Exemple de solution à l'exercice S05-2 : Occurence de l'effet couronne

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Nous prenons comme variable intermédiaire pour le calcul la densité de charge (charge par unité de longueur) des conducteurs, que nous désignerons par la lettre l .

Comme la distance entre les conducteurs est grande par rapport à leur diamètre, on peut supposer qu'une partie des calculs pourra être faite en considérant chaque conducteur séparément.

Si l'on considère un seul conducteur de charge l , on a un problème à symétrie cylindrique. Le calcul du champ dans un problème à symétrie cylindrique s'effectue aisément en utilisant la loi de Gauss (voir le cours de physique T4).

En effet, la symétrie cylindrique garanti que le champ est radial et ne dépend que de la distance r. Pour calculer le champ à une distance r de l'axe d'un conducteur chargé, il suffit alors de considérer une surface de Gauss formée d'un cylindre de rayon r ayant le même axe que le câble, et de longueur unité. Le flux du champ à travers cette surface s'effectue uniquement sur la surface latérale (puisque est parallèle aux bases du cylindre), et, puisque le champ a la même valeur sur toute la surface latérale, l'intégrale de Gauss n'est autre que le produit de D par la surface latérale. En égalant l'intégrale de Gauss à la charge encerclée, soit l, on obtient

(S05-50) 2 p r D = l

donc

(S05-51)

Puisque l'air a sensiblement la même permittivité diélectrique que le vide, on a immédiatement

(S05-52)

On peut trouver le champ de potentiel V(x, y, z) à partir du champ électrique en pratiquant une intégrale de ligne de ce champ (voir le cours de physique T4). Dans le cas qui nous occupe, on obtient

(S05-53)

où la constante r_o a été introduite pour tenir lieu de constante d'intégration. Dans le cas d'un câble unique, il n'est pas possible de choisir cette constante de telle sorte que le potentiel soit nul à l'infini. En fait, r_o est la distance entre l'axe du conducteur et le point considéré comme référence de potentiel.

Dans le cas triphasé, comme le problème posé est parfaitement linéaire et symétrique, les charges des trois conducteurs forment un système triphasé équilibré. Elles évoluent donc comme

(S05-54a) l cos (wt)

(S05-54b) l cos (wt - 2p/3)

(S05-54c) l cos (wt - 4p/3)

La formule (S05-52) montre que le champ au voisinage d'un conducteur est essentiellement dû à la charge située sur ce conducteur (r petit) plutôt qu'à la charge située sur les deux autres conducteurs (r grand). On peut donc supposer (le démontrer sortirait du cadre de cet exercice) que le champ électrique passe par un maximum au moment où la charge d'un conducteur passe par sa valeur de crête. Au même instant, puisque les charges forment un système triphasé équilibré, les charges sur les deux autres conducteurs valeur

(S05-54) l cos (±120°) = - l/2

On suppose que le champ électrique est maximum à la surface du premier conducteur. Une façon simple de calculer ce champ consiste à négliger l'effet des autres conducteurs. On a alors

(S05-55)

Connaissant la valeur du champ disruptif de l'air, on peut en déduire la valeur de l .

Si l'on veut tenir compte de la présence des charges (S05-54) sur les autres conducteurs, on va tout d'abord calculer le champ que ces conducteurs produiraient à l'endroit du premier en l'absence de ce conducteur. Les champs produits par les deux conducteurs restant sont égaux et forment entre eux un angle de 60°. Le champ résultant vaut donc, en norme

(S05-56)

Ce champ est petit. Si on tient malgré tout à en tenir compte, il ne faut pas l'additionner tel quel au champ (S05-55). En effet, la présence du premier conducteur va déformer le champ (S05-56). Pour tenir compte de cette déformation, on peut résoudre un problème dans lequel un cylindre conducteur est plongé dans un champ uniforme à grande distance dont la valeur est prise égale à (S05-56). Pour satisfaire les conditions aux limites d'un tel problème, on doit ajouter au champ uniforme de valeur (S05-56) un champ dipolaire (au sens 2D) (voir le cours de physique T4) . On observe alors que le champ à certains endroits proches du conducteur prend une valeur double de (S05-56).

Correction faite, le champ à la surface du premier conducteur atteint donc une valeur

(S05-57)

Connaissant la valeur du champ disruptif de l'air, on peut calculer la densité de charge l maximum admissible.

Il reste à calculer à quelle tension de ligne cette charge correspond.

Le potentiel du conducteur considéré vaut la somme de trois expressions de la forme (S05-53). Pour le conducteur considéré, on prendra une valeur de r égale à son rayon, soit

(S05-58) 1.25 / 2 cm = 0.00625 m ,

tandis que pour ce qui est des autres conducteurs, on prendra une valeur de r égale à la distance entre les centres des conducteurs (c'est une approximation justifiée par le fait que la distance entre les conducteurs est grande par rapport à leur diamètre. Pour une solution "exacte", il faudrait tenir compte de la déformation produite par chaque conducteur sur le champ associé aux autres). On obtient alors pour le potentiel du premier conducteur à l'instant considéré

(S05-59)

Si le point qui sert de référence pour le potentiel est pris à grande distance de la ligne, la fraction dans laquelle interviennent les distances r_o tend vers l'unité. De cette façon, les r_o s'éliminent de l'expression (S05-59) et il reste

(S05-60)

On peut éliminer la charge l entre cette expression et l'expression (S05-57). On obtient ainsi

(S05-61)

Il s'agit d'une tension de crête par phase : pour obtenir la tension de ligne en valeur efficace, il faut diviser cette valeur par et la multiplier par . On obtient ainsi une tension de ligne de

(S05-62) U_ligne = 137 kV

Dernière mise à jour le 16-10-2002