Exemple de solution à l'exercice S06-18 : Calcul des courants d'une machine synchrone (examen elec2310, juin 2003)

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Pour répondre correctement aux questions posées, il faut absolument disposer d'un modèle de la machine. Un tel modèle (circuit équivalent) peut être déduit des deux premiers essais cités.

Puisque tous les régimes considérés ont la même tension d'induit, le niveau de saturation de la machine reste à peu près constant et il est logique de supposer que E_o est proportionnel au courant d'inducteur i_f , ce qui était d'ailleurs explicitement dit dans l'énoncé.

Dans le premier régime cité, il n'y a aucune transfert de puissance, ni active ni réactive. Dans ce régime, le courant est nul et donc E_o est égal à la tension d'induit U_s . Connaissant E_o = 3000 V et i_f = 20 A dans ce régime, on en déduit que la relation linéaire entre E_o et i_f est

(S06-260) E_o = 3000/20 i_f = 150 i_f

Dans cette formule, E_o est donné en grandeur de phase étoile.

Certains étudiants qui ont travaillé, comme dans la solution qui suit, en grandeurs de phase étoile ont divisé la tension de 3000 V par racine de 3. Il s'agit d'une erreur car la tension de 3000 V est déjà une tension de phase étoile (et non pas une tension de ligne).

D'autres étudiants ont utilisé dans leur solution des formules relatives aux grandeurs de ligne. C'est bien entendu possible, à condition de multiplier la tension de 3000 V par racine de 3, ce que certains n'ont pas fait.

Ici, nous continuons la solution avec les tensions prises en grandeurs de phase étoilée.

Dans le second régime cité, la puissance et le courant d'induit sont purement réactifs. Le déphasage du courant par rapport à la tension est donc de 90° . On obtient ainsi le diagramme phasoriel de la figure S06-40.

Figure S06-40

Puisque dans ce régime le courant i_f est de 30 A, on déduit de la formule (S06-260) que

(S06-261) E_o = 150 x 30 = 4500 V.

Par ailleurs, la puissance apparente S étant égale dans ce régime à la puissance réactive (500 kVA), on peut calculer le courant d'induit par

(S06-262) S = 3 U_s I_s , donc

(S06-263)

(dans ces formules, le facteur 3 doit être remplacé par racine de 3 si et seulement si on a remplacé la tension de phase étoilée de 3000 V par la tension de ligne de 5196 V ! )

Connaissant E_o et U_s , et sachant par la figure S06-40 que les phaseurs correspondant sont alignés, on peut calculer facilement X_s I_s , soit

(S06-264) X_s I_s = 4500 - 3000 = 1500 V

donc, puisque l'on connaît I_s par (S06-263)

(S06-265) X_s = 1500 / 55.556 = 27 W

Les équations (S06-260) et (S06-165) modélisent complètement la machine avec les hypothèses simplificatrices faites (pas de résistances de perte, pas de non linéarités…).

La première sous-question concerne un régime à 200 kW.

Le calcul du courant actif est facile. On obtient

(S06-266)

On ne peut pas calculer la composante réactive de façon aussi simple parce que, logiquement, ce régime est atteint en gardant le courant d'excitation à la même valeur (soit i_f = 30 A) et en augmentant la puissance mécanique fournie à l'alternateur.

Dans ces conditions, on ne peut pas supposer que la puissance réactive reste constante. Il faut donc impérativement utiliser le modèle de la machine pour répondre à cette sous-question. Le diagramme phasoriel a maintenant l'allure indiquée à la figure S06-41

Figure S06-41

Puisque i_f est resté le même, E_o a gardé sa valeur précédente de 4500 V.

Connaissant (S06-266), on calcule aisément (nous prenons la phase de la tension d'induit comme référence)

(S06-367)

Par Pythagore, on calcule alors

(S06-368)

donc

(S06-369)

On en déduit la composante réactive du courant d'induit

(S06-370) I_{s réactif} = 1459.8 / 27 = 54.07 A

Il existe bien entendu de multiples autres façons d'arriver à ce résultat. Plusieurs étudiants ont utilisé comme intermédiaire de calcul l'angle interne d (voir figure S06-41) à l'aide de la formule

(S06-371)

où le facteur 3 doit figurer puisque nous utilisons pour E_o et U_s des valeurs de phase étoilée (par contre, on doit s'en dispenser si on utilise des valeurs de ligne).

On obtient ainsi

(S06-372)

(S06-373) cos d = 0.99107

A partir de là, le plus simple est de calculer

(S06-374)

et de continuer le calcul comme ci-dessus en utilisant cette valeur à la place de (S06-368). Certains étudiants ont préféré calculer X_s I_s en utilisant la formule d'Al Kashi, en déduire la valeur de I_s puis, connaissant la partie active de ce courant, en déduire la partie réactive par Pythagore.

Les étudiants qui ont supposé que la puissance réactive restait égale à 500 kVAr lors de cet essai ont été coté sur la moitié des points attachée à cette sous-question, car faire cette supposition montre qu'ils ne connaissent pas le principe de réglage d'un alternateur (la puissance active se règle en agissant sur la puissance mécanique fournie à l'alternateur, pas en modifiant le courant d'excitation). A noter que, si on considère que la puissance réactive est restée inchangée, on ne peut pas supposer que i_f garde la même valeur (30A) que précédemment sous peine d'arriver à des incohérences.

La seconde sous-question est encore plus simple que la première.

En effet, lorsque la puissance réactive est nulle, le courant d'induit est en phase avec la tension. Ce courant, purement actif, a alors la valeur (S06-266), de sorte que (S06-267) reste valable. Le diagramme phasoriel est alors celui représenté à la figure ci-dessous

Figure S06-42

La valeur de E_o est donnée par le théorème de Pythagore

(S06-375)

Par (S06-260), on en déduit immédiatement la valeur de i_f , à savoir

(S06-376) i_f = 3059.4/150 = 20.4 A

Dernière mise à jour le 20/06/2003.