Exemple de solution à l'exercice S06-1 : champ électrique dans un condensateur plan

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Puisque les effets de bord sont négligeables, le problème présente une symétrie plane, c'est-à-dire qu'il est invariant pour toute translation dans une direction parallèle aux plaques, ainsi que pour une rotation autour d'un axe perpendiculaire aux plaques.

On en déduit que les champs doivent être orientés dans la direction perpendiculaire aux plaques, et qu'ils ont une valeur constante sur n'importe quel plan perpendiculaire aux plaques.

Si on applique la loi de Gauss à des surfaces fermées formées de deux plans parallèles aux axes, on vérifie immédiatement que le champ D est uniforme dans chacune des trois régions délimitées par les plaques, puisqu'il ne peut y avoir de charges que sur celles-ci (donc, une surface fermée entièrement située entre les plaques n'encercle aucune charge).

Puisque le milieu situé entre les plaques est univoque et homogène, le champ E doit aussi être uniforme entre les plaques.

La force électromotrice e est donc égale à

(S06-150) e = E d

Comme, en électrostatique, la force électromotrice et la tension sont égales (pas de terme en

dy/dt ), on en déduit que

(S06-151) E = U/d

partout entre les électrodes.

Pour trouver le champ D, il suffit d'utiliser la relation (qui peut être non linéaire dans le cadre de cet exercice) qui relie D à E .

Pour trouver la charge portée par les électrodes, il suffit d'appliquer la condition aux frontières déduite de la loi de Gauss, c'est-à-dire

(S06-152) s = D ,

où s est la densité de charge de surface et D le champ de déplacement perpendiculaire à la surface.

On en déduit que la charge portée par les électrodes sur leur surface interne est

(S06-153a) Q = D S

pour l'électrode "positive" et

(S06-153b) Q = - D S

pour l'autre.

La charge portée sur la surface extérieure dépend du champ extérieur au condensateur.

On aura compris que cet exercice est surtout destiné à se rappeler un certain nombre de concepts élémentaires. On en trouvera une version légèrement différente (matériaux linéaires, mais deux couches de diélectriques différentes) sur le site de candidature (physique T4) .

Dans la solution de cet exercice, on trouvera un argument pour dire que le champ extérieur est nul (du moins s'il n'y a pas de "source de champ" externe au condensateur). La charge portée par la surface externe des électrodes est alors nulle.

Dernière mise à jour le 23/10/2001.