Exemple de solution à l'exercice S03-2 : Équilibrage d'une charge monophasée connectée entre deux lignes de phase (montage de Steinmetz).

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On pose

(S03-31a)

d'où l'on déduit

(S03-31b)

et

(S03-31c) a³ = 1

Les composantes symétriques non normées valent par définition, pour les courants,

(S03-32a)

(S03-32b)

(S03-32a)

et, pour les tensions,

(S03-33a)

(S03-33b)

(S03-33c)

Figure S03-21

On a

(S03-40a)

(S03-40b)

(S03-40c)

or, puisque les tensions forment un système équilibré

(S03-41b)

(S03-41c)

donc

(S03-42)

En reportant (S03-42) dans (S03-40), on obtient

(S03-43a)

(S03-43b)

(S03-43c)

Compte tenu de (S03-23), les composantes symétriques du courant (S03-32) peuvent s'écrire

(S03-44a)

(S03-44b)

(S03-44c) (bien évidemment puisqu'il n'y a pas de neutre !)

Pour qu'un système triphasé soit équilibré, il faut que les composantes inverse et homopolaire soient toutes deux nulles. Pour un système sans neutre connecté, la composante homopolaire est automatiquement nulle : il suffit donc dans ce cas d'annuler la composante inverse pour que le système soit équilibré.

On cherche un système à intercaler entre la ligne triphasée et la charge monophasée afin que la première puisse fournir un système équilibré de courants.

Puisque la puissance instantanée triphasée est constante quand le système est équilibré, alors que la puissance monophasée est fluctuante, cet interface doit accepter l'entrée de la puissance triphasée même aux moments où la charge monophasée ne l'absorbe pas. L'interface doit pour cela

- soit dissiper la puissance excédentaire (ce qui n'est pas souhaitable)

- soit accumuler transitoirement l'énergie lorsque la charge monophasée absorbe une puissance inférieure à sa puissance moyenne, et la restituer lorsque la charge monophasée absorbe une puissance supérieure à sa puissance moyenne.

Il n'est donc pas possible de constituer cet interface à l'aide uniquement d'éléments non énergétiques (transformateurs idéaux, interrupteurs...).

On cherche à réaliser l'équilibrage sans dissiper d'énergie. Dans ce cas, l'interface ne peut comporter que des éléments non dissipatifs (inductances, capacités...).

On va essayer d'y arriver à l'aide d'un système sans neutre (pour que la composante homopolaire reste nulle). Pour annuler la composante inverse, on a besoin de deux degrés de liberté puisque cette composante, étant un nombre complexe, comporte une partie réelle et une partie imaginaire. Le montage le plus simple vérifiant ces conditions est celui de la figure S03-22.

Figure S03-22

Les courants dans les trois impédances sont, avec les notations de cette figure.

(S03-45a)

(S03-45b)

(S03-45c)

Calculons la composante inverse (S03-32b) :

(S03-46)

soit

(S03-47)

donc, compte tenu de (S03-45)

(S03-48)

ou

(S03-49)

Pour annuler cette composante, il faut que

(S03-50a)

(S03-50b)

On en déduit que la réactance jX₁ doit être formée d'un condensateur de valeur

(S03-51)

et jX₂ d'une self de valeur

(S03-52)

Avec les valeurs (S03-50), la composante directe (S03-32a) devient

(S03-53)

Ainsi donc, non seulement le système est équilibré, mais il ne demande au réseau qu'une puissance active pure (pas de composante réactive).

d) Comme la puissance triphasée est constante alors que la puissance monophasée fluctue, un adaptateur triphasé-monophasé doit stocker une énergie au moins égale à la surface hachurée du graphe de la figure S03-23 ci-dessous.

La puissance instantanée consommée par la résistance (puissance instantanée monophasée) vaut

(S03-54)

La valeur moyenne de cette puissance vaut U_L² / R et est égale à la puissance instantanée triphasée (qui est constante dans le temps).

La partie oscillante de la puissance (S03-54) a une amplitude de U_L² / R

L'énergie maximum stockée dans le dispositif d'adaptation vaut au moins

(S03-55)

or, dans le montage de Steinmetz, l'énergie stockée dans la capacité atteint, compte tenu de S03-51) la valeur

(S03-56)

On obtient dans la self la même valeur de l'énergie stockée. Les éléments réactifs du montage de Steinmetz ont donc une capacité de stockage d'énergie supérieure au minimum d'un facteur

(S03-58)

Le montage de Steinmetz n'est donc pas tout à fait optimum de ce point de vue.

Dernière mise à jour le 20-10-2004