Exemple de solution à l'exercice S04-4 : Transformateur à trois systèmes d'enroulements
a) solution en grandeurs physiques
On va utiliser le circuit équivalent décrit à la figure ci-dessous
Figure S04-15
Dans ce circuit équivalent, on a supposé que les rapports de transformation sont donnés par les rapports des tensions nominales. L'impédance Z23 , ramenée au primaire, devient alors
(S04-30) Z'23 = (2.53)2 21.3 = 136.3 W
On calcule les éléments série en négligeant les éléments parallèle.
On a alors le système d'équations
(S04-31) Z1 + Z'2 = Z12
(S04-32) Z1 + Z'3 = Z13
(S04-33) Z'2 + Z'3 = Z'23
En additionnant ces trois égalités et en divisant le résultat par deux, on obtient
(S04-34) Z1 + Z'2 + Z'3 = (Z12 + Z13 + Z'23)/2
Il reste à soustraire de (S04-34) chacune des équations (S04-33)(S04-32)(S04-31) successivement pour obtenir
(S04-35) Z1 = (Z12 + Z13 - Z'23 ) / 2
(S04-36) Z'2 = (Z12 - Z13 + Z'23 ) /2
(S04-37) Z'3 = (-Z12 + Z13 + Z'23 ) /2
soit, en remplaçant Z12 , Z13 et Z'23 par leur valeur
(S04-38) Z1 = 82.8 W
(S04-39) Z'2 = - 17.7 W
(S04-40) Z'3 = 154.0 W
Le fait que Z'2 soit négatif ne pose pas de problème car il ne s'agit pas d'un élément physique, mais seulement d'un élément de circuit équivalent.
Il reste à compléter le schéma équivalent par des éléments parallèles. Les résultats de l'essai à vide fournissent
(S04-41) 
(S04-42) 
(S04-43) sin j0 = 0.9962
(S04-44) 
(S04-45) 
Le circuit équivalent est donc celui de la figure ci-dessous
Figure S04-16
b) solution en p.u. ( base transformateur)
L'impédance de base est de
4002 /495 = 323.2 W pour le primaire et
1582 / 495 = 50.43 W pour le secondaire.
Comme la puissance de base est la même pour les deux systèmes triphasés d'enroulement primaire et secondaire, on peut dire que le rapport de transformation entre ces deux systèmes triphasés d'enroulements est égal à 1, aussi bien en courant qu'en tension. Les valeurs des impédances en p.u. sont alors les mêmes qu'on les référencie à l'un ou l'autre des deux systèmes triphasés d'enroulements. Il n'y a donc plus de distinction à faire entre Z2 et Z'2 , et l'impédance Z'3 sera la même qu'elle soit rapportée au primaire ou au secondaire. De même, il n'y a plus de distinction à faire entre Z23 et Z'23 .
En divisant les impédances mesurées en court-circuit par l'impédance de base correspondante, on obtient
Z12 = 65.1 / 323.2 = 20.1 %
Z13 = 236.8 / 323.2 = 73.3 %
Z23 = 21.3 / 50.43 = 42.2 %
On peut porter directement ces valeurs dans (S04-35) à (S04-37) en oubliant les indices " ' " autres que Z'3 . On obtient ainsi
Z1 = (20.1 + 73.3 - 42.2 )/2 = 25.6 % = 0.256 p.u.
Z2 = (20.1 - 73.3 + 42.2 )/2 = - 5.5 % = - 0.055 p.u.
Z'3 = (- 20.1 + 73.3 + 42.2 )/2 = 47.7 % = 0.477 p.u.
Pour calculer les éléments parallèles, on note d'abord que la base de courant du primaire est de
(S04-50) 
On a alors Im = 3 / 714.5 = 0.42 % = 0.0042 p.u.
Pfer = 180 / 495000 = 0.0364 % = 0.000364 p.u.
donc
Zm = 1./0.0042 = 238 p.u.
cos jo = 0.000364/(1.*0.0042) = 0.0866
sin jo = 0.9962
Rm = 238/0.0866 = 2746 p.u.
Xm = 238/0.9962 = 239 p.u.
Le circuit équivalent est donc celui de la figure ci-dessous
Figure S04-17 : circuit équivalent en p.u. (base transfo)
c) solution en p.u. ( base 100 MW)
L'impédance de base est de
4002 /100 = 1600 W pour le primaire et
1582 / 100 = 249.6 W pour le secondaire.
Comme la puissance de base est la même pour les trois enroulements, on peut dire que tous les rapports de transformation sont égaux à 1, aussi bien en courant qu'en tension. Les valeurs des impédances en p.u. sont alors les mêmes qu'on les référencie à l'un ou l'autre des systèmes triphasés d'enroulements. Il n'est donc plus utile de considérer des indices " ' ".
En divisant les impédances mesurées en court-circuit par l'impédance de base correspondante, on obtient
Z12 = 65.1 / 1600 = 4.07 %
Z13 = 236.8 / 1600 = 14.8 %
Z23 = 21.3 / 249.6 = 8.53 %
On peut porter directement ces valeurs dans (S04-35) à (S04-37) en oubliant tous les indices " ' ". On obtient ainsi
Z1 = (4.07 + 14.8 - 8.53 )/2 = 5.17 % = 0.0517 p.u.
Z2 = (4.07 - 14.8 + 8.53 )/2 = - 1.1 % = - 0.0011 p.u.
Z3 = (- 4.07 + 14.8 + 8.53 )/2 = 9.63 % = 0.0963 p.u.
Pour calculer les éléments parallèles, on note d'abord que la base de courant du primaire est de
(S04-60) 
On a alors Im = 3 / 144.3 = 2.08 % = 0.0208 p.u.
Pfer = 180 / 100000 = 0.18 % = 0.0018 p.u.
donc
Zm = 1./0.0208 = 48.1 p.u.
cos jo = 0.0018/(1.*0.0208) = 0.0866
sin jo = 0.9962
Rm = 48.1/0.0866 = 555.4 p.u.
Xm = 48.1/0.9962 = 48.3 p.u.
Le circuit équivalent est donc celui de la figure ci-dessous
Figure S04-18 : circuit équivalent en pu (base 100 MVA)
Dernière mise à jour le 03-10-2002