Exemple de solution à l'exercice S05-15 : Transformateur triphasé

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A condition d'utiliser la correspondance entre les grandeurs triphasées et celles du circuit équivalent monophasé telle que définie au cours, les calculs à effectuer (et donc aussi leurs résultats) sont les mêmes quel que soit le type de connexion (étoile ou triangle), aussi bien en ce qui concerne le primaire et le secondaire du transformateur qu'en ce qui concerne les charges. Grâce à cette convention sur le circuit équivalent monophasé, bien que la configuration du transformateur ne soit pas connue, il n'est donc pas nécessaire d'effectuer les calculs pour chacune des quatre configurations du transformateur qui pourraient correspondre à la réalité : un seul calcul suffit.

Si on prend une convention différente de celle du cours, les calculs peuvent dépendre du type de connexion mais les résultats (en terme de grandeurs de ligne) seront bien entendu identiques.

Nous considérons que la tension nominale secondaire est de 400 V (tension à vide lorsque le primaire est alimenté sous tension nominale).

Le courant nominal secondaire est donc de

(S05-50)

Par ailleurs, le courant consommé par chacune des charges vaut (en prenant la phase de la tension secondaire comme référence)

pour le moteur

(S05-51)

pour le four

(S05-52)

soit, au total,

(S05-53)

Il y a donc surcharge du transformateur, puisque la valeur efficace de ce courant est supérieure au courant secondaire nominal.

Si on dispose des condensateurs en parallèle sur la charge, on modifie la partie réactive du courant, mais pas la partie active, qui reste égale à 366.₉ A . Ceci permet de calculer la valeur efficace du courant secondaire

(S05-54) I₂ = 366.9 / 0.8 = 458.6 A

Cette fois, le courant secondaire est inférieur à sa valeur nominale : l'ajout de condensateurs a éliminé la surcharge.

Le courant secondaire vaut, en phaseurs

(S05-55)

Le courant qui traverse la capacité vaut donc la différence entre (S05-55) et (S05-53), soit

(S05-56)

On notera que tous les phaseurs calculés ci-dessus sont obtenus en considérant comme référence de phase la tension secondaire.

Le transformateur idéal est un modèle trop simple pour pouvoir exploiter toutes les données de l'exercice. La solution qui suit ne mérite donc, si elle n'est pas suivie d'une solution plus complète, qu'une fraction des points. Elle est cependant utile car elle fournit très rapidement des ordres de grandeur et permettrait donc, lors d'un examen, soit de fournir une réponse si l'on ne dispose pas d'assez de temps pour fournir une réponse meilleure, soit de déceler certaines anomalies dans les valeurs numériques d'une solution plus sophistiquée, anomalie permettant de localiser certaines erreurs grossières de cette dernière.

Le rapport de transformation est ici le rapport de transformation conventionnel

(S05-57) k = 11000 / 400 = 27.5

Avec ce modèle, la tension secondaire est toujours égale à 400 V et elle est en phase avec la tension primaire (il n'y a donc pas d'ambiguïté sur le choix de la référence de phase). Le courant primaire est égal au courant secondaire divisé par le rapport de transformation.

On obtient dans le premier cas

(S05-58)

dont la norme vaut

(S05-59) I₁ = I'₂ = I₂ / k = 627.2 / k = 22.8₁ A

Dans le second cas, on obtient

(S05-60)

dont la norme vaut

(S05-61) I₁ = I'₂ = I₂ / k = 458.₆ / 27.5 = 16.6₈ A

Les puissances actives primaires et secondaires sont les mêmes, et valent dans les deux cas

(S05-62)

La valeur des condensateurs à utiliser dans le second cas est facile à calculer puisque la tension secondaire est supposée égale à 400 V. On obtient

(S05-63)

ou

(S05-64)

Bien que le transformateur idéal n'ait pas de pertes, les courants calculés en utilisant ce modèle peuvent être utilisés pour évaluer les pertes, et donc aussi le rendement.

Le plus simple est de supposer que la puissance mesurée lors de l'essai en court-circuit correspond uniquement à des pertes Joule, et que celles-ci sont proportionnelles au carré du courant.

Dans le premier cas, on obtient ainsi pour les pertes Joule

(S05-65) 3200 ( 627.2 / 412.5 )² = 7398 W

et, dans le second cas,

(S05-66) 3200 ( 458.6 / 412.5 )² = 3956 W

En supposant que les pertes magnétiques sont dans tous les cas égales à la puissance mesurée lors de l'essai à vide, on évalue facilement le rendement

Dans le premier cas,

(S05-67) h = 254200 / (254200 + 7398 + 3600) = 0.9585 = 95.85 %

et, dans le second cas,

(S05-68) h = 254200 / (254200 + 3956 + 3600) = 0.9711 = 97.11 %

On conserve pour le rapport de transformation la valeur conventionnelle, soit

(S05-57) k = 11000 / 400 = 27.5

On considère qu'il s'agit d'un nombre réel, ce qui revient à négliger le déphasage entre la tension secondaire à vide et la tension primaire.

Le courant nominal (S05-50), ramené au primaire en utilisant ce rapport de transformation, vaut

(S05-69) 577.35 / 27.5 = 21 A » I_{1 NOM}

Ce courant est grand par rapport au courant primaire à vide (1.0 A). Par ailleurs, l'essai en court-circuit effectué à cette valeur du courant primaire fournirait une tension

(S05-70) U_{1 cc} » 250 x (21/15) = 350 V

qui est petite par rapport à la tension nominale primaire.

Ces remarques justifient l'usage du circuit équivalent simplifié et le fait de négliger les éléments parallèle lors du calcul des éléments série.

On calcule les éléments série en utilisant les résultats de l'essai en cc. Comme noté ci-dessus, on négligera lors de ce calcul la présence des éléments parallèle (on ne peut de toute façon pas en tenir compte parce que la valeur de ces éléments dépend de la tension appliquée au primaire et que les données du problème ne permettent pas de les calculer pour une faible tension primaire). On obtient successivement

(S05-71)

(S05-72)

(S05-73) j_e = 60.48°

(S05-74) sin j_e = 0.8702

(S05-75) R'_e = Z'_e cos j_e = 4.741 W

(S05-76) X'_e = Z'_e sin j_e = 8.374 W

Ces éléments sont transférés au secondaire en utilisant le rapport de transformation. On obtient

(S05-77) Z_e = 0.01273 W

(S05-78) R_e = 0.006269 W

(S05-79) X_e = 0.01107 W

En ce qui concerne les éléments parallèles, il n'est pas nécessaire de les calculer explicitement car seul le courant qui y circule doit être connu pour résoudre les questions posées. Ce courant est les même dans tous les cas puisque la tension primaire reste constante. On l'évalue sur base de l'essai à vide

(S05-77)

(S05-78) j_o = 79.11°

(S05-79) sin j_o = 0.9820

donc

(S05-80)

Ceux qui ont préféré calculer les valeurs des impédances parallèle auront trouvé

(S05-81)

(S05-82) R_p = 6351 / cos j_o = 33611 W

(S05-83) X_m = 6351 / sin j_o = 6467 W

Ayant établi le circuit équivalent, on peut s'en servir pour corriger la valeur de la tension secondaire dans les deux cas de charge considérés.

Pour effectuer ce calcul, il ne faut pas oublier que le courant débité est un phaseur et que l'impédance série est un nombre complexe. Le produit des deux est donc un nombre complexe. La tension secondaire se calcule en se référant à un triangle de tension entre la tension secondaire à vide (source de tension d'un équivalent de Thévenin, la tension secondaire et le produit .)

Comme ce produit est petit par rapport à la tension à vide (cela ressort de la discussion ci-dessus sur la tension de court-circuit ou d'un rapide calcul), le triangle des tensions est très aplati et on peut considérer une solution approchée où l'on trouve la tension secondaire en retirant de la tension à vide la partie réelle du produit . Cette approximation revient à négliger l'angle de phase entre la tension secondaire à vide (ou plutôt la source de tension de l'équivalent de Thévenin) et la tension secondaire .

Dans le premier cas, on a

(S05-84a)

que l'on peut encore calculer comme

(S05-84b)

Donc, la tension secondaire vaut

(S05-85)

Dans le second cas, on trouve en suivant la même méthode une tension secondaire de

(S05-86) U₂ = 390.₇ V

On peut aussi calculer la tension secondaire en utilisant l'équation de la caractéristique externe donnée dans le syllabus. On a besoin pour cela de calculer le courant de court-circuit. Le courant de court-circuit primaire se déduit du courant de l'essai en court-circuit

(S05-86) I_{1 cc} = 15 x (11000 / 250) = 660 A

et le courant de court-circuit secondaire se déduit de cette grandeur par multiplication par le rapport de transformation

(S05-87) I_{2 cc} = 660 A x 27.5 = 18150 A

L'équation du second degré obtenue est incommode du point de vue numérique : sa résolution par la méthode classique nécessite le maintien de nombreuses décimales dans les calculs intermédiaires. Proprement exécuté, le calcul conduit aux mêmes valeurs (S05-85)(S05-86) que le calcul approché (aux décimales indiquées) !

Le courant secondaire ramené au primaire garde la même valeur (S05-59)(S05-60) que lorsque le modèle se réduit à un transformateur idéal. Il faut cependant pour trouver le primaire y ajouter le courant consommé par les éléments parallèles, soit (S05-80). On obtient ainsi (en norme)

(S05-88) I₁ = 23.72 A dans le premier cas

et

(S05-89) I₁ = 17.139 A dans le second cas

Les rendements sont légèrement différents de ceux calculés précédemment, bien que les pertes soient les mêmes, parce que la puissance active est différente.

On a dans le premier cas

(S05-90)

et

(S05-91) h = 245466 / (245466 + 7398 + 3600) = 95.71 %

On a dans le second cas

(S05-92)

et

(S05-93) h = 248318 / (248318 + 3955 + 3600) = 97.05 %

La valeur des capacités utilisées dans le second cas est, elle aussi, légèrement différente à cause de la variation de la tension secondaire. On aura

(S05-94)

ou

(S05-95)

Nous n'avons pas effectué ce calcul. Il ne faut pas en attendre une amélioration significative des résultats précédents.

Dernière mise à jour le 21/06/2002.