Exemple de solution à l'exercice proposé S03-53 : constante de temps d'un condensateur imparfait

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Solution passant par le calcul des champs

Soit q la charge du condensateur (fonction du temps). On a donc une charge (libre) q sur la plaque positive et une charge -q sur la plaque négative. En appliquant les symétries (symétrie plane si on néglige les effets de bord) et la loi de Gauss (voir exercices de la guidance), on arrive à la conclusion que le champ D vaut entre les deux plaques

(S03-300) D = q/S

et qu'il est nul en dehors du condensateur

Le champ E vaut entre les plaques

(S03-301) E = q/(e S)

On peut relier de façon simple le champ E au potentiel V car il n'y a pas dans ce problème de champ magnétique variable. On obtient en intégrant (S03-301) sur un chemin allant d'une plaque à l'autre le potentiel V de la plaque positive par rapport à l'autre :

(S03-302) V = E d = E = q d /(e S)

L'équation (S03-302) établit le lien entre la tension V citée dans l'énoncé et la charge q.

Revenons maintenant à l'équation (S03-301).

La loi d'Ohm locale permet d'exprimer la densité de courant de conduction :

(S03-303) J = s E = s q/(e S)

Le courant i de conduction qui traverse le condensateur est donc

(S03-304) i = J S = s E = s q/e

Ce courant sort de la plaque positive. Il correspond donc à une diminution de la charge q de celle-ci. La loi de conservation de la charge fournit

(S03-305) i = - dq/dt

En éliminant i entre (S03-304) et (S03-305), on obtient l'équation différentielle

(S03-306) dq/dt = (s / e) q

Cette équation ne dépend pas des dimensions géométriques du condensateur. Sa solution est une exponentielle décroissante de constante de temps

(S03-307)t = e / s = r e

Cette constante de temps ne dépend pas des dimensions géométriques ; elle est proportionnelle à r et à e

Solution de type circuit

Cette solution est moins rigoureuse que la précédente en ce sens que, pour prouver sa validité, il faudrait passer par les calculs de champ effectués ci-dessus.
Elle présente cependant un intérêt car elle permet d'arriver à la solution en utilisant seulement des "formules toutes faites" que beaucoup de personnes connaissent par coeur.

Calculons donc une capacité C selon la formule habituelle (démontrée dans la littérature seulement pour les condensateurs idéaux)

(S03-308) C = e S / d

De même, calculons une résistance R selon la formule habituelle (démontrée dans la littérature seulement pour les résistances idéales)

(S03-309) R = r d / S

Il reste à calculer la constante de temps en appliquant la formule relative à un circuit R C, soit, en multipliant (S03-308) et (S03-309)

(S03-310) t = R C = r e

qui est bien le résultat obtenu ci-dessus.

Dernière mise à jour le 27-05-2003.