Exemple de solution à l'exercice S05-17
: Analyse du fonctionnement d'un moteur asynchroneCommençons par exploiter les résultats de l'essai à rotor bloqué
Durant cet essai, l'impédance vue du stator est de
(S05-170)
Pour interpréter les résultats de cet essai, on va négliger les éléments parallele parce qu'ils sont d'un ordre de grandeur supérieurs à l'impédance rotorique et qu'ils se placent en parallèle sur celle-ci lorsque le rotor est court-circuité. On les négligera d'autant plus volontier qu'ils auraient pendant cet essai une valeur plus grande qu'en fonctionnement normal, puisque l'essai est fait à tension réduite, donc à champ magnétique réduit, donc avec moins de saturation magnétique. Cela nous arrange bien puisqu'il n'y a pas dans l'énoncé de données permettant de calculer les éléments parallèle.
L'impédance de 8.66 W vue du stator résulte donc de la mise en série des résistances R1 et R'2 et de la réactance série X'e .
La partie résistive valant 1.5 + 2 = 3.5 W , la réactance série vaut
(S05-171) 
Nombre de pôles et vitesse de synchronisme
Puisque la machine est alimentée en 50 Hz, sa vitesse de synchronisme ne peut valoir que 3000, 1500, 1000 ... t/m.
Puisque la vitesse à vide est de 1497 t/m et que l'on sait que, en fonctionnement normal, la vitesse n'est jamais que légèrement inférieure à la vitesse de synchronisme, cette dernière ne peut valoir que 1500 t/m, soit 25 Hz ou encore 157.08 rad/s .
Le nombre de paires de pôles est donc de
(S05-172) p = 3000/1500 = 2
Analyse du démarrage
Aux premiers instants du démarrage, le rotor est immobile. Ce qui se passe au démarrage est donc analogue à ce qui se passe lors de l'essai à rotor bloqué, mais avec une tension d'alimentation différente. Or, le champ magnétique reste modéré puisque les courants induits dans le rotor ont tendance à s'opposer aux variations de flux (loi de Lentz), donc limitent l'amplitude du flux puisque celui-ci est alternatif. On peut donc supposer que la machine n'est pas saturée au début du démarrage et donc que le circuit équivalent correspondant à l'essai à rotor bloqué, y compris en ce qui concerne la valeur des paramètres, reste valable. Le courant consommé étant alors proportionnel à la tension d'alimentation, on a donc
(S05-173) Courant de démarrage = 5 * 400 / 75 = 26.67 A
Négligeant à nouveau le courant consommé par les éléments parallèle, nous supposons que ce courant correspond (au rapport de transformation près) au courant rotorique. Le courant de 26.67 A du stator est alors aussi le courant qui traverse la résistance rotorique R'2. On peut donc dire que la puissance dissipée au rotor vaut
(S05-174) 3 * 2 * 26.672 = 4266.7 W .
Puisque, à l'arrêt, il n'y a pas de puissance convertie en puissance mécanique, cette puissance est aussi égale à la puissance transmise par l'entrefer. Or, cette dernière est égale au produit du couple électromécanique par la vitesse (en rad/s) du champ tournant. On a donc, lors du démarrage,
(S05-175) Cem = 4266.7 / (2 p * 1500 / 60) = 27.162 Nm
On aurait aussi pu résoudre les questions de ce paragraphe en utilisant des formules "toutes faites" pour obtenir le courant et le couple. Il ne faut cependant pas utiliser de formules dans lesquelles Xm figure car ce paramètre ne peut pas être déterminé avec les données du problème. "Taper" une valeur au hasard, même en se référant à des ordres de grandeur cités dans la documentation à votre disposition, est une mauvaise façon de procéder parce que, en pratique, on commettra souvent ainsi une erreur plus grande qu'en négligeant le paramètre inconnu.
Analyse du fonctionnement à vide
Lorsque le moteur tourne à vide, son glissement est de
(S05-176) g = (1500-1497)/1500 = 0.002 = 0.2 %
Le courant consommé par les éléments parallèle n'est plus négligeable dans ces conditions, mais nous supposerons que la chute de tension qu'il occasionne sur la résistance Rs n'influence pas la valeur du courant rotorique. Le courant rotorique (ramené au stator pour les calculs) parcourt alors un circuit dont la composante résistive vaut
(S05-177) 1.5 + 2 / 0.002 = 1001.5 W
L'impédance de ce circuit, calculée en prenant en compte la réactance série, est à peine plus grande, soit
(S05-178) 
On voit que l'on aurait pu négliger dans ce calcul X'e et utiliser pour (S05-178) la valeur (S05-177).
Le courant rotorique vaut donc
(S05-179) 
A vide, le couple de frottement mécanique est égal au couple électromécanique. Pour calculer celui-ci, on peut calculer d'abord la puissance transmise via l'entrefer, soit
(S05-180) 
On obtient le couple de frottement en divisant cette puissance par la vitesse du champ tournant, c'est-à-dire la vitesse de synchronisme(en rad/s), soit
(S05-181) 
Pour résoudre les questions traitées dans ce paragraphe, on aurait aussi pu utiliser une formule "toute faite" telle que
(S05-182)
L'utilisation de cette formule s'est avérée un piège pour beaucoup d'étudiants car la tension Us qui y figure est la tension du circuit équivalent monophasé (231 V) et non la tension de ligne 400 V. Si on veut utiliser directement la tension de ligne dans cette formule, il faut supprimer le facteur 3 du numérateur ! Par ailleurs, dans cette formule, ws est la pulsation électrique statorique et non la vitesse de synchronisme. Si on veut introduire directement dans la formule la vitesse de synchronisme, il faut supprimer le facteur p du numérateur !
Analyse du point à couple maximum
Puisque Cp est constant, la recherche du couple maximum se ramène à celle du couple électromécanique maximum. Ce dernier est obtenu lorsque la puissance transmise par l'entrefer est maximum, c'est-à-dire lorsque la résistance R'r / g est adaptée au circuit formé de Rs et R'e, c'est-à-dire pour
(S05-183) 
Donc, le glissement correspondant au couple maximum est de
(S05-184) gCmax = 0.2481
Ce glissement n'étant pas égal à l'unité, le couple maximum n'est pas atteint au démarrage, mais à une vitesse de
(S05-185) (1-0.2481) * 1500 = 1127.85 t/m
Au couple maximum, l'impédance totale du circuit rotorique (ramenée au stator) s'obtient à partir de (S05-182) en tenant compte de Rs et de X'e. Elle vaut
(S05-186) 
Le courant qui circule dans ce circuit vaut donc
(S05-187) 
et la puissance transmise via l'entrefer vaut
(S05-188) 3 x 8.0623 x 18.5962 = 8365.92 W
Le couple maximum s'obtient en divisant cette puissance par la vitesse de synchronisme (en rad/s) et en retirant du résultat le couple de frottement mécanique, soit
(S05-189) Cmax = 53.26 - 1.02 = 52.24 Nm
On peut aussi calculer le couple électromécanique maximum en utilisant une formule "toute faite" telle que
(S05-190) 
On a observé lors de l'usage de cette formule les mêmes erreurs que lors de l'usage de la formule (S05-182).
Analyse du fonctionnement en pleine charge
En pleine charge, la puissance mécanique est de 3 * 736 = 2208 W
La puissance perdue sous forme de frottement est approximativement la même qu'à vide, car la vitesse n'est pas très différente (on pourrait après avoir résolu l'exercice revenir sur ce point pour affiner la solution). Nous considérons donc pour un premier calcul que la puissance convertie est de
(S05-191) 2208 + 159 = 2367 W
Par ailleurs, il est facile d'obtenir une expression de cette puissance convertie en fonction du glissement. Il suffit pour cela de multiplier l'expression (S11-182) par la vitesse mécanique, soit
(S05-192) 
On obtient ainsi la puissance convertie
(S05-193) 
qu'il suffit d'égaler à (S11-191) pour obtenir une équation du second degré en g que l'on peut résoudre de façon classique. Une fois connu g et donc aussi la vitesse, on pourrait revenir sur la valeur des pertes mécaniques et affiner le calcul. La convergence vers la solution exacte est très rapide.
La valeur que l'on obtient par tâtonnement est de
(S05-194) vitesse en pleine charge = 1451.19 t/m
La valeur ci-dessus a été obtenue par tâtonnement en utilisant un programme d'analyse disponible sur ce site.
Quelques étudiants ont obtenu la valeur exacte du couple en pleine charge en utilisant une méthode directe. Ils ont pour cela égalé l'expression du couple électromécanique, aprè soustraction du couple de frottement et multiplication par la vitesse de rotation (ws/p)(1-g), à la puissance nominale. On obtient ainsi une équation du troisième degré en g, mais l'un des termes de cette équation prend une valeur numérique négligeable, de sorte que cette équation se ramène à une équation du second degré.
La valeur (S05-194) est très différente de la vitesse correspondant au couple
maximum ! Ce résultat est normal car, constructivement, le couple maximum doit
être largement supérieur au couple nominal afin de garantir un fonctionnement
stable (dans la partie descendante de la caractéristique C-N) même en cas de
fluctuation de la tension du réseau.
Il en ésulte que, sur une machine normalement dimensionnée, le couple maximum
ne peut pas ête maintenu de façon permanente même si l'on arrive à
résoudre le problème de stabilité inhérent au fonctionnement
à couple maximum, car ce fonctionnement correspond à des courants
et donc à un échauffement excessif.
Dernière mise à jour le 29/04/2003.