LMAT2930 – Théorie algébrique des nombres (Automne 2023)

Informations générales

Description: Le cours est une introduction à la théorie algébrique des nombres. Les sujets abordés pourront inclure: quelques rappels d'algèbre commutative, la structure générale des anneaux de Dedekind, des corps globaux et locaux, la décomposition du groupe de Galois d'une extension d'un corps local ou global, la contruction et les propriétés des invariants classiques d'un corps global, leur interprétation en terme de la géométrie des nombres, etc.

Horaire: Lundis de 16:15 à 18:15 dans le local CYCL08.

Séances d'exercices: Néant. Écrivez-moi ou frappez à ma porte pour discuter du cours.

Titulaire: François Thilmany – francois.thilmany(arobase)uclouvain(point)be – CYCL B.427.

Notes de cours: Mes notes pour le cours sont disponibles ici. Leur lecture vient avec l'obligation morale de me communiquer toute erreur relevée.

Ouvrages de référence:

Avis

  • Le cours du 09/10 a été reporté au 8/11.
  • Le cours du 11/12 a été avancé au 8/12.
  • L'unique instrument d'évaluation pour ce cours est l'examen oral. Il a lieu le mercredi 24 janvier (toute la journée, horaire à déterminer).
    Les étudiants inscrits sont tenus de préparer un exposé d'une heure sur un sujet de leur choix, lié au cours et sujet à mon approbation.

    • Cours

  • 25/09: Introduction. Bref rappel concernant les idéaux premiers et maximaux. Localisation d'un anneau et d'un module, propriétés de base. Éléments intégraux et extensions intégrales d'anneaux, critère de finitude de l'anneau engendré, propriétés de base. Cloture intégrale d'un anneau de nombres.
  • 02/10: Localisation et intégralité: rappels et compléments. Lemme de Nakayama et sa conséquence pour les anneaux locaux. Anneaux de valuation discrète: définition.
  • 16/10: Anneaux de valuation discrète: caractérisations. Domaines de Dedekind: définition.
  • 23/10: Idéaux fractionnaires: définition et propriétés. Théorème de caracaterisation des domaines de Dedekind.
  • 30/10: Propriétés des domaines de Dedekind et conséquences du théorème de caracaterisation. Groupe de classes d'un domaine de Dedekind: définition. Exemples.
  • 6/11: Structure et classification des modules finiment engendrés sur un domaine de Dedekind. Anneau de Grothendieck d'un anneau de Dedekind. Classe et facteur invariants d'un module, indice modulaire.
  • 8/11: Formes bilinéaires sur un domaine de Dedekind. Modules duaux. Anneaux de nombres sont de Dedekind. Différent et discriminant: définition.
  • 13/11: Différent et discriminant d'une extension monogène. Exemples: extensions quadratiques et extensions cyclotomiques de Q. Décomposition d'un idéal premier, degré résiduel et indice de ramification: définitions.
  • 20/11: Degré résiduel et indice de ramification: propriétés. Idéaux scindés, inertes et totalement ramifiés. Critère de ramification en terme du discriminant. Critère de ramification modérée.
  • 27/11: Décomposition explicite d'un idéal premier dans une extension monogène; exemples. Complétion d'un anneau de valuation discrète. Lemme de Hensel.
  • 4/12: Preuve du lemme de Hensel. Lemme de Hensel pour les factorisations. Unicité de l'extension d'une valuation complète. Décomposition des extensions finies séparables d'un corps valué complet.
  • 8/12: Implications du théorème de décomposition pour la théorie globale. Formule locale du produit. Critère global de ramification en terme du différent. Extensions locales séparables sont monogènes.
  • 18/12: Automorphismes d'une extension de domaines de Dedekind. Groupes de décomposition, d'inertie et de ramification: définition et propriétés. Extensions non-ramifiée et docilement ramifiée maximales. Filtration du groupe des unités; comparaison avec le groupe d'automorphismes. Formule pour le différent.