Exemple de solution à l'exercice S05-16
: Circuit équivalent et reconditionnement en autotransformateur d'un transformateur triphasé (examen de juin 2003)La plaquette signalétique d'un transformateur triphasé porte les indications suivantes : 150 kVA, 22 kV / 1000 V 50 Hz.
Lors d'un essai en court-circuit effectué à courant nominal, on mesure (du côté haute tension) une tension de 650 V et une puissance de 1350 W . Par ailleurs, à l'aide d'un pont de mesure DC, on mesure entre phases au primaire 25 W et au secondaire 45 mW.
Préalable à la solution : On peut déduire des valeurs nominales fournies le courant nominal secondaire, soit
(S05-99)
1. Déterminez ceux des paramètres du circuit monophasé étoile équivalent simplifié que l'on peut calculer à l'aide des données ci-dessus (donnez les valeurs ramenées au côté haute tension).
Faute de mieux, nous supposerons que le constructeur a respecté les normes habituelles, c'est-à-dire que la tension nominale secondaire (1000 V) est bien la tension secondaire à vide lorsque la tension nominale est appliquée au primaire.
On en déduit le rapport de transformation à mettre dans le circuit équivalent simplifié :
(S05-100) 
L'essai en court-circuit a été effectué au courant nominal. Comme les mesures ont été faites du côté haute tension (c'est-à-dire du côté primaire dans le cas de ce transformateur), il faut savoir quel était le courant primaire pendant cet essai. Le courant magnétisant étant négligeable pendant cet essai, on peut obtenir ce courant primaire en divisant (S05-99) par (S05-100).
(S05-101a) I1 = 86.6025 / 22 = 3.93648 A
En pratique, on calcule directement ce courant à partir des grandeurs nominales, soit
(S05-101b) 
En suivant la procédure habituelle (voir syllabus T paragraphe 2.4. ainsi que la notice et vos rapports du labo 1), on calcule successivement
(S05-102) 
(S05-103a) 
(S05-103b) je = 72.2650 °
(S05-103c) sin je = 0.952475
(S05-104) Re' = Ze' cos j = 29.04 W
(S05-105) Xe' = Ze' sin j = 90.8027 W
Beaucoup d'étudiants se sont trompés soit parce qu'ils n'ont pas tenu compte du fait que le transformateur était triphasé, soit parce qu'ils ont mélangé dans les formules (S05-102)(S05-103) une tension primaire (650 V) avec un courant secondaire (S05-99).
Ces erreurs auraient pu être détectées lors de l'examen car les mesures faites en courant continu permettent de tester la vraisemblance de la valeur (S05-104) obtenue.
Les valeurs DC de R1 et R2 s'obtiennent en effet en divisant par deux les résistances mesurées. On a ainsi
(S05-106) R1 DC = 25 / 2 = 12.5 W
(S05-107) R2 DC = 0.045 / 2 = 0.0225 W
En ramenant R2 DC au primaire, on obtient
(S05-108) R'2 DC = k2 R2 DC = 10.89 W
et donc
(S05-109) R'e DC = R1 DC + R'2 DC = 23.39 W
On voit que la valeur (S05-109) n'est que légèrement inférieure à la valeur (S05-104), ce qui est normal car la valeur déterminée en courant alternatif tient compte de pertes supplémentaires.
2. Même question pour le circuit équivalent en T .
Tout d'abord, le "T" de l'énoncé ne signifie pas "triangle", mais a trait à la topologie retenue pour le circuit équivalent (voir syllabus T, paragraphe 1.7 ). De toute façon, il est impossible de savoir avec les données de l'énoncé si les enroulements du transformateurs sont connectés en étoile ou en triangle. D'ailleurs, avec les conventions du cours, les valeurs des paramètres à mettre dans le circuit équivalent sont identiques quelles que soient ces connexions.
Puisque nous n'avons pas d'information sur les éléments parallèles, la seule chose que l'on puisse faire est de conserver le même rapport de transformation (S05-100) que dans le circuit équivalent simplifié, et de partager (S05-104) et (S05-105) en deux parties.
Le partage de (S05-104) peut se faire en tenant compte des mesures de résistance effectuées en courant continu. Une façon de le faire consiste à calculer le facteur
(S05-110) 
En utilisant ce facteur, on calcule
(S05-111) R1 = R1 DC x 1.2416 = 15.5195 W
(S05-112) R'2 = R'2 DC x 1.2416 = 0.02794 W
Puisque la suite de l'exercice concerne des comportements en AC, les valeurs (S05-111) et (S05-112) conviennent mieux que les valeurs (S05-108)(S05-109).
Pour ce qui est du partage de (S05-105), la façon la plus raisonnable consiste à la partager en deux parties égales, soit
(S05-113) X1 = 90.80 / 2 = 40.40 W
(S05-114) X'2 = 90.80 / 2 = 40.40 W
3. Le primaire étant alimenté à tension nominale, quelle sera la baisse de la tension secondaire (en % de la tension à vide) lors d'un fonctionnement en pleine charge avec un facteur de puissance de 0.8 inductif ?
Le circuit équivalent simplifié suffit pour répondre à cette question.
La solution qui demande le moins de calculs numériques consiste à ramener toutes les grandeurs au primaire, ce qui ne change rien à la valeur numérique du résultat puisque celui-ci doit être exprimé en % . Nous allons néanmoins effectuer le calcul au secondaire, afin de le rendre plus "concret". Il faut pour cela ramener les éléments série au secondaire.
On obtient
(S05-115) Ze = Z'e / k2 = 0.196970 W
(S05-116) Re = R'e / k2 = 0.06 W
(S05-117) Xe = X'e / k2 = 0.187609 W
Dans l'énoncé original, le niveau de charge était fixé en disant que le transformateur débite sa puissance nominale. Il fallait entendre par là "puissance apparente" car le niveau de charge s'estime sur le courant ou sur la puissance apparente, mais certainement pas sur la puissance active. Comme la tension secondaire du transformateur varie peu, cela revient pratiquement à considérer un courant secondaire égal au courant nominal (S05-99). Un certain nombre d'étudiant ont considéré dans cette sous-question que le transformateur débitait une puissance active égale à sa puissance nominale, sans s'apercevoir que cela les conduisait à un courant secondaire supérieur au courant nominal.
Quoi qu'il en soit, en parlant de "pleine charge", il est clair qu'au régime considéré le courant secondaire est égal à sa valeur nominale (S05-99).
La baisse de tension secondaire doit être comparée à la tension à vide, soit
(S05-118) 
Il existe deux façons de calculer la baisse de tension secondaire.
La plus complète consiste à calculer la tension secondaire en utilisant la formule donnée dans le syllabus T (paragraphe 1.7, formule (34) ). On calcule d'abord
(S05-119) 
(S05-120) j = arc cos (0.8) = 36.8699°
Avec (S05-99), (S05-103b),(S05-119) et (S05-120), l'équation précitée devient une équation du second degré en U2 / U2o dont on peut calculer tous les coefficients.
En résolvant cette équation, on obtient
(S05-121) 
En valeur relative, la baisse de tension vaut
(S05-122) 1 - 0.975924 = 0.025076 = 2.5076 %
Cette façon de faire présente l'inconvénient de faire intervenir la différence entre deux grandeurs voisines, ce qui amplifie les erreurs numériques. Pour obtenir un résultat valable, il faut donc calculer (S05-121) avec un grand nombre de décimales.
Une méthode approchée, mais qui ne présente pas ce désavantage, consiste à évaluer la "chute de tension"
(S05-123) Ze I2 = 0.196970 x 86.6025 = 17.0581 V
Cette valeur étant petite par rapport à la tension à vide (S05-118), on peut considérer que la tension secondaire U2 est en phase avec la tension à vide U2o . L'angle (S05-120) est alors l'angle de phase du courant I2 par rapport à la tension à vide U2o . L'angle entre cette tension et la "chute de tension" (S05-123) est alors, utilisant (S05-103b) et (S05-120) de
(S05-124) je - j = 72.2650° - 36.8699° = 35.395°
Comme U2 et U2o sont presque parallèles, la différence de leurs normes est pratiquement égale à la projection de (S05-123) sur l'un d'eux. On obtient ainsi
(S05-125) DU2 = -17.0581 cos (35.395°) = -13.9054 V
En divisant cette valeur par (S05-118), on obtient la baisse de tension en valeur relative, soit
(S05-126) 2.408 %
En comparant cette valeur à (S05-22), on voit que seuls les deux premiers chiffres de (S05-126) sont significatifs.
4. Dans quel cas pourra-t-on sans modifier les enroulements, mais uniquement leurs connexions, reconfigurer le transformateur pour en faire un autotransformateur triphasé 22 kV/23 kV ?
Tout d'abord, l'utilisation d'un autotransformateur n'est possible que si l'isolation galvanique entre primaire et secondaire n'est pas nécessaire.
Beaucoup d'étudiants n'ont pas tenu compte du fait que l'énoncé interdisait de modifier les enroulements et ont suggéré d'insérer des prises de tension supplémentaires ou même des balais mobiles ! En fait, pour obtenir l'autotransformateur cherché, il suffit de garder comme primaire le primaire initial sans modification (puisque la nouvelle tension nominale primaire est identique à l'ancienne) et de connecter chaque enroulement du secondaire en série avec son homologue du primaire (puisque la nouvelle tension secondaire est la somme de l'ancienne tension primaire et de l'ancienne tension secondaire).
Comme on a affaire à un transformateur triphasé, on n'obtiendra le résultat escompté que si les tensions sur chaque enroulement de l'ancien secondaire sont en phase avec les tensions de phase primaire. En pratique, ce ne sera exactement le cas que si le transformateur initial est un transformateur étoile-étoile (faire le diagramme phasoriel des quatre situations possibles pour s'en convaincre).
5. Quelle est la puissance nominale la plus élevée que l'on pourra attribuer à cet autotransformateur sans risque de surcharge d'aucun enroulement ?
Le secondaire ainsi formé peut débiter un courant égal au courant nominal (S05-99) de l'ancien secondaire. Ceci est possible parce que la plus grande partie de ce courant ne traverse pas le primaire, mais vient directement de l'alimentation. Comme la tension secondaire nominale est maintenant de 23000 V , la puissance nominale de l'autotransformateur obtenu est de
(S05-127) 
Cette valeur est beaucoup plus grande que celle du transformateur de départ. Le fait est tout à fait normal car on sait que les autotransformateurs sont particulièrement efficaces lorsque leur rapport de transformation est proche de 1, ce qui est bien le cas ici puisque l'autotransformateur a un rapport k = 22000 / 23000 = 0.957 !
Dernière mise à jour le 05/06/2003.