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On peut équilibrer les consommations de puissance en réduisant le courant de certaines phases lors des pas impairs, mais il faut pour cela un dispositif d'alimentation plus sophistiqué (voir paragraphe 7.2.3 du livre ou la page consacrée aux circuits électroniques de puissance).

Pour savoir quelle serait la répartition de courant optimale, il faut d'abord définir un critère. Nous décidons donc que la répartition de courant optimale est celle qui conduit à la plus grande raideur autour de la position de repos.

Utilisé seul, ce critère conduit à un non sens puisque la raideur augmente avec le courant (du moins avec l'hypothèse de linéarité faite au paragraphe 7.1.1. du livre). Il faut donc se fixer une contrainte supplémentaire. Nous nous imposons donc l'obtention d'une raideur maximale pour une consommation de puissance électrique P fixée.

Le problème consiste donc à trouver trois courants tels que

- le couple soit nul pour la position q_{m souh} de repos souhaitée. Or avec les hypothèses faites sur la machine, on a

(S11.56a) C = y_o [-sin (q_m ) i_a - sin (q_m - 2 p / 3) i_b - sin (q_m - 4 p / 3) i_c )]

La condition à remplir est donc

(S11.56b) 0 = y_o [-sin (q_{m souh} ) i_a - sin (q_{m souh} - 2 p / 3) i_b - sin (q_{m souh} - 4 p / 3) i_c )]

- la puissance consommée est égale à une valeur fixée P, soit, R étant la résistance de chaque

enroulement

(S11.57) 0 = R ( i_a² + i_b² + i_c² ) - P

- la raideur est maximale, soit, en dérivant (S11-56a) selon q_m puis en prenant la valeur de la fonction obtenue en q_m = q_{m souh},

(S11.58) y_o [cos (q_{m souh} ) i_a + cos (q_{m souh} - 2 p / 3) i_b + cos (q_{m souh} - 4 p / 3) i_c ] maximale.

Il s'agit d'un problème classique d'optimisation sous contrainte, dont la solution peut s'obtenir par la méthode de Lagrange. Cette méthode consiste à ajouter à la fonction à optimiser (S11.58) les membres de droite des contraintes (S11.56b)(S11.57) multipliés par un coefficient indéterminé.

Soient l et m ces coefficients, appelés multiplicateurs de Lagrange ; la fonction à optimiser devient

(S11.59) y_o [cos (q_{m souh} ) i_a + cos (q_{m souh} - 2 p / 3) i_b + cos (q_{m souh} - 4 p / 3) i_c ]

+ l y_o [-sin (q_{m souh} ) i_a - sin (q_{m souh} - 2 p / 3) i_b - sin (q_{m souh} - 4 p / 3) i_c ]

+ m [R ( i_a² + i_b² + i_c² ) - P]

En dérivant cette fonction selon i_a , i_b et i_c et en annulant les trois dérivées, on obtient

(S11.60a) y_o [cos (q_{m souh} )] + l y_o [-sin (q_{m souh} )] + 2 m [R i_a ] = 0

(S11.60b) y_o [cos (q_{m souh} - 2 p / 3)] + l y_o [- sin (q_{m souh} - 2 p / 3) ] + 2 m [R i_b ] = 0

(S11.60c) y_o [cos (q_{m souh} - 4 p / 3)] + l y_o [- sin (q_{m souh} - 4 p / 3) ] + 2 m [R i_c ] = 0

En multipliant les équations (S11.60) par sin (q_{m souh} ), sin (q_{m souh} - 2 p / 3) et sin (q_{m souh} - 4 p / 3) respectivement, en sommant le résultat et en utilisant (S11.56), on arrive à la conclusion que

(S11.61) l = 0 .

En posant

(S11.62) I = - y_o / (2 m R) ,

on en déduit que

(S11.63a) i_a = I cos (q_m )

(S11.63b) i_b = I cos (q_m - 2 p / 3)

(S11.63c) i_c = I cos (q_m - 4 p / 3)

La valeur de I s'obtient en reportant (S11.63) dans (S11.57). Il vient

(S11.64)

On remarque que I est indépendant de la position q_m . En outre, il ne dépend pas du paramètre y_o de la machine. Par (S11.62), il en est de même du multiplicateur m , qui vaut

(S11.65) m = - y_o /(2 I R )

Il reste à calculer la valeur de la raideur obtenue avec la solution optimale (S11.63)(S11.64). Ceci peut se faire en multipliant les équations (S11.60) par i_a , i_b et i_c respectivement et en sommant les résultats. Utilisant (S11.57) (S11.61) et l'expression (S11.58) de la raideur, on constate que celle-ci vaut

(S11.66) raideur = - 2 m P

soit, compte tenu de (S11.65)

(S11.67)

La raideur correspondant à la solution optimale (S11.63)(S11.64) est donc indépendante de q_{m souh} (du moins avec la machine, le modèle et le critère d'optimisation considérés ici). Puisque toutes les positions peuvent être obtenues avec la même performance, il n'y a pas de raisons de se limiter à 6 ou 12 pas : le dispositif considéré se prête à un fonctionnement en pas à pas avec un nombre de pas quelconque. A la limite, le nombre de pas peut tendre vers l'infini et la largeur du pas vers zéro.

Dernière mise à jour le 25-05-2009