Exemple de solution à l'exercice S02-2 : Détermination du comportement à partir de mesures faites en cc et à vide (respectivement par le secondaire et par le primaire)

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L'essai en court-circuit pouvait être effectué à un courant compris entre 0.25 et 1.0 fois le courant nominal (c'est permis grâce au fait que les éléments série, qui jouent le rôle déterminant lors de cet essai, sont considérés comme linéaires. Leur valeur ne dépend donc pas de la valeur du courant à laquelle l'essai est effectué.).

L'essai à vide est effectué à tension nominale. Il s'agit donc bien d'un essai à vide standard. Cet essai doit être effectué à tension nominale car les éléments parallèle, qui jouent le rôle déterminant lors de l'essai à vide, sont habituellement fortement non linéaires. Leur valeur dépend donc de la tension à laquelle l'essai est effectué.

En pleine charge, le courant secondaire est égal au courant secondaire nominal, soit

(S02-75)

Le reste de la solution dépend du circuit équivalent choisi et des simplifications de calcul éventuelles.

Le rapport de transformation est donné par l'essai à vide

(S02-76)

Le courant primaire en pleine charge vaut donc

(S02-77)

Dans ce cas, il n'y a pas de chute de tension en charge et le rendement est de 100%.

Il est facile de calculer une borne supérieure de la variation de tension en charge et de l'erreur sur le courant primaire.

Puisque la tension secondaire mesurée lors de l'essai en court-circuit est de 7.5 V pour un courant égal à la moitié du courant nominal, on en déduit que la tension secondaire de court-circuit vaut 7.5 * 2 = 15 V. La variation de la tension secondaire en charge sera donc toujours, en valeur absolue, inférieure à 15 V. L'erreur relative commise sur la tension secondaire en considérant le transformateur comme idéal sera donc toujours inférieure à 15/400 = 0.0375 = 3.75 %.

Par ailleurs, l'essai à vide montre que le courant magnétisant vaut, à tension nominale, 0.7 A.
L'erreur commise sur le courant primaire en charge sera donc toujours en valeur absolue inférieure à cette valeur. En pleine charge, l'erreur relative commise sur le courant primaire en considérant le transformateur comme idéal est donc inférieure à 0.7 / 19.985 = 0.035 = 3.5 %. On notera toutefois que, à charge réduite, l'erreur relative est plus grande.

On voit que l'essentiel du comportement du transformateur considéré dans cet exercice est déjà décrit en considérant le transformateur comme idéal. Un tel modèle est parfois appelé "modèle fonctionnel" parce qu'il suffit souvent pour effectuer un premier dimensionnement d'un système comportant ce dispositif.

Bien que le modèle ci-dessus ne tienne pas compte des pertes, on peut calculer celles-ci sur base de l'hypothèse d'une séparation en pertes fixes et pertes proportionnelles au carré du courant secondaire. Puisque le courant de pleine charge est le double du courant utilisé pour l'essai en court-circuit, les pertes "dues à la charges" valent 4 x 20 W . Le total des pertes est alors de

(S02-78) 70 + 4 x 20 = 150 W

La puissance fournie à la charge valant 399.7 x 10 = 3997 W , on calcule le rendement

(S02-79)

Le fait qu'un des essais standard ait été effectué par un enroulement et l'autre essai par l'autre enroulement facile la détermination exacte d'un circuit équivalent simplifié. Dans le cas présent, les éléments parallèle seront rapportés au primaire (enroulement par lequel est effectué l'essai à vide), et les éléments série au secondaire (enroulement par lequel est effectué l'essai en court-circuit).

L'essai en cc a été effectué à un courant égal à 0.5 I_{2 Nom} , soit à 5 A.

On a alors

(S02-80)

(S02-81)

(S02-82) j_e = 57.77°

(S02-83) sin j_e = 0.8459

(S02-84) R_e = Z_e cos j_e = 0.8 W

(S02-85) X_e = Z_e sin j_e = 1.26₈₉ W

L'impédance vue du secondaire R_e + j X_e est exacte dans le cas d'un fonctionnement à tension réduite, comme c'était le cas lors de l'essai en court-circuit. En principe, sa valeur est différente lors d'un fonctionnement à pleine tension car l'impédance de magnétisation diminue, et donc aussi l'impédance vue du secondaire. Cependant, cette variation de l'impédance vue du secondaire est négligeable si les approximations habituellement faites lors de l'usage d'un circuit équivalent simplifié sont valides. Nous allons donc vérifier que ces approximations sont acceptables avant de continuer la résolution de l'exercice.

En prenant comme rapport de transformation la valeur approchée (S02-76), on en déduit que

(S02-85b) Z'_e = 1.5 * 0.50038² = 0.37₅₅₇ W

Par ailleurs, on déduit de l'essai à vide que

(S02-85c) Z_1o = 200 / 0.7 = 285.₇₁₄ W

On a aussi

(S02-85d) U_{1 nom}/I_{1 nom} = 10 W

On voit que les conditions Z'_e << U_{1 nom}/I_{1 nom} << Z_1o sont bien remplies. On peut donc sans commettre d'erreur importante utiliser les approximations habituelles et considérer que les valeurs (S02-80)(S02-84)(S02-85) sont correctes même à pleine tension.

Le courant en pleine charge est de

(S02-86) I_{2 Nom} = 10 A.

Le courant secondaire est en phase avec la tension secondaire puisque son facteur de puissance est unitaire (le facteur de puissance d'un courant se réfère à la tension sous laquelle il est transmis).

Pour poursuivre le calcul, nous allons supposer que le déphasage entre la tension secondaire et la tension primaire est négligeable. Comme nous utilisons ici le circuit équivalent simplifié, cette approximation revient à négliger le déphasage entre la tension secondaire et la force électromotrice (la tension à vide), car cette dernière est égale à la tension primaire divisée par le rapport de transformation k.

Nous effectuons donc le calcul en supposant le courant secondaire en phase avec la force électromotrice (la tension à vide). On obtient ainsi pour la variation de tension en pleine charge

(S02-87) DU₂ = R_e (-I₂ ) = -0.8 * 10 = - 8 V

Les pertes calculées avec le circuit équivalent simplifié sont les mêmes que dans le cas précédent, soit

(S02-88) 70 + 0.8 x 10² = 150 W

Par ailleurs, en tenant compte de la baisse de tension, la puissance utile n'est plus que de

(S02-89) P₂ = (399.7 - 8) x 10 = 3917 W

La nouvelle estimation du rendement est donc de

(S02-90)

Sur base du circuit équivalent simplifié, on peut dire que le courant consommé au primaire par les éléments parallèle n'est autre que le courant à vide. On calcule sur base de l'essai à vide

(S02-91)

(S02-92) sin j_o = 0.86₆₀₃

Le courant primaire à vide est donc, prenant la tension primaire comme référence de phase, de

(S02-93)

Par ailleurs, le courant secondaire ramené au primaire a la même valeur que précédemment. Compte tenu de l'approximation de calcul effectuée, nous le supposons en phase avec la tension primaire, donc purement réel.

On a donc

(S02-94)

soit, en module,

(S02-95) I₁ = 20.3₄₄ A

Si on ne néglige pas le déphasage entre et , on ne peut pas non plus négliger le déphasage entre et la force électromotrice . On peut résoudre le problème à l'aide d'un diagramme de Kapp (voir guidance de la semaine 1). On obtient un diagramme similaire à celui de la figure ci-dessous.

Figure S02-30 : diagramme phasoriel (échelle de U₂ et U_2o non respectée)

De ce diagramme, on déduit l'expression

(S02-96)

(on obtiendrait la même expression en résolvant l'équation du second degré vue au cours, puis en la particularisant au cas où j = 0 )

(S02-97) U₂ = 399.50 - 0.8 * 10 = 391.5 V

(S02-98) DU₂ = - 8.2 V

L'estimation des pertes est la même que dans les deux cas précédents. Par contre, l'estimation de la puissance utile est légèrement plus faible. En tenant compte de la baisse de tension, la puissance utile n'est plus que de

(S02-99) (399.7 - 8.2) x 10 = 3915 W

La nouvelle estimation du rendement est donc de

(S02-100)

Le courant I₁ est lui aussi légèrement différent de celui obtenu au paragraphe précédent. En effet, le courant I₂ est maintenant déphasé par rapport à la tension primaire (soit U₂₀ ) d'un angle

(S02-101) d = arctg [( X_e I₂ )/ (U₂ + R_e I₂ )] = arctg ( 12.689 / 399.5) = 1.8192°

On a donc

(S02-102)

donc

(S02-103)

(S02-104) I₁ = 20.3₆₃ A

Nous avons montré plus haut que les approximations habituellement faites lors de l'utilisation d'un circuit équivalent simplifié sont acceptables. Pousser l'analyse plus loin ne fournira plus qu'une amélioration non significative de la précision compte tenu de la précision limitée des appareils de mesure utilisés, mais aussi des modèles utilisés, y compris le modèle de référence. Nous allons cependant effectuer ce travail à titre didactique. On notera d'ailleurs que, lorsque le travail est effectué par un logiciel de calcul, utiliser des formules exactes ne demande qu'un effort non répétitif et évite la programmation de conditions de validité.

Comme on ne dispose d'aucune donnée permettant d'estimer les éléments parallèles à faible tension, le mieux est de les négliger dans l'interprétation de l'essai en cc . De même, à défaut d'autre indication, on supposera que R₁ = R'₂ et que X₁ = X_'2 .

On peut par contre tenir compte de R₁ et X₁ lors de l'interprétation des résultats de l'essai à vide. On arrive après quelques tâtonnements sur la valeur de k aux valeurs suivantes

Figure S02-31 : circuit équivalent de référence le plus précis possible.

L'analyse de ce circuit est assez longue, car il faut d'abord calculer un équivalent de Thévenin pour le transformateur vu du secondaire, trouver la tension secondaire (par exemple en s'inspirant du diagramme de Kapp) et calculer successivement toutes les grandeurs du circuit pour arriver finalement aux grandeurs primaires. Un programme d'analyse de transformateur monophasé (voir exemple fourni ci-dessous) permet de faire ce travail de façon automatique à partir des valeurs du circuit équivalent.

Les résultats obtenus en prenant comme données pour ce programme les valeurs indiquées à la figure S02-31 sont :

DU₂ = - 8.198 V en pleine charge à cos j unitaire.

I₁ = 20.36 A.

h = 96.31 %

Question complémentaire

Les essais en courant continu permettent de calculer
R_{1 DC} = 0.306 / 3 = 0.102 W.
R_{2 DC} = 1.08 / 3 = 0.36 W.

Si on considère le circuit équivalent simplifié avec k = 0.50₀₃₈, on a
R_{e DC} = R_{1 DC} / k² + R_{2 DC} = 0.76₇₃₈.

Cette valeur est normale car légèrement inférieure à la valeur de R_e en courant alternatif. On peut donc faire le partage :
R_e = R_{e DC} + DR_e
avec
DR_e = 0.8 - 0.76₇₃₈ = 0.032₆₁₉ .

Les pertes dues à la charge se partagent entre pertes ohmiques et pertes supplémentaires dans le même rapport que R_{e DC} et DR_e .

Par contre, la répartition de la résistance série entre primaire et secondaire qui a été faite à la figure S02-31 n'est pas physiquement possible puisqu'elle conduit à
R_{1 DC} > R₁ .
Il aurait fallu extraire R_{1 DC} et R_{2 DC} du modèle AVANT d'effectuer le partage de la résistance série résiduelle entre le primaire et le secondaire. La relation supplémentaire à imposer pour faire ce partage aurait alors porté sur le rapport entre DR₁ et DR₂ .

Dernière mise à jour le 16/03/2010.