LMAT2930 – Théorie algébrique des nombres (Automne 2023)

Informations générales

Description: Le cours est une introduction à la théorie algébrique des nombres. Les sujets abordés pourront inclure: quelques rappels d'algèbre commutative, la structure générale des anneaux de Dedekind, des corps globaux et locaux, la décomposition du groupe de Galois d'une extension d'un corps local ou global, la contruction et les propriétés des invariants classiques d'un corps global, leur interprétation en terme de la géométrie des nombres, etc.

Horaire: Lundis de 16:15 à 18:15 dans le local CYCL08.

Séances d'exercices: Néant. Écrivez-moi ou frappez à ma porte pour discuter du cours.

Titulaire: François Thilmany – francois.thilmany(arobase)uclouvain(point)be – CYCL B.427.

Ouvrages de référence:

Avis

  • Le cours du 09/10 a été reporté au 8/11.
  • Le cours du 11/12 sera reporté (date à déterminer).
  • L'unique instrument d'évaluation pour ce cours est l'examen oral (date en janvier à déterminer).

    • Cours

  • 25/09: Introduction. Bref rappel concernant les idéaux premiers et maximaux. Localisation d'un anneau et d'un module, propriétés de base. Éléments intégraux et extensions intégrales d'anneaux, critère de finitude de l'anneau engendré, propriétés de base. Cloture intégrale d'un anneau de nombres.
  • 02/10: Localisation et intégralité: rappels et compléments. Lemme de Nakayama et sa conséquence pour les anneaux locaux. Anneaux de valuation discrète: définition.
  • 16/10: Anneaux de valuation discrète: caractérisations. Domaines de Dedekind: définition.
  • 23/10: Idéaux fractionnaires: définition et propriétés. Théorème de caracaterisation des domaines de Dedekind.
  • 30/10: Propriétés des domaines de Dedekind et conséquences du théorème de caracaterisation. Groupe de classes d'un domaine de Dedekind: définition. Exemples.
  • 6/11: Structure et classification des modules finiment engendrés sur un domaine de Dedekind. Anneau de Grothendieck d'un anneau de Dedekind. Classe et facteur invariants d'un module, indice modulaire.
  • 8/11: Formes bilinéaires sur un domaine de Dedekind. Modules duaux. Anneaux de nombres sont de Dedekind. Différent et discriminant: définition.
  • 13/11: Différent et discriminant d'une extension monogène. Exemples: extensions quadratiques et extensions cyclotomiques de Q. Décomposition d'un idéal premier, degré résiduel et indice de ramification: définitions.
  • 20/11: Degré résiduel et indice de ramification: propriétés. Idéaux scindés, inertes et totalement ramifiés. Critère de ramification en terme du discriminant. Critère de ramification modérée.
  • 27/11: Décomposition explicite d'un idéal premier dans une extension monogène; exemples. Complétion d'un anneau de valuation discrète. Lemme de Hensel.
  • 4/12: Preuve du lemme de Hensel. Décomposition des extension d'un corps valué. Formule du produit. Implications pour la théorie globale.