Exemple de solution à l'exercice S06-13 : Bilan de puissance d'un alternateur

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Pour nous aider à résoudre cet exercice de façon systématique, formons un tableau dont chaque ligne correspond au bilan de puissance d'un des régime à considérer, et remplissons les cases qui peuvent l'être directement avec les données de l'énoncé. Sachant que les pertes ohmiques à l'induit sont proportionnelles au carré du courant, il est facile de porter dans ce tableau la valeur de ces pertes, puisqu'on sait qu'elles valent 200 kW au courant nominal, donc le quart de cette valeur à mi-courant et zéro à vide. La puissance électrique est facile à calculer puisqu'elle vaut

(S06-149)

Enfin, pour les lignes où l'on connaît le rendement, il est facile de calculer la puissance entrante et donc, par différence avec la puissance fournie par l'induit, le total des pertes. Nous avons effectué ce calcul pour le régime à pleine charge et f.p. 0.8 inductif.

On obtient ainsi le tableau ci-dessous.

Pour compléter la colonne relative aux pertes d'excitation, il faut pouvoir estimer le courant d'excitation car ces pertes sont proportionnelles au carré du courant. Or, la détermination du courant d'excitation passe par un calcul phasoriel, et nécessite donc la connaissance d'un circuit équivalent.

L'élément du circuit équivalent le plus facile à estimer est la résistance statorique R_a . En effet, on sait que les pertes ohmiques du stator valent 200 kW lorsque I_a est égal au courant nominal. On en déduit

(S06-150)

On a intérêt à écrire cette résistance sous la forme d'une fraction d'une impédance "de base", à savoir

(S06-151)

Ceci peut se faire en introduisant dans (S06-150) la valeur du courant nominal déduit de

(S06-152)

On obtient ainsi

(S06-153) R_a = 0.008 R_réf.

Le seul élément dont on dispose encore pour déterminer le circuit équivalent est la donnée des pertes d'excitation en pleine charge (à cos j = 0.8) et à vide . R_f étant inconnu, seul le rapport entre les pertes à ces deux régimes, soit 50/20 , peut nous donner une information. On ne peut donc espérer déterminer qu'un seul autre élément du circuit équivalent.

Nous allons donc considérer le circuit équivalent composé seulement, outre une source de tension E , de la réactance synchrone X_s et de la résistance R_s que nous prendrons faute de mieux égale à R_a .

Dans ce modèle, le courant d'excitation est supposé proportionnel à E (ce qui est raisonnable car, les régimes considérés étant tous à la même tension d'induit, le champ magnétique total et donc le niveau de saturation sont pratiquement constants). Le rapport entre les forces électromotrices E en pleine charge (cos j = 0.8) et à vide est donc, comme le rapport des courants d'excitation,

(S06-154)

A vide, la force électromotrice E est égale à la tension, soit

(S06-155)

donc, pour le fonctionnement en charge connu

(S06-156)

Par ailleurs, pour ce régime, le courant d'induit vaut

(S06-157) I_a = (0.8 - j 0.6) I_nom

On dispose donc de tous les éléments nécessaires pour déterminer le diagramme phasoriel représenté ci-dessous.

On déduit de ce diagramme que

(S06-158)

d'où l'on tire l'équation du second degré

(S06-159)

et finalement

(S06-160a) X_s = 0.7591 R_réf.

En comparant (S06-160a) à (S06-153), on note que R_a est petit par rapport à X_s , ce à quoi on pouvait d'ailleurs s'attendre.

On aurait donc pu calculer X_s en négligeant R_a sans commettre d'erreur importante, et on aurait alors obtenu

(S06-160b) X_s = 0.7638 R_réf.

C'est la valeur (S06-160a) qui a été utilisée pour calculer la force électromotrice à chacun des régimes considérés (en valeur relative par rapport à E_o ) , en déduire la valeur du courant d'excitation (en valeur relative) et finalement celle des pertes d'excitation.
Le calcul de la force électromotrice nécessite un calcul phasoriel que l'on déduit directement du graphe de la figure S06-20.

On peut ainsi compléter la colonne relative aux pertes d'excitation.

Pour deux des lignes, il ne reste plus qu'une case vide (les autres pertes)

En faisant un bilan d'énergie (le total des pertes doit être égal é la somme des pertes d'excitation, des pertes ohmiques à l'induit et des "autres pertes") pour le régime à courant nominal et f.p. 0.8 inductif, on calcule pour les "autres pertes" une valeur de 540 kW qui a été portée dans le tableau ci-dessous.

Demandons nous maintenant ce que sont ces "autres pertes". Elles comportent en fait deux termes.

Le premier est formé des pertes par frottement mécaniques, qui sont rigoureusement les mêmes pour tous les régimes considérés puisque la vitesse d'une machine synchrone connectée au réseau est fixée.

Le second est formé des pertes magnétiques. La vitesse étant fixée, celles-ci ne dépendent que du niveau du champ magnétique, lequel est plus lié à la tension d'induit qu'à la force électromotrice E car cette dernière ne tient pas compte de l'ensemble du champ magnétique vu par l'induit. Or, la tension d'induit est la même dans tous les régimes considérés, de sorte que le champ magnétique est lui aussi pratiquement constant, et donc aussi les pertes magnétiques.

On peut donc considérer que les "autres pertes" sont les mêmes à tous les régimes considérés.

Il est alors facile de compléter le tableau. On obtient finalement

La valeur du rendement calculée pour le régime à mi-charge et f.p. 0.8 inductif ne diffère pas de façon significative de la valeur du rendement fournie dans l'énoncé pour ce régime, ce qui tend à montrer que l'hypothèse faite (constance des pertes magnétiques) est réaliste.

Voici finalement le graphe demandé dans l'énoncé (des points supplémentaires ont été calculés pour le tracer).

Dernière mise à jour le 14/05/2002.