| Résumé: | In the 1950s Tits developed a geometric approach to algebraic groups with his theory of buildings. The FTMS was constructed to study exceptional reductive algebraic groups. The long-term goal of an ongoing project with Hendrik Van Maldeghem is to obtain a better understanding of the geometries of the FTMS and their symmetries, in particular E8. I will discuss our progress so far, focussing on the second row, the Severi varieties. |
| Résumé: | Dans cet exposé, il sera question de présentations (engendrement, nombre de relations, taille de présentations) de groupes profinis. Plus précisément, les groupes considérés seront des complétions de groupes arithmétiques. Le but est d’obtenir des résultats de contrôle uniforme de la taille des présentations de ces complétions. Les résultats sont encore partiels et les preuves doivent distinguer caractéristiques nulle et positives, mais les premières uniformités soulèvent des questions intéressantes, impliquant aussi les groupes réductifs dont certains groupes profinis considérés sont les sous-groupes compacts maximaux. C’est un travail commun avec Inna Capdeboscq et Alex Lubotzky. |
| Résumé: | Il s'agit d'un travail en commun avec Seidon Alsaody, voir hal-01507255v1. Reprenant un thème de Knus/Parimala/Sridharan, nous nous intéressons aux algèbres d'octonions définies sur un anneau R. Etant donné une telle algèbre C, McCrimmon a défini des déformations de C appelées isotopes qui ont même norme octonionique que C. A l'aide de la trialité (un automorphisme extérieur d'ordre 3 de Spin(8)), nous montrons que ces déformations paramètrent toutes les R-algèbres d'octonions de même norme que C et donnons un critère d'isomorphie pour ces algèbres. |
| Résumé: | Les dendrites sont des analogues purement topologiques des arbres réels. Le but de l’exposé sera de comprendre la structure et la topologie des groupes d’homéomorphismes de dendrites et dans le cas particulier des dendrites de Wazewski de mettre en avant des propriétés qui les éloignent radicalement des groupes qui agissent par isométries sur des arbres. |
| Résumé: | Les box spaces sont des objets géométriques associés aux groupes résiduellement finis. Leur apparition remonte aux années 70 quand Margulis démontra (dans le langage d'aujourd'hui) qu'un box space d'un groupe résiduellement fini avec la propriété (T) de Kazhdan forme une famillle de graphes expanseurs. Depuis, de nombreuses propriétés des groupes résiduellement finis ont trouvé des formulations alternatives en terme de box space. La propriété (A), introduite par Yu durant ses travaux sur la conjecture de Baum-Connes, est une forme de moyennabilité pour les espaces métriques discrets. Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la question suivante : peut-t-on détecter la propriété (A) pour un groupe résiduellement fini au niveau du box space ? |
| Résumé: | Let $D$ be a division algebra over a local field $k$. By a result of R. Pink, an abstract automorphism of the group $\mathrm{SL}(n,D)$ is an algebraic automorphism over an automorphism of $k$. In other words, the group of abstract automorphisms of $\mathrm{SL}(n,D)$ is an extension of a subgroup of $\mathrm{Aut}(k)$ by the $k$-algebraic morphisms of $\mathrm{SL}(n,D)$. We will study under which condition this extension splits. |
| Résumé: | On se donne un groupe algébrique $G$ défini sur un corps local $k$ non-archimédien, de caractéristique résiduelle $p$. On dispose, sur le groupe des points rationnels $G(k)$, d'une structure de groupe topologique. On peut relier la propriété d'anisotropie d'un groupe algébrique à celle de compacité de ses points rationnels. Plus précisément, on trouve des conditions équivalentes à l'existence de sous-groupes compacts maximaux de $G(k)$. En caractéristique zéro, c'est la situation bien connue des groupes réductifs. En caractéristique $p$, en revanche, on est amené à introduire les groupes pseudo-réductifs et à utiliser les théorèmes de structure de ces groupes, fournis par Conrad, Gabber et Prasad. Dans cet exposé, on rappellera quelques éléments de la théorie des immeubles de Bruhat-Tits, sur laquelle on s'appuie pour décrire les sous-groupes pro-$p$ maximaux de $G(k)$. Ceux-ci jouent un rôle analogue à celui des $p$-Sylow d'un groupe fini. En particulier, on pourra décrire un tel pro-$p$ Sylow au moyen d'un modèle entier bien choisi du groupe algébrique $G$. |
| Résumé: | Day a montré, au début des années soixante, que la moyennabilité d'un groupe pouvait se caractériser via ses actions affines sur un espace localement convexe. Nous montrons qu'une telle caractérisation est en fait déjà possible dans le monde hilbertien et qu'elle produit, pour les groupes non moyennables, des actions affines au comportement dynamique étrange. Ce résultat nous servira de prétexte pour étudier des techniques permettant de transférer des résultats du groupe libre vers un groupe non moyennable général. Travail en collaboration avec Nicolas Monod. |