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A condition d'utiliser la correspondance entre les grandeurs triphasées et celles du circuit équivalent monophasé telle que définie au cours, les calculs à effectuer (et donc aussi leurs résultats) sont les mêmes quel que soit le type de connexion (étoile ou triangle), aussi bien en ce qui concerne le primaire et le secondaire du transformateur qu'en ce qui concerne les charges. Grâce à cette convention sur le circuit équivalent monophasé, bien que la configuration du transformateur ne soit pas connue, il n'est donc pas nécessaire d'effectuer les calculs pour chacune des quatre configurations du transformateur qui pourraient correspondre à la réalité : un seul calcul suffit.

Si on prend une convention différente de celle du cours, les calculs peuvent dépendre du type de connexion mais les résultats (en terme de grandeurs de ligne) seront bien entendu identiques.

Lors de l'essai à vide, la tension secondaire est de 400 V. On peut donc présumer (conformément à la plupart des normes) que la tension secondaire nominale est de 400 V. Le courant secondaire nominal est donc de

(S03-51)

Le moteur ayant un facteur de puissance de cos j_moteur = 0.86, on en déduit j_moteur , puis sinj_moteur = 0.510294 . Le courant consommé par le moteur est donc, en phaseur (en prenant comme référence de phase la tension secondaire )

(S03-52)

De même, le courant consommé par le four vaut

(S03-53)

(on notera que la référence de phase est la tension des charges, donc la tension au secondaire du transformateur et non pas la tension au primaire).

Le courant total vaut donc

(S03-54)

soit

(S03-55) I_{charge cas A} = 313.₆₀₃ A

avec un argument de la charge de

(S03-56) j_A = arctg (254.346/183.452) = 54.1₉₈₃ °,

donc un facteur de puissance inductif de

(S03-57) cos j_A = 0.58₄₉₈ .

Le transformateur est surchargé puisque

(S03-58) I₂ = 313.603 A > I_{2 Nom} = 289 A

Dans le cas B, la partie réelle du courant de charge reste la même. Le facteur de puissance étant de 0.8, le courant vaut

(S03-59)

avec un argument de la charge de

(S03-60) j_B = arcos(0.8) = 36.8₆₉₉ °

et

(S03-61)

Le transformateur n'est plus surchargé puisque

(S03-62) I₂ = 229.315 A < I_{2 Nom} = 289 A

En phaseur, le courant consommé par la charge vaut, dans le cas B,

(S03-63)

Le courant absorbé par le condensateur vaut donc

(S03-64)

Les autres réponses dépendent légèrement du choix du circuit équivalent et des approximations de calcul effectuées lors de son analyse. On trouvera ci-dessous une liste (non exhaustive) de réponses possibles.

Considérons le transformateur comme un transformateur idéal.

Prenons

(S03-65) k = 1100 / 400 = 2.75 .

Alors,

(S03-66) U₂ = U_2o = 400 V dans les deux cas.

Le courant primaire s'obtient en divisant le courant secondaire par k, soit

(S03-67) 313.603 / 2.75 = 114.₀₃₇₅ A dans le premier cas

(S03-68) 229.315 /2.75 = 83.₃₈₇₃ A dans le second cas

Ce modèle ne permet pas de calculer le rendement puisque le transformateur n'a pas de perte (son rendement est de 100 %) !

La fréquence étant de 50 Hz, le condensateur triphasé a une valeur étoilée de

(S03-69)

et une puissance

(S03-70) .

On peut le constituer de trois condensateurs monophasés de 80.892 / 3 = 26.9₆₃₉ kVAr . Si ces condensateurs sont connectés en étoile, leur valeur doit être de 1609.₂₉ µF (valeur étoilée calculée ci-dessus). Si, par contre, ils sont connectés en triangle, il faut une valeur trois fois plus faible, soit

(S03-71) 1609.29 / 3 = 536.₄₃ µF

Il est possible de calculer les courants et les tensions en utilisant comme modèle un transformateur idéal, mais d'évaluer les pertes du transformateur à partir des résultats des essais à vide et en court-circuit, et d'en déduire une estimation du rendement.

Les pertes "magnétiques" du transformateur seront dans les deux cas considérées comme égales aux pertes à vide, soit 1800 W.

Les pertes "dues à la charge" sont déduites des pertes mesurées lors de l'essai en court-circuit, en considérant qu'elles sont proportionnelles au carré du courant. Or, ramené au secondaire, le courant utilisé lors de l'essai en court-circuit valait

(S03-72) 75 x 2.75 = 206.₂₅ A

Dans le cas A, ces pertes valent donc

(S03-73)

Dans le cas B, ces pertes valent

(S03-74)

Par ailleurs, la puissance fournie à la charge vaudrait, en supposant la tension secondaire égale à 400 V même en charge, le produit de cette tension par la partie du courant qui lui est en phase, soit

(S03-75) dans les deux cas (le condensateur est supposé ne pas consommer de puissance).

Le rendement vaut donc

(S03-76) dans le premier cas

et

(S03-77) dans le second cas.

Les éléments série sont calculés en négligeant la présence des éléments parallèles, ce qui est d'ailleurs la seule chose à faire puisque nous ne disposons pas de données permettant de déterminer la valeur des éléments parallèles à faible tension !

(S03-78)

(S03-79)

(S03-80) j_e = 60.48₃₆ °

(S03-81) sin j_e = 0.870₂₁₅

(S03-82) R'_e = Z'_e cos j_e = 0.094₈₁₅ W

(S03-83) X'_e = Z'_e sin j_e = 0.167₄₇₃ W

Le rapport de transformation est le rapport entre la tension primaire et la tension secondaire à vide, soit 2.75 comme précédemment.

On peut donc calculer

(S03-84)

(S03-85)

(S03-86)

La "chute de tension" Z_e I₂ sur l'impédance série Z_e vaut, en module,

(S03-87) Z_e I₂ = 7.98₀₅₅ V dans le cas A

(S03-88) Z_e I₂ = 5.83₅₆₀ V dans le cas B

On remarque que cette "chute de tension" est petite par rapport à U₂₀ , donc aussi par rapport à U₂ . Pour un calcul rapide de la tension secondaire, on peut donc négliger le déphasage entre la tension secondaire et la tension primaire (ou la tension secondaire à vide). De même, on ne tient compte que de la partie réelle de la "chute de tension" sur Z_e (la partie imaginaire n'intervient qu'au second ordre).

Dans le premier cas, on a

(S03-89) Z_e I₂ cos (j_e - j ) = 7.93₂₆ V

Pour connaître l'effet sur la tension de ligne, il faut multiplier cette valeur par . On obtient ainsi

(S03-90) dans le cas A.

Dans le second cas, on a

(S03-91) Z_e I₂ cos (j_e - j ) = 5.34₆₉₇ V

donc

(S03-91) dans le cas B.

Le courant secondaire ramené au primaire vaut, toujours en considérant que la tension secondaire est en phase avec la tension primaire

(S03-92) dans le premier cas

et

(S03-93) dans le second cas.

Pour trouver le courant primaire, on doit ajouter à ce courant le courant consommé par les éléments parallèles. Pour le circuit équivalent simplifié, ce courant n'est autre que le courant à vide. On a

(S03-94)

donc

(S03-96) sin j_o = 0.981₉₉

On en déduit

(S03-97)

Le courant primaire vaut donc,

(S03-98)

donc

(S03-99) I₁ = 118.5₉₁ A dans le premier cas

et

(S03-100)

donc

(S03-101) I₁ = 87.1₅₃₆ A dans le second cas

Le calcul des pertes est identique à ce qui a été fait au point 2) , car le circuit équivalent simplifié conduit à une séparation des pertes en deux termes, à savoir

- les pertes correspondant à R_p , égales aux pertes à vide, soit 1.8 kW dans les deux cas.

- les pertes correspondant à R_e , soit 3 x R_e x I₂² .

Par contre, l'évaluation de la puissance transmise à la charge est légèrement différente, car on peut tenir compte de la valeur de U₂ calculée ci-dessus. On obtient ainsi

(S03-102) dans le cas A

et

(S03-103) dans le cas B

On arrive ainsi aux nouvelles estimations du rendement

(S03-104) dans le premier cas

et

(S03-105) dans le second cas.

Le condensateur triphasé a une valeur étoilée de

(S03-106)

et une puissance de

(S03-107) .

On peut le constituer de trois condensateurs monophasés de 79.019 / 3 = 26.34 kVAr . Si ces condensateurs sont connectés en étoile, leur valeur doit être de 1647.₄₃ µF (valeur étoilée calculée ci-dessus). Si, par contre, ils sont connectés en triangle, il faut une valeur trois fois plus faible, soit

(S03-108) 1647.43 / 3 = 549.₁₄ µF

4) Réponse utilisant le circuit équivalent simplifié sans approximations de calcul

Pour obtenir la tension secondaire, on utilise la formule vue au cours. Il s'agit d'une équation du second degré dont la solution peut s'écrire

(S03-109)

On obtient ainsi

(S03-110) U₂ = 386.₂₆ V dans le premier cas

(S03-111) U₂ = 390.₇₂ V dans le second cas

On peut aussi calculer l'angle qui sépare de .

Pour cela, on considère dans le diagramme phasoriel le triangle formé par , et leur somme .

Dans le premier cas, la tension est en retard sur d'un angle donné par

(S03-112)

Dans le second cas, ce retard vaut

(S03-113)

Connaissant cet angle, on peut corriger la valeur de I'₂ calculée précédemment.

Dans le premier cas, on a

(S03-114)

(en prenant comme référence de phase)

donc

(S03-115)

(S03-116) I₁ = 118.5₉₈₇ A

Dans le second cas, on a

(S03-117)

(en prenant comme référence de phase)

donc

(S03-118)

(S03-119) I₁ = 87.1₈₆₃ A

La tension secondaire étant légèrement différente de celle calculée précédemment, on obtient une valeur de la puissance fournie à la charge légèrement différente, soit

(S03-120) 122.₇₃₂ kW dans le cas A

(S03-121) 124.₁₅₀ kW dans le cas B

Par contre, le calcul des pertes d'énergie est inchangé. Le rendement vaut dès lors

(S03-122) 95.7₁ % dans le cas A

(S03-123) 97.0₅ % dans le cas B

La tension secondaire étant légèrement différente de celle obtenue précédemment, le calcul des condensateurs sera lui aussi légèrement différent.

Le condensateur triphasé a une valeur étoilée de

(S03-124)

et une puissance de

(S03-125) .

On peut le constituer de trois condensateurs monophasés de 79.015 / 3 = 26.3₃₈ kVAr . Si ces condensateurs sont connectés en étoile, leur valeur doit être de 1647.₅₁ µF (valeur étoilée calculée ci-dessus). Si, par contre, ils sont connectés en triangle, il faut une valeur trois fois plus faible, soit

(S03-126) 1647.51 / 3 = 549.₁₇ µF

5) Réponse utilisant le circuit équivalent de référence sans approximations de calcul

Pour obtenir le circuit équivalent de référence, faute de mieux, on considère que

(S03-127) R₁ = R'₂ = R'_e / 2 = 0.0474₀₇₄ W

(S03-128) X₁ = X'₂ = X'_e / 2 = 0.0837₃₆₅ W

Si on calcule les éléments parallèles en négligeant R₁ et X₁ , on obtient :

(S03-129)

(S03-130)

(S03-131)

On peut améliorer ces valeurs en calculant

(S03-132)

donc

(S03-133)

d'où l'on déduit

(S03-134) Z_p = 126.₉₂₉₂ W

(S03-135) R_p = Z_p² / 23.9526 = 672.₅₈₆₀ W

(S03-136) X_µ = Z_p² / 124.7324 = 129.₂₄₈₂ W

De la même façon, on peut corriger le rapport de transformation pour tenir compte de la division de tension qui s'effectue entre les impédances R₁ + j X₁ et . On obtient ainsi, à vide

(S03-137)

(S03-138)

L'analyse exacte du circuit ainsi obtenu peut se faire par des manipulations de circuit.
Le programme TRANSFO.BASfourni sur ce site peut effectuer cette analyse. On obtient ainsi

dans le cas A : un courant et une tension secondaires de 313.₆₀₃ A et 386.₂₄₃ V, un courant primaire de 118.₅₉₈ A et un rendement de 95.64₅ % ;

dans le cas B : un courant et une tension secondaire de 229.₃₁₅ A et 390.₇₀₉ V, un courant primaire de 87.₁₈₅ A et un rendement de 97.01₀ % .

La tension secondaire n'étant plus identique à celle des solutions précédentes, le calcul des condensateurs est à nouveau légèrement différent.

Le condensateur triphasé a une valeur étoilée de

(S03-139)

et une puissance de

(S03-140) .

On peut le constituer de trois condensateurs monophasés de 79.013 / 3 = 26.3₃₈ kVAr . Si ces condensateurs sont connectés en étoile, leur valeur doit être de 1647.₅₆ µF (valeur étoilée calculée ci-dessus). Si, par contre, ils sont connectés en triangle, il faut une valeur trois fois plus faible, soit

(S03-141) 1647.56 / 3 = 549.₁₉ µF .

Dernière mise à jour le 19/02/2007.