Exemple de solution à l'exercice proposé S02-54 : énergie d'un système de charges

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Tout d'abord, puisqu'il n'est pas question dans l'énoncé de milieu matériel, on en déduira que, dans l'esprit des auteurs de la question, le problème concerne l'électrostatique du vide.

La constante diélectrique à considérer est donc celle

Pour amener la première charge, aucun travail n'est nécessaire puisqu'il n'existe pas encore de champ électrique dans l'espace considéré.

Pour amener la deuxième charge, il faut effectuer un travail puisque cette charge doit se déplacer dans le champ associé à la première.
Le travail nécessaire s'obtient en calculant le potentiel dû à la première charge à l'endroit où on amène la deuxième.
Si la deuxième est placée en un point diamétralement opposé du carré, la distance entre cette charge et la première vaut

(S02-351) 0.198 m .

Le potentiel dû à la première charge à cet endroit vaut

(S02-352) q₁/(4 * p e_o r) = 2 10^-9 / (4 * p e_o 0.198) = 285.22 V .

Le travail à effectuer pour placer la deuxième charge est donc de

(S02-353) 285.22 * 2 10^-9 = 5.704 10^-7 J .

Pour amener la troisième charge, il faut effectuer un travail puisque cette charge doit se déplacer dans le champ associé aux deux précédentes.
Le travail nécessaire s'obtient en calculant le potentiel dû aux deux charges déjà en place et en le multipliant par la valeur de la troisième. La distance entre la troisième charge et chacune des deux précédentes est de

(S02-354) 0.14 m.

Le potentiel dû à la première charge à l'endroit de la troisième vaut donc

(S02-355) q₁/(4 * p e_o r) = 2 10^-9 / (4 * p e_o 0.14) = 403.36 V

Il en est de même du potentiel dû à la deuxième charge à l'endroit de la troisième. Au total, celle-ci est donc placée en un point de potentiel

(S02-356) 2 * 403.36 = 806.52 V .

Le travail nécessaire pour placer la troisième charge vaut donc

(S02-357) 806.52 * 2 10^-9 = 1.613 10^-6 .

Enfin, pour amener la dernière charge, il faut aussi effectuer un travail puisque cette charge doit se déplacer dans le champ associé aux trois autres.
Le travail nécessaire s'obtient en calculant le potentiel dû aux trois autres charges et en le multipliant par la valeur de la quatrième. La symétrie du problème fait que le potentiel à calculer est la somme des valeurs (S02-352) et (S02-356). On obtient ainsi un travail de

(S02-358) (285.22 + 806.52) * 2 10^-9 = 1.613 10^-6 + 0.570 10^-6 = 2.183 10^-6 J .

Au total, l'énergie nécessaire pour assembler le syst&eagrave;me est donc de

(S02-359) 0.570 10^-6 + 1.613 10^-6 + 2.183 10^-6 = 4.366 10^-6 J .

L'ordre dans lequel on place les charges n'a pas d'influence sur le résultat du calcul. Il doit d'ailleurs en être ainsi pour respecter le principe de conservation de l'énergie car, sinon, il suffirait d'assembler le système puis de le désassembler dans un ordre différent pour créer ou faire disparaître de l'énergie.

On peut aussi appliquer une autre méthode et calculer pour chaque charge le potentiel, à l'endroit où elle se trouve, dû aux trois autres, et multiplier ce potentiel par la valeur de la charge considérée. On somme alors les résultats obtenus pour chaque charge. En agissant de la sorte, on a compté deux fois l'énergie correspondant à chaque paire de particules. La somme obtenue doit donc encore être divisée par deux pour obtenir le résultat correct.

Dans le cadre de cet exercice, on obtiendait ainsi le résultat (S02-358) pour chacune des charges, qu'il suffirait de multiplier par quatre puis de diviser par deux pour obtenir le résultat cherché (4.366 10^-6 J comme à la formule (S02-359))

Dernière mise à jour le 26-05-2003.