Exemple de réponse à l'exercice S01-9 : rapport entre les volumes des bobinages

Retour à l'énoncé ?

Les conducteurs des deux enroulements doivent se partager la section S_t disponible dans la fenêtre magnétique. Par exemple, dans le cas du noyau décrit à l'exercice S01-5, cette section vaut

(S01-75) S_t = e * g

Nous supposons que le primaire occupe une fraction b de cette section et donc que le secondaire occupe une fraction (1 - b ) en supposant la fenêtre remplie (sinon, on pourrait probablement réduire la taille du noyau sans affecter les performances du transformateur).

En admettant le même coefficient de remplissage a_Cu pour les deux enroulements, la section des conducteurs du primaire est donc de

(S01-76) S₁ = a_Cu b S_t / n₁

où n₁ est le nombre de spires du primaire. De même, la section des conducteurs du secondaire sera de

(S01-77) S₂ = a_Cu (1-b) S_t / n₂

Supposons encore que la longueur moyenne des spires est la même pour les deux enroulements. Par exemple, dans le cas du noyau décrit à l'exercice 5, cette longueur moyenne serait proche de

(S01-78) l = 2f + 2h + pg

Les résistances des enroulements sont alors, par la loi de Pouillet

(S01-79) R₁ = r_Cu n₁ l / S₁ = (r_Cu l/ a_Cu S_t ) n₁² [1/ b ]

et

(S01-80) R₂ = r_Cu n₂ l / S₂ = (r_Cu l/ a_Cu S_t ) n₂² [1/ (1-b )]

Si nous admettons que le rapport de transformation vaut

(S01-81) k = n₁ / n₂ ,

on a

(S01-82) R_e » R₁ / k² + R₂ = (r_Cu l/ a_Cu S_t ) n₂² [ 1/b + 1/ (1-b )]

soit

(S01-83) R_e = (r_Cu l/ a_Cu S_t ) n₂² /[b (1-b )]

Comme indiqué dans la guidance, si l'effet des pertes Joule sur l'échauffement ne dépend que de leur total, il suffit de minimiser R_e .

Minimiser R_e revient à maximiser le dénominateur b (1-b). Comme il s'agit d'une fonction parabolique de b dont les racines sont 0 et 1 , le maximum de cette fonction se situe clairement en b = 1/2 (si ce raisonnement ne vous convient pas, il suffit de chercher la racine de la dérivée). Il en résulte que les deux enroulements occupent la même portion de la section S_t disponible, puisque l'on a alors aussi (1-b) = 1/2

Les volumes des deux enroulements valent b S_t l et (1-b) S_t l sont manifestement égaux.

Pour ramener la résistance (S01-79) au secondaire, il faut la diviser par le carré du rapport de transformation (S01-81). En comparant le résultat à (S01-80), on voit immédiatement que

(S01-84) R₂ = R₁'

En supposant que les courants primaire et secondaire sont grands par rapport au courant magnétisant, et en négligeant ce dernier, on a

(S01-85) I₂ = k I₁

En divisant les courants I₁ et I₂ par les sections (S01-76) et (S01-87) respectivement, on obtient compte tenu de (S01-85) des densités de courant identiques dans les deux enroulements.

Pour montrer l'égalité des pertes Joule, on peut raisonner sur les grandeurs locales : puisque les densités de courant sont identiques ainsi que les volumes de cuivre, les puissances dissipées sont forcément identiques. On peut aussi raisonner sur les grandeurs globales : les pertes Joule valent en effet R₁ I₁² d'une part et R₂ I₂² d'autre part, de sorte que par (S01-76)(S01-77) et (S01-85) on peut monter que ces pertes dont bien les mêmes dans les deux enroulements.

Les conclusions ci-dessus ne se généralisent que très imparfaitement aux machines asynchrone parce que, dans ces machines, l'évacuation de la chaleur s'effectue de façon différente au rotor et au stator, de sorte que l'on ne peut pas considérer que l'échauffement est dû au total des pertes des deux bobinages.

La différence entre les deux bobinages est encore plus marquée dans le cas d'une machine asynchrone à cage. Dans ce cas, l'"enroulement" rotorique est fait de barres d'aluminium injecté sans isolation vis à vis du noyau magnétique. Le coefficient de remplissage des encoches est donc de 100%. Par contre, la résistivité de l'aluminium est plus grande que celle du cuivre. Il n'y a pas de risque de vieillissement ou de claquage d'isolants puisqu'il n'y en a pas. Par contre, la température de fusion de l'aluminium étant relativement basse, il existe une température maximum dont le dépassement, même pendant un temps bref, cause la destruction immédiate du moteur.

Dernière mise à jour le 05-07-2002