Exemple de solution à l'exercice proposé S10-6 : disque chargé en rotation

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Pour résoudre cet exercice on sommera la contribution au champ de chaque petit anneau d’épaisseur dr et de rayon r allant de 0 à a.

Remarquons d’abord que la densité surfacique de charge vaut :

(S10-70)

A proximité de la surface du disque, on peut considérer que celui-ci est un plan infini de densité (S10-70). Comme on l'a vu en semaine 2, en exploitant la symétrie et la loi de Gauss, on arrive à la concluson que le champ D est égal à la moitié de la densité de charge. On obtient le champ E en divisant cette valeur par e_o .

E = Q/(2pa²)

Si la charge Q est positive, ce champ est orienté vers l'extérieur du disque. Il n'a donc pas la même direction selon que l'on se trouve au-dessus ou au-dessous du disque.

Par ailleurs, en utilisant la définition du courant associé à un mouvement de charge, on obtient :

(S10-71)

où l est la densité linéique de charge et v leur vitesse.

Le courant circulant dans chacun des petits anneaux (dû au fait que le disque chargé tourne) vaudra donc :

(S10-72)

où w est la vitesse angulaire du disque.

L'expression, sur l'axe de symétrie, du champ associé à une boucle de courant est un problème classique. Pour chaque boucle de courant, on a la solution bien connue :

(S10-73)

Le champ total sur l'axe s'obtient en intégrant l'expression ci-dessus. Il suffit de multiplier le résultat par m_o pour obtenir le champ B. Il est vertical et orienté suivant la règle du tire-bouchon droitier. C'est une fonction continue de z : le champ est donc le même juste au dessus du disque et juste en dessous. La continuité de la composante normale de B est donc vérifiée.

Au centre du disque, on obtient simplement

(S10-76)

ou

(S10-77)

Dernière mise à jour le 18-11-2004