Exemple de solution à l'exercice S02-55
: Cavité dans une sphère chargée en volume (question ouverte posée en décembre 2004)Première sous-question
Nous utilisons l'électrostatique du vide. Puisqu'il n'y a pas de milieux polarisables, il n'y a pas de charges liées.
La solution peut s'obtenir en superposant les solutions de deux problèmes plus simples. Nous considérons ici deux problèmes à symétrie sphérique.
Le premier problème se résoud aisément en utilisant la loi de Gauss. En effet, la symétrie sphérique de ce problème permet d'affirmer que le champ E est radial et ne dépend que de la distance r au centre. Une surface de Gauss de rayon r < 2 a contient une charge
(S02-300) Q = r [(4/3)p r3]
La loi de Gauss, écrite en terme du champ E, permet de calculer ce champ sur cette surface, donc partout à l'intérieur de la sphère initiale
(S02-301) Er = Q / [4 p r2] /eo = r [(4/3)p r3] / [4 p r2] /eo = (r/3) r /eo
soit, en composante cartésiennes, si l'origine des coordonnées est au centre de la grande sphère comme suggéré sur la figure,
(S02-305) Ex = [r/(3 eo)] x
(S02-306) Ey = [r/(3 eo)] y
(S02-307) Ez = [r/(3 eo)] z
Le second problème se résoud de façon similaire, mais il faut tenir compte du changement de signe de la charge et du fait que le centre de la sphère correspondant à la cavité est décalé d'une distance a par rapport à l'origine des coordonnées. On obtient ainsi, à l'intérieur de cette sphère de rayon a,
(S02-308) Ex = - [r/(3 eo)] x
(S02-309) Ey = - [r/(3 eo)] ( y - a )
(S02-310) Ez = - [r/(3 eo)] z
En sommant les deux solutions ci-dessus, on obtient la solution du problème complet à l'intérieur de la cavité
(S02-311) Ex = 0
(S02-312) Ey = [r/(3 eo)] a
(S02-313) Ez = 0
On voit que le champ dans la cavité est uniforme et dirigé dans la direction Oy
Deuxième sous-question
La surface considérée englobe toutes les charges. Or, le total de celles-ci est
(S02-314) Q = r [(4/3)p (2a)3] - r [(4/3)p a3] = r [(28/3)p a3]
On a donc par la loi de Gauss, écrite en terme du champ E,
(S02-315) FE = {r [(4/3)p (2a)3] - r [(4/3)p a3] }/ eo = r [(28/3)p a3] / eo
Troisième sous-question
L'électron étant chargé négativement, il subit une force q E orientée vers le centre B. La norme de cette force s'obtient en multiplant le quantum de charge e par le champ (S02-312). Cette force est constante et agit sur une distance 2a, de sorte que le travail transmis à l'électron vaut
(S02-317) w = 2 a e [r/(3 eo)] a = 2 a2 e [r/(3 eo)]
L'énergie cinétique de l'électron lorsqu'il arrive au point B est égale à ce travail.
Dernière mise à jour le 20-12-2004.