Exemple de solution à l'exercice S05-19 : Démarrage d'un moteur asynchrone à rotor bobiné (examen elec2310, juin 2003)

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Pour résoudre cet exercice, il n'est pas nécessaire de séparer les deux résistances du circuit équivalent fourni. On peut donc simplifier celui-ci en le mettant sous la forme ci-dessous.

Lors du démarrage d'un moteur asynchrone à rotor bobiné, on insère une résistance additionnelle R_dém. dans le rotor. En fait, on ne peut considérer dans cet exercice que la valeur ramenée au stator, soit R'_dém. .

La résistance de démarrage vient s'ajouter à la résistance rotorique, donc R'_dém. vient s'ajouter à R'_r . On obtient alors le circuit équivalent ci-dessous.

Le courant nominal est le courant absorbé par le circuit de la figure (S05-20) lorsque le glissement g vaut

(S05-225) g = 5% = 0.05

tandis que le courant de démarrage est le courant absorbé par le circuit de la figure (S05-21) lorsque la vitesse de rotation est nulle, donc lorsque

(S05-226) g = 1

Pour que le courant de démarrage soit égal au courant nominal, il faut que le courant absorbé par le circuit de la figure S05-21 avec la condition (S05-226) soit égal au courant absorbé par le circuit de la figure S05-20 avec la condition (S05-225).

Or, les deux circuits ne diffèrent que la valeur de leur unique résistance.

Les deux courants seront égaux si la résistance est la même dans les deux cas.

Dans le premier cas, la résistance vaut

(S05-226) R'_r / g = 1 / 0.05 = 20 W

Dans le second cas, puisque le glissement est égal à un, il faut donc que l'on ait

(S05-227a) R'_r + R'_dém. = 20 W

Mathématiquement, il existe une autre solution, mais nous n'avons pas pénalisé les étudiants qui ne l'ont pas évoquée. En effet, puisque les circuits ci-dessus ne comportent qu'une résistance, changer le signe de cette résistance ne change pas l'impédance du circuit (en norme), donc ne change pas le courant absorbé (en valeur absolue). On a donc la seconde solution

(S05-227b) R'_r + R'_dém. = -20 W

De (S05-227), on déduit que

(S05-228a) R'_dém. = 20 - 1 = 19 W

ou

(S05-228b) R'_dém. = -20 - 1 = -21 W

La seconde solution doit bien entendu être rejetée.

La donnée (avec justification) de (S05-228a) suffisait à obtenir la moitié des points attachés à cette question.

Passons maintenant à la seconde partie de la question.

Le couple électromagnétique est égal à la puissance transférée via l'entrefer divisé par la vitesse de synchronisme. Or, la puissance transférée via l'entrefer est celle qui est "dissipée" dans la résistance unique des circuits ci-dessus. Puisque, aux régimes considérés, ces circuits sont identiques, il en est de même des courants I'_r et donc de la puissance transférée via l'entrefer.

La vitesse de synchronisme étant fixée (elle ne dépend que du nombre de pôles et de la fréquence du réseau), on peut donc dire que dans le cadre de cet exercice le couple électromagnétique est le même au démarrage qu'en régime nominal. Si on néglige le couple de frottement ou qu'on le suppose indépendant de la vitesse, on peut en déduire

(S05-229) C_dém. = C_nom.

Cette réponse (justifiée) suffisait pour obtenir l'autre moitié des points attachés à cette question.

------------------------------------------ fin de la solution standard.

Les étudiants qui ne sont pas arrivés à la conclusion (S05-229) mais qui ont fourni une valeur numérique du couple ont été cotés sur les 7/10 des points attachés à cette partie de la question.

Le couple électromagnétique s'obtient en divisant la puissance dissipée dans la résistance du circuit de la figure S05-21 par la vitesse de synchronisme w_s / p , où p est le nombre de paires de pôles et w_s la pulsation de l'alimentation (soit 2 p f , où f est la fréquence en Hz). On obtient ainsi l'expression

(S05-230)

où le facteur 3 est nécessaire car, puisque le circuit équivalent correspond à une branche étoile, la puissance que l'on calcule en utilisant ce circuit n'est que le tiers de la puissance totale.

On a

(S05-231)

où U_s est la tension de phase étoilée, soit 220 V puisque c'est cette grandeur qui est directement donnée dans l'énoncé (et non la valeur de ligne, comme certains étudiants l'ont cru à tort).

En introduisant (S05-231) dans (S05-230), on obtient

(S05-232)

On peut obtenir cette formule à partir d'une des formules couramment proposées dans la littérature, à condition d'y remplacer R'_r par R'_r + R'_dém. puisque c'est la couple au démarrage que l'on veut calculer. On obtient la valeur

(S05-233) où f est la fréquence électrique en Hz, qui est d'ailleurs la même qu'en régime nominal.

Il n'est pas possible de continuer numériquement le calcul, puisque p et f sont inconnus, sauf à leur attribuer arbitrairement une valeur. Par exemple, en supposant que p = 2 et que f = 50 Hz, on obtient C_em = 45.76 Nm.

Les erreurs les plus fréquentes commises lors du calcul du couple sont

• oublier le facteur 3 de la formule tout en considérant U_s comme une tension de phase étoilée ;
• confondre la fréquence en Hz avec la pulsation (en rad/s) ;
• prendre pour U_s , au lieu de 220 V , cette valeur divisée par racine de 3 ;
• prendre pour U_s , au lieu de 220 V , cette valeur multipliée par racine de 3 sans supprimer le facteur 3 de la formule ;
• ne pas tenir compte de R'_dém. ;
• considérer pour le calcul du couple de démarrage que g = 0.05 au lieu de g = 1.

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Examinons maintenant d'autres solutions

Il est bien entendu possible d'arriver aux mêmes conclusions que dans la solution "standard" en calculant la valeur du courant nominal sur base du circuit de la figure S05-20, puis en cherchant les valeurs de R'_dém. qui conduisent à la même valeur. Beaucoup d'étudiants ont tenté d'appliquer cette méthode mais peu l'ont menée à bien.

Une cause d'échec assez fréquente a été une mauvaise utilisation des phaseurs. Ainsi, l'impédance j w l'_r n'a pas la même phase que R'_r/g . De même, le courant magnétisant n'a pas la même phase que le courant I'_r , et on ne peut donc pas additionner ces courants arithmétiquement.

Une autre cause a été de considérer le courant magnétisant comme négligeable lors du démarrage. Ce n'est pas le cas ici puisque, à cause de la résistance additionnelle, l'impédance de la seconde branche du circuit reste du même ordre de grandeur que l'impédance de magnétisation même lors du démarrage. Les expressions toutes faites du couple de démarrage dans lesquelles on a remplacé I'_r par I_s ne pouvaient donc pas être employées.

Quelques étudiants ont considéré que la résistance de démarrage était placée en série avec le stator, et ont donc introduit dans le circuit équivalent une résistance R_s . L'énoncé est pourtant clair sur ce point, puisque si l'on ramène la valeur de la résistance de démarrage au stator, c'est que cette résistance se trouve au rotor. Ces étudiants ont été pénalisés parce que le premier avantage des machines à rotor bobiné est que l'on peut placer la résistance de démarrage au rotor, ce qui est moins mortifiant pour le couple. En outre, cette façon de faire conduit à un problème de circuit relativement difficile dont très peu sont venu à bout. Le couple de démarrage obtenu n'est qu'une petite fraction du couple nominal, ce qui montre le manque d'efficacité du procédé.

Le R_s calculé dans cette situation est du même ordre de grandeur que l'impédance de magnétisation, de sorte qu'il n'est pas justifié de le placer en aval de cette inductance dans le circuit équivalent. Par contre, il est raisonnable dans ce cas négliger le courant magnétisant car l'impédance de magnétisation est alors en parallèle avec une impédance beaucoup plus faible.

Dernière mise à jour le 20/06/2003.