Exemple de réponse à l'exercice S07-12 : introduction de la section dorée en optimisation

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A l'issue de l'itération examinée, on pourra limiter l'intervalle de recherche soit à [a , d] , soit à [c , b]. Puisque c'est la valeur du rapport de réduction le moins bon que l'on souhaite contrôler, il est normal d'imposer que l'on ait la même réduction dans les deux cas, soit c-a = b-d .

De plus, on souhaite que la situation au début de la seconde itération soit similaire à celle que l'on avait au d´but de la première. On va donc imposer au rapport (c-a)/(d-a) , qui est d'ailleurs égal au rapport (b-d)/(b-c) , d'être égal à (b-c)/(b-a). Or, on a d-a = b-c et c-a = (b-a)-(b-c) .

La relation cherchée s'écrit donc

(S07-100) [(b-a)-(b-c)]/(b-c) = (b-c)/(b-a)

ou encore, en égalant le produit des moyens au produit des extrêmes,

(S07-101) (b-c)² = (b-a)² - (b-a)(b-c)

soit

(S07-102) [(b-c)/(b-a)]² + (b-c)/(b-a) - 1 = 0

Il s'agit d'une équation du second degré en (b-c)/(b-a), dont la solution est

(S07-103)

Ce rapport est actuellement connu sous le nom de "section dorée". C'est l'inverse du "nombre d'or"

(S07-104)

On voit que le nombre d'or F s'obtient en ajoutant 1 à la section dorée. Ces nombres sont connus depuis l'antiquité (mais sous d'autres noms). Ils sont abondamment cités sur Internet, mais malheureusement souvent à titre de simples curiosités historiques et math´matiques. Si cela vous intéresse, tapez "golden ratio" dans http://www.altavista.com ou nombre d'or dans http://www.yahoo.fr.

Remarque : la méthode de la section dorée n'est pas tout à fait celle qui garantit la réduction la plus rapide de l'intervalle de recherche. Il existe une méthode légérement plus performante qui utilise un rapport de division dont la valeur évolue en fonction du numéro de l'itération. En fait, le rapport optimum ne s'écarte sensiblement de la section dorée que lors des dernières itérations.

Dernière mise à jour le 05-07-2002