Exemple de solution à l'exercice S09-11 : inductance propre et énergie magnétique d'un solénoïde torique

Le dispositif présente une symétrie de rotation autour de l'axe de la grande circonférence.

Prenons comme système de coordonnées les coordonnées cylindriques r, q , z en prenant pour origine O le centre du dispositif et comme axe Oz l'axe de la grande circonférence.

Alors, tous les points de même coordonnée r ont le même champ magnétique H_j .

Pour calculer ce champ H_j en un point P, il suffit donc d'appliquer la loi d'Ampère à une circonférence d'axe Oz passant par le point P considéré. Si le point P se trouve à l'extérieur du solénoïde, on obtient ainsi

(S09-60a) 2 p r H_j = 0

donc

(S09-61b) H_j = 0 .

Au contraire, si le point P considéré se trouve à l'intérieur du solénoïde, le contour fermé défini ci-dessus encercle n fois le courant i. On a donc

(S09-61a) 2 p r H_j = n i

donc

(S09-61b)

Si on suppose que H_r et H_z sont nuls, le champ H défini par (S09-60b)(S09-61b) a un rotationnel nul à l'intérieur et à l'extérieur du tore, et satisfait à la surface du tore la condition aux limites compte tenu de la présence d'une densité de courant sur cette interface.

De même, le champ B obtenu en multipliant le champ H par m_o a une divergence nulle.

Les champs H et B ainsi calculés satisfont donc toutes les équations de la magnétostatique.

Ajouter à ce champ H ainsi calculé une composant H_z et une composante H_r n'est donc pas indispensable. Si on le faisait, on obtiendrait une solution où la norme du champ serait partout augmentée, donc aussi l'énergie. Une telle solution a donc peu de chances de se rencontrer en pratique. Nous admettrons donc que le champ H est complètement défini par (S09-60b) et (S09-61b).

Puisque le rayon a des spires est petit devant R, nous remplacerons dans (S09-61b) r par sa valeur moyenne R, de sorte que le champ dans le tore a pour valeur

(S09-62)

La densité d'énergie magnétique est nulle en dehors du tore puisque le champ y est nul. Dans le tore, elle vaut

(S09-63)

Le volume du tore vaut approximativement

(S09-64) V = (2 p R ) p a²

Puisque l'on a supposé la densité d'énergie uniforme dans le tore et nulle à l'extérieur, l'intégrale de la densité d'énergie se réduit au produit de (S09-63) par (S09-64), soit

(S09-65)

Le champ magnétique B s'obtient en multipliant (S09-62) par m_o ; on obtient

(S09-66)

En ce qui concerne le flux, puisque l'on a supposé que le champ B est uniforme à l'intérieur du tore, le flux sur une spire s'obtient en multipliant (S09-66) par la section p a² , soit

(S09-67)

soit, pour tenir compte du flux encerclé par l'ensemble des spires,

(S09-68)

La façon normale de calculer l'inductance consiste à examiner l'influence du courant sur le flux, soit

(S09-69)

Une autre façon de calculer l'inductance consiste à identifier l'expression de l'énergie (S09-65) avec l'expression de l'énergie d'une inductance, soit

(S09-70)

d'où l'on déduit une valeur de l'inductance égale à (S09-69).

Dernière mise à jour le 11-11-2002