Exemple de solution à l'exercice S07-11 : circuit magnétique avec entrefer (question ouverte décembre 2004)

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Contrairement à ce que le découpage de cette question pourrait laisser croire, il n'est pas possible de calculer séparément les champs dans l'entrefer et dans le noyau : le problème forme un tout qu'il faut traiter globalement. La réponse à la première sous-question contiendra les réponses à aux deuxième et troisième sous-questions.

Comme le fer laisse passer le flux magnétique beaucoup plus facilement que l'air, et que l'entrefer a une épaisseur faible (par rapport aux autres dimensions du problème), on peut considérer que le flux est canalisé par un circuit magnétique formé du noyau de fer et de l'entrefer. Le flux magnétique F garde donc la même valeur tout au long de ce circuit magnétique.

On admet que la section S de ce circuit magnétique est constante (elle vaut 4 cm x 4 cm). Cette approximation est valable parce que

• l'entrefer étant mince (2 mm) par rapport aux dimensions transversales du noyau (4 cm), on peut admettre que le flux magnétique ne s'épanouit pas lors de la traversée de l'entrefer ;
• bien que le noyau présente des "coins", on peut se contenter d'une modélisation assez grossière du noyau puisque celui-ci, étant plus perméable au flux que l'entrefer, n'aura qu'une influence mineure sur la valeur des champs. Ce point devra être vérifié plus loin en cours de calcul.

Admettant encore que le champ B est uniforme sur chaque section du circuit magnétique, on a sur chacune

(S07-71) B = F / S

de sorte que le champ B a la même valeur tout le long du circuit, aussi bien dans le noyau que dans l'entrefer. Prendre le champ B comme variable indépendante pour écrire les équations semble donc tout indiqué.

Puisque les propriétés du fer sont identiques tout le long du noyau, un même champ B y sera associé à un même champ H. On peut donc dire que le champ H prend la même valeur H_f tout le long du noyau. Par contre, le champ H dans l'entrefer sera différent. Le champ H_e dans l'entrefer sera donné par la formule

(S07-72) H_e = B / m_o

tandis que le champ H_f dans le noyau de fer est relié à B par la caractéristique fournie sous forme de tableau. On a

(S07-73) H_f = f(B)

Pour résoudre le problème, il suffit d'une équation supplémentaire. Celle-ci est fournie par la loi d'Ampère appliquée à un parcours fermé situé à l'intérieur du circuit magnétique. Un tel contour encercle un courant NI. La règle du tire-bouchon montre que NI sera positif si le parcours fermé est orienté dans le sens antihorlogique.

Désignons par e = 0.002 m l'épaisseur de l'entrefer et par l_f = 0.5 m la longueur du noyau magnétique. La force magnétomotrice

(S07-74)

ou

(S07-75)

est égale au courant encerclé, soit

(S07-76)

La force électromotrice doit donc être positive comme NI. Or, le noyau étant formé d'un matériau doux, le champ H a partout la même direction que le champ B. On en déduit que les champs sont tout le long du circuit magnétique orientés dans le sens antihorlogique. Dans l'entrefer, les champs vont donc de droite à gauche.

Pour résoudre l'équation obtenue en combinant (S07-75) et (S07-76), on peut calculer la force magnétomotrice (S07-75) correspondant à différentes valeurs de B et chercher celle qui vérifie (S07-76). On peut dresser le tableau suivant

On voit que la force électromotrice est égale à NI = 2450 lorsque B = 1.4 T (avec une précision largement suffisante compte tenu des approximations faites) .

On voit que la contribution du noyau magnétique à la force magnétomotrice est 10 fois plus faible que la contribution de l'entrefer, ce qui justifie a posteriori le fait que l'on a pu modéliser le noyau de façon relativement grossière.

On procède comme dans la première méthode jusqu'à l'obtention de (S07-76) et de la direction des champs. Cependant, pour résoudre les équations, on utilise la notion de perméabilité magnétique relative totale comme suggéré dans l'aide, soit

(S07-70)

Introduisant cette relation, ainsi que (S07-72) et (S07-76), dans (S04-74), on obtient

(S07-77)

donc

(S07-78)

Il ne faut pas se contenter de faire le calcul pour une seule valeur de la perméabilité magnétique obtenue par (S07-71), car rien ne dit que cette valeur correspond à la valeur du champ effectivement réalisée.

On peut aussi calculer la perméabilité pour toutes les valeurs de B , comme cela a été fait dans l'aide, et appliquer la formule (S07-72) à chacune des valeurs obtenues. Dans ce cas, il ne faut pas oublier de sélectionner la valeur de la perméabilité qui conduit au champ B pour laquelle elle est valable.

Une façon de faire plus rapide consiste à procéder par itérations. Puisque le dispositif est sensé se comporté comme un circuit magnétique, on présume que la perméabilité du fer est beaucoup plus grande que celle de l'air. En supposant dans un premier calcul que cette perméabilité est infinie, on obtient par (S07-78) la valeur

B » m_o NI / e = 1.54 T

Comme cette valeur est plus grande que celles qui figurent dans le tableau, on va considérer dans une seconde étape la perméabilité magnétique correspondant à la valeur de B la plus élevée du tableau, soit

m_r » 1.5 / (m_o 736) = 1622 pour B = 1.5 T

La formule (S07-78) fournit une nouvelle valeur approchée soit

B » 1.33 T

La valeur la plus proche du tableau étant 1.4 T, on recommence le calcul avec

m_r » 1.4 / (m_o 444) = 2509 pour B = 1.4 T

La formule (S07-78) fournit alors comme nouvelle valeur approchée

B » 1.400 T

Ainsi donc, par un bienheureux "hasard", la valeur B = 1.4 T est correcte.

On remarque qu'il n'a pas été nécessaire de calculer la perméabilité magnétique pour toutes les valeurs du champ. En fait, la suite des calculs se résume à

Le fait que le noyau contribue peu à la force magnétomotrice se vérifie en comparant l_f / m_r , qui vaut 0.0002 m avec la valeur exacte du champ, à l'épaisseur e = 0.002 m de l'entrefer.

On peut procéder comme dans la seconde méthode, mais en utilisant la notion de réluctance. La réluctance de l'entrefer vaut

(S07-80)

et la réluctance du noyau de fer vaut

(S07-81)

Au lieu de (S07-78) et (S07-71), on utilise alors

(S07-82)

(S07-83)

On calcule ainsi la valeur du flux F , et on en déduit celle de B en la divisant par S.

Les réluctances étant positives, la direction du flux est donnée par celle de la force magnétomotrice. On en déduit à nouveau que le flux circule dans le sens antihorlogique, donc que les champs d'entrefer sont orientés de droite à gauche.

Ici aussi, on doit vérifier a posteriori que la réluctance du noyau est plus faible que celle de l'entrefer.

Cette troisième méthode fait intervenir dans les calculs la section S du circuit magnétique, alors que le résultat ne dépend pas de la valeur de S. Elle est donc moins élégante que les deux premières. Une solution intermédiaire consiste à développer (S07-82) analytiquement et à éliminer S de cette équation, ce qui est une autre façon d'obtenir la relations (S07-78). On termine alors comme dans la seconde méthode.

Dans l'entrefer, la formule (S07-72) fournit immédiatement

H_e = 1.4 / m_o = 1.114 10⁶ A/m (ne pas oublier d'indiquer l'unité SVP).

La réponse a cette sous-question se trouve déjà dans les développements ci-dessus. L'erreur à ne pas commettre est de vouloir calculer le champ "dû à la bobine" en utilisant la loi de Biot-Savart ou une formule obtenue dans le cours en utilisant cette loi ou toute autre formule qui n'est valable que dans un milieu uniforme. En effet, dans ce problème, les courants ne se trouvent pas dans un environnement magnétique uniforme, puisqu'il y a aussi bien du fer que de l'air (Même si la bobine était entièrement plongée dans un bloc de fer, Biot-Savart ne serait toujours pas applicable puisque l'on prend en compte dans ce problème la non linéarité du fer.).

On a vu dans la première sous-question que le champ B était le même dans tout le circuit magnétique. Il a donc la même valeur B = 1.4 T au point b que dans l'entrefer.

Pour trouver la valeur de H au point b, il suffit de prendre la valeur correspondant à 1.4 T dans le tableau, soit H = 444 A/m (ne pas oublier d'indiquer l'unité utilisée, ici A/m).

Il n'est PAS POSSIBLE d'améliorer ces valeurs simplement en y ajoutant une correction "due à la bobine" car il faudrait alors corriger en même temps la magnétisation du noyau, ce qui donnerait lieu à des complications inabordables dans le cadre de ce cours.

Cette sous-question est aussi résolue dans la première sous-question.

Les champs B et H sont en norme identiques aux points b, c et d, soit

B = 1.4 T et H = 444 A/m.

Il faut d'abord noter que ce que l'on appelle entrefer est le mince espace d'air inséré dans le circuit magnétique, ce que la simple lecture de l'énoncé rappelle.

Le passage d'un courant de 8A dans un conducteur placé dans l'entrefer ne perturbe guère le champ magnétique car 8A << NI = 2450 At . On calculera donc la force en supposant que le champ B conserve la valeur calculée ci-dessus, soit 1.4 T . La force est donnée par la loi

(S07-84)

Dans cette formule, la longueur à considérer n'est pas toute la longueur du conducteur (qui était une donnée superflue), mais uniquement la portion du conducteur plongée dans le champ magnétique, soit 4 cm = 0.04 m seulement.

Le champ magnétique étant perpendiculaire au conducteur, sa norme vaut B L I = 1.4 x 0.04 x 8 = 0.448 N

Compte tenu des sens du champ et du courant, on trouve par la règle du tire-bouchon (ou une autre règle équivalente) que cette force est orientée vers le haut.

Note : réfléchir en terme de la force exercée sur les électrons en mouvement dans le conducteur est inutile et a même induit en erreur plusieurs étudiants qui n'ont pu en déduire correctement la loi (S07-84).

Notes finales :

• beaucoup d'étudiants se trompent dans la conversion de mm et de cm en m .
• certains étudiants considèrent que c'est le champ H qui garde la même valeur tout le long du circuit magnétique, ce qui est complètement faux ! Lors du passage du noyau de fer à l'entrefer, le champ est perpendiculaire à la surface de séparation, et c'est donc le champ B qui prend la même valeur des deux côtés de cette surface.
• certains fournissent pour l'entrefer à la fois une valeur de H_air et une valeur de H_fer , cette dernière étant différente de la valeur du champ H dans le noyau. Cela n'a pas de sens puisqu'il n'y a pas de fer dans l'entrefer ! Cela laisse aussi penser que la formule (S07-78) a été appliquée sans en comprendre l'origine.
• enfin, beaucoup d'étudiants qui ont cherché à calculer le champ "dû à la bobine" se sont doublement trompés, car ils ont en outre confondu le nombre de spires de la bobine avec le nombre de spires par unité de longueur (erreur due au fait que la lettre minuscule n était utilisée dans l'énoncé ... il ne faut pas prendre les formules "à la lettre", mais garder en tête la signification des paramètres qui y figurent ; être attentif à la dimension physique du résultat est aussi une protection contre ce type d'erreur).

Dernière mise à jour le 14-12-2004