Exemple de solution à l'exercice proposé S02-8 : champ à l'intérieur d'un câble coaxial

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On commence par établir, par des considérations de symétrie, que le champ est radial, et que sa valeur ne dépend que de la distance r à l'axe du cylindre.

On considère alors des cylindres fictifs de longueur L et de rayon r.

Si r < r₁ , le cylindre ne renferme aucune charge. On a donc par la loi de Gauss

(S02-76)

donc

(S02-77) D_r = 0 si r < r₁

Le champ électrique est nul dans le creux du conducteur central.

Si la surface d'intégration se trouve dans le conducteur central, soit r₁ < r < r₂ , le champ est nul sur la surface d'intégration puisqu'on a supposé ce champ nul à l'intérieur des conducteurs. On en déduit par la loi de Gauss que la densité de charge sur la surface interne ( de rayon r₁ ) du conducteur central est nulle. La charge l_i se trouve donc sur la surface externe (de rayon r₂ ) de ce conducteur.

Si la surface d'intégration se trouve dans l'isolant entre les deux conducteurs, soit r₂ < r < r₃ , la charge contenue dans le cylindre vaut l_i L. On a alors par la loi de Gauss

(S02-78)

d'où l'on déduit

(S02-79)

Si la surface d'intégration se trouve dans le conducteur externe, soit r₃ < r < r₄ , le champ est nul sur la surface d'intégration puisqu'on a supposé ce champ nul à l'intérieur des conducteurs.

On en déduit par la loi de Gauss que la densité de charge sur la surface interne (de rayon r₃ ) du conducteur extérieur doit être égale à - l_i afin de compenser la charge du conducteur intérieur. L'autre partie de l_e ne peut se trouver ailleurs que sur la surface externe du conducteur externe, dont la charge vaut donc l_e - l_i .

Enfin, en dehors du câble, soit pour r₄ < r , on obtient par Gauss

(S02-80)

d'où l'on déduit

(S02-81)

Si le champ externe est nul, on peut en déduire que les deux conducteurs portent des charges l_i et l_e égales en valeur absolue et de signes opposés.

Dernière mise à jour le 03-09-2001.