\|u\|^2 =\sum f_k^2 |a_k|^2$, $\|v\|^2 = \sum g_k^2 |b_k|^2$.

\begin{equation*} \begin{split}
a_\varepsilon(u,v) &=  L_1 L_2\sum_{k\in\mathbb{Z}^2}
   a_k \overline{b_k} [\varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 
   \omega_2^2) +i(k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)] \\
 &= L_1 L_2 \sum_{k\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_+} 
   (a_k \overline{b_k}+  \overline{a_k} b_k) 
    \varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  +i(a_k \overline{b_k}-  \overline{a_k} b_k)
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2) \\
 =2L_1 L_2 &\sum_{k\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_+} 
   (\text{Re}\;a_k \text{Re}\;b_k+  \text{Im}\;a_k \text{Im}\;b_k) 
    \varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  +(\text{Re}\;a_k \text{Im}\;b_k-  \text{Im}\;a_k \text{Re}\; b_k)
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2) 
\end{split}\end{equation*}

max. en
 \begin{equation*} \begin{split}
g_k^{-1}[\text{Re}\;a_k 
    \varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  -  \text{Im}\;a_k 
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)] &= \lambda g_k \text{Re}\;b_k, \\ 
g_k^{-1}[\text{Im}\;a_k 
    \varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  +\text{Re}\;a_k 
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)]&=\lambda g_k \text{Im}\; b_k ,
\end{split}\end{equation*}

ou $\lambda g_k b_k = [\varepsilon a_k(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  +i a_k 
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)]/g_k$,
o\`u $\lambda^2 = \sum g_k^{-2} |a_k|^2 [\varepsilon^2 (k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)^2
  + 
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)^2]/\|v\|^2$, et

$$
\left(  \dfrac{a_\varepsilon(u,v)}{\|u\|\; \|v\|}\right)^2 =
\dfrac{ L_1^2 L_2^2 \sum_{k\in\mathbb{Z}^2}
   g_k^{-2} |a_k|^2  [\varepsilon^2(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 
   \omega_2^2)^2 +(k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)^2]  }
 {\|u\|^2 = \sum f_k^2 |a_k|^2},
$$ 
d'o\`u un choix optimal $f_k^2 = g_k^2 =\sqrt{\varepsilon^2(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 
   \omega_2^2)^2 +(k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)^2}$.  

\smallskip

On renforce donc l'importance des ondes planes
$\exp(i(k_1\omega_1 x_1 +k_2\omega_2 x_2))$ se propageant
dans la direction $\boldsymbol{c}$.

\section{References.}
\renewcommand{\mylmark}{References.}
\pagestyle{fancy}

\begin{thebibliography}{99}

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\href{http://smf.emath.fr/Publications/SeminairesCongres/1998/3/pdf/smf_sem-cong_3_37-68.pdf}
{\texttt{http://smf.emath.fr/Publications/SeminairesCongres/1998/3/pdf/smf\_sem-cong\_3\_37-68.pdf}}
 R\'esum\'e:
Le sujet d\'ebute avec la th\'eorie de Huygens qui consid\`ere les
fronts d'onde comme des enveloppes d'ondes plus r\'eguli\`eres, et
se poursuit par les travaux de Euler, d'Alembert et Riemann.
Les singularit\'es des fronts d'onde n�ont pas \'et\'e comprises avant
la th\'eorie de la ``partie finie'' de Hadamard au d\'ebut de ce
si\`ecle. Les contributions de Herglotz, Petrovsky et dans les ann\'ees
 quarante, la th\'eorie des distributions de Laurent Schwartz
ont \'eclair\'e l'\'etude des singularit\'es des solutions des EDP hyperboliques.
On passe en revue les solutions au probl\`eme de Cauchy
donn\'ees par Hadamard, Schauder, Petrovsky et l'auteur. Plus r\'ecemment,
l'analyse microlocale de M.Sato et L. H\"ormander a
permis de grandes avanc\'ees dans la compr\'ehension de la propagation
des singularit\'es. L'analyse fonctionnelle, les distributions
et l'analyse microlocale seront certainement des outils importants
du prochain si\`ecle.

 

\bibitem{laxtrue}
Lewis, A. S.; Parrilo, P. A.; Ramana, M. V. 
The Lax conjecture is true. 
{\sl Proc. Amer. Math. Soc.} {\bf 133} (2005), no. 9, 2495--2499 (electronic).
\href{http://arxiv.org/abs/math.OC/0304104}{\texttt{http://arxiv.org/abs/math.OC/0304104}}

This paper answers affirmatively a 47-year-old conjecture posed by Lax. A homogeneous polynomial on 
$\Bbb{R}^n$ of degree $d$ is called hyperbolic with respect to a vector $e$ if $p(e)\not=0$ and for all
 vectors $x\in\Bbb{R}^n$ the univariate polynomial $t\mapsto p(x-te)$ of degree $d$ has only real roots.
 The conjecture that Lax posed in 1958 states that hyperbolic polynomials in three variables (that is, $n=3$)
 are determinants of linear combinations of three symmetric matrices. The authors observe that there is a
 one-to-one correspondence between the hyperbolic polynomials and the real zero polynomials $q(y,z)$ on
 $\Bbb{R}^2$ defined by the property that the univariate polynomial $t\mapsto q(ty,tz)$ has all real roots.
 Then they use a result by Helton and Vinnikov that all real zero polynomials are of the form $\det(I+yB+zC)$
 for some symmetric matrices $B$ and $C$. 
Reviewed by Hristo S. Sendov 


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\\1 Exemples d'\'equations de transport et de syst\`emes hyperboliques 7
\\2 Caract\'eristiques, chocs, d\'etentes 21
\\3 M\'ethode de viscosit�e pour les LCS 37
\\4 M\'ethodes des volumes finis et d�ecentrement (�equations lin\'eaires) 45
\\5 M\'ethodes des volumes finis pour les L. C. S. 63
\\6 Exemples de syst\`eme 2 $\times$ 2 : \'elastodynamique et p-syst\`eme 73

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Abstract:
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\href{http://www.maths.gla.ac.uk/~xl/seminar/Veselov.pdf}
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