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Le schéma équivalent de la ligne est

Figure S02-5

Les relations entre les tensions et le courant (le même aux deux extrémités puisqu'il n'y a pas d'éléments parallèles dans le circuit équivalent) et les puissances s'écrivent :

(S02-2) P₁ = U₁ I

(S02-3) P₂ = U₂ I

(S02-4) U₂ = U₁ - 2 R I

On a l'habitude dans le domaine de la distribution d'énergie électrique d'éliminer le courant au profit des puissances. En utilisant l'équation (S02-2), on a

(S02-5) I = P₁ / U₁

et donc

(S02-6) P₂ = U₂ P₁ / U₁

(S02-7) U₂ = U₁ - 2 R P₁ / U₁

Pour trouver la relation entre P₁ et P₂ (à R et U₁ fixés), il reste à éliminer U₂ entre les relations

(S02-6) et (S02-7). On obtient

(S02-8) P₂ = U₁ P₁ / U₁ - 2 R P₁² / U₁²

soit

(S02-9)

Il s'agit d'une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe (P₁ = 0) et qui coupe l'axe (P₂ = 0) en

(S02-10a) P₁ = 0 (circuit ouvert à l'extrémité 2) et en

(S02-10b) (court-circuit à l'extrémité 2).

A défaut de connaître la géométrie des paraboles, on peut trouver la puissance maximum transmissible en cherchant le zéro de la dérivée de P₂ par rapport à P₁ . On obtient ainsi

(S02-11)

donc

(S02-12) ,

sous la valeur intermédiaire entre (S02-10a) et (S02-10b), et, en reportant (S02-12) dans (S02-9),

(S02-13)

Figure S02-6 : la partie du graphe en gras représente la partie utilisée en pratique.

Remplaçant la valeur de P₁ tirée de (S02-6) dans (S02-9), il vient :

(S02-14)

Cette relation entre P₂ et U₂ ( à R et U₁ fixés) est l'équation d'une parabole dont l'axe est parallèle à l'axe U₂ = 0 .

La puissance maximum transmissible est atteinte pour

(S02-15) U₂ = U₁ / 2

Figure S02-7 : la partie du graphe en gras est la partie utilisée en pratique

Enfin, l'équation (S02-6) peut s'écrire

(S02-16)

Puisque U₁ est une constante, il suffit donc de changer l'échelle des ordonnées du graphe ci-dessus pour trouver le graphe du rendement en fonction de la puissance P₂ consommée. On obtient ainsi le graphe

Figure S02-8

Lorsque la puissance maximum transmissible est atteinte, le rendement est égal à

(S02-17) h = 1/2

Il est utile d'effectuer quelques calculs de vérification pour s'assurer que l'on a bien compris le tableau de données.

La première vérification consiste à recalculer la section totale du câble.

Connaissant le nombre de fils et leur diamètre, on trouve

- pour l'aluminium, une section de 523.87 mm²

- pour le fer une section de 36.31 mm²

soit, au total, 560.18 mm² , ce qui concorde bien avec la valeur indiquée dans le tableau (559.9 mm²).

On peut aussi vérifier les masses.

Sachant que la masse volumique de l'aluminium est de 2700 kg/m³ , et celle de l'acier de

7900 kg/m³ , on obtient pour l'aluminium une masse de 1.4145 kg/m et pour l'acier une masse de 0.2868 kg/m, soit au total 1.7013 kg/m . La masse indiquée dans le tableau est un peu plus grande (1.736 kg/m) mais on peut attribuer la différence au fait que le câble est torsadé.

Calculons maintenant les résistances à 20°C.

La résistivité de l'aluminium est de 27 10^-9 W m et celle du fer de 97 10^-9 W m .

La conductance de la partie en aluminium est donc de 19402 W^-1 m celle de la partie en fer de 374 W^-1 m. La conductivité du câble est donc de 19776 W^-1 m, donc sa résistance est de

50.56 mW / m . La résistance donnée est un peu plus élevée, ce qui peut à nouveau être attribué au fait que le câble est torsadé.

Puisque la valeur de la résistance indiquée dans le tableau concerne un seul câble (voir vérification ci-dessus), et que chaque pôle comporte 3 câbles, la résistance R à mettre dans le circuit équivalent de la figure S02-5 vaut donc

R = 0.05532 * 1700 / 3 = 31.35 W .

Par ailleurs, on sait que U₁ = 1000 kV .

En remplaçant dans les formules, on trouve

P_{2 max} = 3987 MW » 4000 MW

En considérant que la puissance transportée est P₂ , on obtient un rendement de

0.987 si P₂ = 200 MW

0.964 si P₂ = 560 MW

0.930 si P₂ = 1120 W

Dans ce dernier cas, P₁ sera légèrement supérieure à la puissance nominale. En fait, il faudrait plutôt dire que le courant sera légèrement supérieur à sa valeur nominale, mais cela ne prête de toute façon pas à conséquence en pratique.

Dernière mise à jour le 23-09-2002