Exemple de solution à l'exercice proposé S02-51 : condensateur plan à deux diélectriques (posé lors de l'évaluation d'octobre 2001)

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Félicitation ! Vous avez cliqué sur la bonne solution.

Si on néglige les effets de bord, le problème présente une symétrie de translation par rapport à toute direction parallèle aux électrodes. Les champs E et D sont donc constants sur n'importe quel plan parallèle aux électrodes.

On a aussi une symétrie de rotation par rapport à un axe perpendiculaire aux électrodes, de sorte que les champs sont partout perpendiculaires aux électrodes.

Si on applique la loi de Gauss à une surface fermée formée de deux surfaces planes parallèles aux électrodes, la contribution de chacune des surface est égale (au signe près) au produit DS , D étant constant sur toute la surface S et perpendiculaire à celle-ci.

On en déduit que le champ D est constant dans chacune des trois zones séparées par les électrodes

Si D n'était pas nul en dehors du condensateur, E ne serait pas nul non plus et on aurait une différence de potentiel infinie entre la référence (située à l'infini) et les électrodes. On aurait aussi une densité d'énergie électrique non nulle à l'extérieur du condensateur, donc une énergie infinie.

Pour toutes ces raisons, il est normal de supposer que les champs sont nuls à l'extérieur du condensateur

Si on applique à nouveau la loi de Gauss à une surface fermée formée de deux surfaces planes parallèles aux électrodes et situées de part et d'autre de l'électrode "positive", l'une située en dehors du condensateur et l'autre entre les électrodes, seule la seconde contribue à l'intégrale de Gauss puisque le champ D est nul sur la première. On a donc la relation

D S = Q

où Q est la charge du condensateur.

On a donc D = Q/S partout entre les deux électrodes.

Le champ électrique s'obtient en divisant D par la permittivité diélectrique, et est donc différent dans les deux matériaux : on a

E₁ = Q/(Se₀e₁) dans le premier cas et E₂ = Q/(Se₀e₂) dans le second.

La tension du condensateur s'obtient par une intégrale de ligne de ce champ entre les deux électrodes. On obtient

U = V_A-V_B= (Q/(Se₀e₁)) d₁ + (Q/(Se₀e₂)) d₂ = (Q/(Se₀)) ((d₁/e₁) + (d₂/e₂))

On en déduit l'expression de la capacité

C = Q/U = Se₀ ((d₁/e₁) + (d₂/e₂))^-1

Lorsque les deux électrodes sont séparées par du vide, on a e₁ = e₂ = e , donc

C_o= Se₀/d

Soit Se₀ = C_o d

En introduisant cette valeur dans l'expression de la capacité, on obtient bien l'expression sur laquelle sur laquelle vous venez de cliquer.

Dernière mise à jour le 17-10-2001.