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Nous cherchons à obtenir le champ associé à deux lignes droites parallèles en sommant deux champs de la forme (S02-63), obtenue comme solution de l'exercice S02-3.

Pour que cela soit correct, il faut que le milieu présente une symétrie cylindrique aussi bien par rapport à la droite où se trouve la charge + l que par rapport à la droite où se trouve la charge - l , ce qui n'est possible que si le milieu est uniforme et isotrope.

Les non-linéarités sont aussi à rejeter si l'on veut appliquer cette méthode de calcul parce que, dans le cas contraire, une des droites chargées pourrait briser la symétrie du milieu par rapport à l'endroit où se trouve l'autre droite chargée.

On doit donc supposer pour appliquer la méthode de calcul envisagée que le milieu est linéaire, isotrope et uniforme, donc défini par une seule valeur de permittivité diélectrique e . Par contre, il n'est pas nécessaire que ce milieu soit le vide.

Le calcul du champ comme la somme de deux champs de la forme (S02-63) obtenue lors de la solution de l'exercice S02-3 peut alors se faire comme présenté en semaine 1 pour le calcul de lors de la solution de l'exercice S01-8. On obtient à nouveau une expression compliquée dans le cas général parce que ces champs n'ont pas la même direction. On ne peut donc pas remplacer leur somme vectorielle par une somme arithmétique. Nous allons exprimer les composantes de ces champs dans un référentiel commun, à savoir le référentiel orthonormé associé au système de coordonnées cylindrique r, j, z défini par

(S01-135a) x = r sin j

(S01-135b) y = r cos j

On obtient alors, moyennant un peu de trigonométrie

(S01-136a)

(S01-136b)

(S01-136c) D_z = 0

où

(S01-137a)

(S01-137b)

Le calcul est plus simple dans le plan des deux droites, car la seule composante non nulle à cet endroit est la composante D_y . En sommant les valeurs de cette composante relative aux deux droites chargées, on obtient immédiatement

(S01-138)

Le champ électrique s'obtient immédiatement à partir des expressions de en divisant celles-ci par e . On obtient

(S01-139a)

(S01-139b)

(S01-139c) E_z = 0

et, dans le plan des deux droites

(S01-140)

Le potentiel pourrait s'obtenir en intégrant le champ (S01-139) ci-dessus sur une ligne allant de l'infini au point considéré. Le calcul direct du potentiel est cependant beaucoup plus simple que le calcul direct des champs parce que, le potentiel étant une grandeur scalaire, on peut additionner les contributions des deux droites chargées sans faire intervenir de considérations directionnelles. On obtient, de façon analogue à ce qui a été présenté en semaine 1 lors de la solution de l'exercice S01-8 pour calculer le champ dans le vide se généralise alors de façon évidente. On obtient

(S02- 142)

Les résultats ci-dessus permettent de réaliser aisément un graphe reprenant le tracé exact des équipotentielles, puisque celles-ci sont des cercles de centre et de rayon connu.

Le milieu étant isotrope, les lignes de champ sont perpendiculaires aux équipotentielles.

...........Figure S02-25 à faire un jour ........

Dernière mise à jour le 23-09-2001.