\chapter{Espaces de Sobolev, convergence.\label{chsobo}}
\renewcommand{\mylmark}{Sobolev, convergence.}
\thispagestyle{fancy}

\section{Introduction et d\'efinitions.}

\noindent
Nous nous pr\'eoccupons de r\'esoudre $a(u,v)=\varphi(v)$ dans un
espace
 \begin{enumerate}
  \item suffisamment grand pour qu'il y ait existence d'une solution,
  \item pas trop  grand pour qu'il y ait unicit\'e.
 \end{enumerate}

{\Small Ainsi, on a vu un exemple p.~\pageref{r1alpha} o\`u, sur un
secteur d'ouverture $\alpha\pi$, on devait admettre des fonctions
se comportant comme $r^{1/\alpha}$ pr\`es de l'origine, et rejeter des
fonctions se comportant comme $r^{-1/\alpha}$. }

\medskip

L'existence et l'unicit\'e
sont assur\'ees (moyennant v\'erifications de conditions sur
la forme $a$) dans un \emph{espace de Hilbert} (p.~\pageref{laxmilgram}).
Commen\c cons donc par \'etablir un produit scalaire sur
$\mathscr{C}_I^m(\overline{\Omega})$:

\subsection{Produit scalaire de Sobolev} \  \\

\textsl{Si $\Omega$ est un ouvert born\'e de $\mathbb{R}^n$,
\begin{equation}  \label{fgm}
 (f,g)_m := \sum_{|\alpha|\leqslant m} \int_\Omega D^\alpha f \, D^\alpha g\, d\boldsymbol{x}
\end{equation}
est un produit scalaire sur $\mathscr{C}_I^m(\overline{\Omega})$.}

\smallskip      \index{Sobolev, produit scalaire de}

On rappelle que $\alpha$ est un vecteur de $n$ entiers $\geqslant 0$,
que $|\alpha|$ est la somme des composantes de
$\alpha$, et que $D^\alpha f$ est la d\'eriv\'ee partielle
$\displaystyle{  \dfrac{\partial^{|\alpha|} f}
                   {\partial x_1^{\alpha_1} \dotsb
                    \partial x_n^{\alpha_n} }
               }$.

Les diff\'erents termes de \eqref{fgm} sont donc les int\'egrales de
$fg$, de $\textbf{grad}\,f \boldsymbol{\cdot} \textbf{grad}\,g$, de \\
$\displaystyle{ \sum_{i=1}^n  \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}  }$
$\displaystyle{+\sum_{i=1}^n \sum_{j<i} \dfrac{
                        \partial^2 f}
                   {\partial x_i  \partial x_j} }$, etc.

Les int\'egrales sur $\Omega$ s'entendent comme une somme d'int\'egrales
sur les parties de $\Omega$ (les morceaux) o\`u les fonctions sont
$m$~fois contin\^ument d\'erivables, on ne doit donc int\'egrer que
des fonctions continues sur des born\'es.


\medskip

\eqref{fgm} est bien un produit scalaire sur $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$:
\begin{itemize}

 \item $(f,g)_m$ est  d\'efinie pour tout $f,g\in \mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$,
 \item $(.,.)_m$ est bien une forme bilin\'eaire [les scalaires sont les r\'eels], et
 \item d\'efinie positive: $(f,f)_m\geqslant 0$;
   $(f,f)_m =0 \Rightarrow \displaystyle{\int_\Omega
f^2\, d\boldsymbol{x} =0 \Rightarrow f=0}$ sur chaque partie de
$\Omega$ o\`u $f$ est continue $\Rightarrow f=0$.
\end{itemize}

\noindent \emph{\textbf{Exemples.}} \\
 $(|x|, |x|)_1$ sur $(-a,b)$ vaut
$(a^3+b^3)/3 +a+b >0$ si $a$ et $b\geqslant 0$, $a+b>0$.\\
$(|x|^\alpha, |x|^\alpha)_1$ sur $(-R,R)$ vaut $2R^{2\alpha+1}/(2\alpha+1)
 +2\alpha^2 R^{2\alpha-1}/(2\alpha-1)$ a encore un sens d\`es que
$\alpha>1/2$, pourtant $|x|^\alpha$ n'est plus dans $\mathscr{C}^1$
quand $\alpha<1$.\\
$(r^\alpha, r^\alpha)_1$ sur le disque $r<R$ vaut $2\pi R^{2\alpha+2}/(2\alpha+2)
 +2\pi\alpha^2 R^{2\alpha}/(2\alpha)$ a encore un sens d\`es que
$\alpha>0$, pourtant $r^\alpha$ n'est plus dans $\mathscr{C}^1$
quand $\alpha<1$.

\smallskip

Si $\Omega$ est non born\'e, on peut encore d\'efinir $(f,g)_m$ si $f$
et $g$ sont de support born\'e  (support d'une fonction continue
 $f =$ adh\'erence du lieu o\`u $f\neq 0$).

\medskip
Avec la norme
\begin{equation} \label{normem}
 \|f\|_m := \sqrt{(f,f)_m} = \left[
 \sum_{|\alpha|\leqslant m} \int_\Omega \left(D^\alpha f \right)^2\, d\boldsymbol{x}
    \right]^{1/2}
\end{equation}
on munit donc  $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$ d'une structure
d'espace \emph{pr\'ehilbertien}.

\smallskip

\noindent\textbf{Remarque.} Si $f$ est la constante $C$ sur tout
$\Omega$ born\'e, $\|f\|_m = \|f\|_0 = |C|\sqrt{\mu(\Omega)}$, o\`u
$\mu(\Omega)$ est la mesure (de Lebesgue) de $\Omega$.

\subsection{Espaces de Sobolev} \  \\

\noindent\subsubsection{\textbf{D\'efinition}}
\textsl{ L'espace de Sobolev\footnote{S.L.~Sobolev (1908-1989).} $H^m(\Omega)$ est
le compl\'et\'e de l'espace pr\'ehilbertien
 $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$ selon la norme \eqref{normem}. }
\index{Sobolev, espace de}

On entend par l\`a qu'un \'el\'ement de $H^m(\Omega)$ doit toujours
pouvoir \^etre associ\'e \`a une suite de Cauchy de
 $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$, c'est-\`a-dire une suite
$\{f_N\}$ telle que $\forall\varepsilon >0,
\|f_N -f_M\|_m\leqslant \varepsilon $ si $N$ et $M$ sont assez grands.

%Deux suites de Cauchy $\{f_N\}$ et $\{g_N\}$ sont \'equivalentes
%si $\|f_N-g_N\|_m \to 0$ quand $N\to\infty$, elles correspondent alors
%\`a un m\^eme \'el\'ement de $H^m(\Omega)$.

\bigskip

\subsubsection{Identification \`a un espace de fonctions} L'espace
$H^m(\Omega)$ est donc un espace d'\'el\'ements associ\'es \`a des suites
de Cauchy selon la norme $\|\ \|_m$. Comme $\|f\|_m\geqslant \|f\|_0$,
$H_m(\Omega)$ est contenu dans un espace plus familier, le compl\'et\'e
de $\mathscr{C}$ selon l'int\'egrale du carr\'e de fonctions. On sait
que ce dernier espace  est l'espace $L^2(\Omega)$ des  classes d'\'equivalence
de fonctions de carr\'e int\'egrable sur $\Omega$, deux fonctions de
$L^2(\Omega)$ \'etant consid\'er\'ees comme identiques si elles
co\"\i ncident \emph{presque partout}\footnote{J.\ Mawhin,
  \textsl{Analyse. Fondements, techniques, \'evolution},
 De Boeck,  $2^{\text{\`eme}}$ \'edition, 1997, p.~684.}. Avec cette condition
en t\^ete, nous notons donc
 $$  H^m(\Omega) \subseteq H^0(\Omega) = L^2(\Omega). $$
Bien entendu, on suivra l'usage en parlant de $L^2$, et donc de
$H^m$, comme d'un \emph{espace de fonctions}.

\smallskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,4)
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](6,2.1)(9,3.2)(12,2.4)(9,1.3)
      \uput[270](10.5,3.3){$\mathscr{C}^m_I$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.04](5.8,2.1)(9,3.6)(12.4,2.4)(9,1.1)
      \uput[90](9,3.1){$H^m$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](2.8,2.1)(9,4)(15.2,2.1)(9,0.5)
      \uput[90](12.7,0.5){$H^0=L^2$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](7,2.1)(9,2.8)(11,2.1)(9,1.5)
      \uput[0](7,2.1){$\mathscr{C}^m$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](8,2.1)(9,2.7)(10.5,2.1)(9,1.7)
      \uput[0](8.2,2.1){$\mathscr{C}^{m+1}$}
\end{pspicture}

\end{center}

\emph{\textbf{Exemple.}} Constater que $|x|^{2/3}$ est bien dans
$H^1((-R,R))$: on construit $f_n(x) = n^{1/3}|x|$ sur $(-n^{-1}, n^{-1})$;
$f_n(x)= |x|^{2/3}$ sur $|x|>1/n$. Cette fonction $f_n$ est bien dans
$\mathscr{C}^1_I((-R,R))$. Ensuite, si $n>m$, $f_n(x)-f_m(x)$ vaut
 $ (n^{1/3}-m^{1/3})|x|$ sur $(-n^{-1}, n^{-1})$;
 $ |x|{2/3}-m^{1/3}|x|$ sur $( n^{-1}<|x|< m^{-1})$; 0 sur
 $m^{-1} <|x|< R$. Enfin,
{\Small
 \begin{multline*}
   \|f_n -f_m\|_1^2 = \frac{2}{3}(n^{2/3}-m^{2/3})^2 n^{-3}
                     +2(n^{2/3}-m^{2/3})^2 n^{-1}
             +\frac{6}{7}(m^{-7/3} -n^{-7/3})
             -\frac{3}{2}m^{1/3}(m^{-8/3} -n^{-8/3})
             +\frac{2}{3}m^{2/3}(m^{-3} -n^{-3})        \\
             +\frac{8}{3}(m^{-1/3} -n^{-1/3})
             -4 m^{1/3}(m^{-2/3} -n^{-2/3})
             -2 m^{2/3}(m^{-1} -n^{-1})
    < \text{const.}\; m^{-1/3}
 \end{multline*}
}
aussi petit que l'on veut si $m$ est assez grand.

On n'exhibe jamais de suite de Cauchy pour v\'erifier si $f\in H^m$!
On v\'erifiera si une fonction de $L^2(\Omega)$ admet des
\emph{d\'eriv\'ees distributionnelles} (au sens \eqref{derdist},
voir plus loin, p.~\pageref{derdist})
de carr\'e int\'egrable jusqu'\`a l'ordre $m$.

\medskip

{\Small

On d\'efinit aussi l'espace $H^{m,p}(\Omega)$,
$1\leqslant p\leqslant\infty$, comme compl\'et\'e de
 $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$ selon la norme
$$ \|u\|_{m,p} = \left\{ \sum_{0\leqslant|\alpha\leqslant m}
       \|D^\alpha u\|_p^p \right\}^{1/p}.$$
}


\section{Propri\'et\'es des espaces de Sobolev.}

\subsection{Formes d\'efinies sur $H^m(\Omega)$} \  \\

Une certaine familiarit\'e avec $L^2$ nous habitue \`a quelques
pr\'ecautions dans l'examen d'op\'erations usuelles de l'analyse.
Ainsi, on veillera \`a ce qui suit:

\smallskip

\noindent\textbf{D\'efinition.} \textsl{ Une forme $F$ d\'efinie sur
 $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$ se \textbf{prolonge contin\^ument}
\`a $H^m(\Omega)$ si $F(f_N)$ a la m\^eme limite pour toute suite de
Cauchy associ\'ee \`a un m\^eme \'el\'ement de $H^m(\Omega)$.}

Pour cela, il faut et il suffit que $F$ soit born\'ee
dans $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$:
$$
  \|F\| = \sup_{f\neq 0} \dfrac{F(f)}{\|f\|_m} <\infty .
$$
En effet, si $\|F\|<\infty$ et si $\{f_N\}$ est Cauchy dans
 $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$, $\{F(f_N)\}$ est Cauchy
dans $\mathbb{R}$, puisque
$$ |F(f_N) -F(f_M)| = |F(f_N-f_M)| \leqslant \|F\|\; \|f_N-f_M\|_m, $$
donc converge vers un r\'eel que l'on appelle $F(f)$. On v\'erifie
que deux suites de Cauchy d\'efinissant un m\^eme \'el\'ement $f$
de $H^m(\Omega)$ donnent bien lieu \`a une
m\^eme limite $F(f)$.

\medskip

C'est certainement le cas pour des int\'egrales de d\'eriv\'ees
de $f$ sur $\Omega$ ou une partie de $\Omega$:

\noindent\textbf{Proposition.} \textsl{Si $|a|\leqslant m$,
 $E\subseteq \Omega$ et la fonction $w\in L^2(E)$, alors}
\begin{equation}    \label{integE}
 \left| \int_E w(x)\, D^a f(x)\;dx \right| \leqslant
   \|w\|_{L^2(E)} \; \|f\|_m.
\end{equation}
En effet, on applique Cauchy-Schwarz sur $L^2(E)$, et la norme de
$D^a f$ sur $L^2(E)$ est \'evidemment inf\'erieure \`a la norme
sur $L^2(\Omega)$. \qed

\medskip

Des valeurs ponctuelles peuvent encore avoir un sens ou non:

\begin{enumerate}
 \item  $a\leqslant c\leqslant b$, $F(f)=f(c)$ n'a pas de sens dans $H^0(a,b)$:
   on peut construire $f$ continue avec $f(c)=1$ et $\|f\|_0 =
   \displaystyle{ \left[ \int_a^b f^2(x)\,dx \right]^{1/2} }$ aussi petit
   que l'on veut.
 \item  $a\leqslant c\leqslant b$, $a<b$, $F(f)=f(c)$ a un sens dans $H^1(a,b)$:
  $\displaystyle{  \forall x\in [a,b], f(x)=f(c)+\int_c^x f'(t)\,dt}$, donc
  $h = f-g$, o\`u $h$ est la fonction constante de valeur $f(c)$ et o\`u
  $\displaystyle{ g(x) = \int_c^x f'(t)\, dt}$. Passons aux normes
 dans $H^0(a,b)$: $\|h\|_0 = |f(c)|\sqrt{b-a} \leqslant \|f\|_0 +
  \|g\|_0$. Estimons $\|g\|_0$: par Cauchy-Schwarz,
  $|g(x)|\leqslant \|f'\|_0 \sqrt{b-a}$, donc
$\|g\|_0^2 \leqslant \|f'\|_0^2 (b-a)^2$, et
   $$ |f(c)| \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{b-a}} \|f\|_0 +\sqrt{b-a}
     \, \|f'\|_0.
$$
Enfin, de $\|f\|_1^2 = \|f\|_0^2 +\|f'\|_0^2$, il vient
 $$ |f(c)| \leqslant \sqrt{ \dfrac{1}{b-a} +b-a }\qquad \|f\|_1.$$
  Remarquons que la majorante de la norme de $F$ ne d\'epend pas de $c$.
 \item  $\Omega\subset\mathbb{R}^2$, $c\in\Omega$,
 $F(f)=f(c)$ n'a pas de sens dans $H^1(\Omega)$:
   on peut construire $f$ continue avec $f(c)=1$ et $\|f\|_1^2 =
   \displaystyle{  \int_\Omega f^2(\boldsymbol{x})\,d\boldsymbol{x} +
          \int_\Omega \|\text{ grad }f(\boldsymbol{x})\|^2\,d\boldsymbol{x}
 }$ aussi petit que l'on veut. Prendre par exemple
 $f(\boldsymbol{x})= 1-\|\boldsymbol{x}-c\|^\alpha/\rho^\alpha$ sur
 $r:=\|\boldsymbol{x}-c\|\leqslant \rho$ et $f=0$ ailleurs, avec $\rho$ petit
 et $\alpha>0$. L'int\'egrale de $f^2$ est born\'ee par une constante fois
 $\rho^2$ et peut donc \^etre rendue $<\varepsilon$; le gradient de $f$ est
 dirig\'e radialement (\`a partir de $c$), sa norme vaut $|\partial f/\partial r|=
 \alpha r^{\alpha-1}/\rho^\alpha$. L'int\'egrale du carr\'e de cette norme
 sur $r<\rho$ est donc $\displaystyle{ \int_0^\rho \int_0^{2\pi}
   \alpha^2 r^{2\alpha-2} \rho^{-2\alpha}\, r\,dr\,d\theta = \pi\alpha}$,
donc aussi petit que l'on veut, puisque $\alpha$ est positif arbitraire.
\\ Autre fonction: $f(\boldsymbol{x})=1$ si
  $r:=\|\boldsymbol{x}-c\|\leqslant \rho\exp(-1/\rho)$,
         $f(\boldsymbol{x})=-\rho\log(r/\rho)$
   si $\rho\exp(-1/\rho)\leqslant r\leqslant \rho$,
                   $f(\boldsymbol{x})=0$ si $r\geqslant \rho$.
%\end{enumerate}
%\newpage

\item Quand une valeur ponctuelle $f(c)$ a-t-elle encore un sens
  dans $H^m(\Omega)$? La condition est essentiellement $m>n/2$:\\
 \begin{minipage}[t]{3cm}
 \ \\
    \setlength{\unitlength}{1cm}
    \begin{picture}(3,2.5)
      \put(1,2.1){\line(2,-1){0.9}}
      \put(1,2.1){\line(2,-3){0.58}}
      \put(1,2.1){\arc{2}{0.48}{0.98}}
      \put(1,2.1){\arc{0.5}{0.48}{1}} \put(1.4,1.5){\Small$\omega$}
     \thicklines
      \put(0,1.7){\line(4,2){2.5}}
      \put(1.5,3){\arc{4}{1.57}{2.4}}
      \put(1.5,-1){\arc{4}{4.17}{4.71}}
      \put(0.5,1.5){$\Omega$}
    \end{picture}
 \end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{12cm}
 \  \\
 \textbf{D\'efinition.} \textsl{On dit que l'ouvert born\'e
    $\Omega \subset \mathbb{R}^n$
   poss\`ede la \emph{\textbf{propri\'et\'e du
  c\^one}} si tout point de $\overline{\Omega}$ peut \^etre le sommet
  d'un c\^one fixe, de volume $>0$, enti\`erement contenu dans
  $\overline{\Omega}$.} On prendra en fait un secteur sph\'erique de
  rayon $\rho$ et d'angle solide $\omega >0$. \\
 $\Omega$ ne peut donc pr\'esenter de structure infiniment effil\'ee,
 d'\'epine
 \end{minipage}

\noindent
  infiniment pointue, etc. Par contre, un ouvert poss\'edant
 la propri\'et\'e de c\^one peut admettre une \'epine rentrante ou
 m\^eme entourer partout une partie de sa fronti\`ere.



\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(16,5)
 \psset{linewidth=0.075}
 \pscurve[linecolor=darkgray](0.1,2.5)(1,2.6)(3,4)(4.75,2.5)(3,1.0)(1,2.4)(0.1,2.5)
 \pscurve[linecolor=darkgray](7,2.5)(6.5,2.6)(5.5,3.5)(7,4)(9,2.5)(7,1)(5.5,1.5)(6.5,2.4)(7,2.5)
 \pscircle[linecolor=darkgray](12.5,2.5){2.0}
 \psline(10.5,2.5)(12.5,2.5)
     \uput[0](2.3,3.5){NON}
     \uput[0](7.0,3.5){OUI}
     \uput[0](12.1,3.5){OUI}
\end{pspicture}


\noindent
  \textbf{Lemme de Sobolev:}\textsl{ si $\Omega$ poss\`ede la propri\'et\'e
     de c\^one, si $m > n/2$, on a pour tout $f\in\mathscr{C}^m_I
    (\overline{\Omega})$, }
$$ \forall c\in\overline{\Omega},\qquad |f(c)|\leqslant C \|f\|_m, $$
\textsl{o\`u $C$ ne d\'epend que de $\Omega$} (donc, ni de $f$ ni de $c$). \\
\medskip
\index{Sobolev, lemme de}
En effet, il faut exprimer $f(c)$ selon une int\'egrale de volume
de $f$ et de ses d\'eriv\'ees jusqu'\`a l'ordre $m$. Soit $\tau$ une
fonction $\mathscr{C}^m$ [d'une variable] telle que $\tau(0)=1$,
$\tau'(0) = \dotsb = \tau^{(m)}(0) =0$ et $\tau(\rho) = \tau'(\rho) =
\dotsb =\tau^{(m)}(\rho) =0$. Sur tout segment de longueur $\rho$ et
d'extr\'emit\'es $c$ et $d$,
 $\displaystyle{ f(c) = \tau(0)f(c) - \tau(\rho)f(d) =
 -\int_0^\rho \dfrac{\partial [\tau(r) f(\boldsymbol{x})]}{\partial r}
  \,dr }$, o\`u $r$ est la distance de $c$ au point courant
  $\boldsymbol{x}$ sur le segment.
Int\'egrons $m-1$ fois par parties, il n'y a jamais de termes aux
limites, puisque $r^k \partial^k(\tau f)/\partial r^k$ est nul en
$r=0$ et $r=\rho$, $k=1,2,\dotsc,m-1$:
 $$ f(c) = (-1)^m
 \int_0^\rho \dfrac{\partial^m [\tau(r) f(\boldsymbol{x})]}{\partial r^m}
 \dfrac{r^{m-1}}{(m-1)!} \,dr. $$
Int\'egrons selon les variables angulaires sur un angle solide $\omega$,
on obtient enfin une int\'egrale de volume sur le c\^one:
 $$ f(c) = \dfrac{(-1)^m}{\omega (m-1)!}
 \int_{\text{c\^one}}
  \dfrac{\partial^m [\tau(r) f(\boldsymbol{x})]}{\partial r^m}
 r^{m-n} \,d\boldsymbol{x}, $$
o\`u on a utilis\'e $d\boldsymbol{x} = r^{n-1}\, dr\,d\omega$.
Appliquons \eqref{integE} sur $L^2$(c\^one):
$$ \left| \int_c F(\boldsymbol{x})
                 G(\boldsymbol{x})\,
                 d\boldsymbol{x}        \right| \leqslant
  \sqrt{\int_c F^2(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x} }
  \sqrt{\int_c G^2(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x} }, $$
avec $F=\partial^m(\tau f)/\partial r^m$ et $G=r^{m-n}$:
 $$ |f(c)| \leqslant  \dfrac{1}{\omega (m-1)!} \sqrt{
 \int_{\text{c\^one}}
  \left(\dfrac{\partial^m [\tau(r) f(\boldsymbol{x})]}{\partial r^m}
  \right)^2  \,d\boldsymbol{x}
 \int_{\text{c\^one}} r^{2m-2n} \,d\boldsymbol{x}  }. $$
La deuxi\`eme int\'egrale fait intervenir $r^{2m-n-1}$, elle
 existe [et vaut $\omega \rho^{2m-n}/(2m-n)$]
SI $m> n/2$. La premi\`ere int\'egrale est born\'ee par des plus grandes
valeurs prises par des d\'eriv\'ees de $\tau$ (facteurs g\'eom\'etriques,
ne d\'ependant que de $\Omega$) multipli\'ees par des int\'egrales de
carr\'es de d\'eriv\'ees d'ordre $\leqslant m$ de $f$. \qed

On d\'eduit $H^m(\Omega)\subset \mathscr{C}(\overline{\Omega}) $ si
$m>n/2$ (et propri\'et\'e de c\^one): toute suite de Cauchy d\'efinissant
un \'el\'ement de $H^m(\Omega)$ est encore Cauchy pour la norme
du maximum $\|\ \|_\infty$, donc converge dans $\mathscr{C}(\overline{\Omega})$,
complet selon $\|\ \|_\infty$.

On a aussi  $H^m(\Omega)\subset \mathscr{C}^j(\overline{\Omega}) $ si
$m> j+n/2$, en reprenant avec une d\'eriv\'ee d'ordre $j$.


\end{enumerate}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,4)
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](6,2.1)(9,3.2)(12,2.4)(9,1.3)
      \uput[270](10.5,3.3){$\mathscr{C}^m_I$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.04](5.8,2.1)(9,3.6)(12.4,2.4)(9,1.1)
      \uput[90](9,3.1){$H^m$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](2.8,2.1)(9,4.2)(15.2,2.1)(9,0.5)
      \uput[90](12.7,0.5){$H^0=L^2$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](7,2.1)(9,2.8)(11,2.1)(9,1.5)
      \uput[0](7,2.1){$\mathscr{C}^m$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](8,2.1)(9,2.7)(10.5,2.1)(9,1.7)
      \uput[0](8.2,2.1){$\mathscr{C}^{m+1}$}
 \psccurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.05](3.3,2.1)(9,4.0)(13.3,2.1)(9,0.8)
      \uput[180](13.3,2.2){$\mathscr{C}^j$,}
      \uput[0](12,0.2){$0\leqslant j < m-n/2$}
\end{pspicture}

\end{center}


\medskip

{\Small

On vient de voir un \'echantillon des
\emph{\textbf{
th\'eor\`emes d'immersion de Sobolev}}.

On dit qu'un espace topologique $X$ est immerg\'e dans un espace
topologique $Y$ si $X\subseteq Y$ et si l'injection canonique
(identit\'e) $X\to Y$ est continue: pour des norm\'es, si $u\in X$,
donc $u\in Y$, on a $\|u\|_Y \leqslant C \|u\|_X$.

On vient de voir un cas avec $X=H^m(\Omega)$ et $Y=\mathscr{C}(\overline{\Omega})$,
si $m>n/2$, aussi
       $X=H^m(\Omega)$ et $Y=\mathscr{C}^j(\overline{\Omega})$,
si $m>j+n/2$, et si la propri\'et\'e de c\^one est valable dans
$\overline{\Omega}$.

\medskip

Les \'enonc\'es du \emph{\textbf{th\'eor\`eme d'immersion de
Sobolev}} sont [Adams, chap.~V]:

Si le domaine, born\'e ou non, $\Omega \subset \mathbb{R}^n$
v\'erifie la propri\'et\'e de c\^one,

\begin{enumerate}
 \item Si $mp<n$, \\
    $H^{j+m,p}(\Omega) \subset H^{j,q}(\Omega),\qquad
                  p\leqslant q\leqslant np/(n-mp),$\\
     $j=0$:
    $H^{m,p}(\Omega) \subset L^q(\Omega),\qquad
                  p\leqslant q\leqslant np/(n-mp), $
 \item si $mp=n$, \\
    $H^{m,p}(\Omega) \subset L^q(\Omega),\qquad    p\leqslant q<\infty,$
 \item si $mp>n$, \\
    $H^{j+m,p}(\Omega) \subset \mathscr{C}_B^j(\Omega)$,
\end{enumerate}
o\`u $\mathscr{C}_B^j(\Omega)$ d\'esigne l'espace des fonctions
$\mathscr{C}^j(\Omega)$ de d\'eriv\'ees d'ordre $\leqslant j$ born\'ees
dans $\Omega$.

}

\medskip

Pour les
\emph{\textbf{immersions compactes des espaces de Sobolev}}
on a  \\
\textbf{Lemme de compacit\'e de Rellich.} \label{Rellich}
\textsl{Si $\Omega$
est un domaine de fronti\`ere lipschitzienne, l'injection canonique
$H^{m+1}(\Omega) \to H^m(\Omega)$ est compacte.}

{\Small

Preuves dans [Raviart \& Thomas] \S~1.5 , [Adams] chap.~6 (th\'eor\`eme
de Rellich-Kondrachov), Showalter\footnote{R.E. Showalter,
 \textsl{
Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations}, 1994,\\
\href{http://ejde.math.swt.edu/Monographs/01-Showalter/}
{\texttt{http://ejde.math.swt.edu/Monographs/01-Showalter/}}} chap.~2,
th.~5.8.

}

Enonc\'e \'equivalent: la boule unit\'e [ferm\'ee] de $H^{m+1}(\Omega)$
est une partie compacte de $H^m(\Omega)$.

Une partie ferm\'ee born\'ee d'un espace de dimension infinie n'est
normalement pas compacte\dots Ainsi, la boule unit\'e d'un espace de
Hilbert $U$ de dimension infinie ne peut \^etre compacte (selon la
norme de $U$): d'une famille orthonormale totale $\{\varphi_k\}$, on devrait
pouvoir extraire une suite $\{\varphi_{k_i}\}$ convergente dans $U$.
La limite, devant \^etre orthogonale \`a tous les $\varphi_k$, ne peut
\^etre que l'\'el\'ement nul de $U$, impossible, puisque les normes,
toutes \'egales \`a l'unit\'e, devraient tendre vers z\'ero.

En fonctions continues, selon la norme $\|\ \|_\infty$, on a le
\emph{\textbf{th\'eor\`eme d'Arzela et Ascoli}}: un ensemble $P$ de
fonctions continues sur un compact $I$ de $\mathbb{R}^n$ est compact
si et seulement si
\begin{enumerate}
 \item il est ferm\'e
 \item il est born\'e
 \item il est constitu\'e d'une famille \emph{\textbf{\'equicontinue}}
    de fonctions: $\forall\varepsilon>0$, $\exists\delta$, $\forall
    f\in P$, $|f(x)-f(y)|\leqslant \varepsilon$ si $\|x-y\|\leqslant
   \delta$. Le m\^eme $\delta$ sert donc pour tous les $f\in P$.
   Ou encore: le module de continuit\'e
   $\omega(h) = \sup_{\substack{ x,y\in I \\ \|x-y\|\leqslant h}}
    |f(x)-f(y)|$ est ind\'ependant de $f\in P$.
\end{enumerate}
On peut \'etablir [Adams, \emph{op.cit.}] le lemme de Rellich
 \`a partir de l'\'enonc\'e
pour des fonctions contin\^ument d\'erivables:

La boule unit\'e de $\mathscr{C}^{m+1}(\overline{\Omega})$ est
une partie compacte de
 $\mathscr{C}^m(\overline{\Omega})$.\\
En effet, il suffit de consid\'erer une d\'eriv\'ee $m^{\text{\`eme}}$:
$$ |D^\alpha f(x) - D^\alpha f(y)| =
  \left| \int_0^1 \text{\textbf{grad}}\, D^\alpha f(x+t(y-x))
    \boldsymbol{\cdot} (y-x)\,dt \right|,$$
o\`u $|\alpha|=m$, est \'evidemment born\'ee ind\'ependamment de $f$
puisque les d\'eriv\'ees $(m+1)^{\text{\`emes}}$ de $f$ sont born\'ees
par l'unit\'e. $\Omega$ doit \^etre born\'e, et deux points de
$\Omega$ doivent pouvoir \^etre joints par un arc rectifiable de
longueur $\leqslant$ const. $\|y-x\|$ ([Adams], \S~1.31).


\subsection{Formes bilin\'eaires et op\'erateurs; d\'eriv\'ees faibles} \  \\

De m\^eme, une forme bilin\'eaire
$$ a(f,g) := \sum_{|\alpha|\leqslant m}
 \int_\Omega q_\alpha(\boldsymbol{x})
 D^\alpha f(\boldsymbol{x}) \, D^\alpha g(\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x}
$$
se prolonge par continuit\'e \`a $H^m(\omega)$ si
$|a(f,f)|\leqslant \text{ const. } \|f\|_m^2$, ce qui est le cas
si les fonctions $q_\alpha$ sont born\'ees en norme du maximum [en fait,
dans $L^\infty$: mesurables et essentiellement born\'ees,
 $\|q_\alpha\|_\infty \leqslant$ const].

\bigskip

Enfin, un \emph{\textbf{op\'erateur}} d\'efini
 sur $\mathscr{C}_I^m(\overline{\Omega})$  et \`a valeurs dans
     $\mathscr{C}_I^k(\overline{\Omega})$
se prolonge par continuit\'e en un op\'erateur
 $H^m(\Omega) \to H^k(\Omega)$ s'il est born\'e:
$$ \{f_N\} \text{ Cauchy\  } \Rightarrow \{A f_N\} \text{ Cauchy si\ }
  \|A\|:= \sup_{f\neq 0} \frac{\|Af\|_k}{\|f\|_m} <\infty.$$

\smallskip

C'est le cas de toute d\'eriv\'ee partielle d'ordre $\leqslant m$:
$$ \|D^\alpha f\|_{m-|\alpha|} \leqslant \|f\|_m,$$
donc $D^\alpha$: $H^m(\Omega) \to H^{m-|\alpha|}(\Omega)$ est born\'e
[de norme $\leqslant 1$].

On appelle \emph{\textbf{d\'eriv\'ee faible}} $D^\alpha f$ cet
\'el\'ement de $H^{m-|\alpha|}(\Omega)$ obtenu par continuit\'e.

\medskip

Une d\'eriv\'ee faible est un exemple de \emph{\textbf{d\'eriv\'ee
distributionnelle}}: on a
\begin{equation} \label{derdist}
f\in H^m(\Omega), |\alpha|\leqslant m \Rightarrow \quad
  \int_\Omega \psi(\boldsymbol{x}) D^\alpha f(\boldsymbol{x})\,
                              d\boldsymbol{x} =
  (-1)^{|\alpha|}
  \int_\Omega f(\boldsymbol{x}) D^\alpha \psi(\boldsymbol{x})\,
                              d\boldsymbol{x} \,
\end{equation}
pour tout $\psi \in \mathscr{D}(\Omega) = \mathscr{C}_0^\infty(\Omega)$,
l'espace des fonctions ind\'efiniment d\'erivables dans
$\mathbb{R}^n$ et de support compact dans $\Omega$ (donc, sans point
commun avec la fronti\`ere de $\Omega$!).

(V\'erification de \eqref{derdist}: l'\'egalit\'e est vraie si
$f\in \mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$, et les deux membres de
l'\'egalit\'e sont des formes born\'ees, donc continues sur
$H^m(\Omega)$).

On appelle $W^m(\Omega)$ l'espace des fonctions de $L^2(\Omega)$
admettant des d\'eriv\'ees distributionnelles d'ordre $\leqslant m$
dans $L^2(\Omega)$. On a donc $H^m(\Omega)\subseteq W^m(\Omega)$.
On montre que $H^m(\Omega) = W^m(\Omega)$ ([Adams], p.~52).

\medskip

Une fonction admettant des d\'eriv\'ees classiques d'ordre $m$ est
\'evidemment dans $H^m(\Omega)$. Le test \eqref{derdist} permet d'\'eclaircir
des cas de fonctions r\'eguli\`eres presque partout, et d'\'eviter
quelques pi\`eges:



\begin{enumerate}
\item
 Voici une fonction qui n'est pas
dans un $H^1$:

\textbf{Si $a<c<b$, $f=\text{ sign } (x-c)$ n'est pas dans $H^1(a,b)$}:

$\forall g\in\mathscr{D}$, $(f,g')_0 = \displaystyle{ \int_a^b f(x)g'(x)\,dx = }$
 $-(g(c)-g(a))+g(b)-g(c) = -2g(c)$ qui devrait valoir
 $-(g,f')_0 = \displaystyle{-\int_a^b g(x) f'(x)\,dx }$, ce qui est
 born\'e par $\|g\|_0 \|f'\|_0 \leqslant$ constante $\|g\|_0$.
 Impossible:
 pour un $g(c)$ donn\'e, on peut trouver des fonctions $g$ telles
 que $\|g\|_0$ soit arbitrairement petite.

\item
\textbf{Si $a<c<b$, quand $f=|x-c|^\rho$ est elle dans $H^1(a,b)$}?

La d\'eriv\'ee ``ordinaire'' $\rho$ sign$(x-c) |x-c|^{\rho-1}$ est dans
$H^0$ si l'int\'egrale $\displaystyle{ \int_a^b (x-c)^{2\rho-2}\,dx }$ a
un sens, soit $2\rho-2 > -1$: $\rho > 1/2$  (et $\rho=0$).

Il y a donc des fonctions continues ($0<\rho<1/2$) qui ne sont pas dans
$H^1(a,b)$.

\smallskip

Pour \'etablir $f\in H^m(\Omega)$ \`a partir de d\'eriv\'ees faibles
``devin\'ees'', on a utilis\'e le \\
\textbf{Th\'eor\`eme.} $H^m(\Omega)$ est la partie de $H^0(\Omega)$
admettant des d\'eriv\'ees faibles d'ordre $\leqslant m$ dans
$H^0(\Omega)$:  \ $H^m(\Omega) = W^m(\Omega)$.

\smallskip

\item
Dans $\mathbb{R}^n$: soit $c\in\Omega$ et examinons $f(x)=\|x-c\|^\rho$
(norme euclidienne). La somme des carr\'es des normes $\|\ \|_0$ des
d\'eriv\'ees partielles premi\`eres de $f$ est
$\displaystyle{ \int_\Omega \|\text{ grad }f\|^2\, dx }$ existe si
l'int\'egrale de $r^{2\rho-2} r^{n-1}\,dr$ existe ($r=\|x-c\|$), donc
si $2\rho+n-3 > -1$: \\
$     \ \ \ \ \ \ \ \  \|x-c\|^\rho \in H^1(\Omega) \text{ si }
       \rho > 1-n/2. $ \\
$     \ \ \ \ \ \ \ \  \|x-c\|^\rho \in H^m(\Omega) \text{ si }
       \rho > m-n/2. $

\smallskip

\item
\textbf{S\'eries de Fourier.}  $H_0(0,1)$ est isomorphe \`a l'ensemble des
suites (complexes) $\{c_k\}_{k=-\infty}^\infty$ de carr\'e sommable
$\displaystyle{\sum_{-\infty}^\infty |c_k|^2 <\infty}$ par
$(f,g)_0 = \displaystyle{\sum_{-\infty}^\infty c_k\,\overline{d_k} }$
(Riesz-Fischer). \\
Pour $f\in \mathscr{C}^1_I$, avec $f(0)=f(1)$, on a
  $\displaystyle{  f(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k\, \exp(2\pi i kx) }$,
$\forall x\in [0,1]$.

Quand $f$ est-elle dans $H^1(0,1)$? Soit $g\in\mathscr{D}$. Si $\{d_k\}$
sont les coefficients de Fourier de $g$, on a
  $\displaystyle{  g'(x) = \sum_{-\infty}^\infty 2\pi i k
      d_k\, \exp(2\pi i kx) }$, ponctuellement dans $[0,1]$, donc les
 $2\pi i k d_k$ sont les coefficients de $g'$.

Exprimons maintenant $(f,g')_0 = - (f',g)_0$: \\
$\displaystyle{  (f,g')_0 = \sum_{-\infty}^\infty c_k (-2\pi i k) \overline{d_k} =
    -\sum_{-\infty}^\infty 2\pi i k c_k \, \overline{d_k} }$. $f'$ doit donc
 \^etre associ\'ee aux coefficients de Fourier $2\pi i k c_k$, qui est de
 carr\'e sommable si
$\displaystyle{\sum_{-\infty}^\infty k^2\, |c_k|^2 <\infty}$, ce qui
\emph{caract\'erise} les \'el\'ements (p\'eriodiques) de $H^1(0,1)$.

$H^m(0,1)$ p\'eriodique:
$\displaystyle{\sum_{-\infty}^\infty k^{2m}\, |c_k|^2 <\infty}$.

\item \textbf{Transform\'ee de Fourier.} Si $f\in H^0(\Omega) =
L^2(\Omega)$, on peut prolonger $f$ en une fonction de $L^2(\mathbb{R}^n)$
et consid\'erer sa transform\'ee de Fourier
$$ \hat{f}(\boldsymbol{\xi}) := (2\pi)^{-n/2} \int_{\mathbb{R}^n}
  e^{-i \boldsymbol{x\cdot \xi}}\, f(\boldsymbol{x})\;d\boldsymbol{x}.
$$
On a $\hat{f}\in L^2(\mathbb{R}^n)$ et $\|\hat{f}\|_0 = \|f\|_0$
(\emph{Plancherel}).

Alors, on montre que
$$ H^1(\mathbb{R}^n) = \{f\in L^2(\mathbb{R}^n):
   \sqrt{1+|\boldsymbol{\xi}|^2}\; \hat{f}(\boldsymbol{\xi})
  \in L^2(\mathbb{R}^n)\}.$$
De plus, si $\Omega$ est de fronti\`ere suffisamment r\'eguli\`ere,
toute fonction de $H^1(\Omega)$ peut \^etre prolong\'ee en une
fonction de $H^1(\mathbb{R}^n)$ [Raviart \& Thomas] Th.~1.5-1.

\end{enumerate}

\subsection{Traces}\  \\       \index{trace}

Une formulation variationnelle $a(u,v) = \varphi(v)$ initialement
formul\'ee dans $\mathscr{C}^m_I(\overline{\Omega})$ est progressivement
d\'efinie sur $H^m(\Omega)$. Nous avons d\'ej\`a vu comment interpr\'eter
des int\'egrales sur $\Omega$ de $D^\alpha u\, D^\alpha v$ (\'energie de
d\'eformation, \'energie potentielle), des valeurs ponctuelles de $u$
et de d\'eriv\'ees de $u$ si $m$ est assez grand
(forces ou liaisons se portant sur un seul
point). Il faut encore consid\'erer des int\'egrales sur la
\emph{fronti\`ere} de $\Omega$ associ\'ees \`a des conditions aux
limites sur la dite fronti\`ere.

\smallskip

Pour cela, on fait des hypoth\`eses suppl\'ementaires sur la
fronti\`ere de $\Omega$, hypoth\`eses plus fortes que celles d\'ej\`a
rencontr\'ees (propri\'et\'e de c\^one):



\smallskip

Le domaine $\Omega$ est dit de         \index{fronti\`ere lipschitzienne}
 fronti\`ere $\Gamma=\partial\Omega$
\emph{\textbf{lipschitzienne}} \footnote{
[Ciarlet] p.~13, d'apr\`es
J. Ne\v cas, \textsl{Les m\'ethodes directes en th\'eorie des
\'equations elliptiques}, Masson, 1967.}, lorsque
\\
 Il existe $\alpha>0$ et $\beta>0$, et un nombre fini de syst\`emes
 d'axes $\{x_1^{(r)},\dotsc, x_{n-1}^{(r)},x_n^{(r)}\}
  = \{\boldsymbol{x}^{(r)}, x_n^{(r)}\}, r=1,\dotsc,R$ o\`u
 \begin{enumerate}
  \item $\Gamma=\displaystyle{ \bigcup_{r=1}^R
       \{ \{\boldsymbol{x}^{(r)}, x_n^{(r)}\}\in\mathbb{R}^{n-1}\times \mathbb{R}:
           x_n^{(r)} = \varphi_r(\boldsymbol{x}^{(r)}) },
          \|\boldsymbol{x}^{(r)}\|<\alpha \}$, \\
  o\`u les fonctions $\varphi_r$ sont \emph{lipschitziennes}, c'est-\`a-dire
  continues et $|\varphi_r(\boldsymbol{y}) -\varphi_r(\boldsymbol{x})|\leqslant C
    \|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}\|$, $\forall \boldsymbol{x}$ et $
      \boldsymbol{y} \in \mathbb{R}^{n-1}, \|\boldsymbol{x}\|<\alpha,
                                           \|\boldsymbol{y}\|<\alpha$.
  \item $\{ \{\boldsymbol{x}^{(r)}, x_n^{(r)}\}:
     \|\boldsymbol{x}^{(r)}\|<\alpha \text{ et }
     \varphi_r(\boldsymbol{x}^{(r)}) < x_n^{(r)} <
                      \varphi_r(\boldsymbol{x}^{(r)}) +\beta \}
    \subset \Omega,  \; r=1,\dotsc, R $,
  \item $\{ \{\boldsymbol{x}^{(r)}, x_n^{(r)}\}:
     \|\boldsymbol{x}^{(r)}\|<\alpha \text{ et }
     \varphi_r(\boldsymbol{x}^{(r)})-\beta < x_n^{(r)} <
                      \varphi_r(\boldsymbol{x}^{(r)})  \}
    \subset \complement\overline{\Omega},  \; r=1,\dotsc, R $,
\end{enumerate}

\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(15,7)(-3,0)
 \put(0,0){\vector(1,0){3}}  \put(0,0){\vector(0,1){3}}
 %  tg theta=1/3    origine=(5,0)
 \put(5,0){\vector(3,1){1.5}}  \put(5,0){\vector(-1,3){1.3}}
 \put(5,0){\line(-3,-1){0.7}}
 \put(4.1,0.05){$O_r$} \put(6,0.5){$\boldsymbol{x}^{(r)}$}
                       \put(3.0,3.6){$x_n^{(r)}$}
 \Thicklines
 \spline(3.103,2.53)(4.209,2.372)(4.526,3.004)
 \drawline(4.526,3.004)(4.842,3.637)
 \thinlines
 \spline(3.419,1.581)(4.526,1.423)(4.842,2.055)
 \drawline(4.842,2.055)(5.158,2.688)
 \spline(2.786,3.479)(3.893,3.320)(4.209,3.953)
 \drawline(4.209,3.953)(4.526,4.585)
 \dashline{0.2}(3.419,1.581)(2.787,3.479)
 \dashline{0.2}( 5.158,2.688)(4.526,4.585)
 \put(3.3,2){$\beta$}   \put(2.97,3){$\beta$}
 %   theta=pi/2   origine=(7,4.004)
 \put(7,4.004){\vector(0,1){1.5}}  \put(7,4.004){\vector(-1,0){3.1}}
 \put(7,4.004){\line(0,-1){1.5}}   \put(7.1,3.95){$O_s$}
 \Thicklines
 \spline(4.842,3.637)(5.342,4.637)(5.342,5.004)
 \thinlines
 \spline(3.842,3.637)(4.342,4.637)(4.342,5.004)
 \drawline(3.526,3.004)(3.842,3.637)
 \spline(5.842,3.637)(6.342,4.637)(6.342,5.004)
 \drawline(5.526,3.004)(5.842,3.637)
 \dashline{0.2}(3.526,3.004)(5.526,3.004)
 \dashline{0.2}(4.342,5.004)(6.342,5.004)
 %
 \Thicklines
 \spline(5.342,5.004)(5.342,7)(3,5)(1,3.5)(2.053,2.68)(3.103,2.53)
 \put(2.7,4){$\Omega$}    \put(5.5,6){$\Gamma$}

\end{picture}
\end{center}

\smallskip


La fronti\`ere ne peut revenir sur elle-m\^eme; aucune partie de $\Gamma$
ne peut \^etre entour\'ee enti\`erement de points de $\Omega$. \\
On accepte des points anguleux (sommets poly\'edriques ou coniques \`a
3 dimensions), mais pas de point de rebroussement. Un domaine de
fronti\`ere lipschitzienne est n\'ecessairement born\'e.

\smallskip


Ces conditions sur la fronti\`ere serviront \`a \'etablir quelques r\'esultats de
densit\'e et, surtout, \`a bien pr\'eciser les conditions aux limites
de probl\`emes \`a r\'esoudre dans des espaces de Hilbert.

\medskip

Montrons par exemple que, si
  $\Omega\subset\mathbb{R}^2$,
 $F(f)=\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx}$ a un sens dans $H^1(\Omega)$
  si $[a,b]$ est enti\`erement contenu dans $\overline{\Omega}$ (de
  fronti\`ere lipschitzienne):  \\
  en effet, $[a,b]$ est un c\^ot\'e d'un rectangle de hauteur $\beta$
  enti\`erement contenu dans $\overline{\Omega}$, par exemple
  $[a,b]\times [0,\beta]$, donc,  \\
  pour $x$ fix\'e,
  \begin{equation*} \begin{split}
   f(x,0) &= \left[ (1-y/\beta)\, f(x,y) \right]_{y=0} \\
         &= -\int_0^\beta \dfrac{d}{dy} \left[(1-y/\beta)\,f(x,y)\right]
             \, dy \\
        &= \int_0^\beta \left( \dfrac{f}{\beta} + \left(\dfrac{y}{\beta}
               -1\right) \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)\, dy  , \\
 |f(x,0)|&\leqslant \left[ \int_0^\beta f^2(x,y)\, dy \right]^{1/2}
               \beta^{-1/2}
            + \left[ \int_0^\beta
               \left(  \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)^2\, dy \right]^{1/2}
            (\beta/3)^{1/2} , \\
 f^2(x,0)&\leqslant   \left(1+\max(\beta,\beta^{-1}\right)
 \left[ \int_0^\beta f^2(x,y)\, dy
            +  \int_0^\beta
               \left(  \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)^2\, dy
            \right]
 \end{split}\end{equation*}
 et int\'egrons en $x$
  \begin{equation*}
 \int_a^b f^2(x,0)\,dx \leqslant   \left(1+\max(\beta,\beta^{-1}\right)
 \left[ \int_a^b \int_0^\beta f^2(x,y)\, dx dy
            +  \int_a^b \int_0^\beta
               \left(  \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)^2\, dx dy
            \right]
 \end{equation*}
 enfin,
 $$ \left[ \int_a^b f(x,0)\,dx \right]^2 \leqslant
 (b-a)\int_a^b f^2(x,0)\,dx
                       \leqslant (b-a)  \left(1+\max(\beta,\beta^{-1}\right)
  \|f\|_1^2 .$$


\bigskip

Montrons que, $\forall f\in \mathscr{C}^1_I(\Omega)$ de
fronti\`ere lipschitzienne au sens \textit{supra},
$$ \|f\|_{L^2(\partial\Omega)} \leqslant C(\Omega) \|f\|_1. $$

La fronti\`ere $\partial\Omega$ est une r\'eunion de morceaux de
surface $x_n = \varphi(x_1,\dotsc, x_{n-1})$
sur lesquels l'int\'egrale s'\'ecrit
$$ \int_S f^2(x)\,dS = \int_{S'} f^2(x_1,\dotsc, x_{n-1}, \varphi)\;
 \sqrt{1+|\text{\textbf{grad}}\, \varphi|^2}\; dx_1\dotsb dx_{n-1}.$$
Soit $\psi$ une fonction contin\^ument d\'erivable d'une variable qui
vaut 1 en $\varphi$ et 0 en $\varphi+\beta$. On a donc
$$ \int_S f^2(x)\,dS = -\int_{S'} \int_\varphi^{\varphi+\beta}
\frac{\partial f^2(x_1,\dotsc, x_{n-1}, x_n)\psi(x_n)}{\partial x_n}\;
 \sqrt{1+|\text{\textbf{grad}}\, \varphi|^2}\; dx_1\dotsb dx_{n-1} dx_n.$$
On a maintenant une int\'egrale sur un morceau de volume enti\`erement
situ\'e dans $\overline{\Omega}$, d'une combinaison de $f^2$ et
$f\partial f/\partial x_n$. Par Cauchy-Schwarz et H\"older, l'int\'egrale
est major\'ee par $\|f\|_1^2$ fois des facteurs g\'eom\'etriques. \qed

\smallskip

On peut donc \'etendre par continuit\'e l'op\'erateur de restriction
\`a la fronti\`ere en un op\'erateur born\'e $H^1(\Omega) \to
 L^2(\partial\Omega)$: c'est l'op\'erateur \emph{\textbf{trace}}
$\gamma_0$.

\noindent
Dans $H^m(\Omega)$,
on d\'efinit aussi les traces des d\'eriv\'ees normales
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^j u}{\partial n^j}}$ sur la
fronti\`ere, $\gamma_j, j=0,1,\dotsc, m-1$.

\medskip

$H_0^m(\Omega)$ est le sous espace des \'el\'ements de $H^m(\Omega)$
v\'erifiant $\gamma_0 u = \dotsb = \gamma_{m-1} u=0$.

$H_0^m(\Omega)$ est aussi l'adh\'erence de $\mathscr{D}(\Omega)$ dans
$H^m(\Omega)$.


\bigskip

En \emph{\textbf{r\'esum\'e}}, on a donc vu trois types de formes ayant
un sens, par continuit\'e, et sous conditions, sur $H^m(\Omega)$:


\begin{tabular}{|c|c|c|}
 \hline
 Forme & Conditions  & Espace \\
 \hline\hline
  &      &      \\
 $(D^\alpha u)(P)$ & $0\leqslant |\alpha| < m-n/2$ &
                      $H^m(\Omega) \subseteq \mathscr{C}^{|\alpha|}(\overline{\Omega})$ \\
  &  propr. de c\^one  &     \\
 \hline
  &      &      \\
 $\int_\Omega w D^\alpha u\, d\boldsymbol{x}$  & $|\alpha|\leqslant m$ &
                     $D^\alpha u \in L^2(\Omega)$  \\
             &  $w\in L^2(\Omega)$                 &    \\
 \hline
  &      &      \\
 $\int_{\partial\Omega} w D^\alpha u\, dS$ &
       $|\alpha|\leqslant m-1$  &  $D^\alpha u\big|_{\partial\Omega} \in
          H^{m-|\alpha|-1}(\partial\Omega)$ \\
  &   $\partial\Omega$ lipschitzienne  &  \\
 \hline
\end{tabular}


\section{Coercivit\'e de $\displaystyle{\int_\Omega
      \textbf{ grad }u\boldsymbol{\cdot}\textbf{ grad }v \;d\boldsymbol{x} }$
      dans $H^1_0(\Omega)$.}        \  \\

\index{coercive}
Rappelons que
$H^1_0(\Omega) = \overline{\mathscr{D}}$ dans $H^1(\Omega) =$ \'el\'ements
 de $H^1(\Omega)$
de trace nulle (sur $\Gamma = \partial\Omega$), quand $\Omega$ est
de fronti\`ere lipschitzienne.

\medskip

Soit $\Omega$ de fronti\`ere lipschitzienne, montrons qu'il existe
$c>0$:
$$ a(u,u) =
   \int_\Omega
      \textbf{ grad }u\boldsymbol{\cdot}\textbf{ grad }u \; d\boldsymbol{x}
    \geqslant c \|u\|_1^2, $$
pour tout $u\in H^1_0(\Omega)$.
La coercivit\'e de
                $\displaystyle{\int_\Omega
      \textbf{ grad }u\boldsymbol{\cdot}\textbf{ grad }v \;d\boldsymbol{x} }$
 est \'evidemment \'equivalente \`a \emph{\textbf{l'in\'egalit\'e de
 Poincar\'e-Friedrichs}}
  $$  \forall u\in H^1_0(\Omega),  \qquad \|u\|_0 \leqslant c'
                         \|\textbf{grad } u\|_0, $$
avec $\displaystyle{c = \dfrac{1}{c'{}^2 +1}}$.

D\'emonstration directe de l'in\'egalit\'e de Poincar\'e-Friedrichs
[Raviart \& Thomas] Th.~1.2-5.
 Il suffit de consid\'erer $u$ dans l'espace $\mathscr{D}(\overline{\Omega})$
dense dans $H_0^1(\Omega)$. On prolonge cette fonction $u$ dans tout
$\mathbb{R}^n$ par $u=0$ hors de $\Omega$. Isolons la composante $x_n$
de $\boldsymbol{x} =(x_1,\dotsc, x_n)$. Le domaine born\'e $\Omega$
est donc situ\'e enti\`erement dans $a<x_n <b$, avec $-\infty <a < b <\infty$.
Comme $u=0$ en $x_n=a$,
 $$  u(\boldsymbol{x}) = \int_a^{x_n} \frac{\partial u}{\partial x_n}
  (x_1,\dotsc, x_{n-1}, t)\, dt.$$
Par Cauchy-Schwarz,
 $$  u^2(\boldsymbol{x}) \leqslant (x_n-a)
  \int_a^{x_n} \left(\frac{\partial u}{\partial x_n}\right)^2
  (x_1,\dotsc, x_{n-1}, t)\, dt
                         \leqslant (x_n-a)
  \int_{-\infty}^\infty \left(\frac{\partial u}{\partial x_n}\right)^2
  (x_1,\dotsc, x_{n-1}, t)\, dt,
$$
int\'egrons sur tous les $(n-1)-$uples $(x_1,\dotsc, x_{n-1})$:
 $$  \int_{\mathbb{R}^{n-1}}u^2(x_1,\dotsc, x_{n-1}, x_n)
     dx_1\dotsc dx_{n-1}
                         \leqslant (x_n-a)
  \int_{\mathbb{R}^n} \left(\frac{\partial u}{\partial x_n}\right)^2
  (\boldsymbol{x})\, d\boldsymbol{x},
$$
et int\'egrons enfin en $x_n$ entre $a$ et $b$:
 $$  \|u\|_0^2 = \int_{\mathbb{R}^n}u^2(\boldsymbol{x})
     d\boldsymbol{x}
                         \leqslant \frac{(b-a)^2}{2}
  \left\| \frac{\partial u}{\partial x_n}\right\|_0^2
\leqslant \frac{(b-a)^2}{2} \|\textbf{grad}\; u\|_0^2,
$$
ce qui donne bien l'in\'egalit\'e cherch\'ee, avec
$c'\leqslant (b-a)/\sqrt{2}$. \qed

\bigskip

{\Small D\'emonstration de coercivit\'e utilisant le lemme de
compacit\'e de Rellich:

Montrer que la forme bilin\'eaire $a$ est coercive revient \`a dire
que $a(u,u)$ est minor\'ee par $c>0$ sur la sph\`ere unit\'e:
 $$ a(u,u)\geqslant c \|u\|^2 \Leftrightarrow
        a\left(  \dfrac{u}{\|u\|},\dfrac{u}{\|u\|} \right) \geqslant c>0.$$
Supposons $a$ non coercive, il existe alors une suite $\{u_i\}_i$,
avec $\|u_i\|=1$ et $a(u_i,u_i)\to 0$. Tout ferm\'e born\'e de
$H^{m+1}(\Omega)$ \'etant un \emph{\textbf{compact}} de $H^m(\Omega)$
(Rellich, cf. p.\pageref{Rellich}), on peut extraire $\{u_{i_j}\}_j$
convergente dans $H^0(\Omega)$. Cette suite est \'egalement Cauchy, donc
convergente dans $H^1(\Omega)$: si $j$ et $k$ sont assez grands,
$\|u_{i_j} -u_{i_k}\|_0$ et $\|\textbf{grad }(u_{i_j}-u_{i_k})\|_0$ sont
arbitrairement petits (pour la derni\`ere norme: parce que
$\|\textbf{grad } u_i\|_0 \to  0$), donc $u_{i_j} \to u$ dans
$H^1(\Omega)$, en fait dans $H^1_0(\Omega)$ (complet). $u$ est donc
un \'el\'ement de $H^1_0(\Omega)$ de gradient nul $\Rightarrow$ $u$ doit
\^etre la constante nulle, impossible puisque $\|u_{i_j}\|_1 =1$. \qed
Cette d\'emonstration est encore valable si on se limite \`a exiger $u=0$
sur une partie (de mesure $>0$) de la fronti\`ere $\Gamma$.
}



\medskip

Autre exemple de forme coercive:
 $\displaystyle{ \int_\Omega \Delta u\, \Delta v\, d\boldsymbol{x}}$
dans $H_0^2(\Omega)$ [Ciarlet, p.~14].

\medskip

Comment trouver $c$ (ou $c'$) dans des cas concrets?
Minimiser $a(u,u)$  sur la sph\`ere unit\'e $(u,u)=1$ revient \`a
minimiser $a(u,u)/(u,u)$ (\emph{quotient de Rayleigh})
sur tous les $u$ non nuls de $H^1_0(\Omega)$,
 donc \`a chercher $u$
tel que
$$ \frac{
a(u+\varepsilon v,u+\varepsilon v)}
  {(u+\varepsilon v,  u+\varepsilon v)} =
   \frac{
   a(u,u) +2\varepsilon a(u,v)  +\varepsilon^2 a(v,v)}
 {  (u,u) +2\varepsilon (u,v) +\varepsilon^2  (v,v)}
$$
soit minimum en $\varepsilon v=0$, donc en $\varepsilon=0$ pour
tout $v\in U$. La d\'eriv\'ee en $\varepsilon$ doit \^etre nulle
en $\varepsilon=0$, ce qui donne $a(u,v)=\lambda (u,v),
\forall v\in U$.
 Rappelons que, si $a$
est bilin\'eaire continue sym\'etrique sur l'espace de Hilbert $U$, on a
$a(u,v)=(Au,v)_U$ (repr\'esentant de Riesz), avec $A$ autoadjoint born\'e.
On voit donc que les valeurs extr\'emales de $a(u,u)/(u,u)$ sont
les \emph{\textbf{valeurs propres}} de $A$:
 $c=\lambda_{\min}(A).$

Pour Poincar\'e-Friedrichs, on pr\'ef\`ere utiliser $\mathcal{A}$
tel que $(\mathcal{A}u,v)_0 = (\textbf{grad }u, \textbf{grad }v)_0$
pour tout $u$ et $v$ dans une partie dense de $H^1_0(\Omega)$.
$\mathcal{A}$ est non born\'e mais plus ``commode'' que $A$.

Enfin, $\displaystyle{ \lambda(A) = \dfrac{ \lambda(\mathcal{A})}
                                      { \lambda(\mathcal{A}) +1}   }$:
si $\mathcal{A}u=\lambda(\mathcal{A})u$, $a(u,v) = (\mathcal{A}u, v)_0 =
 \lambda(\mathcal{A}) (u,v)_0 =
 \lambda(\mathcal{A}) [(u,v)_1 - a(u,v)]$. Donc, en r\'esum\'e,
$$ c = \lambda_{\min}(A) = \dfrac{ \lambda_{\min}(\mathcal{A})}
             {\lambda_{\min}(\mathcal{A}) +1}  , \quad
   c' = \dfrac{1}{\sqrt{ \lambda_{\min}(\mathcal{A})}}  . $$

\smallskip
Avec $\Omega = (0,L)$, $\displaystyle{  \int_0^L (\mathcal{A}u)v dx =
     \int_0^L u'v' dx =  \int_0^L (-u'') v dx }$, donc
     $\mathcal{A}u = -u''$, les fonctions propres sont
   $\sin(x\sqrt{\lambda})$ qui doivent encore s'annuler en $x=L \Rightarrow
   \lambda = k^2 \pi^2/L^2, k=1,2,\dotsc$
   $$ c= \dfrac{\pi^2}{\pi^2+ L^2},\quad
      c'=\dfrac{L}{\pi}. $$
 On voit l'importance de $L<\infty$.

\smallskip

Les $\sin(k\pi x/L)$, $k=1,2,\dotsc$ forment une suite orthogonale compl\`ete
\`a la fois dans $H^0(0,L)$ et dans $H^1_0(0,1)$.

$H^1_0(0,L)$ est l'ensemble des s\'eries de Fourier $\sum_1^\infty
 c_k \sin(k\pi x/L)$ avec $\sum_1^\infty k^2 c_k^2 <\infty$: si
 $u\in H^1_0(0,1)$, sa d\'eriv\'ee faible $Du$ admet une s\'erie de
 Fourier $\sum_0^\infty d_k \cos(k\pi x/L)$  [consid\'erer le prolongement
 pair de $Du$ sur $(-L,L)$] avec $\sum_0^\infty d_k^2 <\infty$. De
 $(Du,v)_0 = -(u,Dv)_0$ pour tout $v\in H^1(0,1)$, on obtient, avec
 $v=\cos(k\pi x/L)$, le $k^{\text{\`eme}}$ coefficient de Fourier de $u$
 $c_k = -L d_k/(k\pi), k=1,2,\dotsc (u\in H^1_0(0,L) \Rightarrow
  d_0=0$).

\medskip
Pour le disque de rayon $R$ dans $\mathbb{R}^2$:
 $$ \mathcal{A} = -\Delta =  -\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}
                             -\dfrac{1}{r} \dfrac{\partial}{\partial r}
                          -\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2}
  ,$$
 fonctions propres = $J_m(r\sqrt{\lambda}) \exp(\pm im\theta), m=0,1,\dotsc
 \Rightarrow \lambda = (\text{z\'eros de } J_m /R)^2$,
  $$ c= \dfrac{5.78\dotsc}{5.78\dotsc +R^2}\, \qquad
    c'=\dfrac{R}{2.4048\dotsc}
  $$

      [me rappeler: ``peut-on entendre la forme d'un tambour?'']

Boule de rayon $R$ dans $\mathbb{R}^3$:
 $$ \mathcal{A} = -\Delta =  -\dfrac{\partial^2}{\partial r^2}
                             -\dfrac{2}{r} \dfrac{\partial}{\partial r}
                          -\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial^2}{\partial\theta^2}
              -\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}
                                 \dfrac{\partial}{\partial\theta}
              -\dfrac{1}{r^2} \dfrac{1}{\sin^2\theta}
                                 \dfrac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
  ,$$
 \hspace*{-25pt}fonctions propres = $r^{-1/2}J_{n+1/2}(r\sqrt{\lambda}) P_n^m(\cos\theta)
                \exp(\pm im\varphi), m,n=0,1,\dotsc ,
 \Rightarrow \lambda = (\text{z\'eros de } J_{n+1/2}/R)^2$.
   $$ c= \dfrac{\pi^2}{\pi^2+ R^2},\quad
      c'=\dfrac{R}{\pi}. $$

Voir J.~Meinguet, From Dirac distributions to multivariate
  representation formulas, pp.~225-248 {\it in}
  Z.~Ziegler, editor, \textsl{Approximation Theory and
  Applications}, Ac. Press, 1981.


\section{Erreur d'approximation de la m\'ethode de Ritz.}

On a donc le probl\`eme variationnel $$?u\in H^m(\Omega): \  %
          a(u,v) = \varphi(v),\ \forall v\in H^m(\Omega), $$
  que l'on sait avoir une solution unique si $a$ est bilin\'eaire
  sym\'etrique \emph{continue coercive} (Lax Milgram).

On approche $u$ en r\'esolvant ce m\^eme probl\`eme variationnel dans
un sous espace $U_h$ de dimension finie (m\'ethode de Ritz)
      $$?u_h\in U_h: \  %
          a(u_h,v) = \varphi(v),\ \forall v\in U_h, $$

\begin{minipage}[t]{6cm}

\  \par


\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,5)
 \thicklines
 \put(0,1){\line(2,1){5}}    \put(4.5,3.6){$U_h$}
 \thinlines
 \dashline{0.2}(2,2)(1,4)(4,3)
  \put(0.9,4.1){$u$}  \put(1.8,1.6){$u_h$} \put(3.8,2.7){$u_{\text{interp}}$}
  \put(1.4,2.1){$a$}
 \Thicklines
 \drawline(1.6,2)(1.8,2.1)(1.7,2.3)
\end{picture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{10cm}

\ \par

 qui se traduit, pour un espace d'\'el\'ements finis, par un syst\`eme
 lin\'eaire avec matrice (\emph{matrice de rigidit\'e}) sym\'etrique
 d\'efinie positive
   $$  \left[ (L_i, L_j)_m \right]_{i,j=1,\dotsc,N} [F_j(u_h)]_j =
       [\varphi(L_i)]_i , $$
o\`u les $F_i$ sont les formes attach\'ees \`a des points de
$\overline{\Omega}$, $L_i$ (\emph{base de Lagrange}) est la fonction de
$U_h$ dont la restriction \`a l'\'el\'ement $e_k$ v\'erifie $L_i|_{e_k}\in V_k$ et
 $F_j(L_i) = \delta_{i,j}$, pour $j\in Q_k$.

Soit $u_{\text{interp}}$ l'\'el\'ement de $U_h$ dont la restriction \`a $e_k$
est l'\'el\'ement de $V_k$ v\'erifiant
 $$ F_i(u_{\text{interp}})= F_i(u), \quad i\in Q_k. $$
\end{minipage}

On ne pourra pas discuter directement la distance entre $u$ et $u_h$, on
estimera cette distance \`a partir de $u_{\text{interp}}$ et d'autres
fonctions interm\'ediaires dont le r\^ole s\'eclaircira progressivement:


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,4)
 \pscurve[linecolor=darkgray,linewidth=0.04](4,1.7)(9,3.7)(13,2.1)
      \uput[0](13.0,2.4){$u$}
 \psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](4.0,0.7)(6,1.6)(8,0.8)(10,1.2)(12,0.8)(13,1.1)
      \uput[0](13,1.1){$u_h$}
 \psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](6,2.8)(8,3.55)(10,3.5)(12,2.7)(12.5,2.2)
      \uput[270](8.7,3.5){$u_{\text{interp}}$}
 \psline(3,0.5)(15,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](8,3.6)(8,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](10,3.5)(10,0.5)
      \uput[90](9,0.4){$e_k$}
 \psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](6.0,2.9)(8,3.6)
 \psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](8.0,3.7)(10,3.7)
 \psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](10.0,3.6)(12,2.7)
      \uput[90](8.7,3.7){$u_{\text{Taylor}}$}
\end{pspicture}

\end{center}


On a $\displaystyle{  u_{\text{interp}}(x) = \sum_{i\in Q_k} F_i(u) L_i(x) }$
pour $x\in e_k$. N.B.: $u_{\text{interp}}$ doit \^etre dans $H^m(\Omega)$:
on demandera \emph{\textbf{Hypoth\`ese 1}}
$U_h \subset \mathscr{C}^m_I $: importance de la continuit\'e
globale des espaces d'\'el\'ements finis (\emph{\textbf{conformit\'e}}).

Estimons $\|u-u_h\|_m$ \ (\emph{\textbf{lemme de C\'ea}}), par
\emph{\textbf{Hypoth\`ese 2}}: $a$ coercive et continue sur $H^m$:
\begin{equation*} \begin{split}
  \|u-u_h\|_m^2 &\leqslant \dfrac{1}{c} a(u-u_h,u-u_h) \qquad \text{   coercivit\'e de } a \\
                &\leqslant \dfrac{1}{c} a(u-u_{\text{interp}},u-u_{\text{interp}})
  \  \   u_h \text{  est la $a-$meilleure approximation de $u$ dans } U_h \\
                &\leqslant \dfrac{d}{c} \|u-u_{\text{interp}}\|_m^2
            \ \  \qquad \text{     continuit\'e de }a
\end{split}\end{equation*}
Ensuite:
  $$   \|u-u_{\text{interp}}\|_m^2  =
     \sum_{|s|\leqslant m} \sum_{e_k} \int_{e_k} \left(
                D^s u-D^s u_{\text{interp}} \right)^2 dx. $$

On appr\'ecie
             $   D^s u-D^s u_{\text{interp}} $ en remarquant que l'on a
 encore $ D^s u-D^s u_{\text{interp}} =
          D^s (u-p) -D^s (u-p)_{\text{interp}} $, o\`u $p$ est un
       \'el\'ement quelconque de $V_k$ (les \'el\'ements de $V_k$ sont leurs
   propres interpolants!)  (lemme de Bramble).

Prenons une hypoth\`ese (tr\`es) forte: \emph{\textbf{Hypoth\`ese 3}},
$u\in \mathscr{C}^{m+1}(\overline{\Omega})$,
(en fait, $u\in \mathscr{C}^m(\overline{\Omega})$, de d\'eriv\'ees
$(m+1)^{\text{\`emes}}$ born\'ees dans $\overline{\Omega}$),
et prenons $p= u_{\text{Taylor}}$, le d\'eveloppement de Taylor de $u$
de degr\'e $m$ autour d'un point  $c_k\in e_k$. Alors,
            $$   |D^s u-D^s u_{\text{interp}}| \leqslant
                 |D^s (u- u_{\text{Taylor}})| +
                 |D^s ((u-u_{\text{Taylor}})_{\text{interp}})|.$$
\textbf{Lemme.} \textsl{Si \emph{\textbf{Hypoth\`ese 4}},
$e_k$ est \'etoil\'e autour de $c_k$, c'est-\`a-dire
si le segment $[c_k,x]$ est enti\`erement dans $e_k\subset\mathbb{R}^n$ pour tout $x\in e_k$,
si $u\in \mathscr{C}^{m+1}(e_k)$,  et si \emph{\textbf{Hypoth\`ese 5}},
 $V_k$ contient $\mathscr{P}_m$,  }
 \begin{equation}  \label{lemtaylor}
 | D^s(u-u_{\text{Taylor}})(x)| \leqslant (nh_k)^{m+1-|s|} \|D^{m+1}u\|_\infty,
 \end{equation}
 \textsl{
 tant que $|s| \leqslant m+1$,
o\`u $h_k$ est le diam\`etre de $e_k$, et $\|D^{m+1}u\|_\infty$ est la plus grande
valeur absolue atteinte par une d\'eriv\'ee d'ordre $m+1$ de $u$ dans $e_k$. }

En effet, le lemme  est trivial si $|s|=m+1$ ($D^{m+1} u_{\text{Taylor}}=0$).
Si le lemme est vrai pour toutes les d\'eriv\'ees d'ordre $|s|+1$, montrons
qu'il est vrai pour $D^s$:
 $$  D^s(u-u_{\text{Taylor}})(x)  =
  \int_{c_k}^x \textbf{grad }(D^s(u-u_{\text{Taylor}}))(y) \boldsymbol{\cdot \vec{\tau}}
  d\ell, $$
(toutes les d\'eriv\'ees d'ordre $\leqslant m$ de $u-u_{\text{Taylor}}$
s'annulent en $x=c_k$),
o\`u $\boldsymbol{\vec{\tau}}$ est le vecteur unitaire dirig\'e de $c_k$ vers
$x$ et $d\ell$ l'\'el\'ement de longueur sur le segment $[c_k,x]$. Chaque composante
du gradient est une d\'eriv\'ee d'ordre $|s|+1$, donc born\'ee par
$(nh_k)^{m-|s|} \|D^{m+1}u\|_\infty$, chaque composante de $\boldsymbol{\vec{\tau}}$
est de valeur absolue $\leqslant 1$, et l'int\'egrale de $d\ell$ est la longueur
du segment $\leqslant h_k$. \qed

\smallskip

Passons maintenant \`a
         $ (u-u_{\text{Taylor}})_{\text{interp}} $, qui s'exprime dans la base de Lagrange
    de $V_k$ par   \\
         $ (u-u_{\text{Taylor}})_{\text{interp}} =
         \displaystyle{ \sum_{i\in Q_k} F_i(u-u_{\text{Taylor}}) L_i }$,
 \begin{equation} \label{borneek}
  D^s(u-u_{\text{Taylor}})_{\text{interp}} =
     \sum_{i\in Q_k} F_i(u-u_{\text{Taylor}}) D^s(L_i) .
 \end{equation}
Si $F_i$ fait appel \`a au plus $r_i$ valeurs de d\'eriv\'ees d'ordre
$\leqslant \ell_i$, on a, par \eqref{lemtaylor}    \\
     $| F_i(u-u_{\text{Taylor}}) |\leqslant r_i (nh_k)^{m+1-\ell_i} \|D^{m+1}u\|_\infty$.

On suppose encore \emph{\textbf{Hypoth\`ese 6}},
que les \'el\'ements de la base de Lagrange poss\`edent
la propri\'et\'e de r\'egularit\'e suivante:
   $$  | D^s L_i | \leqslant q h_k^{\ell_i -|s|}, $$
 (v\'erifications dans deux cas simples:
   \begin{enumerate}
    \item $e_k=$ triangle de $\mathbb{R}^2$, $V_k=\mathscr{P}_1$,
       $F_i = $ valeur en un sommet (espace de Courant: $\ell_i=0$), alors
       $0\leqslant L_i(x) \leqslant 1$ dans $e_k$, et
       $|\textbf{grad } L_i|\leqslant 1/$plus petite hauteur
       $\leqslant (2/|\sin\theta|_{\min}) h_k^{-1}$ (ici, $h_k$
       est le plus grand c\^ot\'e du triangle $e_k$).
       L'hypoth\`ese est donc v\'erifi\'ee si \emph{les angles ne sont
       proches ni de 0 ni de } $\pi$.
    \item $e_k = [x_k, x_{k+1}] \subset \mathbb{R}$, $V_k=\mathscr{P}_3$,
     $F_i =$ valeur de la d\'eriv\'ee premi\`ere en $x_k$ (interpolant
     d'Hermite). Alors,
       $   L_i(x) = (x-x_k)(x_{k+1}-x)^2/h_k^2$, o\`u $h_k = x_{k+1}-x_k$,
       on trouve $L'_i(x)=(x_{k+1}-x) (x_{k+1}+2x_k -3x)/h_k^2$,
       $|L-i(x)|\leqslant 4h_k/27$ et $|L'_i(x)|\leqslant 1$, ce qui
       correspond bien \`a $\ell_i=1$.
   \end{enumerate}
alors,  \eqref{borneek} est born\'ee par $ qr n^{m+1} h_k^{m+1-|s|}\,\|D^{m+1}u\|_\infty$,
o\`u $r=\displaystyle{\sum_{i\in Q_k} r_i }$.

Enfin,
  $$   \|D^su -D^s u_{\text{interp}}\|_0  =  \left[
      \sum_{e_k} \int_{e_k} \left(
                D^s u-D^s u_{\text{interp}} \right)^2 dx \right]^{1/2}
     \leqslant \sqrt{\mu(\Omega)} (1+qr) n^{m+1} h^{m+1-|s|}
     \|D^{m+1}u\|_\infty .
  $$
  et  $\qquad\qquad\qquad \|u-u_h\|_m \leqslant \text{ constante } h
            \to 0  \text{ quand } h\to 0$.

Fin du th\'eor\`eme .\qed

%\vfill

{\Small
Exemple d'estimation plus fine (Nitsche, cf. [Ciarlet] \S~3.3): \\
si $-\Delta u=f\in H^0(\Omega)$, $\Omega \subset\mathbb{R}^2$ de fronti\`ere
lipschitzienne,
$u\in H^1_0(\Omega)$ et si $u$ a ses
d\'eriv\'ees secondes born\'ees dans $\overline{\Omega})$, on a
 $$ |u(x) -u_h(x)| \leqslant C h^2 |\log h|^{3/2} \|D^2 u\|_\infty, $$
 $$ |\textbf{grad}(u-u_h)(x)| \leqslant C h |\log h| \|D^2 u\|_\infty, $$
o\`u $C$ ne d\'epend pas de $x\in\overline{\Omega}$ ni de $h$.
}


\section{M\'ethodes d'\'el\'ements finis non conformes, ``crimes
variationnels''.\label{crimv}}     \index{crimes variationnels}

On peut encore calculer une approximation de Ritz-Galerkin de la
solution de $a(u,v)=\varphi(v), \forall v\in U$ par
$$
? u_h\in U_h: \qquad a(u_h,v)=\varphi(v), \qquad \forall v \in U_h,
$$
\textbf{\emph{m\^eme si}} $U_h\not\subseteq U$! Il faut d'abord
v\'erifier que la matrice de rigidit\'e est non singuli\`ere, ce qui
est le cas si $a$ est encore d\'efinie positive sur $U_h$.

\noindent\textbf{\emph{Exemples.}} ([Thom\'ee], p.~26): Rectangles de
Wilson, $V_k=\mathscr{P}_2$ (dimension 6), $F_i(v)= $ valeurs aux
sommets et valeurs des deux d\'eriv\'ees secondes
$\partial^2 v/\partial x^2$ et
$\partial^2 v/\partial y^2$ (constantes dans chaque rectangle $e_k$).
Alors, si $v=0$ sur $\Gamma=\partial\Omega$, la forme
$a(u,v)=\displaystyle{\int_\Omega \text{grad} u \boldsymbol{\cdot}
 \text{grad} v\; dxdy}$ est bien d\'efinie positive: $a(v,v)=0
\Rightarrow$ $v$ est constante dans chaque $e_k$, la m\^eme
constante partout puisque $v$ est bien d\'efinie aux sommets, donc
$v=0$ dans tout $\Omega$ puisque $v=0$ sur la fronti\`ere (N.B.,
on \'evalue l'int\'egrale sur $\Omega$ comme somme des int\'egrales
sur les $e_k$).



Le lemme de C\'ea devient: pour $a$ bilin\'eaire sym\'etrique
d\'efinie positive,
$$
\sqrt{a(u-u_h,u-u_h)} \leqslant  \inf_{v\in U_h} \sqrt{a(u-v,u-v)}
 + \sup_{\substack{w\in U_h\\w\neq 0}} \dfrac{ | a(u,w)-\varphi(w) |}
                         {\sqrt{a(w,w)}}
$$
(Strang).   En effet ([Ciarlet], sect.~9),
$a(u-u_h,w)= a(u,w)-\varphi(w)$ pour tout $w\in U_h$ puisque $u_h$
est la solution du probl\`eme de Ritz-Galerkin dans $U_h$. Donc,
$$
  \sup_{\substack{w\in U_h\\w\neq 0}} \dfrac{ | a(u,w)-\varphi(w) |}
                         {\sqrt{a(w,w)}}
=
  \sup_{\substack{w\in U_h\\w\neq 0}} \dfrac{ | a(u-u_h,w)|}
                         {\sqrt{a(w,w)}}
$$
\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3.5)
  \psline(1,1)(3,1.5)  \uput[270](3,1.5){$v^*-u_h$}
  \psline(1,1)(3,3)(3,1.5) \uput[90](3,3){$u-u_h$}
  \uput[45](1.5,1){$\theta$}
\end{pspicture}
}
ce dernier supremum est atteint quand $w$ est align\'e sur la
projection $a-$orthogonale de $u-u_h$ dans $U_h$, et vaut
$\|u-u_h\|_a\; \cos\theta = \sqrt{ \|u-u_h\|_a^2 - \|u-v^*\|_a^2}$,
o\`u $\|.\|_a = \sqrt{a(.,.)}$.
\picskip{-5}

\begin{center} {\Large \bf

    \textsf{S\'eminaire GSNA}

\medskip

  Crime, concomitant et ch\^atiment.}


pour des op\'erateurs de type laplacien.

\bigskip
  Alphonse Magnus,    \\
  Institut de  Math\'ematique Pure et Appliqu\'ee,  \\
 Universit\'e Catholique de Louvain, \\
 Chemin du Cyclotron,2, \\
  B-1348 Louvain-la-Neuve \\
      (Belgium)\\% Research address for author one
       (0)(10)473157 ,
   \href{mailto:magnus@anma.ucl.ac.be}
                  {\tt magnus@anma.ucl.ac.be} ,
  \href{http://www.math.ucl.ac.be/\~magnus/ }
                 {\tt http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/ }
\end{center}
\bigskip


This version: April 2004  (incomplete and unfinished)

\medskip

\begin{flushright}
\textit{ l'organisation du crime en Am\'erique rapporte
 quarante billions de dollars. Revenu d'autant plus lucratif que
  la Mafia d\'epense tr\`es peu en frais de bureaux.   \\
     \hspace*{72pt} Woody Allen\\    }
\end{flushright}

Abstract:


\bigskip

Le \emph{\textbf{concomitant bilin\'eaire}} $B(u,v)$
d'une forme diff\'erentielle
$L$ est l'expression qui appara\^it dans les termes aux limites
provenant de la succession d'int\'egrations par parties joignant
$\displaystyle{  \int_D  vLu\;dx }$ \`a
$\displaystyle{  \int_D  uL^*v\;dx }$, par exemple
$$
   \int_a^b u''(x)v(x)\,dx = (B(u,v))(b)-(B(u,v))(a)
   -\int_a^b u(x)v''(x)\,dx,
$$
avec $B(u,v)=u'v-uv'$. Pour le laplacien:

$$
   \int_D v(x)\Delta u(x)\;dx =\int_{\partial D} (B(u,v))(x)\cdot\vec{n}\;dS
   -\int_D u(x)\Delta v(x)\;dx ,
$$
avec $B(u,v)=v\nabla u-u\nabla v$.

{\bf 1. M\'ethodes non criminelles.}


Il n'y a pas crime lorsque la traduction de le forme
bilin\'eaire $a(u,v)$ est distributionnellement correcte.

{\bf 1.1. Galerkin vrai.}

\parpic{
\psset{unit=1.0cm}\begin{pspicture}(2.8,3.2)
\psline[linewidth=0.07](0.0,1.50)(0.5,3.10)(1,1.9)(1.5,2.3)(2,2.2)(2.5,1.5)
\psline(0,1.50)(2.5,1.50)
% \pscircle*(1.2,1.2){0.1}
% \pscircle[linewidth=0.05](1,1.5){1}
\psline[linewidth=0.07](0.0,0)(1.0,0)(1.5,1.25)(2,0)(2.5,0)
\psline(0,0)(2.5,0)
\end{pspicture}
}
$u$ et $v$ sont dans le m\^eme espace, un espace de fonctions
de d\'eriv\'ees de carr\'e int\'egrable. On prend donc des fonctions
continues pour \'eviter des produits de $\delta$ de Dirac.   \\
Les produits d'int\'egrations par parties
 aux points
de jonction int\'erieurs
se r\'eduisent (si $u'$ est continue):  \\   \   \\
$\displaystyle{
   \int_{x_i}^{x_{i+1}} u''(x)v(x)\;dx =
   (u'v)(x_{i+1}) -(u'v)(x_i)
  -\int_{x_i}^{x_{i+1}} u'(x)v'(x)\;dx }$.

\smallskip

{\bf 1.2. Petrov.}

\parpic{
\psset{unit=1.0cm}\begin{pspicture}(2.8,3.2)
 \psline[linestyle=dashed, dash=1mm 1mm](0.5,1.50)(0.5,2.2)(1,2.2)(1,2.5)%
                               (1.5,2.5)(1.5,1.9)(2,1.9)(2,1.5)
\psline[linewidth=0.07](0.0,1.50)(0.5,1.50)
\psline[linewidth=0.07](0.5,2.2)(1,2.2)
\psline[linewidth=0.07](1,2.5)(1.5,2.5)
\psline[linewidth=0.07](1.5,1.9)(2,1.9)
\psline[linewidth=0.07](2,1.5)(2.5,1.50)
\psline(0,1.50)(2.5,1.50)
% \pscircle*(1.2,1.2){0.1}
% \pscircle[linewidth=0.05](1,1.5){1}
\psline[linewidth=0.07](0.0,0)(0.5,0)
\psplot[linewidth=0.07,plotstyle=curve]{0.5}{1}{ x 0.5 sub dup mul 2 mul}
\psplot[linewidth=0.07,plotstyle=curve]{1}{1.5}{ x 0.5 sub dup mul x 1 sub dup mul 3 mul sub 2 mul}
\psplot[linewidth=0.07,plotstyle=curve]{1.5}{2}{ x 2 sub dup mul 2 mul}
\psline[linewidth=0.07](2.0,0)(2.5,0)
\psline(0,0)(2.5,0)
\psdots[dotsize=0.09,dotstyle=o](0.5,0)(1,0.5)(1.5,0.5)(2,0)
\uput[270](0.8,0.0){$x_i$}
\uput[270](1.6,0.0){$x_{i+1}$}
\end{pspicture}
}
On peut tr\`es bien prendre $u$ discontinu, si cela est compens\'e
par $v$ tr\`es continu, mais on risque de casser
la sym\'etrie.

Par exemple, $u$ constant par morceaux, et $v$ spline quadratique
$\in\mathscr{C}^1$. L'int\'egrale de $u'v'$ est la somme des sauts
de $u$ multipli\'es par les valeurs bien d\'efinies de $v'$ aux
points de jonction: \\   \   \\
$\displaystyle{
   \int_a^b u'v'\;dx = \sum [u]_{x_i} v'(x_i)
 }$

Si les inconnues sont les $u_i=u(x_i)_+$, les \'equations sont
$$ [u]_i v'_i(x_i) +[u]_{i+1}v'i(x_{i+1}) =
 -u_{i-1} v'_i(x_i) +u_i (v'_i(x_i)-v'_i(x_{i+1}) )
                    +u_{i+1} v'_i(x_{i+1}) =
       \int_{x_{i-1}}^{x_{i+1}} f(x)v_i(x)\,dx.$$

\c Ca ressemble d\'ej\`a un peu \`a un concomitant

{\bf 1.3. Forme faible distributionnelle.}

Bien s\^ur! Si on accentue encore la disym\'etrie, en portant
toutes les d\'erivations des fonctions d'essai $u$ vers les
fonctions test $v$:

$\displaystyle{
   \int_{x_i}^{x_{i+1}} u''(x)v(x)\;dx =
   (u'v)(x_{i+1}) -(u'v)(x_i)
   -(uv')(x_{i+1}) +(uv')(x_i)
  +\int_{x_i}^{x_{i+1}} u(x)v''(x)\;dx }$.

D'o\`u une somme r\'esiduelle $\sum_i  [uv'-u'v]_i$.

{\bf 1.4 Un peu d'alg\`ebre: saut d'un produit.}

\begin{equation}\begin{split}   \label{ab}
  [ab]_i &= a_i^+  b_i^+   -  a_i^- b_i^-  \\
         &= (a_i^+ -a_i^-) b_i^+  +a_i^- ( b_i^+ -b_i^-) \\
      &= [a]_i \left( \{b\}_i +\dfrac{[b]_i}{2} \right)
        +[b]_i \left( \{a\}_i -\dfrac{[a]_i}{2} \right)  \\
      &= [a]_i  \{b\}_i + [b]_i  \{a\}_i .
\end{split}\end{equation}

{\bf 2. Crimes sans concomitant.}

La forme bilin\'eaire est somm\'ee sur les \'el\'ements. On ne fait
pas intervenir des valeurs de discontinuit\'es aux fronti\`eres
int\'erieures, mais les contraintes doivent \^etre telles que la
matrice de rigidit\'e soit non singuli\`ere (Ciarlet, Strang, ann\'ees
70). C'est toujours du
Galerkin, on garde la sym\'etrie.

cf. Thom\'ee [Th], pp.26-27:

{\small

``
In some situations one may want to use finite element spaces $S_h$
 defined by piecewise polynomial
approximating functions on a partition $\mathscr{T}_h$
 of $\Omega$ which are not
 continuous across interelement
boundaries, so called nonconforming elements.
 Assuming $\Omega$ polygonal
 so that it is exactly a union
of elements $\tau$, one may introduce a discrete bilinear form by
 $D_h(\psi,\chi)=\sum_{\tau\in\mathscr{T}_h}(\nabla\psi,\nabla\chi)_\tau$.
  Provided
$S_h$ is such that $\|\chi\|_{1,h}= D_h(\chi,\chi)^{1/2}$
 is a norm on $S_h$, a unique
 nonconforming finite element solution
$u_h$ of $-\Delta u=f$ in $\Omega$ with $u=0$ on
 $\partial\Omega$ is now defined by $D_h(u_h,\chi) = (f,\chi)$
  for $\chi\in  S_h$,
 and it was shown in Strang (1972) that
$$ \|u_h - u\|_{1,h} \leqslant C \inf_{\chi\in S_h} \|u - \chi\|_{1,h}
 + C \sup_{\chi\in S_h}\dfrac{|D_h(u,\chi) - (f,\chi)|}
                              {\|\chi\|_{1,h}}, %
  \qquad\qquad (5.12)  $$
As an example, consider an axes parallel rectangular domain,
 partitioned into smaller such rectangles
with longest edge $\leqslant h$, and let $S_h$ be piecewise
 quadratics which are
 continuous at the corners of
the partition. Then $\|.\|_{1,h}$ is a norm on $S_h$.
 In Wilson's rectangle,
 the six parameters involved
on each small rectangle are determined by the values at the corners
 plus the (constant) values
of $\partial^2\chi/\partial x_l^2$, $l=1,2$.
 The functions in $S_h$ are not in $C(\overline{\Omega})$ but
 using (5.12) one may still show
$\|u_h - u\|_{1,h}\leqslant C(u)h$.

The analysis above assumes that all inner products are calculated
 exactly. An analysis where
quadrature errors are permitted was also worked out by Strang (1972).
 For instance, if $(f,\chi)$ is
replaced by a quadrature formula $(f,\chi)_h$, a term of the form
 $C \sup_{\chi\in S_h} |(f,\chi) - (f,\chi)_h|/\|\nabla\chi\|$ has
to be added to the bound for $\|\nabla(u_h - u)\|$. For example, if the
 quadrature formula is exact on
each element for constants and if $f\in  W_q^1(\Omega)$
 with $q>2$, then the $O(h)$ error for $\|\nabla(u_h - u)\|$ is
maintained. The situations when curved boundaries, nonconforming
 elements, or quadrature errors occur, so that the basic assumptions of
 the variational formulation are not satisfied, are referred to
in Strang (1972), as variational crimes.
}
''  fin de citation.

\medskip

Et Braess [Bra] chap.~3 dit bien que l'analyse des
m\'ethodes non conformes conduit aussi aux m\'ethodes de
diff\'erences et de volume fini!

\medskip


{\bf 2.1. Un crime \`a une dimension.}

M\'ethodes initialement pr\'evues pour des probl\`emes d'ordre
\'elev\'e, par exemple plaque avec triangles de Morley (degr\'e 2,
valeurs aux sommets et d\'eriv\'ees normales aux milieux des
c\^ot\'es [Bre] \S~8.x.
\parpic{
\psset{unit=1.0cm}\begin{pspicture}(5.8,1.3)
% \psline[linestyle=dashed, dash=1mm 1mm](0.5,1.50)(0.5,2.2)(1,2.2)(1,2.5)%
%                               (1.5,2.5)(1.5,1.9)(2,1.9)(2,1.5)
\psline(0.0,0.50)(5.75,0.50)   \uput[90](5.7,0.5){$x$}
\psline(0.0,1.25)(5.5,1.25)
\psline(0.3,0.50)(0.3,1.25)
\psline(2.3,0.50)(2.3,1.25)
\psline(4.3,0.50)(4.3,1.25)
\psline(0.3,0.50)(2.3,1.25)
\psline(2.3,0.50)(4.3,1.25)
\uput[0](1.0,0.75){$u(x)$}
\uput[0](0.3,1.0){$\tilde{u}(x)$}
\psline(2.1,0.875)(2.5,0.875)
\psline(4.1,0.875)(4.5,0.875)
\psline(3.3,0.35)(3.3,0.65)
\psline(3.3,1.10)(3.3,1.40)
\psline(3.3,0.875)(3.375,0.675)
\psline(3.3,0.875)(3.225,1.075)
\end{pspicture}
}
 R\'eduction \`a une dimension: on prend un long rectangle avec
 conditions naturelles sur les longs c\^ot\'es, donc $\partial u/\partial y=0
\Rightarrow u$ ne d\'epend plus que de $x$, ce qui est le but de
la man\oe uvre (Atkinson [Atki] \S~8.3).

 On se
rapproche effectivement d'une m\'ethode aux diff\'erences:

 Sur le m\^eme intervalle $(x_{i-1},x_i)$, on consid\`ere les deux
 fonctions du second degr\'e

$ u(x) = u_{i-1} (x_i-x)/h_{i-1} +u_i (x-x_{i-1})/h_{i-1}
     +\alpha_i (x-x_{i-1})(x-x_i)$,

$ \tilde{u}(x) = u_{i-1} (x_i-x)/h_{i-1} +u_i (x-x_{i-1})/h_{i-1}
     +\beta_i (x-x_{i-1})(x-x_i) $.

La continuit\'e de la d\'eriv\'ee demande que la valeur de $u'(x_i)$
co\"incide avec celle de $\tilde{u}'$ provenant de l'intervalle
$(x_i,x_{i+1})$:
$$ \dfrac{u_i-u_{i-1} }{h_{i-1}} +\alpha_i h_{i-1} =
   \dfrac{u_{i+1}-u_i }{h_i} -\beta_{i+1} h_i .
$$
On voit poindre la diff\'erence (divis\'ee) seconde
$\displaystyle{
  [x_{i-1},x_i,x_{i+1}]_u :=
   2\dfrac{
        \dfrac{u_{i+1}-u_i }{h_i} -  \dfrac{u_i-u_{i-1} }{h_{i-1}}
          }{h_{i-1}+h_i }  }$
de $u$!

Pour r\'esoudre le probl\`eme de poutre $u''''=f$,
 on minimise \\  \hspace*{-15pt}$\displaystyle{ \sum_i \int_{x_{i-1}}^{x_i}
  \dfrac{(u''(x))^2+(\tilde{u}''(x))^2}{2}
  -[u(x)+\tilde{u}(x)]f(x)\;dx
  }$, soit
 $\displaystyle{
   \sum_i \left[ 2(\alpha_i^2+\beta_i^2)h_{i-1} -(u_{i-1}+u_i)f_{i+1/2}
     h_{i-1}\right] }$.

{\Small
Minimiser $\alpha_i^2 h_{i-1} +\beta_{i+1}^2 h_i$ sachant que
 $\alpha_i h_{i-1} +\beta_{i+1} h_i=s \Rightarrow
  \alpha_i=\beta_{i+1} = [x_{i-1},x_i,x_{i+1}]/2$.
}

Enfin, $\displaystyle{  \dfrac{\partial}{\partial u_i} \left[ %
 \sum_i  \dfrac{1}{2} (h_{i-1}+h_i)[x_{i-1},x_i,x_{i+1}]^2 %
  -u_i (f_{i+1/2}h_{i-1} +f_{i+3/2}h_i) \right] =  }$

$$
  [x_{i-2},x_{i-1},x_i] \dfrac{1}{h_{i-1} }
  -[x_{i-1},x_i,x_{i+1}] \left(\dfrac{1}{h_{i-1} }+\dfrac{1}{h_i}\right)
  [x_i,x_{i+1},x_{i+2}] \dfrac{1}{h_i }
  - f_{i+1/2}h_{i-1} -f_{i+3/2}h_i   = 0
$$
pratiquement un traitement de diff\'erences.


{\bf 3. Convergence par consistance et stabilit\'e.}

A partir du moment o\`u on s'\'ecarte de la logique \'el\'ements
finis, on se rapproche d'une analyse de m\'ethode aux
diff\'erences: l'op\'erateur $L$ \'etant approch\'e par $L_h$, on
appr\'ecie l'\'ecart entre la solution $u_h$ du probl\`eme
num\'erique $L_h u_h=f$ et la solution th\'eorique de $Lu=f$ par

\begin{equation}\begin{split} \label{consist}
  \|u_h -u\| &= \|L_h^{-1}f -u\|  \\
       &= \|L_h^{-1} [f-L_h u] \|  \\
     &\leqslant
  \underbrace{\|L_h^{-1}\|}_{\substack{\text{stabilit\'e}\\
                                       \text{num\'erique} }}
  \underbrace{\|(L-L_h)u\|}_{\text{consistance} }
\end{split}\end{equation}

{\bf 4. L'article de S\"uli {\it et al.}.}

{\bf 4.1. Le sch\'ema.}


Pour le probl\`eme  $-u''=f$:

on admet pour $u$ et $v$ des polyn\^omes par morceaux sans aucune
contrainte, mais une esp\`ece de concomitant est introduit:

$$ \int_a^b f(x)v(x)\,dx = \sum_i \int_{x_{i-1}}^{x_i} u'v'\;dx +
     [v]_i \{u'\}_i -[u]_i \{v'\}_i  $$
\`a quoi il est prudent d'ajouter un terme de p\'enalit\'e-r\'egularisation
 $\sigma [u][v]$.

Allons bon. Na\"\i vement, on prendrait:

$$ -\int_{x_i}^{x_{i+1}} u"v =
 \int_{x_i}^{x_{i+1}} u'v' -(u'v)(x_{i+1}) +(u'v)(x_i),
$$
soit une somme $\sum_i [u'v]_i$, qui se d\'eveloppe, selon  \eqref{ab},
en $[u']_i \{v\}_i + [v]_i \{u'\}_i$. Si $u$ est une solution
$\mathscr{C}^1$, il n'y a pas de saut de $u'$, reste donc
$ [v]_i \{u'\}_i$.

Pourquoi retirer $[u]_i \{v'\}_i$? Si $u'$ est continue, $u$ l'est
encore plus, si j'ose dire, il n'y a donc pas de saut de $u$ non
plus, c'est dingue!

{\bf 4.2. Tentative d'explication.}

Ce que nous venons de discuter est ce qui se passe quand on
introduit la solution th\'eorique dans le sch\'ema num\'erique:
c'est une discussion de \emph{\textbf{consistance}}
$L_h u-f = (L_h-L)u$. Nous avons vu
que la suppression du terme $[u']_i \{v\}_i$ ne d\'etruit pas
la qualit\'e de l'erreur de consistance. Il en est de m\^eme
pour l'introduction de $-[u]_i \{v'\}_i$. Donc, op\'eration
blanche. Mais alors, o\`u est l'int\'er\^et?

\medskip

Des termes aux fronti\`eres int\'erieures de type
concomitant \emph{\textbf{s'annulent}} quand $u=v$. Donc, la
forme quadratique $(v,L_hv)$ se confond avec $(v,Av)$, o\`u $A$
est la matrice de rigidit\'e ordinaire d'un probl\`eme de
Galerkin, matrice sym\'etrique et d\'efinie positive, donc, en
adaptant la propri\'et\'e de \emph{\textbf{coercivit\'e}} d'un
probl\`eme bien pos\'e de type laplacien:

$$ c \|v\|^2 \leqslant (v,L_h v), $$


{\bf References.}


{Atki} K.~Atkinson, W.~Han, \textsl{Theoretical Numerical Analysis,
A Functional Analysis Framework},  Springer-Verlag, 2001.
   Lectures in Mathematics - ETH Z\"urich

{Bra}
D.~Braess,
\textsl{Finite Elements. Theory, Fast Solvers
     and Applications in Solid Mechanics} , $2^{\text{nd}}$ edition,
         Cambridge University Press 2001.


{Bre}
Brenner, Susanne C.,  Scott, L. Ridgeway,
\textsl{The  Mathematical Theory of Finite Element Methods
(Texts in Applied  Mathematics}, Vol \textbf{15}), 2nd Ed
385 pages, Springer-Verlag  New York Inc., Jul. 2002.


{Nica} S.~Nicaise,  \textsl{
  Analyse num\'erique et \'equations aux d\'eriv\'ees
    partielles.      Cours et probl\`emes r\'esolus},
   Dunod,  Paris, 2000.

{Po}
   K.~Polthier,
Unstable Periodic Discrete Minimal Surfaces,
   {\it in}: {\sl Nonlinear Partial Differential Equations},
    S. Hildebrandt and H.
   Karcher (Eds.) Springer Verlag (2002), pp. 127-143.    \\
 \href{http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/~konrad/articles/alignment/alignmentFinal.pdf}
 {\tt http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/\~{}konrad/articles/alignment/alignmentFinal.pdf}

 \href{http://www.zib.de/polthier/articles/alignment/alignmentFinal.pdf}
  {\tt http://www.zib.de/polthier/articles/alignment/alignmentFinal.pdf}

{Suli}
   S\"uli, Endre; Schwab, Christoph; Houston, Paul:
   $hp$-DGFEM for partial differential equations with nonnegative
   characteristic form. {\it in}
    Cockburn, Bernardo (ed.) et al., {\sl Discontinuous Galerkin methods.
   Theory, computation and applications. 1st international symposium on
   DGM, Newport, RI, USA, May 24-26, 1999}. Berlin: Springer. Lect. Notes
   Comput. Sci. Eng. {\bf 11}, 221-230 (2000).
  preprint in
   \href{http://caeconsulting.be/gsna/protected/NA-99-02.ps.gz}
   {\tt http://caeconsulting.be/gsna/protected/NA-99-02.ps.gz}

{Th}
V.~Thom\'ee, From finite differences to finite elements. A short
   history of numerical analysis of partial differential equations,
  \textsl{J. Comp. Appl. Math.} \textbf{128} (2001) 1-54.


\bigskip

\section{Estimation {\it a posteriori}; m\'ethodes adaptatives.}




cf. C.~Bernardi, {\sl L'analyse a posteriori et ses applications}, \\
 \href{http://smai.emath.fr/cemracs/cemracs05/PDF/Bernardi.pdf}{\texttt{http://smai.emath.fr/cemracs/cemracs05/PDF/Bernardi.pdf}}


Soit le probl\`eme de Poisson  $-\Delta u=f$ et $u_h$ la solution
du probl\`eme de Galerkin $a(u_h,v_h)=\displaystyle \int_\Omega f v_h dx,
\forall v_h\in U_h$.

Par coercivit\'e de $a$,

$$
\sup_{v\in U} \dfrac{a(u-u_h,v)}{\|v\|} \geqslant
             \dfrac{a(u-u_h,u-u_h)}{\|u-u_h\|} \geqslant c \|u-u_h\|,
$$
il faut donc trouver une borne sup\'erieure de $a(u-u_h,v)/\|v\|$, connaissant
$u_h$.

Rappelons que $a(u-u_h,v_h)=0$ pour tout $v_h\in U_h$, donc

\begin{equation*} \begin{split}
a(u-u_h,v)&=a(u-u_h,v-v_h) \\
       &= \int_\Omega \textbf{grad} u\boldsymbol{\cdot\textbf{grad}} (v-v_h) dx
          -\int_\Omega \textbf{grad} u_h\boldsymbol{\cdot\textbf{grad}} (v-v_h) dx \\
       &= \int_\Omega f (v-v_h) dx
        - \int_\Omega \textbf{grad} u_h\boldsymbol{\cdot\textbf{grad}} (v-v_h) dx \\
  &= \sum_k\int_{\overset{\circ}{e_k}} (f+\Delta u_h) (v-v_h)dx -\sum_k 
        \int_{\partial e_k} \dfrac{\partial u_h}{\partial n_{\text{ext}} } (v-v_h)dS \\
  &= \sum_k\int_{\overset{\circ}{e_k}} (f+\Delta u_h) (v-v_h)dx -\sum_{k'} 
        \int_{\sigma_{k'}} \left[\dfrac{\partial u_h}{\partial n_+ } -\dfrac{\partial u_h}{\partial n_- }\right]  (v-v_h)dS,
\end{split}\end{equation*}
o\`u on a r\'earrang\'e les contributions aux fronti\`eres des
diff\'erents \'el\'ements $e_k$ en une somme sur les interfaces
$\sigma_{k'}$.

Ensuite on montre que, \`a tout $v\in H_0^1(\Omega)$, on
peut faire correspondre une meilleure approximation $v_h \in U_h$
au sens des moindres carr\'es, et
$$
\|v-v_h\|_{L^2(e_k)} \leqslant \ \text{const.}\ h_k \|v\|_{H^1(e_k)},
\|v-v_h\|_{L^2(\sigma_{k'})} \leqslant \ \text{const.}\ h_{k'}^{1/2}\sum_k \|v\|_{H^1(e_k)},
$$
o\`u la derni\`ere somme est limit\'ee aux \'el\'ements $e_k$ dont la
fronti\`ere contient $\sigma_{k'}$ (th\'eorie de l'op\'erateur de Cl\'ement). Il reste donc
$$
\|u-u_h\|_{H^1}\leqslant \text{const.} \sup_v \dfrac{a(u-u_h,v}{\|v\|_{H^1} }
\leqslant \text{const.} \left\{\sum_k \left[h_k \|f+\Delta u_h\|_{L^2(e_k)}
   +h_{k'}^{1/2} \left[\dfrac{\partial u_h}{\partial n_+ } -\dfrac{\partial u_h}{\partial n_- }\right]  \right]^2\right\}^{1/2}.
$$
Connaissant $u_h$, on peut calculer la somme ci-dessus, mais les
constantes ne sont pas \'evidentes.

On peut cependant veiller \`a uniformiser les contributions de chaque
terme en jouant localement sur chaque $h_k$: m\'ethode adaptative.


\newpage

\chapter{
 M\'ethodes num\'eriques d'obtention de l'approximation de Ritz.}
\renewcommand{\mylmark}{M\'ethodes num\'eriques.}
\thispagestyle{fancy}

(cf. Strang, chap.~5)

\section{\'Elaboration et r\'esolution des \'equations. Conditionnement.}

$a(u_h,v_h)=\varphi(v_h), \forall v_h\in U_h$ devient $A_h x=b$, avec
$a_{i,j}=a(u_i,u_j)$, l'inconnue $x_j=$ coefficient de $u_h$ dans la base
de Lagrange $\{u_i\}$, $b_i=\varphi(u_i)$.

Si $a$ est bilin\'eaire sym\'etrique coercive, $A_h$ est sym\'etrique
d\'efinie positive. De plus, dans les probl\`emes d'\'el\'ements finis,
$A_h$ est creuse (et bande, mais de largeur de bande $d$ assez importante).

R\'esolution: factorisation de Cholesky (1875-1918) $A_h = L_h L_h^T$.\\
Si $j<i$, tous les $\ell_{j,k}$ connus, $k=1,\dots, j$, et $\ell_{i,1}$,\dots
$\ell_{i,j-1}$ connus $\Rightarrow a_{i,j}=
 {\displaystyle{\sum_{k=1}^j}} \ell_{i,k}\ell_{j,k}$ donne $\ell_{i,j}$;\\
si $j=i$: $\ell_{i,i}=\left[ a_{i,i}-{\displaystyle{\sum_{k=1}^{i-1} }}
 \ell_{i,k}^2\right]^{1/2}$.

Matrice bande: si $a_{i,j}=0$ quand $j<i-d$, $\ell_{i,j}=0$ quand
  $j<i-d$.  \\
Donc, nombre d'op\'erations pour une matrice bande d'ordre $N$ de largeur de
bande $d$ $\approx $ const. $Nd^2$.  \\
Probl\`eme de Laplacien \`a 2 dimensions avec $h\approx 0.01$:
$N\approx 10^4$, $d\approx 100 \Rightarrow \approx 10^8$ op\'erations.


\smallskip

$A_h=$ matrice de rigidit\'e; $M_h (m_{i,j}=(u_i,u_j)_0) =$ matrice de masse.\\
Soit $\mu_h$ la plus petite valeur propre (n\'ecessairement $>0$) de $M_h$.

Si $a$ est bilin\'eaire sym\'etrique coercive de constante de coercivit\'e
$c>0$, $A_h$ est sym\'etrique d\'efinie positive de plus petite valeur
propre $\lambda_{min} \geqslant c\mu_h$:\\
$x^T A_h x = a(u_h,u_h) \geqslant c \|u_h\|_m^2 \geqslant c\| u_h\|_0^2 =
c (u_h,u_h)_0 = c x^T M_h x \geqslant c\mu_h x^T x.$

\medskip


\emph{\textbf{Conditionnement d'un op\'erateur}}: mesure relative de la sensibilit\'e
de la solution d'un probl\`eme de r\'esolution \`a des perturbations sur les
donn\'ees:
$$ \kappa(A_h)= \max_{\substack{A_h x=b\\A_h(x+\delta x)=b+\delta b}}
  \frac{ \|\delta x\|/\|x\| }{\|\delta b\|/\|b\|} = \|A_h\|\; \|A_h^{-1}\|.$$
Avec la norme euclidienne des vecteurs, $\kappa(A_h)=\lambda_{\max}(A_h)/
 \lambda_{\min}(A_h)$.

Pour un probl\`eme aux limites d'ordre $2m$ (formulation variationnelle
semi-faible faisant intervenir des d\'eriv\'ees d'ordre $\leqslant m$), on
peut montrer (Strang, p.209) que
$$ \kappa(A_h) \leqslant \text{ constante } h_{\min}^{-2m}.$$
On verra quelques illustrations.

\medskip        \index{conditionnement}


Importance du conditionnement en m\'ethodes it\'eratives: une m\'ethode
utilisant une multiplication par $A_h$ \`a chaque pas aboutit n\'ecessairement
\`a une $n^{\textrm{\`eme}}$ approximation de la forme $x= R_n(A_h) x_0 +
 Q_n(A_h)b$, avec $b=A_h x_0\Rightarrow x=x_0: R_n(A_h)=I-A_hQ_n(A_h):
 R_n(0)=1$. La norme de l'erreur d\'epend de $\|R_n(A_h)\| = \max_j |R_n(\lambda_j)|$.
 Elle est d'autant plus grande que $\kappa(A_h)$ est grand.\\

\smallskip

Exemple: m\'ethode des gradients conjugu\'es, on minimise au
$(n+1)^{\textrm{\`eme}}$ pas $J_h(x_{n+1}) = \dfrac{1}{2}
  x_{n+1}^T a_h x_{n+1} -x_{n+1}^T b$ sur
    $$ x_{n+1} = x_n +p_n (x_n-x_{n-1}) +q_n (b-A_h x_n), $$
($x_{-1}=0, p_0=0$). On montre que $\|R_n(A_h)\| \leqslant $
 const. $\displaystyle{ \left( 1-\dfrac{1}{\sqrt{\kappa(A_h)}} \right)^n}$.

Probl\`eme de Laplacien \`a 2 dimensions avec $h\approx 0.01$:
$N\approx 10^4$, $\approx 10^4$  op\'erations par it\'eration,
$\kappa \approx 10^4$, il faut $\approx $ 100 pas pour gagner une d\'ecimale
$\Rightarrow $ moins de $10^7$ op\'erations pour avoir 3 ou 4
d\'ecimales correctes.

\smallskip

Pr\'econditionnement: si on sait r\'esoudre efficacement $B_h C_h y=c$,
$\forall c$, on examine $(B_h^{-1} A_h C_h^{-1}) (C_h x)=B_h^{-1}b$, avec
$\kappa(B_h^{-1}A_h C_h^{-1})$ raisonnablement petit.


\smallskip

L'importance du conditionnement appara\^\i t d\`es qu'il s'agit
d'estimer la qualit\'e d'une solution approch\'ee d'un probl\`eme:

Au $k^{\text{\`eme}}$ pas de l'it\'eration,
on dispose d'une estimation $x^{(k)}$ de la solution de $Ax=b$. Le
degr\'e de validit\'e de $x^{(k)}$
 ne peut s'\'evaluer que par l'examen du r\'esidu
           $ Ax^{(k)}-b $:
 $$  x-x^{(k)} =A^{-1}( b-Ax^{(k)}).$$
On ne peut donc comparer l'amplitude (inconnue) de l'erreur \`a celle
du r\'esidu que via la norme de $A^{-1}$:
 $$  \|x-x^{(k)}\| \leqslant \|A^{-1}\|\;\| b-Ax^{(k)}\|.$$
Bien entendu, on a aussi
 $  \| b-Ax^{(k)}\| =\|A(x-x^{(k)}\|  \leqslant \|A\|\;\| x-x^{(k)}\|$.

Au fil des it\'erations, on a donc
$$
  \frac{\|x-x^{(k)}\|}{\|x-x^{(0)}\|} \leqslant
   \|A^{-1}\|\;\|A\|\;
  \frac{\|b-Ax^{(k)}\|}{\|b-Ax^{(0)}\|} .
$$


\smallskip

\medskip \begin{center} \rule{10cm}{0.2mm}  \end{center} \medskip

\smallskip

\textbf{Th\'eor\`eme de Hadamard et disques de Gershgorin.}
        \index{Hadamard} \index{Gershgorin}
\textbf{Th\'eor\`eme (Hadamard).} \textsl{Une matrice carr\'ee $A$
v\'erifiant $|a_{i,i}| >
 \displaystyle{ \sum_{j\neq i} |a_{i,j}| }$, $i=1,2,\dotsc,n$
(\emph{\textbf{matrice fortement dominante [par lignes]}})
est non singuli\`ere.
   } En effet, si $A$ \'etait singuli\`ere, il existerait un vecteur $v\neq 0$ tel que
 $Av=0$. Soit $v_m$ une des composantes de plus grande valeur absolue de $v$:
 $|v_m| \geqslant |v_i|, i=1,\dotsc,n$. La $m^{\text{\`eme}}$ \'equation
 $a_{m,m} v_m = -\displaystyle{\sum_{\substack{j=1 \\ j\neq m}}^n a_{m,j} v_j}$ de $Av=0$ est alors
 impossible puisque
  $\displaystyle{\left|\sum_{j\neq m} a_{m,j} v_j\right| \leqslant
 |v_m|\sum_{j\neq m} |a_{m,j}| < |v_m a_{m,m}| }$. \qed

\begin{minipage}[t]{8cm}
\ \\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.5)
 \psline{->}(2,2)(3,3)\uput[0](2.5,2.5){$R_1$}\uput[270](2,2){$a_{1,1}$}
 \psarc[linewidth=0.2mm](2,2){1.41}{-112}{205}
 \psline{->}(0.5,0.4)(1.5,0.4)\uput[180](0.5,0.4){$a_{2,2}$}\uput[270](1,0.4){$R_2$}
 \psarc[linewidth=0.2mm](0.5,0.4){1.0}{78}{377}
 \psline{->}(5.5,0.4)(6.5,0.8)\uput[270](5.5,0.4){$a_{3,3}$}\uput[0](5.5,0.8){$R_3$}
 \pscircle[linewidth=0.2mm](5.5,0.4){1.0}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{8cm}
\ \\
\textbf{Th\'eor\`eme (Gershgorin).} \textsl{Les valeurs propres
d'une matrice carr\'ee $A$ sont toutes situ\'ees dans la r\'eunion
des disques ferm\'es de centres $a_{i,i}$ et de rayons
$R_i=\displaystyle{ \sum_{j\neq i} |a_{i,j}| }$.  }

En effet, $\lambda I-A$ est non singuli\`ere si $\lambda$ est hors de chaque
disque: $|\lambda -a_{i,i}| > R_i $, $\forall i  \Rightarrow \det(\lambda I-A) \neq 0
\Rightarrow $ $\lambda$ n'est pas valeur propre.
\end{minipage}


cf.
R.S. Varga,
\textsl{Gershgorin and His Circles},
 Springer Series in Computational Mathematics, Band {\bf 36},
2004.


\smallskip

\medskip \begin{center} \rule{10cm}{0.2mm}  \end{center} \medskip

\smallskip


Exemples d'estimation de nombre de condition de la matrice de rigidit\'e:

\begin{enumerate}
  \item Probl\`eme unidimensionnel $a(u,v) := \displaystyle{\int_0^L
    u'(x)v'(x)\,dx}$ avec $u$ et $v$ nuls en $0$ et $L$.

   $U_h= $ fonctions continues lin\'eaires par morceaux sur les
    intervalles de longueur $h=L/N$. L'\'el\'ement $b_i$ de la base de
    Lagrange n'est non nul que sur un support form\'e de deux
   intervalles:  \setlength{\unitlength}{1cm}  \begin{picture}(2,1.2)(0,-0.15)
      \put(0,0){\vector(1,0){2}}  \put(1,0){\line(0,1){1}}
      \put(0.8,-0.3){$ih$}
      \thicklines
      \put(0.2,0){\line(1,0){0.3}}
      \put(0.5,0){\line(1,2){0.5}}    \put(1.1,0.8){$1$}
      \put(1,1){\line(1,-2){0.5}}
      \put(1.5,0){\line(1,0){0.3}}  \end{picture}\ . On voit que seuls
  les trois \'el\'ements $a(b_i, b_{i-1})$, $a(b_i,b_i)$ et $a(b_i,b_{i+1})$
  sont non nuls sur la $i^{\text{\`eme}}$ ligne de $A$.  Les valeurs
 sont $-1/h$, $2/h$ et $-1/h$ (les d\'eriv\'ees sont $\pm 1/h$, \`a
  multiplier et int\'egrer sur un ou deux intervalles de longueur $h$).

 Gershgorin: $\lambda_{\max}(A) \leqslant 4/h$, mais on ne peut rien
  conclure sur $\lambda_{\min}$.     \index{Gershgorin}
                     \index{masse, matrice de}
  Passage par la matrice de masse $M$: les int\'egrales $\int b_i b_j$ sont
  maintenant  $h/6$, $2h/3$ et $h/6$, d'o\`u $\lambda_{\min}(M) \geqslant
   2h/3 -2 h/6 = h/3$ et
  $$ \kappa(A) = \frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)} \leqslant
    \frac{4/h}{c h/3} = O(h^{-2}).$$

  \item Probl\`eme bidimensionnel  $a(u,v) =\displaystyle{
    \int_\Omega \textbf{grad\,} u\boldsymbol{\cdot} \textbf{grad\,} v\;
  dxdy }$ sur un carr\'e. $U_h=$ espace de Courant sur les triangles
   \setlength{\unitlength}{1cm}  \begin{picture}(2,2)(0,0.3)
 \put(0,0.2){\line(1,0){2}}\put(0,1){\line(1,0){2}}\put(0,1.8){\line(1,0){2}}
 \put(0.2,0){\line(0,1){2}}\put(1,0){\line(0,1){2}}\put(1.8,0){\line(0,1){2}}
 \put(0,1.2){\line(1,-1){1.2}}\put(0,2){\line(1,-1){2.2}}\put(0.8,2){\line(1,-1){1.4}}
      \put(1.5,-0.1){\vector(-1,0){0.5}}
      \put(1.5,-0.1){\vector(1,0){0.4}}
      \put(1.4,-0.3){$h$}
        \end{picture}\ \dots Le support d'une fonction $b_i$ de la base de
   Lagrange est un hexagone
   \setlength{\unitlength}{1cm}  \begin{picture}(2,2.3)(0,0.0)
     \dashline{0.2}(0,1)(2,1) \dashline{0.2}(1,0)(1,2) \dashline{0.2}(0,2)(2,0)
     \thicklines\drawline(0,2)(1,2)(2,1)(2,0)(1,0)(0,1)(0,2)
        \end{picture}, o\`u le gradient vaut $(\pm 1/h,0)$,
      $(0,\pm 1/h)$ ou $(\pm 1/h, \pm 1/h)$.
   Les seules int\'egrales $\displaystyle{  a(b_i,b_j) =
    \int_\Omega \textbf{grad\,} b_i\boldsymbol{\cdot} \textbf{grad\,} b_j
   }$ susceptibles d'\^etre non nulles correspondent aux 6 fonctions
  $b_j$ de support centr\'e en un sommet de l'hexagone de $b_i$. On
   obtient une int\'egrale $2(-1/h^2)$ fois l'aire d'un petit triangle
 $ =-1$ dans les 4 cas o\`u  l'intersection est un quadrilat\`ere non carr\'e;
  une int\'egrale nulle dans les deux cas o\`u l'intersection est un
   carr\'e (les gradients sont orthogonaux). Enfin, $a(b_i,b_i)=
  (4\times 1/h^2 +2\times 2/h^2)h^2/2 =4$.

  \smallskip

  On a encore une fois $|$\'el\'ement diagonal$| =$ somme des valeurs
  absolues des \'el\'ements non diagonaux. C'est normal: si $a(u,v)=0$
  sur les constantes, somme des \'el\'ements d'une ligne
  $\displaystyle{ = a\left(b_i, \sum_{j=1}^N b_j\right) = a(b_i,1)
  =0}$.

  \smallskip

 Pour estimer la plus petite valeur propre de $A$, on repasse par la
  matrice de masse $M$. On trouve $m_{i,i} = h^2/2$ et les 6
  \'el\'ements non diagonaux non nuls tous \'egaux \`a  $h^2/12$.
  A\"\i e. La diff\'erence de Gershgorin ne suffit plus \`a estimer
  la plus petite valeur propre non plus. Par la th\'eorie des matrices de
  Toeplitz [Strang], on peut cependant \'etablir   \index{Gershgorin}
  $ \displaystyle{\lambda_{\min}(M) \geqslant \min_{\theta_1,\theta_2}
  h^2/2 +(h^2/12)(e^{i\theta_1} +e^{i\theta_2} +e^{-i\theta_1+i\theta_2}
    +e^{-i\theta_1} +e^{-i\theta_2} +e^{i\theta_1-i\theta_2})
  =h^2/4}$, d'o\`u
  $$ \kappa(A) = \frac{\lambda_{\max}(A)}{\lambda_{\min}(A)} \leqslant
    \frac{8}{c h^2/4} = O(h^{-2}).$$

\end{enumerate}


\section{Un exemple de traitement en \textsf{matlab}.}

On consid\`ere le probl\`eme de Poisson $-\Delta u =1$ sur un
secteur d'angle $3\pi/2$ avec $u=0$ sur le bord.

On utilise la toolbox ``\texttt{pde}\footnote{Cf.
\href{http://www.comsol.se/Matlab/pde\_tb.html}
{\texttt{http://www.comsol.se/Matlab/pde\_tb.html}}, \\
voir aussi
 \href{http://www.indiana.edu/~statmath/math/matlab/pde.html}
 {\texttt{http://www.indiana.edu/{}\~{}statmath/math/matlab/pde.html}}}''
de \texttt{matlab}:

{\Small     \linespread{0.8}
\begin{verbatim}

% Partial Differential Equation Toolbox.
% Version 1.0.1   15-Nov-1996
%
% New Features.
%   Readme      - Important release information about the PDE Toolbox
%                 (double click on Readme, or type "whatsnew directoryname",
%                  i.e. "whatsnew pde" to display this file).
%
% PDE algorithms.
%   adaptmesh   - Adaptive mesh generation and PDE solution.
%   assema      - Assemble area integral contributions.
%   assemb      - Assemble boundary condition contributions.
%   assempde    - Assemble a PDE problem.
%   hyperbolic  - Solve hyperbolic problem.
%   parabolic   - Solve parabolic problem.
%   pdeeig      - Solve eigenvalue PDE problem.
%   pdenonlin   - Solve nonlinear PDE problem.
%   poisolv     - Fast solution of Poisson's equation on a rectangular grid.
%
% User interface algorithms and utilities.
%   pdecirc     - Draw circle.
%   pdeellip    - Draw ellipse.
%   pdemdlcv    - Convert Matlab 4.2c Model M-files for use with Matlab 5.
%   pdepoly     - Draw polygon.
%   pderect     - Draw rectangle.
%   pdetool     - PDE Toolbox graphical user interface (GUI).
%
% Geometry algorithms.
%   csgchk      - Check validity of Geometry Description matrix.
%   csgdel      - Delete borders between minimal regions.
%   decsg       - Decompose Constructive Solid Geometry into minimal regions.
%   initmesh    - Build an initial triangular mesh.
%   jigglemesh  - Jiggle internal points of a triangular mesh.
%   pdearcl     - Interpolation between parametric representation and arc length.
%   poimesh     - Make regular mesh on a rectangular geometry.
%   refinemesh  - Refines a triangular mesh.
%   wbound      - Write boundary condition specification data file.
%   wgeom       - Write geometry specification data file.
%
% Plot functions.
%   pdecont     - Shorthand command for contour plot.
%   pdegplot    - Plot a PDE geometry.
%   pdemesh     - Plot a PDE triangular mesh.
%   pdeplot     - Generic PDE Toolbox plot function.
%   pdesurf     - Shorthand command for surface plot.
%
% Utility algorithms.
%   dst         - Discrete sine transform.
%   idst        - Inverse discrete sine transform.
%   pdeadgsc    - Pick bad triangles using a relative tolerance criterion.
%   pdeadworst  - Pick bad triangles relative to the worst value.
%   pdecgrad    - Compute the flux of a PDE solution.
%   pdeent      - Indices of triangles neighboring a given set of triangles.
%   pdegrad     - Compute the gradient of the PDE solution.
%   pdeintrp    - Interpolate function values to triangle midpoints.
%   pdejmps     - Error estimates for adaption.
%   pdeprtni    - Interpolate function values to mesh nodes.
%   pdesde      - Indices of edges adjacent to a set of subdomains.
%   pdesdp      - Indices of points in a set of subdomains.
%   pdesdt      - Indices of triangles in a set of subdomains.
%   pdesmech    - Compute structural mechanics tensor functions.
%   pdetrg      - Triangle geometry data.
%   pdetriq     - Measure the quality of mesh triangles.
%   poiasma     - Boundary point matrix contributions for Poisson's equation.
%   poicalc     - Fast solution of Poisson's equation on a rectangular grid.
%   poiindex    - Indices of points in canonical ordering for rectangular grid.
%   sptarn      - Solve generalized sparse eigenvalue problem.
%   tri2grid    - Interpolate from PDE triangular mesh to rectangular mesh.
%
% User defined algorithms.
%   pdebound    - Boundary M-file.
%   pdegeom     - Geometry M-file.
%
% Demonstrations.
%   pdedemo1    - Exact solution of Poisson's equation on unit disk.
%   pdedemo2    - Solve Helmholtz's equation and study the reflected waves.
%   pdedemo3    - Solve a minimal surface problem.
%   pdedemo4    - Solve PDE problem using subdomain decomposition.
%   pdedemo5    - Solve a parabolic PDE (the heat equation).
%   pdedemo6    - Solve a hyperbolic PDE (the wave equation).
%   pdedemo7    - Adaptive solution with point source.
%   pdedemo8    - Solve Poisson's equation on rectangular grid.

% Copyright (c) 1994-96 by The MathWorks, Inc.
%       $Revision: 1.6 $  $Date: 1996/11/01 20:31:16 $

\end{verbatim}


Programme pdesect.m:

\begin{verbatim}

%PDEsect         FEM Solution sur secteur

echo on
clc
%       Solve Poisson's equation
%        -div(grad(u))=1
%       sur secteur      with u=0 on the boundary.
%       Compare with exact solution.
pause % Strike any key to continue.
clc

%       Problem definition
g='secteur'; % The unit circle
b='sectb1'; % 0 on the boundary
c=1;
a=0;
f=1;
%       A coarse initial mesh
[p,e,t]=initmesh(g,'hmax',1);
pause % Strike any key to continue.
clc
%       Do iterative regular refinement until the error is acceptable
error=[]; er=1;
%while er > 0.001,...
for cnt=1:3,
p
e
t
  [matK,phi]=assempde(b,p,e,t,c,a,f);...
matK
phi'
  u=matK\phi;...
% exact=(1-p(1,:).^2-p(2,:).^2)'/4;...
% er=norm(u-exact,'inf');...
% error=[error er];...
% fprintf('Error: %e. Number of nodes: %d\n',er,size(p,2));...

szt=size(t,2)  ,   szu=size(u,1)    ,  u'

 for cntt=1:szt,
   for cntp=1:3,
    intp=t(cntp,cntt);xp(cntp)=p(1,intp);yp(cntp)=p(2,intp);
  xp1(cntp)=3*(2+xp(cntp)-yp(cntp));yp1(cntp)=1.4*(2+xp(cntp)+yp(cntp));
                            yp2(cntp)=yp1(cntp)+2+20*u(intp);
   end
   fprintf('%cdrawline(%f,%f)(%f,%f)(%f,%f)(%f,%f)\n',...
         92,xp1(1),yp1(1),xp1(2),yp1(2),xp1(3),yp1(3),xp1(1),yp1(1));
   if xp(1)+yp(1) >= 0,
     fprintf('%cthicklines%cdrawline(%f,%f)(%f,%f)(%f,%f)(%f,%f)%cthinlines\n',...
         92,92,xp1(1),yp2(1),xp1(2),yp2(2),xp1(3),yp2(3),xp1(1),yp2(1),92);
   end
  end
  [p,e,t]=refinem(g,p,e,t);...
end

%       The solution
%pdesurf(p,t,u); pause % Press any key after plot

% The error
%pdesurf(p,t,u-exact);

pause % Strike any key to end.

echo off

\end{verbatim}

La routine principale de r\'esolution est assempde.m:

\begin{verbatim}

function [K,M,F,Q,G,H,R]=assempde(b,p,e,t,c,a,f,u,time,sdl)
%ASSEMPDE Assemble the stiffness matrix and right hand side a PDE problem.
%
%       U=ASSEMPDE(B,P,E,T,C,A,F) assembles and solves the PDE problem
%       -div(c*grad(u))+a*u=f, on a mesh described by P, E, and T,
%       with boundary conditions given by the function name B.
%       It eliminates the Dirichlet boundary conditions from the
%       system of linear equations when solving for U.
%
%       [K,F1]=ASSEMPDE(B,P,E,T,C,A,F) gives assembled matrices by
%       approximating the Dirichlet boundary condition with stiff springs.
%       K and F are the stiffness matrix and right-hand side vector
%       respectively. The solution to the FEM formulation of the PDE
%       problem is u=K\F1.
%
%       [K,F1,B1,UD]=ASSEMPDE(B,P,E,T,C,A,F) assembles the PDE problem by
%       eliminating the Dirichlet boundary conditions from the sytem of
%       linear equations. UN=K\F1 returns the solution on the non-Dirichlet
%       points.  The solution to the full PDE problem can be obtained by
%       the MATLAB command U=B1*UN+UD.
%
%       [K,M,F1,Q,G,H,R]=ASSEMPDE(B,P,E,T,C,A,F) gives a split
%       representation of the PDE problem.
%
%       U=ASSEMPDE(K,M,F,Q,G,H,R) collapses the split representation
%       into the single matrix/vector form, and then solves the PDE
%       problem by eliminating the Dirichlet boundary conditions
%       from the system of linear equations.
%
%       [K1,F1]=ASSEMPDE(K,M,F,Q,G,H,R) collapses the split representation
%       into the single matrix/vector form, by fixing the Dirichlet boundary
%       condition with large spring constants.
%
%       [K1,F1,B,UD]=ASSEMPDE(K,M,F,Q,G,H,R) collapses the split representation
%       into the single matrix/vector form by eliminating the Dirichlet
%       boundary conditions from the system of linear equations.
%
%       The geometry of the PDE problem is given by the triangle
%       data P, E, and T.  See either INITMESH or PDEGEOM for details.
%
%       For the scalar case the solution u is represented as a column
%       vector of solution values at the corresponding node points from
%       P.  For a system of dimension N with NP node points, the first
%       NP values of U describe the first component of u, the
%       following NP values of U describe the second component of u,
%       and so on.  Thus, the components of u are placed in the vector
%       U as N blocks of node point values.
%
%       B describes the boundary conditions of the PDE problem.  B
%       can either be a Boundary Condition Matrix or the name of Boundary
%       M-file. See PDEBOUND for details.
%
%   ...
%
%       PDE COEFFICIENTS FOR SCALAR CASE
%
%       The coefficients c, a and f of the PDE problem can
%       be given in a wide variety of ways:
%       - A constant.
%       - A row vector of representing values at the triangle centers
%       of mass. A MATLAB text expression for computing coefficient values
%       at the triangle centers of mass. The expression is evaluated in a
%       context where the variables X, Y, SD, U, UX, UY, and T are row
%       vectors representing values at the triangle centers of mass.
%       (T is a scalar). The row vectors contain x- and y-coordinates,
%       subdomain label, solution with x and y derivatives and
%       time. U, UX,  and UY can only be used if U0 have been  passed to
%       ASSEMPDE. The same applies to the scalar T, which is passed to
%       ASSEMPDE as TIME.
%       - A sequence of MATLAB text expressions separated by exclamation
%       marks !.  The syntax of each of the text expressions must
%       be according to the above item.  The number of expressions in
%       the sequence must equal the number of subdomain labels in the
%       triangle list t.
%       - The name of a user-defined MATLAB function that accepts the
%       arguments  (P,T,U,TIME). P and T are mesh data, U is the U0
%       input argument and T is the TIME input argument to ASSEMPDE.
%       U will be the empty matrix, and TIME will be NaN if the
%       corresponding parameter was not passed to ASSEMPDE.
%
%       If C contains two rows with data according to any of the above
%       items, they are the c(1,1), and c(2,2), elements of a 2-by-2
%       diagonal matrix. If c contains three rows with data according to
%       any of the above items, they are the c(1,1),  c(1,2),
%       and c(2,2) elements of a 2-by-2 symmetric matrix. If C contains four
%       rows with data according to any of the above items, they are the
%       c(1,1), c(2,1), c(1,2), and c(2,2) elements of a 2-by-2 matrix.
%
%       PDE COEFFICIENTS FOR SYSTEM CASE
%  ...

\end{verbatim}

L'utilisateur doit cr\'eer un fichier sp\'ecifiant $\Omega$
\`a partir de repr\'esentations param\'etriques de parties de la
fronti\`ere. Voici secteur.m (pomp\'e sur un fichier de
d\'emonstration):

\begin{verbatim}

function [x,y]=secteur(bs,s)
%CIRCLEG        Gives geometry data for the circleg PDE model
%
%   NE=CIRCLEG gives the number of boundary segment
%
%   D=CIRCLEG(BS) gives a matrix with one column for each boundary segment
%   specified in BS.
%   Row 1 contains the start parameter value.
%   Row 2 contains the end parameter value.
%   Row 3 contains the number of the left hand region.
%   Row 4 contains the number of the right hand region.
%
%   [X,Y]=CIRCLEG(BS,S) gives coordinates of boundary points. BS specifies the
%   boundary segments and S the corresponding parameter values. BS may be
%   a scalar.

nbs=5;

if nargin==0,
  x=nbs; % number of boundary segments
  return
end

d=[  0 0 0 0 0 % start parameter value
     1 1 1 1 1 % end parameter value
     1 1 1 1 1 % left hand region
     0 0 0 0 0 % right hand region
];

bs1=bs(:)';

if find(bs1<1 | bs1>nbs),
  error('Non existent boundary segment number')
end

if nargin==1,
  x=d(:,bs1);
  return
end

x=zeros(size(s));
y=zeros(size(s));
[m,n]=size(bs);
if m==1 & n==1,
  bs=bs*ones(size(s)); % expand bs
elseif m~=size(s,1) | n~=size(s,2),
  error('bs must be scalar or of same size as s');
end

if ~isempty(s),

% boundary segment 1
ii=find(bs==1);
x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-pi);            y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)-pi);

% boundary segment 2
ii=find(bs==2);
x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii)-(pi/2));        y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii)-(pi/2));

% boundary segment 3
ii=find(bs==3);
x(ii)=1*cos((pi/2)*s(ii));               y(ii)=1*sin((pi/2)*s(ii));

% boundary segment 4
ii=find(bs==4);
x(ii)=0*s(ii);                           y(ii)=1-s(ii);

% boundary segment 5
ii=find(bs==5);
x(ii)=-s(ii);                            y(ii)=0*s(ii);

end

\end{verbatim}

Et on ex\'ecute:

\begin{verbatim}

diary on

pdesect

echo on
clc

...

\end{verbatim}

Construction d'une premi\`ere grille, 16 points dont 11
sur la fronti\`ere; triangulation de $\Omega$ en 19 triangles:

\begin{verbatim}

p =

  Columns 1 through 7

   -1.0000    0.0000    1.0000    0.0000         0   -0.7071    0.7071
    0.0000   -1.0000         0    1.0000         0   -0.7071   -0.7071

  Columns 8 through 14

    0.7071   -0.5000   -0.9423         0    0.4343   -0.2862    0.4635
    0.7071         0   -0.3349    0.4348    0.1885   -0.4107   -0.1971

  Columns 15 through 16

   -0.6869    0.1772
   -0.2910   -0.4639


e =   Columns 1 through 7

    1.0000   10.0000    6.0000    2.0000    7.0000    3.0000    8.0000
   10.0000    6.0000    2.0000    7.0000    3.0000    8.0000    4.0000
         0    0.2174    0.5000         0    0.5000         0    0.5000
    0.2174    0.5000    1.0000    0.5000    1.0000    0.5000    1.0000
    1.0000    1.0000    1.0000    2.0000    2.0000    3.0000    3.0000
    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         0         0         0         0         0         0         0

  Columns 8 through 11

    4.0000   11.0000    5.0000    9.0000
   11.0000    5.0000    9.0000    1.0000
         0    0.5652         0    0.5000
    0.5652    1.0000    0.5000    1.0000
    4.0000    4.0000    5.0000    5.0000
    1.0000    1.0000    1.0000    1.0000
         0         0         0         0


t =   Columns 1 through 12

     8     6    13     7    11     9    10    12    14     3     8     5
     4     2     2     3     5     1     6     5     5     8    11     9
    11    13    16    14    12    15    15    14    16    12    12    13
     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1     1

  Columns 13 through 19

    13     3     2     1     6     5     7
     9    12     7    10    13    13    14
    15    14    16    15    15    16    16
     1     1     1     1     1     1     1

\end{verbatim}

Aper\c cu de la matrice de rigidit\'e, dont seuls  les \'el\'ements
non nuls sont mis en m\'emoire dans une structure appropri\'ee.
On voit que les \'el\'ements diagonaux sont nettement plus grands
que les autres: excellent nombre de condition (\c ca ne durera pas)


{\hspace*{-25pt}
\begin{verbatim}

matK =

 (1,1)  16.7501    (9,1) -0.0899   (10,1) -0.3814  (15,1) -0.3210
 (2,2)  17.2973    (6,2) -0.0814   (7,2)  -0.0558  (13,2) -0.4207  (16,2)  -0.7815
 (3,3)  17.3040    (7,3) -0.0469   (8,3)  -0.0820  (12,3) -0.5578  (14,3)  -0.6595
 (4,4)  16.6761    (8,4) -0.1926   (11,4) -0.5257
 (5,5)  18.5266    (9,5) -0.2618   (11,5) -0.3765  (12,5) -0.5423  (13,5) -0.5200 (14,5)-0.3762 (16,5)-0.4920
 (2,6)  -0.0814    (6,6) 17.4381   (10,6) -0.1111  (13,6) -0.6867 (15,6)  -0.6010
 (2,7)  -0.0558    (3,7) -0.0469   (7,7)  17.3158  (14,7) -0.6666 (16,7)  -0.5887
 (3,8)  -0.0820    (4,8) -0.1926   (8,8)  17.2994  (11,8) -0.2229 (12,8)  -0.8441
 (1,9)  -0.0899    (5,9) -0.2618   (9,9)  17.8251  (13,9) -0.4925 (15,9)  -1.0230
(1,10)  -0.3814    (6,10)-0.1111   (10,10)17.8190 (15,10) -1.3686
(4,11)  -0.5257    (5,11)-0.3765   (8,11) -0.2229 (11,11) 17.8714 (12,11) -0.7884
(3,12)  -0.5578    (5,12)-0.5423   (8,12) -0.8441 (11,12) -0.7884 (12,12)  3.8332 (14,12)-1.1007
(2,13)  -0.4207    (5,13)-0.5200   (6,13) -0.6867  (9,13) -0.4925 (13,13)  3.6499 (15,13)-0.6758 (16,13)-0.8542
(3,14)  -0.6595    (5,14)-0.3762   (7,14) -0.6666 (12,14) -1.1007 (14,14)  3.8849 (16,14)-1.0819
(1,15)  -0.3210    (6,15)-0.6010   (9,15) -1.0230 (10,15) -1.3686 (13,15) -0.6758 (15,15) 3.9895
(2,16)  -0.7815    (5,16)-0.4920   (7,16) -0.5887 (13,16) -0.8542 (14,16) -1.0819 (16,16) 3.7983

\end{verbatim} }

\begin{verbatim}
phi =

  Columns 1 through 7
    0.0389    0.1530    0.1465    0.0666    0.1588    0.1012    0.1433

  Columns 8 through 14
    0.1728    0.0816    0.0322    0.1468    0.2019    0.2183    0.1831

  Columns 15 through 16
    0.1078    0.1970


u   =

  Columns 1 through 7
         0         0         0         0         0         0         0

  Columns 8 through 14
         0         0         0         0    0.0808    0.0911    0.0979

  Columns 15 through 16
    0.0425    0.1002

\end{verbatim}

}  %end Small

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(8,8)


\drawline(6.000000,4.779899)(3.000000,4.200000)(4.695652,3.408696)(6.000000,4.779899)
\thicklines\drawline(6.000000,6.779899)(3.000000,6.200000)(4.695652,5.408696)(6.000000,6.779899)\thinlines
\drawline(6.000000,0.820101)(9.000000,1.400000)(6.373558,1.824251)(6.000000,0.820101)
\drawline(6.373558,1.824251)(9.000000,1.400000)(7.923332,2.398739)(6.373558,1.824251)
\drawline(10.242641,2.800000)(9.000000,4.200000)(7.981822,3.172977)(10.242641,2.800000)
\thicklines\drawline(10.242641,4.800000)(9.000000,6.200000)(7.981822,7.131510)(10.242641,4.800000)\thinlines
\drawline(4.695652,3.408696)(6.000000,2.800000)(6.737347,3.671976)(4.695652,3.408696)
\thicklines\drawline(4.695652,5.408696)(6.000000,4.800000)(6.737347,7.287990)(4.695652,5.408696)\thinlines
\drawline(4.500000,2.100000)(3.000000,1.400000)(4.812158,1.430903)(4.500000,2.100000)
\drawline(4.177856,1.012003)(6.000000,0.820101)(4.812158,1.430903)(4.177856,1.012003)
\drawline(6.737347,3.671976)(6.000000,2.800000)(7.981822,3.172977)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.287990)(6.000000,4.800000)(7.981822,7.131510)(6.737347,7.287990)\thinlines
\drawline(7.981822,3.172977)(6.000000,2.800000)(7.923332,2.398739)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.131510)(6.000000,4.800000)(7.923332,6.403537)(7.981822,7.131510)\thinlines
\drawline(9.000000,4.200000)(6.000000,4.779899)(6.737347,3.671976)(9.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(9.000000,6.200000)(6.000000,6.779899)(6.737347,7.287990)(9.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(6.000000,4.779899)(4.695652,3.408696)(6.737347,3.671976)(6.000000,4.779899)
\thicklines\drawline(6.000000,6.779899)(4.695652,5.408696)(6.737347,7.287990)(6.000000,6.779899)\thinlines
\drawline(6.000000,2.800000)(4.500000,2.100000)(6.373558,1.824251)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(4.500000,4.100000)(6.373558,5.646897)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(6.373558,1.824251)(4.500000,2.100000)(4.812158,1.430903)(6.373558,1.824251)
\drawline(9.000000,4.200000)(6.737347,3.671976)(7.981822,3.172977)(9.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(9.000000,6.200000)(6.737347,7.287990)(7.981822,7.131510)(9.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(9.000000,1.400000)(10.242641,2.800000)(7.923332,2.398739)(9.000000,1.400000)
\drawline(3.000000,1.400000)(4.177856,1.012003)(4.812158,1.430903)(3.000000,1.400000)
\drawline(6.000000,0.820101)(6.373558,1.824251)(4.812158,1.430903)(6.000000,0.820101)
\drawline(6.000000,2.800000)(6.373558,1.824251)(7.923332,2.398739)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.373558,5.646897)(7.923332,6.403537)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(10.242641,2.800000)(7.981822,3.172977)(7.923332,2.398739)(10.242641,2.800000)
\thicklines\drawline(10.242641,4.800000)(7.981822,7.131510)(7.923332,6.403537)(10.242641,4.800000)\thinlines

\end{picture}



Plus fin: 50 points, 22 segments sur le bord,   76 triangles.

\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(8,8)


\drawline(6.000000,4.779899)(4.376412,4.629188)(5.347826,4.094297)(6.000000,4.779899)
\thicklines\drawline(6.000000,6.779899)(4.376412,6.629188)(5.347826,7.308589)(6.000000,6.779899)\thinlines
\drawline(6.000000,0.820101)(7.623588,0.970812)(6.186779,1.322176)(6.000000,0.820101)
\drawline(6.373558,1.824251)(7.686779,1.612125)(7.148445,2.111495)(6.373558,1.824251)
\drawline(10.242641,2.800000)(9.919689,3.557675)(9.112231,2.986488)(10.242641,2.800000)
\thicklines\drawline(10.242641,4.800000)(9.919689,5.557675)(9.112231,6.594550)(10.242641,4.800000)\thinlines
\drawline(6.737347,3.671976)(5.716500,3.540336)(6.368674,3.235988)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.591609)(5.716500,6.858386)(6.368674,6.809179)(6.737347,7.591609)\thinlines
\drawline(4.500000,2.100000)(3.750000,1.750000)(4.656079,1.765451)(4.500000,2.100000)
\drawline(4.177856,1.012003)(5.066015,0.868672)(4.495007,1.221453)(4.177856,1.012003)
\drawline(6.000000,2.800000)(6.990911,2.986488)(6.368674,3.235988)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.990911,7.005143)(6.368674,6.809179)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(7.981822,3.172977)(6.990911,2.986488)(7.952577,2.785858)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.416858)(6.990911,7.005143)(7.952577,7.121918)(7.981822,7.416858)\thinlines
\drawline(9.000000,4.200000)(7.623588,4.629188)(7.868674,3.935988)(9.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(9.000000,6.200000)(7.623588,6.629188)(7.868674,7.511959)(9.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(6.000000,4.779899)(5.347826,4.094297)(6.368674,4.225937)(6.000000,4.779899)
\thicklines\drawline(6.000000,6.779899)(5.347826,7.308589)(6.368674,7.611923)(6.000000,6.779899)\thinlines
\drawline(6.373558,1.824251)(6.186779,2.312125)(5.436779,1.962125)(6.373558,1.824251)
\drawline(6.373558,1.824251)(5.436779,1.962125)(5.592858,1.627577)(6.373558,1.824251)
\drawline(9.000000,4.200000)(7.868674,3.935988)(8.490911,3.686488)(9.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(9.000000,6.200000)(7.868674,7.511959)(8.490911,7.257031)(9.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(9.000000,1.400000)(9.919689,2.042325)(8.461666,1.899369)(9.000000,1.400000)
\drawline(4.812158,1.430903)(3.906079,1.415451)(4.495007,1.221453)(4.812158,1.430903)
\drawline(6.000000,0.820101)(6.186779,1.322176)(5.406079,1.125502)(6.000000,0.820101)
\drawline(6.000000,2.800000)(6.186779,2.312125)(6.961666,2.599369)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.186779,5.807727)(6.961666,6.603774)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(7.923332,2.398739)(9.082986,2.599369)(7.952577,2.785858)(7.923332,2.398739)
\drawline(3.000000,4.200000)(3.847826,3.804348)(4.376412,4.629188)(3.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(3.000000,6.200000)(3.847826,5.804348)(4.376412,6.629188)(3.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(9.000000,1.400000)(7.686779,1.612125)(7.623588,0.970812)(9.000000,1.400000)
\drawline(9.000000,1.400000)(8.461666,1.899369)(7.686779,1.612125)(9.000000,1.400000)
\drawline(9.000000,4.200000)(8.490911,3.686488)(9.919689,3.557675)(9.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(9.000000,6.200000)(8.490911,7.257031)(9.919689,5.557675)(9.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(4.695652,3.408696)(5.347826,3.104348)(5.716500,3.540336)(4.695652,3.408696)
\thicklines\drawline(4.695652,5.408696)(5.347826,5.104348)(5.716500,6.858386)(4.695652,5.408696)\thinlines
\drawline(3.000000,1.400000)(3.906079,1.415451)(3.750000,1.750000)(3.000000,1.400000)
\drawline(6.000000,0.820101)(5.406079,1.125502)(5.066015,0.868672)(6.000000,0.820101)
\drawline(7.981822,3.172977)(7.359585,3.422476)(6.990911,2.986488)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.416858)(7.359585,7.609733)(6.990911,7.005143)(7.981822,7.416858)\thinlines
\drawline(6.000000,2.800000)(6.961666,2.599369)(6.990911,2.986488)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.961666,6.603774)(6.990911,7.005143)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(6.000000,4.779899)(6.368674,4.225937)(7.623588,4.629188)(6.000000,4.779899)
\thicklines\drawline(6.000000,6.779899)(6.368674,7.611923)(7.623588,6.629188)(6.000000,6.779899)\thinlines
\drawline(4.695652,3.408696)(5.716500,3.540336)(5.347826,4.094297)(4.695652,3.408696)
\thicklines\drawline(4.695652,5.408696)(5.716500,6.858386)(5.347826,7.308589)(4.695652,5.408696)\thinlines
\drawline(6.000000,2.800000)(5.250000,2.450000)(6.186779,2.312125)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(5.250000,4.450000)(6.186779,5.807727)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(4.500000,2.100000)(4.656079,1.765451)(5.436779,1.962125)(4.500000,2.100000)
\drawline(6.737347,3.671976)(7.359585,3.422476)(7.868674,3.935988)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.591609)(7.359585,7.609733)(7.868674,7.511959)(6.737347,7.591609)\thinlines
\drawline(10.242641,2.800000)(9.082986,2.599369)(9.919689,2.042325)(10.242641,2.800000)
\thicklines\drawline(10.242641,4.800000)(9.082986,6.235078)(9.919689,4.042325)(10.242641,4.800000)\thinlines
\drawline(3.000000,1.400000)(3.553353,1.182482)(3.906079,1.415451)(3.000000,1.400000)
\drawline(6.373558,1.824251)(5.592858,1.627577)(6.186779,1.322176)(6.373558,1.824251)
\drawline(6.373558,1.824251)(7.148445,2.111495)(6.186779,2.312125)(6.373558,1.824251)
\drawline(10.242641,2.800000)(9.112231,2.986488)(9.082986,2.599369)(10.242641,2.800000)
\thicklines\drawline(10.242641,4.800000)(9.112231,6.594550)(9.082986,6.235078)(10.242641,4.800000)\thinlines
\drawline(4.695652,3.408696)(5.347826,4.094297)(3.847826,3.804348)(4.695652,3.408696)
\thicklines\drawline(4.695652,5.408696)(5.347826,7.308589)(3.847826,5.804348)(4.695652,5.408696)\thinlines
\drawline(6.373558,1.824251)(6.186779,1.322176)(7.686779,1.612125)(6.373558,1.824251)
\drawline(7.923332,2.398739)(7.148445,2.111495)(8.461666,1.899369)(7.923332,2.398739)
\drawline(7.981822,3.172977)(9.112231,2.986488)(8.490911,3.686488)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.416858)(9.112231,6.594550)(8.490911,7.257031)(7.981822,7.416858)\thinlines
\drawline(6.000000,2.800000)(6.368674,3.235988)(5.347826,3.104348)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.368674,6.809179)(5.347826,5.104348)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(4.812158,1.430903)(4.656079,1.765451)(3.906079,1.415451)(4.812158,1.430903)
\drawline(4.812158,1.430903)(4.495007,1.221453)(5.406079,1.125502)(4.812158,1.430903)
\drawline(6.737347,3.671976)(6.368674,3.235988)(7.359585,3.422476)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.591609)(6.368674,6.809179)(7.359585,7.609733)(6.737347,7.591609)\thinlines
\drawline(7.923332,2.398739)(7.952577,2.785858)(6.961666,2.599369)(7.923332,2.398739)
\drawline(6.737347,3.671976)(7.868674,3.935988)(6.368674,4.225937)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.591609)(7.868674,7.511959)(6.368674,7.611923)(6.737347,7.591609)\thinlines
\drawline(6.737347,3.671976)(6.368674,4.225937)(5.716500,3.540336)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.591609)(6.368674,7.611923)(5.716500,6.858386)(6.737347,7.591609)\thinlines
\drawline(4.500000,2.100000)(5.436779,1.962125)(5.250000,2.450000)(4.500000,2.100000)
\drawline(4.812158,1.430903)(5.592858,1.627577)(4.656079,1.765451)(4.812158,1.430903)
\drawline(7.981822,3.172977)(8.490911,3.686488)(7.359585,3.422476)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.416858)(8.490911,7.257031)(7.359585,7.609733)(7.981822,7.416858)\thinlines
\drawline(7.923332,2.398739)(8.461666,1.899369)(9.082986,2.599369)(7.923332,2.398739)
\drawline(4.177856,1.012003)(4.495007,1.221453)(3.553353,1.182482)(4.177856,1.012003)
\drawline(4.812158,1.430903)(5.406079,1.125502)(5.592858,1.627577)(4.812158,1.430903)
\drawline(7.923332,2.398739)(6.961666,2.599369)(7.148445,2.111495)(7.923332,2.398739)
\drawline(7.981822,3.172977)(7.952577,2.785858)(9.112231,2.986488)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.416858)(7.952577,7.121918)(9.112231,6.594550)(7.981822,7.416858)\thinlines
\drawline(3.847826,3.804348)(5.347826,4.094297)(4.376412,4.629188)(3.847826,3.804348)
\thicklines\drawline(3.847826,5.804348)(5.347826,7.308589)(4.376412,6.629188)(3.847826,5.804348)\thinlines
\drawline(7.686779,1.612125)(6.186779,1.322176)(7.623588,0.970812)(7.686779,1.612125)
\drawline(8.461666,1.899369)(7.148445,2.111495)(7.686779,1.612125)(8.461666,1.899369)
\drawline(8.490911,3.686488)(9.112231,2.986488)(9.919689,3.557675)(8.490911,3.686488)
\thicklines\drawline(8.490911,7.257031)(9.112231,6.594550)(9.919689,5.557675)(8.490911,7.257031)\thinlines
\drawline(5.347826,3.104348)(6.368674,3.235988)(5.716500,3.540336)(5.347826,3.104348)
\thicklines\drawline(5.347826,5.104348)(6.368674,6.809179)(5.716500,6.858386)(5.347826,5.104348)\thinlines
\drawline(3.906079,1.415451)(4.656079,1.765451)(3.750000,1.750000)(3.906079,1.415451)
\drawline(5.406079,1.125502)(4.495007,1.221453)(5.066015,0.868672)(5.406079,1.125502)
\drawline(7.359585,3.422476)(6.368674,3.235988)(6.990911,2.986488)(7.359585,3.422476)
\thicklines\drawline(7.359585,7.609733)(6.368674,6.809179)(6.990911,7.005143)(7.359585,7.609733)\thinlines
\drawline(6.961666,2.599369)(7.952577,2.785858)(6.990911,2.986488)(6.961666,2.599369)
\drawline(6.368674,4.225937)(7.868674,3.935988)(7.623588,4.629188)(6.368674,4.225937)
\thicklines\drawline(6.368674,7.611923)(7.868674,7.511959)(7.623588,6.629188)(6.368674,7.611923)\thinlines
\drawline(5.716500,3.540336)(6.368674,4.225937)(5.347826,4.094297)(5.716500,3.540336)
\thicklines\drawline(5.716500,6.858386)(6.368674,7.611923)(5.347826,7.308589)(5.716500,6.858386)\thinlines
\drawline(5.250000,2.450000)(5.436779,1.962125)(6.186779,2.312125)(5.250000,2.450000)
\drawline(4.656079,1.765451)(5.592858,1.627577)(5.436779,1.962125)(4.656079,1.765451)
\drawline(7.359585,3.422476)(8.490911,3.686488)(7.868674,3.935988)(7.359585,3.422476)
\thicklines\drawline(7.359585,7.609733)(8.490911,7.257031)(7.868674,7.511959)(7.359585,7.609733)\thinlines
\drawline(9.082986,2.599369)(8.461666,1.899369)(9.919689,2.042325)(9.082986,2.599369)
\drawline(3.553353,1.182482)(4.495007,1.221453)(3.906079,1.415451)(3.553353,1.182482)
\drawline(5.592858,1.627577)(5.406079,1.125502)(6.186779,1.322176)(5.592858,1.627577)
\drawline(7.148445,2.111495)(6.961666,2.599369)(6.186779,2.312125)(7.148445,2.111495)
\drawline(9.112231,2.986488)(7.952577,2.785858)(9.082986,2.599369)(9.112231,2.986488)
\thicklines\drawline(9.112231,6.594550)(7.952577,7.121918)(9.082986,6.235078)(9.112231,6.594550)\thinlines

\end{picture}

Encore plus fin, il y a maintenant 175 points, 44 segments sur le bord,
et 304 triangles!



\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(8,8)

\drawline(6.000000,4.779899)(5.172302,4.741856)(5.673913,4.437098)(6.000000,4.779899)
\thicklines\drawline(6.000000,6.779899)(5.172302,6.741856)(5.673913,7.348481)(6.000000,6.779899)\thinlines
\drawline(6.000000,0.820101)(6.827698,0.858144)(6.093390,1.071138)(6.000000,0.820101)
\drawline(6.373558,1.824251)(7.030169,1.718188)(6.761002,1.967873)(6.373558,1.824251)
\drawline(10.242641,2.800000)(10.161120,3.186259)(9.677436,2.893244)(10.242641,2.800000)
\thicklines\drawline(10.242641,4.800000)(10.161120,5.186259)(9.677436,5.839735)(10.242641,4.800000)\thinlines
\drawline(6.737347,3.671976)(6.226924,3.606156)(6.553011,3.453982)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.709670)(6.226924,7.421704)(6.553011,7.429686)(6.737347,7.709670)\thinlines
\drawline(4.500000,2.100000)(4.125000,1.925000)(4.578040,1.932726)(4.500000,2.100000)
\drawline(5.066015,0.868672)(4.780511,1.045063)(4.613405,0.928826)(5.066015,0.868672)
\drawline(6.000000,2.800000)(6.495455,2.893244)(6.184337,3.017994)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.495455,6.377814)(6.184337,6.113122)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(7.981822,3.172977)(7.486366,3.079733)(7.967200,2.979417)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.518358)(7.486366,7.468335)(7.967200,7.388634)(7.981822,7.518358)\thinlines
\drawline(9.000000,4.200000)(8.357085,4.446226)(8.434337,4.067994)(9.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(9.000000,6.200000)(8.357085,6.446226)(8.434337,7.026516)(9.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(6.000000,4.779899)(5.673913,4.437098)(6.184337,4.502918)(6.000000,4.779899)
\thicklines\drawline(6.000000,6.779899)(5.673913,7.348481)(6.184337,7.330758)(6.000000,6.779899)\thinlines
\drawline(6.373558,1.824251)(6.280169,2.068188)(5.905169,1.893188)(6.373558,1.824251)
\drawline(6.373558,1.824251)(5.905169,1.893188)(5.983208,1.725914)(6.373558,1.824251)
\drawline(9.000000,4.200000)(8.434337,4.067994)(8.745455,3.943244)(9.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(9.000000,6.200000)(8.434337,7.026516)(8.745455,6.867653)(9.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(9.000000,1.400000)(9.527627,1.700027)(8.730833,1.649685)(9.000000,1.400000)
\drawline(4.812158,1.430903)(4.359119,1.423177)(4.653583,1.326178)(4.812158,1.430903)
\drawline(6.000000,0.820101)(6.093390,1.071138)(5.703040,0.972801)(6.000000,0.820101)
\drawline(6.000000,2.800000)(6.093390,2.556063)(6.480833,2.699685)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.093390,5.559075)(6.480833,6.160551)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(7.923332,2.398739)(8.503159,2.499054)(7.937955,2.592298)(7.923332,2.398739)
\drawline(3.847826,3.804348)(4.112119,4.216768)(3.423913,4.002174)(3.847826,3.804348)
\thicklines\drawline(3.847826,5.804348)(4.112119,6.698338)(3.423913,6.002174)(3.847826,5.804348)\thinlines
\drawline(7.623588,0.970812)(8.357085,1.153774)(7.655184,1.291469)(7.623588,0.970812)
\drawline(7.686779,1.612125)(8.343390,1.506063)(8.074223,1.755747)(7.686779,1.612125)
\drawline(9.919689,3.557675)(9.527627,3.899973)(9.205300,3.622081)(9.919689,3.557675)
\thicklines\drawline(9.919689,5.557675)(9.527627,5.899973)(9.205300,6.592525)(9.919689,5.557675)\thinlines
\drawline(5.716500,3.540336)(5.206076,3.474516)(5.532163,3.322342)(5.716500,3.540336)
\thicklines\drawline(5.716500,6.923674)(5.206076,6.244582)(5.532163,6.167301)(5.716500,6.923674)\thinlines
\drawline(3.750000,1.750000)(3.375000,1.575000)(3.828040,1.582726)(3.750000,1.750000)
\drawline(5.066015,0.868672)(5.530117,0.832281)(5.236047,0.997087)(5.066015,0.868672)
\drawline(6.990911,2.986488)(7.486366,3.079733)(7.175248,3.204482)(6.990911,2.986488)
\thicklines\drawline(6.990911,7.121244)(7.486366,7.468335)(7.175248,7.484514)(6.990911,7.121244)\thinlines
\drawline(6.990911,2.986488)(6.495455,2.893244)(6.976289,2.792929)(6.990911,2.986488)
\thicklines\drawline(6.990911,7.121244)(6.495455,6.377814)(6.976289,6.890386)(6.990911,7.121244)\thinlines
\drawline(7.623588,4.629188)(6.827698,4.741856)(6.996131,4.427563)(7.623588,4.629188)
\thicklines\drawline(7.623588,6.629188)(6.827698,6.741856)(6.996131,7.344600)(7.623588,6.629188)\thinlines
\drawline(5.347826,4.094297)(5.021739,3.751496)(5.532163,3.817317)(5.347826,4.094297)
\thicklines\drawline(5.347826,7.356424)(5.021739,6.743692)(5.532163,7.244109)(5.347826,7.356424)\thinlines
\drawline(6.186779,2.312125)(6.093390,2.556063)(5.718390,2.381063)(6.186779,2.312125)
\drawline(5.436779,1.962125)(4.968390,2.031063)(5.046429,1.863788)(5.436779,1.962125)
\drawline(7.868674,3.935988)(7.303011,3.803982)(7.614129,3.679232)(7.868674,3.935988)
\thicklines\drawline(7.868674,7.566986)(7.303011,7.806008)(7.614129,7.765070)(7.868674,7.566986)\thinlines
\drawline(9.919689,2.042325)(10.161120,2.413741)(9.501338,2.320847)(9.919689,2.042325)
\drawline(3.906079,1.415451)(3.453040,1.407726)(3.729716,1.298967)(3.906079,1.415451)
\drawline(6.186779,1.322176)(6.280169,1.573213)(5.889819,1.474876)(6.186779,1.322176)
\drawline(6.186779,2.312125)(6.280169,2.068188)(6.667612,2.211810)(6.186779,2.312125)
\drawline(9.082986,2.599369)(9.662814,2.699685)(9.097609,2.792929)(9.082986,2.599369)
\drawline(5.347826,4.094297)(4.597826,3.949323)(5.021739,3.751496)(5.347826,4.094297)
\thicklines\drawline(5.347826,7.356424)(4.597826,6.747796)(5.021739,6.743692)(5.347826,7.356424)\thinlines
\drawline(6.186779,1.322176)(6.936779,1.467151)(6.280169,1.573213)(6.186779,1.322176)
\drawline(7.148445,2.111495)(7.805056,2.005432)(7.535889,2.255117)(7.148445,2.111495)
\drawline(9.112231,2.986488)(8.801571,3.336488)(8.547027,3.079733)(9.112231,2.986488)
\thicklines\drawline(9.112231,6.641930)(8.801571,7.094394)(8.547027,7.203592)(9.112231,6.641930)\thinlines
\drawline(6.368674,3.235988)(5.858250,3.170168)(6.184337,3.017994)(6.368674,3.235988)
\thicklines\drawline(6.368674,6.912346)(5.858250,6.106615)(6.184337,6.113122)(6.368674,6.912346)\thinlines
\drawline(4.656079,1.765451)(4.281079,1.590451)(4.734119,1.598177)(4.656079,1.765451)
\drawline(4.495007,1.221453)(4.950543,1.173477)(4.653583,1.326178)(4.495007,1.221453)
\drawline(6.368674,3.235988)(6.864129,3.329232)(6.553011,3.453982)(6.368674,3.235988)
\thicklines\drawline(6.368674,6.912346)(6.864129,7.463449)(6.553011,7.429686)(6.368674,6.912346)\thinlines
\drawline(7.952577,2.785858)(7.457122,2.692614)(7.937955,2.592298)(7.952577,2.785858)
\drawline(7.868674,3.935988)(7.118674,4.080963)(7.303011,3.803982)(7.868674,3.935988)
\thicklines\drawline(7.868674,7.566986)(7.118674,7.723029)(7.303011,7.806008)(7.868674,7.566986)\thinlines
\drawline(6.368674,4.225937)(6.042587,3.883137)(6.553011,3.948957)(6.368674,4.225937)
\thicklines\drawline(6.368674,7.653143)(6.042587,7.592535)(6.553011,7.770453)(6.368674,7.653143)\thinlines
\drawline(5.436779,1.962125)(5.343390,2.206063)(4.968390,2.031063)(5.436779,1.962125)
\drawline(5.592858,1.627577)(5.124469,1.696514)(5.202508,1.529240)(5.592858,1.627577)
\drawline(8.490911,3.686488)(7.925248,3.554482)(8.236366,3.429733)(8.490911,3.686488)
\thicklines\drawline(8.490911,7.304865)(7.925248,7.672084)(8.236366,7.518712)(8.490911,7.304865)\thinlines
\drawline(8.461666,1.899369)(8.772326,2.249369)(8.192499,2.149054)(8.461666,1.899369)
\drawline(4.495007,1.221453)(4.024180,1.201968)(4.336432,1.116728)(4.495007,1.221453)
\drawline(5.406079,1.125502)(5.499469,1.376539)(5.109119,1.278202)(5.406079,1.125502)
\drawline(6.961666,2.599369)(7.055056,2.355432)(7.442499,2.499054)(6.961666,2.599369)
\drawline(7.952577,2.785858)(8.532404,2.886173)(7.967200,2.979417)(7.952577,2.785858)
\drawline(4.376412,4.629188)(4.112119,4.216768)(4.862119,4.361743)(4.376412,4.629188)
\thicklines\drawline(4.376412,6.629188)(4.112119,6.698338)(4.862119,7.116901)(4.376412,6.629188)\thinlines
\drawline(7.686779,1.612125)(6.936779,1.467151)(7.655184,1.291469)(7.686779,1.612125)
\drawline(8.461666,1.899369)(7.805056,2.005432)(8.074223,1.755747)(8.461666,1.899369)
\drawline(8.490911,3.686488)(8.801571,3.336488)(9.205300,3.622081)(8.490911,3.686488)
\thicklines\drawline(8.490911,7.304865)(8.801571,7.094394)(9.205300,6.592525)(8.490911,7.304865)\thinlines
\drawline(5.347826,3.104348)(5.858250,3.170168)(5.532163,3.322342)(5.347826,3.104348)
\thicklines\drawline(5.347826,5.104348)(5.858250,6.106615)(5.532163,6.167301)(5.347826,5.104348)\thinlines
\drawline(3.906079,1.415451)(4.281079,1.590451)(3.828040,1.582726)(3.906079,1.415451)
\drawline(4.495007,1.221453)(4.780511,1.045063)(4.950543,1.173477)(4.495007,1.221453)
\drawline(7.359585,3.422476)(6.864129,3.329232)(7.175248,3.204482)(7.359585,3.422476)
\thicklines\drawline(7.359585,7.710304)(6.864129,7.463449)(7.175248,7.484514)(7.359585,7.710304)\thinlines
\drawline(6.961666,2.599369)(7.457122,2.692614)(6.976289,2.792929)(6.961666,2.599369)
\drawline(6.368674,4.225937)(7.118674,4.080963)(6.996131,4.427563)(6.368674,4.225937)
\thicklines\drawline(6.368674,7.653143)(7.118674,7.723029)(6.996131,7.344600)(6.368674,7.653143)\thinlines
\drawline(5.716500,3.540336)(6.042587,3.883137)(5.532163,3.817317)(5.716500,3.540336)
\thicklines\drawline(5.716500,6.923674)(6.042587,7.592535)(5.532163,7.244109)(5.716500,6.923674)\thinlines
\drawline(5.250000,2.450000)(5.343390,2.206063)(5.718390,2.381063)(5.250000,2.450000)
\drawline(4.656079,1.765451)(5.124469,1.696514)(5.046429,1.863788)(4.656079,1.765451)
\drawline(7.359585,3.422476)(7.925248,3.554482)(7.614129,3.679232)(7.359585,3.422476)
\thicklines\drawline(7.359585,7.710304)(7.925248,7.672084)(7.614129,7.765070)(7.359585,7.710304)\thinlines
\drawline(9.082986,2.599369)(8.772326,2.249369)(9.501338,2.320847)(9.082986,2.599369)
\drawline(3.553353,1.182482)(4.024180,1.201968)(3.729716,1.298967)(3.553353,1.182482)
\drawline(5.592858,1.627577)(5.499469,1.376539)(5.889819,1.474876)(5.592858,1.627577)
\drawline(7.148445,2.111495)(7.055056,2.355432)(6.667612,2.211810)(7.148445,2.111495)
\drawline(9.112231,2.986488)(8.532404,2.886173)(9.097609,2.792929)(9.112231,2.986488)
\thicklines\drawline(9.112231,6.641930)(8.532404,7.072068)(9.097609,6.494511)(9.112231,6.641930)\thinlines
\drawline(4.376412,4.629188)(4.862119,4.361743)(5.172302,4.741856)(4.376412,4.629188)
\thicklines\drawline(4.376412,6.629188)(4.862119,7.116901)(5.172302,6.741856)(4.376412,6.629188)\thinlines
\drawline(7.623588,0.970812)(6.905184,1.146494)(6.827698,0.858144)(7.623588,0.970812)
\drawline(7.686779,1.612125)(7.417612,1.861810)(7.030169,1.718188)(7.686779,1.612125)
\drawline(9.919689,3.557675)(9.515960,3.272081)(10.161120,3.186259)(9.919689,3.557675)
\thicklines\drawline(9.919689,5.557675)(9.515960,6.249910)(10.161120,5.186259)(9.919689,5.557675)\thinlines
\drawline(5.716500,3.540336)(6.042587,3.388162)(6.226924,3.606156)(5.716500,3.540336)
\thicklines\drawline(5.716500,6.923674)(6.042587,6.905985)(6.226924,7.421704)(5.716500,6.923674)\thinlines
\drawline(3.750000,1.750000)(4.203040,1.757726)(4.125000,1.925000)(3.750000,1.750000)
\drawline(4.495007,1.221453)(4.336432,1.116728)(4.780511,1.045063)(4.495007,1.221453)
\drawline(6.990911,2.986488)(6.679792,3.111238)(6.495455,2.893244)(6.990911,2.986488)
\thicklines\drawline(6.990911,7.121244)(6.679792,7.007261)(6.495455,6.377814)(6.990911,7.121244)\thinlines
\drawline(6.990911,2.986488)(7.471744,2.886173)(7.486366,3.079733)(6.990911,2.986488)
\thicklines\drawline(6.990911,7.121244)(7.471744,7.281082)(7.486366,7.468335)(6.990911,7.121244)\thinlines
\drawline(7.623588,4.629188)(7.746131,4.282588)(8.357085,4.446226)(7.623588,4.629188)
\thicklines\drawline(7.623588,6.629188)(7.746131,7.243228)(8.357085,6.446226)(7.623588,6.629188)\thinlines
\drawline(5.347826,4.094297)(5.858250,4.160117)(5.673913,4.437098)(5.347826,4.094297)
\thicklines\drawline(5.347826,7.356424)(5.858250,7.578841)(5.673913,7.348481)(5.347826,7.356424)\thinlines
\drawline(6.186779,2.312125)(5.811779,2.137125)(6.280169,2.068188)(6.186779,2.312125)
\drawline(5.436779,1.962125)(5.514819,1.794851)(5.905169,1.893188)(5.436779,1.962125)
\drawline(7.868674,3.935988)(8.179792,3.811238)(8.434337,4.067994)(7.868674,3.935988)
\thicklines\drawline(7.868674,7.566986)(8.179792,7.467945)(8.434337,7.026516)(7.868674,7.566986)\thinlines
\drawline(9.919689,2.042325)(9.190678,1.970847)(9.527627,1.700027)(9.919689,2.042325)
\drawline(3.906079,1.415451)(4.200543,1.318452)(4.359119,1.423177)(3.906079,1.415451)
\drawline(6.186779,1.322176)(5.796429,1.223839)(6.093390,1.071138)(6.186779,1.322176)
\drawline(6.186779,2.312125)(6.574223,2.455747)(6.093390,2.556063)(6.186779,2.312125)
\drawline(9.082986,2.599369)(8.517782,2.692614)(8.503159,2.499054)(9.082986,2.599369)
\drawline(4.376412,4.629188)(3.642915,4.446226)(4.112119,4.216768)(4.376412,4.629188)
\thicklines\drawline(4.376412,6.629188)(3.642915,6.446226)(4.112119,6.698338)(4.376412,6.629188)\thinlines
\drawline(9.000000,1.400000)(8.343390,1.506063)(8.357085,1.153774)(9.000000,1.400000)
\drawline(9.000000,1.400000)(8.730833,1.649685)(8.343390,1.506063)(9.000000,1.400000)
\drawline(9.000000,4.200000)(8.745455,3.943244)(9.527627,3.899973)(9.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(9.000000,6.200000)(8.745455,6.867653)(9.527627,5.899973)(9.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(4.695652,3.408696)(5.021739,3.256522)(5.206076,3.474516)(4.695652,3.408696)
\thicklines\drawline(4.695652,5.408696)(5.021739,5.256522)(5.206076,6.244582)(4.695652,5.408696)\thinlines
\drawline(3.000000,1.400000)(3.453040,1.407726)(3.375000,1.575000)(3.000000,1.400000)
\drawline(6.000000,0.820101)(5.703040,0.972801)(5.530117,0.832281)(6.000000,0.820101)
\drawline(7.981822,3.172977)(7.670703,3.297727)(7.486366,3.079733)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.518358)(7.670703,7.645505)(7.486366,7.468335)(7.981822,7.518358)\thinlines
\drawline(6.000000,2.800000)(6.480833,2.699685)(6.495455,2.893244)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.480833,6.160551)(6.495455,6.377814)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(6.000000,4.779899)(6.184337,4.502918)(6.827698,4.741856)(6.000000,4.779899)
\thicklines\drawline(6.000000,6.779899)(6.184337,7.330758)(6.827698,6.741856)(6.000000,6.779899)\thinlines
\drawline(4.695652,3.408696)(5.206076,3.474516)(5.021739,3.751496)(4.695652,3.408696)
\thicklines\drawline(4.695652,5.408696)(5.206076,6.244582)(5.021739,6.743692)(4.695652,5.408696)\thinlines
\drawline(6.000000,2.800000)(5.625000,2.625000)(6.093390,2.556063)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(5.625000,4.625000)(6.093390,5.559075)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(4.500000,2.100000)(4.578040,1.932726)(4.968390,2.031063)(4.500000,2.100000)
\drawline(6.737347,3.671976)(7.048466,3.547226)(7.303011,3.803982)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.709670)(7.048466,7.729107)(7.303011,7.806008)(6.737347,7.709670)\thinlines
\drawline(10.242641,2.800000)(9.662814,2.699685)(10.161120,2.413741)(10.242641,2.800000)
\thicklines\drawline(10.242641,4.800000)(9.662814,5.666628)(10.161120,4.413741)(10.242641,4.800000)\thinlines
\drawline(3.000000,1.400000)(3.266722,1.285726)(3.453040,1.407726)(3.000000,1.400000)
\drawline(6.373558,1.824251)(5.983208,1.725914)(6.280169,1.573213)(6.373558,1.824251)
\drawline(6.373558,1.824251)(6.761002,1.967873)(6.280169,2.068188)(6.373558,1.824251)
\drawline(10.242641,2.800000)(9.677436,2.893244)(9.662814,2.699685)(10.242641,2.800000)
\thicklines\drawline(10.242641,4.800000)(9.677436,5.839735)(9.662814,5.666628)(10.242641,4.800000)\thinlines
\drawline(3.847826,3.804348)(4.271739,3.606522)(4.597826,3.949323)(3.847826,3.804348)
\thicklines\drawline(3.847826,5.804348)(4.271739,5.606522)(4.597826,6.747796)(3.847826,5.804348)\thinlines
\drawline(7.686779,1.612125)(7.030169,1.718188)(6.936779,1.467151)(7.686779,1.612125)
\drawline(8.461666,1.899369)(8.192499,2.149054)(7.805056,2.005432)(8.461666,1.899369)
\drawline(8.490911,3.686488)(8.236366,3.429733)(8.801571,3.336488)(8.490911,3.686488)
\thicklines\drawline(8.490911,7.304865)(8.236366,7.518712)(8.801571,7.094394)(8.490911,7.304865)\thinlines
\drawline(5.347826,3.104348)(5.673913,2.952174)(5.858250,3.170168)(5.347826,3.104348)
\thicklines\drawline(5.347826,5.104348)(5.673913,4.952174)(5.858250,6.106615)(5.347826,5.104348)\thinlines
\drawline(3.906079,1.415451)(4.359119,1.423177)(4.281079,1.590451)(3.906079,1.415451)
\drawline(5.406079,1.125502)(5.109119,1.278202)(4.950543,1.173477)(5.406079,1.125502)
\drawline(7.359585,3.422476)(7.048466,3.547226)(6.864129,3.329232)(7.359585,3.422476)
\thicklines\drawline(7.359585,7.710304)(7.048466,7.729107)(6.864129,7.463449)(7.359585,7.710304)\thinlines
\drawline(6.961666,2.599369)(7.442499,2.499054)(7.457122,2.692614)(6.961666,2.599369)
\drawline(6.368674,4.225937)(6.553011,3.948957)(7.118674,4.080963)(6.368674,4.225937)
\thicklines\drawline(6.368674,7.653143)(6.553011,7.770453)(7.118674,7.723029)(6.368674,7.653143)\thinlines
\drawline(5.716500,3.540336)(6.226924,3.606156)(6.042587,3.883137)(5.716500,3.540336)
\thicklines\drawline(5.716500,6.923674)(6.226924,7.421704)(6.042587,7.592535)(5.716500,6.923674)\thinlines
\drawline(5.250000,2.450000)(4.875000,2.275000)(5.343390,2.206063)(5.250000,2.450000)
\drawline(4.656079,1.765451)(4.734119,1.598177)(5.124469,1.696514)(4.656079,1.765451)
\drawline(7.359585,3.422476)(7.670703,3.297727)(7.925248,3.554482)(7.359585,3.422476)
\thicklines\drawline(7.359585,7.710304)(7.670703,7.645505)(7.925248,7.672084)(7.359585,7.710304)\thinlines
\drawline(9.082986,2.599369)(8.503159,2.499054)(8.772326,2.249369)(9.082986,2.599369)
\drawline(3.553353,1.182482)(3.857803,1.091019)(4.024180,1.201968)(3.553353,1.182482)
\drawline(5.592858,1.627577)(5.202508,1.529240)(5.499469,1.376539)(5.592858,1.627577)
\drawline(7.148445,2.111495)(7.535889,2.255117)(7.055056,2.355432)(7.148445,2.111495)
\drawline(9.112231,2.986488)(8.547027,3.079733)(8.532404,2.886173)(9.112231,2.986488)
\thicklines\drawline(9.112231,6.641930)(8.547027,7.203592)(8.532404,7.072068)(9.112231,6.641930)\thinlines
\drawline(3.847826,3.804348)(4.597826,3.949323)(4.112119,4.216768)(3.847826,3.804348)
\thicklines\drawline(3.847826,5.804348)(4.597826,6.747796)(4.112119,6.698338)(3.847826,5.804348)\thinlines
\drawline(6.186779,1.322176)(6.905184,1.146494)(6.936779,1.467151)(6.186779,1.322176)
\drawline(7.148445,2.111495)(7.417612,1.861810)(7.805056,2.005432)(7.148445,2.111495)
\drawline(9.112231,2.986488)(9.515960,3.272081)(8.801571,3.336488)(9.112231,2.986488)
\thicklines\drawline(9.112231,6.641930)(9.515960,6.249910)(8.801571,7.094394)(9.112231,6.641930)\thinlines
\drawline(6.368674,3.235988)(6.042587,3.388162)(5.858250,3.170168)(6.368674,3.235988)
\thicklines\drawline(6.368674,6.912346)(6.042587,6.905985)(5.858250,6.106615)(6.368674,6.912346)\thinlines
\drawline(4.656079,1.765451)(4.203040,1.757726)(4.281079,1.590451)(4.656079,1.765451)
\drawline(5.066015,0.868672)(5.236047,0.997087)(4.780511,1.045063)(5.066015,0.868672)
\drawline(6.368674,3.235988)(6.679792,3.111238)(6.864129,3.329232)(6.368674,3.235988)
\thicklines\drawline(6.368674,6.912346)(6.679792,7.007261)(6.864129,7.463449)(6.368674,6.912346)\thinlines
\drawline(7.952577,2.785858)(7.471744,2.886173)(7.457122,2.692614)(7.952577,2.785858)
\drawline(7.868674,3.935988)(7.746131,4.282588)(7.118674,4.080963)(7.868674,3.935988)
\thicklines\drawline(7.868674,7.566986)(7.746131,7.243228)(7.118674,7.723029)(7.868674,7.566986)\thinlines
\drawline(6.368674,4.225937)(5.858250,4.160117)(6.042587,3.883137)(6.368674,4.225937)
\thicklines\drawline(6.368674,7.653143)(5.858250,7.578841)(6.042587,7.592535)(6.368674,7.653143)\thinlines
\drawline(5.436779,1.962125)(5.811779,2.137125)(5.343390,2.206063)(5.436779,1.962125)
\drawline(5.592858,1.627577)(5.514819,1.794851)(5.124469,1.696514)(5.592858,1.627577)
\drawline(8.490911,3.686488)(8.179792,3.811238)(7.925248,3.554482)(8.490911,3.686488)
\thicklines\drawline(8.490911,7.304865)(8.179792,7.467945)(7.925248,7.672084)(8.490911,7.304865)\thinlines
\drawline(8.461666,1.899369)(9.190678,1.970847)(8.772326,2.249369)(8.461666,1.899369)
\drawline(4.495007,1.221453)(4.200543,1.318452)(4.024180,1.201968)(4.495007,1.221453)
\drawline(5.406079,1.125502)(5.796429,1.223839)(5.499469,1.376539)(5.406079,1.125502)
\drawline(6.961666,2.599369)(6.574223,2.455747)(7.055056,2.355432)(6.961666,2.599369)
\drawline(7.952577,2.785858)(8.517782,2.692614)(8.532404,2.886173)(7.952577,2.785858)
\drawline(5.347826,4.094297)(5.673913,4.437098)(4.862119,4.361743)(5.347826,4.094297)
\thicklines\drawline(5.347826,7.356424)(5.673913,7.348481)(4.862119,7.116901)(5.347826,7.356424)\thinlines
\drawline(6.186779,1.322176)(6.093390,1.071138)(6.905184,1.146494)(6.186779,1.322176)
\drawline(7.148445,2.111495)(6.761002,1.967873)(7.417612,1.861810)(7.148445,2.111495)
\drawline(9.112231,2.986488)(9.677436,2.893244)(9.515960,3.272081)(9.112231,2.986488)
\thicklines\drawline(9.112231,6.641930)(9.677436,5.839735)(9.515960,6.249910)(9.112231,6.641930)\thinlines
\drawline(6.368674,3.235988)(6.553011,3.453982)(6.042587,3.388162)(6.368674,3.235988)
\thicklines\drawline(6.368674,6.912346)(6.553011,7.429686)(6.042587,6.905985)(6.368674,6.912346)\thinlines
\drawline(4.656079,1.765451)(4.578040,1.932726)(4.203040,1.757726)(4.656079,1.765451)
\drawline(4.177856,1.012003)(4.613405,0.928826)(4.336432,1.116728)(4.177856,1.012003)
\drawline(6.368674,3.235988)(6.184337,3.017994)(6.679792,3.111238)(6.368674,3.235988)
\thicklines\drawline(6.368674,6.912346)(6.184337,6.113122)(6.679792,7.007261)(6.368674,6.912346)\thinlines
\drawline(7.952577,2.785858)(7.967200,2.979417)(7.471744,2.886173)(7.952577,2.785858)
\drawline(7.868674,3.935988)(8.434337,4.067994)(7.746131,4.282588)(7.868674,3.935988)
\thicklines\drawline(7.868674,7.566986)(8.434337,7.026516)(7.746131,7.243228)(7.868674,7.566986)\thinlines
\drawline(6.368674,4.225937)(6.184337,4.502918)(5.858250,4.160117)(6.368674,4.225937)
\thicklines\drawline(6.368674,7.653143)(6.184337,7.330758)(5.858250,7.578841)(6.368674,7.653143)\thinlines
\drawline(5.436779,1.962125)(5.905169,1.893188)(5.811779,2.137125)(5.436779,1.962125)
\drawline(5.592858,1.627577)(5.983208,1.725914)(5.514819,1.794851)(5.592858,1.627577)
\drawline(8.490911,3.686488)(8.745455,3.943244)(8.179792,3.811238)(8.490911,3.686488)
\thicklines\drawline(8.490911,7.304865)(8.745455,6.867653)(8.179792,7.467945)(8.490911,7.304865)\thinlines
\drawline(8.461666,1.899369)(8.730833,1.649685)(9.190678,1.970847)(8.461666,1.899369)
\drawline(4.495007,1.221453)(4.653583,1.326178)(4.200543,1.318452)(4.495007,1.221453)
\drawline(5.406079,1.125502)(5.703040,0.972801)(5.796429,1.223839)(5.406079,1.125502)
\drawline(6.961666,2.599369)(6.480833,2.699685)(6.574223,2.455747)(6.961666,2.599369)
\drawline(7.952577,2.785858)(7.937955,2.592298)(8.517782,2.692614)(7.952577,2.785858)
\drawline(3.000000,4.200000)(3.423913,4.002174)(3.642915,4.446226)(3.000000,4.200000)
\thicklines\drawline(3.000000,6.200000)(3.423913,6.002174)(3.642915,6.446226)(3.000000,6.200000)\thinlines
\drawline(7.686779,1.612125)(7.655184,1.291469)(8.343390,1.506063)(7.686779,1.612125)
\drawline(8.461666,1.899369)(8.074223,1.755747)(8.730833,1.649685)(8.461666,1.899369)
\drawline(8.490911,3.686488)(9.205300,3.622081)(8.745455,3.943244)(8.490911,3.686488)
\thicklines\drawline(8.490911,7.304865)(9.205300,6.592525)(8.745455,6.867653)(8.490911,7.304865)\thinlines
\drawline(5.347826,3.104348)(5.532163,3.322342)(5.021739,3.256522)(5.347826,3.104348)
\thicklines\drawline(5.347826,5.104348)(5.532163,6.167301)(5.021739,5.256522)(5.347826,5.104348)\thinlines
\drawline(3.906079,1.415451)(3.828040,1.582726)(3.453040,1.407726)(3.906079,1.415451)
\drawline(5.406079,1.125502)(5.236047,0.997087)(5.703040,0.972801)(5.406079,1.125502)
\drawline(7.359585,3.422476)(7.175248,3.204482)(7.670703,3.297727)(7.359585,3.422476)
\thicklines\drawline(7.359585,7.710304)(7.175248,7.484514)(7.670703,7.645505)(7.359585,7.710304)\thinlines
\drawline(6.961666,2.599369)(6.976289,2.792929)(6.480833,2.699685)(6.961666,2.599369)
\drawline(6.368674,4.225937)(6.996131,4.427563)(6.184337,4.502918)(6.368674,4.225937)
\thicklines\drawline(6.368674,7.653143)(6.996131,7.344600)(6.184337,7.330758)(6.368674,7.653143)\thinlines
\drawline(5.716500,3.540336)(5.532163,3.817317)(5.206076,3.474516)(5.716500,3.540336)
\thicklines\drawline(5.716500,6.923674)(5.532163,7.244109)(5.206076,6.244582)(5.716500,6.923674)\thinlines
\drawline(5.250000,2.450000)(5.718390,2.381063)(5.625000,2.625000)(5.250000,2.450000)
\drawline(4.656079,1.765451)(5.046429,1.863788)(4.578040,1.932726)(4.656079,1.765451)
\drawline(7.359585,3.422476)(7.614129,3.679232)(7.048466,3.547226)(7.359585,3.422476)
\thicklines\drawline(7.359585,7.710304)(7.614129,7.765070)(7.048466,7.729107)(7.359585,7.710304)\thinlines
\drawline(9.082986,2.599369)(9.501338,2.320847)(9.662814,2.699685)(9.082986,2.599369)
\drawline(3.553353,1.182482)(3.729716,1.298967)(3.266722,1.285726)(3.553353,1.182482)
\drawline(5.592858,1.627577)(5.889819,1.474876)(5.983208,1.725914)(5.592858,1.627577)
\drawline(7.148445,2.111495)(6.667612,2.211810)(6.761002,1.967873)(7.148445,2.111495)
\drawline(9.112231,2.986488)(9.097609,2.792929)(9.677436,2.893244)(9.112231,2.986488)
\thicklines\drawline(9.112231,6.641930)(9.097609,6.494511)(9.677436,5.839735)(9.112231,6.641930)\thinlines
\drawline(4.695652,3.408696)(5.021739,3.751496)(4.271739,3.606522)(4.695652,3.408696)
\thicklines\drawline(4.695652,5.408696)(5.021739,6.743692)(4.271739,5.606522)(4.695652,5.408696)\thinlines
\drawline(6.373558,1.824251)(6.280169,1.573213)(7.030169,1.718188)(6.373558,1.824251)
\drawline(7.923332,2.398739)(7.535889,2.255117)(8.192499,2.149054)(7.923332,2.398739)
\drawline(7.981822,3.172977)(8.547027,3.079733)(8.236366,3.429733)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.518358)(8.547027,7.203592)(8.236366,7.518712)(7.981822,7.518358)\thinlines
\drawline(6.000000,2.800000)(6.184337,3.017994)(5.673913,2.952174)(6.000000,2.800000)
\thicklines\drawline(6.000000,4.800000)(6.184337,6.113122)(5.673913,4.952174)(6.000000,4.800000)\thinlines
\drawline(4.812158,1.430903)(4.734119,1.598177)(4.359119,1.423177)(4.812158,1.430903)
\drawline(4.812158,1.430903)(4.653583,1.326178)(5.109119,1.278202)(4.812158,1.430903)
\drawline(6.737347,3.671976)(6.553011,3.453982)(7.048466,3.547226)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.709670)(6.553011,7.429686)(7.048466,7.729107)(6.737347,7.709670)\thinlines
\drawline(7.923332,2.398739)(7.937955,2.592298)(7.442499,2.499054)(7.923332,2.398739)
\drawline(6.737347,3.671976)(7.303011,3.803982)(6.553011,3.948957)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.709670)(7.303011,7.806008)(6.553011,7.770453)(6.737347,7.709670)\thinlines
\drawline(6.737347,3.671976)(6.553011,3.948957)(6.226924,3.606156)(6.737347,3.671976)
\thicklines\drawline(6.737347,7.709670)(6.553011,7.770453)(6.226924,7.421704)(6.737347,7.709670)\thinlines
\drawline(4.500000,2.100000)(4.968390,2.031063)(4.875000,2.275000)(4.500000,2.100000)
\drawline(4.812158,1.430903)(5.202508,1.529240)(4.734119,1.598177)(4.812158,1.430903)
\drawline(7.981822,3.172977)(8.236366,3.429733)(7.670703,3.297727)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.518358)(8.236366,7.518712)(7.670703,7.645505)(7.981822,7.518358)\thinlines
\drawline(7.923332,2.398739)(8.192499,2.149054)(8.503159,2.499054)(7.923332,2.398739)
\drawline(4.177856,1.012003)(4.336432,1.116728)(3.857803,1.091019)(4.177856,1.012003)
\drawline(4.812158,1.430903)(5.109119,1.278202)(5.202508,1.529240)(4.812158,1.430903)
\drawline(7.923332,2.398739)(7.442499,2.499054)(7.535889,2.255117)(7.923332,2.398739)
\drawline(7.981822,3.172977)(7.967200,2.979417)(8.547027,3.079733)(7.981822,3.172977)
\thicklines\drawline(7.981822,7.518358)(7.967200,7.388634)(8.547027,7.203592)(7.981822,7.518358)\thinlines
\drawline(5.347826,4.094297)(4.862119,4.361743)(4.597826,3.949323)(5.347826,4.094297)
\thicklines\drawline(5.347826,7.356424)(4.862119,7.116901)(4.597826,6.747796)(5.347826,7.356424)\thinlines
\drawline(7.623588,0.970812)(7.655184,1.291469)(6.905184,1.146494)(7.623588,0.970812)
\drawline(7.686779,1.612125)(8.074223,1.755747)(7.417612,1.861810)(7.686779,1.612125)
\drawline(9.919689,3.557675)(9.205300,3.622081)(9.515960,3.272081)(9.919689,3.557675)
\thicklines\drawline(9.919689,5.557675)(9.205300,6.592525)(9.515960,6.249910)(9.919689,5.557675)\thinlines
\drawline(5.716500,3.540336)(5.532163,3.322342)(6.042587,3.388162)(5.716500,3.540336)
\thicklines\drawline(5.716500,6.923674)(5.532163,6.167301)(6.042587,6.905985)(5.716500,6.923674)\thinlines
\drawline(3.750000,1.750000)(3.828040,1.582726)(4.203040,1.757726)(3.750000,1.750000)
\drawline(5.406079,1.125502)(4.950543,1.173477)(5.236047,0.997087)(5.406079,1.125502)
\drawline(6.990911,2.986488)(7.175248,3.204482)(6.679792,3.111238)(6.990911,2.986488)
\thicklines\drawline(6.990911,7.121244)(7.175248,7.484514)(6.679792,7.007261)(6.990911,7.121244)\thinlines
\drawline(6.990911,2.986488)(6.976289,2.792929)(7.471744,2.886173)(6.990911,2.986488)
\thicklines\drawline(6.990911,7.121244)(6.976289,6.890386)(7.471744,7.281082)(6.990911,7.121244)\thinlines
\drawline(7.623588,4.629188)(6.996131,4.427563)(7.746131,4.282588)(7.623588,4.629188)
\thicklines\drawline(7.623588,6.629188)(6.996131,7.344600)(7.746131,7.243228)(7.623588,6.629188)\thinlines
\drawline(5.347826,4.094297)(5.532163,3.817317)(5.858250,4.160117)(5.347826,4.094297)
\thicklines\drawline(5.347826,7.356424)(5.532163,7.244109)(5.858250,7.578841)(5.347826,7.356424)\thinlines
\drawline(6.186779,2.312125)(5.718390,2.381063)(5.811779,2.137125)(6.186779,2.312125)
\drawline(5.436779,1.962125)(5.046429,1.863788)(5.514819,1.794851)(5.436779,1.962125)
\drawline(7.868674,3.935988)(7.614129,3.679232)(8.179792,3.811238)(7.868674,3.935988)
\thicklines\drawline(7.868674,7.566986)(7.614129,7.765070)(8.179792,7.467945)(7.868674,7.566986)\thinlines
\drawline(9.919689,2.042325)(9.501338,2.320847)(9.190678,1.970847)(9.919689,2.042325)
\drawline(3.906079,1.415451)(3.729716,1.298967)(4.200543,1.318452)(3.906079,1.415451)
\drawline(6.186779,1.322176)(5.889819,1.474876)(5.796429,1.223839)(6.186779,1.322176)
\drawline(6.186779,2.312125)(6.667612,2.211810)(6.574223,2.455747)(6.186779,2.312125)
\drawline(9.082986,2.599369)(9.097609,2.792929)(8.517782,2.692614)(9.082986,2.599369)
\drawline(4.862119,4.361743)(5.673913,4.437098)(5.172302,4.741856)(4.862119,4.361743)
\thicklines\drawline(4.862119,7.116901)(5.673913,7.348481)(5.172302,6.741856)(4.862119,7.116901)\thinlines
\drawline(6.905184,1.146494)(6.093390,1.071138)(6.827698,0.858144)(6.905184,1.146494)
\drawline(7.417612,1.861810)(6.761002,1.967873)(7.030169,1.718188)(7.417612,1.861810)
\drawline(9.515960,3.272081)(9.677436,2.893244)(10.161120,3.186259)(9.515960,3.272081)
\thicklines\drawline(9.515960,6.249910)(9.677436,5.839735)(10.161120,5.186259)(9.515960,6.249910)\thinlines
\drawline(6.042587,3.388162)(6.553011,3.453982)(6.226924,3.606156)(6.042587,3.388162)
\thicklines\drawline(6.042587,6.905985)(6.553011,7.429686)(6.226924,7.421704)(6.042587,6.905985)\thinlines
\drawline(4.203040,1.757726)(4.578040,1.932726)(4.125000,1.925000)(4.203040,1.757726)
\drawline(4.336432,1.116728)(4.613405,0.928826)(4.780511,1.045063)(4.336432,1.116728)
\drawline(6.679792,3.111238)(6.184337,3.017994)(6.495455,2.893244)(6.679792,3.111238)
\thicklines\drawline(6.679792,7.007261)(6.184337,6.113122)(6.495455,6.377814)(6.679792,7.007261)\thinlines
\drawline(7.471744,2.886173)(7.967200,2.979417)(7.486366,3.079733)(7.471744,2.886173)
\thicklines\drawline(7.471744,7.281082)(7.967200,7.388634)(7.486366,7.468335)(7.471744,7.281082)\thinlines
\drawline(7.746131,4.282588)(8.434337,4.067994)(8.357085,4.446226)(7.746131,4.282588)
\thicklines\drawline(7.746131,7.243228)(8.434337,7.026516)(8.357085,6.446226)(7.746131,7.243228)\thinlines
\drawline(5.858250,4.160117)(6.184337,4.502918)(5.673913,4.437098)(5.858250,4.160117)
\thicklines\drawline(5.858250,7.578841)(6.184337,7.330758)(5.673913,7.348481)(5.858250,7.578841)\thinlines
\drawline(5.811779,2.137125)(5.905169,1.893188)(6.280169,2.068188)(5.811779,2.137125)
\drawline(5.514819,1.794851)(5.983208,1.725914)(5.905169,1.893188)(5.514819,1.794851)
\drawline(8.179792,3.811238)(8.745455,3.943244)(8.434337,4.067994)(8.179792,3.811238)
\thicklines\drawline(8.179792,7.467945)(8.745455,6.867653)(8.434337,7.026516)(8.179792,7.467945)\thinlines
\drawline(9.190678,1.970847)(8.730833,1.649685)(9.527627,1.700027)(9.190678,1.970847)
\drawline(4.200543,1.318452)(4.653583,1.326178)(4.359119,1.423177)(4.200543,1.318452)
\drawline(5.796429,1.223839)(5.703040,0.972801)(6.093390,1.071138)(5.796429,1.223839)
\drawline(6.574223,2.455747)(6.480833,2.699685)(6.093390,2.556063)(6.574223,2.455747)
\drawline(8.517782,2.692614)(7.937955,2.592298)(8.503159,2.499054)(8.517782,2.692614)
\drawline(3.642915,4.446226)(3.423913,4.002174)(4.112119,4.216768)(3.642915,4.446226)
\thicklines\drawline(3.642915,6.446226)(3.423913,6.002174)(4.112119,6.698338)(3.642915,6.446226)\thinlines
\drawline(8.343390,1.506063)(7.655184,1.291469)(8.357085,1.153774)(8.343390,1.506063)
\drawline(8.730833,1.649685)(8.074223,1.755747)(8.343390,1.506063)(8.730833,1.649685)
\drawline(8.745455,3.943244)(9.205300,3.622081)(9.527627,3.899973)(8.745455,3.943244)
\thicklines\drawline(8.745455,6.867653)(9.205300,6.592525)(9.527627,5.899973)(8.745455,6.867653)\thinlines
\drawline(5.021739,3.256522)(5.532163,3.322342)(5.206076,3.474516)(5.021739,3.256522)
\thicklines\drawline(5.021739,5.256522)(5.532163,6.167301)(5.206076,6.244582)(5.021739,5.256522)\thinlines
\drawline(3.453040,1.407726)(3.828040,1.582726)(3.375000,1.575000)(3.453040,1.407726)
\drawline(5.703040,0.972801)(5.236047,0.997087)(5.530117,0.832281)(5.703040,0.972801)
\drawline(7.670703,3.297727)(7.175248,3.204482)(7.486366,3.079733)(7.670703,3.297727)
\thicklines\drawline(7.670703,7.645505)(7.175248,7.484514)(7.486366,7.468335)(7.670703,7.645505)\thinlines
\drawline(6.480833,2.699685)(6.976289,2.792929)(6.495455,2.893244)(6.480833,2.699685)
\drawline(6.184337,4.502918)(6.996131,4.427563)(6.827698,4.741856)(6.184337,4.502918)
\thicklines\drawline(6.184337,7.330758)(6.996131,7.344600)(6.827698,6.741856)(6.184337,7.330758)\thinlines
\drawline(5.206076,3.474516)(5.532163,3.817317)(5.021739,3.751496)(5.206076,3.474516)
\thicklines\drawline(5.206076,6.244582)(5.532163,7.244109)(5.021739,6.743692)(5.206076,6.244582)\thinlines
\drawline(5.625000,2.625000)(5.718390,2.381063)(6.093390,2.556063)(5.625000,2.625000)
\drawline(4.578040,1.932726)(5.046429,1.863788)(4.968390,2.031063)(4.578040,1.932726)
\drawline(7.048466,3.547226)(7.614129,3.679232)(7.303011,3.803982)(7.048466,3.547226)
\thicklines\drawline(7.048466,7.729107)(7.614129,7.765070)(7.303011,7.806008)(7.048466,7.729107)\thinlines
\drawline(9.662814,2.699685)(9.501338,2.320847)(10.161120,2.413741)(9.662814,2.699685)
\drawline(3.266722,1.285726)(3.729716,1.298967)(3.453040,1.407726)(3.266722,1.285726)
\drawline(5.983208,1.725914)(5.889819,1.474876)(6.280169,1.573213)(5.983208,1.725914)
\drawline(6.761002,1.967873)(6.667612,2.211810)(6.280169,2.068188)(6.761002,1.967873)
\drawline(9.677436,2.893244)(9.097609,2.792929)(9.662814,2.699685)(9.677436,2.893244)
\thicklines\drawline(9.677436,5.839735)(9.097609,6.494511)(9.662814,5.666628)(9.677436,5.839735)\thinlines
\drawline(4.271739,3.606522)(5.021739,3.751496)(4.597826,3.949323)(4.271739,3.606522)
\thicklines\drawline(4.271739,5.606522)(5.021739,6.743692)(4.597826,6.747796)(4.271739,5.606522)\thinlines
\drawline(7.030169,1.718188)(6.280169,1.573213)(6.936779,1.467151)(7.030169,1.718188)
\drawline(8.192499,2.149054)(7.535889,2.255117)(7.805056,2.005432)(8.192499,2.149054)
\drawline(8.236366,3.429733)(8.547027,3.079733)(8.801571,3.336488)(8.236366,3.429733)
\thicklines\drawline(8.236366,7.518712)(8.547027,7.203592)(8.801571,7.094394)(8.236366,7.518712)\thinlines
\drawline(5.673913,2.952174)(6.184337,3.017994)(5.858250,3.170168)(5.673913,2.952174)
\thicklines\drawline(5.673913,4.952174)(6.184337,6.113122)(5.858250,6.106615)(5.673913,4.952174)\thinlines
\drawline(4.359119,1.423177)(4.734119,1.598177)(4.281079,1.590451)(4.359119,1.423177)
\drawline(5.109119,1.278202)(4.653583,1.326178)(4.950543,1.173477)(5.109119,1.278202)
\drawline(7.048466,3.547226)(6.553011,3.453982)(6.864129,3.329232)(7.048466,3.547226)
\thicklines\drawline(7.048466,7.729107)(6.553011,7.429686)(6.864129,7.463449)(7.048466,7.729107)\thinlines
\drawline(7.442499,2.499054)(7.937955,2.592298)(7.457122,2.692614)(7.442499,2.499054)
\drawline(6.553011,3.948957)(7.303011,3.803982)(7.118674,4.080963)(6.553011,3.948957)
\thicklines\drawline(6.553011,7.770453)(7.303011,7.806008)(7.118674,7.723029)(6.553011,7.770453)\thinlines
\drawline(6.226924,3.606156)(6.553011,3.948957)(6.042587,3.883137)(6.226924,3.606156)
\thicklines\drawline(6.226924,7.421704)(6.553011,7.770453)(6.042587,7.592535)(6.226924,7.421704)\thinlines
\drawline(4.875000,2.275000)(4.968390,2.031063)(5.343390,2.206063)(4.875000,2.275000)
\drawline(4.734119,1.598177)(5.202508,1.529240)(5.124469,1.696514)(4.734119,1.598177)
\drawline(7.670703,3.297727)(8.236366,3.429733)(7.925248,3.554482)(7.670703,3.297727)
\thicklines\drawline(7.670703,7.645505)(8.236366,7.518712)(7.925248,7.672084)(7.670703,7.645505)\thinlines
\drawline(8.503159,2.499054)(8.192499,2.149054)(8.772326,2.249369)(8.503159,2.499054)
\drawline(3.857803,1.091019)(4.336432,1.116728)(4.024180,1.201968)(3.857803,1.091019)
\drawline(5.202508,1.529240)(5.109119,1.278202)(5.499469,1.376539)(5.202508,1.529240)
\drawline(7.535889,2.255117)(7.442499,2.499054)(7.055056,2.355432)(7.535889,2.255117)
\drawline(8.547027,3.079733)(7.967200,2.979417)(8.532404,2.886173)(8.547027,3.079733)
\thicklines\drawline(8.547027,7.203592)(7.967200,7.388634)(8.532404,7.072068)(8.547027,7.203592)\thinlines
\drawline(4.597826,3.949323)(4.862119,4.361743)(4.112119,4.216768)(4.597826,3.949323)
\thicklines\drawline(4.597826,6.747796)(4.862119,7.116901)(4.112119,6.698338)(4.597826,6.747796)\thinlines
\drawline(6.905184,1.146494)(7.655184,1.291469)(6.936779,1.467151)(6.905184,1.146494)
\drawline(7.417612,1.861810)(8.074223,1.755747)(7.805056,2.005432)(7.417612,1.861810)
\drawline(9.515960,3.272081)(9.205300,3.622081)(8.801571,3.336488)(9.515960,3.272081)
\thicklines\drawline(9.515960,6.249910)(9.205300,6.592525)(8.801571,7.094394)(9.515960,6.249910)\thinlines
\drawline(6.042587,3.388162)(5.532163,3.322342)(5.858250,3.170168)(6.042587,3.388162)
\thicklines\drawline(6.042587,6.905985)(5.532163,6.167301)(5.858250,6.106615)(6.042587,6.905985)\thinlines
\drawline(4.203040,1.757726)(3.828040,1.582726)(4.281079,1.590451)(4.203040,1.757726)
\drawline(5.236047,0.997087)(4.950543,1.173477)(4.780511,1.045063)(5.236047,0.997087)
\drawline(6.679792,3.111238)(7.175248,3.204482)(6.864129,3.329232)(6.679792,3.111238)
\thicklines\drawline(6.679792,7.007261)(7.175248,7.484514)(6.864129,7.463449)(6.679792,7.007261)\thinlines
\drawline(7.471744,2.886173)(6.976289,2.792929)(7.457122,2.692614)(7.471744,2.886173)
\thicklines\drawline(7.471744,7.281082)(6.976289,6.890386)(7.457122,7.083827)(7.471744,7.281082)\thinlines
\drawline(7.746131,4.282588)(6.996131,4.427563)(7.118674,4.080963)(7.746131,4.282588)
\thicklines\drawline(7.746131,7.243228)(6.996131,7.344600)(7.118674,7.723029)(7.746131,7.243228)\thinlines
\drawline(5.858250,4.160117)(5.532163,3.817317)(6.042587,3.883137)(5.858250,4.160117)
\thicklines\drawline(5.858250,7.578841)(5.532163,7.244109)(6.042587,7.592535)(5.858250,7.578841)\thinlines
\drawline(5.811779,2.137125)(5.718390,2.381063)(5.343390,2.206063)(5.811779,2.137125)
\drawline(5.514819,1.794851)(5.046429,1.863788)(5.124469,1.696514)(5.514819,1.794851)
\drawline(8.179792,3.811238)(7.614129,3.679232)(7.925248,3.554482)(8.179792,3.811238)
\thicklines\drawline(8.179792,7.467945)(7.614129,7.765070)(7.925248,7.672084)(8.179792,7.467945)\thinlines
\drawline(9.190678,1.970847)(9.501338,2.320847)(8.772326,2.249369)(9.190678,1.970847)
\drawline(4.200543,1.318452)(3.729716,1.298967)(4.024180,1.201968)(4.200543,1.318452)
\drawline(5.796429,1.223839)(5.889819,1.474876)(5.499469,1.376539)(5.796429,1.223839)
\drawline(6.574223,2.455747)(6.667612,2.211810)(7.055056,2.355432)(6.574223,2.455747)
\drawline(8.517782,2.692614)(9.097609,2.792929)(8.532404,2.886173)(8.517782,2.692614)

\end{picture}

\enlargethispage{44pt}

{\Small
\begin{verbatim}

%       The solution
%pdesurf(p,t,u); pause % Press any key after plot

% The error
%pdesurf(p,t,u-exact);

pause % Strike any key to end.

echo off
exit

 145048 flops.

\end{verbatim}
}

Exemple de sp\'ecification d'un secteur parabolique:
\href{pdepar.m}
{\texttt{pdepar.m}} ,
\href{parab.m}
{\texttt{parab.m}} ,
\href{bparab.m}
{\texttt{bparab.m}}


\chapter{Sch\'emas de diff\'erences finies: probl\`emes elliptiques.}
\renewcommand{\mylmark}{Diff. finies. Ell.}
\thispagestyle{fancy}
%\lhead{\rmfamily \textsf{MATH2180\ 2000-2001\ }--\ \textbf{\thechapter}\ --\ \mylmark\  --} \chead{} \rhead{\rmfamily\thepage}
%\lfoot{}\cfoot{}\rfoot{}

\section{Op\'erateurs de prolongement et de restriction.}

%\subsection{}
 \  Les approximations $u_h$ de la solution dans $U$ de
$Lu=f$ sont dans des espaces $U_h$ qui ne sont plus n\'ecessairement
des parties de $U$. En diff\'erences finies, $U_h$ est l'espace des fonctions
d\'efinies sur un ensemble (fini) de points $\{x_i^{(h)}\}$ de
$\overline{\Omega}$. S'il y a $N_h$ points $x_i^{(h)}$, on a
$U_h= \mathbb{R}^{N_h}$.

On ne peut plus comparer directement des \'el\'ements de
$U$ et de $U_h$. On consid\`ere:
\begin{enumerate}
  \item L'op\'erateur de \textbf{prolongement} $p_h: U_h \longrightarrow U$
  associe une fonction de $U$ \`a partir d'un vecteur  de $U_h$.
  \item L'op\'erateur de \textbf{restriction} $r_h: U \longrightarrow U_h$
  associe une fonction de $U_h$ \`a partir d'une fonction de $U$.
\end{enumerate}
{\Small
(Ce ne sont d'ailleurs pas de vrais op\'erateurs de prolongement ou de
restriction si $U_h\not\subset U$\dots mais $U_h$ est en quelque sorte
``beaucoup plus petit'' que $U$ [la dimension de $U_h$ est le nombre de
points $x_i^{(h)}$]. Cf. [Temam, p.~27] pour une pr\'esentation de
l'approximation externe.).
}

\smallskip

\emph{\textbf{Par exemple}}, on prendra $(r_h u)_i =
 u(x_i^{(h)})$\dots si des valeurs ponctuelles de $u$ ont un sens (rappelons
 que ce n'est pas vrai pour un \'el\'ement quelconque de $L^2$ ou de
 certains espaces de Sobolev). Mais des consid\'erations de
normes vont faire pr\'ef\'erer l'usage de pond\'erations:

\subsection{Normes}  On adoptera la norme euclidienne
$$ \| [\xi_1,\dotsc, \xi_N]\|= \sqrt{\xi_1^2 +\dotsb \xi_N^2} $$
 des vecteurs
de $U_h$, tout en veillant \`a ce que la norme de $r_hu$
 se rapproche de la norme de $u$ dans $L^2(\Omega)$
\`a mesure que $h$ se rapproche de 0: pour une grille r\'eguli\`ere,
on prendra $r_hu=[ \dotsc \sqrt{|\omega_h|}\;u(x_i) \dotsc]$, o\`u
$|\omega_h|$ est l'\'etendue (longueur, aire, volume) d'une maille.


Pour une grille quelconque, on prendra donc
 $\displaystyle{(r_h u)_i = \sqrt{|\omega_i^{(h)}|}\; u(x_i^{(h)}) }$,
  ou \\
 $\displaystyle{(r_h u)_i = \dfrac{1}{\sqrt{|\omega_i|}}
  \int_{\omega_i} u(t)\,dt }$, o\`u $\omega_i$ est un voisinage de
  $x_i^{(h)}$.

\smallskip


 Quant \`a
 $p_h u_h$, il sera souvent un interpolant de $u_h$, y compris un
interpolant de type \'el\'ement fini.

\smallskip
%\subsection{}
\   L'interpolation devrait converger: il est bon d'avoir
 $p_h r_h u \to u$ quand $h\to 0$ pour tout $u\in U$, ou au moins
dans une partie dense de $U$.

\section{Approximation d'op\'erateurs. Consistance.}

%\subsection{}
 \  Les op\'erateurs diff\'erentiels sont approch\'es
par des combinaisons lin\'eaires de valeurs. Ainsi,
$\displaystyle{   \dfrac{u(x_{i+1})-u(x_i)}{h_i=x_{i+1}-x_i} }$
est une approximation vraisemblable de $\partial u/\partial x$.

Si $u$ est suffisamment d\'erivable, on v\'erifie l'approximation
par d\'eveloppement de Taylor:
\begin{equation} \label{consistup}
\dfrac{u(x_i)-u(x_{i-1}}{h_{i-1}=x_i-x_{i-1}}=
\dfrac{u(x_i)-u(x_i-h_{i-1})}{h_{i-1}}=  u'(x_i)-\dfrac{h_{i-1}}{2}
   u''(x_i)+\dotsb
\end{equation}

\smallskip

\subsection{\label{defconst}D\'efinition}  \textsl{Les op\'erateurs $L_h$ sont des
approximations \textbf{consistantes} de $L$ si
\begin{equation} \label{consist}
      \|L_h r_h u - r_h L u\| \to 0  \  \text{quand\ } h\to 0,
\end{equation}
pour tout $u$ dans une partie dense de $U$.}

N.B. $L_h$ est op\'erateur sur $U_h=\mathbb{R}^N$, donc repr\'esent\'e
par une \emph{\textbf{matrice}}; la norme dans \eqref{consist} est la
norme euclidienne des vecteurs.

\smallskip
On v\'erifie la consistance dans $\mathscr{C}^m(\overline{\Omega})$, avec
$m$ assez grand, par d\'eveloppement de Taylor de $u$, par exemple pour
la d\'eriv\'ee premi\`ere plus haut:

\noindent\emph{\textbf{Exemple. D\'eriv\'ee premi\`ere.}}
Soit $U$ un espace vectoriel de fonctions sur $[0,1]$ s'annulant en $x=0$,
et des points $0<x_1<x_2<\dotsb < x_N=1$,  $h_i=x_{i+1}-x_i$.
 Si $r_h$ fait correspondre
le vecteur $[\xi_1,\dotsc, \xi_N] = [\sqrt{h_0}\,u(x_1),\dotsc,
\sqrt{h_{N-1}}\,u(x_N)]$ \`a la
fonction $u\in U$, on discr\'etise l'op\'erateur de d\'erivation en
un op\'erateur sur $U_h = \mathbb{R}^N$, c'est-\`a-dire une
matrice $D_h$, en veillant \`a ce que $D_hr_hu$ soit proche du
 vecteur des $\sqrt{h_{i-1}}u'(x_i)$, ce qui donne la matrice

$$ D_h = \begin{bmatrix}  1/h_0  &     &     &          \\
                         -1/\sqrt{h_0h_1} & 1/h_1 &    &          \\
                              &\ddots &\ddots &        \\
                &       & -1/\sqrt{h_{N-2}h_{N-1}}& 1/h_{N-1}
         \end{bmatrix}
$$

Comment appr\'ecier si cet op\'erateur approche bien la d\'erivation?
On applique $D_h$ \`a $r_hu$, pour obtenir le vecteur des
$(u(x_i)/\sqrt{h_{i-1}}-u(x_{i-1})/\sqrt{h_{i-1}}$, $i=1,2,\dotsc, N$,
 \`a comparer
au vecteur des $\sqrt{h_{i-1}}\,u'(x_i)$. On retrouve \'evidemment
l'analyse faite en \eqref{consistup}, avec une erreur en
$h_{i-1}^{3/2}$ par composante, d'o\`u une norme d'erreur en
$\max_i h_i$.

\noindent\emph{\textbf{Exemple. D\'eriv\'ee seconde.}}
Pour v\'erifier que
\begin{equation} \label{consistusec}
   \dfrac{   \dfrac{u_{i+1}-u_i }{h_i}  -\dfrac{u_i-u_{i-1}}{h_{i-1}}  }
         {(h_i+h_{i-1})/2  }
\end{equation}
est une approximation consistante de $u''(x_i)$\footnote{On aura
peut \^etre reconnu une \emph{\textbf{diff\'erence divis\'ee}}\dots},
prenons $u$ dans $\mathscr{C}^3$: \\
$ u(x)=u_i + u'_i (x-x_i) + (u''_i/2) (x-x_i)^2 + O(|x-x_i|^3)$, \\
$ u_{i+1} = u_i +h_i u'_i +h_i^2 u''_i/2 +O(h_i^3)$, \hfill
$ u_{i-1} = u_i -h_{i-1} u'_i +h_{i-1}^2 u''_i/2 +O(h_{i-1}^3)$, \\
$\displaystyle{  \dfrac{u_{i+1}-u_i}{h_i} = u'_i +h_i u''_i/2 +O(h_i^2) }$, \hfill
$\displaystyle{  \dfrac{u_i-u_{i-1}}{h_{i-1}} = u'_i -h_{i-1} u''_i/2 +O(h_{i-1}^2) }$, \\
et on a bien \eqref{consistusec} $= u''_i$ avec une erreur
$O(\max(h_i, h_{i-1}))$ par composante.

Pour une v\'erification soign\'ee,prenons
 $U$ un espace vectoriel de fonctions sur $[0,1]$ s'annulant en $x=0$,
en $x=1$,
et des points $0<x_1<x_2<\dotsb  < x_{N-1} <1$,  $h_i=x_{i+1}-x_i$.
Soit  $r_hu=$
$[\sqrt{|\omega_0|}\,u(x_1),\dotsc, \sqrt{|\omega_{N-2}|}\,u(x_{N-1})]$,
o\`u $|\omega_i|$ devra \^etre proche de $h_i$, mais reste libre
(on cherchera \`a v\'erifier une autre propri\'et\'e). On applique
\eqref{consistusec} \`a $u$, mais en cherchant la matrice qui
donne un vecteur proche de $r_hu''$ par multiplication par $r_hu$:
$$ D^{(2)}_h = \begin{bmatrix}  -\dfrac{2}{h_0h_1}  &
 \sqrt{\dfrac{|\omega_0|}{|\omega_1|}}\dfrac{2}{h_1(h_0+h_1)}  &     &  \\
 \sqrt{\dfrac{|\omega_1|}{|\omega_0|}}\dfrac{2}{h_1(h_1+h_2)}  &
        -\dfrac{2}{h_1h_2}  &
 \sqrt{\dfrac{|\omega_1|}{|\omega_2|}}\dfrac{2}{h_2(h_1+h_2)}  &     \\
                              \ddots &\ddots &  \ddots &  \\
                &       &
 \sqrt{\dfrac{|\omega_{N-2}|}{|\omega_{N-3}|}}\dfrac{2}{h_{N-2}(h_{N-2}+h_{N-1})}  &
        -\dfrac{2}{h_{N-2}h_{N-1}}
         \end{bmatrix}
$$
Avec $|\omega_i|= (h_i+h_{i+1})/2$,
on obtient une matrice \emph{\textbf{sym\'etrique}},
 comme il se doit lorsque l'on approche un probl\`eme autoadjoint,
 ce qui sera pr\'ecieux par la suite.

 Cette propri\'et\'e de sym\'etrie, qui
\'etait r\'ealis\'ee automatiquement dans les m\'ethodes de Ritz-Galerkin\footnote{
Puisque l'on obtenait $L_h=$ \emph{\textbf{matrice de rigidit\'e}} par
$(L_h\varphi_i, \varphi_j)= (L\varphi_i, \varphi_j) = a(\varphi_i, \varphi_j)$,
o\`u $a$ est bilin\'eaire \emph{\textbf{sym\'etrique}} si $L$ est
auto-adjoint,
$\{\varphi_1,\dotsc, \varphi_M\}$ est une base de $U_h$.}, doit
maintenant \^etre v\'erifi\'ee cas par cas.


Pour un maillage uniforme $h_i=h$, on retrouve la matrice
\begin{equation} \label{equsec}  \begin{split}
      L_h u_h &= r_h f  \quad : \\
  h^{-2}\,\begin{bmatrix} 2  &  -1  &     &     &      &    &  \\
                         -1  &  2   &  -1 &     &      &    &  \\
                            &\ddots & \ddots & \ddots &  &   &  \\
                            &      &\ddots & \ddots & \ddots &  &  \\
                             &      &     &     &  -1  & 2  & -1 \\
                             &      &     &     &      & -1 & 2
           \end{bmatrix}
           \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\ \vdots\\ \vdots \\ u_{N-2}\\u_{N-1}
           \end{bmatrix}
     &=
           \begin{bmatrix} f_1\\f_2\\ \vdots\\ \vdots \\ f_{N-2}\\f_{N-1}
           \end{bmatrix}
\end{split} \end{equation}
d\'ej\`a souvent rencontr\'ee auparavant (ici, $Lu=-u''$).

\subsection{Discr\'etisations du laplacien}  \  \\
     \index{Laplace, \'eq. de}
Le \emph{\textbf{laplacien}} \`a deux dimensions
$\partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 $
sera approch\'e sur
une grille de pas $h_x$ et $h_y$ par le fameux sch\'ema \`a 5 points
\begin{equation} \label{laplace}
  \dfrac{ u_{i+1,j} -2u_{i,j} +u_{i-1,j} }{h_x^2} +
  \dfrac{ u_{i,j+1} -2u_{i,j} +u_{i,j-1} }{h_y^2}
\end{equation}

Pour $h_x=h_y=h$, on a donc $\displaystyle{
                            (L_h u)_{i,j} =
                            h^{-2}\begin{pmatrix}   &  -1  &  \\
                                                 -1 &  4  &  -1 \\
                                                    &  -1  &
                                    \end{pmatrix}  u_{i,j} } $,
qui vaut $-\Delta u$ avec une erreur born\'ee par const.~$h^2$: \\
$u(x\pm h,y) = u(x,y) \pm h \partial u(x,y)/\partial x
                       +(h^2/2) \partial^2 u(x,y)/\partial x^2
                       \pm(h^3/6) \partial^3 u(x,y)/\partial x^3
                       +(h^4/24) \partial^4 u(x,y)/\partial x^4  \pm
              \dotsb$ \\
$u(x, y\pm h) = u(x,y) \pm h \partial u(x,y)/\partial y
                       +(h^2/2) \partial^2 u(x,y)/\partial y^2
                       \pm(h^3/6) \partial^3 u(x,y)/\partial y^3
                       +(h^4/24) \partial^4 u(x,y)/\partial y^4  \pm
              \dotsb$   \\
et on trouve $L_h u =  -\Delta u
                      -(h^2/12) [\partial^4 u(x,y)/\partial x^4
                                +\partial^4 u(x,y)/\partial y^4] +\dotsb$

On augmente la pr\'ecision\footnote{Abramowitz, 25.3.31} en
faisant intervenir $u(x\pm 2h,y)$ et  $u(x, y\pm 2h)$:

 $\displaystyle{
        \dfrac{1}{12h^2}\begin{pmatrix}   &   & 1  &   & \\
                                          &   & -16 &  & \\
                                        1 & -16&60 & -16 & 1 \\
                                          &   & -16 &  & \\
                                          &   &  1  &   &
                                    \end{pmatrix}  u_{i,j}
    = -\Delta u +O(h^4)          } $.

Pour l'op\'erateur \emph{biharmonique}\footnote{Abramowitz, 25.3.32},
 $\displaystyle{
        \dfrac{1}{h^4}\begin{pmatrix}   &   & 1  &   & \\
                                          & 2 & -8 & 2& \\
                                        1 & -8&20 & -8 & 1 \\
                                          & 2 & -8 & 2 & \\
                                          &   &  1  &   &
                                    \end{pmatrix}  u_{i,j}
    = \Delta^2 u +O(h^2)          } $.

\bigskip

On am\'eliore la pr\'ecision de la discr\'etisation de
\emph{l'\'equation de Poisson} $-\Delta u=f$ en faisant
intervenir plusieurs valeurs de $f$ (sch\'ema \`a plusieurs points
(\emph{Mehrstellenverfahren}) de Collatz):

 $\displaystyle{
        \dfrac{1}{6h^2}\begin{pmatrix}   -1   & -4  & -1   \\
                                         -4  & 20 & -4 \\
                                         -1  & -4 & -1
                                    \end{pmatrix}  u_{i,j}
    = \dfrac{1}{12}
                       \begin{pmatrix}        &  1  &      \\
                                          1  &  8 &  1 \\
                                             & 1  &
                                    \end{pmatrix}  f_{i,j}
  } $\footnote{P.~Henrici, \textsl{Applied and Complex Computational
 Analysis}, vol.~3, Wiley, 1986, \S~15.12}. En effet, on reconna\^it
dans le second membre la discr\'etisation, \`a $h^4$ pr\`es, de
$f +h^2 \Delta f/12$. Ce qui vaut, \emph{pour la solution de
l'\'equation de Poisson}, $f-h^2 \Delta^2 u/12$. Quant au membre de gauche,
il repr\'esente la discr\'etisation, toujours \`a $h^4$ pr\`es, de
$-\Delta u -h^2 \Delta^2 u/12$.


\section{Solubilit\'e des \'equations discr\`etes. Stabilit\'e
 num\'erique.}


Matrices: comme $U_h$ est essentiellement $\mathbb{R}^M$, $L_h$
se repr\'esente par une matrice. Avec l'exemple $Lu=f: -u''=f$ sur
$[0,L]$ avec $u(0)=u(L)=0$, et  $h=L/N$, on obtient $M=N-1$
\'equations.

Pour un probl\`eme de laplacien sur le rectangle $[0,L_1]\times [0,L_2]$,
avec $h_x=L_1/N_1$ et $h_y=L_2/N_2$ dans \eqref{laplace}, on a une matrice
d'ordre $M=(N_1-1)(N_2-1)$, nombre de points int\'erieurs.

La moindre des choses dans l'\'etude de $L_h u_h = r_hf$ est de veiller
\`a l'existence de l'inverse de $L_h$. En fait, on ira plus loin en
cherchant \`a borner $\|L_h^{-1}\|$ ind\'ependamment de $h$
(\emph{stabilit\'e}).

\smallskip

\noindent\textsl{Si $L_h$ est r\'eelle sym\'etrique, la norme d'une fonction
rationnelle r\'eelle $F(L_h)$ est alors le maximum des $|F(\lambda)|$ o\`u
$\lambda$ parcourt le spectre de $L_h$.}

 En effet, $F(L_h)$ est encore sym\'etrique r\'eelle, de valeurs propres
 $F(\lambda)$, et de vecteurs propres $\boldsymbol{v}^{(k)}$,
 $k=1,2,\dotsc, M$ orthogonaux entre eux. Soit $\boldsymbol{v}=\sum_1^M \xi_k
 \boldsymbol{v}^{(k)}$ un vecteur quelconque de $\mathbb{R}^M$, alors
$$ \|F(L_h)\|^2 = \sup_{\{\xi_k\}} \dfrac{ \|F(L_h)\boldsymbol{v}\|^2}
                                         { \|\boldsymbol{v}\|^2  } =
   \sup_{\{\xi_k\}} \dfrac{\sum_k (F(\lambda_k))^2 \xi_k^2}
                          { \sum_k \xi_k^2  } $$
vaut effectivement $\max_k (F(\lambda_k))^2$. \qed

\smallskip
D'o\`u l'int\'er\^et d'examiner le spectre de $L_h$. La m\'ethode de Ritz
appliqu\'ee \`a une forme coercive livrait spontan\'ement une matrice de
rigidit\'e d\'efinie positive, donc de spectre $>0$. Ici, il faut de
nouveau tout examiner cas par cas:

\subsection{Spectres de laplaciens discr\'etis\'es} \  \\

\noindent\textsl{Les valeurs propres et vecteurs propres de \eqref{equsec}
(probl\`eme de Dirichlet 1-D) sont }
\begin{equation} \label{usecprop}
 \lambda_k = 2(1-\cos(\pi kh/L))/h^2\;, \qquad
\boldsymbol{v}_j^{(k)} = \sin(\pi jkh/L), j=1,\dotsc, N-1\;; k=1,\dotsc,N-1,
\end{equation}
o\`u $L=Nh$. \\
En effet, avec $\boldsymbol{v}_0 =
                \boldsymbol{v}_N = 0$, $L_h\boldsymbol{v} = \lambda
    \boldsymbol{v}$ signifie
  $$ h^{-2}\left[-\boldsymbol{v}_{j-1}
     +2\boldsymbol{v}_j
     -\boldsymbol{v}_{j+1}\right] =
     \lambda \boldsymbol{v}_j  , \qquad j=1,2,\dotsc, N-1. $$
Cette \emph{\textbf{relation de r\'ecurrence}} \`a coefficients constants
se r\'esout par $\boldsymbol{v}_j = A\rho_1^j +B\rho_2^j$, $j=0,1,\dotsc,N$,
o\`u $\rho_1$ et $\rho_2$ sont les deux solutions\footnote{On devra v\'erifier
que $\rho_1\neq\rho_2$. Dans des cas o\`u $\rho_1=\rho_2=\rho$,
la solution est $(Aj+B)\rho^j$.} de
 $\rho^2 +(\lambda h^2-2)\rho +1=0$, et o\`u $A$ et $B$ sont d\'etermin\'es
 par les conditions aux limites
               $\boldsymbol{v}_0 =
                \boldsymbol{v}_N = 0$.
Comme $\rho_1\rho_2=1$, on a $\rho_1=\rho, \rho_2=1/\rho$ et
               $\boldsymbol{v}_0=0 \Rightarrow
               \boldsymbol{v}_j= A(\rho^j -\rho^{-j})$. La condition
   $ \boldsymbol{v}_N = 0$ implique alors $\rho^{2N}=1$: $\rho$ est \`a
choisir parmi les racines (complexes) $2N^{\text{\`emes}}$ de l'unit\'e
$\rho=\exp(ik\pi/N), k=1,2,\dotsc ?$ Le $k^{\text{\`eme}}$ vecteur
propre est bien $\boldsymbol{v}_j^{(k)} = \text{ constante }
  \sin(jk\pi/N)$, $j=1,2,\dotsc, N-1$, pour $k=1,2,\dotsc, N-1$: $k>N$
 reproduit des \'el\'ements d\'ej\`a trouv\'es, si $k=2N-k',
 \sin(j(2N-k')\pi/N) = -\sin(jk'\pi/N)$.

Enfin, la $k^{\text{\`eme}}$ valeur propre est $(2-\rho_1-\rho_2)/h^2 =
 (2-2\cos(k\pi/N))/h^2$. \qed

On a donc la satisfaction de constater que les valeurs propres sont positives,
entre
\begin{equation} \label{usecprop2}
  \lambda_{\min} \approx \dfrac{\pi^2}{N^2h^2} = \dfrac{\pi^2}{L^2}\qquad
   \text{ et } \qquad
   \lambda_{\max} \approx \dfrac{4}{h^2}.
\end{equation}
En fait, les petites valeurs propres sont proches de $k^2\pi^2/L^2$ qui
sont les valeurs propres de $L= -d^2/(dx^2)$, et on a
$ \|L_h^{-1}\| \approx \|L^{-1}\| = L^2/\pi^2$. Par contre,
$\|L_h\| \approx 4/h^2 \to\infty$ ($L$ est non born\'e sur $L^2[0,L]$).

\smallskip

\noindent\emph{\textbf{Probl\`emes de Neumann et Robin 1-D.}} On donne
\`a la fronti\`ere, non pas $u$, mais des combinaisons lin\'eaires
\index{Robin}
$u'(0)-\alpha u(0)$ (Robin; $\alpha=0$:Neumann; cas limite
$\alpha\to\infty$: Dirichlet) et $u'(L)+\beta u(L)$. Nous avons maintenant
$N+1$ \'equations \`a $N+1$ inconnues $u_0,u_1,\dotsc, u_N$. Les
membres de gauche sont encore $h^{-2}(-u_{i-1}+2u_i-u_{i+1}$, mais
on utilise la connaissance de $(2h)^{-1}(u_1-u_{-1})-\alpha u_0$
pour \'eliminer $u_{-1}$ de la premi\`ere \'equation qui devient
$h^{-2}[2(1+\alpha h)u_0 -2u_1]=\dotsc$; et
$h^{-2}[2(1+\beta h)u_N -2u_{N-1}]$ pour la derni\`ere
\'equation. \\
{\Small Valeurs et vecteurs propres: les composantes d'un vecteur propre
sont $v_j=\sin(j\theta+\varphi)$, avec $h^2\lambda=2-2\cos\theta$,
 pour $j=0,\dotsc, N$ prolong\'ees
en $j=-1$ et $j=N+1$. On doit alors v\'erifier les conditions
aux fronti\`eres $(2h)^{-1}(v_1-v_{-1})-\alpha v_0=0$ et
 $(2h)^{-1}(v_{N+1}-v_{N-1})+\beta v_N=0$. On a
$\sin\theta= \alpha h \tan\varphi = -\beta h \tan(N\theta+\varphi)$.
Elimination de $\varphi$: $(\alpha\beta h^2-\sin^2\theta)\tan(N\theta)
+(\alpha+\beta)h\sin\theta=0$. En $x=\cos\theta$:
 $(x^2+\alpha\beta h^2-1)U_{N-1}(x)+(\alpha+\beta)h T_N(x)=0$.
N.B. $\theta$ peut \^etre complexe, mais $x<1$, donc $\lambda>0$
d\`es que $\alpha$ et $\beta\geqslant 0$, $\alpha+\beta>0$.

Si $\alpha=\beta=0$ (Neumann pur), la matrice $L_h$ est
singuli\`ere, mais les \'equations $L_h u=b$ sont encore solubles, et
donnent $u$ \`a un vecteur constant pr\`es, si $b_0/2 +b_1+\dotsb +
b_{N-1}+b_N/2=0$.

Probl\`eme p\'eriodique: $u_0=u_N$, donc $N$ inconnues
$u_0,\dotsc,u_{N-1}$. Avec $u_{-1}=u_{N-1}$, la premi\`ere
\'equation est $h^{-2}(2u_0-u_1-u_{N-1})=b_0$, la derni\`ere est
$h^{-2}(-u_0 -u_{N-2}+2u_{N-1})=b_{N-1}$. Le syst\`eme est
singulier, mais soluble et donne $u$ \`a un vecteur constant
pr\`es si $b_0+b_1+\dotsb +b_{N-1}=0$. Valeurs et vecteurs
propres: $v_j=\sin(j\theta+\varphi)$, $h^2\lambda=
2-2\cos\theta$, avec $\theta=2k\pi/N$, $k=0,1,\dotsc, N-1$,
$\varphi$ arbitraire (les valeurs propres $\neq 0$  et 4 sont
doubles).
}

\medskip

\noindent\textsl{Pour le probl\`eme de Dirichlet
 $Lu=-\Delta u=0$ dans le
rectangle $\Omega=R= (0,L_1)\times (0,L_2)$ avec $u$ donn\'ee sur
 la fronti\`ere $\partial\Omega$, ou de Poisson
 $Lu=-\Delta u=f$ dans $R$
 avec $u|_{\partial\Omega} =0$,
on trouve, pour le Laplacien discr\'etis\'e par \eqref{laplace} }
\begin{equation} \label{laplaceprop}  \begin{split}
 \lambda_{k,\ell} &= 2(1-\cos(\pi kh_x/L_1))/h_x^2
                     +2(1-\cos(\pi \ell h_y/L_2))/h_y^2 \;, \\
\boldsymbol{v}_{i,j}^{(k,\ell)} &= \sin(\pi ikh_x/L_1)
                                   \sin(\pi j\ell h_y/L_2),
, i,k=1,\dotsc, N_1-1, \  j,\ell=1,\dotsc,N_2-1,
\end{split}\end{equation}
o\`u $L_1=N_1h_x,  L_2=N_2 h_y$. \\
({\Small Structure tensorielle de} $L_h$).

Donc, $\lambda_{\min} \approx  \dfrac{\pi^2}{L_1^2}+\dfrac{\pi^2}{L_2^2}$
 et $\lambda_{\max} \approx \dfrac{4}{h_x^2}+\dfrac{4}{h_y^2}$.



\smallskip

\noindent\textbf{In\'egalit\'es} si $\Omega\subset R$, pour une
m\^eme grille recouvrant \`a la fois $\Omega$ et $R$:
$$
\lambda_{\min,\Omega} \geqslant   \lambda_{\min,R}\qquad, \qquad%
\lambda_{\max,\Omega} \leqslant   \lambda_{\max,R}.
$$
En effet, $\displaystyle{  \lambda_{\min,\Omega} =
\min \xi^T L_{h,\Omega} \xi }$ sur les vecteurs v\'erifiant $\xi^T\xi=1$.
Comme chaque composante de $\xi$ est associ\'ee \`a une valeur de
fonction en un des $N_{\Omega}$ points de grille dans $\Omega$,
 consid\'erons que $\xi$
contient des composantes associ\'ees \`a tous les $N_R$ points de grille
de $R$, mais que les composantes associ\'ees \`a des points
de $R\setminus\Omega$ sont nulles. On minimise donc
$\xi^T L_{h,R}\xi$ sur une partie de $\mathbb{R}^{N_R}$, le minimum
est donc plus grand.

{\Small
\subsection{D\'eterminant, constante de Catalan.} \  \\

\`A \emph{\textbf{une}} dimension, le d\'eterminant $D_N$ de
$L_h$ se relie \`a $D_{N-1}$ et $D_{N-2}$ par \eqref{eqsec}:
$$ D_N = (2/h^2)D_{N-1} -(1/h^2)^2 D_{N-2}$$, ce qui se
r\'esout par $\displaystyle{ D_N = \dfrac{N}{h^{2N}} }$.

\`A \emph{\textbf{deux}} dimensions\footnote{Ph. Ruelle: ``Des
mod\`eles de piles de sable aux matrices de Toeplitz'',
\textsl{S\'eminaire non lin\'eaire MAPA, FYMA, CORE},
17 octobre 2002.}, on a, par \eqref{laplaceprop},
\begin{equation*}\begin{split}
 D_{N_1,N_2} &= \prod_{k=1}^{N_1} \prod_{\ell=1}^{N_2}
                     2(1-\cos(\pi kh_x/L_1))/h_x^2
                     +2(1-\cos(\pi \ell h_y/L_2))/h_y^2 \\
          &= \dfrac{1}{h_y^{2N_1 N_2}} \prod_{k=1}^{N_1}
                U_{N_2}\left( 1+\dfrac{h_y^2}{h_x^2}
                               (1-\cos(\pi k h_x/L_1)) \right) \\
      &\sim \dfrac{1}{h^{2N^2}} \prod_{k=1}^N
     [2-\cos(\pi k h/L)+\sqrt{(2-\cos(\pi k h/L))^2-1}]^N\quad\text{si\ }
                                    L_1=L_2 \\
           &\sim \dfrac{1}{h^{2N^2}}
             \exp\left( \dfrac{N^2}{\pi} \int_0^\pi
               \log[2-\cos\theta +\sqrt{(2-\cos\theta)^2-1}]\,d\theta
                   \right)
\end{split}\end{equation*}

}  %end Small


\subsection{Consistance et stabilit\'e num\'erique {$\boldsymbol{\Rightarrow}$} convergence} \  \\

\noindent\textbf{D\'efinition.} La famille de probl\`emes
$\{ L_h u_h = r_h f \}_h $ dans les espaces norm\'es $U_h$
est \textbf{num\'eriquement stable} si
$$   \|L_h^{-1}\|_h \leqslant C , $$
avec $C$ ind\'ependant de $h$ quand $h\to 0$.

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.} \textsl{Si
  \begin{enumerate}
    \item Les op\'erateurs $L_h$ sont des approximations consistantes de $L$,
    \item $Lu=f$ a une solution dans $U$,
    \item la famille $\{L_h u_h = r_h f\}$ est num\'eriquement stable,
  \end{enumerate}
alors, $\| u_h -r_h u\| \to 0$ quand $h\to 0$.  }

Cet \'enonc\'e traverse, sous de nombreuses formes (th\'eor\`emes de
 Kantorovitch, Lax, etc. etc.) toute l'analyse num\'erique

En effet, $u_h -r_h u = L_h^{-1} r_h f -r_h u =
                        L_h^{-1} r_h Lu -r_h u =
                        L_h^{-1}( r_h Lu -L_h r_h u)$ born\'e par
      $C \|r_h Lu-L_h r_h u\|$ qui tend vers 0 par
 \eqref{consist} (d\'efinition de consistance, \S~\ref{defconst},
p.~\pageref{defconst}). \qed

Rappelons que l'on a normalement $p_h r_h u\to u$, donc, ici,
$p_h u_h \to u$ quand $h\to 0$. On d\'eduit alors \emph{\textbf{l'unicit\'e}}
de la solution de $Lu=f$ dans $U$.

\section{M\'ethodes it\'eratives de r\'esolution num\'erique.
        M\'ethodes multigrilles.}    \index{multigrilles}

Pour $h$ petit, $L_h u_h = r_h f$ repr\'esente un nombre \'enorme
d'\'equations lin\'eaires toutes tr\`es simples. Les m\'ethodes directes
de r\'esolution (\'eliminations- factorisations de Gauss) deviennent
ruineuses, surtout pour des probl\`emes tridimensionnels.

Les m\'ethodes \emph{\textbf{it\'eratives}}\footnote{Plus
de d\'etails dans le cours \textsf{MATH2172}.} de r\'esolution consistent
\`a construire des approximations successives $\dotsc, u^{(m)},
u^{(m+1)},\dotsc $ de $u_h$ par des op\'erations tr\`es bon march\'e,
des combinaisons lin\'eaires de vecteurs et des multiplications par
$L_h$.

\smallskip
\subsection{M\'ethode de Jacobi} \  \\

Ainsi, une famille de \emph{\textbf{m\'ethodes de Jacobi}} (ou
 \emph{\textbf{Richardson}}) \`a un param\`etre fixe se pr\'esente
 comme
 \begin{equation} \label{jacobi}
    u^{(m+1)} = u^{(m)} -\alpha ( L_h u^{(m)} -r_h f).
 \end{equation}
Comme $L_h u_h = r_h f$, on a \'evidemment
 \begin{equation*}
    u_h = u_h -\alpha ( L_h u_h -r_h f),
 \end{equation*}
d'o\`u, par soustraction de \eqref{jacobi}
 \begin{equation} \label{jacobierr}
    u^{(m+1)}-u_h = (I -\alpha L_h) (u^{(m)}-u_h) =
                    (I -\alpha L_h)^{m+1}  (u^{(0)}-u_h).
 \end{equation}
Si $L_h$ est sym\'etrique d\'efinie positive, la m\'ethode converge
si $-1< 1-\alpha\lambda <1$ pour $\lambda$ dans le spectre de
$L_h$, ce qui donne la condition $0<\alpha < 2/\lambda_{\max}$.

\smallskip
On prend $\alpha$ proche de $1/\lambda_{\max}$. Si
$\kappa = \lambda_{\max}/\lambda_{\min}$ (\emph{\textbf{nombre de
condition}} de $L_h$) est grand, la convergence est \emph{tr\`es}
m\'ediocre:   pour gagner une d\'ecimale, $(1-1/\kappa)^m \approx
0.1 \Rightarrow $ il faut environ $2.3 \kappa$ it\'erations.

Pour des probl\`emes du second ordre, $\kappa$ se comporte comme
$h^{-2}$, $h^{-4}$ pour des probl\`emes du quatri\`eme ordre\dots

\medskip

On am\'eliore les choses en recourant \`a des m\'ethodes plus
\'elabor\'ees: gradients conjugu\'es, relaxation optimale, GMRES, etc.
assorties de techniques de pr\'econditionnement sophistiqu\'ees.

Voici une technique sp\'ecialement adapt\'ee aux syst\`emes
d'\'equations provenant de dis\-cr\'e\-ti\-sa\-tions de probl\`emes
diff\'erentiels:

\subsection{M\'ethodes multigrilles} \  \\

On fait une analyse modale, ou fr\'equentielle, des it\'er\'es
successifs de Jacobi pour un probl\`eme mod\`ele $-u''=f$ ou
$-\Delta u=f$: soit $u^{(0)}-u_h = \sum_1^M \xi^{(0)}_k \boldsymbol{v}^{(k)}$
la repr\'esentation du vecteur d'erreur initial dans la base des
vecteurs propres de $L_h$. Comme $(I-\alpha L_h)\boldsymbol{v}^{(k)} =
(1-\alpha\lambda_k)\boldsymbol{v}^{(k)}$, \eqref{jacobierr} montre que
$$ u^{(m)} -u_h = \sum_1^M  (1-\alpha\lambda_k)^m \xi^{(0)}_k
  \boldsymbol{v}^{(k)}. $$
Soit $\alpha=1/\lambda_{\max}$. On voit que les contributions des
vecteurs propres $\boldsymbol{v}^{(k)}$ s'amortissent d'autant plus
vite que $\lambda_k$ est grand, ainsi, l'amortissement est plus rapide
que $1/2^m$ si $\lambda_{\max}/2\leqslant \lambda_k \leqslant \lambda_{\max}$.

\smallskip
Les petites valeurs $\lambda_k$ correspondent \`a des contributions de
\emph{\textbf{basse fr\'equence}} $\boldsymbol{v}^{(k)}_j =
\sin(\pi j k h/L):$ longueur d'onde $= 2L/k \Rightarrow $ fr\'equence
$= k/(2L)$. Ces contributions ne n\'ecessitent pas un pas de discr\'etisation
tr\`es fin pour \^etre d\'etermin\'ees de mani\`ere satisfaisante, on va les
calculer s\'epar\'ement sur une grille plus grossi\`ere, par exemple de
pas $2h$, c'est l'id\'ee des sch\'emas multigrilles, qui s'applique
chaque fois qu'une m\'ethode it\'erative n'est ralentie que par les
contributions de basse fr\'equence dans le vecteur d'erreur\footnote{C'est
aussi le cas avec les m\'ethodes de Gauss-Seidel.
Cf:    Briggs, William L., \textsl{A multigrid tutorial},
 Philadelphia, Pa.: Society for Industrial and Applied Mathematics  (SIAM).
  IX, 90 p.;  (1987).}.

\smallskip

On proc\`ede comme suit: \\
on applique quelques fois, disons $p-1$ fois, le sch\'ema it\'eratif, on
obtient ainsi $u_h^{(pm)}$. On va estimer le vecteur d'erreur pour
\'etablir $u_h^{(pm+1)}$:
$$ u_h^{(pm+1)} = u_h^{(pm)} + \text{\  une approximation de \ }
      u_h -u_h^{(pm)}. $$
On devrait r\'esoudre $L_h(u_h - u_h^{(pm)}) = r_h f -L_h u_h^{(pm)}$ (vecteur
r\'esidu). On va r\'esoudre au moyen de $L_{2h}$ au lieu de $L_h$.
Comme $L_{2h}$ ne s'applique qu'\`a des fonctions de $U_{2h}$, on a
besoin d'un op\'erateur de restriction $U_h \to U_{2h}$: on \'evalue
$L_{2h}^{-1} r_{h\to 2h} (r_h f -L_h u_h^{(pm)})$. Souvent, l'op\'erateur
$r_{h\to 2h}$ consiste \`a prendre une composante sur 2, ou une sur 4 dans
des probl\`emes \`a deux dimensions, etc. \\On revient \`a la grille initiale
par un op\'erateur de prolongement $p_{2h\to h}$ (souvent une
  interpolation rudimentaire):
$$ u_h^{(pm+1)} = u_h^{(pm)} + p_{2h\to h} L_{2h}^{-1} r_{h\to 2h}
 ( r_h f- L_h u_h^{(pm)}). $$
En tenant compte des $p-1$ applications de d\'epart, le vecteur
d'erreur est multipli\'e par
$$ \left( I - p_{2h\to h} L_{2h}^{-1} r_{h\to 2h} L_h \right)
                              (I-\alpha L_h)^{p-1} $$
au cours d'un cycle complet.

\smallskip

Examinons l'effet sur un vecteur propre $\boldsymbol{v}^{(k)} =
 \{\sin(j\pi k h/L)\}_{j=1}^{j=N-1}$ de $L_h$: tout d'abord,
$L_h \boldsymbol{v}^{(k)} = 4h^{-2}\sin^2\theta_k
     \boldsymbol{v}^{(k)}$, avec $\theta_k = \pi k h/(2L) = \pi k/(2N)$.
 D\`es lors, si
  $\alpha=1/\lambda_{\max} \approx h^2/4$,
  $(I-\alpha L_h)^{p-1} \boldsymbol{v}^{(k)} = \cos^{2p-2}\theta_k
    \boldsymbol{v}^{(k)}$.

 Ensuite, on prend une composante sur deux\footnote{Un meilleur
 op\'erateur de restriction est $(r_{h\to 2h}\boldsymbol{x})_j =
 (x_{2j-1}+x_{2j}+x_{2j+1})/4$, $j=1,\dotsc, N/2-1$. On voit alors
s'introduire un pr\'ecieux facteur $\cos^2\theta_k$ suppl\'ementaire.} de
    $\boldsymbol{v}^{(k)}$,
ce qui donne
$\{\sin(2j\pi k h/L)\}_{j=1}^{j=N/2-1} =
 \{\sin(j\pi k (2h)/L)\}_{j=1}^{j=N/2-1} = \boldsymbol{w}^{(k)}$, le
$k^{\text{\`eme}}$ vecteur propre de $L_{2h}$.

 En fait, $L_{2h}$ n'a que $N/2-1$ valeurs et vecteurs propres au lieu
de $N-1$. Ce qui pr\'ec\`ede est valable pour $k=1,2,\dotsc, N/2-1$
(les basses fr\'equences); pour $k=N/2+1,\dotsc, N-1$, on voit que
$ \{\sin(j\pi k (2h)/L)\}_{j=1}^{j=N/2-1} =
  \{\sin(2j\pi k/N)\}_{j=1}^{j=N/2-1} =
  \{-\sin(2j\pi (N-k)/N)\}_{j=1}^{j=N/2-1} = -\boldsymbol{w}^{(N-k)}$
  (\emph{aliasing}).

On a donc
\begin{equation*}
  r_{h\to 2h} L_h \boldsymbol{v}^{(k)} =
   \begin{cases}
       4h^{-2}\sin^2\theta_k \boldsymbol{w}^{(k)} \text{\  si \ }
                k<N/2, \\
       -4h^{-2}\sin^2\theta_k \boldsymbol{w}^{(N-k)} \text{\  si \ }
                k>N/2.
    \end{cases}
\end{equation*}
Ensuite, comme $\boldsymbol{w}^{(r)}$ est un vecteur propre de
$L_{2h}$ de valeur propre $4(2h)^{-2} \sin^2(2\theta_r) =
 4h^{-2} \sin^2\theta_r \cos^2\theta_r$, la multiplication par
$L_{2h}^{-1}$ donne
\begin{equation*}
  L_{2h}^{-1}r_{h\to 2h} L_h \boldsymbol{v}^{(k)} =
   \begin{cases}
       \dfrac{1}{\cos^2\theta_k} \boldsymbol{w}^{(k)} \text{\  si \ }
                k<N/2, \\
       -\dfrac{1}{\cos^2\theta_k} \boldsymbol{w}^{(N-k)} \text{\  si \ }
                k>N/2.
    \end{cases}
\end{equation*}
Enfin, $p_{2h\to h} \boldsymbol{w}^{(r)}$ reprend
$\sin(2j\pi r/N)$ en composante d'indice pair $2j$, et
$[\sin(2j\pi r/N) + \sin((2j+2)\pi r/N)]/2=
 \sin((2j+1)\pi r/N) \cos(\pi r/N)$
 en composante d'indice impair $2j+1$.
On v\'erifie que
 $p_{2h\to h} \boldsymbol{w}^{(r)} = \cos^2\theta_r \boldsymbol{v}^{(r)}
               -\sin^2\theta_r \boldsymbol{v}^{(N-r)}$,
et on arrive \`a
\begin{equation*}
  p_{2h\to h} L_{2h}^{-1}r_{h\to 2h} L_h \boldsymbol{v}^{(k)} =
        \boldsymbol{v}^{(k)}
       -\text{tg}^2\theta_k \boldsymbol{v}^{(N-k)} ,
\end{equation*}
(en utilisant $\theta_{N-k} = \pi/2 -\theta_k$), d'o\`u finalement
$$ \left( I - p_{2h\to h} L_{2h}^{-1} r_{h\to 2h} L_h \right)
                              (I-\alpha L_h)^{p-1} \boldsymbol{v}^{(k)} =
   \cos^{2p-2}\theta_k  \text{tg}^2 \theta_k
    \boldsymbol{v}^{(N-k)}$$
qui montre donc  un facteur $<1$ d\`es que $p\geqslant 3$.

\smallskip


En fait, le probl\`eme sur la grille de pas $2h$ est lui-m\^eme r\'esolu
en passant par des grilles de pas $4h$, $8h$,etc.

\medskip

{\Small
\linespread{0.8}
Cf.: W.L.~Briggs, \textsl{A Multigrid Tutorial}, SIAM, 1987;\  %
 nombreux articles et ouvrages de Brandt, Hackbush, Hemker, etc.

 \href{http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/num2/mgrid.m}
 {\texttt{http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/num2/mgrid.m}} ,
 \href{http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/num2/mgrid0.m}{\texttt{mgrid0.m}},
 \href{http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/num2/mgrid0.m}{\texttt{mglab.readme}}
.

\begin{verbatim}
Script started on Thu Jan 30 14:20:33 1997
venus 1 %
venus 1 % ls -l mgri*
-rw-r-----   1 magnus   ganma         27 Jan 30 11:12 mgrid.m
-rw-r-----   1 magnus   ganma        589 Jan 30 14:20 mgrid0.m

venus 2 % cat mgrid.m

f=ones(31,1);
u=mgrid0(f);

venus 3 % cat mgrid0.m

function u=mgrid0(f)
[m,n]=size(f);N=m+1;
u=zeros(N+1,1);
if N==2
    u(2)=f(1)/8;
    N
else
    h=1/N; u=0*ones(N+1,1);  om=0.66;
    r=( u(3:N+1)-2*u(2:N)+u(1:N-1) )/h^2 + f ; nr=norm(r);
    plot(1:m,r);
    while nr > N*0.0002
     for i=1:5
         u(2:N) = u(2:N) +om*h^2*r/2;
         r=( u(3:N+1)-2*u(2:N)+u(1:N-1) )/h^2 + f ; nr=norm(r); nrv(i)=nr;
        hold on;plot(1:m,r);
     end
     hold off; [N nrv],   co=input(' 0 = stop');
     if co==0 print -dps 'mgridf';exit;end
     newplot;
     fgros=r(3:2:N-1);
     ucorr=mgrid0(fgros);
     u(3:2:N-1)=u(3:2:N-1)+ucorr(2:N/2);
     u(2:2:N)=u(2:2:N)+0.5*(ucorr(1:N/2)+ucorr(2:N/2+1) );
     r=( u(3:N+1)-2*u(2:N)+u(1:N-1) )/h^2 + f ; nr=norm(r);
    end
end

venus 4 % matlab
                            < M A T L A B (R) >
                (c) Copyright 1984-94 The MathWorks, Inc.
                            All Rights Reserved
                               Version 4.2c
                                Dec 31 1994

Commands to get started: intro, demo, help help
Commands for more information: help, whatsnew, info, subscribe

>> mgrid

\end{verbatim}

On ne garde que les r\'esultats (normes de r\'esidus) correspondant
\`a $h=1/32, 1/16$ et $1/8$:

\begin{verbatim}

ans =      32    5.4679    5.4047    5.3537    5.3096    5.2700

\end{verbatim}

Premi\`eres it\'erations du probl\`eme \`a 32 points: le vecteur
r\'esidu $r=L_h x-f$ s'amortit tr\`es, tr\`es lentement. On remarque
aussi d'\'enormes contributions de basse fr\'equence.

%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{mgrid1f.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1]{mgrid1f.ps}

On \'etablit une correction bas\'ee sur la grille \`a 16 points.
M\^eme d'esastre, mais on pr\'epare l'avenir:

\begin{verbatim}

    16    3.6073    3.5326    3.4675    3.4085    3.3537
\end{verbatim}
%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{mgrid2f.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1]{mgrid2f.ps}

Et une correction \`a 8 points de la correction \`a 16 points:
\begin{verbatim}
     8    2.1895    2.0698    1.9615    1.8607    1.7659
\end{verbatim}
%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{mgrid3f.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1]{mgrid3f.ps}

\begin{verbatim}
   ...
\end{verbatim}
Apr\`es des passages \`a des grilles de 4 et 2 points, r\'esolus
imm\'ediatement, on retrouve le probl\`eme \`a 8 points, la r\'eduction
de la norme du vecteur r\'esidu est bien plus rapide:
\begin{verbatim}
     8    0.5806    0.3410    0.2716    0.2298    0.1978
\end{verbatim}
%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{mgrid4f.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1]{mgrid4f.ps}


On voit aussi que les contributions de grande amplitude sont maintenant
de haute fr\'equence, ce sont ces contributions qui sont rapidement
rabot\'ees.

\dots

Et on finit par r\'esoudre tout-\`a-fait le probl\`eme \`a 8 points:
\begin{verbatim}
   ...
     8    0.0036    0.0023    0.0018    0.0015    0.0012
\end{verbatim}
%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{mgrid5f.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1]{mgrid5f.ps}

La correction sur la grille de 8 points est maintenant interpol\'ee \`a
la grille de 16 points, ajout\'ee \`a la derni\`ere estimation \`a 16
points, et on examine le r\'esidu sur quelques it\'erations:
\begin{verbatim}
    16    1.0950    0.4969    0.3665    0.3264    0.3012
\end{verbatim}
%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{mgrid6f.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1]{mgrid6f.ps}

\begin{verbatim}
     8    0.1649    0.1384    0.1178    0.1016    0.0888
   ...
   ...
     8    0.0016    0.0011    0.0009    0.0008    0.0007
    16    0.1128    0.0730    0.0614    0.0551    0.0509
     8    0.0299    0.0267    0.0245    0.0227    0.0213
   ...
   ...
     8    0.0015    0.0010    0.0007    0.0006    0.0005
    16    0.0219    0.0151    0.0131    0.0120    0.0112
     8    0.0062    0.0052    0.0044    0.0039    0.0034
   ...
     8    0.0017    0.0011    0.0008    0.0007    0.0005
    16    0.0052    0.0041    0.0036    0.0033    0.0031
\end{verbatim}

La correction sur la grille \`a 16 points est maintenant arriv\'ee
\`a un \'etat satisfaisant, on l'interpole sur la grille \`a 32 points,
et on examine le r\'esidu sur cette grille:

\begin{verbatim}
    32    1.6990    0.6459    0.3836    0.3194    0.2898
\end{verbatim}
%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 75 65 552 205]{mgrid7f.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=1]{mgrid7f.ps}

Encore une fois, hautes fr\'equences qui s'amortissent tr\`es
rapidement, d'o\`u r\'eduction significative de la norme du
r\'esidu. On reprend plusieurs fois tout le cycle:
\begin{verbatim}
    16    0.1566    0.1330    0.1164    0.1039    0.0940
     8    0.0514    0.0426    0.0361    0.0311    0.0271
   ...
   ...
     8    0.0019    0.0016    0.0015    0.0014    0.0013
    16    0.0388    0.0258    0.0215    0.0191    0.0176
     8    0.0103    0.0094    0.0088    0.0083    0.0079
   ...
     8    0.0027    0.0017    0.0014    0.0012    0.0010
    16    0.0082    0.0061    0.0054    0.0050    0.0046
     8    0.0026    0.0022    0.0018    0.0016    0.0014
   ...
     8    0.0007    0.0004    0.0003    0.0003    0.0002
    16    0.0022    0.0017    0.0015    0.0013    0.0012
    32    0.1096    0.0700    0.0572    0.0497    0.0444
    16    0.0228    0.0185    0.0159    0.0141    0.0127
     8    0.0062    0.0049    0.0041    0.0035    0.0031
   ...
     8    0.0015    0.0009    0.0007    0.0005    0.0004
    16    0.0062    0.0049    0.0043    0.0038    0.0034
     8    0.0015    0.0011    0.0008    0.0007    0.0006
    16    0.0018    0.0015    0.0014    0.0013    0.0012
    32    0.0218    0.0167    0.0147    0.0134    0.0124
    16    0.0068    0.0057    0.0049    0.0042    0.0037
     8    0.0016    0.0011    0.0008    0.0006    0.0005
    16    0.0019    0.0016    0.0015    0.0013    0.0013
    32    0.0065    0.0053    0.0048    0.0045    0.0042
>> exit
 51119 flops.

venus 5 % exit
venus 6 %script done on Thu Jan 30 14:22:15 1997
\end{verbatim}

\medskip


Donc, on d\'ecrit un vecteur associ\'e \`a des points de discr\'etisation
par son contenu \emph{\textbf{fr\'equentiel}}.
  Pour le vecteur d'erreur $\boldsymbol{e}_h :=
 \boldsymbol{u}_h -  \boldsymbol{L}_h^{-1} \boldsymbol{f}_h $:
$\displaystyle{ \boldsymbol{e}_h = \sum_\omega C(\omega)
     \begin{bmatrix} \vdots \\  e^{i\omega x}  \\ \vdots \end{bmatrix}
  }$
o\`u $\omega$ parcourt des valeurs entre $\pm\omega_0$ et
$\pm\pi/h$ (\`a deux dimensions, on aurait $\exp i(\omega_1 x+\omega_2 y)$).

On distingue les contributions de \emph{\textbf{basses fr\'equences}}
$|\omega|< \pi/(2h)$ et celles
 de \emph{\textbf{hautes fr\'e\-quen\-ces}}
$|\omega|\geqslant \pi/(2h)$.

La description fr\'equentielle permet d'\'etudier commod\'ement
la performance d'une m\'ethode it\'erative.

Par exemples, avec $\boldsymbol{L}_h=$ discr\'etisation habituelle
de $-$ d\'eriv\'ee seconde:

\begin{enumerate}
 \item \emph{\textbf{Jacobi}}.
  $$ u_{h,new} (x) = \dfrac{ f_h +u_{h,old}(x-h)/h^2
                                 +u_{h,old}(x+h)/h^2 }{2/h^2} , $$
  pour le vecteur d'erreur $\boldsymbol{e}_h$:
  $$ e_{h,new} (x) = \dfrac{ e_{h,old}(x-h)
                                 +e_{h,old}(x+h)}{2} , $$
  contribution de $\exp(i \omega x)$:
  $ C_{new} = [(e^{-i\omega h} +e^{i\omega h})/2] C_{old}
             = \cos(\omega h) C_{old} .$   \\
  Pas de s\'eparation basses-hautes fr\'equences.
 \item \emph{\textbf{Jacobi-Richardson}}.
  $$ \boldsymbol{u}_{h,new} =  \boldsymbol{u}_{h,new,Jacobi} +
         \mu (\boldsymbol{L}_h \boldsymbol{u}_{h,old} -\boldsymbol{f}_h),
$$
 vecteur d'erreur:
  $ \boldsymbol{e}_{h,new} =  \boldsymbol{e}_{h,new,Jacobi} +
         \mu \boldsymbol{L}_h \boldsymbol{e}_{h,old}, $   \\
  Commes les lignes de $\boldsymbol{L}_h$ sont
   $[ \dotsb , h^{-2}, -2h^{-2} , h^{-2}, \dotsb]$,
 \begin{equation*}\begin{split}
   C_{new} &= C_{new, Jacobi} +\mu h^{-2} [\exp(-i\omega h) -2
                                          +\exp(i\omega h) ]   C_{old} \\
      &= [ (1+2\mu h^{-2})\cos(\omega h) -2\mu h^{-2}] C_{old}
  \end{split}\end{equation*}
 $= \cos^2(\omega h/2)$ avec $\mu=-h^2/4$.
 \item \emph{\textbf{Gauss-Seidel}}.
  $$ u_{h,new} (x) = \dfrac{ f_h +u_{h,\boldsymbol{new}}(x-h)/h^2
                                 +u_{h,old}(x+h)/h^2 }{2/h^2} , $$
  pour le vecteur d'erreur $\boldsymbol{e}_h :=
   \boldsymbol{u}_h -\boldsymbol{L}_h^{-1}  \boldsymbol{f}_h$:
  $$ e_{h,new} (x) = \dfrac{ e_{h,new}(x-h)
                                 +e_{h,old}(x+h)}{2} , $$
  contribution de $\exp(i \omega x)$:
  $ C_{new} = e^{-i\omega h} C_{new}/2 +e^{i\omega h}) C_{old}/2, $ \\
 donc, $\displaystyle{
    C_{new} = \dfrac{e^{i\omega h} }{2-e^{-i\omega h} } C_{old},  }$
 divise la part des hautes fr\'equences par au moins $\sqrt{5}$.
\end{enumerate}

Consid\'erons une m\'ethode it\'erative qui aboutit \`a
$C_{new}(\omega) = \rho(\omega) C_{old}(\omega)$, avec
$|\rho(\omega)| \leqslant \sigma <1$ pour les hautes fr\'equences.

On applique quelques it\'erations:
$ C(\omega) \to \rho^p(\omega) C(\omega), $
et on estime la correction
 $ \boldsymbol{L}_h^{-1}
   \boldsymbol{f}_h -\boldsymbol{u}_h$ qu'il faudrait ajouter \`a
$\boldsymbol{u}_h$, \textbf{en l'\'evaluant sur une grille de pas}
$\boldsymbol{2h}$, ce qui devrait convenir aux contributions de
basses fr\'equences (les seules mal amorties par la m\'ethode
it\'erative).

Donc,

\begin{enumerate}
  \item On effectue $p$ it\'erations, et
  \item on ne retient que les composantes du vecteur r\'esidu
   $\boldsymbol{L}_h \boldsymbol{u}_h -\boldsymbol{f}_h$ que sur
    une grille de pas $2h$.
   \item on \'evalue le vecteur d'erreur sur cette grille en
    r\'esolvant un syst\`eme d'\'equations avec la matrice
   $\boldsymbol{L}_{2h}$,
   \item on reconstitue un vecteur d'erreur sur la grille initiale
     par interpolation \'el\'ementaire:
    $e_{2j+1} = (e_{2j}+ e_{2j+2})/2$, par exemple
   \item on soustrait ce vecteur $\boldsymbol{e}$ de
    $\boldsymbol{u}_h$. Les contributions de basses fr\'equences
    dans l'erreur devraient \^etre fortement r\'eduites.
\end{enumerate}
Et on reprend en (1).


On obtient
$$   \boldsymbol{u}_h \leftarrow  \boldsymbol{u}_h -
  \begin{bmatrix}  1   & 0  &    &      \\
                   1/2 & 1/2&    &      \\
                       & 1  & 0  &      \\
                       & 1/2& 1/2&      \\
                      &\vdots& \vdots  &     \end{bmatrix}
   \boldsymbol{L}_{2h}^{-1}
  \begin{bmatrix}  1   &    &    &    &    & \dotsb \\
                   0   &  0 &  1 &    &    & \dotsb \\
                       &    &  0 &  0 & 1  & \dotsb

   \end{bmatrix}     (\boldsymbol{L}_h \boldsymbol{u}_h
                              -\boldsymbol{f}_h )
$$

Contributions de $\exp(i\omega x)$ lors de ces op\'erations:

\begin{enumerate}
  \item $C(\omega) \to \rho(\omega)^p C(\omega)$ apr\`es $p$
    it\'erations, devient
        $ -4h^{-2} \sin^2(\omega h /2) \rho(\omega)^p C(\omega)$
     dans le r\'esidu,
  \item quand on ne retient qu'une composante sur deux, on a
   une contribution en $\exp(i \omega x)$ qui est la somme des
  contributions initiales en $\exp(i\omega x)$ et $\exp(i(\omega
   \pm \pi/h)x)$ (\emph{\textbf{aliasing}}): \\
    $ -4h^{-2} \sin^2(\omega h/2) \rho(\omega)^p C(\omega)
      -4h^{-2} \cos^2(\omega h/2) \rho(\omega\pm\pi/h)^p
          C(\omega\pm\pi/h)$   \\
   pour $|\omega|\leqslant \pi/(2h)$,
  \item on r\'esout le syst\`eme avec $\boldsymbol{L}_{2h}$, d'o\`u
    division par $-h^{-2} \sin^2(\omega h)$: \\
%    $\displaystyle{
  $$   \dfrac{\rho(\omega)^p C(\omega)}{\cos^2(\omega h/2)}
    +\dfrac{\rho(\omega\pm\pi/h)^p C(\omega\pm\pi/h)}{\sin^2(\omega h/2)}
%    }$
   $$
 \item Revenons \`a la grille de pas $h$. Comme $\exp(i\omega x)$ et
   $\exp(i(\omega\pm\pi/h)x)$ prennent les m\^emes valeurs aux
    abscisses paires, et des valeurs oppos\'ees aux abscisses
    impaires, la combinaison
             $\lambda\exp(i\omega x)
   +(1-\lambda)\exp(i(\omega\pm\pi/h)x)$ qui vaut
        $\displaystyle{[\exp(i\omega (x-h)) +\exp(i\omega (x+h))]/2}$\\
     $=   \cos(\omega h)\exp(i\omega x) $ aux abscisses impaires est
       \\      $\displaystyle{\cos^2(\omega h/2) \exp(i\omega x)
   +\sin^2(\omega h/2)\exp(i(\omega\pm\pi/h)x)}$. On a donc
 en $\exp(i\omega x)$ \\
$$       \rho(\omega)^p C(\omega)
    +\dfrac{\rho(\omega\pm\pi/h)^p C(\omega\pm\pi/h)}{\tan^2(\omega h/2)}
$$
 \item Enfin, la soustraction:
    $\displaystyle{
     (1-\rho(\omega)^p) C(\omega)
    -\dfrac{\rho(\omega\pm\pi/h)^p C(\omega\pm\pi/h)}{\tan^2(\omega h/2)}
    }$
\end{enumerate}

Avec Jacobi-Richardson, $\rho(\omega)= \cos^2(\omega h/2)$, on a donc
 $1-\cos^{2p}(\omega h/2)$ et    \\
$ \sin^{2(p-1)}(\omega h/2)\cos^2(\omega h/2)$.

\smallskip

R\'ef\'erences


 BRAMBLE James H., \textsl{Multigrid Methods.}
   Pitman Research Notes in Mathematics Series {\bf 294},
    Longman Scientific \& Technical, John Wiley \&
   Sons, Inc., 1995.

  BRAMBLE J.H.; COHEN A.; DAHMEN W.,
   {\sl  Multiscale Problems and Methods in Numerical Simulations.
   Lectures given at the C.I.M.E. Summer School held in Martina Franca,
   Italy, September 9-15, 2001},
    Lecture Notes in Mathematics {\bf 1825},
    Springer-Verlag, 2003.

 r\'eseau: MGNet, \  \href{http://www.mgnet.org/}
{\texttt{http://www.mgnet.org/}}


 \noindent MGNet Sites....................\\
  MGNet Pages..........\\
  multigrid animation \  \  \textbf{\Large  MGNet }

   \textbf{ Introduction } \\
   This is a repository for information related to
   multigrid, multilevel, multiscale, aggregation, defect correction, and
   domain decomposition methods. These methods are used primarily by
   scientists and engineers to solve partial differential equations on
   serial or parallel computers.

...

   \textbf{ Tutorials} \\
    If you are new to the multigrid or domain
   decomposition fields, or just wonder what MGNet is all about, look
   here. There are pointers to some rather nice tutorials on the subject.

   \textbf{ Free Software} \\
    A number of software packages are stored on MGNet.
   Some are public domain, some are copyrighted, and some may someday be
   copyrighted. If you have a multigrid, domain decomposition, or
   parallel code or package you can place a copy in MGNet, too.


%\vspace*{3cm}

D\'ebut de Uli R\"ude's multigrid workbench,\ %
 \href{http://www.mgnet.org/mgnet/tutorials/xwb.html}
 {\texttt{http://www.mgnet.org/mgnet/tutorials/xwb.html}}

%\medskip

\begin{center}
 \textbf{\Large Multigrid Workbench}
\end{center}
             \enlargethispage{22pt}

The following picture displays a
V-Cycle   of the  multigrid method.
Each box represents one of the algorithmic
components of a    multigrid algorithm.
The unbroken channels show how data is passed through the algorithm.

This algorithm is applied to an
example problem.  The boxes labeled smooth
in the picture are active.
By clicking on them, information about the status of the algorithm
at this stage is displayed (graphically).
Mosaic users can use the middle mouse button to obtain the pictures in
separate windows.

}  %end Small


\newpage
\  \vspace*{-3cm}
%\epsfxsize=477bp \epsfbox[ 85 145 562 725]{mgrude2.ps}
\includegraphics[angle=0, scale=0.9]{mgrude2.ps}




\section{Matrices d'inverses positives. Convergence.}

On examine ici une id\'ee tr\`es int\'eressante dans le traitement
par diff\'erences finies de probl\`emes elliptiques. On ne s\'epare
pas vraiment consistance et stabilit\'e, mais on trouvera un
encadrement pour la solution.

\smallskip

Ref.: L.~Collatz, \textsl{The Numerical Treatment of Differential
 Equations}, $3^{\text{\`eme}}$ \'ed., Springer, 1966,
pp.~42-47 et 342-353.

\smallskip

\subsection{Matrices positives, $M-$matrices}  \   \\

\noindent\textbf{D\'efinition}
%\textsl{Une application (\'eventuellement
%non lin\'eaire) $T$ dans un ensemble partiellement ordonn\'e est
%\emph{\textbf{monotone}} si $T(f)\geqslant T(g) \Rightarrow
%f\geqslant g$. }
\textsl{Une matrice $m\times n$ est dite positive si tous ses \'el\'ements
sont positifs: } $a_{i,j}\geqslant 0,\  i=1,\dotsc,m, \  j=1,\dotsc,n$.\\
\textsl{Une matrice carr\'ee  est dite d'inverse positive si son
inverse est positive: } $(\boldsymbol{A}^{-1})_{i,j} \geqslant 0,\ i,j=1,\dotsc,n$.


%\smallskip

%Si l'on doit r\'esoudre $T(f)=h$ et si l'on trouve $f_+$ et $f_-$
%tels que $T(f_-)\leqslant h\leqslant T(f_+)$, on a donc, si $T$
%est monotone, l'\emph{\textbf{encadrement}} $f_- \leqslant f \leqslant f_+$.

\smallskip

On munit  $\mathbb{R}^N$ de la relation d'ordre (partiel)
$\boldsymbol{x} \leqslant \boldsymbol{y}$ si $x_i\leqslant y_i,
 i=1,2,\dotsc,N$.

Alors, si $\boldsymbol{A}$ est d'inverse positive,
 $\boldsymbol{Ax} \geqslant \boldsymbol{Ay} \Rightarrow
\boldsymbol{x}\geqslant \boldsymbol{y}$. On a donc une relation
de \emph{\textbf{monotonie}}\footnote{Collatz parle de ``probl\`eme
de type monotone''; A.~Berman et R.J.~Plemmons \'ecrivent , dans le chap.~5
de \textsl{Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences},
Ac. Press, 1979, que $\boldsymbol{A}$ est une matrice monotone.} du
second membre vers la solution.

%Une matrice $\boldsymbol{A}$ repr\'esente une application (lin\'eaire)
%monotone dans $\mathbb{R}^N$ muni de la relation d'ordre
%$\boldsymbol{x} \leqslant \boldsymbol{y}$ si $x_i\leqslant y_i,
%i=1,2,\dotsc,N$, si $\boldsymbol{Ax} \geqslant \boldsymbol{Ay} \Rightarrow
%\boldsymbol{x}\geqslant \boldsymbol{y}$.

%En particulier, une telle matrice est non singuli\`ere: avec
%$\boldsymbol{y}=0$, $\boldsymbol{Ax}=0 \Rightarrow
%                     \boldsymbol{Ax}\lessgtr 0 \Rightarrow
%                     \boldsymbol{x}\lessgtr 0 \Rightarrow
%                     \boldsymbol{x}= 0.$
%
% $\boldsymbol{A}$ repr\'esente un op\'erateur monotone $\iff
%\boldsymbol{A}^{-1}$ est une matrice d'\'el\'ements positifs:
%$\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{x} \geqslant 0$ pour tout
%$\boldsymbol{x} \geqslant 0$.

\smallskip

\noindent\textbf{D\'efinition.} Une $M-$matrice est une
matrice carr\'ee inversible, d'inverse positive, d\'el\'ements diagonaux $>0$,
et d'\'el\'ements non diagonaux $\leqslant 0$.

On a le

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme\label{thmono}}\footnote{Voir aussi le
th\'eor\`eme de Taussky, et les $M-$matrices, dans R.S.~Varga,
 \textsl{Matrix Iterative Analysis}, Prentice Hall, 1962;
  2nd revised and expanded edition
    Springer-Verlag, 2000.} \textsl{Une
 matrice carr\'ee r\'eelle v\'erifiant
\begin{enumerate}
 \item $a_{i,i}>0,  a_{i,j}\leqslant 0, i=1,\dotsc,N;
      j=1,\dotsc,N, j\neq i,$
 \item $\displaystyle{a_{i,i} \geqslant \sum_{j\neq i} |a_{i,j}|, i=1,\dotsc,N}$,
      \qquad (\text{dominance}),
 \item $\displaystyle{a_{i,i} > \sum_{j\neq i} |a_{i,j}|}, \text{ pour au moins une
               valeur de } i$,
 \item $\boldsymbol{A}$ irr\'eductible,
\end{enumerate}
%repr\'esente un op\'erateur monotone dans $\mathbb{R}^N$.  }
est d'inverse positive.  }

Par \emph{\textbf{irr\'eductible}}, ou \emph{\textbf{ind\'ecomposable}},
on entend ici une matrice dont on ne peut extraire des lignes
d'indices $i_1,\dotsc, i_m$, $m<N$ qui n'auraient des \'el\'ements
non nuls que pour des indices de colonnes $\in\{i_1,\dotsc, i_m\}$
(de sorte que, du syst\`eme d'\'equations $\boldsymbol{Ax}=
\boldsymbol{b}$, on pourrait extraire un syst\`eme pour les seuls
$x_{i_1},\dotsc, x_{i_m}$).

\noindent
Preuve du th\'eor\`eme \ref{thmono}: examinons $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{Ax}$, o\`u
$\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^N$,
 $\boldsymbol{x}\neq 0$,
 et $\boldsymbol{b}\geqslant 0$.

Montrons d'abord que $\boldsymbol{A}$ est non singuli\`ere:
$\boldsymbol{Ax}=0 \Rightarrow \boldsymbol{x}=0$.
\begin{itemize}
  \item[] Supposons $\boldsymbol{x}\neq 0$, soit
  $x_{i_1}$ une des composantes de plus grande
  valeur absolue de $\boldsymbol{x}$. \\
  L'\'equation $\displaystyle{a_{i_1,i_1} x_{i_1} -\sum_{j\neq i_1} |a_{i_1,j}|
     x_j =0 }$ n'est possible que si $\displaystyle{ a_{i_1,i_1} =
                    \sum_{j\neq i_1} |a_{i_1,j}|  }$ et $x_j = x_{i_1}$ pour
     tous les indices $j$ tels que $a_{i_1,j}\neq 0$. Soient $i_2, i_3,\dotsc$
     ces nouveaux indices (il y en a au mois un, sinon l'\'equation $i_1$
     ne contiendrait que l'inconnue $x_{i_1}$ et $\boldsymbol{A}$ serait
     r\'eductible). On arrive ainsi \`a un groupe d'\'equations d'indices
   $i_1,i_2,\dotsc, i_m$ reli\'ees entre elles et o\`u
            $\displaystyle{ a_{i_k,i_k} = \sum_{j\neq i_k} |a_{i_k,j}|  }$,
    $k=1,\dotsc,m$. On doit avoir $m=N$ car $\boldsymbol{A}$ est irr\'eductible,
    et $x_1= x_2= \dotsb = x_N \neq 0$, impossible car un des \'el\'ements
    diagonaux $a_{i,i}$ est \emph{strictement} sup\'erieur \`a la
    somme $\displaystyle{ \sum_{j\neq i} |a_{i,j}| }$.
\end{itemize}
R\'esolvons maintenant $\boldsymbol{Ax} = \boldsymbol{b}\geqslant 0$ par it\'erations
(de \emph{Jacobi}) $\displaystyle{ x_i^{(k)} = \dfrac{
   b_i-\sum_{j\neq i} a_{i,j} x_j^{(k-1)} }{a_{i,i}}  }$, $i=1,\dotsc, N$, en partant du
 vecteur nul $\boldsymbol{x}^{(0)}=0$:
\begin{enumerate}
 \item $\boldsymbol{x}^{(k)} \geqslant 0:  \quad a_{i,i}>0, b_i\geqslant 0,
      -a_{i,j}\geqslant 0$ quand $j\neq i$,
 \item $\forall i,k,  |x_i^{(k)}| \leqslant 2\max_i |x_i|$. En effet,
   comme $\boldsymbol{b}= \boldsymbol{Ax}$, on a
                   $\displaystyle{ x_i^{(k)} = x_i +\dfrac{
   \sum_{j\neq i} a_{i,j} (x_j^{(k-1)} -x_j)}{a_{i,i}}  }$, $i=1,\dotsc, N$,
  donc $|x_i^{(k)}-x_i|\leqslant \max_j |x_j^{(k-1)} -x_j| \leqslant \dotsc
  \leqslant \max_j |x_j^{(0)} -x_j| = \max_j |x_j|$.
 \item $\forall i, x_i^{(k)}\geqslant x_i^{(k-1)}$. En effet, c'est vrai
 si $k=1$; si $k>1$, \\
                   $\displaystyle{ x_i^{(k)} - x_i^{(k-1)} =-\dfrac{
   \sum_{j\neq i} a_{i,j} (x_j^{(k-1)} -x_j^{(k-2)})}{a_{i,i}}  }$, $i=1,\dotsc, N$,
\end{enumerate}
Chaque $\displaystyle{\{x_i^{(k)}\}_{k=0}^\infty}$ est donc une suite
 positive croissante born\'ee, donc convergente: $\boldsymbol{x}^{(k)} \to
 \boldsymbol{y} \geqslant 0$ quand $k\to\infty$. Enfin,
    $\displaystyle{ y_i = \lim_{k\to\infty} x_i^{(k)} = \dfrac{
   b-\sum_{j\neq i} a_{i,j} y_j }{a_{i,i}}  }$, $i=1,\dotsc, N$,
 donc, $\boldsymbol{Ay}=\boldsymbol{b}  \Rightarrow
        \boldsymbol{y}=\boldsymbol{x} $ puisque $\boldsymbol{A}$ est non
   singuli\`ere, et $\boldsymbol{x} \geqslant 0$. \qed

\smallskip
On peut aussi  montrer que la m\'ethode  de Seidel converge
pour une telle matrice  $\boldsymbol{A}$\footnote{Cf. Varga, \emph{op. cit.}}.



\smallskip
\subsection{Application au laplacien}  \   \\


   Prenons maintenant un probl\`eme elliptique
type, soit $-\Delta u=f$ dans un domaine born\'e $\Omega$ de
$\mathbb{R}^n$, avec conditions de Dirichlet: $u$ donn\'ee sur
la fronti\`ere $\partial\Omega$ de $\Omega$.

\begin{minipage}[t]{6cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6,4)
 \dashline{0.1}(2.5,0.5)(3.5,0.5)
 \dashline{0.1}(1.5,1)(4.5,1)
 \dashline{0.1}(0.5,1.5)(5.5,1.5)
 \dashline{0.1}(0.5,2)(5.5,2)
 \dashline{0.1}(0.5,2.5)(5.5,2.5)
 \dashline{0.1}(1.5,3)(4.5,3)
 \dashline{0.1}(2.5,3.5)(3.5,3.5)

 \dashline{0.1}(2.5,0.5)(2.5,3.5)
 \dashline{0.1}(3,0.5)(3,3.5)
 \dashline{0.1}(3.5,0.5)(3.5,3.5)
 \dashline{0.1}(1.5,1)(1.5,3)
 \dashline{0.1}(2,1)(2,3)
 \dashline{0.1}(4,1)(4,3)
 \dashline{0.1}(4.5,1)(4.5,3)
 \dashline{0.1}(0.5,1.5)(0.5,2.5)
 \dashline{0.1}(1,1.5)(1,2.5)
 \dashline{0.1}(5,1.5)(5,2.5)
 \dashline{0.1}(5.5,1.5)(5.5,2.5)
\put(2.5,0.5){\circle*{0.15}} \put(3,0.5){\circle*{0.15}} \put(3.5,0.5){\circle*{0.15}}
\put(1.5,1){\circle*{0.15}} \put(2,1){\circle*{0.15}} \put(2.5,1){\circle*{0.15}}
  \put(3,1){\circle{0.15}}
\put(3.5,1){\circle*{0.15}} \put(4,1){\circle*{0.15}} \put(4.5,1){\circle*{0.15}}
\put(0.5,1.5){\circle*{0.15}} \put(1,1.5){\circle*{0.15}} \put(1.5,1.5){\circle*{0.15}}
  \put(2,1.5){\circle{0.15}} \put(2.5,1.5){\circle{0.15}} \put(3,1.5){\circle{0.15}}
                             \put(3.5,1.5){\circle{0.15}} \put(4,1.5){\circle{0.15}}
\put(4.5,1.5){\circle*{0.15}} \put(5,1.5){\circle*{0.15}} \put(5.5,1.5){\circle*{0.15}}
\put(0.5,2){\circle*{0.15}} \put(1,2){\circle{0.15}} \put(1.5,2){\circle{0.15}}
  \put(2,2){\circle{0.15}} \put(2.5,2){\circle{0.15}} \put(3,2){\circle{0.15}}
                             \put(3.5,2){\circle{0.15}} \put(4,2){\circle{0.15}}
\put(4.5,2){\circle{0.15}} \put(5,2){\circle{0.15}} \put(5.5,2){\circle*{0.15}}
\put(0.5,2.5){\circle*{0.15}} \put(1,2.5){\circle*{0.15}} \put(1.5,2.5){\circle*{0.15}}
  \put(2,2.5){\circle{0.15}} \put(2.5,2.5){\circle{0.15}} \put(3,2.5){\circle{0.15}}
                             \put(3.5,2.5){\circle{0.15}} \put(4,2.5){\circle{0.15}}
\put(4.5,2.5){\circle*{0.15}} \put(5,2.5){\circle*{0.15}} \put(5.5,2.5){\circle*{0.15}}
\put(1.5,3){\circle*{0.15}} \put(2,3){\circle*{0.15}} \put(2.5,3){\circle*{0.15}}
  \put(3,3){\circle{0.15}}
\put(3.5,3){\circle*{0.15}} \put(4,3){\circle*{0.15}} \put(4.5,3){\circle*{0.15}}
\put(2.5,3.5){\circle*{0.15}} \put(3,3.5){\circle*{0.15}} \put(3.5,3.5){\circle*{0.15}}
 \thicklines
 \put(3,2){\ellipse{5.5}{3.2}}
\end{picture}

\ \\

\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{1mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\  \par

\vspace*{-10pt}
Dans la discr\'etisation la plus simple, on se limite \`a la
partie de $(h\mathbb{Z})^n$ contenue dans $\overline{\Omega}$.
On affecte aux points de la fronti\`ere de ce r\'eseau (les points
marqu\'es $\bullet$) la valeur d'un point proche de
$\partial\Omega$. Les valeurs aux
points int\'erieurs (marqu\'es $\circ$) entrent dans les
\'equations  (on prend $n=2$)
 $$ (L_h u_h)_A = \dfrac{4u_A -u_B -u_C -u_D -u_E}{h^2} = f_A, $$
(d'apr\`es \eqref{laplace} avec $h_x=h_y=h$), o\`u $A$ est un point
\end{minipage}

courant du r\'eseau, et $B$, $C$, $D$ et $E$ ses 4 voisins:
$\displaystyle{    \begin{matrix}      &    &  D   &   &    \\
                                       &    &  |   &   &    \\
                                    B  &   -&  A   & - &  C  \\
                                       &    &  |   &   &    \\
                                       &    &  E   &   &
                     \end{matrix}   }$. Dans le cas de la figure, on a
21 points int\'erieurs qui, repris ligne par ligne, contribuent \`a la
silhouette (\emph{skyline}) suivante dans la matrice $L_h$:

\begin{minipage}[t]{6cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(6.5,6.5)

%1
 \put(0.3,6){\circle*{0.15}}   \put(1.2,6){\circle*{0.15}}
%2
 \put(0.6,5.7){\circle*{0.15}}   \put(0.9,5.7){\circle*{0.15}} \put(2.7,5.7){\circle*{0.15}}
%3
 \put(0.6,5.4){\circle*{0.15}}   \put(0.9,5.4){\circle*{0.15}} \put(1.2,5.4){\circle*{0.15}}
       \put(3,5.4){\circle*{0.15}}
%4
 \put(0.3,5.1){\circle*{0.15}}   \put(0.9,5.1){\circle*{0.15}} \put(1.2,5.1){\circle*{0.15}}
       \put(1.5,5.1){\circle*{0.15}} \put(3.3,5.1){\circle*{0.15}}
%5
 \put(1.2,4.8){\circle*{0.15}}   \put(1.5,4.8){\circle*{0.15}} \put(1.8,4.8){\circle*{0.15}}
       \put(3.6,4.8){\circle*{0.15}}
%6
 \put(1.5,4.5){\circle*{0.15}}   \put(1.8,4.5){\circle*{0.15}} \put(3.9,4.5){\circle*{0.15}}
%7
 \put(2.1,4.2){\circle*{0.15}}   \put(2.4,4.2){\circle*{0.15}}
%8
 \put(2.1,3.9){\circle*{0.15}}   \put(2.4,3.9){\circle*{0.15}} \put(2.7,3.9){\circle*{0.15}}
%9
 \put(0.6,3.6){\circle*{0.15}}   \put(2.4,3.6){\circle*{0.15}} \put(2.7,3.6){\circle*{0.15}}
       \put(3.0,3.6){\circle*{0.15}} \put(4.8,3.6){\circle*{0.15}}
%10
 \put(0.9,3.3){\circle*{0.15}}   \put(2.7,3.3){\circle*{0.15}} \put(3.0,3.3){\circle*{0.15}}
       \put(3.3,3.3){\circle*{0.15}} \put(5.1,3.3){\circle*{0.15}}
%11
 \put(1.2,3.0){\circle*{0.15}}   \put(3.0,3.0){\circle*{0.15}} \put(3.3,3.0){\circle*{0.15}}
       \put(3.6,3.0){\circle*{0.15}} \put(5.4,3.0){\circle*{0.15}}
%12
 \put(1.5,2.7){\circle*{0.15}}   \put(3.3,2.7){\circle*{0.15}} \put(3.6,2.7){\circle*{0.15}}
       \put(3.9,2.7){\circle*{0.15}} \put(5.7,2.7){\circle*{0.15}}
%13
 \put(1.8,2.4){\circle*{0.15}}   \put(3.6,2.4){\circle*{0.15}} \put(3.9,2.4){\circle*{0.15}}
       \put(4.2,2.4){\circle*{0.15}} \put(6.0,2.4){\circle*{0.15}}
%14
 \put(3.9,2.1){\circle*{0.15}}   \put(4.2,2.1){\circle*{0.15}} \put(4.5,2.1){\circle*{0.15}}
%15
 \put(4.2,1.8){\circle*{0.15}}   \put(4.5,1.8){\circle*{0.15}}
%16
 \put(2.7,1.5){\circle*{0.15}}   \put(4.8,1.5){\circle*{0.15}} \put(5.1,1.5){\circle*{0.15}}
%17
 \put(3.0,1.2){\circle*{0.15}}   \put(4.8,1.2){\circle*{0.15}} \put(5.1,1.2){\circle*{0.15}}
       \put(5.4,1.2){\circle*{0.15}}
%18
 \put(3.3,0.9){\circle*{0.15}}   \put(5.1,0.9){\circle*{0.15}} \put(5.4,0.9){\circle*{0.15}}
       \put(5.7,0.9){\circle*{0.15}} \put(6.3,0.9){\circle*{0.15}}
%19
 \put(3.6,0.6){\circle*{0.15}}   \put(5.4,0.6){\circle*{0.15}} \put(5.7,0.6){\circle*{0.15}}
       \put(6.0,0.6){\circle*{0.15}}
%20
 \put(3.9,0.3){\circle*{0.15}}   \put(5.7,0.3){\circle*{0.15}} \put(6.0,0.3){\circle*{0.15}}
%21
 \put(5.4,0){\circle*{0.15}}   \put(6.3,0){\circle*{0.15}}

 \dashline{0.1}(0,5.85)(6.5,5.85)
 \dashline{0.1}(0,4.35)(6.5,4.35)
 \dashline{0.1}(0,1.65)(6.5,1.65)
 \dashline{0.1}(0,0.15)(6.5,0.15)

 \dashline{0.1}(0.45,0)(0.45,6.5)
 \dashline{0.1}(1.95,0)(1.95,6.5)
 \dashline{0.1}(4.65,0)(4.65,6.5)
 \dashline{0.1}(6.15,0)(6.15,6.5)
\end{picture}

\ \\

\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{5mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{9cm}
\  \par

\vspace*{-10pt}
Les \'el\'ements diagonaux valent tous  $4/h^2$, et les \'el\'ements
non diagonaux non nuls valent $-1/h^2$.

On voit que la matrice est effectivement (faiblement) dominante, et qu'elle
v\'erifie les hypoth\`eses du th.~\ref{thmono}, du moins si $h$ est assez
petit (connexit\'e du graphe).

\smallskip

Reprenons l'analyse de consistance: on a, si $u\in\mathscr{C}^2(\overline{\Omega})$,
$|(L_h r_h u)_A -f_A| \leqslant \varepsilon_h$, avec $\varepsilon_h \to 0$
quand $h\to 0$.
Comme $f_A = (r_h f)_A = (L_h u_h)_A$, on a
$|(L_h (r_h u -u_h)_A | \leqslant \varepsilon_h$.

Consid\'erons maintenant
 $w(x,y)= R^2 -x^2-y^2$, o\`u
$R$ est le rayon d'un disque de centre $0$ contenant enti\`erement
$\overline{\Omega}$. On trouve ais\'ement $L_h r_h w \geqslant 4\boldsymbol{e}$,
\end{minipage}

\noindent
o\`u $\boldsymbol{e} = [1,1,\dotsc, 1]^T$ (en effet, on trouve exactement 4
aux points du r\'eseau entour\'es de 4 points int\'erieurs; une valeur plus
grande que 4 aux points du r\'eseau entour\'es de $\leqslant 4$ points
int\'erieurs). On a donc\footnote{Technique remontant \`a Courant (1926) et
Gerschgorin (1930), cf. Collatz, \emph{op. cit.} }
$$-\dfrac{\varepsilon_h}{4} L_h r_h w \leqslant -\varepsilon_h \boldsymbol{e} \leqslant
 L_h (r_h u -u_h) \leqslant \varepsilon_h \boldsymbol{e} \leqslant
 \dfrac{\varepsilon_h}{4} L_h r_h w, $$
d'o\`u, par monotonie de $L_h$,
$$-\dfrac{\varepsilon_h}{4}  r_h w  \leqslant
 r_h u -u_h \leqslant \dfrac{\varepsilon_h}{4}  r_h w\footnote{Si
 $u\in\mathscr{C}^4(\overline{\Omega})$, on trouve
$\varepsilon_h \leqslant M_4 h^2/6$, o\`u $\displaystyle{
  M_4 = \max_{(x,y)\in\overline{\Omega}}(|\partial^4 u/\partial x^4|,
                                         |\partial^4 u/\partial y^4|)  }$.}.$$



\bigskip\bigskip

{\Small Raffinements du traitement de la fronti\`ere: croix \`a branches
  in\'egales, interpolation lin\'eaire (Collatz). Cas des points anguleux
  (J.M.-S.~Lubuma, S.~Nicaise: Finite element method for elliptic
   problems with edge corners, \textsl{Recherche de math\'ematique}
  \textbf{48}, Institut de math\'ematique UCL, novembre 1995).

 \smallskip

}

\medskip

\subsection{Processus stochastique}  \   \\


\begin{flushright} {\Small\textsl{Le point de vue probabiliste a \'eclair\'e et
unifi\'e les principes de base de la th\'eorie du potentiel;
r\'eciproquement, les concepts de la th\'eorie du potentiel, appliqu\'es
\`a la th\'eorie des probabilit\'es ont montr\'e la structure
analytique profonde des processus de Markov. Ainsi l'isolation dont
souffrait dans le pass\'e la th\'eorie des probabilit\'es a \'et\'e
rompue par l'association de ces deux discipline math\'ematiques}}\footnote{R. Hersh,
R.J. Griego:
   ``Brownian Motion and Potential Theory'', \textsl{Scientific
   American}, March 1969, Vol. \textbf{220}, No. 3, pp. 66-74 =
le mouvement brownien et la th\'eorie du potentiel, pp.
74-82 {\it in} \textsl{Les progr\`es des math\'ematiques}, Biblioth\`eque
Pour la science, Belin, 1981.}.
\end{flushright}


Reprenons un probl\`eme de Dirichlet $\Delta u=0$ dans
$\Omega\subset \mathbb{R}^n$, avec $u$ donn\'ee sur la fronti\`ere $\Gamma$.
Sur une grille uniforme, les \'equations aux points
int\'erieurs sont
$$
  u_i =\dfrac{ \text{somme\ des\ } 2n \ u\ \text{voisins}  }{2n},
$$
o\`u certains voisins peuvent \^etre des points de la fronti\`ere
o\`u $u$ est donc connue.  Soit $\boldsymbol{u}$ le vecteur de
\emph{tous} les $u_i$, partitionn\'e en valeurs \`a la
fronti\`ere $\boldsymbol{u}_\Gamma$ et en valeurs aux points
int\'erieurs $\boldsymbol{u}_\Omega$.


\begin{equation} \label{stoch}
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{Su}:
 \left[   \begin{tabular}{c} $\boldsymbol{u}_\Gamma$ \\
  \hline $\boldsymbol{u}_\Omega$ \end{tabular}  \right]  =
\left[   \begin{tabular}{c|c}
             $ I$  &  $0$  \\
      \hline $ B$ & $I-A$
          \end{tabular}
 \right]
 \left[   \begin{tabular}{c} $\boldsymbol{u}_\Gamma$ \\
  \hline $\boldsymbol{u}_\Omega$ \end{tabular}  \right],
\end{equation}

\noindent o\`u la matrice $A$ est la matrice $L_h$ vue auparavant,
multipli\'ee par un facteur tel que ses \'el\'ements
diagonaux sont tous \'egaux \`a 1. La matrice $I-A$ a donc
des \'el\'ements diagonaux nuls, et au plus $2n$ \'el\'ements
non diagonaux non nuls par ligne, tous \'egaux \`a $1/(2n)$.
L'\'equation \eqref{stoch}
est bien l'\'equation $A \boldsymbol{u}_\Omega = B\boldsymbol{u}_\Gamma$
pour les valeurs int\'erieures. Nous avons vu que $A$ est inversible
(c'est important), et que   $A^{-1}$ est la s\'erie des puissances
de $I-A$ (convergence de Jacobi).

Les \'el\'ements de chaque ligne de $\boldsymbol{S}$ sont positifs
et de somme unit\'e: $\boldsymbol{S}$ est une \emph{matrice
stochastique}. \index{matrice stochastique}  \index{stochastique,
matrice}

\parpic{
 \vspace*{-15pt}
 \includegraphics[scale=1.65]{stochar.ps}
   }
On interpr\`ete $S_{i,j}$ comme la probabilit\'e de passer du point $P_i$
au point $P_j$ en un pas d'une promenade al\'eatoire. A partir
d'un point $P_i$ du r\'eseau, on peut donc \\
         $ \   $   \\
    (1)   y rester ind\'efiniment si $P_i$ est un point
       fronti\`ere (prob. $=1$: \emph{point absorbant}), \\
        $  \   $   \\
     (2) se diriger avec une m\^eme probabilit\'e $1/(2n)$ vers un
      des $2n$ voisins accessibles. \\
    \   $  \   $  \\
  Les puissances de $\boldsymbol{S}$ donnent les probabilit\'es de
passer d'un point \`a un autre en plusieurs pas.

 Que se passe-t-il
apr\`es un grand nombre de pas? On a\footnote{
Cf.
 Peter Doyle
  \href{http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/}
   {\texttt{http://www.math.dartmouth.edu/\~{}doyle/}} ,
 P.~Doyle, J.L.~Snell: `Random Walks and Electric Networks'
   \href{http://front.math.ucdavis.edu/math.PR/0001057}
   {\texttt{http://front.math.ucdavis.edu/math.PR/0001057}} }
{\Small
\begin{equation*}
\hspace*{-54pt}\boldsymbol{S}=
\left[   \begin{tabular}{c|c}
             $ I$  &  $0$  \\
      \hline$ B$ & $I-A$
          \end{tabular}
 \right],
\boldsymbol{S}^2=
\left[   \begin{tabular}{c|c}
             $ I$  &  $0$  \\
      \hline$ (I+I-A)B$ & $(I-A)^2$
          \end{tabular}
 \right],\dotsc,
\boldsymbol{S}^N=
\left[   \begin{tabular}{c|c}
             $ I$  &  $0$  \\
      \hline$ (I+I-A+\dotsb +(I-A)^{N-1})B$ & $(I-A)^N$
          \end{tabular}
 \right],
\end{equation*}
}
 qui converge donc quand $N\to\infty$ vers    $\displaystyle{
\left[   \begin{tabular}{c|c}
             $ I$  &  $0$  \\
      \hline$ A^{-1}B$ & $0$
          \end{tabular}
 \right].  }$
Une promenade al\'eatoire (ou alcoolique) partant d'un point int\'erieur
$P_i$ aboutit donc \`a un point fronti\`ere $P_j$ avec une
probabilit\'e $(\boldsymbol{S}^\infty)_{i,j}$. Enfin,
$$
 u_i = (A^{-1}B\boldsymbol{u}_\Gamma)_i =
      \sum_{P_j\in\Gamma} (\boldsymbol{S}^\infty)_{i,j} u_j
    = \lim_{N\to\infty} \dfrac{ \sum_j N_j u_j}{N},
$$
o\`u $N_j$ est le nombre de fois qu'on aboutit \`a $P_j\in\Gamma$ apr\`es
$N$ promenades al\'eatoires issues de $P_i$ (th\'eories de Kakutani, Doob et
Wiener).


\medskip

\section{Autres m\'ethodes de traitement du laplacien.}

\subsection{Transformation conforme (2D)}  \  \\

\parpic{
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(0.9,1.8)
\psccurve(0.692,1.30)(0.695,1.29)(0.703,1.28)(0.714,1.27)(0.727,1.27)(0.738,1.27)(0.746,1.28)(0.752,1.29)(0.754,1.30)(0.752,1.31)(0.746,1.32)(0.738,1.33)(0.727,1.33)(0.714,1.33)(0.703,1.32)(0.695,1.31)(0.692,1.30)
\psccurve(0.655,1.30)(0.662,1.27)(0.682,1.25)(0.708,1.24)(0.732,1.24)(0.753,1.25)(0.767,1.26)(0.776,1.28)(0.779,1.30)(0.776,1.32)(0.767,1.34)(0.753,1.35)(0.732,1.36)(0.708,1.36)(0.682,1.35)(0.662,1.33)(0.655,1.30)
\psccurve(0.611,1.30)(0.627,1.25)(0.663,1.22)(0.705,1.20)(0.741,1.21)(0.769,1.23)(0.788,1.25)(0.799,1.27)(0.802,1.30)(0.799,1.33)(0.788,1.35)(0.769,1.37)(0.741,1.39)(0.705,1.40)(0.663,1.38)(0.627,1.35)(0.611,1.30)
\psccurve(0.561,1.30)(0.587,1.22)(0.646,1.18)(0.706,1.17)(0.753,1.18)(0.786,1.21)(0.807,1.24)(0.819,1.27)(0.823,1.30)(0.819,1.33)(0.807,1.36)(0.786,1.39)(0.753,1.42)(0.706,1.43)(0.646,1.42)(0.587,1.38)(0.561,1.30)
\psccurve(0.500,1.30)(0.545,1.19)(0.634,1.14)(0.712,1.14)(0.768,1.16)(0.804,1.19)(0.826,1.23)(0.838,1.26)(0.842,1.30)(0.838,1.34)(0.826,1.37)(0.804,1.41)(0.768,1.44)(0.712,1.46)(0.634,1.46)(0.545,1.41)(0.500,1.30)
\psccurve(0.426,1.30)(0.501,1.14)(0.627,1.09)(0.723,1.10)(0.784,1.14)(0.822,1.18)(0.844,1.22)(0.855,1.26)(0.859,1.30)(0.855,1.34)(0.844,1.38)(0.822,1.42)(0.784,1.46)(0.723,1.50)(0.627,1.51)(0.501,1.46)(0.426,1.30)
\psccurve(0.332,1.30)(0.457,1.08)(0.627,1.04)(0.738,1.07)(0.802,1.12)(0.839,1.17)(0.860,1.22)(0.871,1.26)(0.874,1.30)(0.871,1.34)(0.860,1.38)(0.839,1.43)(0.802,1.48)(0.738,1.53)(0.627,1.56)(0.457,1.52)(0.332,1.30)
\psccurve(0.207,1.30)(0.417,1.00)(0.635,0.986)(0.757,1.04)(0.821,1.10)(0.856,1.16)(0.876,1.21)(0.886,1.26)(0.889,1.30)(0.886,1.34)(0.876,1.39)(0.856,1.44)(0.821,1.50)(0.757,1.56)(0.635,1.61)(0.417,1.60)(0.207,1.30)
\psccurve(0.0222,1.30)(0.389,0.909)(0.652,0.934)(0.778,1.02)(0.840,1.09)(0.873,1.15)(0.890,1.21)(0.899,1.25)(0.902,1.30)(0.899,1.35)(0.890,1.39)(0.873,1.45)(0.840,1.51)(0.778,1.58)(0.652,1.67)(0.389,1.69)(0.0222,1.30)
\pscurve[linewidth=0.0075]%
(-0.500,1.30)(0.380,0.800)(0.677,0.885)(0.802,0.993)(0.860,1.08)(0.889,1.15)(0.904,1.20)(0.912,1.25)(0.914,1.30)(0.912,1.35)(0.904,1.40)(0.889,1.45)(0.860,1.52)(0.802,1.61)(0.677,1.71)(0.380,1.80)(-0.500,1.30)
\psline(0.703,1.28)(0.682,1.25)(0.663,1.22)(0.646,1.18)(0.634,1.14)(0.627,1.09)(0.627,1.04)(0.635,0.986)(0.652,0.934)(0.677,0.885)
\psline(0.727,1.27)(0.732,1.24)(0.741,1.21)(0.753,1.18)(0.768,1.16)(0.784,1.14)(0.802,1.12)(0.821,1.10)(0.840,1.09)(0.860,1.08)
\psline(0.746,1.28)(0.767,1.26)(0.788,1.25)(0.807,1.24)(0.826,1.23)(0.844,1.22)(0.860,1.22)(0.876,1.21)(0.890,1.21)(0.904,1.20)
\psline(0.754,1.30)(0.779,1.30)(0.802,1.30)(0.823,1.30)(0.842,1.30)(0.859,1.30)(0.874,1.30)(0.889,1.30)(0.902,1.30)(0.914,1.30)
\psline(0.746,1.32)(0.767,1.34)(0.788,1.35)(0.807,1.36)(0.826,1.37)(0.844,1.38)(0.860,1.38)(0.876,1.39)(0.890,1.39)(0.904,1.40)
\psline(0.727,1.33)(0.732,1.36)(0.741,1.39)(0.753,1.42)(0.768,1.44)(0.784,1.46)(0.802,1.48)(0.821,1.50)(0.840,1.51)(0.860,1.52)
\psline(0.703,1.32)(0.682,1.35)(0.663,1.38)(0.646,1.42)(0.634,1.46)(0.627,1.51)(0.627,1.56)(0.635,1.61)(0.652,1.67)(0.677,1.71)
\psline(0.692,1.30)(0.655,1.30)(0.611,1.30)(0.561,1.30)(0.500,1.30)(0.426,1.30)(0.332,1.30)(0.207,1.30)(0.0222,1.30)(-0.500,1.30)
\pscircle[linewidth=0.0075](0.2,0){0.5}
\pscircle(0.2,0){0.45}
\pscircle(0.2,0){0.40}
\pscircle(0.2,0){0.35}
\pscircle(0.2,0){0.3}
\pscircle(0.2,0){0.25}
\pscircle(0.2,0){0.2}
\pscircle(0.2,0){0.1}
\pscircle(0.2,0){0.15}
\pscircle(0.2,0){0.05}
\psline(-0.3,0)(0.7,0)\psline(0.2,0.5)(0.2,-0.5)\psline(0.55,0.35)(-0.15,-0.35)
\psline(-0.15,0.35)(0.55,-0.35)
\uput[0](-0.5,-0.6)%
{\Small
\hspace*{-13pt}$D$ est le disque unit\'e et $\Omega$   est son image}
\uput[0](-0.5,-0.7){\Small par $z=\Psi(w)=\sqrt{3(1-w)/(2-w)}$.  }
\psline(-0.5,-0.79)(1,-0.79)
\end{pspicture}
}
 Soit $\Phi$ une fonction analytique de $z=x+iy$ appliquant $\Omega$
 sur un domaine $D$ canonique (disque ou rectangle) et d'inverse
 \'egalement analytique: \\
 $
  \hspace*{-5pt}   z=\Psi(w)=x+iy \in\Omega  \longleftrightarrow
                            w=\Phi(z)=\xi+i\eta\in D
 $  \\
 $   dw=d\xi+id\eta=\Phi'(z) dz=   $ \\
 $\hspace*{25pt}[\text{Re}\,\Phi' dx -\text{Im}\,\Phi' dy]
                         +i[\text{Im}\,\Phi' dx +\text{Re}\,\Phi' dy] $, \\
 $ \displaystyle{  du = \dfrac{\partial u}{\partial \xi}  d\xi +
                        \dfrac{\partial u}{\partial \eta}  d\eta
    = \left[\text{Re}\,\Phi'\dfrac{\partial u}{\partial \xi}   
          +\text{Im}\,\Phi'\dfrac{\partial u}{\partial \eta}\right]dx }$\\
 $\displaystyle{\hspace*{72pt}  + \left[-\text{Im}\,\Phi'\dfrac{\partial u}{\partial \xi}
           +\text{Re}\,\Phi'\dfrac{\partial u}{\partial \eta}\right]dy,
   }$ \\
 donc,
 $\displaystyle{   \begin{bmatrix} \partial u/\partial x  \\
                        \partial u/\partial y \end{bmatrix} =
          \begin{bmatrix} \text{Re}\,\Phi'    &   \text{Im}\,\Phi'  \\
                        -\text{Im}\, \Phi'  &  \text{Re}\, \Phi' \end{bmatrix}
    \begin{bmatrix} \partial u/\partial\xi \\  \partial u/\partial\eta\end{bmatrix}
  }$, \\
  ou $\partial u/\partial x +i \partial u/\partial y =\overline{\Phi'}(
      \partial u/\partial\xi +i\partial u/\partial\eta).$ \\
  Appliquons l'op\'erateur $\partial /\partial x-i\partial /\partial y$:\\
  $\partial^2 u/\partial x^2 +\partial^2 u/\partial y^2 = |\Phi'|^2 (
   \partial^2 u/\partial\xi^2+\partial^2 u/\partial\eta^2)$, ce qui montre
  comment le laplacien se transforme dans les nouvelles variables\footnote{Il
  manque $(\partial\overline{\Phi'}/\partial\xi
    -i\partial\overline{\Phi'}/\partial\eta)
    (\partial u/\partial\xi+i\partial u/\partial\eta)$ qui est nul car,
   $\overline{\Phi'}$ \'etant une fonction analytique, donc
   holomorphe, de $\xi-i\eta$,
   $\partial\overline{\Phi'}/\partial\xi = i\partial\overline{\Phi'}/\partial\eta
    = d\overline{\Phi'}/d(\xi-i\eta)$.}. Une \'equation de Poisson
    $-\Delta u=f$ dans $\Omega$ se transforme avec le second membre
    $f/|\Phi'|^2$ dans $D$. \\
    D\'emonstration plus ``g\'eom\'etrique'': le laplacien \'etant une
    divergence (la divergence du gradient), on le r\'e\-cu\-p\`e\-re en un point
    par moyenne sur un petit disque $d$ de rayon $r\to 0$:


    \picskip{-1}

    $ \displaystyle{    \Delta u = \lim_{r\to 0} \dfrac{1}{\pi r^2}
      \int_d \text{div\; grad}\,u\;dxdy =
      \dfrac{1}{\pi r^2} \int_\gamma  \dfrac{\partial u}{\partial n}\,ds }$,
     o\`u $\gamma$ est la fronti\`ere du disque. Comme la transformation
     conforme conserve les angles, les d\'eriv\'ees normales sont transform\'ees
     en d\'eriv\'ees normales, \`a un facteur $|\Phi'|$ pr\`es. On retrouve le
     facteur $|\Phi'|^2$ entre les laplaciens dans $\Omega$ et dans $D$.

    Conditions fronti\`ere: si la fronti\`ere de $\Omega$ est une courbe de
    Jordan, $\Phi$ est continue et inversible sur les ferm\'es
    $\overline{\Omega}$ et $\overline{D}$ (th\'eorie de Carath\'eodory).


  cf.    COURANT R., \textsl{Dirichlet's principle, conformal mapping, and minimal
                        surfaces};    
    GOOVAERTS M.J.; GRAGG W.B.; WUYTACK L.; TREFETHEN Lloyd N.
   (Editor),
   \textsl{Journal of Computationl and applied mathematics}, \textbf{14} (1986)1 \&
   2,  Special issue on Numerical Conformal Mapping.
  

\subsection{Equations int\'egrales sur la fronti\`ere, fonction de Green}  \   \\

La solution fondamentale singuli\`ere en $P_0\in\mathbb{R}^n$ de l'\'equation
de Laplace v\'erifie $\Delta E_{P_0}(P) =\delta_{P_0}(P)$. C'est donc une
fonction harmonique sauf en $P_0$, telle que    \index{int\'egrales, \'equations}

$$  1= \int_d \text{div\; grad}\, E_{P_0}(P)\,dP =
       \int_\gamma \dfrac{\partial E_{P_0}(P)}{\partial n}\,dS
$$
 sur n'importe quelle boule $d$ de centre $P_0$.

 A une dimension, $E_{P_0}(P)=|P-P_0|/2$, 
 \`a deux dimensions, $\displaystyle{  E_{P_0}(P) = \dfrac{\log|P-P_0|}{2\pi}}$,
     \`a trois dimensions,
    $\displaystyle{  E_{P_0}(P) = -\dfrac{1}{4\pi|P-P_0|}}$.



 

  La solution du probl\`eme de Dirichlet $\Delta u=0$ avec $u$ donn\'ee
  sur $\Gamma$ est

  \begin{equation*}\begin{split}
  u(P)&= \int_\Omega (u(P_0)\Delta E_{P_0}(P) -E_{P_0}(P)\Delta u(P_0))dP_0
     = \int_\Omega \text{div}\,(u\, \text{grad}\,E_{P_0}
                                -E_{P_0}\,\text{grad}\,u)dP_0     \\
     &= \int_\Gamma  \left[u(P_0) \dfrac{\partial E_{P_0}(P) }{\partial n}
                     -E_{P_0}(P)\dfrac{\partial u(P_0)}{\partial n}\right]\,dS_0,
  \end{split}\end{equation*}
  o\`u la fonction $\partial u/\partial n$ est encore inconnue. Si on fait
tendre $P$ vers la fronti\`ere $\Gamma$, on a une \'equation int\'egrale
pour $\partial u/\partial n$.  On \'evite la fonction singuli\`ere  
 $\partial E/\partial n$ en remarquant
  que la formule donne 0 si $P$ est hors de $\Omega$ (pas de singularit\'e).
Pr\'ecis\'ement, appliquons la formule au probl\`eme de Dirichlet dans
l'ext\'erieur de $\Omega$. La solution $u_{\text{ext}}$ v\'erifie donc
$$
 0 = \int_\Gamma  [u_{\text{ext}}(P_0) \dfrac{\partial E_{P_0}(P) }{\partial n}
                     -E_{P_0}(P)\dfrac{\partial u_{\text{ext}}(P_0)}{\partial n}]\,dS_0,
$$
si $P\in\Omega$. Diff\'erence:

$$ u(P) = \int_\Gamma E_{P_0}(P) \sigma(P_0)\, dS_0, $$
o\`u la fonction inconnue est maintenant $\sigma(P_0)=$ saut de
la d\'eriv\'ee normale de $u$ \`a la fronti\`ere. Si $P$ parcourt
cette fronti\`ere, on a une \'equation int\'egrale (de Fredholm,
premi\`ere esp\`ece) pour $\sigma$.

R\'esolution approch\'ee par Galerkin ou Petrov-Galerkin: ?$\sigma_h\in U_h$,
$$ \int_\Gamma v(P)u(P)\,dS_P = \int_\Gamma \int_\Gamma v(P) E_{P_0}(P) \sigma_h(P_0)\, dS_0\,dS_P,\  
    \forall v\in V_h. $$

 Cf.  Boundary Integral Techniques
         \href{http://www.rpi.edu/~des/GFEM/lec14.ppt}
           {\texttt{http://www.rpi.edu/\~{}des/GFEM/lec14.ppt}}

Jaswon, M. A.; Symm, G. T.
   \textsl{Integral equation methods in potential theory and elastostatics.
   Computational Mathematics and Applications}.
   Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], London-New
   York, 1977.

 \smallskip

 \index{Green, fonction de}
 La \emph{\textbf{fonction de Green}} $G_{P_0}$ de l'\'equation de Laplace dans
 $\Omega$, singuli\`ere en $P_0$, est la fonction harmonique hors de
 $P_0$, nulle sur la fronti\`ere $\Gamma$ de $\Omega$, et telle que
 $G_{P_0}-E_{P_0}$ soit r\'eguli\`ere ($\mathscr{C}^1$) dans $\Omega$.

 Exemples:  $\displaystyle{
   \dfrac{\max (P-a)(P_0-b), (P-b)(P_0-a)}{b-a}  }$  dans $(a,b)$;\\
   $\displaystyle{ \dfrac{1}{2\pi} \log\left|
       \dfrac{P-P_0}{1-\overline{P_0} P}\right|  }$ dans le disque
    unit\'e de $\mathbb{R}^2$;\\
    $\displaystyle{  \dfrac{1}{4\pi}\left[ \dfrac{R/|P_0|}{|P-P_0^*|}
        -\dfrac{1}{|P-P_0|}\right] }$ dans la boule de rayon $R$
  de $\mathbb{R}^3$, o\`u $P_0^*$ est l'inverse (\emph{image}) de $P_0$,
  situ\'e dans le prolongement de $P_0$, \`a la distance $R^2/|P_0|$ de
  l'origine.

  La solution de l'\'equation de Poisson $-\Delta u=f$ avec $u|_{\Gamma}=0$
  est $\displaystyle{ u(P)=-\int_\Omega  G_{P_0}(P) f(P_0)\,dP_0 }$.

 Week 8 Lectures, Math 716, Tanveer 1 Greens function for

        \href{http://www.math.ohio-state.edu/~tanveer/m716/week8.716.pdf}
          {\texttt{http://www.math.ohio-state.edu/\~{}tanveer/m716/week8.716.pdf}}


A deux dimensions, $\displaystyle{  G_{z_0}(z) =\text{Re\ }\log\left(\dfrac{\Phi(z)-\Phi(z_0)}
                                                             {1-\overline{\Phi(z_0)}\Phi(z)}\right)  }$.

\subsection{D\'eveloppements multipolaires}  \   \\    \index{multipolaire}

 Discr\'etisation de l'\'equation int\'egrale: on a un syst\`eme
 d'\'equations lin\'eaires de forme
 $$  \sum_{j=1}^N  \Phi(P_i,Q_j) x_j = y_i,\   \   P_i, Q_j\in\Gamma. $$
 On d\'ecompose $\Gamma$ en sous-r\'egions, disons $P_i\in\Gamma_I$ et
 $Q_j\in\Gamma_J$. Si $\Gamma_J$ est \'eloign\'ee de $\Gamma_I$,
 $\Phi(P_i,Q_j)$ ne varie presque pas avec $Q_j$ et les contributions
 des $x_j$ pour $Q_j\in\Gamma_J$ se r\'eduisent \`a la somme
$\displaystyle{ \sum_{Q_j\in\Gamma_J} x_j}$, d'o\`u une forte r\'eduction
du nombre d'op\'erations. Pour une meilleure pr\'ecision, on ajoute
les contributions du premier ordre, etc., de $Q_j$ autour d'un point de
$\Gamma_J$.

Exemple: solution fondamentale de l'\'equation de Laplace autour
d'un point $R_J=(X_J,Y_J,Z_J)$:

\begin{equation*}\begin{split}
\dfrac{1}{|P_i-Q_j|} &= \dfrac{1}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(z_i-z_j)^2}}  \\
                   &=\dfrac{1}{\sqrt{[(x_i-X_J)-(x_j-X_J)]^2 +[(y_i-Y_J)-(y_j-Y_J)]^2 +[(z_i-Z_J)-(z_j-Z_J)]^2}} \\
      &= \underbrace{|P_i-R_J|^{-1} }_{\text{terme monopolaire}} \\
        &+\underbrace{[(x_i-X_J)(x_j-X_J) + (y_i-Y_J)(y_j-Y_J)+(z_i-Z_J)(z_j-Z_J)]
                           |P_i-R_J|^{-3}  }_{\text{termes dipolaires}}
     +\dotsb
\end{split}\end{equation*}

Enfin, on consid\`ere simultan\'ement plusieurs niveaux de discr\'etisation.  

  
{\Small
 \href{www-theor.ch.cam.ac.uk/people/ross/thesis/node97.html} 
  {\texttt{www-theor.ch.cam.ac.uk/people/ross/thesis/node97.html} }

  \begin{center}\textbf{The Fast Multipole Method.}\end{center}

   The   breakthrough  was  made  in  1985  when  Greengard  and  Rokhlin
   [178,179,180]  showed how to compute the Coulomb energy of
   point  charges  in only linear work. Greengard's Fast Multipole Method
   (FMM)  belongs  to  the  family  of algorithms called tree codes. Tree
   codes  [181]  acquire  their speed by transforming the information
   about  a cluster of charge into a simpler representation which is used
   to compute the influence of the cluster on objects at large distances.

   The  Fast  Multipole Method begins by scaling all particles into a box
   with  coordinate ranges $[0 \ldots 1,0 \ldots 1,0 \ldots 1]$ to ensure
   numerical  stability  of subsequent operations. The parent box is then
   divided  in  half  along  each  Cartesian axis. Each child box is then
   further  subdivided, forming a `computational family tree'. The number
   of  subdivisions  is  chosen  so  that  the number of particles in the
   lowest  level  boxes  is  approximately  independent  of the number of
   particles (this is required to achieve linear scaling).

   Each  particle  is then placed within a box on the lowest level of the
   tree.   Any   empty   boxes   are  removed  to  allow  efficiency  for
   inhomogeneous  systems.  The  charges  of particles within each lowest
   level box are then expanded in multipoles about the center of its box.
   The multipole expansion of each lowest level box is then translated to
   the center of its parent box via one of three special FMM operators.

   The second of the FMMs operators is used for each box to transform the
   multipole  expansions  of all well-separated boxes (those that are not
   nearest  neighbours)  into  Taylor  expansions about the center of the
   current box. However, only those multipole expansions from boxes which
   are  well-separated at the present level and not well-separated at the
   parent  level  are  interacted.  The  multipole  expansions  are  also
   translated  to  Taylor  expansions in the parent box. This allows each
   transformation  to  be  performed  as high up the tree as possible. In
   practice  this  pass is the bottleneck of the algorithm, yet, like all
   the other passes, it is O(N).

   The  third  pass transforms the parent Taylor expansions down the tree
   to  the  child  boxes,  so that each low-level box contains the Taylor
   expansion  representing  all well-separated particles. The fourth pass
   calculates  the  far-field  potential for each particle via the Taylor
   representation  in  the  particles  box.  A  final pass calculates the
   interactions  between  particles  that  are  not well-separated at any
   level in the tree.
     
     \begin{center}\textbf{ The Continuous Fast Multipole Method.}\end{center}

   The  FMM  has  subsequently  been applied to problems in astrophysics,
   plasma   physics,   molecular   dynamics,   fluid   dynamics,  partial
   differential  equations  and  numerical  complex analysis. The FMM was
   generalized to handle continuous distributions (forming the Continuous
   FMM,  CFMM)  in  1994  by  White et al. [182,157] after making
   several  improvements  to  the original FMM [180,183,184].
   The  main  change  was  the  introduction  of  a well-separated index,
   describing the distance required before interactions can be calculated
   via  multipoles.  This  index depends on the diffuseness of the charge
   distributions involved. Over the last few years CFMM has become a very
   mature  algorithm,  and  the  Q-CHEM  implementation  is  now a highly
   optimized, efficient code.
    

    Ross D. Adamson
    1999-01-27   


157       C.  A.  White,  B.  G.  Johnson, P. M. W. Gill, M. Head-Gordon,
          Chem. Phys. Lett. 253 (1996) 268.

 178       L. Greengard, V. Rokhlin, J. Comput. Phys. 73 (1987) 325.

   179           L.  Greengard,  The  Rapid  Evaluation  of  Potential Fields in
          Particle Systems, MIT, Cambridge, (1987).

   180           C. A. White, M. Head-Gordon, J. Chem. Phys. 101 (1994) 6593.

   181           L. Greengard, Science 265 (1994) 909.

   182           C.  A.  White,  B.  G.  Johnson, P. M. W. Gill, M. Head-Gordon,
          Chem. Phys. Lett. 230 (1994) 8.

   183           C. A. White, M. Head-Gordon, Chem. Phys. Lett. 257 (1996) 647.

   184           C. A. White, M. Head-Gordon, J. Chem. Phys. 105 (1996) 5061.
}  % end Small


\section{D\'ecomposition de domaine, compl\'ement de Schur, substructuring.}

On consid\`ere une partition de $\Omega$ en $p$ sous-domaines.

Que ce soit en \'el\'ements finis ou en diff\'erences, la plupart des
\'el\'ements non nuls de la $i^{\text{\`eme}}$ ligne de $\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}$
sont associ\'es \`a des points appartenant au m\^eme sous-domaine que
le $i^{\text{\`eme}}$ point.

En rassemblant les indices associ\'es \`a chaque sous-domaine, on
obtient
$$
  \begin{bmatrix}
     \boldsymbol{A}_1 &    &      &  \boldsymbol{F}_1^T   \\
                     & \ddots &   &  \vdots  \\
                     &     & \boldsymbol{A}_p & \boldsymbol{F}_p^T \\
 \boldsymbol{F}_1 &  \cdots  & \boldsymbol{F}_p & \boldsymbol{A}_B
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}
   \boldsymbol{x}^{(1)} \\  \vdots \\  \boldsymbol{x}^{(p)} \\
    \boldsymbol{x}^{(B)}
  \end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
   \boldsymbol{b}^{(1)} \\  \vdots \\  \boldsymbol{b}^{(p)} \\
    \boldsymbol{b}^{(B)}
  \end{bmatrix},
$$
o\`u l'ordre du bloc $\boldsymbol{A}_B$ est normalement tr\`es
inf\'erieur \`a la somme des ordres des autres blocs.
Donc, $\boldsymbol{x}^{(k)} = \boldsymbol{A}_k^{-1}\boldsymbol{b}^{(k)}
                    -\boldsymbol{A}_k^{-1}\boldsymbol{F}_k^T\boldsymbol{x}^{(B)}
\Rightarrow$
$\displaystyle{
   \boldsymbol{S}
      \boldsymbol{x}^{(B)}  =
   \boldsymbol{b}^{(B)} -\sum_{k=1}^p \boldsymbol{F}_k
              \boldsymbol{A}_k^{-1}\boldsymbol{b}^{(k)},
}$  avec
$\displaystyle{   \boldsymbol{S} =
   \boldsymbol{A}_B -\sum_{k=1}^p \boldsymbol{F}_k
              \boldsymbol{A}_k^{-1}\boldsymbol{F}_k^T.
}$

On appelle \emph{\textbf{compl\'ement de Schur}} de $\boldsymbol{X}$
dans $ \begin{bmatrix} \boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y} \\
                       \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{W} \end{bmatrix} $
                        la matrice
$\boldsymbol{U}$ telle que
 $ \begin{bmatrix} \boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y} \\
                       \boldsymbol{Z} & \boldsymbol{W} \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix} \boldsymbol{x} \\ \boldsymbol{y}  \end{bmatrix}
 =
   \begin{bmatrix} \boldsymbol{a} \\ \boldsymbol{b}  \end{bmatrix}
\Rightarrow \boldsymbol{Uy} = \cdots $
On trouve $\boldsymbol{U} = \boldsymbol{W} - \boldsymbol{ZX}^{-1}
  \boldsymbol{Y}$. La matrice $\boldsymbol{S}$ est donc une
somme de compl\'ements de Schur.

\smallskip

Dans les formules ci-dessus, les expressions utilisant
$\boldsymbol{A}_k^{-1}$ s'entendent comme des r\'esolutions de
sous-syst\`emes de matrice $\boldsymbol{A}_k$. Ces r\'esolutions
peuvent s'effectuer en \emph{\textbf{parall\`ele}} sur $p$
processeurs.

\smallskip

Voir aussi m\'ethodes frontales.

\medskip

Cf. B.F.~Smith, P.E.~Bj\o rstad, W.D.~Gropp, \textsl{Domain
 Decomposition, Parallel multilevel methods for elliptic partial
 differential equations}, Cambridge Univ. Press, 1996;\\
 S.C.~Brenner, The condition number of the Schur complement in
  domain decomposition, \textsl{Numer. Math.} \textbf{83} (1999)
  187-203.

{\Small \noindent
From: Thanh-Ha.Lethi@springer-sbm.com \\
Date: Wed, 27 Oct 2004 11:18:21 +0200  \\
Subject: New Book on Domain Decomposition Methods

Andrea Toselli, Olof Widlund \textsl{"Domain Decomposition Methods - Algorithms and
Theory"} -  Springer Series in Computational Mathematics Vol. \textbf{34}, XV, 450 pp.
ISBN 3-540-20696-5, Springer-Verlag, October 2004

The purpose of this text is to offer a comprehensive and self-contained
presentation of some of the most successful and popular domain decomposition
preconditioners for finite and spectral element approximations of partial
differential equations. Strong emphasis is placed on both algorithmic and
mathematical aspects. Some important methods such FETI and balancing
Neumann-Neumann methods and algorithms for spectral element methods, not
treated previously in any monograph, are covered in detail.

For further details, please contact

Dr. Martin Peters
Excutive Mathematics Editor
Springer
Tiergartenstrasse 17
D-69121 Heidelberg, Germany
Email: Martin.Peters@springer-sbm.com
}

\section{Conditionnement et m\'ethodes it\'eratives, pr\'econditionnement.
}\medskip

On r\'esout $Ax=b$ par it\'erations ne contenant que des additions et
des multiplications par $A \Rightarrow $ le $n^{\text{\`eme}}$
it\'er\'e est $P_n(A)b$, o\`u $P_n$ est un polyn\^ome de degr\'e $n$.
Le \emph{\textbf{polyn\^ome r\'esidu}} est $R_{n+1}(x):= 1-xP_n(x)$.
Le $n^{\text{\`eme}}$ r\'esidu est alors $b-Ax = b-A P_n(A) b = R_{n+1}(A) b$.

Si on se donne des polyn\^omes $R_n$, avec $R_n(0)=1$, on d\'ecrit une
m\'ethode it\'erative. Par exemple,\  \emph{\textbf{Jacobi-Richardson}}:
$$ R_n(z) = (1-\mu z)^n \Rightarrow x= \frac{ I - (I-\mu A)^{n+1} }{A}\,b:
    x_{\text{nouveau}} - x_{\text{ancien}} = \mu (I-\mu A)^n b =
       \mu (b-A x_{\text{ancien}}). $$
Il s'agit de contr\^oler la d\'ecroissance de $\|R_{n+1}(A)b\|$ en fonction
de $n$.
Si $A$ est sym\'etrique (r\'eelle\footnote{ou complexe hermitienne}), on
voit, en exprimant $b$ dans la base \emph{\textbf{orthonormale}} des
vecteurs propres de $A$, que
$$ \| R_{n+1}(A)\| = \max_k |R_{n+1}(\lambda_k(A))|. $$
Si on sait que $A$ est d\'efinie positive, $\lambda_k \in [\alpha, \beta]$,
avec $0<\alpha\leqslant \beta$, et il suffit d'examiner $\max_{z\in
[\alpha, \beta]} |R_{n+1}(z)|$.

Avec Jacobi-Richardson et $\mu=2/(\alpha+\beta)$, on obtient
$\displaystyle{ \|R_{n+1}(A)\| \leqslant \left(
   \frac{\beta-\alpha}{\beta + \alpha}\right)^{n+1} }$.

\medskip

Conditionnement de A: $\kappa = \lambda_{\text{max}}(A)/
                                \lambda_{\text{min}}(A) $. Donc, au mieux,
$\displaystyle{ \|R_{n+1}(A)\| \leqslant \left(
   \frac{\kappa-1}{\kappa+1}\right)^{n+1} }$.

\bigskip

\textbf{Pr\'econditionnement:} extraits de

{\Small
\begin{center}
       ITERATIVE METHODS FOR LARGE SCALE SYSTEMS AND EIGENVALUE PROBLEMS.
\end{center}

This seminar series represents the graduate courses "Special Topics in Linear
Algebra", P. Van Dooren (UCL) and "Scientific Computing",  S. Vandewalle (KULeuven).

...

Friday 6/3 1998, 14h-16h30, K.U.Leuven, sem. room 200B.02.16 \\
Preconditioning techniques for iterative methods
(Notay, Univ. Libre Bruxelles)

...



\begin{center}
\textbf{Preconditioning techniques for iterative methods}

Y. Notay ${}^*$    \\
Universit\'e Libre de Bruxelles  \\
${}^*$ ``Fonds National de la Recherche Scientifique'',
Chercheur qualifi\'e.
\end{center}

\noindent 1. Introduction

Consider a Krylov method to solve the linear
system
$Au = b$.
The convergence depends essentially on the
eigenvalue distribution of $A$.
Ideally, all eigenvalues should be clustered around
some point on the real axis.
If $A$ is Symmetric Positive Definite (SPD), all
eigenvalues are real and positive, and the
convergence rate of the Krylov method
depends mainly on the condition number
$\displaystyle{ \kappa(A) = \frac{\lambda_{\text{max}}(A) }
                                 {\lambda_{\text{min}}(A) }     }$.
In this case, the conjugate gradient method
is the most widely used (optimal with short
recurrence).
} % end Small

\smallskip

A \emph{\textbf{preconditioner}} is a matrix $B$ such that the
preconditioned system $B^{-1}Au = B^{-1}b$ is easier to solve by a
Krylov method.

This means that
\begin{itemize}
 \item  the eigenvalue distribution of $B^{-1}A$ should be more
    favourable (better clustered);
 \item solving a linear system $Bx=y$ should be cheap (each iteration
   requires the multiplication of a vector by $B^{-1}$).
\end{itemize}

\smallskip

{\Small If $A$ is SPD, it is better to choose $B$  SPD.
The CG method can then still be used.
The eigenvalues of $B^{-1}A$ are positive real and the convergence
depends on
$\displaystyle{ \kappa(B^{-1}A) = \frac{\lambda_{\text{max}}(B^{-1}A) }
                                 {\lambda_{\text{min}}(B^{-1}A) }     }$.

In general, it is more important to use a good
preconditioner than to select an ``optimal'' Krylov
method.

Illustrations

(1) Discrete Laplacian with Dirichlet boundary
conditions, 5 point finite difference, uniform
128 $\times$ 128 grid


\begin{tabular}{r|r|r|r}
prec. & $\kappa$ & it(s. d.)${}^{(*)}$ &  it(CG)   \\
 \hline
No & 6640. & 61157 & 237  \\
ILU(0) &  587.& 5407 & 99 \\
MILU(0) &  40.9 & 377 & 54 \\
AML & 2.70  & 24&  15
\end{tabular}

${}^{(*)}$  steepest descent, theoretical estimates

(2) Non symmetric problems, from Saad (1996).

Mflops to solve the problem:

\begin{tabular}{r|c|c|c|c|c}
matrix & GMRES(10) & BICGSTAB & SGS & ILU(0) & ILUT \\
 \hline
F2DA & 3.8 & 2.0&  2.0 & 1.5 & 1.0 \\
D3D & 11.9 & 6.4 & 4.9 & 4.0 & 3.4 \\
ORS & 9.2 & 5.2 & 6.8 & 1.2 & 0.3
\end{tabular}

(preconditioned cases with GMRES(10))

\noindent 2. Basic iterative techniques

Reminder: given a splitting
$A = M -N$, the basic iteration writes
$Mu_{k+1} = b +Nu_k$.

Example : $M =$ diag$(A)$ (Jacobi) gives
$\displaystyle{(u_{k+1})_i = a_{ii}^{-1} \left( b_i -\sum_{j\neq i}
       a_{ij} (u_k)_j \right) }$.

Convergence: let $\epsilon_k = u-u_k$; then $\epsilon_k =
  (I-M^{-1}A)\epsilon_{k-1} =
  (I-M^{-1}A)^k\epsilon_0 $  Fast if $\sigma(M^{-1}A)$ well clustered around
  1 $\Rightarrow M$ is a good preconditioner for $A$.

Rmk: the sequence $\{\tilde{u}_k\}$ resulting from the
use of a Krylov method is connected
to $\{u\}_k$ defined above by
$\{\tilde{u}_k\} = \displaystyle{\sum_{i=0}^k \alpha_k^i u_i }$.

\noindent 3. Non algebraic preconditioners

Physical problem (say, PDE)
 $\xrightarrow{\text{discretization}}  Au=b $

(Simplified) problem
$\xrightarrow[\text{discretization}]{(\text{simplified})}
  B\tilde{u} =\tilde{b} $

If the ``simplifications'' entail that $B\tilde{u}=\tilde{b} $
is easier to solve, $B$ can be used as preconditioner
for $A$.

Examples

PDE with smoothly variable coefficient
``preconditioned'' by a PDE with constant
coefficients.

Spectral finite elements
($\to$ relatively dense matrices)
``preconditioned'' by linear finite elements
($\to$ sparse matrices).

\noindent 4. Two-step preconditioning Inner-outer schemes

``$B\tilde{u}=\tilde{b}$
 is easier to solve'' may in fact mean
that an efficient (algebraic) preconditioning
technique is applicable to $B$.
(``easier to solve by a Krylov method'').

The resulting preconditioner $\tilde{B}$
 can be used
directly as preconditioner for $A$.

Alternatively, instead of applying directly $\tilde{B}$
 to
precondition $A$, one may effectively
precondition $A$ by $B$, and solve the subsidiary
systems with $B$ by an (inner) iterative process
with $\tilde{B}$
 as preconditioner.

In general, it does not pay off to make exact
solves, so that the preconditioner for $A$ is not
exactly $B$, but some `near' mapping $\tilde{B}$.

Inner-outer schemes are attractive when
\begin{itemize}
 \item  $B$ is much sparser than $A$ ;
 \item Both inner and outer processes converge in
a few iterations, whereas the direct scheme
requires truncation of the Krylov method
(non SPD case; sometimes used with $B = A$).
\end{itemize}

...

HOWEVER, two assumptions are used which
are seldom met in practice:
\begin{enumerate}
 \item the relation holds for any $w$: in practice,
the error is controlled only with respect to
the current iterate;

 \item  if a Krylov method is applied to solve the
systems with $B$, in general, given $y_1, y_2,\dotsc,$
no $\widehat{B}$
 exists such that the resulting
approximate solutions satisfies
$x_1 = \widehat{B}^{-1} y_1,
x_2 = \widehat{B}^{-1} y_2,  \dotsc $ For instance, the computed
solution for $y=y_1+y_2$ will generally not be $x_1+x_2$. Further,
even is such a $\widehat{B}^{-1}$ formally exists,
it will surely not be SPD.
\end{enumerate}

Therefore:
\begin{itemize}
\item one should choose, for the outer process,
a Krylov method that explicitly
accommodates for variable preconditioning
(in particular, avoid the application of an
unpreconditioned scheme to the transformed
system $\widehat{B}^{-1}A =\widehat{B}^{-1}b$);
\item It is difficult to predict which $\epsilon$ will realize the
best compromise.
\end{itemize}

\noindent 5. Incomplete factorization
preconditioning

Overview of algebraic preconditioning techniques

\begin{itemize}
\item From classical iterative methods: \\  \\
Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, SSOR
(theory of convergent splittings, see under-graduate courses).
Always applicable, often poor convergence
except when $A$ itself is well conditioned.
\item Incomplete LU (ILU) for general matrices:
widely applicable, unpredictable convergence.
\item Incomplete LU, specific schemes for
(symmetric) $M-$matrices: restricted
applicability relatively fast convergence.
\item Algebraic multilevel methods: very
restricted applicability, very fast convergence.
\end{itemize}

ILU (general)

LU decomposition of $A$:
$A = LP^{-1}U  (P= \text{diag}(L) = \text{diag}(U) ) $
One seeks an iterative scheme because this
decomposition is too costly to compute
($L$, $U$ much less sparse than $A$).

Incomplete LU decomposition:
$A = LP^{-1}U+R$. The remainder matrix $R$ is nonzero because, when
computing the decomposition, `fill' entries are discarded to keep $L$,
$U$ (nearly) as sparse as $A$.
$B=LP^{-1}U$ is then a preconditioner.

Algorithm

Initialization: $L = \text{low}(A), U = \text{upp}(A),
P = \text{diag}(A)$.

For $k = 1,\dotsc, n-1$:

  \hspace*{20pt} $\forall i,j>k : \ell_{ik}\cdot u_{kj} \neq 0$

  \hspace*{30pt} $\displaystyle{ f_{ij} = -\frac{\ell_{ik} u_{kj} }
                                                {p_{kk} }   }$

  \hspace*{30pt} if (not discard $(f_{ij})$ or $i=j$)
    $$ \begin{cases}
           \text{if\ } i<j : u_{ij} &= u_{ij}+f_{ij}  \\
           \text{if\ } i=j : p_{ii} &= p_{ii}+f_{ij}  \\
           \text{if\ } i>j : \ell_{ij} &= \ell_{ij}+f_{ij}
       \end{cases}
   $$
`discarding' rules:
\begin{itemize}
\item by position (depends only of $i$ and $j$,
essentially for structured matrices);
\item by value:
$|f_{ij} \leqslant \tau m_{ij}$,
where $\tau$ is a threshold parameter
and $m_{ij} = \min(|a_{ii}|, |a_{jj}|)$
(for instance).
\end{itemize}

General matrices
\begin{itemize}
\item If a pivoting strategy is required for the
stability of the exact LU decomposition, a
similar strategy should be implemented for
ILU.
\item If $A$ is SPD, the positive definiteness of $B$
(that is, $p_{ii} > 0\ \forall i$) may be guaranteed by
adding the discarded $|f_{ij}|$  to the diagonal,
but this has an adverse effect on the
conditioning.
\item In general, one tries to prevent problems
by selecting a small threshold value $\tau$.
\end{itemize}

However:
\begin{itemize}
\item fill-in is then unpredictable ($\to$ strategies
that fix the maximumnumber of nonzero
per row of $U$ (column of $L$))
\item
$$\frac{(z,Az)}{(z,Bz)}
= 1 + \frac{(z,Rz)}{(z,Bz)} $$
if $A$ is ill conditioned (and $B$ close to $A$),
$\displaystyle{  \left|\frac{(z,Rz)}{(z,Bz)}\right| }$
 may be large even when $\|R\|$ is
small.
\end{itemize}

Rmk: ordering is important.

M-matrices

M-matrices have nonpositive offdiagonal entries
(offdiag($A) \leqslant 0$).

If $A$ is nonsingular and such that
offdiag($A) \leqslant 0$, then

\begin{equation*}\begin{split}
A \text{is\ an\ M-matrix}\  &\iff  A^{-1}>0 \\
                 &\iff \text{\ real}\;(\lambda) >0,\  \forall\lambda
                                     \in \sigma(A) \\
          &\iff \frac{1}{2}(A+ A^t) \ \text{is\ SPD} \\
      &\iff \exists x > 0 : Ax \geqslant 0
\end{split}\end{equation*}
Basic stable discretization schemes applied to
second order PDEs lead to M-matrices with
nonnegative row-sum ($Ae \geqslant 0, e = (11\dotsc 1)^t$ ).

If a ``non basic'' scheme is used, the basic
scheme may be considered to define a two-step
preconditioner.

Rmk: analysis of classical iterative methods is
essentially based on M-matrix theory.

}  %end Small





\chapter{Sch\'emas de diff\'erences finies: probl\`emes d'\'evolution.\label{chevol}}
\renewcommand{\mylmark}{Probl\`emes d'\'evolution}
\thispagestyle{fancy}

On aborde des probl\`emes dont la solution $u(x,t)$ d\'epend d'une variable
temporelle et une ou plusieurs variables spatiales. Il est
question de d\'eterminer $u(x,t)$ par pas de $\Delta t$ en $t$:
$u(x,0)$, $u(x,\Delta t)$, $u(x,2\Delta t)$,\dots

\smallskip

{\Small

\begin{flushright}

\textsl{Complainte du Temps et de sa comm\`ere l'Espace} \\
 J.~Laforgue, 1880 \qquad\qquad\qquad

\medskip

   ``L'espace est un gar\c con solide et simple, tout d'une pi\`ece, \\
    sans le mondre d\'etour\dots  Il r\`egne sur un domaine que vous \\
    avez le droit de parcourir en tout sens\dots \\

   \smallskip

    Le caract\`ere du temps est autrement difficile\dots C'est un \\
    personnage\dots d'une instabilit\'e maladive\dots ''

    J.~d'Ormesson, 1996 \qquad\qquad\qquad

\end{flushright}
}


\section{Equation de la chaleur; de la diffusion.}

\subsection{Equation de la chaleur} \  \\
                      \index{chaleur, \'eq. de la}

Probl\`eme \`a une dimension spatiale: \'etudions la r\'epartition de la
temp\'erature sur un segment $[0,\ell]$ conducteur de chaleur. Si
$u_i(t)=u(ih,t)$ est la temp\'erature du $i^{\text{\`eme}}$ sous-segment de
longueur $h$, il se cr\'ee des flux de chaleur entre sous-segments de
temp\'eratures diff\'erentes, par conduction thermique: \\
\hspace*{55pt}
densit\'e de flux de chaleur par unit\'e de temps $= -K\;$\textbf{grad}$\,u$. \\
Le $i^{\text{\`eme}}$ sous-segment re\c coit donc de la part de ses
deux voisins une quantit\'e de chaleur par unit\'e de temps \'egale \`a
$\displaystyle{ q_i= K\left( \dfrac{u_{i+1}-u_i}{h} +
                         \dfrac{u_{i-1}-u_i}{h} \right)  }$, \`a quoi il
faut ajouter $h F(x_i,t)$ si le segment est soumis \`a une source de
chaleur de densit\'e $F$.

D'autre part, le sous segment r\'eagit \`a la r\'eception de la
quantit\'e de chaleur $q_i$ par unit\'e de temps en augmentant sa
temp\'erature selon la loi $ q_i  \Delta t= C h (u_i(t+\Delta t)
  -u_i(t))$, o\`u $C$ est la chaleur sp\'ecifique du conducteur.

On a donc
\begin{equation}  \label{chaldisc}
   \dfrac{u_i(t+\Delta t) -u_i(t) }{\Delta t} =
      \sigma \dfrac{u_{i+1}(t) -2u_i(t) +u_{i-1}(t) }{h^2} +f(x_i,t),
\end{equation}
avec $\sigma=K/C$, $f=F/C$.

On a obtenu une discr\'etisation tr\`es naturelle de
\emph{\textbf{l'\'equation de la chaleur}}
\begin{equation} \label{chal}
   \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \sigma
   \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} +f(x,t),
\end{equation}
o\`u $\sigma >0$.

Si $K$ d\'epend de $x$:
$\displaystyle{
   \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \dfrac{1}{C}
   \dfrac{\partial }{\partial x}  \left( K(x)
   \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial x} \right) +f(x,t)}$.

\smallskip

A plusieurs dimensions spatiales:
$\displaystyle{
   \dfrac{\partial u(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} = \dfrac{1}{C}
   \;\textbf{div} \; \left( K(\boldsymbol{x})
     \;\textbf{grad}\; u(\boldsymbol{x},t) \right) +f(\boldsymbol{x},t)}$.

\medskip

Conditions aux limites: $\partial u/\partial n =0$ (Neumann) l\`a
o\`u le flux de chaleur est nul (isolation); $u$ donn\'e (Dirichlet)
sur les parties de la fronti\`ere de temp\'erature connue.

\medskip

\subsection{Solution par noyau de Poisson} \  \\

Constatons que l'\'equation \eqref{chal} homog\`ene admet la
solution $\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{4\pi\sigma(t+t_0)}} \,\exp
 \left( -\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma (t+t_0)}\right) }$ (noyau de
Poisson). C'est une gaussienne qui ``s'avachit'' au cours du
temps (cf. p.~\pageref{parab1}):

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,4)
 \psline{->}(0,0)(7,0)  \uput[90](6.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(3,0)(3,3.5) \uput[0](3.2,3.2){$u$}\uput[0](4.2,2.2){$t=0$}

 \psline{->}(9,0)(16,0)  \uput[90](15.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(12,0)(12,3.5) \uput[0](12.2,3.2){$u$}\uput[0](13.2,2.2){$t>0$}
 \psset{linewidth=0.075}
 \psline[linecolor=darkgray](3,0)(3,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray](9,0.1)(10.5,0.22)(11,0.4)(12,2.0)(13,0.4)(13.5,0.22)(16,0.1)
\end{pspicture}

Si $t_0=0$, cette solution tend vers le delta de Dirac
$\delta(x-x_0)$ quand $t\to 0$ en d\'ecroissant\footnote{La fonction
$\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{4\pi\sigma t}} \,\exp
 \left( -\frac{(x-x_0)^2}{4\sigma t}\right) }$ est positive,
d'int\'egrale d\'efinie sur $\mathbb{R}$ \'egale \`a l'unit\'e,
et pour tout
$\epsilon>0$, on peut trouver $\tau$ tel que
l'int\'egrale sur $|x-x_0|> \epsilon$ soit $< \epsilon$ quand
$t\leqslant \tau$ (si $|x-x_0|> \epsilon$, $(x-x_0)^2 > \epsilon |x-x_0|$,
donc $\exp(-(x-x_0)^2/(4\sigma t) < \exp(-\epsilon|x-x_0|/(4\sigma t)$
que l'on int\`egre ais\'ement sur $|x-x_0|> \epsilon$ pour obtenir
une int\'egrale finale born\'ee sup\'erieurement par
$\displaystyle{ \frac{4}{\epsilon} \sqrt{\frac{\sigma t}{\pi}}
 \exp\left(-\frac{\epsilon^2}{4\sigma t}\right) }$ croissante en $t$
et nulle en $t=0$). }, d'o\`u une formule pour la solution
de l'\'equation homog\`ene
\begin{equation} \label{npoisson}
u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\sigma\pi t}} \int_{-\infty}^\infty
  \exp\left(-\frac{(y-x)^2}{4\sigma t}\right)\, u(y,0)\,dy.
\end{equation}
Pour $t>0$ fix\'e, on voit ainsi un exemple \emph{\textbf{d'op\'erateur
solution}} $E(t)$ fournissant la solution au temps $t$ \`a partir
de la condition initiale: $u(.,t) = E(t) u(.,0)$. Bien entendu, on
ne disposera pas toujours (\'equations \`a coefficients variables,
domaines plus compliqu\'es, non-lin\'earit\'es) d'une formule
aussi explicite\dots

\subsection{Equation de la diffusion; diffusion des euros} \  \\
  \index{euros}
\noindent Equation de la diffusion: $u(x,t)=$ concentration d'une substance
dans un solvant, $K=$ taux de diffusion par unit\'e de temps. On retrouve
\eqref{chal} ($C=1: \sigma=K$).

\smallskip

Nous reprenons le probl\`eme \eqref{eurochal} de la page~\pageref{eurochal}

                                         \label{eurodeux}
\begin{equation*}
  \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}= \sigma
 \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}
\end{equation*}
sur tout $\mathbb{R}$, avec $u(x,0)=1$ si $-L/2<x<L/2$, $u(x,0)=0$
ailleurs.

Poisson \eqref{npoisson}:
$$y(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\sigma\pi t}} \int_{-L/2}^{L/2}
  \exp\left(-\frac{(y-x)^2}{4\sigma t}\right)\, \,dy.
$$
$$
\hspace*{-12pt}=\int_{-L/2}^{L/2} \sqrt{\dfrac{t_0}{2d_0^2 \pi t}}
 \exp\left( -\dfrac{ t_0 (x-x_0)^2}{2d_0 t}\right)\; dx_0 =
\dfrac{   \text{erf}\left( \sqrt{\dfrac{1}{4\sigma t}}
                             \left(\dfrac{L}{2}-x\right)\right) +
                    \text{erf}\left( \sqrt{\dfrac{1}{4\sigma t}}
                             \left(\dfrac{L}{2}+x\right)\right)   }{2}
$$
o\`u $\text{erf}(X):= \displaystyle{ \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}
             \int_0^X e^{-u^2}\,du  }$. Remarquons que
$$
\dfrac{\partial y(x,t)}{\partial x} =
 \sqrt{\dfrac{1}{4\sigma  \pi t}} \left[
  \exp\left(-\dfrac{ (L/2+x)^2}{4\sigma t}\right) -
  \exp\left(-\dfrac{ (L/2-x)^2}{4\sigma t}\right) \right]
$$
Au temps $t>0$,
la proportion encore disponible dans le pays d'origine est
$$ Y(t)= \frac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2} y(x,t)\;dx  $$
Par \eqref{eurochal}, on a aussi
$$ \hspace*{159pt}\dfrac{dY(t)}{dt}=
2\dfrac{\sigma}{L}
   \dfrac{\partial y(L/2,t)}{\partial x} =
   \sqrt{ \dfrac{\sigma}{L^2\, \pi t}}
   \left(\exp\left(-\dfrac{ L^2}{4\sigma t}\right)-1\right)
$$
\\
Cette moyenne nationale d\'ecro\^\i t avec $t$ selon une fonction
universelle $F$ de $\sigma t/L^2$, avec
\begin{equation} \label{eurosigma}
 \sigma:=d_0^2 /(2 t_0).
\end{equation}   \\
\picskip{-10}
$$ Y(t)=F(\sigma t/L^2);\qquad F(X)=\sqrt{\dfrac{4X}{\pi}}
  \left(\exp\left(-\dfrac{1}{4X}\right)-1\right)
  +\,\text{erf}\,\left( \sqrt{\dfrac{1}{4X}}\right). $$

\subsubsection{Effect of adding fresh coins.}

After about 6 months, the decreasing trend seems to have died.

We consider that during each exchange period $t_0$, the national
bank makes available a fraction $c$ of fresh national coins. As the
number of various coins in each pocket is still supposed constant,
the same fraction $c$ of owned coins is removed, so that
\eqref{euroeq1} is now
\begin{equation}  \label{euroeqf}
  y_i(t+t_0)= (1-c)\frac{ y_{i-1}(t)+y_{i+1}(t)}{2}  +c,\qquad
         -L/2 \leqslant x \leqslant L/2,
\end{equation}
whereas fresh coins brought abroad are of course of THEIR own
kind, and our own brand decreases even faster:
\begin{equation}  \label{euroeqf2}
  y_i(t+t_0)= (1-c)\frac{ y_{i-1}(t)+y_{i+1}(t)}{2}  ,\qquad
         |x| > L/2,
\end{equation}

In the continuous limit:

\begin{equation}  \label{eurochal2}
  \frac{\partial y(x,t)}{\partial t}= \sigma
 \frac{ \partial^2 y(x,t)}{\partial x^2}
   -\gamma\,y(x,t)  +\gamma\,\chi_{(-L/2,L/2)}(x),
\end{equation}
with $\gamma= c/t_0$, and where $\chi_{(a,b)}(x)=1$ when
$a<x<b$ and vanishes elsewhere.

Limit solution when $t\to\infty$:

\begin{equation*}\begin{split}
 y(x,\infty) &=
       1-\exp\left( -\sqrt{\dfrac{\gamma}{\sigma}}\,\dfrac{L}{2}\right)
  \cosh\left( \sqrt{\dfrac{\gamma}{\sigma}}\;x\right), \qquad -L/2\leqslant
                                                            x\leqslant L/2,\\
             &=  \sinh\left( \sqrt{\dfrac{\gamma}{\sigma}}\,\dfrac{L}{2}\right)
                   \exp\left(-\sqrt{\dfrac{\gamma}{\sigma}}\;|x|\right), \qquad  |x|\geqslant L/2.
\end{split}\end{equation*}

\begin{multline*}
\text{also} = \chi_{(-L/2,L/2)}(x)+
\sinh\left(\sqrt{\dfrac{\gamma}{\sigma}}\dfrac{L}{2}\right)
        \cosh\left(\sqrt{\dfrac{\gamma}{\sigma}}\; x\right)  \\
     -\dfrac{1}{2}\left[
     \cosh(\sqrt{\gamma/\sigma}(L/2+x))\text{sign}(L/2+x)
     +\cosh(\sqrt{\gamma/\sigma}(L/2-x))\text{sign}(L/2-x)   \right]
\end{multline*}

Average on $(-L/2,L/2)$:
\begin{equation} \label{gammaaver}
G(\infty):=\dfrac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2} y(x,\infty)\,dx = 1-
  \dfrac{ 1-
      \exp\left(-\sqrt{\dfrac{\gamma}{\sigma}}\;L\right)}
        {
                 \sqrt{\dfrac{\gamma}{\sigma}}\;L}
\end{equation}

In \href{http://www.senat.fr/rap/l01-087-344/l01-087-34429.html}
        {http://www.senat.fr/rap/l01-087-344/l01-087-34429.html},
it is stated that the French bank intended to release about
$6.5\  10^9$ coins on January 2002, followed by a regular flow
of about $3\ 10^8$ coins each month. This means $\gamma$ about
0.05 month${}^{-1}$.   Assuming the same value here, and with
$\sigma/L^2$ near to 0.002, we have $\gamma L^2/\sigma
\approx 25$. The value of $\gamma$ may decrease with time\dots

It figures: if
$\displaystyle{G(\infty)=\dfrac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2} y(x,\infty)\,dx}$,
we must consider $G^2$ for a two-dimensional problem, and here are
some limit values, from \eqref{gammaaver}:

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline  $(\gamma L^2/\sigma) $  &   1 & 2 & 3 & 4 &
                       5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 50   \\
 \hline
  $G(\infty) $  & 0.368 & 0.465 &  0.525 & 0.568 & 0.601 &
                 0.697 & 0.747 &   0.779 &   0.801 & 0.818 & 0.859
\\
\hline
  $G^2(\infty)$  & 0.135 & 0.216 &  0.275 & 0.322 & 0.361 &
                 0.486 & 0.558 &   0.607 &   0.642 & 0.669 & 0.737
\\
\hline
\end{tabular}

{\Small

Kernel: $\displaystyle{  \dfrac{1}{\sqrt{4\sigma\pi t}}
            \exp\left(-\dfrac{(z-x)^2}{4\sigma t} -\gamma t\right)  }$.

Solution:

\begin{multline*}
y(x,t)= y(x,\infty) +
      \dfrac{e^{-\gamma t}}{\sqrt{4\sigma\pi t}}
      \int_{-\infty}^\infty
            \exp\left(-\dfrac{(z-x)^2}{4\sigma t} \right)
        [ \chi_{(-L/2,L/2)}(z) -y(z,\infty)]\;dz  \\
  = y(x,\infty)+ \sinh(\sqrt{\gamma/\sigma}\,L/2)
                 \cosh(\sqrt{\gamma/\sigma}\,x)
-\dfrac{1}{4}\left[
      e^{-\sqrt{\gamma/\sigma} (L/2-x)} \text{erf}\left(
        \dfrac{L/2-x}{\sqrt{4\sigma t}} -\sqrt{\gamma t}\right)
    \right. \\
    + \left.   e^{\sqrt{\gamma/\sigma} (L/2-x)} \text{erf}\left(
        \dfrac{L/2-x}{\sqrt{4\sigma t}} +\sqrt{\gamma t}\right)
    +  e^{\sqrt{\gamma/\sigma} (L/2+x)} \text{erf}\left(
        \dfrac{L/2+x}{\sqrt{4\sigma t}} +\sqrt{\gamma t}\right)
    +  e^{-\sqrt{\gamma/\sigma} (L/2+x)} \text{erf}\left(
        \dfrac{L/2+x}{\sqrt{4\sigma t}} -\sqrt{\gamma t}\right)      \right]
\end{multline*}
in $x\in (-L/2,L/2)$.

Average on $(-L/2,L/2)$:

\begin{multline*}
G(t):=\dfrac{1}{L}\int_{-L/2}^{L/2} y(x,t)\,dx =  G(\infty)
+\sqrt{\dfrac{\sigma}{4\gamma L^2}}\left[
  e^{\sqrt{\gamma L^2/\sigma}} \text{erf}\left(\dfrac{L}{\sqrt{4\sigma t}}
      +\sqrt{\gamma t}\right) -\text{erf}(\sqrt{\gamma t})  \right. \\
  \left. -e^{-\sqrt{\gamma L^2/\sigma}} \text{erf}\left(\dfrac{L}{\sqrt{4\sigma t}}
      -\sqrt{\gamma t}\right) -\text{erf}(\sqrt{\gamma t})  \right]
\end{multline*}


}


Simple discretization of \eqref{eurochal2}:

$$ y_i(t+\Delta t) =y_i(t) +\sigma\Delta t
   \dfrac{y_{i-1}-2y_i+y_{i+1}}{h^2}
   -\gamma\dfrac{y_{i-1}+y_{i+1}}{2}  +\gamma\Delta t \chi_i
$$


\subsection{Modes et s\'eries de Fourier} \  \\
                   \index{Fourier}
Comme Fourier lui-m\^eme\footnote{J.\ Fourier,
\textsl{Th\'eorie analytique de la chaleur\/},
Didot, 1822, = {\sl Analytical Theory of Heat\/}, (transl.\ A.\ Freeman),
Dover, 1955.}, examinons comment $A(t) \sin(\pi m x/\ell)$ peut
\^etre solution de \eqref{chal} dans $x\in (0,\ell)$: si $f=0$, on trouve
$dA(t)/dt = -\sigma \pi^2 m^2/\ell^2 A(t)$, d'o\`u
$A(t)= A(0) \exp(-\sigma \pi^2 m^2 t/\ell^2)$.

\medskip

On peut donc r\'esoudre \eqref{chal} sur $(0,\ell)\times [0,\infty)$,
avec les conditions aux limites $u(0,t)= u(\ell,t)=0$ par une
s\'erie de Fourier
\begin{equation}  \label{paraFou}
     u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty A_m(t) \sin(\pi m x/\ell),
\end{equation}
\`a partir des s\'eries du second membre et de la condition
initiale $u(x,0)$
$$
  f(x,t) = \sum_{m=1}^\infty \varphi_m(t) \sin(\pi m x/\ell), \;
     u(x,0) = \sum_{m=1}^\infty A_m(0) \sin(\pi m x/\ell),
$$
en r\'esolvant les \'equations diff\'erentielles ordinaires
$$
   \dfrac{dA_m(t)}{dt} = -\dfrac{\sigma \pi^2 m^2 }{\ell^2}
      A_m(t) +\varphi_m(t),\; m=1,2,\dotsc
$$
En particulier, si$f=0$, la s\'erie de la solution est
$$
   u(x,t) = \sum_{m=1}^\infty A_m(0)
    \exp(-\sigma \pi^2 m^2 t/\ell^2)
    \sin(\pi m x/\ell),
$$

Remarquons que $u$ est ind\'efiniment d\'erivable en $x$ d\`es que $t>0$!

\subsection{Exemples de stabilit\'e et instabilit\'e num\'erique}\  \\

Tentons de r\'esoudre \eqref{chal} sur $(0,\ell)\times [0,\infty)$
 avec $f=0$, les conditions aux limites $u(0,t) = u(\ell,t)=0$ et
la condition initiale $u(x,0)=4x(\ell-x)$:

On applique \eqref{chaldisc} avec $h=1/10$.

{\Small \begin{verbatim}

   10   dim Te(100),Tf(100):print=print+"parabte.out"
   20   N=10:H=1/N:for I=1 to N+1:X=(I-1)*H:Te(I)=4*X*(1-X):next I
   30   T=0:Dt=0.1
   40   print " delta t= ";using(2,4),Dt
   50   while T<=1
   55    if abs(round(10*T)-10*T)<0.001 then
   60     :print using(2,2),T;" ";:for I=2 to 10:print using(2,4),Te(I);" ";:
   65     :next I:print
   80    for I=2 to N:Tf(I)=Te(I)+Dt*(Te(I+1)-2*Te(I)+Te(I-1))/H^2:next I
   85    for I=2 to N:Te(I)=Tf(I):next I
   90   T=T+Dt:wend

\end{verbatim}

On lance le sch\'ema avec $\Delta t=0.1$:

\begin{verbatim}

 delta t=  0.1000
  t     x=0.1    0.2     0.3     0.4     0.5     0.6     0.7     0.8     0.9

 0.00  0.3600  0.6400  0.8400  0.9600  1.0000  0.9600  0.8400  0.6400  0.3600
 0.10 -0.4400 -0.1600  0.0400  0.1600  0.2000  0.1600  0.0400 -0.1600 -0.4400
 0.20  6.7600 -0.9600 -0.7600 -0.6400 -0.6000 -0.6400 -0.7600 -0.9600  6.7600
 0.30 -?.----  ?.---- -1.5600 -1.4400 -1.4000 -1.4400 -1.5600  ?.---- -?.----
 0.40  ?.---- -?.----  ?.---- -2.2400 -2.2000 -2.2400  ?.---- -?.----  ?.----
 0.50 -?.----  ?.---- -?.----  ?.---- -3.0000  ?.---- -?.----  ?.---- -?.----
 ...

\end{verbatim}

Que se passe-t-il? Des valeurs plus petites de $\Delta t$ sont
exp\'eriment\'ees, jusqu'\`a 0.01:

\begin{verbatim}

 delta t=  0.0100
 0.00  0.3600  0.6400  0.8400  0.9600  1.0000  0.9600  0.8400  0.6400  0.3600
 0.10  ?.---- -?.----  ?.---- -?.----  ?.---- -?.----  ?.---- -?.----  ?.----
 ...
 \end{verbatim}

C'est encore pire! Pourtant, on a raison de s'obstiner: avec
$\Delta t=5\ 10^{-3}$,

\begin{verbatim}
 delta t=  0.0050
 0.00  0.3600  0.6400  0.8400  0.9600  1.0000  0.9600  0.8400  0.6400  0.3600
 0.10  0.1170  0.2222  0.3062  0.3595  0.3785  0.3595  0.3062  0.2222  0.1170
 0.20  0.0429  0.0814  0.1122  0.1318  0.1387  0.1318  0.1122  0.0814  0.0429
 0.30  0.0157  0.0299  0.0411  0.0483  0.0509  0.0483  0.0411  0.0299  0.0157
 0.40  0.0058  0.0109  0.0151  0.0177  0.0186  0.0177  0.0151  0.0109  0.0058
 0.50  0.0021  0.0040  0.0055  0.0065  0.0068  0.0065  0.0055  0.0040  0.0021
 0.60  0.0008  0.0015  0.0020  0.0024  0.0025  0.0024  0.0020  0.0015  0.0008
 0.70  0.0003  0.0005  0.0007  0.0009  0.0009  0.0009  0.0007  0.0005  0.0003
 0.80  0.0001  0.0002  0.0003  0.0003  0.0003  0.0003  0.0003  0.0002  0.0001
 0.90  0.0000  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0000
 1.00  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000
\end{verbatim}

on commence a avoir des r\'eponses raisonnables, confirm\'ees avec
$\Delta t= 2.5\ 10^{-3}$ (donc, 400 pas de temps pour aller de $t=0$ \`a $t=1$!):

\begin{verbatim}

 delta t=  0.0025
 0.00  0.3600  0.6400  0.8400  0.9600  1.0000  0.9600  0.8400  0.6400  0.3600
 0.10  0.1184  0.2252  0.3099  0.3643  0.3831  0.3643  0.3099  0.2252  0.1184
 0.20  0.0439  0.0836  0.1150  0.1352  0.1422  0.1352  0.1150  0.0836  0.0439
 0.30  0.0163  0.0310  0.0427  0.0502  0.0528  0.0502  0.0427  0.0310  0.0163
 0.40  0.0061  0.0115  0.0158  0.0186  0.0196  0.0186  0.0158  0.0115  0.0061
 0.50  0.0022  0.0043  0.0059  0.0069  0.0073  0.0069  0.0059  0.0043  0.0022
 0.60  0.0008  0.0016  0.0022  0.0026  0.0027  0.0026  0.0022  0.0016  0.0008
 0.70  0.0003  0.0006  0.0008  0.0010  0.0010  0.0010  0.0008  0.0006  0.0003
 0.80  0.0001  0.0002  0.0003  0.0004  0.0004  0.0004  0.0003  0.0002  0.0001
 0.90  0.0000  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0000
 1.00  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000  0.0001  0.0000  0.0000  0.0000  0.0000
 \end{verbatim}

Les valeurs correctes, calcul\'ees par
$\displaystyle{  u(x,t) = \sum_{m\;\text{impair}} \dfrac{32}{\pi^3 m^3}
    e^{-\pi^2 m^2 t} \sin(m \pi x)  }$, \'etant


\begin{verbatim}
 0.00  0.3600  0.6400  0.8400  0.9600  1.0000  0.9600  0.8400  0.6400  0.3600
 0.10  0.1189  0.2261  0.3112  0.3658  0.3846  0.3658  0.3112  0.2261  0.1189
 0.20  0.0443  0.0843  0.1160  0.1363  0.1434  0.1363  0.1160  0.0843  0.0443
 0.30  0.0165  0.0314  0.0432  0.0508  0.0534  0.0508  0.0432  0.0314  0.0165
 0.40  0.0062  0.0117  0.0161  0.0189  0.0199  0.0189  0.0161  0.0117  0.0062
 0.50  0.0023  0.0044  0.0060  0.0071  0.0074  0.0071  0.0060  0.0044  0.0023
 0.60  0.0009  0.0016  0.0022  0.0026  0.0028  0.0026  0.0022  0.0016  0.0009
 0.70  0.0003  0.0006  0.0008  0.0010  0.0010  0.0010  0.0008  0.0006  0.0003
 0.80  0.0001  0.0002  0.0003  0.0004  0.0004  0.0004  0.0003  0.0002  0.0001
 0.90  0.0000  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0001  0.0000
 1.00  0.0000  0.0000  0.0000  0.0001  0.0001  0.0001  0.0000  0.0000  0.0000

  100   for J=1 to 11:T=(J-1)/10
  110   print using(2,2),T;" ";
  120   for I=2 to 10:X=(I-1)/10
  130   U=0:for L=1 to 20 step 2:Pl=#pi*L:Pl32=32/Pl^3
  135     U=U+Pl32*exp(-Pl^2*T)*sin(Pl*X):next L
  140   print using(2,4),U;" ";:next I:print
  150   next J
 \end{verbatim}
}  %end Small

\medskip

Explication du ph\'enom\`ene: soit $\boldsymbol{u}(t) =
 [u_h(h,t), u_h(2h,t),\dotsc, u_h(\ell-h,t)]^T$ le vecteur des valeurs
 spatiales de $u_h$ au temps $t$. L'exploitation num\'erique de
 \eqref{chaldisc} r\'ealise une liaison entre $\boldsymbol{u}(t)$ et
$\boldsymbol{u}(t+\Delta t)$:
$$ \dfrac{1}{\Delta t} ( \boldsymbol{u}(t+\Delta t) -
                         \boldsymbol{u}(t))           =
              -\sigma M_h \boldsymbol{u}(t) ,$$
o\`u $-M_h$ est la matrice famili\`ere de discr\'etisation de $u''$:
$\displaystyle{ M_h = h^{-2} \begin{bmatrix}  2   &  -1 &    &     &   \\
                                              -1  &  2  &  -1&     &   \\
                                                 &\ddots&\ddots&\ddots & \\
                                                 &      &      & -1  &  2
                             \end{bmatrix}  }$.

On a donc $ \boldsymbol{u}(t+\Delta t) = ( I - \sigma\Delta t  M_h)
            \boldsymbol{u}(t)     $,
          $ \|\boldsymbol{u}(t+\Delta t)\|\leqslant
            \| I - \sigma\Delta t  M_h\|\;
            \|\boldsymbol{u}(t)\|      $,   \\
       $    \| I - \sigma\Delta t  M_h\| =
                   \max_{\lambda(M_h)} | 1-\sigma\Delta t \lambda(M_h)|$.

D'apr\`es \eqref{usecprop2}, les valeurs propres de $M_h$ sont positives
et born\'ees par $4/h^2$. La norme de $I-\sigma\Delta t M_h$ sera donc
born\'ee par l'unit\'e si $|1-4\sigma\Delta t/h^2|\leqslant 1$: c'est la
condition de stabilit\'e num\'erique pour cette fa\c con de r\'esoudre
le probl\`eme, assurant que les erreurs sur $\boldsymbol{u}$ ne seront
pas amplifi\'ees \`a chaque pas de temps.

Dans l'exemple illustr\'e ci-dessus, on doit donc avoir effectivement
$$ \Delta t \leqslant  h^2/(2\sigma),$$      \label{chalstab1}
ce qui est bien $5\ 10^{-3}$!

\section{Consistance et stabilit\'e pour probl\`emes d'\'evolution
 $\partial u/\partial t +Mu=f$.}

Par \emph{\textbf{probl\`eme d'\'evolution}} (oppos\'e \`a \emph{probl\`eme
stationnaire}), on entend la d\'etermination d'une fonction $u$ de plusieurs
variables par \'etapes successives d'une des variables, toujours not\'ee $t$:
on a donc $u(x,t), x\in\Omega'\subset\mathbb{R}^{n-1}, t\in\mathbb{R}$.
\index{evolution, probl\`eme d'}

\subsection{Probl\`emes bien pos\'es. Op\'erateur solution.} \  \\

Soit
 $\partial u/\partial t +Mu=0$, o\`u $M$ est d\'efini sur une partie dense
 d'un espace de Banach $U$ de fonctions de $n-1$ variables. Le probl\`eme
 de la d\'etermination de $u(x,t)$ pour $t\in[0,T]$ est dit \emph{bien
 pos\'e} si on arrive \`a montrer l'existence d'un op\'erateur $E(t)$
 tels que $u(x,t)= E(t) u(x,0) $ v\'erifie
 \begin{enumerate}
  \item $E(0)=I$,
  \item $\displaystyle{ \left\| \dfrac{u(x,t+\delta t)-u(x,t)}{\delta t}
    +M u(x,t) \right\| \to 0 }$ quand $\delta t\to 0$ uniform\'ement
    en $t\in [0,T]$. \\
    En particulier, $E(t)\to I$ quand $t\to 0$, $t>0$.
  \item $\exists C<\infty: \|E(t)\|\leqslant C$, $t\in[0,T]$.
 \end{enumerate}

\smallskip

On a vu un exemple explicite d'op\'erateur $E(t)$ dans \eqref{npoisson},
p.~\pageref{npoisson}. Dans $L^\infty$, on a
$\|E(t)\|=$ int\'egrale du noyau $=1$. Dans $L^2$, le raisonnement
qui suit montrera que l'on a \'egalement $\|E(t)\|\leqslant1$.
Par contre, dans $L^1$,
$\|E(t)\| = 1/\sqrt{4\pi\sigma t} \to\infty$ quand $t\to 0$.

\smallskip

La v\'erification du caract\`ere bien pos\'e de probl\`emes lin\'eaires
\`a coefficients constants se fait par s\'eries ou transform\'ees de
Fourier:

Trouver
 $$  u(x,t) = \sum_{\boldsymbol{k}\in K} c_{\boldsymbol{k}}(t)
         e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}  $$
v\'erifiant $\partial u/\partial t +Mu=0$ \`a partir de
 $$  u(x,0) = \sum_{\boldsymbol{k}\in K} c_{\boldsymbol{k}}(0)
         e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}  $$
m\`ene donc \`a
 $$  \dfrac{d c_{\boldsymbol{k}}}{dt} = -S_M(\boldsymbol{k})
              c_{\boldsymbol{k}}                           ,$$
pour $\boldsymbol{k}\in K$, $0\leqslant t\leqslant T$,
o\`u $S_M$ est le symbole de l'op\'erateur $M$:
$M
         e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}
 =  S_M(\boldsymbol{k})
         e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}
$.

L'action de l'op\'erateur $E(t)$ est donc donn\'ee par
 $$  E(t)\left(\sum_{\boldsymbol{k}\in K} c_{\boldsymbol{k}}(0)
         e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}\right) =
   \sum_{\boldsymbol{k}\in K} c_{\boldsymbol{k}}(0)
         e^{-S_M(\boldsymbol{k})t}
         e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}  .$$

Si les exponentielles
       $  e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}  $, $\boldsymbol{k}\in K$ forment
   une suite orthogonale compl\`ete de $U\subset L^2(\Omega')$, on a
$$  \left\|E(t)\left(\sum_{\boldsymbol{k}\in K} c_{\boldsymbol{k}}(0)
         e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}\right)\right\|^2 =
  \sum_{\boldsymbol{k}\in K} |c_{\boldsymbol{k}}(0)|^2
         e^{-2S_M(\boldsymbol{k})t}
         \|e^{i \boldsymbol{k\cdot}x}\|^2  ,$$
(Parseval), d'o\`u
 $$ \|E(t)\| = \max_{\boldsymbol{k}\in K}  e^{-S_M(\boldsymbol{k}) t}. $$
Le probl\`eme est donc certainement bien pos\'e d\`es que $M$ est
semi-d\'efini positif.

C'est le cas de l'\'equation de la chaleur \eqref{chal}, puisque
$M= -\sigma \partial^2/\partial x^2 \Rightarrow S_M(k) = \sigma k^2$.

 V\'erification
directe:
\begin{multline*}
   \dfrac{d}{dt} \|u(x,t)\|^2 = 2\int_0^\ell u(x,t) \dfrac{\partial u(x,t)}
       {\partial t}\,dx =
                         2\sigma\int_0^\ell u(x,t) \dfrac{\partial^2 u(x,t)}
       {\partial x^2}\,dx =    \\
                -2\sigma\int_0^\ell  \left(\dfrac{\partial u(x,t)}
       {\partial x}\right)^2\,dx = -2a(u,u) \leqslant 0.\end{multline*}

\medskip

V\'erifier le caract\`ere bien pos\'e d'un probl\`eme, c'est de l'analyse
(semi-groupe: $E(t_1) E(t_2) = E(t_1+t_2)$).
La discr\'etisation de ce probl\`eme concerne l'analyse
num\'erique.

\subsection{Consistance et stabilit\'e de discr\'etisations de probl\`emes
d'\'evolution} \  \\

On discr\'etise
 $Lu=\partial u/\partial t +Mu=0$ en rassemblant des contributions en
 $t+\Delta t$ et en $t$ sous la forme
 \begin{equation} \label{disck1k0}
  K_{1,h} u_h(.,t+\Delta t) + K_{0,h} u_h(.,t)=0,
 \end{equation}
ou, en isolant tout ce qui d\'epend de $t+\Delta t$,
$$
    u_h(.,t+\Delta t) = E_h u_h(.,t).
$$

              \index{consistance}
La discr\'etisation est \emph{\textbf{consistante}} si
 $$
 \| ( r_h E(\Delta t) - E_h  r_h)u \| \leqslant \epsilon_h
  \Delta t,$$
 pour toute fonction $u$ suffisamment lisse dans une partie
dense de $U$, et o\`u $\epsilon_h\to 0$ quand $h\to 0$
 (bien entendu, $\Delta t$ est li\'e \`a $h$ et $\to 0$ quand $h\to 0$).

\smallskip

(Pourquoi le produit $\epsilon_h \Delta t$? Quand $h\to 0$, $E(\Delta t)$
et $E_h$ tendent vers l'identit\'e. Une erreur en $\Delta t$ ne repr\'esente
aucune information pertinente).

\smallskip

La diff\'erence
$   ( r_h E(\Delta t) - E_h  r_h)u$ porte aussi le nom
d'\emph{\textbf{erreur locale}}: c'est l'erreur consentie par le
solveur num\'erique sur un seul pas de temps.

\smallskip
Ainsi, si $M_h$ est une approximation consistante de $M$,
$\displaystyle{  E_h = I-\Delta t M_h  }$
convient certainement, mais pr\'esente des inconv\'enients, comme on a vu.


\medskip       \index{stabilit\'e num\'erique}

Le sch\'ema \eqref{disck1k0} est \emph{\textbf{num\'eriquement stable}}
si $u_h(.,t) = \boldsymbol{u}(t)$ reste born\'e par une m\^eme constante
$C$ (ind\'ependante de $h$) pour $\forall t\in[0,T]$, donc si
 $$ \left\| E_h^{N} \right\| \leqslant C,$$
 $N = 1,2,\dotsc,T/\Delta t$.

\smallskip

On a vu que \eqref{chaldisc} n'est num\'eriquement stable que si
$ \Delta t \leqslant  h^2/(2\sigma)$.

La recherche de sch\'emas num\'eriquement stables est une des principales
difficult\'es en ces mati\`eres.



\section{Th\'eor\`eme d'\'equivalence de Lax.}


Il s'agit de relier

\begin{enumerate}
  \item \emph{\textbf{Consistance:}} $\| E_h r_h u(.,t) -r_h E(\Delta t)
                                        u(.,t)\|\leqslant \epsilon_h \Delta t$,
  \item \emph{\textbf{Stabilit\'e num\'erique:}} $\|E_h^N\|\leqslant C,\  N\leqslant T/\Delta t$,
  \item et \emph{\textbf{Convergence:}} $\|u_h(.,t) -r_h u(.,t)\|\to 0$ si
     $h\to 0$, o\`u $u_h(.,t) = E_h^{t/\Delta t} r_h u(.,0)$ et
     $u(.,t) = E(t)u(.,0) =E(\Delta t)^{t/\Delta t} u(.,0)$.
\end{enumerate}


\textsl{Pour un probl\`eme bien pos\'e, discr\'etis\'e de mani\`ere
consistante, la stabilit\'e num\'erique est une condition n\'ecessaire et
suffisante de convergence}, $\forall u(x,0)\in U$.

En effet,
\begin{enumerate}
  \item \textsl{Convergence $\Rightarrow$ stabilit\'e num\'erique}. \\
    En effet,
    supposons $\{\|E_h^N\|\}$ non born\'ee, il existe alors
    $u_0 \in U$ telle que une suite extraite $\|(E_{h_i})^{N_i} u_0\|\to
    \infty$. Soit $\Delta_i$ le pas de temps correspondant \`a $h_i$.
    On peut encore extraire une suite $\{h_i, N_i\}$ telle que
    $N_i \Delta_i \to \tau \in [0,T]$.

   Cependant, comme le sch\'ema est convergent, les normes
   $\|(E_{h_i})^{N_i} u_0\|$ doivent tendre vers la norme de $u(x,\tau)$, la
   solution en $t=\tau$ correspondant \`a la condition initiale $u_0$.

   La convergence impose donc $\|E_h^N u_0\|\leqslant $ une fonction de
    $u_0$, donc une constante, par le principe de la borne
   uniforme\footnote{Si une suite d'op\'erateurs continus d'un Banach dans un
     norm\'e est born\'ee en chaque point, les normes de ces op\'erateurs
     sont born\'ees dans leur ensemble (cf. point~\ref{bornunif},
     p.~\pageref{bornunif}).}.

 \item \textsl{Stabilit\'e num\'erique $\Rightarrow$ convergence. } \\
    Soit $u$ une solution de $\partial u/\partial t +Mu=0$, et
    $u_0(x) = u(x,0)$.

    Par consistance, $\| (E_h r_h- r_h E(\Delta t))u(x,t) \| \leqslant
      \varepsilon_h \Delta t(h)$, avec $\varepsilon_h \to 0$ quand
      $h\to 0$.

   Il faut montrer $\|[(E_{h_i})^{N_i} r_h u_0 -r_h  E(\tau)] u_0\|\to 0$ si
   $N_i\Delta_i \to\tau \leqslant T$.

  On a
  $$ (E_{h_i})^{N_i} r_h -r_h (E(\tau/N_i))^{N_i} =
   \sum_{p=0}^{N_i-1} (E_{h_i})^p [ E_{h_i}r_h - r_h E(\tau/N_i)]
      (E(\tau/N_i))^{N_i-1-p}, $$
 donc,
 \begin{equation*} \begin{split}
  \| [(E_{h_i})^{N_i}& r_h -r_h (E(\tau/N_i))^{N_i}]u_0 \|   \\
 &= \| \sum_{p=0}^{N_i-1} (E_{h_i})^p [ E_{h_i}r_h - r_h E(\tau/N_i)]
      (E(\tau/N_i))^{N_i-1-p} u_0\| \\
 &= \| \sum_{p=0}^{N_i-1} (E_{h_i})^p [ E_{h_i}r_h - r_h E(\tau/N_i)]
                 u(\ , \tau_p)\| , \text{ avec } \tau_p
         =  (N_i-1-p)\tau/N_i, \\
 &\leqslant \sum_{p=0}^{N_i-1} \|(E_{h_i})^p \| \varepsilon_h \Delta_i
       \quad(\text{consistance} \\
 &\leqslant C \varepsilon_h N_i \Delta_i  \quad \text{stabilit\'e num.} \\
 &\leqslant C \varepsilon_h \tau.
\end{split} \end{equation*}

 \end{enumerate}

%\renewcommand{\mylmark}{Eq. paraboliques}
%\chapter{Probl\`emes d'\'evolution: \'equations paraboliques.}
%\thispagestyle{fancy}
\index{parabolique}


 \section{Probl\`emes d'\'evolution bien pos\'es.}






\subsection{Exemple} \   \\  \

\renewcommand{\mylmark}{Exemple}

\begin{equation} \label{chal}
   \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t} = \sigma
   \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2} ,
\end{equation}
o\`u $\sigma >0$, admet des solutions $\displaystyle a(t) e^{b(t)(x-y)^2}$:
$a' +ab' (x-y)^2 \equiv \sigma a[2b + 4b^2 (x-y)^2]$, donc $b'=4\sigma b^2$, ou
$b(t)=1/[C-4\sigma t]$ et $a'/a = 2\sigma b = (-1/2)/[t-C/(4\sigma)]:
a(t)=$ const. $[t-C/(4\sigma)]^{-1/2}$.

Si $u(x,0)=\displaystyle e^{-Ax^2}$, $A>0$, il faut $C=-1/A$, donc
$\displaystyle u(x,t)= [1+4A\sigma t]^{-1/2} \exp\left( -\dfrac{A}{1+4A\sigma t} x^2\right)$.

Tout va bien pour tout $t\geqslant 0$:

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,3.5)
 \psline{->}(0,0)(7,0)  \uput[90](6.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(3,0)(3,3.5) \uput[0](3.2,3.2){$u$}\uput[0](4.2,2.2){$t=0$}

 \psline{->}(9,0)(16,0)  \uput[90](15.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(12,0)(12,3.5) \uput[0](12.2,3.2){$u$}\uput[0](13.2,2.2){$t>0$}
 \psset{linewidth=0.075}
 %\psline[linecolor=darkgray](3,0)(3,3)
 \pscurve(0,0.0)(1,0.01)(2,0.4)(2.5,1.82)(3,3)(3.5,1.82)(4,0.4)(5,0.01)(6,0.0)
 \pscurve[linecolor=darkgray](9,0.22)(10.5,0.4)(12,2.0)(13.5,0.4)(15,0.22)
\end{pspicture}

\medskip

Mais si $\sigma <0$,

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(17,3.1)
 \psline{->}(0,0)(7,0)  \uput[90](6.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(3,0)(3,3.5) \uput[0](3.2,3.2){$u$}\uput[0](4.2,2.2){$t=0$}

 \psline{->}(9,0)(16,0)  \uput[90](15.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(12,0)(12,3.5) \uput[0](12.2,3.2){$u$}\uput[0](13.2,2.2){$t>0$}
 \psset{linewidth=0.075}
 \psline[linecolor=darkgray](12,0)(12,3)
 \pscurve[linecolor=darkgray](0,0.1)(1.5,0.22)(2,0.4)(3,2.0)(4,0.4)(4.5,0.22)(7,0.1)
\end{pspicture}

Une condition initiale peut \^etre infiniment amplifi\'ee en  n'importe
quelle valeur $>0$ de $t$: \emph{\textbf{Le probl\`eme de Cauchy est mal
pos\'e}}. 

\subsection{Op\'erateur solution, semi-groupe} \  \\  \
\renewcommand{\mylmark}{Op. solution \& semi-groupe}


\subsubsection{Op\'erateur solution.} \   \\   

Le probl\`eme

\begin{equation} \label{Lu}
 \dfrac{\partial u(\boldsymbol{x},t)}{\partial t} =
 L(\boldsymbol{x},t) u(\boldsymbol{x},t),\ \ u(\boldsymbol{x},0) \text{\ donn\'ee},
\end{equation}
$\boldsymbol{x}\in\Omega\subseteq \mathbb{R}^{n-1}$,
est bien pos\'e dans $t\in[0,T]$ si on trouve des op\'erateurs $E(t_1,t_2)$,
$0\leqslant t_1\leqslant t_2 \leqslant T$,
agissant sur un espace de Banach de fonctions d\'efinies dans $\Omega$, tels que

\begin{equation}\label{bienpos}\begin{split}
  1.\ &E(t_1,t_1)=I, \\
  2.\ & \displaystyle{ \left\| \dfrac{[E(t,t+\delta t)-I]u}{\delta t}
    -L u \right\| \to 0 } \text{\  quand\ } \delta t\to 0
   \text{\  uniform\'ement
    en\ } t\in [0,T]. \\
    &\text{En particulier, $E(t,t+\delta t)\to I$ quand} \delta t\to 0, \delta t>0.  \\
  3.\ &E(t_1,t_2)E(t_2,t_3)=E(t_1,t_3) \text{(\emph{\textbf{semi-groupe}})},\\
  4.\ &\exists C<\infty: \|E(t_1,t_2)\|\leqslant C, 0\leqslant t_1\leqslant t_2 \leqslant T.
 \end{split}\end{equation}

Si $u$ est la solution en $t_1$, $E(t_1,t_2) u$ est la solution en $t_2$.

Quand $L$ ne d\'epend pas explicitement de $t$, $E(t_1,t_2)$ ne d\'epend que de
$t_2-t_1$. On note alors \'evidemment $E(t_2-t_1)$.


Quand $L$ est born\'e, $E(t)=\displaystyle e^{tL} = 1+ tL +\dfrac{t^2 L^2}{2}
+\dfrac{t^3 L^3}{6}+\dotsb$

\smallskip

Pour l'\'equation \eqref{chal} sur $\Omega=\mathbb{R}$, on a l'expression de $E(t)$

$$  E(t)u(x)= \int_{-\infty}^\infty [4\pi\sigma t]^{-1/2} \exp\left( -\dfrac{1}{4\sigma t} (x-y)^2\right) u(y)\;dy.$$

(Poisson). En effet, $E(t)u(x)$ v\'erifie l'\'equation \eqref{chal} et \\
$\displaystyle
\lim_{ t\to 0}E( t)u(x)=\lim_{t\to 0}
\int_{-\infty}^\infty [4\pi\sigma t]^{-1/2} \exp\left( -\dfrac{1}{4\sigma t} (x-y)^2\right)\;u(y)\;dy =u(x)  
$ \\
(loi normale de moyenne $x$ et de variance $2\sigma t\to 0$).

 Dans $L^\infty$, on a
$\|E(t)\|=$ int\'egrale du noyau $=1$. Dans $L^2$, on
 montre que l'on a \'egalement $\|E(t)\|\leqslant1$.
Par contre, dans $L^1$,
$\|E(t)\| = 1/\sqrt{4\pi\sigma t} \to\infty$ quand $t\to 0$.


\subsubsection{Contraction et dissipativit\'e.}  \   \\

\noindent\textbf{D\'efinition.} On dit que le semi-groupe $\{E(t)\}, t\geqslant 0$
est de contraction si $\|E(t)\|\leqslant 1$ pour tout $t\geqslant 0$.

\noindent\textbf{D\'efinition.} Un op\'erateur $L$ est dissipatif si
$\|u-\lambda L u\|\geqslant \|u\|$ pour tout $\lambda\geqslant 0$ et
tout $u$ dans le domaine de d\'efinition de $L$.

Dans un Hilbert, la condition est $(Lu,u)+(u,Lu)\leqslant 0$. Si $L$
est sym\'etrique, $(Lu,u)=a(u,u)\leqslant 0$.

Enfin, $L$ est maximal-dissipatif si $I-\lambda L$ a son inverse
born\'ee pour un $\lambda>0$. Dans un Hilbert, la propri\'et\'e
est r\'ealis\'ee si $L$ est autoadjoint dissipatif de domaine dense:
on v\'erifie Lax-Milgram $(u-\lambda Lu,u)= \|u\|^2 -\lambda a(u,u) \geqslant
\|u\|^2$ (coercivit\'e avec une constante $=1$).

\subsubsection{Th\'eor\`eme de Hille \& Yosida} \textsl{Les deux propositions
\begin{enumerate}
 \item $L$ est maximal-dissipatif de domaine dense,
 \item il existe un semi-groupe de contraction v\'erifiant \eqref{bienpos}
\end{enumerate}
sont \'equivalentes.}

\smallskip

Le probl\`eme de Cauchy est donc bien pos\'e pour 
$\partial u/\partial t=Lu$, o\`u $L$ est autoadjoint semi d\'efini
n\'egatif.

C'est le cas pour $Lu(x)=u''(x)$ dans $L^2$: $\displaystyle
(Lu,u)_{L^2} = \int_{-\infty}^\infty u''(x)u(x)dx =
 -\int_{-\infty}^\infty (u'(x))^2 dx \leqslant 0$.

Pour le laplacien: $\displaystyle \int_{\Omega} u(\boldsymbol{x})
 \Delta u(\boldsymbol{x})\;d\boldsymbol{x} =
-\int_{\Omega} \|\text{\bf grad}u(\boldsymbol{x})\|^2
 \;d\boldsymbol{x} \leqslant 0$ sur $u\in H_0^1(\Omega)$.



\subsection{Un dialogue} \   \\

\renewcommand{\mylmark}{Dialogue}

\href{http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,432039,432389}
{\texttt{http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum5/read.php?4,432039,432389}}


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Asmma  dim 16 mars 2008 17:22:14

Bonjour

Je gal\`ere dans l'application du th\'eor\`eme de Hille-Yoshida.  Je vous pr\'eviens  que je suis autodidacte :

     {\bf Th\'eor\`eme de Hille-Yosida} :

Soit $ E $ un espace de Banach et $ A : D(A) \subset E \longrightarrow E $ un op\'erateur non born\'e. On a l'\'equivalence :

\begin{itemize}
      \item $ (A,D(A)) $ est $m$-dissipatif  \`a domaine dense.
      \item $ (A,D(A)) $ est le g\'en\'erateur infinit\'esimal d'un semi-groupe de contraction.
   \end{itemize}

      Je cherche \`a l'appliquer au probl\`eme de la chaleur suivant :

Soit $ \Omega $ un ouvert  de $ \mathbb{R}^n $ born\'e et soit l'\'equation de la chaleur :

$$ \begin{cases} \partial_t u(x,t) - \triangle u(x,t) &=0 \\ u(x,0) &= u_0(x) \end{cases} \qquad \mathrm{sur\ } (x,t)\in \Omega \times [0,+\infty] $$

\begin{enumerate}

  \item Pourquoi la forme abstraite de cette EDP est l'EDO $ y'(t)=Ay(t) $?
  \item Pourquoi on a pos\'e $ X = H = L^2(\Omega) $, $ y(t)=u(.,t)\in H $ et on d\'efinit $ (A,D(A)) $ par $ D(A)=H^2(\Omega) \bigcap H^1_0(\Omega) \subset L^2(\Omega) $ et $ Ax=\triangle x $ pour tout $ x \in D(A) $?
  \item Comment conclure en utilisant le th\'eor\`eme de Hille-Yoshida quant \`a l'existence et l'unicit\'e et la r\'egularit\'e de la solution?
 \end{enumerate}

Votre aide m'est plus que  pr\'ecieuse.

Merci de votre soutien.

\rule{10cm}{0.01cm}

remarque dim 16 mars 2008 18:06:21

1. Parce qu'une application de $(x,t)\in\Omega\times{[}0,T]$ dans $\mathbb{R}$ peut \^etre consid\'er\'ee comme une application de $[0,T]$ \`a valeurs dans un espace fonctionnel d\'efini sur $\Omega$ : $y(t)=u(\cdot,t)$, $\cdot$ rempla\c cant la variable $x\in\Omega$. Tu prends une photo \`a l'instant $t$ de ta fonction, $u$, ce que tu vois, c'est $y(t)$. Toute d\'efinition raisonnable de la d\'eriv\'ee en temps $y'$ doit correspondre \`a la photo \`a l'instant $t$ de $\partial u/\partial t$, et $A$ est l'op\'erateur $y\mapsto \Delta y$.

2. Pourquoi pas ? C'est un espace qui marche bien, ce n'est pas n\'ecessairement le seul possible. On veut que $A$ envoie son domaine dans $H$, c'est-\`a-dire que l'on veut $\delta y\in L^2(\Omega)$. Une fa\c con simple d'imposer \c ca (et qui est presque \'equivalente), c'est de prendre $y\in H^2(\Omega)$. Imposer aussi $y\in H^1_0(\Omega)$ permet d'imposer des conditions de Dirichlet homog\`ene au bord de $\Omega$.

3. Il te reste \`a d\'emontrer que ce domaine est dense dans $H$ et que l'op\'erateur $A$ est bien dissipatif sur son domaine...

\rule{10cm}{0.01cm}

remarque dim 16 mars 2008 18:14:04

Je m'aper\c cois que la phrase `` $ \cdot$ rempla\c cant la variable $ x\in\Omega$ '' est peu lisible. Il s'agit du point $\cdot$ dans l'argument de la fonction. Par ailleurs, tu auras corrig\'e le $\delta y$ en $\Delta y$... (je vais me faire taper sur les doigts par AD, si \c ca continue comme \c ca).

\rule{10cm}{0.01cm}


Asmma dim 16 mars 2008 22:30:54

Bonjours,

Mer\c ci Remarque pour votre aide, Mais j'avoue ne pas comprendre ton  raisonnement Remarque,  dire que toute d\'efinition raisonnable de la d\'eriv\'ee en temps $y'$ doit correspondre \`a la photo \`a l'instant $t$ de $\partial u/\partial t$, et $A$ est l'op\'erateur $y\mapsto \Delta y$ la comparaison est loin d'\^etre convaincante. Plus d'\'eclaircissements sera le bienvenue. Je sais que  $ D(A) $ est dense dans $ L^2(\Omega) $ se justifie par le fait que  laplacien est un op\'erateur autoadjoint.  Dissipatif  \'equivaut \`a dire $\mathfrak{Re}(<Ax,x>_H) \leq 0 $.

Par exemple comment peut-on conclure pour le probl\`eme suivant:

 $$\begin{cases} \partial_t u(x,t) - \partial_x^2 u(x,t) &=f(t,u(t,x))\\
 u(t,0) &= u(t,\pi)=0\\
u(0,x)& = f(x)\qquad \mathrm{sur\ } (x,t)\in [a,b] \times [0,+\pi]  
\end{cases}$$ 

Merci encore une fois Remarque.

\rule{10cm}{0.01cm}

remarque lun 17 mars 2008 00:39:43

D'accord. Sur l'aspect fonction \`a valeurs vectorielles. La d\'efinition de $\partial u/\partial t$ au sens des distributions est (j'utilise la notation traditionnelle $Q=\Omega\times{]}0,T[$)

$$\forall \varphi\in{\mathcal{D}}(Q), \Bigl\langle \frac{\partial u}{\partial t},\varphi\Bigr\rangle=
-\Bigl\langle u,\frac{\partial \varphi}{\partial t}\Bigr\rangle=-\int_{Q}u(x,t)\frac{\partial \varphi}{\partial t}(x,t)\,dxdt.$$



D'un autre c\^ot\'e, si $y\colon[0,T]\to H$, alors sa d\'eriv\'ee au sens des distributions \`a valeurs vectorielles est d\'efinie par

$$\forall \psi\in{\mathcal{D}}(]0,T[), \langle y',\psi\rangle=
-\langle y,\psi'\rangle=-\int_{0}^1y(t)\psi'(t)\,dt,$$

l'int\'egrale \'etant une int\'egrale \`a valeurs dans $E$ (int\'egrale de Bochner pour \^etre pr\'ecis). Quand $H=L^2(\Omega)$, si on introduit $\theta\in{\mathcal{D}}(\Omega)$ alors il vient

$$\int_{\Omega}\langle y',\psi\rangle\theta(x)\,dx=-\int_{\Omega}\Bigl(\int_{0}^1 y(t)\psi'(t)\,dt\Bigr)\theta(x)\,dx,$$

et comme $y(t)=u(\cdot,t)$, par Fubini,

$$\int_{\Omega}\langle y',\psi\rangle\theta(x)\,dx=-\int_{Q}u(x,t)\psi'(t)\theta(x)\,dtdx=\Bigl\langle \frac{\partial u}{\partial t},\varphi\Bigr\rangle,$$

avec $\varphi(x,t)=\theta(x)\psi(t)$. Si $ \frac{\partial u}{\partial t}$ est une fonction de $H$ (et pas seulement une distribution) alors ceci implique que $y'(t)=\frac{\partial u}{\partial t}(\cdot, t)$. C'est en ce sens que les deux notions sont li\'ees.



Si tu n'aimes pas les distributions, tu peux le voir au sens classique :

$$y'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{y(t+h)-y(t)}h$$

la limite \'etant prise au sens de $H$. C'est-\`a-dire

$$\Bigl\|y'(t)-\frac{y(t+h)-y(t)}h\Bigr\|_{H}\to 0\hbox{ quand }h\to 0.$$

Dans le cas $H=L^2(\Omega)$ et $y(t)=u(\cdot,t)$, \c ca veut dire notant $y'(t)=z(\cdot,t)$

$$\int_{\Omega}\Bigl(z(x,t)-\frac{u(x,t+h)-u(x,t)}h\Bigr)^2\,dx\to 0\hbox{ quand }h\to 0.$$

Il y a une sous-suite qui converge presque partout dans $\Omega$

$$z(x,t)-\frac{u(x,t+h)-u(x,t)}h\to 0$$

donc $z(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)$ pp en $x$.



Je ne vois pas pourquoi tu n'es pas convaincu alors par 

$$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u$$

l'op\'erateur $\Delta$ est un op\'erateur en $x$, donc qui s'applique \`a $u(\cdot,t)=y(t)$...



Le fait que $D(A)$ est dense dans $L^2$ ne se justifie pas par le fait que le laplacien est autoadjoint ! C'est un sous-ensemble de $L^2$ et son 
adh\'erence est $L^2$. En effet, ${\mathcal{D}}(\Omega)\subset H^2(\Omega)\cap H^1_{0}(\Omega)$ et ${\mathcal{D}}(\Omega)$ est dense dans $L^2(\Omega)$.



Ensuite on fait le calcul du produit scalaire, pour tout $v\in D(A)$

$$\int_{\Omega}v\Delta v\,dx=-\int_{\Omega}\|\nabla v\|^2\,dx\le 0$$

par la formule de Green (int\'egration par parties). 



Le formalisme semi-groupe s'applique donc et donne une solution de l'\'equation de la chaleur comme fonction continue de $[0,T]$ \`a valeurs dans $H$. Ce n'est pas la seule fa\c con de r\'esoudre l'\'equation de la chaleur, bien s�r.

\rule{10cm}{0.01cm}

Asmma mar 18 mars 2008 10:03:55

Bonjour \`a toute et \`a tous,



D'abord un grand "merci" aux personnes qui m'ont r\'epondu! Il s'agit de Remarque.

Ca commence \`a s'\'eclaircir un peu j'esp\`ere. Si je comprend bien, il s'agit de voir l'application $(t,x)\mapsto u(t,x)$ comme une application $x\mapsto ((t\mapsto u(t,x))$  de $[0,T]$ dans $\mathcal C(\Omega)$  en gros regarder dans les trajectoires.

Mais  l\`a la d\'erivation est totalement biscornu vu la complexit\'e de l'espace d'arriv\'ee. Si ce n'est pas intervenir la derivation au sens de Gateaux.

Cordialement.

\rule{10cm}{0.01cm}



remarque mar 18 mars 2008 19:48:15

\begin{quote}{\bf Asmma}

Si je comprend bien, il s'agit de voir l'application $ (t,x)\mapsto u(t,x)$ comme une application $ x\mapsto ((t\mapsto u(t,x))$ de $ [0,T]$ dans $ \mathcal C(\Omega)$ en gros regarder dans les trajectoires.

\end{quote}



En fait, non, c'est exactement le contraire : il s'agit de voir l'application $ (t,x)\mapsto u(t,x)$ comme une application $ t\mapsto ((x\mapsto u(t,x))$ de $ [0,T]$ dans $L^2(\Omega)$, c'est-\`a-dire regarder les tranches \`a $t$ fix\'e comme une fonction de $x$ donn\'ee en bloc dans un espace fonctionnel sur $\Omega$. C'est une fonction de $t$ \`a valeurs vectorielles dans $L^2$. Regarder les trajectoires, serait faire $ x\mapsto ((t\mapsto u(t,x))$ de $ \Omega$ dans $ C([0,T])$, ou autre espace fonctionnel en $t$.




\section{Classe des \'equations paraboliques.}

Soit $\Omega = \Omega' \times [0,T]$, o\`u $\Omega'$ est un
domaine (\textbf{spatial}) de $\mathbb{R}^{n-1}$, $U'$ un espace de fonctions
$\Omega' \mapsto \mathbb{R}$ muni d'un produit scalaire $(\ ,\ )_{U'}$.

On appelle ici \textbf{parabolique} une \'equation
$$
   \dfrac{\partial u}{\partial t} = -Mu,
$$
o\`u $M$ est un op\'erateur sym\'etrique ($=$ formellement
    autoadjoint) sur (une partie de) $U'$, d\'efini positif,
c.-\`a-d., $\forall u,v \in$ dom($M$),
$$
   (Mu,v)_{U'} = (u,Mv)_{U'} = a(u,v),
$$
avec $a$ sym\'etrique d\'efinie positive: $a(u,u)>0$.

\noindent\textbf{Exemples}

\begin{enumerate}
 \item $Mu=-u''$ (\textbf{\'equation de la chaleur})
 sur $\mathscr{C}^2[a,b] \bigcap \{u: u(a)=u(b)=0\} $,
   avec le produit scalaire de $L^2$: \\
  $\displaystyle{  -\int_a^b u''(x)v(x)\,dx = \int_a^b u'(x)v'(x)\,dx }$.
 \item laplacien: $Mu=-\Delta u$ sur $\Omega'$,
                 (\textbf{\'equation de la chaleur})
 avec $u(x)=0$ sur
  la fronti\`ere $\Gamma'$ de $\Omega'$, toujours avec le produit
  scalaire de $L^2$: \\
  $\displaystyle{  -\int_{\Omega'} \Delta u(x)v(x)\,dx =
     \int_{\Omega'} \boldsymbol{grad} u(x)\boldsymbol{\cdot}
       \boldsymbol{grad} v(x)\,dx }$.
  \item {\Small \textbf{Caract\`ere parabolique de l'\'equation de \index{Black-Scholes}
      Black-Scholes}   $\partial u/\partial t =  \alpha x^2
     \partial^2 u/\partial x^2 +rx\partial u/\partial x -ru$.\\
    On a donc $Mu= -\alpha x^2 u'' -rxu' +ru$, $\alpha$ et $r>0$.
   Essayons un produit scalaire pond\'er\'e \\ $\displaystyle{ (u,v)=
  \int_0^\infty u(x)v(x)w(x)\,dx }$. On a \\
  $\displaystyle{ (Mu,v)= \alpha \left[u'(x)x^2 w(x)v(x)\right]_0^\infty
  +\int_0^\infty \left\{ \alpha u'(x) (x^2 w(x)v(x))' -rxu'(x)w(x)v(x)
   +r u(x)v(x)w(x)\right\} dx }$ \\
  qui est effectivement sym\'etrique d\'efini positif si
  $\displaystyle{ w(x)= x^{r/\alpha\,-2} }$ (et si les fonctions de
  $U'$ tendent assez vite vers 0 quand $x\to\infty$).

cf.  Advanced Finite Difference Methods for Financial Instrument
      
   \href{http://www.datasim.nl/education/coursedetails.asp?coursecategory=FE&coursecode=AFDM}
    {\texttt{http://www.datasim.nl/education/coursedetails.asp?coursecategory=FE\&coursecode=AFDM}}

 \href{http://www.math.univ-montp2.fr/~mohamadi/tipengweb/black_fr_presentation.htm} 
  {\texttt{http://www.math.univ-montp2.fr/\~{}mohamadi/tipengweb/black\_fr\_presentation.htm}} 


  \href{http://www.math.univ-montp2.fr/~mohamadi/tipengweb/black_fr_modelisation.htm}
     {\texttt{http://www.math.univ-montp2.fr/~mohamadi/tipengweb/black\_fr\_modelisation.htm}}

  }
\end{enumerate}

%\newpage

\subsection{Examen de quelques sch\'emas} \  \\

Dans chaque cas, on examinera

\begin{enumerate}
 \item Le comportement de
   $$\| (E_h r_h- r_h E(\Delta t))u(\ ,t) \| \leqslant
      \varepsilon_h \Delta t(h)$$
  quand $u$ est solution de $\partial u/\partial t +Mu=0$ (consistance),

 \item L'existence d'une borne $\|(E_h)^N\|\leqslant C$ pour $N\Delta t\leqslant
 T$ (stabilit\'e num\'erique),
 \end{enumerate}

pour constater et quantifier
$\| u_h(\ ,t) - r_h u(\ ,t)\| \leqslant C\varepsilon_h t$.


\medskip

%On se limite \`a  l'\'equation de la chaleur \eqref{chal}

\subsection{Sch\'emas \`a deux niveaux de temps} \   \\

\begin{enumerate}

\item Euler explicite. Reprenons encore d'abord \eqref{chaldisc}:

$E_h r_h u(x,t) = u(x,t)+\sigma\Delta t (u(x-h,t)-2u(x,t) +u(x+h,t))/h^2$.

Si $u$ est quatre fois contin\^ument d\'erivable en $x$,  \\
$\displaystyle{ u(x\pm h,t) = u(x,t) \pm h \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial x}
      +\dfrac{h^2}{2} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}
      \pm\dfrac{h^3}{6} \dfrac{\partial^3 u(x,t)}{\partial x^3}
      +\dfrac{h^4}{24} \dfrac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4} +\dotsb }$

Donc, $\displaystyle{ E_h r_h u(x,t) =u(x,t) +\sigma \Delta t \left(
            \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}
      +\dfrac{h^2}{12} \dfrac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4} +O(h^4)
          \right) }$, \\
et $\displaystyle{ E(\Delta t) u(x,t) = u(x,t+\Delta t) =
      u(x,t)
            +\Delta t  \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t}
      +\dfrac{(\Delta t)^2}{2} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}
     +O((\Delta t)^3)  }$, \\
\begin{equation*} \begin{split}
 E_h r_h u(x,t) - r_h E(\Delta t) u(x,t) &=
         \sigma \Delta t \left(
            \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}
      +\dfrac{h^2}{12} \dfrac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4} +O(h^4)
          \right)  \\
         & \qquad   -\Delta t  \dfrac{\partial u(x,t)}{\partial t}
      -\dfrac{(\Delta t)^2}{2} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}
     +O((\Delta t)^3)         \\
        &=
         \sigma \Delta t
      \dfrac{h^2}{12} \dfrac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4} +O(h^4\Delta t)
      -\dfrac{(\Delta t)^2}{2} \dfrac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}
     +O((\Delta t)^3)         \\
     &=
         \sigma \Delta t \left(
      \dfrac{h^2}{12} -\sigma \dfrac{\Delta t}{2} \right)
 \dfrac{\partial^4 u(x,t)}{\partial x^4} +O((h^4+\Delta t^2)\Delta t)
\end{split}\end{equation*}
o\`u a tenu compte de $\partial u/\partial t = \sigma \partial^2 u/\partial x^2$
d'abord, et de sa cons\'equence
 $\partial^2 u/\partial t^2 = \sigma^2 \partial^4 u/\partial x^4$
ensuite.

\medskip

  On a donc $\varepsilon_h =O(h^2+\Delta t)$, qui tombe \`a
   $\varepsilon_h =O(h^4+\Delta t^2) = O(h^4)$,
   si $\displaystyle{ \Delta t =  \dfrac{h^2}{6\sigma} }$ (si
   $u\in\mathscr{C}^6$).

\medskip
Quant \`a la stabilit\'e num\'erique, on a vu (page~\pageref{chalstab1})
que $C=1$ d\`es que $\displaystyle{ \Delta t \leqslant
        \dfrac{h^2}{2\sigma}  }$.
%\newpage     \index{Crank Nicolson}
\item \textbf{Sch\'ema de Crank et Nicolson}\footnote{Crank, J.,
        Nicolson, P.,
        "A Practical Method for Numerical Evaluation of
        Solutions of Partial Differential Equations of the
        Heat-Conduction Type",
        \textsl{Proceedings of the Cambridge Philosophical Society},
        \textbf{43}, (1947), pp.~50-67.}.

 On \'evite la n\'ecessit\'e de recourir \`a de tr\`es petits pas de
 temps $\Delta t =O(h^2)$ par le sch\'ema \emph{\textbf{implicite}} tr\`es
 \'el\'egant
 \begin{equation} \label{crnic} \begin{split}
    \dfrac{u_h(x,t+\Delta t) -u_h(x,t) }{\Delta t} = \dfrac{\sigma}{2}
       &\left\{
      \dfrac{u_h(x-h,t+\Delta t)-2u_h(x,t+\Delta t) +u_h(x+h,t+\Delta t)}{h^2}
        \right.
    \\&\left. +  \dfrac{u_h(x-h,t)-2u_h(x,t) +u_h(x+h,t)}{h^2}  \right\}
 \end{split}\end{equation}

On n'obtient donc pas directement une valeur num\'erique de $u_h(x,t+\Delta t)$
\`a partir de valeurs de $u_h(\ ,t)$, mais un syst\`eme d'\'equations pour
$\displaystyle{ \boldsymbol{u}(t+\Delta t) = \begin{bmatrix} u_h(x_1,t+\Delta t)\\
                                                              \vdots \\
                                                    u_h(x_N,t+\Delta t)
                                              \end{bmatrix}   }$
\`a partir de $\boldsymbol{u}(t)$. Pour l'\'equation parabolique
$\partial u/\partial t = -Mu$:

$\displaystyle{  \dfrac{ \boldsymbol{u}(t+\Delta t) -\boldsymbol{u}(t) }{\Delta t}
   = -\dfrac{\sigma}{2}(M_h \boldsymbol{u}(t+\Delta t) +M_h \boldsymbol{u}(t))
   }$, soit
 $$ \boldsymbol{u}(t+\Delta t) = E_h \boldsymbol{u}(t) =
      \left( I+\Delta t \dfrac{\sigma}{2} M_h \right)^{-1}
      \left( I-\Delta t \dfrac{\sigma}{2} M_h \right) \boldsymbol{u}(t). $$
L'inconv\'enient du caract\`ere implicite de ce sch\'ema est compens\'e par
d'excellentes propri\'et\'es de stabilit\'e et de pr\'ecision.

\medskip

Voyons d'abord la \emph{\textbf{stabilit\'e num\'erique}}:
 d\`es que $M_h$ est sym\'etrique
de spectre positif, on a $\|E_h\| = \max |\lambda(E_h)| = \max
  \displaystyle{ \left| \dfrac{ 1-\Delta t  \sigma \lambda(M_h)/2 }
                              { 1+\Delta t  \sigma \lambda(M_h)/2 }
                 \right| \leqslant 1 }$, donc $\|(E_h)^{N}\|\leqslant 1$,
$\forall N$.

{\Small Au passage, notons aussi le \emph{\textbf{nombre de condition}}
 $\kappa(I+\Delta t\sigma M_h/2) = \lambda_{\text{max}}/
                \lambda_{\text{min}} \leqslant  1+\Delta t \sigma
                \lambda_{\text{max}}(M_h)/2 \leqslant
              1+2\Delta t \sigma /h^2 $,
  puisque $\lambda_{\text{max}}(M_h) \leqslant 4/h^2$ (cf. \eqref{usecprop2},
  p.~\pageref{usecprop2}). Comme on n'a plus de contrainte de stabilit\'e
  sur $\Delta t$, on s'attend \`a $\Delta t \approx h$, donc \`a
  $\kappa = O(h^{-1})$ au lieu de $O(h^{-2})$ pour des probl\`emes
  stationnaires du second ordre. Ceci peut justifier le recours \`a des
  sch\'emas \'evolutifs de r\'esolution de probl\`emes stationnaires\dots}

\medskip

\emph{\textbf{Consistance et pr\'ecision}}:


Soit $\displaystyle{L= \dfrac{\partial}{\partial t} +\sigma M }$.

Examinons $E_h r_h u - r_h E(\Delta t)u$.

$E(\Delta t)u$ est la fonction $v(x;\Delta t)$,
solution en $t=\Delta t$ de
$$  \dfrac{\partial v(x;t)}{\partial t} = -\sigma (Mv)(x;t) $$
avec la condition initiale $v(x;0)\equiv u(x)$.

Taylor (en $t$):
\begin{equation*}\begin{split}
 E(\Delta t) &= I + \Delta t \dfrac{\partial}{\partial t}
      +\dfrac{1}{2} \Delta t^2 \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}
      +\dfrac{1}{6} \Delta t^3 \dfrac{\partial^3}{\partial t^3} +\dotsb \\
 &= I -\Delta t \sigma M +\dfrac{1}{2}\Delta t^2\sigma^2 M^2
                         -\dfrac{1}{6}\Delta t^3\sigma^3 M^3 +\dotsb
\end{split}\end{equation*}

\noindent
D'autre part, $r_h u$ est le vecteur de composantes $u(x)$, pour
$x=$ des multiples de $h$,  \\
  $\displaystyle{E_h =
 \dfrac{2I_h -\sigma\Delta t M_h}{2I_h+\sigma\Delta t M_h} }$,
  \hspace*{-12pt} o\`u $M_h$ est la matrice de
discr\'etisation de $M$, par exemple, si $M=-\partial^2/\partial x^2$:
$\displaystyle{  M_h =  h^{-2}
   \begin{bmatrix} 2  & -1  &     &    &    \\
                  -1  &  2  &  -1 &    &   \\
                      & \ddots&\ddots&\ddots & \\
                      &     &     & -1 & 2
       \end{bmatrix}   }$.

Taylor encore:
$$
 E_h= I_h -\Delta t \sigma M_h +\dfrac{1}{2}\Delta t^2\sigma^2 M_h^2
                         -\dfrac{1}{4}\Delta t^3\sigma^3 M_h^3 +\dotsb
$$
les m\^emes coefficients jusqu'au terme en $\Delta t^2$ y compris!

$$
\dfrac{E_h r_h -r_hE(\Delta t)}{\Delta t} =
\sigma (r_h M - M_h r_h)
 +\dfrac{1}{2}\Delta t\sigma^2 (M_h^2 r_h-r_h M^2)
       +     \Delta t^2\sigma^3 \left( r_h \dfrac{M^3}{6}
                         -\dfrac{M_h^3}{4}  r_h \right) +\dotsb
$$
born\'e par const. $(h^2 +\Delta t^2)$ si
 $\|(r_h M-M_h r_h)u\| = O(h^2)$.



\item G\'en\'eralisation des pr\'ec\'edents:

 \begin{equation*}  \begin{split}
    \dfrac{u_h(x,t+\Delta t) -u_h(x,t) }{\Delta t} = \sigma
     &\left\{
  \theta \dfrac{u_h(x-h,t+\Delta t)-2u_h(x,t+\Delta t) +u_h(x+h,t+\Delta t)}{h^2}
      \right.
    \\&\left. + (1-\theta) \dfrac{u_h(x-h,t)-2u_h(x,t) +u_h(x+h,t)}{h^2}  \right\}
 \end{split}\end{equation*}
avec $0\leqslant\theta\leqslant 1$.  $\theta=0:$ \eqref{chaldisc};
  $\theta=1:$ sch\'ema implicite pur; $\theta=1/2:$ \eqref{crnic}.

On a maintenant
 $$  E_h  =
      \left( I+\Delta t \theta\sigma M_h \right)^{-1}
      \left( I-\Delta t (1-\theta)\sigma M_h \right).$$
Spectre de $E_h \in ((\theta-1)/\theta,1)$: stable si $\theta \geqslant 1/2$.\\
Si $\theta <1/2$, on a encore la stabilit\'e num\'erique si
 $1-\Delta t (1-\theta) \sigma \lambda_{\text{max}} \geqslant
  -1-\Delta t \theta \sigma \lambda_{\text{max}} \Rightarrow
  \displaystyle{ \Delta t \leqslant \dfrac{h^2}{2(1-2\theta)\sigma} }$
 avec $\lambda_{\text{max}} \approx 4/h^2$.

\smallskip


Consistance et pr\'ecision:

On a maintenant
 $$ y=u +\sigma \Delta t\left( \theta\left[y'' + \dfrac{h^2}{12} y^{\text{iv}}
       \right]+(1-\theta)\left[  + u'' +\dfrac{h^2}{12} u^{\text{iv}}
               \right] +O(h^4) \right), $$
\begin{equation*} \begin{split}
 y&=u +O(\Delta t) \\
  &=u +\sigma \Delta t \left( u''
                          +O(h^2) \right) +O(\Delta t^2) \\
   &=u +\sigma \Delta t \left( u''
 + \theta\sigma\Delta t u^{\text{iv}}
 + \dfrac{h^2}{12} u^{\text{iv}}
       +O(h^4)  \right)+O(\Delta t^3).
\end{split}\end{equation*}
On a donc
\begin{equation*} \begin{split}
  E_h u &= u +\sigma\Delta t \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}
             +\sigma\Delta t \left( \theta\sigma\Delta t
                                   + \dfrac{h^2}{12} \right)
               \dfrac{\partial^4 u}{\partial x^4}
             +O(h^4\Delta t) +O(\Delta t^3) , \\
 E(\Delta t) u &= u +\Delta t \dfrac{\partial u}{\partial t}
        +\dfrac{\Delta t^2}{2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}
              +O(\Delta t^3), \\
 E_h r_h u -r_h E(\Delta t)u&=
             +\sigma\Delta t \left( \theta\sigma\Delta t
                                   + \dfrac{h^2}{12} \right)
               \dfrac{\partial^4 u}{\partial x^4}
        -\dfrac{\Delta t^2}{2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}
             +O(h^4\Delta t) +O(\Delta t^3)  \\
   &=           \sigma\Delta t \left( (\theta-1/2) \sigma\Delta t +
                                    \dfrac{h^2}{12}  \right)
               \dfrac{\partial^4 u}{\partial x^4}
             +O(h^4\Delta t) +O(\Delta t^3),
\end{split}\end{equation*}
toujours gr\^ace \`a $\partial^2 u/\partial t^2 = \sigma^2
   \partial^4 u/\partial x^4$.

Donc $\varepsilon_h = O(h^2) +O(\Delta t^2)$;  $O(h^4)$ si
  $\displaystyle{ \theta= \dfrac{1}{2} -\dfrac{h^2}{12\sigma \Delta t} }$,
soit: $\displaystyle{  \Delta t = \dfrac{h^2}{6(1-2\theta)\sigma} }$.


\end{enumerate}

\subsection{Sch\'emas \`a plus de deux niveaux de temps} \  \\


On a maintenant
 \begin{equation} \label{disckpk0}
  K_{p,h} u_h(.,t+p\Delta t) +K_{p-1,h} u_h(., t+(p-1)\Delta t) + \dotsb
       + K_{0,h} u_h(.,t)=0
 \end{equation}
au lieu de \eqref{disck1k0}. On esp\`ere am\'eliorer la pr\'ecision des
r\'esultats en gardant une certaine simplicit\'e des calculs, puisque
$u_h(\ ,t+(p-1)\Delta t)$,\dots, $u_h(\ ,t)$ sont disponibles au moment
d'aborder le calcul de $u_h(\ ,t+p\Delta t)$. Il faut cependant amorcer la
r\'esolution par un calcul s\'epar\'e de $u_h(\ ,\Delta t)$,
$u_h(\ ,2\Delta t)$,\dots, $u_h(\ ,(p-1)\Delta t)$.

\smallskip

Les discussions de stabilit\'e et de consistance se font maintenant \`a
l'aide d'un op\'erateur $E_h$ reprenant $p$ niveaux de temps:
$$ E_h \begin{bmatrix} u_h(\ ,t) \\
                                u_h(\ ,t+\Delta t) \\
                                   \vdots \\
                               u_h(t+(p-1)\Delta t) \end{bmatrix} =
                 \begin{bmatrix} u_h(\ ,t+\Delta t) \\
                                u_h(\ ,t+2\Delta t) \\
                                   \vdots \\
                               u_h(t+p\Delta t) \end{bmatrix},
$$
c'est-\`a-dire une matrice d'ordre $Np$:
 $$ E_h = \begin{bmatrix}
                       0 & 1 & 0 & 0 & \cdots    \\
                       0 & 0 & 1 & 0 & \cdots    \\
                    \vdots&\vdots&  & \ddots &   \\
                      0 & 0  &   & \cdots & 1 \\
                -K_p^{-1}K_0 & -K_p^{-1}K_1 & \cdots &   &  -K_p^{-1}K_{p-1}
                \end{bmatrix}
  $$

On a toujours $\displaystyle{\left\|
                 \begin{bmatrix}  u_h(\ ,t) \\
                                u_h(\ ,t+\Delta t) \\
                                   \vdots \\
                               u_h(t+(p-1)\Delta t) \end{bmatrix}
               -r_h  \begin{bmatrix}  u(\ ,t) \\
                                u(\ ,t+\Delta t) \\
                                   \vdots \\
                               u(t+(p-1)\Delta t) \end{bmatrix}
                  \right\| \leqslant C \varepsilon_h t  }$ si  \\
              $\displaystyle{\left\|   E_h r_h
                 \begin{bmatrix}  u(\ ,t) \\
                                u(\ ,t+\Delta t) \\
                                   \vdots \\
                               u(t+(p-1)\Delta t) \end{bmatrix}
               -r_h  \begin{bmatrix}  u(\ ,t+\Delta t) \\
                                u(\ ,t+2\Delta t) \\
                                   \vdots \\
                               u(t+p\Delta t) \end{bmatrix}
                  \right\| \leqslant  \varepsilon_h \Delta t  }$
  (\emph{\textbf{consistance}})
  quand $u$ est solution de $\partial u/\partial t +Mu=0$, et
  $\|(E_h)^{n}\|\leqslant C$ pour $n \Delta t\leqslant T$
 (\emph{\textbf{stabilit\'e num\'erique}}).

\medskip

\noindent\textbf{Sch\'ema de DuFort et Frankel.}

Ces auteurs ont propos\'e

\begin{equation} \label{duffran}
\dfrac{ u_h(x, t+\Delta t) -u_h(x, t-\Delta t) }{2\Delta t} = \sigma
 \dfrac{ u_h(x+h, t)-u_h(x,t+\Delta t)  - u_h(x, t-\Delta t) +u_h(x-h,t) }{h^2}
\end{equation}
pour r\'esoudre \eqref{chal}.

On a donc $K_2 u_h(x,\ )= \displaystyle{ \left(\dfrac{1}{2\Delta t}
   +\dfrac{\sigma}{h^2}\right) u_h(x,\ )  }$,
          $K_0 u_h(x,\ )= \displaystyle{ \left(\dfrac{-1}{2\Delta t}
   +\dfrac{\sigma}{h^2}\right) u_h(x,\ )  }$  (matrices diagonales),
et
 $K_1 u_h(x,\ )= \displaystyle{ -\sigma\dfrac{u_h(x+h,\ )+ u_h(x-h,\ )}{h^2}
    }$.

Donc, $\displaystyle{ -(K_2)^{-1}K_0 =
   -\dfrac{\displaystyle{\dfrac{\sigma}{h^2}-\dfrac{1}{2\Delta t} }}
%            \text{{\Large $/$}}
        {\displaystyle{\dfrac{\sigma}{h^2}+\dfrac{1}{2\Delta t} }} =
   -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} }$, o\`u $\alpha = h^2/(2\sigma\Delta t)$;\\
 $\displaystyle{ -(K_2)^{-1}K_1 =
        -\left(\dfrac{\sigma}{h^2}-\dfrac{1}{2\Delta t} \right)^{-1}
     \sigma N_h  = \dfrac{2I -h^2M_h}{1+\alpha}}$, o\`u
 $\displaystyle{ N_h = h^{-2}\begin{bmatrix} 0 & -1 &  &  \\
                                            -1 &  0 & -1 & \\
                                               &\ddots&\ddots&\ddots \\
                                               &      &  -1  & 0
                              \end{bmatrix}
               }$   \\
$= M_h -2I/h^2$, o\`u
 $\displaystyle{ M_h = h^{-2}\begin{bmatrix} 2 & -1 &  &  \\
                                            -1 &  2 & -1 & \\
                                               &\ddots&\ddots&\ddots \\
                                               &      &  -1  & 2
                              \end{bmatrix}
               }$   est la matrice de la discr\'etisation famili\`ere
 de $-\partial^2 /\partial x^2$, donc
$$ E_h=
 \begin{bmatrix}         0           &       I     \\
         -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} & \dfrac{2I -h^2 M_h}{1+\alpha}
   \end{bmatrix}
$$

On a vu que le sch\'ema explicite
\eqref{chaldisc} n'est num\'eriquement stable que si
$ \Delta t \leqslant  h^2/(2\sigma)$, ce qui correspond \`a
$\alpha>1$. Tout en restant explicite, le sch\'ema de DuFort \&
Frankel permet de diminuer $\alpha$, tout en gardant cependant
$\alpha \geqslant$ constante $>0$.

\medskip
\textbf{Consistance}:
 $\displaystyle{E_h \begin{bmatrix} r_h u(\ ,t-\Delta t)\\
                                                        r_h u(\ ,t) \end{bmatrix}
              }$
   doit \^etre proche, \`a moins de $\varepsilon_h \Delta t$, de
   $\displaystyle{ r_h\begin{bmatrix} u(\ ,t) \\ u(\ ,t+\Delta t)
                     \end{bmatrix} }$ quand
  $\partial u/\partial t = -\sigma Mu$:

$$ E_h r_h u=
 \begin{bmatrix}         0           &       I     \\
         -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} & \dfrac{2I -h^2 M_h}{1+\alpha}
   \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} u(\ ,t-\Delta t) \\ u(\ , t) \end{bmatrix} \quad,\quad
E(\Delta t)
 \begin{bmatrix} u(\ ,t-\Delta t) \\ u(\ , t) \end{bmatrix} =
 \begin{bmatrix} u(\ ,t) \\ u(\ , t+\Delta t) \end{bmatrix}
$$
Taylor deuxi\`eme composante:
$$
u(\ ,t) -\dfrac{h^2 M_h r_h u}{1+\alpha}
       +\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} \Delta t \dfrac{\partial u}{\partial t}
  -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} \Delta t^2 \dfrac{\partial u^2}{2\partial t^2}
 +\dotsb
$$
$$
= u(\ ,t+\Delta t) -\dfrac{h^2 M_h r_h u}{1+\alpha}
       -\dfrac{2\alpha}{1+\alpha} \Delta t \dfrac{\partial u}{\partial t}
  -\dfrac{2}{1+\alpha} \Delta t^2 \dfrac{\partial u^2}{2\partial t^2}
 +\dotsb
$$
$$
=u(\ ,t+\Delta t) -\dfrac{h^2 M_h r_h u}{1+\alpha}
       +\sigma\dfrac{2\alpha}{1+\alpha} \Delta t r_h Mu
  -\dfrac{1}{1+\alpha} \Delta t^2 \sigma^2 r_h M^2 u
 +\dotsb
$$
$$
=u(\ ,t+\Delta t)
       +\sigma\dfrac{2\alpha}{1+\alpha} \Delta t (r_h Mu -M_h r_h u)
  -\dfrac{1}{1+\alpha} \Delta t^2 \sigma^2 r_h M^2 u
 +\dotsb
$$

ce qui tend bien \`a \^etre infiniment plus petit que $\Delta t$
si $(r_hM-M_h r_h)u\to 0$ quand $h\to 0$
(on a utilis\'e $2\alpha \sigma \Delta t = h^2$).

\medskip


\textbf{Stabilit\'e num\'erique}:

On peut appr\'ecier $\|\boldsymbol{A}^{m}\|$ pour une matrice non
n\'ecessairement sym\'etrique \`a partir d'une similitude
 $$ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{VJV}^{-1}  \Rightarrow
    \boldsymbol{A^m} = \boldsymbol{VJ}^m\boldsymbol{V}^{-1}, $$
provenant, par exemple, d'une forme de Jordan ou d'une forme de Schur.

\smallskip

Alors,  $ \|\boldsymbol{A}^m \| \leqslant
          \|\boldsymbol{V}\| \;
          \|\boldsymbol{J}^m\| \;
          \|\boldsymbol{V}^{-1}\| $.

\smallskip

Dans le cas le plus simple, si $\boldsymbol{A}$ admet une base de vecteurs
propres, $\boldsymbol{J}$ est la matrice diagonale des valeurs propres, et
$\boldsymbol{V}$ est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres:
$\boldsymbol{AV} = \boldsymbol{VJ}$. De plus, si $\boldsymbol{A}$ est
sym\'etrique, $\boldsymbol{V}$ est orthogonale, les normes de
              $\boldsymbol{V}$ et
              $\boldsymbol{V}^{-1}$ valent 1 et on retrouve
   $\|\boldsymbol{A}^m\| = (\max|\lambda(\boldsymbol{A})|)^m$.

\smallskip

Examinons les valeurs et vecteurs propres de $E_h$:
$$ \begin{bmatrix}         0           &       I     \\
                  -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} & \dfrac{2I -h^2 M_h}{1+\alpha}
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}   \boldsymbol{v} \\  \boldsymbol{u} \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix} \boldsymbol{u}  \\
      -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}  \boldsymbol{v}
  +\dfrac{2\boldsymbol{u} -h^2 M_h\boldsymbol{u}}{1+\alpha}
  \end{bmatrix}  =    \lambda
   \begin{bmatrix} \boldsymbol{v} \\   \boldsymbol{u}  \end{bmatrix}.
$$
Il faut donc $\boldsymbol{v} = \lambda^{-1} \boldsymbol{u}$,
 que $\boldsymbol{u}$ soit vecteur propre de $M_h$, et
$$ \lambda =
      -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} \lambda^{-1}
  +\dfrac{2 -h^2 \lambda(M_h)}{1+\alpha},$$
soit une \'equation du second degr\'e pour chacune des $2N$ valeurs
propres de $E_h$:
 $$ (1+\alpha)\lambda^2 -[2-h^2\lambda(M_h)]\lambda +1-\alpha=0. $$
Comme $\mu:=h^2\lambda(M_h) \in (0,4)$,
les valeurs propres \emph{r\'eelles} sont entre $-1$ et 1 (le trin\^ome
ci-dessus est positif en $\lambda=\pm 1$ et la demi-somme des
racines est $(1-\mu/2)/(1+\alpha) \in (-1,1)$).
Quant aux valeurs propres \emph{complexes}, elles ont toutes la m\^eme
valeur absolue (racine carr\'ee du produit)
$ [(1-\alpha)/(1+\alpha)]^{1/2} <1$.

\medskip

\noindent \emph{\textbf{Exercice.}} Pourquoi n'avoir pas pris
\begin{equation*}
\dfrac{ u_h(x, t+\Delta t) -u_h(x, t-\Delta t) }{2\Delta t} = \sigma
 \dfrac{ u_h(x+h, t)-2u_h(x,t)   +u_h(x-h,t) }{h^2}
\end{equation*}
au lieu de \eqref{duffran}?     Pr\'ecis\'ement pour une question
de stabilit\'e num\'erique: on obtient le trin\^ome
$\alpha\lambda^2 +\mu\lambda -\alpha$ qui vaut $-\mu < 0$ en
$\lambda=-1 \Rightarrow$ une racine $<-1$.

\smallskip

\noindent Revenons \`a \eqref{duffran},
$E_h$ \emph{\textbf{n'\'etant plus sym\'etrique}},
$|\lambda(E_h)|\leqslant 1$ ne suffit pas \`a assurer
$\|(E_h)^{N}\|\leqslant C$:

\noindent \emph{\textbf{Exercice.}} Montrez que, si $h=0$, $\alpha=0$,
    $\displaystyle{   (E_h)^{N} =
          \begin{bmatrix}   0      &   1 \\   -1  & 2 \end{bmatrix}^{N} =
   \begin{bmatrix} 1-N  & N \\ -N  & N+1 \end{bmatrix} . }$


\medskip
Soit $\boldsymbol{U}_h$ la matrice orthogonale des vecteurs propres de
$M_h$. Comme les vecteurs propres de $E_h$ sont de la forme
$\displaystyle{ \begin{bmatrix}\lambda^{-1}\boldsymbol{u} \\
       \boldsymbol{u} \end{bmatrix} }$, o\`u $\boldsymbol{u}$ est vecteur
 propre de $M_h$, la matrice des vecteurs propres de $E_h$ est
$\displaystyle{ \begin{bmatrix}\boldsymbol{U}_h\Lambda_1^{-1}  &
                               \boldsymbol{U}_h\Lambda_2^{-1}  \\
                     \boldsymbol{U_h} & \boldsymbol{U_h}
               \end{bmatrix} }$,
ou $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$ sont des matrices diagonales de valeurs propres
de $E_h$. Cette matrice ne repr\'esente plus une base de
$\mathbb{R}^{2N}$ si $\Lambda_1$ et $\Lambda_2$ ont des \'el\'ements communs
(valeurs propres multiples). De toute fa\c con, on ne peut contr\^oler
la borne de l'inverse si des valeurs propres sont presques confondues.

\smallskip


On s'en sort en effectuant une similitude avec une matrice orthogonale mettant
bien en \'evidence ce qui se passe. Ici, consid\'erons
 $\displaystyle{ \mathcal{U}_h = \begin{bmatrix}  \boldsymbol{U_h} & 0 \\
                               0            & \boldsymbol{U_h} \end{bmatrix} }$,
d'inverse
 $\displaystyle{  \begin{bmatrix}  \boldsymbol{U}_h' & 0 \\
                             0                & \boldsymbol{U}_h' \end{bmatrix} }$.

On a
$$ \mathcal{U}_h^{-1} E_h \mathcal{U}_h =
   \begin{bmatrix}  \boldsymbol{U}_h' & 0 \\
                   0                & \boldsymbol{U}_h' \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}  0  & 1 \\
             -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} & \dfrac{2-h^2 M_h}{1+\alpha}
    \end{bmatrix}
         \begin{bmatrix}  \boldsymbol{U}_h & 0 \\
                             0              & \boldsymbol{U}_h \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}  0  &  1 \\ -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} &
                        \dfrac{2-h^2\Lambda(M_h)}{1+\alpha}
   \end{bmatrix} ,
$$
o\`u on a utilis\'e $\boldsymbol{U}_h'\boldsymbol{U}_h=I$ et
                    $\boldsymbol{U}'_hM_h\boldsymbol{U}_h=\Lambda(M_h)$.

Soit $\mu_i$ la $i^{\text{\`eme}}$ valeur propre de $h^2 M_h$. Il suffit de
consid\'erer la $N^{\text{\`eme}}$ puissance de la matrice d'ordre 2 form\'ee
des $i$ et $i+N^{\text{\`emes}}$ ligne et colonne de
$\displaystyle{
   \begin{bmatrix}  0  &  1 \\ -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} &
                        \dfrac{2-h^2\Lambda(M_h)}{1+\alpha}
   \end{bmatrix}
 }$, soit
$$
   \begin{bmatrix}  0  &  1 \\ -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} &
                        \dfrac{2-\mu_i}{1+\alpha}
   \end{bmatrix}^{N} =
   \begin{bmatrix}  0  &  1 \\ -\lambda_1\lambda_2 &
                        \lambda_1+\lambda_2
   \end{bmatrix}^{N} =
   \begin{bmatrix}
           \dfrac{\lambda_2^{N-1} -
                  \lambda_1^{N-1} }{\lambda_2^{-1}-\lambda_1^{-1}}  &
     \dfrac{\lambda_2^{N} - \lambda_1^{N} }{\lambda_2-\lambda_1}  \\
     \dfrac{\lambda_2^{N} - \lambda_1^{N} }{\lambda_2^{-1}-\lambda_1^{-1}}  &
    \dfrac{\lambda_2^{N+1} - \lambda_1^{N+1} }{\lambda_2-\lambda_1}
 \end{bmatrix}
$$

On montre que cette matrice reste born\'ee pourvu que $\lambda_1$ et
$\lambda_2$ ne puissent s'approcher \emph{simultan\'ement} du
cercle unit\'e, ce qui est le cas si $\alpha$ reste $\geqslant$ une
constante $>0$, puisque le produit des racines vaut
$(1-\alpha)/(1+\alpha)$. On a
$$ \left|\dfrac{\lambda_2^N -\lambda_1^N}{\lambda_2-\lambda_1}\right|
  \leqslant 1 +|\lambda_1\lambda_2| +\dotsb +|\lambda_1\lambda_2|^{N-1}
  \leqslant \dfrac{1+\alpha}{\min(\alpha,1)}.
$$

Autre d\'emonstration, par th\'eor\`eme de Kreiss: voir plus loin.

On se risque parfois \`a prendre $\alpha\to$ lentement vers 0 quand
$h\to 0$ [Gustafsson].




\section{Equations hyperboliques. \label{chaphyper}}
%\chapter{Equations hyperboliques.
%\renewcommand{\mylmark}{Eq. hyperboliques}
%\thispagestyle{fancy}
\index{hyperbolique}

Les solutions d'\'equations hyperboliques sont caract\'eris\'ees
par une vitesse de propagation finie: $u(x,t)$ ne d\'epend que des
$u(y,0)$ avec $|y-x|\leqslant ct$.

\smallskip

{\Small
\begin{flushright}

  Je remarquai que d'une galaxie distante de cent millions\\
  d'ann\'ees-lumi\`ere se d\'etachait un carton. Dessus, il\\
  \'etait \'ecrit: JE T'AI VU. Je fis rapidement le calcul: la\\
  lumi\`ere de la galaxie avait mis cent millions d'ann\'ees \\
  pour me joindre, et comme de l\`a-bas ils voyaient ce qui se \\
  passait ici avec cent millions d'ann\'ees de retard, le moment\\
  o\`u ils m'avaient vu devait remonter \`a deux cents millions\\
  d'ann\'ees.\\
  I.~Calvino (\textsl{Cosmicomics})

\smallskip

  Nothing travels faster than the speed of light \\
  with the possible exceptions of bad news,\dots \\
 The people of \dots did try to build spaceships that were \\
 powered by bad news but \  etc. \  \ \ \ \\
  D.~Adams (\textsl{Mostly harmless})
\end{flushright}
}

\subsection{Caract\'eristiques, domaine  d'influence} \   \\

On a vu que les \'equations hyperboliques les plus simples tirent leur nom
du genre de l'\'equation des directions caract\'eristiques.

Rappelons que les lieux caract\'eristiques sont tels qu'on ne peut y
poser de condition de d\'epart d'un probl\`eme de Cauchy.

\smallskip

Ainsi, $\partial u/\partial t + c \partial u/\partial x=0$ d\'etermine $u$ \`a
partir de ses valeurs sur un arc $C$ \`a condition que $C$ ne soit nulle part
tangent \`a une droite $x-ct=$ constante: la d\'eriv\'ee tangentielle de $u$
serait justement $\text{grad}\; u\boldsymbol{\cdot} (c,1) =
       c\partial u/\partial x +  \partial u/\partial t=0$.  Ceci
 montre bien s\^ur que $u$ est constant sur ces caract\'eristiques:
 $u(x,t) = f(x-ct)$.  Si la condition initiale n'est donn\'ee que sur
l'intervalle $a\leqslant x \leqslant b$, il faut aussi donner
$u(a,t)$ si $c>0$; $u(b,t)$ si $c<0$:
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,3)
  \uput[0](0.8,2.5){$c>0$}     \uput[0](3.0,2.5){$c<0$}
 \psline{->}(0,0)(2,0)  \uput[90](1.9,0.2){$x$}
 \psline{->}(0,0)(0,2.5) \uput[0](0.0,2.5){$t$}
  \psline(0.2,0)(0.5,2)
  \psline(0.6,0)(0.9,2)
  \psline(1.0,0)(1.3,2)
  \psline(1.4,0)(1.7,2)
  \uput[270](0.5,0.0){$a$}  \uput[270](1.5,0.0){$b$}
 \psline{->}(2.50,0)(4.5,0)  \uput[90](4.4,0.2){$x$}
 \psline{->}(2.50,0)(2.50,2.5) \uput[0](2.5,2.5){$t$}
  \psline(3.0,0)(2.7,2)
  \psline(3.4,0)(3.1,2)
  \psline(3.8,0)(3.5,2)
  \psline(4.2,0)(3.9,2)
  \uput[270](3.0,0.0){$a$}  \uput[270](4.0,0.0){$b$}
 \psset{linewidth=0.075}
 \psline[linecolor=darkgray](0.5,0.0)(0.5,2.0)
 \psline[linecolor=darkgray](0.5,0.0)(1.5,0.0)
 \psset{linewidth=0.075}
 \psline[linecolor=darkgray](4,0.0)(4,2.0)
 \psline[linecolor=darkgray](3,0.0)(4,0.0)
%\pscurve[linecolor=darkgray](9,0.1)(10.5,0.22)(11,0.4)(12,2.0)(13,0.4)(13.5,0.22)(16,0.1)
\end{pspicture}

\medskip

On s'est habitu\'e \`a \'evaluer $u$ \`a partir de valeurs en $t=0$. Ici, on
a donc $f(x)=u(x,0)$ donn\'ee $\Rightarrow u(x,t) = u(x-ct,0)$. La valeur de
$u$ en $(x,t)$ ne d\'epend que de sa seule valeur initiale en $x-ct$.

%\newpage

\emph{\textbf{Quelques discr\'etisations}}  de $\partial u/\partial t=
  -c \partial u/\partial x$ sur $\{x_k=kh\}$.

\begin{enumerate}
 \item $\displaystyle{ \frac{ u(x_k,t+\Delta t)-u(x_k,t) }{\Delta t} =
    -c \frac{ u(x_k,t)-u(x_k-h,t) }{h}  }$. Upwind si $c>0$.
 \item $\displaystyle{ \frac{ u(x_k,t+\Delta t)-u(x_k,t) }{\Delta t} =
    -c \frac{ u(x_k+h,t)-u(x_k,t) }{h}  }$. Upwind si $c<0$.
 \item $\displaystyle{ \frac{ u(x_k,t+\Delta t)-u(x_k,t) }{\Delta t} =
    -c \frac{ u(x_k+h,t)-u(x_k-h,t) }{2h}  }$. Tr\`es mauvais!.
 \item $\displaystyle{ \frac{ u(x_k,t+\Delta t)-
    {\displaystyle{ \frac{ u(x_k+h,t)+u(x_k-h,t)}{2}}} }{\Delta t} =
    -c \frac{ u(x_k+h,t)-u(x_k-h,t) }{2h}  }$. Friedrichs.
\end{enumerate}

Tous ces sch\'emas sont consistants. Prenons le dernier, le plus
int\'eressant: en $x=x_k$, $E(\Delta t)u(x)$ vaut $u(x-c\Delta t)=
u-c\Delta t u' +((c\Delta t)^2/2)u'' \dotsb$ (Taylor). $E_h r_h u(x)$
est obtenu en isolant $u(x,t+\Delta t)$, donc vaut
$ [ (1-(c\Delta t/h)) u(x+h) +  (1+(c\Delta t/h)) u(x-h)]/2 =
u -c\Delta t u' +(h^2/2) u'' +\dotsb $, toujours par Taylor de
$u(x\pm h) = u \pm h u' +(h^2/2)u'' +\dotsb$.  L'\'ecart est donc
$O((\Delta t)^2+h^2) << \Delta t$ si $h=O(\Delta t)$.

Ce sont les propri\'et\'es de \emph{stabilit\'e num\'erique} qui
justifient ou non ces choix. Les matrices $E_h$ qui effectuent
$[u_0,\dotsc, u_N]^T(t+\Delta t) = E_h [u_0,\dotsc, u_N]^T(t)$ sont:

{\Small

\hspace*{-70pt}
\begin{tabular}{cccc}
 1  &  2  &  3  &  4 \\
%\hline
$\begin{bmatrix}
    1-\alpha  &      &     &    \\
     \alpha   & 1-\alpha&  &    \\
             &\ddots & \ddots&   \\
             &      &  \alpha &1-\alpha
 \end{bmatrix}
$
&
$\begin{bmatrix}
    1+\alpha  & -\alpha&     &    \\
             &\ddots & \ddots&   \\
             &       & 1+\alpha  & -\alpha  \\
             &       &           &1+\alpha
 \end{bmatrix}
$
&
$\begin{bmatrix}
    1     & -\alpha/2  &      &     \\
\alpha/2 & 1 & -\alpha/2&      \\
             &\ddots & \ddots& \ddots  \\
             &      &  \alpha/2   &1
 \end{bmatrix}
$
&
$\begin{bmatrix}
    0     & (1-\alpha)/2  &      &     \\
(1+\alpha)/2 & 0 & (1-\alpha)/2&      \\
             &\ddots & \ddots& \ddots  \\
             &      &  (1+\alpha)/2   &0
 \end{bmatrix}
$
\end{tabular}

} % end Small

o\`u $\alpha= \displaystyle{ \frac{c\Delta t}{h} }$.
Ces matrices ne sont pas sym\'etriques, il faut donc estimer leurs
puissances plut\^ot que les valeurs propres de la seule matrice $E_h$.

Une condition suffisante simple de stabilit\'e est que la somme
des valeurs absolues sur chaque ligne et chaque colonne soit
$\leqslant 1$ (voir chap.~\ref{stabnum}, p.~\pageref{stabnum}).

\begin{enumerate}
\item On tire que les puissances de la matrice
$E_h$ de la premi\`ere m\'ethode restent born\'ees si $\alpha$ et
$1-\alpha\geqslant 0$, donc si $c>0$ et $\Delta t\leqslant h/c$.
\item La deuxi\`eme m\'ethode est stable si $\alpha\leqslant 0$ et
$1+\alpha\geqslant 0$ donc si
 $c<0$ et $\Delta t\leqslant h/|c|$(Cf.\footnote{Voir
  \href{http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/num2/upwind.txt}
  {\texttt{http://www.math.ucl.ac.be/{}\~{}magnus/num2/upwind.txt}}  }).
\item La somme des valeurs absolues des \'el\'ements d'une ligne vaut
  maintenant $1+|\alpha|>1$. \\
  Par ailleurs, les valeurs propres de $\boldsymbol{I}+$ une matrice
  antisymm\'etrique (r\'eelle) sont de la forme $1+i\beta$, avec
  $\beta=O(|\alpha|)$.  \\
  La condition n\'ecessaire de von Neumann (voir chap.~\ref{stabnum})
  demande donc
 $(1+\alpha^2)^{1/2} =1+O(\Delta t)$, qui aboutit \`a $\Delta t =O(h^2)$.
\item La quatri\`eme m\'ethode, beaucoup plus \'el\'egante, retrouve
  la stabilit\'e num\'erique d\`es que $|\alpha|\leqslant 1$, donc si
  $\Delta t\leqslant h/|c|$.
\end{enumerate}

\smallskip

Le sch\'ema ``leap-frog'' (``saute-mouton'') \index{leapfrog}
\begin{equation} \label{leapfrog}
 \dfrac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t-\Delta t)}{2\Delta t}=
 -c\dfrac{u(x+h,t)-u(x-h,t)}{2h}
\end{equation}
est plus difficile \`a \'etudier. On a
\begin{equation} \label{leapfroge}
 E_h = \begin{bmatrix}  0  &  0  &  \dotsb   &  0  &|&
                          1  &  0  &  \dotsb   &  & 0      \\
                          0  &  0  &  \dotsb   &  0  &|&
                          0  &  1  &  \dotsb   &  & 0      \\
                        \vdots& \vdots  &  \dotsb   & \vdots  &|&
                             &     &  \ddots   &    &    \\
                          0  &  0  &  \dotsb   &  0  &|&
                          0  &  0  &  \dotsb   &  &   1      \\
                          --  &  --  &  --     &  --  &+&
                          --  &  --  &  --   &  --  & --    \\
                          1  &  0  &  \dotsb   &  0  &|&
                          0  &  -\alpha  &  \dotsb   &  &  0      \\
                          0  &  1  &  \dotsb   &  0  &|&
                          \alpha  & & -\alpha  &  \dotsb  &        \\
                            &    &  \ddots   &    &|&
                            &    & \ddots  &  \ddots    &     \\
                          0  &  0  &  \dotsb   &  1  &|&
                             &     &           &  \alpha  &  0
         \end{bmatrix} ,\end{equation}
qui sera discut\'e plus loin.

\bigskip

\noindent\textbf{Caract\'eristiques et domaine d'influence.}

La solution $u$ n'est pas toujours constante sur une caract\'eristique:
prenons
$$ \dfrac{\partial u}{\partial t} +a(x,t)
   \dfrac{\partial u}{\partial x} +b(x,t) u = F(x,t)
$$
Si on donne $u$ sur un arc de direction de tangente
$\vec{\tau}$ passant par $(x,t)$, on conna\^\i t
$\text{grad}\,u\boldsymbol{\cdot} \vec{\tau} =
 \tau_x \partial u/\partial x +
 \tau_t \partial u/\partial t $ et on peut reconstruire le gradient
de $u$ sauf si $\tau_x/\tau_t = a(x,t)$. Les courbes caract\'eristiques
sont donc $x=\phi(t)$ telles que $\phi'(t) = a(\phi(t),t)$.
Sur une telle courbe, on a
$$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{\partial u}{\partial x} \dfrac{dx}{dt}
                  +\dfrac{\partial u}{\partial t} =
                   \dfrac{\partial u}{\partial x} a(x,t)
                  +\dfrac{\partial u}{\partial t} =
   -b(\phi(t),t) u +F(\phi(t),t).
$$
On voit bien que $u(x,t)$ d\'epend de la valeur $u(\phi(0),0)$
en $t=0$ sur la caract\'eristique passant par $(x,t)$.


\medskip

\begin{minipage}[t]{3cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(3,3)
  \put(0,0){\vector(1,0){3.2}}  \put(3,0.1){$x$}
  \put(0,0){\vector(0,1){2.6}}  \put(0.1,2.5){$t$}
     \put(1.6,1.9){$(x,t)$}
   \thicklines
   \put(1.5,2){\line(-1,-2){1}}
   \put(1.5,2){\line(1,-2){1}}
 \Thicklines
   \put(0.5,0){\line(1,0){2}}
  \put(0.05,-0.3){$x-ct$} \put(1.85,-0.3){$x+ct$}
\end{picture}

\ \\

\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{5mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{12cm}
\  \par

\vspace*{-10pt}
\emph{\textbf{\'Equation des ondes}} $\partial^2 u/\partial t^2 =
   c^2 \partial^2 u/\partial x^2$.  On a $u(x,t) = f(x-ct) +
   g(x+ct)$. On donne $u$ et $\partial u/\partial t$ en $t=0$:
 $f+g=u(x,0)$, $c(g'-f')=\partial u(x,0)/\partial t  \Rightarrow
  f'$ et $g' = [\partial u(x,0)/\partial x  \mp
                \partial u(x,0)/\partial (ct)]/2$, \\
$  f$ et $g = [ u(x,0)  \mp
             \int^x   \partial u(x,0)/\partial (ct)]/2$,
$$ u(x,t) = \dfrac{u(x-ct,0)}{2}
          +\dfrac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct}
                      \partial u(\xi,0)/\partial t\; d\xi
                 +\dfrac{u(x+ct,0)}{2}
$$
\end{minipage}

\vspace*{-9pt} \noindent
montre bien que $u(x,t)$ ne d\'epend que des donn\'ees
initiales dans $[x-ct, x+ct]$: c'est un exemple de
\emph{\textbf{domaine d'influence}}, d\'etermin\'e par les deux
caract\'eristiques passant par $(x,t)$. N.B.: si $\partial u/\partial t
=0$ en $t=0$, la solution est simplement
$[u(x-ct,0)+u(x+ct,0)]/2$.

\smallskip

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(3,2.5)
  \psline(0,2)(3,2)  \uput[90](3,2){$x$}
  \psline(0,2)(0,2.5) \uput[0](0,2.5){$u$}
 \psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](0,2)(1.5,2.5)(3,2)
  \psline(0,0)(3,0)  \uput[90](3,0){$x$}
  \psline(0,0)(0,0.5) \uput[0](0,0.5){$u$}
 \psline[linecolor=darkgray,linewidth=0.03](0,0)(1,0.33)(2,0.33)(3,0)
\end{pspicture}
}
\noindent\textbf{Exemple. Une corde de guitare} est l\^ach\'ee
 avec le d\'eplacement $u(x,0)=u_0(1-2|x|/L)$ et $\partial u/\partial t
=0$ en $t=0$. On a $\rho \partial^2 u/\partial t^2 =
T \partial^2 u/\partial x^2 $
\footnote{Exemple communiqu\'e par J.~Meinguet.}.
La solution au temps $t$ est donc
$u_0(1-|x-ct|/L-|x+ct|/L)= u_0(1-2ct/L)$ tant que $|x|\leqslant ct$,
o\`u $c=\sqrt(T/\rho)$. Que se passe-t-il quand $t> L/(2c)$?
\picskip{-1}

\medskip

\begin{flushright}

\textsl{Jadis on nommait ``influence'' un liquide qui} \\
\textsl{s'\'ecoulait des astres sur la t\^ete des hommes} \\
\textsl{et les ondoyait dans la naissance.} \\
 P.~Quignard, \textsl{Petits trait\'es}, LVI$^{\text{e}}$ trait\'e \qquad\qquad

\end{flushright}

\medskip

\noindent\textbf{D\'efinition.} \textsl{ Soit un probl\`eme  d'\'evolution
bien pos\'e
dans $\mathbb{R}^{n-1}\times [0,T]$. Soit $t_2>t_1$. Le \textbf{domaine
d'influence} de $(x,t_2)$ en $t=t_1$ est l'ensemble des $(\chi,t_1)$ o\`u
la donn\'ee de $u$ et des d\'eriv\'ees temporelles de $u$ suffit \`a
d\'eterminer $u(x,t)$.}


{\Small

\medskip
Pour
\begin{equation} \label{teleg2}
   \dfrac{\partial u}{\partial t} -K \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}
                     +\dfrac{K}{c^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} =0,
\end{equation}
(\'equation des t\'el\'egraphistes, $K=1/(\gamma r)$,
  $K/c^2 = \ell/r \Rightarrow c=1/\sqrt{\gamma\ell}$), on pourrait encore
donner une expression (compliqu\'ee, avec des fonctions de Bessel) montrant
comment $u(x,t)$ d\'epend des donn\'ees initiales, mais voici une autre fa\c con
de faire (Courant \& Hilbert, vol.~2):

\emph{Si $u$ est une solution $\mathscr{C}^2$ de \eqref{teleg2}, et si $u$ et
$\partial u/\partial t$ sont nulles dans $[x-ct,x+ct]$ au temps $t=0$, alors
$u(x,t)=0$.}

En effet, multiplions \eqref{teleg2} par $2\partial u/\partial t$ et
int\'egrons sur le triangle $T$ de sommets $(x-ct,0)$, $(x+ct,0)$ et
$(x,t)$ dans le plan $(\chi,\tau)$:
\begin{equation*}\begin{split}
 0 &= 2\dfrac{\partial u}{\partial \tau} \left[
   \dfrac{\partial u}{\partial \tau} -K \dfrac{\partial^2 u}{\partial \chi^2}
                     +\dfrac{K}{c^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial \tau^2}
             \right] \\
     &= 2\left( \dfrac{\partial u}{\partial\tau}\right)^2
      -2K\dfrac{\partial}{\partial \chi} \left(
           \dfrac{\partial u}{\partial\tau}\;\dfrac{\partial u}{\partial\chi}
        \right)
      +K\dfrac{\partial}{\partial \tau} \left( \left(
           \dfrac{\partial u}{\partial\chi}\right)^2
        \right)
      +\dfrac{K}{c^2}\dfrac{\partial}{\partial \tau} \left( \left(
           \dfrac{\partial u}{\partial\tau}\right)^2
        \right)
\end{split}\end{equation*}
et on int\`egre sur tout le triangle $T$. Les int\'egrales des trois derniers
termes se r\'esolvent imm\'ediatement en int\'egrales sur la fronti\`ere de $T$:
$$
0 = 2\int_T \left(\dfrac{\partial u}{\partial\tau}\right)^2d\chi d\tau
   -2K \int_0^t \left[ \dfrac{\partial u}{\partial \tau}
                       \dfrac{\partial u}{\partial \chi}
               \right]_{\chi_-}^{\chi_+} d\tau
 +K \int_{x-ct}^{x+ct} \left[
                  \left(\dfrac{\partial u}{\partial \chi}\right)^2
   +\dfrac{1}{c^2}\left(  \dfrac{\partial u}{\partial \tau} \right)^2
               \right]_0^{\tau_+} d\chi,
$$
o\`u $\chi_\pm = x\pm c(t-\tau)$ sont les abscisses de $\partial T$ en $t=\tau$, et
$\tau_+=t-|x-\chi|/c$ l'ordonn\'ee correspondant \`a $\chi$. Soit $s$
l'abscisse curviligne le long de $\partial T$, on a
$ d\chi = c|d\tau| = ds/\sqrt{1+c^{-2}}$ (on ne s'occupe pas de la partie
$\tau=0$, puisque $u$ et ses d\'eriv\'ees y sont nulles), on a enfin
$$ 0 =
 2\int_T \left(\dfrac{\partial u}{\partial\tau}\right)^2d\chi d\tau
 +\dfrac{K}{\sqrt{1+c^{-2}}} \int_{\partial T} \left[
                  \dfrac{\partial u}{\partial \chi} \pm
   \dfrac{1}{c}  \dfrac{\partial u}{\partial \tau}
               \right]^2 ds.
$$
$u$ est donc nulle dans tout $T$, donc en $(x,t)$: les valeurs initiales
hors de $[x-ct,x+ct]$ n'ont aucune influence sur $u(x,t)$. \qed

\smallskip

Remarque: si $c\to\infty$, \eqref{teleg2} tend vers l'\'equation de la
chaleur, \'equation \emph{\textbf{parabolique}}: les caract\'eristiques ne
rencontrent plus l'axe des $x$ (qui est en fait une courbe caract\'eristique!),
la vitesse de propagation devient infinie (n'importe quel $u(\chi,0)$ a une
influence sur $u(x,t)$, $\forall t>0$).

} % end Small

\medskip



%\newpage

\textbf{Syst\`emes hyperboliques sym\'etriques.}

\'Equation pour $u(t, x_1,\dotsc, x_{n-1})$:
\begin{equation}  \label{hypsym}
 \dfrac{\partial u}{\partial t} =
  \sum_1^{n-1} A_j \dfrac{\partial u}{\partial x_j},
\end{equation}
$u\in\mathbb{R}^m$, $A_j$ est une matrice \emph{sym\'etrique} r\'eelle
(ou hermitienne complexe) d'ordre $m$.

\medskip

\emph{\textbf{Exemples}} \\
\emph{\textbf{\'equation des ondes}}
$$ n=2: \frac{\partial}{\partial t}
    \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix} 0 & c \\ c & 0 \end{bmatrix}
        \frac{\partial}{\partial x}
    \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} \Rightarrow
        \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =
        c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.
$$
$$ n=3: \frac{\partial}{\partial t}
    \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix} =
    \begin{bmatrix} 0 & c \\ c & 0 \end{bmatrix}
        \frac{\partial}{\partial x}
    \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}
  + \begin{bmatrix} c & 0 \\ 0 & -c \end{bmatrix}
        \frac{\partial}{\partial y}
    \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}  \Rightarrow
        \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} =
        c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
       +c^2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}.
$$

{\Small \emph{\textbf{\'equations de Maxwell}}
$\mu \partial H/\partial t = -\text{\bf rot}\,E$,
$\quad \varepsilon \partial E/\partial t = \text{\bf rot}\,H$:
$$   \hspace*{-40pt}
          \sqrt{\mu\varepsilon}\;
  \dfrac{\partial }{\partial t}
  \begin{bmatrix}
     u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6
   \end{bmatrix}
   =
   \begin{bmatrix}
         &     &    &     &      &      \\
         &     &    &     &      &   1  \\
         &     &    &     &  -1  &      \\
         &     &    &     &      &      \\
         &     & -1 &     &      &      \\
         &  1  &    &     &      &
   \end{bmatrix}
  \dfrac{\partial }{\partial x_1}
  \begin{bmatrix}
     u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6
   \end{bmatrix}
   +
   \begin{bmatrix}
         &     &    &     &      &  -1  \\
         &     &    &     &      &      \\
         &     &    &  1  &      &      \\
         &     &  1 &     &      &      \\
         &     &    &     &      &      \\
     -1  &     &    &     &      &
   \end{bmatrix}
  \dfrac{\partial }{\partial x_2}
  \begin{bmatrix}
     u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6
   \end{bmatrix}
   +
   \begin{bmatrix}
         &     &    &     &  1   &      \\
         &     &    & -1  &      &      \\
         &     &    &     &      &      \\
         &  -1 &    &     &      &      \\
       1 &     &    &     &      &      \\
         &     &    &     &      &
   \end{bmatrix}
  \dfrac{\partial }{\partial x_3}
  \begin{bmatrix}
     u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ u_4 \\ u_5 \\ u_6
   \end{bmatrix}
$$
o\`u
 $[u_1,  u_2,  u_3, u_4, u_5, u_6] =
 [\sqrt{\mu} H_1, \sqrt{\mu} H_2, \sqrt{\mu} H_3,
   \sqrt{\varepsilon} E_1, \sqrt{\varepsilon} E_2, \sqrt{\varepsilon} E_3]$,\\
(avec \textbf{div}$\, E =$ \textbf{div}$\, H=0$), vitesse $c=1/\sqrt{
 \varepsilon\mu}): n=4, m=6$.

} % end Small

\smallskip

\noindent\textbf{Hyperplans caract\'eristiques.}

\begin{minipage}[t]{4cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(4,3.5)
  \put(1,0){\vector(0,1){3.5}}  \put(1.1,3.5){$t$}
  \drawline[1](1,2)(4,2)(2.5,0.5)(-0.5,0.5)(1,2)
   \put(1.1,2.1){$t''$}  \put(2.1,2.8){$(t',x')$}
   \put(2,3){\vector(1,1){0.75}}   \put(2.9,3.6){$\nu$}
  \drawline[1](2,3)(3,3.5)(3.75,2)(0.75,0.5)(0,2)(2,3)(2.75,1.5)
  \drawline[1](2,3)(1.25,1.5)
 \dashline{0.15}(2,3)(2,1.5)
 \Thicklines
%  \put(0.5,0){\line(1,0){2}}
  \drawline(1.25,1.5)(1.5,1.4)(1.75,1.3)(2,1.3)(2.25,1.35)(2.5,1.4)(2.75,1.5)
  \dashline{0.15}(1.25,1.5)(1.5,1.6)(1.75,1.7)(2,1.7)(2.25,1.65)(2.5,1.6)(2.75,1.5)
\end{picture}

\ \\

\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{5mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{11.5cm}
\  \par

\vspace*{-10pt}

Ce sont des hyperplans d'\'equation $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n-1}
\nu_i x_i +\nu_0 t= \boldsymbol{\nu}_x\boldsymbol{\cdot x}+\nu_0 t=
}$ constante, tels que toute fonction de
   $\boldsymbol{\nu}_x\boldsymbol{\cdot x}+\nu_0 t$ (\emph{\textbf{onde
plane}})   soit solution de \eqref{hypsym} homog\`ene:
$u(t,\boldsymbol{x}) = \varphi(
   \boldsymbol{\nu}_x\boldsymbol{\cdot x}+\nu_0 t) \boldsymbol{u}
\Rightarrow$
 $$ \det\left[ \nu_0 I  - \sum_{j=1}^{n-1} \nu_j A_j\right]=0. $$
\end{minipage}

\emph{Les hyperplans caract\'eristiques sont donc de normale}
$(\nu_0, \nu_1,\dotsc, \nu_{n-1})$ \emph{telle que}
 $$  \nu_0 = \lambda\left( \sum_{j=1}^{n-1} \nu_j A_j \right). $$
\`A chaque direction $\boldsymbol{\nu}_x =
(\nu_1,\dotsc, \nu_{n-1})$ de $\mathbb{R}^{n-1}$
correspond donc $m$ hyperplans d'\'equations
$ (x-x',\boldsymbol{\nu}_x) +(t-t')\nu_0=0$, o\`u $\nu_0$ est
une des valeurs propres \emph{supra}. Ne prenons que l'hyperplan
correspondant \`a la plus grande valeur propre de
$\sum_1^{n-1} \nu_j A_j$ et consid\'erons toutes les directions
$\boldsymbol{\nu}_x$. Les plans entourent un \emph{\textbf{c\^one}}
$\boldsymbol{C}$ de sommet $(t',x')$.

\smallskip

\subsection{\label{influcone}Th\'eor\`eme} \textsl{Le domaine d'influence de $(t',x')$ en
$t=t''<t'$ est contenu dans le c\^one $\boldsymbol{C}$. }

En effet, r\'esolvons \eqref{hypsym} pour deux conditions initiales
$\tilde{u}(x)$ et $\hat{u}(x)$ en $t=t''$ et montrons qu'on obtient la
m\^eme valeur en $(t',x')$ si $\tilde{u}$ et $\hat{u}$ co\"\i ncident
dans $\boldsymbol{C}$. Par lin\'earit\'e de \eqref{hypsym}, il suffit de
montrer que $u(t',x')=0$ si $u(t'',x) = \tilde{u}(x) -\hat{u}(x) =0$ dans
$\boldsymbol{C}\bigcap \{t=t''\}$. En fait, on va montrer que $u=0$ dans
tout l'int\'erieur $\boldsymbol{D}$
de $\boldsymbol{C}$ pour $t''\leqslant t\leqslant t'$:
multiplions \eqref{hypsym} par $2 u^T$ et int\'egrons
dans tout l'int\'erieur du c\^one,
\begin{equation*} \begin{split}
  0&= \int_{\boldsymbol{D}}  2u^T \left[
 \dfrac{\partial u}{\partial t} -
  \sum_1^{n-1} A_j \dfrac{\partial u}{\partial x_j} \right]\; dtdx  \\
   &= \int_{\boldsymbol{D}}   \left[
 \dfrac{\partial u^T u}{\partial t} -
  \sum_1^{n-1} \dfrac{\partial u^T A_j u}{\partial x_j} \right]\; dtdx  \\
   &= \int_{\boldsymbol{D}}   \textbf{ div }\,
     \begin{bmatrix}
          u^T u \\  -u^T A_1 u \\  \vdots  \\ -u^T A_{n-1} u
     \end{bmatrix}\; dtdx \\
  &= \int_{\partial\boldsymbol{D}=\boldsymbol{C}}  (
        u^Tu \nu_0 - u^T A_1 u \nu_1 - \dotsb - u^T A_{n-1} u \nu_{n-1}
            )\;dS \\
  &= \int_{\boldsymbol{C}}
        u^T\left[ \nu_0 I -\sum_1^{n-1} \nu_j A_j \right] u\; dS,
\end{split}\end{equation*}
on voit appara\^\i tre une matrice semi d\'efinie positive, puisque
 $\displaystyle{  \nu_0 =
 \lambda_{\max}\left( \sum_{j=1}^{n-1} \nu_j A_j \right)}$
sur chaque g\'en\'eratrice du c\^one. Prenons m\^eme un c\^one un peu plus
grand, avec $\nu_0 > $ cette derni\`ere valeur propre: on doit alors avoir
$u=0$ sur tout le c\^one. \qed

\medskip

On voit d'ailleurs l'importance de la notion d'hyperplan
caract\'eristique dans la repr\'esentation des solutions de
\eqref{hypsym} en \emph{\textbf{superposition d'ondes planes}}:
$$ u(x_1,\dotsc, x_{n-1},t) = \int_{\|\boldsymbol{\nu}\|=1}
  \left[\sum_{p=1}^m F_p(\boldsymbol{\nu\cdot x}-t\lambda_p(\boldsymbol{\nu})
         \boldsymbol{v}^{(p)}(\boldsymbol{\nu})\right]\,d\boldsymbol{\nu},
$$
o\`u
 $\lambda_p(\boldsymbol{\nu})$ et
 $\boldsymbol{v}^{(p)}(\boldsymbol{\nu})$, $p=1,\dotsc,m$
sont les valeurs et vecteurs propres de $\displaystyle{\sum_{j=1}^m
  \nu_j A_j}$, et o\`u les $F_p$ sont des fonctions scalaires
arbitraires.

\medskip

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
\psline{->}(0,-0.25)(0,4) \uput[0](0,4){$t$}
\psline(-1,2.25)(1,4.25)(4,4.25)(2,2.25)(-1,2.25)
\uput[180](0,3.25){$t=t'$}
\psline(-1,0)(1,2)(4,2)(2,0)(-1,0)
\psline{->}(0,0)(3.5,0) \uput[90](3.5,0){$x_i$}
\uput[180](0,1){$t=t''$}
\psline(-0.25,0.5)(0.55,1.3)(3.05,1.3)(2.25,0.5)(-0.25,0.5)
\uput[315](0.75,0.6){$2\ell_i$}
\psline[linewidth=0.06](-0.25,0.5)(0.55,1.3)
\psline[linewidth=0.06](3.05,1.3)(2.25,0.5)
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm,linewidth=0.02](1.4,0.9)(1.4,3.15)
\uput[0](1.4,0.9){$x'$}
\psline(-0.25,0.5)(1.4,3.15)
\psline(2.25,0.5)(1.4,3.15)
\psline(3.05,1.30)(1.4,3.15)
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](0.55,1.3)(1.4,3.15)
\end{pspicture}
}
Nous n'aurons besoin que d'une version simplifi\'ee du
 th\'eor\`eme ci-dessus:

\textsl{Soit $t''<t'$.
La valeur $u(t',x')$ d'une solution de \eqref{hypsym} ne
 d\'epend que des valeurs $u(t'',y)$ dans l'hyperrectangle}   \\
$|y_i-x'_i|\leqslant \ell_i:=(t'-t'')|\lambda(A_i)|_{\text{max}}\;,\; i=1,\dotsc,n-1$.

En effet, consid\'erons la pyramide construite sur la base
indiqu\'ee (en $t=t''$, et on prend $\ell_i+\epsilon$),
 et de sommet $(t',x')$. L'int\'egrale sur la surface lat\'erale de
la pyramide est une somme de $2(n-1)$ integrales sur des
faces d'\'equations $(\ell_i+\epsilon)(t-t')\pm(t'-t'')(x_i-x'_i)=0$.
La direction normale est donn\'ee par le gradient, et nous devons
donc \'evaluer l'int\'egrale de la forme quadratique
$u^T[ (\ell_i+\epsilon)I\mp (t'-t'')A_i]u$ sur ces faces, o\`u
les matrices
$(\ell_i+\epsilon)I\mp (t'-t'')A_i$ ont des valeurs propres
$\ell_i+\epsilon\mp(t'-t'')\lambda(A_i)>0$ et
 sont donc d\'efinies positives.

%\newpage

\subsection{Stabilit\'e num\'erique} \  \\

On consid\`ere l'op\'erateur solution discret
\begin{equation} \label{Ehhyp}
  (E_h u_h)(t,x)= \sum_{\boldsymbol{\beta}} e_{\boldsymbol{\beta}}
         u_h(t,x+\boldsymbol{\beta h})
\end{equation}
o\`u $\boldsymbol{\beta}\in\mathbb{Z}^{n-1}$,
     $\boldsymbol{h}\in\mathbb{R}^{n-1}$.

\smallskip
Par \emph{\textbf{exemple}}, $u_h(t,x)+c\Delta t[u_h(t,x+h)- u_h(t,x)]/h$.

\smallskip

On s'attend bien s\^ur \`a trouver $E_h$ dans un sch\'ema \emph{\textbf{consistant}}
avec une EDP, par exemple, pour \eqref{hypsym}, $E_h$ devra \^etre proche de
$E(\Delta t)$, lui-m\^eme proche (par Taylor) de
 $$  I +\Delta t \left( \sum_{j=1}^{n-1} A_j \dfrac{\partial}{\partial x_j}
       \right),
  $$
 par exemple,
 $$  (E_h u_h)(t,x) =
   u_h(t,x) +\Delta t \left(
       \sum_{j=1}^{n-1} A_j [u_h(t,x+h_j) -u_h(t,x)]/h_j
       \right),
  $$
o\`u $x+h_j$ d\'esigne $(x_1,\dotsc, x_{j-1}, x_j+h_j, x_{j+1},\dotsc ,x_{n-1})$,
ou encore
 $$  (E_h u_h)(t,x) =
   u_h(t,x) +\Delta t \left(
       \sum_{j=1}^{n-1} A_j [u_h(t,x+h_j) -u_h(t,x-h_j)]/(2h_j)
       \right).
  $$
Ces op\'erateurs ont de m\'ediocres propri\'et\'es de stabilit\'e
num\'erique. Un premier exemple int\'eressant est
\emph{\textbf{l'op\'erateur de Lax-Friedrichs}}
\begin{equation} \label{EhFriedrichs}  \hspace*{-22pt}
 u_h(t+\Delta t,x)=    (E_h u_h)(t,x) =
       \sum_{j=1}^{n-1} \left( \dfrac{u_h(t,x+h_j) +u_h(t,x-h_j)}{2(n-1)} +
     \Delta t A_j \dfrac{u_h(t,x+h_j) -u_h(t,x-h_j)}{2h_j}
       \right).
\end{equation}

\smallskip
\noindent \textbf{Th\'eor\`eme (Friedrichs).}\footnote{K.~Friedrichs,
 Symetric hyperbolic linear differential equations, \textsl{Comm.
  Pure Appl.\ Math.} \textbf{7} (1954) 345-392, =\textsl{\OE uvres}.
   Cf. aussi
% V.~ Thom\'ee, Topics in stability for partial difference equations,
% pp.~41-91 \emph{in} \textsl{Symposium on the Theory of Numerical
% Analysis, Dundee/Scotland 1970}, J.~Ll Morris (editor), \textsl{Springer
% Lect.\ Notes Math.} \textbf{193}, Springer, 1971.
V. Thomee,
   Stability theory for partial difference operators,
 \textsl{SIAM Rev}. \textbf{11} (1969)  152-195.} \textsl{Si
  les matrices
$e_{\boldsymbol{\beta}}$ de \eqref{Ehhyp} sont hermitiennes, semi
d\'efinies positives, et de somme $I$,
 $$  \|E_h \|\leqslant 1, $$
et \eqref{Ehhyp} est donc \emph{\textbf{num\'eriquement stable}}.}

En effet, soit $\boldsymbol{u}$ un vecteur d'ordre $Nm$ de
valeurs $u(x)$ pour tous les $x$ o\`u sont d\'efinies les fonctions
de $U_h$. $\|E_h\| = \max \|E_h \boldsymbol{u}\|$ sur
$\boldsymbol{u}\in \mathbb{R}^{Nm}$ avec $\|\boldsymbol{u}\|\leqslant 1$,
$\|E_h\boldsymbol{u}\|^2 = \boldsymbol{v}^T E_h\boldsymbol{u}$ avec
$\boldsymbol{v} = E_h\boldsymbol{u}$. Ensuite, \\
$\displaystyle{  \boldsymbol{v}^T E_h \boldsymbol{u} =
  \sum_x \sum_{\beta} v^T(x) e_\beta u(x+\beta h) }$,\\
$\displaystyle{  v^T(x) e_\beta u(x+\beta h) \leqslant
\sqrt{ v^T(x) e_\beta v(x) }\;
\sqrt{ u^T(x+\beta h) e_\beta u(x+\beta h) }  \;}$\footnote{Si $e$
semi d\'efinie positive, $v^T e u = v^T e^{1/2} e^{1/2} u =
 (e^{1/2} v)^T e^{1/2} u \leqslant \|e^{1/2} u\|\; \| e^{1/2} v\|\
\text{(Cauchy-Schwarz)\ } =\sqrt{u^T eu}\, \sqrt{v^T ev}$.}, \\
donc
$\displaystyle{  \boldsymbol{v}^T E_h \boldsymbol{u} \leqslant
  \sum_x \sum_{\beta}
\sqrt{ v^T(x) e_\beta v(x) }\;
\sqrt{ u^T(x+\beta h) e_\beta u(x+\beta h) } }$\\
$\displaystyle{ \  \leqslant \sqrt{ \sum_x \sum_\beta v^T(x) e_\beta v(x) }
     \sqrt{ \sum_x \sum_\beta u^T(x+\beta h) e_\beta u(x+\beta h) } }$
 (Cauchy Schwarz), \\
$\leqslant \sqrt{\boldsymbol{v}^T \boldsymbol{v} }\;
         \sqrt{\boldsymbol{u}^T \boldsymbol{u} }\; $
(par $\sum_\beta e_\beta \leqslant I$ et par translation sur $x$ pour
les sommes en $u(x+\beta h)$),

enfin, $\|E_h \boldsymbol{u}\|^2 = \boldsymbol{v}^T E_h \boldsymbol{u}
\leqslant \|\boldsymbol{v}\|\; \|\boldsymbol{u}\| =
    \|E_h \boldsymbol{u}\|\; \|\boldsymbol{u}\| \Rightarrow
\|E_h\|\leqslant 1$. \qed

\medskip
Reprenons maintenant le sch\'ema de Friedrichs \eqref{EhFriedrichs}, on voit que
$\displaystyle{e_\beta = \dfrac{I}{2(n-1)} \pm \Delta t \dfrac{A_j}{2h_j}  }$,
sur les $\beta = [0,\dotsc,0, \pm 1,0,\dotsc, 0]$. La condition de
semi d\'efinition positive est   \\
$\displaystyle{ \lambda\left(
e_\beta = \dfrac{I}{2(n-1)} \pm \Delta t \dfrac{A_j}{2h_j} \right)
  \geqslant 0}$, donc
\begin{equation} \label{stabFriedrichs}
     |\lambda(A_j)|\, \Delta t \leqslant \dfrac{h_j}{n-1}
\end{equation}
pour toutes les valeurs propres de $A_j$, $j=1,2,\dotsc, n-1$.

\medskip

\noindent\textbf{Domaine d'influence des \'equations aux diff\'erences.}

Un sch\'ema (explicite) aux diff\'erences montre imm\'ediatement
 quelles valeurs $u_h(t,x+\beta h)$ entrent dans la d\'etermination de
$u_h(t+\Delta t,x)$.


\begin{minipage}[t]{4cm}
\ \\
\setlength{\unitlength}{1cm}
\begin{picture}(4,3.5)
  \put(0,2){\vector(1,0){4}}  \put(3.8,2.1){$x_1$}
  \put(2,0){\vector(0,1){3.5}}  \put(2.1,3.3){$x_2$}
  \drawline[1](3.7,2)(2,3)(0.3,2)(2,1)(3.7,2)
 \Thicklines
  \drawline[1](2.85,2.5)(1.15,2.5)(1.15,1.5)(2.85,1.5)(2.85,2.5)
\end{picture}

\ \\

\end{minipage}
 \begin{minipage}[t]{5mm}

 \ \par %\rule{0.2mm}{250pt}
 \end{minipage}
\begin{minipage}[t]{11.5cm}
\  \par

\vspace*{-10pt}

Ainsi, dans \eqref{EhFriedrichs}, $u_h(t+\Delta t,x')$ d\'epend des $2(n-1)$
valeurs $u_h(t, x'\pm h_j [0,\dotsc, 0,1,0,\dotsc, 1])$ (sommets du losange
dans la figure ci-contre).        \\
D'autre part, par le th\'eor\`eme \ref{influcone}, le domaine d'influence
au temps $t''=t$ de $u(t',x')$, $t'=t+\Delta t$, est contenu dans les r\'egions
limit\'ees par
$\{x: \nu_0(t''-t') +\sum_j \nu_j (x_j -x'_j) = -\Delta t \lambda(
\sum_j \nu_j A_j) +\sum_j \nu_j (x_j-x'_j) =0\}$, en particulier dans le
\end{minipage}

\vspace*{-10pt}\noindent
rectangle (pav\'e) d\'elimit\'e par les hyperplans
$x_j -x'_j = \Delta t \lambda(A_j)$, $j=1,\dotsc, n-1$.

Ce lieu est bien dans le losange num\'erique
 $$  \sum_{j=1}^{n-1}  \dfrac{|x_j -x'_j|}{h_j}  \leqslant 1 $$
si \eqref{stabFriedrichs} est v\'erifi\'e, puisque
 $$  \sum_{j=1}^{n-1}  \dfrac{|x_j -x'_j|}{h_j}
    \leqslant
   \sum_{j=1}^{n-1}  \dfrac{\Delta t|\lambda(A_j)|}{h_j}
\leqslant 1.$$

\smallskip
\index{CFL}
On a donn\'e ainsi un exemple de la \emph{\textbf{condition de
Courant-Friedrichs-Lewy}}\footnote{R.~Courant, K.O.~Friedrichs, H.~Lewy,
 \"Uber die partiellen
Differenzengleichungen der mathematischen Physik, \textsl{Math.\ Ann.}
\textbf{100} (1928) 32-74 = On the partial difference equations of mathematical physics,
\textsl{IBM J.\ Research Dev.} \textbf{11} (1967) 215-234 =
\textsl{Kurt Otto Friedrichs, Selecta}, vol.1, Birk\"auser, 1986, 53-95 et 96-115. \\
P.D.~Lax, Hyperbolic difference equations: a review of the
 Courant-Friedrichs-Lewy paper in the light of recent developments,
\textsl{IBM J.\ Research Dev.} \textbf{11} (1967) 235-238 =
\textsl{Kurt Otto Friedrichs, Selecta}, vol.1, Birk\"auser, 1986, 49-52. \\
Cf. aussi J.M.~Sanz-Serna, M.N.~Spijker, Regions of stability, equivalence
theorems and the Courant-Friedrichs-Lewy condition, \textsl{Numer.\ Math.}
\textbf{49} (1986) 319-329.}: \emph{Un sch\'ema aux diff\'erences est
num\'eriquement stable si le domaine d'influence de l'\'equation
diff\'erentielle au temps $t$ d'une valeur au temps $t+\Delta t$ est
contenu dans la fermeture convexe du domaine d'influence num\'erique}.

\smallskip

{\Small L'un des domaines est contenu dans l'autre: comment ne pas se
tromper? Pour une discr\'etisation spatiale donn\'ee, on am\'eliore toujours
la stabilit\'e en diminuant $\Delta t$. Le c\^one de l'\'equadiff ne change pas
d'inclinaison et d\'ecoupe donc une r\'egion de plus en plus petite au temps
$t$; le c\^one num\'erique d\'elimite toujours la m\^eme r\'egion dans l'ensemble
des points de discr\'etisation spatiale: le domaine num\'erique ne varie pas.}

\medskip

Augmentation de la pr\'ecision: Lax- Wendroff.
On approche au second ordre
\begin{equation*} \begin{split}
 E(h) &= I+\Delta t \frac{\partial}{\partial t}
           +\frac{\Delta t^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} +\dotsb \\
      &= I+\Delta t \left(\sum_{j=1}^{n-1}A_j\frac{\partial}{\partial x_j}
                    \right)
 +\frac{\Delta t^2}{2} \left(\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}
 A_iA_j\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}\right) +\dotsb
\end{split}\end{equation*}
(pour des matrices $A_j$ constantes) par
\begin{equation*} \begin{split}
 E_h     &= I+\Delta t \left(\sum_{j=1}^{n-1}A_j \Delta_j
                    \right)
 +\frac{\Delta t^2}{2} \left(\sum_{j=1}^{n-1}\sum_{i=1}^{n-1}
 A_iA_j \Delta_i\Delta_j\right)
\end{split}\end{equation*}
o\`u $\Delta_i$ est l'op\'erateur de diff\'erence partielle divis\'ee
$$ (\Delta_i u_h)(\boldsymbol{x}) =\frac{1}{2h_i}
  u_h\left( \boldsymbol{x} +h_i \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
                       \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \right)
   -\frac{1}{2h_i}
  u_h\left( \boldsymbol{x} -h_i \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1
                       \\ 0\\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} \right).
$$


\medskip

Sch\'ema \`a 3 niveaux de temps: ``leap-frog'', ou ``saute-mouton''.
$$
   \frac{u_h(\boldsymbol{x},t+\Delta t) -
        u_h(\boldsymbol{x},t-\Delta t) }{2\Delta t} =
            \Delta t \left(\sum_{j=1}^{n-1}A_j \Delta_j u_h(\boldsymbol{x},t)
                    \right)
$$

Stabilit\'e de \eqref{leapfroge} (p.~\pageref{leapfroge}) \`a une
variable spatiale:
en proc\'edant comme pour DuFort-Frankel, on arrive \`a des blocs
$\displaystyle{\begin{bmatrix} 0 & 1 \\  1 & 2i\mu \end{bmatrix}}$,
avec $\mu\in (-|\alpha|, |\alpha|)$. Les valeurs propres
$i\mu\pm \sqrt{1-\mu^2}$ ont des valeurs absolues $>1$ si
$|\alpha|>1$. M\^eme si $|\alpha|\leqslant 1$, on n'a pas la
stabilit\'e, sauf conditions particuli\`eres,
voir [Iserles], aussi
\href{http://www.math.ucl.ac.be/~magnus/num2/leapfrog.txt}
{\texttt{http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/num2/leapfrog.txt}}

\bigskip

\subsection{Quelques comptes rendus de recherches r\'ecentes} \   \\

\subsubsection{M\'ethodes adaptatives.}

{\Small

Des m\'ethodes \emph{\textbf{adaptatives}} sont fort \'etudi\'ees
actuellement. Voici quelques abstracts d'une r\'eunion d'analyse
num\'erique tenue r\'ecemment:

\smallskip

\begin{center}
  {\Large\sc Fonds National de la Recherche Scientifique}

\vspace{0.2in}

  {\large\bf Groupe de Contact en Analyse Num\'erique}

\vspace{0.2in}

 {\Large Numerical methods in ordinary and partial differential
         equations}

\vspace{0.1in}

  {\bf Vendredi 5 d\'ecembre 1997,\ \ \  Friday December 5, 1997}

\vspace{0.1in}

 {\large Facult\'e Polytechnique de Mons}

\vspace{0.1in}

   Laboratoire d'Automatique,\qquad   boulevard Dolez 31, Mons


\end{center}

\smallskip

\begin{center}

     {\Large\sc Space and Time Adaptivity in the Numerical Integration
                       of Partial Differential Equations}

                   {\large\sc  W. E. Schiesser   }

                              Lehigh University   \\
                          Bethlehem, PA  18015  USA

                               wes1@lehigh.edu
\end{center}

        An essential aspect of the numerical integration of partial
        differential equations (PDEs) is the monitoring and control
        of numerical errors.  In this paper, we review three basic
        approaches to adaptive error control (for discretization
        errors in space and time):

         \begin{enumerate}

           \item $h$ refinement: Variation of the space and time
                integration intervals.

           \item  $p$ refinement: Variation in the order of the space
                and time approximations.

           \item  $r$ refinement: Adaptive movement of the grid points
                to regions of large variations in the solution.
          \end{enumerate}

        These three strategies can be implemented manually (by observing
        the solution and making adjustments), or automatically (by having
        the computer code make the adjustments).

        We illustrate these strategies within the method of lines (MOL),
        which is a flexible approach to the numerical integration of
        systems of ordinary differential equations (ODEs),
        {differential-algebraic} equations (DAEs) and PDEs.

        Some representative numerical methods will be reviewed and illustrated
        through computer codes for: (a) a system of two initial-value ODEs
        of arbitrary stiffness and (b) a special case of the Einstein field
        equations of general relativity.

        The talk will conclude with a brief discussion of the software
        available for MOL analysis, including a set of Matlab ``m'' files
        and the Fortran code for the Einstein field equations that will be
        provided to the attendees.

cf. \href{http://www.lehigh.edu/~wes1/wes1.html}
  {\texttt{http://www.lehigh.edu/\~{}wes1/wes1.html}}  PDE: Method of lines.

\smallskip

\begin{center}

{\Large\sc An adaptive grid method based on smoothed equidistribution and its
application to PDEs with higher order derivatives.}

{\large\sc Dr. P. A. Zegeling}


Dept. of Mathematics, University of Utrecht \\
P.O. Box 80.010, 3508 TA Utrecht, The Netherlands \\
e-mail: zegeling@math.ruu.nl  \\
WWW: \href{http://www.math.ruu.nl/people/zegeling/}
        {http://www.math.ruu.nl/people/zegeling/}

\end{center}

Abstract: Traditional numerical techniques to solve time-dependent PDEs
integrate on a uniform spatial grid that is kept fixed on the entire time
interval. If the solutions have regions of high spatial activity, a standard
fixed-grid technique is computationally inefficient, since to afford an
accurate numerical approximation, it should contain, in general, a very
large number of grid points.

The grid on which the PDE is discretized then needs to be locally refined.
Moreover, if the regions of high spatial activity are moving in time, like
for steep moving fronts in reaction-diffusion or hyperbolic equations, then
techniques are needed that also adapt (move) the grid in time: continuously
deforming grid methods, which are also denoted by the term r-refinement.

In this talk I will describe an adaptive moving-grid method that is based on
an equidistribution
principle supplied with smoothing both in the time and space direction. In
one space dimension this is rather straightforward and it can theoretically
be shown that the ratios of adjacent spatial grid cells are forced to be
bounded from below and above, due to the smoothing. In two dimensions, an
adaptive moving grid can be defined by applying the 1D-principle along the
two coordinate directions.
Numerical results will be shown in one and two space dimensions for, among
others, reaction-diffusion models and higher-order PDEs in time and space, such
as wave equations, KWdV-equation and the Extended Fisher-Kolmogorov PDE model.


\begin{center}

{\Large\sc
Numerical Experiments with the Moving Finite Element Method }

\smallskip

{\large\sc Alain Vande Wouwer}

  Facult\'e Polytechnique de Mons

  Automatic Control Lab

\end{center}

\bigskip

In this talk, the moving finite element and the gradient weighted moving
finite element methods for solving partial differential equations in one
space dimension are briefly described. Several test-examples from science
and engineering are used to illustrate the method features, including the
selection of an initial node distribution, the parameter tuning and the use
of matrix preconditioning.


}  % end Small

\medskip

\medskip \begin{center} \rule{14cm}{0.2mm}  \end{center} \medskip

\subsubsection{Galerkin discontinu}
\index{Galerkin discontinu:}

{\Small
\begin{verbatim}
From: Roland Keunings <rk@mema.ucl.ac.be>
To: 'Cesame' <csam@csam.ucl.ac.be>; 'Winckelmans' <gsw@term.ucl.ac.be>;
'Cesame News' <hisette@auto.ucl.ac.be>
Cc: 'rk' <rk@mema.ucl.ac.be>
Sent: Monday, December 18, 2000 8:40 AM
Subject: annnonce seminaire

 Le Dr Jean-Francois Remacle (Scientific Computation Research Center
 Rensselaer Polytechnic Intsitute, USA) presentera un seminaire intitule "A
 parallel adaptive framework for solving complex fluid problems" le vendredi
 5 janvier a 11h a l'auditoire Euler.

 Le resume de son expose est repris ci-dessous.

 Cordialement

 Roland Keunings
 =========================
 Abstract

 We present a high-order formulation for solving hyperbolic
 conservation laws using the Discontinuous Galerkin Method (DGM).
 We introduce an orthogonal basis for the spatial discretization and use
 explicit Runge Kutta time discretization coupled with an original local
 time stepping scheme.

 Second part of the talk will focus on the parallel framework that
 is used in our DGM calculations.
 The Rensselaer Partitionning Model (RPM) is a paradigm for
 distributing data on parallel environnement. We apply RPM
 to distributed discretizations (meshes, octrees...) and
 discuss some important aspects of the problem like scalability,
 adaptivity, load balancing or network heterogeneity.
 The result is a parallel mesh database which specifications are presented.

 The numerical examples will focus on some challenging
 CFD problems (Richtmayer-Meshkov and Rayleigh-Taylor instabilities).
 --
       Prof. Roland Keunings
       http://www.mema.ucl.ac.be/~rk

       Centre for Systems Engineering and Applied Mechanics (CESAME)
       Universite catholique de Louvain
       Batiment Euler
       Av. Georges Lemaitre, 4
       B-1348 Louvain-la-Neuve
       Belgium

       Tel : +32-10-47 2350 (secr.) or 2087 (direct)
       Fax : +32-10-47 2180
       E-mail:rk@mema.ucl.ac.be
 --

\end{verbatim}

Voir aussi \textsl{M\'ethodes de Galerkin discontinues}, m\'emoire
de C.~Delfosse (MAP23, juin 2002)

   \href{http://www.chez.com/cdelfoss/memoire.htm}
   {\texttt{\textbf{http://www.chez.com/cdelfoss/memoire.htm}}}

}  % end Small

\bigskip



%%
%%  This is AmSLaTeX    hyperbo.tex
%%
%% Here is a character listing to check to be sure that no
%% unwanted translations took place within the bowels of the net.
%% Upper case letters: ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
%% Lower case letters: abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
%% round parentheses, square brackets, curly braces: ()  []  {}
%% Exclaim, at, sharp, dollar, percent: ! @ # $ %
%% Caret, ampersand, star, underscore, hyphen: ^ & * _ -
%% vertical bar, backslash, tilde, backprime, plus: | \ ~ ` +
%% plus, equal, prime, quote, colon: + = ' " :
%% less than, greater than, slash, question, comma: < > / ? ,
%% period, semicolon: . ;
%%
%%
 %\documentclass[12pt,reqno,twoside,final]{amsart}


\begin{center} {\Large \bf

    \textsf{S\'eminaire GSNA}
      \\  {\Small mars 2006} 

\medskip

  Transports hyperboliques.}



\bigskip
  Alphonse Magnus,    \\
  
\end{center}
\bigskip


The present file is http://www.math.ucl.ac.be/\~{}magnus/num2/hyperbo.pdf

\medskip

{\Small

\begin{flushright}
%\textit{
     L'hyperbole est une figure de rh\'etorique consistant \`a augmenter l'effet de la repr\'sentation des choses
 d\'ecrites sous le signe de l'exag\'eration. L'\'energie, l'intensit\'e d'une expression hyperbolique proviennent souvent de l'emploi de la m\'etaphore ou de la m\'etonymie : ``avoir mang\'e du lion'' ou ``\^etre vaccin\'e avec une aiguille de phono''
 rendent les traits d'un homme courageux ou d'un bavard, \`a travers le transfert. La comparaison, dont l'un des termes 
repr\'esente l'incommensurable par rapport \`a l'autre, proc\`ede par hyperbole : ``Cette femme \'etait belle comme une 
d\'eesse''  (F\'enelon, {\sl T\'el\'emaque}). La comparaison fil\'ee magnifie davantage son objet dans ces vers de 
Cl\'ement Marot (CLXIXe \'epigramme) :\\
      {\sl Incontinent que je te vis venue, \\
     Tu me semblas le cler soleil des cieulx \\
      Qui sa lumiere a long temps retenue, \\
     Puis la faict veoir luysant et gracieux ; \\
     Mais ton depart me semble une grand nue, \\
     Qui se vient mettre au devant de mes yeulx. }

		 	
	V\'eronique KLAUBER\ \copyright Encyclop\ae dia Universalis 2005, tous droits r\'eserv\'es

Hyperbolique: Adjectif singulier invariant en genre \\
1 - pouss\'e � l'extr\^eme, tr\`es exag\'er\'e \\
2 - en g\'eom\'etrie, relatif \`a l'hyperbole, courbe \`a deux\\ branches,
 r\'esultant d'une section de c\^one\\
\copyright Encyclop\ae dia Universalis 2005, tous droits r\'eserv\'es

%}
\end{flushright}

}  % end Small


\bigskip


\subsubsection{Hyperbolicit\'e.}

Bizarrement, ``hyperbolique'' veut souvent dire en math\'ematiques
``normal'', ``courant'', ``g\'en\'erique''. Une conique a deux
asymptotes, l'hyperbole est donc ``hyperbolique'', m\^eme s'il y
a autant d'ellipses (asymptotes imaginaires) que d'hyperboles
(asymptotes r\'eelles). Un polyn\^ome de degr\'e $n$ poss\`ede
$n$ z\'eros, et est appel\'e hyperbolique si tous ses z\'eros
sont r\'eels (\c ca a quelque chose \`a voir avec les
\'equations, ou plut\^ot les probl\`emes hyperboliques, voir plus
loin).

\noindent\textbf{D\'efinition} \   \\
Une EDP (scalaire ou syst\`eme) portant sur des fonctions de
$n$ variables est hyperbolique relativement \`a une vari\'et\'e $V$
de dimension $n-1$ $\subset \mathbb{R}^n$ si le probl\`eme
de Cauchy sur cette vari\'et\'e est bien pos\'e. C'est-\`a-dire
que l'on peut d\'eterminer $u$ partout \`a partir de $u, \partial u/\partial n,\dotsc,
 \partial^{m-1} u/\partial n^{m-1}$ sur $V$ si $m$ est l'ordre
maximal des d\'eriv\'ees dans l'\'equation.

Une EDP est hyperbolique s'il est possible de trouver
partout une vari\'et\'e qui convient.

Vaste programme!

\begin{enumerate}

\item

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(2,2)(3,2.5) \uput[0](1.5,2.5){$(\alpha,\beta)$}
\psline(1,1)(4,2.5)
\psline[linewidth=0.06](1,1)(3,0)(1,1)(0,1.5) \uput[0](0.25,1.55){$V$}
\end{pspicture}
}
$\displaystyle{ \alpha\dfrac{\partial u}{\partial x_1}
               +\beta\dfrac{\partial u}{\partial x_2} =f}$
est hyperbolique: il suffit de prendre $V=$ une droite
non parall\`ele \`a la direction $(\alpha,\beta)$, on a alors la
d\'eriv\'ee tangentielle $du/ds = f\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$ sur toute
droite de direction $(\alpha,\beta)$, \`a partir de son point d'intersection
avec $V$. \\

\item

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(-1,0)(2,0) \uput[90](2,0){$x_1$}
\psline{->}(-1,0)(-1,2) \uput[0](-1,2){$x_2$}
\uput[180](1.95,2.45){$x_2-cx_1=\text{c}^{\text{te}}$}
\uput[0](1.75,1.5){$x_2+cx_1=\text{c}^{\text{te}}$}
\psline(1,1)(2,3) \psline(3.5,0)(2,3)
\psline[linewidth=0.06](1,1)(3.5,0)(3.75,-0.1)(1,1)(0,1.4) \uput[0](0.25,1.55){$V$}
\end{pspicture}
}
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}
               -c^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} =0}$
est hyperbolique: il suffit de prendre $V=$ une droite
non parall\`ele aux directions $(c,\pm 1)$, et particulariser la
solution g\'en\'erale $u=\varphi(x_2-cx_1)+\psi(x_2+cx_1)$ \`a
partir de $u=\varphi+\psi$ et $\nabla u=[c(\psi'-\varphi'),\psi'+\varphi']$
sur $V$, ce qui donne des valeurs de $\varphi$ et $\psi$ \`a condition
que ni $x_2-cx_1$ ni $x_2+cx_1$ ne soient constantes sur $V$.




\item

$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}
               +\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} =0}$
n'est pas hyperbolique, cf. p.~\pageref{ellip01}.

\item

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,3)
\psline{->}(0,0)(3.5,0) \psline{->}(1,-0.25)(1,3)
\psline(2,0)(2,2.5) \psline(3,0)(3,2.5)
\uput[0](1,3){$x_2$} \uput[90](3.5,0){$x_1$} 
\end{pspicture}
}
$\displaystyle{ \dfrac{\partial u}{\partial x_1}
               -\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} =0}$
n'est pas hyperbolique relativement \`a $x_1=0$: on peut d\'eterminer partout
$u$ \`a partir de $u(0,x_2)$ mais ici $m=2$! Un probl\`eme
parabolique est pos\'e d'embl\'ee sur une vari\'et\'e
caract\'eristique [Cagnac]. Mais (presque) aucun probl\`eme [leray, p.355] si on donne
$u$ et $\partial u/\partial x_2$ sur $x_2=0$: les d\'eriv\'ees suivantes en
$x_2$ sont toutes d\'etermin\'ees, $\partial^2 u/\partial x_2^2 = \partial u/\partial x_1$, \\
$\partial^3 u/\partial x_2^3 = (\partial/\partial x_1)(\partial u/\partial x_2)$,\dots
$\partial^{2k}u/\partial x_2^{2k}=\partial^k u/\partial x_1^k$,
$\partial^{2k+1}u/\partial x_2^{2k+1} = (\partial^k/\partial x_1^k)(\partial u/\partial x_2$, \\
$\displaystyle{  u(x_1,x_2)= \sum_{k=0}^\infty \left[  \left.\dfrac{\partial^k u}{\partial x_1^k}\right|_{x_2=0}
  \dfrac{x_2^{2k}}{(2k)!}+
\left(\left.\dfrac{\partial^k }{\partial x_1^k}\right)\dfrac{\partial u}{\partial x_2}\right|_{x_2=0}
  \dfrac{x_2^{2k+1}}{(2k+1)!}\right] }$



\end{enumerate}

\subsubsection{Condition n\'ecessaire} \  \\
Plans caract\'eristiques. \  \\
\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,5)
%\psline{->}(0,0)(1.5,0) \psline{->}(0,0)(0,1.5) \psline{->}(0,0)(0.9,0.9)
\psline(-0.5,1.5)(3,0)(4,2)(0.5,3.5)(-0.5,1.5)
%\uput[0](0,1.5){$x_2$} \uput[90](1.5,0){$x_1$} \uput[0](0.9,0.9){$x_3$} 
\psline(4,5.28)(1,3.28)(1,0.86)(4,2.86)(4,5.28)
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](1.75,1.75)(2.5,3.5)
\psline{->}(2.5,3.5)(3.25,5.25) 
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](1.75,1.75)(0.5,1.6)\psline{->}(0.5,1.6)(0,1.56)
\psline(1.1,1.4)(1.1,1.56)(1.25,1.57)
\psline{->}(2.5,3.5)(1.25,5)
\uput[180](0,2.5){$V$} \uput[180](3.25,5.25){$d$} \uput[90](0.2,1.6){$\xi_0$} \uput[0](1.25,5){$\xi$}
\end{pspicture}
}
Soit $d$ la direction normale \`a l'hyperplan $V\subset\mathbb{R}^n$,
et ne retenons que les d\'eriv\'ees partielles d'ordre maximal $m$.
Nous cherchons \`a refaire le ``coup'' de l'\'equation des ondes \`a
deux variables en consid\'erant des solutions de la forme
$\varphi(\xi\cdot x)$ de $0=P(D)u =\displaystyle{\sum_\alpha c_\alpha
 D^\alpha u = \sum_\alpha c_\alpha \dfrac{\partial^m u}{\partial x_1^{\alpha_1}\dotsb
\partial x_n^{\alpha_n}} }$, la somme
portant sur des vec\-teurs d'entiers positifs avec $\alpha_1+\dotsb +\alpha_n=m$. En portant
$\varphi(\xi\cdot x)$ ou, si on a un syst\`eme, $\varphi(\xi\cdot x)v$ ($\varphi$ reste
une fonction scalaire, $v$ est un vecteur [et les $c_\alpha$ sont des matrices
carr\'ees]), on obtient $\varphi^{(m)} P(\xi)v=0$, d'o\`u la contrainte
$\det P(\xi)=0$ sur $\xi$.

A chaque $\xi\in\mathbb{R}^n$ v\'erifiant cette \'equation correspond
des \emph{plans caract\'eristiques} $\xi\cdot x=$ constante. Il y en a beaucoup\dots
On ordonne cette masse en exprimant $\xi$ dans une base constitu\'ee de
$n-1$ vecteurs de $V$ et de $d$: $\xi=\xi_0 +\tau d$, $\xi_0\in V$. L'\'equation pour
$\xi$ est alors une \'equation alg\'ebrique scalaire pour le seul
r\'eel $\tau$: $\det P(\xi_0+\tau d)=0$. On \'ecrit
souvent $\xi-\tau d$, avec $\xi$ quelconque, cela revient
\'evidemment au m\^eme.

\textit{Polyn\^ome hyperbolique.} Un polyn\^ome $F$
homog\`ene en $n$ variables est dit \emph{\textbf{hyperbolique}}
par rapport \`a une direction $d\in\mathbb{R}^n$ si $F(d)\neq 0$ et si l'\'equation
$F(\xi-\tau d)=0$ a toutes ses racines \emph{\textbf{r\'eelles}}
pour tout $\xi\in\mathbb{R}^n$ [hypconv,laxtrue]. \enlargethispage{33pt}

\begin{tabular}{!{\rule[-15pt]{0.1mm}{36pt}}c|c|c|}\hline
 \'equation  &   $F$    &   statut \\   
(partie principale) &     &      \\   \hline
$\displaystyle{\alpha \dfrac{\partial u}{\partial x_1}+\beta \dfrac{\partial u}{\partial x_2} }$ &
$\alpha \xi_1+\beta\xi_2$ &  OUI \\  \hline
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}-c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} }$ &
$ \xi_1^2-c^2\xi_2^2$ &  OUI \\  \hline
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} }$ &
$ \xi_1^2+\xi_2^2$ &  NON (ell.) \\  \hline
$\displaystyle{ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2} }$ &
$ \xi_2^2$ &  OUI (limite) \\  \hline
$\displaystyle{\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}
   -c^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_3^2} }$ &
$ \xi_1^2+\xi_2^2-c^2\xi_3^2$ &  OUI pour $d=[0,0,1]$ \\  
   &     &   NON pour $d=[0,1,0]$ \\  \hline
$\displaystyle{ \dfrac{\partial u}{\partial x_1}-\sum_2^n c_k \dfrac{\partial u}{\partial x_k} }$ &
  $\det(\xi_1 I -\sum_2^n \xi_k c_k)$  &  OUI, pour  \\
matrices sym\'etriques $c_k$ &     &  $d=[1,0,\dotsc, 0]$ \\
\hline
\end{tabular}

Pour le dernier cas, cf. [laxtrue]

\subsubsection{Obtention de la solution par superposition.} On a
donc des  solutions particuli\`eres de $P(D)u=0$ de la
forme $\varphi(\xi\cdot x)=\varphi(\xi_0 \cdot x + \tau d\cdot x)$
pour toute direction $\xi_0$ de $V$. On se propose de repr\'esenter
$u$ comme une superposition
\begin{equation} \label{superp}
 u(x) = \int_{\substack{\xi_0\in V \\ \|\xi_0\|=1}}\ \  \sum_{\substack{\text{racines\ } \tau_k\ \text{de}\\
        F(\xi_0+\tau_k d)=0}}  \varphi_k(\xi_0\cdot x +\tau_k d\cdot x) v_k(\xi_0)d\mu(\xi_0)
\end{equation}
o\`u $d\mu$ est une mesure naturelle sur la sph\`ere. Pour $x\in V$, $u$ et
ses d\'eriv\'ees sont
 \begin{equation} \label{superpV}
 \left.D^\alpha u(x)\right|_{x\in V} = \int_{\substack{\xi_0\in V \\ \|\xi_0\|=1}}\ \  \sum_{\substack{\text{racines\ } \tau_k\ \text{de}\\
        F(\xi_0+\tau_k d)=0}}  (\xi_0+\tau_k d)^\alpha \varphi_k^{(|\alpha|)}(\xi_0\cdot x ) v_k(\xi_0)d\mu(\xi_0)
\end{equation}
que l'on doit adapter \`a $u$ et \`a ses $m-1$ premi\`eres
d\'eriv\'ees normales sur $V$. Constatons qu'il y donc
$m$ fonctions donn\'ees sur $V$ et $m$ fonctions inconnues $\varphi_1,\dotsc, \varphi_m$.
Pour un syst\`eme, le nombre de fonctions scalaires est \`a multiplier par
le nombre de composantes de $u$.

\textit{Domaine d'influence, CFL.}\  \\

On montre que $u(x)$ et ses d\'eriv\'ees ne d\'ependent que
des valeurs prises dans la base dans $V$ du plus grand c\^one
de sommet $x$ et tangent aux plans caract\'eristiques
passant par $x$. Si on trouve un facteur integrand $\Phi$
tel que $\Phi P$ soit une divergence div$\Psi$, on discute
$0=\displaystyle{\int_{\text{c\^one}} \Phi P = \int_{\partial\text{c\^one}}
 \partial \Psi\dotsc n  }$.

Exemple: si $P(u)=\partial u/\partial x_1 -\sum_2^n c_k \partial u/\partial x_k$,
$u^T P(u)= (1/2)$ div $[u^T u, -u^T c_2 u,\dotsc, -u^T c_n u]$, et on int\`egre
sur la surface du c\^one $u^T( n_1 -n_2 c_2 -\dotsb - n_n c_n)u >0$ si
$n_1$ est $>$ la plus grande valeur propre de $n_2 c_2+\dotsb +n_n c_n$: $u$ est
nulle dans tout le c\^one si $u=0$ sur la base. 


Consid\'erations int\'eressantes dans [huyg]

\medskip

Equation discr\'etis\'ee: $P(\Delta)u_h=0$, o\`u $\Delta$
est un op\'erateur aux diff\'erences raisonnable (consistance).
Soit $V=\{x_1=0\}$, $\Delta_1 u(x_1,x_2,\dotsc, x_n)= $ \\
{\Small $\displaystyle{
 \hspace*{-55pt}\dfrac{ u(x_1+h_1, x_2,\dotsc, x_n) -
   \dfrac{ u(x_1, x_2+h_2,\dotsc, x_n)+u(x_1, x_2-h_2,\dotsc, x_n) + \dotsb +
     u(x_1, \dotsc, x_n+h_n)+u(x_1,\dotsc, x_n-h_n) }{2(n-1)}  }{h_1}  }$}, 
 $\displaystyle{\Delta_k u(x_1,x_2,\dotsc, x_n)=
   \dfrac{u(x_1,x_2,\dotsc, x_k+h_k,\dotsc, x_n)-u(x_1,x_2,\dotsc, x_k-h_k,\dotsc, x_n)}{2h_k} }$
(Friedrichs), donne une r\'ecurrence pour $u_h$ en $x_1$, $x_1+h_1,\dotsc, x_1+mh_1)$.
Solution (r\'ecurrence \`a coefficients constants) en puissances de
$\rho$, en supposant des modes de Fourier $\exp(i \xi_2 x_2+\dotsb + i\xi_n x_n)$ 
 dans les variables spatiales:
\begin{equation*}
P\left(i\dfrac{ \rho -\dfrac{\cos \xi_2 h_2 +\dotsb + \cos \xi_n h_n}{n-1} }{h_1},
    \dfrac{\sin \xi_2 h_2}{h_2},\dotsc, \dfrac{\sin \xi_n h_n}{h_n}\right)=0
\end{equation*}

Solution: $\rho= (\cos \xi_2 h_2 +\dotsb +\cos\xi_n h_n)/(n-1) -i h_1 \tau
\displaystyle{\sqrt{\dfrac{\sin^2 \xi_2 h_2}{h_2^2} +\dotsb \dfrac{\sin^2 \xi_n h_n}{h_n^2}}}$,
o\`u $\tau$ est une des racines r\'eelles de $P=0$ associ\'ees \`a la
direction des $n-1$ derniers arguments de $P$. On aura donc
$|\rho|\leqslant 1$ si

\begin{equation*}
h_1 \leqslant \dfrac{1}{|\tau|_{\max}} \min \sqrt{\dfrac
  {1-\left(\dfrac{\cos \xi_2 h_2 +\dotsb + \cos \xi_n h_n}{n-1} \right)^2  }
    {\dfrac{\sin^2 \xi_2 h_2}{h_2^2}+\dotsb+ \dfrac{\sin^2 \xi_n h_n}{h_n^2} } }
\end{equation*}

\noindent\textbf{Un th\'eor\`eme} difficile de G\aa rding [gardingbio].
La solution d'un probl\`eme hyperbolique est nulle dans un born\'e
donn\'e de $\mathbb{R}^n$ si elle est nulle, avec ses d\'eriv\'ees
d'ordre $<m$, dans un born\'e assez grand de $V$. On dit qu'un
probl\`eme est intrins\`equement hyperbolique si sa solution
tend vers z\'ero dans un born\'e de $\mathbb{R}^n$ lorsqu'elle
tend vers z\'ero, avec ses d\'eriv\'ees d'ordre $<m$, dans des
born\'es de $V$.

Th\'eor\`eme: avec $V=\{x_1=0\}$, le probl\`eme $P(u)=0$
est intrins\`equement hyperbolique si et seulement si
les racines en $\tau$ de $F(\tau, \xi_2,\dotsc, \xi_n)=0$ ont des
parties imaginaires born\'ees pour tout $[\xi_2,\dotsc, \xi_n]\in
\mathbb{R}^{n-1}$. Ici, $F$ est $P$ o\`u on remplace chaque
$\partial /\partial x_k$ par $i\xi_k$.

Exemple: $\displaystyle{\dfrac{\partial u}{\partial x_1} 
            -\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_2^2}=0}$,
$F=i\tau +\xi_2^2$, non.\\
 $\displaystyle{\dfrac{\partial u}{\partial x_2} 
            -\dfrac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}=0}$,
$F=\tau^2 +i\xi_2$, non plus, tiens.

\subsubsection{Transport, advection, diffusion.}

\textit{Advection} \   \\

Equations de type $\partial u/\partial t +\text{div} (au) =f$
o\`u $u$ est par exemple une concentration, et $a$ un vecteur
donn\'e. Evidemment hyperbolique: l'\'equation est
une d\'eriv\'ee directionnelle dans la direction
$[1,a]$.

\textit{Advection-diffusion} \   \\

Mais le cas int\'eressant est la pr\'esence discr\`ete
d'un op\'erateur elliptique (diffusion):

\begin{equation} \label{AD}
  L_\varepsilon  u = (\varepsilon E +A)u =f
\end{equation}

\subsubsection{Probl\`eme 1D} Sangalli traite d'abord
le probl\`eme 
\begin{equation} \label{AD1D}
  L_\varepsilon  u = -\varepsilon u'' +u'
\end{equation}
sur $(0,2\pi)$ avec $u(0)=u(2\pi)=0$. On cherche une norme telle que
$L_\varepsilon$ soit bien conditionn\'e pour
tout $\varepsilon$, c'est-\`a-dire

\begin{equation} \label{cond}
 0< \gamma \leqslant \sup_{v\in V}
    \dfrac{a_\varepsilon(u,v)}{\|u\|_U \|v\|_V}
 \leqslant \delta < \infty.
\end{equation}
Ici, $a_\varepsilon(u,v) = \displaystyle{
\int_0^{2\pi} [\varepsilon u' v' +u' v]dx }$.

\c Ca ne marche \'evidemment pas avec la norme habituelle
de $H^1_0$, $\|u\|^2_{H^1_0}= \int u'{}^2$ puisque la
constante de coercivit\'e
$\displaystyle{ \dfrac{a(u,u)}{\|u\|^2} = \varepsilon}$.

\noindent Examinons le probl\`eme \`a partir des s\'eries de
Fourier de $u$ et $v$:
$\displaystyle{
u(x)=\dfrac{a_0}{2} +\sum_1^\infty a_k \cos kx + b_k \sin kx\quad,\quad%
v(x)=\dfrac{c_0}{2} +\sum_1^\infty c_k \cos kx + d_k \sin kx}$,
et essayons des normes
$\displaystyle{
\|u\|^2 =\sum_1^\infty f_k^2 (a_k^2+b_k^2)\quad,\quad%
\|v\|^2 =\sum_1^\infty g_k^2 (c_k^2+d_k^2)
}$.
Inutile de consid\'erer $a_0$ et $c_0$ puisque les
constantes non nulles ne sont pas dans $H_0^1$.
La norme habituelle de $H^1$ correspond \`a 
$f_k=g_k=k$. Pour $H^m$, $f_k=g_k=k^m$, valable m\^eme
si $m$ n'est pas entier.
 
On trouve alors rapidement \cite{sangalli}
$
a_\varepsilon(u,v)= \pi \sum_1^\infty [ \varepsilon k^2 (a_k c_k +b_k d_k)
 +k(-a_k d_k +b_k c_k)]
$.

\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,1)(4,4)
\psline{->}(0,2)(4.25,2) \psline{->}(2,0)(2,4.35)
\pscircle(2,2){1.25}
\psline(1.8,4.35)(3,2.75)(4.2,1.15)
\psline[linestyle=dashed,dash=2mm 2mm](2,2)(4,3.5)
\end{pspicture}
}
Pour $u$ donn\'e, cherchons $v$ qui maximise
$a_\varepsilon(u,v)/\|v\|$, ou encore une
forme lin\'eaire en les $g_k c_k$ et $g_k d_k$,
de coefficients $(\varepsilon k^2 a_k +k b_k)/g_k$
et $(\varepsilon k^2 b_k -k a_k)/g_k$, sur un cercle.
L'optimum est \'evidemment r\'ealis\'e lorsque le
gradient est align\'e sur le rayon vecteur, donc, \\
$(\varepsilon k^2 a_k +k b_k)/g_k = \lambda g_k c_k$,
$(\varepsilon k^2 b_k -k a_k)/g_k =\lambda g_k d_k$,
o\`u $\lambda^2$ vaut $\|v\|^{-2}
\sum_1^\infty g_k^{-2}[ (\varepsilon k^2 a_k +k b_k)^2
+(\varepsilon k^2 b_k -k a_k)^2]$ (effectuer la sommes des
carr\'es). On trouve finalement
$$
\left( \dfrac{a_\varepsilon(u,v)}{\|u\|\;\;\|v\|}\right)^2=
\pi^2 \dfrac{ \sum_1^\infty g_k^{-2}[ (\varepsilon k^2 a_k +k b_k)^2
+(\varepsilon k^2 b_k -k a_k)^2] }{\sum_1^\infty f_k^2(a_k^2+b_k^2)}.
$$

\picskip{1}   % arret de parpic

Analyse mode par mode: on minimise et on maximise sur $a^2+b^2=1$

$$
\dfrac{\pi^2}{f_k^2 g_k^2}
  \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}
    \underbrace{
        \begin{bmatrix} \varepsilon k^2 & -k \\  k & \varepsilon k^2         \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} \varepsilon k^2 & k \\  -k & \varepsilon k^2         \end{bmatrix} }_{\begin{bmatrix}\varepsilon^2 k^4 +k^2 & 0 \\ 0 & \varepsilon^2 k^4+k^2\end{bmatrix} }
\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix},
$$ 
donc $\pi^2 f_k^{-2} g_k^{-2}$ fois $\sigma_{\min}^2$ et
$\sigma_{\max}^2$ de $\displaystyle{\begin{bmatrix} \varepsilon k^2 & k \\  -k & \varepsilon k^2         \end{bmatrix} }$,
bref, il suffit de prendre par exemple $f_k^2=g_k^2 =
\sqrt{\varepsilon^2 k^4 +k^2}$. Si on avait pris la norme
usuelle de $H^1$, $f_k^2=g_k^2=k^2$, on aurait le rapport mode par
mode  $\varepsilon^2 +k^{-2}$, proche de 1 aux basses
fr\'equences (tr\`es bien), mais tendant vers 
$\varepsilon^2$ aux hautes fr\'equences (ouch).

L'auteur de [sangalli] prend, entre autres exemples,
le choix \'equivalent $f_k^2=g_k^2=
\varepsilon k^2 + k$, montrant ainsi qu'il s'agit
d'un m\'elange subtil des normes de $H^1$ et $H^{1/2}$.

\subsubsection{Cas g\'en\'eral} On a maintenant [sangalli2]

\begin{equation} \label{AD2}
\mathcal{L}_\varepsilon u := -\varepsilon \Delta u +
  \boldsymbol{c\cdot} \nabla u =f 
\end{equation}
dans un domaine $\Omega$ de $\mathbb{R}^n$, avec
$u=0$ sur la fronti\`ere de $\omega$.

Essayons la m\^eme chose sur un rectangle $L_1\times L_2$:

$\displaystyle{u(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}^2} a_k e^{i k\omega \cdot x} = \sum_{k_1=-\infty}^\infty \sum_{k_2=-\infty}^\infty 
a_{k_1, k_2} e^{i(k_1 \omega_1 x_1 + k_2 \omega_2 x_2)},\quad%
v(x) = \sum_{k\in\mathbb{Z}^2} b_k e^{i k\omega \cdot x}  }$,\\
avec $\omega_1=2\pi/L_1, \omega_2=2\pi/L_2$,
$a_{-k}=\overline{a_k}, b_{-k}=\overline{b_k}$,
$\|u\|^2 =\sum f_k^2 |a_k|^2$, $\|v\|^2 = \sum g_k^2 |b_k|^2$.

\begin{equation*} \begin{split}
a_\varepsilon(u,v) &=  L_1 L_2\sum_{k\in\mathbb{Z}^2}
   a_k \overline{b_k} [\varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 
   \omega_2^2) +i(k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)] \\
 &= L_1 L_2 \sum_{k\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_+} 
   (a_k \overline{b_k}+  \overline{a_k} b_k) 
    \varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  +i(a_k \overline{b_k}-  \overline{a_k} b_k)
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2) \\
 =2L_1 L_2 &\sum_{k\in \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}_+} 
   (\text{Re}\;a_k \text{Re}\;b_k+  \text{Im}\;a_k \text{Im}\;b_k) 
    \varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  +(\text{Re}\;a_k \text{Im}\;b_k-  \text{Im}\;a_k \text{Re}\; b_k)
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2) 
\end{split}\end{equation*}

max. en
 \begin{equation*} \begin{split}
g_k^{-1}[\text{Re}\;a_k 
    \varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  -  \text{Im}\;a_k 
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)] &= \lambda g_k \text{Re}\;b_k, \\ 
g_k^{-1}[\text{Im}\;a_k 
    \varepsilon(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  +\text{Re}\;a_k 
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)]&=\lambda g_k \text{Im}\; b_k ,
\end{split}\end{equation*}

ou $\lambda g_k b_k = [\varepsilon a_k(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)
  +i a_k 
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)]/g_k$,
o\`u $\lambda^2 = \sum g_k^{-2} |a_k|^2 [\varepsilon^2 (k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 \omega^2)^2
  + 
   (k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)^2]/\|v\|^2$, et

$$
\left(  \dfrac{a_\varepsilon(u,v)}{\|u\|\; \|v\|}\right)^2 =
\dfrac{ L_1^2 L_2^2 \sum_{k\in\mathbb{Z}^2}
   g_k^{-2} |a_k|^2  [\varepsilon^2(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 
   \omega_2^2)^2 +(k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)^2]  }
 {\|u\|^2 = \sum f_k^2 |a_k|^2},
$$ 
d'o\`u un choix optimal $f_k^2 = g_k^2 =\sqrt{\varepsilon^2(k_1^2 \omega_1^2 +k_2^2 
   \omega_2^2)^2 +(k_1 \omega_1 c_1 + k_2\omega_2 c_2)^2}$.  

\subsubsection{References.}

%INTERNATIONAL JOURNAL FOR NUMERICAL METHODS IN FLUIDS
%Int. J. Numer. Meth. Fluids 2000; 00:1{6 Prepared using dauth.cls [Version: 2000/07/27 v1.0]
%Superconvergence and H(div) Projection for Discontinuous
%Galerkin Methods
%Peter Bastian 1 and Beatrice Riviere 2

%http://hal.iwr.uni-heidelberg.de/~peter/Papers/BDMpaper.pdf

[hypconv] 
Bauschke, Heinz H.; G\"uler, Osman; Lewis, Adrian S.; Sendov, Hristo S. 
Hyperbolic polynomials and convex analysis. 
{\sl Canad. J. Math.} {\bf 53} (2001), no. 3, 470--488.
\href{http://www.uoguelph.ca/~hbauschk/Research/17.pdf}
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[gardingbio] Richard Beals, book review of
{\sl Some points of analysis and their history}, by Lars G\aa rding, University Lecture
Series, vol. {\bf 11}, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997,
{\sl BULLETIN (New Series) OF THE
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY}
Volume {\bf 35}, Number 2, April 1998, Pages 157-160

\href{http://www.ams.org/bull/1998-35-02/S0273-0979-98-00742-3/S0273-0979-98-00742-3.pdf}
       {\texttt{http://www.ams.org/bull/1998-35-02/S0273-0979-98-00742-3/S0273-0979-98-00742-3.pdf}}

[leray] Armand Borel, Gennadi M. Henkin, and Peter D. Lax:
Jean Leray
(1906-1998),
{\sl NOTICES OF THE AMS} VOLUME {\bf 47}, NUMBER 3  (2000) 350--359
\href{http://www.ams.org/notices/200003/mem-leray.pdf}{\texttt{http://www.ams.org/notices/200003/mem-leray.pdf}}

[Cagnac] Cagnac, Francis:
Probl\`eme de Cauchy sur un cono\"ide caract\'eristique. {\sl Annales de la facult\'e des sciences
 de Toulouse} S\'er. 5, 2 no. 1 (1980), p. 11-19 
\href{http://www.numdam.org/item?id=AFST_1980_5_2_1_11_0}{\texttt{
  http://www.numdam.org/item?id=AFST\_1980\_5\_2\_1\_11\_0}}

[garding] Lars G\aa rding,
Hyperbolic Equations in the
Twentieth Century \\
\href{http://smf.emath.fr/Publications/SeminairesCongres/1998/3/pdf/smf_sem-cong_3_37-68.pdf}
{\texttt{http://smf.emath.fr/Publications/SeminairesCongres/1998/3/pdf/smf\_sem-cong\_3\_37-68.pdf}}
 R\'esum\'e:
Le sujet d\'ebute avec la th\'eorie de Huygens qui consid\`ere les
fronts d'onde comme des enveloppes d'ondes plus r\'eguli\`eres, et
se poursuit par les travaux de Euler, d'Alembert et Riemann.
Les singularit\'es des fronts d'onde n�ont pas \'et\'e comprises avant
la th\'eorie de la ``partie finie'' de Hadamard au d\'ebut de ce
si\`ecle. Les contributions de Herglotz, Petrovsky et dans les ann\'ees
 quarante, la th\'eorie des distributions de Laurent Schwartz
ont \'eclair\'e l�\'etude des singularit\'es des solutions des EDP hyperboliques.
On passe en revue les solutions au probl\`eme de Cauchy
donn\'ees par Hadamard, Schauder, Petrovsky et l�auteur. Plus r\'ecemment,
l�analyse microlocale de M.Sato et L. H\"ormander a
permis de grandes avanc\'ees dans la compr\'ehension de la propagation
des singularit\'es. L�analyse fonctionnelle, les distributions
et l�analyse microlocale seront certainement des outils importants
du prochain si\`ecle.

 

[laxtrue]
Lewis, A. S.; Parrilo, P. A.; Ramana, M. V. 
The Lax conjecture is true. 
{\sl Proc. Amer. Math. Soc.} {\bf 133} (2005), no. 9, 2495--2499 (electronic).
\href{http://arxiv.org/abs/math.OC/0304104}{\texttt{http://arxiv.org/abs/math.OC/0304104}}

This paper answers affirmatively a 47-year-old conjecture posed by Lax. A homogeneous polynomial on 
$\Bbb{R}^n$ of degree $d$ is called hyperbolic with respect to a vector $e$ if $p(e)\not=0$ and for all
 vectors $x\in\Bbb{R}^n$ the univariate polynomial $t\mapsto p(x-te)$ of degree $d$ has only real roots.
 The conjecture that Lax posed in 1958 states that hyperbolic polynomials in three variables (that is, $n=3$)
 are determinants of linear combinations of three symmetric matrices. The authors observe that there is a
 one-to-one correspondence between the hyperbolic polynomials and the real zero polynomials $q(y,z)$ on
 $\Bbb{R}^2$ defined by the property that the univariate polynomial $t\mapsto q(ty,tz)$ has all real roots.
 Then they use a result by Helton and Vinnikov that all real zero polynomials are of the form $\det(I+yB+zC)$
 for some symmetric matrices $B$ and $C$. 
Reviewed by Hristo S. Sendov 


[transpo] Beno\^\i t Perthame,
Equations de transport non lin\'eaires
et syst\`emes hyperboliques.
Th\'eorie et m\'ethodes num\'eriques
2003-2004
\href{http://www.dma.ens.fr/~perthame/cours_hyp.pdf}{\texttt{http://www.dma.ens.fr/\~{}perthame/cours\_hyp.pdf}}
\\1 Exemples d'\'equations de transport et de syst\`emes hyperboliques 7
\\2 Caract\'eristiques, chocs, d\'etentes 21
\\3 M\'ethode de viscosit�e pour les LCS 37
\\4 M\'ethodes des volumes finis et d�ecentrement (�equations lin\'eaires) 45
\\5 M\'ethodes des volumes finis pour les L. C. S. 63
\\6 Exemples de syst\`eme 2 $\times$ 2 : \'elastodynamique et p-syst\`eme 73

[sangalli] G. Sangalli,
Numerical evaluation of F.E.M. with application to the 1-D advection-diffusion problem,
{\sl Math. Models Methods Appl. Sci.}, Vol. {\bf 12} (2), pp. 205-228, 2002. 
\href{http://www-dimat.unipv.it/sangalli/infsup1d-math.pdf}
{\texttt{http://www-dimat.unipv.it/sangalli/infsup1d-math.pdf}}


[sangalli2] G. Sangalli,
Analysis of the advection-diffusion operator using fractional order norms,
{\sl Numer. Math.}, Vol. {\bf 97} (4), pp. 779--796, 2004. 
\href{http://www-dimat.unipv.it/sangalli/adv-diff-analysis.pdf}
{\texttt{http://www-dimat.unipv.it/sangalli/adv-diff-analysis.pdf}}




[huyg] Alexander P. Veselov
Huygens� principle,
November 6, 2002,
Abstract:
A short review on Huygens� principle prepared for the {\sl Encyclopedia
of Nonlinear Science}.
\href{http://www.maths.gla.ac.uk/~xl/seminar/Veselov.pdf}
{\texttt{http://www.maths.gla.ac.uk/\~{}xl/seminar/Veselov.pdf}}






\chapter{Probl\`emes d'\'evolution: conditions de stabilit\'e
num\'erique.\label{stabnum}}
\renewcommand{\mylmark}{Stabilit\'e num.}
\thispagestyle{fancy}
       \index{stabilit\'e num\'erique}

Nous r\'ecapitulons et d\'eveloppons la condition de stabilit\'e
num\'erique
$$   \|E_h^n\| \leqslant C, \qquad\qquad n=1,2,\dotsc, \dfrac{T}{\Delta t}, $$
qui doit \^etre valable pour tout $\Delta t \to 0$, et o\`u $E_h$ est
une matrice carr\'ee r\'eelle qui d\'epend de (et dont l'ordre d\'epend de)
$\Delta t$. $T>0$ est donn\'e; $C$ peut d\'ependre de $T$ (mais pas
de $\Delta t$ !).

Comme exemples, on a vu, pour la m\'ethode d'Euler appliqu\'ee
\`a l'\'equation de la chaleur,  \\
 $ \boldsymbol{u}(t+\Delta t) = ( I - \sigma\Delta t  M_h)
            \boldsymbol{u}(t)    $,
o\`u $-M_h$ est la matrice famili\`ere de discr\'etisation de $-u''$:  \\
$\displaystyle{ M_h = h^{-2} \begin{bmatrix}  2   &  -1 &    &     &   \\
                                              -1  &  2  &  -1&     &   \\
                                                 &\ddots&\ddots&\ddots & \\
                                                 &      &      & -1  &  2
                             \end{bmatrix}  }$, donc

$\displaystyle{ E_h = I-\sigma\Delta t M_h=
\begin{bmatrix}  1-2\sigma h^{-2}\Delta t   &  \sigma h^{-2}\Delta t &    &     &   \\
                     \sigma h^{-2}\Delta t  &  1-2\sigma h^{-2}\Delta t  &  \sigma h^{-2}\Delta t&     &   \\
                                           &\ddots&\ddots&\ddots & \\
                                           &      &      & \sigma h^{-2}\Delta t  &  1-2\sigma h^{-2}\Delta t
                             \end{bmatrix}  }$,
matrice d'ordre inversement proportionnel \`a $\Delta t$!

Avec $\sigma=1$, $h=1/4$, $T=1$ et quelques valeurs de $\Delta t$, on a

\begin{verbatim}
format long;h=0.25,
for nt=25:35;
 dt=1/nt; s=dt/h^2;
 Eh=s*diag(ones(nt-1,1),1)+(1-2*s)*diag(ones(nt,1))+s*diag(ones(nt-1,1),-1);
 no=[dt];for k=1:nt;no=[no,norm(Eh^k)]; end;  no,
end;
\end{verbatim}

matlab

stabex

h =  0.25000000000000

$\Delta t=1/25$, $\|E_h\|= 1.5506673588$, $\|E_h^2\|=  2.4045692578$,
$\|E_h^3\|=  3.7286870601,\dotsc, $
$\|E_h^{24}\|=  37363.4942340220$, $\|E_h^{25}\|=   57938.3509211103$.

$\Delta t=1/30$, $\|E_h\|=  1.12786061161802$,
$\|E_h^2\|=  1.27206955923938 $, $\|E_h^3\|=  1.43471715110439 ,\dotsc, $

$\|E_h^{30}\|= 36.95412303698682$.

$\Delta t=1/32$, $\|E_h\|=  0.99547192257308$,
 $\|E_h^2\|=   0.99096434863135,\dotsc,
\|E_h^{32}\|=   0.86482549947922$.

exit

 173111271 flops.

Les normes des puissances de $E_h$ sont ici les m\^emes puissances de
la norme de $E_h$, ce qui simplifie la discussion. Cela se produit
avec des matrices sym\'etriques, ou plus g\'en\'eralement
des matrices normales (voir plus loin).

\medskip

Avec le sch\'ema ``leap-frog'', on trouve
un comportement moins simple:

\begin{verbatim}
format short;h=0.25,
for nt=5:10;
 dt=1/nt; s=dt/h;
 Eh=0*eye(2*nt); Eh(1:nt,nt+1:2*nt)=eye(nt);
                 Eh(nt+1:2*nt,1:nt)=eye(nt);
         Eh(nt+1:2*nt,nt+1:2*nt)= ...
                s*( diag(ones(nt-1,1),1)-diag(ones(nt-1,1),-1) );
 no=[dt];for k=1:nt;no=[no,norm(Eh^k)]; end;  no,
end;
\end{verbatim}

stabex



h =  0.2500



$\Delta t=1/5$,  $\|E_h\|= 2.0157$, $\|E_h^2\|=  2.4800 $,
 $\|E_h^3\|=  2.4468$,  $\|E_h^4\|=  2.2044$, $\|E_h^5\|=    2.4029$.



$\Delta t=1/6$, $\|E_h\|= 1.8309 $,  $\|E_h^2\|=  2.0315$,
 $\|E_h^3\|=   1.6243$, $\|E_h^4\|=    1.8127$, $\|E_h^5\|=    2.2129$,
 $\|E_h^6\|=     2.1102$.

...


$\Delta t=1/8$,
   $\|E_h\|= 1.6025,\dotsc, $  $\|E_h^4\|=  1.6324,\dotsc,$
  $\|E_h^8\|=   1.6365$.

$\Delta t=1/10$,
  $\|E_h\|=   1.4693,\dotsc,$  $\|E_h^4\|=  1.5094,\dotsc,$
 $\|E_h^9\|=  1.5097, \|E_h^{10}\|=    1.4224$.

exit     32063671 flops.


\section{Norme matricielle.}

La norme matricielle utilis\'ee ici est toujours la norme
matricielle subordonn\'ee \`a la norme vectorielle euclidienne
$\|\boldsymbol{x}\| = (\sum x_k^2)^{1/2} = (\boldsymbol{x\cdot x})^{1/2}$.

On a donc $\|E_h\|= \sigma_{\text{max}}(E_h)
= [\lambda_{\text{max}}(E_h^T E_h)]^{1/2}$.

Si $E_h$ est \emph{\textbf{sym\'etrique}}, on a
 $\|E_h\|=  |\lambda(E_h)|_{\text{max}}$.

Rappels:

\begin{enumerate} \item
 toute valeur absolue de valeur propre est inf\'erieure
\`a la norme. En effet, si $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{v}$ est le
vecteur propre correspondant \`a la valeur propre $\lambda$,
$$ \|A\| = \max_{\boldsymbol{x}\neq 0} \dfrac{\| A\boldsymbol{x}\| }
                                             {\| \boldsymbol{x}\| }
   \geqslant  \dfrac{\| A\boldsymbol{v}\| }{\| \boldsymbol{v} \|}
       =|\lambda|. $$
\item Cette norme matricielle particuli\`ere est invariante
par multiplication par une matrice unitaire:
$$\hspace*{-40pt}\|UAV\| =
\left[\lambda_{\max} (V^H A^H \underbrace{U^H\; U}_{=I} \, AV)
            \right]^{1/2}
 = \max_{\boldsymbol{x}\neq 0}\left[
  \dfrac{\boldsymbol{x}^H V^H A^H A V\boldsymbol{x} }
                    {\boldsymbol{x}^H \boldsymbol{x} } \right]^{1/2}
 = \max_{\boldsymbol{y}=V\boldsymbol{x}\neq 0}\left[
  \dfrac{\boldsymbol{y}^H A^H A \boldsymbol{y} }
                    {\boldsymbol{y}^H\underbrace{V^{-H}V^{-1}}_{=I} \boldsymbol{y} } \right]^{1/2}
 =\|A\|.$$
(N.B.: $\boldsymbol{x}^H := \overline{\boldsymbol{x}}^T$,
$\boldsymbol{x}$ et $U$ peuvent \^etre complexes).
\end{enumerate}

\noindent\textbf{In\'egalit\'es.} Par Gershgorin sur $A^HA$,  \index{Gershgorin}
$$\|A\|^2 = \lambda_{\max}(A^HA) \leqslant \max_i \sum_{j=1}^m
  |(A^HA)_{i,j}| =\max_i \sum_{j=1}^m\left|\sum_{k=1}^m \overline{a_{k,i}}
   a_{k,j}\right|, $$
c'est-\`a-dire la plus grande somme des valeurs absolues des produits
scalaires d'une colonne de $A$ avec toutes les colonnes de $A$.

Borne sup\'erieure par les valeurs absolues des \'el\'ements de
$A$:
$$\|A\|^2 \leqslant \max_i \sum_{k=1}^m |a_{k,i}| \ell_k,$$
o\`u $\ell_k:=\displaystyle{ \sum_{j=1}^m |a_{k,j}| }$, somme des
valeurs absolues des\'el\'ements de la $k^{\text{\`eme}}$ ligne de
$A$.

Enfin, $\|A\|^2\leqslant (\max_i \gamma_i)(\max_k \ell_k)$, o\`u
 $\gamma_i:=\displaystyle{ \sum_{k=1}^m |a_{k,i}| }$, somme des
valeurs absolues des\'el\'ements de la $i^{\text{\`eme}}$ colonne de
$A$. D\'emonstration directe: $\|A\|^2 =\lambda_{\max}(A^H A)
\leqslant \|A^H A\|_\infty \leqslant \|A^H\|_\infty \|A\|_\infty =
\|A\|_1 \|A\|_\infty$ (cas particulier d'in\'egalit\'es de Marcel
Riesz).

\smallskip

\textbf{Borne inf\'erieure.} $\|A\|\geqslant$ la norme de toute
sous-matrice (carr\'ee ou rectangulaire) de $A$:
$\displaystyle{ \|A\| = \max_{\boldsymbol{x}\neq 0}
    \dfrac{\|A\boldsymbol{x}\|}{\|\boldsymbol{x}\|}  \geqslant}$
la m\^eme expression o\`u on ne retient que les vecteurs $\boldsymbol{x}$
avec des composantes non nulles aux indices des colonnes de la sous-matrice,
et le num\'erateur est sup\'erieur \`a la norme obtenue en ne retenant
que les composantes dont les indices sont ceux des lignes de la
sous-matrice.

\section{Quelques conditions suffisantes.}

\subsection{Norme $\leqslant 1+\text{const.}\Delta t$ }  \   \\

Comme pour toute norme subordonn\'ee \`a une norme vectorielle,
on a $\|AB\|\leqslant \|A\|\;\|B\|$, donc
tout va bien si $\|E_h\|\leqslant 1$, puisque $\|E_h^n\|\leqslant
 \|E_h\|^n$.

Par exemple, la condition \eqref{chalstab1} de la page~\pageref{chalstab1}
$ \Delta t \leqslant  h^2/(2\sigma)$  correspond \`a $\|E_h\|\leqslant 1$.

\medskip

On peut se permettre une norme un peu plus grande que 1, si elle reste
$\leqslant  1+c\Delta t$, en effet
$$ \|E_h\|\leqslant 1+c\Delta t \implies
\|E_h^n\|\leqslant (1+c\Delta t)^n \leqslant
 (1+c\Delta t)^{T/\Delta t} \leqslant e^{cT}.$$

\subsection{Matrices sym\'etriques, normales }  \   \\

Une matrice sym\'etrique, ou, plus g\'en\'eralement
 une \emph{\textbf{matrice
normale}}\footnote{$A$ normale $\iff A \overline{A}^T = \overline{A}^T A
 \iff A = B+iC$, avec $B$ et $C$ hermitiennes et $BC=CB$.},
 c'est-\`a-dire v\'erifiant $E_h \overline{E_h}^T =
    \overline{E}_h^T E_h$
 admet toujours une base orthogonale de vecteurs propres, donc
 $E_h = U_h \Lambda_h U_h^{-1}$, avec
 $U_h$ unitaire, donc de norme unit\'e $\Rightarrow
 E_h^n = U_h \Lambda_h^n U_h^{-1}$
 de norme $(\max|\lambda(E_h)|)^n$.

La condition suffisante de stabilit\'e num\'erique est donc
alors $\max|\lambda(E_h)|\leqslant 1+c\Delta t$.

\subsection{Formes de Jordan et de Schur} \  \\

L'utilisation de la forme de Jordan $E_h=S_hJ_hS_h^{-1}$ donne
$E_h^n = S_h J_h^n S_h^{-1}$, tr\`es difficile \`a discuter, puisqu'il
faudrait estimer $\|S_h\|\;\|S_h^{-1}\| =$ conditionnement de $S_h$,
qui varie avec $\Delta t$!

\medskip

La forme de Schur $E_h = U_h T_h U_h^{-1}$, o\`u $U_h$ est
unitaire, demande d'appr\'ecier les normes des puissances de la
matrice triangulaire $T_h$.  On peut passer de la forme de Jordan
\`a la forme de Schur en orthogonalisant par Gram-Schmidt la base
des vecteurs propres et vecteurs principaux formant les colonnes de
$S_h$: $S_h = U_h R_h$ ($=$ QR de $S_h$), $T_h = R_h J_h R_h^{-1}$,
ces trois derni\`eres matrices \'etant triangulaires sup\'erieures.

N.B.: les \'el\'ements diagonaux de $J_h$ et $T_h$ sont les
valeurs propres de $E_h$.

\section{Condition n\'ecessaire de von Neumann.}
\index{von Neumann, cond. de}
La condition sur les valeurs propres de $E_h$, suffisante pour des
matrices normales, est toujours n\'ecessaire:

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme.}
$ \qquad \|E_h^n \| \leqslant C, \   n\Delta t\leqslant T\Rightarrow
   |\lambda(E_h)| \leqslant 1+c \Delta t.
$

En effet $\|Ax\|\leqslant \|A\|\; \|x\|$ pour tout $x \Rightarrow
 \|A\|\geqslant |\lambda(A)\|$: il suffit de prendre $x=$ un vecteur propre
 de $A$. Donc $\|A^m\| \geqslant |\lambda(A^m)| = |\lambda(A)|^m$. \\
 Ici, $|\lambda(E_h)|$ doit donc \^etre inf\'erieur \`a une
 $\text{constante}^{1/n} = e^{K/n} \leqslant e^{K\Delta t/T}$ quand
$n$ prend la plus grande valeur possible $T/\Delta t$ (on suppose
\'evidemment $K>0$). La condition sur le rayon spectral de $E_h$
est donc d'autant plus s\'ev\`ere que $\Delta t$ (qui $\to 0$ quand $h\to 0$)
est petit. En tout cas, comme $\Delta t\leqslant T$, $e^{K\Delta t/T}
\leqslant$ la valeur en $K\Delta t/T$ de l'interpolant lin\'eaire de
l'exponentielle en 0 et en $K$, interpolant qui vaut
$1+ c\Delta t$\  \  \footnote{En fait,
  $\displaystyle{  1 + \dfrac{e^K -1}{K} K \dfrac{\Delta t}{T} }$.}. \qed

\bigskip

Si toutes les valeurs propres des diff\'erentes matrices $E_h$
\'etaient confin\'ees dans un disque $|\lambda|\leqslant \rho<1$, il n'y
aurait pas de probl\`eme (pas si \'evident, voir plus loin), mais \c ca
n'arrive jamais! Par \textbf{consistance}, les matrices $E_h$
doivent avoir des valeurs propres proches de 1!

En effet, $E_h r_h u(0)$ doit \^etre proche de $r_h u(\Delta t)$, donc
de $r_h u(0)$: $\|E_h r_h u(0) - r_h u(0)\|\to 0$ pour un ensemble
suffisamment grand de fonctions $u(0)$. En tout cas,
on voit que $\|(E_h -I)^{-1}\|\to\infty$: sinon,
$\|r_h u(0)\|= \|(E_h -I)^{-1} [E_h r_h u(0) - r_h u(0)]\|$
tendrait vers 0 quand $h\to 0$.


On peut montrer [Richtmyer, p.69] que, si les valeurs propres de $E_h$
sont toutes \emph{sauf une} dans $|\lambda|\leqslant \rho<1$, la condition de
von Neumann suffit.

\bigskip



\section{Th\'eor\`eme de Kreiss.}
                                    \index{Kreiss, th\'eor\`eme de}
Il s'agit de pr\'eciser des conditions n\'ecessaires et suffisantes de
stabilit\'e num\'erique en r\'esumant et en \'etendant ce qui vient d'\^etre fait.
\medskip

\subsection{Pr\'eparation} \   \\

On commence par effectuer des similitudes unitaires $U_h^{-1}E_h U_h$
de mani\`ere \`a faire appara\^\i tre des blocs diagonaux de taille
\emph{\textbf{born\'ee par une constante}}. Par exemple, le
sch\'ema de DuFort-Frankel aboutissait \`a des blocs
$\displaystyle{
   \begin{bmatrix}  0  &  1 \\ -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} &
                        \dfrac{2-\mu_i}{1+\alpha}
   \end{bmatrix}   }$,
 o\`u $\alpha = h^2/(2\sigma\Delta t)$ et $\mu_i=$ une valeur propre
de $h^2M_h$ est comprise entre 0 et 4.

\medskip

Constatons ensuite d'abord que la connaissance d'une famille de matrices
$E_h$ num\'eriquement stable \'equivaut \`a la connaissance d'une famille
$\{A_\alpha\}$ de matrices dont \emph{\textbf{toutes}} les puissances
positives sont uniform\'ement born\'ees:
$$ \|A_\alpha^N\|\leqslant C, \qquad\qquad  N=0,1,\dotsc  $$
(Remarquons que $N=0 \Rightarrow C\geqslant 1$).

En effet,

\begin{enumerate}
 \item Cond. suffisante. Si $\left\|\left(C^{-\Delta t/(2T)} E_h\right)^n\right\| \leqslant C^{1/2} $,
  pour tout $n$ entier $\geqslant 0$, alors
    $\|E_h^n\| \leqslant C $ pour $n=0,1,\dotsc, T/\Delta t$.
 \item Cond. n\'ecessaire.
  Si  $\|E_h^n\| \leqslant C $ pour $n=0,1,\dotsc, T/\Delta t$,
 \'evaluons une borne sup\'erieure de $\|E_h^N\|$, $N$ entier
  positif quelconque: soit $N=q (T/\Delta t)+r$, quotient et
 reste de la division de $N$ par $T/\Delta t$.
$$ \|E_h^N\|= \|E_h^{q(T/\Delta t)+r}\|\leqslant
 \|E_h^{T/\Delta t}\|^q \|E_h^r\| \leqslant C^{q+1} \leqslant
  C^{1+N \Delta t/T},$$
donc
   $\left\|\left(C^{-\Delta t/T} E_h\right)^N\right\| \leqslant C $,
  pour tout $N$ entier $\geqslant 0$.
\end{enumerate}

\subsection{Le th\'eor\`eme de Kreiss} \  \\

\noindent\textbf{Th\'eor\`eme\footnote{H.O.~Kreiss, \"Uber die
   Stabilit\"atsdefinition f\"ur Differenzengleichungen die
   partielle Differenzialgleichungen approximieren, \textsl{BIT},
   \textbf{2} (1962) 153-181.}.} \textsl{Soit une famille $\{A_\alpha\}$
  de matrices complexes carr\'ees d'ordre fix\'e $m$.   Les quatre propositions
suivantes sont \'equivalentes:
\begin{enumerate}
 \item $\|A_\alpha^N\|\leqslant C_1$, avec la m\^eme constante $C_1$
  pour tout \'el\'ement $A_\alpha$ de la famille de matrices, et pour
  tout entier $N\geqslant 0$.
 \item Pour tout $z$ complexe avec $|z|>1$, chaque matrice
 $zI-A_\alpha$ est inversible, et
  \begin{equation}  \label{Kr2} \|(zI-A_\alpha)^{-1}\|\leqslant
    \dfrac{C_2}{|z|-1}  . \end{equation}
  \item $\exists C_3, C_4$ constantes pour toute la famille
    $\{A_\alpha\}$, et chaque matrice de la famille peut \^etre
   mise sous la forme $A_\alpha = S_\alpha T_\alpha S_\alpha^{-1}$, avec
  $\|S_\alpha\|$ et $\|S_\alpha^{-1}\|\leqslant C_3$, $T_\alpha$ triangulaire
  d'\'el\'ements diagonaux (valeurs propres de $A_\alpha$) de valeurs
  absolues $\leqslant 1$, et d'\'el\'ements non diagonaux
  v\'erifiant $|t_{i,j}|\leqslant C_4 \min(1-|t_{i,i}|, 1-|t_{j,j}|)$.
 \item $\exists C_H\geqslant 1$ constante pour toute la famille $\{A_\alpha\}$, et
  on peut associer \`a chaque matrice $A_\alpha$ une matrice hermitienne
  d\'efinie positive $H_\alpha$ v\'erifiant $\|H_\alpha\|\leqslant C_H$,
                $\|H_\alpha^{-1}\|\leqslant C_H$,
   et \\ $H_\alpha - A_\alpha^H H_\alpha A_\alpha$
  semi-d\'efinie positive.
\end{enumerate}
} %end sl

\subsection{Preuve} (d'apr\`es [Richtmyer \& Morton, \S~4.9])\   \\

\begin{itemize}
  \item $1\Rightarrow 2$.
     Comme les valeurs absolues des valeurs propres sont major\'ees
    par la norme, $|\lambda(A^n)| = |\lambda(A)|^n \leqslant C_1$,
    pour tout $n$ entier positif, donc $|\lambda(A)|\leqslant 1$, et
    $zI-A$ est inversible si $|z|>1$ (les valeurs propres de $zI-A$
     sont $z-\lambda(A)$).
     \\ D\`es lors, la s\'erie convergente $\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty
        z^{-k-1}A^k }$ vaut bien $(zI-A)^{-1}$: la somme des $p$ premiers
     termes vaut $(zI-A)^{-1}(I-z^{-p}A^p) \to (zI-A)^{-1}$ quand
    $p\to\infty$ (et $|z|>1$). Et la norme de la s\'erie est
     born\'ee par $\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty C_1 |z|^{-k-1} =
    C_1(|z|-1)^{-1} }$. \qed
  \item $2\Rightarrow 3$.
      On construit progressivement $T$ en partant de la matrice
     triangulaire figurant dans la forme de Schur de $A$. \\
     L'\'el\'ement $(i,i+1)$ de $(zI-T)^{-1}$ est
      $\displaystyle{ -\dfrac{t_{i,i+1}}{(z-\lambda_i)(z-\lambda_{i+1})} }$,
      born\'e par $C_2/(|z|-1)$, donc $\displaystyle{ |t_{i,i+1}|
      \leqslant C_2\dfrac{|z-\lambda_i|\; |z-\lambda_{i+1}|}{|z|-1} }$
      pour tout $|z|>1$ (on rappelle que $t_{i,i}=\lambda_i$).
      Soit $|\lambda_i|\geqslant |\lambda_{i+1}|$, prenons $z$ align\'e
     sur $\lambda_i$: $z=|z|\lambda_i/|\lambda_i|$, $|z-\lambda_i|=
    |z|-|\lambda_i|$, $|z-\lambda_{i+1}|\leqslant |z-\lambda_i|
    +|\lambda_i-\lambda_{i+1}|$.
      Avec $|z|=2-|\lambda_i|$,
     on voit  que $|t_{i,i+1}|\leqslant 4C_2(1-|\lambda_i|)+2C_2|\lambda_i-\lambda_{i+1}|$.
     Effectuons maintenant la similitude   \\
      {\Small $\displaystyle{  T \longrightarrow
         \begin{bmatrix} 1 &   &   &    &  & \\
                           & 1 &   &    &  & \\
                           &   & \ddots&&  & \\
                           &   &   & 1 & -\kappa  & & \\
                           &   &   &   & \ddots &  \\
                           &   &   &   &  & 1\\
                            \end{bmatrix}    \; T \; %
         \begin{bmatrix} 1 &   &   &    &  & \\
                           & 1 &   &    &  & \\
                           &   & \ddots&&  & \\
                           &   &   & 1 & \kappa  & & \\
                           &   &   &   & \ddots &  \\
                           &   &   &   &  & 1\\
                            \end{bmatrix}
                   }$  }  \\
      o\`u $\kappa$ se trouve en $(i,i+1)$. Le r\'esultat est encore
     triangulaire sup\'erieur, les \'el\'ements modifi\'es sont ceux de
     la $i^{\text{\`eme}}$ ligne $t_{i,j} \longrightarrow
        t_{i,j}-\kappa t_{i+1,j} $ pour $j>i+1$, et ceux de la  \\
    $(i+1)^{\text{\`eme}}$ colonne
                                 $t_{j,i+1} \longrightarrow
        t_{j,i+1}+\kappa t_{j,i} $ pour $j<i$, et enfin
                                 $t_{i,i+1} \longrightarrow
        t_{i,i+1}+\kappa (\lambda_i -\lambda_{i+1})$.
      Comme on a vu que $t_{i,i+1} = 4C_2\alpha (1-|\lambda_i|)
       +2C_2\beta (\lambda_i-\lambda_{i+1})$, avec $|\alpha|$ et $|\beta|
      \leqslant 1$, il suffit de prendre $\kappa =-2C_2\beta$ pour
     obtenir le nouveau $|t_{i,i+1}|\leqslant 4C_2(1-|\lambda_i|) =
        4C_2 \min(1-|\lambda_i|, 1-|\lambda_{i+1}|)$. On reprend pour
      tous les $i$. Les normes des matrices de similitude sont
       multipli\'ees au plus par $(1+2C_2)$ \`a chaque fois.  \\
     On examine maintenant les $t_{i,i+k+1}$ avec $k>0$:
    \\ Pour $k=1,2,\dotsc,m-1$:\\
      \begin{itemize}
        \item Si on est arriv\'e \`a une matrice triangulaire $T$
         dont tous les \'el\'ements $t_{i,j}$ v\'erifient 3. (avec
         une constante provisoire $C'_4$) quand
         $j-i\leqslant k$, on examine les \'el\'ements $t_{i,i+k+1}$:
        \item Pour $i=1,2,\dotsc, m-k-1$:  \\
          pour \'evaluer une borne de $|t_{i,i+k+1}|$ \`a partir
         de la borne $\|(zI-T)^{-1}\|\leqslant C'_2/(|z|-1)$,
%          il suffit d'examiner la sous-matrice de lignes et
%           colonnes $\{i,i+1,\dotsc,i+k+1\}$, dont on permute d'abord
%          les deuxi\`emes et derni\`eres lignes et colonnes, on
%          arrive \`a
%         $\displaystyle{ \begin{bmatrix} X & Y \\ Z & W\end{bmatrix} =
%            \begin{bmatrix}
%      \lambda_i & t_{i,i+k+1} & | & t_{i,i+2} & \dotsb & t_{i,i+k} & t_{i,i+1} \\
%           0    & \lambda_{i+k+1}&|&  0       & \dotsb &   0       & 0  \\
%        --      &  ---        & + & --        & ---    & ---     & ---  \\
%           0    &t_{i+2,i+k+1}& | &           &         &          &   \\
%          \vdots& \vdots      & | &           &  W      &          &   \\
%           0    &t_{i+k,i+k+1}& | &           &         &          &   \\
%           0    &t_{i+1,i+k+1}& | &           &         &          &
%         \end{bmatrix}, }$ \\
%      $zI-T$ se $LU-$factorise en $zI-T= \displaystyle{
%         \begin{bmatrix}I & 0 \\  -Z(zI-X)^{-1} & I \end{bmatrix}
%         \begin{bmatrix}zI-X & -Y \\  0 & zI-W \end{bmatrix}  }$,
%         (on v\'erifie que $ZY= Z(zI-X)^{-1}Y=0$),  \\
%    donc,
%      $\displaystyle{
%         \begin{bmatrix}zI-X & -Y \\  0 & zI-W \end{bmatrix}^{-1}=
%        (zI-T)^{-1}
%         \begin{bmatrix}I & 0 \\ -Z(zI-X)^{-1} & I \end{bmatrix}  }$,
%       o\`u on ne s'int\'eresse qu'\`a la sous-matrice des deux
%      premi\`eres lignes et colonnes, donc aux deux premi\`eres
%      colonnes du second facteur:        \\
%   $\displaystyle{  \|(zI-X)^{-1}\| \leqslant \|(zI-T)^{-1}\|\; \left\|
%       \begin{bmatrix}  1 & 0 \\  0 & 1 \\
%                0  &  t_{i+2,i+k+1}/(z-\lambda_{i+k+1})  \\
%              \vdots  &  \vdots  \\
%           0    &t_{i+k,i+k+1}/(z-\lambda_{i+k+1}) \\
%           0    &t_{i+1,i+k+1}/(z-\lambda_{i+k+1})    \end{bmatrix}  \right\|  }$,
%      et, pour l'\'el\'ement $(1,2)$ de $(zI-X)^{-1}$, sachant que
%     $|t_{j,i+k+1}|\leqslant C'_2 (1-|\lambda_{i+k+1}|)$ pour $j>i$, \\
%    quelle horreur!! \\
     \'ecrivons l'\'el\'ement $(i,i+k+1)$ de $(zI-T)^{-1}(zI-T)=I$:
   \begin{equation*} \begin{split}
     0 &= \sum_{p=i}^{i+k+1} (zI-T)^{-1}_{i,p} (zI-T)_{p,i+k+1} \\
   &= -\dfrac{t_{i,i+k+1}}{z-\lambda_i}
     -\sum_{p=i+1}^{i+k} (zI-T)^{-1}_{i,p}\; t_{p,i+k+1}
     + (zI-T)^{-1}_{i,i+k+1} (z-\lambda_{i+k+1}) .
   \end{split}\end{equation*}
  On obtient donc $t_{i,i+k+1}= (z-\lambda_i) \times$ une somme de
   $k+1$ produits d'un \'el\'ement de $(zI-T)^{-1}$ et de $z-\lambda_{i+k+1}$
   ou d'un \'el\'ement que l'on sait d\'ej\`a \^etre born\'e par
   $C'_4 (1-|\lambda_{i+k+1}|) \leqslant C'_4 (|z|-|\lambda_{i+k+1}|)
     \leqslant C'_4 |z-\lambda_{i+k+1}|$, d'o\`u
  $$|t_{i,i+k+1}| \leqslant (1+kC'_4)C'_2\dfrac{|(z-\lambda_i|\;|z-\lambda_{i+k+1}|}
                    {|z|-1}, $$
    on se ram\`ene au cas d\'ej\`a discut\'e, avec une transformation de
    similitude $T \to (I-K)T(I+K) = T-KT+TK$, o\`u $K$ ne contient
    qu'un seul \'el\'ement non nul $\kappa$ en position $(i,i+k+1)$.
    On prendra $\kappa=-2(1+kC'_4)C'_2\beta$ avec $|\beta|\leqslant 1$
    pour obtenir $|t_{i,i+k+1}|_{\text{new}} =
                  |t_{i,i+k+1,\text{old}}+\kappa(\lambda_i-\lambda_{i+k+1})|
       \leqslant 4(1+kC'_4)C'_2 \min(1-|\lambda_i|, 1-|\lambda_{i+k+1}|)$.
    Les autres $t_{p,q}$ modifi\'es sont
 $$ T \longrightarrow T -\kappa \begin{bmatrix} 0 & 0 & \dotsb & 0 &
     t_{i+k+1,i+k+1} & t_{i+k+1,i+k+2} & \dotsb & t_{i+k+1,m}\end{bmatrix}_{\text{ligne\ }i}
            +\kappa \begin{bmatrix} t_{1,i} \\ t_{2,i} \\ \vdots \\
     t_{i,i} \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{bmatrix}_{\text{colonne\ }i+k+1}
$$
     et v\'erifient $j>i+k+1$, et seront donc trait\'es lors des
    \'etapes ult\'erieures. Le nouveau $C'_4$ vaut $\max(C'_4,
        4(1+kC'_4)C'_2$, $C'_3$ est multipli\'e par $1+2(1+kC'_4)C'_2$,
      et le nouveau $C'_2$ est multipli\'e par le carr\'e de cette
     derni\`ere valeur\dots
     \item end $i$.
      \end{itemize}
    end $k$ \qed
  \item $3\Rightarrow 4$.
     Si $A=STS^{-1}$ v\'erifie (3), il existe $K>1$ (constant pour toute
    la famille des matrices $A$) tel que $\|DTD^{-1}\|\leqslant 1$, o\`u $D$ est la
    matrice diagonale d'\'el\'ements diagonaux $K, K^2,\dotsc, K^m$.
    En effet, les \'el\'ements diagonaux de $DTD^{-1}$ sont les
   $t_{i,i}$ inchang\'es; et les \'el\'ements non diagonaux sont
   $K^{i-j}t_{i,j}$ avec $j>i$. La somme des valeurs absolues des\'el\'ements
    d'une ligne est donc born\'ee par $|t_{i,i}|+ C_4 (1-|t_{i,i}|)
   (K^{-1}+K^{-2}+\dotsb ) \leqslant 1$ si $K\geqslant 1+C_4$. Il en va
    de m\^eme pour les colonnes, d'o\`u $\|DTD^{-1}\|\leqslant 1$. \\
  Toutes les valeurs propres de $D^{-1}T^H D^2 T D^{-1}$ sont donc
  $\leqslant 1$,
       $I-D^{-1}T^H D^2 T D^{-1}$ est semi-d\'efinie positive,
  ainsi que $D^2 -T^H D^2 T$, ce qui \'etablit (4) avec $H=S^{-H}D^2S^{-1}$.
  On a $\|H\|\leqslant C_3^2 K^{2m}$,
       $\|H^{-1}\|\leqslant C_3^2 K^{-2}$.
  \item $4\Rightarrow 1$.
    Pour tout vecteur de d\'epart $\boldsymbol{w}_0$, consid\'erons
    l'it\'eration $\boldsymbol{w}_{k+1} = A\boldsymbol{w}_k$. La suite
  $\boldsymbol{w}_k^H H \boldsymbol{w}_k $ est d\'ecroissante:
$$
  \boldsymbol{w}_k^H H \boldsymbol{w}_k -
  \boldsymbol{w}_{k+1}^H H \boldsymbol{w}_{k+1} =
  \boldsymbol{w}_k^H (\underbrace{H-A^H H A}_{\text{d\'ef.\ pos.}})
   \boldsymbol{w}_k \geqslant 0,$$
$$ C_H^{-1}\boldsymbol{w}_k^H  \boldsymbol{w}_k \leqslant
      \boldsymbol{w}_k^H H \boldsymbol{w}_k \leqslant
      \boldsymbol{w}_0^H H \boldsymbol{w}_0 \leqslant
   C_H   \boldsymbol{w}_0^H  \boldsymbol{w}_0, $$
 d'o\`u $\|\boldsymbol{w}_k\|^2 =
         \|A^k\boldsymbol{w}_0\|^2 \leqslant C_H^2
         \|\boldsymbol{w}_0\|^2 $, et $\|A^k\|\leqslant C_H$.\qed
\end{itemize}

\medskip

Exemple de Dufort-Frankel
$\displaystyle{  E_\theta =
   \begin{bmatrix}  0  &  1 \\ -\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha} &
                        \dfrac{2\theta}{1+\alpha}
   \end{bmatrix}   }$,  o\`u $\alpha$ est fix\'e entre 0 et 1, et
 o\`u $\theta$ peut parcourir tout l'intervalle $[-1,1]$.

Les valeurs propres sont $\lambda_1(\theta)$ et $\lambda_2(\theta) =
\displaystyle{ \dfrac{ \theta \pm \sqrt{\theta^2-1+\alpha^2}}{1+\alpha} }$,
complexes de m\^eme valeur absolue $[(1-\alpha)/(1+\alpha)]^{1/2}$
quand $|\theta| < \sqrt{1-\alpha^2}$, r\'eelles dans les autres cas
avec $\lambda_1 \to \pm 1$ quand $\theta\to \pm 1$. On commence
par regarder la forme de Schur: la premi\`ere colonne de $U$ est
le vecteur propre $[1,\lambda_1]^T/\sqrt{1+|\lambda_1|^2}$, et on
construit la seconde colonne orthogonale \`a la premi\`ere:

\begin{verbatim}
%  DuFort Frankel
% Schur:
E=sym('[0,1 ; -L1*L2,L1+L2]'),
U=sym('[1,-conj(L1);L1,1]');U=symop(U,'/','sqrt(1+abs(L1)^2)' ),
EU=symop(E,'*',U);UH=inverse(U);T=symop(UH,'*',EU),
\end{verbatim}

ce qui donne une matrice triangulaire $\displaystyle{
  \begin{bmatrix} \lambda_1 & 1+\overline{\lambda_1}\lambda_2 \\
                  0 & \lambda_2 \end{bmatrix} }$


\begin{verbatim}
dufort

E=  [      0,   1 ]
    [ -L1*L2,L1+L2]

U = [   1/(1+abs(L1)^2)^(1/2), -1/(1+abs(L1)^2)^(1/2)*conj(L1)]
    [1/(1+abs(L1)^2)^(1/2)*L1,           1/(1+abs(L1)^2)^(1/2)]

T = [L1, L2*conj(L1)+1]
    [ 0,            L2]
\end{verbatim}

\noindent Cette matrice convient tant que les valeurs propres sont complexes,
avec \\ $\displaystyle{ C_4 \leqslant \dfrac{1+ (1-\alpha)/(1+\alpha) }
                                    {1- \sqrt{(1-\alpha)/(1+\alpha)} } }$.

Quand les valeurs propres sont r\'eelles, $t_{1,2}$ n'est plus
uniform\'ement born\'ee par un multiple de $1-|\lambda_1|$ quand
$\lambda_1$ se rapproche de $\pm 1$. On pratique alors une similitude
par $\displaystyle{\begin{bmatrix} 1 & \kappa \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$:

\begin{verbatim}
%similitude
UK=sym('[1,k;0,1]');T2=symop(inverse(UK),'*',T,'*',UK),
T2 =

T2 = [L1, L1*k+L2*conj(L1)+1-k*L2]
     [ 0,                      L2]
\end{verbatim}

o\`u le nouvel \'el\'ement $(1,2)$ vaut donc
$$ 1+\lambda_1\lambda_2 +\kappa(\lambda_1-\lambda_2) =
  \dfrac{ 2 +\kappa(1+\alpha) \lambda_1 -\kappa (1-\alpha)/\lambda_1 }{1+\alpha}
$$
Avec $\kappa =-\,$sign$\,(\lambda_1)/\alpha$, on obtient
$\displaystyle{ \dfrac{[1-\alpha+(1+\alpha)|\lambda_1|][1-|\lambda_1|]}
                      {\alpha(1+\alpha)|\lambda_1|}
  \leqslant \text{const.}\; (1-|\lambda_1|) }$.

\medskip

D\'eveloppements r\'ecents: voir le remarquable
   E. Wegert and L. N. Trefethen, "From the Buffon needle problem to the
   Kreiss matrix theorem," \textsl{Amer. Math. Monthly} \textbf{101}
    (1994), 132-139,
 \href{http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/buffon.ps.gz}
{\texttt{http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/buffon.ps.gz}}

 On s'est beaucoup occup\'e de quantifier la borne de $\|A^N\|$
\`a partir de \eqref{Kr2}. La r\'eponse est
$e C_2 \min(m,N-1)$ (Spijker).

\chapter{M\'ethodes (pseudo) spectrales.}
\renewcommand{\mylmark}{M\'ethodes (pseudo) spectrales}
\thispagestyle{fancy}

Extraits de

D.~Gottlieb, S.A.~Orszag, \textsl{Numerical Analysis of Spectral Methods:
Theory and Applications}, SIAM Reg.\ Conf.\ Appl.\ Math., 1977,

C.~Canuto, M.Y.~Hussaini, A.~Quarteroni, T.A.~Zang, \textsl{Spectral
Methods in Fluid Dynamics}, Springer, 1988.

 B.~Fornberg, \textsl{A Practical Guide to Pseudospectral Methods},
 Cambridge University Press, 1996,
paperback: 1999.

\section{Fonctions propres d'op\'erateurs autoadjoints.}

Les auteurs classiques ont toujours cherch\'e \`a r\'esoudre des probl\`emes
comme $Au=f$ ou $\partial u/\partial t = Au$, etc. par d\'eveloppements en
s\'eries de fonctions bien adapt\'ees \`a la g\'eom\'etrie du probl\`eme et
aux conditions aux limites.

Apr\`es les s\'eries de Taylor, toujours pr\'ecieuses en mati\`ere de fonctions
analytiques, d'autres s\'eries potentielles, les s\'eries de \emph{\textbf{Fourier}}
ont fourni un paradigme. On a vu que rien n'est plus commode que de ``voir'' et
discuter l'\'evolution de $\partial u/\partial u(x,t) = \sigma
\partial^2 u/\partial x^2$ avec $u(0,t)=u(1,t)=0$ par la s\'erie
$u(x,t) =
            \sum_{m=1}^\infty A_m(0)
    \exp(-\sigma \pi^2 m^2 t \ell^2)
    \sin(\pi m x/\ell), $
que l'on peut parfaitement utiliser pour l'\'evaluation num\'erique de $u$.

\smallskip

Comme d\'ej\`a vu auparavant, la conjonction d'un op\'erateur autoadjoint et
d'une base $\{\varphi_j\}$ de fonctions propres connues autorise cette
\'economie de la repr\'esentation: les $\varphi_j$ sont orthogonales
$$ \lambda_j (\varphi_j,\varphi_k) = (A\varphi_j, \varphi_k) =
(\varphi_l, A\varphi_k) = \lambda_k (\varphi_j,\varphi_k) \Rightarrow
(\varphi_j,\varphi_k)=0, j\neq k,$$
ce qui donne une formule pour repr\'esenter toute fonction admissible dans
la base des $\varphi_j$:
 $$\forall f\in U,  \;\;  f=\sum_j \dfrac{(f,\varphi_j)}{\|\varphi_j\|^2}
   \varphi_j,$$
et $Au=f$ se r\'esout \'evidemment par
 $$                   u=\sum_j \dfrac{(f,\varphi_j)}{\lambda_j \|\varphi_j\|^2}
   \varphi_j.$$

\medskip

Toutes les configurations classiques ont -probablement- \'et\'e \'epuis\'ees
depuis longtemps et on ne disposera probablement pas exactement de la base
de fonctions propres pour le probl\`eme \`a r\'esoudre. Aussi, on se sert
dans des r\'epertoires bien reconnus:

\smallskip

Un probl\`eme de \textbf{Sturm-Liouville}
$$ Ly(x) :=-\dfrac{d}{dx}\left[ p(x) \dfrac{dy(x)}{dx}\right] +q(x) y(x) =
  \lambda y(x), $$
$p(a) y(a) = p(b)y(b)=0$, est autoadjoint (au moins formellement):
$$ (u,Lv) = \int_a^b u \{-[pv']'+qv\}dx = [-puv']_a^b
   +\int_a^b\{ pu'v' +quv\}dx = (Lu,v),$$
et admet donc des fonctions propres $\varphi_n$ orthogonales.

\smallskip


Quelques exemples, outre les fonctions trigonom\'etriques:

Polyn\^omes de Legendre $P_n: -[(1-x^2)P_n']' = n(n+1) P_n$, \\
polyn\^omes de Tchebycheff $T_n: -[(1-x^2)\varphi_n']' +\dfrac{2-x^2}{4(1-x^2)} \varphi_n
       = n^2 \varphi_n, \varphi_n=(1-x^2)^{-1/4}T_n$,\\
polyn\^omes de Jacobi $P_n^{(\alpha,\beta)}:
   \varphi_n=(1-x)^{\alpha/2}(1+x)^{\beta/2}
      P_n^{(\alpha,\beta)}$,\\
 \hspace*{-30pt}$\displaystyle{
 -[(1-x^2)\varphi_n']' +\dfrac{(\alpha+\beta)(\alpha+\beta+2)x^2 +2(\alpha^2
     -\beta^2)x +(\alpha-\beta)^2-2(\alpha+\beta)}{4(1-x^2)} \varphi_n
   = n(n+\alpha+\beta+1)\varphi_n}$,  \\
polyn\^omes de Laguerre $L_n^{(\alpha)} : -(x\varphi_n')'
   +\displaystyle{ \dfrac{x^2+\alpha^2}{4x} \varphi_n =
      (n +\alpha+1/2) \varphi_n, \; \varphi_n = x^{\alpha/2} e^{-x/2} L_n^{(\alpha)}(x)}$
\\
polyn\^omes d'Hermite $\displaystyle{   -\varphi_n'' +x^2 \varphi_n = (2n+1) \varphi_n,
    \; \varphi_n = e^{-x^2/2} H_n(x)  }$.

D'apr\`es les fonctions propres du laplacien sur un disque ou une boule:
syst\`eme de Fourier-Bessel:
$\displaystyle{  -\varphi_n'' +\dfrac{(d-1)(d-3)}{4 x^2} \varphi_n =
  \lambda \varphi_n,\quad \varphi_n(x) = \sqrt{x} J_{(d-2)/2} (x\sqrt{\lambda_n})}$,
avec $\lambda_n$ tel que $\varphi_n(R)=0$.

\section{Calcul en repr\'esentation spectrale.}

Comme les $\varphi_n$ ne seront probablement pas les vraies fonctions
propres du probl\`eme que l'on a a traiter, on cherche \`a obtenir
aussi exactement que possible $Au_h$ \`a partir d'une repr\'esentation
$u_h = \sum_n \alpha_n \varphi_n$, o\`u les $\alpha_n$ sont les inconnues.

On cherchera ainsi \`a exprimer la multiplication d'une telle somme par
des fonctions figurant dans l'op\'erateur $A$, et \`a repr\'esenter correctement
des op\'erations de d\'erivation. Pour chaque choix plus ou moins judicieux de
fonctions de base, on utilisera des formules de r\'ecurrence, identit\'es
diff\'erentielles, etc.

\subsection{Ritz-Galerkin} \   \\

\medskip

On r\'esout $(Lu_h,v)=a(u_h,v)= \varphi(v)$, $\forall v\in U_h$, en utilisant
une base de $U_h$:


Par \textbf{exemple},   r\'esolvons
$$Lu= -u'' +u = 1,\qquad  -1\leqslant x\leqslant 1,\quad u(-1)=u(1)=0.$$
La solution $1-(\cosh x)/(\cosh 1)$, et les fonctions propres
$-\psi''+\psi = \lambda\psi$ sont des combinaisons d'exponentielles et de
fonctions trigonom\'etriques.

\medskip

Soit $U_h =$ polyn\^omes trigonom\'etriques nuls en $\pm 1$  de base
$\{\cos((k+1/2)\pi x)$, $k=0,1,\dotsc, n$. Donc,
$$ u_h=\sum_{k=0}^n c_k \cos((k+1/2)\pi x,
Lu_h=-u''_h+u_h =\sum_{k=0}^n [(k+1/2)^2\pi^2+1]c_k \cos((k+1/2)\pi x,$$
$$0=\int_{-1}^1 (Lu_h-1)\cos(p+1/2)\pi x\;dx
   = [(p+1/2)^2\pi^2 +1]c_p - \dfrac{2(-1)^p}{(p+1/2)\pi}, $$
$p=0,1,\dotsc, n$ par orthogonalit\'e des cosinus.
On obtient une somme partielle de la s\'erie de Fourier de la
solution $u$. La s\'erie est assez lentement convergente car
l'extension p\'eriodique de $u$ n'est que $\mathscr{C}^1_I\dotsc$

On n'a donc pas trop bien choisi le sous-espace d'approximation.

\medskip

Soit $U_h=\mathscr{P}_n$, polyn\^omes de degr\'e $\leqslant n$
s'annulant en $x=\pm 1$.

Par exemple, avec une base de polyn\^omes de Tchebycheff  $T_k-T_{k-2}$,
$k=2,3,\dotsc, n$,
$$ 0=\int_{-1}^1 (Lu_h-1)(T_p(x)-T_{p-2}(x))dx =
\int_{-1}^1 \{\sum_{2}^n c_k [(T'_k(x)-T'_{k-2}(x))(T'_p(x)-T'_{p-2}(x))
                +(T_k(x)-T_{k-2}(x))(T_p(x)-T_{p-2}(x))]\}\,dx
  -\int_{-1}^1 (T_p(x)-T_{p-2}(x))\,dx   ,
$$
$p=2,3,\dotsc, n$. Probablement assez compliqu\'e.

\medskip

Autre base polynomiale:
nous allons tenter une r\'esolution approch\'ee \`a l'aide de polyn\^omes
de Legendre, fonctions propres d'un tout autre op\'erateur. En fait,
on prendra les \emph{\textbf{primitives}} des polyn\^omes de
Legendre: \\ $\displaystyle{ \varphi_n(x) = \int_{-1}^x P_n(t)\,dt =
 \dfrac{ P_{n+1}(x) -P_{n-1}(x)}{2n+1} }$, $n=1,2,\dotsc, N$. Ces
polyn\^omes sont effectivement nuls en $-1$ et en 1, et leurs d\'eriv\'ees
ont une expression commode. Posons donc $u_h = \sum_1^N \alpha_n
\varphi_n \in U_h= (1-x^2)\mathscr{P}_{N-1}$ et r\'esolvons par
Ritz-Galerkin:
$$ 0= \int_{-1}^1 (-u''+u-1) v\, dx =
      \int_{-1}^1 (u'v' +uv -v) \, dx \quad \forall v\in U_h ,$$
$$ \int_{-1}^1 P_j \sum_1^N \alpha_n P_n  \;
     +\dfrac{P_{j+1}-P_{j-1}}{2j+1}
        \sum_1^N \alpha_n \dfrac{P_{n+1}-P_{n-1}}{2n+1}  \;
                - \dfrac{P_{j+1}-P_{j-1}}{2j+1}  =0, j=1,\dotsc, N
$$
d'o\`u, en utilisant les propri\'et\'es d'orthogonalit\'e des
polyn\^omes de Legendre:
$$ -\dfrac{\alpha_{j-2}}{(2j-3)(2j-1)}
  +\left( 1+\dfrac{2}{(2j+3)(2j-1)} \right) \alpha_j
   -\dfrac{\alpha_{j+2}}{(2j+3)(2j+5)}  =
  -\delta_{j,1}, \quad j=1,2,\dotsc,N
$$
ce qui fait bien $N$ \'equations pour $N$ inconnues ($\alpha_{-1} =
\alpha_{N+2}=0$).

\smallskip

{\Small

\begin{verbatim}

%spectr1.m
%  -u''+u=1  par prim. de Legendre
diary
N=input('entrez N  ');N=2*ceil(N/2)+1
% Solution du systeme tridiagonal
a(N+2)=0;a(N)=1;
for j=N:-2:3;
  tg=-1/((2*j-3)*(2*j-1));tc=1+2/((2*j+3)*(2*j-1));td=-1/((2*j+3)*(2*j+5));
  a(j-2)=-( tc*a(j)+td*a(j+2) )/tg;
end;
uu=-1.4*a(1)+a(3)/35;
for j=1:2:N;a(j)=a(j)/uu;end;
format short e;a(1:2:N)
% valeur en x=0
% phi_(2n+1)(0)=(-1)^n (2n-1)...(-1)/((2n+2)...2)
phi=-0.5;va=a(1)*phi;
for j=3:2:N;phi=-phi*(j-2)/(j+1);va=va+a(j)*phi;end;
format long;[1-1/cosh(1)  ;  va]



N=input('entrez N  ');N=2*ceil(N/2)+1
N =         3

format short e;a(1:2:N)
ans =
-7.1522E-001  -4.5652E-002

format long;[1-1/cosh(1)  ;  va]
ans =
       0.351945726336115
       0.35190

N=input('entrez N  ');N=2*ceil(N/2)+1
N =         7

format short e;a(1:2:N)
ans =
-7.1522E-001  -4.5659E-002  -7.1259E-004  -4.9385E-006

format long;[1-1/cosh(1)  ;  va]
ans =
       0.351945726336115
       0.3519457258

N=input('entrez N  ');N=2*ceil(N/2)+1
N =         11

format short e;a(1:2:N)
ans =
-7.1522E-001  -4.5659E-002  -7.1259E-004  -4.9385E-006  -1.9259E-008  -4.8085E-011

format long;[1-1/cosh(1)  ;  va]
ans =
       0.351945726336115
       0.351945726336113

\end{verbatim}

} %end small

\smallskip
On a donc trouv\'e une base permettant d'\'ecrire \'economiquement
des d\'eriv\'ees $(\sum \alpha_k \varphi_k)' = \sum \alpha_k P_k$ et des
multiplications de $u_h$ et $u_h'$ par $\varphi_j$ et $\varphi_j'$.

On constate aussi une d\'ecroissance rapide (exponentielle) des
coefficients. C'est alors que les m\'ethodes quasi-spectrales
montrent leur efficacit\'e!

\medskip

\subsection{Un probl\`eme de Trefethen}  \   \\

\href{http://www.siam.org/siamnews/01-02/challenge.pdf}
{\texttt{\bf http://www.siam.org/siamnews/01-02/challenge.pdf}};
 Chastened Challenge Sponsor: ``I Misjudged'' (The \$100,
          100-digit
  \href{http://www.siam.org/siamnews/07-02/challengeupdate.pdf}
 {\texttt{http://www.siam.org/siamnews/07-02/challengeupdate.pdf}};
 \href{http://www.ma.tum.de/m3/bornemann/challengebook}
 {\texttt{http://www.ma.tum.de/m3/bornemann/challengebook}}


\parpic{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)
 % eurolux.gp
\psline(0.5,0.5)(3.5,0.5)(3.5,3.5)(0.5,3.5)(0.5,0.5)
\psline{->}(2,0)(2,4)       \psline{->}(0,2)(4,2)
\uput[180](0.4,2.5){$u=5$}
\uput[270](2.7,3.5){$u=0$}     \uput[0](3.4,2.5){$u=0$}
\uput[90](2.7,0.5){$u=0$}
\end{pspicture}
}
$u(x,y,t)$ vaut 0 sur 3 c\^ot\'es du carr\'e $[-1,1]\times[-1,1]$
et vaut 5 sur le $4^{\text{\`eme}}$ c\^ot\'e. Au temps $t=0$, $u$
est nul dans l'int\'erieur du carr\'e. Enfin,
\begin{equation} \label{trefu}
  \dfrac{\partial u}{\partial t}= \Delta u.
\end{equation}

Quand $u(0,0,t)$ vaudra-t-elle 1? Donnez au moins dix d\'ecimales
de cette valeur de $t$!

\medskip

Mais $u(0,0,t)$ atteint-elle seulement cette valeur?

$\{\sin(k\pi(1-y)/2)\}_1^\infty$ est une suite orthonormale totale de
$L^2(-1,1)$ v\'erifiant les conditions aux fronti\`eres
en $y=\pm 1$, donc
$$ u(x,y,t)= \sum_{k=1}^\infty c_k(x,t) \sin\left( k\dfrac{\pi(1-y)}{2}\right).$$
\eqref{trefu} devient
\begin{equation}\label{trefuc}
 \dfrac{\partial c_k(x,t)}{\partial t} =
 \dfrac{\partial^2 c_k(x,t)}{\partial x^2} -\dfrac{k^2\pi^2}{4}
   c_k(x,t),\qquad k=1,2,\dotsc
\end{equation}
En $t=\infty$, la d\'eriv\'ee en $t$ est nulle, $c_k(x,\infty)$
est une combinaison de $\exp(\pm k\pi x/2)$ devant s'annuler en
$x=1$, soit $c_k(x,\infty)= c_k(-1,\infty)
\displaystyle{ \dfrac{\sinh(k\pi(1-x)/2)}{\sinh(k\pi)} }$.

Enfin, $u=5$ en $x=-1\Rightarrow$
$$ c_k(-1,\infty)=\int_{-1}^1 5 \  \sin\left(\dfrac{k\pi(1-y)}{2}\right)\;dy =
                           5\dfrac{1-\cos k\pi}{k\pi/2},$$
soit $20/(k\pi)$ si $k$ est impair, 0 si $k$ est pair.

On trouve alors
$$ u(0,0,\infty) = \sum_{k\ \text{impair}} \dfrac{10 (-1)^{(k-1)/2} }
                                               {k\pi \cosh(k\pi/2)} $$
qui se trouve valoir $1.25$\footnote{En effet, Green $\Rightarrow
u(0,0,\infty)= \displaystyle{ \dfrac{1}{2\pi} \int_{\partial D}
 u\,\dfrac{\partial G}{\partial n}\,ds }$, o\`u $G$ est la fonction
harmonique dans $D\setminus\{(0,0)\}$, nulle au bord $\partial D$, et
avec $G-\log r$ born\'ee. Alors, si $D$ est un polygone r\'egulier,
l'int\'egrale de $\partial G/\partial n$ est la m\^eme sur chaque
c\^ot\'e et donc, si $u$ est constante sur chaque c\^ot\'e, la
valeur de $u$ au centre est la moyenne des valeurs sur les
c\^ot\'es.\qed}.

\medskip


On reprend maintenant  $t<\infty$:
$c_k(x,t)-c_k(x,\infty)$ est une fonction s'annulant en $x=\pm 1$,
soit
$$ c_k(x,t)=c_k(x,\infty)-\sum_{m=1}^\infty d_{k,m}(t)
     \sin\left( m\dfrac{\pi(1-x)}{2}\right)$$
avec $d_{k,m}(0)$ tels que $c_k(x,0)=0$, donc
\begin{equation*}\begin{split}
   d_{k,m}(0)= \int_{-1}^1 c_k(x,\infty)
     \sin\left( m\dfrac{\pi(1-x)}{2}\right)  \;dx
 &=
              2c_k(-1,\infty) \int_0^1
      \dfrac{\sinh(k\pi t)\sin(m\pi t)}{\sinh(k\pi)} \;dt \\
   &= \dfrac{2(-1)^{m-1}m\,   c_k(-1,\infty)}{\pi(k^2+m^2)}.
\end{split}\end{equation*}
Enfin \eqref{trefuc} $\Rightarrow d d_{k,m}(t)/dt = -\pi^2(k^2+m^2)
  d_{k,m}(t)/4$:
\begin{equation*}\begin{split}
\hspace*{-11pt}&u(x,y,t)= \\
\hspace*{-11pt}\vspace*{-4pt}  &\dfrac{20}{\pi^2}\sum_{k\ \text{impair}}
\left[ \dfrac{\sinh(k\pi(1-x)/2)}{\sinh(k\pi)}
  -\sum_{m=1}^\infty \dfrac{2m (-1)^{m-1} }{k^2+m^2}
   e^{-\pi^2(k^2+m^2)t/4}\, \sin\left(m\pi\dfrac{1-x}{2}\right)\right]
      \dfrac{\sin\left(k\pi\dfrac{1-y}{2}\right)}{k}.
\end{split}\end{equation*}



\noindent En $(x,y)=(0,0)$:


\begin{tabular}{|c|c|}
\hline  $t$   &  $u(0,0,t)$   \\
 \hline
0.100000000000000000000& 0.123524160473132733516  \\
0.200000000000000000000& 0.504418477389377249941  \\
0.300000000000000000000& 0.789736409260429938346  \\
0.400000000000000000000& 0.968577062427970117126  \\
                       &                          \\
0.424011387033688363797& 1.00000000000000000000   \\
                       &                          \\
0.500000000000000000000& 1.07815512193907390278   \\
0.600000000000000000000& 1.14508592618058100212   \\
0.700000000000000000000& 1.18594990093150270133   \\
0.800000000000000000000& 1.21089751859687170649   \\
0.900000000000000000000& 1.22612801042044943229   \\
1.000000000000000000000& 1.23542619734139363352   \\
                         \hline
\end{tabular}
\enlargethispage{1cm}

\noindent Graphe de $u$ en cette valeur de $t$ o\`u $u(0,0,t)$ vaut 1:

\vspace*{4.5cm}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(14,10)
\pscurve(0.250003814,0)(0.425006484,6.373)(0.775011825,10.31)(1.125,11.54)(1.475,12.22)(1.825,12.70)(2.175,13.05)(2.525,13.27)(2.875,13.29)(3.225,12.76)(3.575,9.523)(3.750,3.500)
\pscurve(0.750011444,0)(0.925014114,2.587)(1.275,6.330)(1.625,8.327)(1.975,9.437)(2.325,10.09)(2.675,10.44)(3.025,10.48)(3.375,10.07)(3.725,8.780)(4.075,5.737)(4.250,3.500)
\pscurve(1.250,0)(1.425,1.512)(1.775,4.123)(2.125,5.947)(2.475,7.116)(2.825,7.825)(3.175,8.175)(3.525,8.166)(3.875,7.697)(4.225,6.573)(4.575,4.662)(4.750,3.500)
\pscurve(1.750,0)(1.925,1.001)(2.275,2.836)(2.625,4.289)(2.975,5.325)(3.325,5.998)(3.675,6.348)(4.025,6.375)(4.375,6.039)(4.725,5.286)(5.075,4.151)(5.250,3.500)
\pscurve(2.250,0)(2.425,0.701644680)(2.775,2.024)(3.125,3.141)(3.475,4.001)(3.825,4.602)(4.175,4.952)(4.525,5.051)(4.875,4.891)(5.225,4.474)(5.575,3.851)(5.750,3.500)
\pscurve(2.750,0)(2.925,0.510326160)(3.275,1.487)(3.625,2.348)(3.975,3.050)(4.325,3.578)(4.675,3.928)(5.025,4.100)(5.375,4.098)(5.725,3.937)(6.075,3.660)(6.250,3.500)
\pscurve(3.250,0)(3.425,0.383740032)(3.775,1.126)(4.125,1.802)(4.475,2.381)(4.825,2.849)(5.175,3.199)(5.525,3.431)(5.875,3.552)(6.225,3.576)(6.575,3.533)(6.750,3.500)
\pscurve(3.750,0)(3.925,0.298555582)(4.275,0.882064855)(4.625,1.427)(4.975,1.916)(5.325,2.338)(5.675,2.688)(6.025,2.966)(6.375,3.177)(6.725,3.332)(7.075,3.448)(7.250,3.500)
\pscurve(4.250,0)(4.425,0.239484510)(4.775,0.711589863)(5.125,1.164)(5.475,1.587)(5.825,1.975)(6.175,2.325)(6.525,2.637)(6.875,2.914)(7.225,3.161)(7.575,3.389)(7.750,3.500)
\pscurve(4.750,0)(4.925,0.194940096)(5.275,0.582729909)(5.625,0.964568933)(5.975,1.337)(6.325,1.699)(6.675,2.049)(7.025,2.387)(7.375,2.714)(7.725,3.032)(8.075,3.344)(8.250,3.500)
\pscurve(0.35,12.85)(0.425006484,6.373)(0.925014114,2.587)(1.425,1.512)(1.925,1.001)(2.425,0.701644680)(2.925,0.510326160)(3.425,0.383740032)(3.925,0.298555582)(4.425,0.239484510)(4.925,0.194940096)(5.175,0.175002670)
\pscurve(0.7,13.2)(0.775011825,10.31)(1.275,6.330)(1.775,4.123)(2.275,2.836)(2.775,2.024)(3.275,1.487)(3.775,1.126)(4.275,0.882064855)(4.775,0.711589863)(5.275,0.582729909)(5.525,0.525008010)
\pscurve(1.05,13.55)(1.125,11.54)(1.625,8.327)(2.125,5.947)(2.625,4.289)(3.125,3.141)(3.625,2.348)(4.125,1.802)(4.625,1.427)(5.125,1.164)(5.625,0.964568933)(5.875,0.875013351)
\pscurve(1.4,13.9)(1.475,12.22)(1.975,9.437)(2.475,7.116)(2.975,5.325)(3.475,4.001)(3.975,3.050)(4.475,2.381)(4.975,1.916)(5.475,1.587)(5.975,1.337)(6.225,1.225)
\pscurve(1.75,14.25)(1.825,12.70)(2.325,10.09)(2.825,7.825)(3.325,5.998)(3.825,4.602)(4.325,3.578)(4.825,2.849)(5.325,2.338)(5.825,1.975)(6.325,1.699)(6.575,1.575)
\pscurve(2.1,14.6)(2.175,13.05)(2.675,10.44)(3.175,8.175)(3.675,6.348)(4.175,4.952)(4.675,3.928)(5.175,3.199)(5.675,2.688)(6.175,2.325)(6.675,2.049)(6.925,1.925)
\pscurve(2.45,14.95)(2.525,13.27)(3.025,10.48)(3.525,8.166)(4.025,6.375)(4.525,5.051)(5.025,4.100)(5.525,3.431)(6.025,2.966)(6.525,2.637)(7.025,2.387)(7.275,2.275)
\pscurve(2.8,15.3)(2.875,13.29)(3.375,10.07)(3.875,7.697)(4.375,6.039)(4.875,4.891)(5.375,4.098)(5.875,3.552)(6.375,3.177)(6.875,2.914)(7.375,2.714)(7.625,2.625)
\pscurve(3.15,15.65)(3.225,12.76)(3.725,8.780)(4.225,6.573)(4.725,5.286)(5.225,4.474)(5.725,3.937)(6.225,3.576)(6.725,3.332)(7.225,3.161)(7.725,3.032)(7.975,2.975)
\pscurve(3.575,9.523)(4.075,5.737)(4.575,4.662)(5.075,4.151)(5.575,3.851)(6.075,3.660)(6.575,3.533)(7.075,3.448)(7.575,3.389)(8.075,3.344)(8.325,3.325)
\psline(0,0)(5,0)(8.5,3.5)(3.5,3.5)(0,0)
\psline{->}(1.5,1.75)(8,1.75)   \psline{->}(2.25,-0.25)(7,4.5)
  \psline[linecolor=red,linewidth=0.06,linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](4.25,1.75)(4.25,4.25)
 \psdots[linecolor=red,dotstyle=*,dotsize=4pt](4.25,4.25)
  \psline[linestyle=dashed,dash=3mm 3mm](0,0)(0,12.5)(3.5,16)(3.5,3.5)
  \psline(0,12.5)(3.5,16)
\end{pspicture}

\subsection{M\'ethode des tau} \   \\

Si on introduit une somme finie $\sum_0^{N-1} \alpha_k \varphi_k$ dans
une identit\'e valable pour la s\'erie
                                $\sum_0^\infty \alpha_k \varphi_k$,
 on observera probablement des termes r\'esiduels de la forme
 $$ \tau_0 \varphi_N +\tau_1 \varphi_{N+1} +\dotsb $$
On appelle \emph{\textbf{m\'ethode des tau}} (Lanczos) une fa\c con de
construire l'approximation
                                $\sum_0^{N-1} \alpha_k \varphi_k$
tirant parti de cette forme du r\'esidu $Au_h-f$.

\medskip
On n'exige g\'en\'eralement pas en m\'ethode des tau que chaque $\varphi_k$
v\'erifie les conditions (essentielles) aux limites, on prend donc un
d\'eveloppement souvent plus simple que pour Ritz-Galerkin.

\medskip

{\Small

Prenons le m\^eme exemple $-u''+u=1$ avec les polyn\^omes de
Tchebycheff $T_0=1, T_1(x)=x, T_2(x)=2x^2-1, T_3(x)=4x^3-3x,
T_4(x)=8x^4-8x^2+1,\dotsc$, plus pr\'ecis\'ement, leurs primitives
it\'er\'ees deux fois:
$$
 \varphi_2(x)=\frac{x^2}{2} = \frac{T_2+T_0}{4},
 \varphi_3(x)=\frac{x^3}{6} = \frac{T_3+3T_1}{24},
\varphi_4(x)=\frac{x^4}{6}-\frac{x^2}{2} =\frac{T_4-8T_2-9}{48},
$$
$$
\varphi_{k+2} := \int\!\!\int T_k = \int \left[ \frac{T_{k+1}}{2(k+1)}
           - \frac{T_{k-1}}{2(k-1)}  \right] =
 \frac{T_{k+2}}{4(k+1)(k+2)}  -\frac{T_k}{2(k-1)(k+1)}
 +\frac{T_{k-2}}{4(k-1)(k-2)}\,,  k>2,
$$
et $\varphi_0=1$, $\varphi_1(x)=x$.
Remarquons que $\displaystyle{ \varphi_{k+2}(\pm 1)=
  \frac{3(-1)^k}{(k^2-4)(k^2-1)} }$, $k>2$.

On porte
$ \displaystyle{-\left( \sum_0^{N-1} \alpha_k \varphi_k(x)\right)''
             + \sum_0^{N-1} \alpha_k \varphi_k(x) = 1
  +\tau_0 \varphi_{N-2}
  +\tau_1 \varphi_{N-1}   }$.

L'identification des coefficients de $\varphi_0,\dotsc, \varphi_{N-1}$
(en fait, $T_0,\dotsc, T_{N-1}$) repr\'esente $N$ \'equations pour les
$N+2$ inconnues $\alpha_0,\dotsc, \alpha_{N-1}$ et $\tau_0$ et $\tau_1$.
Les \'equations manquantes sont fournies par les conditions aux limites.

Ici:

\noindent
$T_0: -\alpha_2 +\alpha_0 +\alpha_2/4 -3\alpha_4/16 =1,$\\
$T_1: -\alpha_3 +\alpha_1 +3\alpha_3/4 +\alpha_5/8 =0,$\\
$T_k: \displaystyle{-\alpha_{k+2}
           +\frac{\alpha_k}{4(k-1)k}
           -\frac{\alpha_{k+2}}{2(k-1)(k+1)}
           +\frac{\alpha_{k+4}}{4k(k+1)}  =0 }$,\\
pour $k=2,3,\dotsc, N-3$ (o\`u $\alpha_{N+1}=0$). Enfin, les valeurs
en $\pm 1$ sont
$$
\alpha_0 +\frac{\alpha_2}{2} -\alpha_4
  +\sum_{\substack{k=4 \\ k\ \text{pair}}}^{N-3}
     \frac{3\alpha_{k+2}}{(k^2-4)(k^2-1)}
  \pm \left[ \alpha_1 +\frac{\alpha_3}{6}
  +\sum_{\substack{k=3 \\ k\ \text{impair}}}^{N-3}
     \frac{3\alpha_{k+2}}{(k^2-4)(k^2-1)}   \right]   .
$$

} %end Small

\section{Calcul en repr\'esentation ponctuelle.}

On d\'ecide de travailler avec le vecteur
$[ u_h(x_1),\dotsc, u_h(x_N)]$ des valeurs de $u_h$ en $N$ points
(\emph{\textbf{points s\'electionn\'es}}) de
$\overline{\Omega}$. Toute op\'eration sur $u_h$ devra se faire en accord
avec l'espace des approximations:
$$ u_h = \text{ interpolant de  }
 [ u_h(x_1),\dotsc, u_h(x_N)]   \text{  \  dans  }  U_h. $$

\medskip

Il est souvent pr\'ecieux de passer de la repr\'esentation spectrale \`a
la repr\'esentation ponctuelle et, surtout, \emph{vice-versa}, c'est-\`a-dire
pouvoir r\'ealiser l'interpolant. Le cas le plus int\'eressant est celui o\`u
les fonctions $\varphi_k$, d\'ej\`a orthogonales selon un premier produit scalaire,
sont aussi orthogonales selon un produit scalaire discret
$$ (f,g)_N = \sum_1^N w_m f(x_m) g(x_m).$$
En effet, si $(\varphi_i, \varphi_j)_N = \delta_{i,j}$, $0\leqslant i,j
\leqslant N-1$, on a imm\'ediatement le coefficient $\alpha_k =
 (u_h, \varphi_k)_N$, donc
 $$ u_h(x) = \sum_{k=0}^{N-1} \alpha_k \varphi_k(x) =
  \sum_{k=0}^{N-1} \left( \sum_{m=1}^N  u_h(x_m) w_m \varphi_k(x_m)
   \right) \varphi_k(x).$$

Ainsi, avec les \emph{\textbf{polyn\^omes trigonom\'etriques}}, la base
$\cos(2k\pi x/\ell)$, $k=0,1,\dotsc, N/2$,
$\sin(2k\pi x/\ell)$, $k=1,\dotsc, N/2-1$,
est encore orthogonale pour $(f,g)_N = \sum_{m=0}^{N-1} f(\ell m/N)
 g(\ell m/N)$. Le passage d'une repr\'esentation \`a l'autre est
d'ailleurs fortement acc\'el\'er\'e par la \emph{transform\'ee de Fourier
rapide} (Fast Fourier Transform, \textbf{FFT}).


Les \emph{\textbf{polyn\^omes orthogonaux}} $p_0,\dots, p_{N-1}$ sont
encore orthogonaux pour le produit scalaire discret issu de la
\emph{\textbf{formule d'int\'egration de Gauss}} \`a $N$ points (les
z\'eros de $p_N$)\footnote{On utilise \'egalement des formules de
\emph{\textbf{Radau}} et de \emph{\textbf{Lobatto}}.}.

\subsection{M\'ethode de collocation} \  \\

Si on peut parfaitement r\'esoudre un probl\`eme de Ritz-Galerkin dans la
repr\'esentation ponctuelle, on choisira souvent cette repr\'esentation
pour approcher la solution de $Au=f$ par
$$ \hspace*{-55pt}\text{interpolation de } (Au_h -f) =
   \text{interpolation de } \{A(
         \text{ interpolant de  }
 [ u_h(x_1),\dotsc, u_h(x_N)]   \text{  \  dans  }  U_h)-f\}=0 $$
(\emph{\textbf{m\'ethode de collocation}}, ou m\'ethode de points
s\'electionn\'es.

\medskip

On peut encore consid\'erer la m\'ethode de collocation comme une m\'ethode
de Galerkin (projection) si on dispose d'un produit scalaire discret
appropri\'e:
$$ A u_h -f =0 \text{ aux z\'eros de } \varphi_N \iff
 (Au_h -f, v)_N=0,\; \forall v\in U_h,$$
puisque le produit scalaire $(\ ,\ )_N$ ne fait appel qu'aux valeurs o\`u
$\varphi_N=0$.

\smallskip

\subsection{Repr\'esentation matricielle des op\'erateurs
 diff\'erentiels} \  \\

Si $\{\ell_1,\dotsc, \ell_N\}$ est la base de Lagrange appropri\'ee
au sch\'ema d'approximation retenu, on applique des op\'erateurs
diff\'erentiels \`a l'interpolation de $u$
$$  u_h(x) =  \sum_1^N u_h(x_j)\; \ell_j(x). $$
Ainsi, la d\'eriv\'ee premi\`ere
$$ \dfrac{d}{dx} u_h(x) =
    \sum_1^N u_h(x_j)\; \ell'_j(x) $$
que nous \'evaluons en $x_i$, $i=1,\dotsc, N$, ce qui met en
\'evidence une matrice
$$ D=
  \begin{bmatrix}  \ell'_1(x_1) & \ell'_2(x_1) & \dotsb & \ell'_N(x_1) \\
                   \ell'_1(x_2) & \ell'_2(x_2) & \dotsb & \ell'_N(x_2) \\
                      \vdots    &    \vdots    & \dotsb  &  \vdots  \\
                   \ell'_1(x_N) & \ell'_2(x_N) & \dotsb & \ell'_N(x_N)
  \end{bmatrix}   .
$$
L'application de l'op\'erateur $L(d/dx)$ \`a $u_h$ se repr\'esente
par le produit de $L(D)$ et du vecteur des $u_h(x_j)$.

\smallskip

Exemple des polyn\^omes de degr\'e $\leqslant N$ interpol\'es en
$x_0,\dotsc, x_N$:
$$ \ell_j(x) = \prod_{\substack{i=0 \\  i\neq j}}^N
                  \dfrac{x-x_i}{x_j-x_i} .  $$

On effectue progressivement
$$
\ell_{j,\text{new}}(x) =
\ell_{j,\text{old}}(x)  \dfrac{x-x_i}{x_j-x_i}\;, \qquad
\ell'_{j,\text{new}}(x) =
\ell'_{j,\text{old}}(x)  \dfrac{x-x_i}{x_j-x_i}\;
+ \ell_{j,\text{old}}(x)  \dfrac{1}{x_j-x_i}\;
$$
etc.

{\Small \begin{verbatim}
c-----------------------------------------------------------------
      subroutine weights1(xi,x,n,m,c,ndim)
c
c  Cf. B. Fornberg, A Practical Guide to Pseudospectral Methods,
c   Cambridge University Press, 1996,  paperback: 1999.
c
c  B. Fornberg, Calculation of weights in finite difference
c     formulas, SIAM Rev. vol. 40 no 3 , 685-691, Sept. 1998.
c
c+-------------------------------------------------------------------+
c|  INPUT PARAMETERS:                                                |
c|    XI  POINT AT WHICH THE APPROXIMATIONS ARE TO BE ACCURATE       |
c|    X   X-COORDINATES FOR GRID POINTS, ARRAY DIMENSIONED X(0:N)    |
c|    N   THE GRID POINTS ARE AT X(0),X(1),...,X(N) (I.E. N+1 IN ALL)|
c|    M   HIGHEST ORDER OF DERIVATIVE TO BE APPROXIMATED             |
c|    ndim    see dimensions of c                                    |
c|                                                                   |
c| OUTPUT PARAMETER:                                                 |
c|    C   WEIGHTS, ARRAY DIMENSIONED C(0:Ndim,0:M).                     |
c|        ON RETURN, THE ELEMENT C(J,K) CONTAINS THE WEIGHT TO BE    |
c|        APPLIED AT X(J) WHEN THE K:TH DERIVATIVE IS APPROXIMATED   |
c|        BY A STENCIL EXTENDING OVER X(0),X(1),...,X(N).            |
c+-------------------------------------------------------------------+
      IMPLICIT REAL*8 (A-H,O-Z)
      DIMENSION X(0:N),C(0:Ndim,0:M)
      C1=1
      C4=X(0)-XI
      DO 10 K=0,M
         DO 10 J=0,N
   10       C(J,K)=0
      C(0,0)=1
      DO 50 I=1,N
         MN=MIN(I,M)
         C2=1
         C5=C4
         C4=X(I)-XI
         DO 40 J=0,I-1
            C3=X(I)-X(J)
            C2=C2*C3
         DO 20 K=MN,1,-1
   20       C(I,K)=C1*(K*C(I-1,K-1)-C5*C(I-1,K))/C2
         C(I,0)   =-C1*C5*C(I-1,0)/C2
            DO 30 K=MN,1,-1
   30          C(J,K)= (C4*C(J,K)-K*C(J,K-1))/C3
   40       C(J,0)=C4*C(J,0)/C3
   50    C1=C2
      RETURN
      END
c-----------------------------------------------------------------
\end{verbatim}       }


\medskip

\section{Exemples de conditions de stabilit\'e num\'erique:}

Coercivit\'e \emph{selon le produit scalaire discret}:
 $ (Au,u)_N \geqslant c \|u_h\|^2$, $\forall u_h\in U_h \Rightarrow
 \|u_h\|\leqslant \|f\|/c$. (Prendre $v=u_h$).

\smallskip
          \index{condition inf-sup}  \index{inf-sup}
Condition inf-sup (Babu\v ska). Dans des cas o\`u on ne peut \'etablir la
coercivit\'e discr\`ete, on peut parfois arriver \`a
$$  \inf_{u\in U_h} \sup_{v\in U_h} \dfrac{(Au,v)_N}{\|u\|\; \|v\|}
 \geqslant c >0.$$
 On a alors $v\in U_h$ tel que  $(Au_h,v)_N:\|v\| \geqslant c\|u_h\|$, donc
 $\|f\| \geqslant (f,v)_N/\|v\| \geqslant c\|u_h\|$, d'o\`u
 encore $\|u_h\| \leqslant \|f\|/c$.



\vfill

\begin{center} \textsf{ Fin de EDP2 }  \end{center}


\begin{center} {\Small{\Small $\mathscr{T}$hat's all, $\mathscr{F}$olks  }} \end{center}




  \begin{theindex}

  \item advection-diffusion, \hyperpage{58}

  \indexspace

  \item bilin\'eaire, \hyperpage{46}
  \item Black-Scholes, \hyperpage{174}
  \item Burgers, \hyperpage{19}

  \indexspace

  \item caract\'eristique, \hyperpage{19}, \hyperpage{21}
  \item CFL, \hyperpage{188}
  \item chaleur, \'eq. de la, \hyperpage{23}, \hyperpage{159}
  \item coercive, \hyperpage{47}, \hyperpage{107}
  \item condition inf-sup, \hyperpage{63}, \hyperpage{217}
  \item conditionnement, \hyperpage{118}
  \item consistance, \hyperpage{167}
  \item crimes variationnels, \hyperpage{95}, \hyperpage{111}

  \indexspace

  \item d\'efinie positive, \hyperpage{46}, \hyperpage{51}
  \item divergence, th\'eor\`eme de la, \hyperpage{39}, \hyperpage{42}

  \indexspace

  \item EDP, \hyperpage{19}
  \item El\'ement fini, d\'efinition, \hyperpage{66}
  \item El\'ement triangulaire lin\'eaire, \hyperpage{84}, 
		\hyperpage{89}
  \item El\'ements unidimensionnels, \hyperpage{69}
  \item elliptique, \hyperpage{22}
  \item elliptique, prob., \hyperpage{47}
  \item essentielle, condition, \hyperpage{48}
  \item euros, \hyperpage{17}, \hyperpage{160}
  \item evolution, probl\`eme d', \hyperpage{165}

  \indexspace

  \item FAQ, \hyperpage{7}
  \item flambage, \hyperpage{49}
  \item fonction de forme, \hyperpage{69}
  \item Fourier, \hyperpage{163}
  \item fronti\`ere lipschitzienne, \hyperpage{104}

  \indexspace

  \item Galerkin, \hyperpage{8}, \hyperpage{45}, \hyperpage{50}, 
		\hyperpage{62, 63}
  \item Galerkin discontinu:, \hyperpage{191}
  \item Gauss-Green, \hyperpage{39}, \hyperpage{42}
  \item Gershgorin, \hyperpage{119--121}, \hyperpage{201}
  \item Green, fonction de, \hyperpage{41}, \hyperpage{152}

  \indexspace

  \item Hadamard, \hyperpage{119}
  \item Hermite cubique 1-D, \hyperpage{71}
  \item Hilbert, espace de, \hyperpage{54}
  \item hyperbolique, \hyperpage{22}, \hyperpage{181}

  \indexspace

  \item inf-sup, \hyperpage{63}, \hyperpage{217}
  \item inf-sup, conditions, \hyperpage{63}
  \item int\'egrales, \'equations, \hyperpage{151}

  \indexspace

  \item Kato, \hyperpage{64}
  \item Kreiss, th\'eor\`eme de, \hyperpage{203}

  \indexspace

  \item Laplace, \'eq. de, \hyperpage{23, 24}, \hyperpage{132}
  \item Lax-Milgram, th. de, \hyperpage{56}
  \item leapfrog, \hyperpage{182}

  \indexspace

  \item masse, matrice de, \hyperpage{120}
  \item matrice stochastique, \hyperpage{149}
  \item membrane, \hyperpage{20}
  \item morceaux, f. d\'erivables par, \hyperpage{40}
  \item multigrilles, \hyperpage{136}
  \item multipolaire, \hyperpage{152}

  \indexspace

  \item naturelle, condition, \hyperpage{48}

  \indexspace

  \item parabolique, \hyperpage{22}, \hyperpage{168}
  \item Petrov, \hyperpage{8}, \hyperpage{63}
  \item Poisson, \'eq. de, \hyperpage{24}
  \item probl\`eme de Cauchy, \hyperpage{19, 20}
  \item programmes, \hyperpage{7}

  \indexspace

  \item rigidit\'e, matrice de, \hyperpage{51}
  \item Ritz, \hyperpage{45}, \hyperpage{50}
  \item Robin, \hyperpage{60}, \hyperpage{134}

  \indexspace

  \item Sobolev, espace de, \hyperpage{97}
  \item Sobolev, lemme de, \hyperpage{100}
  \item Sobolev, produit scalaire de, \hyperpage{96}
  \item stabilit\'e num\'erique, \hyperpage{167}, \hyperpage{200}
  \item stochastique, matrice, \hyperpage{149}

  \indexspace

  \item tel\'egraphistes, \'eq. des, \hyperpage{22}
  \item trace, \hyperpage{104}

  \indexspace

  \item unisolvant, ensemble, \hyperpage{67}

  \indexspace

  \item variationnelle, formulation, \hyperpage{41, 42}, \hyperpage{48}
  \item variations, calcul des, \hyperpage{37}
  \item von Neumann, cond. de, \hyperpage{203}

\end{theindex}






\end{document}
