FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaines 7 : Magnétostatique dans la matière
APE

1. a) Si r < 0.5 mm, on a H = 1.91 10⁶ r (en A/m)

  en r = 0.5 mm , on a donc H = 955 A/m , aussi bien dans le fil qu'à l'extérieur.

  si r > 0.5 mm, on a H = 0.477 / r (en A/m si r est en mètres)

Si r < 0.5 mm, le champ B croît non linéairement avec r d'une valeur nulle au centre du fil jusqu'à une valeur de 1.6 T environ à la surface du fil (côté intérieur).

En r = 0.5 mm , le champ B présente une discontinuité ; il passe de 1.6 T côté intérieur à 1.2 mT côté extérieur.

En r > 0.5 mm , on a B = m_o 0.477 / r = 59.94 10^-6 /r (en T si r est en mètres).

  b) Si on annule le courant, le champ H redevient partout nul.
Le champ B redevient nul en dehors du fil mais, à l'intérieur du fil, B prend une valeur non nulle (sauf en r=0), inférieure à la valeur atteinte au point considéré lors de la première partie de l'exercice et dépendant de cette dernière. Pour trouver cette valeur, il faudrait disposer d'une caractéristique B-H tenant compte de l'hystérésis, comme c'est le cas de la partie (b) de la figure. Malheureusement, cette partie de la figure n'est pas utilisable car elle n'est que qualitative (les unités ne sont pas indiquées).

2. I = (0.1/m_o)(0.01 + 0.47/3000)/500 = 1.616 A

Pour un courant de 2.5 A et un entrefer de 0.0025 mm, on obtiendra un champ B de m_o 500 x 2.5 /(0.0025 + 0.47/3000) = 0.591 T aussi bien dans l'entrefer que dans le noyau ferromagnétique.

Le champ H vaudra 470500 A/m dans l'entrefer et 157 A/m dans le noyau.

3. Si r < 5 mm, on a H = I r /(2 p R²) = 1.592 10⁶ r (en A/m si r est en mètres)

Si r < 5 mm, le champ B vaut m_o I r /(2 p R²) = 2 r (en T si r est en mètres).

Si r > 5 mm et pour les points situés en dehors du tore, le champ B vaut m_o I /(2 p r) = 50 10^-6 /r (en T si r est en mètres).

Enfin, pour les points situés dans le tore, on a B vaut m_r m_o I /(2 p r) = 5 10^-3 /r (en T si r est en mètres).

4. Le moment magnétique de la bobine vaut 0.235 Am².

  a) le couple est maximum quand l'axe de la bobine est perpendiculaire au champ. Il vaut alors 0.132 Nm .

  b) le couple varie en sin q.
Il faut 0.71 fois sa valeur maximale si sin q = 0.71, donc si q = 45° ou 135° .

5. En l'absence de bille, le champ est donné par la formule (4.50) du syllabus FSA1402 (vous devez pouvoir retrouver cette formule par vous-même). H vaut 5868 A/m et B vaut 7.37 mT

En présence d'une bille ferromagnétique, les tubes de flux du champ B se déforment pour passer de préférence à travers la bille (chemin plus facile pour le flux magnétique).
Il en résulte que, en dehors de la bille, le champ B est donc renforcé près de l'équateur de la bille et affaibli près de ses pôles. Il en est de même du champ H .
Le champ B à l'intérieur de la bille est égal au champ B extérieur près de l'équateur (par continuité de la composante normale de B). Le champ B dans la bille est donc renforcé par rapport à ce qu'il était en l'absence de bille.
Le champ H à l'intérieur de la bille est égal au champ B extérieur près des pôles (par continuité de la composante tangentielle de H). Le champ H dans la bille est donc affaibli par rapport à ce qu'il était en l'absence de bille.

Le fait que B augmente et que H diminue est possible puisque le rapport entre ces deux champs est plus grand dans la bille qu'à l'extérieur. Un calcul exact montrerait que H = 1467 A/m et que B = 18.43 mT partout dans la bille (champ uniforme).

6. En résolvant le circuit magnétique externe à l'aimant, on obtient la relation B_a = - 27.9 10^-6 H_a entre les deux champs B et H dans l'aimant.

Or, ces champs doivent aussi vérifier la relation B_a-H_a de l'aimant. Graphiquement, on trouve approximativement comme point d'intersection de la droite et de la courbe correspondant à ces relations le point B_a = 0.9 T H_a = - 32.3 kA/m . En utilisant la conservation du flux, on obtient dans le reste du circuit magnétique B_f = 0.45 T . De même, la loi d'Ampère appliquée à tout le circuit montre, en dehors de l'aimant, on doit avoir H_f = 359 A/m

7. Si le fil est disposé parallèlement au champ, le champ est le même dans le fil qu'en dehors : H_f = H_o . On en déduit que B_f = 100 m_o H_f = 100 m_o H_o = 100 B_o = 5 mT

Ce résultat n'est plus valable lorsque le fil est perpendiculaire au champ terrestre. En effet, dans ce cas, les tubes de flux du champ B se déforment pour passer de préférence à travers le fil (chemin plus facile pour le flux magnétique).
Pour réfléchir à cette situation, considérons ce qui se passe dans un plan perpendiculaire à l'axe du fil. Représentons le champ terrestre horizontalement (la figure ne correspond donc pas à l'orientation réelle du champ mais cela n'a pas d'importance pour notre raisonnement).
Il résulte de la déformation du champ au voisinage du fil que, en dehors du fil, le champ B est renforcé près de "l'équateur" du fil et affaibli près de ses "pôles". Il en est de même du champ H .
Le champ B à l'intérieur du fil est égal au champ B extérieur près de l' "équateur" (par continuité de la composante normale de B). Le champ B dans le fil est donc renforcé par rapport à ce qu'il était en l'absence de fil.
Le champ H à l'intérieur du fil est égal au champ H extérieur près des "pôles" (par continuité de la composante tangentielle de H). Le champ H dans la bille est donc affaibli par rapport à ce qu'il était en l'absence du fil.

Le fait que B augmente et que H diminue est possible puisque le rapport entre ces deux champs est plus grand dans le fil qu'à l'extérieur. Un calcul exact montrerait que H = 0.0795 A/m et que B = 0.1 mT dans le fil.

8. On calcule pour chaque aimant un moment magnétique de m = 1.1 A m².

Une façon approchée de faire le calcul de la force est de considérer que les deux aimants sont des dipôles magnétiques ponctuels. Le champ B associé à l'un deux vaut alors, à l'endroit de l'autre; B = m_o m /(2 p r³) (voir formule 4.60a du syllabus FSA 1402).

Pour trouver la force exercée par ce champ sur le second dipôle, il faut prendre la dérivée du champ selon r et multiplier le résultat par le moment du second dipôle (voir formule 4.101 du syllabus FSA 1402).

On obtient ainsi F = - 4.54 10^-4 N (le fait que cette force soit négative montre qu'il s'agit d'une force d'attraction).

Dernière mise à jour le 17-10-2003