FSAC 1430 Physique T4 : électricité et magnétisme
Semaine 9: Induction (seconde partie)

Chaque étudiant doit préparer, en groupe ou seul, une solution pour les exercices 1, 2, 3 et 7 de la liste ci-dessous. Lors de la seconde séance de tutorat, chacun doit pouvoir présenter cette solution et pouvoir répondre aux questions posées par le tuteur en utilisant uniquement cette solution et son document de synthèse personnel (18 pages maximum à ce stade).

Exercice 1. Young & Freedman, ed. 10, p. 991, exercice 31-2 (or ed. 11, p. 1174, ex. 30-2).

A toroidal solenoid has a mean radius r and a cross-sectional area A and is wound uniformly with N₁ turns. A second toroidal solenoid with N₂ turns is wound uniformly around the first. The two coils are wound in the same direction. What is their mutual inductance? (You can ignore the variation of the magnetic field across the cross section of the toroid).

Exercice 2. On considère un solénoïde cylindrique dont les caractéristiques sont : longueur du bobinage 14.5 cm, diamètre 5 cm, nombre de spires 90. Au centre de ce solénoïde, on dispose une petite bobine plate de 200 spires (surface moyenne 5 cm²), coaxiale avec le solénoïde. Le solénoïde et la petite bobine sont bobinés dans le même sens. Quelle sera la tension induite dans cette petite bobine si le solénoïde est parcouru par un courant alternatif sinusoïdal, 50Hz, dont la valeur efficace est de 10 A ? Réalisez un graphe montrant l'évolution en fonction du temps du courant dans le solénoïde (en supposant qu'il atteint sa valeur de crête en t = 0) et de la tension induite dans la petite bobine.

Exercice 3. Reprenez la géométrie de l'exercice 2, mais supposez que le solénoïde n'est plus connecté à un circuit électrique (son courant est donc nul), mais que par contre on fasse circuler un courant alternatif sinusoïdal de 10 mA (en valeur efficace) dans la petite bobine.

Quelle sera la tension induite dans le solénoïde si la petite bobine est parcourue par un courant alternatif sinusoïdal, 50Hz, dont la valeur efficace est de 10 mA ? Réalisez un graphe montrant l'évolution en fonction du temps du courant dans la petite bobine (en supposant qu'il atteint sa valeur de crête en t = 0) et de la tension induite dans le solénoïde.

Exercice 4. Young & Freedman, ed. 10, p. 991, ex. 31-9 (or ed. 11, p. 1174, ex. 30-9).

A long, straight solenoid has N turns, uniform cross-sectional area A, and length l. Derive an approximate expression for the inductance of the solenoid. Assume that the magnetic field is uniform inside the solenoid and zero outside. (Your answer is approximate because B is actually smaller at the ends than at the center. For this reason, your answer is actually an upper limit on the inductance.)

Exercice 5. Young & Freedman, ed. 10, p. 991, ex. 31-13 (or ed. 11, p. 1174, ex. 30-13).

An air-filled toroidal solenoid has a mean radius of 15.0 cm and a cross-sectional area of 5.00 cm². When the current is 12.0 A, the energy stored is 0.390 J. How many turns does the winding have?

Exercice 6. Young & Freedman, ed. 10, p.991, ex. 31-17 (or ed. 11, p 1174, ex. 30-17).

It is proposed to store 1.00 kWh = 3.60 x 10⁶ J of electrical energy in a uniform magnetic field with magnitude 0.600 T.

a)What volume (in vacuum) must the magnetic field occupy to store this amount of energy?
b) If instead this amount of energy is to be stored in a volume (in vacuum) equivalent to a cube 40.0 cm on a side, what magnetic field is required?

Exercice 7. Young & Freedman, ed. 10, p. 993, ex. 31-41 (or ed. 11, p. 1176, ex. 30-45) +....

We previously ignored the variation of the magnetic field across the cross section of a toroidal solenoid. Let's now examine the validity of that approximation. A certain toroidal solenoid has a rectangular cross section (see fig. below). It has N uniformly spaced turns, with air inside. Do not assume the magnetic field to be uniform over the cross section.

1. Show that the magnetic flux through a cross section of the toroid is given by
   (S09-80)
2. Show that the inductance of the toroidal solenoid is given by
   (S09-81)
3. Calculate the energy stored in this inductance in two ways:
   - by integrating on all space the energy density (expressed according to the fields);
   - by using the expression (seen in T2) of the energy of an inductance.
4. The fraction b/a may be written as
   (S09-82)
   Use the power series expansion ln(1 + z) = z + z² / 2 + ... valid for |z| < 1, to show that when b-a is much less than a, the inductance is approximately equal to
   (S09-83)
   Compare this result with the result obtained assuming the field to be uniform over the cross section.

Exercice 8. On utilise les bobines de Helmholtz du laboratoire de physique (225 spires chacune, rayon moyen de 85 mm). On dispose au centre du dispositif un petit aimant permanent dont le moment dipolaire est de 0.7 Am² , orienté selon l'axe des bobines. On fait ensuite tourner cet aimant autour d'un axe perpendiculaire à celui des bobines, à une vitesse de 50 tours par seconde. Quelle sera la valeur de la tension (en valeur de crête et en valeur efficace) qui apparaîtra aux bornes du circuit formé par les deux bobines ?

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Dernière mise à jour le 09-11-2004