Exemple de solution à l'exercice S06-5
: champ magnétique dans un circuit magnétique comprenant une partie mobile (électroaimant cylindrique).La section des fils du bobinage est
Sfil = p 0.52 / 4 = 0.1963 mm2 = 0.1963 10-6 m2.
Le nombre de spires du bobinage s'obtient en divisant la section de celui-ci, multipliée par le coefficient de remplissage, par la section d'un fil, soit
n = 20 * 20 * 0.35 / 0.1963 = 713 spires
Puisque la longueur des spires est proportionnelle à leur rayon r et qu'elles sont réparties uniformément entre les rayons r = 20 mm et r = 40 mm, leur longueur moyenne est de 2 p 30 = 188.5 mm
La longueur totale du fil constituant le bobinage est donc de 713 * 188.5 = 134397 mm = 134.4 m
La résitivité du cuivre étant à 0°C de 15.6 10-9 Wm et son coefficient de température de 0.00431 K-1, il a à 90°C une résistivité de 21.65124 10-9 Wm
Les résultats ci-dessus permettent de calculer la résistance de la bobine par la loi de Pouillet, soit
R = r L/S = 21.65124 10-9 * 134.4 / 0.1963 10-6 = 14.82 W.
Le courant dans la bobine vaut donc, en régime,
I = U/R = 12/14.82 = 0.8095 A
Pour calculer le champ, on suppose
La section de l'entrefer central vaut
S = p 202 = 1257 mm2 = 0.001257 m2
tandis que la section de l'entrefer externe vaut
S = p [ 452 - 402 ]= 1335 mm2 = 0.001335 m2
Le champ B n'est donc pas le même dans les deux entrefers. Il est plus simple de prendre comme variable le flux magnétique F et de raisonner en terme de rélutance du circuit magnétique.
La réluctance des noyaux magnétiques étant nulle avec les hypothèses ci-dessus, la réluctance du circuit est la somme des deux réluctances d'entrefer, soit
(S06-....) Reluctance = e / mo S1 + e / mo S2 = (e / mo) (1/ S1 + 1/S2) = ............. H-1 (henry-1)
On en déduit la valeur du flux, et donc des champ magnétiques d'entrefer
F = n I / reluctance = ............. Wb
B1 = F/S1 = ........ T
B2 = F/S2 =........ T
La valeur B1 est aussi valable dans la colonne centrale et la valeur B2 dans la colonne externe.
En ce qui concerne le disque supérieur et l'armature, la section varie avec le rayon et donc aussi le champ magnétique. On a
S = 2 p r h = ......
donc B = ..............
Dans l'entrefer, le champ H s'obtient en divisant B par mo
On a donc
H1 = ............ A/m
H2 = ............ A/m
Dans le noyau de fer, connaissant le champ B, on peut relever le champ H sur une caractéristique B-H du fer. On pourrait alors vérifier que l'intégrale de H dans le fer est bien négligeable face à n I .
L'hypothèse du circuit magnétique simple suppose que l'épaisseur e des entrefers soit petite par rapport à la distance entre les colonnes magnétiques, faute de quoi une partie du flux pourrait passer directement d'une colonne à l'autre sans traverser les entrefers. On doit donc avoir
e << 20 mm
Voyons maintenant comment on pourrait améliorer les approximations faites
L'absence d'épanouissement du flux lors de la traversée de l'entrefer suppose que les effets de bord soient négligeables. Comme ces effets concernent une zone dont la largeur est du même ordre de grandeur que e, on a la condition
e << 10 mm
On pourrait cependant améliorer le calcul en tenant compte de faç on approchée des effets de bords. Pour cela, on considère que la surface de l'entrefer se trouve légèrement augmentée à Les effet de bord en r=20 et en r = 40 mm peuvent être estimés en utilisant les formules qui ont été citées en semaine 4 lors de l'introduction du coefficient de Carter. L'effet de bord en r = 50 mm est plus difficile à estimer, mais il est heureusement plus faible puisque les lignes de champ qui contournent l'entrefer par l'extérieur de l'électroaimant ont une longueur plus grande.
Dernière mise à jour le 16/12/2004.