Exemple de solution à l'exercice proposé S02-14g : champ associé à une surface cylindrique chargée infiniment longue mais incomplète (évaluation octobre 2003).

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Choix de coordonnées : Oxyz, avec O sur l’axe Oz du cylindre.

La surface du demi-cylindre est définie par [R, q allant de -p/2 à +p/2, z].

Un élément de surface cylindrique dS au point A [R, q, z] a une aire dS = R dqdz. Si cet élément de surface porte une densité de charge positive, elle provoque un champ électrique dans la direction indiquée sur la figure.

Calcul de .

L’ensemble des points le long d’une génératrice du cylindre, A(R,( q,q + dq)) , "z , constitue une distribution linéique de charge parallèle à Oz.

Pour chaque " dz " on a une charge (sR dqdz) [C/m² . m²]= [C] .

Pour une longueur " L " on aura une charge (sR dqL) [C] .

Pour une longueur " unitaire " on a une charge " linéique " l = (s R ds) [C/m] .

La loi de Gauss pour une charge linéique l donne un champ radial avec

(S02-145).

La densité de charge s est positive, le champ radial pointe donc vers les x négatifs comme indiqué sur la figure.

Le champ total est la somme vectorielle des contributions pour q allant de -p/2 à +p/2 .

Par symétrie autour du plan Oxy, tous les composantes suivant Oy se compensent 2 par 2

Il ne faut donc calculer que la somme des composantes suivant Ox .

Chacune de ces composantes E_Ax = - E_A cos q = -(s/2 p e_{o) cos q dq .}

Et donc :

(S02-146)

Dernière mise à jour le 14-10-2003.