Exemple de solution à l'exercice proposé S02-28 : champ associé à une répartition volumique de charge

Retour à l'énoncé

Par la symétrie sphérique, le champ est radial. On le calcule par la loi de Gauss, appliquée à une surface sphérique fictive de rayon r.

A l'extérieur de la sphère, on obtient la même valeur du champ que dans le cas d'une charge ponctuelle ou d'une sphère creuse, à savoir

(S02-270a) si r > R

A l'intérieur de la sphère, par contre, la charge encerclée par la sphère fictive ne comporte qu'une partie de la charge Q. Comme le volume d'une sphère est proportionnel au cube de son rayon, la charge encerclée est Q (r/R)³ , donc le champ vaut

(S02-270b) si r < R

On remarquera la différence avec le cas de la sphère creuse, où le champ interne est nul.

Dans le vide, ou dans un milieu de perméabilité e , le champ s'obtient en divisant ces expressions par e , soit

(S02-271a) si r > R

(S02-271b) si r < R

Le champ externe donne lieu à une énergie identique à celle calculée pour une sphère creuse, à savoir

(S02-272a)

L'énergie interne s'obtient en intégrant la densité d'énergie

(S02-273)

soit

(S02-272b)

L'énergie totale vaut donc

(S02-274)

Le potentiel s'obtient en intégrant le champ électrique de l'infini au point considéré. A la surface de la sphère, le potentiel vaut, comme dans le cas d'une sphère creuse

(S02-275a)

Lorsque la sphère est creuse, ce potentiel est constant sur tout l'intérieur de la sphère.

Dans le cas d'une sphère pleine, le champ électrique interne n'est pas nul et il faut donc prolonger l'intégration à l'intérieur. Le potentiel au centre de la sphère vaut alors

(S02-275b)

Dernière mise à jour le 23-09-2001.